145687829 Teoria De Errores Fisica Exp Sensores Impri

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL AL ALTIPLANO TIPLANO INGENIERIA GEOLOGICA TEORIA TEORIA DE ERRORES I. INTRODUCCIÓN. Una magnitud física es un atributo de un cuerpo, un fenómeno o una sustancia, que puede determinarse cuantitativamente, es decir, es un atri atribu buto to susc suscep eptitibe be de ser medi medido do!! E"em E"emp pos os de magn magnititud udes es son son a ongitud, a masa, a potencia, a veocidad, etc! A a magnitud de un ob"eto específico específico que estamos interesados interesados en medir, medir, a amamos amamos mesura me surando! ndo! #or e"empo, si estamos interesado en medir a ongitud de una barra, esa ongitud específica ser$ e mesurando! #ara estab estabec ecer er e vaor vaor de un mesura mesurando ndo tenem tenemos os que usar  usar  instrumentos de medición % un m&todo de medición! Asim Asimis ismo mo es necesario definir unidades de medición! #or e"empo, si deseamos medir  e argo de una mesa, e instrumento de medición ser$ una rega! Si 'emos eegido e Sistema Internaciona de Unidades (SI), a unidad ser$ e metro % a rega a usar deber$ estar caibrada en esa unidad (o subm*tipos)! E 1 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL AL ALTIPLANO TIPLANO INGENIERIA GEOLOGICA m&todo de medición consistir$ en determinar cu$ntas veces a rega % fracciones de ea entran en a ongitud buscada! En ciencias e ingeniería, e concepto de error tiene un significado difere diferente nte de uso 'abitua 'abitua de este t&rmino! +ooquiamente, +ooquiamente, es usua e empeo de t&rmino error como an$ogo o equivaente a equivocación! En ciencia e ingeniería, e error, como veremos en o que sigue, est$ m$s bien asociado asociado a concepto concepto de incertea en a determ determina inación ción de resut resutado ado de una medición! En todo proceso de medición e-isten imitaciones dadas por os inst instru rume ment ntos os usad usados os,, e m&to m&todo do de medi medici ción ón,, e obse observ rvad ador or (u observadores) que reaian a medición! Asimismo, e mismo proceso de medición introduce errores o incerteas! #or e"empo, cuando usamos un termómetro para medir una temperatura, parte de caor de ob"eto fu%e a termómetro (o viceversa), de modo que e resutado de a medici medición ón es un vaor vaor modif modifica icado do de origin origina a debido debido a a inevit inevitab abe e interacción que debimos reaiar! Es caro que esta interacción podr$ o no ser significativa. Si estamos midiendo a temperatura de un metro c*bico de agua, a cantidad de caor transferida a termómetro puede no ser significativa, pero si o ser$ si e voumen en cuestión es de peque/a fracción de miiitro! Tanto anto os os inst instru rume ment ntos os que que usam usamos os para para medi medirr como como as as magnitudes mismas son fuente de incerteas a momento de medir! 0os inst instru rume ment ntos os tien tienen en una una prec precis isió ión n fini finita ta,, por por o que, que, para para un dado dado instrumento, siempre e-iste una variación mínima de a magnitud que puede puede detec detectar tar!! Esta Esta mínima mínima cantid cantidad ad se denomi denomina na a apreci apreciaci ación ón nomina nomina de de instru instrumen mento! to! #or e"emp e"empo, o, con una una rega rega gradu graduada ada en miímetros, no podemos detectar variaciones menores que una fracción de miímetro!  A su ve, as magnitudes a medir no est$n definidas con infinita precisión! Imaginemos que queremos medir e argo de una mesa! Es 2 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL AL ALTIPLANO TIPLANO INGENIERIA GEOLOGICA m&todo de medición consistir$ en determinar cu$ntas veces a rega % fracciones de ea entran en a ongitud buscada! En ciencias e ingeniería, e concepto de error tiene un significado difere diferente nte de uso 'abitua 'abitua de este t&rmino! +ooquiamente, +ooquiamente, es usua e empeo de t&rmino error como an$ogo o equivaente a equivocación! En ciencia e ingeniería, e error, como veremos en o que sigue, est$ m$s bien asociado asociado a concepto concepto de incertea en a determ determina inación ción de resut resutado ado de una medición! En todo proceso de medición e-isten imitaciones dadas por os inst instru rume ment ntos os usad usados os,, e m&to m&todo do de medi medici ción ón,, e obse observ rvad ador or (u observadores) que reaian a medición! Asimismo, e mismo proceso de medición introduce errores o incerteas! #or e"empo, cuando usamos un termómetro para medir una temperatura, parte de caor de ob"eto fu%e a termómetro (o viceversa), de modo que e resutado de a medici medición ón es un vaor vaor modif modifica icado do de origin origina a debido debido a a inevit inevitab abe e interacción que debimos reaiar! Es caro que esta interacción podr$ o no ser significativa. Si estamos midiendo a temperatura de un metro c*bico de agua, a cantidad de caor transferida a termómetro puede no ser significativa, pero si o ser$ si e voumen en cuestión es de peque/a fracción de miiitro! Tanto anto os os inst instru rume ment ntos os que que usam usamos os para para medi medirr como como as as magnitudes mismas son fuente de incerteas a momento de medir! 0os inst instru rume ment ntos os tien tienen en una una prec precis isió ión n fini finita ta,, por por o que, que, para para un dado dado instrumento, siempre e-iste una variación mínima de a magnitud que puede puede detec detectar tar!! Esta Esta mínima mínima cantid cantidad ad se denomi denomina na a apreci apreciaci ación ón nomina nomina de de instru instrumen mento! to! #or e"emp e"empo, o, con una una rega rega gradu graduada ada en miímetros, no podemos detectar variaciones menores que una fracción de miímetro!  A su ve, as magnitudes a medir no est$n definidas con infinita precisión! Imaginemos que queremos medir e argo de una mesa! Es 2 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL AL ALTIPLANO TIPLANO INGENIERIA GEOLOGICA posibe que a usar instrumentos cada ve m$s precisos empecemos a notar as irreguaridades típicas de corte de os bordes o, a ir aun m$s a$, a$, finam finament ente e detect detectemo emoss a natur naturae aea a atómic atómica a o moec moecua uarr de de materia que a constitu%e! Es caro que en ese punto a ongitud de"ar$ de estar bien definida! En a pr$ctica, es posibe que muc'o antes de estos casos ímites, a fata de paraeismo en sus bordes 'aga que e concepto de a 1ongitud de a mesa2 comience a 'acerse cada ve menos definido, % a esta imitación intrínseca a denominamos denomina incertea intrínseca o fata de definición de a magnitud en cuestión! Otro e"empo sería e caso en que se cuenta a cantidad de partíc partícua uass afa afa emitid emitidas as por una fuente fuente radioa radioacti ctiva va en 3 segund segundos! os! Sucesivas mediciones arro"ar$n diversos resutados (simiares, pero en gene genera ra dist distin into tos) s)!! En este este caso caso,, de nuev nuevo, o, esta estamo moss fren frente te a una una manifestación de una incertea intrínseca asociada a esta magnitud 1n*m 1n*mer ero o de part partíc ícu uas as emit emitid idas as en 3 s2, s2, m$s m$s que que a erro errorr de os os instrumentos o de observador! II. ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS. Otra fuente de error que se origina en os instrumentos adem$s de a precisión precisión es a e-actitud e-acti tud de os mism mismos! os! +omo +omo vimos, vimos, a prec precis isión ión de un instrumento o un m&todo de medición est$n asociados a a sensibiidad o menor variación de a magnitud itud que se pueda detectar con dic'o instrumento o m&todo! Así, decimos que un tornio microm&trico (con una apreciación nomina nomina de 45 m) es m$s preciso preciso que una una rega rega gradua graduada da en miímetros6 o que un cronómetro es m$s preciso que un reo" com*n, etc! 0a e-actitud de un instrumento o m&todo de medición est$ asociada a a caid caidad ad de a caib caibra raci ción ón de mism mismo! o! Imag Imagin inem emos os que e cron cronóm ómet etro ro 3 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL AL ALTIPLANO TIPLANO INGENIERIA GEOLOGICA que usam usamos os es cap capa de deter etermi mina narr a cent cent&s &sim ima a de seg segundo pero ero adeanta dos minutos por 'ora, mientras que un reo" de pusera com*n no o  o 'ace! En este caso decimos decimos que e cronómetro cronómetro es todavía m$s preciso preciso que e e reo" com*n, pero menos e-acto! e-acto! 0a e-actitud e-actitud es una medida de a caidad de a caibración de nuestro instrumento respecto de patrones patrones de medida medida acepta aceptado doss inte intern rnac acio iona nam men ente! te! En gene genera ra os os instrumentos vienen caibrados, pero dentro de ciertos ímites! Es deseabe que a caibración de un instrumento sea tan buena como a apreciación de mismo! 0a 7igura iustra de modo esquem$tico estos dos conceptos! 7igura Esta figura iustra de modo esquem$tico os conceptos de precisión % e-actitud! 0os centros de os círcuos indican a posición de 1verdadero vaor2 de mesurando % as cruces os vaores de varias determinaciones de centro! 0a dispersión de os puntos da una idea de a precisión, mientras que su centro efectivo (centroide) est$ asociado a 4 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL AL ALTIPLANO TIPLANO INGENIERIA GEOLOGICA a e-actitud! a) Es una determinación precisa pero ine-acta, mientras d) es m$s e-acta pero imprecisa6 b) es una determinación m$s e-acta % m$s precisa6 c) es menos precisa que a)! Decimos que conocemos e vaor de una magnitud dada, en a medida en que conocemos sus errores! En ciencia consideramos que a medición de una magnitud con un cierto error no significa que se 'a%a cometido una equivocación o que se 'a%a reaiado una maa medición! +on +on a indi indica cacción ión de de erro errorr de medi medici ción ón e-pr e-pres esam amos os,, en form forma a cuantitativa % o m$s precisamente posibe, as imitaciones que nuestro proces proceso o de medic medición ión introd introduc uce e en a determ determina inació ción n de a magnit magnitud ud medida! ¿Qué es el error en ingenier!" +uando +uando se reai reaian an medici medicione oness de fu"o, fu"o, es import importan ante te darse darse cuenta enta que ning ning* *n vaor aor reg registr istrad ado o de un par$me r$metr tro o dad dado es perfec perfectam tament ente e precis preciso! o! 0os instru instrumen mentos tos no miden miden a amad amado o 1vaor  1vaor  verdadero2 de par$metro, sino que dan una estimación de dic'o vaor! E error es a incertidumbre en una medición! 8unca se puede medir ago e-actamente, por o tanto se trata de minimiar e error, % para esto se desarroó a teoría de error! Si no conocemos e error en una medición no conocemos qu& tan confiabe es e resutado, por eso es que un resutado e-perimenta sin un error asociado no representa nada! II III. I. CLASI# ASI#IC ICAC ACIÓ IÓN N DE ERRO ERRORE RES S 0os errores pueden casificarse en dos grandes grupos. A$ Sis%e&'%i(os ) B$ A((i*en%!les. A. Error Errores es sis%e& sis%e&'%i '%i(os (os.. Son aqu&os que se reproducen constantemente % en e mismo 5 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO INGENIERIA GEOLOGICA sentido! #or e"empo, si e +ERO de un votímetro no est$ a"ustado correctamente, e despaamiento de +ERO se propagar$, en e mismo sentido, a todas as medidas que se reaicen con &!  Atendiendo a su origen os errores sistem$ticos se casifican en. A.+$ Errores %e,ri(os. Son os introducidos por a e-istencia de condiciones distintas a as ideamente supuestas para a reaiación de e-perimento! Un e"empo de error teórico es e que resuta de a e-istencia de a fricción de aire en a medida de g con un p&nduo simpe! A.-$ Errores ins%ru&en%!les. Son os in'erentes a propio sistema de medida, debido a aparatos ma caibrados, ma regados o, simpemente, a as propias imitaciones de instrumento o ag*n defecto en su construcción! Estos errores pueden ser atenuados por comparación con otros aparatos 9garantiados9, cu%o error instrumenta sea m$s 9peque/o9 % controabe! A.$ Errores /erson!les. Son os debidos a as pecuiaridades de observador que puede, sistem$ticamente, responder a una se/a demasiado pronto o demasiado tarde, estimar una cantidad siempre por defecto, etc! B. Errores !((i*en%!les Son debidos a causas irreguares % aeatorias en cuanto a presencia % efectos. corrientes de aire, variaciones de a temperatura durante a e-periencia, etc! Así como os errores sistem$ticos pueden ser atenuados, os errores accidentaes para un determinado e-perimento, en unas condiciones dadas, no pueden ser controados! Es m$s, os errores accidentaes se producen a aar % no pueden ser  6 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO INGENIERIA GEOLOGICA determinados de forma unívoca! #ara tratar adecuadamente este tipo de errores es preciso 'acer uso de a estadística % 'abar en t&rminos probabiísticos! +omo veremos, no podemos decir que e error de una medida sea de 3 unidades, por e"empo, sino que 'abr$ que decir que e-iste una probabiidad # (de :3;, por e"empo) de que e error sea inferior a 3 unidades! IV. 0ANERAS DE E1PRESAR EL ERROR. 0a incertidumbre es a suma de *es2o % de a /re(isi,n! Desvío es a incertidumbre sistem$tica presente durante una prueba, se considera que permanece constante durante mediciones repetidas de un cierto con"unto de par$metros! 8o e-iste una formuación estadística que pueda ser apicada para estimar e desvío, su vaor por consiguiente debe basarse en estimaciones! 0as caibraciones % as mediciones a%udan en su estimación! #recisión se encuentra mediante mediciones repetidas de a pobación de par$metros % con a utiiación de a desviación est$ndar como índice de precisión! En a situación en a cua no se reaian mediciones repetidas, se debe usar un soo vaor6 sin 7 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO INGENIERIA GEOLOGICA embargo se obtendr$ menos precisión! 0a figura 4 iustra  a definición de incertidumbre! Se ense/a un muestreo de os datos (ínea continua) cu%a distribución se supone D= 0o que significa en as condiciones que se reaió a medición % despu&s de reaiar un an$isis de error, se sabe que a variabe medida se encuentra en un intervao de vaores. (= ? D=, = @ D=)  Adem$s es necesario estabecer e desvío % a probabiidad # de registrar e mensurando con a precisión estabecida!  Error !3solu%o Se presenta e error en as mismas unidades que a cantidad medida! #or e"empo,  B 8 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO INGENIERIA GEOLOGICA C!>5!5:gr  0o que quiere decir que a masa puede variar entre. C!3C gr! F  F C!: gr   Error rel!%i2o Se e-presa como una cantidad reativa a a medida obtenida! Es decir. #or e"empo. 4. CUANTI#ICACIÓN DE ERRORES. Desde e punto de vista de su cuantificación, os errores se casifican en. A) Error absouto % G) Error reativo! A. Error !3solu%o Se define como a diferencia que e-iste entre e vaor rea de a magnitud a medir % e obtenido en una medida! #uesto que es una diferencia de vaores de una misma magnitud, e error absouto se e-presa en as mismas unidades que a magnitud! Así pues, si - es e vaor medido, -H e vaor rea % - e error instrumenta o sensibiidad de aparato de medida, se satisface a reación ue se representa en a forma E error absouto, que se identifica en primera apro-imación con e error instrumenta, es e par$metro b$sico utiiado en a 9 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO INGENIERIA GEOLOGICA descripción de una medida % es, en genera, conocido o determinabe a priori! Sin embargo, no es e que define con ma%or efectividad a bonana de a apro-imación de a medida! En efecto, supongamos que tenemos una rega con un error de cero de 5,3 cm % que con ea medimos dos ongitudes, obteniendo J,3 cm para una de eas % J5,3 cm para a otra! Si suponemos que as ongitudes reaes son J cm % J5 cm respectivamente, es evidente que ambas medidas 'an sido medidas con un error absouto de 5,3 cm, pero a primera medida se apro-ima muc'o menos a a ongitud rea que a segunda, % a raón es obvia. una diferencia de 5,3 cm es una parte considerabe de una ongitud de J cm, mientras que es una parte peque/a de J5 cm! Surge, así, e concepto de error reativo! B. Error rel!%i2o. Se define como e cociente entre e error absouto K- % e vaor rea -H de a magnitud Donde x es e vaor medido! Utiiaremos a segunda e-presión cuando, como es 'abitua, no conocamos e vaor rea de a magnitud! Es costumbre e-presar e error reativo porcentuamente, 4I. E1PRESIÓN DE LAS 0EDIDAS Dado e significado de cota de garantía que tiene, suee darse e vaor de error absouto con una soa cifra significativa, aumentando dic'a cifra en 10 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO INGENIERIA GEOLOGICA una unidad si a primera que se desprecia es ma%or o igua que 3! +uando a primera cifra significativa es 4, resuta m$s correcto mantener a segunda cifra de error absouto cuando &sta es menor que 3! E vaor de a magnitud debe tener sóo as cifras necesarias para que su *tima cifra significativa sea de mismo orden decima que a *tima cifra significativa que se tome para e error absouto! E truncado (o redondeo) de vaor de a magnitud debe reaiarse soamente en a e-presión fina de as medidas, no en as operaciones intermedias que podamos reaiar con &, %a que perderíamos información e-perimenta % e resutado fina puede verse afectado igeramente! En a taba I vemos diversos e"empos de e-presión de magnitudes en forma incorrecta (coumna iquierda) % de forma correcta (coumna derec'a)! 4II. 0EDIDA DIRECTA DE UNA 0AGNITUD. Dos son os tipos de errores m$s corrientes que se presentan en a medida directa de una magnitud. A) Errores sistem$ticos % G) Error de sensibiidad de aparato! A$ Errores sis%e&'%i(os. +onsideraremos sóo dos de eos! 11 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO INGENIERIA GEOLOGICA Error *el (ero , introducido por un desa"uste de instrumento de medida! +onsiste en que, por defecto de a"uste, una medida que debiera resutar  nua (aparato en vacío), da distinta de cero! Agunos instrumentos poseen un dispositivo de 9a"uste de cero9, que permite corregir  f$cimente este error! Si no o tuviera, para determinar este error se efect*a a ectura de aparato en vacío % se corrigen as medidas que se reaicen rest$ndoes (error por e-ceso) o sum$ndoes (error por defecto) e error de cero! Error *e /!r!l!5e , originado cuando se observa a agu"a indicadora de un instrumento (por e"empo, de un poímetro anaógico) con un cierto $nguo de incinación % no perpendicuarmente a a misma! #ara evitar  este error, muc'os instrumentos de agu"a poseen un espe"o deba"o de a misma, debi&ndose tomar a medida cuando a agu"a % su imagen coincidan, %a que en este momento estaremos mirando perpendicuarmente a aparato! E-isten otros errores sistem$ticos en cu%o an$isis no nos detendremos! B) Error *e sensi3ili*!* *el !/!r!%o. +omo mencionamos anteriormente, definimos sensibiidad de un instrumento (o error instrumenta) como e intervao m$s peque/o de a magnitud medibe con &! E error absouto se identifica, en primera apro-imación, con a sensibiidad de aparato! Así, si a división m$s peque/a de una rega es de 4 mm e error de sensibiidad de a misma ser$ 4mm! #ara saber cu$ntas medidas directas de una misma magnitud 'a% que reaiar, debemos detectar as causas de error, %a que e tratamiento de os datos % a e-presión de resutado es diferente seg*n a naturaea de as causas! Si reaiamos una soa medida, nos cabe a duda de si e resutado es reproducibe (Lse repetir$ e resutado en a siguiente medidaM)! Si reaiamos dos, cuaquier diferencia entre ambas no nos permite 12 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO INGENIERIA GEOLOGICA seeccionar entre eas! +oncuimos, pues, que e n*mero mínimo de medidas a reaiar es C, % &ste es e n*mero inicia de medidas con e que nos contentaremos en as pr$cticas de aboratorio, aunque sería m$s seguro reaiar agunas m$s! Reaiadas C medidas, cacuamos a dispersión o diferencia, D, entre os vaores e-tremos! Se nos pueden presentar dos casos. +$ que D sea cero o igua que e error instrumenta! En este caso, tomaremos como me"or vaor de a magnitud a media aritm&tica de as C medidas, % como error absouto e error instrumenta . -$ que D sea ma%or que e error instrumenta! En este caso, e n*mero de medidas necesario puede ser ma%or, siendo m$s fiabe a medida cuanto ma%or sea e n*mero de medidas reaiadas! De nuevo, tomaremos como me"or vaor a media aritm&tica de todas as medidas, % e error absouto o identificaremos con Donde n es e n*mero de medidas % t es un par$metro (t de Student) cu%o vaor depende de a probabiidad de que e verdadero vaor de a magnitud 8ótese que a ecuación tiende a cero cuando n tiende a infinito! Gasta, pues, con reaiar un n*mero suficiente de medidas para iguaar e error estadístico a cuaquier vaor fi"ado de 13 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO INGENIERIA GEOLOGICA antemano! #ara , 43 % 35 medidas os vaores de t pueden verse en as tabas II, III % IN, respectivamente! Ci6r!s signi6i(!%i2!s. +uando reaiamos una medición con una rega graduada en miímetros, est$ caro que, si somos cuidadosos, podremos asegurar nuestro resutado 'asta a cifra de os miímetros o, en e me"or de os casos, con una fracción de miímetro, pero no m$s! De este modo nuestro resutado podría ser 0 B (3!J > 5!3) mm, o bien 0 B (3 > 4) mm! En e primer caso decimos que nuestra medición tiene tres cifras significativas % en e segundo caso sóo dos! E n*mero de cifras significativas es igua a n*mero de dígitos contenidos en e resutado de a medición que est$n a a iquierda de primer dígito afectado por e error, incu%endo este dígito! E primer dígito, o sea e que est$ m$s a a iquierda, es e m$s significativo ( en nuestro caso) % e *timo (m$s a a derec'a) e menos significativo, %a que es en e que tenemos 1me? nos seguridad2! 8ótese 14 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO INGENIERIA GEOLOGICA que carece de sentido incuir en nuestro resutado de 0 m$s cifras que aqueas en donde tenemos incertidumbres (donde 1cae2 e error)! 8o es correcto e-presar e resutado como 0 B (3!CJ4 4) mm, %a que si tenemos incertidumbre de orden de 4 mm, ma podemos asegurar e vaor de as d&cimas, cent&simas % mi&simas de miímetro! Si e vaor de 0 proviene de un promedio % e error es de orden de miímetro, se debe redondear e dígito donde primero cae e error! Es usua e-presar as incertidumbres con una soa cifra significativa, % soo en casos e-cepcionaes % cuando e-iste fundamento para eo, se pueden usar m$s! Tambi&n es usua considerar que a incertidumbre en un resutado de medición afecta a a *tima cifra si es que no se a indica e-pícitamente! #or e"empo, si sóo disponemos de a información que una ongitud es 0 B 3 mm, podemos suponer que a incertidumbre es de orden de miímetro %, como di"imos antes, e resutado de 0 tiene dos cifras significativas! Una posibe fuente de ambigPedad se presenta con e n*mero de cifras significativas cuando se 'ace un cambio de unidades! Si en e *timo e"empo deseamos e-presar 0 en m, e resutado sería 0 B (3555>4555) m! L+u$ntas cifras significativas tenemos en este resutadoM +aramente dos, igua que antes, %a que a *tima cifra significativa sigue siendo 3! Sin embargo, si no indicamos e-pícitamente a incertidumbre de 0, es difíci saber cu$ntas cifras significativas tenemos! 8ótese que 3 mm 3555 m, %a que e primer resutado tiene sóo dos cifras significativas mientras e segundo tiene 3 (a propósito compare os costos de os instrumentos para reaiar estas dos cases de determinaciones)! #ara evitar estas ambigPedades se empea a notación científica! #odemos escribir a siguiente iguadad. !3 -454 mm B !3 - 45m! 8otemos que os n*meros en ambos miembros de a iguadad tienen igua n*mero de cifras significativas, siendo a *nica 15 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO INGENIERIA GEOLOGICA diferencia as unidades usadas! 4III. 7ISTOGRA0AS 8 DISTRIBUCIÓN ESTAD9STICA. +onsideremos una pobación de personas de una ciudad % que queremos anaiar cómo se distribu%en as estaturas de a pobación! #ara evar  adeante este estudio podemos medir a atura de todos os individuos de a pobación, o bien tomar una muestra representativa de a misma, a partir de a cua inferiríamos as características de a pobación! Esta case de estudio es un típico probema de estadística! Si tomamos una muestra de tama/o 8 % para a misma medimos as aturas de cada individuo, este e-perimento dar$ 8 resutados. - 4, -J, -C,!!!, -8! Todos estos datos estar$n comprendidos en un intervao de aturas (- min, -a-) entre menor % ma%or atura medidas! Una manera *ti de visuaiar as características de este con"unto de datos consiste en dividir e intervao ( -min, -a-) en m sub intervaos iguaes, deimitados por os puntos (%4, %J, %C, !!!, %m) que determinan o que amaremos e rango de cases! Seguidamente, contamos e n*mero n 4 de individuos de a muestra cu%as aturas est$n en e primer intervao Q% 4, %J), e n*mero n " de os individuos de a muestra que est$n en e "? &simo intervao Q% "?4, % "), etc!, 'asta e subintervao m! Aquí 'emos usado a notación usua de usar corc'etes, Q, para indicar un intervao cerrado (incu%e a e-tremo) % par&ntesis comunes, (), para denotar un intervao abierto (e-cu%e e e-tremo)! +on estos vaores definimos a función de distribución f  " que se define para cada subintervaos " como. 16 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO INGENIERIA GEOLOGICA Esta función de distribución est$ normaiada, es decir. E gr$fico de  "f  versus - " Q- " B 5!3 ( % "?4 @ % ") nos da una cara idea de cómo se distribu%en as atura de os individuos de a muestra en estudio! Este tipo de gr$fico se ama un 'istograma % a ma%oría de as 'o"as de c$cuo de programas comerciaes (E-ce, +uatro? #ro, Origen, etc!) tienen 'erramientas para reaiar as operaciones descriptas aquí % e gr$fico resutante! En a 7ig! 4!C iustramos dos 'istogramas típicos! #igur! istograma de dos muestras con igua vaor medio pero con distintos grados de dispersión! En este e"empo, os datos tienen una distribución . E;/eri&en%os *i*'(%i(os. Se trata de a variante acad&mica % did$ctica de os anteriores! uc'os físicos e-perimentaes de =NIII poseían su coección particuar de instrumentos que ponían a disposición de as c$tedras donde eran contratados para ense/ar su discipina! Durante ese sigo % e siguiente as mismas c$tedras se fueron 'aciendo con e instrumenta necesario tanto para os propósitos docentes como para os de investigación! ?. E;/eri&en%os &en%!les. Son e-perimentos imaginarios cu%o ob"etivo es iustrar o refutar una teoría! #ueden considerarse como argumentaciones ógicas, discursos, en os que se 'acen intervenir artefactos % fenómenos imaginarios! Descartes, #asca o