05 Solucionario_alg 1°

Transcript

Unidad 1 Leyes de la teoría de exponentes I PRACTIQUEMOS 2 Q = Nivel 1 (página 8) Unidad 1 Comunicación matemática 1. 216 . _2 4 i _2 24. 3 i8 2. ` El exponente de a es 4. 25. (-x-1y)3.(-xy-1)5 = x-3y3x5y-5 = x2y-2 _212 i 3. 9 8 78 _7 - 1 i E = 7 -7 7 = 7 77 4. 8 E = 7 7.6 = 71 .6 & E = 42 7 8 + 10 + 7 25 M = 2 24 = 224 = 2 2 2 Clave A 5 16. S = 2 + 10 + 1 5. Sumamos los exponentes del numerador: n+3 53 M = 52 + 62 = 25 + 36 6. ` M = 61 Clave B x3n - 100 = (xn)3 - 100 = 33 - 100 8. -3 +d1 n 3 2 Clave A -1 =9 2 =1 3 Clave A n+4 n+3 28. E = 5n + 3 + 5n + 2 3 A = (5) + (3) + 1 4-1 1 = 81 4 1 = _3 4 i 4 Clave C 19. =3 Comunicación matemática 11. E = 5n + 3 - n - 2 = 5 5 (5 + 1) 5n + 2 (5 + 1) 64 x x 12 = 212 2 ` P = 1 16 2 14. Q = 2 .816 8 Intelectum 1.° -n 3-n + 3-n + 1 = 3 _1 + 3 i = 4 -n + 2 9 3 3-n 3 2 Clave B 1 -1 - 2 2m + 1 '8 2 = (8 2 ) m + 1 - (8 2 ) m + 2 1 (82) m + 2 - 2 = 3 (82) m - 2 ((82) 2 - 82) 1 (8 2 ) m + 2 - 1 1 -4 23. W = ( x b x _ xy-1 i l 2 W = Clave A W = -8 m+ 1 64 2 1 Clave B Razonamiento y demostración xx = 5(5)5 = 56 = (52)3 = 253 22. m+1 1 21. I = x x + x.x = x x .x x.x = x x _ x x i 12. 2 E= 29. Nivel 2 (página 8) Unidad 1 212 +5 n+3 Clave C Razonamiento y demostración Clave E 3+4+5 5 20. ` AB = 1 13. P = 2 Nos piden: xn - 3 = 51 - 3 = 2 Comunicación matemática Clave E -2-1 B = 81 Nivel 3 (página 9) Unidad 1 =9 -2 2 .2 10. A = 9 (xn)2 = (51)2 & x = 5 y n = 1 ` A = 53 2 2a _2 + 2-2 i 2a = 34 = 81 1 3 1 3 = 3 + 3 = 33 + 31 1+ 1 3 +3 3 33 34 + 20090 Clave C Z= + 3-3 H 3 + 33 x2n = 25 A = 25 + 27 + 1 27 - 100 = - 73 9. -1 -1 26. I = > 3 27. x2n + 4 = 29 -2 Clave B Clave E Clave B Clave E 2n + 1 _1 + 2 i E = =3 4 2 n + 1 .2 2 5 & m = 2 & mm + 1 = 22 + 1 = 23 = 8 Clave B n+1 + 2n + 2 17. E = 2 n+3 2 18. A = d 1 n a= 1 + 5 = 2 3 3 7. y -2 =d n x = 5n ` S = 13 Clave E Clave D Clave A 8 10 7 15. M = 2 .2 .22 Razonamiento y demostración a9 . a a2 = a3 . a2 = a 3 .a = a 4 16 8 .2 = 2 24 = 1 Q = 2 24 2 2 24 3 (82) m - 2 (83 - 64) = = 448 1 (82) m - 2 Clave D -1 2 & x _ x-3 y 4 i-1 0 -1 2 # x 4 y-4 - ` W = y 2 / x2 Clave C Leyes de la teoría de exponentes II PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 12) Unidad 1 12. E = 6 5 + 16 + 9 - 25 21. R = d3 54 - 3 24 n 2 E = 5 + 4 + 9 - 5 Comunicación matemática 6 R = _3 27 - 3 8 i E = 9 + 4 = 3 + 2 = 5 1. Razonamiento y demostración 50 - 18 8 T= 2. -1 T = 5 2 - 3 2 = 2 2 = 1 2 2 2 2 Clave A U = 2 5 + 3 5 + 10 5 2 5- 5 U = 15 5 = 15 5 3 D= 4. 3 Clave B 10 E = 2 Clave B I = 2 + 5 + 3 = 10 = 2 5 4+1 Clave A S = 2 2 + 4 2 + 5 2 - 3 2 A = 3 8 + 9 = 2+3 = 5 Clave B L = 11 5 ' 5 = 11 11. M = d3 32 + 4 2 2 M = _3 8 + 25 i a.a 2 .a3 ... a10 L = 4 16 + 3 27 = 2 + 3 = 5 V = 11 Clave B Clave C a 10_11 i 2 55 E= 40 3 _4 x3 i 30 3 _ xi 3 x 3 26. = 30 2 x 30 = 3 x 30 - 15 = 3 x15 = 5 x15 E=3 3 40 # 3 4 x 18. 3 = 11 a55 = a 11 = a5 Clave B 54 + 3 16 3 2 n_n + 1 i 2 Clave E 25. E = R = (3 + 2 + 2)2 = 72 = 49 a 2 40 + 3 56 n 10 7 -1 273 -1 + 5 + 42 1 42 1 27 3 3+5 + 2+7 8 + 9 = 2+3 = 5 = 3 = 3 +5 + Clave E +7 3 +7 27 # 2 + 3 8 # 2 3 2 Clave C 3. 2+3 9 8 2.2 27. V = x 2 . 3 2 = x 4 9 = x 36 x13 + 3 3 3 E = 3 23+ 2 2 = 53 2 = 5 2 2 2 11 V = 11 E = 50 n 2 M = _2 + 5 i = 7 2 = 49 a . 11 a 2 . 11 a3 ... 11 a10 6 + 10 + 3 20 + 7 3 2 Clave D 4 20. E = Razonamiento y demostración 24 L = Razonamiento y demostración 9. 10. ( 3 . 4 - 2) 2 + 4 2.4.2 x-2 x 4 = x 11 Comunicación matemática 2 = x 36 = x 3 V = 19. Nivel 2 (página 12) Unidad 1 30 24. V = Comunicación matemática Clave A 4 6 + 100 + 3 400 + 7 Nivel 3 (página 12) Unidad 1 L = _10 5 - 2 5 + 3 5 i ' 5 x3 4 L = _ 500 - 20 + 45 i ' 5 8. 20 2 R = _ 9 + 4 + 3 8 i A = _2 3 + 3 3 + 4 3 i ' 3 20 4 Clave B 16. L = 17. R = d 27 + 6 3 .3 .3 15 Clave D 3 A = _ 12 + 27 + 48 i ' 3 3+5 + 1+8 3 + 25 + 1 + 64 Clave E A = 9 3 ' 3 = 9 3 20 4 b3 l .3 .3 15 23. Por propiedad: S = 8 + 32 + 50 - 18 S = 8 2 Clave C A = 2 3 5 3 15 3 4 . 15 3 20 S = (10 - 2) = 8 = 64 3 3 32 E = 3 15 .3 15 = 3 15 = 3 = 9 2 15. A = 5 10 5 2 8 + 3 125 + 3 27 3 64 + 3 1 E = S = _ 100 - 3 8 i 3 I= 7. = 4 =2 Clave C 22. E = 5. 6. 1 14. S = d 1000 - 3 40 n Clave E D = 4 23 + 3 2 = 73 2 = 7 2 2 3 1 2 128 + 3 54 3 2 3 -1 S = 49 2 - 27 3 = 7 - 3 6 R = _3 - 2 i = 16 = 1 - 273 U = 20 + 45 + 500 20 - 5 3. Clave D 13. S = 49 2 3 Clave B x 3.3 ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1 Clave A 3 Ecuaciones transcedentes PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 16) Unidad 1 Entonces: 2x - 1 = 0 Nivel 2 (página 16) Unidad 1 Comunicación matemática Comunicación matemática 10. 1. Razonamiento y demostración 2. 3. A7 2x - 9 = A 343 3 &7 = 343 = 7 & 2x - 9 = 3 ` x=6 4. Clave C ax . ax . ax = a2x + 5 5. b .b Clave E 19 Entonces: 3n + 1 = 19 6 Entonces: 8x - x = 28 & x = 4 Clave A x Entonces: 2y + 12 = 24 ` y = 6 14. 3125x - 2 = 625x + 1 ((5)5)x - 2 = (54)x + 1 b6 + x - 3 = b15 (5)5(x - 2) = (5)4(x + 1) Entonces: 6 + x - 3 = 15 ` x = 12 Clave A a 2x a x + 4 = a 20 ax + 2 7. Entonces: 2x + x + 4 - x - 2 = 20 2x + 2 = 20 &x=9 Clave B & 2 = 2 .2 =2 4 x-4 x+2 2 l 17 ` n=8 Intelectum 1.° 2x 4 i3 _3 Luego: 2x Clave E = 216 Clave C 2 -1 2 -1 Clave C = 22 7x - 1 =2 2. _23 i 3 + 2x 27x 1 & 2.83 + 2x = 27x - 1 = 27x - 1 Entonces: 10 + 6x = 7x - 1 & x = 11 = 516 Clave C 60 Entonces: 8a . 4-a = 1660 =2 2x 3 = 4 3 4 32x-1 = 42x-1 2x 3 i4 23a . 2-2a = 24.60 23a - 2a = 24 . 60 1632 23. 4 2x = _3 2x 2 Entonces: 3a - 2a = 4 . 60 ` a = 240 = 216 4.3 = 3.4 2x _2 2 i Clave C = 27 4 2 - 1l Entonces: x + 2 + x - 4 = 4 & x = 3 2x 2 -1 (2 ) . 4-a = (24)60 x+2+x-4 17. 81 3 3 + 2x 83 + 2x Clave A 2 3a _2 x + 2 i . _2 x - 4 i 2 48 a 4-a 2 2l x _ 2 xi = b 2 2 22. _5 8 i Entonces: 12x = 72 & x = 6 & 9 + n = 17 x 20. _ 2 x i = b 2 Clave C Luego: (2x + 2)(2x - 4) = 16 29 .2n = 2 216 1 16 Clave B 210 + 6x = 27x - 1 5x - 10 = 4x + 4 & x = 14 9+n Clave A & 5(x - 2) = 4(x + 1) 16. b2 2 Entonces: 12n + 8 - 3n - 5 = 39 9n = 36 & n = 4 ` n=-7 2 21. 212x = 272 a12n + 8 - 3n - 5 = a39 9. (24)3x = (23)24 a12n + 8 = a39 a3n + 5 & 6n - 3 = 8n + 4 ` x = 2 163x = 82 # 4 # 3 a7n .a5n .a8 = a39 a3n .a5 15. (16x)3 = ((82)4)3 a2x + x + 4 - x - 2 = a20 8. Clave A 36n - 3 = 38n + 4 A2y + 12 = A24 b .b = (b5)3 b3 6. b8x = _b14 i2 bx = _3 4 i A6y + 10 + 2 - 4y = A2 # 3 # 4 &n=6 Clave D 13. A6y + 10 . A2 - 4y = [(A2)3]4 =b b3n + 1 = b19 &x=6 2n + 1 2n - 1 19. ^33h b8x - x = b28 Entonces: 3x = 2x + 5 & x = 5 n+1 Razonamiento y demostración Entonces: 5x+ 8 - 3 = 35 12. a3x = a2x + 5 2n Comunicación matemática 18. a5x + 8 - 3 = a35 2x - 9 Clave B Nivel 3 (página 17) Unidad 1 a5x + 8 = a20 . a15 a3 11. Razonamiento y demostración &x= 1 2 x-2 32 x - 2 _2 4 i 24 _32 x - 2 i = 22 Clave B x+2 = 22 x+2 = 22 x+2 Entonces: 4(32x - 2) = 2x + 2 22 . (25)x - 2 = 2x + 2 22 + 5(x - 2) = 2x + 2 Entonces: 2 + 5x - 10 = x + 2 4x = 10 & x = 5 2 Clave B EXPRESIONES ALGEBRAICAS - Monomios PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 20) Unidad 1 Comunicación matemática Comunicación matemática 12. 1. 13. 2. Razonamiento y demostración 3. E = x2 + 4x + 6x + 24 - x2 - 2x - 8x - 16 E = 8 Clave E 4. Clave B R = 10(5) + 4(8) R = 50 + 32 R = 82 5. 21. R = 120a - 110a R = 10a Clave D S = 49 A=3 -9 A = 0 Clave D Clave E 3 3 Clave B 25. ` GR(y) = 2p + 7 - 2p - 3 = 4 Clave A Resolución de problemas Clave B 2x + x - x - y 2x - y N= 2x - y &N=1 2x - y B = 4x - x + 9x + 3x 6 B = 12x + 3x 6 B = 2x + 3x & B = 5x l.q.q.d. Clave D 11. GR (x) = 4 & a = 4 ` Se cumple la propiedad distributiva. Rectángulo II: Exceso = 2x2 + 8x + 8 - 2x2 - 8x Exceso = 8 Clave C 3A - 2C = 3(3x2y3) - 2(2x2y3) ` GA (M) + GR (y) = 3n + 2 + 8 - n + 8 - n  = n + 18 = 23 & b+1=4& b=3 8x6 / 8x6 Área = 2x(x + 4) = 2x2 + 8x 18. A - C = 3x2y3 - 2x2y3 = x2y3 n=5 (8x3)x3 / x6 + 7x6 Área = (x + 2)(2x+ 4) = 2x2 + 8x + 8 Resolución de problemas & n3 = 125 (x3 + 7x3)x3 / x3 . x3 + 7(x3)(x3) 27. Rectángulo I: Z = 2x4 + 2x - 2x4 + x5 - 2x = x5 GR (y) = 4 26. A(x) = x3 2 _2x i x 3 _3x i 33x B = - + + 6 6 6 11 N= Resolución de problemas 5 Clave A M = 24 b x l + 2 x 3 M = 8x + 2x = 10x 8. Clave B 2 3 17. Demostración: 4 B(x) = x3 S = 29y 24. da - 2 + 9a - 3a n 1 = 1 & a = 4 3 16. M = b x + x + x + ... + x l + 8x 3 S = 9 + 9y - 3 + 16y - 4 + 4y - 2 1 2a - 1 + 4a - 2a + 1 = 3 & a = 801 d n 7 9 4 70 Clave A 24 veces A = 320 - 320 23. S + 1 = 49 + 1 = 8 3 10 10. n3 - 27 = 98 22. Razonamiento y demostración - 48a + 5 A = 320 - (32)10 Comunicación matemática R = 40(3a) - 110(a) Piden: Clave E 9. Los resultados obtenidos son diferentes. 15. S = 12a + 8 + 6a + 3 + 30a - 15 + 48 S = 3x 7. 20. S = 3x2 + 6x - 3x2 - 3x 6. T(-1) = -5(-1)3 = 5 Nivel 3 (página 21) Unidad 1 14. R = 40(3a) - 110(a) S = x(3x + 6) - 3(x2 + x) 20 Razonamiento y demostración Desarrollamos la expresión: b) T(1) = -5(1)3 = -5 Nivel 2 (página 20) Unidad 1 = 9x2y3 - 4x2y3 = 5x2y3 28. aabb + 5b + aabb + 5b - aabb - aabb - 5a- 5a = 100 & 5b - 5a = 50 = GR(z) 2 3 A = 3x y = 3 xy B 7 7xy 2 Clave D El mayor grado absoluto esta en cualquiera de las dos expresiones A - C o 3A - 2C ` GA = 2 + 3 = 5 Clave A a2 + b2 = 42 + 32 19. a) Z(1; 1) = 2(1)2(1)3 = 2 a2 + b2 = 5 Z(-1; -1) = 2(-1)2(-1)3 = -2 Los resultados obtenidos son diferentes. Clave D 29. 7(a + b + c) = 91 & a + b + c = 13 Clave C 30. M(M(m)) = 7M(m) = 7(7m) = 343 3 ` m = 72 = 7 7 ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1 Clave C 5 PolInomios Dato: Coef. principal de A(x) = a + 3 = 5 a=2 Nos piden: TIP(x) = a = 2 PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 24) Unidad 1 Comunicación matemática 1. 2. Razonamiento y demostración F(F(4) = 3(F(4)) - 1 = 3(12 - 1) - 1 12. P(x) = x2 + x - a2 …(I) = 32 l. q. q. d. P(a) = 3 Clave A P(x + 1) = 2x + 1 Piden: P(5) Entonces: x + 1 = 5 & x = 4 Por lo tanto: P(5) = 2(4) + 1 = 9 Clave A P(4) = 3(4) - 2 = 10 Piden: F(P(4)) = F(10) = 2(10) + 1 = 21 Clave B 6. GA (P) = 6m + 10 + 3 - 6m GA (P) = 13 Clave E 7. M(x; y) = 5xa + x3 + ay6 + 6xay8 Como: GR(x) = 4 &a+3=4 `a=1 8. P(x; y) = 2x9y - 7x2y9 + x8y3 Piden: GR(x) + GR(y) = 18 GA(Q) = 6 & a + 2 - b + 1 = 6 a - b = 3 …(2) Piden: ab = 63 = 216 Piden: S = F _ 5 i - 4 = 4 - 4 = 0 Resolución de problemas 11. A(x) = x2 + (a + 3)x3 + 2x + a 6 Intelectum 1.° a+5=5 Clave E Nivel 3 (página 25) Unidad 1 24. Razonamiento y demostración 25. P(x - 2) = (2x - 1)10 - (7x - 11)10 + 3x + 1 & GR(x) + GR(y) = 8 + 5 = 13 l. q. q. d. TI(Y) = Y(0) = 5 0 & x - 2 = 0 x=2 P(0) = (2(2) - 1)10 - (7(2) - 11)10 + 3(2)+ 1 T.I. P(0) = 310 - 310 + 6 + 1 Clave A ` P(0) = 7 Clave A 18. Por propiedad de grado absoluto: Entonces: Q(x) = 3x2 + 6x + 1 Comunicación matemática Nivel 2 (página 25) Unidad 1 TI(Y) = Y(0) = (7)(- 5) + (2)(20) Clave E (-) Nos piden Σcoeficientes: Q(1) = 3 + 6 + 1 = 10 & Scoef. Q(x) = 10 GR(x) = 5 17. TI(Y) = Y(0) = (2(0) + 7)(0 - 5) - 2(02 - 20) 7 10x2 - 2x + 5 7x2 - 8x + 4 3x2 + 6x + 1 Razonamiento y demostración 10. F _ x i = 4x + 8 4_5 i + 8 F_5 i = =4 7 P(x) + Q(x) = R(x) & Q(x) = R(x) - P(x) Efectuamos: R(x) - P(x) De (1) y (2): a = 6 / b = 3 Clave C 23. Desdepejamos Q(x): 16. GR(x) = 8 y GR(y) = 5 Clave B Resolución de problemas exponente de la variable, entonces: Comunicación matemática & F(F(2)) = 26 Clave A 2a + 9 = 7 & a - 1 Luego, nos piden: a2 = (-1)2 = 1 15. F(F(2)) = F(6) = 5(6 - 1) + 1 ` a=2 22. Como es de grado 7, escogemos el mayor …(1) Piden: Clave E Clave A Clave D 2a = 4 & a + 2 + b - 1 = 10 a + b = 9 & 2a + 3 = 7 ` a = 0 F(2) = 5(2 - 1) + 1 = 6 a=3 F(x) = 5(x - 1) + 1 9. 21. Como: GR(y) = 7 14. Como: GR(x) = 9 / GR(y) = 9 Clave B Clave A Clave A 20. Por propiedad del grado absoluto: GA(E) = 2 . 12 = 24 13. GA(P) = 10 P(x) = 3x - 2 Clave E Entonces: P(a) = a2 + a - a2 = 3 Nos piden: TIP(x) = -a2 = -32 = -9 S coef. M(n) = 1(1 + 1)(1 + 2) - (1)3 + 2(1)2 S coef. M(n) = 6 - 1 + 2 = 7 En (I): sea x = a F(x) = 2x + 1 5. polinomio es: Clave A 3. 4. 19. Sabemos que la suma de coeficientes en un 26. P(x) = x(ax + 2c) + bx2 - c GA(K): 9 + 5 = 14 Clave E Dato: Σcoef. P(x) = P(1) = 0 T + R - P = (-4 + 6x2 - 5x) Sea x = 1: 2 & P(1) = a + 2c + b - c = 0 + (-x - 2 + 6x) - (2x - 5x + 1) a+b+c=0 MARATÓN MATEMÁTICA (página 26) Clave D 1. 27. P(x) = ax2 + bx + c ; c ! 0 Dato: Nos piden: a + b = −c =− 1 c c 28. Σcoef. (P) & 2x - 1 = 1 & P(1) = (5(1) - 1)m + (2(1) + 1)m - 2(1) + 1 m - 2c 1 m + 1 2 m m Clave D son iguales: & a-4=1 / b+1=3 a = 5 b=2 `a+b=7 suma de exponente) &m=-8 = 8 + 7 ; 8 + 10; 8 + 12 Nos piden: 15 18 ` Σcoef. (F) = F(1) = (-1) - 5(-1) - 8 = - 2 Clave B (z = - 1) 3T - 2R = 3(-4 + 6x2 - 5x) - 2(-x2 - 2 + 6x) = 20x2 - 27x - 8 15 & GA(P) = 18, GR(x) = 10 & 18 + 10 = 28 2 7. 17 - x 7(P(x)) = 12x + 7 P(x) = 12 x + 1 7 12 & P(-7) = (-7) + 1 = - 11 7 Clave D 13. De f(-1) = -32 6. GA (P) es el término con mayor grado (mayor 29. TI(F)= F(0) = (-2) - 5(-2) + m = 6 = -7x2 + 28x - 8 & b=6 & Q(P(x)) =7(P(x)) - 5 = 12x + 2 (dato) 5. Si los términos son semejantes, los exponentes 2 30. 3R - 2P = 3(-x2 - 2 + 6x) - 2(2x2 - 5x + 1) 12. De Q(x) = 7x - 5 2x3 - 20x2 + 42x + 5x2 - 50x + 105 Clave C Clave A 11. Evaluando: 32 - 3 + b = 12 Clave B (x2 - 10x + 21)(2x + 5) m (z = - 2) 3a = 15 . 2 ` a = 10 Clave D Clave B m Clave B & GA N(x; y; z) = 10 + a + a - 1 + 6 - a = 30 (dato) 2 & 15 + 2a - a = 30 2 4. Desarrollando: 4m + 3m = 25 `m=2 10. El polinomio es de variable x; y; z. 2x3 - 15x2 - 8x + 105 m m Clave D 1 x =a & x = 12 5 x-4 4 + 3 - 1 + d 3 n + 2m = 24 + d 3 n + 2m 2 2 m & a 5 12 2. Simplificando: m _4 + 3 - 1 i + fd 3 n + 2m p = 24 + d 3 n + 2m 2 2 m 1 ax x - 4 & A = (x - 4)2 = x2 - 8x + 16 m m = k=3 & P(x) = 3(x2 + 1)(x - 1) = 3x3 - 3x2 + 3x - 3 3. TI(P) = f5 d 1 n - 1 p + f2 d 1 n + 1 p 2 2 TI(P) = d 3 n + 2m 2 Dato: 4/3 - 1/2 Clave D x= 1 2 S coeficientes = 0 P(2) = 15 = k((22) + 1)(2 - 1) M = x - x10 + x10 = x Σcoef. (P) = 4 + 3 - 1 TI(P) = P(0) & 2x - 1 = 0 factor factor → (P(1) = 0) Para determinar k; dato: m Clave C a4/3 = ax-1 a1/2 a Ec. trascendentes 99 = mm & m = 9 a $ a1/3 = ax-1 a1/2 x=1 (32)9 = mm P(x) = k(x2 + 1)(x - 1) Clave B 318 = mm 9. Sea el polinomio: III. Desarrollando: Resolución de problemas I. 3 12x = 3 2(12) & 12x = 2 . 12 x=2 II. 2x - 7 = 3 & x=5 P(1) = a + b + c = 0 & a + b = -c = 2x2 + 6x - 7 Nos piden: ab + bc + b2 = b(a + c + b) = 0 8. 2 5$3 2 x = 2 2 Igualamos exponentes (bases iguales) 2(17 - x) = 15x 34 - 2x = 15x 34 = 17x `x=2 & x + 4 = -1 & x = -5 & f(x + 4) = f(-1) = -5a + b = -32 ...(1) De f(2) = -11 & x + 4 = 2 & x = -2 & f(x + 4) = f(2) = -2a + b = -11 Restamos las ecuaciones: -5a + b = -32 (-) -2a + b = -11 _____________ 3a = 21 a=7 / b=3 `a-b=4 Clave C Clave E ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1 7 Unidad 2 Productos Notables PRACTIQUEMOS Nivel 2 (página 31) Unidad 2 Nivel 1 (página 31) Unidad 2 Comunicación matemática 12. Comunicación matemática 1. 13. 2. Razonamiento y demostración 14. (x + 2)2 - (x + 2)(x - 2) - 4x Razonamiento y demostración 3. Z = (x2 + 4x + 4) + (x2 + 6x + 9) - 2x2 - 10x Desarrollamos: ` Z = 13 Clave E x2 + 4x + 4 - (x2 - 22) - 4x x2 + 4x + 4 - x2 + 4 - 4x = 8 4. M = (x2 + 10x + 25) + (x2 - 8x + 16) - 2x2 - 2x Clave C ` M = 41 Clave D 4xy & M=4 xy Clave A Clave D a2 - b2 = 42 6. Desarrollamos: a2 + 2ab + b2 - (a2 - b2) - 2b2 = a2 + 2ab + b2 - a2 + b2 - 2b2 = 2ab 5. M = [x2 + 4xy + 4y2 - x2 - 4y2] ' xy M= 15. (a + b)2 - (a + b)(a - b) - 2b2 16. (x + 2)(x + 6) - (x + 4)2 Desarrollamos: x2 + 8x + 12 - (x2 + 8x + 16) = x2 + 8x + 12 - x2 - 8x - 16 = -4 (a + b)(a - b) = 42 7(a - b) = 42 Clave C ` (a - b) = 6 Clave C 2 Por Legendre: 2 2 M = 2 _ 7 + 3 i = 20 2 2 2 2 7. K = a - 4 + a - 2 a+4 2 17. M = ^ 7 + 3 h + ^ 7 - 3 h a+2 Clave C K = a - 4 + a - 2 & K = 2a - 6 Clave C 2 3 8. A = (a - 1)(a + a + 1) - a 18. Q = 8 ^a4 + 2h^a4 - 2h + 4 = 8 a8 - 4 + 4 = Clave E 19. M = 6^22 - A = a3 - 1 - a3 2 2 3 h^32 - 2 h@ = [(1)(7)]2 = 72 & M = 49 2 A = -1 Clave E Clave B 20. Dato: a - b = 4 / ab = 2 Piden: a3 - b3 2 9. R = (x + 2)(x - 2x + 4) - 8 Por identidad de Cauchy: Suma de cubos (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b) 3 R=x +2 -8 R = x3 3 Clave B Resolución de problemas 10. M = ^a + bh2 - ^a - bh2 ab 43 = a3 - b3 - 3(2)(4) & a - b3 = 64 + 24 = 88 Clave C 21. A = (x - 3)(x2 + 3x + 9) - (x3 - 30) A = x3 - 33 - x3 + 30 = -27 + 30 & A = 3 Recuerda: (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab Luego: M = 4ab = 4 ab 22. Sabemos: Clave E Clave C Intelectum 1.° Clave E Resolución de problemas 11. a8 - b8 = (a4 + b4)(a4 - b4) 8 a8 & Q = a Diferencia de cubos 3 8 (a + b)4 - (a - b)4 = 8ab(a2 + b2) x y z & x - y = 8abz x-y ab = 8z Clave C 31. A = (x + 1)(x2 - x + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) 3 23. E = ^ 2 + 1h - 5 2 A = (x3 - 1)(x3 + 1) 3 2 + 13 + 3 2 ^ 2 + 1 h - 5 2 E= A = x6 - 1 E= 2 2 +1+6+3 2 -5 2 Clave D E=7 Clave E Resolución de problemas 32. Le damos una forma adecuada a los términos: Z = (m + n)2[p + (n - m)][p - (n - m)] + (m - n)2[(m + n) + p][(m + n) - p] Nivel 3 (página 32) Unidad 2 Z = (m + n)2[p2 - (n - m)2] + (m - n)2[(m + n)2 - p2] Comunicación matemática 24. Las operaciones correctas son B y C. Z = (m + n)2p2 - (m + n) 2 (n - m) 2 + (m - n) 2 (m + n) 2 - (m - n)2p2 25. El orden es: E D A C B Z = p2((m + n)2 - (m - n)2) Z = p2(4 mn) Razonamiento y demostración 2 26. A = Z = 4mnp2 2 5 + 6 5 + 9 + 16 - 8 5 + 5 + 2 5 Clave E A = 5 + 6 5 + 25 - 8 5 + 5 + 2 5 ` A = 35 Clave E 27. A = (4x2 + 12x + 9) + (9x2 + 6x + 1) - 13x2 - 13x - 10 Clave A 2 28. R= ^ 5 + 2 5 + 1h - ^4 - 4 5 + 2 5 h+ 3 Clave A 29. A = (a2 - 5b3)2 + 10a2b3 - 25b6 Desarrollamos: A = a4 - 10a2b3 + 25b6 + 10a2b3 - 25b6 Clave B 30. R = (x8 + 3)(x8 - 3) - (x16 - 10) (x 3 - 1) (x 3 + 1) - x 2 (x 2 + 1) (x - 1) (x + 1) E= x 6 - 1 - x 2 (x 2 - 1) (x 2 + 1) x2 - 1 E= x 6 - 1 - x 2 (x 4 - 1) x2 - 1 6 6 2 E = x - 12- x + x x -1 2 E = x2 - 1 x -1 R = (x8)2 - 32 - x16 + 10 16 E= x3 + 1 x+1 6 E = x 2 - 1 - x2(x2 + 1) x -1 R= 6 + 2 5 - 9 + 4 5 + 3 & R = 6 5 A = a4 x3 - 1 x-1 Diferencia de cuadrados: R= 6 + 2 5 - ^9 - 4 5 h + 3 E = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) - x2(x2 + 1) A = 13x2 + 18x + 10 - 13x2 - 13x - 10 ` A = 5x 33. Del problema: 16 R = x - 9 - x + 10 E=1 R=1 Clave D Clave E ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2 9 División de Polinomios PRACTIQUEMOS 3 8. Nivel 1 (página 35) Unidad 2 -1 Comunicación matemática & a + b - 3c + d = 2 3 2 3 -8 18 -15 -26 3 6 -4 28 26 0 -2 14 13 0 3 2 2 -13 13 4 8 4 -6 2 23 -34 9. 14 28 0 3 2 -2 3 7 11 -8 0 1 2 0 -1 +2 2 6 -5 1 -10 2 -3 5 -3 -2 2 4 8 11 -4 5 5 -1 -13 -11 12 -37 -24 -32 -20 32 20 16 -8 -5 -4 -16 Clave B 11. 1 x = -1 5 -12 -9 2 -18 ` El menor coef. del cociente = -8 6 6 1 2 6 -1 10. -7 -10 3 3 x = -4 0 24 -15 15 +3 2 Clave A Clave B 3 -1 ` !coef.Q(x) = 6 Clave C ` Σ de coef. residuo = 8 + 11 - 4 = 15 5. -1 & Q(1) = 6 -2 2 Q(x) = x2 - x + 6 20 7 -1 1 1 5 1 -1 1 Clave B 1 -3 -12 -3 +1 2 -25 2 0 -1 -2 10 4. -4 Razonamiento y demostración 6 -2 -3 -4 ` Cociente = 2x2 - x - 1 Clave D 3 0 1 Clave B Scoef. Q(x) = 3 - 2 + 14 + 13 + 0 = 28 3. -1 -2 1. c = -4; d = -12; a = 4; b = -2 2. 6 3 3 1 -1 -2 -1 2 1 0 1 ` Cociente = x2 + 2x + 1 ` Residuo = 5x - 1 Clave C 6. Clave D 2 6 4 2 -4 12 -6 28 -2 3 7 -5 3 5 -14 9 2 4 +3 -5 2 36 -18 17 -15 -6 -8 15 6 -10 -3 5 2 -1 -1 5 x=1 ` Residuo = 2x - 1 10 Intelectum 1.° -2 -2 -1 5 3 1 3 1 0 ` Cociente = 5x2 + 3x + 1 Clave A ` Σ de coef. del cociente = 3 + 7 + 9 = 19 7. 12. Clave C 13. 2 x = 2 2 3 2 -12 3 2 -2 2 2 10 -2 2 2 5 2 -2 2 0 ` Término independiente del cociente = 2 Clave A Clave A 14. Evaluamos x = 2 en el dividendo: Según dato: 2(2)3 - 4(2)2 + 7(2) - 10 16 - 16 + 14 - 10 = 4 ` Resto = 4 a2 + 11a + 2 = 0 & P(x) es divisible con (x - a). b2 + 11b + 2 = 0 & P(x) es divisible por (x - b). Luego: Clave C P(x) es divisible por (x - a)(x - b) P(x) / (x - a)(x - b)Q(x); donde Q(x) = 1 15. Evaluamos x = 1 en el dividendo: 3 P(x) / x2 - (a + b)x + ab / x2 + 11x + 2 2 (1) + m(1) + n(1) + 1 = 0 1+m+n+1=0 m + n = -2 Luego: a + b = -11 ab = 2 Clave C Entonces: Z = - 11 - 22 = - 13 121 _- 11 i 16. Evaluamos: x = -3 en el dividendo: 27(-3)425 + 81(-3)424 - 5(-3) - 19 -3428 + 3428 + 15 - 19 = -4 ` El residuo = -4 Clave E Clave E 22. P(x) = (x2 + 1)(x - 3)Q(x) + (x2 + 4x - 6) P(3) = (32 + 1)(3 - 3)Q(3) + (32 + 4(3) - 6) = 15 17. Por teorema del resto en la división: Clave D x-2=0&x=2 Nivel 2 (página 36) Unidad 2 Reemplazamos en el dividendo: 4x4 - 3x3 - 12x2 + (a + 4)x + a = 4(2)4 - 3(2)3 - 12(2)2 + (a + 4)2 + a = 64 - 24 - 48 + 2a + 8 + a = 3a Comunicación matemática 23. 5 2 '2 Del dato R(x) = 12, entonces: 3a = 12 & a = 4 Clave D 10 -29 12 -3 -5 100 25 -10 5 5 0 10 -4 2 2 0 100 5 -2 1 1 0 Scoef. Q(x) = 5 - 2 + 1 + 1 + 0 = 5 18. Por teorema del resto: Clave C d(x) = x + 2 = 0 & x = -2 D(x) = 2x4 + x3 + x2 - 30 24. 1. Sea el dividendo: D(x) = x 5 - 2x - 1 Término de mayor grado Observamos: D°(x) = 5 ...(F) Reemplazamos: R(x) = 2(-2)4 + (-2)3 + (-2)2 - 30 R(x) = -2 2. Analizamos el divisor: d(x) = x 3 + 1 Término de mayor grado Luego: Q°(x) = D°(x) - d°(x) =5-3 Q°(x) = 2 ...(V) Clave D 19. Por teorema del resto: d(x) = x + 1 = 0 & x = - 1 D(x) = x3 + x2 + 2x + 3 Reemplazamos: R(x) = (-1)3 + (-1)2 + 2(-1) + 3 R(x) = -1 + 1 - 2 + 3 = 1 3. Sabemos que: R°(x)máx. = d°(x) - 1 = 3 - 1 = 2 Clave C El grado del residuo puede ser: 0; 1; 2 ...(V) Clave E 20. Por teorema del resto: d(x) = x + 1 = 0 & x = -1 D(x) = 5x3 - 3x2 + 2x + 15 Razonamiento y demostración 25. Reemplazamos: R(x) = 5(-1)3 - 3(-1)2 + 2(-1) + 15 R(x) = -5 - 3 - 2 + 15 = 5 2 6 -3 0 9 0 1 4 -9 0 0 3 0 0 0 0 0 -6 -1 +1 Clave D Resolución de problemas 21. Supongamos el siguiente polinomio de segundo grado: P(x) = x2 + 11x + 2 Si: x = a & P(a) = a2 + 11a + 2 x = b & P(b) = b2 + 11b + 2 3 0 0 2 1 -3 2 0 3 2 0 -1 4 -1 1 ` El coef. del término cuadrático del residuo es 4. Clave D ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2 11 26. 1 1 10 -10 -5 3 -3 1 3 1 1 6 3 -3 -6 1 -2 32. 1 -5 1 1 -6 5 10 4 -2 -8 . -5 4 . 14 4 -2 -2 -3 1 0 -10 2 1 -2 R(x) = -5x + 14 ` Cociente = x2 - 2x + 1 Clave E Clave B 27. 1 1 3 -5 1 2 -7 3 -5 15 -25 9 -15 5 m 3 33. n 0 x = 1 2 '2 0 1 1 4m -8 2 -4 -4m + 4 8m - 8 0 0 1 -2m + 2 & -8 + 8m - 8 = 0 8m = 16 3 1 0 5 -3 -2 3 a 1 4 6 -2 -1 -1 2 -6 -4 0 0 1 1 0 -p 1 1 -8 2 -5 . 3 . -4 . 1 a -2 1 -2 0 2 16 0 -6 -12 9 -15 9 20 -15 25 -15 3 . . . . 5 -3 35. d(x) = x + 2 = 0 & x = -2 2 1 -5 . -2 0 -2 1 0 1 -7 1 q 0 -p 0 1 -p 1 2 8 5 4(-2)78 + 32(-2)75 + 6(-2)41 + 12(-2)40 + 5(-2)4 + 1 280 - 280 - 3 . 242 + 3 . 242 + 5 . 24 + 1 Clave A 37. Evaluamos x = -2 en el dividendo: (-2)100 + 32(-2)95 + (n + 1)(-2)3 + n(-2)2 + 10 = 14 ` a+b=5 -8(n + 1) + 4n + 10 = 14 -8n - 8 + 4n + 10 = 14 -4n = 14 - 2 n = -3 Clave B 38. Evaluamos x = 3 7 en el dividendo: 2 ^ 7 h + ^- 2 - 7 h^ 7 h + ^2 7 - 15h 7 + 15 7 + m = 3m -8 7 7 - 14 - 7 7 + 14 - 15 7 + 15 7 + m = 3m - 8 2m = 8 m = 4 ` q + p = -2 Clave E 12 Intelectum 1.° 1 ` Resto = 81 -1 0 -4 & -4 - p = 2 & p = - 6 q + 1 = 5 & q = 4 -3 Clave B b 1 1 20 Q(x) = x2 + 1 Clave E 1 6 . 2 36. Evaluamos x = -2 en el dividendo: -4 a - 2 - 2 = 0 & a = 4 b-1=0 & b = 1 31. 4 Clave B Clave B -2 1 x =- 3 5 -2 2 -1 34. b 1 -4 4 -3 ` Mayor coef. del cociente = 5 & a + 2 - 6 = 0 / b - 4 = 0 a = 4 b=4 `3 a+b = 2 30. 3 '5 Clave B 3 2 ` m=2 -3 -2 -6 Clave A -2m 2 -4 29. 6 & n = 15 Clave D 28. 4 -11 ` S de coef. cociente = 2 + 3 - 4 + 1 = 2 & m - 25 + 9 = 0 & m = 16 n - 15 = 0 ` m + n = 31 4 Clave B 43. b = 7, ab = 14 & a = 2; a = c = 2 39. 2x - 1 = 0 & x = 1 2 2 (7) 2 2 = 14 14 & S= 5 4 R(x) = 2 c 1 m - 9 c 1 m + 3 c 1 m - 4 2 2 2 R(x) = 1 - 9 + 3 - 4 16 16 2 44. 2 R(x) = - 1 + 3 - 4 = 1 - 4 2 2 ` R(x) = -3 10 Clave E 1 3 6 15 5 1 Clave E 5 5 8 24 8 35 13 ` 10 + 15 + 8 + 6 + 5 = 44 Resolución de problemas 40. Datos: Clave D D(x) = x9 - 27x6 + 3x2 - 5x + 2 d(x) = x2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) R(x) = ax + b = ? Sabemos que: D(x) / d(x)Q(x) + R(x) Reemplazamos: x9 - 27x6 + 3x2 - 5x + 2 = (x - 3)(x - 1)Q(x) + ax + b Sea: x = 1 & a + b = -26 ...(1) x = 3 & 3a + b = 14 ...(2) Restando (1) de (2): & a = 20 b = -46 Nos piden: a + b ` a + b = -26 45. 1 -3 2 P(x) = (x + 4)(x - 5)(x + 6)Q(x) + x - 7x + 2 2 -4 -3 0 -6 30 -87 2 -10 29 -93 1 0 -1 -6 ` - 1 - 6 - 6 = - 13 Clave C Razonamiento y demostración 46. 1 1 a+1 a+b -a -b -a -a -b Clave C 41. Según la condición: 3 1 ...(1) Aplicamos el teorema del resto: I. x + 4 = 0 & x = -4 En (1): P(-4) = (-4 + 4)(-4 - 5)(-4 + 6)Q(-4) + (-4)2 - 7(-4) + 2 R(x) = 46 II. x - 5 = 0 & x = 5 En (1): P(5) = (5 + 4)(5 - 5)(5 + 6)Q(5) + (5)2 - 7(5) + 2 R(x) = -8 III. x + 6 = 0 & x = -6 En (1): P(-6) = (-6 + 4)(-6 - 5)(-6 + 6)Q(-6) + (-6)2 -7(-6) + 2 R(x) = 80 1 b+1 -b 0 0 1 a b 0 -a -b 0 0 ` Resto = 0 Clave C 2 47. 4 m 0 -5 2m -4 m2 -2 2m 0 -2m 2 m d m - 9 n - _m 2 - 9 i 2 2 2 dm - 9 n 2 m 0 0 ` m2 - 9 = 0 m = ! 3 & m = 3 Clave E Nivel 3 (página 37) Unidad 2 Clave A Comunicación matemática 42. Ordenamos y completamos los coeficientes: 48. 1 Por Horner: 2 4 -1 0 +3 2 -2 0 -5 3 -2 0 2 6 0 -1 -6 0 3 0 -3 4 -2 1 Donde: 1. Q(x) = 2x2 - 2x + 1 2. R(x) = -3x + 4 3. Coef. principal R(x): -3 p 1 1 q 1 p -2p -1 -6 p + q -2(p + q) -2 p q + p q +1 -p q + 1 -p -2(q - p + 1) 0 0 & -1 - 2(p + q) + q + 1 - p = 0 ...(V) ...(F) ...(V) -1 - 2p - 2q + q + 1 - p = 0 3p = -q & -6 - 2(q - p + 1) = 0 Clave D -6 - 2q + 2p - 2 = 0 ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2 13 2p - 2q = 8 2p - 2(-3p) = 8 De (1) y (2): m = p + 5 & n (p + 5) = 1 q+2 m (q + 2) n 2p + 6p = 8 & p = 1 / q = - 3 Clave C 49. 1 1 0 2 0 0 0 … 0 0 0 -n Resolución de problemas 54. Datos: k D(x) = (x - 3)80 + (x - 4)71 + 6 d(x) = (x - 3)(x - 4) 2 -1 Como el divisor es de grado 2, entonces el residuo tiene la siguiente forma: R(x) = ax + b 4 -2 -1 6 -3 8 -4 1 2 3 4 Además: D(x) = d(x)Q(x) + R(x) ... 5 ... 36 -18 0 0 18 & -n + 36 = 0 & n = 36 k - 18 = 0 & k = 18 ` n + 2 = 36 + 2 = 2 k + 1 18 + 1 1 1 0 -1 0 1 0 0 -1 0 0 1 Sea: x = 4 & 7 = 4a + b x = 3 & 5 = 3a + b 0 0 1 0 1 0 0 -1 0 0 0 -2n2 1 -4 4n 2 0 0 1 n 2 1 8 2n 4n & -4 + n = 1 2 n = 5 2 ` n = 10 Clave B 52. Evaluamos x = -y en el dividendo: (3(-y) + 4y)5 - 25(-y)5 - my5 = 0 5 & m = 1 + 2 = 33 Clave D -2 4 5 -4 -2 0 -1 2 0 2 5 -15 5 q -24 8 0 0 8 m - 6 = 5 & m = 16 2 n - 13 = 8 & n = 29 2 p + 5 - 24 = 0 & p = 19 q + 8 = 0 & q = -8 ` m + n + q + p = 56 Clave D 1 ▪▪ m - 1 - 4 = p & m = p + 5 ▪▪ n - 2 = q & n = q + 2 14 Intelectum 1.° 8 Evaluamos en x = 3: 2(3)4 + (a + 1)(3)3 - 18(3)2 - 29(3) + 6 = 0 (a + 1)(3)3 - 81 = 0 a+1=3 ` a=2 Clave C 57. Según el enunciado: y5(1 + 25 - m) = 0 6 -6 p y5 + 25y5 - my5 = 0 3 n 56. 2x4 + (a + 1)x3 - 18x2 - 29x + 6 53. Clave D m 1 2 Clave C x= n 2 4 -3 8 2 Resto = 0 51. Nos piden: ` R(x) = ax + b = 2x - 1 55. 0 0 0 (x - 3)80 + (x - 4)71 + 6 = (x - 3)(x - 4)Q(x) + ax + b Clave B 0 1 Reemplazamos: Resolviendo: a = 2 / b = -1 50. Clave C m n Luego: A(11) = (11 - 9)(11 + 7)(5(11) + b) = 2160 & b = 5 0 -1 -2 -4 -2 2 p q ...(1) ...(2) A(x) = (x - 9)(x + 7)(5x + b) 3.er 2.° 1.er grado A (x) & R(x) = 2160 & A(11) = 2160 x - 11 Donde: A(x) = (x - 9)(x + 7)(5x + 5) Nos piden: A (x) & R = A(+1) x-1 R = A(1) = (1 - 9)(1 + 7)(5(1) + 5) = -640 Clave A Factorización PRACTIQUEMOS Nivel 2 (página 41) Unidad 2 Nivel 1 (página 41) Unidad 2 Comunicación matemática 10. T(a; b) = a17b5(4a2 - 4ab + b2) = a17b5(2a - b)2 Comunicación matemática & FFV 1. 3a = 27 & a = 9; 7b = -49 & b = -7 Clave E 27x2 + 42x - 49 3x 7 " 63x 9x -7 " -21x 42x 2 2 11. A(x; y; z) = xyzw(x + 7)(w - 10)(y - 3)(z - 20) Clave D 2 (a + b) = (9 - 7) = 2 = 4 Razonamiento y demostración 12. 2. -Ax = -3x + 42x = 39x & A = -39 ▪▪ ax + bx + cx = (a + b + c)x Razonamiento y demostración ▪▪ mn2 + m2n + mn = mn(n + m + 1) 3. P(a; b) = (2a) 2 + 2 (2a) b2 + (b2) 2 -1 P(a; b) = (2a + b2)2 -1 P(a; b) = (2a + b2 + 1)(2a + b2 -1) S términos ind. de sus factores primos = 1-1 = 0 ▪▪ a2b - 2ab2 = ab(a - 2b) Clave E 2^ 5 ▪▪ 5a + 5b + 3a + 3b = 8a + 8b = 8(a + b) ▪▪ x3y - x2y3 + x2y = yx2(x - y2 + 1) 3^ 5 4. w x + 3h - t x + 3h ^x5 + 3h^ w2 - t3h ` Un factor primo es: x5 + 3 ▪▪ 2xa - a + 2xb - b = (a + b)(2x - 1) Clave A 2x 1 4x -3 & P(x) = (2x + 1)(4x - 3) ` Un factor primo es (4x - 3) Clave A Clave C 6. 3m4 + 7m2 + 4 = (3m2 + 4)(m2 + 1) 3m2 +4 m 2 +1 ` Un factor primo es: m2 + 1 7. R(x) = 8a3 - x3 = (2a)3 - x3 = (2a - x)(4a2 + 2ax + x2) ` El término independiente del factor primo con mayor coeficiente es: 4a2 Clave E 8. A(t) = t5 + 3t3 + 2t = t(t4 + 3t2 + 2) A(t) = t(t + 2)(t + 1) Scoef.(t2 + 2) = 1 + 2 = 3 m -4 m 1 P(m) = (m - 4)(m + 1) ` S fact. primos = 2m - 3 15. 2x4 + 17x2 + 21 2x2 3 x2 7 (2x2 + 3) (x2 + 7) ` (2x2)(3) = 6x2 Clave C 16. Agrupamos convenientemente: P(x) = x3 - 2x2 - x + 2 P(x) = x2 (x - 2) - (x - 2) = (x - 2)(x2 - 1) = (x - 2)(x + 1)(x - 1) ` Un factor primo es (x - 1). Resolución de problemas 2 14. P(m) = m2 - 3m - 4 Clave E Clave D 2 13. P(a; b) = a2 - 2ab + b2 - 1 P(a; b) = (a - b)2 - 1 P(a; b) = (a - b + 1)(a - b - 1) ` Un factor primo es: a - b + 1 5. P(x) = 8x2 - 2x - 3 t2 t2 & CIC 2 " 2t2 1 " t2 3t2 Clave B 17. F(x; y) = xy(xy + x + y + 1) Clave D 9. a2 - 2ac + c2 - a2 + 2ab - b2 - b2 + 2bc - c2 = xy(x(y + 1) + (y + 1)) = xy(y + 1)(x + 1) 4 factores primos 2 2ab - 2b - 2ac + 2bc (2ab - 2ac) + (2bc - 2b2) (b - c)(2a - 2b) 2(b - c)(a - b) - coef. Clave C 18. H(x) = x4 - 5x2 - 14 Clave E x2 x2 +2 " 2x2 -7 " -7x2 - 5x2 ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2 15 H(x) = (x2 + 2)(x2 - 7) = (x2 + 2)(x + P(x) = y(x + 4)(x + 3) 7 )(x - ` Número de factores primos = 2 7) ` 3 factores primos. Clave B Clave E 4 2 19. S(q) = q - 9q + 18 2 q q 2 5a 3a 3 " 9x 1 " 5x 14x ` Término independiente = 3 2 -3 " -3q -6 " -6q2 2 - 9q2 2 24. 15a2 + 14a + 3 = (5a + 3)(3a + 1) S(q) = (q - 3)(q - 6) Clave B 25. P(x) = x4 - 3x2 + 1 = ^q + 3 h^q - 3 h^q + 6 h^q - 6 h = x4 - 2x2 + 1 - x2 = (x2 - 1)2 - x2 = (x2 - x - 1)(x2 + x - 1) ∑factores primos = 4q Clave D ` Número de factores primos = 2 Nivel 3 (página 42) Unidad 2 Clave B Comunicación matemática 20. 26. M(x; y; z) = xm(xa + yb) + yn(xa + yb) + z p(xa + yb) A) C B) I C) C = (xa + yb)(xm + yn + zp) 21. P(x) = 21x2 + 11x - 2 = (3x + 2)(7x - 1) 3x 7x Clave C Resolución de problemas 2 " 14x -1 " -3x 11x 27. T(m) = (m7 - m4a3) - (m3a4 - a7) Clave D Razonamiento y demostración 22. M(x; y) = abx2 - aby2 + xya2 - xyb2 = m4(m3 - a3) - a4(m3 - a3) = (m3 - a3)(m4 - a4) = (m - a)(m2 + ma + a2)(m2 + a2)(m2 - a2) = (m - a)(m2 + ma + a2)(m2 + a2)(m + a)(m - a) T(m) = (m - a)2(m2 + ma + a2)(m2 + a2)(m + a) = ax(bx + ay) - by(ay+ bx) TI(m = 0) = (0 - a)2 = a2 = (bx + ay)(ax - by) Clave D 23. P(x) = yx2 +7xy + 12y 2 P(x) = y(x + 7x + 12) x 4 " 4x x 3 " 3x 7x 16 Intelectum 1.° Clave C 28. P(x; y) = (x + y)3 - (x + y)2 = (x + y)2(x + y - 1) Casos que se presentan: 1.° (x + y) - (x + y - 1) = + 1 2.° (x + y - 1) - (x + y) = - 1 !1 Clave C Radicación PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 45) Unidad 2 10. S = 16 + 25 + 36 + 49 = 42 + 52 + 62 + 72 Comunicación matemática =4+5+6+7 1. Sabemos: ▪▪ a+b ! 2 ▪▪ 2 a -b ! a = b ▪▪ K = 13 3 a2 - b2 ... (F) a ... (V) b 2. m = 6 = 2 6 = 2 n= 15 = 5 15 = 5 3 p= 27 = 3 3 = 3 3 3 & mn = p K = 2 3 + 10 3 + 5 3 - 4 3 a2 - b2 a2 - b2 = & 2 - 8 +3 3 -6 9 2 + 2 -2 2 +3 3 -3 3 = 3 =0 Clave A 13. E = 5 30 + 40 + 50 + 60 5 1 E = 6^1 + 1 + 1 + 1h5 @ 5 2 E = (1 + 1 + 1 + 1 ) = 4 Clave E Razonamiento y demostración 30 + 23 - 33 + 18 14. 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 1 + 22 + 32 + Clave C 12. 4 4 + Clave A 3. E = Clave C 11. K = 4 . 3 + 3 . 100 + 3 . 25 - 3 16 a . b ... (V) a.b = ▪▪ a + b ... (F) a+b = & ` S = 22 a+ b 1 + 8 - 27 + 18 = 0 = 42 + 52 Clave B = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 Clave C 4. P = 3 125 . 3 64 = 3 Clave B 9 + 16 Clave B 6. A = 6+ 9 ` 6+3 = 17. M = 2.25 + 2 2 + 2.9 - 2.100 M = 5 2 + 2 2 + 3 2 - 10 2 9 =3 Clave A M = 10 2 - 10 2 = 0 20 + 21 + 22 + 23 + 1 3 . 2 . 24 = 3 . 2 . 3.8 = = 3 . 3 . 2 . 2 .2 = 3.2.2 Clave D Resolución de problemas 1 + 2 + 4 + 8 + 1 = 16 = 4 Clave C 9. R = 49 = 7 M = 5 2 + 2 2 + 3 2 - 10 2 3 2 = 1 + 3 + 9 + 27 + 9 = Clave C Clave A 6+ 7+ 4 = 8. = 1 . 4 + 9 . 16 = 1 . 2 + 3 . 4 = 2 + 12 = 14 30 + 31 + 32 + 33 + 9 16. 1 = 25 = ^52h2 = 5 7. =2+2+2=6 Clave A 5. 32 + 42 = 1 1 = 2 + ^23 h 3 + ^2 4 h 4 53 . 3 43 = 5.4 = 20 4 + 3 8 + 4 16 15. 18. E = 3 . 2 . 3 .2 2 ^a + b h a - b + ^a - b h a+b a2 - b2 ^a + bh2 ^a - bh E= ` R = 12 a+b + a+b a-b ^a - bh2 ^a + bh ^a - b h a2 - b2 Clave C ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2 17 a2 - b2 + a2 - b2 = 2 a2 - b2 = 2 a2 - b2 a2 - b2 E= 3 1 + 9 27. P = 3 8 27 = 1 +2 = 3 =1 3 3 3 Nos piden: Clave B (E - 1)2 = (2 - 1)2 = 1 Clave C 19. M = 64 + 3 - 10 + 2 + 5 = 64 = 8 1 1 1 28. 3 8 + 3 27 + 3 125 = ^23h3 + ^33h3 + ^53h3 = 2 + 3 + 5 = 10 T = 30 + 64 - 5 - 4 - 4 = 81 = 9 Clave A Nos piden: M2 + T2 = 82 + 92 = 64 + 81 =145 Clave C Nivel 2 (página 46) Unidad 2 1 20. 21. 3 - 64 & -5 < -4 343 3 1000 & 7 < 10 3 . 27 4 3 - 125 3 3 5 30 b3l 4 3 312 & 9 > 36 m n p 40 25 9 P= 2.2.4.2 P= 32 m.n.p a 32 4 x y x32 y4 32 4 1 32. Introducimos al operador radical el factor x + 1 al cubo: 3 2 c m 5 = 5 - 3 = 25 - 9 = 16 3 5 15 15 8 +3 27 P = xy 8 Clave C 9 25 2 x-1 Clave C 27 64 3 2 3 c m +3 c m 3 4 140 3 100 3 3 26. M = 8+ M= 3 23 + 3 33 + 3 43 27 + 3 3 x - 1 # (x + 1) x + 1 (x - 1) 3 (x + 1) 2 (x - 1) 2 9 +3 16 8 = 27 1 1 3 2 2 3 3 2. 2 3. c m +3 c m = c m 2 +c m 3 4 3 4 3 = 3 + 2 = 9 + 8 = 17 4 3 12 12 Clave B 1 = Clave A Clave C 1 + 9 34. M=2+3+4=9 18 Intelectum 1.° F=3 33. 64 x-1 x+1 c m x+1 x-1 Clave C 140 3 F=3 Clave A 20 = 3 100 3 20 7 M = 35 = 37 .3-5 = 32 = 9 3 3 Simplificamos: F = 3 3 = 2 + 3 = 8 + 9 = 17 3 4 12 12 25. M = 20 a = P = x 32 y 32 = c 5 m 3 3 2 31. Sabemos que: Clave E = 2 Clave A 125 & 3 < 5 4 2 8 P = 2x2 24. E = 3 2 A = 24 3 = x 36 + x 20 = x2 + x2 23. E = 2 10 + 2 10 2 + 2 + 10 - 2 10 2 + 2 A = 10 + 2 20 + 2 + 10 - 2 20 + 2 x72 + 20 x40 72 Clave B 30. A = Razonamiento y demostración 22. P = 1 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Comunicación matemática 3 1 29. 3 1 + 3 8 + 3 27 + 3 64 = 1 + ^23h3 + ^33h3 + ^43h3 ^3 1 2h 2 1 = 25 + 1 ^5 1 2h 2 1 + 32 1 52 =1+1 = 8 3 5 15 Clave C 9 + 4 35. E = 32 + 22 E= Nivel 3 (página 47) Unidad 2 16 9 Comunicación matemática 42 = 32 3 2 c m + 2 E = 3 + 4 = 9 + 8 = 17 2 3 6 6 36. P = 3 8 - 3 27 + 3 64 = 3 23 - 3 33 + 3 43 42. ▪ Homogenización de radicales. 4 2 c m 3 Clave C Clave C 37. 3 64 + 3 216 + 3 125 = 3 4 + 3 3 6 + 3 5 Clave C Razonamiento y demostración 44. 2x = 4 16 3 2x = 21 Clave D 2 38. K = `^2 6 h - 2.2 6 . 3 + ` x=1 2 3 j + 4 18 Clave E K = 24 - 4 18 + 3 + 4 18 K = 27 Clave E 4.2b & N = 2a 3a 2b 2b N= a b N= 45. 16 = 2x + 2 4 1 ^ 2 4 h 4 = 2x + 2 21 = 2x + 2 & 1=x+2 ` x = -1 2b 3a a 2 . 2b b 2 3a 2b = 3a Clave B 46. M = 2a 3b 4 16 + 4 81 + 4 1 = 4 24 + 4 34 + 4 1 M=2+3+1=6 Clave C Resolución de problemas Clave E 40. Si es cuadrado perfecto, entonces: Polinomio = P 25x20 + lx18 + 4x16 - 70x10 - 28x8 + 49 5x10 2x8 10 8 5x 18 2x 10 8 47. E = 35 + 410 - 9 33 48 = 32 + 42 - 9 = = 16 = 4 -7 -7 10 4 2x = 4 24 = 2 4 = 21 = 4 + 6 + 5 = 15 39. N = a Raíz de una fracción. Raíz de raíz. Raíz de un producto. Introducción de factores en un radicando. Reducción de radicales semejantes. Simplificación de radicales. Exponente fraccionario. 43. Son correctas II y IV. =2-3+4=3 3 ▪▪ ▪▪ ▪▪ ▪▪ ▪▪ ▪▪ ▪▪ 8 9 + 16 - 9 Clave D 18 lx = 5x . 2x + 5x . 2x = 20x & l = 20 Nos piden: l2 = (20)2 = 400 48. n ^22 + 23 + 24h Clave A n = 22 + 23 + 24 = 4 + 8 + 16 = 28 41. De la expresión: m+ n - m- n -3 = 0 49. M = Elevamos al cuadrado miembro a miembro: 32 = 2 k + 2 16 2m - 2 m2 - n = 9 M = 22 + 22 = 4 + 4 = 8 m2 - n = 9 2 2 2 bm - 9 l = _ m2 - n i 2 m2 - 9m + 81 = m2 - n 4 n = 9m - 81 4 ` 4m - 9 = 4n 9 22k + 16 232 2k m + n - 2 m2 - n + m - n = 9 m- k Clave C 36 + 49 + 81 + 100 4 + 9 + 16 - 1 50. 62 + 72 + 92 + 102 22 + 32 + 42 - 1 = Clave C Clave B = 6 + 7 + 9 + 10 = 32 = 4 8 2+3+4-1 ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2 Clave B 19 51. P = 5 P= 5 a20 b25 = 5 a20 .a-10 .b25 .b-15 a10 b15 10 3 81 + 8 + 25 + 10 - 1 + 2 M= 3 125 = 5 Clave D a10 .b10 = 5 ^abh10 = ^abh 5 = ^abh2 Clave B 52. S = 8 2 + 4 + 256 - 10 - 16 + 20 S= 8 256 = 8 28 = 2 57. Simplificamos: K = 3 20 + 14 2 Clave C 53. N = 3 2 + 63 3 16 + 8 3 81 N= 3 2 +6 3 3 24 + 4.2 3 34 N= 3 3 2 +6 . 2 3 3 3 2 + 43 3 N = 3 . 33 N = 33 1 - 43 12 1 - 2.2 3 12 23 - 2. 3 12 2 +43 3 2 +43 3 9.23 - 3 18 4 c-d = 6-5 = 30 2 2 2 2 ^ 3 4 5h +^ 2 4 7h + 2 = ^ 3 4 5 h + ^ 2 4 7 h + 2^ 3 4 5 h^ 2 4 7 h = ^ 3 4 5 + 2 4 7h = 2 5 & cd = 1 6 1 30 Nos piden: 2 2 ab _b + a i E = a2 b + b2 a = cd _c - d i c d-d c 3 2 .4 7 4 5 Reemplazamos: 5 E = 6 = 5 30 1 6 30 ` E=5 5 Clave E 34 5 + 24 7 59. x = 1 ; a b 2 = 4 45 + 4 28 Clave D bE a x = 1 ca-bm 2 ab Nos piden: 55. Sabemos que: 24 6 / d= 5 c= = 3 & ab = 1 2 a+b = 2+3 = 5 6 6 2 - 2 3 18 - 3 18 3 54. 3 5 + 2 7 + 2 6 35 3.4.5 2 / b= 3 58. a = 2.33 - 3 3 18 = 3 3 18 - 3 3 18 3 6.8.10 ]20g2 - ^14 2 h Resolución de problemas Clave C & M= 2 3 Clave E 9 - 3 18 4 2 - 3 3 18 3 a = 20 - 14 2 =3 8 =2 N=0 m n p = 9 - 3 18 4 2 - 3 3 18 3 N = 93 3 = 3 ^20 + 14 2 h^20 - 14 2 h N= 56. M = m.n.p V= a a24 = a3 480 60 a24 a3 1 20 480 M= a 3 = a1 =1 a 60 a 20 ` M=1 Clave D 20 Intelectum 1.° x2 + 1 V= 1 a-b 2+1 4 c ab m V= 1 c a2 - 2ab + b2 m + 1 4 ab V= a2 + 2ab + b2 = 4ab V = a+b 2 ab ^a + bh2 4ab Clave C Racionalización 10. Racionalizamos PRACTIQUEMOS Comunicación matemática 1. Falso: F Denominador (m = 5) = 5 - 9 = -4 + Denominador (m = 7) = 7 - 9 = -2 -6 Al factor racionalizante se le denomina conjugado y no opuesto del denominador. Verdadero: V Si, se puede racionalizar a los numeradores; pero lo común es racionalizar denominadores. Por teoría, en la racionalización de fracciones de la forma. se debe cumplir: a > b. a Comunicación matemática A) A cb Clave D 2. Razonamiento y demostración 8 = 8 2 =8 2 = 4 2 3.2 3 3 2 3. 2 . 2 Clave A Nivel 2 (página 51) Unidad 2 11. Falso: F 3. m -3 = m -3 1 e o m-9 m +3 m -3 1 = m +3 Nivel 1 (página 51) Unidad 2 7 5 = 53 7 7 54 = 7 625 (V) 5 e o 3 7 54 5 7 +1 = 6 e o 7 -1 7 +1 B) 6 = 7 -1 C) - 10 = 5- 6 D) 1 10 7 + 1 (V) - 10 5 + 6 = 10^ 5 + 6 h (F) e o 5- 6 5+ 6 4 = 1 - 2 = - 10 (V) 10 10 10 Lo incorrecto es la alternativa C. Clave E Clave C 4. 5. 6. 12 = 12. 3 = 12 3 = 2 3 2.3 2 3 2. 3 . 3 3 2 .3 9 = 3 3 3 9 Clave C 5 +2 1 = = 5 - 2 ( 5 - 2) ( 5 + 2) 1 = 5 -2 2 = 8 13. A = 3. 3 3. 3 14. M = Clave A 5 +2 = 5 +2 2 5-4 5 - 22 15. A = A=   conjugada ` Clave C Razonamiento y demostración 18 3 (3 + 7 ) 2 (3 + 7 ) 2 = = 3+ 7 # (3 - 7 ) (3 + 7 ) 32 - 7 7. 8. 3 12. Revisando la teoría Clave D 5 +2 A= Clave C 2 8 =2 8 = 8 =2 2 = 2 8 4 4 2 8. 8 9. = 2 Clave C 5 2 +3 2 = 5 2 +3 2 = 8 2 =4 2 2 2 2 2 2. 2 Clave D 16. Clave E 2 2 5- 2 2 2 . 5+ 2 5- 2 5+ 2 2 2 ( 5 + 2) 5-2 10 + 2 = 3^ 10 + 2h 3 e o 10 - 4 10 - 2 10 + 2 3 ^ 10 + 2h = 6 3- 3 =0 A = 2 10 + 4 3 Clave A ( 15 - 10 ) 5 # ( 15 + 10 ) ( 15 - 10 ) Resolución de problemas 3 = 10 - 2 - 3 = 3. 3 - 3 = 3 = 5 ( 15 - 10 ) = 15 - 10 5 Clave E 17. S = 5 + 7 3 10 + 2 2 3 3 = 5. 3 + 7 3 = 5 3 + 7 3 = 12 3 3 3 3 3 3. 3 Nos piden: 4(2) = 8 Clave E S=4 3 Clave E ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2 21 18. V = 16 - 8 2 III. 2 V = 16. 2 - 8 2 = 16. 2 - 8 2 2 2. 2 3 Clave E 19. 1 = a b c d 7 5 2 3 = 7 a2 b5 c4 d6 1 e7 2 5 4 6 o a b c d a b c d 7 5 2 3 7 2 5 4 6 a b c d abcd = 1 m 5 3 7 5 15m 1 = 15m 7 5 e 15m 715m - 5 = o 715m - 5 15m 715m - 5 7 Clave B = 11 - 2 9 e o 11 + 2 11 - 2 9 _ 11 - 2 i = 11 - 2 11 - 2 8 _ 11 + 3 i = 11 + 3 11 - 3 < 11 - 2 11 + 3 Razonamiento y demostración Por dato, la cantidad subradical es de la forma: 23. = 3. 3 7tm - p = 715m - 5 3. 3 & t = 15 p = 5 + 2^ 5 - 3 h ^ 5 + 3 h^ 5 - 3 h 3. 3 + 2^ 5 - 3 h 2 2 3 ^ 5h -^ 3h Nos piden: t = 15 = 3 p 5 3+ Clave C 2^ 5 - 3 h = 5-3 Nivel 3 (página 52) Unidad 2 = 3+ 2^ 5 - 3 h 2 3+ 5- 3 = 5 Comunicación matemática 21. 4 ab3 c 3 a < 11 + 3 8 8 = d n 11 - 3 11 - 3 11 + 3   / exp. de denominador (abcd) = 1 + 1 + 1+ 1 = 4 20. 9 = 11 + 2 IV. Resolución de problemas 4 = 3 43 ab c a a 4 b9 c3 4 a2 b3 c 3 a V = 8 2 -8 2 = 0 4 = 2 34 3 a b c a a7 b 9 c 3 3 Clave D 15 I y II. Son incorrectos, el índice debe ser mayor que el exponente de la base en 24. ^ 5 + 2 h^ 7 - 2 h + 14 - 35 el radicando para racionalizarlos. 15.^ 5 - 2 h .^ 7 + 2 h III. Incorrecto, la racionalización se realiza multiplicando numerador y = + 14 - 35 denominador con la conjugada del denominador. ^ 5 + 2 h^ 5 - 2 h^ 7 - 2 h^ 7 + 2 h IV. Correcto, el índice si es mayor con cada exponente de los factores en el 15^ 5 - 2 h^ 7 + 2 h radicando. = + 14 - 35 ^5 - 2h^7 - 2h 22. I. 7 = x3 y 2 7 7 7 7 7 = x2 y 4 5 x y 7 x 4 y5 7 7 x 4 y5 7 = f p xy x3 y 2 7 x 4 y5 7 x2 y 7 7 < f7 7 5 6 x y x5 y6 p= 7 3+ 2 = 1 e o 3- 2 3+ 2 3- 2 1 1 = d n 3+ 2 3+ 2 3- 2 = 3- 2 = 3- 2 3-2 > Clave A 25. A = 17 - 5 3 = 17 3 - 5 3 3 x y 3+ 2 = 35 + 10 - 14 - 2 - 35 + 14 = 10 - 2 5 6 1 = 3- 2 3+ 2 = 3-2 3+ 2 3 3. 3 3 A = 17 3 - 5 3 = 12 3 = 4 3 3 3 3 Clave C 26. Dando forma: 6+2 3 = 2 3 - 3 2 3 ^ 3 + 1h 3 ^ 3 - 1h Racionalizamos: 2^ 3 + 1h^ 3 + 1h = ^ 3 - 1h^ 3 + 1h 3- 2 22 Intelectum 1.° 15^ 35 + 10 - 14 - 2h - 35 + 14 3.5 5 6 7 x y xy II. = 3 +1 Clave B MARATÓN MATEMÁTICA (página 53) 27. ^5 - 24 h^ 75 + 50 h 1. 75 - 50 5^5 - 2 6 h^ 3 + 2 h^ 3 + 2 h 5^ 3 - 2 h^ 3 + 2 h = II. Desarrollamos: 2 6 6 Nos piden: 7 4 A =c = 4 7 7 84 = 4 7 84 = 4 e o 3 7 8 84 8 4 7 7 4 7 4 84 m = e 8 o = 2 2 4 4 4 4 = 23 4 8 = 27 7 84 2 Trinomio cuadrado (a - b)2 Clave B 2 Clave B 3. Factorizamos por aspa simple: Clave C ^8 - 2 15 h^ 5 + 3 h 1 5- 3 ^8 - 2 15 h^ 5 + 3 h = = = = 64 - 60 = 4 = 2 2 2 1 5- 3 e 5+ 3 o 5+ 3 M 0 0 Por el teorema del resto: x2 - 1 = 0 & x2 = 1 Damos forma a la división: (exacta) & N + 28 = 0 N = -28 M ` = 14 = - 1 N - 28 2 ^8 - 2 15 h^8 + 2 15 h 2 & 3(x2)9 + 7(x2)5 + x2 Reemplazamos x2 = 1: R(x) = 3(1)9 + 7(1)5 + 1 = 11 M = 14 2 18 10 2 10. 3x +27x + x x -1 N 0 -14 28 7 M - 14 N + 28 & M - 14 = 0 ^8 - 2 15 h^5 + 2 15 + 3h Nos piden: 2 + 1 = 3 0 Clave C Clave A 11. Se observa que -3 es cero del polinomio, dividimos por Ruffini. 1 5. Por el método de Horner. 1 1 2 -1 0 -2 -2 -2 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 -2 Clave A 4 3 7-2 7 5 +5 Clave D 4. Dividimos aplicando Horner. 2 ^ 7 - 5h = 12 - 2 35 Clave C 7 7 2 45 -2 -2 4 4 0 2 ^ 7+1+2 7$1 - 5+1+2 5$1h & a=7 y b=1 `a-b=7-1=6 2 4 2 4 e4 o= 2 2 23 9. ^ 8 + 28 - 6 + 20 h ^ 7 + 1 - ^ 5 + 1 hh 7x2 - 5x - 2 7x +2 x -1 (7x + 2)(x - 1) / (ax + 2)(x - b) 8 24 ·23 4 =24 2 30. -2ab + a2 + b2 & (b + c - a)(y - x)(y + x) ` Posee 3 factores primos. Resolución de problemas (a - b) 2 (a + b) 2 + 2b2 + (a + b)(a - b) 2 2 - 4ab + 2b2 + a2 - b2 2 (V) (y - x)(y + x) Clave D 7 8. & (b + c - a)(y2 - x2) T = 63 - 27 = 36 7 3+ 2+ 2- 3 =2 2 Factorizamos: (b + c - a) 6 T = 9.7 - 3 2 = 9.7 - 33 4 = 83 & En la expresión: 2. -(b + c - a)x2 + (b + c - a)y2 6 T = ^3 7 h - ^ 3 h 29. A = ^4 2 - 4 3 h (4 2 + 4 3 ) = ^ 2 - 3 h (diferencia de cuadrados) Clave B V. 6 + 7 + 8 = 21 6 T = ^4 7 - 7 h - ^ 3 h 2 6 1 -8 7 8 8 0 IV. P(x) = 6x + 7x + 8 & P(6) = 6 . 62 + 7 . 6 + 8 = 266 (F) T = c 28. 7 - 7 7 m - c 3. 3 m 7 7 3 2 1 6 7 2 3. 3 2 6 III. (V) 28. T = e 28. 7 - 7. 7 o - e 3. 3 o 7. 7 1 6x + 7x + 8 = 6x2 + mx + 8 / P(x) & m = 7 (V) Clave B 5 + 24 = 5 + 2 6 = 3 + 2 (radical doble) 2 ^5 - 2 6 h^5 + 2 6 h = 25 - 24 = 1 7. 7 7. I. V 2 -3 1 5 3 -9 -3 -6 9 2 -3 0 & El polinomio es: (x2 + 2x - 3)(x + 3) 3 x x -1 Clave A (x + 3)(x - 1)(x + 3) = (x + 3)2(x - 1) factor de & x +22x - x - 2 = tiene por resto -2. x + 2x - 1 6. 6 + 3 proviene de: (6 + 3) + 2 6 $ 3 = 9 + 2 18 Clave C multiplicidad 2 ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2 Clave C 23 Unidad 3 Ecuaciones de 1.er grado - Planteo de ecuaciones 9. 5x + 3x - 3 = 4x - 8 PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 58) Unidad 3 Comunicación matemática 8x - 3 = 4x - 8 1. 2. C F Y B N J A C I O N K O Z S T A R D Q D A D L A U G I C A W I T A Y I P Q C G R S Z I X H C D E C K T L D T R A S D K N V B V F C H A B G L F B E I O S E R P E I N Q X F R M N X I N O I C I S O P S N A R T S C I D E N O E I N K F N A I L A C A X Z J B C Y A Q U V D T U D P L E C U A C I R G L A H C E F O S P H R O R M I V D Y E A D W M L G R P N A T A N J O I N C O G N I T A I R G Q T K H X J Z M E I V Y G I H S Z N E T N E D N E C S A R T J M I. (V) 2x + 3 = 28 - 3x 2x + 3x = 28 - 3 5x = 25 x=5 II. (V) III. (F), la ecuación inicial NO presenta variables en su denominador. 4x = -5 & x = - 5 4 10. 6x + 15 = 8x + 10 + 9 15 - 19 = 8x - 6x -4 = 2x & x = - 2 Clave C 11. Resolviendo: 8x - 5 = 1 + 3 + 5 + 2 3 8x = 16 & x = 6 3 ` CS = {6} Clave A 12. -8 + 9 - 18 = 7x - 4x -17 = 3x ` x = - 17 3 4(x - 1) + 2(x + 3) - 5(x - 1) = 10 4x - 4 + 2x + 6 - 5x + 5 = 10 x=3 ` CS = {3} Clave A Resolución de problemas Razonamiento y demostración 14. Sea el número: x 3. 3x + 2 + x + 1 = 2x + 4 + x + 3 x + 8 = x = 5x 3 3 5 4x + 3 = 3x + 7 4x - 3x = 7 - 3 ` x=4 Clave E 4. 6x - 12 = 2x + 8 & 3x + 24 = 5x 24 = 2x ` 12 = x Clave B 6x - 2x = 8 + 12 4x = 20 & x = 5 5. x - 5 = 24 & x = 29 Clave A 13. Resolviendo: Clave C Clave B Clave A t + s . (A) = v 15. Costo Kilómetro de los adicional primeros r kilómetros Clave D 6. 4x + 9 = 3x - 3 A = v-t s x = -3 - 9 & x = -12 `r+A=r+ Clave A 7. 4x + 12 = 9x + 7 ^ v - th s Clave B 5 = 5x & x = 1 Clave C 8. 3x + 6 - 20 + 35x = 8 38x - 14 = 8 38x = 22 & x = 11 19 24 Intelectum 1.° Clave E 16. Del ABC, se cumple: θ - 30° + q = 90° c m 2 q = 80° θ - 30° = 10° 2 Clave C Nivel 2 (página 59) Unidad 3 24. x - 3x = x - 6 2 Comunicación matemática 5 2 5x - 6x = 5x - 30 17. I. (F) 9x - 5 = 4x + 7 3 2 3x - 5 = 2x + 7 6x = 30 x=5 Clave E 3x - 2x = 5 + 7 x = 12 3-x = 8 4-x 7 25. II. (F) 9x = 3x; 4x = 2x 3 2 7(3 - x) = 8(4 - x) 21 - 7x = 32 - 8x 8x - 7x = 32 - 21 III. (V) x = 11 La ecuación propuesta no es una identidad, por consiguiente es una igualdad condicional. Clave D Clave C 26. Resolviendo: 7x + 3 = 24 2 18. & 7x = 21 & x = 6 2 Razonamiento y demostración 19. Resolviendo: ` CS = {6} 6x - 1 = 17 5 6x = 18 & x = 15 5 Clave B 27. ` CS = {15} 2 x2 + 6x + 9 - 5x = x2 + 15 x - x2 + 6x - 5x + 9 = 15 x + 9 = 15 Clave E x = 15 - 9 20. Resolviendo: ` x=6 x -1 - 4 = 2 3 x -1 = 6 & x = 19 3 Clave B Resolución de problemas 28. Costo de camisas: C ` CS = {19} Costo de pantalones: C + 13 Clave D & 15(C + 13) + 7C = 415 15C + 195 + 7C = 415 21. 2x - 3 = 11 x+1 8 22C = 220 8(2x - 3) = 11(x + 1) 16x - 24 = 11x + 11 ` Un pantalón cuesta: C + 13 = 10 + 13 = S/.23 16x - 11x = 11 + 24 C = 10 5x = 35 Clave C ` x=7 Clave E 29. 2.° + 22. x2 + 4x + 4 - 3 = x2 + 17 α 4x + 1 = 17 4x = 17 - 1 4x = 16 1.er + ` x=4 Clave E 23. (x + 7)(x + 1) = (x + 2)(x + 5) 8x - 7x = 10 - 7 x=3 18° + Cα 3.er + De la figura: (a - 12°) + a + (18° + 90° - a) = 180° x2 + 8x + 7 = x2 + 7x + 10 α - 12° a = 84° a - 12 = 72° 18° + Ca = 24° Ca: complemento de a Clave E ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3 Clave D 25 15(2x + 1) = 5 . 2 Nivel 3 (página 59) Unidad 3 Comunicación matemática 2x + 1 = 2 3 30. 31. LA INCONTRASTABLE 2x = 2 - 1 3 2x = - 1 & x = - 1 3 6 Clave C A la ciudad que se le conoce con este nombre es: HUANCAYO. Clave E Razonamiento y demostración 38. Aplicando la identidad (a + b)2 / a2 + 2.ab + b2 en ambos miembros: 32. MCM(3; 7) = 21 21 c 2x - 4x = 4 m 3 7 x2 + 2 . x . 5 + 52 = x2 + 2 . x . 3 + 32 + 36 Eliminamos los términos repetidos en ambos miembros: 14x - 12x = 84 x2 + 10x + 25 = x2 + 6x + 9 + 36 2x = 84 ` x = 42 Transponemos terminos agrupando en un miembro todas las incógnitas y en el otro todas las cantidades conocidas: 10x - 6x = 9 + 36 - 25 & 4x = 20 Clave B 33. ax - 1 = a 1 - bx ` x=5 b Clave E b(ax - 1) = a(1 - bx) 39. Del enunciado: abx - b = a - abx 16x - 20 - 20x2 + 25x = 70x - 20x2 - 21 + 6x abx + abx = a + b 2abx = a + b `x = a + b 2ab Clave A x +4 34. 2 = 13 + 8 5 x + 4 = 105 & x = 101 2 2 40. 1 = 35x ` x = 1/35 2 Clave C (x - 2)2 = (x + 3)2 + 5 x - 4x + 4 = x2 + 6x + 9 + 5 -9 - 5 + 4 = 6x + 4x -10 = 10x -1 = x Clave E 35. Resolviendo: Clave B Resolución de problemas 3x - 6 = 3 4x + 3 5 41. n.º muebles: 4m vende: 1 ^4mh = m 4 Multiplicando en aspa: 15x - 30 = 12x + 9 3x = 39 x = 13 ` CS = {13} n.º muebles que quedan: 4m - m = 21 3m = 21 m=7 n.º muebles: 4(7) = 28 ` Tenía 28 muebles. Clave E 36. Resolviendo: Clave D 3x + 4 = 7 -1 = 8 c m 2x + 1 8 7 2.°+ 42. Multiplicando en aspa: 21x + 28 = 16x + 8 5x = -20 & x = -4 ` CS = {-4} Clave C 26 Intelectum 1.° ` x = 202 2 37. 2x + 1 = 7 5 15 7 2x + 1 = 7.2 = 2 5 15.7 15 41x - 20 = 76x - 21 α er 1. + α + 6° 3(6°+ 2α)-4° 3.er + La suma de las medidas de los ángulos internos es 180°: (a + 6°) + a + 3(6° + 2a) - 4° = 180° & a = 20° a + 6 = 26° 3(6° + 2a) - 4° = 134° Clave E Sistema de ecuaciones lineales 10. 6x + 8y = 60 PRACTIQUEMOS (+) 6x - 8y = 12 12x = 72 & x = 6 Nivel 1 (página 63) Unidad 3 Comunicación matemática 1. A E J B E K Y C I F Z J A F N O I C A L A U G I M L R G H D B F S C O G T L H S N O I C U T I T S U S X U I P X M E H P N E Q N G S P D E R J D O V R O D T T Q S Y D T I Y N Q W O Z Q S U S T C N R W D E R L Z M S T C M Z L U I V W A X B A U A C V C Y Z K R U L R D U F I G U A L G H G X E U I B S J V T K R S I R W K R E D U C C O N P W Clave A 11. 2x - y = 4 ...(1) x + y = 5 ...(2) Sumamos (1) y (2): 3x = 9 & x = 3 Reemplazamos x = 3 en (2): 3+y=5&y=2 ` xy = 6 Clave C Resolución de problemas 12. A - B = 328 A B 20 12 & . A = 12B + 20 A - B = 328 A - 12B = 20 (-) 11B = 308 B = 28 & A = 356 2. ` A + B = 356 + 28 = 384 Razonamiento y demostración 3. x + y = 5 x - y = 1 (-) 2y = 4 & y = 2 13. A + B = 103 Clave A 4. x + y = 20 x - y = 8 (-) 2y = 12 ` y=6 5. x + y = 3 5x - 2y = 8 Clave C 2x + 2y = 6 (+) 5x - 2y = 8 4x - 3y = 18 8x = 48 ` x=6 A B 5 13 . A = 13B + 5 A + B = 103 (-) A - 13B = 5 14B = 98 B = 7 & A = 96 ` n.º mayor es 96. 7x = 14 `x=2 6. 4x + 3y = 30 & & Clave B Clave C Clave C Nivel 2 (página 64) Unidad 3 Comunicación matemática (+) 14. Resolución: ▪▪ Del dato: Clave D 4(a + b = 3) 5a - 4b = 24 (+) 4a + 4b = 12 9a = 36 & a = 4 Clave E (+) x - 3y = 2 2x = 10 & x = 5 x2y - 1 = 321 0 x2y - 1 = 25 x = 32 x=2 & 2y - 1 = 1 & 2y - 1 = 5 y=1 0 y=3 ▪▪ Los valores de y pueden ser 1 ó 3. ` I y III Clave C Clave B 9. x + y = 60 (-) x - y = 24 2y = 36 & y = 18 x # y = 32 x2y - 1 = 32 ▪▪ Como x e y tienen que ser enteros positivos, entonces existen dos posibilidades: 7. 5a - 4b = 24 8. x + 3y = 8 15. Resolución: ▪▪ Del enunciado: El triple del menor excede en 12 al mayor Clave B 3y = 12 + x ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3 27 Dato: x: mayor y: menor x > y & x + y = 84 3y = 12 + x 23. 3m + 2n = 24 2(5m - n = 27) Luego: 3m + 2n = 24 10m - 2n = 54 (+) 13m = 78 & m = 6 Clave III Razonamiento y demostración 16. 7x - 5y = 23 5(2x + y = 9) 7x - 5y = 23 & 10x + 5y = 45 (+) 17x = 68 &x=4 24. Clave A Clave D 9y + 2x = 42 2(7y - x = 25) & 9y + 2x = 42 (+) 14y - 2x = 50 23y = 92 & y = 4 17. 2(3x - 5y = -11) -3(2x - 8y = -26) & 6x - 10y = -22 -6x + 24y = 78 Clave D (+) Resolución de problemas 25. A - B = 40 / A > B 14y = 56 & y = 4 A - 4 = 4B & A - B = 40 A - 4B = 4 Clave B 18. 8x + y = 2 -2(4x - 3y = -34) 8x + y = 2 (+) -8x + 6y = 68 7y = 70 & y = 10 3B = 36 B = 12 & A = 52 ` A . B = 52 . 12 = 624 19. 9b - 2a = 17 12b + a = 41 Clave A Dinero que tengo: T Del enunciado: 15 . P = T + 10 (-) 10 . P = T - 15 ...(1) ...(2) 5P = 25 P = 5 & T = 65 ` Dinero que tenía: S/ 65 Clave C 6x - y = 51 ...(1) ...(2) Comunicación matemática 28. Clave A ...(1) ...(2) 28 Intelectum 1.° Igualando obtenemos: 18x + 27 = 65 - 20x 38x = 38 x=1 Hallamos y: y = 18x + 27 = 3 15 Piden: x2 + y = 1 + 3 = 4 Multiplicamos por 3 a (1): 36x - 3y = 150 (+) 8x + 3y = 70 44x = 220 x=5 …(1) …(2) De (1): y = 18x + 27 15 De (2): y = 65 - 20x 15 Multiplicamos por 3 a (1) y por 2 a (2): 24m - 6n = 60 (+) 14m + 6n = 130 38m = 190 m=5 8x + 3y = 70 Razonamiento y demostración 29. 18x - 15y = -27 20x + 15y = 65 ...(1) ...(2) 22. 12x - y = 50 Clave D 27. Clave C 7m + 3n = 65 Nivel 3 (página 65) Unidad 3 Multiplicamos por 4 a (2): 5x - 4y = 14 24x - 4y = 204 (-) -19x = -190 x = 10 21. 8m - 2n = 20 Clave B 26. Precio del chocolate: P Multiplicamos por 4 a (1) y por 3 a (2): 36b - 8a = 68 (-) 36b + 3a = 123 -11a = -55 a=5 20. 5x - 4y = 14 (-) Clave D Clave D y 30. x + = 1 & y = b1 - x l b a x - y = 1 b a & y = b x - 1la b a b Reemplazando (1) en la ecuación (2): 2x + 3(10 - 4x) = 0 2x + 30 - 12x = 0 30 = 10x Clave D Entonces: b - bx = ax - a b a 34. 5(6a + 7b = 15) 7(8a - 5b = -23) a + b = d a + b nx b a 2 30a + 35b = 75 86a = -86 ab ab _a + b i ` a = -1 Clave C a2 + b2 Resolución de problemas ` El numerador de x es: ab(a + b) Clave A 31. 4x + 5y = 25 ...(1) 7x - y = 34 ...(2) ...(1) _x + 1i 2 x + 1 = 2y - 2 ...(2) Mi hermana: (y - 1) = 39y = 39 ` y=1 Clave E (1) en (2): x + 1 = 2(2x) - 2 x + 1 = 4x - 2 3 = 3x 1=x & y=2 ` Son 4 hijos en total: x + y + Pedro = 1 + 2 + 1 = 4 ...(1) 3x + y = 11 & y = 11 - 3x ...(2) Reemplazamos (2) en la ecuación (1): Clave B 36. 5x - 4y = -14 …(1) 2x + 3y = k Dato: y = 3x 6x - 4(11 - 3x) = 10 6x - 44 + 12x = 10 18x = 54 ` x=3 Clave D 33. 4x + y = 10 & y = 10 - 4x ...(1) 2x + 3y = 0 Hermanas x y Tengo: y = 2x 7(4x + 5y = 25) & 28x + 35y = 175 (-) 4(4x - y = 34) & 28x - 4y = 136 32. 6x - 4y = 10 35. Hermanos Pedro dice: 7(1) - 4(2): (+) 56a - 35b = -161 2 a + b = d a + b nx & x= ` x=3 ...(2) …(2) Reemplazamos en (1): 5x - 12x = -14 -7x = -14 x=2 Reemplazamos en (2): 2x + 3(3x) = k & k = 11x = 11(2) = 22 ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3 Clave E 29 ECUACIONES DE 2.° GRADO - Planteo de Ecuaciones 10. x2 - 4x - 5 = 0 PRACTIQUEMOS -5 x x 1 (x - 5)(x + 1) = 0 & x = 5 0 x = -1 Nivel 1 (página 68) Unidad 3 Comunicación matemática 1. A M T N R A I C X E S B I K B S G R A D O L R K A T O L U H Z Z G O Y C U A D R A T I C O Q D Y N F D E D P X R V N H C S Q O L Q I Q K D J M G D F I O R N R S S S P O R C R E S T L T I D L C O X F E O A P F G U P M A I R L I S U C M E N Y J E R U N I U J E I N A N F I B F E C E M C X C V Z E D J M H E T N A N I M I R C S I D R P I Z G L G O S A E O C E N E J S G Y V L N E R N B E N K T K A C L O V E G H I H X T B U O D N U G E S U M L U M E D A ` La menor raíz es -1. Clave E 11. x2 + 3x - 4 = 0 4 x x -1 (x + 4)(x - 1) = 0 & x = -4 0 x = 1 ` La mayor raíz es 1. Clave D 12. x2 + 7x + 12 = 0 4 x x 3 (x + 4)(x + 3) = 0 & x = -3 0 x = -4 ` La menor raíz es - 4. Clave E Resolución de problemas 13. 2. • Sean los números: x; x - 11 ▪▪ Mostrando los datos del enunciado en el diagrama: • Por dato: x2 + (x - 11)2 = 2581 B 3. • Sean los números: N; N - 10 • Por dato: N(N - 10) = 119 4 a 2 4. x + 2(-x) = 528 x2 - 2x = 528 A ▪▪ 6. N(20 - N) = 99 Razonamiento y demostración ` El cateto mayor mide +3 +2 14. x(x + 2) = 24 x2 + 2x - 24 = 0 x -4 x +6 (x - 4)(x + 6) = 0 x = 4 0 x = -6 x+3=00x+2=0 x = -3 0 x = -2 ` CS = {-3; -2} Clave A ` El mayor positivo es 4, piden: 4 + 2 = 6 8. x2 - x - 2 = 0 Clave B x -2 x 1 (x - 2)(x + 1) = 0 & x = 2 0 x = -1 ` La menor raíz es -1. Nivel 2 (página 68) Unidad 3 Comunicación matemática Clave D 15. 16. I. 2x2 - x + 1 = 0 3 x x -2 (x + 3)(x - 2) = 0 & x = 2 0 x = -3 x = ` La mayor raíz es 2. 30 Intelectum 1.° 33 m. Clave C (x + 3)(x + 2) = 0 ABC: teorema de Pitágoras 42 + a2 = 72 a = ! 33 7. x2 + 5x + 6 = 0 9. x2 + x - 6 = 0 C Donde “a” es el cateto mayor. 5. N + N2 = 110 x x 7 Clave E - (- 1) ! (- 1) 2 - 4 (2) (1) 2 (2) x = 1 ! 7 i …(F) 4 II. Toda ecuación cuadrática tiene 2 raíces, no siempre tiene 2 soluciones. …(F) III. 3x2 - 6x + 12 = 0 - (- 6) x1 + x2 = = 2 …(F) 3 25. 2x2 + 6x - 1 = 0 Usamos fórmula general: x1; 2 = x1; 2 = - 6 ! 2 11 = - 3 ! 11 4 2 18. ▪ Sean los números: N; 891 N 891/N 48 2_2 i x1; 2 = - 6 ! 44 4 Clave A 17. N + 4 N = 21 ▪▪ Del enunciado: N - 6 ! 6 2 - 4 _ 2 i_- 1 i Clave D Resolución de problemas 26. 3x2 - 3x + 6 = 0 3 x2 - x + 2 = 0 & N = b 891 l 3 + 48 N 2 x1; 2 = 19. ▪ Sean los números: N; 270 N = 1! 1-8 2 ▪▪ Del enunciado: N = b 270 lb 6 l N 5 - _- 1 i ! _- 1 i - 4 _1 i_ 2 i 2 x1 = 1 + 7 i 2 Razonamiento y demostración 20. x2 - 7x + 12 = 0 x2 = 1 - 7 i 2 x -4 x -3 (x - 4)(x - 3) = 0 x-4=0 0 x-3=0 x=4 0 x=3 ` CS = {3; 4} x12 = 1 b1 + 2 7 i + _- 7 il 4 x 22 = 1 _1 - 2 7 i - 7 i 4 x12 + x 22 = 1 _2 - 14 i = 1 _-12 i = -3 4 4 Clave A Clave C 21. x2 + 9x - 10 = 0 x 10 x -1 (x + 10)(x - 1) = 0 & x = -10 0 x = 1 27. Del enunciado: (4 + 2x)x = 70 x2 + 2x - 35 = 0 -5 x x +7 (x - 5)(x + 7) = 0 x = 5 0 x = -7 ` La menor raíz es -10. Clave D 22. x2 + 4x - 21 = 0 x 7 x -3 (x + 7)(x - 3) = 0 & x = -7 0 x = 3 ` El menor positivo es 5. Clave D Nivel 3 (página 69) Unidad 3 ` La menor raíz es - 7. Clave B 23. x2 + 8x - 9 = 0 x 9 x -1 (x + 9)(x - 1) = 0 & x = -9 0 x = 1 Clave E 24. x2 + x - 20 = 0 5 x x -4 (x + 5)(x - 4) = 0 & x = -5 0 x = 4 ...(F) II. 4x2 - 4x + 1 = 0 2x -1 2x -1 (2x - 1)2 = 0 2x = 1 & x = 1/2 CS = {1/2} ...(V) III. T = 4 > 0 La ecuación tiene raíces reales y diferentes. ...(F) ` La menor raíz es -5. I. ax2 + 3x + 2 = 0 Al existir 2 variables no se puede precisar un valor real. ` La mayor raíz es 1. Comunicación matemática 28. Clave D Clave E ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3 31 29. I. De II. Σraíces = 10 = 5 2 2 x , x > 0 & x = 0 (NO) x + 10 = 0, x " R (NO) III. Sí tiene soluciones. Clave E (NO) IV. x + 7 = 0 & x = -7 2 -7=0 & x= 2 x 7 x1 . x2 = -2 (SÍ) 2 47 (NO) V. 0 - 7 + = 7 7 34. x2 + 12x + 32 = 0 Rpta.: IV Razonamiento y demostración Clave C Resolución de problemas 30. x2 + x - 42 = 0 x x 8 x x 4 (x + 8)(x + 4) = 0 & x = - 8 0 x = - 4 Pr oducto raíces = ^- 8h^- 4h = - 8 Suma raices 3 - 8 + ^- 4h 35. (k- 1)x2 - 5x + 3k - 7 = 0 +7 -6 Del dato: x1 . x2 = 3k - 7 = 1 k-1 3k - 7 = k - 1 (x + 7)(x - 6) = 0 x+7=0 0 x-6=0 x = -7 x=6 ` La mayor raíz es 6. 2k = 6 ` k=3 Clave C Clave A 31. Resolviendo: x2 - 22x + 57 = 0 -19 x x -3 x1 = 19 / x2 = 3 ` Nos piden: x1 - x2 = 19 - 3 = 16 36. x+4 x+2 Clave D 2 32. 3x + 10x - 2 = 0 x= x2 - 4x - 12 = 0 x = - 10 ! 2 31 6 33. x2 - 10x - 24 = 0 x -12 x 2 (x - 12)(x + 2) = 0 & x = 12 0 x = - 2 32 Intelectum 1.° (x + 4)2 = (x + 2)2 + x2 x2 + 8x + 16 = x2 + 4x + 4 + x2 - ^10h ! ^10h2 - 4^- 2h^ 3 h 2^ 3 h x = - 5 ! 31 3 x x -6 x +2 (x - 6)(x + 2) = 0 x = 6 0 x = -2 (no cumple con la condición) Clave A & x=6 ▪▪ El lado de su base mide: x + 2 = 6 + 2 = 8 m Clave C Desigualdades e inecuaciones Dividimos entre 3: -3 < x < 1 3 PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 72) Unidad 3 Comunicación matemática 15. MCM(5; 2; 4; 3) = 60 12(x - 3) + 30(x - 6) + 15(x - 4) + 20(x - 5) < 4 . 60 ` x mínimo entero = -2 1. Por definición: Clave D 3$3 + 3>3 0 3=3 F V Resolución de problemas 9. 11 # x2 + 7 # 32 F0V=V ` Es verdadero. 2. Se denomina desigualdad a la relación de orden que se establece entre dos cantidades que poseen diferente valor. 2 # x # 5 ` x ! [2; 5] Clave C -13 -6 A , B = ]-13; 30] A + B = [-6; 18] 18 30 +3 -6 # x2 - 6 # 3 Clave D Nivel 2 (página 72) Unidad 3 Clave A 4. 2x - 5 # 3x - 11 x$6 ` x ! [6; +3H Clave A 0 # (x2 - 6)2 # 36 ` (x2 - 6)2 ! [0; 36] Clave D Comunicación matemática 11. I. (V) 17. Como: II. (F) x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 1 Si a = 1 > 0 & 1 + 1 = 2 # -2 1 III. (V) Luego: x ! [-3; 2H & -3 # x < 2 -1 # x + 2 < 4 0 # (x + 2)2 < 16 Clave C 5. 6 - 2x $ 7 2x # -1 x # -1/2 ` x ! - 3; - 1 E 2 Clave D 12. 2 > -1; 1 < 1 = -1 -1 2 (F) x < 0 / y < 0 & x . y > 0 (F) Sea y = 4 & 1 = 1 > 0 y 4 (F) Clave C 6. 12x - 3 $ 15x - 10 7 $ 3x 7 $ x & 2,3 $ x 3 Por lo tanto, el mayor valor entero de x es: 2 Clave C 7. -x < -2 & x > 2 …(I) 16. Dato: x ! [- 3; 2 0 # x2 # 9 x + 5x + 6 < 0 `a=5 -3 x<8 -3 # x < 2 2 77x < 616 Entonces: (x + 3)(x + 2) < 0 3. Clave B 10. (x - (-3))(x - (-2)) < 0 Razonamiento y demostración + 20x - 100 < 240 A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Por lo tanto, la suma de elementos de A es: 28 4 # x2 # 25 (x > 0) 12x - 36 + 30x - 180 + 15x - 60 Luego: (I) + (II) + (III): 2 5 +3 Clave B 8. -5 < 3x + 4 < 5 Restamos 4: -9 < 3x < 1 13. (3 - 5x) = ?? ` (x + 4x + 5) ! [1; 17[ Clave D 18. Dato: x ! 1; 3 E 2 &1 2x $ - 4 & 5 > x $ -2 2 Sumamos 3: - 19 < 3 - 5x # 13 2 ` (3 - 5x) ! - 19 ; 13 D 2 1 # (x + 2)2 + 1 < 17 -1 < 2x - 3 # 0 (2x - 1) ! [-5; 4H & 4 > 2x - 1 $ -5 Clave D Multiplicamos por -5: - 25 < - 5x # 10 2 x > 0 ... (II) x < 5 … (III) 0 -3 & x ! G2; 5H ` x enteros: {3; 4} Razonamiento y demostración 2 Clave C 14. x + 3x + 12 < 8x + 8 Resolución de problemas 19. c x - c- 8 mm (x - 3) < 0 3 2 x - 3x + 8 x - 8 < 0 3 2 x - 1 x- 8 < 0 3 1 / n = -8 &m= 3 -8 ` 4 mn = 4 c 1 m = 4 38 = 9 3 Clave D 20. Sabemos: 0 < 4x - 4 4 < 4x & 1 < x ` x>1 Clave D 6 a / b ! R+ a + b $ ab 2 ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3 33 12 + n 12 $ n = 4 = 2 n 3 $ n 3 2 12 + n $ 4 n 3 Por lo tanto, el mínimo valor de 12 + n es: 4 n 3 Clave D Comunicación matemática 21. I. Como ab < 0 & un número es positivo y el otro negativo. Del dato a < b & a < 0 / b > 0 ...(V) II. a < 0 & 1 < 0 a multiplicando a la desigualdad a < b por 1 : a 1 > b ...(V) a III. a < b (a < 0) &a.a>b.a a2 > b . a (b > 0) ▪▪ Clave E 2 & 0 # x # 64 & 9 < x2 < 49 ▪▪ -4 < x < 9 & 0 # x2 # 81 25. x(7a + 1) < 7a + 1 ...(F) -  4x < 9 ` CS = G-9/4; +3H 15x - 2 > 2x + 1 3 1 13x > 2 + & x > 7 ...(I) 3 39 4x2 - 12x + 1 $ m 6 2x - 5 x < 1008 1 < x < 1008 Los números enteros en este intervalo son: 2; ...; 1007 & n.º términos: 1007 - 2 + 1 = 1006 …(II) Clave D Clave D MARATÓN MATEMÁTICA (página 74) I. Perímetro del rectángulo 1. …(I) = 4x + x + 4x + x = 100 10x = 100 Sabemos: & x = 10 m (2x - 3)2 $ 0 Luego, partimos de: 3 # x # 7 Clave D 4x2 - 12x + 9 $ 0 6 # 2x # 14 2 1 # 2x - 5 # 9 1 # 1 # 1 9 2x - 5 4x - 12x + 1 $ -8 …(II) De (I) y (II): x - 3 = 144 2 # 6 # 6 3 2x - 5 m # -8 & mmáx. = -8 x - 3 = 12 Además: 1 # n x2 + 2x + 5 5 # 1+ 6 # 7 3 2x - 5 ` M ! : 5 ; 7D 3 Clave E 10 > -a > 5 2 > -b > 1 20 > ab > 5 Como: multiplicar 2 1 > 1 2 c 5 ... (1) ... (2) 2. x2 + 6x - 16 = 0 (x + 1)2 $ 0 34 Intelectum 1.° De (a) y (b): n $ 1 & nmín. = 1 4 4 Clave B ...(a) Sabemos: x2 + 2x + 5 $ 4 1 # 1 4 x2 + 2x + 5 I. Área del cuadrado (x - 3)2 = 144 x = 15 m x2 + 2x + 1 $ 0 (sumamos 4) 24. Transformando: Clave A Del enunciado: 1 x + 21 > 1 x + 3 8 7 x 21 - 3 > - x 7 8 18 > x 56 Clave E 28. Dato: Razonamiento y demostración 5m = @- 3; 2 6 ; 5m - 2 30. Sea x la cantidad de números enteros (x > 1). De (I) + (II): 7 -9 4 x< CS = E- 3; 26. 3x2 - 4x < 3(x2 + 3) Clave D 2x - 5 x(5m - 2) < 5m ...(1) Clave A x < 2 ...(V) 23. 2x + 1 = 1 + 29. 5mx - 2m < 3m + 2x 2 (x - 4) < 3x - 14 2 4x - 16 < 3x - 14 -7 < x < -3 Clave B Resolución de problemas Clave C De (2): -5 < x < 8 ▪▪ ` ab ! ]1; 10[ c 27. De (1): 2 & a b > b a ...(F) 22. Piden: m . n = -8 . 1 = -2 4 Del dato: a < - 1 & 7a + 1 < 0 7 &x>1 Nivel 3 (página 73) Unidad 3 2 multiplicamos (1) y (2): 10 > ab > 1 c ...(b) x x 8 8x -2 -2x 6x & la ecuación es: (x + 8)(x - 2) = 0 Luego: x+8=0 0 x-2=0 & x1 = -8 & x2 = 2 Clave C 3. x(4x + 1) = 3x2 + 42 En (I) x + 16 = 40 x = 24 & x = 24 / y = 16 4x2 + x = 3x2 + 42 x2 + x - 42 = 0 x 7 x -6 (x + 7)(x - 6) = 0 x1 = -7 x2 = 6 Clave B 4. 3x + 2y = 22 2y - 7x = 2 10x = 20 &x=2 x - sx + p = 0 s: suma de raíces x2 - (3 - 1)x + (-3) = 0 p: producto de raíces x2 - 2x - 3 = 0 7. Factorizamos: Clave D x2 - 7x + 6 = 0 -6 x x -1 Clave E 5. Sea x & los cuadernos de S/.4. ...(I) ...(II) 14x < -20 x < - 10 7 2 Clave C Clave E 10. a=b = 4ab (identidades) ` Sraíces: 6 + 1 - 1 - 6 = 0 despejamos x x + 7 < 6x - 3 10 < 5x & x>2 B = {x ! R / x - 4 > 3x} 5 x - 20 > 15x - 10 7 x-3 x-2 x2 - x - 2 = x2 + 2x -15 13 = 3x x = 13 3 (x - 6)(x - 1) = 0 (x + 1)(x + 6) = 0 x1 = 6 / x2 = 1 (x1 = -1) / x2 = - 6 3 2 9. x + 1 = x + 5 x2 + 7x + 6 = 0 x +6 x +1 8. A = {x ! R / x + 7 < 2x - 1} - 10 7 & (A , B)C = Clave C Reemplazando en una de las ecuaciones: 3(2) + 2y = 22 2y = 16 &y=8 & 4x + 6y = 192 (recaudación) (II) - 4(I) & 2y = 32 y = 16 & A,B= 2 (-) Sea y & los cuadernos de S/.6. & x + y = 40 (cuadernos vendidos) B = ' x < - 10 ; x ! R 1 7 6. Formamos la ecuación cuadrática: x1 + x2 = -1 ▪▪ Manera más directa: Por Cardano 1x2 + 1x - 42 = 0 . . a b & x1 + x2 = - b = - 1 = -1 a 1 & A = { x > 2; x ! R } aTb = a2 - b2 & x=2 = xT3 4(x)(2) = x2 - 32 8x = x2 - 9 x2 - 8x - 9 = 0 x x -9 1 Factorizando por aspa simple: (x - 9)(x + 1) = 0 & x ! {-1; 9} Clave C ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3 35 Unidad 4 VALOR ABSOLUTO 6. Recordar la propiedad: PRACTIQUEMOS |x| = a + a $ 0 / (x = a 0 x = -a) Nivel 1 (página 78) Unidad 4 Comunicación matemática En el problema, tenemos: 2x - 4 = 6  0 2x - 4 = -6 2x = 10 2x = -2 x = 5 x = -1 Luego: CS = {-1; 5} 1. Completa los recuadros en blanco lo que corresponda para llegar a la solución. Determina la suma de soluciones que se obtiene a partir de: x + 1 = 13 4 4 De acuerdo a la definición: x + 1 = 13 4 4 Clave C x + 1 = - 13 0 4 4 7. De la ecuación: 13 x = 13 x 1 0 4 = - 4 - 1 4 4 |x - 2| = 4 x - 2 = 4 0 x - 2 = -4 x = 6 0 x = -2 CS = {-2; 6} = {-a; b} x = 9 4 4 0 Piden: a + b = 2 + 6 = 8 x= 9 0 x = -17 Nos piden: suma de soluciones = x = - 17 4 4 Clave D 1 = 2 & x - 1 = 1 2 x-1 8. 9 + (-17) = -8 x-1 = 1 2 2. A) |-3| - |2| = |-5| 3-2!5 x= 1 2 Clave D Resolución de problemas 9. Según el enunciado: D) |2| - |3| = |-1| 2 - 3 ! 1 |5x - 3| = 2x - 3 E) |2| + |-2| = |0| 2 + 2 ! 0 Clave B Razonamiento y demostración 3. De la ecuación: |2x - 1| = 5 Recuerda: |x| = a + a > 0 / (x = a 0 x = -a) Luego: 2x - 1 = 5 0 2x - 1 = -5 x = 3 0 x = -2 ` xmín. = -2 10. Según la definición: |x2 + 2| = 2x + 1 Clave A 2x = -4 x = -2 Clave C 5. 5x - 20 = 30 0 5x - 20 = -30 2x + 1 $ 0 / (x2 + 2 = 2x + 1 0 x2 + 2 = -2x - 1) x $ - 1 / (x2 - 2x + 1 = 0 0 x2 + 2x + 3 = 0) 2 x $ - 1 / ((x - 1)2 = 0 0 (x + 1)2 + 2 = 0 2 1 x$- / x = 1 0 (x + 1)2 = - 2 2 x$-1 / x=1 0 x!Q 2 x$-1 / x=1 2 ` CS = {1} 5x = -10 x = -2 Nos piden: x = 1 & 1 x = 1 (1) = 1 2 2 2 Clave D 36 Intelectum 1.° Según la definición: 2x - 3 $ 0 / 5x - 3 = 2x - 3 0 5x - 3 = -2x + 3 x$ 3 / x=0 0 x= 6 2 7 Como: x $ 3 , no cumplen x = 0 / x = 6 2 7 Entonces: x ! Q Clave C 4. 2x - 3 = 7 0 2x - 3 = -7 5x = 50 x = 10 ` CS = {-2; 10} x - 1 =- 1 2 ` CS = ' 1 ; 3 1 2 2 C) -|-3| = |3| -3 ! 3 x= 3 2 B) |-2| + |-3| = |-5| 2+3=5 2x = 10 x = 5 ` CS = {-2; 5} 0 Clave A 20. De la ecuación: Nivel 2 (página 78) Unidad 4 |2x - 7| = x - 5 Comunicación matemática 11. Por teorema: x - 5 $ 0 / (2x - 7 = x - 5 0 2 x - 7 = -(x - 5)) x $ 5 / (x = 2 0 x = 4) ` x = Q (no tiene solución) Clave C 12. 2 5 7 9 1 8 6 3 9 Clave E 8 Resolución de problemas 21. Sea: 1 - x + 1 + x $ Cada grupo suma 29. Razonamiento y demostración 13. x - 4 = 5 - 2x 0 x - 4 = -5 + 2x 3x = 9 x=3 ` CS = {1; 3} x ▪▪ Analizando los radicales, tenemos: 1 - x $ 0 1 + x $ 0 x$00x<0 x # 1 x$-1 x ! ]-3; 1] + x ! [-1; +3[ + x ! R ▪▪ Entonces: CS = ] -3; 1] + [-1; +3[ + R = [-1; 1] 1=x Clave D 14. |2x - 1| = x Clave E 22. Primero que nada, hallemos el CVA (conjunto de valores admisibles): 1 - 9x2 $ 0 x2 # 1/9 |x| # 1/3 & x ! [-1/3; 1/3] 2x - 1 = x 0 2x - 1 = -x x = 1 x= 1 3 ` CS = ( 1 ; 1 2 3 Resolviendo la ecuación: (2x - 1) 1 - 9x2 = 0 2x - 1 = 0 0 1 - 9x2 = 0 x = 1/2 0 x = !1/3 Luego: A = {-1/3; 1/2; 1/3} Finalmente: [-1/3; 1/3] + A = {-1/3; 1/3} (2 raíces) Clave C 15. x2 - 5x = 6 0 x2 - 5x = -6 x2 - 5x - 6 = 0 0 x2 - 5x + 6 = 0 x - 6 x -3 x + 1 x -2 (x - 6)(x + 1) = 0 0 (x - 3)(x - 2) = 0 x = 6 0 x = -1 0 x=30x=2 Por lo tanto, la suma de soluciones es 10. Clave C Clave E Nivel 3 (página 79) Unidad 4 16. |2x + 1| = |x| 2x + 1 = -x x = -1 x= -1 3 1 ` CS = {-1; - } 3 Comunicación matemática 2x + 1 = x 0 23. Si dos números reales se diferencian solo en el signo, sus valores absolutos son iguales, es decir, |-x| = |x| ; 6 x ! R Clave E 17. De la ecuación: |x - 2| = |3 - 2x| (x - 2)2 = (3 - 2x)2 (x - 2)2 - (3 - 2x)2 = 0 (1 - x)(3x - 5) = 0 x 1 = 1 / x2 = 5 3 5 Nos piden: x1x2 = 3 Razonamiento y demostración 25. (2 - x)|x2 - 9| < 0 2 - x < 0 / x2 - 9 ! 0 x > 2 / x2 ! 9 x > 2 / x ! {-3; 3} Luego; la menor solución entera es: 4 26. / (2x - 1 = -x 0 2x - 1 = x) x0#0 / (x = 1 0 x = 1) 3 ` CS = ' 1 x$0 2x = 8 x = 4 ` CS = { - 3 ; 4} 2 Clave D Clave B 18. |2x - 1| = -x 19. 3x - 1 = x + 7 24. > ; = ; < Clave E -4 + 3 + -5 x + y + z = -4 + 3 - 5 x+y+z + 4 3+5 = -6 = -2 Clave B 27. De la ecuación: 0 3x - 1 = -x - 7 4x = -6 x= -3 2 3|x - 2| = |x + 4| Clave D Elevando al cuadrado: (3x - 6)2 = (x + 4)2 (3x - 6)2 - (x + 4)2 = 0 ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4 37 (4x - 2)(2x - 10) = 0 x= 1 0 x=5 2 ` xmín. = 1 2 cx = Clave A 28. De la ecuación: Clave E 3x + 2 = 2x - 11 3x + 2 = -2x + 11 x1 = 9 5 0 x2 = -13 Nos piden: 5x1 + x2 = 5 d 9 n + (- 13) = -4 5 Clave B 29. |x - 10| = |5 - 3x| 34. Del enunciado: Restricción: 4x - 5 ! 0 & x ! 5 4 Puntos críticos: x - 2 = 0 & x = 2 3x + 4 = 0 & x = - 4 3 -3 -4/3 Clave E 30. Sea |x - 1| = a $ 0 a2 - 2a - 15 = 0 -5 a a +3 (a - 5)(a + 3) = 0 ` {-4} es la solución negativa de la ecuación. x ! - 3; - 4 3 - +3 x-2 - - + 3x + 4 - + + Casos A B C ...(1) x - 2 - 3x + 4 $ 0 4x - 5 - (x - 2) - (- (3x + 4)) $0 4x - 5 Clave D 31. De la ecuación: Operando adecuadamente: x + 3 $ 0 (puntos críticos: -3; 5 ) 4x - 5 4 x-3 = 7 x+3 |x - 3| = 7|x + 3| + -3 2 Nos piden: x 1x 2 = 9 -1 -3 (2|x| - 1)(|x| - 3) = 0 & 2|x| - 1 = 0 0 |x| - 3 = 0 |x| = 3 |x| = 1 2 38 Intelectum 1.° 5 4 De (1) y (2): S A = - 3; - 4 , 5 ; + 3 + - 3; - 3] 3 4 Clave D 32. 2|x|2 - 7|x| + 3 = 0 + x ! - 3;- 3 @ , 5 ; + 3 ...(2) 4 2 (x - 3) = (7(x + 3)) (7x + 21)2 - (x - 3)2 = 0 (8x + 18)(6x + 24) = 0 x1 = - 9 0 x2 = -4 4 2|x| |x| 2 ▪▪ Caso A: & a = 5 0 a = -3 (no cumple) Como: a = |x - 1|: & |x - 1| = 5 x - 1 = 5 0 x - 1 = -5 x = 6 x = -4 Por teorema: Clave D x - 2 - 3x + 4 $ 0 4x - 5 0 x - 10 = -5 + 3x -5 = 2x -5 =x 2 5 1 2 Nos piden: d 15 - 5 n 4 = 5 4 2 33. De la ecuación: |3x + 2| = 2x - 11 Piden la suma de raíces obtenidas: x - 10 = 5 - 3x 4x = 15 x = 15 4 ` CS = ' 15 ; 4 ` CS = '- 3; - 1 ; 1 ; 3 1 2 2 Resolución de problemas |x + 5| = 2x - 4 x + 5 = 2x - 4 0 x + 5 = -2x + 4 x=9 0 x= -1 3 9 - 1 = 26 3 3 1 0 x = - 1 0 (x = -3 0 x = 3) m 2 2 -3 -3 -4 3 5 4 SA = G-3; -3] ▪▪ Caso B: x ! ;- 4 ; 2 3 + ...(1) - (x - 2) - (3x + 4) x - 2 - 3x + 4 $ 0 & $0 4x - 5 4x - 5 +3 ▪▪ Caso A: Operando adecuadamente: 2x + 1 # 0 (puntos críticos: - 1 ; 5 ) 4x - 5 2 4 + x ! - 3; - 7 3 - x ! ;- 1 ; 5 2 4 |3|x| - 7| + |x| $ 5 + 3 |x| - 7 . +(-x) $ 5 3(-x) - 7 - x $ 5 x # - 3 ... (2) + 5 4 -1 2 ... (2) De (1) y (2): De (1) y (2): SB = ;- 4 ; 2 + ;- 1 ; 5 3 2 4 -3 SA = - 3; - 7 + G- 3; - 3] 3 ▪▪ Caso B: x ! ;- 7 ; 0 3 -4 3 -1 2 5 4 2 +3 SB = ;- 1 ; 5 2 4 ▪▪ Caso C: x ! [2; + 3H + ...(1) ... (1) |3|x| - 7| + |x| $ 5 - (3|x| - 7) + (-x) $ 5 - (-3x - 7) - x $ 5 x$6 ... (2) De (1) y (2): SB = ;- 7 ; 0 + 66; +3 3 x - 2 - 3x + 4 $ 0 & x - 2 - (3x + 4) $ 0 4x - 5 4x - 5 Operando adecuadamente x + 3 # 0 (puntos críticos: -3; 5 ) 4x - 5 4 + - ... (2) De (1) y (2): [2; +3H + [-3; 5 H 4 5 4 x ! ;0; 7 3 ... (1) |3|x| - 7| + |x| $ 5 + - (3|x| -7) + x $ 5 + -3x + 7 + x $ 5 x#1 + 5 4 -3 2 +3 -3 Por lo tanto, el conjunto solución final es: ` x = 1 (mayor z ) +3 7 3 ... (1) x$3 ... (2) De (1) / (2): SD = 63; +3 Puntos críticos: |x| = 0 & x = 0 3|x| - 7 = 0 & |x| = 7 & x = ! 7 3 3 0 1 |3|x| - 7| + |x| $ 5 + 3x - 7 + x $ 5 Clave D |x| + |3|x| - 7| $ 5 -7/3 ▪▪ Caso D: x ! ; 7 ; +3 3 + 35. Del enunciado, planteamos: 0 SC = [0; 1] CS = SA , SB , SC = G-3; -3] , ;- 1 ; 5 , Q 2 4 CS = G-3; -3] , ;- 1 ; 5 2 4 ... (2) De (1) y (2) SC = ;0; 7 + G-3; 1] 3 SC = Q -3 SB = [6; +3H ▪▪ Caso C: -3 -3 SA = G-3; -3] + x ! ;- 3; 5 4 ... (1) CS = SA , SB , SC , SD 7/3 +3 x - - + + 3|x| - 7 + - - + Casos A B C D CS = G-3; -3] , [6; +3H , [0; 1] , 63; +3 -3 -3 0 1 3 6 +3 ` CS = G-3; -3] , [0; 1] , 63; +3 ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4 Clave C 39 LOGARITMOS 10. Sea N el número, del enunciado se tendrá: PRACTIQUEMOS 5logN = 3logN + 8 Nivel 1 (página 83) Unidad 4 2logN = 8 Comunicación matemática 1. logN = 4 I. log215 = log25 + log23 (F) II. log3 2 = 1 log3 2 (F) 2 III. log5 7 = 1 (V) log7 5 N = 104 Clave D Clave D Comunicación matemática 11. I. log3x = 4 & x = 34 = 81 (V) 2. II. log(-2)(-2) & No existe porque el número es negativo y la Razonamiento y demostración base es negativa. 3. 2^7loga xh + 5^7loga xh = 343 La (II) y (III) son incorrectas. Clave B ` x = a2 Clave B 125 m 1 -1 c m 5 log 53 j`^ 5h- log3 5 j E = `25 5 3 3 2 log74 Razonamiento y demostración ` E = (52)3 # (5-1)5 = 5 Clave A 5. log2 (2-5) = m 13. logx logx 7 4 = 7 Pasamos a su forma exponencial: logx 7 4 = x7 7 7 7 7 x x = 7 4 & ` x x j = ^7 4 h -5log22 = m & m = -5 7 ^x7hx = 22 & x7 = 2 Clave C 7. xlogN c = logN b + logN a x logN c = logN b . a = logN c Clave A A = c 1 log3 3 m^log2 33hc 1 log3 5 m^log5 2h 2 3 3 A= log3 3 log2 3 log3 5 log5 2 2.3 1 4444 4 2 44444 3 Reduciendo: log3(x + 5)(x + 3) = log316x Luego: (x + 5)(x + 3) = 16x x2 + 8x + 15 = 16x x2 - 8x + 15 = 0 x -5 x -3 Nos piden: x1x2 = 15 Clave A Clave B Resolución de problemas 9. Del enunciado: 40 Intelectum 1.° ambos miembros: 2 & x 1 = 5 0 x2 = 3 1 4logx - 4 = 2logx 2logx = 4 logx = 2 x = 102 = 100 7 14. log3(x + 5) + log3(x + 3) = log3(16x) Clave D `x=1 7 Clave C & B = 4log22 + 3log33 + 4log55 ` B = 4 + 3 + 4 = 11 Sacamos ` x= B = log224 + log333 + log554 A = 1 .1 2 ` A= 1 2 log37log53 = 4 log 4 = 4 . 1 = 4 4 -1 5 2 = 2 . 2 log45 log 3log37 log 4 5 7 & E = ^253h`3log3 5 j 6. 12. Z = log45 = 2 log45log37 . 2 log53log74 1 -1 `243- logc 1 m-1 c 5 m j E = c25 log 4. (F) III. log35 + log32 = log310 (F) 7 ^7loga xh = 343 = 7 . 72 7loga x = 72 & logax = 2 8. Nivel 2 (página 83) Unidad 4 Clave C 15. 3log^ 2 2 3 h ^x - 1h = x+5 2 3log3 ^x - 1h = x + 5 Luego: (x - 1)2 = x + 5 2 x - 2x + 1 = x + 5 x2 - 3x - 4 = 0 x -4 x 1 & x = 4 0 x = -1 log16 + logN = 5,89882 Por definición: x-1>0&x>1 Luego: m=x=4 Nos piden: m = 4 =2 4log2 + logN = 5,89882 logN = 4,6947 Se pide: logN3 = 3logN = 3(4,6947) = 14,0841 Clave C Clave A 16. Datos: Nivel 3 (página 84) Unidad 4 log35 = a Comunicación matemática 22. De las proposiciones: log32 = b Nos piden: I. log2(xy) = log2|x| + log2|y| / xy > 0 ...(V) log32,7 = log3 c 27 m = log327 - log310 10 log32,7 = 3 - (log35 + log32) II. log 2 (x + y) = log 2 x + log & x + y = xy; x, y ! R+ 4 III. log2(-2) = 4log2|-2| = 4 log32,7 = 3 - a - b 2 y ...(V) ...(V) Clave D Clave D N = (log28)(log92)(log85)(log2527) 17. propiedad N = log95 . log2527 & N = log32 5 . log52 33 N = 1 log3 5 . 3 log5 3 2 2 18. 2 = 1 2 7 > 5 1 6 > 9 Razonamiento y demostración & N = 3 log3 5 . log5 3 4 `N= 3 4 23. 1 24. log^10 + 2 Clave B n 7 + 3h = 8 21 h ^ Pasando a su forma exponencial: n 8 ^ 7 + 3 h = ^10 + 2 21 h Dando forma: n 2 8 2 xlogNb = logN a + logN c ^ 7 + 3h =^ 7 + 3 + 2 7 3h xlogNb = logN a.c = logN b2 n 2 ^ 7 + 3 h = `^ 7 + 3 h j 8 & n = 16 & xlogNb = 2 logN b `x=2 Nos piden: x Clave E x 2 xx = 16 = 24 = 22 & x = 2 Clave E 19. A = (log26)(log36) - log32 - log23 A = (log2 2 . 3) (log3 2 . 3) - log3 2 - log2 3 25. Nos piden: &A = (1 + log2 3) (log3 2 + 1) - log3 2 - log2 3 &A = log3 2 + 1 + log2 3 log3 2 + log2 3 - log3 2 - log2 3 log e log 49 ` A = 1 + log2 3 log3 2 = 2 44 3 1 44 2 1 Clave C 2 6 7 ` 49log7 6j log7 6 49 Resolución de problemas 2 log35 o log23 log52 log5 2 $ log2 3 $ log3 5 log5 5 = 1 log7 6 i2 = _7 = 62 = 36 Clave C 20. Según el enunciado: 3 log(27N ) = 7,4512 log27 + 3logN = 7,4512 log33 + 3logN = 7,4512 3logN = 7,4512 - 3log3 logN = 2,0066 26. Del sistema de ecuaciones: 2 ▪▪ 25 x = ( 5 ) y Nos piden: (logN)2 + 1 = (2,0066)2 + 1 = 5,0266 21. Según el enunciado: log(16N) = 5,89882 Clave E 2 y2 5 2x2 = 5 2 4x2 = y2 ...(I) ▪▪ lnx = 2lny, x > 0 / y > 0 x = y2 ...(II) ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4 41 (II) en (I): 30. b + a = 2a - b & 2b = a 4x2 = x & x = 1 4 ab De (II): y2 = 1 & y = 1 2 4 E = log 3 b 0, 5a = log3 b 0, 5 . 2b & E = log3 b b = logb b3 = 3 logb b `E=3 Nos piden: x+y= 3 4 ab Luego: Clave C 27. M = log 75 - 2 log 5 + log 32 16 9 243 M = log 75 - log 16 - 2 log 5 + 2 log 9 + log 32 - log 243 M = log 52 . 3 - log 24 - 2 log 5 + 2 log 32 + log 25 - log 35 Resolución de problemas 31. a > 0 / b > 0; por dato: a2 + b2 = 29 ... (1) loga + logb = 1 ... (2) De (2): log(ab) = 1 & ab = 10 ... (3) De (1) y (3): a = 2 / b = 5 M = 2 log 5 + log 3 - 4 log 2 - 2 log 5 + 4 log 3 + 5 log 2 - 5 log 3 Clave D M = log 2 Clave E 2log(73N) = 9,8143 B = ^1 + log2 5h^1 + log5 2h - log2 5 - log5 2 B = 1 + log5 2 + log2 5 + log2 5 log5 2 - log2 5 - log5 2 B = 1 + log2 5 log5 2 = 1 + 1 ` B = 2 Clave E 29. log35 = a (dato) 42 Intelectum 1.° log(73N) = 1 (9,8143) 2 3 1 log7 + logN = (9,8143) 2 1 logN = (9,8143) - 3(0,8451) 2 logN = 2,37185 Piden: A = log1581 = log1534 = 4log153 4 = 4 4 A= = log3 15 log3 3.5 1 + log3 5 4 & A = 4(1 + a)-1 1+a 32. Según el enunciado: log(343N)2 = 9,8143 28. B = ^log2 2 . 5h^log5 10h - log2 5 - log5 2 A= Clave C Nos piden: (logN - 1)2 = (2,37185 - 1)2 = 1,88820 Clave A Clave D Funciones f(x2) = 1 & 1 = 3x2 - 2; x2 = 1 PRACTIQUEMOS 17. Del dominio: ` Domf(x) = {x1; x2; x3; x4} 1. A) V ; B) V ; C) V ; D) F ; E) V Clave E = {2; 1; 3; 5} ` S elementos del dominio = 2 + 1 + 3 + 5 = 11 f A & C= Clave A B 3 4 2 7 1 6 B) g(1) = 3 Dom(f) + Ran(f) = {1} f(x4) = 13 & 13 = 3x4 - 2; x4 = 5 Comunicación matemática 2. A) & f = A # C = {(1; 1), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 5), (2; 6)} f(x3) = 7 & 7 = 3x3 - 2; x3 = 3 Nivel 1 (página 87) Unidad 4 g(7) = 5 Resolución de problemas f (3) + f (5) 2 + 6 = =8 1 f (2) & y = 2x - 2 Donde los valores de A son los de "x". x = 2 & y = 2 par ordenado (2; 2) ! A # B x = 3 & y = 4 par ordenado (3; 4) ! A # B x = 5 & y = 8 par ordenado (5; 8) " A # B x = 6 & y = 10 par ordenado (6; 10) " A # B x = 7 & y = 12 par ordenado (7; 12) " A # B ` f = {(2; 2); (3; 4)} Clave D Razonamiento y demostración Clave C 3. (3; a + 2) y (3; 4) ! F 10. Por día lee 10 pág. & por semana 70 pág. & por definición a + 2 = 4 a=2 ` a2 = 4 Clave B 4. (a; 3b) = (a; a + b) & 3b = a + b 2b = a (a; 3b) = (2b; 3b) = (2b; 12) ` Dom(F) + Ran(F) = {2} Clave B 18. F = {(2; 5), (-1; -3), (2; 2a - b) (-1; b - a), (a + b2; a)} Si F es función, se cumple: 2a - b = 5 a=2 b - a = -3 b = -1 Luego: F = {(2; 5), (-1; -3), (3; 2)} Dom(F) = {-1; 2; 3} Ran(F) = {-3; 2; 5} x = n.° semanas x 1 2 3 y 70 140 210 y & = 70 x ` y = 70x ` Dom(F) + Ran(F) = {2} Función directamente proporcional. Clave C 19. Del rango de h(x): 11. f(x) = k & (Función inversamente proporcional) 7 < 3x - 2 # 13 9 < 3x # 15 3 36 000 L & A) caudal 60 L/min, reemplazamos en la función: a = 3 & f(x) = 3x - 8 f(4) = 3(4) - 8 = 4 Clave D y Función de proporcionalidad inversa Clave C = 3 & y = 36 m x Como el caudal está en L/min g(4) = 2(4)2 - 1 = 31 2(5) + 1 = 11 & (5; 11) " A # B 2(6) + 1 = 13 & (6; 13) ! A # B 2(-2) + 1 = -3 & (-2; -3) ! A # B ` f = {(-2; -3), (6; 13)} 3 # 16 = 2 # x 36 m3 30. f(3) = 3(3) - 5 = 4 25. 2(3) + 1 = 7 n.º de trabajadores por horas = k 35. Capacidad = caudal # tiempo f(x) Clave B Razonamiento y demostración Luego 2 trabajadores los 400 m. Clave B ` Rf = [1; 13[ V) F Primero 400 m los 3 trabajadores: obra = k horas 200 = 400 x = 16 h & los 3 trabajadores 8 x x = 24 h (3 días laborables) 29. -4 < x # 2 3 Clave C 34. n.° trabajador DP con obra 1 # x + 1 # 10 1 # f(x) # 10 Df = R - {!3} 12 1 2 3 4 ` E = 13 + 17 + 2 = 32 = 4 8 4+4 Resolución de problemas # 9 28. x + 3 ! 0 & x ! -3 / x - 3 ! 0 & x ! -3 Costo II) F 5 < 6 & G(5) = 4 Reemplazando en (I): & f(x) = 2x - 3 27. -3 # x # 2 Se observa que es una fracción lineal: -1 + 5 = 4 7 + 5 = 12 & x + 5 = y (regla de correspondencia) ` Si x = 0, y = 5; si y = 14, x = 9 24. I) V 9 $ 6 & G(9) = 17 Clave C x 33. 7 $ 6 & G(7) = 13 Clave A 60 = 36 000 & x = 600 min <> 10 h x & B) caudal 25 L/min, reemplazamos en la función: 32. Como h(-2) = -1; gráficamente: Dom h(x) = [-2; 9] y Ran h(x) = [-1; 10[ Clave D 25 = 36 000 & x = 1 440 min <> 24 h x Clave D Progresiones PRACTIQUEMOS a1 = 28 an = 208 Comunicación matemática an - a1 +1 r 208 28 +1 n= 4 ` n = 46 Sabemos: n = 1. I) m + 1 - (m - 2) = 3 (razón) & m + 4 II) 7; x; 17 & 17 - x = x - 7 & x = 12 III) 10; 10 + r; 10 + 2r; 10 + 3r; 10 + 4r; 10 + 5r 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; 35 r = 32 - 28 & r = 4 6. Nivel 1 (página 92) Unidad 4 35 & r = 5 Clave C n=6 IV) 3 - 2 - 3 = r = - 2 & 3 - 2 7. r = 30 - 27 = 3 V) n.° términos 12 = 35 - 2 + 1 & r = 3 r t20 = 2 + (19)3 = 59 a1 = 27 an = 333 t30 = 2 + (29)3 = 89 Sn = 2. I) 4x; 5x + 1; 4x + 10; ... n = 333 - 27 + 1 3 n = 103 (an + a1) (27 + 333) .n = 103 2 2 ` Sn = 18 540 Clave B En una PA se cumple: 4x + 10 - (5x + 1) = 5x + 1 - 4x 8. a1 = 4 / q = 2 9-x=x+1 a20 = a1 . q19 = 4 . 219 = 221 8 = 2x a10 = a1 . q9 = 4 . 29 = 211 x= 4 ` a20 : a10 = 210 = 1024 Clave B II) En una PG se cumple: 3x + 1 = 7 16 7 x 48x + 16 = 49x Resolución de problemas 9. Como la progresión aritmética admite término central: a1 + a2 2 a +a & Sn = c 1 n m n = Tc . n 2 425 = 17 . n  ` n = 25 Tc = x = 16 Razonamiento y demostración 3. Sean los números: 1; 2; 3; ...; n es una PA de razón r = 1 (a1 + an) n 2 & de la PA a1 = 1; an = n ; r = 1 n^n + 1h (1 + n) ` Sn = n= 2 2 Clave B & sabemos Sn = 10. Del enunciado: a3 = 18 & a1 + 2r = 18 a7 = 30 & a1 + 6r = 30 De (1) y (2): & a1 = 12 / r = 3 4. Como es una PA: an = a1 + (n - 1)r observamos que r = 4 n = 20 a1 = 10 & a20 = 10 + (20 - 1)4 ` a20 = 86 ...(2) Luego: a17 = a1 + 16r = 12 + 16(3) Clave E 5. Sabemos que an = a1 + (n - 1)r (a - a ) & n = n 1 + 1 r Datos: an = 119 (último término) n = 29 r=4 & En la ecuación (I) (119 - a1) +1 29 = 4 ` a1 = 7 ...(1) a17 = 60 a1 + a17 m 17 = c 12 + 60 m 17 2 2 ` S17 = 612 & S17 = c ... (I) Clave D 11. Sean las edades: a1; a 2 y a 3 . . a1 qa1 a1q2 Dato: a1 . a2 . a3 = 27 000 a13 q3 = 27 000 & a1q = 30 Por lo tanto, la edad de la persona intermedia es 30. Clave C Clave B ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4 45 19. a5 = a1 . q4 & 24 = a1 . q4 ...(1) Nivel 2 (página 92) Unidad 4 a2 = a1 . q & 81 = a1 . q Comunicación matemática Dividiendo (1) entre (2): 12. I) 1; 3; 5; ...; 55 PA de razón r = 2 4 24 = a1 q & q3 = 8 & q = 2 81 a1 q 27 3 II) Fila n.° 17 = a17 = 1 + (16)2 = 33 III) n.° total de bolitas S = 1 + 3 + 5 + ... + 55 (1 + 55) & Sn = n 2 n = = 55 - 1 + 1 = 28; en Sn 2 ` Sn = 28 # 28 = 784 bolitas Reemplazando q = 2 en (2): 3 81 = a1 . 2 & a1 = 243 3 2 & a1; a2; a3; a4; a5; a6 243 81 54 36 24 16 2 S6 = b 4 + 128 l 6 2 = 396 4 8 SL = 1- 1 2 396 = 49, 5 M= 8 Por lo tanto: El número de términos enteros es 5. 13. M = Clave A 20. Sean: a1; a2; a3; a4; a5 números enteros en PG creciente. Dato: Razonamiento y demostración ▪▪ S5 = a1 14. En una PA: r = m - 2 - (m + 3) r = -5 ▪▪ P5 = Clave D 15. Dato: a5 = a1 + (5 - 1) 1 = 4 & a1 = 2 ...(2) q-1 ...(1) = 31 ^a1 .a5h5 = 1024 a1a5 = 24 = 16; a5 = a1q4 2 ^q 5 - 1 h & a12 q4 = 16 & a1q2 = 4 ...(2) De (1) y (2): q = 2 / a1 = 1 ` q + a1 = 3 Piden: a15 = a1 + (15 - 1) 1 = 2 + 7 2 a15 = 9 Clave A Clave A 16. Como: Nivel 3 (página 93) Unidad 4 Comunicación matemática -2 a1 = 2 / q = 2 & a49 = a1 .q48 = 2-2 . 248 ` a49 = 246 21. En un triángulo se cumple: Clave C 17. Dato: a4 = 2 / a10 = 128 a4 = a1 . q3 a10 = a1 . q9 Clave C 22. I) Fila 1 Luego: a10 q9 = 3 = q6 a4 q 128 = q6 & q6 = 64 = 26 2 ` q=2 10° + 10° + r + 10° + 2r = 180° 30° + 3r = 180° 3r = 150° r = 50° Pero piden el mayor 10° + 2r = 110° 3 Fila 2 Fila 3 Fila 4 ... Fila 10 6 12 24 ... x ... Es una PG de razón: q = 2 & t10 = 3(2)9 = 3 # 512 = 1536 II) 3 + 6 + 12 + 24 + ... + 3(2)11 (suma de las 12 filas) Clave B S12 = 3 (212 - 1) = 3 # 212 - 3 = 12 285 2-1 Resolución de problemas 18. Dato: primer término a1 Razonamiento y demostración 23. A = 1 + 22 + 13 + 24 + ... 7 7 7 7 quinto término a1q4 donde q: razón a1 q4 = 16 & q = 2 & a1 Dato: a1 + a1 16 = 51 17a1 = 51 a1 = 3 a3 = a1q2 & a3 = 3 . 22 = 12 Clave C 46 Intelectum 1.° A = c 1 + 13 + 15 + ... m+ c 22 + 24 + 26 + ... m 7 7 7 7 7 7 2 2 1 1 7 + 72 = 7 + 49 A= 48 48 1 - 12 1 - 12 49 49 7 7 A= 7 + 2 = 9 48 48 48 29. : a1 ; a2 ; a3; a4; ...; a10 ` A= 3 16 Datos: ▪▪ a1 + a2 + a3 + … +a10 = 60 Sabemos que: a +a Sn = c 1 10 m 10 = 60 2 & a1 + a10 = 12 …(I) …(II) Dato: a10 - a1 = 18 Clave B 24. 5° = 50; 55; 60; 65 ... 145; 149 PA de razón 5 145 55 + 1 n= 5 n.° términos: 19 Sumando (I) y (II): 2a10 = 30 ` a10 = 15 (55 + 145) 19 2 S10 = 1900 & S20 = Clave A Clave C MARATÓN MATEMÁTICA (página 94) 25. De la PG: q = 2 = 2 1. 2 & a10 = a1q & a5 = a1q 10 - 1 a) |x - 3| = 4 & x-3=!4 x1 = 7 ; x2 = -1 5-1 a10 = q5 = a5 5 logx9 = 2 & x2 = 9 x=!3 x1 = +3 0 x2 = -3 2 =4 2 Clave D 26. De la PA: Por definición de logaritmos: x>0 & x=3 5b + 3a - (4a - 3b) = 4a - 3b - (a + b) 8b - a = 3a - 4b 12b = 4a a =3 b log3(x + 2) + log39 = 1 log3(x + 2) + 2log33 = 1 Clave A log3(x + 2) = -1 x + 2 = 3-1 x= 1 -2= -5 3 3 Resolución de problemas 27. SL = 8 a1 = 8 & a1 = 8(1 - q) ...(1) 1-q Además: a1 + a2 = 6 a1 + a1 . q = 6 a1(1 + q) = 6 & a1 = De (1) y (2): 8(1 - q) = 6 1+q b) F(x) = 7x - 3 (Evaluando) q2 = 1 & q = 1 4 2 Reemplazando este valor en (1): ` a1 = 4 Clave D a10 = a1 + 9r & a1 + 9r = 39 De (1) y (2): & r = 4 / a1 = 3 ^2a1 + ^n - 1h r h n Sn = = 465 2 (6 + (n - 1)4)n = 930 (4n + 2)n = 930 (2n + 1)n = 465 (2n + 1)n = 31 . 15 ` n = 15 11 25 46 18 -17 x 2 4 7 3 -2 c) 1; 3; ... 38; 39 ...(2) 6 & 1 - q2 = 6 = 3 8 4 1+q 28. a5 = a1 + 4r & a1 + 4r = 19 F(x) ...(1) Es una progresión geométrica de razón 3. PG: Sn = a1 e n: n° de términos = 10 ; q: razón = 3 & Sn = 1 -3; 4; ...; 95;102 PA de razón 7 Sn = ...(2) qn - 1 o q-1 ^310 - 1h 3-1 10 = 3 -1 2 (- 3 + 102) n 2 & Sn = 812 102 - (- 3) +1 7 n = 16 n= (x - 7) (x + 1 - 8) =2. F(x) = 7 - x = x+1 x+1 8 -1 & F(x) = x+1 Clave E x+1 Del dominio formamos F(x). 0< x#5 1< x+1 #6 ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4 47 Evaluando: 3k + 2k = 30 k=6 & f(x) = 6k 1 # 1 <1 6 x+1 4 # 8 <8 3 x+1 1 # 8 -1 <7 3 x+1 En lo que piden F(x) Clave A 3. |x - 3| = 3 6 (7) + 6 (8) =5 6 (3) 9. Por definición: x-1>0 & x > 1 / x - 3 > 0 / x ! 4 & x ! G0, + 3H - {4} x-3= !3 x1 = 6; x2 = 0 Clave D 4. 4x - 2x + 2 - 32 = 0 22x - 2x + 2 - 25 2x -2 . 22 x 2 2 2 - 2 . 2x + 2 2x + 2 x>3 De la ecuación: (x - 3)2 = x - 1 x2 - 7x + 10 = 0 x -5 x -2 & x = 5; x = 2 & x = 5 (cumple con la restricción) Clave D -2x + 2 10. Invitados (2x - 23)(2x + 22) = 0 & 2x = 23 0 2x = -22 & x = 3 7; 10; 13; ... 37 & Es una PA. Clave C 5. T11 = a1 + (11 - 1)r = 25 T4 = a1 + (4 - 1)r = 11 & El tiempo que transcurre n (n.° términos) # 5(min) ... (I) & De la PA: n = 37 - 7 + 1 = 11 3 ... (II) ` El tiempo que transcurre 11 . 5 = 55 minutos Clave C (I) - (II): 7r = 14 `r=2 Clave A 2 2logxy = 10 & logxy = 5 & xy = 10 & xy = 10 ...(1) ...(2) (2) en (1): 960 = ` a=5 Clave C x = T12 = -5 + (12 - 1)4 razón & x = 39 y = T20 = -5 + (20 - 1)4 y = 71 & x + y = 110 48 Intelectum 1.° an - 10 + 1 ...(2) 4 (an + 10) (an - 6) 8 96 . 80 = (an + 10)(an - 6) & an -6 = 80 an = 86 (páginas que lee el último dia) Clave D f(3) + f(2) = 30 10 + an m n ...(1) 2 producto de 2 números que se diferencian en 16 7. En la PA de razón 4: 8. Función de proporcionalidad F(x) = kx PA de razón 4 n.° de dias: n = Igualamos (1) y (2): 10a = 105 Total de páginas: 960 = Sn = c De logxy = a a 11. Páginas que lee: 10 + 14 + 18 + ... + an 2 6. Del dato: logx + logy = 10 5 Clave A & En (2): n = 86 - 10 + 1 = 20 (dias en que demorará en leer toda la obra) 4 & Del 12 al 30 de abril trascurrieron 17 días. ` Terminará el 3 de mayo. Clave E