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POSTGRADO FIC – UNI MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA CON MENCIÓN EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA
“AÑO DEL BUEN SERVICIO DEL CIUDADANO”
TRABAJO DEL CURSO DE MATEMÁTICA APLICADA: APLICADA:
“EJEMPLO APLICATIVO DE LA ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL DE TERZAGHI Y DESARROLLO DEL MISMO EN EL SOFTWARE PLAXIS”
INTEGRANTES DEL GRUPO:
Mori Sánchez Nilsson Ordoñez Flores Marco Antonio Rafael Villegas Bryam Ramirez Meléndez Diego Alonso Sejje Luque Elvis Javier
DOCENTE DEL CURSO: M.Sc. Ing. Lucas Ludeña Gutiérrez
LIMA – PERÚ 2017
MATEM MA TEM TI TICA CA APLI APLICA CADA DA
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INTRODUCCIÓN El presente trabajo tiene como objetivo demostrar la aplicación de herramientas computacionales computacionales en el análisis del comportamiento de un suelo bajo la aplicación de una carga y realizar una comparación entre los resultados obtenidos por la vía numérica y los resultados obtenidos a través de la implementación de un modelo con el programa comercial de elementos finitos Plaxis. Todo ello dentro del tema de la Teoría de Consolidación de Terzaghi y la aplicación de su f amosa Ecuación de Consolidación Unidimensional. Teóricamente la expresión que describe la consolidación, es la ecuación de difusión, que representa la variación de la presión en función de la altura. La expresión de difusión describe un comportamiento numéricamente interesante, para el análisis se usan métodos de diferencias finitas explícitos. El proceso de consolidación está definido como el fenómeno de disminución de volumen de una masa de suelo provocado por el aumento de las cargas aplicadas sobre el suelo en un lapso de tiempo. Frecuentemente ocurre que durante el proceso de consolidación la posición relativa de las partículas sólidas sobre un mismo plano horizontal permanece esencialmente igual; así, el movimiento de las partículas del suelo puede ocurrir sólo en dirección vertical; esta es la consolidación unidireccional o unidimensional. Agradecemos Agradecemos a nuestro estimado docente del curso, el Mg. Ing. Lucas Ludeña, por incentivar en nosotros el gusto por la investigación y el deseo de aprender constantemente nuevos conocimientos; lo cual nos hace acreedores de una buena formación académica como futuros maestros en la especialidad ingenieril de Geotecnia.
E l G rupo. rupo.
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INTRODUCCIÓN El presente trabajo tiene como objetivo demostrar la aplicación de herramientas computacionales computacionales en el análisis del comportamiento de un suelo bajo la aplicación de una carga y realizar una comparación entre los resultados obtenidos por la vía numérica y los resultados obtenidos a través de la implementación de un modelo con el programa comercial de elementos finitos Plaxis. Todo ello dentro del tema de la Teoría de Consolidación de Terzaghi y la aplicación de su f amosa Ecuación de Consolidación Unidimensional. Teóricamente la expresión que describe la consolidación, es la ecuación de difusión, que representa la variación de la presión en función de la altura. La expresión de difusión describe un comportamiento numéricamente interesante, para el análisis se usan métodos de diferencias finitas explícitos. El proceso de consolidación está definido como el fenómeno de disminución de volumen de una masa de suelo provocado por el aumento de las cargas aplicadas sobre el suelo en un lapso de tiempo. Frecuentemente ocurre que durante el proceso de consolidación la posición relativa de las partículas sólidas sobre un mismo plano horizontal permanece esencialmente igual; así, el movimiento de las partículas del suelo puede ocurrir sólo en dirección vertical; esta es la consolidación unidireccional o unidimensional. Agradecemos Agradecemos a nuestro estimado docente del curso, el Mg. Ing. Lucas Ludeña, por incentivar en nosotros el gusto por la investigación y el deseo de aprender constantemente nuevos conocimientos; lo cual nos hace acreedores de una buena formación académica como futuros maestros en la especialidad ingenieril de Geotecnia.
E l G rupo. rupo.
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BREVE MARCO TEÓRICO Como sabemos, todos los materiales experimentan deformación cuando se les aplica un cambio en sus condiciones de esfuerzo. El comportamiento tensodeformacional de materiales como el acero y el concreto, se ha estudiado con suficiente profundidad en muchas aplicaciones prácticas de ingeniería, así como, en el laboratorio; sin embargo, en los Suelos existen muchas variables y factores que hacen complejo su estudio, por tal motivo, es común encontrar una buena cantidad de modelos matemáticos que describen diferentes comportamientos de los suelos ante diferentes tipos de carga estática y dinámica. Es sumamente importante mencionar que la Teoría de la consolidación de Terzaghi, enuncia que cuando se aplica una carga a un estrato de suelo saturado, la carga es soportada inicialmente por el agua de los poros (mucho menos compresible que las partículas de suelo). Esto, genera un aumento de la presión del agua en los poros (antes de la carga esta presión es hidrostática). Este aumento de presión, se denomina exceso de presión de poros. Cuando el agua drena, la carga se transfiere gradualmente a las partículas de suelo. La tasa de cambio de volumen y la difusión de la presión están relacionadas con la permeabilidad. En este proceso es necesario formular cuatro condiciones, debido a que los fenómenos de flujo y de compresión se presentan acoplados. Ellas son: Ley de Darcy, Condición de continuidad, Ley de compresión, Condición de equilibrio. Este proceso está acompañado de un cambio de volumen, que es equivalente al volumen de agua drenada. La presión en los poros del suelo después de aplicar la carga, se describe por la ecuación de difusión:
∗ MATEM MA TEM TI TICA CA APLI APLICA CADA DA
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DESARROLLO DE LA ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL DE TERZAGHI POR EL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS El Método consiste en una aproximación de las derivadas parciales por expresiones algebraicas con los valores de la variable dependiente en un limitado número de puntos seleccionados. Como resultado de la aproximación, la ecuación diferencial parcial que describe el problema es reemplazada por un número finito de ecuaciones algebraicas, en términos de los valores de la variable dependiente en puntos seleccionados. El valor de los puntos seleccionados se convierte en las incógnitas. El sistema de ecuaciones algebraicas debe ser resuelto y puede llevar un número largo de operaciones aritméticas. Nosotros consideraremos la solución de diferencia de elementos finitos en consolidación de una dimensión empezando por las ecuaciones diferenciales básicas de la ecuación de la teoría de la consolidación de Terzaghi.
∗ Donde
Ec. 2.1
, , son referencias arbitrarias
de exceso de presión de poros,
tiempo, y distancia, respectivamente. De eso nosotros podemos definir siguiendo términos adimensional: Exceso de presión de poros adimensional:
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Ec. 2.2
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Tiempo adimensional:
̅
Ec. 2.3
̅
Ec. 2.4
Profundidad adimensional:
De las ecuaciones, Ec. 2.2, y Ec. 2.3 a la izquierda Ec. 2.1 anteriores se tiene:
∙
Ec. 2.5
Similarmente de las ecuaciones Ec. 2.2. y Ec. 2.3 se tiene: ∙ ̅ Ec. 2.6
De las ecuaciones 2.5 y 2.6 se tiene: ∙ ∙ ̅ ̅ O: ∙ ∙ ̅ ̅ Si nosotros adoptamos tiempos de referencia
Ec. 2.7
Ec. 2.8
⁄, luego la ecuación 2.8
tendrá la forma de:
̅ ̅
Ec. 2.9
El lado de la mano izquierda se la ecuación 2.9, podemos escribirlo como:
∆ ,̅ +∆̅ ,̅
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Ec. 2.10
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, ̅ , y , ̅+∆ ̅ , son presión de poros adimensionales, en el punto 0, Figura 1, en un tiempo no dimensional t, y t+ ∆, Similarmente a la ecuación anterior se Donde tiene:
2 ,̅ ̅ ∆ ̅ ,̅ ,̅
Ec. 2.11
Igualando las ecuaciones, 2.10 y 2.11, se tiene:
1 (, +∆ , ) 1 , , 2, ̅ ∆ ̅ ̅ ̅ ∆̅ ̅ ̅
Esquema de consolidación
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O:
Ec. 2.12
De la ecuación 2.12, converge, a
∆ ̅ y ∆̅ debería de cambiar cada ∆ ̅/∆̅ , es
menos que 0.5. Cuando resolvemos la interface de la presión de poro de l a capa de arcilla y una capa impermeable, la ecuación 2.12 se puede usar. Sin embargo, nosotros necesitamos tomar 3 puntos como la imagen espectacular del punto 1, Figura 1, así que Ec. 2.12, llega hacer:
Ec. 2.13
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ANÁLISIS MATEMÁTICO DESARROLLADO EN CLASE Y EJEMPLO APLICATIVO ECUACIÓN DE CONSOLIDACIÓN VERTICAL UNIDIMENSIONAL DE TERZAGHI:
∗ Donde:
= Coeficiente de Consolidación Vertical (Unidimensional) Despejamos cada variable de la ecuación de Terzaghi: SEGÚN SERIES DE TAYLOR:
ℎ ℎ 12 ℎ 16 ℎ ⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯ ℎ ℎ 12 ℎ 16 ℎ ⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯ Despejando:
1. ℎ ℎ 2 ℎ ℴℎ ℎ ℎ 2 ℎ ℴℎ ℎ 2 ℎ ℴℎ ℎ ℎ ℎ ℴℎ ℎ 2 ℎ ℎ ℎ 2 ℎ
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Despejando:
′ 2. ℎ ℎ 2ℎ ℴℎ ℎ 2ℎ ℎ ℴℎ ℎ ℎ 2ℎ
Ahora lo que se debe hacer es reemplazar en la expresión original:
1
1 2 2ℎ Esquema del estrato de suelo. Análisis Profundidad vs. Tiempo.
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El objetivo es conocer la presión de poros en un tiempo posterior:
[ ] , ,+ ∗ +, , −, Ecuación general de Poropresión mediante diferencias finitas
Dicha ecuación; es la ecuación diferencial básica de la teoría de consolidación de Terzaghi.
∗ Y dicha ecuación se resuelve con las siguientes condiciones de frontera:
0, 0 2, 0 0, Y la solución de la ecuación es:
=∞
∑ 2 ∙ ∙exp ∙ =
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Donde: M:
2 2 1
m : es un entero positivo. (0,1,2,3,4,5,6…..)
Presión inicial de poro del exceso en agua y;
Factor tiempo
·
Una vez establecido estas ecuaciones de consolidación desarrollados de manera matemática y por diferencias finitas, y asignando las condiciones de frontera descritas anteriormente, en el presente trabajo se pretende desarrollar ejemplos prácticos con soluciones de forma analítica con las ya mencionadas ecuaciones y compararlas con la implementación de un programa para la evaluación de ambos resultados. EJ EMPLO 1: E J E MPLO CON METODO DE DIFER ENC IAS FINITAS
Problema de Consolidación: Se pide resolver el problema de consolidación mediante el procedimiento de diferencias finitas desarrollado en clase manualmente con ayuda de una hoja de cálculo y comparar estos resultados para diferentes tiempos con el programa computacional PLAXIS. Considerar que el flujo de agua es hacia arriba y hacia abajo debido a un material permeable (Asumir valores numéricos a criterio y sustentado según orden de magnitud y/o con ensayos relacionados) ENUNCIADO: Una carga uniforme de 64Kn/m2, es aplicada a la superficie del perfil del suelo por la construcción del terraplén como se muestra en la figura, utilizando un método numérico de diferencias finitas para determinar la distribución de la poropresión para los estratos luego de 200 días de haberse aplicado la carga.
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q=64kN/m2
TURBA ARCILLA
------------------------------------------
Datos de los estratos del suelo en análisis
Solución:
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APLICACIÓN A UN PROBLEMA GEOTÉCNICO, EMPLEANDO EL SOFTWARE PLAXIS ANÁLISIS DE CONSOLIDACIÓN: Se aplica como herramienta de análisis al Sofware PLAXIS v.8.2, el modelo consta de un terraplén de arena sobre un terreno natural compuesto por turba y arcilla.
Fig. Modelo Geotécnico
Tabla de parámetros de resistencia y de elasticidad usados en el análisis.
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Fases de análisis :
Fase 1: Construcción de un terraplén de arena de 2m con un periodo de 5 días. Fase 2: Dejar consolidar el material por 200 días con la carga actuante del primer terraplén construido. Fase 3: Construcción de una segunda fase del terraplén con un periodo de 5 días. Fase 4: Se aplica el terraplén completo hasta lograr una disipación de presión de poro a 1 KPa, permitiendo calcular el tiempo de consolidación.
Se produce un asentamiento de 11.6 cm durante el proceso de construcción del primer terraplén.
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Se produce un asentamiento de 20.4 cm durante el proceso de consolidación de 200 días.
Se produce un asentamiento de 29.1 cm durante el proceso de construcción del segundo terraplén.
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Se produce un asentamiento de 41.6 cm durante el proceso de disip ación de poros hasta 1KPa, se considera Grado de Consolidación 100%
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CONCLUSIONES
Teóricamente la expresión que describe la consolidación, es la ecuación de difusión, que representa la variación de la presión en función de la altura. La expresión de difusión describe un comportamiento numéricamente interesante, para el análisis se usan métodos de diferencias finitas explícitos.
Es sumamente importante mencionar que la Teoría de la consolidación de Terzaghi, enuncia que cuando se aplica una carga a un estrato de suelo saturado, la carga es soportada inicialmente por el agua de los poros (mucho menos compresible que las partículas de suelo). Esto, genera un aumento de la presión del agua en los poros (antes de la carga esta presión es hidrostática). Este aumento de presión, se denomina exceso de presión de poros.
Se verifica que el desarrollo de la solución analítica y experimental, demuestra que los estratos analizaos llegan a consolidarse al 100%, en un periodo de 200 días. Sobre el ejemplo de problema geotécnico desarrollado con PLAXIS:
A los 200 días, dicho terraplén, alcanza a consolidarse según PLAXIS, en un 31.9 cm., mientras que en el cálculo teórico determina una consolidación de un 100% (93.5 cm.), existiendo una diferencia entre ambos valores de un 66%.
Con respecto a la poropresión, se observó que: aplicando una carga provocada por el terraplén en los estratos analizados, a una profundidad de 6m, logra disiparse al 100%, en un periodo máximo de 200dias
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BIBLIOGRAFÍA
Fundamentos de ingeniería geotécnica, Braja M. Das, Capitulo 6
Advanced Soil Mechanical , Braja M. Das, Capitulo 6
Mecánica de suelos, Tomo I, “Fundamentos de la mecánica de suelos”.
Eulalio Juárez Badillo
Programa Computacional, Plaxis – Manual
Programa computacional Abaqus – Manual
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ANEXOS.
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ENSAYOS LABORATORIO
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CÁLCULO
DEL
ASENTAMIENTO
Y
CONSOLIDACIÓN-
SOLUCIÓN ANALÍTICA
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OTRO EJ EMPLO DEL TEMA DES AR ROLLADO:
Consolidación unidimensional: Análisis de consolidación asumiendo un comportamiento elástico lineal del suelo.
a. Utilizando la solución de la ecuación de consolidación de Terzaghi, trace
, para una muestra cilíndrica (Figura 1) de arcilla de 4 de diámetro y 3.5 de altura confinada por un contenedor la relación entre
cilíndrico impermeable, liso, rígido y sometida a un recargo repentino de
4/. La superficie superior del recipiente está abierta y permeable. La arcilla tiene una permeabilidad constante 6 ×10−/, un coeficiente de consolidación de _ 0.16135 /, una relación de vacíos inicial de 1.0. b. Utilizar el método de elementos finitos para resolver el mismo problema asumiendo que el suelo es elástico lineal con relación de Poisson de
0.33.
La discretizacion de elementos finitos axisimetricos de la prueba de consolidacion unidimensional .
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SOLUCIÓN ANALÍTICA:
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SOLUCIÓN EXPERIMENTAL: PROGRAMA ABAQUS
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IMAGEN DE RESULTADOS EN ABAQUS:
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