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Hidraulica Capítulo 12 -turbomáquinas - Version 01

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Transcript

capítulo

12

Turbomáquinas hidráulicas

Resumen:

En este capítulo se desarrollarán los conceptos básicos concernientes a las
turbomáquinas hidráulicas. Se analizará su funcionamiento como parte de
un sistema de cañerías, se desarrollarán las relaciones de semejanza, se
verán los elementos fundamentales como también las características
particulares de cada tipo.

Contenido:
.
12.1
12.2
12.3

12.4

12.5

12.6

12.7

Conceptos generales....................................................................................................................................... 526
Ejemplos simples de instalación de las turbomáquinas .................................................................................. 527
Relaciones de semejanza en las turbomáquinas............................................................................................ 529
12.3.1
Coeficientes de capacidad, de carga y de potencia .........................................................................529
12.3.2
Velocidad específica .........................................................................................................................536
Teoría elemental de las turbomáquinas .......................................................................................................... 538
12.4.1
Hélices ..............................................................................................................................................539
12.4.2
Rodete radial.....................................................................................................................................542
Características particulares de las turbomáquinas ......................................................................................... 547
12.5.1
Turbomáquinas de flujo tangencial...................................................................................................547
12.5.2
Turbomáquinas de flujo axial............................................................................................................550
12.5.3
Turbomáquinas de flujo radial ..........................................................................................................554
12.5.4
Turbomáquinas de flujo mixto...........................................................................................................557
Punto de funcionamiento................................................................................................................................. 558
12.6.1
Punto de funcionamiento de una bomba..........................................................................................558
12.6.2
Funcionamiento de bombas en paralelo y en serie..........................................................................560
12.6.3
Cavitación y ANPA............................................................................................................................563
Problemas propuestos..................................................................................................................................... 568

CAPÍTULO 12

12.1 Conceptos generales
En el capítulo 3 (ejemplo 4) se estudió el caso de álabes que desvían chorros, y se comprobó que la variación
de la cantidad de movimiento ejerce una fuerza sobre él. Si además el álabe se traslada en la dirección y
sentido del chorro con menor velocidad que él, producirá una potencia sobre el chorro que se puede calcular
como la fuerza por la velocidad. Si el sentido de movimiento del álabe fuese opuesto al del chorro, la
potencia sería ejercida por el fluido. Éste es el principio en que se basan las turbomáquinas. A partir de la
definición anterior las turbomáquinas se pueden clasificar de acuerdo al fluido que circula como:
 Turbinas hidráulicas: un fluido incompresible (usualmente agua) produce potencia sobre un eje.
 Turbinas térmicas: un fluido compresible (usualmente un hidrocarburo o vapor de agua) produce
potencia sobre un eje.
 Bombas centrífugas, ventiladores: un fluido incompresible recibe trabajo a través de un eje.
 Compresores, soplantes: un fluido compresible recibe trabajo a través de un eje.
En este capítulo desarrollaremos los conceptos básicos correspondientes a las turbomáquinas hidráulicas que
son las correspondientes al movimiento de los fluidos incompresibles (turbinas hidráulicas, bombas
centrífugas, ventiladores, generadores eólicos). Obsérvese que los ventiladores y los generadores eólicos
entran dentro de esta categoría. En rigor en la práctica es usual despreciar los efectos de compresibilidad
cuando la variación de presión no supera los 1000 mm de columna de agua. Por lo tanto los ventiladores
axiales y buena parte de los centrífugos pueden estudiarse despreciando los efectos de la compresibilidad.
Obviamente existe un problema tecnológico en el álabe simple estudiado en el capítulo 3, pues es imposible
sostener el movimiento rectilíneo en forma continua. Este problema se soluciona disponiendo los álabes en
forma circular sobre una corona que gira alrededor de un eje como se muestra en la figura f:12.1.
De acuerdo con los requisitos del proceso (caudal y altura de impulsión) los rotores pueden tener
característica axial, radial o mixta. El rotor es de tipo axial cuando la componente de la velocidad en él es en
la dirección del eje, tiene característica radial cuando el flujo se desarrolla según la componente radial y tiene
característica mixta cuando el movimiento en el rotor es combinado. En la figura f:12.2 se muestran las
características de cada uno de ellos.
El tipo de movimiento que se desarrolla en el rotor permite calificar a las turbomáquinas ya sean hidráulicas o
térmicas en máquinas axiales, radiales o de flujo mixto.
A
Q

Rodete

Alabes
fijos

Alabes
móviles

B

Vch


R

R

f:12.1
Tobera
Alabes
fijos

R

Rodete

Varr    R


Alabes
móviles

Vabs

Vrel  Vch    R

Otra clasificación típica de las turbomáquinas se realiza en función del cambio de presión del fluido en su
paso a través del rodete:
 turbinas de acción o impulsión: aquellas en las que el fluido de trabajo no sufre un cambio de presión
importante, aprovechan únicamente la velocidad del flujo de agua
 turbinas de reacción: aquellas en las que el fluido de trabajo sí sufre un cambio de presión importante,
aprovechan la velocidad del flujo de agua y además la pérdida de presión que se produce en su interior
526

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

Fig.
12.2

Radial

Radial

Mixto

f:12.2
Mixto

Axial

12.2 Ejemplos simples de instalación de las turbomáquinas
Mediante la aplicación de la ecuación de la energía procederemos a calcular la potencia desarrollada
(turbinas) o requerida (bombas), lo cual nos permitirá poner en evidencia las variables sobre las que debemos
operar a fin de regular dicha potencia. Enfatizamos el hecho que la instalación variará de acuerdo con las
necesidades tecnológicas que se requiera satisfacer y por lo tanto puede ocurrir que los términos en la
ecuación de energía empleada puedan anularse o incorporarse nuevos.
En la figura f:12.3 vemos el esquema correspondiente a una turbina hidráulica.
1
H

f:12.3

turbina

T

2

Recordamos la ecuación de la energía (ecuación 3.4.3.5)

 


p
1
Q  W ( eje)   e    d    u  V 2  g  h      V  dA
SC
t VC

2

Si la aplicamos a un volumen de control compuesto por el reservorio de la turbina y la cañería de salida,
obtenemos:

 u  u1 V22

 W (eje)   2

 H   Q
 g

2g


Teniendo en cuenta que la diferencia de energías internas por unidad de peso es equivalente a las pérdidas en
el sistema y reordenando podemos reescribir:


V22 


 Q
W
( eje )   H  H pérdidas 

2
g


La anterior nos dice que la potencia que obtendremos de la turbina es directamente proporcional al caudal (el
cual usualmente está determinado por la hidrología de los ríos y arroyos que formarán el embalse) y la
diferencia de alturas entre el pelo de agua del embalse y el nivel de restitución. En particular el término entre
paréntesis indica que la energía potencial menos las pérdidas del sistema y la energía cinética a la salida de la
cañería de restitución son convertidas en energía disponible en el eje. Entonces la altura disponible en la
turbina es:
527

CAPÍTULO 12

H T  H  H pérdidas 

V22
2g

Con lo cual se puede expresar la potencia teórica absorbida en el eje de la turbina, como:
W
 H   Q
( eje )teórico

T

ec:12.1

Obsérvese que la altura disponible en la turbina puede variar ligeramente respecto de la definida aquí
dependiendo de las condiciones de instalación.
Las pérdidas son las debidas a la fricción en el sistema de cañerías y las pérdidas localizadas en la mismo.
Esta potencia así obtenida es la potencia hidráulica teórica pues no tiene en cuenta el rendimiento de la
turbina. Si tenemos en cuenta este rendimiento la potencia realmente obtenida en el eje será:

W( eje )real  W( eje )teórico  T

ec:12.2

La regulación de potencia de la máquina puede efectuarse variando la altura del embalse o bien variando el
caudal que circula por la o las máquinas. Obviamente la variación de la altura del embalse es muy acotada y
requiere de un tiempo importante, por lo cual en general las variaciones puntuales de potencia se obtienen
regulando el caudal que circula.
En la figura f:12.4 se esquematiza la instalación de una bomba centrífuga. La aplicación de la ecuación de la
energía nos lleva a:

 u 2  u1
V22 


W(eje) 
H 
 Q
 g
2 g 

2
H

f:12.4

1

bomba

B

Y nuevamente teniendo en cuenta que la diferencia de energías internas por unidad de peso es igual a las
pérdidas en el sistema:


V22 

 Q

W
( eje )   H pérdidas  H 

2
g


Es decir que en el eje de la bomba se deberá suministrar una potencia que deberá ser suficiente para vencer
las pérdidas en el sistema la diferencia de niveles entre los puntos de suministro y entrega y suministrar la
energía cinética a la descarga. Nuevamente llamando altura de impulsión de la bomba al término:

H B  H pérdidas  H 

V22
2g

ec:12.3

Nuevamente se enfatiza que los términos que componen la altura de impulsión de la bomba pueden variar
ligeramente con las condiciones de instalación. La potencia teórica en el eje entonces puede expresarse para
una bomba como sigue:

W( eje )teórico  H B    Q

ec:12.4

Nótese que en el caso de la bomba la altura H puede ser positiva o negativa dependiendo de los niveles
relativos entre el embalse y la descarga.

528

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

Así como en el caso de las turbinas la potencia calculada de este modo se denomina potencia hidráulica y si
queremos determinar la potencia real a suministrar:
W( eje )teórico
W( eje )real 
B

ec:12.5

Donde  B es el rendimiento de la bomba propiamente dicha.
El caso correspondiente a un ventilador es muy similar al de una bomba y por lo tanto no se realizará una
deducción detallada.
Como surge claramente inspeccionando estos dos casos, los fabricantes de turbomáquinas deben adaptar las
prestaciones de las mismas para cubrir un rango muy amplio de prestaciones (caudales versus alturas
disponible o altura de impulsión según se trate de turbinas o bombas respectivamente). Asimismo una
determinada máquina en una dada instalación deberá adaptarse para prestar un servicio eficiente en diversas
condiciones operativas que normalmente involucran cambios en los caudales, en las alturas o en ambos. Por
ello al fabricante se le presenta un problema que requiere una solución conveniente desde el punto de vista
económico y productivo.

12.3 Relaciones de semejanza en las turbomáquinas
12.3.1 Coeficientes de capacidad, de carga y de potencia
Para resolver el problema planteado en el punto anterior los fabricantes de turbomáquinas recurren a las
“series homólogas”, que no son más que máquinas que cumplen con las reglas de semejanza y por lo tanto
los ensayos de un modelo de máquina permiten predecir el comportamiento de un prototipo.
Obviamente el empleo del análisis dimensional y semejanza vistos en el capítulo 4 resultan herramientas muy
apropiadas para este fin.
La similitud entre máquinas homólogas estará relacionada con las similitudes geométricas, cinemáticas y
dinámicas. Mientras la similitud geométrica se relaciona con la máquina exclusivamente, la similitud
dinámica estará relacionada con la prestación de la máquina y el fluido que maneja. Con esta premisa
podemos decir que las variables que intervienen en el funcionamiento de una turbomáquina son:
Semejanza geométrica: diámetro del rotor: D [L]
Semejanza cinemática: velocidad de rotación N [1/T]
Semejanza dinámica:
 Respecto de la prestación de la máquina: potencia desarrollada o absorbida W [M.L2/T3]; altura de
impulsión o disponible: H [L]; caudal volumétrico Q [L3/T].
 Respecto del fluido: densidad ρ [M/L3] y viscosidad μ [M/L.T]
 Adicionalmente se deberá considerar como variable la aceleración de la gravedad local g [L/T2] dado que
relaciona la unidad de masa con la unidad de peso.
Por lo tanto en la similitud intervienen ocho variables siendo tres las dimensiones fundamentales y por lo
tanto habrá cinco números adimensionales que describen el problema completamente. Para hallarlos
determinamos la cantidad de variables de repetición que son la misma cantidad que las dimensiones
fundamentales, es decir tres. Las variables de repetición las elegimos de forma tal que sean representativas de
la semejanza geométrica, en nuestro caso será D el diámetro del rodete; otra representativa de la semejanza
cinemática N número de revoluciones de la máquina y el último representativo de la semejanza dinámica que
como siempre elegimos la densidad ρ.

Entonces podremos determinar los números  como:
a
b
 1  D 1  N 1   c1  W
529

CAPÍTULO 12

 2  D a2  N b2   c2  Q
 3  D a3  N b3   c3  H

 4  D a4  N b4   c4  

 5  D a5  N b5   c5  g
Reemplazando por las dimensiones fundamentales para el primer número:
La1  T b1  M c1  L3c1  M  L2  T 3  L0  T 0  M 0
De donde podemos formar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
a1  3c1  2  0
 b1  3  0
c1  1  0
Del cual resulta: c1  1; b1  3 y a1  5
Por lo tanto el primer número adimensional será:

1 

W
D5  N 3  

Procediendo en la misma forma para el resto de las expresiones resulta:

Q

2 

3

D N

; 3 

H
g

; 4 
; 5 
2
D
DN2
D N 

Y por lo tanto debe existir:



W
Q
H
g 
;
;
;
;
0
f  1 ;  2 ;  3 ;  4 ;  5   f  5
3
3
2
2
D


D

N

D

N
D

N

D

N


El número π3 y π5 se combinan mediante su producto, ya que la combinación de ambos refiere la energía
total entregada o recibida por la máquina a la unidad de masa en lugar de la unidad de peso como ocurre en
H/D. Entonces la anterior la podemos reescribir:



W
Q
H g

0
;
;
;
f  5
3
3
2
2
2

D
N

D
N
D
N
D
N









Siendo:

CW 

W
, el coeficiente de potencia
D5  N 3  

ec:12.6

Q
, el coeficiente de capacidad
D N

ec:12.7

H g
, el coeficiente de carga
D2  N 2

ec:12.8

CQ 

CH 

3

Teniendo en cuenta que N  D es proporcional a la velocidad periférica en la punta del rodete el término

 D 2  N   puede leerse como la inversa del número de Reynolds referido a la velocidad del rodete:
 D  Vt     ; por lo cual también podemos expresar:

f CW ; CQ ; C H ;   0
De donde se puede despejar cualquiera de los números para encontrar una nueva función de éste con respecto
a los otros.
Cada uno de estos números nos permite predecir el comportamiento de un elemento de una serie homóloga
de máquinas conociendo el comportamiento de un elemento de la serie cuando varía el diámetro del rodete o
530

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

bien el número de revoluciones de la máquina o ambos, dado que toda máquina es homóloga de sí misma.
Como veremos más adelante en los ejemplos.
Respecto del número de Reynolds cabe acotar que en las turbomáquinas tiene un valor muy alto y por lo
tanto como este número representa la relación entre fuerzas de inercia y fuerzas viscosas concluimos que por
ser muy alto los esfuerzos viscosos son muy bajos y por lo tanto la influencia de la viscosidad del fluido
puede ser despreciada. Además como puede apreciarse del diagrama de Moody (punto 8.6) para valores por
encima del millón el número de Reynolds se hace constante e independiente de éste. Por lo tanto no se
comete un error demasiado apreciable si se desprecia al número de Reynolds, con lo cual se puede establecer:

f CW ; CQ ; C H  0
Si recordamos que la potencia de una turbomáquina es proporcional a su caudal y altura de impulsión:
W    g  Q  H y observamos que: CW  CQ  C H concluimos que el coeficiente de potencia no es una
variable independiente.
Si además tenemos en cuenta que Q D 2 es proporcional a la velocidad radial (es el caudal dividido una
longitud característica al cuadrado que es proporcional a la sección de pasaje del caudal); el coeficiente de
capacidad resulta ser:
Q
Q
D 2  Vr

D 3  N N  D Vt
Es decir que este número (coeficiente de capacidad) representa la semejanza cinemática de los triángulos de
velocidades y por lo tanto asegura la homología (semejanza) entre los distintos modelos de la serie. Por lo
tanto de esta conclusión y la anterior podemos decir que:



f 2 CW ; CQ   0  CW

 
 F2 CQ 

f1 C H ; CQ  0  C H  F1 CQ

Además, como vimos en la expresión ec:12.5, el rendimiento de una bomba viene dado por la relación entre
la potencia puesta en juego y la potencia hidráulica teórica.

b 

W( eje )teorico   g  Q  H
 
W( eje )real
W( eje )real

ec:12.9

Se puede llegar a esta expresión arreglando los coeficientes adimensionales CQ, CH y CW , como se muestra a
continuación:

b 

CQ  C H
CW

Q
H g
 2 2
 g Q  H
 D  N D  N  
W
W( eje )real
5
3
D  N 
3

ec:12.10

Y en las turbinas, según 12.3, es a la inversa, es decir:

t 

W( eje )real
W( eje )real 
CW



W( eje )teorico   g  Q  H CQ  C H

ec:12.11

Y como el coeficiente de potencia y de carga son funciones del coeficiente de capacidad, resulta que el
rendimiento es una función del coeficiente de capacidad, o sea:

  F CQ 

531

CAPÍTULO 12

Esto no es rigurosamente cierto porque también interviene el número de Reynolds en el rendimiento, pero es
bastante aproximado en la mayoría de los casos.
Por lo tanto para una serie de máquinas homólogas será posible graficar el coeficiente de potencia, el
coeficiente carga y el rendimiento en función del coeficiente de capacidad como se muestra en la figura
f:12.5:
100%

2.2

80

2.0

1.8

CH
f:12.5

60

1.6

40

1.4

20

CH

1.2

0
0.5

1.0

CW bomba

0.8

0.4

0.6

0.3

0.4

0.2

CW turbina

0.2
0

0

CW

0.1

0
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45

CQ
Sin embargo, cuando se solicita cotización de una máquina dada lo usual es que el proveedor suministre la
curva para una máquina donde se encuentra definido el diámetro y el número de revoluciones a la cual va a
funcionar. Entonces procederá a derivar de las anteriores las curvas de potencia, de altura de impulsión y de
rendimiento en función del caudal para el fluido definido. Una curva de este tipo se muestra en la figura
f:12.6.
o
ent
imi
d
n
Re

15

80
60
40

12

20
0

9

25

Po
ten
cia
A
ltu
ra

6

3

20
15
10
5

0

3000

6000

9000

12000

15000

18000

0
21000

Potencia al freno
[CV]

f:12.6

0

Rendimeinto

100%

Ejemplo 12.1
Una bomba centrífuga de 37 cm de diámetro, gira a 2140 RPM con agua a 20ºC, y produce la siguiente
información:
Q [m3/s]

532

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

H [m]

105

104

102

100

95

85

67

P [kW]

100

115

135

171

202

228

249

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

a) calcular los coeficientes CQ, CH, CW y  y graficarlos
b) determinar el punto de rendimiento máximo y los coeficientes correspondientes
c) se desea utilizar la misma familia de bombas para impulsar 25 m³/min de kerosene a 22ºC (densidad 804
kg/m³) a una potencia de 400 kW: ¿qué velocidad de bombeo (en RPM) y diámetro del impulsor (en cm) es
necesario?, ¿qué altura se desarrollará?
Solución
a) Se calculan los valores para cada columna de datos de la tabla y luego se graficarán en una única curva,
utilizando CQ como abscisas, CH en el eje izquierdo de ordenadas, y  y CW en el eje derecho. Se utilizan
distintas escalas.
Q
D3  N
gH
CH  2
D N2
W
CW  5
D  N3
CQ 



CQ  C H

0,000

0,028

0,055

0,083

0,111

0,138

0,166

5,915

5,858

5,746

5,633

5,351

4,788

3,774

0,318

0,366

0,429

0,544

0,642

0,725

0,791

0,0000 0,4436 0,7412 0,8605 0,9227 0,9143 0,7919

CW

6,40

punto de
máximo
rendimiento 100% 93%
90%

5,60

75%

5,224

60%

4,80

45%
30%

4,00

15%

f:12.7

CH

3,20

0%

2,40

0,75
0,675

1,60

0,50

0,80

0,25

0

0

0,03

0,06

0,09
0,12
0,1164

0,15

CW

0
0,18

b) Se identifica el punto de máximo rendimiento y de la lectura del gráfico se obtienen los coeficientes para
dicho punto:  = 93%; CH = 5,224; CQ = 0,1164; CW = 0,675
c) Utilizando la similitud dimensional, se puede plantear la igualdad de coeficientes entre modelo y prototipo:

el coeficiente de potencia es:
el coeficiente de capacidad es:

el coeficiente de carga es:

CW 

W p
Wm

 0, 675
Dm5  N m3 D p 5  N p 3

ec:12.12

CQ 

Q
Qm
 3 p  0,1164
3
Dm  N m D p  N p

ec:12.13

g Hp
g  Hm
 2
 5, 224
2
2
Dm  N m
Dp  N p 2

ec:12.14

CH 

533

CAPÍTULO 12

Estos valores pueden utilizarse para estimar el punto de máximo rendimiento para cualquier tamaño de
bomba de esta familia con similitud geométrica.
En nuestro caso, tomaremos los datos del las curvas como datos del modelo, queremos averiguar el diámetro
y la velocidad de rotación (Dp y Np) de un prototipo, del que sabemos: Qp= 25 m³/min, p= 804 kg/m³, Wp=
400 kW. Tendremos que determinar por lo tanto par de Dp y Np que satisfaga simultáneamente las
expresiones ec:12.12 y ec:12.13
Por lo tanto operaremos algebraicamente despejando Dp, de la expresión ec:12.12:
1


5
W p
DP  
   N 3  0.675 
 p p

ec:12.15

Y reemplazando en ec:12.13, resulta:
4

Qp

 0,1164 

3
5




  N p
3
  p  N p  0.657 
W p

Qp  N p 5





  p  0.0027 
W p

3
5

 0,1164

5

3 4


3

5 




5
 
Wp
1
 0,1164 
 0,1164  400.000 W  
Np  




   28, 73   1724 RPM
3

  p  0.675 
kg
Qp
s
m
25

 


 804 3  0.0027  

m
 
 60 s 

5
4

ec:12.16

Reemplazando el valor de Np obtenido en ec:12.16 en la ec:12.15 se obtiene: D p  0, 478m
Finalmente reemplazando el par de valores obtenidos en la expresión ec:12.14 obtendremos el valor de la
altura:
2

1

5, 224   0, 478m    28, 73 
s


 100, 42m
m
9,81  2
s
2

Hp 

5, 224  D p 2  N p 2
g

Ejemplo 12.2
Considere una bomba geométricamente similar a la que se ilustra en la figura f:12.7. Elabore la gráfica de una
curva de comportamiento H versus Q para una bomba como ésta pero con un diámetro de impulsor D=0,7m
y una velocidad N=1750 RPM.
Solución
Como las bomba es geométricamente similar a la de la figura f:12.7, se mantienen los coeficientes
adimensionales CQ, CH y CW, como lo expresado en ec:12.12, ec:12.13 y ec:12.14, por lo que elaboraremos
una tabla calculando Q, H y W en función de los datos de la bomba requerida (D=0,7m y N=1750RPM):
 m3 
Q    CQ  D 3  N
 s 
C  D2  N 2
H m   H
g
W kW   CW  D 5  N 3


534

 g Q  H
W

0,000

0,277

0,554

0,831

1,107

1,384

1,661

251

249

244

239

227

203

160

1325

1524

1789

2266

2677

3022

3300

0,00

0,44

0,74

0,86

0,92

0,91

0,79

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

Graficando los valores de H y  en función de Q, resultarán las curvas para una única bomba de D = 0,7m y
N = 1750 RPM

punto de máximo
rendimiento

250
225

100%
93%
90%
75%

219

60%

200

45%

f:12.8

175

30%

150

15%

H[m] 125

0%

100
75
50
25
0

0,25 0,50 0,75

0

1

1,22

1,25 1,50 1,75

Q[m³/s]

Ejemplo 12.3
Grafique H versus Q y  versus Q, de dos bombas geométricamente similares a la del Ejemplo 12.2 que
mantienen el mismo diámetro pero varían su velocidad de rotación en: N1=2000 RPM y N2=2250 RPM.
Marque en la curva el punto que pertenece al rendimiento máximo.
Solución
Como las bombas pertenecen a la misma familia, los coeficientes adimensionales se mantienen. Utilizando el
subíndice 0 para la bomba del Ejemplo 12.2 y subíndice 1 para la de N1=2000 RPM, y utilizando las
expresiones ec:12.12, ec:12.13 y ec:12.14, podemos poner.
3

igualdad de CQ:

D  N
Q
Q1
 3 0  Q1  Q0   1   1
3
D1  N1 D0  N 0
 D0  N 0

igualdad de CH:

D 
g  H1
gH
 2 0 2  H1  H 0   1 
2
2
D1  N1
D0  N 0
 D0 

igualdad de CW:

5
3
 D1   N1   1 
W1
W0






 5
 W1  W0  
5
3
3
 
   
D1  N1  1 D0  N 0  2
 D0   N 0   2 

2

ec:12.17

N 
  1 
 N0 

2

ec:12.18

ec:12.19

Y como la densidad y el diámetro se mantienen constantes, resulta:
 N1
N
Q1  Q0  1 ; H1  H 0  
N0
 N0

3

2

N  

 y W1  W0   1   1
 N 0  2

ec:12.20

A continuación se muestra una planilla realizada con las ecuaciones ec:12.20 para la velocidad de rotación
N1=2000 RPM.
Q1  Q0 

N1
N0

N 
H1  H 0   1 
 N0 

0,000 0,316 0,633 0,949 1,266 1,582 1,899
2

328

325

319

313

297

266

209
535

CAPÍTULO 12
3

N  
W1  W0   1   1
 N 0  2



 g Q  H 
W

1978

2275

2671

3383

3997

4511

4926

0,00

0,44

0,74

0,86

0,92

0,91

0,79

Realizando lo mismo con N2=2250 RPM, y volcando los datos en un gráfico, obtendremos:
450

100%

D = 0,7 m = cte

90%
mie
nto

400

80%


xim
o re
ndi

350

25

0R
PM

de

300

N=
2

p un
t os

N=
17

200

PM
0R

f:12.9

00

H[m]

60%

2
N=

250

50

50%

40%

RP
M

150

30%

100

20%

50
0

70%

10%

0,50

0

1,00

1,50

2,00

0
2,50

Q[m³/s]

12.3.2 Velocidad específica
La velocidad específica de una serie de turbomáquinas es una constante que permite preseleccionar el tipo de
turbina o bomba a utilizar en una instalación determinada. Se definen en forma distinta para bombas y para
turbinas.
Para una serie de bombas centrífugas, la velocidad específica se define como la velocidad de rotación de una
máquina de la serie tal que proporcione una altura de impulsión unitaria con un caudal unitario, funcionando
en el punto de óptimo rendimiento.
Despejando D de CH (expresión ec:12.8) resulta:
D

H
g
H

D
 cte1
N
CH
N

Donde se observa que hemos incluido la aceleración de la gravedad en la constante. Reemplazando esta
expresión del diámetro en CQ (expresión ec:12.7), resulta:
CQ 

Q

3


 H


 N  cte1   N

N 2 Q
H

3
2

 cte2

Podemos plantear esta igualdad con un elemento de la serie y con una bomba de velocidad Ns y de altura y
caudal unitario, es decir:
2

N Q
H

3
2

2

N s 1

m3
s

3

1m 2

Y por lo tanto, la velocidad específica de una bomba centrífuga se puede calcular conociendo la característica
de uno de los elementos de la serie, mediante:

536

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

Q

Ns  N 

3

3

1m 4

H4

1

ec:12.21

m3
s

Como conclusión podemos decir:
 La velocidad específica es independiente de las dimensiones de las bombas homólogas, refiriéndose
exclusivamente a la forma, por lo que todas las bombas homólogas tienen la misma velocidad específica.
 La velocidad específica de una misma bomba no varía, cualquiera que sea la velocidad de trabajo, para
puntos homólogos de funcionamiento. Las curvas de régimen semejante son curvas de igual velocidad
específica y curvas de igual rendimiento.
 El valor de Ns a lo largo de una curva característica H=f(Q) a N=cte de una bomba, varía desde Ns=0 para
Q=0 hasta Ns=∞ para H=0
 Normalmente, para definir una bomba centrífuga, se toma el valor de Ns correspondiente al punto sobre
la línea característica H=f(Q) en donde el rendimiento es máximo.
Para una serie homóloga de turbinas hidráulicas se define la velocidad específica como la velocidad de
rotación de un elemento de la serie que permite desarrollar una potencia unitaria con una altura de impulsión
unitaria.
Despejando D de CW (expresión ec:12.6) resulta:
 W
1
D   3 
 N   CW

1

5
W 1 / 5
  D  3 / 5 1 / 5  cte1
N 

Reemplazando esta expresión del diámetro en CH (expresión 8), resulta:
CH 

H g
2
 W 1 / 5

 3 / 5 1 / 5  cte1   N 2
 N 


H  2 / 5
 cte2
W 2 / 5  N 4 / 5

Donde se observa que hemos incluido la aceleración de la gravedad en la constante 2. Podemos plantear esta
igualdad con un elemento de la serie y con una turbina de velocidad Ns y de altura, potencia y densidad
unitario, es decir:
2/5

H  2 / 5
W 2 / 5  N 4 / 5

kg 

1m  1000 3 
m 


1kW 2 / 5  N s 4 / 5

Y por lo tanto, la velocidad específica de una turbina hidráulica se puede calcular conociendo la característica
de uno de los elementos de la serie, mediante:
1/ 2

Ns  N 

W 1 / 2

H 5 / 4  1 / 2

1m 5 / 4  1000 kg3 
m 

1/ 2
kW

ec:12.22

Debe tenerse en cuenta que Ns no es adimensional y para cualquier turbomáquina dada dependerán de las
unidades involucradas.
La velocidad específica es independiente de las dimensiones de las turbinas homólogas, refiriéndose
exclusivamente a la forma, por lo que todas las turbinas homólogas tienen la misma velocidad específica.
La velocidad específica de una misma turbina no varía, cualquiera que sea la velocidad de trabajo, para
puntos homólogos de funcionamiento. Las curvas de régimen semejante son curvas de igual velocidad
específica y curvas de igual rendimiento.

537

CAPÍTULO 12

El valor de Ns a lo largo de una curva característica H=f(Q) a N=cte de una turbina, varía desde Ns=0 para
W =0 hasta Ns=∞ para H=0
Normalmente, para definir una turbina hidráulica, se toma el valor de Ns correspondiente al punto sobre la
línea característica H=f(Q) en donde el rendimiento es máximo.
En la figura f:12.10 se muestra como varía la velocidad específica de las bombas. Se puede observar que la
velocidad específica de las bombas radiales es bajo, en tanto para las bombas axiales es alto.

cubierta del impulsor

300

200

100

80

60

40

20

10

Valores de la velocidad específica (succión simple)

cubierta del impulsor

f:12.10
núcleo

núcleo
álabe

núcleo del
impulsor

núcleo
álabe

álabe

álabe radial

álabe Francis

álabe

flujo mixto

flujo axial

eje de
rotación

Comparación de los perfiles de las bombas

Ejemplo 12.4
¿Cuál es la velocidad específica de una bomba centrífuga que transporta 0,6 m³/min de agua, y gira a una
velocidad de 1750 RPM, siendo la potencia requerida para mover la bomba de 3,7 kW y la eficiencia del
70%?
Solución
Despejando H de la expresión ec:12.10, tenemos:
H

 B Wreal
  g Q

Reemplazando valores:
H

0, 7  3700W
 26, 4m
kg
m 0, 6 m3
1000 3  9,81 2 
m
s 60 s

Reemplazando los datos en la expresión ec:12.21, resulta:

0, 6 m3
N s  1750 RPM  60 s 3  15 RPM
 26, 4m  4
Es decir que una bomba rotando a 15 RPM produce una altura de 1 m con un caudal de 1 m³/s.

12.4 Teoría elemental de las turbomáquinas
Veremos a continuación dos elementos básicos para el entendimiento de las turbomáquinas:
 la teoría de las hélices que es básica para el entendimiento de las máquinas de flujo axial,
 la teoría del rodete plano que es básica para el estudio de las máquinas de flujo radial.

538

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

12.4.1 Hélices
En el capítulo 5, al estudiar el perfil de ala se encontró que cuando éste es embestido por una corriente
uniforme con un determinado ángulo de ataque, se produce una circulación sobre el mismo que da como
resultado una diferencia de presiones que produce una determinada fuerza de sustentación. Si dicha fuerza de
sustentación se produce a una cierta distancia de un eje al cual se encuentra vinculado el elemento de perfil de
ala se producirá un par que hará que este elemento gire alrededor de dicho eje. Éste es el principio de los
álabes en general y de las hélices en particular con el aditamento que la velocidad de la corriente libre varía
con la distancia al radio. El caso enunciado es típico de los molinos de viento. Como es lógico, si en lugar de
que la corriente uniforme embista al perfil se hace girar a éste respecto de un eje, se producirá una circulación
en el fluido. Esto provocará una diferencia de presiones que hará que se produzca una fuerza en la dirección
del eje que puede ser o bien utilizada para impulsar la hélice o bien si la hélice se encuentra quieta para
impulsar el fluido. El primer caso es el correspondiente a las hélices de barcos o aviones y el segundo el
correspondiente a los ventiladores y bombas axiales.
En la figura f:12.11 se muestra una hélice que gira con una frecuencia angular N y se desplaza a una
velocidad V0, en la misma figura se muestra una sección genérica de la hélice a una distancia r respecto del
eje y su correspondiente triángulo de velocidades.

N

Vo

dFi

V

-Fempuje

.r

dFt

2r

ste
nt a
ció
n

dF

V

F

Fsu

f:12.11

paso efectivo
(2rVo/r)

r

Vo

paso geométrico

A

.r
.N
2
A

Fa

rra
str
e

Torque/r

El paso geométrico definido como la distancia recorrida por el flujo con respecto a la circunferencia descripta
por cada giro de la hélice, se modifica como resultado del propio avance de la hélice. El ángulo local de
avance  es proporcional a la relación de velocidad de avance y velocidad tangencial de la hélice. La
diferencia entre el ángulo de avance de la hélice  y  definen el ángulo de ataque del perfil. Por lo tanto la
fuerza de sustentación resulta normal a dicho ángulo. Si sumamos una velocidad -V0 y descomponemos la
fuerza de sustentación en las componentes axiales y tangenciales obtenemos las fuerza de empuje y de
torsión respectivamente, como se muestra en la figura f:12.11. Obsérvese que dichas fuerzas son diferenciales
ya que estamos analizando un diferencial de hélice.
A fin de contar con un rendimiento de conjunto elevado es conveniente obtener una relación empuje – torsión
similar en todas las secciones de la hélice, lo cual requiere modificar el paso geométrico y la forma de la
sección a lo largo de la misma, de aquí la forma “alabeada” de las mismas.
Si queremos encontrar la fuerza de sustentación a lo largo de toda la pala deberemos calcular la misma
sección a sección y adicionarlas.
Obviamente como en el caso de los perfiles de ala finitos, la circulación sobre las secciones transversales
induce torbellinos de punta de pala que producen una estela vorticosa posterior que gira debido a que egresa
de la hélice con una velocidad tangencial igual a la velocidad periférica de la punta de pala y que se desplaza
con mayor velocidad que la de la corriente uniforme como se muestra en la figura f:12.12.

539

CAPÍTULO 12

f:12.12

V

Vo

Por lo tanto la velocidad en la parte posterior es superior a la velocidad de la corriente uniforme para el caso
de una hélice.
Analicemos una hélice en la cual el volumen de control es el que se muestra punteado en la figura f:12.13.
3
4

p1
V

V1

V4

f:12.13

p2

1

p3

p4

2

El volumen de control está compuesto por la hélice propiamente dicha y el volumen de aire que circula a
través de la misma. Este volumen de control tiene una superficie mayor aguas arriba que aguas debajo de la
hélice porque como vimos la velocidad del fluido es mayor en la descarga que en la succión. Es el caso de la
hélice de propulsión o del ventilador. Si se tratase de un molino de viento el volumen de control sería
justamente al revés, es decir la velocidad de la corriente aguas arriba es superior a la velocidad de la corriente
aguas abajo.
Si aplicamos la ecuación de cantidad de movimiento al volumen de control mostrado resulta:



  

 Fext      V  d     V  V  dA
SC
t VC

Como sólo nos interesa la dirección del movimiento X, el flujo es estacionario y las únicas fuerzas exteriores

que actúan son el empuje E sobre la hélice, ya que en todo el resto del volumen de control la presión es la
atmosférica, despreciando los efectos de fricción y los debidos a la gravedad, la anterior será:

E    A  V V4  V1 

ec:12.23

Donde A y V son el área de la sección frontal y la velocidad del flujo a través de la hélice respectivamente.
Si ahora aplicamos la ecuación de cantidad de movimiento a un volumen de control compuesto por la hélice,
como la velocidad aguas arriba y aguas abajo es la misma, y las únicas fuerzas exteriores que actúan son el
empuje sobre la hélice y la diferencia de presiones queda:

E   p3  p 2   A

Igualando con la ec:12.23 podemos eliminar el área A:

p 3  p 2    V V4  V1 

540

ec:12.24

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

Como el fluido es incompresible, estacionario y los efectos de fricción son despreciables entre las secciones 1
y 2 (figura 12.13) podemos aplicar la ecuación de Bernoulli entre dos puntos de estas secciones:

p atm

1 2 p2 1 2
 V1 
  V2
2
 2

ec:12.25

Las mismas características tiene el flujo entre las secciones 3 y 4 por lo cual también podemos aplicar
Bernoulli (notar que no podemos aplicar Bernoulli entre 2 y 3):

p3

1 2 p atm 1 2
 V3 
  V4
2

2

ec:12.26

Teniendo en cuenta que la velocidad del fluido en el sección 2 es la misma que en la sección 3 restando
miembro a miembro la ec:12.26 de ec:12.25 se puede obtener la diferencia de presiones entre la sección 3 y
la sección 2:

p3  p 2 

1
   V42  V12
2

ec:12.27

Igualando la expresión ec:12.24 con la ec:12.27 podemos obtener el valor de la velocidad V del fluido a
través de la pala:

V 

1
 V4  V1 
2

Para una hélice que actúa como propulsora (es decir que se le entrega potencia a través de un motor a fin de
mover un avión o un barco) la potencia útil es la necesaria para trasladar la fuerza de empuje a la velocidad
de la hélice (que se mueve con la velocidad del móvil). Como V1 es la velocidad de la hélice la potencia útil
la encontramos como producto de la ecuación ec:12.23 por dicha velocidad:

W u    A  V V4  V1   V1    Q  V1  V4  V1 

ec:12.28

La potencia que debemos entregar a la hélice (mediante el motor) la podemos obtener aplicando la ecuación
de la energía al volumen de control de la figura f:12.13:

 


1
p
Q  W eje    e    d    u   V 2  g  z      V  dA
SC
t VC
2


Teniendo en cuenta que la potencia es entregada y por lo tanto negativa, que no hay transferencia de calor,
que el flujo es estacionario, que hemos despreciado las pérdidas de fricción y la variación de energía
potencial y que sólo hay flujo a través de las secciones 1 y 4 la anterior se resume a:

1
1
1
W eje       Q  V12     Q  V42     Q  V42  V12
2
2
2

ec:12.29

Por lo tanto el rendimiento porcentual de la hélice valdrá:



W u
V1
V
 100 
 100  1  100
1
V
W eje 
 V4  V1 
2

ec:12.30

541

CAPÍTULO 12

Como el denominador es siempre mayor que el numerador ni aún despreciando las fuerzas viscosas el
rendimiento de una hélice de propulsión puede ser del 100%. De hecho el rendimiento se aparta bastante del
teórico debido al importante consumo de energía en la estela vorticosa. Las hélices de barco y aeronaves
tienen eficiencias que no superan el 80%. En la figura f:12.14 se muestran las curvas características para una
hélice de propulsión donde C E : coeficiente de empuje y CW : coeficiente de potencia y vienen dados por las
expresiones:
CE 
C W 

E
  N 2  D4

W
  N 3  D5

f:12.14

12.4.2 Rodete radial
En la figura f:12.15 se muestra esquemáticamente un rodete donde el fluido ingresa por el anillo central y
luego de recorrer todos los álabes egresa por el anillo exterior. El fluido sólo tiene componentes en el plano
del papel y, para las deducciones que siguen, supondremos que existe una cantidad infinita de álabes
dispuestos sobre el rodete, de forma que los triángulos de velocidades son los mismos en cualquier punto a
una distancia fija del radio. Esta disposición corresponde a una bomba. Si el flujo escurriera de la periferia
hacia el centro se trataría de una turbina. Una pregunta pertinente es ¿cómo son los cambios energéticos y las
cantidades de movimiento que ocurren en un rodete?
Para contestar esta pregunta analizaremos por separado (a pesar que son causa y efecto) lo que ocurre en una
bomba y lo que ocurre en una turbina. A fin de comprender por qué al hacer girar el rodete con un motor
(bomba) se logra un aumento de presión se puede recurrir a una simple observación: cuando revolvemos una
taza de café u otra infusión, observamos que en el centro de la taza el nivel desciende respecto al nivel
original, en tanto que en la periferia (borde de la taza) el nivel aumenta. Si imaginamos que confinamos el
fluido mediante una tapa, lo que obtendremos es un incremento de presión desde el centro hacia la periferia,
es decir exactamente lo que ocurre en una bomba. Puede verse que esto ya fue descripto en el capítulo 2
punto 2.6. Adicionalmente el fluido sale del rodete con una velocidad importante (energía cinética) que es
recuperada en el difusor de la bomba, y convertido por lo tanto en un aumento de presión adicional. Estos dos
mecanismos son los que actúan en una bomba. Aquí estamos interesados en el primero de estos fenómenos.
Si analizamos desde el punto de vista de la transferencia de cantidad de movimiento que ocurre en el rotor de
una bomba, podemos ver que cuando a una partícula se le confiere un sentido de rotación aparece una fuerza
542

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

centrífuga, esta fuerza centrífuga debe ser compensada por otra para evitar que la partícula salga despedida
según la dirección radial (como ocurriría si se corta la soga que mantiene a una piedra rotando respecto a un
punto), esta fuerza la suministra el aumento de presión que ocurre en la dirección radial.
Podemos hacer un análisis similar para la turbina. El movimiento de la misma ocurre porque sobre los álabes
impacta el fluido transfiriendo su cantidad de movimiento y como los álabes se distribuyen sobre la
circunferencia, se produce un movimiento de giro. Además como el flujo se mueve con movimiento circular
desde el exterior hacia el interior, la fuerza centrífuga disminuye desde la periferia hacia el centro, y por lo
tanto debe disminuir la presión en la misma dirección para equilibrar la misma.

2

Vrel 2

V2

Referencias

2

V1, V2: velocidades absolutas
Va

rr 1

1

R2

Vt1, Vt2: velocidades absolutas
tangenciales

Vrel 1

r2

V ar

V 1 
R1

A

A

Vr1, Vr2: velocidades absolutas
radiales
Vrel1, Vrel2: velocidades relativas
Varr1, Varr2, velocidades de arrastre

f:12.15

superficie de
control 1

1, 2: ángulo que forman las
velocidades absolutas con la
tangente a la superficie de control

volumen de
control

1, 2: ángulo que forman las
velocidades relativas con la
superficie de control

superficie de control 2

Corte A-A

: velocidad angular de rotación
del rodete
b2

b1

Planteando la ecuación de continuidad en el volumen de control indicado en la figura f:12.15, resulta:

0

  V  dA
SC

Al ser un flujo permanente, la derivada con respecto al tiempo se anula. Sólo queda desarrollar la integral del
segundo término en la superficie de control 1 y 2, resultando:

Vr1  2    R1  b1  Vr 2    2  R2  b2  Q
En el gráfico f:12.16 se detallan los triángulos de velocidad a la entrada y salida del rodete. Por condición de
diseño, la velocidad relativa en los álabes, debe ser tangente a ellos, de forma de disminuir las pérdidas por
desprendimiento.

543

CAPÍTULO 12

Triángulo de velocidad a la entrada
del álabe

Triángulo de velocidad a la salida
del álabe

l1

2

dirección tangente a la circunferencia

Vrel

2

Vt 2

V2



Vr 2

Varr 2=.R2

Vt 1

V1

1

Vre

f:12.16

Vr 1

Varr 1=.R1

2

dirección tangente a la circunferencia

a

c

b

Para construir el triángulo de velocidad, basta con conocer el caudal que circula, la velocidad de rotación de
la máquina, las dimensiones del rodete y la forma de los álabes (sus ángulos tangentes). Y de acuerdo con el
principio de Galileo:




Vabs  Vrel  Varr

Siendo la velocidad de arrastre, la velocidad a la que gira el rodete.
En la figura f:12.16.c, se observa el desprendimiento que ocurre cuando la velocidad relativa (la que ve un
observador parado sobre el rodete) no es tangente a la entrada al álabe. Como la turbomáquina debe adaptarse
a diferentes condiciones de operación es obvio que cuando deba operar fuera de las condiciones de diseño su
eficiencia disminuirá.
Si aplicamos la ecuación de momento cinético a un volumen de control que incluya al rodete como se
muestra en la figura f:12.15, resulta:

 
   

M ext 
  r  V  d    r  V  V  dA
t VC
SC

 

 



Esta es una ecuación vectorial según los tres ejes. Pero sólo nos interesa el momento en el plano del papel.
Recordando que el flujo es permanente y que sólo hay flujo a través de las superficies extremas, se calcularán
los momentos con respecto al centro del rodete, resultando:
M z   R1  V1  cos 1  R2  V2  cos  2     Q
Como se puede observar en los triángulos de velocidad de la figura f:12.16
V1cos1 Vt1 y V2cos2 Vt2
y reemplazando en la ecuación anterior, resulta:

M z   R1  Vt1  R2  Vt 2     Q

ec:12.31

Como hemos visto en el punto 5.2 del capítulo 5, se podía definir la circulación de un vórtice libre como:

R1  Vt1  R2  Vt 2  cte  
Por lo tanto, si se construye un álabe con un perfil tal que se cumpla la condición anterior, no produciría
ningún par y por consiguiente ninguna potencia. A dicho álabe se lo conoce como álabe neutro y por
supuesto no tiene ninguna utilidad práctica. Por lo tanto si se quiere aumentar el momento torsor que produce
un rodete puede procederse aumentando el caudal o bien aumentando la diferencia de circulación entre la
entrada y la salida.
Para obtener la potencia que produce el rodete, se multiplica el momento por la velocidad angular,
resultando:

  M      Q    R  V  R  V 
W
z
2
t2
1
t1

ec:12.32

Nuevamente, refiriéndonos a los triángulos de velocidad de la figura f:12.16, podemos observar que:
544

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

 R1=Varr1 y R2 Varr2

ec:12.33

Y reemplazando las expresiones ec:12.33 en la ec:12.32, resulta:

W    Q  Varr 2  Vt 2  Varr1  Vt1 

ec:12.34

Recordando la ecuación ec:12.1, habíamos llegado a:

W    g  Q  H

ec:12.35

Igualando la ec:12.34 con la ec:12.351, podemos obtener una expresión interesante para la altura hidráulica:

H

Varr 2  Vt 2  Varr1  Vt1
g

ec:12.36

Que demuestra que el álabe neutro no genera altura hidráulica alguna, de la misma forma que no se genera
par torsor o potencia.

Ejemplo 12.5
El impulsor de una bomba centrífuga que tiene las
dimensiones mostradas, gira a 500 RPM.
Suponiendo a la entrada una velocidad absoluta
solamente de dirección radial calcular el caudal, el
momento torsor y la potencia requerida para
cumplir estas condiciones.

50mm

45°
45°


75mm
200mm

Solución
Plantearemos los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del álabe.

545

CAPÍTULO 12

Vt 2

45°
Varr 2

2=45º

Vrel 2

V2

Vr 2

Varr 1
R2=100mm

45°

45°

Vrel 1

R1
=3
2,
5m
m

V 1 = Vr 1

De los valores dados en el enunciado y los triángulos de velocidades surgen los siguientes valores:

  500 rpm
  1000

kg
m3

R1 

75
mm
2

R2 

200
mm
2

b  50mm

m
s
m
Varr 2    R2
Varr 2  5, 24
s
m
V1  Varr1  tan 45º V1  1,96
s
Varr1    R1

Varr1  1,96

Como no hay componente tangencial, la velocidad absoluta en 1 sólo tiene componente radial, es decir:

m
s
m3
Q  0, 023
s

Vr1  V1

Vr1  1,96

Q  2    R1  b Vr1

Vt1  0

 2  45º

Y, por lo tanto:

Q  2    R2  b  Vr 2

Vr 2 

Q
2    R2  b

Vr 2  0, 74

m
s

La proyección tangencial de la velocidad absoluta a la salida la podemos calcular con:

Vr 2
 tan  2
Varr 2  Vt 2

Vt 2  Varr 2 

Vr 2
tan  2

Vt 2  4,5

El momento torsor se puede calcular mediante la ecuación 12.31:

M z   R2  Vt 2  R1  Vt1     Q

M z  10,35 N  m

Y finalmente la potencia requerida en el eje la calculamos mediante:

Weje  M z  

546

Weje  545Wat

m
:
s

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

12.5 Características particulares de las turbomáquinas
Procederemos a analizar cada turbomáquina de acuerdo con la característica de flujo: axial, radial, tangencial
o mixto.

12.5.1 Turbomáquinas de flujo tangencial
Este tipo de turbomáquinas es del tipo de impulsión, donde el agua es acelerada en una tobera e impacta en la
rueda a la cual le transmite el impulso que la hace girar. En la figura f:12.17 se observa un tipo de turbina de
impulsión, conocido como turbina Pelton.

Fuente:
http://www.ebroacero.com

f:12.17

(consultado 29 de enero de 2010)

En la figura f:12.18 se muestra esquemáticamente una instalación. La tobera o inyector lanza directamente el
chorro de agua contra la serie de paletas en forma de cuchara montadas alrededor del borde de una rueda. El
agua acciona sobre las cucharas intercambiando energía con la rueda en virtud de su cambio de cantidad de
movimiento, que es casi de 180°. Obsérvese en el corte B-B, como el chorro de agua impacta sobre la pala en
el medio, es dividido en dos, los cuales salen de la pala en sentido casi opuesto al que entraron, pero jamás
puede salir el chorro de agua en dirección de 180°, ya que si fuese así el chorro golpearía a la pala sucesiva y
habría un efecto de frenado.
El fluido puede ser inyectado por una o más boquillas ubicadas en forma periférica y el rotor puede
disponerse de forma horizontal o vertical.

Vista A-A

rodete

A
dchorro

f:12.18

B

B

álabe
R

tobera

A

Vch
chorro

Varr=.R

Como se observa en la figura, el fluido entra y sale de los álabes de la rueda a la misma presión (normalmente
la presión atmosférica).

547

CAPÍTULO 12

Trataremos ahora de determinar el par que entrega la turbina, suponiendo conocidos la velocidad de salida de
la tobera o boquilla, la velocidad de giro de la rueda y la forma del álabe.
Consideramos que la velocidad de giro de la rueda y el caudal se mantienen constantes y que las pérdidas por
fricción o turbulencia son nulos.
En la figura f:12.19 se muestra en punteado el volumen de control adoptado, al que aplicaremos la ecuación
del momento de la cantidad de movimiento (la sección de entrada del fluido a la cuchara se denomina 1, así
como 2 a la sección de salida):
volumen de
control

dchorro

2

V1

1

R

Varr=.R

V1=Vch
1

f:12.19

Vr 2
2

V2

Varr

ext


t

Vr 2

R

V2

2

triángulo de velocidad a la
salida del álabe

a

M

Vt 2

Vt 2

Vrel 2

dirección
álabe
tangente al inal
ón f
i
c
c
e
dir
horro
del c

90°

 

 
  r  V  d 

VC

b



 

   
  r  V  V  dA

SC

El término en derivadas parciales se anula puesto que si no varían ni la velocidad de giro de la máquina ni el
caudal inyectado el flujo es permanente.
Esta ecuación es de tipo vectorial y por lo tanto se puede descomponer en tres ecuaciones escalares según los
ejes coordenados. Nosotros sólo estamos interesados en la ecuación según el eje z, que es el eje según el cual
gira el aparato.
Obviamente esta integral es nula sobre las superficies de control sobre las cuales no hay transferencia de
masa. Es decir que la integral anterior sólo debe ser evaluada sobre las superficies 1-1 y 2-2.
Finalmente adoptaremos como radio R la distancia al centro del rodete, y podemos escribir:


M ext 



 

    r V  V  dA 

   
  r  V  V  dA 

SC1

ec:12.37

SC 2

En el primer término, el agua ingresa al volumen de control, el radio vector es R y la velocidad absoluta V1 es
igual a la velocidad del chorro Vch. Como esta velocidad es normal a R resulta:

   r  V  V  dA     r  V    V  dA     R  V  sen90º    Q

SC1

1

ec:12.38

SC1

De la misma manera, el momento cinético del fluido que egresa por la superficie 2-2 resulta:

 



   
 
  r  V  V  dA    r  V

SC 2

548

   V  dA     R  V

SC 2

2

 sen   Q

ec:12.39

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

El signo de la multiplicación vectorial r  V se ha tomado como positivo si es antihorario y negativo si es
horario.
La velocidad absoluta a la salida V2, se ha indicado en la figura f:12.19.a, donde se ha trazado el triángulo de

velocidades utilizando el principio de Galileo ( Vabs  Vrel  Varr ).
En la figura f:12.19.b, se indica el ángulo , y se observa que V2·sen =Vt 2, que también lo podemos
expresar diciendo que la única componente capaz de producir par sobre la rueda es la componente tangencial

al rodete (puesto que para la componente en la dirección del eje r  Vr 2  0 )
Por lo tanto en el egreso será:

   r  V  V  dA    R V

t2

Q

SC 2

Nuevamente, refiriéndonos al triángulo de velocidades, podemos expresar la velocidad absoluta tangencial a
la salida en función de la velocidad relativa Vrel2 y de la velocidad de arrastre Varr. La velocidad relativa es
aquella con la que veríamos desplazarse al fluido dentro del álabe si nos paráramos sobre éste, y suponiendo
ausencia de rozamientos, podremos decir que la velocidad relativa se mantiene en todo el recorrido sobre el
álabe, hasta su egreso, es decir:
|Vrel 1| = |Vrel 2|
Estas velocidades son iguales en módulo, pero no en dirección, ya que en el egreso la velocidad relativa es
tangente a la superficie del álabe, puesto que no se ha considerado pérdidas por turbulencias (choques o
separación).

Y nuevamente, por el principio de Galileo, la velocidad relativa a la entrada es: Vrel1  V1  Varr , y su
módulo: |Vrel1|=|Vrel 2|=Vch-·R, donde  es la velocidad angular de la rueda.
Y siendo:
Vt 2  Vrel 2  cos     R  Vch    R   cos     R

   r  V  V  dA    R  V

ch

   R   cos     R   Q

SC 2

ec:12.40

Finalmente, reemplazando ec:12.38 y ec:12.40 en ec:12.37, resulta:

M z    R  Vch  ( Q )    R  Vch    R   cos     R   Q

ec:12.41

Operando, se puede rescribir:

M z    R  Q   Vch  Vch  cos     R  cos     R 

Finalmente el par resistente aplicado por el fluido a la rueda será:

M z    R  Q    R  Vch   1  cos  

ec:12.42

Y el par desarrollado por la rueda, será de signo contrario:

M z    R  Q  Vch    R   1  cos 

ec:12.43

Como la potencia es el producto del par torsor por la velocidad angular:

W eje     Q    R  Vch    R   1  cos  
Aquí hemos supuesto que hay una infinita cantidad de álabes. Como esto no es así la potencia o el par torsor
deberán afectarse por un factor que será menor que uno y que forma parte del rendimiento de la máquina.
549

CAPÍTULO 12

Para maximizar el rendimiento de la máquina desde el punto de vista de la construcción de los álabes vale
observar que tanto el par torsor como la potencia serán máximos cuando el ángulo  sea cero. Es decir
cuando el flujo de agua sea desviado de forma tal que realice un giro de 180°. Si bien por razones
constructivas no es posible llegar a dichos valores los ángulos reales se encuentran muy próximos a estos
valores.

Es interesante ver que la potencia es función de la velocidad tangencial de la máquina   R  . De una rápida
inspección de las fórmulas de par torsor y potencia deducidos vemos que el par torsor y la potencia son nulos
cuando la velocidad tangencial es igual a la velocidad del chorro. A medida que la diferencia entre ellas
aumenta el par torsor aumenta continuamente. Por lo tanto a medida que la máquina se carga se tiende a
frenar. Como estas máquinas se utilizan para generar energía eléctrica la velocidad de rotación se debe
mantener constante, por lo tanto los cambios en la potencia se deben realizar modificando el caudal que
ingresa por las boquillas.
La potencia no se comporta de la misma forma respecto a la velocidad tangencial sino que pasa por un
máximo y luego disminuye. Resulta interesante determinar el punto para el cual la potencia resulta máxima.
Para ello derivamos la potencia respecto a la velocidad tangencial y la igualamos a cero:

W eje 
 0    Q1  cos    Vch    R     R1  cos  
   R 
Operando en la anterior llegamos a:

R 

Vch
2

Es decir que la potencia será máxima cuando la velocidad tangencial sea la mitad de la velocidad del chorro.
Las turbinas de acción son recomendables para centrales con grandes saltos y moderados o pequeños
caudales. Son la elección técnicamente más recomendable en instalaciones donde se requiere números de
revoluciones específicos (Ns) entre 25 y 50 y se dispone de saltos de más de 180 metros.

12.5.2 Turbomáquinas de flujo axial
Dentro de este tipo de turbomáquinas se distinguen las siguientes:
 ventiladores axiales
 bombas axiales a hélice
 turbinas hidráulicas axiales
 turbinas eólicas
Para la clasificación de ventiladores axiales tomaremos como referencia “Industrial Ventilation” A manual of
Recommended Pratice 8th Edition editado por la American Conference of Governmental Industrial
Hygienists. De acuerdo con este trabajo los ventiladores axiales los clasifica en dos grandes grupos:
 Ventiladores axiales de palas
 Ventiladores axiales de álabes
Los ventiladores axiales de pala pueden mover grandes caudales de aire con muy bajas presiones estáticas.
Dentro de este tipo de ventiladores a su vez se pueden reconocer los ventiladores de disco y los ventiladores
de hélice (ver figura f:12.20).

550

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

Ventilador de discos

f:12.20

Ventilador de hélice

Ventilador axial

Los ventiladores de disco son utilizados generalmente como extractores de ambientes y no están conectados a
conductos, es decir que la contrapresión que deben vencer es mínima. No son ventiladores aerodinámicos.
Los ventiladores de hélice responden a la teoría vista en el punto 12.4.1. La característica de caudal es similar
al anterior (volúmenes importantes) pero con valores de presión estática de descarga superiores al anterior
(ver curvas en la figura f:12.20).
Los ventiladores axiales de álabes (ver figura f:12.20) en cambio permiten desarrollar mayores presiones con
mejores rendimientos que los anteriores. Esto se debe a dos factores:
 Los álabes tienen un mayor desarrollo en el sentido axial lo cual permite desarrollar mayores presiones.
 El ventilador se ubica dentro de un conducto y aguas abajo del ventilador se colocan enderezadores de
vena lo cual mejora el rendimiento al mitigar los vórtices de punta de pala y la resistencia inducida en la
estela.
Los conceptos correspondientes a las bombas axiales a hélice son totalmente análogos al de los ventiladores
axiales de álabe excepto que usualmente se ubican en forma vertical como se muestra en la figura f:12.20
donde también se muestran las curvas características para una máquina dada girando a un número de
revoluciones determinado. Obsérvese la similitud con los ventiladores axiales de álabes.

f:12.21

Alabes
fijos

551

CAPÍTULO 12

Las turbinas axiales son indicadas para bombear caudales importantes con alturas de impulsión modestas.
Son indicadas para aquellas instalaciones con número de revoluciones específicas Ns entre 110 y 220 y
alturas de impulsión de hasta 15 metros.
Como apuntamos en 12.1 las turbinas hidráulicas se pueden clasificar en turbinas de acción y turbinas de
reacción. Las turbinas de acción fueron analizadas en 12.5.1.
En las turbinas de reacción el rodete se encuentra totalmente sumergido en el agua. Las turbinas de reacción
se pueden clasificar a su vez en axiales (turbina Kaplan) y radiales (turbina Francis).
Las turbinas axiales por supuesto muestran características muy similares a las bombas y ventiladores axiales.
La turbina de este tipo más común es la turbina Kaplan un corte de la cual se muestra en la figura f:12.22.
La turbina Kaplan se utiliza en centrales con caudales importantes y saltos moderados con números de
revoluciones específicos (Ns) entre 450 y 1000 con un rendimiento óptimo para un Ns de aproximadamente
600 y saltos menores a 30 metros. En la figura f:12.23 se muestran curvas características de estas turbinas.
Alabes
directrices

f:12.22

Diámetro
Rodete

f:12.23

Finalmente dentro de las máquinas de flujo axial tenemos las turbinas de generación eólica que consisten
básicamente en dos o tres hélices movidas por el viento que a su vez mueven un generador eléctrico.
Usualmente se disponen en grupos más o menos numerosos de generadores a los cuales se denomina granja
de molinos de viento. En la figura f:12.24 se muestra una granja de este tipo en Middelgrunden, en el mar de
Copenhague, Dinamarca. Y en la figura f:12.25 se puede observar el tamaño que suelen tener las aspas del
aerogenerador.
En la figura f:12.26 se esquematiza el movimiento del aire a través de un molino de viento. La velocidad en
la sección 1 es la velocidad del viento en el lugar normal a la cara frontal. Se observa que la imagen de flujo
es exactamente opuesta a lo visto para una hélice de propulsión. En efecto la velocidad de la corriente libre se
reduce aguas abajo pues el molino obtiene energía del flujo. Por lo tanto aplicando la ecuación de la energía a
552

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

un volumen de control tal como el mostrado y teniendo en cuenta que analizamos el estado permanente, que
el trabajo es realizado por el flujo, que la presión tanto en la sección 1 como en la 4 es la atmosférica,
despreciando el rozamiento y la variación de energía potencial llegamos a la siguiente ecuación:


1
1
1
 W eje       Q  V12     Q  V42     Q  V42  V12
2
2
2
1
1
W eje      Q  V12  V42     A  V  V12  V42
2
2

El valor de la velocidad a través del molino como vimos al tratar de las hélices es la semisuma de las
velocidades de las secciones 1 y 4 por lo cual la anterior se puede escribir:

1
1
W eje      A  V1  V4   V12  V42
2
2

Si definimos la potencia disponible como la correspondiente a un área de sección A (área de la superficie
frontal del molino) a través de la cual el fluido circula con una velocidad V1 dicha potencia valdrá:

1
W disp    A  V1   V12
2

f:12.24

f:12.25

2
1

p4
V

f:12.26

V4

V1
p1

p3

p2
3

Siendo el rendimiento del ventilador:
553

CAPÍTULO 12



W eje 
W
disp

Reemplazando en la anterior por las ecuaciones encontradas:



1 V1  V4 V12  V42


2
V1
V12



1  V4   V42 
 1    1 
2  V1   V 2 
1 

Podemos encontrar el rendimiento máximo en función de la relación de velocidades V4 V1 para lo cual
derivamos e igualamos a cero:


V 
 4 
 V1 

 V   V 2 
 1  4   1  42 
 V1   V 
1 

0 
V 
 4 
 V1 
2

V 
V
0  3   4   2  4  1
V1
 V1 
Ecuación de segundo grado que resuelta nos da: V4 V1  1 3
Reemplazando este valor de las relaciones de velocidades en la ecuación del rendimiento encontrada:

1  1  1
 1    1  
2  3  9
16

 0,593
27

 máx 
 máx

Como hemos considerado el flujo sin fricción es de esperar que este rendimiento sea menor, de todas formas
podemos decir que el rendimiento de un molino de viento no podrá superar el 59,3%.

12.5.3 Turbomáquinas de flujo radial
Este tipo de máquinas se distinguen porque constan de un rotor que gira dentro de una carcasa y en el cual el
flujo circula en dirección radial recibiendo o generando energía.
Dentro de este tipo de máquinas se distinguen los siguientes:
 Ventiladores centrífugos
 Bombas centrífugas radiales
 Turbinas de reacción radiales (turbina Francis)
Los ventiladores centrífugos (como todas las máquinas radiales) son apropiados para mover volúmenes
menores que los ventiladores axiales pero pueden desarrollar una contrapresión mucho mayor. Debido a esta
característica son la solución usual cuando se necesita transporte por conductos muy largos o contra filtros de
manga como en el caso de la ventilación industrial. Los ventiladores se clasifican en tres grupos de acuerdo
con la construcción del rodete (ver f:12.27).
 Ventiladores de paletas curvadas hacia atrás
 Ventiladores de álabes rectos
 Ventiladores de paletas curvadas hacia adelante

554

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

Ventilador de paletas
curvadas hacia atrás

f:12.27

Ventilador de palas rectas

Ventilador de paletas
curvadas hacia adelante

En los últimos, dado que la punta de pala se curva en el sentido de rotación, la velocidad tangencial absoluta
de salida del aire es mayor que en el caso que los álabes se curven en sentido contrario al de rotación. Esto
hace que estos ventiladores sean más compactos (ocupan menos espacio) y su velocidad de rotación puede
ser inferior a la del otro tipo, lo cual permite niveles de ruido menores. Se usan para vencer contra presiones
estáticas moderadas, por lo cual son muy utilizados en aire acondicionado y ventilación pero no se
recomiendan para ambientes con humo o polvo que se puedan adherir a los álabes pues los desbalancean. En
la figura f:12.28 se muestra la incidencia de la curvatura de los álabes en las velocidades de salida

f:12.28

Los ventiladores de palas rectas se usan en sistemas de extracción cuando se manejan fluidos que puedan
taponar el ventilador, tales como en aserraderos, extractores buffer, etcétera.
Los ventiladores de palas curvadas en sentido contrario al de rotación permiten velocidades de punta de pala
mayores y por lo tanto admiten mayores velocidades de rotación lo cual los hace de mejor rendimiento que
los anteriores y tiene características de no-sobrecarga.
En la figura f:12.29 se muestra un corte típico de una bomba centrífuga radial.
Usualmente las bombas no tienen álabes directrices y en la entrada el flujo normalmente es paralelo al eje a
fin de reducir la potencia necesaria en el eje al mínimo.
De la ecuación ec:12.31 para una bomba de este tipo resulta:

M z    Q  R2  Vt2
Porque no hay velocidad tangencial a la entrada. De la misma forma de la ecuación ec:12.34 resulta:
555

CAPÍTULO 12

W    Q  Varr 2  Vt2
H

Varr 2  Vt 2
g

f:12.29

De la misma forma que el momento torsor y la potencia requeridos por la bomba se hacen mínimos cuando el
flujo de ingreso no tiene velocidad tangencial la altura de impulsión se hace máxima. Debido a la fricción de
fluido contra el rotor y la carcasa y a la resistencia de forma el rendimiento no es del 100%. Respecto a la
resistencia de forma en los álabes se debe hacer notar que como generalmente estas máquinas no tienen
álabes de ángulos variables, cuando funcionan fuera de la condición de diseño el rendimiento disminuye
debido a que la velocidad relativa no es tangente a los álabes. En la figura f:12.30 se muestra una curva
característica de una bomba. En ella se puede observar una curva que corresponde al ANPA y cuyo
significado veremos más adelante.
Respecto de la orientación de los álabes o paletas en general se utilizan los del tipo atrasado, es decir que el
ángulo de punta de pala es opuesto al sentido de rotación o a lo sumo normal. Esto se debe a que si bien los
álabes con paletas adelantadas permiten mayores velocidades de salida, el canal a que dan lugar produce
pérdidas debido a desprendimientos que anulan todas las ventajas obtenidas.

H

f:12.30

W
ANPA
Q[m³/s]

Finalmente podemos decir que este tipo de bomba encuentra sus aplicaciones con números de revoluciones
específicos (NS) entre 15 y 90 con alturas de impulsión mayores a 30 metros.
Las turbinas de flujo radial (turbinas Francis) son turbinas de reacción en las cuales el fluido ingresa por una
envolvente a todos los álabes fijos llamados directrices, para luego alcanzar los álabes de la rueda o rodete a
los cuales les confiere momento cinético (ver figura f:12.31).
El momento torsor, la potencia y la altura disponible vienen dadas por las ecuaciones ec:12.31, ec:12.34 y
ec:12.36 pero con los signos cambiados. A fin de optimizar los momentos torsores, potencia y altura de

556

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

impulsión se intenta que la velocidad a la salida no tenga componente normal (obsérvese que en la bomba la
que se anula es la componente de entrada).
álabes
fijos

Q


B

álabes
móviles
f:12.31

álabes
móviles

rodete

álabes
fijos

Nuevamente el rendimiento se ve influenciado por las pérdidas por fricción y de forma y cuando varía el
caudal respecto de las condiciones de diseño aumentan las pérdidas de forma y varía el rendimiento. En la
figura f:12.32 se muestran las curvas características de estas máquinas.

f:12.32

Estas máquinas son indicadas para saltos y caudales moderados con números de revoluciones específicos
(NS) entre 45 y 500 y saltos entre 25 m y 180 m.

12.5.4 Turbomáquinas de flujo mixto
Estas máquinas tienen una característica de flujo que las ubica entre las máquinas de flujo radial y las
turbomáquinas de flujo axial.
Las únicas máquinas que tienen esta característica son las bombas centrífugas de flujo mixto cuyo corte
transversal se muestra en la figura f:12.33.
Estas bombas prestan un servicio intermedio entre las axiales y radiales vistas anteriormente y son indicadas
para trabajar con número de revoluciones específicos entre 70 y 135 con alturas de impulsión entre 10 y 40
metros.
557

CAPÍTULO 12

f:12.33
Alabes
fijos

12.6 Punto de funcionamiento
12.6.1 Punto de funcionamiento de una bomba
Como hemos podido observar al ver las curvas de las turbomáquinas, existen infinita cantidad de puntos en
las cuales éstas pueden funcionar con una relación biunívoca entre el caudal y la altura de impulsión. Sin
embargo el funcionamiento de las mismas se producirá en un punto determinado y para una condición dada
de caudal y altura de impulsión.
En el caso de turbomáquinas que actúan impulsando un fluido a través de un sistema de cañerías o conductos,
tales como ventiladores o bombas la condición viene dada por la contrapresión que producen la diferencia de
nivel y/o la pérdida por fricción en las cañerías.
En el caso de los ventiladores las diferencias de nivel son despreciables y por lo tanto la contrapresión se
debe exclusivamente a la pérdida de carga. Como vimos en el capítulo 8 de escurrimiento en conductos la
pérdida de carga total viene dada por:
H  (f

L

D

n

Ki ) 

i 1

V2
2g

Siendo la velocidad en un conducto circular:

V 

4Q

  D2

Resulta:

H  (f

L

D

n

K ) 
i

i 1

2

8
 Q2
 D4  g

Es decir que la curva de carga para un ventilador es aproximadamente proporcional al caudal al cuadrado.
Entonces si superponemos en un mismo gráfico la curva del ventilador y la de demanda, el punto en que se
intercecan ambas curvas es el punto de funcionamiento del ventilador (ver figura f:12.34).

558

H[mm H2O]

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

f:12.34

Resistencia del sistema con
damper parcialmente cerrado
Resistencia del sistema
(varía aprox. Con Q2)

Q[m3/h]

En el caso de una bomba centrífuga la altura de impulsión viene dada por:
H imp  z  H
Donde z es la diferencia de altura geométrica entre la succión y la impulsión. La curva de carga en función
del caudal es del tipo parabólica como la anterior pero en lugar de iniciar en el origen arranca con una altura
igual a la diferencia geométrica (ver figura f:12.35).

f:12.35

H[m H2O]

Resistencia del sistema con
Válvula parcialmente cerrada
Resistencia del sistema
(varía aprox. Con Q2)

Q[m3/h]

En muchos procesos industriales es necesario variar el caudal entregado por el ventilador o la bomba. En el
caso de las turbomáquinas esto se realiza en forma muy simple disponiendo una válvula o un damper (según
se trate de una bomba o de un ventilador) preferentemente en la descarga del sistema. De esta forma
introducimos una pérdida de carga inducida que modifica la curva de carga como se puede observar en las
figura f:12.34 y f:12.35. Obsérvese que esto mismo es lo que hacemos cuando regulamos la apertura de una
canilla en nuestro hogar (de hecho la canilla es una válvula globo ángulo).
En algunas bombas o ventiladores de gran potencia la regulación se realiza mediante paletas variables a fin
que la máquina opere en zonas de rendimiento adecuado y por lo tanto mantener los consumos de energía en
valores lo más bajo posibles.
Las turbinas hidráulicas en su gran mayoría son utilizadas para generar energía eléctrica. Las necesidades de
carga vienen impuestas por lo tanto por el consumo de energía que se produce en la red. De acuerdo con lo
visto la potencia generada por las turbinas hidráulicas es directamente proporcional al caudal que circula por
la máquina, regulando el caudal se regula la potencia entregada según la demanda de la central. Esta
regulación en centrales de potencia moderada se realiza mediante válvulas agujas instaladas en la descarga de
la máquina que generan lo que se conoce como “velo de novia” en la descarga de la presa. En otras centrales
la regulación se realiza aguas arriba de la sala de máquinas.
En el caso de las turbinas la utilización de álabes variables es muy extendida. Al variar los ángulos de ataque
del agua a los álabes varía por lo tanto la curva de la máquina.

Ejemplo 12.6
Se quiere utilizar una bomba de 81 cm de diámetro a 1170 RPM, cuya performance se puede representar por
la siguiente ecuación: H=149·m-20·s2·m-5·Q2, para bombear agua a 15ºC de un tanque a otro 37 m por encima
del anterior, a través de una cañería de 460 m de longitud, de 41 cm de diámetro y con un factor de fricción f
= 0,030.
La suma de los coeficientes de pérdidas localizadas es de 5. Determinar el punto de operación.
Solución
La altura de impulsión de la bomba, está dada por la expresión ec:12.3:
559

CAPÍTULO 12

H  z B  z A  hA B
Las pérdidas se pueden calcular mediante:

L

hA B  hlocales  h fricción   ki  f  A B
D

2
 V


 2 g

460m 
8  Q2
s2

hA B   5  0, 03 


 Q2
113,
08

2
5
2
0,
41
m
m

 g     0, 41m 
Finalmente, tendremos la expresión de la curva de resistencia del sistema:



s2
H  Q    37 m  113, 07 5  Q 2 
m


La curva de operación de la bomba, según el enunciado, es:

H bomba  Q   149m  20

s2
 Q2
5
m

Graficando ambas expresiones en función de Q, se tendrá el siguiente gráfico:
200
resistencia
del sistema

150
132

H[m]

performance
de la bomba

100

f:12.36
50

0

0

0.5

0.92

1

1.5

2

Q[m³/s]

El punto de intersección de ambas curvas es el punto de operación. Que también se puede obtener
numéricamente igualando ambas expresiones:

37m  113, 08

s2
s2
2

Q

149
m

20
 Q2
m5
m5

Finalmente, despejando Q, se obtiene:

Q

149m  37m
m3

0,92
s2
s
113, 08  20  5
m

Y, reemplazando Q en cualquiera de las dos funciones, se obtiene:

H (Q)  132m

12.6.2 Funcionamiento de bombas en paralelo y en serie
Si una bomba provee la carga necesaria pero caudal insuficiente, una solución posible es combinar dos
bombas similares en paralelo, compartiendo la misma succión y descarga. Un arreglo en paralelo también se
utiliza si la demanda varía, entonces se utiliza una bomba para poco caudal y una segunda bomba se pone en
funcionamiento para mayores descargas. Ambas bombas deberían tener válvulas de retención para evitar el
retroceso del flujo cuando una esté cerrada. En la figura f:12.37 se esquematiza una instalación de este tipo.
f:12.37
560

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

bomba
A

bomba
B

Las dos bombas en paralelo no necesitan ser idénticas. Sus descarga de flujo se sumarán para la misma altura,
como se ve en la figura f:12.38. Si la bomba A tiene mayor altura de impulsión que la bomba B, la bomba B
no se podrá sumar hasta que la carga de operación sea más baja que la altura de impulsión a caudal cero de la
bomba B. Como la curva del sistema varía con Q, la entrega combinada de QA+B será menor que las
descargas por separado QA o QB, pero seguramente mayor que cada una.
Para una curva muy plana (estática), dos bombas similares en paralelo entregarán casi el doble del caudal. La
potencia combinada se encuentra sumando la potencia de cada bomba A y B a la misma altura que el punto
de operación. La eficiencia combinada es igual a:
  H D  Q

 W
Donde  W es la suma de la potencia individual que cada bomba requiere.
Si las bombas A y B no son idénticas, como se ve en la figura, la bomba B no debería utilizarse y ni siquiera
debe ser puesta en marcha si el punto de operación está por encima de la altura de impulsión correspondiente
a caudal nulo.

bomba A
bomba B

combinadas
en paralelo

resistencia del
sistema

f:12.38

QA

QB

QB

QA QA+B

Q[m³/s]

Si una bomba provee el caudal adecuado pero una carga muy baja, se puede considerar agregar una bomba
similar en serie, con la salida de la bomba B alimentando directamente la succión de la bomba A. Como se
muestra en la figura f:12.39, el principio físico de sumar en serie es que se suman las alturas para el mismo
caudal, y eso dará la curva de performance combinada.

f:12.39

bomba
B

bomba
A

Las dos bombas no necesitan ser idénticas, pero sí maneja aproximadamente el mismo caudal; hasta pueden
tener distintas velocidades, aunque normalmente se utilizan con la misma configuración.
561

CAPÍTULO 12

La necesidad de un arreglo en serie implica que la resistencia del sistema es muy alta, por ejemplo requiere
una altura mayor de la que cualquiera de las dos bombas por separado pueda dar. La altura del punto de
operación de las dos bombas será mayor que el de A o B por separado, pero no tanto como su suma. La
potencia combinada es la suma de la potencia al freno de A y de B en el punto de operación. La eficiencia
combinada es similar a la de bombas en paralelo.
  H  Q D

 W
H[m]
resistencia del
sistema
HB
combinadas
en series

g12.40

HA

bomba A
bomba B

QB QA QA+B

Q[m³/s]

En lugar de colocar varias bombas en serie, se puede utilizar una bomba multietapa. Básicamente todos los
impulsores están en un mismo alojamiento, y la salida de una etapa de impulsor da al ojo de la siguiente.
Tales bombas pueden crear cargas extremadamente altas.

Ejemplo 12.7
Utilizar dos bombas iguales a la del Ejemplo 12.6 en paralelo para entregar más caudal. ¿Es eficiente la
solución adoptada?
Solución
Como las bombas son idénticas, cada una entrega el mismo caudal a la misma velocidad de 1170 RPM. La
curva del sistema es la misma, y la altura es igual a:
La curva de operación de la bomba es:
2

H Bomba

s2  Q 
s2
 149m  20 5     149m  5 5  Q 2
m 2
m

Nuevamente, igualando ambas expresiones, encontraremos el caudal del punto de operación:

s2
s2
2
Q
m


149

5
 Q2
m5
m5
149m  37m
m3

 0,974
s2
s
113, 08  5  5
m

37m  113, 08

QParalelo

Y la altura de impulsión la obtenemos de la primer expresión:
2

H Bomba

s2 
m3 
 149m  5 5   0,974
  144m
m 
s 

Por lo tanto el caudal que obtenemos es apenas un 6% mayor que el correspondiente a una bomba sola.
Concluimos que la solución adoptada es muy poco eficiente. Podemos de este ejemplo sacar una conclusión
general: cuando la curva de carga del sistema es muy empinada (por ejemplo cuando la pérdida dominante es
562

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

la debida a la fricción), la solución de poner las bombas en paralelo a fin de aumentar el caudal es poco
eficiente. En cambio si la curva es plana (es decir que la pérdida depende poco del caudal que circula, como
es el caso de vencer una altura de elevación geométrica determinada), la solución de poner bombas en
paralelo puede ser adecuada.
Ejemplo 12.8

Suponer que la altura de elevación del Ejemplo 12.6, aumenta de 37 a 152 m, mucho mayor que lo que una
bomba única de 81 cm de diámetro puede ofrecer. Investigue utilizar bombas idénticas en series a 1170 RPM.
Solución
Como las bombas son idénticas, la altura total será el doble, y la constante de 37 m de la resistencia del
sistema será reemplazada por 152 m. La curva de operación de la bomba será:



s2
s2
H Bomba   149m  20 5  Q 2   2  298m  40 5  Q 2
m
m


La curva de resistencia del sistema:

s2
H  Q   152m  113, 08 5  Q 2
m
Igualando ambas expresiones, encontraremos el caudal del punto de operación

s2
s2
2
152m  113, 08 5  Q  298m  40 5  Q 2
m
m
Entonces podemos despejar el caudal de las bombas en serie que resulta:

Q

 298  152  m
113, 08  40 

s2
m5

 0,977

m3
s

Reemplazando en la expresión de la altura de impulsión de la bomba o bien en la expresión de la resistencia
del sistema obtenemos la altura de impulsión de las bombas en serie que resulta:

H  Q   260m
Es decir que las bombas en serie podrán cumplir con el servicio requerido con un caudal similar al anterior.
En este caso la disposición es efectiva.

12.6.3 Cavitación y ANPA
Debido al sentido de rotación que se le imprime al fluido, la presión en el ojo de la máquina es menor a la
presión en la cañería de entrada en la zona no afectada por el movimiento. Si la presión en la máquina
desciende por debajo de la presión de vapor del líquido se forman burbujas de vapor que cuando pasan a
zonas de mayor presión vuelven al estado líquido, y debido a la gran diferencia en el volumen que ocupan
uno y otro, cuando el vapor vuelve a pasar a líquido implota e impacta en las superficies sólidas aledañas
produciendo la erosión rápida del material. Este fenómeno se conoce con el nombre de cavitación y fue
citado en el capítulo 1. En la figura 041 se observan las consecuencias de la cavitación en el alabe de una
turbina Francis.

563

CAPÍTULO 12

g12.41

En la práctica, la cavitación se puede producir en cualquier punto de un circuito hidráulico como en tubos de
venturi, huecos, protuberancias, cuerpos sumergidos, vórtices, o en máquinas hidráulicas (bombas o
turbinas), propulsores marinos, transitorios en golpe de ariete y cojinetes
En el caso de las bombas a fin de prevenir la ocurrencia de este fenómeno se define lo que se conoce como
ANPA de la bomba. El ANPA de la bomba es la “altura neta positiva de aspiración” y podemos decir que
representa la energía de presión total disponible del líquido excluido la energía de presión de vapor y medida
en metros de columna de líquido en la succión de dicha bomba. Cada bomba tiene un ANPA característico
que se conoce como ANPA requerido y es una curva que varía con el caudal y que es suministrada por el
fabricante del equipo. Cada instalación a su vez tiene un ANPA característico que se conoce como ANPA
disponible. La condición de diseño seguro requiere que el ANPA disponible sea mayor que el ANPA
requerido.
Para clarificar lo dicho observemos la instalación que se esquematiza en la figura f:12.402.
impulsión

D=cte
Q
brida de impulsión

A

f:12.40
brida de
aspiración

z
zA

D=cte
Q
B

zB

eje
referencia

Apliquemos la ecuación de energía a un volumen de control tal como el que se muestra en dicha figura.
 

p

1
 u + V 2  g .z  . . V  dA
Q  W eje  
e. .d +
SC
 t VC
2


Como el volumen de control no incluye a la bomba, el flujo es permanente, incompresible y no hay
intercambio de calor la anterior puede rescribirse:

1
p  
 u + V 2  g .z  . V  dA  0
SC
2


Como sólo existe flujo a través de las superficies A y B y todas las variables son constantes en dicha sección
y trabajando con presiones absolutas, desarrollaremos la expresión anterior para dichas secciones:





564



TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

patm
p
V2
 g  z A  u A  B  g  zB  uB  B
2

Si dividimos la anterior miembro a miembro por g, y despejamos la pB/ (expresada en metros de columna de
líquido) resulta:
p B p atm
V2

 z B  z A   H pérdidas  B


2g

ec:12.44

A la entrada de la bomba hay una caída de presión que normalmente se relaciona con la velocidad absoluta y
relativa en el rodete, según expresiones experimentales, del tipo:
V2
V2
p B
 1 relB   3 B

2 g
2 g

ec:12.45

Ahora bien, la presión mínima en la entrada de los álabes deberá ser la presión de vapor, entonces tenemos:

pV  p B  p B

ec:12.46

Reemplazando la expresión ec:12.44 y ec:12.45 en ec:12.46 y dividiendo esta última por el peso específico
resulta:
p V p atm
V2  V2
V2 

 z B  z A   H pérdidas  B   1 relB   3 B 


2g  2g
2g 

ec:12.47

Reagrupando términos:
p atm
p
V2
V2
 z B  z A   H pérdidas  V  1 relB   3  1 B


2g
2g
Haciendo 3  1  2 :
p atm 
p 
V2
V2
 z B  z A   H pérdidas  V   1 relB   2 B
2g
2g

 

ec:12.48
función del circuito
ANPAdisponible

función de la geometría
ANPArequerido

El ANPA disponible es función de la instalación e independiente del tipo de bomba.
El ANPA requerido es un dato característico de cada tipo de bomba, variable según modelo, tamaño y
condiciones de servicio, y es un dato a facilitar por el fabricante. La curva tiene una función de la forma:

565

CAPÍTULO 12

ANPAreq=f(Q²)
ANPAreq[m]
f:12.41

Q[m³/s]

Entonces como ya dijimos la condición de diseño debe cumplir con la condición:

ANPAdisp  ANPAreq
Si no se verifica lo anterior, caben hacer dos cosas: o aumentar el ANPA disponible o disminuir el ANPA
requerido, y como vimos anteriormente, el ANPA disponible está íntimamente relacionada con la instalación
y el requerido con la bomba.
Por ejemplo, para aumentar el ANPA disponible se podría:
 aumentar la altura de la reserva de líquido
 aumentar la presión absoluta a la entrada presurizando el tanque
 disminuir la temperatura del fluido, para aumentar la presión de vapor
 disminuir las pérdidas por fricción en la cañería de aspiración (aumentando el diámetro de la misma, o
disminuyendo los accesorios, disminuyendo la longitud de la cañería de aspiración, etc.)
Para disminuir el ANPA requerido, se podría:
 aumentar la boca de la entrada del impulsor
 utilizar una bomba con velocidad de aspiración más baja y el diámetro del impulsor más grande
 utilizar una bomba con un impulsor de aspiración doble
 utilizar una bomba de refuerzo, en serie
 utilizar varias bombas de menor caudal en paralelo
Algunas advertencias sencillas a fin de minimizar los problemas de cavitación en instalaciones simples son:
 Siempre que sea posible es preferible que la altura del depósito de succión esté por encima del nivel de la
bomba. En este caso generalmente no habrá problemas de ANPA a temperaturas ambientes cuando se
bombea agua.
 A medida que la temperatura del líquido aumenta se incrementa la presión de vapor y el ANPA
disponible disminuye (caso del agua caliente).
 Se debe prestar mucha atención a la altitud del lugar donde se instalará la bomba porque a medida que se
asciende la presión atmosférica disminuye y por lo tanto disminuye el ANPA disponible.

Ejemplo 12.9
En la figura se muestra parte de la instalación de una industria, a realizarse en la ciudad de Jáchal, en la
provincia de San Juan, donde la presión atmosférica es 879,7 HPa, por donde circularán 40 m³/h de agua a
90ºC, con una pérdida en la cañería de aspiración de la bomba de 0,4m. Calcular el ANPA disponible y
evaluar el riesgo de cavitación, siendo el ANPA requerido por el fabricante de la bomba de 6 m.
atm

A
2m

Caldera
B
Bomba

566

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

Solución
De acuerdo a la ecuación ec:12.48 el ANPA disponible se calcula como:


p 
  z B  z A   hpérdidas  V 90º 
 90º 
 90º 

87970 N m2
68200 N m2 

  0  2  m  0, 4m 
  3, 69m
965,3  9,81 N m3 
965,3  9,81 N m3 

ANPAdisp 
ANPAdisp

patm

Es decir que el ANPA disponible es menor que el ANPA requerido y por lo tanto el riesgo de cavitación es
muy alto.

Ejemplo 12.10
Con los datos indicados, obtenga el caudal máximo que puede circular por la bomba sin que exista
cavitación.
diámetro de la tubería: 0.25m; coeficiente de fricción: f=0,016; coeficiente de pérdidas en el filtro:2,1;
coeficiente de perdidas en el codo: 0,2; ANPA requerido de la bomba= 0,4m + 6s2m-5 Q2; presión de vapor
del agua a 50ºC: 4297 Pa; presión atmosférica: 101300 Pa; peso específico del agua a 30ºC: 9764 N/m³

5m

B

codo
2m

A

Bomba

3m

filtro

Solución
Para obtener dicho caudal, igualaremos el ANPA requerido con el ANPA disponible. Según la ecuación
ec:12.48

patm 
p 
 z B  z A   H pérdidas  V 

 

Y el fabricante indica que el ANPA requerido es:
ANPAdisp 

ANPAreq  0,4m  6 

s2
 Q2
5
m

Las pérdidas en el sistema las calculamos mediante:

L  8  Q2

hA B  hlocalizadas  h fricción   ki  f  A B  
D  g  2  D4

s2
8m 
8  Q2

59,5
hA B   2,1  0, 2  0, 016 


 Q2
 9,81 m   2  0, 254
5
m
m
0,
25
2


s
Reemplazando los datos del problema y la pérdida calculada en la expresión del ANPA disponible:

ANPAdisp 

101300 N m2 
4297 N m2 
s2
s2
m
  2m  59,5 5  Q 2 


 Q2
7,93
59,5

5
N
N
9764 m3 
9764 m3 
m
m

Igualando las expresiones del ANPA disponible y del ANPA requerido resulta:
567

CAPÍTULO 12

s2
s2
2
7,93m  59,5 5  Q  0, 4m  6 5  Q 2
m
m
2
s
7,53m  65,5 5  Q 2
m
7,53m
m3
0,34
Q

s2
s
65,5 5  Q 2
m

Referencias bibliográficas:
 POTTER, MERLE; WIGGERT, DAVID. Mecánica de fluidos. 2a.ed. México: Prentice Hall, 1988. 776 p.
 JOSÉ M. TARJUELO MARTÍN, BENITO. El riego por aspersión y su tecnología. Madrid: Mundi-Prensa, 2005. 581 p.
 WHITE, FRANK. Fluid mechanics. 5a. ed. New York: McGraw-Hill, 2003.
 ADDISON, HERBERT. Centrifugal and other Rotodynamic Pumps. London: Chapman & Hall, 1966. 565 p.
 MATHAIX, CLAUDIO. Mecánica de fluidos y turbomáquinas hidráulicas. 2a. ed. México: Oxford University Press,
1982. 660 p.

 HICKS, TYLER G.; THEODORE W. EDWARDS. Pump Application Engineering. McGraw-Hill Book Company, 1971.
 TURBOMÁQUINAS, LECCIÓN 6. España, Universidad de Oviedo.

Referencias audiovisuales:
 INSTITUTE OF HYDRAULIC RESEARCH. Form, drag, lift and propulsion. Iowa, University of Iowa Productions.
 CHESTERTON. Características hidráulicas de las bombas centrífugas. Boston, A. W. Chesterton Co, 1990.
 CHESTERTON. Cavitación y NPSH. Boston, Chesterton Co, 1991.

12.7 Problemas propuestos
1. En la tabla se muestran valores de una curva de
altura de impulsión versus caudal de una
bomba operando a una velocidad de 3600
RPM. Desarrollar una nueva curva para la
bomba, pero operando a una velocidad de 3000
RPM. Graficar ambas curvas e indicar en el
gráfico cuales son las alturas para un caudal de
1,5 m³/s para la bomba operando a 3600 y a
3000RPM.
 respuesta: H3600=18,3m, H3000=11,6m

568

Q1 [m³/s]

H1 [m]

0,00

21,03

0,38

20,88

0,76

20,42

1,14

19,51

1,51

18,29

1,89

15,85

2,27

11,28

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

altura de bombeo y potencia versus capacidad
para D=0,38 m
90

80

80

70

70

60

60

40

40

30

30
20

20

10

10

0
0,00

1,00

2,00

3,00

W [kW]

50

50

H [m]

2. Una instalación de bombeo de agua tiene las
características mostradas en la figura. La
bomba está operando con un caudal de 3,03
m3/min, una altura de impulsión de 72,85 m y
una potencia de 59,7 kW. La bomba está
sobredimensionada y una válvula de control
impone una caída de presión de 215,12 kPa
para mantener el flujo a 3,03 m3/min. Para
reducir el consumo de potencia, el diámetro del
impulsor se cambiará de tal modo que la caída
de presión a través de la válvula de control se
reduzca a 68,95 kPa. Encontrar la relación de
diámetros y velocidades requeridos para
alcanzar la nueva condición manteniendo la
homología. Si el diámetro del impulsor
existente es de 0,38m, determinar el nuevo
diámetro del impulsor y la nueva potencia
requerida.
 respuesta: D2/D1=1,034; N2/N1=0,906;
 =52,52 kW
D2=0,393m; W
2

0
5,00

4,00

Q [m 3 /min]

3. En la figura, se observan las curvas de performance del modelo 4008 de una bomba de la industria
Taco. En función de la bomba de 191 mm de diámetro de la figura, se quiere aumentar su tamaño, de
tal manera que en el punto de rendimiento óptimo, la bomba entregue una altura de impulsión de 26
m y 0,065 m³/s. Determinar: a) el diámetro del impulsor, b) la velocidad en RPM, c) la potencia
requerida.
24
22

custom unit, model 4008, N=1760 RPM
%
40

213mm

50%

%
60 65%

%
70

75% 78%

203mm

80%

20
18
16
H[m]

82% 3%
8

84%
83% %
82

191mm

78%

178mm

14

70%

12
65%

10
8
6

7,5
BH

5B
HP

0,01

0

0,02

0,04

0,03
Q[m³/s]

75%
15
BH
P

10
BH
P

P

0,05

0,06

Fuente: http://www.taco-hvac.com/en/library.html, consultado 23/02/2010

 =20,2kW
 respuesta: a) D2=221mm, b) N2=1989 RPM, c) W
2

4. Se ha ensayado una bomba con un impulsor de 371 mm de diámetro y que gira a N=2134 RPM,
arrojando los siguientes resultados:
Q [m3/s]

0

0,04

0,08

0,12

0,16

0,2

0,24

0,28

0,32
569

CAPÍTULO 12

H [m]

103,8

103,7

102,9

103,0

101,2

96,0

86,75

67,0

35,0

P [kW]

100,7

112,5

127,7

144,6

178,5

223,4

292,4

370,1

549,4

Determinar: a) el punto de rendimiento óptimo, b) la velocidad específica y c) la máxima descarga
(caudal) posible aproximada.
 respuesta: a)Q≈0,16 m³/s , b)Ns=27RPM, c) Qmax≈0,34 m³/s
5. Utilizando el mismo impulsor del problema 4, aplicar las leyes adimensionales y determinar: a) la
velocidad de rotación para la cual la altura que desarrolla la bomba a caudal nulo sea 85 m, b) la
velocidad de rotación para la cual el caudal de descarga en el punto óptimo es 0,23 m³/s y c) la
velocidad de rotación para que el punto de rendimiento óptimo requiera 60 kW.
 respuesta: a) N2 = 1931 RPM, b) N2 =3068 RPM, c) N2 = 1484 RPM
6. Una bomba de la misma familia del problema 4 se fabricará con un diámetro de 457 mm y la
potencia del punto de rendimiento óptimo en este impulsor es de 186,42 kW bombeando gasolina
(r=0,68). Utilizando los coeficientes adimensionales de las turbomáquinas, estimar: a) la velocidad
de giro en RPM, b) El caudal de descarga en el punto de rendimiento óptimo, c) altura de impulsión
que desarrolla la bomba a caudal nulo.
 respuesta: a) N2= 1739 RPM, b) Q2=0,24 m³/s, c) H2=104,64 m
7. Una bomba centrífuga transporta 0,009 m³/s de agua. Gira a una velocidad de 1750 RPM. La potencia
requerida para mover la bomba es de 3729 W y la eficiencia es 70%. Cuál es la velocidad específica?
 respuesta: Ns=13 RPM
8. Se desea bombear agua a 15°C con un caudal de 1 m3/s y con una altura de impulsión de 6 metros. Si la
bomba funcionará a 750 RPM ¿Qué tipo de bomba centrífuga es la más adecuada?
 respuesta: Ns = 196 RPM ; Bomba de flujo axial
9. En la figura se esquematiza una turbina radial ideal. La
V2
30°
velocidad absoluta del flujo a la entrada tiene una dirección
de 30º y a la salida es radial. El caudal de agua a 20°C es de
3,5 m³/s. El ancho de los álabes es constante y de 10 cm.
Calcular la potencia teórica (rendimiento 100%)
V1
desarrollada.
R2=0,7m
 =477 kW
 respuesta: W
eje

R1=0,4m

N=135 RPM

10. En la figura se esquematiza una turbina radial ideal. La
velocidad absoluta del flujo a la entrada tiene una dirección
de 25º y la velocidad relativa es tangente al álabe como se
muestra. El caudal de agua a 20ºC es de 8 m³/s. El ancho de
los álabes es constante y de 20 cm. Calcular la potencia
teórica desarrollada con un rendimiento del 100%.
 =801 kW
 respuesta: W
eje

Vrel 2

35°

V2 25°

Vrel 1

R2=1,2m

30°
R1=0,8m

N=80 RPM

570

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

11. En la figura se muestra una turbina de reacción que opera a
200 RPM. El diámetro en el ingreso al rodete y en la
descarga de los álabes directores es de 3,5m y el ancho de
los mismos b=1m. El flujo abandona el rodete en la
dirección axial. Se desea conocer: a) ¿a qué ángulo deberán
colocarse los álabes directores de la turbina para obtener 9
MW de un caudal de 25 m³/s? y b) ¿cuánto vale la altura de
carga sobre la turbina si se desprecian las pérdidas?
 respuesta: 2=13,03º, H=36,71m

V2

2

V1

N=200 RPM

D=3,5m

12. Una turbina de agua rota con una velocidad de 100 RPM
cuando escurre un caudal de 0,28 m³/s. Los radios de
salida y entrada son respectivamente R1 = 0,25m y R2 =
0,5m. El ángulo del álabe estacionario en el ingreso del
agua es 2=20º. ¿Cuál debería ser la velocidad absoluta en
el ingreso V2 para la condición de diseño (velocidad
relativa tangente al álabe). El ancho de los álabes es
constante y de 3,7 cm.
 respuesta: V2 =7,05m/s

Vrel 2
V2

2=60º

2=20º

1

R2=0,5m
R1=0,25m

N=100 RPM

13. Si en el problema anterior el ángulo de la velocidad relativa al egreso es 1=60º, determine el
momento y la potencia en el eje desarrollados.
 =9,85 kW
 respuesta: Mz=940,8 Nm; W
eje

14. El álabe mostrado rota a 125 RPM a 1 m del eje de
rotación. El caudal sale de la boquilla de 30 cm de
diámetro es de 2 m³/s. La dirección de la velocidad
absoluta de entrada forma un ángulo de 60° como
se muestra en la figura. La velocidad relativa es
tangente al álabe en todos sus puntos. Determinar
los triángulos de entrada y salida correspondientes.

60°

y
x

V2

Varr
V1
60°
D

 respuesta: V1=28,29m/s; V2=5,62m/s;
Varr=13,09m/s, Vrel1=Vrel2=18,18m/s
15. Un chorro de agua que sale de una boquilla de
0,1m2 a una velocidad de 20 m/s incide sobre una
serie de álabes de un rodete de turbina. El ángulo
entre la tobera y el eje de la turbina es de 60°,
saliendo el chorro con el mismo ángulo de entrada.
Las velocidades absolutas se muestran en el
gráfico. La velocidad de rotación de la máquina es
constante e igual a 100 RPM. y el diámetro medio
de la rueda es de 1m. Determinar: a) la fuerza
tangencial (en N); b) el par (en Nm) que produce
dicha fuerza sobre el eje de la rueda móvil de la
turbina mostrada; c) la potencia desarrollada y d)
los ángulos de los álabes.

2000mm

Turbina de chorro libre

V2

y
x
2

30°

Varr
Fx
(sobre el fluido)
1

30°

V1=20m/s
Chorro de agua de 0.1m² de sección

 respuesta: Fx = 53574 N, Mz = 26787 Nm;
 = 280,5 kW, 1 = 40º; 2 = 20º
W
eje

571

CAPÍTULO 12

16. Para el sistema mostrado en la figura las pérdidas
por fricción y localizadas en la línea de succión
son de 1,5 m del fluido bombeado. Para la línea de
descarga, las pérdidas por fricción y localizadas
son de 3 m. La densidad relativa del líquido
bombeado es de 1,2. Para el sistema determinar:
a) altura total de impulsión de la bomba
b) presión absoluta en el punto A si la velocidad
en la cañería de succión es de 1,5 m/s.
 respuesta: Hbomba = 31,08 m ; pA=469,76HPa
17. Para el sistema mostrado en la figura las pérdidas
por fricción y localizadas son de 3 m del fluido
bombeado, la densidad relativa del líquido
bombeado es de 0,95. Determinar la altura de
impulsión de la bomba, en m de líquido
bombeado.
 respuesta: HB=16,27m

p2 = 207 kPa
2
6m

A
p1 =patm
1

B

3 m Bomba

2
p1rel = -508mmHg
(vacío)
6m
1
3m

Bomba

18. Se bombea agua entre dos depósitos a través de una tubería con las siguientes características: D = 300
mm, L = 70m, f = 0,025, K = 2,5. La curva característica de la bomba de flujo radial se aproxima con
la fórmula: H = 22,9m+10,7·s·m-2·Q - 111·s2m-5·Q². Determine el caudal Q y la altura de impulsión de
la bomba H para las siguientes situaciones: a) z2 - z1 = 15 m con una bomba funcionando; b) z2 - z1 =
15 m con dos bombas idénticas operando en paralelo; c) z2 - z1 = 25 m con dos bombas idénticas
operando en serie
 respuesta: a) Q = 0,23 m³/s; H = 19,5m, b) Q = 0,29 m³/s; H = 22,2m; c) Q = 0,30 m³/s; H = 32,7m
19. Un sistema tiene una curva de resistencia que viene dada por: H = 30m+4000·s2m-5·Q2. Se dispone
hasta dos bombas de curva H(Q) = 18m+643·s2m-5·Q2. Determinar la disposición de instalación
adecuada, y los valores de caudal y altura de impulsión de dicha disposición.
 respuesta: dos bombas en serie; Q = 0,034 m³/s ; H = 34,54 m

572