Transcript
5.1 Dominio y gráfica de funciones
5
APLICACIONES Suponga que estamos en la situación de una empresa que elabora dos productos A y B. Podemos considerar la función de costos conjuntos C (q1 , q 2 ) que representa los costos totales de producir q1 unidades del producto A y q 2 unidades del producto producto B. De manera manera similar podemos podemos definir la función de ingresos conjuntos I (q1 , q 2 ) y de utilidad conjunta U ( q1 , q 2 ) . El siguiente ejemplo ilustra una situación en que es fácil determinar estas funciones.
Ejemplo 4.- Una pastelería produce produce chocolate blanco y chocolate chocolate oscuro. El costo de material y mano de obra por producir un kilo del chocolate blanco es 6 UM y el del oscuro es 5UM. Suponga que la empresa tiene costos fijos semanales de 1200UM. 1200UM. a) Encuentre el costo semanal como función de la cantidad de kilos de chocolates de cada tipo producido a la semana. b) Suponga Suponga que la pastelería vende el kilo de chocolate blanco a 10UM 10UM y el el oscuro a 8UM. Obtenga la función utilidad mensual como función del número de kilos de cada tipo producidas y vendidas a la semana. semana.
Solución: a) El costo de material y manos de obra por producir q1 kilos de chocolate chocolate blanco blanco y q 2 kilos de
chocolate oscuro están dado por 6 q1 y 5 q 2 respectivamente. El costo conjunto en este caso esta dado por C (q1 , q 2 ) Costo fijo+Costo variable C ( q1 , q 2 ) 1200 (6q1 5q 2 )
b) Primero obtendremos la función de ingreso conjunto. Es claro que I ( q1 , q 2 ) Ingreso por la venta de q chocolate blanco+ Ingreso total por la venta de q 2 chocolate oscuro 1
I (q1 , q 2 ) 10q1 8q 2 .
Finalmente obtenemos U (q1 , q 2 ) I (q1 , q 2 ) C (q1 , q 2 ) U (q1 , q 2 ) 10q1 8q 2 (1200 6q1 5q 2 ) U (q1 , q 2 ) 4q1 3q 2 1200 .
Ejemplo 5.- Una heladería ofrece ofrece tinitas y barquillas. barquillas. Se ha estimado que que si se vende la tinita a de demanda de la tinita está dada dada por p1UM y la barquilla a p2 UM, la ecuación de D1 ( p1 , p 2 ) 300 5 p1 10 p 2 y la ecuación de demanda de la barquilla por D2 ( p1 , p 2 ) 200 7 p1 5 p 2 al día.
Exprese el ingreso ingreso diario de la compañía compañía en función de p1
Solución:
y p2.
El ingreso diario lo podemos calcular a partir de Ingreso conjunto=Ingreso por la venta de tinita+ingreso por la venta de barquillas Ingreso conjunto=(precio conjunto=(precio de la tinita)(número de tinitas vendidas) +(precio de la barquilla)(número barquilla)(número de barquillas vendidas) I ( p1 , p 2 ) p1 (300 5 p1 10 p 2 ) p 2 (200 7 p1 5 p 2 ) I ( p1 , p 2 ) 300 p1 5 p12 10 p1 p 2 200 p 2 7 p1 p 2 5 p 22 I ( p1 , p 2 ) 300 p1 200 p 2 17 p1 p 2 5 p12 5 p 22 .
6
Capítulo 5: Funciones de varias variables
Función de utilidad de consumo. (Satisfacción al consumo) La función de utilidad de consumo, denotada por u ( x, y ) cuantifica el nivel de satisfacción o utilidad que un consumidor tiene al adquirir x unidades de un producto y y de otro producto. Muchas veces se está interesado en todas las posibles combinaciones de compras que producen el mismo nivel de satisfacción c 0 . En nuestra terminología si tenemos la función z u ( x, y ) cuya representación gráfica es una superficie en R 3 , nosotros sólo estamos interesados en la traza con el plano z c 0 . Esta curva de nivel dada por la ecuación c 0 u ( x, y ) se llama curva de indiferencia.
Ejemplo 6.- Suponga que la función de utilidad de consumo de dos bienes para un cliente está dada por u ( x, y ) x 2 y . El cliente ha comprado 5 unidades del bien X y 4 del bien Y. Represente geométricamente otras posibilidades que tenía el cliente para tener el mismo nivel de satisfacción o de utilidad en su compra. Solución: Primero calculamos la utilidad o satisfacción del cliente por esta compra. Ella está dada por u (5,4) 5 2 4 100 .
Planteamos la curva de indiferencia para 2 u 100 , ella es 100 x y . Esto es una curva en R 2 . Para visualizar mejor la gráfica escribimos está ecuación como una 100 función y 2 . Al graficar sólo hemos x considerado la parte positiva de las x´s.
En Economía es corriente determinar distintas curvas de nivel para diversas cantidades. En el caso de funciones de costos, estas curvas son conocidas como las líneas de isocosto.
EJERCICIOS 5.1
1) Calcule el valor de la función indicada 1.1) f ( x, y) x( y 2) 3 ; f (1,3); f (2,2) ;
1.2) f ( x, y) xe y x 2 ; f (1, ln 2); f (2,0)
3 1.3) f ( x, y ) xy 1 ; f (0,3); f (2,2) ;
1.4) f (u, t ) e ut t ; f (ln 3,2); f (0,10)
x y
1.5) g ( x, y, z )
2 2 2 x y z ; g (1,0,1); g (0,4,3) ;
1.7) h(r , s, t , u )
1 u2 s t
1.6)
G ( w, z )
ln(1 zw) 1 2 z
; h(1,2,1,1) ; h(1,2,1,2) ; h(1, y, x h,0) ;
1.8) F ( x, y, z ) 2 x 3 y 2 4 z ; F (1,2 2 ,0) ; F (2, y h,2) .
; G(1,0); G(1,1-e);
5.1 Dominio y gráfica de funciones
7
2) Determine el dominio de las siguientes funciones. Represéntelo gráficamente. 2.1) f ( x, y ) ln( x y 2) ; 2.2) f ( x, y) xe y 1 ; 2.3) f ( x, y ) xy 1 ; 2 x y
x
2.4) f (u , t )
u 1
ln(u t )
;
2.5) g ( x, y )
2.7) g ( x, y ) 1 x y 2 ;
x 2 y 2
;
2.6) h( x, y )
x 2 y 2 4
2.8) h( x, y, z ) x 1 x 2 y 2 z 2 ;
2.9) g ( x, y, z ) x 2 2 y z ; 2.10) H (u , v) u ln(2 u 2 v) ;
2.11)
g ( x, y , z ) z 4 x 2 y 2
.
3) Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones 3.1) g ( x, y ) 4 x 2 y ; 3.2) h( x, y ) 4 x 2 y 2 ; 3.3) g ( x, y )
x 2 y 2 1 ;
4) Trace la curva de nivel
3.4)
h( x, y )
4 ( x 2 y 2 )
.
f ( x, y ) C , para cada C dada
y
4.1) f ( x, y) x y 2 ; C=4 C=2,C=0,C=-2;
4.2) f ( x, y)
4.3) f ( x, y) x 2 2 x y ; C=-3; C=2; 4.5) f ( x, y ) y 2 ( x 1) 2 C=-3; C=1, C= 4;
4.4) f ( x, y) y 2 3 x ; C=0; C=3; 4.6) f ( x, y) y e x ; C=0; C=1.
x
; C=2; C=4;
PROBLEMAS DE ECONOMÍA 1) Una tienda tiene dos tipos de CD virgen. Se ha estimado que si se vende el primer tipo de CD a p1 y el segundo tipo de CD a p2 la ecuación de demanda del primer tipo de CD está dada por D1 ( p1 , p 2 ) 100 5 p1 12 p 2 y la ecuación de demanda del segundo tipo de CD está dada por D2 ( p1 , p 2 ) 200 6 p1 10 p 2 unidades a la semana..a) Si I denota el ingreso total a la semana,
determine I como función de p1 y p2. b) Calcule el ingreso total a la semana si el primer tipo de CD se vende a 3UM y el segundo a 2UM. Respuestas: 1a) I ( p1 , p 2 ) 5 p12 10 p 22 18 p1 p 2 100 p1 200 p 2 ;1b) I (3,2) 723 UM. 2) Una empresa produce dos tipos de productos X y Y. El costo de material y mano de obra por producir una unidad de X es 3UM y el de Y es 4UM. Suponga que la empresa tiene costos fijos semanales de 1000UM. a) Obtenga el costo semanal como función de las unidades de los dos tipos de productos producidas. b) Si la compañía vende el producto X a 4UM y el Y a 6UM. Obtenga la función utilidad mensual como función del número de unidades producidas y vendidas a la semana. Respuesta 2a): I ( x, y) 3 x 4 y 1000 ; donde x es el número de unidades producidas de tipo X. 2b) U ( x, y) 4 x 8 y 4000 . 3) Javier piensa comprar 25 unidades de un bien y 6 de un segundo bien. Si la función de utilidad de consumo de Javier está dada por u ( x, y ) x y , donde x representa el número de unidades a comprar del primer bien. Represente geométricamente otras alternativas de consumo que le dan el mismo nivel de utilidad. 4) La función de costos conjuntos por la fabricación q1 artículos de tipo 1 y q 2 artículos de tipo 2 está dado por C (q1 , q 2 ) q12 q 22 4q1 60 . Grafique la curva de nivel C (q1 , q 2 ) 100 (Curva de isocosto). (Ayuda: Identifique la ecuación resultante con la de una circunferencia).
Respuestas: 1.1) –125; 0; 1.2) -1/2; 2; 1.3)-1/3; -17/4; 1.4) 7; -9; 1.5) 2; 5; 1.6) 1; 1.7) 0;1;
1 y x h
; 1.8) -26; 12 3( y h) 2 ; 2.1) Domf= ( x,y)R2/ y< x-2;
ln(2 e) ; 3 2e
8
Capítulo 5: Funciones de varias variables
2.2) Dom f {( x, y) / x 0} ; 2.3) Dom f = ( x,y)R / y2 x; 2.4) Dom f {(u, t ) / u t y u t 1} ; 2.5) Dom g= R ; 2.6) Dom h {( x, y ) / x 2 y 2 4} ; 2.7) Dom g {( x, y) / 1 y 2 x} ; 2.8) Dom h {( x, y, z ) / x 2 y 2 z 2 1} ; 2.9) Dom g {( x, y, z ) / 2 y x 1} ; 2.10) Dom H {(u, v) / 2 u 2 v} ; 2.11) Dom g {( x, y, z ) / y 2 x 2 4} . 2
2
5.1 Dominio y gráfica de funciones
9