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ABSORSOR DINAMICO DE VIBRACIONES NO AMORTIGUADO
Una maquina maquina o parte de una maquina sobre sobre la cual actúa una una fuerza alterna alterna de frecuen frecuencia cia constan constante, te, puede puede percibir percibir vibracio vibraciones, nes, detestab detestables les especia especialmen lmente te cuando está cerca de entrar en resonancia. Para mejorar esta situación, podemos intentar primero la eliminación de la fuerza. A menudo menudo esto no es práctico práctico ni posible. posible. Por lo tanto, podemos podemos cambiar cambiar la masa o la cons consta tant nte e del del reso resort rte e del del sist sistem ema a en un inte intent nto o para para alej alejar arno nos s de las las condiciones de resonancia, aunque a veces esto tampoco resulta practico. La tercera posibilidad consiste en la aplicación del absorsor dinámico de vibraciones inventado por Fram en !"#". $n la fi%ura &.', sea la combinación combinación de ( ) * la representación representación esquemática esquemática de la maquina en consideración, ) actuando sobre ella
Po senωt . $l amorti%uador amorti%uador de
vibrac vibracio iones nes cons consist iste e de un sistem sistema a vibra vibrator torio io relati relativa vame mente nte peque peque+o +o ) m acoplado a la masa principal *. La frecuencia natural acoplado acoplado se esco%e de manera que sea i%ual a la
k / m del amorti%uador √ k
ω de la fuerza perturbadora.
-e demostrara entonces que la masa principal * no vibra en lo absoluto, ) que el peque+o sistema ) n vibra de tal manera que su fuerza de resorte es en todo instante instante i%ual i%ual ) de sentido sentido contrar contrario io a
Po senωt . Asi pues, no abrá nin%una
fuerza neta actuando sobre * ), por lo tanto , la masa no vibrara.
Para demostrar esta proposición, escribiremos las ecuaciones del movimiento. $sto resulta sumamente sencillo, puesto que la fi%ura &.' es un caso particular de k 2 se a eco cero. *as aun, tenemos la fuerza
la fi%ura &.!, en la que eterior
Po senωt actuando sobre la primera masa *. Las ecs. /&.!0 ) /&.10
quedan entonces modificadas a Ec. 3.10
M x´1 + ( K + k ) x 1−k x 2= Po sen ωt
m x´ 2 + k ( x 2+ x1 ) =0
La vibración forzada del sistema será de la forma
Ec. 3.11
x 1=a1 sen ωt x 2=a2 sen ωt
$sto es evidente, puesto que la /&.!#0 contiene solamente los t2rminos , x 2 , x´ 2 ,pero no asi las primeras derivadas
x 1
)
x 2
x 1 , x 1
. La función seno
resulta otra vez una función seno despu2s de obtener su se%unda derivada ), en consecuencia, con el supuesto de la /&.!!0, todos los t2rminos de la /&.!#0 serán proporcionales a
sin ωt
, la ecuación diferencial se transforma en una ecuación
al%ebraica, como vimos anteriormente con las $cs. 3e la /&.!0 a la /&.40. $l resultado es que Ec. (3.12) a1 (− M ω + K + k ) −k a2= P0 2
−k a + a (−mω + k )= 0 2
1
2
Para simplificar, se pondrán en una forma sin dimensiones, para lo cual introduciremos los si%uientes s5mbolos6 x st = P0 / K =deformacionestaticadel sistema principal 2
ω a=k / m=frecuencia naturaldel absorsor 2
Ωn= K / M =frecuencianatural del sistema principal μ= m / M = proporcion de masas =masa del absorsor / masa principal
Asi., La $c. /&.!10 resulta Ec. 3.13
(
2
)
k ω k a1 1 + − 2 − a2 = x st K Ωn K
( ) 2
ω a1= a2 1− 2 ωn
7, resolviendo para
a1 )
Ec. 3.14
2
a1 = x st −ω 2 2 ωa
( )(
ω 1− 2 ωa 2
)
k ω k 1 + − 2 − K Ωn K
a2 ,
a2 x st
=
1
( )( −ω
2
2
ωa
2
)
k ω k − 2 − 1+ K Ωn K
3e la primera de estas ecuaciones puede verse de inmediato la veracidad de nuestros ar%umentos. La amplitud
a1 de la masa principal es cero cuando el
2
ω 1− 2 ω a es cero, ) esto sucede cuando la frecuencia de la fuerza es la
numerador
misma que la frecuencia natural del amorti%uador. $aminemos aora la se%unda $c. /&.!40, para el caso en que
ω =ω a . $l primer
factor del denominador es entonces cero, de manera que esta ecuación se reduce a a2=
− K x =− P st k
0
k
8on la masa principal en reposo ) la masa del amorti%uamiento movi2ndose de acuerdo con
− P
0
sin ωt
− P / k ∗sin ωt , la fuerza en el resorte amorti%uador varia se%ún 0
, que es en realidad i%ual ) de sentido contrario a la fuerza eterior.
$stas relaciones son ciertas para cualquier valor de la razón
ω / Ωn . -e vio, sin
embar%o, que a+adir un amorti%uador no tiene razón de ser, a menos que el sistema ori%inal este en resonancia o mu) cercana a ella. 8onsideraremos, por lo tanto, en lo que si%ue el caso para el cual La razón
ω a =Ω n
ó
k K = m M
μ=
m M
ó
k m = K M
3efine entonces el tama+o del amorti%uador comparado con el tama+o del sistema principal, en este caso particula /&.!40, resulta $c. &.!9a, b 2
x1 = x st
ω 1− 2 ωa
( )( −ω
1
2
2
2
1
ωa
x2 x st
=
sin ωt
)
+ μ− ω − μ 2
ωa
1
( )( −
1
ω
2
2
1
ωa
+ μ−
ω
2
2
ωa
sin ωt
)
− μ
Una caracter5stica sorprendente de este resultado ) de la $c. /&.!40 es que los dos denominadores son i%uales. $sto no es una coincidencia sino que tiene una razón f5sica definida. Al multiplicarlos se ve que el denominador contiene un termino
2
proporcional a
2
ωa
ωa
2
ω /¿
ω /¿
¿ ¿ ¿
2
, otro termino proporcional a
¿ ¿ ¿
) un termino
independiente de esta razón. Al i%ualarla a cero, el denominador es una ecuación de se%undo %rado en
2
2
ω / ω a que tiene, por lo tanto, dos ra5ces. As5 pues, para
dos valores de la frecuencia eterior
ω , los dos denominadores de la /&.!90 se
acen cero ), en consecuencia, los valores de
x 1
)
x 2
se acen
infinitamente %randes. $stas dos frecuencias son la natural ) la de resonancia del sistema. -i los dos denominadores de la /&.!90 no fuesen i%uales, pudiera darse el caso de que para cierto valor de $sto si%nificar5a que
ω , uno de ellos fuera cero, pero no en el otro.
x 1 tenderia a infinito, pero no asi
x 2 . Pero si
x 1
se
ace infinita, las tensiones ) las compresiones del resorte del amorti%uador tender5an a infinito ), en consecuencia, la fuerza del resorte tambi2n. Asi pues, se nos presenta el caso posible de tener una amplitud
x 2
de la masa
del amorti%uador m con un valor finito, mientras actua sobre el una fuerza con k ( x 1− x 2 ) . :esulta, por lo tanto, evidente que si una de las
valor infinito
amplitudes se ace infinita, la otra deberá tender tambi2n a infinito ), en consecuencia, los dos denominadores de la /&.!90 debaran ser i%uales. Las frecuencias naturales se determinan i%ualando a cero los denominadores6
( )( 2
ω − 2 ωa
1
2
1
)
ω + μ− 2 − μ =0 ωa
( ) ( ) ( + )+ = 4
ω ω − ωa ωa
2
2
μ
1
7 con las soluciones Ec. 3.16
( )( )√ 2
2
ω μ μ ± μ + = 1+ ωa 2 4
0
ABSORSOR DE VIBRACIONES AMORTIGUADO
8onsidere el sistema de la fi%ura &.', en el que a colocado un amorti%uador paralelo al resorte del amorti%uador , entre las masas * ) m. $l resorte principal ( permanece sin nin%ún amorti%uador trav2s de el. Aplicando la le) de ;eU?@AL$;8?A 3$ 8?:8U?7 $L$8:?87 -u equivalencia puede establecerse fijando las ecuaciones de voltaje ) comparándolas con la /&.!B0 ) la /&.!C0 o por inspección directa, como si%ue. $l amorti%uamiento / o velocidad0 del resorte, el desplazamiento /o velocidad0 de * ) el desplazamiento / o velocidad0 de fuerza
P0 son i%uales a
x 1 /o
consecuencia, los elementos el2ctricos correspondientes !D8, L )
x 1 0. $n
E0 deberan
tener la misma corriente / i 1 0 ), por lo tanto, conectarse en serie. Las velocidades a trav2s de o a trav2s del amorti%uador /
x 1−´ x 2 0, son tambi2n
i%uales entre si de manera que !Dc ) deberán estar en sentido el2ctrico en serie, pero con corrientes diferente de la que flu)e a trav2s de los elementos principales L, 8 )
E0 . La velocidad de m es
x´ 2
, que es i%ual a la diferencia de la
velocidad de */ x´ 1 0 ) la velocidad a trav2s del resorte amorti%uador / x´ 1− x´2 0.
i2
Por lo tanto la corriente
que flu)e a trav2s de
l deberá ser i%ual a la
i
diferencia entre
i1
(¿ ¿ 1−i ) . >uedando asi establecida la equivalencia ¿
e
2
entre el circuito el2ctrico ) el sistema mecanico. i 1 . La impedancia de una bobina es
;os interesa la corriente principal 1 / jωL
la de un condensador es
jωL ,
, ) la de una resistencia es simplemente :. Las
impedancias en serie epresadas en forma en forma compleja se suman directamente ) con las impedancias en paralelo se suman reciprocos. Asi pues la impedancia de c en las ramificaciones
r es
r + 1 / jωc ) la ramificación
l es
jωl . $stas dos ramas en paralelo tienen una impedancia. 1 1
+
r + 1 / jωc
1
jωl
A la cual a) que sumarle la impedancia de los otros elementos en serie, dando Z = jωL +
1
+
jωC
1 1
+
1
=
E i1
r + 1 / jωc jωl
*ediante simplificaciones al%ebraicas ) transcribi2ndolas otra vez en t2rminos mecánicos su resultado será.
( k −m ω ) + jωc x = P {( − M ω + K ) (−m ω +k ) −m ω k }+ jωc {− M ω + K −m ω } 2
1
0
2
2
2
2
2
Amplit! !"l m#$imi"%t# !" l& m&'& pi%cip&l μ= m / M = proporcionde masas =masadel absorsor / masa principal 2
ω a=k / m=frecuencia naturaldel abosorsor 2
Ωa= K / M =frecuencianaturaldel sistemaprincipal f =ω a / Ωn=raon defrecuencias ( frecuenciasnaturales ) != ω / Ωn= proporcion dela frecuencia forada x st = P0 / K = "eformacionestatica del sistema Cc= 2 m Ω= amorti!uamiento critico
[
!2−1 + μ !2 ¿ 2+ μ f 2 ! 2−( !2 −1)( !2 −f 2 )
(
¿
)
2
C ! ¿ 2 Cc 2
C (2 ! ) +( ! 2− f 2)2 Cc
¿
x1 # st
= √ ¿
]
2
