0.5 pulg, la abstracción continuada Fa se calcula con (5.5.9):
F = S(P- la) a P- la+ S
2.50(P- 0.5) + 2.50
p- 0.5
2.50(P- 0.5) p + 2.0 Por ejemplo, después de dos horas, la precipitación que se acumula es P luego
Fa
= 0.90 pulg,
= 2.50(0.9- 0.5) = 0. 34 ul 0.9
+ 2.0
p g
tal como se muestra en la columna 4 de la tabla. El exceso de precipitación es lo que queda después de las abstracciones inicial y continuada. De (5.5.2)
159
AGUA SUPERFICIAL
5.6 PROFUNDIDAD DE FLUJO Y VELOCIDAD El flujo de agua sobre la superficie de una cuenca es un proceso complejo que varía en las tres dimensiones espaciales y en el tiempo. Comienza cuando el agua almacenada en la superficie adquiere una profundidad suficiente para sobrepasar las fuerzas de retención superficial y empieza a fluir. Se pueden distinguir dos tipos básicos de flujo: el flujo superficial y el flujo en canal. El flujo (escorrentía) superficial es una capa delgada que fluye a lo largo de una superficie ancha. El flujo en canal es una corriente más angosta que fluye en una trayectoria confinada. El capítulo 2 mostró las leyes físicas aplicables a estos dos tipos de flujo. En una cuenca natural el flujo superficial es el primer mecanismo de flujo, pero éste puede persistir solamente durante unas cortas distancias (hasta unos 100 pies) antes de que las irregularidades en la superficie de la cuenca concentren el flujo en canales tortuosos. Gradualmente, los flujos de estos pequeños canales se combinan para producir flujos en canales claramente reconocibles, los cuales se acumulan aguas abajo para formar el flujo de la corriente en la salida de la cuenca. El flujo de agua superficial está gobernado por los principios de continuidad y de momentum. La aplicación de estos principios a flujos no permanentes tridimensionales en la superficie de una cuenca sólo es posible en condiciones muy simplificadas. Por tanto generalmente se suponen flujos unidimensionales o bidimensionales.
Pe= P- la- Fa = 0.90- 0.50- 0.34 = 0.06 pulg
tal como se muestra en la columna 5. El hietograma de exceso de precipitación se determina tomando la diferencia de valores sucesivos de Pe (columna 6). TABLA 5.5.3
Cálculo de las abstracciones y del hietograma de exceso de lluvia por el método ses (ejemplo 5.5.4) Columna:
2
o
4
3
Lluvia acumulada Tiempo p (h) (pulg)
S
Abstracciones acumuladas (pulg) Fa la
Exceso de lluvia acumulado P. (pulg)
o
o
o
0.20
0.20
o
6 Hietograma de exceso de lluvia (pulg)
Flujo superficial El flujo superficial es una lámina delgada que ocurre en la parte superior de las pendientes antes de que el flujo se concentre en canales reconocibles. La figura 5.6.1 muestra el flujo a lo largo de un plano uniforme en el cual la lluvia cae con una intensidad i y se presenta una infiltración a una tasa f. Transcurre tiempo suficiente desde el inicio de la lluvia, de tal manera que todos los flujos son permanentes. El plano tiene ancho unitario y longitud Lo, y se inclina a un ángulo e con respecto a la horizontal, con pendiente So = tan e.
Continuidad. La ecuación de continuidad (2.2.5) para un flujo permanente de densidad constante es
JJ
o
2
0.90
0.50
0.34
0.06
3
1.27
0.50
0.59
0.18
(5.6.1)
V·dA =O
0.06
s.c.
0.12 0.58 4
2.31
0.50
1.05
0.76 1.83
5
4.65
0.50
1.56
2.59
6
5.29
0.50
1.64
3.15
7
5.36
0.50
1.65
3.21
La entrada al volumen de control que se origina por la lluvia es iL 0 cose, y la salida es
fL 0 cose debido a la infiltración más Vy a causa del flujo superficial. La profundidad y se mide perpendicularmente al fondo y la velocidad V paralela al fondo. Entonces la ecuación de continuidad se escribe como
0.56 0.06
JJV·dA =!Locos e+ Vy- iL S.'C.
0
cos
e=
O
158
HIDROLOGÍA APLICADA
Solución. Para CN = 80, S= (1,000/80)-10 = 2.50 pulg; la= 0.2S = 0.5 pulg. La abstracción inicial absorbe toda la lluvia hasta P = 0.5 pulg. Esto incluye las 0.2 pulg de lluvia que ocurren durante la primera hora y 0.3 pulg de lluvia que cae durante la segunda hora. Para P > 0.5 pulg, la abstracción continuada Fa se calcula con (5.5.9):
F = S(P- la) a P- la+ S
2.50(P- 0.5) + 2.50
p- 0.5
2.50(P- 0.5) p + 2.0 Por ejemplo, después de dos horas, la precipitación que se acumula es P luego
Fa
= 0.90 pulg,
= 2.50(0.9- 0.5) = 0. 34 ul 0.9
+ 2.0
p g
tal como se muestra en la columna 4 de la tabla. El exceso de precipitación es lo que queda después de las abstracciones inicial y continuada. De (5.5.2)
159
AGUA SUPERFICIAL
5.6 PROFUNDIDAD DE FLUJO Y VELOCIDAD El flujo de agua sobre la superficie de una cuenca es un proceso complejo que varía en las tres dimensiones espaciales y en el tiempo. Comienza cuando el agua almacenada en la superficie adquiere una profundidad suficiente para sobrepasar las fuerzas de retención superficial y empieza a fluir. Se pueden distinguir dos tipos básicos de flujo: el flujo superficial y el flujo en canal. El flujo (escorrentía) superficial es una capa delgada que fluye a lo largo de una superficie ancha. El flujo en canal es una corriente más angosta que fluye en una trayectoria confinada. El capítulo 2 mostró las leyes físicas aplicables a estos dos tipos de flujo. En una cuenca natural el flujo superficial es el primer mecanismo de flujo, pero éste puede persistir solamente durante unas cortas distancias (hasta unos 100 pies) antes de que las irregularidades en la superficie de la cuenca concentren el flujo en canales tortuosos. Gradualmente, los flujos de estos pequeños canales se combinan para producir flujos en canales claramente reconocibles, los cuales se acumulan aguas abajo para formar el flujo de la corriente en la salida de la cuenca. El flujo de agua superficial está gobernado por los principios de continuidad y de momentum. La aplicación de estos principios a flujos no permanentes tridimensionales en la superficie de una cuenca sólo es posible en condiciones muy simplificadas. Por tanto generalmente se suponen flujos unidimensionales o bidimensionales.
Pe= P- la- Fa = 0.90- 0.50- 0.34 = 0.06 pulg
tal como se muestra en la columna 5. El hietograma de exceso de precipitación se determina tomando la diferencia de valores sucesivos de Pe (columna 6). TABLA 5.5.3
Cálculo de las abstracciones y del hietograma de exceso de lluvia por el método ses (ejemplo 5.5.4) Columna:
2
o
4
3
Lluvia acumulada Tiempo p (h) (pulg)
S
Abstracciones acumuladas (pulg) Fa la
Exceso de lluvia acumulado P. (pulg)
o
o
o
0.20
0.20
o
6 Hietograma de exceso de lluvia (pulg)
Flujo superficial El flujo superficial es una lámina delgada que ocurre en la parte superior de las pendientes antes de que el flujo se concentre en canales reconocibles. La figura 5.6.1 muestra el flujo a lo largo de un plano uniforme en el cual la lluvia cae con una intensidad i y se presenta una infiltración a una tasa f. Transcurre tiempo suficiente desde el inicio de la lluvia, de tal manera que todos los flujos son permanentes. El plano tiene ancho unitario y longitud Lo, y se inclina a un ángulo e con respecto a la horizontal, con pendiente So = tan e.
Continuidad. La ecuación de continuidad (2.2.5) para un flujo permanente de densidad constante es
JJ
o
2
0.90
0.50
0.34
0.06
3
1.27
0.50
0.59
0.18
(5.6.1)
V·dA =O
0.06
s.c.
0.12 0.58 4
2.31
0.50
1.05
0.76 1.83
5
4.65
0.50
1.56
2.59
6
5.29
0.50
1.64
3.15
7
5.36
0.50
1.65
3.21
La entrada al volumen de control que se origina por la lluvia es iL 0 cose, y la salida es
fL 0 cose debido a la infiltración más Vy a causa del flujo superficial. La profundidad y se mide perpendicularmente al fondo y la velocidad V paralela al fondo. Entonces la ecuación de continuidad se escribe como
0.56 0.06
JJV·dA =!Locos e+ Vy- iL S.'C.
0
cos
e=
O
160
HIDROLOGÍA APLICADA
Intensidad de lluvia i
1
1
1
eL =
1 1
1
161
AGUA SUPERFICIAL
96
+
108i 0 .4
(5.6.6)
r-----,
r-------------------------------,
donde i es la intensidad de lluvia en pulgadas por hora. Resolviendo la ecuación (5.6.5) para y y utilizando hr!L =So para flujo uniforme, se encuentra
1 1 1 1 1
]--+1 1
qo= Vy= (i-flLoCOS
fV 2
e
y=--
-
lLti_
luego se sustituye V utilizando qo = Vy de (5.6.2) y resulta
~
y= (
f
fq6)
113
(5.6.8)
8gS 0
FIGURA 5.6.1 Flujo permanente en un plano uniforme bajo lluvia.
que especifica la profundidad de flujo en láminas en un plano uniforme.
El caudal por unidad de ancho, q 0 , está dado por
qo
(5.6.7)
8gSo
1 1
= Vy = (i -
f)Lo cos 8
(5.6.2)
Momentum. Para un flujo laminar uniforme a lo largo de un plano inclinado, se puede demostrar (Roberson y Crowe, 1985) que la velocidad promedio V está dada por V= gSoyl
Ejemplo 5.6.1 Una lluvia de intensidad de 1 pulg/h cae sobre un plano uniforme, liso e impermeable de 100 pies de largo y con una pendiente del 5%. Calcule el caudal por unidad de ancho, la profundidad y la velocidad en el punto más bajo del plano. Utilice v = 1.2 X 10-5 pies 2 /s.
Solución. El caudal por unidad de ancho está dado por (5.6.2) con i = 1 pulg/h = 2.32 x 10-5 pies/s y f =O. El ángulo 8 = tan- 1 (S0 ) = tan- 1 (0.05) = 2.86°, luego cos 8 = 0.999.
qo = (i - f)Lo cos 8
(5.6.3)
3v
donde g es la aceleración de la gravedad y v es la viscosidad cinemática del fluido. Para flujo uniforme, So =S¡= h¡!L, y (5.6.3) puede reordenarse para resultar 2
h = 24v ..f._ V f Vy 4y 2g
(5.6.4)
= (2.32
X
= 2.31 X
10- 5
-
0)
100
X
X
0.999
10- 3 pies 2 /s
El número de Reynolds es
Re= 4Vy V
la cual tiene la misma forma de la ecuación de Darcy-Weisbach (2.5.1) para resistencia al flujo
h¡
=
v2 f-L
4R 2g
4
(5.6.5)
con un factor de fricción f = 96/Re en el cual el número de Reynolds es Re= 4VR!v y el radio hidráulico es R = y. Para un flujo en láminas por unidad de ancho, R =área /(perímetro mojado) =y x 1/1 =y, tal como se requiere. El flujo permanece laminar siempre y cuando Re::; 2,000. Para un flujo laminar en láminas bajo lluvia, el factor de fricción se incrementa con la intensidad de lluvia. Si se supone que f tiene la forma de edRe, donde eL es un coeficiente de resistencia, los experimentos que se efectuaron en la Universidad de Illinois (Chow y Yen, 1976) arrojaron
2.31 X 10-3 1.2 X IQ- 5
X
=770 luego el flujo es laminar. El coeficiente de resistencia
eL está dado por (5.6.6):
04
eL= 96 + 10Si = 96 + 108(1)04 = 204 El factor de fricción es f = eJRe = 204/770 = 0.265 y la profundidad del flujo se calcula utilizando la ecuación (5.6.8),
160
HIDROLOGÍA APLICADA
Intensidad de lluvia i
1
1
1
eL =
1 1
1
161
AGUA SUPERFICIAL
96
+
108i 0 .4
(5.6.6)
r-----,
r-------------------------------,
donde i es la intensidad de lluvia en pulgadas por hora. Resolviendo la ecuación (5.6.5) para y y utilizando hr!L =So para flujo uniforme, se encuentra
1 1 1 1 1
]--+1 1
qo= Vy= (i-flLoCOS
fV 2
e
y=--
-
lLti_
luego se sustituye V utilizando qo = Vy de (5.6.2) y resulta
~
y= (
f
fq6)
113
(5.6.8)
8gS 0
FIGURA 5.6.1 Flujo permanente en un plano uniforme bajo lluvia.
que especifica la profundidad de flujo en láminas en un plano uniforme.
El caudal por unidad de ancho, q 0 , está dado por
qo
(5.6.7)
8gSo
1 1
= Vy = (i -
f)Lo cos 8
(5.6.2)
Momentum. Para un flujo laminar uniforme a lo largo de un plano inclinado, se puede demostrar (Roberson y Crowe, 1985) que la velocidad promedio V está dada por V= gSoyl
Ejemplo 5.6.1 Una lluvia de intensidad de 1 pulg/h cae sobre un plano uniforme, liso e impermeable de 100 pies de largo y con una pendiente del 5%. Calcule el caudal por unidad de ancho, la profundidad y la velocidad en el punto más bajo del plano. Utilice v = 1.2 X 10-5 pies 2 /s.
Solución. El caudal por unidad de ancho está dado por (5.6.2) con i = 1 pulg/h = 2.32 x 10-5 pies/s y f =O. El ángulo 8 = tan- 1 (S0 ) = tan- 1 (0.05) = 2.86°, luego cos 8 = 0.999.
qo = (i - f)Lo cos 8
(5.6.3)
3v
donde g es la aceleración de la gravedad y v es la viscosidad cinemática del fluido. Para flujo uniforme, So =S¡= h¡!L, y (5.6.3) puede reordenarse para resultar 2
h = 24v ..f._ V f Vy 4y 2g
(5.6.4)
= (2.32
X
= 2.31 X
10- 5
-
0)
100
X
X
0.999
10- 3 pies 2 /s
El número de Reynolds es
Re= 4Vy V
la cual tiene la misma forma de la ecuación de Darcy-Weisbach (2.5.1) para resistencia al flujo
h¡
=
v2 f-L
4R 2g
4
(5.6.5)
con un factor de fricción f = 96/Re en el cual el número de Reynolds es Re= 4VR!v y el radio hidráulico es R = y. Para un flujo en láminas por unidad de ancho, R =área /(perímetro mojado) =y x 1/1 =y, tal como se requiere. El flujo permanece laminar siempre y cuando Re::; 2,000. Para un flujo laminar en láminas bajo lluvia, el factor de fricción se incrementa con la intensidad de lluvia. Si se supone que f tiene la forma de edRe, donde eL es un coeficiente de resistencia, los experimentos que se efectuaron en la Universidad de Illinois (Chow y Yen, 1976) arrojaron
2.31 X 10-3 1.2 X IQ- 5
X
=770 luego el flujo es laminar. El coeficiente de resistencia
eL está dado por (5.6.6):
04
eL= 96 + 10Si = 96 + 108(1)04 = 204 El factor de fricción es f = eJRe = 204/770 = 0.265 y la profundidad del flujo se calcula utilizando la ecuación (5.6.8),
162
HIDROLOGÍA APLICADA 113
y= (
Solución. El número de Reynolds es Re = 4qo/V = 4 X 2.31 X 10-1/1.2 X w-s = 770 (flujo laminar) y a= (f/8gS 0 ) 113 = (75/(8 x 32.2 x 0.05)) 113 = 1.80. De (5.6.9) con m= 213
fq6)
8gSo =
[0.265 X (2.31 X 10- 3) 2] 8 X 32.2 X 0.05
=
0.0048 pies (0.06 pulg)
y= aq'O
113
= 1.80(2.31 x w- 3 ) 213 =
La velocidad V está dada por y
=
X
Ejemplo 5.6.3 Calcule el caudal por unidad de ancho, la profundidad y la velocidad al final de un tramo de asfalto de 200 pies, con pendiente 0.02, sujeto a una lluvia de 10 pulg/h, con un coeficiente n de Manning de 0.015 y una viscosidad cinemática v de 1.2 x 10-5 pies 2 /s.
10- 3/0.0048
0.48 pies/s
Estudios de campo del flujo superficial (Emmett, 1978) indican que el flujo es laminar pero que la resistencia al flujo es alrededor de 1O veces mayor que la de estudios de laboratorio realizados en planos uniformes. El incremento en la resistencia al flujo se origina principalmente por la no uniformidad de la topografía y la vegetación superficial. La ecuación (5.6.8) puede reescribirse en una forma más general y= aq~
0.031 pies (0.4 pulg)
La velocidad es V= qo/y = 2.31 x 10-1/0.031 = 0.075 pies/s. Como puede notarse, este flujo es más profundo y más lento que el flujo del plano liso del ejemplo 5.6.1.
V=~
= 2.31
163
AGUA SUPERFICIAL
Solución. El caudal por unidad de ancho está dado por la ecuación (5.6.2) con i = 10 pulg/h = 2.32 X I0-4 pies/s,f= 0 y e= tan-'(0.02) = l.lY, para el cual cose= 1.00:
qo
Para flujo laminar m= 2/3 y a= (f/8gS 0 ) . Los estudios de Emmett indican que el factor de. fricción de Darcy-Weisbach f está en el rango 20-200 para flujo superficial en condiciones de campo. Cuando el flujo se vuelve turbulento, el factor de fricción se independiza del número de Reynolds y empieza a depender sólo de la rugosidad de la superficie. En este caso, la ecuación de Manning (2.5.7) es aplicable para describir el flujo:
X
1.00
= 0.0464 cfs/pie
(5.6.9)
113
= (i - f)Lo cos (} = 2.32 X 10-4 X 200
El número de Reynolds es Re= 4qo/v = 4 x 0.046/(1.2 x 10- 5 ) = 15,333, luego el flujo es turbulento. La profundidad de flujo está dada por la ecuación (5.6.9) con a (nll.49S~ 2 ) 315 = [0.015/(1.49 x 0.02 112 )] 315 = 0.205 y m 0.6: y= aq'O
= 0.205 =
X
(0.0464) 0 ·6
0.032 pies (0.4 pu1g)
También, (5.6.10)
V=~ y
con R =y, Sr = S0 para flujo uniforme y q 0 para y doll'de resulta
=
0.0464 0.032
Vy. Esta ecuación puede resolverse
=---
= 1.43 pies/s
3/5
nqo (
(5.6.11) )
la cual tiene la forma general de (5.6.9) con a = (n/1.49S¿12)31 5 y m = 3/5. Para las unidades del SI a= n° 6/S8 3
1
Ejemplo 5.6.2 Calcule la profundidad de flujo y la velocidad de un caudal de 2.31 x J0- 1 cfs/pie (ancho) sobre césped con un factor de fricción de Darcy-Weisbachf= 75 y una pendiente de 5%. Utilice v = 1.2 x JO-' pies 2 /s.
Flujo en canales El paso de flujo superficial hacia un canal puede verse como un flujo lateral, de la misma manera que los anteriores ejemplos consideran la precipitación como un flujo lateral hacia la superficie de la cuenca. Considérese un canal de longitud Le que es alimentado por el flujo superficial desde un plano tal como se muestra en la figura 5.6.2. El flujo superficial tiene un caudal q 0 por unidad de ancho, luego el caudal que llega al canal es Q = qoLc. Para calcular la profundidad y la velocidad en varios puntos a lo largo del canal, es necesaria una solución iterativa de la ecuación de Manning. La ecuación de Manning es
162
HIDROLOGÍA APLICADA 113
y= (
Solución. El número de Reynolds es Re = 4qo/V = 4 X 2.31 X 10-1/1.2 X w-s = 770 (flujo laminar) y a= (f/8gS 0 ) 113 = (75/(8 x 32.2 x 0.05)) 113 = 1.80. De (5.6.9) con m= 213
fq6)
8gSo =
[0.265 X (2.31 X 10- 3) 2] 8 X 32.2 X 0.05
=
0.0048 pies (0.06 pulg)
y= aq'O
113
= 1.80(2.31 x w- 3 ) 213 =
La velocidad V está dada por y
=
X
Ejemplo 5.6.3 Calcule el caudal por unidad de ancho, la profundidad y la velocidad al final de un tramo de asfalto de 200 pies, con pendiente 0.02, sujeto a una lluvia de 10 pulg/h, con un coeficiente n de Manning de 0.015 y una viscosidad cinemática v de 1.2 x 10-5 pies 2 /s.
10- 3/0.0048
0.48 pies/s
Estudios de campo del flujo superficial (Emmett, 1978) indican que el flujo es laminar pero que la resistencia al flujo es alrededor de 1O veces mayor que la de estudios de laboratorio realizados en planos uniformes. El incremento en la resistencia al flujo se origina principalmente por la no uniformidad de la topografía y la vegetación superficial. La ecuación (5.6.8) puede reescribirse en una forma más general y= aq~
0.031 pies (0.4 pulg)
La velocidad es V= qo/y = 2.31 x 10-1/0.031 = 0.075 pies/s. Como puede notarse, este flujo es más profundo y más lento que el flujo del plano liso del ejemplo 5.6.1.
V=~
= 2.31
163
AGUA SUPERFICIAL
Solución. El caudal por unidad de ancho está dado por la ecuación (5.6.2) con i = 10 pulg/h = 2.32 X I0-4 pies/s,f= 0 y e= tan-'(0.02) = l.lY, para el cual cose= 1.00:
qo
Para flujo laminar m= 2/3 y a= (f/8gS 0 ) . Los estudios de Emmett indican que el factor de. fricción de Darcy-Weisbach f está en el rango 20-200 para flujo superficial en condiciones de campo. Cuando el flujo se vuelve turbulento, el factor de fricción se independiza del número de Reynolds y empieza a depender sólo de la rugosidad de la superficie. En este caso, la ecuación de Manning (2.5.7) es aplicable para describir el flujo:
X
1.00
= 0.0464 cfs/pie
(5.6.9)
113
= (i - f)Lo cos (} = 2.32 X 10-4 X 200
El número de Reynolds es Re= 4qo/v = 4 x 0.046/(1.2 x 10- 5 ) = 15,333, luego el flujo es turbulento. La profundidad de flujo está dada por la ecuación (5.6.9) con a (nll.49S~ 2 ) 315 = [0.015/(1.49 x 0.02 112 )] 315 = 0.205 y m 0.6: y= aq'O
= 0.205 =
X
(0.0464) 0 ·6
0.032 pies (0.4 pu1g)
También, (5.6.10)
V=~ y
con R =y, Sr = S0 para flujo uniforme y q 0 para y doll'de resulta
=
0.0464 0.032
Vy. Esta ecuación puede resolverse
=---
= 1.43 pies/s
3/5
nqo (
(5.6.11) )
la cual tiene la forma general de (5.6.9) con a = (n/1.49S¿12)31 5 y m = 3/5. Para las unidades del SI a= n° 6/S8 3
1
Ejemplo 5.6.2 Calcule la profundidad de flujo y la velocidad de un caudal de 2.31 x J0- 1 cfs/pie (ancho) sobre césped con un factor de fricción de Darcy-Weisbachf= 75 y una pendiente de 5%. Utilice v = 1.2 x JO-' pies 2 /s.
Flujo en canales El paso de flujo superficial hacia un canal puede verse como un flujo lateral, de la misma manera que los anteriores ejemplos consideran la precipitación como un flujo lateral hacia la superficie de la cuenca. Considérese un canal de longitud Le que es alimentado por el flujo superficial desde un plano tal como se muestra en la figura 5.6.2. El flujo superficial tiene un caudal q 0 por unidad de ancho, luego el caudal que llega al canal es Q = qoLc. Para calcular la profundidad y la velocidad en varios puntos a lo largo del canal, es necesaria una solución iterativa de la ecuación de Manning. La ecuación de Manning es
164
HIDROLOGÍA APLICADA
165
AGUA SUPERFICIAL
donde el subíndice j por fuera de los paréntesis indica que sus contenidos se evalúan para y = YJ· La expresión para gradiente es útil en el método de Newton, donde, dada una alternativa de Yh YJ+I, se escoge para satisfacer df) - o- f(y)¡ ( dy i Yi+ 1 - Yi
FIGURA 5.6.2 Flujo superficial desde un plano hacia un canal.
(5.6.12)
(5.6.16)
Este valor YJ+ 1 es el valor de y, en una gráfica de f vs. y, donde la tangente a la curva en y= Yi interseca al eje horizontal, tal como se ilustra en la figura 5;6.3. Resolviendo (5.6.16) para YJ+'I, f(y) Yi+l=yi-~
Solución de la ecuación de Manning utilizando el método de Newton No existe una solución analítica general de la ecuación de Manning para determinar la profundidad de flujo dada una tasa de flujo, debido a que el área A y el radio hidráulico R pueden ser funciones complejas de la profundidad. El método de Newton puede aplicarse iterativamente para dar una solución numérica. Supóngase que se selecciona la profundidad Yi en la iteración j y que se calcula una tasa de flujo Qi a partir de (5.6.12), utilizando el área y el radio hidráulico correspondientes a YJ. Este QJ se compara con el flujo real Q; el objetivo es seleccionar y de tal manera que el error
(5.6.17)
que es la ecuación fundamental del método de Newton. Las íteracwnes se contmúan hasta que no exista un cambio significativo en y; esto ocurre cuando el error f(y) es bastánte cercano a cero. Sustituyendo en (5.6.17) a partir de las ecuaciones (5.6.13) y (5.6.15) resulta la ecuación del método de Newton para resolver la ecuación de Manning:
_ Yi + 1
-
_ Yi
1- QIQ¡
(_2_ dR + l..dA) 3R dy
(5.6.18)
A dy i
(5.6.13) sea aceptablemente pequeño. El gradiente de f con respecto a y es
Error
!= QrQ
(5.6.14) debido a que Q es una constante. Por consiguiente, suponiendo que el coeficiente n de Manning es constante,
FIGURA 5.6.3
(5.6.15)
El método de Newton extrapola la tangente de la función de error en la profundidad actual y; para obtener la profundidad YJ+I para la siguiente iteración.
164
HIDROLOGÍA APLICADA
165
AGUA SUPERFICIAL
donde el subíndice j por fuera de los paréntesis indica que sus contenidos se evalúan para y = YJ· La expresión para gradiente es útil en el método de Newton, donde, dada una alternativa de Yh YJ+I, se escoge para satisfacer df) - o- f(y)¡ ( dy i Yi+ 1 - Yi
FIGURA 5.6.2 Flujo superficial desde un plano hacia un canal.
(5.6.12)
(5.6.16)
Este valor YJ+ 1 es el valor de y, en una gráfica de f vs. y, donde la tangente a la curva en y= Yi interseca al eje horizontal, tal como se ilustra en la figura 5;6.3. Resolviendo (5.6.16) para YJ+'I, f(y) Yi+l=yi-~
Solución de la ecuación de Manning utilizando el método de Newton No existe una solución analítica general de la ecuación de Manning para determinar la profundidad de flujo dada una tasa de flujo, debido a que el área A y el radio hidráulico R pueden ser funciones complejas de la profundidad. El método de Newton puede aplicarse iterativamente para dar una solución numérica. Supóngase que se selecciona la profundidad Yi en la iteración j y que se calcula una tasa de flujo Qi a partir de (5.6.12), utilizando el área y el radio hidráulico correspondientes a YJ. Este QJ se compara con el flujo real Q; el objetivo es seleccionar y de tal manera que el error
(5.6.17)
que es la ecuación fundamental del método de Newton. Las íteracwnes se contmúan hasta que no exista un cambio significativo en y; esto ocurre cuando el error f(y) es bastánte cercano a cero. Sustituyendo en (5.6.17) a partir de las ecuaciones (5.6.13) y (5.6.15) resulta la ecuación del método de Newton para resolver la ecuación de Manning:
_ Yi + 1
-
_ Yi
1- QIQ¡
(_2_ dR + l..dA) 3R dy
(5.6.18)
A dy i
(5.6.13) sea aceptablemente pequeño. El gradiente de f con respecto a y es
Error
!= QrQ
(5.6.14) debido a que Q es una constante. Por consiguiente, suponiendo que el coeficiente n de Manning es constante,
FIGURA 5.6.3
(5.6.15)
El método de Newton extrapola la tangente de la función de error en la profundidad actual y; para obtener la profundidad YJ+I para la siguiente iteración.
166
HIDROLOGÍA APLICADA
Para un canal rectangular A = Bwy y R = Bwy!(Bw + 2y) donde B., es el ancho del canal; después de alguna manipulación, (5.6.18) se convierte en
167
AGUA SUPERFICIAL
l. O
0.8
1- Q!Q¡ Yj+l-yj-( 5Bw+6y¡) 3yj(Bw
0.6
+ 2yj)
Algunos valores para la función de forma del canal [(2!3R)(dR!dy) para otras secciones transversales se establecen en la tabla 5 .6.1.
+ ( 1/A)(dA/dy)]
0.4
0.2
Ejemplo 5.6.4 Calcule la profundidad de flujo en un canal rectangular de 2 pies de ancho que tienen= 0.015, So= 0.025 y Q = 9.26 cfs.
FIGURA 5.6.4 Hidrograma adimensional para flujo superficial. El flujo permanente q, se obtiene en el tiempo de equilibrio te. (Según Izzard, 1946).
0~~~----,----,----,----,
O
0.2
0.4
0.6
0.8
l.O
t/tc
Solución. Q
=
1.49 S 112
o
n
J
=
(BwY;)513 (Bw + 2yj)213
Solución. El método del ejemplo 5.6.4 se aplica repetitivamente para calcular y con Q = 0.00926L. La velocidad es V= QIB,y = Q/2y.
1.49 (O .025) 112 (2y )513 0.015 (2 + 2yj)213 31.41y¡ 513 (1 + yj)213
(5.6.19)
También, }:_dR +.!_dA= 5Bw + 6y¡ 3R dy A dy 3yj(Bw + 2yj)
o
200
Caudal (cfs)
o o o
4.63
Profundidad y (pies)
10 + 6y¡ 3yj(2
Distancia a lo largo del canal, L (pies)
+ 2Jj)
Velocidad V (pies)
400
600
800
1,000
1.85
3.70
0.20
0.31
5.56
7.41
9.26
0.41
0.49
5.97
0.58
6.86
7.56
8.02
= 1.667 +Y¡ yj(l
+ Yj)
de la ecuación (5.6.18) Yj+l = Yj-
(1 - 9.26/Q¡) y¡ (1 +y¡) · 1.667 + Yj
(5.6.20)
Escogiendo un valor de prueba arbitrario inicial de y, = 1.00 pie, la solución con tres cifras significativas se encuentra después de tres iteraciones resolviendo sucesivamente (5.6.19) y (5.6.20) para Q1 y y1 + ,. El resultado es y= 0.58 pies.
lteraciónj
1
Yj (pies)
1.00
Qj (cfs)
19.79
2
3
4
0.601
0.577
0.577
9.82
9.26
9.26
En esta sección, los ejemplos suponen un flujo permanente en la cuenca. En la realidad, bajo una lluvia de intensidad constante, el flujo permanente de equilibrio se alcanza asintóticamente en la forma que se ilustra en la figura 5.6.4. Luego, el flujo varía tanto en el tiempo como en el espacio en la superficie de la cuenca y en el canal.
5.7 TIEMPO DE TRÁNSITO El tiempo de tránsito del flujo desde un punto de la cuenca hasta otro puede deducirse a partir de la distancia y la velocidad de flujo. Si dos puntos a lo largo de una corriente están separados por una distancia L, y la velocidad a lo largo de la línea de corriente es v(l) donde l es la distancia a lo largo de la trayectoria, entonces el tiempo de tránsito t está dado por dl = v(l)dt
Ejemplo 5.6.5 Calcule la velocidad y profundidad de flujo cada 200 pies a lo largo de un canal rectangular de 1,000 pies de largo y 2 pies de ancho, con rugosidad de n = 0.015 y pendiente de S= 0.025, alimentado por un flujo lateral de 0.00926 cfs/pie.
r
rL
dl
Jo dt = Jo v(l)
(5.7.1)
166
HIDROLOGÍA APLICADA
Para un canal rectangular A = Bwy y R = Bwy!(Bw + 2y) donde B., es el ancho del canal; después de alguna manipulación, (5.6.18) se convierte en
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AGUA SUPERFICIAL
l. O
0.8
1- Q!Q¡ Yj+l-yj-( 5Bw+6y¡) 3yj(Bw
0.6
+ 2yj)
Algunos valores para la función de forma del canal [(2!3R)(dR!dy) para otras secciones transversales se establecen en la tabla 5 .6.1.
+ ( 1/A)(dA/dy)]
0.4
0.2
Ejemplo 5.6.4 Calcule la profundidad de flujo en un canal rectangular de 2 pies de ancho que tienen= 0.015, So= 0.025 y Q = 9.26 cfs.
FIGURA 5.6.4 Hidrograma adimensional para flujo superficial. El flujo permanente q, se obtiene en el tiempo de equilibrio te. (Según Izzard, 1946).
0~~~----,----,----,----,
O
0.2
0.4
0.6
0.8
l.O
t/tc
Solución. Q
=
1.49 S 112
o
n
J
=
(BwY;)513 (Bw + 2yj)213
Solución. El método del ejemplo 5.6.4 se aplica repetitivamente para calcular y con Q = 0.00926L. La velocidad es V= QIB,y = Q/2y.
1.49 (O .025) 112 (2y )513 0.015 (2 + 2yj)213 31.41y¡ 513 (1 + yj)213
(5.6.19)
También, }:_dR +.!_dA= 5Bw + 6y¡ 3R dy A dy 3yj(Bw + 2yj)
o
200
Caudal (cfs)
o o o
4.63
Profundidad y (pies)
10 + 6y¡ 3yj(2
Distancia a lo largo del canal, L (pies)
+ 2Jj)
Velocidad V (pies)
400
600
800
1,000
1.85
3.70
0.20
0.31
5.56
7.41
9.26
0.41
0.49
5.97
0.58
6.86
7.56
8.02
= 1.667 +Y¡ yj(l
+ Yj)
de la ecuación (5.6.18) Yj+l = Yj-
(1 - 9.26/Q¡) y¡ (1 +y¡) · 1.667 + Yj
(5.6.20)
Escogiendo un valor de prueba arbitrario inicial de y, = 1.00 pie, la solución con tres cifras significativas se encuentra después de tres iteraciones resolviendo sucesivamente (5.6.19) y (5.6.20) para Q1 y y1 + ,. El resultado es y= 0.58 pies.
lteraciónj
1
Yj (pies)
1.00
Qj (cfs)
19.79
2
3
4
0.601
0.577
0.577
9.82
9.26
9.26
En esta sección, los ejemplos suponen un flujo permanente en la cuenca. En la realidad, bajo una lluvia de intensidad constante, el flujo permanente de equilibrio se alcanza asintóticamente en la forma que se ilustra en la figura 5.6.4. Luego, el flujo varía tanto en el tiempo como en el espacio en la superficie de la cuenca y en el canal.
5.7 TIEMPO DE TRÁNSITO El tiempo de tránsito del flujo desde un punto de la cuenca hasta otro puede deducirse a partir de la distancia y la velocidad de flujo. Si dos puntos a lo largo de una corriente están separados por una distancia L, y la velocidad a lo largo de la línea de corriente es v(l) donde l es la distancia a lo largo de la trayectoria, entonces el tiempo de tránsito t está dado por dl = v(l)dt
Ejemplo 5.6.5 Calcule la velocidad y profundidad de flujo cada 200 pies a lo largo de un canal rectangular de 1,000 pies de largo y 2 pies de ancho, con rugosidad de n = 0.015 y pendiente de S= 0.025, alimentado por un flujo lateral de 0.00926 cfs/pie.
r
rL
dl
Jo dt = Jo v(l)
(5.7.1)
168
o
i
1
+-'
1
~,~ -¡
1
ª 11: ~~11}~
u ¡.,.___ ~ ---+
ool~
8"' 11
C'l
<:t:>
"¡:::
o
"O "O
AGUA SUPERFICIAL
o
Si se supone que la velocidad 1,2, ... , !, entonces
V¡
(L
df
t - Jo v(l)
I
i=l
V¡
::¿ D.l¡
es constante en un incremento de longitud
t=
169
i=
(5.7.2)
/1[¡,
(5.7.3)
Las velocidades que se aplican en la ecuación (5.7.3) pueden calcularse usando los métodos descritos en la sección 5.6, o haciendo referencia a la tabla 5.7.1. Debido al tiempo de tránsito hasta la salida de la cuenca, solamente parte de ésta puede contribuir al flujo de agua superficial en un momento dado t después del inicio de la precipitación. El crecimiento del área que contribuye puede visualizarse en la figura 5. 7 .l. Si una lluvia de intensidad constante comienza y continúa indefinidamente, entonces el área rodeada por la línea discontinua designada t¡ contribuí-
TABLA 5.7.1
Pendiente en porcentaje
0-2.5
0-1.5
0-3
3.0-4.5
2.5-3.5
1.5-2.5
4-7
13.5-17
4.5-5.5
3.5-4.25
2.5-3.25
17-
5.5-
4.25-
3.25-
8-11
0-3.0
8.5-13.5
2-4
4-7
7-
0-8.5
12-
Velocidades promedio aproximadas en pies/s del flujo de escorrentía para calcular el tiempo de concentración Descripción del curso de agua
No concentrado* Bosques Pastizales Cultivos Pavimentos Concentrado**
0-2
Canal de salida- la ecuación de Manning determina la velocidad Canal natural no bien definido
* Esta condición usualmente ocurre en las partes superiores de la cuenca antes de que el flujo superficial se acumule en una canal. ** Estos valores varían con el tamaño del canal y otras condiciones. Cuando sea posible, deben hacerse determinaciones más precisas para condiciones particulares mediante la ecuación de velocidad en canales de Manning.
(Fuente: Drainage Manual, Texas Highway Department, tabla VII, p. II-28, 1970).
168
169
AGUA SUPERFICIAL
1
i
~,~ -¡
ª 11: ~~11}~ o
u
1
+-'
o
(L
8"'
df
(5.7.2)
t - Jo v(l)
C'l
1
11
¡.,.___ ~ ---+
<:t:>
"¡:::
"O
Si se supone que la velocidad 1,2, ... , !, entonces
V¡
es constante en un incremento de longitud
/1[¡,
i=
o
"O
::¿ D.l¡ I
t=
i=l
ool~
(5.7.3)
V¡
Las velocidades que se aplican en la ecuación (5.7.3) pueden calcularse usando los métodos descritos en la sección 5.6, o haciendo referencia a la tabla 5.7.1. Debido al tiempo de tránsito hasta la salida de la cuenca, solamente parte de ésta puede contribuir al flujo de agua superficial en un momento dado t después del inicio de la precipitación. El crecimiento del área que contribuye puede visualizarse en la figura 5. 7 .l. Si una lluvia de intensidad constante comienza y continúa indefinidamente, entonces el área rodeada por la línea discontinua designada t¡ contribuí-
TABLA 5.7.1
Velocidades promedio aproximadas en pies/s del flujo de escorrentía para calcular el tiempo de concentración Pendiente en porcentaje
Descripción del curso de agua
8-11
12-
0-3
4-7
0-1.5
1.5-2.5
2.5-3.25
3.25-
0-2.5
2.5-3.5
3.5-4.25
4.25-
0-3.0
3.0-4.5
4.5-5.5
5.5-
0-8.5
8.5-13.5
No concentrado* Bosques Pastizales Cultivos Pavimentos
13.5-17
17-
Concentrado** Canal de salida- la ecuación de Manning determina la velocidad Canal natural no bien definido
0-2
2-4
4-7
7-
* Esta condición usualmente ocurre en las partes superiores de la cuenca antes de que el flujo superficial se acumule en una canal. ** Estos valores varían con el tamaño del canal y otras condiciones. Cuando sea posible, deben hacerse determinaciones más precisas para condiciones particulares mediante la ecuación de velocidad en canales de Manning. (Fuente: Drainage Manual, Texas Highway Department, tabla VII, p. II-28, 1970).
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HIDROLOGÍA APLICADA
171
AGUA SUPERFICIAL
to a lo largo de los 100 pies de pastizales es !:it = !:illv = 100/3.0 = 33 s. Para el canal rectangular, en el ejemplo 5.6.5 se calcularon las velocidades en intervalos de 200 pies. El tiempo de tránsito para cada intervalo se calcula utilizando la velocidad promedio en dicho intervalo. Por ejemplo, para los primeros 200 pies, tJ.t = !:il/v = 200/2.32 = 86.2 s. Esto arroja un tiempo de tránsito total de 208.5 s para el canal, tal como se muestra en la tabla 5.7.2. El tiempo de concentración t,. es la suma de los tiempos de tránsito en el pastizal y en el canal, o 33 + 209 = 242s = 4 min.
5.8 REDES DE RÍOS FIGURA 5.7.1 Las isocronas en t 1 y t 2 definen el área contribuyente al flujo a la salida de la cuenca para lluvias de duración t 1 y t 2 . El tiempo de concentración te es el tiempo de flujo desde el punto más alejado de la cuenca (A) hasta la salida (B).
rá al flujo superficial a la salida de la cuenca después del tiempo t 1 ; de forma análoga, el área rodeada por la línea designada t 2 contribuirá al flujo superficial después del tiempo t2 . Las fronteras de estas áreas contribuyentes son líneas de tiempo igual de flujo hacia la salida y se denominan isocronas. El tiempo para el cual toda la cuenca empieza a contribuir es el tiempo de concentración T, ; este es el tiempo de flujo desde el punto más alejado hasta la salida de la cuenca. Ejemplo 5.7.1 Calcule el tiempo de concentración de una cuenca en la cual la trayectoria de flujo más largo cubre 100 pies de pastizales con una pendiente del 5%, luego entra en un canal rectangular de 1,000 pies de largo por 2 pies de ancho, con coeficiente de rugosidad n = 0.015 y pendiente del 2.5%, el cual recibe un flujo lateral de 0.00926 cfs/pie.
Solución. De la tabla 5.7 .1, los pastizales con pendiente del 5% tienen velocidades de flujo en el rango 2.5-3.5 pies/s. Utilice una velocidad de 3.0 pies/s. El tiempo de tránsi-
TABLA 5.7.2
Tiempo de tránsito en un canal (ejemplo 5.7.1)
o
Distancia a lo largo del canal, l (pies)
Velocidad calculada V (pies/s) Velocidad promedio V (pies/s) de
400
600
800
Los canales reconocibles más pequeños se designan como de orden 1; normalmente estos canales fluyen sólo durante tiempo húmedo. Cuando dos canales de orden 1 se unen, resulta un canal de orden 2 hacia aguas abajo; en general, cuando dos canales de orden i se unen, resulta un canal de orden i + l. Cuando un canal de orden bajo se une con un canal de orden mayor, el canal resultante hacia aguas abajo retiene el mayor de los dos órdenes. El orden de la cuenca de drenaje es el mismq del río a su salida/, el mayor orden en la cuenca. En la figura 5.8.1 se muestra un ejemplo de este sistema de clasificación para una pequeña cuenca en Texas. Horton (1945) encontró empíricamente que la relación de bifurcación R8 , o relación del número N; de canales de orden i y el número N; + 1 de canales de orden i + 1, es relativamente constante de un orden a otro. Esta es la ley de Horton de números de ríos:
1,000
1' 2, ... '1- 1 200
fll
Tiempo /ll/V(s)
200
En mecánica de fluidos, el estudio de la similaridad de flujos en sistemas de diferente tamaño es una herramienta importante para relacionar los resultados de estudios hechos en modelos de pequeña escala para aplicarlos a prototipos de gran escala. En hidrología, la geommfología de la cuenca, o estudio cuantitativo de la forma del terreno superficial, se utiliza para hacer medidas de similaridad geométrica entre cuencas, especialmente entre sus redes de ríos. Horton ( 1945) dio origen al estudio cuantitativo de redes de ríos. Desarrolló un sistema para ordenar las redes de ríos y derivó algunas leyes al relacionar el número y la longitud de los ríos de diferente orden. El sistema de ordenamiento de ríos de Horton, levemente modificada por Strahler (1964 ), es como sigue:
tránsito
/l¡
=
o
200 4.63
200 5.97
2.32
5.30
86.2
37.7
200 6.86
6.42 31.2
7.56 7.21 27.7
(5.8.1)
200 8.02 7.79 25.7 (L At= 208.5 s)
Como ejemplo, en la figura 5.8.1, N1 = 28, N2 = 5 y N3 = 1; luego NdN2 = 5.6 y N 2/N 3 = 5.0. El valor teórico mínimo para la relación de bifurcación es 2, y los valores se localizan típicamente en el rango 3-5 (Strahler, 1964 ). El promedio de longitud de los ríos de cada orden, L;, puede calcularse midiendo la longitud de cada una de las corrientes. Horton propusó la ley de longitudes de río en la cual las longitudes promedio de ríos de órdenes sucesivos están relacionados por medio de la relación de longitud RL:
170
HIDROLOGÍA APLICADA
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AGUA SUPERFICIAL
to a lo largo de los 100 pies de pastizales es !:it = !:illv = 100/3.0 = 33 s. Para el canal rectangular, en el ejemplo 5.6.5 se calcularon las velocidades en intervalos de 200 pies. El tiempo de tránsito para cada intervalo se calcula utilizando la velocidad promedio en dicho intervalo. Por ejemplo, para los primeros 200 pies, tJ.t = !:il/v = 200/2.32 = 86.2 s. Esto arroja un tiempo de tránsito total de 208.5 s para el canal, tal como se muestra en la tabla 5.7.2. El tiempo de concentración t,. es la suma de los tiempos de tránsito en el pastizal y en el canal, o 33 + 209 = 242s = 4 min.
5.8 REDES DE RÍOS FIGURA 5.7.1 Las isocronas en t 1 y t 2 definen el área contribuyente al flujo a la salida de la cuenca para lluvias de duración t 1 y t 2 . El tiempo de concentración te es el tiempo de flujo desde el punto más alejado de la cuenca (A) hasta la salida (B).
rá al flujo superficial a la salida de la cuenca después del tiempo t 1 ; de forma análoga, el área rodeada por la línea designada t 2 contribuirá al flujo superficial después del tiempo t2 . Las fronteras de estas áreas contribuyentes son líneas de tiempo igual de flujo hacia la salida y se denominan isocronas. El tiempo para el cual toda la cuenca empieza a contribuir es el tiempo de concentración T, ; este es el tiempo de flujo desde el punto más alejado hasta la salida de la cuenca. Ejemplo 5.7.1 Calcule el tiempo de concentración de una cuenca en la cual la trayectoria de flujo más largo cubre 100 pies de pastizales con una pendiente del 5%, luego entra en un canal rectangular de 1,000 pies de largo por 2 pies de ancho, con coeficiente de rugosidad n = 0.015 y pendiente del 2.5%, el cual recibe un flujo lateral de 0.00926 cfs/pie.
Solución. De la tabla 5.7 .1, los pastizales con pendiente del 5% tienen velocidades de flujo en el rango 2.5-3.5 pies/s. Utilice una velocidad de 3.0 pies/s. El tiempo de tránsi-
TABLA 5.7.2
Tiempo de tránsito en un canal (ejemplo 5.7.1)
o
Distancia a lo largo del canal, l (pies)
Velocidad calculada V (pies/s) Velocidad promedio V (pies/s) de
400
600
800
Los canales reconocibles más pequeños se designan como de orden 1; normalmente estos canales fluyen sólo durante tiempo húmedo. Cuando dos canales de orden 1 se unen, resulta un canal de orden 2 hacia aguas abajo; en general, cuando dos canales de orden i se unen, resulta un canal de orden i + l. Cuando un canal de orden bajo se une con un canal de orden mayor, el canal resultante hacia aguas abajo retiene el mayor de los dos órdenes. El orden de la cuenca de drenaje es el mismq del río a su salida/, el mayor orden en la cuenca. En la figura 5.8.1 se muestra un ejemplo de este sistema de clasificación para una pequeña cuenca en Texas. Horton (1945) encontró empíricamente que la relación de bifurcación R8 , o relación del número N; de canales de orden i y el número N; + 1 de canales de orden i + 1, es relativamente constante de un orden a otro. Esta es la ley de Horton de números de ríos:
1,000
1' 2, ... '1- 1 200
fll
Tiempo /ll/V(s)
200
En mecánica de fluidos, el estudio de la similaridad de flujos en sistemas de diferente tamaño es una herramienta importante para relacionar los resultados de estudios hechos en modelos de pequeña escala para aplicarlos a prototipos de gran escala. En hidrología, la geommfología de la cuenca, o estudio cuantitativo de la forma del terreno superficial, se utiliza para hacer medidas de similaridad geométrica entre cuencas, especialmente entre sus redes de ríos. Horton ( 1945) dio origen al estudio cuantitativo de redes de ríos. Desarrolló un sistema para ordenar las redes de ríos y derivó algunas leyes al relacionar el número y la longitud de los ríos de diferente orden. El sistema de ordenamiento de ríos de Horton, levemente modificada por Strahler (1964 ), es como sigue:
tránsito
/l¡
=
o
200 4.63
200 5.97
2.32
5.30
86.2
37.7
200 6.86
6.42 31.2
7.56 7.21 27.7
(5.8.1)
200 8.02 7.79 25.7 (L At= 208.5 s)
Como ejemplo, en la figura 5.8.1, N1 = 28, N2 = 5 y N3 = 1; luego NdN2 = 5.6 y N 2/N 3 = 5.0. El valor teórico mínimo para la relación de bifurcación es 2, y los valores se localizan típicamente en el rango 3-5 (Strahler, 1964 ). El promedio de longitud de los ríos de cada orden, L;, puede calcularse midiendo la longitud de cada una de las corrientes. Horton propusó la ley de longitudes de río en la cual las longitudes promedio de ríos de órdenes sucesivos están relacionados por medio de la relación de longitud RL:
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173
AGUA SUPERFICIAL
Estas relaciones se calculan graficando los valores de N¡, L; y A; en una escala logarítmica contra el orden del río en una escala lineal, tal como se muestra para dos cuencas venezolanas en la figura 5.8.2. Las relaciones Rs, RL y RA se calculan utilizando las pendientes de las líneas en estas gráficas. La cuenca Mamón 5 es una subcuenca de la cuenca Mamón (véase la figura 5.8.3). La consistencia de Rs, RL y RA, entre las dos cuencas demuestra su similaridad geométrica. Se han realizado estudios para relacionar las características de hidrogramas de creciente con los parámetros de las redes de ríos (Rodríguez-Iturbe y Valdés, 1979; Gupta, Waymire y Wang, 1980; Gupta, Rodríguez-Iturbe y Wood, 1986). Otros parámetros útiles para análisis hidrólogicos son la densidad de drenaje y la longitud de flujo superficial (Smart, 1972). La densidad de drenaje Des la relación de la longitud total de canales en una cuenca con respecto a su área
I=3
----J ------------ ' (
1
N;
1
1
~~Lij
~-~
r·
i=1j=l
D=
Convenciones
3
A¡
\
Frontera Corriente de orden 3 Corriente de orden 2 Corriente de orden 1
1 1
\
donde LiJ es la longitud del río j-ésimo de orden i. Si los ríos se alimentan por flujo superficial hortoniano desde toda su área contribuyente, entonces la longitud promedio de flujo superficial, Lo, se da aproximadamente por
1
l
1
2D
Lo
(5.8.5)
Mamón 5
Mamón 100-l
A; L¡
10
10
A;
o
0.5
L¡ N
1.0 mi
E'
E
FIGURA 5.8.1 Cuenca del riachuelo Miller, condado Blanco, Texas, mostrando la delineación de órdenes de ríos.
=
RL
10
o
~
o
o
0.1
L¡
E
10 o'
Li+I
100
0.1
(5.8.2) 0.1
0.01
Utilizando un raciocm10 similar, Schumm (1956) propuso la ley de áreas de ríos para relacionar las áreas promedio A; que se drenan por ríos de órdenes sucesivos (5.8.3)
2
3
4
Orden i
0.01
2
4 Orden i
5
6
FIGURA 5.8.2 Parámetros geomorfológicos para las cuencas Mamón. (Fuente: Valdés, Fiallo y Rodríguez-Iturbe, p. 1123, 1979. Copyright de la American Geophysical Union).
172
HIDROLOGÍA APLICADA
173
AGUA SUPERFICIAL
Estas relaciones se calculan graficando los valores de N¡, L; y A; en una escala logarítmica contra el orden del río en una escala lineal, tal como se muestra para dos cuencas venezolanas en la figura 5.8.2. Las relaciones Rs, RL y RA se calculan utilizando las pendientes de las líneas en estas gráficas. La cuenca Mamón 5 es una subcuenca de la cuenca Mamón (véase la figura 5.8.3). La consistencia de Rs, RL y RA, entre las dos cuencas demuestra su similaridad geométrica. Se han realizado estudios para relacionar las características de hidrogramas de creciente con los parámetros de las redes de ríos (Rodríguez-Iturbe y Valdés, 1979; Gupta, Waymire y Wang, 1980; Gupta, Rodríguez-Iturbe y Wood, 1986). Otros parámetros útiles para análisis hidrólogicos son la densidad de drenaje y la longitud de flujo superficial (Smart, 1972). La densidad de drenaje Des la relación de la longitud total de canales en una cuenca con respecto a su área
I=3
----J ------------ ' (
1
N;
1
1
~~Lij
~-~
r·
i=1j=l
D=
Convenciones
3
A¡
\
Frontera Corriente de orden 3 Corriente de orden 2 Corriente de orden 1
1 1
\
donde LiJ es la longitud del río j-ésimo de orden i. Si los ríos se alimentan por flujo superficial hortoniano desde toda su área contribuyente, entonces la longitud promedio de flujo superficial, Lo, se da aproximadamente por
1
l
1
2D
Lo
(5.8.5)
Mamón 5
Mamón 100-l
A; L¡
10
10
A;
o
0.5
L¡ N
1.0 mi
E'
E
FIGURA 5.8.1 Cuenca del riachuelo Miller, condado Blanco, Texas, mostrando la delineación de órdenes de ríos.
=
RL
10
o
~
o
o
0.1
L¡
E
10 o'
Li+I
100
0.1
(5.8.2) 0.1
0.01
Utilizando un raciocm10 similar, Schumm (1956) propuso la ley de áreas de ríos para relacionar las áreas promedio A; que se drenan por ríos de órdenes sucesivos (5.8.3)
2
3
4
Orden i
0.01
2
4 Orden i
5
6
FIGURA 5.8.2 Parámetros geomorfológicos para las cuencas Mamón. (Fuente: Valdés, Fiallo y Rodríguez-Iturbe, p. 1123, 1979. Copyright de la American Geophysical Union).
174
HIDROLOGÍA APLICADA
Subcuenca Mamón 5 (área 3.2 km 2 )
FIGURA 5.8.3 Área de drenaje de la cuenca Mamón en Venezuela. (Fuente: Valdés, Fiallo y Rodríguez-Iturbe, p. 1123, 1979. Copyright de la American Geophysical Union).
Shreve (1966) demostró que las leyes de ríos de Horton resultan de las combinaciones más probables de canales en una red, si se hace el proceso de combinación aleatorio utilizando todas las combinaciones posibles.
REFERENCIAS Betson, R. P., What is watershed runoff? J. Geophys. Res., vol. 69, No. 8, pp. 1541-1552, 1964. Chow, V. T., Open-channel Hydraulics, McGraw-Hill, New York, 1959. Chow, V. T., y B. C. Yen, Urban stormwater runoff: determination of volumes and flowrates, report EPA-600/2-76-116, Municipal Environmental Research Laboratory, Office of Research and Development, U. S. Environmental Protection Agency, Cincinnati, Ohio, mayo 1976. Dunne, T., T. R. Moore y C. H. Taylor, Recognition and prediction of runoff-producing zones in humid regions, Hydrol, Sci, Bull., vol. 20, No. 3, pp. 305-327, 1975. Emmett, W. W., Overland flow, en Hillslope Hydrology, ed. por M. J. Kirkby Wiley, New York, pp. 145-176, 1978. Freeze, R. A., Role of subsurface flow in generáting surface runoff 2. Upstream source areas, Water Resour. Res. vol. 8, No. 5, pp. 1272-1283, 1972. Freeze, R. A., Streamflow generation, Rev. Geophys. Space Phys., vol. 12, No. 4, pp. 627-647, 1974. Gupta, V. K., E. Waymire, C. T. Wang. A representation of an instantaneous unit hydrograph from geomorphology. Water Resour. Res., vol. 16, No. 5, pp. 855-862, 1980. Gupta, V. K., l. Rodríguez-Iturbe y E. F. Wood (eds.), Sea/e Problems in Hydrology, D. Reidel, Dordrecht, Holland, 1986.
AGUA SUPERFICIAL
175
Harr, R. D., Water flux in soil and subsoil on a steep forested slope, J. Hydrol., vol. 33, 37-58. 1977. Hewlett, J. D., y A. R. Hibbert. Factors affecting the response of small watersheds to precipitation in humid areas, en Int. Symp. on Forest Hydrology, ed. por W. E. Sopper y H. W. Lull, Pergamon Press, Oxford, pp. 275-290, 1967. Hewlett, J. D., Principies of Forest Hydrology, Univ. of Georgia Press, Athens, Ga., 1982. Horton, R. E., The role of infiltration in the hydrologic cycle, Trans. Am. Geophys. Union, vol. 14, pp. 446-460, 1933. Horton, R. E., Erosiona! development of streams and their drainage basins; hydrophysical approach to quantitative morphology, Bull. Geol. Soc. Am., vol. 56, pp. 275-370, 1945. Izzard, C. F., Hydraulics of runoff from developed surfaces, Proceedings, 26th Annual Meeting of the Highway Research Board, vol. 26, pp. 129-146, December 1946. Martín, G. N., Characterization of simple exponcntial baseflow recession, J. Hydrol. (New Zeland) vol. 12, No. 1, pp. 57-62, 1973. Morel-Seytoux, H. J., y J. P. Verdín, Extension of the Soil Conservation Service rainfall runoff methodology for ungaged watersheds, informe No. FHWA/RD-81/060, Federal Highway Administration, Washington, D.C., disponible de National Technical Information Service, Springfield, Va. 22616, 1981. Moseley, M. P., Streamflow generation in a forested watershed, New Zealand, Water Resour. Res. vol. 15, No. 4, pp. 795-806, 1979. Pearce, A. J. y A. l. McKerchar, Upstream generation of storm runoff, in Physical Hydrology. New Zealand Experience, ed. por D. L. Murray y P. Ackroyd, New Zealand Hydrological Society, Wellington, New Zealand, pp. 165-192, 1979. Pearce, A.J., M. K. Stewart, y M. G. Sklash, Storm runoff generation in humid headwater catchments, 1, Where does the water come from? Water Resour. Res., vol. 22, No. 8, pp. 1263-1272, 1986. Ragan, R. M., An experimental investigation of partía! area contributions, Int. Ass. Sci. Hydrol. Pub/. 76, ¡Jp. 241-249. 1968. Roben;on, J. A., y C. T. Crowe, Engineering fluid mechanics, 3rd ed., Houghton-Mifflin, Boston, 1985. Rodríguez-Iturbe, 1., y J. B. Valdés, The geomorphologic structure of hydrologic response, Water Resour. Res. vol. 15, No. 6, pp. 1409-1420, 1979. Schumm, S. A., Evolution of drainage systems and slopes in badlands at Perth Amboy, New Jersey, Bul/. Geol. Soc. Am., vol. 67, pp. 597-646, 1956. Shreve, R. L., Statistical law of stream numbers, J. of Geol., vol. 74, pp. 17-37, 1966. Singh, K. P., y J. B. Stall, Derivation of baseflow recession curves and parameters, Water Resour. Res., vol. 7, No. 2, pp. 292-303, 1971. Smart, J. S., Channel networks, en Advances in Hydroscience, ed. por V. T. Chow, Academic Press, Orlando, Fla., vol. 8, pp. 305-346, 1972. Soil Conservation Service, Urban hydrology for small watersheds, tech. re/. No. 55, U. S. Dept. of Agriculture, Washington, D.E:., 1975. Soil Conservation Scrvice, National Enginccring Handbook, section 4, Hydrology, U. S. Dept. of Agriculture, disponible en U. S. Government Printing Office, Washington, D. C., 1972. Strahler, A. N., Quantitative geomorphology of drainage basins and channel networks, section 4- II, en Handbook of Applied Hydrology, ed. por V. T. Chow, pp. 4-39, 4-76, McGraw-Hill, New York, 1964. Terstriep, M. L., y J. B. Sta!!. The Illinois urban drainage area simulator, ILLUDAS, Bull. 58, Illinois S tate Water Survey, Urbana, Ill., 1974. Unver, 0., y L. W. Mays, Optimal determination of loss rate functions and unit hydrographs, Water Resour. Res., vol. 20, No. 2, pp.-203-214, 1984. Valdés, J. B .. Y. Fiallo y I. Rodríguez-Iturbe. A rainfall-runoff analysis of the geomorphologic IUH, Water Resour. Res., vol. 15, No. 6, pp. 1421-1434, 1979.
PROBLEMAS 5.2.1 5.2.2
Si Q(t) = Q0 e-u- 'o!lk describe la recesión de un flujo base en un río, demuestre que el almacenamiento S(t) que alimenta el flujo base está dado por S(t) = kQ(t). El flujo base en un río es de 100 efs el primero de julio y 80 cfs el día 1O del mismo mes. Estudios previos de la recesión del flujo base en este río han demostrado que sigue el modelo de embalse lineal. Si no hay lluvia durante este mes, calcule la tasa de flujo el 31 de julio y el volumen de agua en el almacenamiento subsuperficial el primero y el 31 de julio.
174
HIDROLOGÍA APLICADA
Subcuenca Mamón 5 (área 3.2 km 2 )
FIGURA 5.8.3 Área de drenaje de la cuenca Mamón en Venezuela. (Fuente: Valdés, Fiallo y Rodríguez-Iturbe, p. 1123, 1979. Copyright de la American Geophysical Union).
Shreve (1966) demostró que las leyes de ríos de Horton resultan de las combinaciones más probables de canales en una red, si se hace el proceso de combinación aleatorio utilizando todas las combinaciones posibles.
REFERENCIAS Betson, R. P., What is watershed runoff? J. Geophys. Res., vol. 69, No. 8, pp. 1541-1552, 1964. Chow, V. T., Open-channel Hydraulics, McGraw-Hill, New York, 1959. Chow, V. T., y B. C. Yen, Urban stormwater runoff: determination of volumes and flowrates, report EPA-600/2-76-116, Municipal Environmental Research Laboratory, Office of Research and Development, U. S. Environmental Protection Agency, Cincinnati, Ohio, mayo 1976. Dunne, T., T. R. Moore y C. H. Taylor, Recognition and prediction of runoff-producing zones in humid regions, Hydrol, Sci, Bull., vol. 20, No. 3, pp. 305-327, 1975. Emmett, W. W., Overland flow, en Hillslope Hydrology, ed. por M. J. Kirkby Wiley, New York, pp. 145-176, 1978. Freeze, R. A., Role of subsurface flow in generáting surface runoff 2. Upstream source areas, Water Resour. Res. vol. 8, No. 5, pp. 1272-1283, 1972. Freeze, R. A., Streamflow generation, Rev. Geophys. Space Phys., vol. 12, No. 4, pp. 627-647, 1974. Gupta, V. K., E. Waymire, C. T. Wang. A representation of an instantaneous unit hydrograph from geomorphology. Water Resour. Res., vol. 16, No. 5, pp. 855-862, 1980. Gupta, V. K., l. Rodríguez-Iturbe y E. F. Wood (eds.), Sea/e Problems in Hydrology, D. Reidel, Dordrecht, Holland, 1986.
AGUA SUPERFICIAL
175
Harr, R. D., Water flux in soil and subsoil on a steep forested slope, J. Hydrol., vol. 33, 37-58. 1977. Hewlett, J. D., y A. R. Hibbert. Factors affecting the response of small watersheds to precipitation in humid areas, en Int. Symp. on Forest Hydrology, ed. por W. E. Sopper y H. W. Lull, Pergamon Press, Oxford, pp. 275-290, 1967. Hewlett, J. D., Principies of Forest Hydrology, Univ. of Georgia Press, Athens, Ga., 1982. Horton, R. E., The role of infiltration in the hydrologic cycle, Trans. Am. Geophys. Union, vol. 14, pp. 446-460, 1933. Horton, R. E., Erosiona! development of streams and their drainage basins; hydrophysical approach to quantitative morphology, Bull. Geol. Soc. Am., vol. 56, pp. 275-370, 1945. Izzard, C. F., Hydraulics of runoff from developed surfaces, Proceedings, 26th Annual Meeting of the Highway Research Board, vol. 26, pp. 129-146, December 1946. Martín, G. N., Characterization of simple exponcntial baseflow recession, J. Hydrol. (New Zeland) vol. 12, No. 1, pp. 57-62, 1973. Morel-Seytoux, H. J., y J. P. Verdín, Extension of the Soil Conservation Service rainfall runoff methodology for ungaged watersheds, informe No. FHWA/RD-81/060, Federal Highway Administration, Washington, D.C., disponible de National Technical Information Service, Springfield, Va. 22616, 1981. Moseley, M. P., Streamflow generation in a forested watershed, New Zealand, Water Resour. Res. vol. 15, No. 4, pp. 795-806, 1979. Pearce, A. J. y A. l. McKerchar, Upstream generation of storm runoff, in Physical Hydrology. New Zealand Experience, ed. por D. L. Murray y P. Ackroyd, New Zealand Hydrological Society, Wellington, New Zealand, pp. 165-192, 1979. Pearce, A.J., M. K. Stewart, y M. G. Sklash, Storm runoff generation in humid headwater catchments, 1, Where does the water come from? Water Resour. Res., vol. 22, No. 8, pp. 1263-1272, 1986. Ragan, R. M., An experimental investigation of partía! area contributions, Int. Ass. Sci. Hydrol. Pub/. 76, ¡Jp. 241-249. 1968. Roben;on, J. A., y C. T. Crowe, Engineering fluid mechanics, 3rd ed., Houghton-Mifflin, Boston, 1985. Rodríguez-Iturbe, 1., y J. B. Valdés, The geomorphologic structure of hydrologic response, Water Resour. Res. vol. 15, No. 6, pp. 1409-1420, 1979. Schumm, S. A., Evolution of drainage systems and slopes in badlands at Perth Amboy, New Jersey, Bul/. Geol. Soc. Am., vol. 67, pp. 597-646, 1956. Shreve, R. L., Statistical law of stream numbers, J. of Geol., vol. 74, pp. 17-37, 1966. Singh, K. P., y J. B. Stall, Derivation of baseflow recession curves and parameters, Water Resour. Res., vol. 7, No. 2, pp. 292-303, 1971. Smart, J. S., Channel networks, en Advances in Hydroscience, ed. por V. T. Chow, Academic Press, Orlando, Fla., vol. 8, pp. 305-346, 1972. Soil Conservation Service, Urban hydrology for small watersheds, tech. re/. No. 55, U. S. Dept. of Agriculture, Washington, D.E:., 1975. Soil Conservation Scrvice, National Enginccring Handbook, section 4, Hydrology, U. S. Dept. of Agriculture, disponible en U. S. Government Printing Office, Washington, D. C., 1972. Strahler, A. N., Quantitative geomorphology of drainage basins and channel networks, section 4- II, en Handbook of Applied Hydrology, ed. por V. T. Chow, pp. 4-39, 4-76, McGraw-Hill, New York, 1964. Terstriep, M. L., y J. B. Sta!!. The Illinois urban drainage area simulator, ILLUDAS, Bull. 58, Illinois S tate Water Survey, Urbana, Ill., 1974. Unver, 0., y L. W. Mays, Optimal determination of loss rate functions and unit hydrographs, Water Resour. Res., vol. 20, No. 2, pp.-203-214, 1984. Valdés, J. B .. Y. Fiallo y I. Rodríguez-Iturbe. A rainfall-runoff analysis of the geomorphologic IUH, Water Resour. Res., vol. 15, No. 6, pp. 1421-1434, 1979.
PROBLEMAS 5.2.1 5.2.2
Si Q(t) = Q0 e-u- 'o!lk describe la recesión de un flujo base en un río, demuestre que el almacenamiento S(t) que alimenta el flujo base está dado por S(t) = kQ(t). El flujo base en un río es de 100 efs el primero de julio y 80 cfs el día 1O del mismo mes. Estudios previos de la recesión del flujo base en este río han demostrado que sigue el modelo de embalse lineal. Si no hay lluvia durante este mes, calcule la tasa de flujo el 31 de julio y el volumen de agua en el almacenamiento subsuperficial el primero y el 31 de julio.
176 5.2.3
HIDROLOGÍA APLICADA El hidrograma de caudal a la salida de una cuenca de drenaje de 300 acres es como se muestra: Tiempo (h) Caudal (cfs)
5.3.1
o 102
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 98 220 512 630 460 330 210 150
5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.4.5
5.4.7
2 1.28 30
1
1.05
o
3 0.80 60
4 0.75 45
5 0.70 30
6 0.60 15
25
2
3
4
5
6
70
115
140
160
180
SCS Grupo hidrológico del suelo
o o
0-0.5
0.5-1.0
1.0-1.5
1.5-2.0
3.0
1.5
1.0
0.5
B
e
D
fe (pulg/h)
1.00
0.50
0.25
0.10
fa (pulg/h) k (h- 1)
10.00
8.00
5.00
3.00
2.00
2.00
2.00
2.00
0.2
0.2
0.2
0.2
Para el siguiente hietograma de tormenta, determine el hietograma del exceso de precipitación, la infiltración acumulada y la profundidad de exceso de lluvia para el suelo del grupo hidrológico A. ·
5.4.9 5.4.10
Resuelva el problema 5.4.5 si el suelo se describe por la ecuación de Philip con S = 50 mm · h- 112 y K = 20 mm/h. Determine el hietograma de exceso de precipitación para el siguicnte hietograma de tormenta. Tiempo (h)
A
Almacenamiento en depresiones (pulg)
5.4.11
Intensidad de lluvia (pulg/h)
Puede aplicarse la ecuación de Horton, con /o = 3.0 pulg/h, f = 0.53 pulg/h y k = 4.182 h '. Determine las curvas de infiltración y precipitación acumuladas y represéntelas graficamente.lgualmente, grafique la tasa de infiltración y el hietograma de exceso de precipitación. ¿Cuál es la profundidad total de exceso de precipitación? Terstriep y Stall (1974) desarrollaron curvas de infiltración estándares para un tipo de césped para cada uno de los grupos hidrológicos de suelos del U.S. Soil Conservation Service. Estas curvas de infiltración estándar, que se utilizan en el modelo ILLUDAS (véase el capítulo 15), se basan en la ecuación de Horton con los siguientes parámetros:
7
Determine el hidrograma de escorrentía directa, el índice .t
1-t-ll-dt
Llt-+0
Índice de tieMpo m d)
1 1 1 1 1
,,,_,,lct<:_
Respuesta de pulso discreto, Un
a) Respuesta de impulso, u(t)
1
1
~
1
1
1 1
1
1 1 1
u., . .,,.,~.
Entrada unitaria
u(l)
1
1
0 ~-1--1--1-~..._..... Índice de o 2 .. tiempo
1 1
l-1-'t---l
1-'t
1~
1
Índice de tiempo n - m + 1
1
1 1
1
1
(n-m+ 1)111
1 1
1
-+¡~(l...._
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
Q(l)
º"
\
Q(l) = JI(t)U(I-t)d't
o
1+--n/11-l
l-1--l a)
Funciones de tiempo continuo
b)
h(t)
O
Índice de tiempo n
Funciones de tiempo discreto
Salida g(t) l ~-.;,._~-
g(t)
o e)
Tiempo 1
Respuesta de pulso h(t)
b)
FIGURA 7 .2.2 Relación entre convoluciones continuas y discretas.
g(t)
=-
r
h(l) =
ir
Respuesta de paso (escalón) g(t)
[g(t)- g(t -11!)]
FIGURA 7.2.3
u(l) dl
Funciones respuesta de un sistema lineal. Las funciones respuesta en a), b) y e) están en un dominio de tiempo continuo y aquella en d) en un dominio de tiempo discreto.
o g(t) =
J: u(l) dl
(7.2.3)
Es decir, el valor de la función respuesta de paso unitario g(t) en el tiempo t e!f igual a la integral de la función impulso respuesta hasta ese momento, tal como se muestra en la figura 7.2.3a) y b).
Función respuesta de pulso Una entrada de pulso unitario es una entrada unitaria que ocurre con una duración llt. La tasa es /(r) = 1/.:lt, O :S T :S llt y cero en cualq.uier otro lugar. Lafunción
respuesta de pulso unitario producida por esta entrada puede encontrarse utilizando los dos principios para sistemas lineales citados anteriormente. Primero, debido al principio de proporcionalidad, la respuesta a una entrada de paso unitario de tasa 1/ llt que empieza en el tiempo O es (1 1llt)g(t). Si una entrada de paso unitario similar empieza en el tiempo llt en lugar del tiempo O, .su función respuesta se retardará en el tiempo un intervalo llt y tendrá un valor en el tiempo t igual a (1/.:lt)g(t- llt). Luego, usando el principio de superposición, la respuesta a una entrada de pulso unitario de duración llt se encuentra restando la respuesta a una entrada de paso con tasa 11llt que empieza en el tiempo llt de la respuesta a una entrada de paso con la misma tasa que empieza en tiempo O, de tal manera que la función respuesta de pulso unitario h(t) es
212
HIDROLOGÍA APLICADA
213
HIDROGRAMA UNITARIO mllr
Pm =
J/('t)d't
lim h(t) = u(t)
(m- l)dt
¡-ml'>.t
1-t-ll-dt
Llt-+0
Índice de tieMpo m d)
1 1 1 1 1
,,,_,,lct<:_
Respuesta de pulso discreto, Un
a) Respuesta de impulso, u(t)
1
1
~
1
1
1 1
1
1 1 1
u., . .,,.,~.
Entrada unitaria
u(l)
1
1
0 ~-1--1--1-~..._..... Índice de o 2 .. tiempo
1 1
l-1-'t---l
1-'t
1~
1
Índice de tiempo n - m + 1
1
1 1
1
1
(n-m+ 1)111
1 1
1
-+¡~(l...._
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
Q(l)
º"
\
Q(l) = JI(t)U(I-t)d't
o
1+--n/11-l
l-1--l a)
Funciones de tiempo continuo
b)
h(t)
O
Índice de tiempo n
Funciones de tiempo discreto
Salida g(t) l ~-.;,._~-
g(t)
o e)
Tiempo 1
Respuesta de pulso h(t)
b)
FIGURA 7 .2.2 Relación entre convoluciones continuas y discretas.
g(t)
=-
r
h(l) =
ir
Respuesta de paso (escalón) g(t)
[g(t)- g(t -11!)]
FIGURA 7.2.3
u(l) dl
Funciones respuesta de un sistema lineal. Las funciones respuesta en a), b) y e) están en un dominio de tiempo continuo y aquella en d) en un dominio de tiempo discreto.
o g(t) =
J: u(l) dl
(7.2.3)
Es decir, el valor de la función respuesta de paso unitario g(t) en el tiempo t e!f igual a la integral de la función impulso respuesta hasta ese momento, tal como se muestra en la figura 7.2.3a) y b).
Función respuesta de pulso Una entrada de pulso unitario es una entrada unitaria que ocurre con una duración llt. La tasa es /(r) = 1/.:lt, O :S T :S llt y cero en cualq.uier otro lugar. Lafunción
respuesta de pulso unitario producida por esta entrada puede encontrarse utilizando los dos principios para sistemas lineales citados anteriormente. Primero, debido al principio de proporcionalidad, la respuesta a una entrada de paso unitario de tasa 1/ llt que empieza en el tiempo O es (1 1llt)g(t). Si una entrada de paso unitario similar empieza en el tiempo llt en lugar del tiempo O, .su función respuesta se retardará en el tiempo un intervalo llt y tendrá un valor en el tiempo t igual a (1/.:lt)g(t- llt). Luego, usando el principio de superposición, la respuesta a una entrada de pulso unitario de duración llt se encuentra restando la respuesta a una entrada de paso con tasa 11llt que empieza en el tiempo llt de la respuesta a una entrada de paso con la misma tasa que empieza en tiempo O, de tal manera que la función respuesta de pulso unitario h(t) es
214
HIDROLOGÍA APLICADA
1
(7 .2.4)
h(t) = Llt[g(t) - g(t- Llt)]
215
HIDROGRAMA UNITARIO
donde T es una variable auxiliar de tiempo en la integración. Resolviendo,
~ ~,[J: u(/) dl- f" u(l)dll 1 =""A
ut
y reordenando
lt t -!lt
(7.2.5)
u(l)dl
Como se muestra en la figura 7.2.3, g(t)- g(t- f..t) representa el área bajo la función impulso respuesta entre t - f..t y t, y h(t) representa la pendiente de la función respuesta de paso unitario g(t) entre estos dos puntos del tiempo.
Al comparar esta ecuación con la integral de convolución (7 .2.1 ), puede verse que las dos ecuaciones son iguales siempre que Q0 =O y 1 k
U(f- T) = -e -(f-T)Ik
Ejemplo 7.2.1 Determine las funciones respuesta de impulso, paso y pulso de un embalse lineal con almacenamiento constante k(S = kQ).
Luego si l se define como el tiempo de retardo tembalse lineal es
T,
la función impulso respuesta de un
Solución. La ecuación de continuidad (7 .1.1) es dS = I(t) - Q(t) dt
u(
!)
1
= //
-1/k
El requerimiento de que Qo = O implica que el sistema parte del reposo cuando se aplica la integral de convolución.
y diferenciando la función de almacenamiento S= kQ resulta dS!dt = kdQ/dt, luego
La respuesta de paso (escalón) unitario está dada por (7.2.3):
k dQ = l(t) - Q(t) dt
g(i) =
f
u(l) dl
o dQ dt
-
+
1
1
=
-Q(t) = -l(t) k k
J' .!.ekdl k 11
o
= [ -e-1/k]~
Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden y puede ser resuelta multiplicando ambos lados de la ecuación por el factor integrante e'1' :
= 1- e-rlk
La respuesta de pulso unitario está dada por (7.2.4): 1
h(t) = .l/g(t) - g(t- .lt)]
de tal manera que los dos términos en la parte izquierda de la ecuación pueden combinarse como
l. Para O s; t s; f..t, g(t- f..t) = O, luego 1 .lt
1 .lt
h(t) = -g(t) = -(1-
2.
Para t > l'lt,
Integrando con las condiciones iniciales Q = Q 0 en t = O
-t/k
= _e_(e!lr!k- 1)
.lt
e-rlk)
214
HIDROLOGÍA APLICADA
1
(7 .2.4)
h(t) = Llt[g(t) - g(t- Llt)]
215
HIDROGRAMA UNITARIO
donde T es una variable auxiliar de tiempo en la integración. Resolviendo,
~ ~,[J: u(/) dl- f" u(l)dll 1 =""A
ut
y reordenando
lt t -!lt
(7.2.5)
u(l)dl
Como se muestra en la figura 7.2.3, g(t)- g(t- f..t) representa el área bajo la función impulso respuesta entre t - f..t y t, y h(t) representa la pendiente de la función respuesta de paso unitario g(t) entre estos dos puntos del tiempo.
Al comparar esta ecuación con la integral de convolución (7 .2.1 ), puede verse que las dos ecuaciones son iguales siempre que Q0 =O y 1 k
U(f- T) = -e -(f-T)Ik
Ejemplo 7.2.1 Determine las funciones respuesta de impulso, paso y pulso de un embalse lineal con almacenamiento constante k(S = kQ).
Luego si l se define como el tiempo de retardo tembalse lineal es
T,
la función impulso respuesta de un
Solución. La ecuación de continuidad (7 .1.1) es dS = I(t) - Q(t) dt
u(
!)
1
= //
-1/k
El requerimiento de que Qo = O implica que el sistema parte del reposo cuando se aplica la integral de convolución.
y diferenciando la función de almacenamiento S= kQ resulta dS!dt = kdQ/dt, luego
La respuesta de paso (escalón) unitario está dada por (7.2.3):
k dQ = l(t) - Q(t) dt
g(i) =
f
u(l) dl
o dQ dt
-
+
1
1
=
-Q(t) = -l(t) k k
J' .!.ekdl k 11
o
= [ -e-1/k]~
Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden y puede ser resuelta multiplicando ambos lados de la ecuación por el factor integrante e'1' :
= 1- e-rlk
La respuesta de pulso unitario está dada por (7.2.4): 1
h(t) = .l/g(t) - g(t- .lt)]
de tal manera que los dos términos en la parte izquierda de la ecuación pueden combinarse como
l. Para O s; t s; f..t, g(t- f..t) = O, luego 1 .lt
1 .lt
h(t) = -g(t) = -(1-
2.
Para t > l'lt,
Integrando con las condiciones iniciales Q = Q 0 en t = O
-t/k
= _e_(e!lr!k- 1)
.lt
e-rlk)
216
HIDROLOGÍA APLICADA
Las funciones respuesta de impulso y de paso de un embalse lineal con k = 3 h están graficadas en la figura 7 .2.4, en conjunto con la función respuesta de pulso para !1t = 2 h.
217
HIDROGRAMA UNITARIO
ción diferentes. El efecto de un pulso de entrada de duración !J.t que empieza en el tiempo (m - 1)!J.t sobre la salida en el tiempo t = n!J.t se mide utilizando el valor de la función de respuesta de pulso unitario h[t- (m- l)!J.t] = h[n!J.t- (m- l)!J.t] h[(n- m+ l)!J.t], dado, siguiendo la ecuación (7.2.5), como
1.0
h[(n - m
0.8 ro
/ " ' - - - Función paso-respuesta g(t) = 1- e-tlk
:'S 0.6 ~ .,
Función pulso-respuesta h(t) para IJ.t = 2h Función impulso-respuesta
0.2
o
u(t) =
o
2
4
1
k
-t/k
e
6
l in-m+ !)b.t -:¡u(l) dl
=
l)dt]
(7.2.8)
(n-m)b.t
~t
En un dominio de tiempo discreto, la función de entrada es una serie de M pulsos de tasa constante: para el pulso m, /( r) = P m/ !J.t para (m - 1) !J.t :S r :S m !J. t . /(r) = O parar> M!J.t. Considérese el caso cuando se está calculando la salida después de que han cesado todas las entradas, es decir, en t = n!J.t > M!J.t [véase la figura 7.2.2b)]. La contribución a la salida de cada uno de los M pulsos de entrada puede encontrarse separando la integral de convolución (7.2.1) en t = n!J.t en M partes:
'O
~ 0.4 ro E-
+
Qn = {b.t I( r)u(n!J.t - r)dr
10
Tiempo (h)
=
FIGURA 7.2.4 Funciones respuesta de un embalse lineal con k = 3 h. La función respuesta de pulso es para una entrada por pulso de 2 horas de duración (del ejemplo 7 .2.1 ).
p lb.t
__!,
!J.t o
+
p
Am ~t
u(n!J.t - r) dr
[b.t
+
p2l2b.t
"'A ~t
u(n!J.t- r) dr
(m-l)b.t
b.t
u(ndt - r) dr p
+ ... + ~~.M ~t
+ ...
JMb.t
(7.2.9)
u(n!J.t- r) dr
(M-!)b.t
Sistema lineal en tiempo discreto Las funciones respuesta de impulso, paso (escalón) y pulso se han definido en un dominio de tiempo continuo. Ahora se deja que el dominio de tiempo se parta en intervalos discretos de duración !J.t. Como se mostró en la sección 2.3, existen dos formas de representar una función continua del tiempo en un dominio de tiempo discreto, es decir, como un sistema de información por pulso o un sistema de información por muestra. El sistema de información por pulso se utiliza para la precipitación y el valor de su función de entrada discreta para el m-ésimo intervalo de tiempo es b.t Pm = [
(m-I) M
I(r) dt
m=l,2,3, ...
donde los términos Pm/ !J.t, m = 1, 2, ... , M, pueden sacarse de las integrales porque son constantes. En cada una de estas integrales se hace la sustitución 1 = n!J.t- r luego dr = -di, el límite r =(m- 1) !J.t se convierte en 1 = n!J.t- (m- 1) !J.t =(n-m+ l)!J.t, y el límite r = m!J.t se convierte en 1 = (n- m)!J.t. La m-ésima integral en (7.2.9) se escribe como b.t p f(n-m)b.t Pm [ u(n!J.t- r) dr= __!!!. -u(!) dl !J.t (m-!)b.t dt (n-m+!)b.t
(7.2.6)
p
f(n-m+!)b.t
P m es la profundid-ad de precipitación que cae durante el intervalo de tiempo
!J.t
(n-m)b.t
\c!l
pulgadas o centímetros). El sistema de información por muestra se utiliza para caudales y escorrentía directa, de tal manera que el valor de la salida del sistema en el n-ésimo intervalo de tiempo (t = n !J.t) es n;=l,2,3, ...
(7.2.10) u(l) dl
__!!!.
(7.2.7)
Qn es el valor instantáneo de la tasa de flujo al final de n-ésimo intervalo de tiempo (en cfs o m 3 /s). Luego las variables de entrada y salida de un sistema de cuenca se registran con dimensiones diferentes y usan representaciones discretas de informa-
=
Pmh[(n - m
+
l)!J.t]
sustituyendo de (7.2.7). Después de hacer estas sustituciones en (7.2.9), Qn = P¡h[(ndt)]
+
P2h[(n - l)!J.t]
+Pmh[(n- m+ l)!J.t]
+ PMh[(n -M + l)!J.t]
+
+ (7.2.11!
216
HIDROLOGÍA APLICADA
Las funciones respuesta de impulso y de paso de un embalse lineal con k = 3 h están graficadas en la figura 7 .2.4, en conjunto con la función respuesta de pulso para !1t = 2 h.
217
HIDROGRAMA UNITARIO
ción diferentes. El efecto de un pulso de entrada de duración !J.t que empieza en el tiempo (m - 1)!J.t sobre la salida en el tiempo t = n!J.t se mide utilizando el valor de la función de respuesta de pulso unitario h[t- (m- l)!J.t] = h[n!J.t- (m- l)!J.t] h[(n- m+ l)!J.t], dado, siguiendo la ecuación (7.2.5), como
1.0
h[(n - m
0.8 ro
/ " ' - - - Función paso-respuesta g(t) = 1- e-tlk
:'S 0.6 ~ .,
Función pulso-respuesta h(t) para IJ.t = 2h Función impulso-respuesta
0.2
o
u(t) =
o
2
4
1
k
-t/k
e
6
l in-m+ !)b.t -:¡u(l) dl
=
l)dt]
(7.2.8)
(n-m)b.t
~t
En un dominio de tiempo discreto, la función de entrada es una serie de M pulsos de tasa constante: para el pulso m, /( r) = P m/ !J.t para (m - 1) !J.t :S r :S m !J. t . /(r) = O parar> M!J.t. Considérese el caso cuando se está calculando la salida después de que han cesado todas las entradas, es decir, en t = n!J.t > M!J.t [véase la figura 7.2.2b)]. La contribución a la salida de cada uno de los M pulsos de entrada puede encontrarse separando la integral de convolución (7.2.1) en t = n!J.t en M partes:
'O
~ 0.4 ro E-
+
Qn = {b.t I( r)u(n!J.t - r)dr
10
Tiempo (h)
=
FIGURA 7.2.4 Funciones respuesta de un embalse lineal con k = 3 h. La función respuesta de pulso es para una entrada por pulso de 2 horas de duración (del ejemplo 7 .2.1 ).
p lb.t
__!,
!J.t o
+
p
Am ~t
u(n!J.t - r) dr
[b.t
+
p2l2b.t
"'A ~t
u(n!J.t- r) dr
(m-l)b.t
b.t
u(ndt - r) dr p
+ ... + ~~.M ~t
+ ...
JMb.t
(7.2.9)
u(n!J.t- r) dr
(M-!)b.t
Sistema lineal en tiempo discreto Las funciones respuesta de impulso, paso (escalón) y pulso se han definido en un dominio de tiempo continuo. Ahora se deja que el dominio de tiempo se parta en intervalos discretos de duración !J.t. Como se mostró en la sección 2.3, existen dos formas de representar una función continua del tiempo en un dominio de tiempo discreto, es decir, como un sistema de información por pulso o un sistema de información por muestra. El sistema de información por pulso se utiliza para la precipitación y el valor de su función de entrada discreta para el m-ésimo intervalo de tiempo es b.t Pm = [
(m-I) M
I(r) dt
m=l,2,3, ...
donde los términos Pm/ !J.t, m = 1, 2, ... , M, pueden sacarse de las integrales porque son constantes. En cada una de estas integrales se hace la sustitución 1 = n!J.t- r luego dr = -di, el límite r =(m- 1) !J.t se convierte en 1 = n!J.t- (m- 1) !J.t =(n-m+ l)!J.t, y el límite r = m!J.t se convierte en 1 = (n- m)!J.t. La m-ésima integral en (7.2.9) se escribe como b.t p f(n-m)b.t Pm [ u(n!J.t- r) dr= __!!!. -u(!) dl !J.t (m-!)b.t dt (n-m+!)b.t
(7.2.6)
p
f(n-m+!)b.t
P m es la profundid-ad de precipitación que cae durante el intervalo de tiempo
!J.t
(n-m)b.t
\c!l
pulgadas o centímetros). El sistema de información por muestra se utiliza para caudales y escorrentía directa, de tal manera que el valor de la salida del sistema en el n-ésimo intervalo de tiempo (t = n !J.t) es n;=l,2,3, ...
(7.2.10) u(l) dl
__!!!.
(7.2.7)
Qn es el valor instantáneo de la tasa de flujo al final de n-ésimo intervalo de tiempo (en cfs o m 3 /s). Luego las variables de entrada y salida de un sistema de cuenca se registran con dimensiones diferentes y usan representaciones discretas de informa-
=
Pmh[(n - m
+
l)!J.t]
sustituyendo de (7.2.7). Después de hacer estas sustituciones en (7.2.9), Qn = P¡h[(ndt)]
+
P2h[(n - l)!J.t]
+Pmh[(n- m+ l)!J.t]
+ PMh[(n -M + l)!J.t]
+
+ (7.2.11!
218
HIDROLOGÍA APLICADA
219
HIDROGRAMA UNITARIO
la cual es una ecuación de convolución con entrada Pm en pulsos y salida Qn como una función temporal de información por muestra.
Entrada P,,
Función respuesta de pulso discreto Tal como se muestra en la figura 7.2.3d), la función respuesta de pulso continuo h(t) puede representarse en un dominio de tiempo discreto como una función de información por muestra U, donde Un-m+¡
= h[(n- m +
1)~t]
m
2
(7.2.12)
De donde un= h[nM], Un-!= h[(n - 1)Llt], ... , y Un- M+ 1 = h[(n- M+ 1)M]. Sustituyendo en (7.2.11) la versión en tiempo discreto de la integral de convolución es
M
=
L
(7.2.13) PmUn-m+!
m=!
La ecuación (7.2.13) es válida siempre que n :2: M; sin< M, entonces en (7.2.9) sólo tendría que tenerse en cuenta los primeros n pulsos de entrada, debido a que éstos son los únicos pulsos que pueden influir en la salida hasta el tiempo nflt. En este caso, (7.2.13) se reescribe como
n-m+! Un-m+ l
Respuesta de pulso unitario aplicada a P3
(7.2.14) n-m+!
Combinando (7.2.13) y (7.2.14) se llega al resultado final Salida noS M
L
Salida
Qn
PmUn-m+!
n ~M
(7.2.15)
Qn =
L Pm Un- m + 1
m= l
m=!
que es la ecuac10n de convolución discreta para un sistema lineal. La notación n ~M como el límite superior de la sumatoria muestra que los términos se suman para m= 1, 2, ... , n siempre que n :S M, pero paran> M, la sumatoria se limita a m=1,2, ... ,M. Como un ejemplo, supóngase que hay M = 3 pulsos de entrada: P1, Pz y P3. Para el primer intervalo de tiempo (n = 1), existe solamente un término en la convolución, aquel para m = 1;
Q¡ = P¡Ul-1+1 = P¡U¡ Para n = 2, existen dos términos que corresponden a m = 1.2:
o
2
4
5
6
7
8
9
n
FIGURA 7.2.5 Aplicación de la ecuación de convolución discreta a la salida de un sistema lineal.
218
HIDROLOGÍA APLICADA
219
HIDROGRAMA UNITARIO
la cual es una ecuación de convolución con entrada Pm en pulsos y salida Qn como una función temporal de información por muestra.
Entrada P,,
Función respuesta de pulso discreto Tal como se muestra en la figura 7.2.3d), la función respuesta de pulso continuo h(t) puede representarse en un dominio de tiempo discreto como una función de información por muestra U, donde Un-m+¡
= h[(n- m +
1)~t]
m
2
(7.2.12)
De donde un= h[nM], Un-!= h[(n - 1)Llt], ... , y Un- M+ 1 = h[(n- M+ 1)M]. Sustituyendo en (7.2.11) la versión en tiempo discreto de la integral de convolución es
M
=
L
(7.2.13) PmUn-m+!
m=!
La ecuación (7.2.13) es válida siempre que n :2: M; sin< M, entonces en (7.2.9) sólo tendría que tenerse en cuenta los primeros n pulsos de entrada, debido a que éstos son los únicos pulsos que pueden influir en la salida hasta el tiempo nflt. En este caso, (7.2.13) se reescribe como
n-m+! Un-m+ l
Respuesta de pulso unitario aplicada a P3
(7.2.14) n-m+!
Combinando (7.2.13) y (7.2.14) se llega al resultado final Salida noS M
L
Salida
Qn
PmUn-m+!
n ~M
(7.2.15)
Qn =
L Pm Un- m + 1
m= l
m=!
que es la ecuac10n de convolución discreta para un sistema lineal. La notación n ~M como el límite superior de la sumatoria muestra que los términos se suman para m= 1, 2, ... , n siempre que n :S M, pero paran> M, la sumatoria se limita a m=1,2, ... ,M. Como un ejemplo, supóngase que hay M = 3 pulsos de entrada: P1, Pz y P3. Para el primer intervalo de tiempo (n = 1), existe solamente un término en la convolución, aquel para m = 1;
Q¡ = P¡Ul-1+1 = P¡U¡ Para n = 2, existen dos términos que corresponden a m = 1.2:
o
2
4
5
6
7
8
9
n
FIGURA 7.2.5 Aplicación de la ecuación de convolución discreta a la salida de un sistema lineal.
220
HIDROLOGÍA APLICADA
Paran
= 3, existen tres términos:
Y paran
2.
= P¡U3-!+i + P2U3-2+i + P3U3-3+1 = P¡U3 +P2U2 + P3U 1
Q3 =
4, 5, ... sigue habiendo sólo tres términos:
Qn = P¡ Un
3.
4.
+ P2Un-1 + P3Un-2
Los resultados de este cálculo se muestran en forma de diagrama en la figura 7.2.5. La suma de los subíndices en cada término de la parte derecha de la sumatoria es siempre mayor en una unidad que el subíndice de Q. .En el ejemplo mostrado en el diagrama, existen 3 pulsos de entrada y 6 términos d1ferentes de cero en la función respuesta de pulso U, luego existen 3 + 6- 1 = 8 términos diferentes de cero en la función de salida Q. Los valores de la salida para los tres periodos finales son:
+ P2Us + P3U4 Q7=P2U6 + P3Us
Q6=P¡U6
Qs =P3U6
Q" y Pm se expresan en dimensiones diferentes y U tiene dimensiones que son la relación de las dimensiones de y p m para hacer a (7 .2.15) dimensionalmente consistente. Por ejemplo, si Pm está medida en pulgadas y Q en cfs, entonces las dimensiones de U son cfs/pulg, que puede interpretarse como cfs de salida por cada pulg de entrada.
º"
11
7.3 EL HIDROGRAMA UNITARIO El hidrograma unitario es la función respuesta de pulso unitario para un sistema hidrológico lineal. Propuesto por primera vez por Sherman (1932), el hidrograma unitario (conocido originalmente como gráfica unitaria) de una cuenca, se define como el hidrograma de escorrentía directa (DRH, por sus siglas en inglés) resultante de 1 pulg (usualmente tomado como 1 cm en unidades del SI) de exceso de lluvia generado uniformemente sobre el área de drenaje a una tasa constante a lo largo de una duración efectiva. Originalmente, Sherman utilizó la palabra "unitario" para denotar un tiempo unitario, pero desde entonces se ha interpretado frecuentemente como una profundidad unitaria de exceso de lluvia. Sherman clasificó la escorrentía en escorrentía superficial y escorrentía de agua subterránea, y definió el hidrograma unitario para ser usado únicamente con la escorrentía superficial. Los métodos para calcular el exceso de lluvia y la escorrentía directa a partir de la información observada de lluvia y de caudal se presentan en el capítulo 5. . . El hi.drograma unitario es un modelo lineal simple que puede usarse para deducu el h1drograma resultante de cualquier cantidad de exceso de lluvia. Las siguientes suposiciones básicas son inherentes en este modelo:
l.
HIDROGRAMA UNITARIO
El exceso de precipitación tiene una intensidad constante dentro de la duración efectiva.
5.
221
El exceso de precipitación está uniformemente distribuido a través de toda el área de drenaje. El tiempo base de DRH (la duración de la escorrentía directa) resultante de un exceso de lluvia de una duración dada es constante. Las ordenadas de todos los DRH de una base de tiempo común son directamente proporcionales a la cantidad total de escorrentía directa representada por cada hidrograma. Para una cuenca dada, el hidrograma resultante de un exceso de lluvia dado refleja las c"racterísticas no cambiantes de la cuenca.
En condiciones naturales, dichas suposiciones no se satisfacen en forma perfecta. Sin embargo, cuando la información hidrológica que va a utilizarse se selecciona cuidadosamente de tal manera que llegue a cumplir en forma aproximada dichas suposiciones, los resultados obtenidos por el modelo de hidrograma unitario generalmente son aceptables para propósitos prácticos (Heerdegen, 1974). A pesar de que el modelo fue desarrollado originalmente para cuencas grandes, se ha encontrado que puede aplicarse a cuencas pequeñas desde menos de 0.5 hectáreas hasta 25 km 2 (aproximadamente 1 acre por 1O mi 2 ). En algunos casos no puede usarse el modelo debido a que una o más de las suposiciones no son satisfechas ni siquiera en forma aproximada. Por ejemplo, se considera que el modelo es inaplicable a la escorrentía originada por la nieve o el hielo. Con relación a la suposición 1), las tormentas seleccionadas para el análisis deben ser de corta duración, debido a que es más probable que éstas produzcan una tasa de exceso de lluvia intensa y aproximadamente constante, arrojando un hidrograma bien definido, con pico único y de tiempo base corto. Con relación a la suposición 2), el hidrograma unitario puede volverse inaplicable cuando el área de drenaje es demasiado grande para ser cubierta por una lluvia distribuida aproximadamente en forma uniforme. En tales casos, el área debe dividirse y cada subárea analizarse para tormentas que cubran toda la subárea. Con relación a la suposición 3), el tiempo base del hidrograma de escorrentía directa (DRH) es generalmente incierto, pero depende del método de separación de flujo base (véase la sección 5.2). Usualmente el tiempo base es corto si se considera que la escorrentía directa solamente incluye la escorrentía superficial, pero es largo si la escorrentía directa también incluye la escorrentía subsuperficial. Con relación a la suposición 4 ), los principios de superposición y proporcionalidad se suponen válidos, de tal manera que las ordenadas Qn del DRH pueden calcularse utilizando la ecuación (7 .2.15). La información hidrológica real no es verdaderamente lineal; cuando se aplica (7 .2.15) a ésta, el hidro grama resultante es solamente una aproximación, que es satisfactoria en muchos casos prácticos. Con relación a la suposición 5), el hidrograma unitario se considera único para una cuenca dada e invariable con respecto al tiempo. Este es el principio de invarianza temporal, el cual, junto con los principios de superposición y proporcionalidad es fundamental para el modelo del hidrograma unitario. Los hidrogramas unitarios se aplican solamente cuando las condiciones del canal permanecen sin cambio y las cuencas no tienen almacenamientos apreciables. Esta condición se viola cuando el área de drenaje contiene muchos embalses, o cuando las crecientes fluyen por las planicies de inundación, produciendo así considerable almacenamiento. Los principios del análisis de sistemas lineales forman la base del método del hidro grama unitario. La tabla 7 .3.1 muestra una comparación entre los conceptos de
220
HIDROLOGÍA APLICADA
Paran
= 3, existen tres términos:
Y paran
2.
= P¡U3-!+i + P2U3-2+i + P3U3-3+1 = P¡U3 +P2U2 + P3U 1
Q3 =
4, 5, ... sigue habiendo sólo tres términos:
Qn = P¡ Un
3.
4.
+ P2Un-1 + P3Un-2
Los resultados de este cálculo se muestran en forma de diagrama en la figura 7.2.5. La suma de los subíndices en cada término de la parte derecha de la sumatoria es siempre mayor en una unidad que el subíndice de Q. .En el ejemplo mostrado en el diagrama, existen 3 pulsos de entrada y 6 términos d1ferentes de cero en la función respuesta de pulso U, luego existen 3 + 6- 1 = 8 términos diferentes de cero en la función de salida Q. Los valores de la salida para los tres periodos finales son:
+ P2Us + P3U4 Q7=P2U6 + P3Us
Q6=P¡U6
Qs =P3U6
Q" y Pm se expresan en dimensiones diferentes y U tiene dimensiones que son la relación de las dimensiones de y p m para hacer a (7 .2.15) dimensionalmente consistente. Por ejemplo, si Pm está medida en pulgadas y Q en cfs, entonces las dimensiones de U son cfs/pulg, que puede interpretarse como cfs de salida por cada pulg de entrada.
º"
11
7.3 EL HIDROGRAMA UNITARIO El hidrograma unitario es la función respuesta de pulso unitario para un sistema hidrológico lineal. Propuesto por primera vez por Sherman (1932), el hidrograma unitario (conocido originalmente como gráfica unitaria) de una cuenca, se define como el hidrograma de escorrentía directa (DRH, por sus siglas en inglés) resultante de 1 pulg (usualmente tomado como 1 cm en unidades del SI) de exceso de lluvia generado uniformemente sobre el área de drenaje a una tasa constante a lo largo de una duración efectiva. Originalmente, Sherman utilizó la palabra "unitario" para denotar un tiempo unitario, pero desde entonces se ha interpretado frecuentemente como una profundidad unitaria de exceso de lluvia. Sherman clasificó la escorrentía en escorrentía superficial y escorrentía de agua subterránea, y definió el hidrograma unitario para ser usado únicamente con la escorrentía superficial. Los métodos para calcular el exceso de lluvia y la escorrentía directa a partir de la información observada de lluvia y de caudal se presentan en el capítulo 5. . . El hi.drograma unitario es un modelo lineal simple que puede usarse para deducu el h1drograma resultante de cualquier cantidad de exceso de lluvia. Las siguientes suposiciones básicas son inherentes en este modelo:
l.
HIDROGRAMA UNITARIO
El exceso de precipitación tiene una intensidad constante dentro de la duración efectiva.
5.
221
El exceso de precipitación está uniformemente distribuido a través de toda el área de drenaje. El tiempo base de DRH (la duración de la escorrentía directa) resultante de un exceso de lluvia de una duración dada es constante. Las ordenadas de todos los DRH de una base de tiempo común son directamente proporcionales a la cantidad total de escorrentía directa representada por cada hidrograma. Para una cuenca dada, el hidrograma resultante de un exceso de lluvia dado refleja las c"racterísticas no cambiantes de la cuenca.
En condiciones naturales, dichas suposiciones no se satisfacen en forma perfecta. Sin embargo, cuando la información hidrológica que va a utilizarse se selecciona cuidadosamente de tal manera que llegue a cumplir en forma aproximada dichas suposiciones, los resultados obtenidos por el modelo de hidrograma unitario generalmente son aceptables para propósitos prácticos (Heerdegen, 1974). A pesar de que el modelo fue desarrollado originalmente para cuencas grandes, se ha encontrado que puede aplicarse a cuencas pequeñas desde menos de 0.5 hectáreas hasta 25 km 2 (aproximadamente 1 acre por 1O mi 2 ). En algunos casos no puede usarse el modelo debido a que una o más de las suposiciones no son satisfechas ni siquiera en forma aproximada. Por ejemplo, se considera que el modelo es inaplicable a la escorrentía originada por la nieve o el hielo. Con relación a la suposición 1), las tormentas seleccionadas para el análisis deben ser de corta duración, debido a que es más probable que éstas produzcan una tasa de exceso de lluvia intensa y aproximadamente constante, arrojando un hidrograma bien definido, con pico único y de tiempo base corto. Con relación a la suposición 2), el hidrograma unitario puede volverse inaplicable cuando el área de drenaje es demasiado grande para ser cubierta por una lluvia distribuida aproximadamente en forma uniforme. En tales casos, el área debe dividirse y cada subárea analizarse para tormentas que cubran toda la subárea. Con relación a la suposición 3), el tiempo base del hidrograma de escorrentía directa (DRH) es generalmente incierto, pero depende del método de separación de flujo base (véase la sección 5.2). Usualmente el tiempo base es corto si se considera que la escorrentía directa solamente incluye la escorrentía superficial, pero es largo si la escorrentía directa también incluye la escorrentía subsuperficial. Con relación a la suposición 4 ), los principios de superposición y proporcionalidad se suponen válidos, de tal manera que las ordenadas Qn del DRH pueden calcularse utilizando la ecuación (7 .2.15). La información hidrológica real no es verdaderamente lineal; cuando se aplica (7 .2.15) a ésta, el hidro grama resultante es solamente una aproximación, que es satisfactoria en muchos casos prácticos. Con relación a la suposición 5), el hidrograma unitario se considera único para una cuenca dada e invariable con respecto al tiempo. Este es el principio de invarianza temporal, el cual, junto con los principios de superposición y proporcionalidad es fundamental para el modelo del hidrograma unitario. Los hidrogramas unitarios se aplican solamente cuando las condiciones del canal permanecen sin cambio y las cuencas no tienen almacenamientos apreciables. Esta condición se viola cuando el área de drenaje contiene muchos embalses, o cuando las crecientes fluyen por las planicies de inundación, produciendo así considerable almacenamiento. Los principios del análisis de sistemas lineales forman la base del método del hidro grama unitario. La tabla 7 .3.1 muestra una comparación entre los conceptos de
222
HIDROLOGÍA APLICADA
223
HIDROGRAMA UNITARIO
TABLA 7.3.1
Comparación de los conceptos de sistema lineal e hidrograma unitario Hidrograma unitario
Sistema lineal 1.
l.
Entrada
Exceso de lluvia Pm
,---t---,
Salida
Sistema
Qn
i'-------"'1
~ _______
n ~/vi
Qn = L P,, Un m=
m+
sistema lineal y los correspondientes conceptos de hidrograma unitario. En hidrología, la función respuesta de paso es comúnmente denominada el hidrograma S y la función respuesta de impulso se denomina el hidrograma unitario instantáneo, el cual es la respuesta hipotética a una profundidad unitaria de exceso de precipitación depositada instantáneamente en toda la superficie de la cuenca.
1
~
1
__ - - ___ ,
.;1
....
7.4 DEDUCCIÓN DEL HIDROGRAMA UNITARIO Escorrentía directa Qn
La ecuación de convolución discreta (7 .2.15) permite el cálculo de la escorrentía directa Qn dado un exceso de lluvia Pm y el hidrograma unitario Un- n~+l
2.
2.
n:SM
/Entrada de pulso unitario
, ..,..---Hidrograma unitario de ~ duración !11
'
n
n
3.
3. g(t)
r (Entrada de paso unitario
T---- ~~unción respue~ta
1 pulg/h o cm/h de exceso
g(l)
de lluvia
(
de
(7.4.1)
PmUn-m+ 1
+-
Hidrograma S
El proceso inverso, llamado deconvolución, es necesario para deducir un hidrograma unitario dada una información de P"' y Qn. Supóngase que existen M pulsos de exceso de lluvia y N pulsos de escorrentía directa en la tormenta considerada; luego pueden escribirse N ecuaciones para Qn, n = 1, 2, ... , N, en términos de N- M+ 1 valores desconocidos del hidrograma unitario, tal como se muestra en la tabla 7.4.1. Si Qn y P m son conocidos y se requiere Un- m+l, el conjunto de ecuaciones en la tabla 7.4.1 está sohredeterminado, debido a que existen más ecuaciones (N) que incógnitas (N- M + 1).
paso umtano
1
o
o 4.
Ejemplo 7.4.1 Halle el hidrograma unitario de media hora utilizando el hietograma de exceso de lluvia y el hidrograma de escorrentía directa dados en la tabla 7.4.2 (éstos se dedujeron en el ejemplo 5.3.1 ).
4. u(!)
L
m=!
Un
, /Función respuesta de \ pulso discreto
Qn =
1 pulg o cm de exceso de lluvia
¿
Impulso unitario
u(!)
1 pulg o cm de exceso de lluvia instantáneo /
/Función impulsorespuesta
Solución. El hietograma de exceso de lluvia y el hidrograma de escorrentía directa de la tabla 7 .4.2 tienen respectivamente M = 3 y N = 1 1 pulsos. Por tanto, el número de pulsos en el hidrograma unitario es N- M+ 1 = JI - 3 + 1 = 9. Sustituyendo las ordenadas de los hietograma e hidrograma mencionados en las ecuaciones de la tabla 7 .4.1 se lle-
Hidro grama unitario instantáneo
o
o
5. El sistema parte del reposo.
6. El sistema es lineal.
7. La función de transferencia tiene coeficientes constantes.
5.
dS = !(!) _ Q(t) dt
TABLA 7.4.1
n-s;M
Conjunto de ecuaciones para la convolución de tiempo discreto ·Qn
=
L P mUn-m+ m=l
n= 1,2, ••• ,N 6.
7. 8.
8. El sistema obedece continuidad.
El hidrograma de escorrentía directa empieza en cero. Toda la lluvia previa es absorbida por la cuenca (abstracción inicial o pérdida). El hidrograma de escorrentía directa se calcula utilizando principios de proporcionalidad y superposición. La respuesta de la cuenca es invariante en el tiempo, sin cambios de una tormenta a otra. Las profundidades totales de exceso de lluvia y escorrentía directa son iguales.
In Qn=Im P,,
Q¡ Qz
Q3
=P 1U 1 =PzU¡ +P¡Uz =P3U1 +PzUz
o
+ +
+P¡UM +P 2UM +P¡UM+l
o + o o + o
+ +
+ +
=PMU1 +PM-1U2 QM +PMUz QM+l QN-1 QN
+P1U3
o + o o + o
+ ...
+PMUN-M +PM-!UN-M+l + PMUN-M+l
+ ... +
o
1 ;
222
HIDROLOGÍA APLICADA
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HIDROGRAMA UNITARIO
TABLA 7.3.1
Comparación de los conceptos de sistema lineal e hidrograma unitario Hidrograma unitario
Sistema lineal 1.
l.
Entrada
Exceso de lluvia Pm
,---t---,
Salida
Sistema
Qn
i'-------"'1
~ _______
n ~/vi
Qn = L P,, Un m=
m+
sistema lineal y los correspondientes conceptos de hidrograma unitario. En hidrología, la función respuesta de paso es comúnmente denominada el hidrograma S y la función respuesta de impulso se denomina el hidrograma unitario instantáneo, el cual es la respuesta hipotética a una profundidad unitaria de exceso de precipitación depositada instantáneamente en toda la superficie de la cuenca.
1
~
1
__ - - ___ ,
.;1
....
7.4 DEDUCCIÓN DEL HIDROGRAMA UNITARIO Escorrentía directa Qn
La ecuación de convolución discreta (7 .2.15) permite el cálculo de la escorrentía directa Qn dado un exceso de lluvia Pm y el hidrograma unitario Un- n~+l
2.
2.
n:SM
/Entrada de pulso unitario
, ..,..---Hidrograma unitario de ~ duración !11
'
n
n
3.
3. g(t)
r (Entrada de paso unitario
T---- ~~unción respue~ta
1 pulg/h o cm/h de exceso
g(l)
de lluvia
(
de
(7.4.1)
PmUn-m+ 1
+-
Hidrograma S
El proceso inverso, llamado deconvolución, es necesario para deducir un hidrograma unitario dada una información de P"' y Qn. Supóngase que existen M pulsos de exceso de lluvia y N pulsos de escorrentía directa en la tormenta considerada; luego pueden escribirse N ecuaciones para Qn, n = 1, 2, ... , N, en términos de N- M+ 1 valores desconocidos del hidrograma unitario, tal como se muestra en la tabla 7.4.1. Si Qn y P m son conocidos y se requiere Un- m+l, el conjunto de ecuaciones en la tabla 7.4.1 está sohredeterminado, debido a que existen más ecuaciones (N) que incógnitas (N- M + 1).
paso umtano
1
o
o 4.
Ejemplo 7.4.1 Halle el hidrograma unitario de media hora utilizando el hietograma de exceso de lluvia y el hidrograma de escorrentía directa dados en la tabla 7.4.2 (éstos se dedujeron en el ejemplo 5.3.1 ).
4. u(!)
L
m=!
Un
, /Función respuesta de \ pulso discreto
Qn =
1 pulg o cm de exceso de lluvia
¿
Impulso unitario
u(!)
1 pulg o cm de exceso de lluvia instantáneo /
/Función impulsorespuesta
Solución. El hietograma de exceso de lluvia y el hidrograma de escorrentía directa de la tabla 7 .4.2 tienen respectivamente M = 3 y N = 1 1 pulsos. Por tanto, el número de pulsos en el hidrograma unitario es N- M+ 1 = JI - 3 + 1 = 9. Sustituyendo las ordenadas de los hietograma e hidrograma mencionados en las ecuaciones de la tabla 7 .4.1 se lle-
Hidro grama unitario instantáneo
o
o
5. El sistema parte del reposo.
6. El sistema es lineal.
7. La función de transferencia tiene coeficientes constantes.
5.
dS = !(!) _ Q(t) dt
TABLA 7.4.1
n-s;M
Conjunto de ecuaciones para la convolución de tiempo discreto ·Qn
=
L P mUn-m+ m=l
n= 1,2, ••• ,N 6.
7. 8.
8. El sistema obedece continuidad.
El hidrograma de escorrentía directa empieza en cero. Toda la lluvia previa es absorbida por la cuenca (abstracción inicial o pérdida). El hidrograma de escorrentía directa se calcula utilizando principios de proporcionalidad y superposición. La respuesta de la cuenca es invariante en el tiempo, sin cambios de una tormenta a otra. Las profundidades totales de exceso de lluvia y escorrentía directa son iguales.
In Qn=Im P,,
Q¡ Qz
Q3
=P 1U 1 =PzU¡ +P¡Uz =P3U1 +PzUz
o
+ +
+P¡UM +P 2UM +P¡UM+l
o + o o + o
+ +
+ +
=PMU1 +PM-1U2 QM +PMUz QM+l QN-1 QN
+P1U3
o + o o + o
+ ...
+PMUN-M +PM-!UN-M+l + PMUN-M+l
+ ... +
o
1 ;
224
HIDROLOGÍA APLICADA
ga a un conjunto de 11 ecuaciones simultáneas. Estas ecuaciones pueden resolverse por eliminación gausiana para dar las ordenadas del hidrograma unitario. La eliminación gausiana consiste en aislar cada una de las variables desconocidas y resolverlas sucesivamente. En este caso las ecuaciones pueden resolverse desde arriba hacia abajo, trabajando solamente con las ecuaciones que contienen el primer pulso P1, comenzando con
U¡
=
Q¡ P¡
428
u3
TABLA 7.4.3
Hidrograma unitario deducido en el ejemplo 7.4.1 11
Un (cfs/pulg)
1.06
1,923 - 1.93
P¡
404
X
1,079 cfs/pulg
1.06
Q3- P3U1 - PzUz =
P¡ 5,297 - 1.81
404- 1.93
X
1,079
X
=
1.06
2.343 cfs/pulg
y de manera similar para las demás ordenadas 9,131 - 1.81
1,079- 1.93
X
X
2,343
= 2,506 cfs/pulg
1.06 10,625 - 1.81
X
2,343 - 1.93
2,506
X
1.06 7,834- 1.81
2,506- 1.93
X
X
1,460
1,460- 1.93
X
X
453
= 381 cfs/pulg
1.06 Us =
1,846- 1.81
X
453- 1.93
X
381
X
274
1.06 1,402- 1.81
X
381 - 1.93
= 1,460 cfs/pu1g = 453 cfs/pulg
1.06 3,921 - 1.81
1
404
2
4
5
1.079 2.343 2,506 1,460
6
7
453
381
9
274
173
404 cfs/pulg
- -
Qz- PzU¡ Uz =
225
HIDROGRAMA UNITARIO
= 274 cfs/pulg
1.06
173 cfs/pulg
1
El hidrograma unitario deducido se muestra en la tabla 7 .4.3. Otras soluciones pueden obtenerse en forma similar utilizando otros pulsos de lluvia. La profundidad de escorrentía directa en el hidrograma unitario puede comprobarse y se encontraría que es igual a 1.00 pulg tal como se requiere. En casos en los que el hidrograma unitario deducido no cumpla este requérimiento, las ordenadas deben ajustarse proporcionalmente de tal manera que la escorrentía directa sea 1 pulg (o 1 cm).
En general los hidrogramas unitarios obtenidos mediante la solución del conjunto de ecuaciones en la tabla 7 .4.1 para diferentes pulsos de lluvia no son idénticos. Para obtener una solución única puede utilizarse un método de aproximaciones sucesims (Collins, 1939), el cual involucra cuatro pasos: 1) suponer un hidro grama unitario y aplicarlo a todos los bloques de exceso de lluvia del hietograma con excepción del más grande; 2) restar el hidrograma resultante del DRH real y reducir el residuo a términos del hidrograma unitario; 3) calcular un promedio ponderado del hidrograma unitario supuesto y el hidrograma unitario residual, y usarlo como una aproximación revisada para la siguiente prueba; 4) repetir los tres pasos previos hasta que el hidrograma unitario residual no difiera por más de una cantidad permisible del hidrograma supuesto. El hidrograma unitario resultante puede mostrar algunas variaciones erráticas e inclusive puede tener valores negativos. Si esto ocurre, puede ajustarse una curva suave a las ordenadas para producir una aproximación al hidrograma unitario. La variación errática en el hidrograma unitario puede deberse a la no linealidad en la relación lluvia efectiva-escorrentía directa para la cue~ca, y aun si esta relación es verdaderamente lineal, la información observada puede no reflejar este hecho adecuadamente. Además, las tormentas reales no son siempre uniformes en el tiempo y en el espacio, tal como se requiere en la teoría, aun si el hietograma de exceso de precipitación se divide en pulsos de corta duración.
TABLA 7.4.2
Hietograma de exceso de lluvia e hidrograma de escorrentía directa para el ejemplo 7.4.1 Tiempo (1/2 h)
1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11
Exceso de lluvia (pulg) 1.06 1.93 1.81
Escorrentía directa ~cfs)
428 1,923 5,297 9,131 10,625 7,834 3,921 1,846 1,402 830 313
7.5 APLICACIÓN DEL HIDROGRAMA UNITARIO Una vez que se ha determinado el hidrograma unitario, puede utilizarse para encontrar los hidrogramas de escorrentía directa y de caudal. Se selecciona un hietograma de lluvia, se estiman las abstracciones y se calcula el hietograma de exceso de lluvia tal como se describe en la sección 5.4. El intervalo de tiempo utilizado para definir las ordenadas del hietograma de exceso de lluvia debe ser el mismo que el especificado para el hidrograma unitario. La ecuación discreta de convolución nS,M
L
m=!
PmUn-m+!
(7.5.1)
224
HIDROLOGÍA APLICADA
ga a un conjunto de 11 ecuaciones simultáneas. Estas ecuaciones pueden resolverse por eliminación gausiana para dar las ordenadas del hidrograma unitario. La eliminación gausiana consiste en aislar cada una de las variables desconocidas y resolverlas sucesivamente. En este caso las ecuaciones pueden resolverse desde arriba hacia abajo, trabajando solamente con las ecuaciones que contienen el primer pulso P1, comenzando con
U¡
=
Q¡ P¡
428
u3
TABLA 7.4.3
Hidrograma unitario deducido en el ejemplo 7.4.1 11
Un (cfs/pulg)
1.06
1,923 - 1.93
P¡
404
X
1,079 cfs/pulg
1.06
Q3- P3U1 - PzUz =
P¡ 5,297 - 1.81
404- 1.93
X
1,079
X
=
1.06
2.343 cfs/pulg
y de manera similar para las demás ordenadas 9,131 - 1.81
1,079- 1.93
X
X
2,343
= 2,506 cfs/pulg
1.06 10,625 - 1.81
X
2,343 - 1.93
2,506
X
1.06 7,834- 1.81
2,506- 1.93
X
X
1,460
1,460- 1.93
X
X
453
= 381 cfs/pulg
1.06 Us =
1,846- 1.81
X
453- 1.93
X
381
X
274
1.06 1,402- 1.81
X
381 - 1.93
= 1,460 cfs/pu1g = 453 cfs/pulg
1.06 3,921 - 1.81
1
404
2
4
5
1.079 2.343 2,506 1,460
6
7
453
381
9
274
173
404 cfs/pulg
- -
Qz- PzU¡ Uz =
225
HIDROGRAMA UNITARIO
= 274 cfs/pulg
1.06
173 cfs/pulg
1
El hidrograma unitario deducido se muestra en la tabla 7 .4.3. Otras soluciones pueden obtenerse en forma similar utilizando otros pulsos de lluvia. La profundidad de escorrentía directa en el hidrograma unitario puede comprobarse y se encontraría que es igual a 1.00 pulg tal como se requiere. En casos en los que el hidrograma unitario deducido no cumpla este requérimiento, las ordenadas deben ajustarse proporcionalmente de tal manera que la escorrentía directa sea 1 pulg (o 1 cm).
En general los hidrogramas unitarios obtenidos mediante la solución del conjunto de ecuaciones en la tabla 7 .4.1 para diferentes pulsos de lluvia no son idénticos. Para obtener una solución única puede utilizarse un método de aproximaciones sucesims (Collins, 1939), el cual involucra cuatro pasos: 1) suponer un hidro grama unitario y aplicarlo a todos los bloques de exceso de lluvia del hietograma con excepción del más grande; 2) restar el hidrograma resultante del DRH real y reducir el residuo a términos del hidrograma unitario; 3) calcular un promedio ponderado del hidrograma unitario supuesto y el hidrograma unitario residual, y usarlo como una aproximación revisada para la siguiente prueba; 4) repetir los tres pasos previos hasta que el hidrograma unitario residual no difiera por más de una cantidad permisible del hidrograma supuesto. El hidrograma unitario resultante puede mostrar algunas variaciones erráticas e inclusive puede tener valores negativos. Si esto ocurre, puede ajustarse una curva suave a las ordenadas para producir una aproximación al hidrograma unitario. La variación errática en el hidrograma unitario puede deberse a la no linealidad en la relación lluvia efectiva-escorrentía directa para la cue~ca, y aun si esta relación es verdaderamente lineal, la información observada puede no reflejar este hecho adecuadamente. Además, las tormentas reales no son siempre uniformes en el tiempo y en el espacio, tal como se requiere en la teoría, aun si el hietograma de exceso de precipitación se divide en pulsos de corta duración.
TABLA 7.4.2
Hietograma de exceso de lluvia e hidrograma de escorrentía directa para el ejemplo 7.4.1 Tiempo (1/2 h)
1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11
Exceso de lluvia (pulg) 1.06 1.93 1.81
Escorrentía directa ~cfs)
428 1,923 5,297 9,131 10,625 7,834 3,921 1,846 1,402 830 313
7.5 APLICACIÓN DEL HIDROGRAMA UNITARIO Una vez que se ha determinado el hidrograma unitario, puede utilizarse para encontrar los hidrogramas de escorrentía directa y de caudal. Se selecciona un hietograma de lluvia, se estiman las abstracciones y se calcula el hietograma de exceso de lluvia tal como se describe en la sección 5.4. El intervalo de tiempo utilizado para definir las ordenadas del hietograma de exceso de lluvia debe ser el mismo que el especificado para el hidrograma unitario. La ecuación discreta de convolución nS,M
L
m=!
PmUn-m+!
(7.5.1)
226
HIDROLOGÍA APLICADA
puede utilizarse para encontrar el hidrograma de escorrentía directa. Sumando un flujo base estimado al hidrograma de escorrentía directa se obtiene el hidrograma de caudal. Ejemplo 7.5.1 Calcule el hidrograma de caudal para una tormenta de 6 pulg de exceso de lluvia, con 2 pulg en la primera media hora, 3 pulg en la segunda media hora y 1 pulg en la tercera media hora. Utilice el hidrograma unitario de media hora calculado en el ejemplo 7.4.1 y suponga que el flujo base es constante e igual a 500 cfs a través de la creciente. Compruebe que la profundidad total de escorrentía directa es igual al total de exceso de precipitación (área de la cuenca= 7.03 mi').
227
HIDROGRAMA UNITARIO
tal como se muestra en la tabla. Para el tercer intervalo de tiempo,
Q3=P3U1 = 1.00
+ X
P2U2
+ P¡U3
404 + 3.00
X
1,079 +2.00
= 8,327 cfs Los cálculos paran= 4, 5, ... , se siguen en la misma forma tal como se muestra enlatabla 7.5 .1, y gráficamente en la figura 7.5 .l. El volumen total de escorrentía directa es
n=l
= 54,438 x 0.5 cfs. h = 54,438
X
0.5 pies3. h
Vd
+ P1U2 X
S
y la profundidad correspondiente de escorrentía directa se encuentra dividiendo por el área de la cuenca A= 7.03 mi 2 = 7.03 x 5,280 2 pies 2 = 1.96 x 108 pies 2 :
Para el segundo intervalo de tiempo,
= 3.00
3,60h0 1
= 9.80 x 107 pies 3
404
= 808 cfs
Q2=P2Ut
X
S
Q1 =P 1 U 1 X
2,343
= 404 + 3,237 + 4,686
Solución. El cálculo del hidrograma de escorrentía directa por convolución se muestra en la tabla 7.5 .l. Las ordenadas del hidro grama unitario de la tabla 7 .4.3 están colocadas en la parte superior de la tabla y las profundidades de exceso de precipitación están colocadas hacia abajo en el lado izquierdo. El tiempo está dividido en intervalos de !:it = 0.5 h. Para el primer intervalo de tiempo, 11 = 1 en la ecuación (7.5.1 ). y
=2.00
X
rd=A
404 + 2.00
X
1,079 9.80
= 1,212 + 2,158
X
10 7
.
= l. 96 X 1Q8 pleS
= 3,370 cfs =0.500 pies TABLA 7.5.1
=6.00 pulg
Cálculo del hidrograma de escorrentía directa y el hidrograma de caudales para el ejemplo 7.5.1
14
Caudal total 12
Ordenadas de hidrograma unitario (cfs/pulg)
Exceso de Tiempo precipitac. (pulg) (~ -h) n=I
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2,00 3,00 1,00
1 2 404 1,079 808 1,212 404
* Flujo base = 500 cfs
2,158 3,237 1,079
3 4 2,343 2,506
5 1,460
4,686 7,029 5,012 2,343 7,518 2,920 2,506 4,380 1,460
6 453
906 1,359 453
7 381
762 1,143 381
8 274
548 822 274
9 173
Escorrentía directa (cfs)
808 3,370 8,327 13,120 12,781 7,792 3,581 2,144 1,549 346 519 793 173 173 Total 54,438
10
Caudal* (cfs) 1.308 3,870 8,827 13.620 13,281 8,292 4,081 2,644 2,049 1,293 673
"' '§ ~
,¡§
3 pulg de exceso de lluvia
~ "¡;¡
6
""':::>
4
u"'
2 pulg de exceso de lluvia
2
o o
4
2
5
Tiempo (h) FIGURA 7.5.1 Hidrograma de caudal para una tormenta con pulsos de exceso de lluvia de duración de 0.5 h y magnitud de 2 pulg, 3 pulg y 1 pulg, respectivamente. Caudal tótal = flujo base + escorrentía directa (ejemplo 7.5.1).
226
HIDROLOGÍA APLICADA
puede utilizarse para encontrar el hidrograma de escorrentía directa. Sumando un flujo base estimado al hidrograma de escorrentía directa se obtiene el hidrograma de caudal. Ejemplo 7.5.1 Calcule el hidrograma de caudal para una tormenta de 6 pulg de exceso de lluvia, con 2 pulg en la primera media hora, 3 pulg en la segunda media hora y 1 pulg en la tercera media hora. Utilice el hidrograma unitario de media hora calculado en el ejemplo 7.4.1 y suponga que el flujo base es constante e igual a 500 cfs a través de la creciente. Compruebe que la profundidad total de escorrentía directa es igual al total de exceso de precipitación (área de la cuenca= 7.03 mi').
227
HIDROGRAMA UNITARIO
tal como se muestra en la tabla. Para el tercer intervalo de tiempo,
Q3=P3U1 = 1.00
+ X
P2U2
+ P¡U3
404 + 3.00
X
1,079 +2.00
= 8,327 cfs Los cálculos paran= 4, 5, ... , se siguen en la misma forma tal como se muestra enlatabla 7.5 .1, y gráficamente en la figura 7.5 .l. El volumen total de escorrentía directa es
n=l
= 54,438 x 0.5 cfs. h = 54,438
X
0.5 pies3. h
Vd
+ P1U2 X
S
y la profundidad correspondiente de escorrentía directa se encuentra dividiendo por el área de la cuenca A= 7.03 mi 2 = 7.03 x 5,280 2 pies 2 = 1.96 x 108 pies 2 :
Para el segundo intervalo de tiempo,
= 3.00
3,60h0 1
= 9.80 x 107 pies 3
404
= 808 cfs
Q2=P2Ut
X
S
Q1 =P 1 U 1 X
2,343
= 404 + 3,237 + 4,686
Solución. El cálculo del hidrograma de escorrentía directa por convolución se muestra en la tabla 7.5 .l. Las ordenadas del hidro grama unitario de la tabla 7 .4.3 están colocadas en la parte superior de la tabla y las profundidades de exceso de precipitación están colocadas hacia abajo en el lado izquierdo. El tiempo está dividido en intervalos de !:it = 0.5 h. Para el primer intervalo de tiempo, 11 = 1 en la ecuación (7.5.1 ). y
=2.00
X
rd=A
404 + 2.00
X
1,079 9.80
= 1,212 + 2,158
X
10 7
.
= l. 96 X 1Q8 pleS
= 3,370 cfs =0.500 pies TABLA 7.5.1
=6.00 pulg
Cálculo del hidrograma de escorrentía directa y el hidrograma de caudales para el ejemplo 7.5.1
14
Caudal total 12
Ordenadas de hidrograma unitario (cfs/pulg)
Exceso de Tiempo precipitac. (pulg) (~ -h) n=I
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2,00 3,00 1,00
1 2 404 1,079 808 1,212 404
* Flujo base = 500 cfs
2,158 3,237 1,079
3 4 2,343 2,506
5 1,460
4,686 7,029 5,012 2,343 7,518 2,920 2,506 4,380 1,460
6 453
906 1,359 453
7 381
762 1,143 381
8 274
548 822 274
9 173
Escorrentía directa (cfs)
808 3,370 8,327 13,120 12,781 7,792 3,581 2,144 1,549 346 519 793 173 173 Total 54,438
10
Caudal* (cfs) 1.308 3,870 8,827 13.620 13,281 8,292 4,081 2,644 2,049 1,293 673
"' '§ ~
,¡§
3 pulg de exceso de lluvia
~ "¡;¡
6
""':::>
4
u"'
2 pulg de exceso de lluvia
2
o o
4
2
5
Tiempo (h) FIGURA 7.5.1 Hidrograma de caudal para una tormenta con pulsos de exceso de lluvia de duración de 0.5 h y magnitud de 2 pulg, 3 pulg y 1 pulg, respectivamente. Caudal tótal = flujo base + escorrentía directa (ejemplo 7.5.1).
228
HIDROLOGÍA APLICADA
229
HIDROGRAMA UNTT ARTO
1
la cual es igual a la profundidad total de exceso de precipitación tal como se requiere. El hidrograma de caudal se encuentra sumando los 500 cfs del flujo base al hidrograma de escorrentía directa, tal como se muestra en la parte derecha de la tabla 7.5.1 y gráficamente en la figura 7.5.1.
7.6 CÁLCULO MATRICIAL DEL HIDROGRAMA UNITARIO La deconvolución puede utilizarse para deducir el hidrogr11.ma unitario a partir de un hidrograma multipico complejo, pero la posibilidad de errores o la no linealidad en la información es mayor que aquella para un hidrograma de pico único. Pueden utilizarse ajustes de mínimos cuadrados o algún método de optimización para minimizar el error en el ajuste del hidrograma de escorrentía directa. La aplicación de estas técnicas se facilita expresando la ecuación (7 .4.1) por medio de matrices:
.o o .o o .o o .o o . o o ... o o
PM PM-J PM-2 .
0
PM
o o o o
PM-J·
o o
. P1 O . P 2 P¡
.o o
Q¡ º2 º3
[U¡V3 1 =
~N-M+!
QM
(7 .6.1)
QM+J
.O O
QN-J
.. o o
La solución por regresión lineal produce el error de mínimos cuadrados entre [Q] y [Q] (Snyder, 1955). Para resolver la ecuación (7 .6.2) para [U], se reduce la matriz rectangular [P] a una matriz cuadrada [Z] multiplicando ambos lados por la matriz transpuesta de [P], denotada por [P]T, la cual se forma intercambiando las filas y columnas de [P]. Luego, ambos lados se multiplican por la matriz inversa [Z]- 1 de la matriz [Z], para dar
(7 .6.4) donde [Z] = [Pf[P]. Sin embargo, no es fácil determinar la solución utilizando este método, porque los diversos valores repetidos y ceros en [P] generan dificultades en la inversión de [Z] (Bree, 1978). Newton y Vinyard ( 1967) y Singh ( 1976) propusieron algunos métodos alternativos para obtener la solución de mínimos cuadrados, pero éstos no aseguraban que todas las ordenadas del hidrograma unitario fueran no negativas.
Solución por programación lineal
u2
.O O
Solución por regresión lineal
QN
La programación lineal es un método alternativo para resolve! [U] en la ecuación (7.6.2) que minimiza el valor absoluto del error entre [Q] y [Q] y también asegura que todos los valores de [U] sean no negativos (Eagleson, Mejía y March, 1966; Deininger, 1969; Singh, 1976; Mays y Coles, 1980). El modelo general de programación lineal se establece en la forma de una .fimción objetivo lineal que debe ser optimizada (maximizada o minimizada), sujeta a unas ecuaciones de constricción (restricciones) lineales. La programación lineal proporciona un método para comparar todas las soluciones posibles que satisfagan las constricciones y obtener la solución que optimiza la función objetivo (Hillier y Lieberman, 1974; Bradley, Hax y Magnanti, 1977). Ejemplo 7.6.1 Desarrolle un programa lineal para resolver la ecuación (7.6.2) para el hidro grama unitario dados el ERH Pm, m = 1, 2, ... , M y el DRH Q11 , n = 1, 2, ... , N.
o [P][U]
=
[Q]
(7.6.2)
Dados [P] y [Q], usualmente no existe solución para [U] que satisfag~ todas las N ecuaciones (7.6.1). Suponga que se da una solución [U]que arroja un [Q] estimado del DRH como
[P][U]
=
(7.6.3a)
[(2]
Solución. El objetivo es minimizar ~ ~=¡lE ni donde
En
n
= 1, ... ,N
(7.6.3b)
Qn-
Q".
La programación
lineal requiere que todas las variables sean no negativas; para llevar a cabo esta tarea, E, se parte en dos componentes, una desviación positim 8, y una desviación negativa {3,. En el caso donde En > O, es decir, cuando la escorrentía directa observada Q11 es mayor que el valor calculado Qn, ()n = En y f3n = O; donde En O, es decir, cuando la escorrentía directa observada Q11 es mayor que el valor calculado Qn, ()n = En y f3n = O; donde En F 5.5tR).
230
HIDROLOGÍA APLICADA
:--,_
\
\
DRH estimado
\J
º"
\
~n =O
\
\ \ ~
Tiempo
FIGURA 7.6.1
La desviación En entre hidrogramas de escorrentía directa observados y estimados es la suma de una desviación positiva On y una desviación negativa f3n para solución por programación lineal.
Las restricciones (7.6.5) pueden escribirse como (7.6.7) o, expandiendo como en la ecuación (7.6.3h), n= 1, ... ,N
(7.6.8)
Para asegurar que el hidrograma unitario representa una unidad de escorrentía directa se debe añadir otra ecuación de restricción:
231
HIDROGRAMA UNITARIO
(1967) tuvieron en cuenta los errores en la tasa de pérdida ajustando iterativamente las ordenadas del ERH lo mismo que aquellas del hidrograma unitario con el fin de minimizar el error en el DRH. Mays y Taur (1982) utilizaron programación no lineal para determinar simultáneamente la tasa de pérdida para cada periodo de tormenta y las ordenadas del hidrograma unitario compuesto para un evento multitormenta. Unver y Mays (1984) extendieron este método de programación no lineal para determinar los parámetros óptimos de las funciones de tasa de pérdida y el hidrograma unitario compuesto.
7.7 HIDROGRAMA UNITARIO SINTÉTICO El hidrograma unitario desarrollado a partir de la información de lluvia y de caudal en una cuenca se aplica solamente para la cuenca y para el punto de la corriente donde se midió la información de caudales. Los procedimientos de hidrograma unitario sintético se utilizan para desarrollar hidrogramas unitarios para otros puntos en la corriente dentro de la misma cuenca o para cuencas adyacentes de carácter similar. Existen tres tipos de hidro gramas unitarios sintéticos: 1) aquellos que relacionan las características del hidrograma (tasa de flujo pico, flujo base, etc.) con las características de la cuenca (Snyder, 1938; Gray, 1961), 2) aquellos basados en hidrogramas unitarios adimensionales (Soil Conservation Service, 1972), y 3) aquellos basados en modelos de almacenamiento en la cuenca (Clark, 1943). Los tipos 1) y 2) se describen aquí y el tipo 3) en el capítulo 8.
Hidrograma unitario sintético de Snyder (7.6.9) m=i
donde K es una constante que convierte las unidades del ERH en las unidades del DRH. Las ecuaciones (7.6.6) a (7.6.9) constituyen un programa lineal con variables de decisión (o incógnitas) Um, ()n y f3n que pueden resolverse utilizandoprogramas estándares de programación lineal para producir el hidrograma unitario. La programación lineal requiere que todas las variables de decisión sean no negativas, asegurando así que las ordenadas del hidrograma unitario sean no negativas.
En un estudio de cuencas localizadas principalmente en los montes Apalaches de los Estados Unidos y con tamaños que variaban desde cerca de 1O hasta 10,000 mi 2 (30 a 30,000 km 2 ), Snyder (1938) encontró relaciones sintéticas para algunas características de un hidrograma unitario estándar [véase la figura 7.7.la]. Algunas rela-
1+-- 1R
"' ,¡¡¡ F 5.5tR).
232
HIDROLOGÍA APLICADA
ciones del mismo tipo fueron encontradas más tarde (U.S. Army Corps of Engineers, 1959). Estas relaciones, en una forma modificada, están dadas más adelante. A partir de las relaciones, pueden calcularse cinco características de un hidrograma unitario requerido [véase la figura 7.7.lh] para una duración de exceso de lluvia dada: el caudal pico por unidad de área de la cuenca, qpR• el retardo de cuenca, tpR (diferencia de tiempo entre el centroide del hietograma de exceso de lluvia y el pico del hidrograma unitario), el tiempo base th, y los anchos W (en unidades de tiempo) del hidrograma unitario al 50 y 75% del caudal pico. Utilizando estas características puede dibujarse el hidrograma unitario requerido. Las variables se ilustran en la figura 7. 7 .l. Snyder definió el hidrograma unitario estándar como aquel· cuya duración de lluvia t,. está relacionada con el retardo de cuenca tr por
3.
(7.7.5) 4.
Para un hidrograma unitario estándar encontró que:
l.
Cuando una cuenca no instrumentada parece ser similar a una cuenca insy el' para la cuenca instrumentada pueden utitrumentada, los coeficientes lizarse en las ecuaciones anteriores para deducir el hidrograma unitario sintético requerido para la cuenca no instrumentada. La relación entre qP y el caudal pico por unidad de área de drenaje qpR del hidrograma unitario requerido es
e
(7.7.1)
tp = 5.5tr
233
HIDROGRAMA UNITARIO
El tiempo base t¡, en horas del hidrograma unitario puede determinarse utilizando el hecho de que el área bajo el hidrograma unitario es equivalente a una escorrentía directa de 1 cm ( 1 pulg en el sistema inglés de unidades). Suponiendo una forma triangular para el hidrograma unitario, el tiempo base puede estimarse por
El retardo de cuenca es
(7.7.6) (7.7.2)
2.
donde tr está en horas, L es la longitud de la corriente principal en kilómetros (o millas) desde la salida de la cuenca hasta la divisoria de aguas arriba, L, es la distancia en kilómetros (millas) desde la salida de la cuenca hasta el punto de la corriente más cercano al centroide del área de la cuenca, e1 = 0.75 (1.0 para el sistema inglés de unidades) y et es un coeficiente basado en cuencas instrumentadas en la misma región. El caudal pico por unidad de área de drenaje en m 3 /s · km 2 (cfs/mi 2 ) del hidrograma unitario estándar es
(7.7.3) donde e 2 = 2.75 (640 para el sistema inglés de unidades) y eres un coeficiente basado en cuencas instrumentadas en la misma región. Para calcular y eP de una cuenca instrumentada, los valores deL y L, se miden utilizando un mapa de la cuenca. A partir de un hidrograma unitario deducido en la cuenca se obtienen los valores de su duración efectiva tR en horas, su tiempo de retardo en la cuenca trR en horas y su caudal pico por unidad de área de drenaje, qpR• en m 3 /s·km 2 ·cm (cfs/mi 2 ·pulg para el sistema inglés de unidades). Si tpR• = 5.5 tR, entonces tR = tR, tpR = tp y qpR = qp, y et y ep se calculan utilizando las ecuaciones (7.7.2) y (7.7.3). Si tpR es muy diferente de 5.5tR, el retardo de cuenca estándar es
e
tp = lpR
+
tr- 4
lR
(7.7.4)
y las ecuaciones (7.7.1) y (7.7.4) se resuelven simultáneamente para encontrar t,. y tp. Luego se calculan los valores de e 1 y eP de (7 .7 .2) y (7 .7 .3) con qpR = qp Y tpR = fp.
5.
donde el = 5.56 ( 1,290 para el sistema inglés de unidades). El ancho en horas de un hidrograma unitario a un caudal igual a cierto porcentaje del caudal pico qpR está dado por
W
=e w q-1.os pR
(7. 7. 7)
e
donde = 1.22 (440 para el sistema inglés de unidades) para un ancho del 75% y 2.14 (770 para el sistema inglés de unidades) para un ancho de 50%. Usualmente un tercio de este ancho se distribuye antes del momento en que ocurre el pico del hidrograma unitario y dos tercios después de dicho pico.
Ejemplo 7.7.1 Utilizando el mapa de una cuenca dada, se miden las siguientes cantidades: L = 150 km, L, = 75 km y área de drenaje = 3,500 km 2 A partir del hidrograma unitario deducido para la cuenca, se determina lo siguiente: tR = 12 h, tpR = 34 h y caudal pico = 157.5 m 3 /s ·cm. Determine los coeficientes e 1 y eP para el hidrograma unitario sintético de la cuenca.
Solución. De la información dada, 5.5tR
=
66 h, lo cual es bastante diferente de tpR (34 h).
La ecuación (7. 7.4) da
t,.- tR 4
tp=tpR + - -
=34 + t,.- 12 4
(7.7.8)
Resolviendo simultáneamente (7.7.1) y (7.7.8) se obtiene t, = 5.9 h y ti'= 32.5 h. Para calcular e,, utilice (7.7.2):
232
HIDROLOGÍA APLICADA
ciones del mismo tipo fueron encontradas más tarde (U.S. Army Corps of Engineers, 1959). Estas relaciones, en una forma modificada, están dadas más adelante. A partir de las relaciones, pueden calcularse cinco características de un hidrograma unitario requerido [véase la figura 7.7.lh] para una duración de exceso de lluvia dada: el caudal pico por unidad de área de la cuenca, qpR• el retardo de cuenca, tpR (diferencia de tiempo entre el centroide del hietograma de exceso de lluvia y el pico del hidrograma unitario), el tiempo base th, y los anchos W (en unidades de tiempo) del hidrograma unitario al 50 y 75% del caudal pico. Utilizando estas características puede dibujarse el hidrograma unitario requerido. Las variables se ilustran en la figura 7. 7 .l. Snyder definió el hidrograma unitario estándar como aquel· cuya duración de lluvia t,. está relacionada con el retardo de cuenca tr por
3.
(7.7.5) 4.
Para un hidrograma unitario estándar encontró que:
l.
Cuando una cuenca no instrumentada parece ser similar a una cuenca insy el' para la cuenca instrumentada pueden utitrumentada, los coeficientes lizarse en las ecuaciones anteriores para deducir el hidrograma unitario sintético requerido para la cuenca no instrumentada. La relación entre qP y el caudal pico por unidad de área de drenaje qpR del hidrograma unitario requerido es
e
(7.7.1)
tp = 5.5tr
233
HIDROGRAMA UNITARIO
El tiempo base t¡, en horas del hidrograma unitario puede determinarse utilizando el hecho de que el área bajo el hidrograma unitario es equivalente a una escorrentía directa de 1 cm ( 1 pulg en el sistema inglés de unidades). Suponiendo una forma triangular para el hidrograma unitario, el tiempo base puede estimarse por
El retardo de cuenca es
(7.7.6) (7.7.2)
2.
donde tr está en horas, L es la longitud de la corriente principal en kilómetros (o millas) desde la salida de la cuenca hasta la divisoria de aguas arriba, L, es la distancia en kilómetros (millas) desde la salida de la cuenca hasta el punto de la corriente más cercano al centroide del área de la cuenca, e1 = 0.75 (1.0 para el sistema inglés de unidades) y et es un coeficiente basado en cuencas instrumentadas en la misma región. El caudal pico por unidad de área de drenaje en m 3 /s · km 2 (cfs/mi 2 ) del hidrograma unitario estándar es
(7.7.3) donde e 2 = 2.75 (640 para el sistema inglés de unidades) y eres un coeficiente basado en cuencas instrumentadas en la misma región. Para calcular y eP de una cuenca instrumentada, los valores deL y L, se miden utilizando un mapa de la cuenca. A partir de un hidrograma unitario deducido en la cuenca se obtienen los valores de su duración efectiva tR en horas, su tiempo de retardo en la cuenca trR en horas y su caudal pico por unidad de área de drenaje, qpR• en m 3 /s·km 2 ·cm (cfs/mi 2 ·pulg para el sistema inglés de unidades). Si tpR• = 5.5 tR, entonces tR = tR, tpR = tp y qpR = qp, y et y ep se calculan utilizando las ecuaciones (7.7.2) y (7.7.3). Si tpR es muy diferente de 5.5tR, el retardo de cuenca estándar es
e
tp = lpR
+
tr- 4
lR
(7.7.4)
y las ecuaciones (7.7.1) y (7.7.4) se resuelven simultáneamente para encontrar t,. y tp. Luego se calculan los valores de e 1 y eP de (7 .7 .2) y (7 .7 .3) con qpR = qp Y tpR = fp.
5.
donde el = 5.56 ( 1,290 para el sistema inglés de unidades). El ancho en horas de un hidrograma unitario a un caudal igual a cierto porcentaje del caudal pico qpR está dado por
W
=e w q-1.os pR
(7. 7. 7)
e
donde = 1.22 (440 para el sistema inglés de unidades) para un ancho del 75% y 2.14 (770 para el sistema inglés de unidades) para un ancho de 50%. Usualmente un tercio de este ancho se distribuye antes del momento en que ocurre el pico del hidrograma unitario y dos tercios después de dicho pico.
Ejemplo 7.7.1 Utilizando el mapa de una cuenca dada, se miden las siguientes cantidades: L = 150 km, L, = 75 km y área de drenaje = 3,500 km 2 A partir del hidrograma unitario deducido para la cuenca, se determina lo siguiente: tR = 12 h, tpR = 34 h y caudal pico = 157.5 m 3 /s ·cm. Determine los coeficientes e 1 y eP para el hidrograma unitario sintético de la cuenca.
Solución. De la información dada, 5.5tR
=
66 h, lo cual es bastante diferente de tpR (34 h).
La ecuación (7. 7.4) da
t,.- tR 4
tp=tpR + - -
=34 + t,.- 12 4
(7.7.8)
Resolviendo simultáneamente (7.7.1) y (7.7.8) se obtiene t, = 5.9 h y ti'= 32.5 h. Para calcular e,, utilice (7.7.2):
HIDROLOGÍA APLICADA
234 tp =e 1et(LLc)
32.5 =O .75e¡(l50 X 75)
235
HIDROGRAMA UNITARIO
03 ·
(4.64- 6)14 = 25.8 h. La ecuación (7.7.3) daqP = 2.75 x 0.56/25.5 = 0.0604m3 /s · km2 ·cm y(7.7.5)daqpR = 0.0604 x 25.5/25.8 = 0.0597m 3 /s · km 2 • cm;elcaudalpicoes0.0597 x 2,500 = 149.2 m 3 /s ·cm. Los anchos del hidrograma están dados por la ecuación (7.7.7). Al 75% del caudal pico, W = 1.22qpR- 108 = 1.22 X 0.0597- 108 = 25.6 h. Un cálculo similar da W = 44.9 h al 50% del pico. El tiempo base, dado por la ecuación (7.7.6), estb = 5.56/qpR = 5.56/0.0597 = 93 h. Luego sedibujaelhidrograma, como en la figura 7. 7. 2 y se verifica para asegurar que representa una profundidad de escorrentía directa de 1 cm.
03
et=2.65 El caudal pico por unidad de área es qpR = 157.5/3,500 = 0.045 m 3/s · km 2 ·cm. El coeficiente CP se calcula mediante la ecuación (7 .7 .3) con qP = qpR y tP = tpR:
_ e2ep
qpR-
t
pR
_ 2.75er 0.045- 34.0
ep=0.56 Ejemplo 7.7.2 Calcule el hidrograma unitario sintético de seis horas para una cuenca que tiene un área de drenaje de 2,500 km 2 con L = lOO km y L, = 50 km. Esta cuenca es una subárea de drenaje de la cuenca del ejemplo 7.7.1.
Una innovación adicional en el uso del método de Snyder ha sido la regionalización de los parámetros del hidro grama unitario. Es pe y, Altman y Graves (1977) desarrollaron un conjunto de ecuaciones generalizadas para la construcción de hidrogramas unitarios de lO minutos, utilizando un estudio de 41 cuencas con tamaños en el rango de 0.014 a 15 mi 2 , y con porcentajes de impermeabilidad entre el 2 y el 100%. De las 41 cuencas, 16 se localizan en Texas, 9 en Carolina del Norte, 6 en Kentucky, 4 en Indiana, 2 en Colorado y Mississippi y 1 en Tennessee y Pennsylvania. Las ecuaciones son: Tp = 3 _1L 0.23 5 -o.25 ¡-O.l8l.57
Solución. Los valores e,= 2.64 y C, = 0.56 determinados en el ejemplo 7.7.1 tam-
Qp = 31.62 X 103A o. 96y; 1.07
bién pueden utilizarse para esta cuenca. Luego la ecuación (7.7.2) da t, = 0.75 x 2.64 X (1 00 X 50)0 · 3 = 25.5 h, y (7 .7 .1) da tr = 25.5/5.5 = 4.64 h. Para un hidro grama unitario de seis horas, tR = 6 h )'la ecuación (7.7.4) da tpR = tP- Ctr- tR)/4 = 25.5-
TB =
:•tpR= 25.8 h+: 1
+
X
10
0 95 AQ; ·
(7.7.10) (7.7.11)
W5o = 16.22 x 103A0.93Q;0.92
(7.7.12)
W7s = 3.24
(7.7.13)
X
103A0.79Q;0.78
donde
~
11)
~
125.89
3
(7.7.9)
Tiempo (h)
-+1 IR 1+- 6 h
149.2
L
la distancia total (en pies) a lo largo del canal prjncipal desde el punto considerado hasta la divisoria de aguas, aguas arriba
S
la pendiente del canal principal (en pies por pie), definida por H/0.8L, donde H es la diferencia de elevación entre A y B. A es el punto en el
140 120
8u
100
1/3'
V>
"'§
80
:g
60
u
40
¡¡
74.6 l - -
2/3
1 1
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1 §Q)
80
~
§
60
11)
p.,
.§
20 tb=93h------~
28_8h
0~--~~~~-~----.----.--~---
o
20
40
60
80
100
Tiempo (h)
FIGURA 7.7.2 Hidrograma unitario sintético calculado por el método de Snyder en el ejemplo 7.7.2.
t: "'Q) :E
40
¿; 20
FIGURA 7.7.3 Factor de conducción de cuenca !l> como función de la rugosidad del canal y de la impermeabilidad de la cuenca. (Adaptada con autorización de Espey, Altman y Graves, 1977).
HIDROLOGÍA APLICADA
234 tp =e 1et(LLc)
32.5 =O .75e¡(l50 X 75)
235
HIDROGRAMA UNITARIO
03 ·
(4.64- 6)14 = 25.8 h. La ecuación (7.7.3) daqP = 2.75 x 0.56/25.5 = 0.0604m3 /s · km2 ·cm y(7.7.5)daqpR = 0.0604 x 25.5/25.8 = 0.0597m 3 /s · km 2 • cm;elcaudalpicoes0.0597 x 2,500 = 149.2 m 3 /s ·cm. Los anchos del hidrograma están dados por la ecuación (7.7.7). Al 75% del caudal pico, W = 1.22qpR- 108 = 1.22 X 0.0597- 108 = 25.6 h. Un cálculo similar da W = 44.9 h al 50% del pico. El tiempo base, dado por la ecuación (7.7.6), estb = 5.56/qpR = 5.56/0.0597 = 93 h. Luego sedibujaelhidrograma, como en la figura 7. 7. 2 y se verifica para asegurar que representa una profundidad de escorrentía directa de 1 cm.
03
et=2.65 El caudal pico por unidad de área es qpR = 157.5/3,500 = 0.045 m 3/s · km 2 ·cm. El coeficiente CP se calcula mediante la ecuación (7 .7 .3) con qP = qpR y tP = tpR:
_ e2ep
qpR-
t
pR
_ 2.75er 0.045- 34.0
ep=0.56 Ejemplo 7.7.2 Calcule el hidrograma unitario sintético de seis horas para una cuenca que tiene un área de drenaje de 2,500 km 2 con L = lOO km y L, = 50 km. Esta cuenca es una subárea de drenaje de la cuenca del ejemplo 7.7.1.
Una innovación adicional en el uso del método de Snyder ha sido la regionalización de los parámetros del hidro grama unitario. Es pe y, Altman y Graves (1977) desarrollaron un conjunto de ecuaciones generalizadas para la construcción de hidrogramas unitarios de lO minutos, utilizando un estudio de 41 cuencas con tamaños en el rango de 0.014 a 15 mi 2 , y con porcentajes de impermeabilidad entre el 2 y el 100%. De las 41 cuencas, 16 se localizan en Texas, 9 en Carolina del Norte, 6 en Kentucky, 4 en Indiana, 2 en Colorado y Mississippi y 1 en Tennessee y Pennsylvania. Las ecuaciones son: Tp = 3 _1L 0.23 5 -o.25 ¡-O.l8l.57
Solución. Los valores e,= 2.64 y C, = 0.56 determinados en el ejemplo 7.7.1 tam-
Qp = 31.62 X 103A o. 96y; 1.07
bién pueden utilizarse para esta cuenca. Luego la ecuación (7.7.2) da t, = 0.75 x 2.64 X (1 00 X 50)0 · 3 = 25.5 h, y (7 .7 .1) da tr = 25.5/5.5 = 4.64 h. Para un hidro grama unitario de seis horas, tR = 6 h )'la ecuación (7.7.4) da tpR = tP- Ctr- tR)/4 = 25.5-
TB =
:•tpR= 25.8 h+: 1
+
X
10
0 95 AQ; ·
(7.7.10) (7.7.11)
W5o = 16.22 x 103A0.93Q;0.92
(7.7.12)
W7s = 3.24
(7.7.13)
X
103A0.79Q;0.78
donde
~
11)
~
125.89
3
(7.7.9)
Tiempo (h)
-+1 IR 1+- 6 h
149.2
L
la distancia total (en pies) a lo largo del canal prjncipal desde el punto considerado hasta la divisoria de aguas, aguas arriba
S
la pendiente del canal principal (en pies por pie), definida por H/0.8L, donde H es la diferencia de elevación entre A y B. A es el punto en el
140 120
8u
100
1/3'
V>
"'§
80
:g
60
u
40
¡¡
74.6 l - -
2/3
1 1
7-W~=M9h-
1 §Q)
80
~
§
60
11)
p.,
.§
20 tb=93h------~
28_8h
0~--~~~~-~----.----.--~---
o
20
40
60
80
100
Tiempo (h)
FIGURA 7.7.2 Hidrograma unitario sintético calculado por el método de Snyder en el ejemplo 7.7.2.
t: "'Q) :E
40
¿; 20
FIGURA 7.7.3 Factor de conducción de cuenca !l> como función de la rugosidad del canal y de la impermeabilidad de la cuenca. (Adaptada con autorización de Espey, Altman y Graves, 1977).
236
HIDROLOGÍA APLICADA fondo del canal a una distancia de 0.2L aguas abajo de la divisoria de aguas de la cuenca; B es un punto en el fondo del canal en el punto considerado aguas abajo
1.0
1 = el área impermeable dentro de la cuenca (en porcentaje), supuesta igual al 5% para una cuenca no desarrollada
0.8
A T,
= = =
el factor de conducción adimensional para la cuenca, el cual es una función del porcentaje de impermeabilidad y de la rugosidad (l'éase la figura 7.7.3) el área de drenaje de la cuenca (en millas cuadradas)
Q, =
= = =
el tiempo base en el hidrograma unitario (en minutos)
Ts Wso W1s
,;:-
~
0.4
o
el ancho del hidrograma al 50% de Q, (en minutos) el ancho al 75% de Q, (en minutos)
1
- ~1-
1\ 1
~
1
~~
)
1
2
3
~
rr,-1 1 1-- T,---+j- 1.67 Tp---1 1 1 1
1
L 4
5
a)
El hidrograma adimensional SCS es un hidrograma unitario sintético en el cual el caudal se expresa por la relación del caudal q con respecto al caudal pico qr y el tiempo por la relación del tiempo t con respecto al tiempo de ocurrencia del pico en el hidrograma unitario, T,. Dados el caudal pico y el tiempo de retardo para la duración de exceso de precipitación, el.hidrograma unitario puede estimarse a partir del hidrograma sintético adimensional para la cuenca dada. La figura 7.7.4a) muestra uno de estos hidrogramas adimensionales, preparado utilizando los hidrogramas unitarios para una variedad de cuencas. Los valores de q, y T, pueden estimarse utilizando un modelo simplificado de un hidrograma unitario triangular tal como se muestra en la figura 7.7.4h), en donde el tiempo está dado en horas y el caudal en m 3 /s · cm (o cfs/pulg) (Soil Conservation Service, 1972). Con base en la revisión de un gran número de hidrogramas unitarios, el Soil Conservation Service sugiere que el tiempo de recesión puede aproximarse como 1.67 T,. Como el área bajo el hidrograma unitario debería ser igual a una escorrentía directa de 1 cm (o 1 pulg), puede demostrarse que
rCA
1
1
th
t/Tp
Hidrograma adimensional SCS
qp =
1
fp---+1
1
\
1
o
/Exceso de lluvia
\ \
1 1
0.6
0.2
,--
(\
el tiempo de ocurrencia del pico para el hidrograma unitario medido desde el principio de la escorrentía (en minutos) el caudal pico en el hidrograma unitario (en cfs/pulg)
237
HIDROGRAMA UNITARIO
(7.7.14)
p
donde C = 2.08 (483.4 en el sistema inglés de unidades) y A es el área de drenaje en kilómetros cuadrados (millas cuadradas). Adicionalmente, un estudio de los hidrogramas unitarios de muchas cuencas rurales grandes y pequeñas indica que el tiempo de retardo t 1, = 0.6 T,, donde T, es el tiempo de concentración de la cuenca. Como se muestra en la figura 7. 7 .4h ), el tiempo de ocurrencia del pico T, puede expresarse en términos del tiempo de retardo t, y de la duración .de la lluvia efectiva t,
(7. 7.15)
h)
FIGURA 7.7.4 Hidrogramas unitarios sintéticos del Soil Conservation Service. a) Hidrograma adimensional y h) hidrograma unitario triangular. (Fuente: Soil Conservation Service, 1972).
Ejemplo 7.7.3 Construya un hidrograma unitario SCS de 10 minutos para una cuenca con un área de 3.0 km' y un tiempo de concentración de 1.25 h. Solución. La duración t, = 10 min = 0.166 h, el tiempo de retardo tp = 0.6T, = 0.6 x 1.25 = 0.75 h y el tiempo de ocurrencia del pico T" = t,/2 + tP = 0.166/2 + 0.75 = 0.833 h. De la ecuación (7.7.14) qP = 2.08 X 3.0/0.833 = 7.49 m3/s·cm. El hidrograma adimensional de la figura 7.7.4 puede convertirse a las dimensiones requeridas multiplicando los valores del eje horizantal por T" y los del eje vertical por qP. Alternativamente, el hidrograma unitario triangular puede graficarse con th = 2.67TP = 2.22 h. Se verifica que
la profundidad de escorrentía directa es igual a 1 cm.
7.8 HIDROGRAMAS UNITARIOS PARA DIFERENTES DURACIONES DE LLUVIA Cuando se encuentra disponible un hidrograma unitario para un exceso de lluvia dado, pueden deducirse los hidrogramas unitarios para otras duraciones. Si las otras duraciones son múltiplos enteros de la duración dada, el nuevo hidrograma unitario puede calcularse fácilmente aplicando los principios de superposición y proporcionalidad. Sin embargo, puede utilizarse un método general de deducción aplicable a hidrogramas unitarios de cualquier duración requerida, con base en el principio de superposición. Este es el método del hidrograma S. El hidrograma S teórico es aquel que resulta de un exceso de lluvia continuo a una tasa constante de 1 cm/h (o 1 pulg/h) durante un periodo indefinido. Es la fun-
.1 1
236
HIDROLOGÍA APLICADA fondo del canal a una distancia de 0.2L aguas abajo de la divisoria de aguas de la cuenca; B es un punto en el fondo del canal en el punto considerado aguas abajo
1.0
1 = el área impermeable dentro de la cuenca (en porcentaje), supuesta igual al 5% para una cuenca no desarrollada
0.8
A T,
= = =
el factor de conducción adimensional para la cuenca, el cual es una función del porcentaje de impermeabilidad y de la rugosidad (l'éase la figura 7.7.3) el área de drenaje de la cuenca (en millas cuadradas)
Q, =
= = =
el tiempo base en el hidrograma unitario (en minutos)
Ts Wso W1s
,;:-
~
0.4
o
el ancho del hidrograma al 50% de Q, (en minutos) el ancho al 75% de Q, (en minutos)
1
- ~1-
1\ 1
~
1
~~
)
1
2
3
~
rr,-1 1 1-- T,---+j- 1.67 Tp---1 1 1 1
1
L 4
5
a)
El hidrograma adimensional SCS es un hidrograma unitario sintético en el cual el caudal se expresa por la relación del caudal q con respecto al caudal pico qr y el tiempo por la relación del tiempo t con respecto al tiempo de ocurrencia del pico en el hidrograma unitario, T,. Dados el caudal pico y el tiempo de retardo para la duración de exceso de precipitación, el.hidrograma unitario puede estimarse a partir del hidrograma sintético adimensional para la cuenca dada. La figura 7.7.4a) muestra uno de estos hidrogramas adimensionales, preparado utilizando los hidrogramas unitarios para una variedad de cuencas. Los valores de q, y T, pueden estimarse utilizando un modelo simplificado de un hidrograma unitario triangular tal como se muestra en la figura 7.7.4h), en donde el tiempo está dado en horas y el caudal en m 3 /s · cm (o cfs/pulg) (Soil Conservation Service, 1972). Con base en la revisión de un gran número de hidrogramas unitarios, el Soil Conservation Service sugiere que el tiempo de recesión puede aproximarse como 1.67 T,. Como el área bajo el hidrograma unitario debería ser igual a una escorrentía directa de 1 cm (o 1 pulg), puede demostrarse que
rCA
1
1
th
t/Tp
Hidrograma adimensional SCS
qp =
1
fp---+1
1
\
1
o
/Exceso de lluvia
\ \
1 1
0.6
0.2
,--
(\
el tiempo de ocurrencia del pico para el hidrograma unitario medido desde el principio de la escorrentía (en minutos) el caudal pico en el hidrograma unitario (en cfs/pulg)
237
HIDROGRAMA UNITARIO
(7.7.14)
p
donde C = 2.08 (483.4 en el sistema inglés de unidades) y A es el área de drenaje en kilómetros cuadrados (millas cuadradas). Adicionalmente, un estudio de los hidrogramas unitarios de muchas cuencas rurales grandes y pequeñas indica que el tiempo de retardo t 1, = 0.6 T,, donde T, es el tiempo de concentración de la cuenca. Como se muestra en la figura 7. 7 .4h ), el tiempo de ocurrencia del pico T, puede expresarse en términos del tiempo de retardo t, y de la duración .de la lluvia efectiva t,
(7. 7.15)
h)
FIGURA 7.7.4 Hidrogramas unitarios sintéticos del Soil Conservation Service. a) Hidrograma adimensional y h) hidrograma unitario triangular. (Fuente: Soil Conservation Service, 1972).
Ejemplo 7.7.3 Construya un hidrograma unitario SCS de 10 minutos para una cuenca con un área de 3.0 km' y un tiempo de concentración de 1.25 h. Solución. La duración t, = 10 min = 0.166 h, el tiempo de retardo tp = 0.6T, = 0.6 x 1.25 = 0.75 h y el tiempo de ocurrencia del pico T" = t,/2 + tP = 0.166/2 + 0.75 = 0.833 h. De la ecuación (7.7.14) qP = 2.08 X 3.0/0.833 = 7.49 m3/s·cm. El hidrograma adimensional de la figura 7.7.4 puede convertirse a las dimensiones requeridas multiplicando los valores del eje horizantal por T" y los del eje vertical por qP. Alternativamente, el hidrograma unitario triangular puede graficarse con th = 2.67TP = 2.22 h. Se verifica que
la profundidad de escorrentía directa es igual a 1 cm.
7.8 HIDROGRAMAS UNITARIOS PARA DIFERENTES DURACIONES DE LLUVIA Cuando se encuentra disponible un hidrograma unitario para un exceso de lluvia dado, pueden deducirse los hidrogramas unitarios para otras duraciones. Si las otras duraciones son múltiplos enteros de la duración dada, el nuevo hidrograma unitario puede calcularse fácilmente aplicando los principios de superposición y proporcionalidad. Sin embargo, puede utilizarse un método general de deducción aplicable a hidrogramas unitarios de cualquier duración requerida, con base en el principio de superposición. Este es el método del hidrograma S. El hidrograma S teórico es aquel que resulta de un exceso de lluvia continuo a una tasa constante de 1 cm/h (o 1 pulg/h) durante un periodo indefinido. Es la fun-
.1 1
238
HIDROLOGÍA APLICADA
ción de respuesta de paso unitario para un sistema de cuenca. La curva adopta una forma de S deformada y sus ordenadas finalmente se aproximan a la tasa de exceso de lluvia en el tiempo de equilibrio. Esta función de respuesta de paso g(t) puede deducirse de una función de respuesta de pulso unitario h(t) del hidrograma unitario, tal como sigue. De la ecuación (7 .2.4 ), la respuesta en el tiempo t a un pulso unitario de duración M que empieza en el tiempo O es h(t)
1 Ll/g(t) - g(t- Llt)]
=
Lluvia continua como una secuencia de pulsos 1/M
o = f'lt[h(t)+h(t-f'lt)+h (t-2f'lt)+ ... ]
Hidrograma S \
\
(7 .8.1) a)
En forma similar, la respuesta en el tiempo t a un pulso unitario que empieza en el tiempo !-.tes igual a h(t- M), es decir, h(t) retardada !J.t unidades de tiempo: 1 h(t - Llt) = Ll/g(t - Llt) - g(t - 2 Llt)]
239
HIDROGRAMA UNITARIO
1 -f'lt'-1
(7.8.2)
Pulso único de duración f'lt'
o
y la respuesta en el tiempo t a un tercer pulso unitario que empieza en el tiempo 2M
es
1
h(t - 2Llt) = Llt[g(t - 2Llt) - g(t - 3 Llt)]
Hidrograma S compensado
(7.8.3) h)
Continuando este proceso indefinidamente, sumando las ecuaciones resultantes y reordenando, se obtiene la función de respuesta de paso unitario, o hidrograma S, tal como se muestra en la figura 7 .8.la): g(t) = Llt [h(t)
+ h(t- Llt) + h(t- 2 Llt) + ... ]
(7.8.4)
donde la suma se multiplica por M de tal manera que g(t) corresponda a una tasa de entrada de 1, en lugar de 1/M como se utilizó para cada uno de los pulsos unitarios. Teóricamente, el hidrograma S derivado de esta manera debería ser una curva suave, debido a que se supone que el exceso de precipitación de entrada tiene una tasa constante y continua. Sin embargo, el proceso de suma producirá una forma ondulatoria, si existen errores en las abstracciones de lluvia o en la separación de flujo base, o si la duración real del exceso de lluvia no es la duración deducida para el hidrograma unitario. Una duración que produce ondulación mínima puede encontrarse mediante procesos de prueba y error. La ondulación de la curva también puede originarse por una distribución temporal y de área no uniforme de la lluvia; adicionalmente, cuando la información natural no es lineal, las oscilaciones inestables del sistema resultante pueden producir ordenadas negativas. En tales casos, debe utilizarse una técnica de optimización para obtener un hidrograma unitario más suave. Una vez que el hidrograma S ha sido construido, el hidrograma unitario para una duración dada puede deducirse como sigue: Se avanza, o compensa, la posición del hidrograma S un periodo igual a la duración deseada M' y se llama a este hidrograma S el hidrograma S compensado, g'(t) [véase la figura 7.8.lb)], definido por
g' (t) = g(t- Llt')
(7.8.5)
Hidrograma unitario de duración f'lt' /h'(t) = it' [g (1) -g(t-f'lt')]
e)
FIGURA 7.8.1 Uso del hidrograma S para encontrar un hidrograma unitario de duración M' a partir de un hidrograma unitario de duración f'lt.
La diferencia entre las ordenadas del hidrograma S original y el hidrograma S compensado, divididas por !J.t', da el hidrograma unitario deseado [véase la figura 7.8.1c)]: 1 h'(t) = Llt' [g(t)- g(t- Llt')]
1
(7.8.6)
Ejemplo 7.8.1 Utilice el hidrograma unitario de 0.5 horas de la tabla 7.4.3 (del ejemplo 7 .4.1) para producir el hidro grama S y el hidrograma unitario de 1.5 h para esta cuenca.
238
HIDROLOGÍA APLICADA
ción de respuesta de paso unitario para un sistema de cuenca. La curva adopta una forma de S deformada y sus ordenadas finalmente se aproximan a la tasa de exceso de lluvia en el tiempo de equilibrio. Esta función de respuesta de paso g(t) puede deducirse de una función de respuesta de pulso unitario h(t) del hidrograma unitario, tal como sigue. De la ecuación (7 .2.4 ), la respuesta en el tiempo t a un pulso unitario de duración M que empieza en el tiempo O es h(t)
1 Ll/g(t) - g(t- Llt)]
=
Lluvia continua como una secuencia de pulsos 1/M
o = f'lt[h(t)+h(t-f'lt)+h (t-2f'lt)+ ... ]
Hidrograma S \
\
(7 .8.1) a)
En forma similar, la respuesta en el tiempo t a un pulso unitario que empieza en el tiempo !-.tes igual a h(t- M), es decir, h(t) retardada !J.t unidades de tiempo: 1 h(t - Llt) = Ll/g(t - Llt) - g(t - 2 Llt)]
239
HIDROGRAMA UNITARIO
1 -f'lt'-1
(7.8.2)
Pulso único de duración f'lt'
o
y la respuesta en el tiempo t a un tercer pulso unitario que empieza en el tiempo 2M
es
1
h(t - 2Llt) = Llt[g(t - 2Llt) - g(t - 3 Llt)]
Hidrograma S compensado
(7.8.3) h)
Continuando este proceso indefinidamente, sumando las ecuaciones resultantes y reordenando, se obtiene la función de respuesta de paso unitario, o hidrograma S, tal como se muestra en la figura 7 .8.la): g(t) = Llt [h(t)
+ h(t- Llt) + h(t- 2 Llt) + ... ]
(7.8.4)
donde la suma se multiplica por M de tal manera que g(t) corresponda a una tasa de entrada de 1, en lugar de 1/M como se utilizó para cada uno de los pulsos unitarios. Teóricamente, el hidrograma S derivado de esta manera debería ser una curva suave, debido a que se supone que el exceso de precipitación de entrada tiene una tasa constante y continua. Sin embargo, el proceso de suma producirá una forma ondulatoria, si existen errores en las abstracciones de lluvia o en la separación de flujo base, o si la duración real del exceso de lluvia no es la duración deducida para el hidrograma unitario. Una duración que produce ondulación mínima puede encontrarse mediante procesos de prueba y error. La ondulación de la curva también puede originarse por una distribución temporal y de área no uniforme de la lluvia; adicionalmente, cuando la información natural no es lineal, las oscilaciones inestables del sistema resultante pueden producir ordenadas negativas. En tales casos, debe utilizarse una técnica de optimización para obtener un hidrograma unitario más suave. Una vez que el hidrograma S ha sido construido, el hidrograma unitario para una duración dada puede deducirse como sigue: Se avanza, o compensa, la posición del hidrograma S un periodo igual a la duración deseada M' y se llama a este hidrograma S el hidrograma S compensado, g'(t) [véase la figura 7.8.lb)], definido por
g' (t) = g(t- Llt')
(7.8.5)
Hidrograma unitario de duración f'lt' /h'(t) = it' [g (1) -g(t-f'lt')]
e)
FIGURA 7.8.1 Uso del hidrograma S para encontrar un hidrograma unitario de duración M' a partir de un hidrograma unitario de duración f'lt.
La diferencia entre las ordenadas del hidrograma S original y el hidrograma S compensado, divididas por !J.t', da el hidrograma unitario deseado [véase la figura 7.8.1c)]: 1 h'(t) = Llt' [g(t)- g(t- Llt')]
1
(7.8.6)
Ejemplo 7.8.1 Utilice el hidrograma unitario de 0.5 horas de la tabla 7.4.3 (del ejemplo 7 .4.1) para producir el hidro grama S y el hidrograma unitario de 1.5 h para esta cuenca.
240
HIDROLOGÍA APLICADA
O :S u(l):S algún valor pico positivo
TABLA 7.8.1
Cálculo de un hidrograma unitario de 1.5 h por el método del hidrograma S (ejemplo 7.8.1) 2 3 Hidrograma S Tiempo Hidrograma unitario de 0.5-h
t
h!(t)
g(t)
(h)
(cfs/pulg)
(cfs)
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
404 1,079 2,343 2,506 1,460 453 381 274 173
o o o
241
HIDROGRAMA UNITARIO
4 Hidrograma S retardado g(t- M') (cfs)
o o o
202 742 1,913 3,166 3,896 4,123 4,313 4,450 4,537 4,537 4,537 4,537
202 742 1,913 3,166 3,896 4,123 4,313 4,450 4,537
r
5 Hidrograma unitario de 1.5 h (cfs/pulg) 135 495 1,275 1,976 2,103 1,473 765 369 276 149 58
o
Hidrograma unitario instantáneo Si el exceso de lluvia es una cantidad unitaria y su duración es infinitesimal, el hidrograma resultante es una función impulso respuesta ( 1•éase la sección 7.2) que se denomina el hidrograma unitario instantáneo (IUH, por sus siglas en inglés). Para un IUH, el exceso de lluvia se aplica al área de drenaje en el tiempo cero. Por supuesto, este es solamente un concepto teórico el cual no puede utilizarse en cuencas reales, pero es útil porque el IUH caracteriza la respuesta de la cuenca a lluvia sin referencia a la duración de ésta. Por consiguiente, el IUH puede relacionarse con la geomorfología de la cuenca (Rodríguez-Iturbe y Valdés, 1979; Gupta, Waymire y Wang, 1980). La integral de convolución (7 .2.1) es
J:
U(t - T) f( T) dT
u(l)~
(7 .8.7)
Si las cantidades/( T) y Q(t) tienen las mismas dimensiones. las ordenadas del IUH deben tener dimensiones de [T- 1 ] . Las propiedades del IUH son las siguientes, con l = t - T
para l cuando l
O
u(!) dl = 1
h'(t)
Solución. El hidrograma unitario de 0.5 h se muestra en la columna 2 de la tabla 7.8.1. El hidrograma S se encuentra al utilizar (7.8.4) con !::.t = 0.5 h. Para t = 0.5 h, g(t) = /',th(t) = 0.5 x 404 = 202 cfs: para t = 1 h, g(t) = /',t[h(t) + lz(t- 0.5)] = 0.5 x ( 1,079 + 404) = 742 cfs; para t = 1.5 h, g(t) = /',t[h(t) + h(t- 0.5) + lz(t- 1.0)] = 0.5 x (2,343 + 1,079 + 404) = 1,913 cfs; y así sucesivamente. tal como se muestra en la columna 3 de la tabla 7 .8.1. El hidro grama S se compensa !::.t' = 1.5 h (columna 4) para dar g(t- !::.t'), y la diferencia se divide por 11t' para dar el hidrograma unitario de 1.5 h, h'(t) (columna 5). Por ejemplo, para t = 2.0 h, h(t) = (3, 166 - 202)/1.5 = 1.976 cfs/pulg.
Q(t) =
u(!)= O
para l >O
y
f'
:S ~
O x
(7.8.8)
u(!) l dl = tr
La cantidad tL es el tiempo de retardo del IUH. Puede demostrarse que tL es el intervalo de tiempo entre el centroide del hietograma de exceso de lluvia y el centroide del hidrograma de escorrentía directa. Nótese la diferencia entre tL y la variable t" utilizada para el tiempo de retardo en hidrogramas unitarios sintéticos; t1, mide el tiempo desde el centroide del hietograma de exceso de lluvia hasta el pico, no hasta el centroide, del hidrograma de escorrentía directa. La forma ideal de un IUH tal como se describió anteriormente semeja aquella de un hidrograma con un pico único de escorrentía directa: sin embargo, un IUH puede tener ordenadas negativas y ondulatorias. Existen varios métodos para determinar un IUH de un ERH y un DRH. Como una aproximación, la ordenada del IUH en el tiempo t s.e iguala a la pendiente en el tiempo t de un hidrograma S construido para una intensidad de exceso de lluvia de profundidad unitaria por unidad de tiempo. Este procedimiento se basa en el hecho de que el hidrograma S es una curva integral del IUH; esto es, su ordenada en el tiempo t es igual a la integral de área bajo el IUH desde O hasta t. El IUH obtenido de esta manera es generalmente una aproximación porque la pendiente de un hidrograma S es difícil de medir en forma exacta. El IUH puede determinarse utilizando varios métodos de inversión matemática, como por ejemplo, funciones ortogonales como las series de Fourier (O'Donnell, 1960) o funciones de Laguerre (Dooge, 1973); transformadas integrales como la transformada de Laplace (Chow, 1964), la transformada de Fourier (Blank, Delleur y Giorgini, 1971) y la transformada Z (Bree, 1978); y la modelación matemática relacionada con la geomorfología de la cuenca (véase la sección 8.5).
REFERENCIAS Blank, D., J. W. Delleur, y A. Giorgini, Oscillatory kernel functions in linear hydrologic models, Water Resour. Res, vol. 7, No. S, pp. 1102-1117, 1971. Bradley, S. P., A. C. Hax y T. L. Magnanti, Applied Mathematical Programming, Addison-Wesley, Reading, Mass .. 1977. Bree. T., The stability of parameter estimation in the general linear model, J. Hydrol .. vol. 37, No. 1/2, pp. 47-66, 1978 Chow, V. T., Runoff, en Handbook of Applied Hydrology, sec. 14, pp. 14-24 a 14-27, McGraw Hill, New York, 1964. Chow. V. T., y V. C. Kulandaiswamy. General hydrologic system model, J. Hyd. Di1· .. Am. Soc. Cir. Eng .. vol. 97, No. HY6, pp. 791-804, 1971. Clark, C. 0., Storage and the unit hydrograph, Proc. Am. Soc. Cil·. Eng .. vol. 9, pp. 1333-1360, 1943. Collins, W. T., Runoff distribution graphs from precipitation occurring in more than one time unit. Cir. Eng., vol. 9, No. 9, pp. 559-561, 1939. Deininger, R. A., Linear programming for hydrologic analyses, Water Resour. Res., vol. 5, No. 5, pp. 1105-1109,1969.
240
HIDROLOGÍA APLICADA
O :S u(l):S algún valor pico positivo
TABLA 7.8.1
Cálculo de un hidrograma unitario de 1.5 h por el método del hidrograma S (ejemplo 7.8.1) 2 3 Hidrograma S Tiempo Hidrograma unitario de 0.5-h
t
h!(t)
g(t)
(h)
(cfs/pulg)
(cfs)
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
404 1,079 2,343 2,506 1,460 453 381 274 173
o o o
241
HIDROGRAMA UNITARIO
4 Hidrograma S retardado g(t- M') (cfs)
o o o
202 742 1,913 3,166 3,896 4,123 4,313 4,450 4,537 4,537 4,537 4,537
202 742 1,913 3,166 3,896 4,123 4,313 4,450 4,537
r
5 Hidrograma unitario de 1.5 h (cfs/pulg) 135 495 1,275 1,976 2,103 1,473 765 369 276 149 58
o
Hidrograma unitario instantáneo Si el exceso de lluvia es una cantidad unitaria y su duración es infinitesimal, el hidrograma resultante es una función impulso respuesta ( 1•éase la sección 7.2) que se denomina el hidrograma unitario instantáneo (IUH, por sus siglas en inglés). Para un IUH, el exceso de lluvia se aplica al área de drenaje en el tiempo cero. Por supuesto, este es solamente un concepto teórico el cual no puede utilizarse en cuencas reales, pero es útil porque el IUH caracteriza la respuesta de la cuenca a lluvia sin referencia a la duración de ésta. Por consiguiente, el IUH puede relacionarse con la geomorfología de la cuenca (Rodríguez-Iturbe y Valdés, 1979; Gupta, Waymire y Wang, 1980). La integral de convolución (7 .2.1) es
J:
U(t - T) f( T) dT
u(l)~
(7 .8.7)
Si las cantidades/( T) y Q(t) tienen las mismas dimensiones. las ordenadas del IUH deben tener dimensiones de [T- 1 ] . Las propiedades del IUH son las siguientes, con l = t - T
para l cuando l
O
u(!) dl = 1
h'(t)
Solución. El hidrograma unitario de 0.5 h se muestra en la columna 2 de la tabla 7.8.1. El hidrograma S se encuentra al utilizar (7.8.4) con !::.t = 0.5 h. Para t = 0.5 h, g(t) = /',th(t) = 0.5 x 404 = 202 cfs: para t = 1 h, g(t) = /',t[h(t) + lz(t- 0.5)] = 0.5 x ( 1,079 + 404) = 742 cfs; para t = 1.5 h, g(t) = /',t[h(t) + h(t- 0.5) + lz(t- 1.0)] = 0.5 x (2,343 + 1,079 + 404) = 1,913 cfs; y así sucesivamente. tal como se muestra en la columna 3 de la tabla 7 .8.1. El hidro grama S se compensa !::.t' = 1.5 h (columna 4) para dar g(t- !::.t'), y la diferencia se divide por 11t' para dar el hidrograma unitario de 1.5 h, h'(t) (columna 5). Por ejemplo, para t = 2.0 h, h(t) = (3, 166 - 202)/1.5 = 1.976 cfs/pulg.
Q(t) =
u(!)= O
para l >O
y
f'
:S ~
O x
(7.8.8)
u(!) l dl = tr
La cantidad tL es el tiempo de retardo del IUH. Puede demostrarse que tL es el intervalo de tiempo entre el centroide del hietograma de exceso de lluvia y el centroide del hidrograma de escorrentía directa. Nótese la diferencia entre tL y la variable t" utilizada para el tiempo de retardo en hidrogramas unitarios sintéticos; t1, mide el tiempo desde el centroide del hietograma de exceso de lluvia hasta el pico, no hasta el centroide, del hidrograma de escorrentía directa. La forma ideal de un IUH tal como se describió anteriormente semeja aquella de un hidrograma con un pico único de escorrentía directa: sin embargo, un IUH puede tener ordenadas negativas y ondulatorias. Existen varios métodos para determinar un IUH de un ERH y un DRH. Como una aproximación, la ordenada del IUH en el tiempo t s.e iguala a la pendiente en el tiempo t de un hidrograma S construido para una intensidad de exceso de lluvia de profundidad unitaria por unidad de tiempo. Este procedimiento se basa en el hecho de que el hidrograma S es una curva integral del IUH; esto es, su ordenada en el tiempo t es igual a la integral de área bajo el IUH desde O hasta t. El IUH obtenido de esta manera es generalmente una aproximación porque la pendiente de un hidrograma S es difícil de medir en forma exacta. El IUH puede determinarse utilizando varios métodos de inversión matemática, como por ejemplo, funciones ortogonales como las series de Fourier (O'Donnell, 1960) o funciones de Laguerre (Dooge, 1973); transformadas integrales como la transformada de Laplace (Chow, 1964), la transformada de Fourier (Blank, Delleur y Giorgini, 1971) y la transformada Z (Bree, 1978); y la modelación matemática relacionada con la geomorfología de la cuenca (véase la sección 8.5).
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HIDROLOGÍA APLICADA HIDROGRAMA UNITARIO
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PROBLEMAS 7.2.1
BIBLIOGRAFÍA Amorocho, J., Discussion of predicting storm runoff on small experimental watersheds by N .E. Minshall, J. Hyd. Div., Am. Soc. Civ. Eng., vol. 87, No. HY2, pp. 185-191, 1961. Amorocho, J., Nonlinear hydrologic analysis, en Advances in Hydroscience, ed. por V. T. Chow, Academic Press, New York, vol. 9, pp. 203-251, 1973. Amorocho, J., y A. Brandstetter, Determination of non linear functions in rainfall-runoff processes, Water Resour,Res.,voi.7,No.1,pp. 1087-1101,1971. Bidwell, Y. J., Regression analysis of nonlinear catchment systems, Water Resour. Res., vol. 7, No. 5, pp. 1118-1126, 1971. Broome, P. y R. H. Spigel. A linear model of storm runoff from sorne urban catchments in New Zealand, J. Hydrol, Nueva Zelanda, vol. 21, No. 1, pp. 13-33, 1982.
243
7.2.2
7.2.3 7.2.4
7.2.5
Un sistema tiene una función respuesta de pulso discreto con ordenadas 0.1, ~5, 0.3, y 0.1 unidades. Calcule la salida de este sistema si tiene un pulso de entrada de: a) 3 unidi!des, b) 4 unidades, e) 3 unidades en el primer intervalo de tiempo seguidas por 4 unidades en el segundo. Un sistema tiene la siguiente función respuesta de pulso unitario: 0.27, 0.36, 0.18, 0.09, 0.05, 0.03, 0.01, 0.01. Calcule la salida de este sistema si tiene una entrada de: a) 2 unidades, b) 3 unidades, e) 2 unidades en el primer intervalo de tiempo seguidas por 3 unidades en el segundo intervalo de tiempo. Calcule y grafique la función impulso respuesta u(t), la función respue>ta de paso g(t), la función de respuesta de pulso continuo h(t) y la función de respuesta de pulso discreto U, para un embalse lineal que tiene k= 1 h y M= 2 h. Una cuenca se modela como un embalse lineal con k = 1 h. Calcule su función de impulso respuesta y su función de respuesta por pulso para pulsos unitarios de duración de 0.5, 1.0, 1.5 y 2.0 h. Grafique las funciones de respuesta para O< t < 6 h. Una cuenca modelada como un embalse lineal con k = 3 h recibe 3 pulg de exceso
242
HIDROLOGÍA APLICADA HIDROGRAMA UNITARIO
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PROBLEMAS 7.2.1
BIBLIOGRAFÍA Amorocho, J., Discussion of predicting storm runoff on small experimental watersheds by N .E. Minshall, J. Hyd. Div., Am. Soc. Civ. Eng., vol. 87, No. HY2, pp. 185-191, 1961. Amorocho, J., Nonlinear hydrologic analysis, en Advances in Hydroscience, ed. por V. T. Chow, Academic Press, New York, vol. 9, pp. 203-251, 1973. Amorocho, J., y A. Brandstetter, Determination of non linear functions in rainfall-runoff processes, Water Resour,Res.,voi.7,No.1,pp. 1087-1101,1971. Bidwell, Y. J., Regression analysis of nonlinear catchment systems, Water Resour. Res., vol. 7, No. 5, pp. 1118-1126, 1971. Broome, P. y R. H. Spigel. A linear model of storm runoff from sorne urban catchments in New Zealand, J. Hydrol, Nueva Zelanda, vol. 21, No. 1, pp. 13-33, 1982.
243
7.2.2
7.2.3 7.2.4
7.2.5
Un sistema tiene una función respuesta de pulso discreto con ordenadas 0.1, ~5, 0.3, y 0.1 unidades. Calcule la salida de este sistema si tiene un pulso de entrada de: a) 3 unidi!des, b) 4 unidades, e) 3 unidades en el primer intervalo de tiempo seguidas por 4 unidades en el segundo. Un sistema tiene la siguiente función respuesta de pulso unitario: 0.27, 0.36, 0.18, 0.09, 0.05, 0.03, 0.01, 0.01. Calcule la salida de este sistema si tiene una entrada de: a) 2 unidades, b) 3 unidades, e) 2 unidades en el primer intervalo de tiempo seguidas por 3 unidades en el segundo intervalo de tiempo. Calcule y grafique la función impulso respuesta u(t), la función respue>ta de paso g(t), la función de respuesta de pulso continuo h(t) y la función de respuesta de pulso discreto U, para un embalse lineal que tiene k= 1 h y M= 2 h. Una cuenca se modela como un embalse lineal con k = 1 h. Calcule su función de impulso respuesta y su función de respuesta por pulso para pulsos unitarios de duración de 0.5, 1.0, 1.5 y 2.0 h. Grafique las funciones de respuesta para O< t < 6 h. Una cuenca modelada como un embalse lineal con k = 3 h recibe 3 pulg de exceso
244
7.2.6
7.3.1
7.4.1
HIDROLOGÍA APLICADA
de lluvia en las primeras 2 horas de una tormenta y 2 pulg de exceso de lluvia en las siguientes 2 horas. Calcule el hidrograma de escorrentía directa para esta cuenca. Demuestre que el tiempo de retardo tL entre los centroides del hietograma de exceso de lluvia y el hidrograma de escorrentía directa es igual a la constante de almacenamiento k para una cuenca modelada como un embalse lineal. Una cuenca tiene un área de drenaje de 450 km' y su hidrograma unitario de tres horas tiene un caudal pico de 150 m 3/s · cm. Para el sistema inglés de unidades, ¿cuál es el caudal pico en cfs/pulg del hidrograma unitario de tres horas? El exceso de lluvia y la escorrentía directa registrados para una tormenta son los siguientes: Tiempo (h)
4
2
Exceso de lluvia (pulg) 1.0
2.0
Escorrentía directa (cfs) 10
120
7
6
8
9
l. O
400
560
500
450
250
100
7.5.1 ¿Cuál es el área de la cuenca del problema 7.4.1? Deduzca por deconvolución el hidrograma unitario de seis horas para la siguiente información de una cuenca con un área de drenaje de 216 km', suponiendo una tasa de abstracción de lluvia constante y un flujo base constante de 20 m'/s. Periodo de seis horas
7.4.4
7.4.5
7.5.2
6
7
8
9
10
11
99
49
33
26
22
21
7.5.3
A continuación se presenta el hidro grama de caudales para una tormenta en un área de drenaje de 2.5 mi 2 .
7.5.4
2
3
4
Lluvia (cm)
1.5
3.5
2.5
1.5
Caudal (m 3/s)
26
71
174
226
173
Hora
1
2
3
4
5
6
7
Caudal (cfs)
52
48
44
203
816
1,122
1,138
Hora
o
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Q
18
21
28
44
70
118
228
342
413
393
334
Qb
18
20
25
32
40
47
54
61
68
75
79
Hora
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
Q
270
216
171
138
113
97
84
75
66
59
Qb
77
73
69
66
63
60
57
55
52
49
Hora
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
Q
54
49
46
42
40
38
36
34
33
33
Qb
47
44
42
40
38
37
35
34
33
33
50
Calcule el hidrograma unitario en una hora. 7.4.2 7.4.3
245
HIDROGRAMA UNITARIO
El flujo base Qb se ha estimado usando la forma del hidrograma observado. Utilice la deconvolución para determinar el hidro grama unitario de dos horas. Utilice el hidro grama desarrollado en el problema 7 .4.3 para calcular el hidro grama de flujo para una tormenta de 12 horas de duración que tiene 2 cm de exceso de lluvia en las primeras seis horas y 3 cm en las siguientes seis horas. Suponga una tasa de flujo base constante de 30 m'/s. Utilice el hidrograma unitario de una hora desarrollado en el problema 7.4.4 para calcular el hidrograma de caudal para una tormenta de tres horas con una intensidad de lluvia uniforme de 1.5 pu1g/h. Suponga que las abstracciones son constantes con una tasa de 0.5 pulg/h y que el flujo base es igual al determinado en el problema 7.4.4. Utilice el hidrograma unitario de dos horas desarrollado en el problema 7.4.5 para calcular el hidrograma de caudal para una tormenta de cuatro horas en la cual cayeron 5 cm de exceso de lluvia en las primeras dos horas y 6 cm en las siguientes dos horas. Suponga el mismo flujo base que se dio en el problema 7.4.5. El hidrograma unitario de seis horas de una cuenca que tiene un área de drenaje igual a 393 km' es como sigue:
Tiempo (h)
o
Hidrograma unitario(m 3 /s. cm) O
Hora
8
9
10
11
12
13
Caudal (cfs)
685
327
158
65
47
34
Un exceso de lluvia con intensidad casi uniforme ocurre en forma continua durante las horas 4, 5 y 6. La separación del flujo base se lleva a cabo graficando el logaritmo del caudal contra el tiempo. Durante el inicio de la creciente, el logaritmo de flujo base sigue una línea recta con una pendiente determinada del caudal en las horas 1 a 3. Desde el punto de inflexión del brazo de recesión del hidrograma de caudal (hora 8), el logaritmo del flujo base sigue una línea recta con pendiente determinada por el caudal en las horas 11 a 13. Entre el pico del hidrograma de caudal y el punto de inflexión, el logaritmo del flujo base se supone que varía linealmente. Deduzca el hidrograma unitario de 1 hora por deconvolución. Una tormenta intensa con una intensidad aproximadamente constante y duración de seis horas sobre una cuenca de área de 785 km' produjo los siguientes caudales Q en m'/s:
6
12
18
24
30
36
42
1.8
30.9
85.6
41.8
14.6
5.5
1.8
Para una tormenta sobre la cuenca que tiene un exceso de lluvia de 5 cm para las primeras seis horas y 15 cm para las siguientes seis horas, calcule el hidrograma de caudal suponiendo un flujo base constante de 100 m 3/s. 7.5.5
El hidrograma unitario de una hora para uma cuenca está dado a continuación. Determine la escorrentía para esta cuenca prodl!cida por el patrón de tormenta dado. Las abstracciones tienen una tasa constante de 0.3 pulg/h. ¿Cuál es el área de esta cuenca? Tiempo (h)
2
3
4
Precipitación (pulg)
0.5
1.0
1.5
0.5
Hidrograma unitario (cfs/pulg)
10
100
200
150
5
6
100
50
244
7.2.6
7.3.1
7.4.1
HIDROLOGÍA APLICADA
de lluvia en las primeras 2 horas de una tormenta y 2 pulg de exceso de lluvia en las siguientes 2 horas. Calcule el hidrograma de escorrentía directa para esta cuenca. Demuestre que el tiempo de retardo tL entre los centroides del hietograma de exceso de lluvia y el hidrograma de escorrentía directa es igual a la constante de almacenamiento k para una cuenca modelada como un embalse lineal. Una cuenca tiene un área de drenaje de 450 km' y su hidrograma unitario de tres horas tiene un caudal pico de 150 m 3/s · cm. Para el sistema inglés de unidades, ¿cuál es el caudal pico en cfs/pulg del hidrograma unitario de tres horas? El exceso de lluvia y la escorrentía directa registrados para una tormenta son los siguientes: Tiempo (h)
4
2
Exceso de lluvia (pulg) 1.0
2.0
Escorrentía directa (cfs) 10
120
7
6
8
9
l. O
400
560
500
450
250
100
7.5.1 ¿Cuál es el área de la cuenca del problema 7.4.1? Deduzca por deconvolución el hidrograma unitario de seis horas para la siguiente información de una cuenca con un área de drenaje de 216 km', suponiendo una tasa de abstracción de lluvia constante y un flujo base constante de 20 m'/s. Periodo de seis horas
7.4.4
7.4.5
7.5.2
6
7
8
9
10
11
99
49
33
26
22
21
7.5.3
A continuación se presenta el hidro grama de caudales para una tormenta en un área de drenaje de 2.5 mi 2 .
7.5.4
2
3
4
Lluvia (cm)
1.5
3.5
2.5
1.5
Caudal (m 3/s)
26
71
174
226
173
Hora
1
2
3
4
5
6
7
Caudal (cfs)
52
48
44
203
816
1,122
1,138
Hora
o
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Q
18
21
28
44
70
118
228
342
413
393
334
Qb
18
20
25
32
40
47
54
61
68
75
79
Hora
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
Q
270
216
171
138
113
97
84
75
66
59
Qb
77
73
69
66
63
60
57
55
52
49
Hora
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
Q
54
49
46
42
40
38
36
34
33
33
Qb
47
44
42
40
38
37
35
34
33
33
50
Calcule el hidrograma unitario en una hora. 7.4.2 7.4.3
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HIDROGRAMA UNITARIO
El flujo base Qb se ha estimado usando la forma del hidrograma observado. Utilice la deconvolución para determinar el hidro grama unitario de dos horas. Utilice el hidro grama desarrollado en el problema 7 .4.3 para calcular el hidro grama de flujo para una tormenta de 12 horas de duración que tiene 2 cm de exceso de lluvia en las primeras seis horas y 3 cm en las siguientes seis horas. Suponga una tasa de flujo base constante de 30 m'/s. Utilice el hidrograma unitario de una hora desarrollado en el problema 7.4.4 para calcular el hidrograma de caudal para una tormenta de tres horas con una intensidad de lluvia uniforme de 1.5 pu1g/h. Suponga que las abstracciones son constantes con una tasa de 0.5 pulg/h y que el flujo base es igual al determinado en el problema 7.4.4. Utilice el hidrograma unitario de dos horas desarrollado en el problema 7.4.5 para calcular el hidrograma de caudal para una tormenta de cuatro horas en la cual cayeron 5 cm de exceso de lluvia en las primeras dos horas y 6 cm en las siguientes dos horas. Suponga el mismo flujo base que se dio en el problema 7.4.5. El hidrograma unitario de seis horas de una cuenca que tiene un área de drenaje igual a 393 km' es como sigue:
Tiempo (h)
o
Hidrograma unitario(m 3 /s. cm) O
Hora
8
9
10
11
12
13
Caudal (cfs)
685
327
158
65
47
34
Un exceso de lluvia con intensidad casi uniforme ocurre en forma continua durante las horas 4, 5 y 6. La separación del flujo base se lleva a cabo graficando el logaritmo del caudal contra el tiempo. Durante el inicio de la creciente, el logaritmo de flujo base sigue una línea recta con una pendiente determinada del caudal en las horas 1 a 3. Desde el punto de inflexión del brazo de recesión del hidrograma de caudal (hora 8), el logaritmo del flujo base sigue una línea recta con pendiente determinada por el caudal en las horas 11 a 13. Entre el pico del hidrograma de caudal y el punto de inflexión, el logaritmo del flujo base se supone que varía linealmente. Deduzca el hidrograma unitario de 1 hora por deconvolución. Una tormenta intensa con una intensidad aproximadamente constante y duración de seis horas sobre una cuenca de área de 785 km' produjo los siguientes caudales Q en m'/s:
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42
1.8
30.9
85.6
41.8
14.6
5.5
1.8
Para una tormenta sobre la cuenca que tiene un exceso de lluvia de 5 cm para las primeras seis horas y 15 cm para las siguientes seis horas, calcule el hidrograma de caudal suponiendo un flujo base constante de 100 m 3/s. 7.5.5
El hidrograma unitario de una hora para uma cuenca está dado a continuación. Determine la escorrentía para esta cuenca prodl!cida por el patrón de tormenta dado. Las abstracciones tienen una tasa constante de 0.3 pulg/h. ¿Cuál es el área de esta cuenca? Tiempo (h)
2
3
4
Precipitación (pulg)
0.5
1.0
1.5
0.5
Hidrograma unitario (cfs/pulg)
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100
200
150
5
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HIDROLOGÍA APLICADA
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HIDROGRAMA UNITARIO
7.5.6
7.5.7
7.5.8
7.5.9
7.6.1
Utilice el mismo hidrograma unitario del problema 7.5.5 y determine el hidrograma de escorrentía directa para una tormenta de dos horas con 1 pulg de exceso de lluvia para la primera hora y 2 para la segunda hora. ¿Cuál es el área de esta cuenca~ Una cuenca de uso agrícola se urbanizó en un periodo de 20 años. Un hidrograma unitario triangular se desarrolló para esta cuenca para un exceso de lluvia de duración de una hora. Antes de la urbanización, la tasa promedio de infiltración y otras pérdidas era 0.30 pulg/h y el hidrograma unitario tenía un caudal pico de 400 cfs/pulg a 3 h y un tiempo base de 9 h. Después de la urbanización, debido al incremento en superficies impermeables, la tasa de pérdida bajó a 0.15 pulg/h, el caudal pico del hidrograma unitario se incrementó a 600 cfs/pulg, ocurriendo a 1 h, y el tiempo base se redujo a 6 h. Para una tormenta de dos horas en la cual cayó 1.0 pulg de lluvia en la primera hora y 0.5 en la segunda hora, determine los hidrogramas de escorrentía directa antes y después de la urbanización. Las ordenadas a intervalos de una hora de un hidrograma unitario de una hora son (en cfs/pulg): 269, 538, 807, 645, 484, 323 y 161. Calcule el hidrograma de escorrentía directa para una tormenta de dos horas en la cual ocurre un exceso de lluvia de 4 pulga una tasa constante. ¿Cuál es el área de la cuenca (mi')? El hidrograma unitario triangular de 10 minutos para una cuenca tiene un caudal pico de 100 cfs/pulg en el minuto 40 y una duración total de 100 m in. Calcule el hidrograma de caudal para esta cuenca para una tormenta en la cual caen 2 pulg de lluvia en los primeros 1O m in y 1 pulg en los segundos 1O minutos, suponiendo que la tasa de pérdidas es = 0.6 pulg/h y la tasa de flujo base es 20 cfs. El 19 y 20 de julio de 1979, la tormenta en la cuenca del riachuelo Shoal en Northwest Park en Austin, Texas, produjo los siguientes valores de lluvia-escorrentía.
7.6.3 7.6.4 7.6.5 7.6.6 7.7.1
7.7.2
7.7.3 Tiempo (h)
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
Lluvia (pulg)
1.17
0.32
0.305
0.67
0.545
0.10
0.06
Escorrentía directa (cfs)
11.0
372.0
440.0
506.0
2110.0
1077.0
429.3
Tiempo (h)
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
Escorrentía directa (cfs)
226.6
119.0
64.7
39.7
28.0
21.7
16.7
Tiempo (h)
7.5
8.0
8.5
9.0
Escorrentía directa (cfs)
13.3
9.2
9.0
7.3
7.7.4
7.7.5
7.6.2
Determine el hidrograma unitario de media hora utilizando programación lineal. Suponga que es válida una tasa uniforme de pérdidas. El área de la cuenca es 7.03 mi'. Compare el hidrograma unitario con aquel determinado en el ejemplo 7.4.1 para esta cuenca. Una tormenta que ocurrió el 16 de abril de 1977, en la cuenca del riachuelo Shoal en Northwest Park, Austin, Texas, produjo los siguientes valores de lluvia-escorrentía:
Tiempo (h)
0.5
Lluvia (pulg)
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
0.28 0.12
0.13
0.14
0.18
0.14
0.07
Escorrentía directa (cfs)
32
67
121
189
279
290
237
160
108
Tiempo (h)
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
Escorrentía directa (cfs)
72
54
44
33
28
22
20
18
16
1.0
4.0
Determine el hidrograma unitario de media hora usando programación lineal. Suponga que es válida una tasa uniforme de pérdidas. El área de la cuenca es 7.03 mF. Compare el hidro grama unitario con el desarrollado en el ejemplo 7 .4.1 para esta cuenca. Combine la información de los problemas 7.6.1 y 7.6.2 y calcule un hidrograma unitario compuesto para esta cuenca utilizando programación lineal. Compare el hidrograma unitario compuesto con aquellos determinados para las tormentas individuales. Resuelva el problema 7.6.1 por regresión lineal. Resuelva el problema 7.6.2 por regresión lineal. Resuelva el problema 7.6.3 por regresión lineal. En la ciudad de Austin, Texas, se aplican las ecuaciones generalizadas (7.7.9)(7.7.13) para determinar los parámetros de hidrogramas unitarios de 10 minutos de duración para cuencas pequeñas. Determine los hidrogramas unitarios de 10 minutos para niveles de impermeabilidad de 10, 40 y 70% en una cuenca que tiene un área de 0.42 mi" con un canal principal de longitud de 5,760 pies. El canal principal tiene una pendiente de 0.015 pie/pie tal como se definió en la sección 7.7. Suponga <1> = 0.8. Grafique"los tres hidrogramas unitarios en la misma gráfica. Utilizando las ecuaciones de hidrograma unitario de 10 minutos (7.7.9)-(7.7.13), desarrolle el hidrograma unitario para una pequeña cuenca de 0.3 mi 2 de área que tiene un canal principal con pendiente de 0.009 pie/pie. El área del canal principal es de 2,000 pies y el porcentaje de permeabilidad es 25. Después, desarrolle el hidrograma unitario de 10 minutos para la misma cuenca suponiendo que la longitud del canal principal es 6,000 pies. Grafique y compare los dos hidrogramas unitarios. Suponga que n = 0.05 para el canal principal. Determine hidrogramas de escorrentía directa usando los dos hidrogramas unitarios de 10 minutos desarrollados en el problema anterior para las cuencas con longitudes de canal principal de 2,000 pies y de 6,000 pies. Considere una tormenta que tiene una precipitación de 1.2 pulgadas distribuida uniformente sobre los primeros 30 minutos y de 1.5 pulgadas en los siguientes 30 minutos. Las pérdidas por infiltración se determinan usando el método ses descrito en el capítulo 5 para un número de curva CN = 85. El hidro grama unitario de 1O minutos para una cuenca con 0.86 mi' tiene ordenadas de JO minutos en cfs/pulg de 134, 392,475, 397, 329, 273,227, 188, 156, 129, 107, 89, 74, 61, 51, 42, 35, 29, 24, 10, 17, 14, 11, ... Determine el coeficiente de pico el' para el método de Snyder. La longitud del canal principal es 10,500 pies y L, = 6,000 pies. Determine el coeficiente e,. Algunas ecuaciones para calcular el tiempo de retardo se han reportado en la literatura técnica. Una de estas ecuaciones, que también considera la pendiente de la cuenca, fue presentada por Linsley, Kohler y Paulhus (1982): =
t p
4.5 7.7.6
e,(LLc )n JS
Para una pendiente de cuenca de S = 0.008 y n = 0.4, determine el coeficiente C, para el hidrograma unitario del problema anterior. Se ha determinado la siguiente información para una cuenca A y su hidrograma unitario de dos horas: área = 100 mi', L,. = 1O mi, L = 24 mi, tR = 2 h, tpR = 6 h, Q, = 9, 750 cfs/pulg, W50 = 4.1 h y W75 = 2 h. La cuenca B, la cual se supone que es hidrológicamente similar a la cuenca A, tiene las siguientes características: área = 70 mi', L = 15.6 mi y L, = 9.4 mi. Determine el hidrograma unitario sintético de una hora para la cuenca B.
246
HIDROLOGÍA APLICADA
247
HIDROGRAMA UNITARIO
7.5.6
7.5.7
7.5.8
7.5.9
7.6.1
Utilice el mismo hidrograma unitario del problema 7.5.5 y determine el hidrograma de escorrentía directa para una tormenta de dos horas con 1 pulg de exceso de lluvia para la primera hora y 2 para la segunda hora. ¿Cuál es el área de esta cuenca~ Una cuenca de uso agrícola se urbanizó en un periodo de 20 años. Un hidrograma unitario triangular se desarrolló para esta cuenca para un exceso de lluvia de duración de una hora. Antes de la urbanización, la tasa promedio de infiltración y otras pérdidas era 0.30 pulg/h y el hidrograma unitario tenía un caudal pico de 400 cfs/pulg a 3 h y un tiempo base de 9 h. Después de la urbanización, debido al incremento en superficies impermeables, la tasa de pérdida bajó a 0.15 pulg/h, el caudal pico del hidrograma unitario se incrementó a 600 cfs/pulg, ocurriendo a 1 h, y el tiempo base se redujo a 6 h. Para una tormenta de dos horas en la cual cayó 1.0 pulg de lluvia en la primera hora y 0.5 en la segunda hora, determine los hidrogramas de escorrentía directa antes y después de la urbanización. Las ordenadas a intervalos de una hora de un hidrograma unitario de una hora son (en cfs/pulg): 269, 538, 807, 645, 484, 323 y 161. Calcule el hidrograma de escorrentía directa para una tormenta de dos horas en la cual ocurre un exceso de lluvia de 4 pulga una tasa constante. ¿Cuál es el área de la cuenca (mi')? El hidrograma unitario triangular de 10 minutos para una cuenca tiene un caudal pico de 100 cfs/pulg en el minuto 40 y una duración total de 100 m in. Calcule el hidrograma de caudal para esta cuenca para una tormenta en la cual caen 2 pulg de lluvia en los primeros 1O m in y 1 pulg en los segundos 1O minutos, suponiendo que la tasa de pérdidas es = 0.6 pulg/h y la tasa de flujo base es 20 cfs. El 19 y 20 de julio de 1979, la tormenta en la cuenca del riachuelo Shoal en Northwest Park en Austin, Texas, produjo los siguientes valores de lluvia-escorrentía.
7.6.3 7.6.4 7.6.5 7.6.6 7.7.1
7.7.2
7.7.3 Tiempo (h)
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
Lluvia (pulg)
1.17
0.32
0.305
0.67
0.545
0.10
0.06
Escorrentía directa (cfs)
11.0
372.0
440.0
506.0
2110.0
1077.0
429.3
Tiempo (h)
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
Escorrentía directa (cfs)
226.6
119.0
64.7
39.7
28.0
21.7
16.7
Tiempo (h)
7.5
8.0
8.5
9.0
Escorrentía directa (cfs)
13.3
9.2
9.0
7.3
7.7.4
7.7.5
7.6.2
Determine el hidrograma unitario de media hora utilizando programación lineal. Suponga que es válida una tasa uniforme de pérdidas. El área de la cuenca es 7.03 mi'. Compare el hidrograma unitario con aquel determinado en el ejemplo 7.4.1 para esta cuenca. Una tormenta que ocurrió el 16 de abril de 1977, en la cuenca del riachuelo Shoal en Northwest Park, Austin, Texas, produjo los siguientes valores de lluvia-escorrentía:
Tiempo (h)
0.5
Lluvia (pulg)
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
0.28 0.12
0.13
0.14
0.18
0.14
0.07
Escorrentía directa (cfs)
32
67
121
189
279
290
237
160
108
Tiempo (h)
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
Escorrentía directa (cfs)
72
54
44
33
28
22
20
18
16
1.0
4.0
Determine el hidrograma unitario de media hora usando programación lineal. Suponga que es válida una tasa uniforme de pérdidas. El área de la cuenca es 7.03 mF. Compare el hidro grama unitario con el desarrollado en el ejemplo 7 .4.1 para esta cuenca. Combine la información de los problemas 7.6.1 y 7.6.2 y calcule un hidrograma unitario compuesto para esta cuenca utilizando programación lineal. Compare el hidrograma unitario compuesto con aquellos determinados para las tormentas individuales. Resuelva el problema 7.6.1 por regresión lineal. Resuelva el problema 7.6.2 por regresión lineal. Resuelva el problema 7.6.3 por regresión lineal. En la ciudad de Austin, Texas, se aplican las ecuaciones generalizadas (7.7.9)(7.7.13) para determinar los parámetros de hidrogramas unitarios de 10 minutos de duración para cuencas pequeñas. Determine los hidrogramas unitarios de 10 minutos para niveles de impermeabilidad de 10, 40 y 70% en una cuenca que tiene un área de 0.42 mi" con un canal principal de longitud de 5,760 pies. El canal principal tiene una pendiente de 0.015 pie/pie tal como se definió en la sección 7.7. Suponga <1> = 0.8. Grafique"los tres hidrogramas unitarios en la misma gráfica. Utilizando las ecuaciones de hidrograma unitario de 10 minutos (7.7.9)-(7.7.13), desarrolle el hidrograma unitario para una pequeña cuenca de 0.3 mi 2 de área que tiene un canal principal con pendiente de 0.009 pie/pie. El área del canal principal es de 2,000 pies y el porcentaje de permeabilidad es 25. Después, desarrolle el hidrograma unitario de 10 minutos para la misma cuenca suponiendo que la longitud del canal principal es 6,000 pies. Grafique y compare los dos hidrogramas unitarios. Suponga que n = 0.05 para el canal principal. Determine hidrogramas de escorrentía directa usando los dos hidrogramas unitarios de 10 minutos desarrollados en el problema anterior para las cuencas con longitudes de canal principal de 2,000 pies y de 6,000 pies. Considere una tormenta que tiene una precipitación de 1.2 pulgadas distribuida uniformente sobre los primeros 30 minutos y de 1.5 pulgadas en los siguientes 30 minutos. Las pérdidas por infiltración se determinan usando el método ses descrito en el capítulo 5 para un número de curva CN = 85. El hidro grama unitario de 1O minutos para una cuenca con 0.86 mi' tiene ordenadas de JO minutos en cfs/pulg de 134, 392,475, 397, 329, 273,227, 188, 156, 129, 107, 89, 74, 61, 51, 42, 35, 29, 24, 10, 17, 14, 11, ... Determine el coeficiente de pico el' para el método de Snyder. La longitud del canal principal es 10,500 pies y L, = 6,000 pies. Determine el coeficiente e,. Algunas ecuaciones para calcular el tiempo de retardo se han reportado en la literatura técnica. Una de estas ecuaciones, que también considera la pendiente de la cuenca, fue presentada por Linsley, Kohler y Paulhus (1982): =
t p
4.5 7.7.6
e,(LLc )n JS
Para una pendiente de cuenca de S = 0.008 y n = 0.4, determine el coeficiente C, para el hidrograma unitario del problema anterior. Se ha determinado la siguiente información para una cuenca A y su hidrograma unitario de dos horas: área = 100 mi', L,. = 1O mi, L = 24 mi, tR = 2 h, tpR = 6 h, Q, = 9, 750 cfs/pulg, W50 = 4.1 h y W75 = 2 h. La cuenca B, la cual se supone que es hidrológicamente similar a la cuenca A, tiene las siguientes características: área = 70 mi', L = 15.6 mi y L, = 9.4 mi. Determine el hidrograma unitario sintético de una hora para la cuenca B.
248 7.7.7
7.7.8
7.7.9
7.7.10
7.7.11
7.8.1 7.8.2
7.8.3
HIDROLOGÍA APLICADA
Determine los coeficientes e,, y C, para una cuenca de área 100 mi' con L = 20 mi y L, = 12 mi para tR = 2 h y trR = 5 h. El pico del hidrograma unitario es 9,750 cfs/pulg. Suponga que se puede aplicar el hidrograma unitario sintético de Snyder. h) Determine el hidrograma unitario de dos horas para el área más alta de 70 mi' de la misma cuenca, la cual tiene L = 12.6 mi y L, = 7.4 mi. Los valores de W, y W, 0 para el área total de 100 mi 2 son 2.0 h y 4.2 h, respectivamente. La cuenca del riachuelo Gimlet en Sparland, Illinois, tiene un área de drenaje de 5.42 mi'; la longitud del canal principal es 4.45 mi y la longitud de dicho canal desde la salida de la cuenca a un punto cercano al centro de gravedad de ésta es 2.0 mi. Usando e, = 2.0 y e,, = 0.625, determine el hidrograma unitario sintético estándar para esta cuenca, ¿,Cuál es la duración estándar? Utilice el método de Snyder para determinar el hidrograma unitario de 30 minutos para esta cuenca. La cuenca del riachuelo Odebolt cerca de Arthur, Ohio, tiene un área de 39.3 mi'; la longitud del canal principal es 18.1 O mi y la longitud de dicho canal desde la salida de la cuenca a un punto cercano al centroide de ésta es 6.0 mi. Usando e,= 2.0 y e,, = 0.625, determine el hidrograma unitario sintético estándar y el hidrograma unitario de dos horas para esta cuenca. Una cuenca de 8 mi' tiene un tiempo de concentración de 1.0 h. Calcule el hidrograma unitario de 1O minutos para esta cuenca utilizando el método del hidrograma unitario triangular SCS. Determine el hidrograma de escorrentía directa para una tormenta de 20 minutos con 0.6 pulg de exceso de precipitación en los primeros 10 minutos y 0.4 pulg en los segundos 1O minutos. Un hidrograma unitario sintético triangular se desarrolló utilizando el método del Soil Conservation Service, tiene q,, = 2,900 cfs/pulg, T" = 50 m in y t, = 1O m in. Calcule el hidrograma de escorrentía directa para una tormenta de 20 minutos con 0.66 pulg de lluvia en los primeros 10 minutos y 1.70 pulg en los siguientes 10 minutos. La tasa de pérdida de lluvia es 1> = 0.6 pulg/h a lo largo de la tormenta. Para la información dada en el problema 7.4.4, utilice la suposición de una intensidad constante de lluvia en las horas 4 a 6 para construir el hidrograma S. Utilice el hidrograma S para calcular los hidrogramas unitarios de una, tres y seis horas. Para la información dada en el problema 7.4.5, use la suposición de una intensidad de lluvia constante para las 6 horas para construir el hidrograma S de esta cuenca. Con base en el hidrograma S, determine los hidrogramas unitarios de 2, 6 y 12 horas para esta cuenca. Las ordenadas de un hidrograma unitario de una hora especificadas en intervalos de una hora son (en cfs/pulg): 45, 60, 22, 8 y l. Calcule el área de la cuenca, el hidrograma S y el hidrograma unitario de dos horas para esta cuenca. a)
/
TRANSITO AGREGADO DE CRECIENTES
El tránsito de caudales es un procedimiento para determinar el tiempo y la magnitud del caudal (es decir, el hidrograma de caudal) en un punto de un curso de agua utilizando hidrogramas conocidos o supuestos en uno o más puntos aguas arriba. Si el flujo es una creciente, el procedimiento se conoce específicamente como tránsito de crecientes*. En un sentido más amplio, el tránsito de caudales puede considerarse como un análisis para seguir el caudal a través de un sistema hidrológico, dada una entrada. La diferencia entre el tránsito de sistemas agregados y distribuidos es que en un modelo de sistema agregado, el flujo se calcula como una función del tiempo únicamente en un lugar particular, mientras que en un sistema de tránsito distribuido el flujo se calcula como una función del espacio y el tiempo a través del sistema. El tránsito por métodos de sistemas agregados se conoce algunas veces como tránsito hidrológico, y el tránsito por métodos distribuidos se conoce como tránsito hidráulico. El tránsito de caudal mediante sistemas distribuidos se describe en los capítulos 9 y 10. Este capítulo se relaciona con el tránsito de sistemas agregados.
8.1 TRÁNSITO DE SISTEMAS AGREGADOS Para un sistema hidrológico, la entrada /(t), la salida Q(t) y el almacenamiento S(t) se relacionan por la ecuación de continuidad (2.2.4):
-dS = l(t) dt
- Q(t)
(8.1.1)
Si el hidrograma de entrada, /(t), es conocido, la ecuación (8.1.1) no puede resolverse directamente para obtener el hidrograma de salida, Q(t), porque tanto Q como ''N. del R.T. En algunos países se utiliza el término propagación de avenidas.
249
248 7.7.7
7.7.8
7.7.9
7.7.10
7.7.11
7.8.1 7.8.2
7.8.3
HIDROLOGÍA APLICADA
Determine los coeficientes e,, y C, para una cuenca de área 100 mi' con L = 20 mi y L, = 12 mi para tR = 2 h y trR = 5 h. El pico del hidrograma unitario es 9,750 cfs/pulg. Suponga que se puede aplicar el hidrograma unitario sintético de Snyder. h) Determine el hidrograma unitario de dos horas para el área más alta de 70 mi' de la misma cuenca, la cual tiene L = 12.6 mi y L, = 7.4 mi. Los valores de W, y W, 0 para el área total de 100 mi 2 son 2.0 h y 4.2 h, respectivamente. La cuenca del riachuelo Gimlet en Sparland, Illinois, tiene un área de drenaje de 5.42 mi'; la longitud del canal principal es 4.45 mi y la longitud de dicho canal desde la salida de la cuenca a un punto cercano al centro de gravedad de ésta es 2.0 mi. Usando e, = 2.0 y e,, = 0.625, determine el hidrograma unitario sintético estándar para esta cuenca, ¿,Cuál es la duración estándar? Utilice el método de Snyder para determinar el hidrograma unitario de 30 minutos para esta cuenca. La cuenca del riachuelo Odebolt cerca de Arthur, Ohio, tiene un área de 39.3 mi'; la longitud del canal principal es 18.1 O mi y la longitud de dicho canal desde la salida de la cuenca a un punto cercano al centroide de ésta es 6.0 mi. Usando e,= 2.0 y e,, = 0.625, determine el hidrograma unitario sintético estándar y el hidrograma unitario de dos horas para esta cuenca. Una cuenca de 8 mi' tiene un tiempo de concentración de 1.0 h. Calcule el hidrograma unitario de 1O minutos para esta cuenca utilizando el método del hidrograma unitario triangular SCS. Determine el hidrograma de escorrentía directa para una tormenta de 20 minutos con 0.6 pulg de exceso de precipitación en los primeros 10 minutos y 0.4 pulg en los segundos 1O minutos. Un hidrograma unitario sintético triangular se desarrolló utilizando el método del Soil Conservation Service, tiene q,, = 2,900 cfs/pulg, T" = 50 m in y t, = 1O m in. Calcule el hidrograma de escorrentía directa para una tormenta de 20 minutos con 0.66 pulg de lluvia en los primeros 10 minutos y 1.70 pulg en los siguientes 10 minutos. La tasa de pérdida de lluvia es 1> = 0.6 pulg/h a lo largo de la tormenta. Para la información dada en el problema 7.4.4, utilice la suposición de una intensidad constante de lluvia en las horas 4 a 6 para construir el hidrograma S. Utilice el hidrograma S para calcular los hidrogramas unitarios de una, tres y seis horas. Para la información dada en el problema 7.4.5, use la suposición de una intensidad de lluvia constante para las 6 horas para construir el hidrograma S de esta cuenca. Con base en el hidrograma S, determine los hidrogramas unitarios de 2, 6 y 12 horas para esta cuenca. Las ordenadas de un hidrograma unitario de una hora especificadas en intervalos de una hora son (en cfs/pulg): 45, 60, 22, 8 y l. Calcule el área de la cuenca, el hidrograma S y el hidrograma unitario de dos horas para esta cuenca. a)
/
TRANSITO AGREGADO DE CRECIENTES
El tránsito de caudales es un procedimiento para determinar el tiempo y la magnitud del caudal (es decir, el hidrograma de caudal) en un punto de un curso de agua utilizando hidrogramas conocidos o supuestos en uno o más puntos aguas arriba. Si el flujo es una creciente, el procedimiento se conoce específicamente como tránsito de crecientes*. En un sentido más amplio, el tránsito de caudales puede considerarse como un análisis para seguir el caudal a través de un sistema hidrológico, dada una entrada. La diferencia entre el tránsito de sistemas agregados y distribuidos es que en un modelo de sistema agregado, el flujo se calcula como una función del tiempo únicamente en un lugar particular, mientras que en un sistema de tránsito distribuido el flujo se calcula como una función del espacio y el tiempo a través del sistema. El tránsito por métodos de sistemas agregados se conoce algunas veces como tránsito hidrológico, y el tránsito por métodos distribuidos se conoce como tránsito hidráulico. El tránsito de caudal mediante sistemas distribuidos se describe en los capítulos 9 y 10. Este capítulo se relaciona con el tránsito de sistemas agregados.
8.1 TRÁNSITO DE SISTEMAS AGREGADOS Para un sistema hidrológico, la entrada /(t), la salida Q(t) y el almacenamiento S(t) se relacionan por la ecuación de continuidad (2.2.4):
-dS = l(t) dt
- Q(t)
(8.1.1)
Si el hidrograma de entrada, /(t), es conocido, la ecuación (8.1.1) no puede resolverse directamente para obtener el hidrograma de salida, Q(t), porque tanto Q como ''N. del R.T. En algunos países se utiliza el término propagación de avenidas.
249
250
HIDROLOGÍA APLICADA
251
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
S son incógnitas. Se necesita una segunda relación, o función de almacenamiento, para relacionar S, 1 y Q; el acoplamiento de la función de almacenamiento y la ecuación de continuidad proporciona una combinación de las dos ecuaciones y las dos incógnitas que puede resolverse. En general la función de almacenamiento puede escribirse como una función arbitraria de /, Q, y sus derivadas temporales tal como se demostró en la ecuación (7. l. 2):
p
(8.1.2) Q
En el capítulo 7 se resolvieron estas dos ecuaciones diferenciando una forma Iinealizada de la ecuación (8.1.2), sustituyendo el resultado para dS!dt en la ecuación (8.1.1). y luego integrando la ecuación diferencial resultante para obtener Q(t) como una función de /(t). En este capítulo se aplica un método de solución por diferencias finitas a las dos ecuaciones. El horizonte de tiempo se divide en intervalos finitos y la ecuación de continuidad (8.1.1) se resuelve recursivamente desde un punto del tiempo hasta el siguiente utilizando la función de almacenamiento (8.1.2) para tener en cuenta el valor de almacenamiento en cada punto del tiempo. La forma específica de la función de almacenamiento a emplearse en este procedimiento depende de la naturaleza del sistema que está siendo analizado. En este capítulo se analizan tres sistemas particulares. Primero, el tránsito a través de embalses utilizando el método de la piscina nivelada, en el cual el almacenamiento es una función no lineal de Q solamente:
S= /(Q)
(8.1.3)
y la función f(Q) se determina relacionando el almacenamiento y la salida del embalse con el nivel del agua en éste. Segundo, el almacenamiento se relaciona linealmente con 1 y Q en el método de Muskingum para el tránsito de caudales en canales. Finalmente, se analizan algunos modelos de embalses lineales en los cuales (8.1.2) se vuelve una función lineal de Q y de sus derivadas temporales. La relación entre el caudal de salida y el almacenamiento en un sistema hidrológico tiene una influencia importante en el tránsito de caudales. Esta relación puede ser invariable o variable, tal como se muestra en la figura 8.1.1. Una función de almacenamiento invariable tiene la forma de la ecuación (8. l. 3) y se aplica a un embalse con una superficie de agua horizontal. Tales embalses tienen una piscina que es ancha y profunda comparada con su longitud en la dirección de flujo. La velocidad del flujo en el embalse es muy baja. La relación de almacenamiento invariable requiere la existencia de un caudal fijo de salida del embalse para una elevación de la superficie de agua dada, lo cual significa que las estructuras de salida del embalse deben ser incontroladas o controladas por compuertas que se queden fijas en una posición. Si la posición de las compuertas de control se cambia, el caudal y la elevación de la superficie de agua en la presa cambian, y el efecto se propaga hacia aguas arriba en el embalse para crear una superficie de agua temporalmente pendiente hasta que se establece una nueva elevación de equilibrio de la superficie de agua a través del embalse. Cuando un embalse tiene una superficie de agua horizontal, su almacenamiento es función de la elevación de la superficie de agua, o profundidad en la piscina.
R
R,P
OL________________
o
S a) Relación invariable
S h)
Relación variable
FIGURA 8.1.1 Relaciones entre caudal y almacenamiento.
En forma similar, el caudal de salida es una función de ia eievación de la superficie de agua o cabeza sobre la estructura de salida. Combinando estas dos funciones, el almacenamiento en el embalse y el caudal de salida pueden relacionarse para producir una función de almacenamiento invariable y de valor único, S = j(Q), como se muestra en la figura 8.1. la). Para tales embalses, el pico de salida ocurre cuando el hidrograma de salida interseca el hidrograma de entrada, debido a que el máximo almacenamiento ocurre cuando dS!dt = 1 - Q = O, y el almacenamiento y el flujo de salida están rel¡lcionados por S = f(Q). Esto se indica en la figura 8. 1. 1a) donde los puntos que denotan el almacenamiento máximo, R, y el máximo flujo de salida, P, coinciden. Una relación variable almacenamiento-caudal de salida se aplica a embalses largos y angostos y a canales abiertos o corrientes, donde el perfil de la superficie de agua puede ser significativamente curvo debido a efectos de remanso. La cantidad de almacenamiento debida a la curva de remanso depende de la tasa del cambio temporal del flujo a través del sistema. Tal como se muestrá en la figura 8.l.l.b), la relación resultante entre el caudal y el almacenamiento del sistema no es más una función con un valor único sino que exhibe una curva usualmente en la forma de un ciclo (loop), dependiendo de las características de almacenamiento del sistema. Debido al efecto de retardo causado por la curva de remanso, el pico de caudal de salida ocurre usualmente después del momento en el cual se intersecan los hidrogramas de entrada y de salida, tal como se indica en la figura 8.l.lb), donde los puntos de R .Y P no coinciden. Si el efecto de curva de remanso no es significativo, el ciclo que se muestra en la figura 8. 1 . 1b) puede reemplazarse por una curva promedio representada por la línea discontinua mostrada. Entonces, los métodos de tránsito de piscina horizontal también pueden aplicarse en forma aproximada para el tránsito con una relación caudal-almacenamiento variable. La discusión precedente indica que el efecto del almacenamiento es redistribuir el hidrograma moviendo el centroide del hidrograma de entrada hasta el cen-
250
HIDROLOGÍA APLICADA
251
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
S son incógnitas. Se necesita una segunda relación, o función de almacenamiento, para relacionar S, 1 y Q; el acoplamiento de la función de almacenamiento y la ecuación de continuidad proporciona una combinación de las dos ecuaciones y las dos incógnitas que puede resolverse. En general la función de almacenamiento puede escribirse como una función arbitraria de /, Q, y sus derivadas temporales tal como se demostró en la ecuación (7. l. 2):
p
(8.1.2) Q
En el capítulo 7 se resolvieron estas dos ecuaciones diferenciando una forma Iinealizada de la ecuación (8.1.2), sustituyendo el resultado para dS!dt en la ecuación (8.1.1). y luego integrando la ecuación diferencial resultante para obtener Q(t) como una función de /(t). En este capítulo se aplica un método de solución por diferencias finitas a las dos ecuaciones. El horizonte de tiempo se divide en intervalos finitos y la ecuación de continuidad (8.1.1) se resuelve recursivamente desde un punto del tiempo hasta el siguiente utilizando la función de almacenamiento (8.1.2) para tener en cuenta el valor de almacenamiento en cada punto del tiempo. La forma específica de la función de almacenamiento a emplearse en este procedimiento depende de la naturaleza del sistema que está siendo analizado. En este capítulo se analizan tres sistemas particulares. Primero, el tránsito a través de embalses utilizando el método de la piscina nivelada, en el cual el almacenamiento es una función no lineal de Q solamente:
S= /(Q)
(8.1.3)
y la función f(Q) se determina relacionando el almacenamiento y la salida del embalse con el nivel del agua en éste. Segundo, el almacenamiento se relaciona linealmente con 1 y Q en el método de Muskingum para el tránsito de caudales en canales. Finalmente, se analizan algunos modelos de embalses lineales en los cuales (8.1.2) se vuelve una función lineal de Q y de sus derivadas temporales. La relación entre el caudal de salida y el almacenamiento en un sistema hidrológico tiene una influencia importante en el tránsito de caudales. Esta relación puede ser invariable o variable, tal como se muestra en la figura 8.1.1. Una función de almacenamiento invariable tiene la forma de la ecuación (8. l. 3) y se aplica a un embalse con una superficie de agua horizontal. Tales embalses tienen una piscina que es ancha y profunda comparada con su longitud en la dirección de flujo. La velocidad del flujo en el embalse es muy baja. La relación de almacenamiento invariable requiere la existencia de un caudal fijo de salida del embalse para una elevación de la superficie de agua dada, lo cual significa que las estructuras de salida del embalse deben ser incontroladas o controladas por compuertas que se queden fijas en una posición. Si la posición de las compuertas de control se cambia, el caudal y la elevación de la superficie de agua en la presa cambian, y el efecto se propaga hacia aguas arriba en el embalse para crear una superficie de agua temporalmente pendiente hasta que se establece una nueva elevación de equilibrio de la superficie de agua a través del embalse. Cuando un embalse tiene una superficie de agua horizontal, su almacenamiento es función de la elevación de la superficie de agua, o profundidad en la piscina.
R
R,P
OL________________
o
S a) Relación invariable
S h)
Relación variable
FIGURA 8.1.1 Relaciones entre caudal y almacenamiento.
En forma similar, el caudal de salida es una función de ia eievación de la superficie de agua o cabeza sobre la estructura de salida. Combinando estas dos funciones, el almacenamiento en el embalse y el caudal de salida pueden relacionarse para producir una función de almacenamiento invariable y de valor único, S = j(Q), como se muestra en la figura 8.1. la). Para tales embalses, el pico de salida ocurre cuando el hidrograma de salida interseca el hidrograma de entrada, debido a que el máximo almacenamiento ocurre cuando dS!dt = 1 - Q = O, y el almacenamiento y el flujo de salida están rel¡lcionados por S = f(Q). Esto se indica en la figura 8. 1. 1a) donde los puntos que denotan el almacenamiento máximo, R, y el máximo flujo de salida, P, coinciden. Una relación variable almacenamiento-caudal de salida se aplica a embalses largos y angostos y a canales abiertos o corrientes, donde el perfil de la superficie de agua puede ser significativamente curvo debido a efectos de remanso. La cantidad de almacenamiento debida a la curva de remanso depende de la tasa del cambio temporal del flujo a través del sistema. Tal como se muestrá en la figura 8.l.l.b), la relación resultante entre el caudal y el almacenamiento del sistema no es más una función con un valor único sino que exhibe una curva usualmente en la forma de un ciclo (loop), dependiendo de las características de almacenamiento del sistema. Debido al efecto de retardo causado por la curva de remanso, el pico de caudal de salida ocurre usualmente después del momento en el cual se intersecan los hidrogramas de entrada y de salida, tal como se indica en la figura 8.l.lb), donde los puntos de R .Y P no coinciden. Si el efecto de curva de remanso no es significativo, el ciclo que se muestra en la figura 8. 1 . 1b) puede reemplazarse por una curva promedio representada por la línea discontinua mostrada. Entonces, los métodos de tránsito de piscina horizontal también pueden aplicarse en forma aproximada para el tránsito con una relación caudal-almacenamiento variable. La discusión precedente indica que el efecto del almacenamiento es redistribuir el hidrograma moviendo el centroide del hidrograma de entrada hasta el cen-
252
HIDROLOGÍA APLICADA
El horizonte de tiempo se divide en intervalos de duración M, indexados por j, es decir, t = O, !::..t, 2/::..t, ... , j!::..t, (j + 1)!::..t, ... , y la ecuación de continuidad (8. 1.1) se integra sobre cada intervalo de tiempo, como se muestra en la figura 8.2.1. Para eljésimo intervalo de tiempo:
/Caudal de entrada
Q
----,----i
J
t
/ Caudal de entrada
1-1 \_Tiempo de redistribución
fu+
sJ~ 1
~
\_Tiempo de movimiento de creciente Q
253
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
dS
= j~
IJ..\t
1(t)dt -
fu+
IJ..\t
Q(t)dt
(8.2.1)
j~
Los valores del flujo de entrada al inicio y al final del j-ésimo intervalo son 11 e 11+1, respectivamente, y los correspondientes valores del caudal de salida son Q1 y Q¡+l· Aquí, tanto el caudal de entrada como el caudal de salida son tasas de flujo medidas como información por muestra, en lugar de que el caudal de entrada sea información por pulso y el caudal de salida sea información por muestra como ocurría con el hidrograma unitario. Si la variación de los caudales de entrada y de salida a lo largo del intervalo es aproximadamente lineal, el cambio en el almacenamiento en el intervalo, S1 + 1 - S1 , puede encontrarse reescribiendo (8.2.1) como
º1
(8.2.2) /
Los valores de 11 e 11 + 1 se conocen debido a que han sido preespecificados. Los valores de Q1 y 51 se conocen en el intervalo de tiempo j-ésimo a partir de los
/
1 / /
1~
1----¡-1
Tiemoo de traslación
FIGURA 8.1.2 lj +
Interpretación conceptual del tiempo de movimiento de crecientes.
troide del hidrograma de salida en un tiempo de redistribución. En canales muy largos, toda la onda de creciente viaja también una distancia considerable y el centroide de su hidrograma también puede moverse en un periodo mayor que el tiempo de redistribución. Este tiempo adicional puede considerarse como el tiempo de traslación. Como se muestra en la figura 8.1.2, el tiempo total de movimiento de lacreciente entre los centroides de los hidrogramas de entrada y salida, es igual a la suma del tiempo de redistribución y del tiempo de traslación. El proceso de redistribución modifica la forma del hidrograma, mientras que el proceso de traslación cambia su poS'ición.
1
..., "O
= 1¡
u'"
º)+ 1
Qj
8.2 TRÁNSITO DE PISCINA NIVELADA El tránsito de piscina nivelada es un procedimiento para calcular el hidrograma de flujo de salida desde un embalse con una superficie de agua horizontal, dado su hidrograma de entrada y sus características de almacenamiento-caudal de salida. Con este propósito se han propuesto cierto número de procedimientos (por ejemplo, Chow, 1951, 1959), y con los .avances en la computarización, los procedimientos gráficos se han reemplazado por métodos tabulares o funcionales de tal manera que los procedimientos de cálculo pueden automatizarse.
Tiempo
FIGURA 8.2.1 Cambio de almacenamiento durante un periodo de tránsito D.t.
252
HIDROLOGÍA APLICADA
El horizonte de tiempo se divide en intervalos de duración M, indexados por j, es decir, t = O, !::..t, 2/::..t, ... , j!::..t, (j + 1)!::..t, ... , y la ecuación de continuidad (8. 1.1) se integra sobre cada intervalo de tiempo, como se muestra en la figura 8.2.1. Para eljésimo intervalo de tiempo:
/Caudal de entrada
Q
----,----i
J
t
/ Caudal de entrada
1-1 \_Tiempo de redistribución
fu+
sJ~ 1
~
\_Tiempo de movimiento de creciente Q
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TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
dS
= j~
IJ..\t
1(t)dt -
fu+
IJ..\t
Q(t)dt
(8.2.1)
j~
Los valores del flujo de entrada al inicio y al final del j-ésimo intervalo son 11 e 11+1, respectivamente, y los correspondientes valores del caudal de salida son Q1 y Q¡+l· Aquí, tanto el caudal de entrada como el caudal de salida son tasas de flujo medidas como información por muestra, en lugar de que el caudal de entrada sea información por pulso y el caudal de salida sea información por muestra como ocurría con el hidrograma unitario. Si la variación de los caudales de entrada y de salida a lo largo del intervalo es aproximadamente lineal, el cambio en el almacenamiento en el intervalo, S1 + 1 - S1 , puede encontrarse reescribiendo (8.2.1) como
º1
(8.2.2) /
Los valores de 11 e 11 + 1 se conocen debido a que han sido preespecificados. Los valores de Q1 y 51 se conocen en el intervalo de tiempo j-ésimo a partir de los
/
1 / /
1~
1----¡-1
Tiemoo de traslación
FIGURA 8.1.2 lj +
Interpretación conceptual del tiempo de movimiento de crecientes.
troide del hidrograma de salida en un tiempo de redistribución. En canales muy largos, toda la onda de creciente viaja también una distancia considerable y el centroide de su hidrograma también puede moverse en un periodo mayor que el tiempo de redistribución. Este tiempo adicional puede considerarse como el tiempo de traslación. Como se muestra en la figura 8.1.2, el tiempo total de movimiento de lacreciente entre los centroides de los hidrogramas de entrada y salida, es igual a la suma del tiempo de redistribución y del tiempo de traslación. El proceso de redistribución modifica la forma del hidrograma, mientras que el proceso de traslación cambia su poS'ición.
1
..., "O
= 1¡
u'"
º)+ 1
Qj
8.2 TRÁNSITO DE PISCINA NIVELADA El tránsito de piscina nivelada es un procedimiento para calcular el hidrograma de flujo de salida desde un embalse con una superficie de agua horizontal, dado su hidrograma de entrada y sus características de almacenamiento-caudal de salida. Con este propósito se han propuesto cierto número de procedimientos (por ejemplo, Chow, 1951, 1959), y con los .avances en la computarización, los procedimientos gráficos se han reemplazado por métodos tabulares o funcionales de tal manera que los procedimientos de cálculo pueden automatizarse.
Tiempo
FIGURA 8.2.1 Cambio de almacenamiento durante un periodo de tránsito D.t.
254
HIDROLOGÍA APLICADA
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
cálculos hechos durante el intervalo de tiempo previo. Por cof!siguiente, la ecuación (8.2.2) contiene dos incógnitas, Q¡ + 1 y sj + l• las cuales pueden aislarse multiplicando (8.2.2) por 2/!::.t, y reordenando el resultado para producir:
TABLA 8.2.1 Ecuaciones de caudal de salida de vertederos Tipo de vertedero
) (2Sj- Q· ) (~ !::.t + Q·+l = (!· + !·+¡) + IJ.t J
J
J
(8.2.3)
J
Con el fin de calcular el caudal de salida, Q1 + 1 , a partir de la ecuación (8. 2. 3), se necesita una función almacenamiento-caudal de salida que relacione 25/ !::.t + Q y Q. El método para desarrollar esta función utilizando las relaciones elevación-almacenamiento y elevación-caudal de salida se muestra en la figura 8.2.2. La relación entre la elevación de la superficie de agua y el almacenamiento en el embalse puede determinarse planimetrando mapas topográficos o mediante estudios topográficos de campo. La relación elevación-caudal se deduce de las ecuaciones hidráulicas que relacionan cabeza y caudal, como las que se muestran en la tabla 8.2.1 para varios tipos de vertederos y de estructuras de salida. El valor de !1t se toma como el intervalo de tiempo del hidrograma de caudal de entrada. Para un valor dado de la elevación de la superficie de agua, se determinan los valores de almacenamiento S y del caudal de salida Q [partes a) y h) de la figura 8.2.2], luego se calcula el valor de Caudal de salida
=
eLH
Notación 312
Q
e L H
Cresta controlada con compuertas
Q
= ~ 5gcL(Hf12
-
H~12 )
caudal, cfs coeficiente de caudal variable longitud efectiva de la cresta cabeza total en la cresta incluyendo la cabeza de velo-· cidad de aproximación
H¡= cabeza total con respecto
al fondo de la abertura
H2= cabeza total con respecto
e
i+-Rs
e)
Ecuación Q
Q = C 0 (27TRs)H 312
Vertedero Morning glory
Caudal de salida
b)
Cresta libre no controlada
255
....¡
a la parte superior de la abertura coeficiente variable con la forma de compuertas y cresta
Co~
coeficiente relacionado conH y Rs Rs = radio de la cresta circular H = cabeza total
Q 1 1 1
Elevación de. la superficie de agua
Función almacenamiento-caudal de salida
1 1 1
: 1
1
l
~
],L+Q
Culvert (control sumergido a la entrada)
W = anchp de entrada D = altura de entrada ed = coeficiente de descarga
Fuente: Design of Small Dams. Bureau of Reclamation, U. S. Department of the Interior, 1973.
M
t
t
~-----------~---/ 1 1 1
Almacenamiento
1 1 1 1
a)
1
1 1 1 1
1----_...,._____________________________ ../ S
1
H
25/!::.t + Q y se dibuja en el eje horizontal de una gráfica con el valor del caudal de salida Q en el eje vertical [parte e) de la figura 8.2.2]. Durante el tránsito de flujo a través del intervalo de tiempo j, todos los términos de la parte derecha de la ecuación (8.2.3) se conocen, luego el valor de 2SJ + 1/ !1t + QJ + 1 puede calcularse. El valor correspondiente de QJ + 1 puede determinarse a partir de la función almacenamiento-caudal de salida 25/ !::.t + Q versus Q, ya sea gráficamente o por interpolación lineal de unos valores dados en forma tabular. Con el fin de organizar la información requerida para el siguiente intervalo de tiempo, el valor de 2SJ + 1/ !::.t QJ + 1 se calcula utilizando
Elevación de la superficie de agua
FIGURA 8.2.2 Desarrollo de una función almacenamiento-caudal de salida para tránsito de piscina nivelada con base en las curvas almacenamiento-elevación y elevación-caudal de salida.
(8.2.4)
Este cálculo se repite para los subsiguientes periodos de tránsito.
254
HIDROLOGÍA APLICADA
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
cálculos hechos durante el intervalo de tiempo previo. Por cof!siguiente, la ecuación (8.2.2) contiene dos incógnitas, Q¡ + 1 y sj + l• las cuales pueden aislarse multiplicando (8.2.2) por 2/!::.t, y reordenando el resultado para producir:
TABLA 8.2.1 Ecuaciones de caudal de salida de vertederos Tipo de vertedero
) (2Sj- Q· ) (~ !::.t + Q·+l = (!· + !·+¡) + IJ.t J
J
J
(8.2.3)
J
Con el fin de calcular el caudal de salida, Q1 + 1 , a partir de la ecuación (8. 2. 3), se necesita una función almacenamiento-caudal de salida que relacione 25/ !::.t + Q y Q. El método para desarrollar esta función utilizando las relaciones elevación-almacenamiento y elevación-caudal de salida se muestra en la figura 8.2.2. La relación entre la elevación de la superficie de agua y el almacenamiento en el embalse puede determinarse planimetrando mapas topográficos o mediante estudios topográficos de campo. La relación elevación-caudal se deduce de las ecuaciones hidráulicas que relacionan cabeza y caudal, como las que se muestran en la tabla 8.2.1 para varios tipos de vertederos y de estructuras de salida. El valor de !1t se toma como el intervalo de tiempo del hidrograma de caudal de entrada. Para un valor dado de la elevación de la superficie de agua, se determinan los valores de almacenamiento S y del caudal de salida Q [partes a) y h) de la figura 8.2.2], luego se calcula el valor de Caudal de salida
=
eLH
Notación 312
Q
e L H
Cresta controlada con compuertas
Q
= ~ 5gcL(Hf12
-
H~12 )
caudal, cfs coeficiente de caudal variable longitud efectiva de la cresta cabeza total en la cresta incluyendo la cabeza de velo-· cidad de aproximación
H¡= cabeza total con respecto
al fondo de la abertura
H2= cabeza total con respecto
e
i+-Rs
e)
Ecuación Q
Q = C 0 (27TRs)H 312
Vertedero Morning glory
Caudal de salida
b)
Cresta libre no controlada
255
....¡
a la parte superior de la abertura coeficiente variable con la forma de compuertas y cresta
Co~
coeficiente relacionado conH y Rs Rs = radio de la cresta circular H = cabeza total
Q 1 1 1
Elevación de. la superficie de agua
Función almacenamiento-caudal de salida
1 1 1
: 1
1
l
~
],L+Q
Culvert (control sumergido a la entrada)
W = anchp de entrada D = altura de entrada ed = coeficiente de descarga
Fuente: Design of Small Dams. Bureau of Reclamation, U. S. Department of the Interior, 1973.
M
t
t
~-----------~---/ 1 1 1
Almacenamiento
1 1 1 1
a)
1
1 1 1 1
1----_...,._____________________________ ../ S
1
H
25/!::.t + Q y se dibuja en el eje horizontal de una gráfica con el valor del caudal de salida Q en el eje vertical [parte e) de la figura 8.2.2]. Durante el tránsito de flujo a través del intervalo de tiempo j, todos los términos de la parte derecha de la ecuación (8.2.3) se conocen, luego el valor de 2SJ + 1/ !1t + QJ + 1 puede calcularse. El valor correspondiente de QJ + 1 puede determinarse a partir de la función almacenamiento-caudal de salida 25/ !::.t + Q versus Q, ya sea gráficamente o por interpolación lineal de unos valores dados en forma tabular. Con el fin de organizar la información requerida para el siguiente intervalo de tiempo, el valor de 2SJ + 1/ !::.t QJ + 1 se calcula utilizando
Elevación de la superficie de agua
FIGURA 8.2.2 Desarrollo de una función almacenamiento-caudal de salida para tránsito de piscina nivelada con base en las curvas almacenamiento-elevación y elevación-caudal de salida.
(8.2.4)
Este cálculo se repite para los subsiguientes periodos de tránsito.
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HIDROLOGÍA APLICADA
257
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIEI\TES
Ejemplo 8.2.1 Un embalse, para la detención de flujo de crecientes, tiene un área horizontal de un acre, lados verticales y un tubo de concreto reforzado de 5 pies de diámetro como su estructura de salida. La relación entre nivel de agua aguas arriba y caudal de salida para el tubo está dada en las columnas 1 y 2 de la tabla 8.2.2. Utilice el método del tránsito de embalse horizontal para calcular los caudales de salida del embalse utilizando el hidrograma de entrada dado en las columnas 2 y 3 de la tabla 8.2.3. Suponga que el embalse está inicialmente vacío.
tal como se muestra en la columna 4 de la tabla 8.2.2. La función almacenamiento-caudal de salida se grafica en la figura 8.2.3. Los cálculos del tránsito de caudal se llevan a cabo aplicando la ecuación (8.2.3). Para el primer intervalo de tiempo, 5, = Q, =O debido a que el embalse está inicialmente vacío; por tanto (25)/':.t- Q1 ) =O también. Los valores del caudal de entrada son!, = O e!, = 60 cfs, luego (/ 1 + /,) =O+ 60 = 60 cfs. El valor de la función almacenamientocaudal de salida al final del intervalo de tiempo se calcula utilizando la ecuación (8.2.3) con)= 1:
Solución. El hidrograma de entrada se especifica en intervalos de tiempo de 10 min, luego !1t = 10 min = 600 s. Para todas las elevaciones, el área horizontal de la superficie de agua en el embalse es 1 acre = 43,560 pies 2 , y el almacenamiento se calcula como 43,560 x (profundidad de agua). Por ejemplo, para una profundidad de 0.5 pies, S= 0.5 x 43,560 = 21,780 pies 3 , tal como se muestra en la columna 3 de la tabla 8.2.2. El valor correspondiente de 25/ !1t + Q puede determinarse. Para una profundidad de 0.5 pies, el caudal está dado en la columna 2 de la tabla 8.2.2 como 3 cfs, luego la función almacenamiento-caudal de salida tiene un valor de
(
2~{2
+
+ h) + ( 2~/ - Q
º2) = (/¡
1)
=60 +o =
60 cfs
El valor de Q¡+ 1 se encuentra por interpolación lineal dando 25¡ + 1/ !':.t + QJ + 1 • Si existe un par de variables (.r, y), con pares de valores conocidos (.r 1 , y¡) y (x,, y,), entonces el valor interpolado de y correspondiente a un valor dado de .r en el rango x,:::; x:::; x2 es
25 2X21,780+ = cfs 3 76 llt + Q = 600
y = y1
+
()'2- )'¡)
(x 2 -x 1)
(x- x 1)
TABLA 8.2.3
TABLA 8.2.2
Desarrollo de la función almacenamiento-caudal de salida para un embalse de detención (ejemplo 8.2.1) Columna:
1
Elevación
2 Caudal
H
Q
(pies)
(cfs)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 *Intervalo de tiempo !':.t
= 10 min.
3 Almacenamiento S (pies) 3
Tránsito de caudal a través de un embalse de detención utilizando el método de piscina nivelada (ejemplo 8.2.1). La secuencia computacional se indica mediante flechas en la tabla. Columna:
4 (2S/M) 10+ Q
1
Tiempo (cfs)
o
o
o
3 8 17 30 43 60 78 97 117 137 156 173 190 205 218 231 242 253 264 275
21,780 43,560 65,340 87,120 108,900 130,680 152,460 174,240 196,020 217,800 239,580 261,360 283,140 304,920 326,700 348,480 370,260 392,040 413,820 435,600
76 153 235 320 406 496 586 678 770 863 955 1,044 1,134 1,221 1,307 1,393 1,476 1,560 1,643 1,727
índicej
2 3 4 Tiempo Caudal ¡1 + ¡1 + 1 de entrada (min) (cfs) (cfs)
o 2
lO
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210
,-
+
o
6
25
25;+1
=:J. - Q
llt
(cfs)
+.........-
o
'-.... 60 120 180 240 300 360 320 280 240 200 160 120 80 40
60 --180 300 420 540 660 680 600 520 440 360 280 200 120 40
o
7
S j
llt (cfs)
0.0 --..._ 55.2 .... ---.. 60.0 201.1 235.2 378.9 501.1 552.6 798.9 728.2 1,092.6 927.5 1,388.2 1,089.0 1,607.5 1,689.0 1,149.0 1,134.3 1,669.0 1,064.4 1,574.3 954.1 1,424.4 820.2 1,234.1 683.3 1,020.2 555.1 803.3 435.4 595.1 338.2 435.4 272.8 338.2 227.3 272.8 194.9 227.3 169.7 194.9 169.7
+
Qj+l
Caudal de salida (cfs) 0.0 2.4 :::> 17.1 61.1 123.2 182.2 230.3 259.3 270.0 267.4 254.9 235.2 206.9 168.5 124.1 79.8 48.6 32.7 22.8 16.2 12.6 9.8
256
HIDROLOGÍA APLICADA
257
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIEI\TES
Ejemplo 8.2.1 Un embalse, para la detención de flujo de crecientes, tiene un área horizontal de un acre, lados verticales y un tubo de concreto reforzado de 5 pies de diámetro como su estructura de salida. La relación entre nivel de agua aguas arriba y caudal de salida para el tubo está dada en las columnas 1 y 2 de la tabla 8.2.2. Utilice el método del tránsito de embalse horizontal para calcular los caudales de salida del embalse utilizando el hidrograma de entrada dado en las columnas 2 y 3 de la tabla 8.2.3. Suponga que el embalse está inicialmente vacío.
tal como se muestra en la columna 4 de la tabla 8.2.2. La función almacenamiento-caudal de salida se grafica en la figura 8.2.3. Los cálculos del tránsito de caudal se llevan a cabo aplicando la ecuación (8.2.3). Para el primer intervalo de tiempo, 5, = Q, =O debido a que el embalse está inicialmente vacío; por tanto (25)/':.t- Q1 ) =O también. Los valores del caudal de entrada son!, = O e!, = 60 cfs, luego (/ 1 + /,) =O+ 60 = 60 cfs. El valor de la función almacenamientocaudal de salida al final del intervalo de tiempo se calcula utilizando la ecuación (8.2.3) con)= 1:
Solución. El hidrograma de entrada se especifica en intervalos de tiempo de 10 min, luego !1t = 10 min = 600 s. Para todas las elevaciones, el área horizontal de la superficie de agua en el embalse es 1 acre = 43,560 pies 2 , y el almacenamiento se calcula como 43,560 x (profundidad de agua). Por ejemplo, para una profundidad de 0.5 pies, S= 0.5 x 43,560 = 21,780 pies 3 , tal como se muestra en la columna 3 de la tabla 8.2.2. El valor correspondiente de 25/ !1t + Q puede determinarse. Para una profundidad de 0.5 pies, el caudal está dado en la columna 2 de la tabla 8.2.2 como 3 cfs, luego la función almacenamiento-caudal de salida tiene un valor de
(
2~{2
+
+ h) + ( 2~/ - Q
º2) = (/¡
1)
=60 +o =
60 cfs
El valor de Q¡+ 1 se encuentra por interpolación lineal dando 25¡ + 1/ !':.t + QJ + 1 • Si existe un par de variables (.r, y), con pares de valores conocidos (.r 1 , y¡) y (x,, y,), entonces el valor interpolado de y correspondiente a un valor dado de .r en el rango x,:::; x:::; x2 es
25 2X21,780+ = cfs 3 76 llt + Q = 600
y = y1
+
()'2- )'¡)
(x 2 -x 1)
(x- x 1)
TABLA 8.2.3
TABLA 8.2.2
Desarrollo de la función almacenamiento-caudal de salida para un embalse de detención (ejemplo 8.2.1) Columna:
1
Elevación
2 Caudal
H
Q
(pies)
(cfs)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 *Intervalo de tiempo !':.t
= 10 min.
3 Almacenamiento S (pies) 3
Tránsito de caudal a través de un embalse de detención utilizando el método de piscina nivelada (ejemplo 8.2.1). La secuencia computacional se indica mediante flechas en la tabla. Columna:
4 (2S/M) 10+ Q
1
Tiempo (cfs)
o
o
o
3 8 17 30 43 60 78 97 117 137 156 173 190 205 218 231 242 253 264 275
21,780 43,560 65,340 87,120 108,900 130,680 152,460 174,240 196,020 217,800 239,580 261,360 283,140 304,920 326,700 348,480 370,260 392,040 413,820 435,600
76 153 235 320 406 496 586 678 770 863 955 1,044 1,134 1,221 1,307 1,393 1,476 1,560 1,643 1,727
índicej
2 3 4 Tiempo Caudal ¡1 + ¡1 + 1 de entrada (min) (cfs) (cfs)
o 2
lO
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210
,-
+
o
6
25
25;+1
=:J. - Q
llt
(cfs)
+.........-
o
'-.... 60 120 180 240 300 360 320 280 240 200 160 120 80 40
60 --180 300 420 540 660 680 600 520 440 360 280 200 120 40
o
7
S j
llt (cfs)
0.0 --..._ 55.2 .... ---.. 60.0 201.1 235.2 378.9 501.1 552.6 798.9 728.2 1,092.6 927.5 1,388.2 1,089.0 1,607.5 1,689.0 1,149.0 1,134.3 1,669.0 1,064.4 1,574.3 954.1 1,424.4 820.2 1,234.1 683.3 1,020.2 555.1 803.3 435.4 595.1 338.2 435.4 272.8 338.2 227.3 272.8 194.9 227.3 169.7 194.9 169.7
+
Qj+l
Caudal de salida (cfs) 0.0 2.4 :::> 17.1 61.1 123.2 182.2 230.3 259.3 270.0 267.4 254.9 235.2 206.9 168.5 124.1 79.8 48.6 32.7 22.8 16.2 12.6 9.8
258
HIDROLOGÍA APLICADA
259
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
280 400 ~ ~
240
Ql
200
350 300
~
::::
~ (1)
-o
160
~ ~
120
·~ 200 ¡¡::
:;; -o
::l
80
-o 150
40
E-
";;;
~
u
250
"'
o o
0.2
0.4
0.6
0.8
2S(M + Q
1.0
1.2
(cfs x 10
3
1.4
1.6
1.8
)
En este caso, x = 2S/6t + Q y y= Q. Dos pares de valores alrededor de 2S/6t + Q = 60 se seleccionan de la tabla 8.2.2; éstos son (x 1 , y 1 ) = (0, O) y (x 2 , JI)= (76, 3). El valor de y para x = 60 es, por interpolación lineal, (3- O)
06
_ O) (60 - O)
=2.4 cfs
2
2
2
Luego, Q = 2.4 cfs, y el valor de 2S !6t- Q necesario para la siguiente iteraciónse encuentra usando la ecuación (8.2.4) con j = 2:
(2:t2 - º2)= (2:t2 + º2)- 2Q2 = 60-2
X
o O W
W W
~
IWIWWO
IOOIWI~
La secuencia de los cálculos previamente descritos se indica con flechas en las primeras dos filas de la tabla 8.2.3. Procediendo al siguiente intervalo de tie:apo, U2 + 1_,) = 60 + 120 = 180 cfs y el tránsito se lleva a cabo con j = 2 en (8.2.3).
º3) = (h + h) + (2: : - º2) = 180 + 55.2 =
o
Caudal • Caudal de salida de entrada
FIGURA 8.2.4
Tránsito de caudal a través de un embalse de detención (ejemplo 8.2.1).
forma, los resultados se tabulan en la tabla 8.2.3 y se grafican en la figura 8.2.4. El pico de caudal de entrada es 360 cfs y ocurre en el minuto 60; el embalse de detención reduce el pico de caudal de salida a 270 cfs y lo demora hasta el minuto 80. Tal como se discutió en la sección 8.1, el caudal de salida se maximiza en el punto donde los caudales de entrada y salida son iguales, debido a que el almacenamiento se maximiza también en este momento y existe una función de valor único que relaciona el almacenamiento y el caudal de salida para un embalse con piscina nivelada. La máxima profundidad en el embalse de almacenamiento se calcula por interpolación lineal de la tabla 8.2.2 como 9.77 pies correspondiente al caudal pico de 270 cfs. Si esta profundidad es muy grande, o si el caudal de 270 cfs en el tubo de salida de 5 pies también lo es, la estructura de salida o el área superficial del embalse deben agrandarse. Un tamaño equivalente de tubo elíptico o en arco también tendería a bajar la elevación del nivel hídrico aguas arriba.
2.4
= 55.2 cfs
2 ( :: +
50
Tiempo (min)
FIGURA 8.2.3 Función almacenamiento-caudal de salida para un embalse de detención (ejemplo 8.2.1 ).
y= O +
100
235.2 cfs
Por interpolación lineal en la tabla 8.2.2, el valor de Q 3 = 17.1 cfs y utilizando la ecuación (8.2.4), 2S1/6t- Q3 = 201.1 cfs, tal como se muestra en la tercera fila de la tabla 8.2.3. Los cálculos para intervalos de tiempo subsecuentes se llevan a cabo en la misma
8.3 MÉTODO DE RUNGE-KUTTA Un método alternativo para el tránsito de piscina nivelada puede desarrollarse resolviendo las ecuaciones de continuidad por medio de un método numérico tal como el método de Runge-Kutta. El método de Runge-Kutta es más complicado que el método descrito en la sección previa, pero no requiere del cálculo de la función especial de almacenamiento-caudal de salida y está relacionado en una forma más cercana con la hidráulica de flujo a través del embalse. Pueden adoptarse varios esquemas de Runge-Kutta de diferente orden (Carnahan, et al., 1969). Aquí se describe un esquema de tercer orden; éste parte cada intervalo de tiempo en tres incrementos y calcula valores sucesivos de la elevación de la superficie del agua y el caudal de salida del embalse para cada incremento. La ecuación de continuidad se expresa como
dS
-
dt
= /(t) - Q(H)
(8.3.1)
258
HIDROLOGÍA APLICADA
259
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
280 400 ~ ~
240
Ql
200
350 300
~
::::
~ (1)
-o
160
~ ~
120
·~ 200 ¡¡::
:;; -o
::l
80
-o 150
40
E-
";;;
~
u
250
"'
o o
0.2
0.4
0.6
0.8
2S(M + Q
1.0
1.2
(cfs x 10
3
1.4
1.6
1.8
)
En este caso, x = 2S/6t + Q y y= Q. Dos pares de valores alrededor de 2S/6t + Q = 60 se seleccionan de la tabla 8.2.2; éstos son (x 1 , y 1 ) = (0, O) y (x 2 , JI)= (76, 3). El valor de y para x = 60 es, por interpolación lineal, (3- O)
06
_ O) (60 - O)
=2.4 cfs
2
2
2
Luego, Q = 2.4 cfs, y el valor de 2S !6t- Q necesario para la siguiente iteraciónse encuentra usando la ecuación (8.2.4) con j = 2:
(2:t2 - º2)= (2:t2 + º2)- 2Q2 = 60-2
X
o O W
W W
~
IWIWWO
IOOIWI~
La secuencia de los cálculos previamente descritos se indica con flechas en las primeras dos filas de la tabla 8.2.3. Procediendo al siguiente intervalo de tie:apo, U2 + 1_,) = 60 + 120 = 180 cfs y el tránsito se lleva a cabo con j = 2 en (8.2.3).
º3) = (h + h) + (2: : - º2) = 180 + 55.2 =
o
Caudal • Caudal de salida de entrada
FIGURA 8.2.4
Tránsito de caudal a través de un embalse de detención (ejemplo 8.2.1).
forma, los resultados se tabulan en la tabla 8.2.3 y se grafican en la figura 8.2.4. El pico de caudal de entrada es 360 cfs y ocurre en el minuto 60; el embalse de detención reduce el pico de caudal de salida a 270 cfs y lo demora hasta el minuto 80. Tal como se discutió en la sección 8.1, el caudal de salida se maximiza en el punto donde los caudales de entrada y salida son iguales, debido a que el almacenamiento se maximiza también en este momento y existe una función de valor único que relaciona el almacenamiento y el caudal de salida para un embalse con piscina nivelada. La máxima profundidad en el embalse de almacenamiento se calcula por interpolación lineal de la tabla 8.2.2 como 9.77 pies correspondiente al caudal pico de 270 cfs. Si esta profundidad es muy grande, o si el caudal de 270 cfs en el tubo de salida de 5 pies también lo es, la estructura de salida o el área superficial del embalse deben agrandarse. Un tamaño equivalente de tubo elíptico o en arco también tendería a bajar la elevación del nivel hídrico aguas arriba.
2.4
= 55.2 cfs
2 ( :: +
50
Tiempo (min)
FIGURA 8.2.3 Función almacenamiento-caudal de salida para un embalse de detención (ejemplo 8.2.1 ).
y= O +
100
235.2 cfs
Por interpolación lineal en la tabla 8.2.2, el valor de Q 3 = 17.1 cfs y utilizando la ecuación (8.2.4), 2S1/6t- Q3 = 201.1 cfs, tal como se muestra en la tercera fila de la tabla 8.2.3. Los cálculos para intervalos de tiempo subsecuentes se llevan a cabo en la misma
8.3 MÉTODO DE RUNGE-KUTTA Un método alternativo para el tránsito de piscina nivelada puede desarrollarse resolviendo las ecuaciones de continuidad por medio de un método numérico tal como el método de Runge-Kutta. El método de Runge-Kutta es más complicado que el método descrito en la sección previa, pero no requiere del cálculo de la función especial de almacenamiento-caudal de salida y está relacionado en una forma más cercana con la hidráulica de flujo a través del embalse. Pueden adoptarse varios esquemas de Runge-Kutta de diferente orden (Carnahan, et al., 1969). Aquí se describe un esquema de tercer orden; éste parte cada intervalo de tiempo en tres incrementos y calcula valores sucesivos de la elevación de la superficie del agua y el caudal de salida del embalse para cada incremento. La ecuación de continuidad se expresa como
dS
-
dt
= /(t) - Q(H)
(8.3.1)
260
HIDROLOGÍA APLICADA
261
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
donde S es el volumen de agua almacenado en el embalse; l(t) es el flujo de entrada al embalse como función del tiempo; y Q(H) es el flujo de salida del embalse, que se determina mediante la cabeza o elevación (H) en el embalse. El cambio en el volumen, dS, debido al cambio en la elevación, dH, puede expresarse como dS
= A(H)dH
(8.3.2)
donde A(H) es el área de la superficie de agua correspondiente a la elevación H. La ecuación de continuidad entonces puede reescribirse como dH
l(t)- Q(H)
dt
A(H)
H· ./
~-t1 ;====='==Ltlí.lt~====;J---+ Tiempo t¡
(8.3.3)
La solución se extiende hacia adelante utilizando pequeños incrementos de la variable independiente, el tiempo, usando valores conocidos de la variable dependiente H. Para un esquema de tercer orden, existen tres incrementos en cada intervalo de tiempo !:lt y se hacen tres aproximaciones sucesivas para el cambio en la cabeza de elevación, dH. La figura 8.3.1 ilustra cómo se definen los tres valores aproximados !:lH~, !:lH~ y !:lH 3 para el j-ésimo intervalo. La pendiente, dH!dt, aproximada por !:lH/!:lt, se evalúa primero en (H1, t) luego en (H1 + M 1/3, t1 + !:lt/3) y finalmente en (H1 + 2!:lH 213 , t1 + 2/:lt/3). En las ecuaciones,
t¡
t
1
+AL 3
1 1 1
(8.3.4a)
1 1 1 1
:
(8.3.4b)
Pendiente
----~------~-'--~t¡~--~----~----~:~¡
H· ./
FIGURA 8.3.1 ~-~---'---~---'----+Tiempo
(8.3.4c)
El valor de
HJ+I
1¡
/· + 2L'lt J
3
1¡ +
1
Pasos para definir los incrementos de elevación para el método de Runge- Kutta de tercer orden.
está dado por Hj+l=Hj+!:lH
(8.3.5)
donde
ó.H
= ó.H¡ + 36.H.3 4
4
(8.3.6)
En la figura 8.3.2 se muestra un diagrama de flujo para el método de tercer orden de Runge-Kutta.
Ejemplo 8.3.1 Utilice el método de Runge-Kutta de tercer orden para llevar a cabo el tránsito a través de un embalse de detención de un acre con paredes verticales, tal como se describió en el ejemplo 8.2.1. La relación elevación-caudal está dada en las columnas 1 y 2 de la tabla 8.2.2 y el hidrograma de entrada en las columnas 1 y 2 de la tabla 8.3.1. Solución. La función A(H) que relaciona el área de la superficie del agua con la elevación en el embalse es simplemente A(H) = 43,560 pies' para todos los valores de H
porque el embalse tiene un área base de un acre y lados verticales. Se utiliza un intervalo de tránsito de M= 1O m in. El procedimiento comienza con la determinación de /(0), /(0 + 10/3) e /(0 + (2/3) X (10)), los cuales se encuentran mediante interpolación lineal entre los valores de o y 60 cfs encontrados en la columna 2 de la tabla 8.3.1; estos son
260
HIDROLOGÍA APLICADA
261
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
donde S es el volumen de agua almacenado en el embalse; l(t) es el flujo de entrada al embalse como función del tiempo; y Q(H) es el flujo de salida del embalse, que se determina mediante la cabeza o elevación (H) en el embalse. El cambio en el volumen, dS, debido al cambio en la elevación, dH, puede expresarse como dS
= A(H)dH
(8.3.2)
donde A(H) es el área de la superficie de agua correspondiente a la elevación H. La ecuación de continuidad entonces puede reescribirse como dH
l(t)- Q(H)
dt
A(H)
H· ./
~-t1 ;====='==Ltlí.lt~====;J---+ Tiempo t¡
(8.3.3)
La solución se extiende hacia adelante utilizando pequeños incrementos de la variable independiente, el tiempo, usando valores conocidos de la variable dependiente H. Para un esquema de tercer orden, existen tres incrementos en cada intervalo de tiempo !:lt y se hacen tres aproximaciones sucesivas para el cambio en la cabeza de elevación, dH. La figura 8.3.1 ilustra cómo se definen los tres valores aproximados !:lH~, !:lH~ y !:lH 3 para el j-ésimo intervalo. La pendiente, dH!dt, aproximada por !:lH/!:lt, se evalúa primero en (H1, t) luego en (H1 + M 1/3, t1 + !:lt/3) y finalmente en (H1 + 2!:lH 213 , t1 + 2/:lt/3). En las ecuaciones,
t¡
t
1
+AL 3
1 1 1
(8.3.4a)
1 1 1 1
:
(8.3.4b)
Pendiente
----~------~-'--~t¡~--~----~----~:~¡
H· ./
FIGURA 8.3.1 ~-~---'---~---'----+Tiempo
(8.3.4c)
El valor de
HJ+I
1¡
/· + 2L'lt J
3
1¡ +
1
Pasos para definir los incrementos de elevación para el método de Runge- Kutta de tercer orden.
está dado por Hj+l=Hj+!:lH
(8.3.5)
donde
ó.H
= ó.H¡ + 36.H.3 4
4
(8.3.6)
En la figura 8.3.2 se muestra un diagrama de flujo para el método de tercer orden de Runge-Kutta.
Ejemplo 8.3.1 Utilice el método de Runge-Kutta de tercer orden para llevar a cabo el tránsito a través de un embalse de detención de un acre con paredes verticales, tal como se describió en el ejemplo 8.2.1. La relación elevación-caudal está dada en las columnas 1 y 2 de la tabla 8.2.2 y el hidrograma de entrada en las columnas 1 y 2 de la tabla 8.3.1. Solución. La función A(H) que relaciona el área de la superficie del agua con la elevación en el embalse es simplemente A(H) = 43,560 pies' para todos los valores de H
porque el embalse tiene un área base de un acre y lados verticales. Se utiliza un intervalo de tránsito de M= 1O m in. El procedimiento comienza con la determinación de /(0), /(0 + 10/3) e /(0 + (2/3) X (10)), los cuales se encuentran mediante interpolación lineal entre los valores de o y 60 cfs encontrados en la columna 2 de la tabla 8.3.1; estos son
262
Condiciones iniciales Elevación de la superficie de agua en el embalse
TABLA 8.3.1
t=O,j=l,H¡=?
Tránsito de un hidrograma de caudal de entrada a través de un embalse de detención por el método de Runge-Kutta (ejemplo 8.3.1)
r Variar el tiempo 1¡ + 1
1¡
=
+ l:.t
1 Columna: 1 2 3 Tiempo Caudal de (min) entrada (cfs) L'lHt
Determinar el hidro grama de entrada: l(t¡), l(t¡ +
o
~)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
l(t¡ + ~ l:.t)
Determinar Q(H¡) de la relación elevación-caudal 11H 1
]M
[ I(t¡) - Q(H¡) A(H¡)
=
Determinar Q(H¡ +
!!.H2= [
l(t¡ +
!!.H¡
~~)
3
3) - Q(H¡ + AH, ~3~)
"
o 60 120 180 240 300 360 320 280 240 200 160 120 80 40.
o
7 6 Profundidad Caudal de L'1H3 (pies) salida (cfs)
4
5
L'1H2
o
o 0.79 1.41 1.61 1.59 1.62 1.79 0.84 0.15 -0.37 -0.75 -1.03 -1.19 -1.21 -1.15
0.54 1.24 1.59 1.61 1.60 1.72 1.13 0.36 -0.21 -0.63 -0.94 -1.14 -1.21 -1.18 -1.11
0.28 1.04 1.51 1.62 1.58 1.66 1.42 0.57 -0.05 -0.52 -0.86 -1.10 -1.21 -1.20 -1.12
o
0.40 1.53 3.08 4.69 6.28 7.98 9.27 9.75 9.63 9.06 8.17 7.05 5.85 4.66 3.54
2.4 17.9 62.8 124.5 182.6 230.4 259.0 269.5 266.8 254.3 234.7 206.4 167.8 123.5 80.0
J
M
O, 20 y 40 cfs respectivaMente. Luego se calcula M, utilizando la ecuación (8.3.4a) con t:.t = 1Om in = 600 s, A = 43,560 pies 2 e /(0) = O cfs; como el embalse se encuentra inicialmente vacío, H1 = O y Q(H¡) = 0:
A(H + 11H¡)
3
J
263
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
l(t¡) - Q(H¡) Determinar Q (Ji¡ + ~ I:.H 2)
!1H 3
=
t
/('¡ +
l M)
- Q(H¡ +
A(H¡ + ~ !!.H2)
A(HJ)
l AH,)}'
= (O- O)
X
tlt 600
43,560
= o Para el siguiente incremento de tiempo, utilizando la ecuación (8.3.4b) con /(0 + 10/3) = 20 pies 3/s,
I:.H
11H
1 = ---:¡-+
3
~t¡ + ~) -
---¡;11H 3
Q(H1
+
~1 )
--'-------;-'-------':-=~--'-
1 H¡
+1
= H¡
+ !!.H
J
No
¿Fin?
A(H1
ii=J+II
Sí
= ( 20
- O)
X
+
~)
tlt
600
43,560 = 0.28 pies
Pare
FIGURA 8.3.2 Diagrama de flujo para el tránsito en embalses de detención utilizando la técnica de Runge-Kutta de tercer orden.
Para el último incremento, H1 + (2/3)1J.H2 =O+ (2/3)(0.28) = 0.18 pies. Por interpolación lineal en la tabla 8.2.2, Q(0.18) = 1.10 cfs. Por sustitución en la ecuación (8.3.4c)
262
Condiciones iniciales Elevación de la superficie de agua en el embalse
TABLA 8.3.1
t=O,j=l,H¡=?
Tránsito de un hidrograma de caudal de entrada a través de un embalse de detención por el método de Runge-Kutta (ejemplo 8.3.1)
r Variar el tiempo 1¡ + 1
1¡
=
+ l:.t
1 Columna: 1 2 3 Tiempo Caudal de (min) entrada (cfs) L'lHt
Determinar el hidro grama de entrada: l(t¡), l(t¡ +
o
~)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
l(t¡ + ~ l:.t)
Determinar Q(H¡) de la relación elevación-caudal 11H 1
]M
[ I(t¡) - Q(H¡) A(H¡)
=
Determinar Q(H¡ +
!!.H2= [
l(t¡ +
!!.H¡
~~)
3
3) - Q(H¡ + AH, ~3~)
"
o 60 120 180 240 300 360 320 280 240 200 160 120 80 40.
o
7 6 Profundidad Caudal de L'1H3 (pies) salida (cfs)
4
5
L'1H2
o
o 0.79 1.41 1.61 1.59 1.62 1.79 0.84 0.15 -0.37 -0.75 -1.03 -1.19 -1.21 -1.15
0.54 1.24 1.59 1.61 1.60 1.72 1.13 0.36 -0.21 -0.63 -0.94 -1.14 -1.21 -1.18 -1.11
0.28 1.04 1.51 1.62 1.58 1.66 1.42 0.57 -0.05 -0.52 -0.86 -1.10 -1.21 -1.20 -1.12
o
0.40 1.53 3.08 4.69 6.28 7.98 9.27 9.75 9.63 9.06 8.17 7.05 5.85 4.66 3.54
2.4 17.9 62.8 124.5 182.6 230.4 259.0 269.5 266.8 254.3 234.7 206.4 167.8 123.5 80.0
J
M
O, 20 y 40 cfs respectivaMente. Luego se calcula M, utilizando la ecuación (8.3.4a) con t:.t = 1Om in = 600 s, A = 43,560 pies 2 e /(0) = O cfs; como el embalse se encuentra inicialmente vacío, H1 = O y Q(H¡) = 0:
A(H + 11H¡)
3
J
263
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
l(t¡) - Q(H¡) Determinar Q (Ji¡ + ~ I:.H 2)
!1H 3
=
t
/('¡ +
l M)
- Q(H¡ +
A(H¡ + ~ !!.H2)
A(HJ)
l AH,)}'
= (O- O)
X
tlt 600
43,560
= o Para el siguiente incremento de tiempo, utilizando la ecuación (8.3.4b) con /(0 + 10/3) = 20 pies 3/s,
I:.H
11H
1 = ---:¡-+
3
~t¡ + ~) -
---¡;11H 3
Q(H1
+
~1 )
--'-------;-'-------':-=~--'-
1 H¡
+1
= H¡
+ !!.H
J
No
¿Fin?
A(H1
ii=J+II
Sí
= ( 20
- O)
X
+
~)
tlt
600
43,560 = 0.28 pies
Pare
FIGURA 8.3.2 Diagrama de flujo para el tránsito en embalses de detención utilizando la técnica de Runge-Kutta de tercer orden.
Para el último incremento, H1 + (2/3)1J.H2 =O+ (2/3)(0.28) = 0.18 pies. Por interpolación lineal en la tabla 8.2.2, Q(0.18) = 1.10 cfs. Por sustitución en la ecuación (8.3.4c)
264
HIDROLOGÍA APLICADA
~t¡ + 2~t) _ + 2t1 3 - - - - - - - - ' - - - - - - !:lt
Q(Hi
A(Hi +
(40-1.10) 43, 560
X
H2)
2~H2)
600
= 0.54 pies Los valores de !1H,, !1H, y !1H, se encuentran en las columnas 3, 4 y 5 de la tabla 8.3.1. Luego, para el intervalo de tiempo completo de diez minutos, !1H se calcula utilizando la ecuación (8.3.6):
o
es mayor que el caudal de entrada resultando en una cuña negativa. Adicionalmente, existe un almacenamiento por prisma que está formado por un volumen de sección transversal constante a lo largo de la longitud del canal prismático. Suponiendo que el área de la sección transversal del flujo de creciente es directamente proporcional al caudal en la sección, el volumen de almacenamiento por prisma es igual a KQ donde K es un coeficiente de proporcionalidad, y el volumen de almacenamiento por cuña es igual a KX(l- Q), donde X es un factor de ponderación dentro del rango O :::; X :::; 0.5. El almacenamiento total es por consiguiente la suma de dos componentes,
S = KQ
4
3 (0.54) = 0.40 pies 4
S
- +4
+
(8.4.1)
KX(I- Q)
la cual puede reordenarse para dar la función de almacenamiento para el méfodo de Muskingum
!1H 3!1H3 ! : l H =1- + - -
4
265
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
Luego, H en lO m in está dado por H, = H, + !1H, =O+ 0.40 = 0.40 pies (columna 6) y el caudal correspondiente para el tubo se interpola de la tabla 8.2.2 como Q = 2.4 cfs (columna 7). Los cálculos de tránsito para periodos subsiguientes siguen el mismo procedimiento, y la solución extendida lo suficientemente lejos para cubrir el pico de caudal de salida, se presenta en la tabla 8.3.1. El resultado es muy similar al obtenido en el ejemplo 8.2.1 utilizando el método de tránsito de piscina nivelada. Igual que antes, el pico de entrada de 360 cfs en el minuto 60 se reduce a 270 cfs en el minuto 80.
8.4 TRÁNSITO HIDROLÓGICO EN RÍOS El método de Muskingum es un método de tránsito hidrológico que se usa comúnmente para manejar relaciones caudal-almacenamiento variables. Este método modela el almacenamiento volumétrico de creciente en un canal de un río mediante la combinación del almacenamiento de cuña y prisma (véase la figura 8.4.1). Durante el avance de la onda de creciente, el caudal de entrada es mayor que el caudal de salida, siendo un almacenamiento de cuña. Durante la recesión, el caudal de salida
= K[XI
+
(8 .4.2)
(1 - X)Q]
y representa un modelo lineal para el tránsito de caudales en corrientes. El valor de X depende de la forma de almacenamiento por cuña modelado. El valor de X varía desde O para un almacenamiento tipo embalse hasta 0.5 para una cuña completamente desarrollada. Cuando X = O, no existe cuña y por consiguiente no existe curva de remanso; éste es el caso para un embalse de piscina nivelada. En este caso la ecuación (8.4.2) resulta en un modelo de embalse lineal S = KQ. En corrientes naturales, X se encuentra entre O y 0.3 con un valor medio cercano a 0.2. No se necesita una gran precisión en la determinación de X debido fl que los resultados del método son relativamente insensibles al valor de este parámetro. El parámetro K es el tiempo de tránsito de una onda de creciente a través del tramo de canal. En el capítulo 9 se describe un procedimiento conocido como el método de MuskingumCunge para determinar los valores de K y X con base en las características del canal y la tasa de flujo en el canal. Para el tránsito hidrológico, los valores de K y X se suponen especificados y constantes para todo el rango de flujo. Los valores de almacenamiento en el tiempo j y j + 1 pueden escribirse, respectivamente, como
(8.4.3) y
(8.4.4) Utilizando las ecuaciones (8.4.3) y (8.4.4), el cambio del almacenamiento durante el intervalo de tiempo At (véase la figura 8.2.1) es
(8.4.5) El cambio en el almacenamiento también puede expresarse, utilizando la ecuación (8.2.2), como FIGURA 8.4.1
Almacenamientos por prisma y por cuña en un tramo de un canal.
(/·J + !·+¡) J l::.t 2
(Q·
J
+
Q·+¡)
2
J
l::.t
(8.4.6)
264
HIDROLOGÍA APLICADA
~t¡ + 2~t) _ + 2t1 3 - - - - - - - - ' - - - - - - !:lt
Q(Hi
A(Hi +
(40-1.10) 43, 560
X
H2)
2~H2)
600
= 0.54 pies Los valores de !1H,, !1H, y !1H, se encuentran en las columnas 3, 4 y 5 de la tabla 8.3.1. Luego, para el intervalo de tiempo completo de diez minutos, !1H se calcula utilizando la ecuación (8.3.6):
o
es mayor que el caudal de entrada resultando en una cuña negativa. Adicionalmente, existe un almacenamiento por prisma que está formado por un volumen de sección transversal constante a lo largo de la longitud del canal prismático. Suponiendo que el área de la sección transversal del flujo de creciente es directamente proporcional al caudal en la sección, el volumen de almacenamiento por prisma es igual a KQ donde K es un coeficiente de proporcionalidad, y el volumen de almacenamiento por cuña es igual a KX(l- Q), donde X es un factor de ponderación dentro del rango O :::; X :::; 0.5. El almacenamiento total es por consiguiente la suma de dos componentes,
S = KQ
4
3 (0.54) = 0.40 pies 4
S
- +4
+
(8.4.1)
KX(I- Q)
la cual puede reordenarse para dar la función de almacenamiento para el méfodo de Muskingum
!1H 3!1H3 ! : l H =1- + - -
4
265
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
Luego, H en lO m in está dado por H, = H, + !1H, =O+ 0.40 = 0.40 pies (columna 6) y el caudal correspondiente para el tubo se interpola de la tabla 8.2.2 como Q = 2.4 cfs (columna 7). Los cálculos de tránsito para periodos subsiguientes siguen el mismo procedimiento, y la solución extendida lo suficientemente lejos para cubrir el pico de caudal de salida, se presenta en la tabla 8.3.1. El resultado es muy similar al obtenido en el ejemplo 8.2.1 utilizando el método de tránsito de piscina nivelada. Igual que antes, el pico de entrada de 360 cfs en el minuto 60 se reduce a 270 cfs en el minuto 80.
8.4 TRÁNSITO HIDROLÓGICO EN RÍOS El método de Muskingum es un método de tránsito hidrológico que se usa comúnmente para manejar relaciones caudal-almacenamiento variables. Este método modela el almacenamiento volumétrico de creciente en un canal de un río mediante la combinación del almacenamiento de cuña y prisma (véase la figura 8.4.1). Durante el avance de la onda de creciente, el caudal de entrada es mayor que el caudal de salida, siendo un almacenamiento de cuña. Durante la recesión, el caudal de salida
= K[XI
+
(8 .4.2)
(1 - X)Q]
y representa un modelo lineal para el tránsito de caudales en corrientes. El valor de X depende de la forma de almacenamiento por cuña modelado. El valor de X varía desde O para un almacenamiento tipo embalse hasta 0.5 para una cuña completamente desarrollada. Cuando X = O, no existe cuña y por consiguiente no existe curva de remanso; éste es el caso para un embalse de piscina nivelada. En este caso la ecuación (8.4.2) resulta en un modelo de embalse lineal S = KQ. En corrientes naturales, X se encuentra entre O y 0.3 con un valor medio cercano a 0.2. No se necesita una gran precisión en la determinación de X debido fl que los resultados del método son relativamente insensibles al valor de este parámetro. El parámetro K es el tiempo de tránsito de una onda de creciente a través del tramo de canal. En el capítulo 9 se describe un procedimiento conocido como el método de MuskingumCunge para determinar los valores de K y X con base en las características del canal y la tasa de flujo en el canal. Para el tránsito hidrológico, los valores de K y X se suponen especificados y constantes para todo el rango de flujo. Los valores de almacenamiento en el tiempo j y j + 1 pueden escribirse, respectivamente, como
(8.4.3) y
(8.4.4) Utilizando las ecuaciones (8.4.3) y (8.4.4), el cambio del almacenamiento durante el intervalo de tiempo At (véase la figura 8.2.1) es
(8.4.5) El cambio en el almacenamiento también puede expresarse, utilizando la ecuación (8.2.2), como FIGURA 8.4.1
Almacenamientos por prisma y por cuña en un tramo de un canal.
(/·J + !·+¡) J l::.t 2
(Q·
J
+
Q·+¡)
2
J
l::.t
(8.4.6)
266
HIDROLOGÍA APLICADA
267
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
Combinando las ecuaciones (8.4.5) y (8.4.6) y simplificando, se obtiene
=
e3
2(2.3)(1 - 0.15) - 1 = 4.91
(8.4.7) Se verifica que la suma de los coeficientes
2.91 = 0.5927 4.91
e 1, e2 y e3
sea igual a 1.
que es la ecuación de tránsito para el método de Muskingum, donde
e 1 + e 2 + e 3 = o.o631 + o.3442 + 0.5927 = 1.oooo
C¡
c2 c3
~t-
2KX
2K(l- X)+
~t + 2KX 2K(l- X)+ ~t
2K(l- X)-
~t
2K(l- X)+
~t
Para el primer intervalo de tiempo, el caudal de salida se determina utilizando los valores para / 1 e / 2 de la tabla 8.4. 1, el caudal de sal ida inicial Q 1 = 85 cfs y la ecuación (8.4.7)conj= l.
(8.4.8)
~t
(8.4.9)
Q2 = e1h + e2I1 + e3Q¡ = 0.0631(137)
(8.4.10)
= 8.6
+
32.0
+ 0.3442(93) + + 50.4
0.5927(85)
= 91 cfs
Nótese que C 1 + C 2 + C 3 = l. Si se encuentran disponibles hidrogramas de entrada y salida observados para un tramo de río, pueden determinarse los valores de K y X. Suponiendo varios valores de X y utilizando valores conocidos de caudal de entrada y caudal de salida, pueden calcularse valores sucesivos del numerador y denominador para la siguiente expresión para K, deducida de las ecuaciones (8.4.5) y (8.4.6).
tal como se muestra en las columnas (3) a (6) de la tabla 8.4.1. Los cálculos para los intervalos de tiempo siguientes usan el mismo procedimiento conj = 2, 3, ... para producir los resultados mostrados en la tabla 8.4.1. Los hidrogramas de caudal de entrada y de caudal de salida están graficados en la figura 8.4.2. Puede verse que el flujo de salida se retrasa con respecto al flujo de entrada aproximadamente 2.3 h, el cual es el valor de K utilizado en los cálculos y que representa el tiempo de tránsito en el tramo.
TABLA 8.4.1
(8.4.11) Los valores calculados de denominador y de numerador se grafican para cada intervalo de tiempo, con el numerador en la escala vertical y el denominador en la escala horizontal. Esto usualmente produce una gráfica en forma de bucle. El valor de X que produzca el bucle más parecido a una línea única se toma como el valor correcto para ese tramo, y K, de acuerdo con la ecuación (8.4.11), es igual a la pendiente de esa línea. Como K es el tiempo requerido para que la onda de creciente incremental atraviese el tramo, su valor también puede estimarse como el tiempo de tránsito observado del pico de flujo a través del tramo. Si no se encuentran disponibles los hidrogramas de entrada y de salida para determinar K y X, sus valores pueden estimarse utilizando el método de Muskingum-Cunge descrito en la sección 9.7. Ejemplo 8.4.1 El hidrograma de entrada para el tramo de un río está dado en las columnas 1 y 2 de la tabla 8.4.1. Determine el hidrograma de flujo de salida para este tramo si K= 2.3 h, X= 0.15 y M= 1 h. El caudal de salida inicial es 85 pies'/s.
Solución. Se determinan los coeficientes (8 .4.1 0):
e¡, ez y e,
1- 2(2.3)(0.15) 2(2.3)(1 - 0.15) 1
+ 2(2.3)(0.15) 4.91
+
utilizando las ecuaciones (8.4.8) a 0.31
1
4.91 1.69 4.91
0.0631
0.3442
Tránsito de caudal a través del tramo de un río por el método de Muskingun (ejemplo
8.4.1) Columna: (1)
(2)
(3)
Periodo de Caudal de tránsito entrada j (h) 1 (cfs) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
93 137 208 320 442 546 630 678 691 675 634 571 477 390 329 247 184 134 108 90
(4)
(5)
C¡/J+I (C 1 = 0.0631)
(C2
8.6 13.1 20.2 27.9 34.5 39.8 42.8 43.6 42.6 40.0 36.0 30.1 24.6 20.8 15.6 11.6 8.5 6.8 5.7
32.0 47.2 71.6 110.1 152.1 187.9 216.8 233.4 237.8 232.3 218.2 196.5 164.2 134.2 113.2 85.0 63.3 46.1 37.2
C2l1
= 0.3442)
(6)
Caudal de salida ClQJ Q (e J = 0.5927) (cfs) 50.4 54.0 67.7 94.5 137.8 192.3 248.9 301.4 342.8 369.4 380.4 376.1 357.3 323.6 283.7 244.5 202.2 162.4 127.6
85 91 114 159 233 324 420 509 578 623 642 635 603 546 479 413 341 274 215 170
266
HIDROLOGÍA APLICADA
267
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
Combinando las ecuaciones (8.4.5) y (8.4.6) y simplificando, se obtiene
=
e3
2(2.3)(1 - 0.15) - 1 = 4.91
(8.4.7) Se verifica que la suma de los coeficientes
2.91 = 0.5927 4.91
e 1, e2 y e3
sea igual a 1.
que es la ecuación de tránsito para el método de Muskingum, donde
e 1 + e 2 + e 3 = o.o631 + o.3442 + 0.5927 = 1.oooo
C¡
c2 c3
~t-
2KX
2K(l- X)+
~t + 2KX 2K(l- X)+ ~t
2K(l- X)-
~t
2K(l- X)+
~t
Para el primer intervalo de tiempo, el caudal de salida se determina utilizando los valores para / 1 e / 2 de la tabla 8.4. 1, el caudal de sal ida inicial Q 1 = 85 cfs y la ecuación (8.4.7)conj= l.
(8.4.8)
~t
(8.4.9)
Q2 = e1h + e2I1 + e3Q¡ = 0.0631(137)
(8.4.10)
= 8.6
+
32.0
+ 0.3442(93) + + 50.4
0.5927(85)
= 91 cfs
Nótese que C 1 + C 2 + C 3 = l. Si se encuentran disponibles hidrogramas de entrada y salida observados para un tramo de río, pueden determinarse los valores de K y X. Suponiendo varios valores de X y utilizando valores conocidos de caudal de entrada y caudal de salida, pueden calcularse valores sucesivos del numerador y denominador para la siguiente expresión para K, deducida de las ecuaciones (8.4.5) y (8.4.6).
tal como se muestra en las columnas (3) a (6) de la tabla 8.4.1. Los cálculos para los intervalos de tiempo siguientes usan el mismo procedimiento conj = 2, 3, ... para producir los resultados mostrados en la tabla 8.4.1. Los hidrogramas de caudal de entrada y de caudal de salida están graficados en la figura 8.4.2. Puede verse que el flujo de salida se retrasa con respecto al flujo de entrada aproximadamente 2.3 h, el cual es el valor de K utilizado en los cálculos y que representa el tiempo de tránsito en el tramo.
TABLA 8.4.1
(8.4.11) Los valores calculados de denominador y de numerador se grafican para cada intervalo de tiempo, con el numerador en la escala vertical y el denominador en la escala horizontal. Esto usualmente produce una gráfica en forma de bucle. El valor de X que produzca el bucle más parecido a una línea única se toma como el valor correcto para ese tramo, y K, de acuerdo con la ecuación (8.4.11), es igual a la pendiente de esa línea. Como K es el tiempo requerido para que la onda de creciente incremental atraviese el tramo, su valor también puede estimarse como el tiempo de tránsito observado del pico de flujo a través del tramo. Si no se encuentran disponibles los hidrogramas de entrada y de salida para determinar K y X, sus valores pueden estimarse utilizando el método de Muskingum-Cunge descrito en la sección 9.7. Ejemplo 8.4.1 El hidrograma de entrada para el tramo de un río está dado en las columnas 1 y 2 de la tabla 8.4.1. Determine el hidrograma de flujo de salida para este tramo si K= 2.3 h, X= 0.15 y M= 1 h. El caudal de salida inicial es 85 pies'/s.
Solución. Se determinan los coeficientes (8 .4.1 0):
e¡, ez y e,
1- 2(2.3)(0.15) 2(2.3)(1 - 0.15) 1
+ 2(2.3)(0.15) 4.91
+
utilizando las ecuaciones (8.4.8) a 0.31
1
4.91 1.69 4.91
0.0631
0.3442
Tránsito de caudal a través del tramo de un río por el método de Muskingun (ejemplo
8.4.1) Columna: (1)
(2)
(3)
Periodo de Caudal de tránsito entrada j (h) 1 (cfs) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
93 137 208 320 442 546 630 678 691 675 634 571 477 390 329 247 184 134 108 90
(4)
(5)
C¡/J+I (C 1 = 0.0631)
(C2
8.6 13.1 20.2 27.9 34.5 39.8 42.8 43.6 42.6 40.0 36.0 30.1 24.6 20.8 15.6 11.6 8.5 6.8 5.7
32.0 47.2 71.6 110.1 152.1 187.9 216.8 233.4 237.8 232.3 218.2 196.5 164.2 134.2 113.2 85.0 63.3 46.1 37.2
C2l1
= 0.3442)
(6)
Caudal de salida ClQJ Q (e J = 0.5927) (cfs) 50.4 54.0 67.7 94.5 137.8 192.3 248.9 301.4 342.8 369.4 380.4 376.1 357.3 323.6 283.7 244.5 202.2 162.4 127.6
85 91 114 159 233 324 420 509 578 623 642 635 603 546 479 413 341 274 215 170
268
HIDROLOGÍA APLICADA
700
-1/k,, el sistema descrito es una cascada den embalses lineales en serie, que tiene constantes de almacenamiento k 1 , k 2 , ... , kn respectivamente. El concepto de un embalse lineal fue introducido por primera vez por Zoch (1934, 1936, 1937) en un análisis de la relación entre lluvia y escorrentía. Un embalse lineal único es un caso simplificado del modelo de Muskingum con X = O. Las funciones respuesta de impulso, pulso y paso de un embalse lineal están graficadas en la figura 7 .2.4.
600 ~ ~ (;J "O ::J
u"'
269
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
500 400 300 200
Embalses lineales en serie
lOO
o o
2
4
6
10
12
14
16
18
20
Tiempo (h) o Caudal • Caudal de entrada de salida
FIGURA 8.4.2 Tránsito de caudal a través del tramo de un río por el método de Muskingum (ejemplo 8.4.1).
8.5 MODELO DE EMBALSE LINEAL Un embalse lineal es aquel cuyo almacenamiento está linealmente relacionado con su caudal de salida mediante una constante de almacenamiento K, que tiene dimensiones de tiempo porque S es un volumen mientras que Q es una tasa de flujo.
S= kQ
Una cuenca puede representarse por una serie de n embalses lineales idénticos (véase la figura 8.5.1) cada uno de ellos con la misma constante de almacenamiento k (Nash, 1957). Transitando un flujo de entrada de volumen unitario a través den embalses lineales, puede deducirse un modelo matemático para el hidrograma unitario instantáneo (IUH, por sus siglas en inglés) de las series. La función impulso respuesta para un embalse lineal fue deducida en el ejemplo (7 .2.1) como u(t - 7) = (1/k) exp [- (t- 7)/k]. Este será el caudal de salida del primer embalse, y constituye el caudal de entrada para el segundo embalse con T sustituido por t - T, es decir, para el segundo embalse 1(7) = (1/k) exp (-7/k). La integral de convolución (7.2.1) arroja el caudal de salida para el segundo embalse como
(8.5.1)
q2(t)
=
J: I(
7)u(t - T)dT
I u)e
El modelo del embalse lineal puede deducirse del modelo general del sistema hidrológico [véase la ecuación (7.1.6)] haciendo M(D) = 1 y permitiendo que N(D) tenga una raíz de -1/k haciendo N(D) = 1 + kD. Puede demostrarse en forma adicional que si, en la ecuación (7.1.6), M(D) = 1 y N(D) tienen raíces reales -l/k1, -l/k2, ... ,
-r!kie -(t-r)!kdT
(8.5.2)
t -t!k -e
J.;2
Este flujo de salida se usa como el flujo de entrada para el tercer embalse. La continuación de este procedimiento dará el caudal de salida q, del n-ésimo embalse como u(t)
.•
=q
(t) n
= -1- (t)n-J e-t!k kf(n) k
(8.5.3)
donde r(n) = (n- 1)! Cuando n no es un entero, r(n) puede ser interpolado a partir de tablas para la función gamma (Abramowitz y Stegun, 1965). Esta ecuación expresa el hidrograma unitario instantáneo del modelo propuesto; matemáticamente, es la función de distribución de probabilidad gamma. La integral de la parte derecha de la ecuación sobre t desde cero hasta infinito es igual a 1. Puede demostrarse que el primero y el segundo momento del IUH alrededor del origen t = O son respectivamente
M 1 = nk
(8.5.4)
y FIGURA 8.5.1 Embalses lineales en serie.
(8.5.5)
268
HIDROLOGÍA APLICADA
700
-1/k,, el sistema descrito es una cascada den embalses lineales en serie, que tiene constantes de almacenamiento k 1 , k 2 , ... , kn respectivamente. El concepto de un embalse lineal fue introducido por primera vez por Zoch (1934, 1936, 1937) en un análisis de la relación entre lluvia y escorrentía. Un embalse lineal único es un caso simplificado del modelo de Muskingum con X = O. Las funciones respuesta de impulso, pulso y paso de un embalse lineal están graficadas en la figura 7 .2.4.
600 ~ ~ (;J "O ::J
u"'
269
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
500 400 300 200
Embalses lineales en serie
lOO
o o
2
4
6
10
12
14
16
18
20
Tiempo (h) o Caudal • Caudal de entrada de salida
FIGURA 8.4.2 Tránsito de caudal a través del tramo de un río por el método de Muskingum (ejemplo 8.4.1).
8.5 MODELO DE EMBALSE LINEAL Un embalse lineal es aquel cuyo almacenamiento está linealmente relacionado con su caudal de salida mediante una constante de almacenamiento K, que tiene dimensiones de tiempo porque S es un volumen mientras que Q es una tasa de flujo.
S= kQ
Una cuenca puede representarse por una serie de n embalses lineales idénticos (véase la figura 8.5.1) cada uno de ellos con la misma constante de almacenamiento k (Nash, 1957). Transitando un flujo de entrada de volumen unitario a través den embalses lineales, puede deducirse un modelo matemático para el hidrograma unitario instantáneo (IUH, por sus siglas en inglés) de las series. La función impulso respuesta para un embalse lineal fue deducida en el ejemplo (7 .2.1) como u(t - 7) = (1/k) exp [- (t- 7)/k]. Este será el caudal de salida del primer embalse, y constituye el caudal de entrada para el segundo embalse con T sustituido por t - T, es decir, para el segundo embalse 1(7) = (1/k) exp (-7/k). La integral de convolución (7.2.1) arroja el caudal de salida para el segundo embalse como
(8.5.1)
q2(t)
=
J: I(
7)u(t - T)dT
I u)e
El modelo del embalse lineal puede deducirse del modelo general del sistema hidrológico [véase la ecuación (7.1.6)] haciendo M(D) = 1 y permitiendo que N(D) tenga una raíz de -1/k haciendo N(D) = 1 + kD. Puede demostrarse en forma adicional que si, en la ecuación (7.1.6), M(D) = 1 y N(D) tienen raíces reales -l/k1, -l/k2, ... ,
-r!kie -(t-r)!kdT
(8.5.2)
t -t!k -e
J.;2
Este flujo de salida se usa como el flujo de entrada para el tercer embalse. La continuación de este procedimiento dará el caudal de salida q, del n-ésimo embalse como u(t)
.•
=q
(t) n
= -1- (t)n-J e-t!k kf(n) k
(8.5.3)
donde r(n) = (n- 1)! Cuando n no es un entero, r(n) puede ser interpolado a partir de tablas para la función gamma (Abramowitz y Stegun, 1965). Esta ecuación expresa el hidrograma unitario instantáneo del modelo propuesto; matemáticamente, es la función de distribución de probabilidad gamma. La integral de la parte derecha de la ecuación sobre t desde cero hasta infinito es igual a 1. Puede demostrarse que el primero y el segundo momento del IUH alrededor del origen t = O son respectivamente
M 1 = nk
(8.5.4)
y FIGURA 8.5.1 Embalses lineales en serie.
(8.5.5)
270
HIDROLOGÍA APLICADA
El primer momento, M1, representa el tiempo de retardo del centroide del área bajo el IUH. Aplicando el IUH en la integral de convolución para relacionar el hietograma de exceso de lluvia (ERH) con el hidrograma de escorrentía directa (DRH), el principio de linealidad requiere que cada elemento infinitesimal del ERH produzca su correspondiente DRH con el mismo tiempo de retardo. En otras palabras, la diferencia de tiempo entre los centroides de las áreas bajo el ERH y el DRH debe ser igual aM 1. Por el método de los momentos, los valores de k y n pueden calcularse de unos ERH y DRH dados, teniendo así un cálculo simple pero aproximado del IUH tal como se expresa por medio de la ecuación (8.5.3). Si M 1 , es el primer momento del ERH alrededor del tiempo de origen dividido por la lluvia efectiva total, y MQ, es el primer momento del DRH alrededor del tiempo de origen dividido por la escorrentía directa total, entonces
271
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
-
300
"'"'s
.i
ERH -
200
l
100
100
¡;r-:J6h
t (h)
1---r--'---.--'--,-...l.--¡-.L.._-----
3
9
15
21
Tiempo 180 165 ,--,--142 -
(8.5.6) Si M 1, es el segundo momento del ERH alrededor del origen del tiempo dividido por el exceso total de lluvia, y MQ, es el segundo momento del DRH alrededor del origen del tiempo dividido por el tiempo total de la escorrentía directa, puede demostrarse que
DRH
-
70
79 38
o~
(8.5.7)
3
9
15
~ 21
27
33
45
39
57
51
Tiempo
Como los valores de M 1 ,, M Q,, M 1, y Mº' pueden calcularse de la información hidrológica dada, los valores den y k pueden calcularse utilizando las ecuaciones (8.5.6) y (8 .5. 7), determinando el IUH. Debe notarse que los valores den y k calculados pueden variar algo aun para errores pequeños en los momentos calculados; para mejorar la precisión, deben utilizarse en los cálculos en un pequeño intervalo de tiempo y muchas cifras significativas.
Ejemplo 8.5.1 Dados el ERH y el DRH mostrados en la figura 8.5.2, determine n y k para el IUH.
Solución. Determine los momentos del hietograma de exceso de lluvia y del hidrograma de escorrentía directa. Cada bloque en el ERH y el DRH tiene una duración de 6 h = 6 x 3,600 = 21,600 s. La lluvia se ha convertido a unidades de m'/s multiplicándola por el área de la cuenca para hacerla dimensionalmente consistente con la escorrentía. La suma de las ordenadas en el ERH y en el DRH es 700 m 3/s, luego el área bajo cada gráfica es 700 X 6 = 4,200 (m 3/s) · h.
~~
=
'\:""' [
~
FIGURA 8.5.2 Hietograma de exceso de lluvia (ERH) e hidrograma de escorrentía directa (DRH) para el cálculo den y k en un modelo de embalse lineal (ejemplo 8.5.1).
El segundo momento de área se calcula utilizando el teorema de los ejes paralelos.
M¡2 = {
+
L
[área incremental x (brazo de momento) 2]
L [segundo momento alrededor del centroide para cada incremento] } /área total =
4 ,~00{ 6[100
X
2
3
+ 300 X
9
2
+ 200
X
15
2
+ 100
X
21 2 ]
+ /2 63 [100 + 300 + 200 + 100]} = 166.3 h2
área incremental x brazo de momento ]
~aM~
Utilizando un cálculo similar para el hidrograma de escorrentía directa
6 = - - [100 4,200 =11.57h
X
3
+ 300 X
9
+ 200
X
15
+ 100
X
21] MQ 1 = 28.25 h MQ 2
= 882.8 h2
270
HIDROLOGÍA APLICADA
El primer momento, M1, representa el tiempo de retardo del centroide del área bajo el IUH. Aplicando el IUH en la integral de convolución para relacionar el hietograma de exceso de lluvia (ERH) con el hidrograma de escorrentía directa (DRH), el principio de linealidad requiere que cada elemento infinitesimal del ERH produzca su correspondiente DRH con el mismo tiempo de retardo. En otras palabras, la diferencia de tiempo entre los centroides de las áreas bajo el ERH y el DRH debe ser igual aM 1. Por el método de los momentos, los valores de k y n pueden calcularse de unos ERH y DRH dados, teniendo así un cálculo simple pero aproximado del IUH tal como se expresa por medio de la ecuación (8.5.3). Si M 1 , es el primer momento del ERH alrededor del tiempo de origen dividido por la lluvia efectiva total, y MQ, es el primer momento del DRH alrededor del tiempo de origen dividido por la escorrentía directa total, entonces
271
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
-
300
"'"'s
.i
ERH -
200
l
100
100
¡;r-:J6h
t (h)
1---r--'---.--'--,-...l.--¡-.L.._-----
3
9
15
21
Tiempo 180 165 ,--,--142 -
(8.5.6) Si M 1, es el segundo momento del ERH alrededor del origen del tiempo dividido por el exceso total de lluvia, y MQ, es el segundo momento del DRH alrededor del origen del tiempo dividido por el tiempo total de la escorrentía directa, puede demostrarse que
DRH
-
70
79 38
o~
(8.5.7)
3
9
15
~ 21
27
33
45
39
57
51
Tiempo
Como los valores de M 1 ,, M Q,, M 1, y Mº' pueden calcularse de la información hidrológica dada, los valores den y k pueden calcularse utilizando las ecuaciones (8.5.6) y (8 .5. 7), determinando el IUH. Debe notarse que los valores den y k calculados pueden variar algo aun para errores pequeños en los momentos calculados; para mejorar la precisión, deben utilizarse en los cálculos en un pequeño intervalo de tiempo y muchas cifras significativas.
Ejemplo 8.5.1 Dados el ERH y el DRH mostrados en la figura 8.5.2, determine n y k para el IUH.
Solución. Determine los momentos del hietograma de exceso de lluvia y del hidrograma de escorrentía directa. Cada bloque en el ERH y el DRH tiene una duración de 6 h = 6 x 3,600 = 21,600 s. La lluvia se ha convertido a unidades de m'/s multiplicándola por el área de la cuenca para hacerla dimensionalmente consistente con la escorrentía. La suma de las ordenadas en el ERH y en el DRH es 700 m 3/s, luego el área bajo cada gráfica es 700 X 6 = 4,200 (m 3/s) · h.
~~
=
'\:""' [
~
FIGURA 8.5.2 Hietograma de exceso de lluvia (ERH) e hidrograma de escorrentía directa (DRH) para el cálculo den y k en un modelo de embalse lineal (ejemplo 8.5.1).
El segundo momento de área se calcula utilizando el teorema de los ejes paralelos.
M¡2 = {
+
L
[área incremental x (brazo de momento) 2]
L [segundo momento alrededor del centroide para cada incremento] } /área total =
4 ,~00{ 6[100
X
2
3
+ 300 X
9
2
+ 200
X
15
2
+ 100
X
21 2 ]
+ /2 63 [100 + 300 + 200 + 100]} = 166.3 h2
área incremental x brazo de momento ]
~aM~
Utilizando un cálculo similar para el hidrograma de escorrentía directa
6 = - - [100 4,200 =11.57h
X
3
+ 300 X
9
+ 200
X
15
+ 100
X
21] MQ 1 = 28.25 h MQ 2
= 882.8 h2
HIDROLOGÍA APLICADA
272
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
Resuelva para nk usando la ecuación (8.5.6):
nk = MQ 1 - M 11
28.25 - 11.57 16.68 Resuelva paran y k usando la ecuación (8.5.7)
MQ 2
-
M12 = n(n + l)k 2 + 2nkM11 = n 2k 2
+ nk x k + 2nkM11
Luego
882.8- 166.3 = (16.68) 2
+ 16.68k + 2
X
16.68
X
11.57
y resolviendo se obtiene
k=3.14h Por consiguiente
n=
16.68
273
ción, puede utilizarse el embalse lineal junto con un canal lineal. Se han propuesto otros modelos compuestos más elaborados. Dooge ( 1959) sugirió una serie alternante de canales lineales y embalses lineales. Para este modelo, el área de drenaje de una cuenca se divide en un cierto número de subáreas, por medio de isocronas, las cuales son líneas de tiempo de tránsito constante hacia la salida de la cuenca. Cada subárea se representa por un canal lineal en serie con un embalse lineal. La salida del canal lineal se representa por la porción de un diagrama tiempo-área correspondiente a la subárea. Este flujo de salida, junto con el flujo de salida de las subáreas precedentes, sirve como flujo de entrada al embalse lineal. También se han desarrollado modelos de embalses lineales aleatorios, en los cuales la constante de almacenamiento k está relacionada con el orden de corriente de Horton (sección 5.8) de la subárea drenada. Considerando la red de ríos y corrientes que drenan una cuenca como una combinación aleatoria de embalses lineales, con el mecanismo de combinación manejado por las leyes de Horton sobre ordenamiento de corrientes, es posible desarrollar un hidrograma unitario instantáneo geomótfico, cuya forma se relaciona con el patrón de la corriente en la cuenca (Boyd, et al., 1979; Rodríguez-Iturbe y Valdés, 1979; Gupta, et al., 1980; Gupta, Rodríguez-Iturbe y Wood, 1986).
k
16.68 3.14 = 5.31
Estos valores den y k pueden sustituirse en la ecuación (8.5.3) para dctcr.minar el IUH correspondiente a esta cuenca. Utilizando los métodos descritos en la sección 7 .2, puede determinarse el hidrograma unitario correspondiente a una duración específica de lluvia.
Modelos compuestos En la modelación hidrológica, los embalses lineales también pueden unirse en paralelo. Los embalses lineales pueden utilizarse para modelar el agua subsuperficial en una fase saturada (Kraijenhoff van der Leur, 1958), de la misma manera que en los problemas de aguas superficiales. Diskin et al. (1978) presentaron un modelo en cascada paralela para cuencas urbanas. La entrada al modelo es el hietograma de lluvia total, el cual alimenta dos cascadas paralelas de embalses lineales, para las áreas impermeables y permeables de la cuenca, respectivamente. De esta manera se determinan aisladamente los hietogramas de exceso de lluvia para las áreas permeables e impermeables, los cuales se usan como entradas a los dos embalses lineales en cascada. Embalses lineales en serie y en paralelo pueden combinarse para modelar un sistema hidrológico. El uso de embalses lineales en serie representa el efecto de almacenamiento de un sistema hidrológico, que resulta en un desplazamiento en el tiempo de nk entre el centroide del flujo de entrada y el centroide del flujo de salida tal como está dado por la ecuación (8.5.6). Un canal lineal es un canal idealizado en el cual el tiempo requerido para transportar un caudal a través del canal e.s constante (Chow, 1964 ). Para modelar el efecto combinado de almacenamiento y trasla-
REFERENCIAS Abramowitz, M., y l. A. Stegun, Handhook of Mathematica/ Functions. Dover, New York, 1965. Boyd, M. J., D. H. Pilgrim y I. Cordery, A storage routing model based on catchment geomorphology, J. Hydrol., vol. 42, pp. 42, 209-230. 1979. Carnahan, B., H. A. Luther, y J. O. Wilkes, Applied Numerica/ Methods. Wiley, New York, 1969. Chow, V. T., A practica! procedure of flood routing. Civ. Eng. and Public Works Rev., vol. 46, No. 542, pp. 586-588, agosto 1951. Chow, V. T., Open-channel Hydraulics, McGraw-Hill. Ncw York, p. 529, 1959. Chow, V. T., Runoff, en Handhook ofApplied Hydrology, sec. 14, pp. 14-30, McGraw-Hill, New York, 1964. Diskin, M. H., S. Ince, y K. Oben-Nyarko, Parallel cascades model for urban watersheds, J. Hyd. Di1·. Am. Soc. Civ. Eng., vol. 104, No. HY2, pp. 261-276, febrero 1978. Dooge, J. C. l., A general theory of the unit hydrograph. J. Geophys. Res., vol. 64, No. 1, pp. 241-256, 1959. Gupta, V. K., E. Waymire, y C. T. Wang, A reprcsentation of an instantaneous unit hydrograph from geomorphology, Water Resour. Res .. vol. 16, No. 5, pp. 855-862, 1980. Gupta, V. K., I, Rodríguez-lturbe, y E. F. Wood, Sea/e Prob/ems in Hydrology, D. Reidel, Dordrecht, Holland, 1986. Kraijenhoff van der Leur, D. A., A study of non-steady groundwater flow with special reference to a reservoir-coefficienl. De lngenieur, vol. 70, No. 19, pp. B87-B94, 1958. Nash, J. E., The form of the instantaneous unit hydrograph. IASH publicación No. 45, vol. 3-4, pp. 114121, 1957. Rodríguez-Iturbe, l., y J. B. Valdés. The geomorphological structure of hydrologic response. Water Resour. Res., vol. 15, No. 6, pp. 1409-1420, 1979. Zoch, R. T., On the relation between rainfall and stream flow, Monthly Weather Rev., vols. 62, 64, 65: pp. 315-322, 105-121, 135-147; 1934, 1936, 1937, respectivamente.
PROBLEMAS 8.2.1
Las características de almacenamiento vs. caudal de salida para un embalse propuesto están dadas a continuación. Calcule la función almacenamiento-caudal de salida 2S!M + Q vs. Q para cada uno de los valores tabulados si !1t = 2 h. Elabore una gráfica de la función almacenamiento-caudal de salida.
HIDROLOGÍA APLICADA
272
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
Resuelva para nk usando la ecuación (8.5.6):
nk = MQ 1 - M 11
28.25 - 11.57 16.68 Resuelva paran y k usando la ecuación (8.5.7)
MQ 2
-
M12 = n(n + l)k 2 + 2nkM11 = n 2k 2
+ nk x k + 2nkM11
Luego
882.8- 166.3 = (16.68) 2
+ 16.68k + 2
X
16.68
X
11.57
y resolviendo se obtiene
k=3.14h Por consiguiente
n=
16.68
273
ción, puede utilizarse el embalse lineal junto con un canal lineal. Se han propuesto otros modelos compuestos más elaborados. Dooge ( 1959) sugirió una serie alternante de canales lineales y embalses lineales. Para este modelo, el área de drenaje de una cuenca se divide en un cierto número de subáreas, por medio de isocronas, las cuales son líneas de tiempo de tránsito constante hacia la salida de la cuenca. Cada subárea se representa por un canal lineal en serie con un embalse lineal. La salida del canal lineal se representa por la porción de un diagrama tiempo-área correspondiente a la subárea. Este flujo de salida, junto con el flujo de salida de las subáreas precedentes, sirve como flujo de entrada al embalse lineal. También se han desarrollado modelos de embalses lineales aleatorios, en los cuales la constante de almacenamiento k está relacionada con el orden de corriente de Horton (sección 5.8) de la subárea drenada. Considerando la red de ríos y corrientes que drenan una cuenca como una combinación aleatoria de embalses lineales, con el mecanismo de combinación manejado por las leyes de Horton sobre ordenamiento de corrientes, es posible desarrollar un hidrograma unitario instantáneo geomótfico, cuya forma se relaciona con el patrón de la corriente en la cuenca (Boyd, et al., 1979; Rodríguez-Iturbe y Valdés, 1979; Gupta, et al., 1980; Gupta, Rodríguez-Iturbe y Wood, 1986).
k
16.68 3.14 = 5.31
Estos valores den y k pueden sustituirse en la ecuación (8.5.3) para dctcr.minar el IUH correspondiente a esta cuenca. Utilizando los métodos descritos en la sección 7 .2, puede determinarse el hidrograma unitario correspondiente a una duración específica de lluvia.
Modelos compuestos En la modelación hidrológica, los embalses lineales también pueden unirse en paralelo. Los embalses lineales pueden utilizarse para modelar el agua subsuperficial en una fase saturada (Kraijenhoff van der Leur, 1958), de la misma manera que en los problemas de aguas superficiales. Diskin et al. (1978) presentaron un modelo en cascada paralela para cuencas urbanas. La entrada al modelo es el hietograma de lluvia total, el cual alimenta dos cascadas paralelas de embalses lineales, para las áreas impermeables y permeables de la cuenca, respectivamente. De esta manera se determinan aisladamente los hietogramas de exceso de lluvia para las áreas permeables e impermeables, los cuales se usan como entradas a los dos embalses lineales en cascada. Embalses lineales en serie y en paralelo pueden combinarse para modelar un sistema hidrológico. El uso de embalses lineales en serie representa el efecto de almacenamiento de un sistema hidrológico, que resulta en un desplazamiento en el tiempo de nk entre el centroide del flujo de entrada y el centroide del flujo de salida tal como está dado por la ecuación (8.5.6). Un canal lineal es un canal idealizado en el cual el tiempo requerido para transportar un caudal a través del canal e.s constante (Chow, 1964 ). Para modelar el efecto combinado de almacenamiento y trasla-
REFERENCIAS Abramowitz, M., y l. A. Stegun, Handhook of Mathematica/ Functions. Dover, New York, 1965. Boyd, M. J., D. H. Pilgrim y I. Cordery, A storage routing model based on catchment geomorphology, J. Hydrol., vol. 42, pp. 42, 209-230. 1979. Carnahan, B., H. A. Luther, y J. O. Wilkes, Applied Numerica/ Methods. Wiley, New York, 1969. Chow, V. T., A practica! procedure of flood routing. Civ. Eng. and Public Works Rev., vol. 46, No. 542, pp. 586-588, agosto 1951. Chow, V. T., Open-channel Hydraulics, McGraw-Hill. Ncw York, p. 529, 1959. Chow, V. T., Runoff, en Handhook ofApplied Hydrology, sec. 14, pp. 14-30, McGraw-Hill, New York, 1964. Diskin, M. H., S. Ince, y K. Oben-Nyarko, Parallel cascades model for urban watersheds, J. Hyd. Di1·. Am. Soc. Civ. Eng., vol. 104, No. HY2, pp. 261-276, febrero 1978. Dooge, J. C. l., A general theory of the unit hydrograph. J. Geophys. Res., vol. 64, No. 1, pp. 241-256, 1959. Gupta, V. K., E. Waymire, y C. T. Wang, A reprcsentation of an instantaneous unit hydrograph from geomorphology, Water Resour. Res .. vol. 16, No. 5, pp. 855-862, 1980. Gupta, V. K., I, Rodríguez-lturbe, y E. F. Wood, Sea/e Prob/ems in Hydrology, D. Reidel, Dordrecht, Holland, 1986. Kraijenhoff van der Leur, D. A., A study of non-steady groundwater flow with special reference to a reservoir-coefficienl. De lngenieur, vol. 70, No. 19, pp. B87-B94, 1958. Nash, J. E., The form of the instantaneous unit hydrograph. IASH publicación No. 45, vol. 3-4, pp. 114121, 1957. Rodríguez-Iturbe, l., y J. B. Valdés. The geomorphological structure of hydrologic response. Water Resour. Res., vol. 15, No. 6, pp. 1409-1420, 1979. Zoch, R. T., On the relation between rainfall and stream flow, Monthly Weather Rev., vols. 62, 64, 65: pp. 315-322, 105-121, 135-147; 1934, 1936, 1937, respectivamente.
PROBLEMAS 8.2.1
Las características de almacenamiento vs. caudal de salida para un embalse propuesto están dadas a continuación. Calcule la función almacenamiento-caudal de salida 2S!M + Q vs. Q para cada uno de los valores tabulados si !1t = 2 h. Elabore una gráfica de la función almacenamiento-caudal de salida.
274
HIDROLOGÍA APLICADA
Almacenamiento (106 m 3 ) 3
Caudal de salida (m /s)
8.2.2
Caudal de entrada (m /s)
8.2.5
8.2.6
87.5
57
227
519
o 3
8.2.4
81
110.2
100 1,330
2,270
8.3.1
Utilice el método de tránsito de piscina nivelada para transitar el hidrograma dado a continuación a través del embalse cuyas características de almacenamiento-caudal de salida están dadas en el problema 8.2.1. ¿Cuáles son el máximo almacenamiento y el máximo caudal de salida del embalse? Suponga que inicialmente el embalse contiene 75 x 10 6 m 3 de almacenamiento.
Tiempo (h)
8.2.3
75
2
4
6
8
10
12
14
16
8.3.2 8.3.3
60 100 232 300 520 1,31 o 1,930 1,460 930 650
Nivel Almacenamiento Caudal
o
3.30 49 0.21
3.45 110 0.72
j.60 249 1.25
3.75 569 1.89
3.90 1,180 2.61
4.08 2,440 3.57
4.15 3,140 3.91
4.20 4,050 4.25
4.27 5,380 4.62
4.35 8,610 5.21
4.50 18,600 6.20
3.15 15
intervalo de tiempo de 1O minutos para determinar la profundidad máxima en el embalse de detención. Resuelva el problema 8.2.6 utilizando el método de Runge-Kutta de tercer orden con un intervalo de tiempo de 10 minutos, para determinar la profundidad máxima. Escriba un programa de computador para llevar a cabo el tránsito utilizando el método de tercer orden de Runge-Kutta. Luego resuelva el problema 8.3.1. Utilice el método de Runge-Kutta de tercer orden para transitar el hidrograma de entrada dado a continuación a través de un embalse de detención urbano con las siguientes características. Utilice un intervalo de tiempo de 3 minutos para el tránsito.
Área superficial
1,010
1,020
1,030
1,040
1,050
10
15
20
25
30
El embalse de detención tiene un vertedero de conducto de 20 pies 2 de área con una elevación de la entrada en la cota 1,002 pies y un vertedero de cresta libre de 80 pies de longitud en la cota 1,O 11 pies. Las ecuaciones del caudal de salida para los vertederos de conductos de cresta libre están dadas en la tabla 8.2.1. Suponga que el vertedero de conducto funciona como un culvert controlado en la entrada sumergida con un coeficiente de descarga C" = 0.7, y el vertedero de cresta libre tiene los coeficientes de descarga C(Q = CLH11') tabulados de la siguiente forma
4.05 2,180 3.40
Cabeza H (pies) Coeficiente del vertedero C
0.0-0.2
0.2-0.4
0.4-0.6
0.6-0.8
2.69 1.0-1.2
2.95 1.4-1.6
2.85
CabezaH
2.72 1.2-1.4
Coeficiente del vertedero C
3.08
3.20
3.28
3.31
0.8-1.0 2.98
> 1.8
1.6-1.8
3.35
Hidrograma de entrada Tiempo (min) Caudal de entrada (cfs)
0:00
1.000
Elevación sobre el NMDM (pies)
18
Resuelva el problema 8.2.2 suponiendo que el almacenamiento inicial en el embalse es 87.5 x 106 m 3 • Resuelva el ejemplo 8.2.1 si la profundidad inicial en el embalse es de dos pies. ¿En cuánto aumenta este cambio el nivel máximo del agua en el embalse en comparación con el nivel encontrado en el ejemplo 8.2.1? La capacidad de almacenamiento y la relación cabeza-caudal de salida para un embalse de control de crecientes están dadas en las siguientes tablas. Transite el hidrograma de creciente de diseño dado a continuación a través del embalse hasta el tiempo 6:00. El nivel inicial en el embalse es 3.15 m. Use un intervalo de tránsito de !:lt = 15 min.
Nivel (m) Almacenamiento (m 3) Caudal (m3 /s)
275
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
Tiempo (h:min) Caudal de entrada (m3/s)
o
0:15 0:30 0:45 1:00 0.04 0.12 0.25 0.53
1:15 1.10
1:30 1:45 3.00 6.12
2:00 8.24
Tiempo Caudal de entrada
2:15 9.06
2:30 2:45 3:00 3:15 9.20 8.75 8.07 7.36
3:30 3:45 4:00 6.66 5.98 5.32
4:15 4.67
Tiempo Caudal de entrada
4:30 4.11
4:45 5:00 5:15 5:30 3.65 3.29 3.00 2.73
5:45 2.49
Tiempo Caudal de entrada Tiempo Caudal de entrada
6:00 2.27
Considere un embalse de detención de 2 acres con paredes verticales. El hidrograma de flujo de entrada triangular se incrementa linealmente desde cero hasta un pico de 540 cfs en el minuto 60 y luego decrece linealmente hasta un caudal cero en el minuto 180. Transite el hidrograma de entrada a través del embalse de detención utilizando la curva cabeza-caudal para el vertedero de tubo de 5 pies dado en la tabla 8.2.2. El tubo se localiza en el fondo del embalse. Suponiendo que el e.mbalse está inicialmente vacío, utilice el procedimiento de tránsito de piscina nivelada con un
Tiempo Caudal de entrada Tiempo Caudal de entrada Tiempo Caudal de entrada
8.3.4
o o
3 60
6 133
9
12'
15
18
21
24
222
321
427
537 45
650 48
772
30
33 39 36 1,036 1,174 1,312 1,451 60 63 57 66 1,548 1,526 1,509 1,493 1,479 S4 87 93 81 90
27
902 54
51 1,536 1,571 1,580 1,568 69 75 78 72 1,464 1,443 1,417 1,384
42
96
99
1,345 1,298 1,244 1,184 1,120 1,051 979 111 126 108 i 14 117 123 120 748 669 588 . 508 427 373 332 135
138
141
144
147
260
246
235
225
217
102
105
904 129
827 132
302
278
Resuelva el problema 8.3.3 para intervalos de tiempo de 6 y 12 minutos. Compare los resultados para los intervalos de tiempo de tránsito de 3, 6 y 12 minutos.
274
HIDROLOGÍA APLICADA
Almacenamiento (106 m 3 ) 3
Caudal de salida (m /s)
8.2.2
Caudal de entrada (m /s)
8.2.5
8.2.6
87.5
57
227
519
o 3
8.2.4
81
110.2
100 1,330
2,270
8.3.1
Utilice el método de tránsito de piscina nivelada para transitar el hidrograma dado a continuación a través del embalse cuyas características de almacenamiento-caudal de salida están dadas en el problema 8.2.1. ¿Cuáles son el máximo almacenamiento y el máximo caudal de salida del embalse? Suponga que inicialmente el embalse contiene 75 x 10 6 m 3 de almacenamiento.
Tiempo (h)
8.2.3
75
2
4
6
8
10
12
14
16
8.3.2 8.3.3
60 100 232 300 520 1,31 o 1,930 1,460 930 650
Nivel Almacenamiento Caudal
o
3.30 49 0.21
3.45 110 0.72
j.60 249 1.25
3.75 569 1.89
3.90 1,180 2.61
4.08 2,440 3.57
4.15 3,140 3.91
4.20 4,050 4.25
4.27 5,380 4.62
4.35 8,610 5.21
4.50 18,600 6.20
3.15 15
intervalo de tiempo de 1O minutos para determinar la profundidad máxima en el embalse de detención. Resuelva el problema 8.2.6 utilizando el método de Runge-Kutta de tercer orden con un intervalo de tiempo de 10 minutos, para determinar la profundidad máxima. Escriba un programa de computador para llevar a cabo el tránsito utilizando el método de tercer orden de Runge-Kutta. Luego resuelva el problema 8.3.1. Utilice el método de Runge-Kutta de tercer orden para transitar el hidrograma de entrada dado a continuación a través de un embalse de detención urbano con las siguientes características. Utilice un intervalo de tiempo de 3 minutos para el tránsito.
Área superficial
1,010
1,020
1,030
1,040
1,050
10
15
20
25
30
El embalse de detención tiene un vertedero de conducto de 20 pies 2 de área con una elevación de la entrada en la cota 1,002 pies y un vertedero de cresta libre de 80 pies de longitud en la cota 1,O 11 pies. Las ecuaciones del caudal de salida para los vertederos de conductos de cresta libre están dadas en la tabla 8.2.1. Suponga que el vertedero de conducto funciona como un culvert controlado en la entrada sumergida con un coeficiente de descarga C" = 0.7, y el vertedero de cresta libre tiene los coeficientes de descarga C(Q = CLH11') tabulados de la siguiente forma
4.05 2,180 3.40
Cabeza H (pies) Coeficiente del vertedero C
0.0-0.2
0.2-0.4
0.4-0.6
0.6-0.8
2.69 1.0-1.2
2.95 1.4-1.6
2.85
CabezaH
2.72 1.2-1.4
Coeficiente del vertedero C
3.08
3.20
3.28
3.31
0.8-1.0 2.98
> 1.8
1.6-1.8
3.35
Hidrograma de entrada Tiempo (min) Caudal de entrada (cfs)
0:00
1.000
Elevación sobre el NMDM (pies)
18
Resuelva el problema 8.2.2 suponiendo que el almacenamiento inicial en el embalse es 87.5 x 106 m 3 • Resuelva el ejemplo 8.2.1 si la profundidad inicial en el embalse es de dos pies. ¿En cuánto aumenta este cambio el nivel máximo del agua en el embalse en comparación con el nivel encontrado en el ejemplo 8.2.1? La capacidad de almacenamiento y la relación cabeza-caudal de salida para un embalse de control de crecientes están dadas en las siguientes tablas. Transite el hidrograma de creciente de diseño dado a continuación a través del embalse hasta el tiempo 6:00. El nivel inicial en el embalse es 3.15 m. Use un intervalo de tránsito de !:lt = 15 min.
Nivel (m) Almacenamiento (m 3) Caudal (m3 /s)
275
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
Tiempo (h:min) Caudal de entrada (m3/s)
o
0:15 0:30 0:45 1:00 0.04 0.12 0.25 0.53
1:15 1.10
1:30 1:45 3.00 6.12
2:00 8.24
Tiempo Caudal de entrada
2:15 9.06
2:30 2:45 3:00 3:15 9.20 8.75 8.07 7.36
3:30 3:45 4:00 6.66 5.98 5.32
4:15 4.67
Tiempo Caudal de entrada
4:30 4.11
4:45 5:00 5:15 5:30 3.65 3.29 3.00 2.73
5:45 2.49
Tiempo Caudal de entrada Tiempo Caudal de entrada
6:00 2.27
Considere un embalse de detención de 2 acres con paredes verticales. El hidrograma de flujo de entrada triangular se incrementa linealmente desde cero hasta un pico de 540 cfs en el minuto 60 y luego decrece linealmente hasta un caudal cero en el minuto 180. Transite el hidrograma de entrada a través del embalse de detención utilizando la curva cabeza-caudal para el vertedero de tubo de 5 pies dado en la tabla 8.2.2. El tubo se localiza en el fondo del embalse. Suponiendo que el e.mbalse está inicialmente vacío, utilice el procedimiento de tránsito de piscina nivelada con un
Tiempo Caudal de entrada Tiempo Caudal de entrada Tiempo Caudal de entrada
8.3.4
o o
3 60
6 133
9
12'
15
18
21
24
222
321
427
537 45
650 48
772
30
33 39 36 1,036 1,174 1,312 1,451 60 63 57 66 1,548 1,526 1,509 1,493 1,479 S4 87 93 81 90
27
902 54
51 1,536 1,571 1,580 1,568 69 75 78 72 1,464 1,443 1,417 1,384
42
96
99
1,345 1,298 1,244 1,184 1,120 1,051 979 111 126 108 i 14 117 123 120 748 669 588 . 508 427 373 332 135
138
141
144
147
260
246
235
225
217
102
105
904 129
827 132
302
278
Resuelva el problema 8.3.3 para intervalos de tiempo de 6 y 12 minutos. Compare los resultados para los intervalos de tiempo de tránsito de 3, 6 y 12 minutos.
276 8.3.5
HIDROLOGÍA APLICADA
Escriba un programa de computador para el tránsito a través de embalses de detención utilizando el método de Rungc-Kutta de cuarto orden desarrollado por Gill (Carnahan et al., 1969). La ecuación de continuidad se aproxima como:
La lluvia es: Tiempo (h) Profundidad de lluvia acumulada (pulg)
!::.H = l(t) - Q(H) = j(t H) !::.t A(H) '
O O
0.5
1.0
1.0
3.00 4.00 4.5
1.5
2.0
El hidrograma unitario de media hora es:
La profundidad desconocida H,+!!.' en el tiempo t + !1t, se expresa como
H,,,, = H, + ~'[k, + 2(1-
277
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
~)kt + 2(1 + ~)k,+ k,]
Tiempo (h) Caudal (cfs/pulg)
o o
Tiempo Caudal
0.5 200
1.0 500
1.5 800
2.0 700
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
300
200
100
500
o
2.5 600
3.0 500
3.5 400
donde
k
1
=
[/(t) - Q(H,)] A(H,)
8.4.1 8.4.2
I(t + ~- Q(H¡)) A(H¡)
k3 = k = 4
[/(t +
8.4.3
!::.t) - Q(H2)]
A(H2)
(
8.3.7 8.3.8
l
+
_!__) (!::.t)k3 ~
A(H) se interpola de la relación elevación-superficie de agua. Utilizando el programa de computador escrito en el problema 8.3.5, resuelva el problema 8.3.1. Utilizando el programa de computador escrito en el problema 8.3.5, resuelva el problema 8.3.3. En este problema es necesario determinar la escorrentía de una cuenca particular y transitar el hidrograma de escorrentía a través de un embalse localizado en el extremo de aguas abajo de la cuenca. El embalse tiene las siguientes características almacenamiento-caudal de salida: Almacenamiento (ac·pie) Caudal de salida (cfs)
o
200
o
2
o o o
3 60
Tiempo Caudal de entrada al canal Caudal de salida del canal
o
6 120 13
9 180 42
12 240 81
15 300 127
18 364 178
21 446 231
24 530 293
27 613 363
30 696 437
33 776 514
36 855 593
39 932 672
42 948 757
45 932 822
Tiempo Caudal de entrada al canal Caudal de salida del canal
48 914 861
51 911 879
54 921 888
57 941 897
60 958 910
63 975 924
66 982 940
69 980 954
Tiempo Caudal de entrada al canal Caudal de salida del canal
72
969 964
75 951 968
78 925 965
81 890 956
84 852 938
87 810 919
90 767 884
93 717 851
Tiempo Caudal de entrada al canal Caudal de salida del canal
96 668 812
99 618 769
102 566 725
105 514 677
108 462 629
111 410 579
114 359 528
117 309 478
Tiempo Caudal de entrada al canal Caudal de salida del canal
120 261 427
123 248 373
126 238 332
129 229 302
132 222 278
135 216 260
138 210 246
141 205 235
Tiempo Caudal de entrada al canal Caudal de salida del canal
144 199 225
147 194 217
Tiempo (min) Caudal de entrada al canal (cfs) Caudal de salida del canal (cfs)
donde
8.3.6
El índice <1> de 0.8 pulg/h se utiliza para tener en cuenta las pérdidas. Determine el caudal pico de salida del embalse suponiendo un flujo base cero. ¿Cuál es el área de la cuenca en millas cuadradas? Demuestre que el intervalo entre los centroides del flujo de entrada y del flujo de salida en el método de Muskingum es una constante que tiene dimensiones de tiempo. Suponiendo K= 24 h y X = 0.2, transite una creciente hipotética que tiene una tasa de flujo constante de 1,000 unidades y dura un día, a través de un embalse cuyo almacenamiento está simulado por la ecuación de Muskingum. Grafique los hidrogramas de flujo de entrada y flujo de salida. Suponga que el flujo de salida inicial es cero. Usando los hidrogramas de flujo de entrada y flujo de salida dados a continuación para un canal, determine K y X.
300 400 20
200
500
600
700
1,100
300
350
450
1,200
276 8.3.5
HIDROLOGÍA APLICADA
Escriba un programa de computador para el tránsito a través de embalses de detención utilizando el método de Rungc-Kutta de cuarto orden desarrollado por Gill (Carnahan et al., 1969). La ecuación de continuidad se aproxima como:
La lluvia es: Tiempo (h) Profundidad de lluvia acumulada (pulg)
!::.H = l(t) - Q(H) = j(t H) !::.t A(H) '
O O
0.5
1.0
1.0
3.00 4.00 4.5
1.5
2.0
El hidrograma unitario de media hora es:
La profundidad desconocida H,+!!.' en el tiempo t + !1t, se expresa como
H,,,, = H, + ~'[k, + 2(1-
277
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
~)kt + 2(1 + ~)k,+ k,]
Tiempo (h) Caudal (cfs/pulg)
o o
Tiempo Caudal
0.5 200
1.0 500
1.5 800
2.0 700
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
300
200
100
500
o
2.5 600
3.0 500
3.5 400
donde
k
1
=
[/(t) - Q(H,)] A(H,)
8.4.1 8.4.2
I(t + ~- Q(H¡)) A(H¡)
k3 = k = 4
[/(t +
8.4.3
!::.t) - Q(H2)]
A(H2)
(
8.3.7 8.3.8
l
+
_!__) (!::.t)k3 ~
A(H) se interpola de la relación elevación-superficie de agua. Utilizando el programa de computador escrito en el problema 8.3.5, resuelva el problema 8.3.1. Utilizando el programa de computador escrito en el problema 8.3.5, resuelva el problema 8.3.3. En este problema es necesario determinar la escorrentía de una cuenca particular y transitar el hidrograma de escorrentía a través de un embalse localizado en el extremo de aguas abajo de la cuenca. El embalse tiene las siguientes características almacenamiento-caudal de salida: Almacenamiento (ac·pie) Caudal de salida (cfs)
o
200
o
2
o o o
3 60
Tiempo Caudal de entrada al canal Caudal de salida del canal
o
6 120 13
9 180 42
12 240 81
15 300 127
18 364 178
21 446 231
24 530 293
27 613 363
30 696 437
33 776 514
36 855 593
39 932 672
42 948 757
45 932 822
Tiempo Caudal de entrada al canal Caudal de salida del canal
48 914 861
51 911 879
54 921 888
57 941 897
60 958 910
63 975 924
66 982 940
69 980 954
Tiempo Caudal de entrada al canal Caudal de salida del canal
72
969 964
75 951 968
78 925 965
81 890 956
84 852 938
87 810 919
90 767 884
93 717 851
Tiempo Caudal de entrada al canal Caudal de salida del canal
96 668 812
99 618 769
102 566 725
105 514 677
108 462 629
111 410 579
114 359 528
117 309 478
Tiempo Caudal de entrada al canal Caudal de salida del canal
120 261 427
123 248 373
126 238 332
129 229 302
132 222 278
135 216 260
138 210 246
141 205 235
Tiempo Caudal de entrada al canal Caudal de salida del canal
144 199 225
147 194 217
Tiempo (min) Caudal de entrada al canal (cfs) Caudal de salida del canal (cfs)
donde
8.3.6
El índice <1> de 0.8 pulg/h se utiliza para tener en cuenta las pérdidas. Determine el caudal pico de salida del embalse suponiendo un flujo base cero. ¿Cuál es el área de la cuenca en millas cuadradas? Demuestre que el intervalo entre los centroides del flujo de entrada y del flujo de salida en el método de Muskingum es una constante que tiene dimensiones de tiempo. Suponiendo K= 24 h y X = 0.2, transite una creciente hipotética que tiene una tasa de flujo constante de 1,000 unidades y dura un día, a través de un embalse cuyo almacenamiento está simulado por la ecuación de Muskingum. Grafique los hidrogramas de flujo de entrada y flujo de salida. Suponga que el flujo de salida inicial es cero. Usando los hidrogramas de flujo de entrada y flujo de salida dados a continuación para un canal, determine K y X.
300 400 20
200
500
600
700
1,100
300
350
450
1,200
278
HIDROLOGÍA APLICADA
279
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
8.4.4
8.4.5
Un tramo de canal tiene una longitud de 4,400 pies y coeficientes de Muskingum K= 0.24 h y X= 0.25. Transite el siguiente hidro grama de flujo de entrada a través de este tramo. Suponga un flujo de salida inicial de 739 cfs.
o
Tiempo (h) Caudal de entrada (cfs)
0.5 1,012
l. O
819
1,244
1.5 1,537
2.0 1,948
2.5 2,600
Tiempo Caudal de entrada
3.5 12,866
4.0 17,929
4.5 20,841
5.0 21,035
5.5 20,557
6.0 6.5 19,485 14,577
Tiempo Caudal de entrada
7.0 9,810
7.5 6,448
8.0 4,558
3.0 5,769
8.5.1
8.5.2
8.5.3 8.5.4
Una cuenca se divide en dos subáreas A y B. La escorrentía superficial de la subárea A entra en un canal en el punto 1 y fluye hacia el punto 2 donde la escorrentía de la subárea B se adiciona al hidrograma y el flujo combinado transita a través de un embalse. Determine el hidrograma de caudal de salida del embalse, suponiendo que éste está inicialmente vacío. ¿Cuáles son las áreas de las subáreas A y B en millas cuadradas? El embalse tiene las siguientes características almacenamiento-caudal de salida:
u() t max
8.5.5 Almacenamiento (ac · pie)
O
220
300
400
500
600
700
1,100
Caudal de salida (cfs)
O
2
20
200
300
350
450
1 ,200
El canal desde el punto 1 hasta el punto 2 tiene como parámetros de Muskingum K= 0.5 horas y X= 0.25. La subárea A no se encuentra desarrollada y la subárea B tiene un desarrollo residencial. Como resultado el índice cp para la subárea A es 0.8 pulg/h y el índice para Bes 0.2 pulg/h. La tormenta es
o
0.5
1.0
1.5
2.0
Profundidad de lluvia acumulada (pulg)
o
1.0
3.0
4.0
4.5
Los hidrogramas unitarios de media hora para las subáreas A y B son Tiempo
(h)
o 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
Hidrograma unitario subárea A (cfs/pulg)
Hidrograma unitario subárea B (cfs/pulg)
o
o
100 200 300 400 350 300 250 200 150 100 50
200 500 800 700 600 500 400 300 200 100 50
o
o
_l_el-n(n-1)"-1
kf(n)
=
Demuestre que el primero y el segundo momento de área del IUH modelado para una serie de n embalses lineales, cada uno con una constante de almacenamiento k, alrededor del tiempo de origen son
M 1 = nk
y
M2 = n(n 8.5.6
Tiempo (h)
Para un sistema hidrológico lineal se supone que el almacenamiento en el sistema S(t) es directamente proporcional a la salida Q(t), o S(t) = kQ(t) donde k es una constante de almacenamiento. En la condición inicial la salida es cero. Deduzca una ecuación para la salida Q(t) en términos de la entrada l(t) y de la constante de almacenamiento k. ¿Cuál es la dimensión de la constante de almacenamiento en el problema 8.5.1? Tomando k= l unidad, construya una curva que muestre la relación entre Q/1 y tiempo. Suponga que el caudal de entrada es constante. Suponiendo que la entrada /(1) a un embalse lineal finaliza en lo, deduzca una ecuación para la salida para t > t 0 . Demuestre que el caudal pico del IUH para un sistema hidrológico modelado mediante una serie de n embalses lineales, cada uno con una constante de almacenamiento k, es
+
l)k 2
Si C1,, CQ, y C 2 son los segundos momentos a través de los centroides de áreas de los ERH, DRH e IUH, respectivamente, demuestre que
CQ2 = C¡2
+
C2
8.5.7
Si el primero y el segundo momento de área del ERH y del DRH alrededor del tiempo de origen son M 1 ,, M 1,, MQ, y MQ,• respectivamente, demuestre que paran embalses lineales en serie
8.5.8
Determine el IUH por el método den embalses lineales para una cuenca con un área de drenaje de 36 km 2 suponiendo abstracciones de 0.5 cm/h y un flujo base constante de 5 m 3/s. Utilice la siguiente información. Periodo de 6-h
8.5.9
8.5.10
Lluvia cm/h
1.5
Caudal m 3/s
15
2 3.5 75
3 4 2.5 1.5 170 185
5
6
7
8
9
147
84
43
18
8
lO
Determine el IUH para un modelo de sistema hidrológico compuesto de dos embalses lineales con constantes k, y k, respectivamente a) en serie y h) en paralelo, si las entradas al sistema están divididas entre los embalses de acuerdo con la relación de x a y donde x +y= l. Determine sus centroides. Demuestre que la siguiente expresión es una solución de la ecuación de Muskingum:
278
HIDROLOGÍA APLICADA
279
TRÁNSITO AGREGADO DE CRECIENTES
8.4.4
8.4.5
Un tramo de canal tiene una longitud de 4,400 pies y coeficientes de Muskingum K= 0.24 h y X= 0.25. Transite el siguiente hidro grama de flujo de entrada a través de este tramo. Suponga un flujo de salida inicial de 739 cfs.
o
Tiempo (h) Caudal de entrada (cfs)
0.5 1,012
l. O
819
1,244
1.5 1,537
2.0 1,948
2.5 2,600
Tiempo Caudal de entrada
3.5 12,866
4.0 17,929
4.5 20,841
5.0 21,035
5.5 20,557
6.0 6.5 19,485 14,577
Tiempo Caudal de entrada
7.0 9,810
7.5 6,448
8.0 4,558
3.0 5,769
8.5.1
8.5.2
8.5.3 8.5.4
Una cuenca se divide en dos subáreas A y B. La escorrentía superficial de la subárea A entra en un canal en el punto 1 y fluye hacia el punto 2 donde la escorrentía de la subárea B se adiciona al hidrograma y el flujo combinado transita a través de un embalse. Determine el hidrograma de caudal de salida del embalse, suponiendo que éste está inicialmente vacío. ¿Cuáles son las áreas de las subáreas A y B en millas cuadradas? El embalse tiene las siguientes características almacenamiento-caudal de salida:
u() t max
8.5.5 Almacenamiento (ac · pie)
O
220
300
400
500
600
700
1,100
Caudal de salida (cfs)
O
2
20
200
300
350
450
1 ,200
El canal desde el punto 1 hasta el punto 2 tiene como parámetros de Muskingum K= 0.5 horas y X= 0.25. La subárea A no se encuentra desarrollada y la subárea B tiene un desarrollo residencial. Como resultado el índice cp para la subárea A es 0.8 pulg/h y el índice para Bes 0.2 pulg/h. La tormenta es
o
0.5
1.0
1.5
2.0
Profundidad de lluvia acumulada (pulg)
o
1.0
3.0
4.0
4.5
Los hidrogramas unitarios de media hora para las subáreas A y B son Tiempo
(h)
o 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
Hidrograma unitario subárea A (cfs/pulg)
Hidrograma unitario subárea B (cfs/pulg)
o
o
100 200 300 400 350 300 250 200 150 100 50
200 500 800 700 600 500 400 300 200 100 50
o
o
_l_el-n(n-1)"-1
kf(n)
=
Demuestre que el primero y el segundo momento de área del IUH modelado para una serie de n embalses lineales, cada uno con una constante de almacenamiento k, alrededor del tiempo de origen son
M 1 = nk
y
M2 = n(n 8.5.6
Tiempo (h)
Para un sistema hidrológico lineal se supone que el almacenamiento en el sistema S(t) es directamente proporcional a la salida Q(t), o S(t) = kQ(t) donde k es una constante de almacenamiento. En la condición inicial la salida es cero. Deduzca una ecuación para la salida Q(t) en términos de la entrada l(t) y de la constante de almacenamiento k. ¿Cuál es la dimensión de la constante de almacenamiento en el problema 8.5.1? Tomando k= l unidad, construya una curva que muestre la relación entre Q/1 y tiempo. Suponga que el caudal de entrada es constante. Suponiendo que la entrada /(1) a un embalse lineal finaliza en lo, deduzca una ecuación para la salida para t > t 0 . Demuestre que el caudal pico del IUH para un sistema hidrológico modelado mediante una serie de n embalses lineales, cada uno con una constante de almacenamiento k, es
+
l)k 2
Si C1,, CQ, y C 2 son los segundos momentos a través de los centroides de áreas de los ERH, DRH e IUH, respectivamente, demuestre que
CQ2 = C¡2
+
C2
8.5.7
Si el primero y el segundo momento de área del ERH y del DRH alrededor del tiempo de origen son M 1 ,, M 1,, MQ, y MQ,• respectivamente, demuestre que paran embalses lineales en serie
8.5.8
Determine el IUH por el método den embalses lineales para una cuenca con un área de drenaje de 36 km 2 suponiendo abstracciones de 0.5 cm/h y un flujo base constante de 5 m 3/s. Utilice la siguiente información. Periodo de 6-h
8.5.9
8.5.10
Lluvia cm/h
1.5
Caudal m 3/s
15
2 3.5 75
3 4 2.5 1.5 170 185
5
6
7
8
9
147
84
43
18
8
lO
Determine el IUH para un modelo de sistema hidrológico compuesto de dos embalses lineales con constantes k, y k, respectivamente a) en serie y h) en paralelo, si las entradas al sistema están divididas entre los embalses de acuerdo con la relación de x a y donde x +y= l. Determine sus centroides. Demuestre que la siguiente expresión es una solución de la ecuación de Muskingum:
280
HIDROLOGÍA APLICADA 1
Q(t) = -
-J(O)e-r/K(l-XJ- ____!____ l(t)
1-X
+
1 K(l - X) 2
1-X
r
Jo
e-TIK(!-X)J(t-
7)d7
con 7 igual a la duración de /(t) e /(0) = Q(O). Demuestre que el IUH es u(t) =
l e-t/K(!-X)- ____!____ O(t) K(l- X) 2 1- X
donde 8(t) es la entrada de impulso unitario, es decir, el límite de /( 7) a medida que 7 se aproxima a cero.
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES El flujo de agua a través del suelo y de los canales en una cuenca es un proceso distribuido porque el caudal, la velocidad y la profundidad varían en el espacio a través de la cuenca. Estimaciones de los caudales o niveles de agua en puntos importantes de sistemas de canales pueden obtenerse utilizando un modelo de trá1. sitn distribuido de crecientes. Este tipo de modelos está basado en ecuaciones difei.::nciales parciales (las ecuaciones de Saint-Venant para flujo unidimensional) que permiten el cálculo de caudal y del nivel de agua como funciones del espacio y del tiempo, en lugar del tiempo únicamente como en los modelos agregados descritos en los capítulos 7 y 8. El cálculo del nivel de agua de una creciente es necesario porque este nivel delinea la planicie de inundación y determina la altura requerida por estructuras tales como puentes y diques; el cálculo de los caudales de crecientes también es importante, primero porque el caudal determina el nivel del agua, y segundo, porque el diseño de cualquier estructura de almacenamiento de la creciente tal como un embalse de detención o estanque requiere de una estimación del hidrograma de flujo de entrada. Como alternativa al uso de un modelo de tránsito distribuido de crecientes, está el uso de un modelo agregado para calcular el caudal en el lugar deseado y luego calcular el correspondiente nivel de agua suponiendo un flujo permanente no uniforme a lo largo del canal en ese sitio. La ventaja de un modelo de tránsito distribuido de crecientes sobre esta segunda alternativa es que el modelo distribuido calcula el caudal y el nivel de agua simultáneamente y no por separado, de tal manera que el modelo aproxima mejor la naturaleza de flujo no permanente no uniforme propio de la propagación de la creciente en el canal. Los modelos de tránsito distribuido de crecientes pueden utilizarse para describir la transformación de lluvia en escorrentía en una cuenca para producir el hidrograma de flujo a la salida de ésta, y luego tomar este hidrograma como la información de entrada en el extremo de la corriente aguas arriba de un río o un sistema de tuberías y transitarlo hacia el extremo de la corriente aguas abajo. Los modelos distribuidos también pueden utilizarse para transitar flujos bajos, tales como los caudales de aguas de irrigación a través de un sistema de canales o de ríos. El pro281
280
HIDROLOGÍA APLICADA 1
Q(t) = -
-J(O)e-r/K(l-XJ- ____!____ l(t)
1-X
+
1 K(l - X) 2
1-X
r
Jo
e-TIK(!-X)J(t-
7)d7
con 7 igual a la duración de /(t) e /(0) = Q(O). Demuestre que el IUH es u(t) =
l e-t/K(!-X)- ____!____ O(t) K(l- X) 2 1- X
donde 8(t) es la entrada de impulso unitario, es decir, el límite de /( 7) a medida que 7 se aproxima a cero.
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES El flujo de agua a través del suelo y de los canales en una cuenca es un proceso distribuido porque el caudal, la velocidad y la profundidad varían en el espacio a través de la cuenca. Estimaciones de los caudales o niveles de agua en puntos importantes de sistemas de canales pueden obtenerse utilizando un modelo de trá1. sitn distribuido de crecientes. Este tipo de modelos está basado en ecuaciones difei.::nciales parciales (las ecuaciones de Saint-Venant para flujo unidimensional) que permiten el cálculo de caudal y del nivel de agua como funciones del espacio y del tiempo, en lugar del tiempo únicamente como en los modelos agregados descritos en los capítulos 7 y 8. El cálculo del nivel de agua de una creciente es necesario porque este nivel delinea la planicie de inundación y determina la altura requerida por estructuras tales como puentes y diques; el cálculo de los caudales de crecientes también es importante, primero porque el caudal determina el nivel del agua, y segundo, porque el diseño de cualquier estructura de almacenamiento de la creciente tal como un embalse de detención o estanque requiere de una estimación del hidrograma de flujo de entrada. Como alternativa al uso de un modelo de tránsito distribuido de crecientes, está el uso de un modelo agregado para calcular el caudal en el lugar deseado y luego calcular el correspondiente nivel de agua suponiendo un flujo permanente no uniforme a lo largo del canal en ese sitio. La ventaja de un modelo de tránsito distribuido de crecientes sobre esta segunda alternativa es que el modelo distribuido calcula el caudal y el nivel de agua simultáneamente y no por separado, de tal manera que el modelo aproxima mejor la naturaleza de flujo no permanente no uniforme propio de la propagación de la creciente en el canal. Los modelos de tránsito distribuido de crecientes pueden utilizarse para describir la transformación de lluvia en escorrentía en una cuenca para producir el hidrograma de flujo a la salida de ésta, y luego tomar este hidrograma como la información de entrada en el extremo de la corriente aguas arriba de un río o un sistema de tuberías y transitarlo hacia el extremo de la corriente aguas abajo. Los modelos distribuidos también pueden utilizarse para transitar flujos bajos, tales como los caudales de aguas de irrigación a través de un sistema de canales o de ríos. El pro281
282
HIDROLOGÍA APLICADA
ceso real de flujo en todas estas aplicaciones varían en las tres dimensiones espaciales; por ejemplo, la velocidad en un río varía a lo largo y a lo ancho del mismo y también desde la superficie del agua hasta el lecho del río. Sin embargo, para muchas aplicaciones prácticas, las variaciones espaciales de la velocidad a lo ancho del canal y con respecto a la profundidad pueden ignorarse, de tal manera que el proceso de flujo puede aproximarse como si variara solamente en una dimensión espacial, a Jo largo del canal o en la dirección de flujo. Las ecuaciones de SaintVenant, desarrolladas por primera vez por Barre de Saint- Venant en 1871, describen el flujo unidimensional no permanente en un canal abierto, que es aplicable en este caso.
283
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
--- -- -------C Línea de energía --- ---
h
a) Vista en alzada
9.1 ECUACIONES DE SAINT-VENANT Las siguientes suposiciones son necesarias para la deducción de las ecuaciones de Saint-Venant: l. El flujo es unidimensional; la profundidad y la velocidad varían solamente en la dirección longitudinal del canal. Esto implica que la velocidad del agua es constante y que la superficie del agua es horizontal en cualquier sección transversal perpendicular al eje longitudinal del canal. 2. Se supone que el flujo varía gradualmente a lo largo del canal, de tal manera que la presión hidrostática prevalece y las aceleraciones verticales pueden despreciarse (Chow, 1959). 3. El eje longitudinal del canal es aproximadamente una línea recta. 4. La pendiente del fondo del canal es pequeña y el lecho es fijo; es decir, los efectos de socavación y deposición son despreciables. S. Los coeficientes de resistencia para flujo uniforme permanente turbulento son aplicables de tal forma que relaciones tales como la ecuación de Manning pueden utilizarse para describir los efectos de resistencia. 6. El fluido es incompresible y de densidad constante a lo largo del flujo.
q
Volumen de control
b) Vista en planta
B
dw
Ecuación de continuidad
y h
La ecuación de continuidad para un flujo no permanente de densidad variable a través de un volumen de control puede escribirse como en la ecuación (2.2.1):
- _l
Datum
(9.1.1) v.c.
e) Sección transversal
FIGURA 9.1.1 Tramo elemental de un canal para la deducción de las ecuaciones de Saint- Venant.
s.c.
Considérese un volumen de control elemental de longitud dx en un canal. La figura 9.1.1 muestra tres vistas del volumen de control: a) una vista en alzada desde ellado (corte longitudinal.), b) una vista en planta desde arriba, y e) una sección transversal del canal. El caudal de entrada en el volumen de control es la suma del caudal Q que entra en el volumen de control desde el extremo de aguas arriba del canal y del caudal de entrada lateral q que entra en el volumen de control como flujo discribuido a lo largo de los lados del canal. Las dimensiones de q son las de caudal pur unidad de longitud de canal, de tal manera que el caudal de entrada lateral es qdx y la tasa de entrada de masa es
ff
pV·dA = -p(Q
+ qdx)
(9.1.2)
entrada
Es negativa porque los flujos de entrada se consideran como negativos en el teorema de transporte de Reynolds. El flujo de masa hacia afuera del volumen de control es
ff
pV·dA
salida
= p(Q +
~~dx)
(9.1.3)
282
HIDROLOGÍA APLICADA
ceso real de flujo en todas estas aplicaciones varían en las tres dimensiones espaciales; por ejemplo, la velocidad en un río varía a lo largo y a lo ancho del mismo y también desde la superficie del agua hasta el lecho del río. Sin embargo, para muchas aplicaciones prácticas, las variaciones espaciales de la velocidad a lo ancho del canal y con respecto a la profundidad pueden ignorarse, de tal manera que el proceso de flujo puede aproximarse como si variara solamente en una dimensión espacial, a Jo largo del canal o en la dirección de flujo. Las ecuaciones de SaintVenant, desarrolladas por primera vez por Barre de Saint- Venant en 1871, describen el flujo unidimensional no permanente en un canal abierto, que es aplicable en este caso.
283
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
--- -- -------C Línea de energía --- ---
h
a) Vista en alzada
9.1 ECUACIONES DE SAINT-VENANT Las siguientes suposiciones son necesarias para la deducción de las ecuaciones de Saint-Venant: l. El flujo es unidimensional; la profundidad y la velocidad varían solamente en la dirección longitudinal del canal. Esto implica que la velocidad del agua es constante y que la superficie del agua es horizontal en cualquier sección transversal perpendicular al eje longitudinal del canal. 2. Se supone que el flujo varía gradualmente a lo largo del canal, de tal manera que la presión hidrostática prevalece y las aceleraciones verticales pueden despreciarse (Chow, 1959). 3. El eje longitudinal del canal es aproximadamente una línea recta. 4. La pendiente del fondo del canal es pequeña y el lecho es fijo; es decir, los efectos de socavación y deposición son despreciables. S. Los coeficientes de resistencia para flujo uniforme permanente turbulento son aplicables de tal forma que relaciones tales como la ecuación de Manning pueden utilizarse para describir los efectos de resistencia. 6. El fluido es incompresible y de densidad constante a lo largo del flujo.
q
Volumen de control
b) Vista en planta
B
dw
Ecuación de continuidad
y h
La ecuación de continuidad para un flujo no permanente de densidad variable a través de un volumen de control puede escribirse como en la ecuación (2.2.1):
- _l
Datum
(9.1.1) v.c.
e) Sección transversal
FIGURA 9.1.1 Tramo elemental de un canal para la deducción de las ecuaciones de Saint- Venant.
s.c.
Considérese un volumen de control elemental de longitud dx en un canal. La figura 9.1.1 muestra tres vistas del volumen de control: a) una vista en alzada desde ellado (corte longitudinal.), b) una vista en planta desde arriba, y e) una sección transversal del canal. El caudal de entrada en el volumen de control es la suma del caudal Q que entra en el volumen de control desde el extremo de aguas arriba del canal y del caudal de entrada lateral q que entra en el volumen de control como flujo discribuido a lo largo de los lados del canal. Las dimensiones de q son las de caudal pur unidad de longitud de canal, de tal manera que el caudal de entrada lateral es qdx y la tasa de entrada de masa es
ff
pV·dA = -p(Q
+ qdx)
(9.1.2)
entrada
Es negativa porque los flujos de entrada se consideran como negativos en el teorema de transporte de Reynolds. El flujo de masa hacia afuera del volumen de control es
ff
pV·dA
salida
= p(Q +
~~dx)
(9.1.3)
284
HIDROLOGÍA APLICADA
donde BQ!ax es la tasa de cambio del flujo en el canal con respecto a la distancia. El volumen del elemento de canal es A dx, donde A es el área promedio de la sección transversal, luego la tasa de cambio de la masa almacenada dentro del volumen de control es
!!_
dt
JJJP dV = a(pAdx) at
FUERZAS. Existen cinco fuerzas que actúan en el volumen de control:
donde se usa la derivada parcial porque el volumen de control se define con un tamaño fijo (a pesar de que el nivel del agua puede variar dentro de él). El flujo neto de salida de masa del volumen de control se encuentra al sustituir las ecuaciones (9.1.2) a (9.1.4) en (9.1.1):
+
qdx)
+
p(Q
+
aQ d.x) ax
=o
(9.1.5)
Suponiendo que la densidad del fluido p es constante, la ecuación (9.1.5) se simplifica dividiéndola por pdx y reordenando para producir la forma conservativa de la ecuación de continuidad, aQ + aA _ q ax at
=0
(9.1.6)
la cual es aplicable a una sección transversal del canal. Esta ecuación es válida para canales prismáticos o no prismáticos; un canal prismático es aquel en el cual la forma de la sección transversal no varía a lo largo del canal y la pendiente del lecho es constante. Para algunos métodos de solución de las ecuaciones de Saint-Venant, se usa laforma no conservativa de la ecuación de continuidad, en la cual la velocidad de flujo promedio V es una variable independiente, en lugar de Q. Esta forma de la ecuación de continuidad puede deducirse para un ancho unitario de flujo dentro del canal, despreciando el flujo de entrada lateral, tal como sigue. Para un ancho unitario de flujo A = y X 1 = y y Q = VA = V y. Sustituyendo en (9. l. 6), (9.1.7) o
vay + Y av + ay = o ax
ax
at
(9.1.8)
Ecuación de momentum La segunda ley de Newton se escribe de acuerdo con el teorema de transporte de Reynolds como en la ecuación (2.4.1 ):
IF =
-5;
III
VpdV +
v.c.
fI
VpV·dA
s.c.
Esta ecuación establece que la suma de las fuerzas aplicadas es igual a la tasa de cambio del momentum almacenado dentro del volumen de control más el flujo de salida neto de momentum a través de la superficie de control. Esta ecuación, en la forma 'kF = O, se aplicó al flujo uniforme permanente en un canal abierto, en el capítulo 2. Aquí se considera un flujo no uniforme no permanente.
(9 .1.4)
v.c.
a(pAd.x) - p(Q at
285
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
(9.1.10) donde F 8 es la fuerza gravitacional a lo largo del canal debida al peso del agua en el volumen de control, F¡ es la fuerza de fricción a lo largo del lecho y de los lados del volumen de control, Fe es la fuerza de contracción/expansión producida por cambios abruptos en la sección transversal del canal, F., es la fuerza cortante del viento en la superficie de agua y Fp es la fuerza de desbalance de presiones [véase la figura 9. l. 1b)]. Cada una de estas cinco fuerzas se evalúa en los siguientes párrafos. Gravedad. El volumen de fluido dentro del volumen de control es A dx y su peso es pgAdx. Para un ángulo de inclinación del canal (}pequeño, So"" sen (}y la fuerza de gravedad está dada por
Fg = pgAdxsen8
= pgAS
0
dx
(9.1.11)
donde la pendiente del fondo del canal So es igual a -Bz/ ax. Fricción. Las fuerzas de fricción producidas por el esfuerzo cortante a lo largo del lecho y de los lados del volumen de control están dadas por -T0 Pdx, donde r 0 es el esfuerzo cortante en el lecho y P es el perímetro mojado. De la ecuación (2.4. 9), r 0 = yRS1 = pg(AIP)S1 , luego la fuerza de fricción se escribe como
F¡ = -pgAS¡dx
(9.1.12)
donde la pendiente de fricción S¡ se deduce de las ecuaciones de resistencia tales como la ecuación de Manning. Contracción/expansión. Las contracciones o expansiones bruscas del canal causan pérdidas de energía a través de corrientes de eddy (flujo circulatorio). Tales pérdidas son similares a las pérdidas menores en un sistema de tuberías. La magnitud de las pérdidas de eddy se relacionan con el cambio en la cabeza de velocidad V2!2g = (Q!A) 2!2g a través de la longitud del canal donde se causan las pérdidas. Las fuerzas de arrastre creadas por estas pérdidas de eddy están dadas por
Fe = -pgASe dx
(9.1.13)
donde Se es la pendiente de pérdidas de eddy (9.1.9)
S = Ke a(QIA) e 2g ax
2
(9.1.14)
284
HIDROLOGÍA APLICADA
donde BQ!ax es la tasa de cambio del flujo en el canal con respecto a la distancia. El volumen del elemento de canal es A dx, donde A es el área promedio de la sección transversal, luego la tasa de cambio de la masa almacenada dentro del volumen de control es
!!_
dt
JJJP dV = a(pAdx) at
FUERZAS. Existen cinco fuerzas que actúan en el volumen de control:
donde se usa la derivada parcial porque el volumen de control se define con un tamaño fijo (a pesar de que el nivel del agua puede variar dentro de él). El flujo neto de salida de masa del volumen de control se encuentra al sustituir las ecuaciones (9.1.2) a (9.1.4) en (9.1.1):
+
qdx)
+
p(Q
+
aQ d.x) ax
=o
(9.1.5)
Suponiendo que la densidad del fluido p es constante, la ecuación (9.1.5) se simplifica dividiéndola por pdx y reordenando para producir la forma conservativa de la ecuación de continuidad, aQ + aA _ q ax at
=0
(9.1.6)
la cual es aplicable a una sección transversal del canal. Esta ecuación es válida para canales prismáticos o no prismáticos; un canal prismático es aquel en el cual la forma de la sección transversal no varía a lo largo del canal y la pendiente del lecho es constante. Para algunos métodos de solución de las ecuaciones de Saint-Venant, se usa laforma no conservativa de la ecuación de continuidad, en la cual la velocidad de flujo promedio V es una variable independiente, en lugar de Q. Esta forma de la ecuación de continuidad puede deducirse para un ancho unitario de flujo dentro del canal, despreciando el flujo de entrada lateral, tal como sigue. Para un ancho unitario de flujo A = y X 1 = y y Q = VA = V y. Sustituyendo en (9. l. 6), (9.1.7) o
vay + Y av + ay = o ax
ax
at
(9.1.8)
Ecuación de momentum La segunda ley de Newton se escribe de acuerdo con el teorema de transporte de Reynolds como en la ecuación (2.4.1 ):
IF =
-5;
III
VpdV +
v.c.
fI
VpV·dA
s.c.
Esta ecuación establece que la suma de las fuerzas aplicadas es igual a la tasa de cambio del momentum almacenado dentro del volumen de control más el flujo de salida neto de momentum a través de la superficie de control. Esta ecuación, en la forma 'kF = O, se aplicó al flujo uniforme permanente en un canal abierto, en el capítulo 2. Aquí se considera un flujo no uniforme no permanente.
(9 .1.4)
v.c.
a(pAd.x) - p(Q at
285
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
(9.1.10) donde F 8 es la fuerza gravitacional a lo largo del canal debida al peso del agua en el volumen de control, F¡ es la fuerza de fricción a lo largo del lecho y de los lados del volumen de control, Fe es la fuerza de contracción/expansión producida por cambios abruptos en la sección transversal del canal, F., es la fuerza cortante del viento en la superficie de agua y Fp es la fuerza de desbalance de presiones [véase la figura 9. l. 1b)]. Cada una de estas cinco fuerzas se evalúa en los siguientes párrafos. Gravedad. El volumen de fluido dentro del volumen de control es A dx y su peso es pgAdx. Para un ángulo de inclinación del canal (}pequeño, So"" sen (}y la fuerza de gravedad está dada por
Fg = pgAdxsen8
= pgAS
0
dx
(9.1.11)
donde la pendiente del fondo del canal So es igual a -Bz/ ax. Fricción. Las fuerzas de fricción producidas por el esfuerzo cortante a lo largo del lecho y de los lados del volumen de control están dadas por -T0 Pdx, donde r 0 es el esfuerzo cortante en el lecho y P es el perímetro mojado. De la ecuación (2.4. 9), r 0 = yRS1 = pg(AIP)S1 , luego la fuerza de fricción se escribe como
F¡ = -pgAS¡dx
(9.1.12)
donde la pendiente de fricción S¡ se deduce de las ecuaciones de resistencia tales como la ecuación de Manning. Contracción/expansión. Las contracciones o expansiones bruscas del canal causan pérdidas de energía a través de corrientes de eddy (flujo circulatorio). Tales pérdidas son similares a las pérdidas menores en un sistema de tuberías. La magnitud de las pérdidas de eddy se relacionan con el cambio en la cabeza de velocidad V2!2g = (Q!A) 2!2g a través de la longitud del canal donde se causan las pérdidas. Las fuerzas de arrastre creadas por estas pérdidas de eddy están dadas por
Fe = -pgASe dx
(9.1.13)
donde Se es la pendiente de pérdidas de eddy (9.1.9)
S = Ke a(QIA) e 2g ax
2
(9.1.14)
286
HIDROLOGÍA APLICADA
en la cual Ke es un coeficiente de expansión o contracción adimensional, negativo para una expansión del canal [donde a(Q!A) 2 /ax es negativo] y positivo para una contracción del canal.
287
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
r
=
Fpt
pg(y- w)bdw
(9.1.20)
La fuerza hidrostática en el extremo derecho del volumen de control es:
Fuerza cortante por viento. La fuerza cortante por viento es causada por la resistencia de fricción entre el viento y la superficie libre del agua y está dada por
Fw = T;v.Bdx
(9.1.15)
donde T.,. es el esfuerzo cortante del viento. El esfuerzo cortante en una frontera de un fluido puede escribirse en forma general como
(9.1.21) donde aFP 1/ax se determina usando la regla de Leibniz para la diferenciación de una integral (Abramowitz y Stegun, 1972): BF t ~a X
ay = ra· pg-bdw + O
Bx
(9.1.16)
ay + =pgAdonde V,. es la velocidad del fluido relativa a la frontera, la notación IV,.IV,. se usa para que T.,. actúe en forma opuesta a la dirección de Vr, y C¡ es el coeficiente de esfuerzo cortante. Tal como se muestra en la figura 9.l.lb), la velocidad promedio en el agua es Q!A y la velocidad del viento es Vw en una dirección que subtiende un ángulo w con la velocidad del agua, de tal manera que la velocidad del agua relativa a la del aire es
V,.=
Q
A- VwCOSW
ax
porque A
=
r o
f
o
r
ab pg(y- w)-dw
ax
O
(9.1.22)
ab pg(y- w)-dw
ax
b dw. La fuerza debida a las bancas del canal se relaciona con la tasa
de cambio en el ancho del canal, ab!ax, a través del elemento dx como
Fpb
=
(9.1.17)
u:
pg(y- w)
~~ dw] dx
(9.1.23)
Sustituyendo la ecuación (9.1.21) en (9.1.19) resulta
La fuerza del viento es, teniendo en cuenta lo anterior,
- pC¡l Vrl VrBdx
F w = ___:___::____:_2___:__ _
=-W¡Bpdx
(9.1.18)
donde el factor de corte del viento W¡ es igual a C¡ IV,.IV,. 1 2. Nótese de esta ecuación que la dirección de la fuerza del viento se opondrá a la dirección de flujo del agua. Presión. Con referencia a la figura 9.1.1b), la fuerza de desbalance de presión es la resultante de la fuerza hidrostática en el lado izquierdo del volumen de control, Fp 1, la fuerza hidrostática en el lado derecho del volumen de control, Fpr, y la fuerza de presión ejercida por las bancas (taludes) sobre el volumen de control, Fpb: (9.1.19)
=-
aFpt
ax
dx + Fpb
(9.1.24)
Ahora, sustituyendo las ecuaciones (9.1.22) y (9.1.23) en (9.1.24) y simplificando, resulta F
p
=
-pgA ay dx
(9.1.25)
ax
La suma de las cinco fuerzas en la ecuación (9.1.10) puede expresarse, después de sustituir las ecuaciones (9.1.11), (9.1.12), (9.1.13), (9.1.18) y (9.1.25), como
"J..F = pgASodx- pgAS¡dx- pgASedx- W¡Bpdx- pgA ay dx
(9.1.26)
ax
Tal como se muestra en la figura 9.1.1c), un elemento de fluido de espesor dw con una elevación w medida desde el fondo del canal está sumergido a la profundidad y- w, luego la presión hidrostática en el elemento es pg(y- w) y la fuerza hidrostática es pg(y - w)b dw, donde b es el ancho del elemento a través del canal. Por tanto la fuerza hidrostática total en el extremo izquierdo del volumen de control es
MOMENTUM. Los dos términos de momentum en la parte derecha de la ecuación (9.1.9) representan la tasa de cambio de almacenamiento de momentum en el volumen de control y el flujo neto de salida de momentum a través de la superficie de control, respectivamente.
286
HIDROLOGÍA APLICADA
en la cual Ke es un coeficiente de expansión o contracción adimensional, negativo para una expansión del canal [donde a(Q!A) 2 /ax es negativo] y positivo para una contracción del canal.
287
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
r
=
Fpt
pg(y- w)bdw
(9.1.20)
La fuerza hidrostática en el extremo derecho del volumen de control es:
Fuerza cortante por viento. La fuerza cortante por viento es causada por la resistencia de fricción entre el viento y la superficie libre del agua y está dada por
Fw = T;v.Bdx
(9.1.15)
donde T.,. es el esfuerzo cortante del viento. El esfuerzo cortante en una frontera de un fluido puede escribirse en forma general como
(9.1.21) donde aFP 1/ax se determina usando la regla de Leibniz para la diferenciación de una integral (Abramowitz y Stegun, 1972): BF t ~a X
ay = ra· pg-bdw + O
Bx
(9.1.16)
ay + =pgAdonde V,. es la velocidad del fluido relativa a la frontera, la notación IV,.IV,. se usa para que T.,. actúe en forma opuesta a la dirección de Vr, y C¡ es el coeficiente de esfuerzo cortante. Tal como se muestra en la figura 9.l.lb), la velocidad promedio en el agua es Q!A y la velocidad del viento es Vw en una dirección que subtiende un ángulo w con la velocidad del agua, de tal manera que la velocidad del agua relativa a la del aire es
V,.=
Q
A- VwCOSW
ax
porque A
=
r o
f
o
r
ab pg(y- w)-dw
ax
O
(9.1.22)
ab pg(y- w)-dw
ax
b dw. La fuerza debida a las bancas del canal se relaciona con la tasa
de cambio en el ancho del canal, ab!ax, a través del elemento dx como
Fpb
=
(9.1.17)
u:
pg(y- w)
~~ dw] dx
(9.1.23)
Sustituyendo la ecuación (9.1.21) en (9.1.19) resulta
La fuerza del viento es, teniendo en cuenta lo anterior,
- pC¡l Vrl VrBdx
F w = ___:___::____:_2___:__ _
=-W¡Bpdx
(9.1.18)
donde el factor de corte del viento W¡ es igual a C¡ IV,.IV,. 1 2. Nótese de esta ecuación que la dirección de la fuerza del viento se opondrá a la dirección de flujo del agua. Presión. Con referencia a la figura 9.1.1b), la fuerza de desbalance de presión es la resultante de la fuerza hidrostática en el lado izquierdo del volumen de control, Fp 1, la fuerza hidrostática en el lado derecho del volumen de control, Fpr, y la fuerza de presión ejercida por las bancas (taludes) sobre el volumen de control, Fpb: (9.1.19)
=-
aFpt
ax
dx + Fpb
(9.1.24)
Ahora, sustituyendo las ecuaciones (9.1.22) y (9.1.23) en (9.1.24) y simplificando, resulta F
p
=
-pgA ay dx
(9.1.25)
ax
La suma de las cinco fuerzas en la ecuación (9.1.10) puede expresarse, después de sustituir las ecuaciones (9.1.11), (9.1.12), (9.1.13), (9.1.18) y (9.1.25), como
"J..F = pgASodx- pgAS¡dx- pgASedx- W¡Bpdx- pgA ay dx
(9.1.26)
ax
Tal como se muestra en la figura 9.1.1c), un elemento de fluido de espesor dw con una elevación w medida desde el fondo del canal está sumergido a la profundidad y- w, luego la presión hidrostática en el elemento es pg(y- w) y la fuerza hidrostática es pg(y - w)b dw, donde b es el ancho del elemento a través del canal. Por tanto la fuerza hidrostática total en el extremo izquierdo del volumen de control es
MOMENTUM. Los dos términos de momentum en la parte derecha de la ecuación (9.1.9) representan la tasa de cambio de almacenamiento de momentum en el volumen de control y el flujo neto de salida de momentum a través de la superficie de control, respectivamente.
288
HIDROLOGÍA APLICADA
Flujo neto de salida de momentum. La tasa de entrada de masa en el volumen de control [ecuación (9.1.2)] es -p(Q + q dx), en donde se representa tanto el flujo de entrada de la corriente principal como el flujo de entrada lateral. El momentum correspondiente se calcula multiplicando las dos tasas de entrada de masa por sus velocidades respectivas y por un factor de corrección de momentum [3:
JJVpV·dA
= -p(f3VQ
+
289
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
Después de sustituir los términos de las fuerzas de (9.1.26) y los términos de momentum de (9.1.30) y (9.1.31) en la ecuación de momentum (9.1.9), se obtiene
ay
pgAS 0 dx- pgAS¡dx- pgASedx- W¡Bpdx- pgA -dx ax a(f3VQ) ]
= -p [ f3vx- --¡¡;-
(9.1.27)
f3vrqdx)
dx
aQ P¡;¡ dx
+
(9.1.32)
entrada
donde pf3VQ es el momentum que entra desde el extremo ~e aguas arriba del canal, y pf3vxqldx es el momentum que entra en el canal principal con el flujo later~l •. que tiene una velocidad vx en la dirección x. El término f3 se conoce como el coefcccente de momentum o coeficiente de Boussinesq; éste tiene en cuenta la no-uniformidad en la distribución de velocidad en la sección transversal del canal al calcular el momentum. El valor de f3 está dado por
Dividiendo esta ecuación por p dx, reemplazando V por Q!A y reordenando se obtiene la forma conservativa de la ecuación de momentum:
-aQ + at
2
a({3Q !A) ax
+
(ay
)
gA --So+ S¡+ Se - {3qvx ax
+
W¡B =O
(9.1.33)
La profundidad y en la ecuación (9.1.33) puede reemplazarse por la elevación h de la superficie de agua, usando [véase la figura 9 .1.1 a)]:
(9.1.28)
h=y+z donde v es la velocidad a través de un pequeño elemento de área dA en la sección transversal del canal. El valor de f3 varía desde 1.01 para canales prismáticos rectos hasta 1.33 para ríos que fluyen en valles con llanuras de inundación (Chow, 1959; Henderson, 1966). El momentum que sale del volumen de control es
donde z es la elevación del fondo del canal por encima de un datum tal como el nivel medio del mar. La derivada de la ecuación (9.1.34) con respecto a la distancia longitudinal a lo largo del canal x es ah ax
a(f3VQ) J JJVpV·dA p [{3VQ + --¡¡;-dx
(9.1.29)
=
+
f3vxqdx]
+
[
p {3VQ
+
c.s.
a(f3VQ) --¡¡;-dx
J
'
a(f3VQ)J =- p f3vxq - --¡¡;- dx
Almacenamiento de momentum. La tasa de cambio del momentum almacenado en el volumen de control se calcula utilizando el hecho de que el volumen de canal elemental es A dx, luego su momentum es pA dx V, o pQ dx, y por consiguiente
!!__ dt
JJJv V .C.
pdV = p aQ dx
ar
ax
(9.1.35)
s
(9 .1.36)
o
La ecuación de momentum puede expresarse ahora en términos de h usando (9.1.36) en (9.1.33):
(9.1.30)
l
az
ax
ah _ ay_ ax - ax
El flujo neto de salida de momentum a través de la superficie de control es la suma de las ecuaciones (9.1.27) y (9.1.29):
= - p[f3VQ
ay
-+-
Pero az!ax =-So, luego
salida
JJV pV·dA
(9.1.34)
(9.1.31)
-aQ + at
2
rtf3Q 1A! ax
+ gA (ah -
ax
) +S¡+ Se - {3qvx
+
W¡B =O
(9.1.37)
Las ecuaciones de Saint- Venant (9.1.6) para continuidad y (9.1.37) para momentum, son las que rigen el flujo unidimensional no permanente en un canal abierto. El uso de los términos S¡ y Se en (9.1.37), que representan la tasa de pérdida de energía a medida que el flujo pasa a lo largo del canal, ilustra la relación tan cercana entre las consideraciones de energía y momentum en la descripción del flujo. Strelkoff (1969) demostró que la ecuación de momentum para las ecuaciones de Saint-Venant también podría deducirse de los principios de energía, en lugar de usar la segunda ley de Newton como se hizo aquí. La forma no conservativa de la ecuación de momentum puede deducirse de una manera muy similar a la forma no conservativa de la ecuación de continuidad.
288
HIDROLOGÍA APLICADA
Flujo neto de salida de momentum. La tasa de entrada de masa en el volumen de control [ecuación (9.1.2)] es -p(Q + q dx), en donde se representa tanto el flujo de entrada de la corriente principal como el flujo de entrada lateral. El momentum correspondiente se calcula multiplicando las dos tasas de entrada de masa por sus velocidades respectivas y por un factor de corrección de momentum [3:
JJVpV·dA
= -p(f3VQ
+
289
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
Después de sustituir los términos de las fuerzas de (9.1.26) y los términos de momentum de (9.1.30) y (9.1.31) en la ecuación de momentum (9.1.9), se obtiene
ay
pgAS 0 dx- pgAS¡dx- pgASedx- W¡Bpdx- pgA -dx ax a(f3VQ) ]
= -p [ f3vx- --¡¡;-
(9.1.27)
f3vrqdx)
dx
aQ P¡;¡ dx
+
(9.1.32)
entrada
donde pf3VQ es el momentum que entra desde el extremo ~e aguas arriba del canal, y pf3vxqldx es el momentum que entra en el canal principal con el flujo later~l •. que tiene una velocidad vx en la dirección x. El término f3 se conoce como el coefcccente de momentum o coeficiente de Boussinesq; éste tiene en cuenta la no-uniformidad en la distribución de velocidad en la sección transversal del canal al calcular el momentum. El valor de f3 está dado por
Dividiendo esta ecuación por p dx, reemplazando V por Q!A y reordenando se obtiene la forma conservativa de la ecuación de momentum:
-aQ + at
2
a({3Q !A) ax
+
(ay
)
gA --So+ S¡+ Se - {3qvx ax
+
W¡B =O
(9.1.33)
La profundidad y en la ecuación (9.1.33) puede reemplazarse por la elevación h de la superficie de agua, usando [véase la figura 9 .1.1 a)]:
(9.1.28)
h=y+z donde v es la velocidad a través de un pequeño elemento de área dA en la sección transversal del canal. El valor de f3 varía desde 1.01 para canales prismáticos rectos hasta 1.33 para ríos que fluyen en valles con llanuras de inundación (Chow, 1959; Henderson, 1966). El momentum que sale del volumen de control es
donde z es la elevación del fondo del canal por encima de un datum tal como el nivel medio del mar. La derivada de la ecuación (9.1.34) con respecto a la distancia longitudinal a lo largo del canal x es ah ax
a(f3VQ) J JJVpV·dA p [{3VQ + --¡¡;-dx
(9.1.29)
=
+
f3vxqdx]
+
[
p {3VQ
+
c.s.
a(f3VQ) --¡¡;-dx
J
'
a(f3VQ)J =- p f3vxq - --¡¡;- dx
Almacenamiento de momentum. La tasa de cambio del momentum almacenado en el volumen de control se calcula utilizando el hecho de que el volumen de canal elemental es A dx, luego su momentum es pA dx V, o pQ dx, y por consiguiente
!!__ dt
JJJv V .C.
pdV = p aQ dx
ar
ax
(9.1.35)
s
(9 .1.36)
o
La ecuación de momentum puede expresarse ahora en términos de h usando (9.1.36) en (9.1.33):
(9.1.30)
l
az
ax
ah _ ay_ ax - ax
El flujo neto de salida de momentum a través de la superficie de control es la suma de las ecuaciones (9.1.27) y (9.1.29):
= - p[f3VQ
ay
-+-
Pero az!ax =-So, luego
salida
JJV pV·dA
(9.1.34)
(9.1.31)
-aQ + at
2
rtf3Q 1A! ax
+ gA (ah -
ax
) +S¡+ Se - {3qvx
+
W¡B =O
(9.1.37)
Las ecuaciones de Saint- Venant (9.1.6) para continuidad y (9.1.37) para momentum, son las que rigen el flujo unidimensional no permanente en un canal abierto. El uso de los términos S¡ y Se en (9.1.37), que representan la tasa de pérdida de energía a medida que el flujo pasa a lo largo del canal, ilustra la relación tan cercana entre las consideraciones de energía y momentum en la descripción del flujo. Strelkoff (1969) demostró que la ecuación de momentum para las ecuaciones de Saint-Venant también podría deducirse de los principios de energía, en lugar de usar la segunda ley de Newton como se hizo aquí. La forma no conservativa de la ecuación de momentum puede deducirse de una manera muy similar a la forma no conservativa de la ecuación de continuidad.
290
HIDROLOGÍA APLICADA
291
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
Despreciando las pérdidas de eddy, los efectos del esfuerzo cortante por viento y el flujo lateral, la forma no conservativa de la ecuación de momentum para un ancho unitario en el flujo es
(ay -So +S¡) =O
av + -av + Vat
(9.1.38)
g -
ax
ax
9.2 CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE TRÁNSITO DISTRIBUIDO Las ecuaciones de Saint-Venant tienen varias formas simplificadas, cada una de las cuales define un modelo de tránsito distribuido unidimensional. Las variaciones de las ecuaciones (9.1.6) y (9.1.37) en sus formas conservativas y no conservativas, despreciando flujo lateral, corte por viento y pérdidas de eddy, se usan para definir varios modelos de tránsito distribuido de flujos unidimensionales, tal como se muestra en la tabla 9.2.1. La ecuación de momentum consta de términos para los procesos físicos que gobiernan el flujo de momentum. Estos términos son: el término de aceleración local, el cual describe el cambio en el momentum debido al cambio de la velocidad con el tiempo; el término de la aceleración convectiva, el cual describe el cambio en el momentum debido al cambio de la velocidad a lo largo del canal; el término de TABLA 9.2.1
Resumen de las ecuaciones de Saint- Venant* Ecuación de continuidad
Forma conservativa
Forma no conservativa
ay
av
ay
ax
ax
at
1 a(Q2/A) gA ax
V-+ y-+-= O
vav ax
Forma conservativa
aQ A at
+
Término de aceleración local
.l~(o!) Aax A
-~ +S =S
ax
f
(9.2.la)
-*+So= S¡
(9.2.lb)
o
Forma no-conservativa:
Ecuación de momentum
.l
fuerza de presión, proporcional al cambio en la profundidad del agua; el término de fuerza gravitacional, proporcional a la pendiente del lecho So y el término de fuerza de fricción, proporcional a la pendiente de fricción S¡. Los términos de aceleración local y convectiva representan el efecto de las fuerzas de inercia en el flujo. Cuando el nivel del agua o el caudal se cambia en un punto particular de un canal con flujo subcrítico, los efectos de estos cambios se propagan aguas arriba. Estos efectos de remanso pueden incorporarse en los métodos de tránsito distribuido a través de la aceleración local, la aceleración convectiva y los términos de presión. Los métodos de tránsito agregado no se comportan muy bien en la simulación de condiciones de flujo cuando los efectos de curvas de remanso son importantes y la pendiente del río es pequeña, porque estos métodos no tienen mecanismos hidráulicos para describir la propagación aguas arriba de los cambios en el flujo de momentum. Tal como se observa en la tabla 9.2.1, se producen modelos de tránsito distribuido alternativos al utilizar la ecuación de continuidad completa y al eliminar algunos términos de la ecuación de momentum. El modelo distribuido más simple es el modelo de onda cinemática, el cual no tiene en cuenta los términos de aceleración local, acderación convectiva y presión en la ecuación de momentum; es decir, supone que So= S¡ y que las fuerzas de fricción y las fuerzas gravitacionales se balancean unas con otras. El modelo de onda de difusión desprecia los términos de aceleración local y aceleración convectiva, pero incorpora el término de presión. El modelo de onda dinámica considera todos los términos de aceleración y de presión en la ecuación de momentum. La ecuación de momentum también puede escribirse en formas que tienen en cuenta si el flujo es permanente o no permanente y uniforme o no uniforme, tal como se muestra en las ecuaciones (9.2.1). En la ecuación de continuidad iJA!iJt= O para un flujo permanente y el flujo lateral q es cero para un flujo uniforme. Forma conservativa:
+
g
ay
S¡)
ga_x Término de fuerza de presión
Término de aceleración convectiva
=O
Término Término de fuerza de fuerza gravitacional de fricción
~ Flujo uniforme, permanente 1 - Flujo no-uniforme, permanente 1 r~------------
Flujo no-uniforme, no-permanente
Forma no conservativa (elemento de ancho unitario) QY
at
+
vdY ax
+
ay
g(So
ga_x 1
1
1
*
S¡)
=0 Onda cinemática Onda de difusión Onda dinámica
Despreciando flujo lateral, cortante por viento, pérdidas por corrientes de eddy y suponiendo que f3 = l.
9.3 MOVIMIENTO DE ONDAS Las ondas cinemáticas dominan el flujo cuando las fuerzas inerciales y de presión no son importantes. Las ondas dinámicas dominan el flujo cuando estas fuerzas son importantes, como en el movimiento de una gran onda de creciente en un río ancho. En una onda cinemática, las fuerzas de gravedad y de fricción están balanceadas de tal manera que el flujo no se acelera apreciablemente. La figura 9.3. 1
290
HIDROLOGÍA APLICADA
291
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
Despreciando las pérdidas de eddy, los efectos del esfuerzo cortante por viento y el flujo lateral, la forma no conservativa de la ecuación de momentum para un ancho unitario en el flujo es
(ay -So +S¡) =O
av + -av + Vat
(9.1.38)
g -
ax
ax
9.2 CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE TRÁNSITO DISTRIBUIDO Las ecuaciones de Saint-Venant tienen varias formas simplificadas, cada una de las cuales define un modelo de tránsito distribuido unidimensional. Las variaciones de las ecuaciones (9.1.6) y (9.1.37) en sus formas conservativas y no conservativas, despreciando flujo lateral, corte por viento y pérdidas de eddy, se usan para definir varios modelos de tránsito distribuido de flujos unidimensionales, tal como se muestra en la tabla 9.2.1. La ecuación de momentum consta de términos para los procesos físicos que gobiernan el flujo de momentum. Estos términos son: el término de aceleración local, el cual describe el cambio en el momentum debido al cambio de la velocidad con el tiempo; el término de la aceleración convectiva, el cual describe el cambio en el momentum debido al cambio de la velocidad a lo largo del canal; el término de TABLA 9.2.1
Resumen de las ecuaciones de Saint- Venant* Ecuación de continuidad
Forma conservativa
Forma no conservativa
ay
av
ay
ax
ax
at
1 a(Q2/A) gA ax
V-+ y-+-= O
vav ax
Forma conservativa
aQ A at
+
Término de aceleración local
.l~(o!) Aax A
-~ +S =S
ax
f
(9.2.la)
-*+So= S¡
(9.2.lb)
o
Forma no-conservativa:
Ecuación de momentum
.l
fuerza de presión, proporcional al cambio en la profundidad del agua; el término de fuerza gravitacional, proporcional a la pendiente del lecho So y el término de fuerza de fricción, proporcional a la pendiente de fricción S¡. Los términos de aceleración local y convectiva representan el efecto de las fuerzas de inercia en el flujo. Cuando el nivel del agua o el caudal se cambia en un punto particular de un canal con flujo subcrítico, los efectos de estos cambios se propagan aguas arriba. Estos efectos de remanso pueden incorporarse en los métodos de tránsito distribuido a través de la aceleración local, la aceleración convectiva y los términos de presión. Los métodos de tránsito agregado no se comportan muy bien en la simulación de condiciones de flujo cuando los efectos de curvas de remanso son importantes y la pendiente del río es pequeña, porque estos métodos no tienen mecanismos hidráulicos para describir la propagación aguas arriba de los cambios en el flujo de momentum. Tal como se observa en la tabla 9.2.1, se producen modelos de tránsito distribuido alternativos al utilizar la ecuación de continuidad completa y al eliminar algunos términos de la ecuación de momentum. El modelo distribuido más simple es el modelo de onda cinemática, el cual no tiene en cuenta los términos de aceleración local, acderación convectiva y presión en la ecuación de momentum; es decir, supone que So= S¡ y que las fuerzas de fricción y las fuerzas gravitacionales se balancean unas con otras. El modelo de onda de difusión desprecia los términos de aceleración local y aceleración convectiva, pero incorpora el término de presión. El modelo de onda dinámica considera todos los términos de aceleración y de presión en la ecuación de momentum. La ecuación de momentum también puede escribirse en formas que tienen en cuenta si el flujo es permanente o no permanente y uniforme o no uniforme, tal como se muestra en las ecuaciones (9.2.1). En la ecuación de continuidad iJA!iJt= O para un flujo permanente y el flujo lateral q es cero para un flujo uniforme. Forma conservativa:
+
g
ay
S¡)
ga_x Término de fuerza de presión
Término de aceleración convectiva
=O
Término Término de fuerza de fuerza gravitacional de fricción
~ Flujo uniforme, permanente 1 - Flujo no-uniforme, permanente 1 r~------------
Flujo no-uniforme, no-permanente
Forma no conservativa (elemento de ancho unitario) QY
at
+
vdY ax
+
ay
g(So
ga_x 1
1
1
*
S¡)
=0 Onda cinemática Onda de difusión Onda dinámica
Despreciando flujo lateral, cortante por viento, pérdidas por corrientes de eddy y suponiendo que f3 = l.
9.3 MOVIMIENTO DE ONDAS Las ondas cinemáticas dominan el flujo cuando las fuerzas inerciales y de presión no son importantes. Las ondas dinámicas dominan el flujo cuando estas fuerzas son importantes, como en el movimiento de una gran onda de creciente en un río ancho. En una onda cinemática, las fuerzas de gravedad y de fricción están balanceadas de tal manera que el flujo no se acelera apreciablemente. La figura 9.3. 1
292
HIDROLOGÍA APLICADA
293
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
Momentum:
(9.3.2)
So= S¡
La ecuación de momentum también puede expresarse en la forma:
t = 31'!.t t = 21'!.t
Por ejemplo, la ecuación de Manning escrita con S0 =S¡ y R = AIP es:
t =3M
V'
= 2Ll.t
V'
t
t =l'!.t
t =l'!.t
/=o
t
1•'-/--dx - - - - + 1 1
= 1.49sJ12
Q
-o-
2
(9.3.4)
la cual puede resolverse para A como
-o_SZ_
-o-
A - ( nP2!3
=o 1
El observador ve esto en el caso de onda dinámica
5/3
nP213 A
El observador ve esto en el caso de onda cinemática
(9.3.5)
luego a = [nP 213 /(1.49 €o)J 0 ·6 y f3 = 0.6 en este caso. La ecuación (9 .3 .1) contiene dos variables dependientes, A y Q, pero A puede eliminarse diferenciando la ecuación (9.3.3):
2
FIGURA 9.3.1
aA = af3Qf3-l ( BQ)
at
Ondas cinemática y dinámica en un tramo corto de un canal vistas por un observador estacionario.
ilustra la diferencia entre el movimiento de la onda cinemática y la dinámica en un elemento diferencial desde el punto de vista de un observador estacionario en la banca del río. Para una onda cinemática, la línea de energía total es paralela al fondo del canal y el flujo es uniforme y permanente (S 0 =S¡) dentro de la longitud diferencial, mientras que para una onda dinámica la línea de energía total y la elevación de la superficie de agua no son paralelas al lecho aun para un elemento diferencial. "'
at
aQ ax
+ af3Q{3-l(aº) at
(9.3.1)
= q
(9.3.7)
Las ondas cinemáticas resultan de cambios en Q. Un incremento en el flujo, dQ, puede escribirse como =
Celeridad de la onda cinemática Una onda es una variación en un flujo, tal como un cambio en el caudal o en la elevación de la superficie del agua, y la celeridad de onda es la velocidad con la cual esta variación se mueve a lo largo del canal. La celeridad depende del tipo de onda que se considere y puede ser bien diferente a la velocidad del agua. Para una onda cinemática, los términos de aceleración y de presión en la ecuación de momentum son despreciables, luego el movimiento de la onda se describe principalmente por la ecuación de continuidad. El nombre cinemática es entonces aplicable, ya que cinemática se refiere al movimiento sin tener en cuenta la influencia de la masa y la fuerza; en dinámica se incluyen estas cantidades. El modelo de onda cinemática se define por medio de las siguientes ecuaciones. Continuidad:
(9.3.6)
y sustituyendo para aA/aten la ecuación (9.3.1) para obtener
dQ
aQ aA +-=q ax at
)315 Q3!5
1.49$a
dx
-
(9.3.3)
A= aQf3
Observador estacionario
aQ d.x ax
+ aQ dt at
(9.3.8)
Dividiendo esta ecuación por dx y reordenando se llega a:
aQ ax
+ dt aQ = dQ d.x
dx at
(9.3.9)
Las ecuaciones (9.3.7) y (9.3.9) son idénticas si
dQ d.x
= q
(9.3.10)
y
d.x
1
(9.3.11)
292
HIDROLOGÍA APLICADA
293
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
Momentum:
(9.3.2)
So= S¡
La ecuación de momentum también puede expresarse en la forma:
t = 31'!.t t = 21'!.t
Por ejemplo, la ecuación de Manning escrita con S0 =S¡ y R = AIP es:
t =3M
V'
= 2Ll.t
V'
t
t =l'!.t
t =l'!.t
/=o
t
1•'-/--dx - - - - + 1 1
= 1.49sJ12
Q
-o-
2
(9.3.4)
la cual puede resolverse para A como
-o_SZ_
-o-
A - ( nP2!3
=o 1
El observador ve esto en el caso de onda dinámica
5/3
nP213 A
El observador ve esto en el caso de onda cinemática
(9.3.5)
luego a = [nP 213 /(1.49 €o)J 0 ·6 y f3 = 0.6 en este caso. La ecuación (9 .3 .1) contiene dos variables dependientes, A y Q, pero A puede eliminarse diferenciando la ecuación (9.3.3):
2
FIGURA 9.3.1
aA = af3Qf3-l ( BQ)
at
Ondas cinemática y dinámica en un tramo corto de un canal vistas por un observador estacionario.
ilustra la diferencia entre el movimiento de la onda cinemática y la dinámica en un elemento diferencial desde el punto de vista de un observador estacionario en la banca del río. Para una onda cinemática, la línea de energía total es paralela al fondo del canal y el flujo es uniforme y permanente (S 0 =S¡) dentro de la longitud diferencial, mientras que para una onda dinámica la línea de energía total y la elevación de la superficie de agua no son paralelas al lecho aun para un elemento diferencial. "'
at
aQ ax
+ af3Q{3-l(aº) at
(9.3.1)
= q
(9.3.7)
Las ondas cinemáticas resultan de cambios en Q. Un incremento en el flujo, dQ, puede escribirse como =
Celeridad de la onda cinemática Una onda es una variación en un flujo, tal como un cambio en el caudal o en la elevación de la superficie del agua, y la celeridad de onda es la velocidad con la cual esta variación se mueve a lo largo del canal. La celeridad depende del tipo de onda que se considere y puede ser bien diferente a la velocidad del agua. Para una onda cinemática, los términos de aceleración y de presión en la ecuación de momentum son despreciables, luego el movimiento de la onda se describe principalmente por la ecuación de continuidad. El nombre cinemática es entonces aplicable, ya que cinemática se refiere al movimiento sin tener en cuenta la influencia de la masa y la fuerza; en dinámica se incluyen estas cantidades. El modelo de onda cinemática se define por medio de las siguientes ecuaciones. Continuidad:
(9.3.6)
y sustituyendo para aA/aten la ecuación (9.3.1) para obtener
dQ
aQ aA +-=q ax at
)315 Q3!5
1.49$a
dx
-
(9.3.3)
A= aQf3
Observador estacionario
aQ d.x ax
+ aQ dt at
(9.3.8)
Dividiendo esta ecuación por dx y reordenando se llega a:
aQ ax
+ dt aQ = dQ d.x
dx at
(9.3.9)
Las ecuaciones (9.3.7) y (9.3.9) son idénticas si
dQ d.x
= q
(9.3.10)
y
d.x
1
(9.3.11)
294
HIDROLOGÍA APLICADA
295
TRÁNSITO DISTRIDUTDO DE CRECIENTES
Diferenciando la ecuación (9.3.3) y reordenando se llega a dQ dA
a(3Qf3-i
(9.3.12) Onda dinámica moviéndose aguas arriba y atenuándose ~ rápidamente ~
y comparando la ecuación (9.3.11) con (9.3.12), puede verse que dx dt
dQ dA
Cuerpo principal de una onda de creciente de naturaleza cinemática
~
(9.3.13)
Onda dinámica moviéndose aguas abajo y atenuándose rápidamente
!7/l))¡)f¡)))))/¡¡ffl/11
o
--.
1 ! ) / / ) ) / 1//¡))/)f//))/ 1 ) / ) ¡ ) ) ) / 1 ¡)¡¡))¡))¡))l/7
Ck
=
dQ dA
dx dt
-
(9.3.14)
FIGURA 9.3.2 Movimiento de una onda de creciente.
donde ck es la celeridad de onda cinemática. Esto implica que un observador moviéndose a una velocidad dx!dt = ck con el flujo vería que el caudal se incrementa a una tasa de dQ/dx = q. Si q = O, el observador vería un caudal constante. Las ecuaciones (9.3.10) y (9.3.14) son las ecuaciones características para una onda cinemática, dos ecuaciones diferenciales ordinarias que son matemáticamente equivalentes a las ecuaciones de continuidad y de momentum. La celeridad de onda cinemática también puede expresarse en términos de la profundidad y como
Lighthill y Whitham (1955) ilustraron que el perfil <,le un frente de onda puede deducirse combinando la ecuación de Chezy (2.5.5) Q=CA~
con la ecuación de momentum (9.2.1b) para producir
Q =CA
(9.3.15) donde dA = Bdy. Tanto el movimiento de onda cinemática como el movimiento de onda dinámica están presentes en las ondas de crecientes naturales. En muchos casos la pendiente de canal domina la ecuación de momentum (9.2.1); por consiguiente, la mayor parte de la onda de creciente se mueve como una onda cinemática. Lighthill y Whitham (1955) demostraron que la velocidad de la parte principal de una creciente natural se aproxima a la velocidad de una onda cinemática. Si los otros términos de momentum [aV!at, V(aV!ax) y (1/g)ay/ax] no son despreciables, entonces existe un frente de onda dinámica que puede propagarse tanto aguas arriba como aguas abajo desde el cuerpo principal de la onda de creciente, tal como se muestra en la figura 9.3 .2. Miller (1984) resume algunos criterios para determinar cuándo se aplica la aproximación de onda cinemática, pero no existe un criterio único y universal para tomar esta decisión. Tal como se demostró previamente, si una onda es cinemática (S1 =So) su celeridad varía con dQ!dA. Para la ecuación de Manning, la celeridad de onda se incrementa a medida que Q crece. Como resultado de esto, teóricamente la onda cinemática debería moverse aguas abajo con su rama ascendente volviéndose más empinada. Sin embargo, la onda no se alarga o atenúa, de tal manera que no disminuye, y el pico de la creciente permanece con la misma profundidad máxima. A medida que la onda se vuelve más empinada los otros términos de la ecuación de momentum se vuelven más importantes y producen dispersión y atenuación. La celeridad de una onda de creciente se diferencia de la celeridad de onda cinemática porque el caudal no es una función de la profundidad únicamente y en la cresta de la onda, Q y y no permanecen constantes.
(9.3.16)
R(s
o -
y av - l
ay ax
gax
av)
gat
(9.3.17)
en la cual C es el coeficiente de Chezy y R es el radio hidráulico.
Celeridad de onda dinámica La celeridad de la onda dinámica puede encontrarse obteniendo las ecuaciones características de las ecuaciones de Saint-Venant. Empezando con la forma no conservativa de las ecuaciones de Saint-Venant (tabla 9.2.1), puede demostrarse que las ecuaciones características correspondientes son (Henderson, 1966): dx -=V± dt
cd
(9.3.18)
y
(9.3.19) en la cual
cd
es la celeridad de la onda dinámica, dada para un canal rectangular por cd
=
-JiY
(9.3.20)
donde y es la profundidad de flujo. Para un canal con sección transversal arbitraria, cd = V gAIB. Esta celeridad cd mide la velocidad de una onda dinámica con respecto al agua en reposo. Tal como se muestra en la figura 9.3.2, en agua en movimiento existen dos ondas dinámicas, una moviéndose aguas arriba con velo-
294
HIDROLOGÍA APLICADA
295
TRÁNSITO DISTRIDUTDO DE CRECIENTES
Diferenciando la ecuación (9.3.3) y reordenando se llega a dQ dA
a(3Qf3-i
(9.3.12) Onda dinámica moviéndose aguas arriba y atenuándose ~ rápidamente ~
y comparando la ecuación (9.3.11) con (9.3.12), puede verse que dx dt
dQ dA
Cuerpo principal de una onda de creciente de naturaleza cinemática
~
(9.3.13)
Onda dinámica moviéndose aguas abajo y atenuándose rápidamente
!7/l))¡)f¡)))))/¡¡ffl/11
o
--.
1 ! ) / / ) ) / 1//¡))/)f//))/ 1 ) / ) ¡ ) ) ) / 1 ¡)¡¡))¡))¡))l/7
Ck
=
dQ dA
dx dt
-
(9.3.14)
FIGURA 9.3.2 Movimiento de una onda de creciente.
donde ck es la celeridad de onda cinemática. Esto implica que un observador moviéndose a una velocidad dx!dt = ck con el flujo vería que el caudal se incrementa a una tasa de dQ/dx = q. Si q = O, el observador vería un caudal constante. Las ecuaciones (9.3.10) y (9.3.14) son las ecuaciones características para una onda cinemática, dos ecuaciones diferenciales ordinarias que son matemáticamente equivalentes a las ecuaciones de continuidad y de momentum. La celeridad de onda cinemática también puede expresarse en términos de la profundidad y como
Lighthill y Whitham (1955) ilustraron que el perfil <,le un frente de onda puede deducirse combinando la ecuación de Chezy (2.5.5) Q=CA~
con la ecuación de momentum (9.2.1b) para producir
Q =CA
(9.3.15) donde dA = Bdy. Tanto el movimiento de onda cinemática como el movimiento de onda dinámica están presentes en las ondas de crecientes naturales. En muchos casos la pendiente de canal domina la ecuación de momentum (9.2.1); por consiguiente, la mayor parte de la onda de creciente se mueve como una onda cinemática. Lighthill y Whitham (1955) demostraron que la velocidad de la parte principal de una creciente natural se aproxima a la velocidad de una onda cinemática. Si los otros términos de momentum [aV!at, V(aV!ax) y (1/g)ay/ax] no son despreciables, entonces existe un frente de onda dinámica que puede propagarse tanto aguas arriba como aguas abajo desde el cuerpo principal de la onda de creciente, tal como se muestra en la figura 9.3 .2. Miller (1984) resume algunos criterios para determinar cuándo se aplica la aproximación de onda cinemática, pero no existe un criterio único y universal para tomar esta decisión. Tal como se demostró previamente, si una onda es cinemática (S1 =So) su celeridad varía con dQ!dA. Para la ecuación de Manning, la celeridad de onda se incrementa a medida que Q crece. Como resultado de esto, teóricamente la onda cinemática debería moverse aguas abajo con su rama ascendente volviéndose más empinada. Sin embargo, la onda no se alarga o atenúa, de tal manera que no disminuye, y el pico de la creciente permanece con la misma profundidad máxima. A medida que la onda se vuelve más empinada los otros términos de la ecuación de momentum se vuelven más importantes y producen dispersión y atenuación. La celeridad de una onda de creciente se diferencia de la celeridad de onda cinemática porque el caudal no es una función de la profundidad únicamente y en la cresta de la onda, Q y y no permanecen constantes.
(9.3.16)
R(s
o -
y av - l
ay ax
gax
av)
gat
(9.3.17)
en la cual C es el coeficiente de Chezy y R es el radio hidráulico.
Celeridad de onda dinámica La celeridad de la onda dinámica puede encontrarse obteniendo las ecuaciones características de las ecuaciones de Saint-Venant. Empezando con la forma no conservativa de las ecuaciones de Saint-Venant (tabla 9.2.1), puede demostrarse que las ecuaciones características correspondientes son (Henderson, 1966): dx -=V± dt
cd
(9.3.18)
y
(9.3.19) en la cual
cd
es la celeridad de la onda dinámica, dada para un canal rectangular por cd
=
-JiY
(9.3.20)
donde y es la profundidad de flujo. Para un canal con sección transversal arbitraria, cd = V gAIB. Esta celeridad cd mide la velocidad de una onda dinámica con respecto al agua en reposo. Tal como se muestra en la figura 9.3.2, en agua en movimiento existen dos ondas dinámicas, una moviéndose aguas arriba con velo-
296
HIDROLOGÍA APLICADA
cidad V- cd y otra moviéndose aguas abajo con velocidad V+ ce~. Para que la onda de aguas arriba se mueva hacia arriba en el canal se requiere que V > ce~, o, en forma equivalente, que el flujo sea subcrítico, ya que V = Y gy es la velocidad crítica de un flujo en un canal abierto rectangular. Ejemplo 9.3.1 Un canal rectangular tiene 200 pies de ancho, pendiente de fondo del 1% y rugosidad de Manning de 0.035. Calcule la velocidad del agua V, las celeridades de onda cinemática y dinámica ck y CJ, y la velocidad de propagación de las ondas dinámicas V ± cd, en un punto del canal donde el caudal es 5,000 cfs. Solución. La ecuación de Manning con R "'y, So =S¡, y canal con ancho B se escribe como
nQ
)315
l.49S~12 B 0.035 X 5,000 )315 X 0.01 112 X 200.
.
= ( 1.49
= 2.89 pies
Luego, la velocidad del agua es V= _Q_ By
5,000 200x 2.89
= 8.65 pies/s La celeridad de onda cinemática ck está dada por la ecuación (9.3.15): 1 dQ
Ck
=
B dy
12
1 d -
1.49S o1 B n
Bdy (
y513
)
(L4:S~' }~l y"' 1.49
X
0.01 112 X 5 X (2.89) 213 0.035 X 3
= 14.4 pies/s
La celeridad de onda dinámica es cd =
JiY
= ..)32.2
X
2.89
= 9.65 pies/s La velocidad de propagación de la onda dinámica aguas arriba es V-ed= 8.65-9.65
=
-1.0 pies/s
y la de la onda dinámica aguas abajo es
V+
cd =
8.65
+ 9.65
=
18.3 pies/s
Interpretando estos resultados con la figura 9.3.2, puede observarse que una onda de creciente que se desplaza con la velocidad de onda cinemática (14.4 pies/s) se moverá aguas abajo en el canal más rápido que la velocidad del agua (8.65 pies/s), mientras que las ondas dinámicas se mueven aguas arriba (-1.0 pies/s) y aguas abajo (18.3 pies/s) al mismo tiempo. En el evento de que la aproximación So = S1 no sea válida, las diferentes velocidades y celeridades pueden calcularse utilizando la ecuación de momentum completa para describir S1 como en la ecuación (9.3.17).
la cual se resuelve para y como
y= (
297
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
9.4 SOLUCIÓN ANAlÍTICA PARA LA ONDA CINEMÁTICA La solución de las ecuaciones de onda cinemática especifica la distribución del flujo como una función de la distancia x a lo largo del canal y del tiempo t. La solución puede obtenerse numéricamente utilizando aproximaciones de diferencias finitas para la ecuación (9.3.7) o analíticamente resolviendo en forma simultánea las ecuaciones características (9.3.10) y (9.3.14). En esta sección se presenta el método analítico para el caso especial cuando el caudal lateral es despreciable; la solución numérica se discute en la sección 9.6. La solución de Q(x,t) requiere el conocimiento de la condición inicial Q(x, 0), o el valor del caudal a lo largo del canal al comienzo de los cálculos, y la condición de frontera Q(O, t), el hidrograma de entrada en el extremo de la corriente aguas arriba del canal. El objetivo es determinar el hidrograma del flujo de salida en el extremo de la corriente aguas abajo del canal, Q( L, t) como una función del hidrograma de entrada, de cualquier caudal lateral que ocurra a lo largo de los lados del canal y de la dinámica del flujo en el canal tal como se expresa por las ecuaciones de la onda cinemática. Si el flujo lateral es despreciable, la ecuación (9.3.10) se reduce a dQ!dx = O, o Q = una constante. Luego, si el caudal se conoce en un lugar del espacio, en un instante del tiempo, este valor del caudal puede propagarse a lo largo del canal con la celeridad de onda cinemática, según:
Ck
dQ
d.x
=dA
dt
(9.4.1)
La solución puede visualizarse en un plano x-t, tal como se muestra en la figura 9.4.lb), donde la distancia se grafica en el eje horizontal y el tiempo en el eje
296
HIDROLOGÍA APLICADA
cidad V- cd y otra moviéndose aguas abajo con velocidad V+ ce~. Para que la onda de aguas arriba se mueva hacia arriba en el canal se requiere que V > ce~, o, en forma equivalente, que el flujo sea subcrítico, ya que V = Y gy es la velocidad crítica de un flujo en un canal abierto rectangular. Ejemplo 9.3.1 Un canal rectangular tiene 200 pies de ancho, pendiente de fondo del 1% y rugosidad de Manning de 0.035. Calcule la velocidad del agua V, las celeridades de onda cinemática y dinámica ck y CJ, y la velocidad de propagación de las ondas dinámicas V ± cd, en un punto del canal donde el caudal es 5,000 cfs. Solución. La ecuación de Manning con R "'y, So =S¡, y canal con ancho B se escribe como
nQ
)315
l.49S~12 B 0.035 X 5,000 )315 X 0.01 112 X 200.
.
= ( 1.49
= 2.89 pies
Luego, la velocidad del agua es V= _Q_ By
5,000 200x 2.89
= 8.65 pies/s La celeridad de onda cinemática ck está dada por la ecuación (9.3.15): 1 dQ
Ck
=
B dy
12
1 d -
1.49S o1 B n
Bdy (
y513
)
(L4:S~' }~l y"' 1.49
X
0.01 112 X 5 X (2.89) 213 0.035 X 3
= 14.4 pies/s
La celeridad de onda dinámica es cd =
JiY
= ..)32.2
X
2.89
= 9.65 pies/s La velocidad de propagación de la onda dinámica aguas arriba es V-ed= 8.65-9.65
=
-1.0 pies/s
y la de la onda dinámica aguas abajo es
V+
cd =
8.65
+ 9.65
=
18.3 pies/s
Interpretando estos resultados con la figura 9.3.2, puede observarse que una onda de creciente que se desplaza con la velocidad de onda cinemática (14.4 pies/s) se moverá aguas abajo en el canal más rápido que la velocidad del agua (8.65 pies/s), mientras que las ondas dinámicas se mueven aguas arriba (-1.0 pies/s) y aguas abajo (18.3 pies/s) al mismo tiempo. En el evento de que la aproximación So = S1 no sea válida, las diferentes velocidades y celeridades pueden calcularse utilizando la ecuación de momentum completa para describir S1 como en la ecuación (9.3.17).
la cual se resuelve para y como
y= (
297
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
9.4 SOLUCIÓN ANAlÍTICA PARA LA ONDA CINEMÁTICA La solución de las ecuaciones de onda cinemática especifica la distribución del flujo como una función de la distancia x a lo largo del canal y del tiempo t. La solución puede obtenerse numéricamente utilizando aproximaciones de diferencias finitas para la ecuación (9.3.7) o analíticamente resolviendo en forma simultánea las ecuaciones características (9.3.10) y (9.3.14). En esta sección se presenta el método analítico para el caso especial cuando el caudal lateral es despreciable; la solución numérica se discute en la sección 9.6. La solución de Q(x,t) requiere el conocimiento de la condición inicial Q(x, 0), o el valor del caudal a lo largo del canal al comienzo de los cálculos, y la condición de frontera Q(O, t), el hidrograma de entrada en el extremo de la corriente aguas arriba del canal. El objetivo es determinar el hidrograma del flujo de salida en el extremo de la corriente aguas abajo del canal, Q( L, t) como una función del hidrograma de entrada, de cualquier caudal lateral que ocurra a lo largo de los lados del canal y de la dinámica del flujo en el canal tal como se expresa por las ecuaciones de la onda cinemática. Si el flujo lateral es despreciable, la ecuación (9.3.10) se reduce a dQ!dx = O, o Q = una constante. Luego, si el caudal se conoce en un lugar del espacio, en un instante del tiempo, este valor del caudal puede propagarse a lo largo del canal con la celeridad de onda cinemática, según:
Ck
dQ
d.x
=dA
dt
(9.4.1)
La solución puede visualizarse en un plano x-t, tal como se muestra en la figura 9.4.lb), donde la distancia se grafica en el eje horizontal y el tiempo en el eje
HIDROLOGÍA APLICADA
298 a)
b)
Hidro grama de entrada
e)
plano x- t Tiempo t
t
Hidro grama de salida
1
299
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
=t + 0
L
(9.4.3)
1
1
1
Tiempo (min)
6
4
2
Caudal (cfs. miles)
o
1
Tiempo (min)
140
140
120
120
100
100
80
80
60----
60
40
_____4Q
20
20
o
o
L
Distáncia x
La pendiente de la línea característica es Ck = dQ!dA para el valor particular del caudal que se está considerando. Las líneas mostradas en la figura 9 .4.1 b) son rectas porque q = O y Q es constante a lo largo de ellas. Si q -:f. O, Q y ck varían a lo largo de las líneas características haciendo que éstas se vuelvan curvas.
Proceso lluvia-escorrentía
o
2
4
Caudal (cfs. miles)
FIGURA 9.4.1 Tránsito de onda cinemática de un hidrograma de caudal a lo largo de un tramo de canal de longitud utilizando la propagación del flujo a lo largo de líneas características en el plano x- t. Si la tasa de flujo fuera graficada en un tercer eje, perpendicular al plano x- t b), entonces el hidrograma de entrada a) es la variación del caudal en el punto x = O a lo largo del tiempo, el cual aparece doblado hacia la izquierda del pláno x- t; el hidro grama de salida e) es la variación del caudal en el punto x = L a lo largo del tiempo, el cual aparece doblado hacia la derecha del plano x- ten la figura. Las líneas punteadas indican la propagación de caudales específicos a lo largo de líneas características del plano x-t. L
vertical. Cada punto en el plano x-t tiene un valor de Q asociado con éste que es el caudal de ese punto del canal en ese instante del tiempo. Estos valores de Q pueden concebirse como si se graficaran en un eje que sale del papel perpendicularmente al plano x-t. En particular, el hidrograma de entrada Q(O, t) se muestra en la figura 9.4.1a) doblado hacia la izquierda y el hidrograma de salida Q(L, t) se muestra en la figura 9.4.1c) doblado hacia la derecha del plano x-t. Estos dos hidrogramas están conectados por las líneas características mostradas en la parte b) de la figura. Las ecuaciones de estas líneas se encuentran al resolver (9.4.1):
o (9.4.2) luego el tiempo en el cual un caudal Q que entra en un canal de longitud L en el tiempo to aparecerá a la salida es
6
El método de la onda cinemática se ha aplicado para describir el flujo sobre planos, como un modelo del proceso lluvia-escorrentía. En esta aplicación el caudal lateral es igual a la diferencia entre las tasas de lluvia e infiltración y el flujo en el canal se toma como un flujo por unidad de ancho del plano. Las ecuaciones características pueden resolverse analíticamente para simular el hidrograma de salida como respuesta a una lluvia de duración especificada. Acumulando el flujo de muchos de estos planos localizados sobre la cuenca, puede desarrollarse un modelo aproximado para la conversión de lluvia en caudal a la salida de la cuenca. El modelo de onda cinemática del proceso lluvia-escorrentía ofrece la ventaja, sobre el método del hidrograma unitario, de que es una solución de las ecuaciones físicas que rigen el flujo superficial, pero la solución es solamente para un flujo unidimensional, mientras que el flujo superficial real en la cuenca es bidimensional ya que el agua sigue el contorno superficial del terreno. Como consecuencia, los parámetros de onda cinemática, tales como el coeficiente de rugosidad de Manning, deben ajustarse para producir un hidrograma de salida realista. Eagleson (1970), Overton y Meadows (1976) y Stephenson y Meadows (1986) presentaron información detallada sobre modelos de onda cinemática para el proceso lluvia-escorrentía.
Ejemplo 9.4.1 Un canal rectangular de 200 pies de ancho tiene 15,000 pies de longitud, una pendiente de lecho del!% y un coeficiente de rugosidad de Manning de 0.035. El hidrograma de entrada al canal está dado en las columnas 1 y 2 de la tabla 9 .4.1. Calcule el hidrograma de salida utilizando la solución analítica de las ecuaciones de onda cinemática.
Solución. La celeridad de la onda cinemática para un valor dado del caudal se calcula de la misma manera que la que se muestra en el ejemplo 9.3.1, donde se demostró que para este canal ck = 14.4 pies/s para Q = 5,000 cfs. Los valores correspondientes para otros caudales del hidrograma de entrada se muestran en la columna 3 de la tabla 9.4.1. El tiempo de tránsito a lo largo de un tramo de longitud L es L/ e" luego para L = 15,000 pies y ck = 14.4 pies/s, el tiempo de tránsito es 15,000/14.4 = 1,042 s = 17.4 min, talcomo se muestra en la columna 4 de la tabla. El momento cuando este caudal situado en el tramo ascendente del hidrograma llegará a la salida del canal es, por la ecuación (9.4.3) t = t0_+ L/rk = 48 + 17.4 = 65.4 min, tal como se muestra en la columna 5. Los hidrográmas de entrada y de salida para este ejemplo están graficados en la figura 9.4.1. Puede verse que la onda cinemática es una onda de traslación sin atenuación; el caudal máximo de 6,000 cfs no disminuye en su paso a través del canal.
HIDROLOGÍA APLICADA
298 a)
b)
Hidro grama de entrada
e)
plano x- t Tiempo t
t
Hidro grama de salida
1
299
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
=t + 0
L
(9.4.3)
1
1
1
Tiempo (min)
6
4
2
Caudal (cfs. miles)
o
1
Tiempo (min)
140
140
120
120
100
100
80
80
60----
60
40
_____4Q
20
20
o
o
L
Distáncia x
La pendiente de la línea característica es Ck = dQ!dA para el valor particular del caudal que se está considerando. Las líneas mostradas en la figura 9 .4.1 b) son rectas porque q = O y Q es constante a lo largo de ellas. Si q -:f. O, Q y ck varían a lo largo de las líneas características haciendo que éstas se vuelvan curvas.
Proceso lluvia-escorrentía
o
2
4
Caudal (cfs. miles)
FIGURA 9.4.1 Tránsito de onda cinemática de un hidrograma de caudal a lo largo de un tramo de canal de longitud utilizando la propagación del flujo a lo largo de líneas características en el plano x- t. Si la tasa de flujo fuera graficada en un tercer eje, perpendicular al plano x- t b), entonces el hidrograma de entrada a) es la variación del caudal en el punto x = O a lo largo del tiempo, el cual aparece doblado hacia la izquierda del pláno x- t; el hidro grama de salida e) es la variación del caudal en el punto x = L a lo largo del tiempo, el cual aparece doblado hacia la derecha del plano x- ten la figura. Las líneas punteadas indican la propagación de caudales específicos a lo largo de líneas características del plano x-t. L
vertical. Cada punto en el plano x-t tiene un valor de Q asociado con éste que es el caudal de ese punto del canal en ese instante del tiempo. Estos valores de Q pueden concebirse como si se graficaran en un eje que sale del papel perpendicularmente al plano x-t. En particular, el hidrograma de entrada Q(O, t) se muestra en la figura 9.4.1a) doblado hacia la izquierda y el hidrograma de salida Q(L, t) se muestra en la figura 9.4.1c) doblado hacia la derecha del plano x-t. Estos dos hidrogramas están conectados por las líneas características mostradas en la parte b) de la figura. Las ecuaciones de estas líneas se encuentran al resolver (9.4.1):
o (9.4.2) luego el tiempo en el cual un caudal Q que entra en un canal de longitud L en el tiempo to aparecerá a la salida es
6
El método de la onda cinemática se ha aplicado para describir el flujo sobre planos, como un modelo del proceso lluvia-escorrentía. En esta aplicación el caudal lateral es igual a la diferencia entre las tasas de lluvia e infiltración y el flujo en el canal se toma como un flujo por unidad de ancho del plano. Las ecuaciones características pueden resolverse analíticamente para simular el hidrograma de salida como respuesta a una lluvia de duración especificada. Acumulando el flujo de muchos de estos planos localizados sobre la cuenca, puede desarrollarse un modelo aproximado para la conversión de lluvia en caudal a la salida de la cuenca. El modelo de onda cinemática del proceso lluvia-escorrentía ofrece la ventaja, sobre el método del hidrograma unitario, de que es una solución de las ecuaciones físicas que rigen el flujo superficial, pero la solución es solamente para un flujo unidimensional, mientras que el flujo superficial real en la cuenca es bidimensional ya que el agua sigue el contorno superficial del terreno. Como consecuencia, los parámetros de onda cinemática, tales como el coeficiente de rugosidad de Manning, deben ajustarse para producir un hidrograma de salida realista. Eagleson (1970), Overton y Meadows (1976) y Stephenson y Meadows (1986) presentaron información detallada sobre modelos de onda cinemática para el proceso lluvia-escorrentía.
Ejemplo 9.4.1 Un canal rectangular de 200 pies de ancho tiene 15,000 pies de longitud, una pendiente de lecho del!% y un coeficiente de rugosidad de Manning de 0.035. El hidrograma de entrada al canal está dado en las columnas 1 y 2 de la tabla 9 .4.1. Calcule el hidrograma de salida utilizando la solución analítica de las ecuaciones de onda cinemática.
Solución. La celeridad de la onda cinemática para un valor dado del caudal se calcula de la misma manera que la que se muestra en el ejemplo 9.3.1, donde se demostró que para este canal ck = 14.4 pies/s para Q = 5,000 cfs. Los valores correspondientes para otros caudales del hidrograma de entrada se muestran en la columna 3 de la tabla 9.4.1. El tiempo de tránsito a lo largo de un tramo de longitud L es L/ e" luego para L = 15,000 pies y ck = 14.4 pies/s, el tiempo de tránsito es 15,000/14.4 = 1,042 s = 17.4 min, talcomo se muestra en la columna 4 de la tabla. El momento cuando este caudal situado en el tramo ascendente del hidrograma llegará a la salida del canal es, por la ecuación (9.4.3) t = t0_+ L/rk = 48 + 17.4 = 65.4 min, tal como se muestra en la columna 5. Los hidrográmas de entrada y de salida para este ejemplo están graficados en la figura 9.4.1. Puede verse que la onda cinemática es una onda de traslación sin atenuación; el caudal máximo de 6,000 cfs no disminuye en su paso a través del canal.
300
HIDROLOGÍA APLICADA
301
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
TABLA 9.4.1
Tránsito de un hidrograma de caudal utilizando la solución analítica de la onda cinemática (ejemplo 9.4.1)
Tiempo 1 1
(cfs)
3 Celeridad de onda cinemática (pies/s)
4 Tiempo de tránsito (min)
5 Tiempo de salida* (min)
2,000 2,000
10.0 10.0
25.1 25.1
25.1 37.1 45.3 55.0 65.4 76.1 89.4 103.0 117.3 133.1 145.1
2
Columna
Tiempo de entrada (min)
o 12 24 36 48 60 72
84 96 108 120
Caudal
3,000 4,000 5,000 6,000 5,000 4,000 3,000 2,000 2,000
* Tiempo de salida = Tiempo de entrada
11.7 13.2 14.4 15.5 14.4 13.2 11.7 10.0 10.0
+
21.3 19.0 17.4 16.1 17.4 19.0 21.3 25.1 25.1
Tiempo de tránsito.
"'
.D
·~
Línea de tiempo j + 1 \..
(j+ l)M "'
"'~
}111 ~
~ o
i,j+l
i+l,j+l
i-1,}
/'d
. L mea e tiempo '
i' j
+-/', x -+
i + 1' j
j
o
(i- l)l'!.x il'!.x
FIGURA 9.5.1 Malla en el plano x - t utilizada para la solución numérica de las ecuaciones de Saint-Venant mediante diferencias finitas.
L
( i + l)l'!.x
Distancia x
vadas espaciales y temporales en términos de variables desconocidas tanto en la línea de tiempo actual, j + 1, como en la línea de tiempo precedente, j, donde todos los valores son conocidos a partir de cálculos previos (véase la figura 9.5.1). La solución de las ecuaciones de Saint-Venant avanza desde una línea de tiempo hacia la siguiente.
9.5 APROXIMACIONES POR DIFERENCIAS FINITAS
Diferencias finitas
Las ecuaciones de Saint-Venant para tránsito distribuido no se pueden solucionar fácilmente por métodos analíticos excepto en algunos casos especiales simples. Son ecuaciones diferenciales parciales que, en general, deben resolverse utilizando métodos numéricos. Los métodos para resolver ecuaciones diferenciales parciales pueden clasificarse como métodos numéricos directos y métodos de las características. En los métodos directos se formulan ecuaciones de diferencias finitas utilizando las ecuaciones diferenciales parciales originales de continuidad y de momentum. Se obtienen entonces soluciones para el caudal y la elevación de la superficie del agua para tiempos y distancias incrementales a lo largo de la corriente o río. En los métodos de las características, las ecuaciones diferenciales parciales se transforman primero a una forma característica, y luego las ecuaciones de las características se resuelven analíticamente, tal como se hizo previamente para la onda cinemática, o usando una representación de diferencias finitas. En los métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales parciales, los cálculos se llevan a cabo en una malla localizada en el plano x-t. La malla x-t es una red de puntos definida al tomar incrementos de distancia de longitud Lll: e incrementos de tiempo de duración tlt. Tal como se muestra en la figura 9. 5. 1 , los puntos de distancia están indexados por i y los puntos de tiempo están indexados por j. Una línea de tiempo es una línea paralela al eje x a través de todos los puntos de distancia en un valor del tiempo dado. Los esquemas numéricos transforman las ecuaciones diferenciales parciales en un conjunto de ecuaciones algebraicas de diferencias finitas, las cuales pueden ser lineales o no lineales. Las ecuaciones de diferencias finitas representan las deri-
Las aproximaciones por diferencias finitas pueden deducirse para una función u(x) tal como se muestra en la figura 9.5.2. Una expansión en series de Taylor de u(x) en x + !J.x produce u(x
+ Lll)
= u(x)
+
Lllu'(x)
+ ~Lll 2 u"(x) + ~Lll 3 u"'(x) +
(9.5.1)
donde u'(x) = du/dx, u"(x) = d2 u/dx2 , ••• , y así sucesivamente. La expansión en series de Taylor en x- Lll: es u(x- Lll) = u(x)- Lllu'(x)
+
1 1 -LU 2 u"(x)- -Lll 3 u"'(x)
2
6
+ ...
(9.5.2)
Una aproximación de diferencia central usa la diferencia definida restando la ecuación (9.5.2) de (9.5.1). u(x
+ Lll) -
u(x - Lll) = 2 Lll u' (x)
+ O(Lll 3)
(9.5.3)
donde O(!J.x3 ) representa un residuo que contiene los términos de tercer orden y superiores. Resolviendo para u'(x) y suponiendo que O(!J..x 3 ) ~ O se obtiene ,
u (x) =
u(x
+ Lll) -
u(x - Lll)
2Lll
•
(9.5.4)
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HIDROLOGÍA APLICADA
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TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
TABLA 9.4.1
Tránsito de un hidrograma de caudal utilizando la solución analítica de la onda cinemática (ejemplo 9.4.1)
Tiempo 1 1
(cfs)
3 Celeridad de onda cinemática (pies/s)
4 Tiempo de tránsito (min)
5 Tiempo de salida* (min)
2,000 2,000
10.0 10.0
25.1 25.1
25.1 37.1 45.3 55.0 65.4 76.1 89.4 103.0 117.3 133.1 145.1
2
Columna
Tiempo de entrada (min)
o 12 24 36 48 60 72
84 96 108 120
Caudal
3,000 4,000 5,000 6,000 5,000 4,000 3,000 2,000 2,000
* Tiempo de salida = Tiempo de entrada
11.7 13.2 14.4 15.5 14.4 13.2 11.7 10.0 10.0
+
21.3 19.0 17.4 16.1 17.4 19.0 21.3 25.1 25.1
Tiempo de tránsito.
"'
.D
·~
Línea de tiempo j + 1 \..
(j+ l)M "'
"'~
}111 ~
~ o
i,j+l
i+l,j+l
i-1,}
/'d
. L mea e tiempo '
i' j
+-/', x -+
i + 1' j
j
o
(i- l)l'!.x il'!.x
FIGURA 9.5.1 Malla en el plano x - t utilizada para la solución numérica de las ecuaciones de Saint-Venant mediante diferencias finitas.
L
( i + l)l'!.x
Distancia x
vadas espaciales y temporales en términos de variables desconocidas tanto en la línea de tiempo actual, j + 1, como en la línea de tiempo precedente, j, donde todos los valores son conocidos a partir de cálculos previos (véase la figura 9.5.1). La solución de las ecuaciones de Saint-Venant avanza desde una línea de tiempo hacia la siguiente.
9.5 APROXIMACIONES POR DIFERENCIAS FINITAS
Diferencias finitas
Las ecuaciones de Saint-Venant para tránsito distribuido no se pueden solucionar fácilmente por métodos analíticos excepto en algunos casos especiales simples. Son ecuaciones diferenciales parciales que, en general, deben resolverse utilizando métodos numéricos. Los métodos para resolver ecuaciones diferenciales parciales pueden clasificarse como métodos numéricos directos y métodos de las características. En los métodos directos se formulan ecuaciones de diferencias finitas utilizando las ecuaciones diferenciales parciales originales de continuidad y de momentum. Se obtienen entonces soluciones para el caudal y la elevación de la superficie del agua para tiempos y distancias incrementales a lo largo de la corriente o río. En los métodos de las características, las ecuaciones diferenciales parciales se transforman primero a una forma característica, y luego las ecuaciones de las características se resuelven analíticamente, tal como se hizo previamente para la onda cinemática, o usando una representación de diferencias finitas. En los métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales parciales, los cálculos se llevan a cabo en una malla localizada en el plano x-t. La malla x-t es una red de puntos definida al tomar incrementos de distancia de longitud Lll: e incrementos de tiempo de duración tlt. Tal como se muestra en la figura 9. 5. 1 , los puntos de distancia están indexados por i y los puntos de tiempo están indexados por j. Una línea de tiempo es una línea paralela al eje x a través de todos los puntos de distancia en un valor del tiempo dado. Los esquemas numéricos transforman las ecuaciones diferenciales parciales en un conjunto de ecuaciones algebraicas de diferencias finitas, las cuales pueden ser lineales o no lineales. Las ecuaciones de diferencias finitas representan las deri-
Las aproximaciones por diferencias finitas pueden deducirse para una función u(x) tal como se muestra en la figura 9.5.2. Una expansión en series de Taylor de u(x) en x + !J.x produce u(x
+ Lll)
= u(x)
+
Lllu'(x)
+ ~Lll 2 u"(x) + ~Lll 3 u"'(x) +
(9.5.1)
donde u'(x) = du/dx, u"(x) = d2 u/dx2 , ••• , y así sucesivamente. La expansión en series de Taylor en x- Lll: es u(x- Lll) = u(x)- Lllu'(x)
+
1 1 -LU 2 u"(x)- -Lll 3 u"'(x)
2
6
+ ...
(9.5.2)
Una aproximación de diferencia central usa la diferencia definida restando la ecuación (9.5.2) de (9.5.1). u(x
+ Lll) -
u(x - Lll) = 2 Lll u' (x)
+ O(Lll 3)
(9.5.3)
donde O(!J.x3 ) representa un residuo que contiene los términos de tercer orden y superiores. Resolviendo para u'(x) y suponiendo que O(!J..x 3 ) ~ O se obtiene ,
u (x) =
u(x
+ Lll) -
u(x - Lll)
2Lll
•
(9.5.4)
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HIDROLOGÍA APLICADA
303
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
nea de tiempo dada se determinan simultáneamente. El método explícito es más simple pero puede ser inestable, lo cual significa que se requieren valores pequeños de Ax y !J.t para la convergencia del procedimiento numérico. El método explícito es conveniente porque sus resultados están dados en los puntos de la malla y pueden tener en cuenta variaciones pequeñas en la geometría del canal de una sección a otra, pero es menos eficiente que el método implícito y por consiguiente no es apropiado para transitar flujos de crecientes en periodos largos. El método implícito es más complejo desde el punto de vista matemático, pero con el uso de computadores esto no es un problema serio una vez que el método ha sido programado. El método es estable para pasos de computación grandes con pequeñas pérdidas de exactitud y por consiguiente trabaja en forma más rápida que el método explícito. El método implícito también puede manejar cambios grandes en la geometría del canal de una sección transversal a la siguiente.
u
u(x + L\x)
u (x) u(x- L\x)
X -
LlX
X
x + L\ x
FIGURA 9.5.2 Aproximación por diferencias finitas para la función u(x).
Distancia x
la cual tiene un error de aproximación del orden de ó.x2 . Este error de aproximación, debido a que se ignoran los términos de orden superior, también se conoce como el error de truncamiento. Una aproximación por diferencia hacia adelante (progresiva) se define sustrayendo u(x) de (9.5.1):
u(x
+ ó.x)- u(x) = ó.x u'(x) +
O(ó.x 2)
(9.5.5)
Suponiendo que los términos de segundo orden y órdenes superiores son despreciables, y resolviendo para u'(x) se obtiene
, .) _u-'-(x_+_ó.x__;_)_-_u_.:.(x--'-) u (x = ó.x
(9.5.6)
lo cual tiene un error de aproximación del orden de ó.x. Una aproximación por diferencia hacia atrás (regresiva) usa la diferencia definida mediante la resta de (9.5.2) de u(x),
u(x) - u(x - ó.x)
=
ó.x u' (x)
+ O(ó.x 2)
(9.5.7)
y resolviendo para u'(x) se obtiene
'( ) u(x) - u(x - ó.x) ux= ó.x
(9.5.8)
Un método de diferencias finitas puede emplear ya sea un esquema explícito o un esquema implícito para su solución. La diferencia principal entre estos dos esquemas es que en el método explícito los valores desconocidos se resuelven secuencialmente a lo largo de la línea de tiempo desde un punto de distancia hasta el siguiente, mientras que en el método implícito los valores desconocidos en una Ií-
Esquema explícito La representación de diferencias finitas se establece en la malla de puntos en el plano tiempo-distancia mostrado en la figura 9.5.1. Suponiendo que en el tiempo t (línea de tiempo j) las cantidades hidráulicas u se conocen, el problema es determinar la cantidad desconocida en el punto (i, j + 1) en el tiempo t + ó.t, es decir, uf+ 1• El esquema más simple determina las derivadas parciales en el punto (i, j + 1) en términos de las cantidades en puntos adyacentes (i - 1, j), (i, j) y (i + 1, j) usando
au/ +!
u/ +l -u/
at
ó.t
(9.5.9)
y
au/ ax
u/ +I - u/_ 1
(9.5.10)
Se utiliza un esquema de diferencias hacia adelante para la derivada temporal y un esquema de diferencias centrales para la derivada espacial. Nótese que la derivada espacial se escribe utilizando términos conocidos en la línea de tiempo j. Los esquemas implícitos, por otro lado, usan aproximaciones de diferencias finitas para las derivadas temporal y espacial en términos de la línea de tiempo desconocida j + l. La discretización del plano x-t en una malla para la integración de las ecuaciones de diferencias finitas introduce errores numéricos en los cálculos. Un esquema de diferencias finitas es estable si tales errores no se amplifican durante cálculos sucesivos desde una línea de tiempo hasta la siguiente. La estabilidad numérica de los cálculos depende del tamaño relativo de la red. Una condición necesaria pero no suficiente para la estabilidad de un esquema explícito es la condición de Courant (Courant y Friedrichs, 1948). Para las ecuaciones de onda cinemática la condición de Courant es (9.5.11)
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HIDROLOGÍA APLICADA
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TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
nea de tiempo dada se determinan simultáneamente. El método explícito es más simple pero puede ser inestable, lo cual significa que se requieren valores pequeños de Ax y !J.t para la convergencia del procedimiento numérico. El método explícito es conveniente porque sus resultados están dados en los puntos de la malla y pueden tener en cuenta variaciones pequeñas en la geometría del canal de una sección a otra, pero es menos eficiente que el método implícito y por consiguiente no es apropiado para transitar flujos de crecientes en periodos largos. El método implícito es más complejo desde el punto de vista matemático, pero con el uso de computadores esto no es un problema serio una vez que el método ha sido programado. El método es estable para pasos de computación grandes con pequeñas pérdidas de exactitud y por consiguiente trabaja en forma más rápida que el método explícito. El método implícito también puede manejar cambios grandes en la geometría del canal de una sección transversal a la siguiente.
u
u(x + L\x)
u (x) u(x- L\x)
X -
LlX
X
x + L\ x
FIGURA 9.5.2 Aproximación por diferencias finitas para la función u(x).
Distancia x
la cual tiene un error de aproximación del orden de ó.x2 . Este error de aproximación, debido a que se ignoran los términos de orden superior, también se conoce como el error de truncamiento. Una aproximación por diferencia hacia adelante (progresiva) se define sustrayendo u(x) de (9.5.1):
u(x
+ ó.x)- u(x) = ó.x u'(x) +
O(ó.x 2)
(9.5.5)
Suponiendo que los términos de segundo orden y órdenes superiores son despreciables, y resolviendo para u'(x) se obtiene
, .) _u-'-(x_+_ó.x__;_)_-_u_.:.(x--'-) u (x = ó.x
(9.5.6)
lo cual tiene un error de aproximación del orden de ó.x. Una aproximación por diferencia hacia atrás (regresiva) usa la diferencia definida mediante la resta de (9.5.2) de u(x),
u(x) - u(x - ó.x)
=
ó.x u' (x)
+ O(ó.x 2)
(9.5.7)
y resolviendo para u'(x) se obtiene
'( ) u(x) - u(x - ó.x) ux= ó.x
(9.5.8)
Un método de diferencias finitas puede emplear ya sea un esquema explícito o un esquema implícito para su solución. La diferencia principal entre estos dos esquemas es que en el método explícito los valores desconocidos se resuelven secuencialmente a lo largo de la línea de tiempo desde un punto de distancia hasta el siguiente, mientras que en el método implícito los valores desconocidos en una Ií-
Esquema explícito La representación de diferencias finitas se establece en la malla de puntos en el plano tiempo-distancia mostrado en la figura 9.5.1. Suponiendo que en el tiempo t (línea de tiempo j) las cantidades hidráulicas u se conocen, el problema es determinar la cantidad desconocida en el punto (i, j + 1) en el tiempo t + ó.t, es decir, uf+ 1• El esquema más simple determina las derivadas parciales en el punto (i, j + 1) en términos de las cantidades en puntos adyacentes (i - 1, j), (i, j) y (i + 1, j) usando
au/ +!
u/ +l -u/
at
ó.t
(9.5.9)
y
au/ ax
u/ +I - u/_ 1
(9.5.10)
Se utiliza un esquema de diferencias hacia adelante para la derivada temporal y un esquema de diferencias centrales para la derivada espacial. Nótese que la derivada espacial se escribe utilizando términos conocidos en la línea de tiempo j. Los esquemas implícitos, por otro lado, usan aproximaciones de diferencias finitas para las derivadas temporal y espacial en términos de la línea de tiempo desconocida j + l. La discretización del plano x-t en una malla para la integración de las ecuaciones de diferencias finitas introduce errores numéricos en los cálculos. Un esquema de diferencias finitas es estable si tales errores no se amplifican durante cálculos sucesivos desde una línea de tiempo hasta la siguiente. La estabilidad numérica de los cálculos depende del tamaño relativo de la red. Una condición necesaria pero no suficiente para la estabilidad de un esquema explícito es la condición de Courant (Courant y Friedrichs, 1948). Para las ecuaciones de onda cinemática la condición de Courant es (9.5.11)
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HIDROLOGÍA APLICADA
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TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
donde Ck es la celeridad de onda cinemática. Para ecuaciones de onda dinámica, ck se reemplaza por V+ cd en (9.5.11). La condición de Courant requiere que el intervalo de tiempo para cálculo sea menor que el tiempo de tránsito de una onda a lo largo de la distancia l1x¡. Si t:.t es muy grande de tal manera que no se satisface la condición de Courant, entonces existe, en efecto, una acumulación o amontonamiento de agua. La condición de Courant no se aplica al esquema implícito. Con propósitos computacionales en un esquema explícito, L1x se especifica y se mantiene fijo a través de los cálculos, mientras que At se determina en cada intervalo de tiempo. Para hacer esto, se calcula un At¡ que cumpla justamente la condición de Courant en cada punto de la red i en la línea de tiempo j, y se utiliza el menor At¡. Debido a que el método explícito es inestable a menos que At sea pequeño, algunas v~ces es aconsejable determinar el mínimo At¡ en una línea de tiempo j y luego reduc1rlo en un porcentaje. La condición de Courant no garantiza la estabilidad, y por consiguiente es sólo una guía.
Esquema implícito Lo~
esquemas implícitos utilizan aproximaciones de diferencias finitas tanto para la denvada temporal como para la espacial en términos de la variable dependiente en la línea de tiempo desconocida. Como un ejemplo simple las derivadas espaciales y temporales pueden escribirse para el punto desconocido (i + 1, j + 1) como
la sección 9 .4; puede manejar más fácilmente variaciones en las propiedades del canal y en las condiciones iniciales y de frontera, y sirve como una introducción a la solución numérica de la onda dinámica, presentada en el capítulo 1O. Para resolver la ecuación (9.6.1) en forma numérica, las derivadas espaciales y temporales de Q se aproximan en la malla x-t tal como se muestra en la figura 9.6.1. El valor desconocido es Q ~: ~ . Los valores de Q en la j-ésima línea de tiempo se han determinado previamente, lo mismo que Q ~+ 1 • En esta sección se describen dos esquemas para plantear ecuaciones de diferencias finitas: un esquema lineal en el cual Q1;; se calcula como una función lineal de los valores conocidos de Q, y un esquema no lineal en el cual la forma en diferencias finitas de (9.6.1) es una ecuación no lineal.
Esquema lineal Con el fin de plantear las ecuaciones de diferencia finita se usa un método de diferencias hacia atr~s. La forma de diferencias finitas de la derivada espacial de Q ~:: se encuentra sustituyendo los valores de Q en la (j + 1)-ésima línea de tiempo en la ecuación (9.5.12): iJQ =
ax
Q{ !i- Q{ +1
j+l
iJQ
OU¡ +1
(9.5.12)
ax
(j + 1) ¿\.(
y
u}i ++11 - u,i+ 1 au ji +1 +1 ----= ----------
ar
(9.6.2)
Ll.x
At
(9.5.13)
Este esquema se utiliza en la sección 9.6 para el modelo de onda cinemática. En el cap~tul o, 1? se utiliza un esquema implícito más complejo, conocido como el esquema ImphCito ponderado de 4 puntos, para el modelo completo de onda dinámica.
o
8 ¿¡ . . o¿¡ + 1( 2
g,+1)(0.6-l)l i
wr'-"]
= =---;:::----------------:::-::--:-:-::;;----=
[,~~~0 + (3 49)(0 6)( Q! +' ;
Este problema se resuelve siguiendo el algoritmo dado en la figura 9.6.2. Los cálculos proceden desde aguas arriba hacia aguas abajo tal como se muestra en la tabla 9 .6.1, en la cual el eje de distancia se presenta horizontalmente, i = 1, 2, ... , 6, y el eje temporal verticalmente en la página, j = 1, 2, ... La condición inicial es Q i = 2,000 cfs, la cual cubre la primera fila de valores de caudales. La condición de frontera aguas arriba es el hidro grama de flujo de entrada Q ~ en la primera columna de los valores de caudal. Las entradas en t =O, 12, 24, ... min se obtienen de la tabla 9.4.1, y los valores restantes se encuentran por interpolación lineal entre los valores tabulados. La primera vez que el flujo de entrada se empieza a apartar de 2,000 cfs es después de t = 12 min, luego los cálculos para Q en la línea de tiempo de 15 min se utilizan como una ilustración. La secuencia computacional se indica en la tabla 9.6.1 mediante la secuencia de cajas. Con j = 5 e i = 1, el primer valor desconocido es Q J:; = Q ~ , el cual es el caudal a una distancia de 3,000 pies en la línea de tiempo de 15 min. Se encuentra como una función de Q 1+ 1 = Q ~ 2,000 cfs, el caudal a 3,000 pies en la línea de 12 min y de Qj+ 1 = Q ~ = 2,250 cfs, el valor del hidrograma de entrada en x =O sobre la línea de tiempo de 15 min. Sustituyendo estos valores en la ecuación de diferencias finitas:
Q~ =
[ 3~~go (2,250) + (3.49)(0.6)(2,ooo) (2 •000 ; 2 •250 r6-1)J [
3
(
~~go + (3 .4 9)(0. 6) 2,ooo; 2,250
Índice de tiempo
)(0.6-1)]
2,095 cfs
tal como se muestra en la tabla. Moviéndose a lo largo de la línea de tiempo de 15 min (j = 6), la segunda incógnita es Q t el valor a la distancia de 6,000 pies, calculado como una función de Qt1 = Q i = 2,000 cfs, ahora a 6,000 pies en la línea de tiempo de 12 min y de Q j+ 1 = Q ~ = 2,095 cfs, el valor que acaba de calcularse para una distancia de 3,000 pies en el minuto 15. El mismo procedimiento de arriba produce Q ~ = 2,036 cfs tal como se muestra en la tabla 9.6.1. Todos los demás valores desconocidos se determinan de la misma manera. El hidro grama de salida es la columna de caudales para i = 6 en 15,000 pies.
1
1 2
Distancia a lo largo del canal (pies)
o
3,000
6,000
9,000
12,000
15,000
í=1 2,000 2,000 2,000 2,000
2 2,000 2,000 2,000 2,000
3 2,000 2,000 2,000 2,000
4 2,000 2,000 2,000 2,000
5 2,000 2,000 2,000 2,000
6 2,000 2,000 2,000 2,000
o 3 6 9
4
12
5
15
6
18 21 24 27 30
7 8 9 10 11
2,500 2,750 3,000 3,250 3,500
2,252 2,449 2,672 2,910 3,158
2,118 2,246 2,414 2,613 2,836
2,053 2,127 2,238 2,385 2,566
2,023 2,062 2,129 2,228 2,360
2,010 2,030 2,067 2,129 2,218
48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78
17
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
5,000 5,250 5,500 5,750 6,000 5,750 5,500 5,250 5,000 4,750 4,500
4,695 4,952 5,209 5,465 5,720 5,734
4,374 4,638 4,902 5,165 5,427 5,573
5,623 5,447 5,238 5,012 4,777
5,597
4,037 4,307 4,578 4,848 5,118 5,332 5,457
5,526 5,390 5,213 5,011
5,489
3,694 3,965 4,239 4,516 4,793 5,043 5,237 5,356
5,443 5,335 5,184
5,397
3,358 3,620 3,892 4,171 4,452 4,723 4,961 5,145 5,263
5,368 5,281
5,312
144 147 150
49 50 51
2,000 2,000 2,000
2,001 2,001 2,001
2,008 2,005 2,004
2,028 2,019 2,013
2,067 2,049 2,036
2,133 2,101 2,076
2,000
r-----, r----, -----" ,----, .-----.,
: 2,000 :
1
2,000 : : 2,000 : : 2,000 : : 2,000 :
r---r-...J r---r-_j :-- --~- J ,-----,-.J L32~o____ L_2;29J_L __ L~lJ~6_L_J~qJ~l--~.:.o~5_l __ ~.Q0_2_.J
¡--------'
1
5,298
Los valores de fl.t = 3 min y & = 3,000 pies se escogieron de tal manera que la condición de Courant (9.5.11) se satisficiera en cualquier punto del plano x-t. Tal como se muestra en la tabla 9.4.1, el máximo valor de la celeridad de onda es 15.5 pies/s, para un caudal de 6,000 cfs. Aquí &!fl.t = 3,000/180 = 16.7 pies/s, lo cual es mayor que el valor máximo de la celeridad, satisfaciéndose entonces la condición de Courant en todas partes.
308
HIDROLOGÍA APLICADA
309
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
t:.t =
TABLA 9.6.1
Solución. E! valor de f3 es 0.6 y a se calcula utilizando n
Solución numérica para la onda cinemática lineal (ejemplo 9.6.1). Los valores dados en la tabla representan caudales en cfs. Los valores en cursiva muestran la propagación del caudal pico. Las cajas muestran la secuencia computacional para obtener los valores a lo largo de la línea de tiempo de 15 min
3m in. No existe caudal lateral. La condición inicial es un flujo uniforme de 2,000 cfs a lo largo del canal.
= 0.035, P ""B = 200 pies y
So= 0.01 reemplazando en la ecuación (9.3.5) 0.6
nP213 Q'
= (
1 .495 ~12 )
0.035 X (200) 213 [ 1.49(0.01) 112 ]
0.6
Tiempo (min)
.4 3 9
=
j
Para fl.t = 3 min = 180 s y & = 3,000 pies, la ecuación (9.6.7) con q =O da ni
Ql !t
[
__l_§Q_n!+! +(3 49)(0 6)n! o,¿i+! + 3,000>¿¡ . . o¿¡ + 1( 2
g,+1)(0.6-l)l i
wr'-"]
= =---;:::----------------:::-::--:-:-::;;----=
[,~~~0 + (3 49)(0 6)( Q! +' ;
Este problema se resuelve siguiendo el algoritmo dado en la figura 9.6.2. Los cálculos proceden desde aguas arriba hacia aguas abajo tal como se muestra en la tabla 9 .6.1, en la cual el eje de distancia se presenta horizontalmente, i = 1, 2, ... , 6, y el eje temporal verticalmente en la página, j = 1, 2, ... La condición inicial es Q i = 2,000 cfs, la cual cubre la primera fila de valores de caudales. La condición de frontera aguas arriba es el hidro grama de flujo de entrada Q ~ en la primera columna de los valores de caudal. Las entradas en t =O, 12, 24, ... min se obtienen de la tabla 9.4.1, y los valores restantes se encuentran por interpolación lineal entre los valores tabulados. La primera vez que el flujo de entrada se empieza a apartar de 2,000 cfs es después de t = 12 min, luego los cálculos para Q en la línea de tiempo de 15 min se utilizan como una ilustración. La secuencia computacional se indica en la tabla 9.6.1 mediante la secuencia de cajas. Con j = 5 e i = 1, el primer valor desconocido es Q J:; = Q ~ , el cual es el caudal a una distancia de 3,000 pies en la línea de tiempo de 15 min. Se encuentra como una función de Q 1+ 1 = Q ~ 2,000 cfs, el caudal a 3,000 pies en la línea de 12 min y de Qj+ 1 = Q ~ = 2,250 cfs, el valor del hidrograma de entrada en x =O sobre la línea de tiempo de 15 min. Sustituyendo estos valores en la ecuación de diferencias finitas:
Q~ =
[ 3~~go (2,250) + (3.49)(0.6)(2,ooo) (2 •000 ; 2 •250 r6-1)J [
3
(
~~go + (3 .4 9)(0. 6) 2,ooo; 2,250
Índice de tiempo
)(0.6-1)]
2,095 cfs
tal como se muestra en la tabla. Moviéndose a lo largo de la línea de tiempo de 15 min (j = 6), la segunda incógnita es Q t el valor a la distancia de 6,000 pies, calculado como una función de Qt1 = Q i = 2,000 cfs, ahora a 6,000 pies en la línea de tiempo de 12 min y de Q j+ 1 = Q ~ = 2,095 cfs, el valor que acaba de calcularse para una distancia de 3,000 pies en el minuto 15. El mismo procedimiento de arriba produce Q ~ = 2,036 cfs tal como se muestra en la tabla 9.6.1. Todos los demás valores desconocidos se determinan de la misma manera. El hidro grama de salida es la columna de caudales para i = 6 en 15,000 pies.
1
1 2
Distancia a lo largo del canal (pies)
o
3,000
6,000
9,000
12,000
15,000
í=1 2,000 2,000 2,000 2,000
2 2,000 2,000 2,000 2,000
3 2,000 2,000 2,000 2,000
4 2,000 2,000 2,000 2,000
5 2,000 2,000 2,000 2,000
6 2,000 2,000 2,000 2,000
o 3 6 9
4
12
5
15
6
18 21 24 27 30
7 8 9 10 11
2,500 2,750 3,000 3,250 3,500
2,252 2,449 2,672 2,910 3,158
2,118 2,246 2,414 2,613 2,836
2,053 2,127 2,238 2,385 2,566
2,023 2,062 2,129 2,228 2,360
2,010 2,030 2,067 2,129 2,218
48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78
17
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
5,000 5,250 5,500 5,750 6,000 5,750 5,500 5,250 5,000 4,750 4,500
4,695 4,952 5,209 5,465 5,720 5,734
4,374 4,638 4,902 5,165 5,427 5,573
5,623 5,447 5,238 5,012 4,777
5,597
4,037 4,307 4,578 4,848 5,118 5,332 5,457
5,526 5,390 5,213 5,011
5,489
3,694 3,965 4,239 4,516 4,793 5,043 5,237 5,356
5,443 5,335 5,184
5,397
3,358 3,620 3,892 4,171 4,452 4,723 4,961 5,145 5,263
5,368 5,281
5,312
144 147 150
49 50 51
2,000 2,000 2,000
2,001 2,001 2,001
2,008 2,005 2,004
2,028 2,019 2,013
2,067 2,049 2,036
2,133 2,101 2,076
2,000
r-----, r----, -----" ,----, .-----.,
: 2,000 :
1
2,000 : : 2,000 : : 2,000 : : 2,000 :
r---r-...J r---r-_j :-- --~- J ,-----,-.J L32~o____ L_2;29J_L __ L~lJ~6_L_J~qJ~l--~.:.o~5_l __ ~.Q0_2_.J
¡--------'
1
5,298
Los valores de fl.t = 3 min y & = 3,000 pies se escogieron de tal manera que la condición de Courant (9.5.11) se satisficiera en cualquier punto del plano x-t. Tal como se muestra en la tabla 9.4.1, el máximo valor de la celeridad de onda es 15.5 pies/s, para un caudal de 6,000 cfs. Aquí &!fl.t = 3,000/180 = 16.7 pies/s, lo cual es mayor que el valor máximo de la celeridad, satisfaciéndose entonces la condición de Courant en todas partes.
310
HIDROLOGÍA APLICADA
6
Distancia aguas abajo: 3,000 pies 6,000 pies 9.000 pies 12,000 pies / 15,000 pies
Caudal de
"' ..!:l
4
·a
6
4
FIGURA 9.6.4 Tránsito de onda cinemática utilizando métodos analíticos y numéricos. La solución analítica no muestra atenuación, mientras que la solución numérica dispersa la onda, cuyo grado de dispersión aumenta con el tamaño de los intervalos de tiempo y distancia. a) Caudal de entrada. b) Solución numérica utilizando /1t = 1 mi[\ y !1x = 1,000 pies. e) Solución numérica, !1t = 3 min, !1x = 3,000 pies. d) Solución analítica.
"' ..!:l
·a
~
~ ..,.
311
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
~
2
..,.~ """::l u"'
"""::l
u"'
""
2
~=
0+---,----,---,---,---,----~--~
o
20
40
60
80
100
120
140
o
Tiempo (min)
o
20
60
40
a) Solución a través del tiempo en diferentes puntos del espacio.
lOO
80
120
140
Tiempo (min)
6
Esquema no lineal de onda cinemática La forma en diferencias finitas de la ecuación (9.6.1) también puede expresarse como
+ q j+1 i+1
-J
'ti +1
(9.6.10)
2
o
Al igual que en el esquema lineal se toma Q como la variable dependiente; utilizando la ecuación (9.3.3),
L-~,-~-,~~,-~.-~~~~~~~-
2
0
o Omin b)
4
6
10
12
14
Distancia a lo largo del canal (pies, miles) o 30 o 60 ~:; 90 x 120 'V 150 Solución a través del espacio en diferentes puntos del tiempo.
FIGURA 9.6.3 Solución numérica de la ecuación de onda dinámica lineal en el espacio y en el tiempo (ejemplo 9.6.1).
La figura 9 .6.3a) muestra algunas gráficas de las columnas de la tabla 9 .6.1, es decir, los hidrogramas de caudal en varios puntos a lo largo del canal. Puede verse que el caudal pico disminuye a medida que la onda transita aguas abajo en el canal, lo cual se indica mediante los valores marcados en cursiva en la tabla. La figura 9.6.3b) muestra gráficas de las filas de la tabla 9 .6.1, las cuales representan la distribución del flujo a lo largo del canal para varios instantes de tiempo, que muestra el aumento y la disminución del flujo a medida que la onda transita aguas abajo en el canal. La figura 9.6.4 es una comparación de la solución analítica calculada en el ejemplo 9 .4.1 con dos soluciones numéricas, la primera calculada aquí con Ax = 3,000 pies y M = 3 min y otra solución calculada de manera similar con Ax = 1,000 pies y !1t = 1 min. Puede observarse que el esquema numérico introduce dispersión de la onda de creciente en la solución y este grado de dispersión aumenta con el tamaño de los incrementos Ax y M.
Aj +1
(9.6.11)
i +1
y
.
( .
A{ +1 = a Q!
+1
){3
(9.6.12)
Las ecuaciones (9.6.11) y (9.6.12) se sustituyen en (9.6.10) para obtener, luego de reordenar,
11t ni +1
l1x '.e¡
+1
+a(~ +1+1 ){3 = l
11t ni. +1 + a(ni. 11x-.c¡ '.e¡
+1
){3 +
!1t(qi !i
+ lJl +1)
2
(9.6.13)
1::
Esta ecuación se ha ordenado de tal manera que el caudal desconocido Q se encuentra en el lado izquierdo, y todas las cantidades conocidas se encuentran en el lado derecho. Es una ecuación no lineal para Q1: :; luego se requiere un esquema de solución numérica tal como el método de Newton (véase la sección 5.6 para una introducción al método de Newton). El lado derecho conocido en cada punto de la malla de diferencias finitas es
310
HIDROLOGÍA APLICADA
6
Distancia aguas abajo: 3,000 pies 6,000 pies 9.000 pies 12,000 pies / 15,000 pies
Caudal de
"' ..!:l
4
·a
6
4
FIGURA 9.6.4 Tránsito de onda cinemática utilizando métodos analíticos y numéricos. La solución analítica no muestra atenuación, mientras que la solución numérica dispersa la onda, cuyo grado de dispersión aumenta con el tamaño de los intervalos de tiempo y distancia. a) Caudal de entrada. b) Solución numérica utilizando /1t = 1 mi[\ y !1x = 1,000 pies. e) Solución numérica, !1t = 3 min, !1x = 3,000 pies. d) Solución analítica.
"' ..!:l
·a
~
~ ..,.
311
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
~
2
..,.~ """::l u"'
"""::l
u"'
""
2
~=
0+---,----,---,---,---,----~--~
o
20
40
60
80
100
120
140
o
Tiempo (min)
o
20
60
40
a) Solución a través del tiempo en diferentes puntos del espacio.
lOO
80
120
140
Tiempo (min)
6
Esquema no lineal de onda cinemática La forma en diferencias finitas de la ecuación (9.6.1) también puede expresarse como
+ q j+1 i+1
-J
'ti +1
(9.6.10)
2
o
Al igual que en el esquema lineal se toma Q como la variable dependiente; utilizando la ecuación (9.3.3),
L-~,-~-,~~,-~.-~~~~~~~-
2
0
o Omin b)
4
6
10
12
14
Distancia a lo largo del canal (pies, miles) o 30 o 60 ~:; 90 x 120 'V 150 Solución a través del espacio en diferentes puntos del tiempo.
FIGURA 9.6.3 Solución numérica de la ecuación de onda dinámica lineal en el espacio y en el tiempo (ejemplo 9.6.1).
La figura 9 .6.3a) muestra algunas gráficas de las columnas de la tabla 9 .6.1, es decir, los hidrogramas de caudal en varios puntos a lo largo del canal. Puede verse que el caudal pico disminuye a medida que la onda transita aguas abajo en el canal, lo cual se indica mediante los valores marcados en cursiva en la tabla. La figura 9.6.3b) muestra gráficas de las filas de la tabla 9 .6.1, las cuales representan la distribución del flujo a lo largo del canal para varios instantes de tiempo, que muestra el aumento y la disminución del flujo a medida que la onda transita aguas abajo en el canal. La figura 9.6.4 es una comparación de la solución analítica calculada en el ejemplo 9 .4.1 con dos soluciones numéricas, la primera calculada aquí con Ax = 3,000 pies y M = 3 min y otra solución calculada de manera similar con Ax = 1,000 pies y !1t = 1 min. Puede observarse que el esquema numérico introduce dispersión de la onda de creciente en la solución y este grado de dispersión aumenta con el tamaño de los incrementos Ax y M.
Aj +1
(9.6.11)
i +1
y
.
( .
A{ +1 = a Q!
+1
){3
(9.6.12)
Las ecuaciones (9.6.11) y (9.6.12) se sustituyen en (9.6.10) para obtener, luego de reordenar,
11t ni +1
l1x '.e¡
+1
+a(~ +1+1 ){3 = l
11t ni. +1 + a(ni. 11x-.c¡ '.e¡
+1
){3 +
!1t(qi !i
+ lJl +1)
2
(9.6.13)
1::
Esta ecuación se ha ordenado de tal manera que el caudal desconocido Q se encuentra en el lado izquierdo, y todas las cantidades conocidas se encuentran en el lado derecho. Es una ecuación no lineal para Q1: :; luego se requiere un esquema de solución numérica tal como el método de Newton (véase la sección 5.6 para una introducción al método de Newton). El lado derecho conocido en cada punto de la malla de diferencias finitas es
312
HIDROLOGÍA APLICADA
e
= t::.t
íV. +l + (íV.
!::..x-.¿-¡
IX<¿¡
+1 ¡!3 + t::. t (q{ !l 2+ q{ +l)
del cual se define un error residual f(Q~! como
i) utilizando la ecuación
313
TRÁNSITO DISTRffiUIDO DE CRECIENTES
Calcular las condiciones iniciales definidas por el flujo base en el tiempo t = O en la línea de tiempo j = 1
(9.6.14) (9.6.13)
Avanzar al siguiente intervalo de tiempo· t ~ t
(9.6.15)
+
flt' j ~ j. + 1
Utilizar el hidrogram'!l de entrada para determinar el flujo Q { + 1 en la frontera aguas arriba.
La primera derivada de f(Q{:U es
f'(Qj
!lJ = ~
+ af3(Qj !JI/3-l
Incrementar hasta el siguiente punto interior x = Llx + t en la línea de tiempo j + 1
(9.6.16)
El objetivo es encontrar Q~! \que obligue a f(Q~! \)a ser igual a O. Utilizando el método de Newton con iteraciones k= 1, 2, ...
'+! (Qj +l)k +1
=
( '+1) '+1) !Qj+lk (Qj +1 k- f'\Q{ !l)k
Resolver para el valor est_imado inicial de Qk=I
~
Q;::
utilizando el estimativo del esquema lineal de (9.6.17). encontrar f(Qd para k = 1 usando (9.6.15).
(9.6.17)
El criterio de convergencia para el proceso iterativo es (9.6.18) donde E es un criterio de error. En la figura 9.6.5 se presenta un diagrama de flujo para el esquema no lineal de la onda cinemática. El valor estimado inicial de Q1:l es importante para la convergencia del esquema iterativo. Un buen enfoque es usar la solución del esquema lineal, ecuación (9.6.7), como la primera aproximación al esquema no lineal. Li, Simons y Stevens (1975) llevaron a cabo un análisis de estabilidad el cual indicó que el esquema que utiliza la ecuación (9. 6. 13) es incondicionalmente estable. También mostraron que un amplio rango de valores de !:..ti !::.x podía utilizarse sin introducir errores grandes en la forma del hidrograma de caudal de salida.
9.7 MÉTODO DE MUSKINGUM-CUNGE
No
Se han propuesto algunas variaciones al método de tránsito de onda cinemática. Cunge (1969) propuso un método basado en el método de Muskingum, un método tradicionalmente aplicado al tránsito hidrológico de almacenamiento lineal. Con referencia a la malla computacional tiempo-espacio mostrada en la figura 9.6.1, la ecuación de tránsito de Muskingum (8.4.7) puede escribirse para el caudal en x
=
(i + 1) !:..x y t
=
(j
+
1 )!::.t:
Q/:l
=
e¡Qf.+l +e2Q{. +e3Q{+l
(9.7 .1)
en la cual e1, e2 y e 3 están definidas en las ecuaciones (8.4.8) a (8.4.10). En esas ecuaciones, K es una constante de almacenamiento que tiene dimensiones de tiempo y X es un factor que expresa la influencia relativa del caudal de entrada en los nive-
FIGURA 9.6.5 Diagrama de flujo para el cálculo de onda cinemática no lineal.
312
HIDROLOGÍA APLICADA
e
= t::.t
íV. +l + (íV.
!::..x-.¿-¡
IX<¿¡
+1 ¡!3 + t::. t (q{ !l 2+ q{ +l)
del cual se define un error residual f(Q~! como
i) utilizando la ecuación
313
TRÁNSITO DISTRffiUIDO DE CRECIENTES
Calcular las condiciones iniciales definidas por el flujo base en el tiempo t = O en la línea de tiempo j = 1
(9.6.14) (9.6.13)
Avanzar al siguiente intervalo de tiempo· t ~ t
(9.6.15)
+
flt' j ~ j. + 1
Utilizar el hidrogram'!l de entrada para determinar el flujo Q { + 1 en la frontera aguas arriba.
La primera derivada de f(Q{:U es
f'(Qj
!lJ = ~
+ af3(Qj !JI/3-l
Incrementar hasta el siguiente punto interior x = Llx + t en la línea de tiempo j + 1
(9.6.16)
El objetivo es encontrar Q~! \que obligue a f(Q~! \)a ser igual a O. Utilizando el método de Newton con iteraciones k= 1, 2, ...
'+! (Qj +l)k +1
=
( '+1) '+1) !Qj+lk (Qj +1 k- f'\Q{ !l)k
Resolver para el valor est_imado inicial de Qk=I
~
Q;::
utilizando el estimativo del esquema lineal de (9.6.17). encontrar f(Qd para k = 1 usando (9.6.15).
(9.6.17)
El criterio de convergencia para el proceso iterativo es (9.6.18) donde E es un criterio de error. En la figura 9.6.5 se presenta un diagrama de flujo para el esquema no lineal de la onda cinemática. El valor estimado inicial de Q1:l es importante para la convergencia del esquema iterativo. Un buen enfoque es usar la solución del esquema lineal, ecuación (9.6.7), como la primera aproximación al esquema no lineal. Li, Simons y Stevens (1975) llevaron a cabo un análisis de estabilidad el cual indicó que el esquema que utiliza la ecuación (9. 6. 13) es incondicionalmente estable. También mostraron que un amplio rango de valores de !:..ti !::.x podía utilizarse sin introducir errores grandes en la forma del hidrograma de caudal de salida.
9.7 MÉTODO DE MUSKINGUM-CUNGE
No
Se han propuesto algunas variaciones al método de tránsito de onda cinemática. Cunge (1969) propuso un método basado en el método de Muskingum, un método tradicionalmente aplicado al tránsito hidrológico de almacenamiento lineal. Con referencia a la malla computacional tiempo-espacio mostrada en la figura 9.6.1, la ecuación de tránsito de Muskingum (8.4.7) puede escribirse para el caudal en x
=
(i + 1) !:..x y t
=
(j
+
1 )!::.t:
Q/:l
=
e¡Qf.+l +e2Q{. +e3Q{+l
(9.7 .1)
en la cual e1, e2 y e 3 están definidas en las ecuaciones (8.4.8) a (8.4.10). En esas ecuaciones, K es una constante de almacenamiento que tiene dimensiones de tiempo y X es un factor que expresa la influencia relativa del caudal de entrada en los nive-
FIGURA 9.6.5 Diagrama de flujo para el cálculo de onda cinemática no lineal.
314
HIDROLOGÍA APLICADA TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
les de almacenamiento. Cunge demostró que cuando K y !1t se toman como constantes, la ecuación (9. 7.1) es una solución aproximada de las ecuaciones de onda cinemática [ecuaciones (9.3.1) y (9.3.2)]. Adicionalmente demostró que (9.7.1) puede considerarse como una solución aproximada de una ecuación de difusión modificada (tabla 9.2.1) si
!1.x dQ!dA
(9.7.2)
y
(9.7.3) donde ck es la celeridad correspondiente a Q y B, y Bes el ancho de la superficie de agua. La parte derecha de la ecuación (9.7.2) representa el tiempo de propagación de un caudal dado a lo largo de un tramo de longitud Ax. Cunge (1969) demostró que para que exista estabilidad numérica se requiere que O ~ X ~ 1/2. El tránsito de Muskingum-Cunge se lleva a cabo resolviendo la ecuación algebraica (9.7.1). Los coeficientes en la ecuación (9.7.1) se calculan utilizando las ecuaciones (9.7.2) y (9.7.3) en conjunto con las ecuaciones (8.4.8) a (8.4.10) para cada punto del espacio y del tiempo del cálculo, debido a que tanto K como X varían con respecto al tiempo y al espacio. El método de Muskingum-Cunge ofrece dos ventajas sobre los métodos estándares de onda cinemática. En primer lugar, la solución se obtiene a través de una ecuación algebraica lineal (9.7.1) en lugar de una aproximación por diferencias finitas o por el método de las características de la ecuación diferencial parcial; esto permite que el hidrograma completo se obtenga en las secciones transversales requeridas en lugar de requerir la solución a lo largo de todo el canal completo para cada intervalo de tiempo, como en el método de onda cinemática. En segundo lugar, la solución utilizando la ecuación (9.7.1) tenderá a mostrar una menor atenuación de la onda, permitiendo escoger los incrementos de espacio y tiempo para los cálculos más flexiblemente, en comparación con el método de la onda cinemática. El extenso informe British Flood Studies (Natural Environment Research Council, 1975) concluyó que el método de Muskingum-Cunge es preferible a los métodos que utilizan un modelo de onda de difusión (véase la tabla 9 .2.1) debido a su simplicidad; su grado de aproximación es similar. Las desventajas del método de Muskingum-Cunge radican en que no puede manejar efectos de perturbaciones aguas abajo que se propagan aguas arriba y que no puede predecir en forma exacta el hidrograma de caudal d~ salida en una frontera aguas abajo cuando existen grandes variaciones en la velocidad de la onda cinemática, como las que resultan en crecientes sobre planicies de inundación grandes.
REFERENCIAS Abramowitz, Chow, V. T., Courant, R., York,
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315
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HIDROLOGÍA APLICADA TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
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!1.x dQ!dA
(9.7.2)
y
(9.7.3) donde ck es la celeridad correspondiente a Q y B, y Bes el ancho de la superficie de agua. La parte derecha de la ecuación (9.7.2) representa el tiempo de propagación de un caudal dado a lo largo de un tramo de longitud Ax. Cunge (1969) demostró que para que exista estabilidad numérica se requiere que O ~ X ~ 1/2. El tránsito de Muskingum-Cunge se lleva a cabo resolviendo la ecuación algebraica (9.7.1). Los coeficientes en la ecuación (9.7.1) se calculan utilizando las ecuaciones (9.7.2) y (9.7.3) en conjunto con las ecuaciones (8.4.8) a (8.4.10) para cada punto del espacio y del tiempo del cálculo, debido a que tanto K como X varían con respecto al tiempo y al espacio. El método de Muskingum-Cunge ofrece dos ventajas sobre los métodos estándares de onda cinemática. En primer lugar, la solución se obtiene a través de una ecuación algebraica lineal (9.7.1) en lugar de una aproximación por diferencias finitas o por el método de las características de la ecuación diferencial parcial; esto permite que el hidrograma completo se obtenga en las secciones transversales requeridas en lugar de requerir la solución a lo largo de todo el canal completo para cada intervalo de tiempo, como en el método de onda cinemática. En segundo lugar, la solución utilizando la ecuación (9.7.1) tenderá a mostrar una menor atenuación de la onda, permitiendo escoger los incrementos de espacio y tiempo para los cálculos más flexiblemente, en comparación con el método de la onda cinemática. El extenso informe British Flood Studies (Natural Environment Research Council, 1975) concluyó que el método de Muskingum-Cunge es preferible a los métodos que utilizan un modelo de onda de difusión (véase la tabla 9 .2.1) debido a su simplicidad; su grado de aproximación es similar. Las desventajas del método de Muskingum-Cunge radican en que no puede manejar efectos de perturbaciones aguas abajo que se propagan aguas arriba y que no puede predecir en forma exacta el hidrograma de caudal d~ salida en una frontera aguas abajo cuando existen grandes variaciones en la velocidad de la onda cinemática, como las que resultan en crecientes sobre planicies de inundación grandes.
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HIDROLOGÍA APLICADA
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317
TRÁNSITO DISTRffiUIDO DE CRECIENTES
PROBLEMAS 9.1.1 9.1.2
9.1.3 9.1.4 9.3.1
9.4.1 9.4.2
9.4.3
Deduzca la forma no conservativa de la ecuación de momentum (9.2.1b) para un flujo de ancho unitario en un canal utilizando la forma conservativa (9.2.la). a) Describa las ventajas y desventajas del tránsito de sistemas agregados (hidrológicos) vs. el tránsito de sistemas distribuidos (hidráulicos). b) ¿Cuáles son las limitaciones de la aproximación de onda cinemática? e) ¿En qué tipo de situaciones se justificaría el uso de un modelo de onda cinemática en comparación con un modelo de onda dinámica? d) Describa la diferencia entre un modelo de onda cinemática lineal y uno no lineal. Determine el coeficiente de momentum {3, definido por la ecuación (9.1.28) para la información de caudales dada en el problema 6.3.1. Determine el coeficiente de momentum {3, definido por la ecuación (9.1.28) para la información de caudales dada en el problema 6.3.5. Calcule la velocidad del agua V, la celeridad de onda cinemática e k> la celeridad de onda dinámica cd y las velocidades de propagación de ondas dinámicas V± cd para el canal descrito en el ejemplo 9.3.1 y para caudales de 10, 50, 100, 500, 1,000, 5,000 y 10,000 cfs. Grafique los resultados para mostrar la variación de las velocidades y celeridades como función del caudal. Compare los métodos analíticos y numéricos para resolver las ecuaciones de onda cinemática e indique cuándo es aplicable cada uno de éstos. Demuestre que la celeridad de onda cinemática es e k = SV/3, donde V es la velocidad promedio, cuando se utiliza la ecuación de Manning para definir la resistencia al flujo en un canal rectangular ancho. Demuestre que el tiempo del tránsito T de una onda cinemática en un canal rectangular ancho con ancho B, longitud L, pendiente So y coeficiente de rugosidad de Manning n que conduce un caudal Q está dado aproximadamente por
T=
9.4.4
~(
nB213 )315 Q-215 L
5 1.49S~12
Si B = 200 pies, L = 265 millas, S 0 = 0.00035, n = 0.045 y Q = 2,000 cfs, calcule el tiempo de tránsito en días. Usted se encuentra a cargo de la salida de agua desde un embalse a un río cuyas propiedades de canal son las dadas en el problema previo. Existen cuatro usuarios de agua aguas abajo cuyas derivaciones diarias de agua durante un periodo de una semana se predicen como se muestra a continuación. Calcule la cantidad de agua que se debe liberar desde el embalse en el primer día de este periodo para copar la demanda de estos usuarios y tener un caudal extra de 200 cfs fluyendo aguas abajo del último usuario. Suponga que el caudal de salida de embalse fue constante durante la semana previa e igual a 2,500 éfs, que las tomas de agua fueron constantes durante esa semana e iguales a los valores para el día 1 de la tabla y que no existe flujo lateral.
Usuario Distancia aguas abajo (mi) 1 2 4
183 187 228 265
Derivaciones en el día (cfs)
531 409 79 698
2
3
4
5
6
7
531 395 79 698
531 378 154 702
479
407 341 157 672
383 285 80 674
383 239
360 150 702
82 674
316
HIDROLOGÍA APLICADA
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317
TRÁNSITO DISTRffiUIDO DE CRECIENTES
PROBLEMAS 9.1.1 9.1.2
9.1.3 9.1.4 9.3.1
9.4.1 9.4.2
9.4.3
Deduzca la forma no conservativa de la ecuación de momentum (9.2.1b) para un flujo de ancho unitario en un canal utilizando la forma conservativa (9.2.la). a) Describa las ventajas y desventajas del tránsito de sistemas agregados (hidrológicos) vs. el tránsito de sistemas distribuidos (hidráulicos). b) ¿Cuáles son las limitaciones de la aproximación de onda cinemática? e) ¿En qué tipo de situaciones se justificaría el uso de un modelo de onda cinemática en comparación con un modelo de onda dinámica? d) Describa la diferencia entre un modelo de onda cinemática lineal y uno no lineal. Determine el coeficiente de momentum {3, definido por la ecuación (9.1.28) para la información de caudales dada en el problema 6.3.1. Determine el coeficiente de momentum {3, definido por la ecuación (9.1.28) para la información de caudales dada en el problema 6.3.5. Calcule la velocidad del agua V, la celeridad de onda cinemática e k> la celeridad de onda dinámica cd y las velocidades de propagación de ondas dinámicas V± cd para el canal descrito en el ejemplo 9.3.1 y para caudales de 10, 50, 100, 500, 1,000, 5,000 y 10,000 cfs. Grafique los resultados para mostrar la variación de las velocidades y celeridades como función del caudal. Compare los métodos analíticos y numéricos para resolver las ecuaciones de onda cinemática e indique cuándo es aplicable cada uno de éstos. Demuestre que la celeridad de onda cinemática es e k = SV/3, donde V es la velocidad promedio, cuando se utiliza la ecuación de Manning para definir la resistencia al flujo en un canal rectangular ancho. Demuestre que el tiempo del tránsito T de una onda cinemática en un canal rectangular ancho con ancho B, longitud L, pendiente So y coeficiente de rugosidad de Manning n que conduce un caudal Q está dado aproximadamente por
T=
9.4.4
~(
nB213 )315 Q-215 L
5 1.49S~12
Si B = 200 pies, L = 265 millas, S 0 = 0.00035, n = 0.045 y Q = 2,000 cfs, calcule el tiempo de tránsito en días. Usted se encuentra a cargo de la salida de agua desde un embalse a un río cuyas propiedades de canal son las dadas en el problema previo. Existen cuatro usuarios de agua aguas abajo cuyas derivaciones diarias de agua durante un periodo de una semana se predicen como se muestra a continuación. Calcule la cantidad de agua que se debe liberar desde el embalse en el primer día de este periodo para copar la demanda de estos usuarios y tener un caudal extra de 200 cfs fluyendo aguas abajo del último usuario. Suponga que el caudal de salida de embalse fue constante durante la semana previa e igual a 2,500 éfs, que las tomas de agua fueron constantes durante esa semana e iguales a los valores para el día 1 de la tabla y que no existe flujo lateral.
Usuario Distancia aguas abajo (mi) 1 2 4
183 187 228 265
Derivaciones en el día (cfs)
531 409 79 698
2
3
4
5
6
7
531 395 79 698
531 378 154 702
479
407 341 157 672
383 285 80 674
383 239
360 150 702
82 674
318
9.4.5
9.6.1
9.6.2
9.6.3
HIDROLOGÍA APLICADA
Discuta la respuesta. ¿Qué suposiciones se hicieron? ¿Cómo afectan estas suposiciones el resultado? Una creciente con un caudal pico de 100,000 cfs acaba de pasar una estación de aforo en un río. Existe una comunidad adyacente al río, localizada 100 millas aguas abajo, para la cual se debe dar una alarma de creciente. ¿Cuánto tiempo transcurrirá antes de que el pico de la creciente alcance esta comunidad? Suponga que el canal es rectangular con 500 pies de ancho, pendiente del 1% y coeficiente de rugosidad de Manning de 0.040. Desarrolle las ecuaciones de diferencias finitas del mode}O lineal de onda cinemática para un tránsito de onda de creciente en un canal trapezoidal. Suponga que no existe flujo lateral. Desarrolle un algoritmo para resolver el esquema de tránsito para el modelo de onda cinemática en un canal trapezoidal. Describa el procedimiento paso a paso que debe usarse para transitar un hidrograma de entrada a través de un tramo dado. Divida cada tramo en n secciones, cada una de longitud x. Utilice diagramas de flujo o cualquier otro tipo de guías que desee para explicar el algoritmo. Este procedimiento debe ser el primer paso en el desarrollo de un programa de computador para un procedimiento de tránsito. Tome el hidrograma del caudal de entrada dado a continuación y utilice el método analítico de solución de la onda cinemática para transitado a través de un canal rectangular uniforme de concreto de 300 pies de ancho~ l 0,000 pies de longitud con una pendiente de lecho de O. O15. Suponga un coeficiente n de Manning = O. 020 y que las condiciones iniciales son un flujo uniforme de 500 cfs.
Tiempo (min) Caudal (cfs)
9.6.4 9.6.5 9.6.6 9.6.7
9.6.8
o 500
20 1,402
60 40 9,291 11,576
so 10,332
100 5,458
120 2,498
140 825
160 569
Calcule la solución al problema 9.6.3 utilizando el método de solución numérica lineal de onda cinemática, con 11t = 1 min y 11x = 2,000 pies. Considere solamente O~ t ~ 20 min. Calcule la solución completa al problema 9.6.3 para un horizonte de tiempo de 160 minutos utilizando el método lineal de onda cinemática, con 11t = 1 min y fu= 2,000 pies. Escriba un programa·de computador para el modelo lineal de la onda cinemática desarrollado para un canal rectangular. La condición de frontera aguas arriba es un hidrograma de entrada y la condición inicial es un flujo uniforme. Considere un canal de drenaje rectangular de concreto de 100 pies de ancho que tiene 8,000 pies de largo y una pendiente de 0.006 pies/pie, con un factor de rugosidad de Manning den= 0.015. Utilice el programa de computador desarrollado en el problema 9.6.6 para el modelo de la onda cinemática para transitar a través del tramo la creciente hipotética descrita por
en la cual Q es el caudal, Qh es el flujo base, QP es el caudal pico (amplitud) y Tes la duración de la onda de creciente. Utilice los valores QP = 6,000 cfs, Qh = 2,000 cfs y T = 120 min. Suponga que Q = Qh para t > T. Considere un canal rectangular de 100 pies de ancho con una pendiente de lecho de 0.015 y un coeficiente n de Manning de 0.035. En un esquema numérico de tránsito 11x = 5,000 pies y l1t = 10 min. Dados los siguientes caudales:
319
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
9.6.9 9.7.1
9.7.2
9.7.3
Punto
i, j + 1
i, j
Q (cfs)
1,040
798
i
+
l,j
703
determine QJ! 1 utilizando un esquema implícito de diferencias finitas para un modelo lineal de onda cinemática. Suponga R =y en el desarrollo del modelo de onda cinemática. Resuelva el problema 9.6.8 utilizando el modelo de onda cinemática no lineal en conjunto con el método de Newton. Escriba un programa de computador para el modelo de Muskingum-Cunge para transitar el caudal a través de un tubo circular de alcantarillado de aguas lluvias. Considere un tubo que tiene 6 pies de diámetro, l ,000 pies de longitud, n de Manning de 0.015 y pendiente de 0.001. Transite a través de este tubo un hidrograma de caudal de entrada descrito por la ecuación dada en el problema (9.6.7) con Qb = 20 cfs, QP = 60 cfs y T = 20 min. Suponga un caudal de entrada Qb para t > T. Escriba un programa de computador para el modelo de Muskingum-Cunge para transitar ondas de crecientes a través de un canal rectangular. Transite el hidrograma del problema 9.6.3 a través del canal rectangular descrito en ese problema. Resuelva el problema 9.6. 7 utilizando el método de Muskingun-Cunge.
318
9.4.5
9.6.1
9.6.2
9.6.3
HIDROLOGÍA APLICADA
Discuta la respuesta. ¿Qué suposiciones se hicieron? ¿Cómo afectan estas suposiciones el resultado? Una creciente con un caudal pico de 100,000 cfs acaba de pasar una estación de aforo en un río. Existe una comunidad adyacente al río, localizada 100 millas aguas abajo, para la cual se debe dar una alarma de creciente. ¿Cuánto tiempo transcurrirá antes de que el pico de la creciente alcance esta comunidad? Suponga que el canal es rectangular con 500 pies de ancho, pendiente del 1% y coeficiente de rugosidad de Manning de 0.040. Desarrolle las ecuaciones de diferencias finitas del mode}O lineal de onda cinemática para un tránsito de onda de creciente en un canal trapezoidal. Suponga que no existe flujo lateral. Desarrolle un algoritmo para resolver el esquema de tránsito para el modelo de onda cinemática en un canal trapezoidal. Describa el procedimiento paso a paso que debe usarse para transitar un hidrograma de entrada a través de un tramo dado. Divida cada tramo en n secciones, cada una de longitud x. Utilice diagramas de flujo o cualquier otro tipo de guías que desee para explicar el algoritmo. Este procedimiento debe ser el primer paso en el desarrollo de un programa de computador para un procedimiento de tránsito. Tome el hidrograma del caudal de entrada dado a continuación y utilice el método analítico de solución de la onda cinemática para transitado a través de un canal rectangular uniforme de concreto de 300 pies de ancho~ l 0,000 pies de longitud con una pendiente de lecho de O. O15. Suponga un coeficiente n de Manning = O. 020 y que las condiciones iniciales son un flujo uniforme de 500 cfs.
Tiempo (min) Caudal (cfs)
9.6.4 9.6.5 9.6.6 9.6.7
9.6.8
o 500
20 1,402
60 40 9,291 11,576
so 10,332
100 5,458
120 2,498
140 825
160 569
Calcule la solución al problema 9.6.3 utilizando el método de solución numérica lineal de onda cinemática, con 11t = 1 min y 11x = 2,000 pies. Considere solamente O~ t ~ 20 min. Calcule la solución completa al problema 9.6.3 para un horizonte de tiempo de 160 minutos utilizando el método lineal de onda cinemática, con 11t = 1 min y fu= 2,000 pies. Escriba un programa·de computador para el modelo lineal de la onda cinemática desarrollado para un canal rectangular. La condición de frontera aguas arriba es un hidrograma de entrada y la condición inicial es un flujo uniforme. Considere un canal de drenaje rectangular de concreto de 100 pies de ancho que tiene 8,000 pies de largo y una pendiente de 0.006 pies/pie, con un factor de rugosidad de Manning den= 0.015. Utilice el programa de computador desarrollado en el problema 9.6.6 para el modelo de la onda cinemática para transitar a través del tramo la creciente hipotética descrita por
en la cual Q es el caudal, Qh es el flujo base, QP es el caudal pico (amplitud) y Tes la duración de la onda de creciente. Utilice los valores QP = 6,000 cfs, Qh = 2,000 cfs y T = 120 min. Suponga que Q = Qh para t > T. Considere un canal rectangular de 100 pies de ancho con una pendiente de lecho de 0.015 y un coeficiente n de Manning de 0.035. En un esquema numérico de tránsito 11x = 5,000 pies y l1t = 10 min. Dados los siguientes caudales:
319
TRÁNSITO DISTRIBUIDO DE CRECIENTES
9.6.9 9.7.1
9.7.2
9.7.3
Punto
i, j + 1
i, j
Q (cfs)
1,040
798
i
+
l,j
703
determine QJ! 1 utilizando un esquema implícito de diferencias finitas para un modelo lineal de onda cinemática. Suponga R =y en el desarrollo del modelo de onda cinemática. Resuelva el problema 9.6.8 utilizando el modelo de onda cinemática no lineal en conjunto con el método de Newton. Escriba un programa de computador para el modelo de Muskingum-Cunge para transitar el caudal a través de un tubo circular de alcantarillado de aguas lluvias. Considere un tubo que tiene 6 pies de diámetro, l ,000 pies de longitud, n de Manning de 0.015 y pendiente de 0.001. Transite a través de este tubo un hidrograma de caudal de entrada descrito por la ecuación dada en el problema (9.6.7) con Qb = 20 cfs, QP = 60 cfs y T = 20 min. Suponga un caudal de entrada Qb para t > T. Escriba un programa de computador para el modelo de Muskingum-Cunge para transitar ondas de crecientes a través de un canal rectangular. Transite el hidrograma del problema 9.6.3 a través del canal rectangular descrito en ese problema. Resuelva el problema 9.6. 7 utilizando el método de Muskingun-Cunge.
CAPÍTULO
10
/
;:¡
TRANSITO DE ONDA DINÁMICA
321
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA
bies, se necesita el término de fuerza inercial y el término de fuerza de presión en la ecuación de momentum. Bajo estas circunstancias, se requiere el método de tránsito de la onda dinámica, el cual involucra la solución numérica de las ecuaciones de Saint- Venant completas. El tránsito dinámico fue usado por primera vez por Stoker (1953) y por Isaacson, Stoker y Troesch (1954, 1956) en su investigación pionera del tránsito de crecientes para el río Ohio. Este capítulo describe el desarrollo teórico usado en modelos de tránsito de onda dinámica utilizando métodos de diferencias finitas implícitas para resolver las ecuaciones de Saint-Venant.
10.1 RELACIONES DINÁMICAS DE PROFUNDIDAD-CAUDAL
' 1!
La ecuación de momentum se escribe en la forma conservativa [de (9.1.33)] como
-aQ + a(f3Q}IA) + gA (ay at
tf
La propagación de flujo a través de un río o de un~ red de ríos en el espacio y en el tiempo es un problema complejo. El deseo de construir y vivir a lo largo de los ríos genera la necesidad de un cálculo acertado de niveles de agua y de caudales y provee el ímpetu para desarrollar modelos complejos de tránsito de flujo, tal como los modelos de onda dinámica. Otro ímpetu para el desarrollo de modelos de onda dinámica es la necesidad de simulación hidrológica más precisa, en particular para la simulación de flujo en cuencas urbanas y en sistemas de drenaje de aguas lluvias. El modelo de onda dinámica también puede utilizarse para transitar flujos bajos en ríos o canales de irrigación para proporcionar un control mejor de la distribución de agua. La propagación de flujo a lo largo de un canal, de un río o de un sistema de drenaje urbano es un flujo no uniforme y no permanente, no permanente debido a que varía en el tiempo, no uniforme debido a que las propiedades del flujo tales como la elevación de la superficie del agua, la velocidad y el caudal no son constantes a lo largo del canal. Los métodos de tránsito distribuido unidimensionales se han clasificado en el capítulo 9 como tránsito de la onda cinemática, tránsito de la onda de difusión y tránsito de la onda dinámica. Las ondas cinemáticas dominan el flujo cuando las fuerzas inerciales y de presión son poco importantes, es decir, cuando la fuerza gravitacional del flujo está balanceada por la fuerza de la resistencia fricciona!. En el capítulo 9 se demostró que la aproximación de la onda cinemática es útil para aplicaciones en las cuales las pendientes del canal son altas y los efectos de remanso son despreciables. Cuando las fuerzas de presión se vuelven importantes pero las fuerzas inerciales siguen siendo poco importantes, es aplicable un modelo de onda de difusión. Tanto el modelo de la onda cinemática como el modelo de la onda de difusión son útiles para describir la propagación de ondas aguas abajo cuando la pendiente del canal es mayor que alrededor de 0.5 pies/mi (0.01%) y no existen ondas propagándose aguas arriba debido a perturbaciones tales como mareas, flujos tributarios u operación de embalses. Cuando tanto las fuerzas inerciales como las de presión son importantes, tal como ocurre en ríos de pendiente baja, y cuando los efectos de remanso de las perturbaciones de aguas abajo no son desprecia320
ax
ax
- Sa
+ S¡ + S e )-
{3qv x
+ W¡B
=
O
(10.1.1)
El flujo uniforme ocurre cuando la pendiente del lecho So es igual a la pendiente de fricción S¡ y todos los otros términos son despreciables, de tal manera que la relación entre el caudal, o tasa de flujo, y la profundidad o elevación de la superficie de agua es una relación biunívoca deducida de la ecuación de Manning, tal como se muestra en la curva de calibración del flujo uniforme de la figura 10.1.1. Cuando otros términos en la ecuación de momentum son no despreciables, la relación profundidad-caudal no es biunívoca, tal como se muestra por la otra curva de la figura 10.1.1, debido a que la profundidad no es simplemente una función de caudal, sino que también es una función de una pendiente variable de la línea de energía. Para una profundidad dada, el caudal es usualmente mayor en el tramo creciente de un hidrograma que en el tramo de recesión. A medida que el caudal aumenta y disminuye, la curva de calibración puede mostrar múltiples circuitos tal como se muestra en la figura 10.1.2 para el río Rojo (Fread, 1973c). La curva de calibración para flujo uniforme es típica de los métodos de tránsito agregado o hidrológicos en los cua-
(Modelos de Curva de tránsito agregados calibración para '"lujo uniforme y de onda cinemática)
Recesión '---
Caudal
Curva de calibración con circuito (Modelos de onda dinámica y onda de difusión)
FIGURA 10.1.1 Curvas de calibración. La curva de calibración de flujo uniforme no refleja los efectos de remanso, mientras que la curva sí lo hace.
CAPÍTULO
10
/
;:¡
TRANSITO DE ONDA DINÁMICA
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TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA
bies, se necesita el término de fuerza inercial y el término de fuerza de presión en la ecuación de momentum. Bajo estas circunstancias, se requiere el método de tránsito de la onda dinámica, el cual involucra la solución numérica de las ecuaciones de Saint- Venant completas. El tránsito dinámico fue usado por primera vez por Stoker (1953) y por Isaacson, Stoker y Troesch (1954, 1956) en su investigación pionera del tránsito de crecientes para el río Ohio. Este capítulo describe el desarrollo teórico usado en modelos de tránsito de onda dinámica utilizando métodos de diferencias finitas implícitas para resolver las ecuaciones de Saint-Venant.
10.1 RELACIONES DINÁMICAS DE PROFUNDIDAD-CAUDAL
' 1!
La ecuación de momentum se escribe en la forma conservativa [de (9.1.33)] como
-aQ + a(f3Q}IA) + gA (ay at
tf
La propagación de flujo a través de un río o de un~ red de ríos en el espacio y en el tiempo es un problema complejo. El deseo de construir y vivir a lo largo de los ríos genera la necesidad de un cálculo acertado de niveles de agua y de caudales y provee el ímpetu para desarrollar modelos complejos de tránsito de flujo, tal como los modelos de onda dinámica. Otro ímpetu para el desarrollo de modelos de onda dinámica es la necesidad de simulación hidrológica más precisa, en particular para la simulación de flujo en cuencas urbanas y en sistemas de drenaje de aguas lluvias. El modelo de onda dinámica también puede utilizarse para transitar flujos bajos en ríos o canales de irrigación para proporcionar un control mejor de la distribución de agua. La propagación de flujo a lo largo de un canal, de un río o de un sistema de drenaje urbano es un flujo no uniforme y no permanente, no permanente debido a que varía en el tiempo, no uniforme debido a que las propiedades del flujo tales como la elevación de la superficie del agua, la velocidad y el caudal no son constantes a lo largo del canal. Los métodos de tránsito distribuido unidimensionales se han clasificado en el capítulo 9 como tránsito de la onda cinemática, tránsito de la onda de difusión y tránsito de la onda dinámica. Las ondas cinemáticas dominan el flujo cuando las fuerzas inerciales y de presión son poco importantes, es decir, cuando la fuerza gravitacional del flujo está balanceada por la fuerza de la resistencia fricciona!. En el capítulo 9 se demostró que la aproximación de la onda cinemática es útil para aplicaciones en las cuales las pendientes del canal son altas y los efectos de remanso son despreciables. Cuando las fuerzas de presión se vuelven importantes pero las fuerzas inerciales siguen siendo poco importantes, es aplicable un modelo de onda de difusión. Tanto el modelo de la onda cinemática como el modelo de la onda de difusión son útiles para describir la propagación de ondas aguas abajo cuando la pendiente del canal es mayor que alrededor de 0.5 pies/mi (0.01%) y no existen ondas propagándose aguas arriba debido a perturbaciones tales como mareas, flujos tributarios u operación de embalses. Cuando tanto las fuerzas inerciales como las de presión son importantes, tal como ocurre en ríos de pendiente baja, y cuando los efectos de remanso de las perturbaciones de aguas abajo no son desprecia320
ax
ax
- Sa
+ S¡ + S e )-
{3qv x
+ W¡B
=
O
(10.1.1)
El flujo uniforme ocurre cuando la pendiente del lecho So es igual a la pendiente de fricción S¡ y todos los otros términos son despreciables, de tal manera que la relación entre el caudal, o tasa de flujo, y la profundidad o elevación de la superficie de agua es una relación biunívoca deducida de la ecuación de Manning, tal como se muestra en la curva de calibración del flujo uniforme de la figura 10.1.1. Cuando otros términos en la ecuación de momentum son no despreciables, la relación profundidad-caudal no es biunívoca, tal como se muestra por la otra curva de la figura 10.1.1, debido a que la profundidad no es simplemente una función de caudal, sino que también es una función de una pendiente variable de la línea de energía. Para una profundidad dada, el caudal es usualmente mayor en el tramo creciente de un hidrograma que en el tramo de recesión. A medida que el caudal aumenta y disminuye, la curva de calibración puede mostrar múltiples circuitos tal como se muestra en la figura 10.1.2 para el río Rojo (Fread, 1973c). La curva de calibración para flujo uniforme es típica de los métodos de tránsito agregado o hidrológicos en los cua-
(Modelos de Curva de tránsito agregados calibración para '"lujo uniforme y de onda cinemática)
Recesión '---
Caudal
Curva de calibración con circuito (Modelos de onda dinámica y onda de difusión)
FIGURA 10.1.1 Curvas de calibración. La curva de calibración de flujo uniforme no refleja los efectos de remanso, mientras que la curva sí lo hace.
322
HIDROLOGÍA APLICADA
323
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA 80
70
a) Pendiente transversal durante el aumento de la creciente.
"'o ·c.
60
~
-¡;
·z> 50 20
40
60
80
100
120
Tiempo (días)
b) Pendiente transversal durante la recesión de la creciente.
40
o
20
40 60 Caudal (1 ,000 cfs) ®
Observado
-
80
100
120 ('<((((((( 50 20
40
60
80
100
120
Tiempo (días)
b) Pendiente transversal durante la recesión de la creciente.
40
o
20
40 60 Caudal (1 ,000 cfs) ®
Observado
-
80
100
120 ('<(((((((
z Debido a efectos de remanso
•'11 .~
"1~
Caudal
-~--~----+---~
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~
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IÍ
o
"o;' ,.e
01)
..,e ~['- e:o
Nodo
~
~
l'
10.2 MODELO IMPLÍCITO DE ONDA DINÁMICA
.fl
Los métodos implícitos de diferencias finitas avanzan la solución de las ecuaciones de Saint-Venant desde una línea de tiempo hasta la siguiente. simultáneamente para todos los puntos a lo largo de la línea del tiempo. Se genera un sistema de ecuaciones algebraicas aplicando simultáneamente las ecuaciones de Saint-Venant a todos los valores desconocidos en una línea de tiempo. Los métodos implícitos se desarrollaron debido a la limitación en el tamaño del intervalo de tiempo requerido para la estabilidad numérica de los métodos explícitos. Por ejemplo, un método explícito puede requerir un intervalo de tiempo de un minuto para ser estable, mientras que un modelo implícito aplicado al mismo problema podría usar un intervalo de tiempo de una hora o mayor. El esquema implícito de diferencias finitas usa un método ponderado de cuatro puntos entre líneas de tiempo adyacentes en un punto M, tal como se muestra en la figura 10.2.1. Si una variable que describe el flujo, tal como el caudal o la superficie del agua, se denota por u, la derivada temporal de u se aproxima promediando los valores de las diferencias finitas en los puntos de distancia i e i + l. El valor en el punto de distancia i es (u{+ 1 -t}¡)!At y en el punto de distancia(i + l)es (u u {+ 1) /ti t, luego la aproximación es
1:: -
au
uf + 1
+ ui + 1 -
ui - uf
--- = ~~-----~~-+~l--~l---~1~+~1 at
2 f!.t
(10.2.1)
para el punto M localizado a mitad de camino entre los puntos de distancia i e (i + 1) en la figura 10.2.1. Se adopta una aproximación levemente diferente para estimar la derivada espacial aulax y la variable u. Para la derivada espacial, los términos de diferencias en las líneas de tiempoj y (j + 1) se calculan: (u{:¡. 1 -u{)!Ax y (u{!: -u{+ 1)/Ax respectivamente; luego se aplica un factor de ponderación () para definir la derivada espacial como + 1 - ui + 1 a = () ui1 +.1 _!!. 1 ax tJ.x
+ (1
ui - ui - ()) 1 +1 1
tJ.x
(10.2.2)
~
i-ésima Celda 1
1
2
( i-- 1)
4
3
['-
(i+ 1) (i+2)
(N--3) fN-2)(N-1)
N Distancia;
Lunea de tiempo de la condición inicial
FIGURA 10.2.1 Plano de solución x--t. Las formas en diferencias finitas de las ecuaciones de Saint-Venant se resuelven en un número discreto de puntos (valores de las variables independientes x y t) ordenados para formar la malla rectangular mostrada. Las líneas paralelas al eje temporal representan lugares a lo largo del canal y las líneas paralelas al eje de distancia representan tiempos (Según Fread, 1974a).
y el valor promedio para u se calcula de forma similar como u
= () ui + 1 + uii ++ 11 + 1
2
u1
+ u(+ 1
(1 - ()) _1:....__:...__;:
2
(10.2.3)
El valor de (} = !1t' 1!1t localiza el punto M verticalmente en el pequeño cuadrado de la figura 10.2.1. Un esquema que utiliza (} = 0.5 se conoce como el esquema de caja. Cuando (} = O, el punto M se localiza en la línea de tiempo j y el esquema es completamente explícito, mientras que un valor de (} = 1 se utiliza en un esquema completamente implícito con M localizado en la línea de tiempo (j + 1). Los esquemas implícitos son aquellos con (}en el rango 0.5 a 1.0; Fread (1973a, 1974a) recomienda un valor de 0.55 a 0.6. Una diferencia importante entre los métodos explícitos y los implícitos es que los métodos implícitos son incondicionalmente estables para todos los intervalos de tiempo, mientras que los métodos explícitos son numéricamente estables sólo para intervalos de tiempo menores que un valor crítico determinado por la condición de Courant. Fread (1973a, 1974a) demostró que el esquema ponderado de cuatro puntos es incondicional y linealmente estable para cualquier intervalo de tiempo si 0.5 ::::: () ::::: 1.0. Este esquema tiene una aproximación de segundo orden cuando () = 0.5 y una aproximación de primer orden cuando () = 1.0.
324
HIDROLOGÍA APLICADA
325
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA
Tiempo t /
FIGURA 10.1.4 Curva de calibración con circuitos que qmestra efectos de remanso importantes. Estos se deben a embalses localizados aguas abajo, uniones de canales, cruces de carreteras o angostamientos de la sección del canal. Estos efectos producen una serie de curvas de calibración cada una de las cuales corresponde a un nivel de remanso dado. Los efectos de remanso generan una pendiente variable de energía la cual puede modelarse utilizando el modelo de onda dinámica completo.
z Debido a efectos de remanso
•'11 .~
"1~
Caudal
-~--~----+---~
l'
~A--+--+--._
~
~
/
~
/ /
~A----.----..----+-
(j + 1)
~
1
i+ 1, j+ 1
i, j+ 1
~
~
l'
~A----+--~>---.._
j
i + 1, j
i, j
~
..
~ .." ~
-!ix-o
l'
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01)
..,e ~['- e:o
Nodo
~
~
l'
10.2 MODELO IMPLÍCITO DE ONDA DINÁMICA
.fl
Los métodos implícitos de diferencias finitas avanzan la solución de las ecuaciones de Saint-Venant desde una línea de tiempo hasta la siguiente. simultáneamente para todos los puntos a lo largo de la línea del tiempo. Se genera un sistema de ecuaciones algebraicas aplicando simultáneamente las ecuaciones de Saint-Venant a todos los valores desconocidos en una línea de tiempo. Los métodos implícitos se desarrollaron debido a la limitación en el tamaño del intervalo de tiempo requerido para la estabilidad numérica de los métodos explícitos. Por ejemplo, un método explícito puede requerir un intervalo de tiempo de un minuto para ser estable, mientras que un modelo implícito aplicado al mismo problema podría usar un intervalo de tiempo de una hora o mayor. El esquema implícito de diferencias finitas usa un método ponderado de cuatro puntos entre líneas de tiempo adyacentes en un punto M, tal como se muestra en la figura 10.2.1. Si una variable que describe el flujo, tal como el caudal o la superficie del agua, se denota por u, la derivada temporal de u se aproxima promediando los valores de las diferencias finitas en los puntos de distancia i e i + l. El valor en el punto de distancia i es (u{+ 1 -t}¡)!At y en el punto de distancia(i + l)es (u u {+ 1) /ti t, luego la aproximación es
1:: -
au
uf + 1
+ ui + 1 -
ui - uf
--- = ~~-----~~-+~l--~l---~1~+~1 at
2 f!.t
(10.2.1)
para el punto M localizado a mitad de camino entre los puntos de distancia i e (i + 1) en la figura 10.2.1. Se adopta una aproximación levemente diferente para estimar la derivada espacial aulax y la variable u. Para la derivada espacial, los términos de diferencias en las líneas de tiempoj y (j + 1) se calculan: (u{:¡. 1 -u{)!Ax y (u{!: -u{+ 1)/Ax respectivamente; luego se aplica un factor de ponderación () para definir la derivada espacial como + 1 - ui + 1 a = () ui1 +.1 _!!. 1 ax tJ.x
+ (1
ui - ui - ()) 1 +1 1
tJ.x
(10.2.2)
~
i-ésima Celda 1
1
2
( i-- 1)
4
3
['-
(i+ 1) (i+2)
(N--3) fN-2)(N-1)
N Distancia;
Lunea de tiempo de la condición inicial
FIGURA 10.2.1 Plano de solución x--t. Las formas en diferencias finitas de las ecuaciones de Saint-Venant se resuelven en un número discreto de puntos (valores de las variables independientes x y t) ordenados para formar la malla rectangular mostrada. Las líneas paralelas al eje temporal representan lugares a lo largo del canal y las líneas paralelas al eje de distancia representan tiempos (Según Fread, 1974a).
y el valor promedio para u se calcula de forma similar como u
= () ui + 1 + uii ++ 11 + 1
2
u1
+ u(+ 1
(1 - ()) _1:....__:...__;:
2
(10.2.3)
El valor de (} = !1t' 1!1t localiza el punto M verticalmente en el pequeño cuadrado de la figura 10.2.1. Un esquema que utiliza (} = 0.5 se conoce como el esquema de caja. Cuando (} = O, el punto M se localiza en la línea de tiempo j y el esquema es completamente explícito, mientras que un valor de (} = 1 se utiliza en un esquema completamente implícito con M localizado en la línea de tiempo (j + 1). Los esquemas implícitos son aquellos con (}en el rango 0.5 a 1.0; Fread (1973a, 1974a) recomienda un valor de 0.55 a 0.6. Una diferencia importante entre los métodos explícitos y los implícitos es que los métodos implícitos son incondicionalmente estables para todos los intervalos de tiempo, mientras que los métodos explícitos son numéricamente estables sólo para intervalos de tiempo menores que un valor crítico determinado por la condición de Courant. Fread (1973a, 1974a) demostró que el esquema ponderado de cuatro puntos es incondicional y linealmente estable para cualquier intervalo de tiempo si 0.5 ::::: () ::::: 1.0. Este esquema tiene una aproximación de segundo orden cuando () = 0.5 y una aproximación de primer orden cuando () = 1.0.
326
HIDROLOGÍA APLICADA
327
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA
das similares a aquellos causados por la rotura o falla de una presa. Las ecuaciones se deducen de las ecuaciones (9.1.6) y (9.1.37) como sigue. }+1
3,470 cfs
1
o .,E"'"
¡:::
3,583 cfs M
!lr=¡h
aQ ax
a~r
~0.511x· +0.5Llx•
j
Continuidad:
(I¡-9)M
+
3,500 cfs
_
ar
O
_
(10.3.1)
q-
Momentum:
3,386 cfs Llx
+ a(A + A0 )
~;
= 1,000 pies
+
a(/3(;:/A) + gA( ~~ +S¡ +Se)- {3qvx + W¡B =O
(10.3.2)
donde
i+ 1
Distancia x X
FIGURA 10.2.2 Valores del caudal en cuatro puntos del plano x- t (ejemplo 10.2.1).
tiempo
Ejemplo 10.2.1 Los valores del caudal Q en cuatro puntos de la malla espaciotiempo son tal como se muestran en la figura 10.2.2. Utilizando !::.t = 1 h, Llx = 1,000 pies y 8 = 0.55, calcule los valores de aQtat y aQtax utilizando el método implícito de cuatro puntos.
Solución. Tal como se muestra en la figura 10.2.2, los valores de caudal en los cuatro puntos son Q1 = 3,500 cfs, Q1+i = 3,386 cfs,Q{+ 1 = 3,583 cfs y Q1:: = 3,470 cfs. La derivada temporal se calcula utilizando (10.2.1) con u= Q y !::.t = l h = 3,600 s:
h
elevación de la superficie de agua
Vx
velocidad del flujo lateral en la dirección principal del flujo del canal
S¡
pendiente de fricción
W¡
fuerza cortante del viento
3.583 + 3,470-3,500 - 3,386
{3
factor de conversión de momentum
g
aceleración debida a la gravedad
= 0.023 Qj + J - Qj + l
X
3,600
cfs/s
i
+(1-8)
dx .55
caudal lateral de entrada por unidad de longitud a lo largo del canal
B
t- Q{ -
La derivada espacial se calcula utilizando la ecuación (10.2.2):
= (O
q
Q{ + 1
2
i+l
área de la sección transversal del almacenamiento muerto fuera del canal (contribuye a la continuidad, pero no al momentum)
pendiente de pérdidas de eddy
2tlt
Jx
área de la sección transversal de flujo
Ao
ancho del canal en la superficie de agua
Q{ + + Q{:
aQ
A
Se 1
-=(}
distancia longitudinal a lo largo del canal o río
) (3.470- 3,583) 1,000
Qj
- Qj
i+l
i
Las aproximaciones ponderadas de diferencias finitas de cuatro puntos dadas por las ecuaciones (10.2.1) a (10.2.3) se utilizan para el tránsito dinámico con las ecuaciones de Saint-Venant. Las derivadas espaciales aQtax y ahtax se estiman entre líneas de tiempo adyacentes de acuerdo con la ecuación (10.2.2):
dx ( _O (3,386- 3,500) + 1 ·55 ) 1,000
aQ ax
=- 0.113 cfs/pie
ah ax
10.3 ECUACIONES DE DIFERENCIAS FINITAS La forma conservativa de las ecuaciones de Saint-Venant se utiliza debido a que esta forma provee la versatilidad requerida para simular un amplio rango de flujos, desde ondas de crecientes graduales de larga duración en ríos hasta frentes de on-
=()
Qi
+ 11+~
Qi +
1
1
+(1-0)
Qi
i
D..x¡
D..x¡ hi + 1 () 1 + 1
- Qj
i+1
hi 1
+ 1
+(1-())
hj
- hj
i+1
i
D..x¡
D..x¡
(10.3.3)
(10.3.4)
y las derivadas temporales se estiman utilizando la ecuación ( 10.2.1 ): (A +Ao)f+'+(A +Ao)/t/-(A +Ao)/-(A +Ao)/+1
2tltj (10.3.5)
326
HIDROLOGÍA APLICADA
327
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA
das similares a aquellos causados por la rotura o falla de una presa. Las ecuaciones se deducen de las ecuaciones (9.1.6) y (9.1.37) como sigue. }+1
3,470 cfs
1
o .,E"'"
¡:::
3,583 cfs M
!lr=¡h
aQ ax
a~r
~0.511x· +0.5Llx•
j
Continuidad:
(I¡-9)M
+
3,500 cfs
_
ar
O
_
(10.3.1)
q-
Momentum:
3,386 cfs Llx
+ a(A + A0 )
~;
= 1,000 pies
+
a(/3(;:/A) + gA( ~~ +S¡ +Se)- {3qvx + W¡B =O
(10.3.2)
donde
i+ 1
Distancia x X
FIGURA 10.2.2 Valores del caudal en cuatro puntos del plano x- t (ejemplo 10.2.1).
tiempo
Ejemplo 10.2.1 Los valores del caudal Q en cuatro puntos de la malla espaciotiempo son tal como se muestran en la figura 10.2.2. Utilizando !::.t = 1 h, Llx = 1,000 pies y 8 = 0.55, calcule los valores de aQtat y aQtax utilizando el método implícito de cuatro puntos.
Solución. Tal como se muestra en la figura 10.2.2, los valores de caudal en los cuatro puntos son Q1 = 3,500 cfs, Q1+i = 3,386 cfs,Q{+ 1 = 3,583 cfs y Q1:: = 3,470 cfs. La derivada temporal se calcula utilizando (10.2.1) con u= Q y !::.t = l h = 3,600 s:
h
elevación de la superficie de agua
Vx
velocidad del flujo lateral en la dirección principal del flujo del canal
S¡
pendiente de fricción
W¡
fuerza cortante del viento
3.583 + 3,470-3,500 - 3,386
{3
factor de conversión de momentum
g
aceleración debida a la gravedad
= 0.023 Qj + J - Qj + l
X
3,600
cfs/s
i
+(1-8)
dx .55
caudal lateral de entrada por unidad de longitud a lo largo del canal
B
t- Q{ -
La derivada espacial se calcula utilizando la ecuación (10.2.2):
= (O
q
Q{ + 1
2
i+l
área de la sección transversal del almacenamiento muerto fuera del canal (contribuye a la continuidad, pero no al momentum)
pendiente de pérdidas de eddy
2tlt
Jx
área de la sección transversal de flujo
Ao
ancho del canal en la superficie de agua
Q{ + + Q{:
aQ
A
Se 1
-=(}
distancia longitudinal a lo largo del canal o río
) (3.470- 3,583) 1,000
Qj
- Qj
i+l
i
Las aproximaciones ponderadas de diferencias finitas de cuatro puntos dadas por las ecuaciones (10.2.1) a (10.2.3) se utilizan para el tránsito dinámico con las ecuaciones de Saint-Venant. Las derivadas espaciales aQtax y ahtax se estiman entre líneas de tiempo adyacentes de acuerdo con la ecuación (10.2.2):
dx ( _O (3,386- 3,500) + 1 ·55 ) 1,000
aQ ax
=- 0.113 cfs/pie
ah ax
10.3 ECUACIONES DE DIFERENCIAS FINITAS La forma conservativa de las ecuaciones de Saint-Venant se utiliza debido a que esta forma provee la versatilidad requerida para simular un amplio rango de flujos, desde ondas de crecientes graduales de larga duración en ríos hasta frentes de on-
=()
Qi
+ 11+~
Qi +
1
1
+(1-0)
Qi
i
D..x¡
D..x¡ hi + 1 () 1 + 1
- Qj
i+1
hi 1
+ 1
+(1-())
hj
- hj
i+1
i
D..x¡
D..x¡
(10.3.3)
(10.3.4)
y las derivadas temporales se estiman utilizando la ecuación ( 10.2.1 ): (A +Ao)f+'+(A +Ao)/t/-(A +Ao)/-(A +Ao)/+1
2tltj (10.3.5)
328
HIDROLOGÍA APLICADA
329
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA
Q{ +
+ Q(: l
1
-
Q( - Q{ +
1
(10.3.6)
2~tj
La forma de diferencias finitas de cuatro puntos de la ecuación de continuidad puede modificarse adicionalmente multiplicando la ecuación (10.3.9) por Ax; para obtener
Los términos que no contienen derivadas, tales como q y A, se estiman entre líneas de tiempo adyacentes utilizando la ecuación (10.2.3):
q = ()
¡ +_ 1 + ql + 1 ql:..._ _.:_¡+.:. . .:_1 -
+ (1
2
= () qf + 1 + (1 Ai+ A=() 1
1
2
1
1+! +(1-
O)
Q/ + 1 - Qi + 1 1+ 1!u¡ 1 -
qf + 1)
1
1+1
2
+ (1
- ())
(º¡ +lxil
(10.3.11) Similarmente, la ecuación de momentum puede modificarse multiplicándola por Ax; para obtener
Qi l
-
!u¡ (Qi + 1 + Qj + 1 - Qi - Qi
2~t·
(10.3.8)
donde q; y A; indican el flujo lateral y el área de la sección transversal promediados a lo largo de cada tramo Ax;. La forma en diferencias finitas de la ecuación de continuidad se obtiene sustituyendo las ecuaciones (10.3.3), (10.3.5) y (10.3.7) en (10.3.1):
(
+Ao)f+! +(A +Ao)ft/-(A +Ao){-(A +Ao)f+1J=O
(10.3.7)
Ai+Ai
2
()
t l- Q{ + 1 - qf + 1!u;) + (1- O)(Q( +1- Q{- qf!u;)
+~;[CA 2u.tj
q¡j + q¡j + 1
- ()) --'----'-
- ())qj
+Ai+
O(Qf
i
A
¡
+
1
A
z+ 1
z
¡
~j + 1 - {jqvx)¡ !u¡
(
-
( - n\j
+ W¡B)¡
-(
+()
-j+!(hftl-hf+! A_ ~¡
1-'
1
1
J
}
(10.3.12)
{3¡
{j¡ + {j¡ + 1 2
(10.3.13)
A¡
A¡ +Ai+1 2
(10.3.14)
B;
B¡ +Bi+1 2
(10.3.15)
Q¡
Q¡ + Q¡ + 1 2
(10.3.16)
1
(_)j+l (_)j+l) (_)j+l (__ )j+l] + S¡ . + S e . - {jqv x . + W¡B . l
!u;
donde los valores promedios (marcados con -) sobre cada tramo se definen como
!u;
2M1
+ gA ¡
z+!
!u¡
(_)j+1
+ Se¡
1 -
[(aQ2/A)i +1 _ (t:lQ2/A)i + 1 1-'
+1
1
O)W~'L il¡'J: + gA: [hi + hi + (s~; ~~x, + (s.):ru:, J =O
+1 _ Qi1 _ Qiz+l Q1¡ + 1 + Qiz+l
f}¡
1
-(~:tu; + (wt~: tu¡}
(10.3.9)
Similarmente, la forma en diferencias finitas de la ecuación de momentum se escribe como:
)
i+1
+o(({jº2)j+1_({jº2)j+1 +gA!+1[hf+1_hf+! +(s\j+1tu·
+ (l
qf )
i+1
i
J
l
+ (st): + (s.J:) También,
-
A;
R-=l -
(10.3.17)
B;
=0
(10.3.10)
para usar en la ecuación de Manning. La ecuación de Manning puede resolverse para S¡ y escribirse en la siguiente forma, donde el término IQIQ tiene magnitud
328
HIDROLOGÍA APLICADA
329
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA
Q{ +
+ Q(: l
1
-
Q( - Q{ +
1
(10.3.6)
2~tj
La forma de diferencias finitas de cuatro puntos de la ecuación de continuidad puede modificarse adicionalmente multiplicando la ecuación (10.3.9) por Ax; para obtener
Los términos que no contienen derivadas, tales como q y A, se estiman entre líneas de tiempo adyacentes utilizando la ecuación (10.2.3):
q = ()
¡ +_ 1 + ql + 1 ql:..._ _.:_¡+.:. . .:_1 -
+ (1
2
= () qf + 1 + (1 Ai+ A=() 1
1
2
1
1+! +(1-
O)
Q/ + 1 - Qi + 1 1+ 1!u¡ 1 -
qf + 1)
1
1+1
2
+ (1
- ())
(º¡ +lxil
(10.3.11) Similarmente, la ecuación de momentum puede modificarse multiplicándola por Ax; para obtener
Qi l
-
!u¡ (Qi + 1 + Qj + 1 - Qi - Qi
2~t·
(10.3.8)
donde q; y A; indican el flujo lateral y el área de la sección transversal promediados a lo largo de cada tramo Ax;. La forma en diferencias finitas de la ecuación de continuidad se obtiene sustituyendo las ecuaciones (10.3.3), (10.3.5) y (10.3.7) en (10.3.1):
(
+Ao)f+! +(A +Ao)ft/-(A +Ao){-(A +Ao)f+1J=O
(10.3.7)
Ai+Ai
2
()
t l- Q{ + 1 - qf + 1!u;) + (1- O)(Q( +1- Q{- qf!u;)
+~;[CA 2u.tj
q¡j + q¡j + 1
- ()) --'----'-
- ())qj
+Ai+
O(Qf
i
A
¡
+
1
A
z+ 1
z
¡
~j + 1 - {jqvx)¡ !u¡
(
-
( - n\j
+ W¡B)¡
-(
+()
-j+!(hftl-hf+! A_ ~¡
1-'
1
1
J
}
(10.3.12)
{3¡
{j¡ + {j¡ + 1 2
(10.3.13)
A¡
A¡ +Ai+1 2
(10.3.14)
B;
B¡ +Bi+1 2
(10.3.15)
Q¡
Q¡ + Q¡ + 1 2
(10.3.16)
1
(_)j+l (_)j+l) (_)j+l (__ )j+l] + S¡ . + S e . - {jqv x . + W¡B . l
!u;
donde los valores promedios (marcados con -) sobre cada tramo se definen como
!u;
2M1
+ gA ¡
z+!
!u¡
(_)j+1
+ Se¡
1 -
[(aQ2/A)i +1 _ (t:lQ2/A)i + 1 1-'
+1
1
O)W~'L il¡'J: + gA: [hi + hi + (s~; ~~x, + (s.):ru:, J =O
+1 _ Qi1 _ Qiz+l Q1¡ + 1 + Qiz+l
f}¡
1
-(~:tu; + (wt~: tu¡}
(10.3.9)
Similarmente, la forma en diferencias finitas de la ecuación de momentum se escribe como:
)
i+1
+o(({jº2)j+1_({jº2)j+1 +gA!+1[hf+1_hf+! +(s\j+1tu·
+ (l
qf )
i+1
i
J
l
+ (st): + (s.J:) También,
-
A;
R-=l -
(10.3.17)
B;
=0
(10.3.10)
para usar en la ecuación de Manning. La ecuación de Manning puede resolverse para S¡ y escribirse en la siguiente forma, donde el término IQIQ tiene magnitud
330
HIDROLOGÍA APLICADA
331
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA
2
Q y signo positivo o negativo dependiendo de si el flujo es aguas abajo o aguas
arriba, respectivamente:
nfiQ¡j"Q;
(10.3.18)
-2-4/3
2.208A¡ R¡
11'11
Las pérdidas menores de cabeza que resultan de las contracciones y expansiones del canal son proporcionales a la diferencia entre los cuadrados de las velocidades aguas abajo y aguas arriba, con un coeficiente de pérdida de contracción/ expansión Ke:
(Set
(Ke); 2g lli;
=
( )2] ~(º)2 -º A ; +!
A ;
1
(º¡)- _ A;
(V¡,.); cos w
(10.3.20)
donde w es el ~ngulo entre las direcciones del viento y del agua. El factor de cortante por viento está dado por (10.3.21)
i1'' 1¡
'1
La siguiente discusión de la solución de un sistema de ecuaciones de diferencias finitas sigue el análisis de Fread (1976b). El sistema de ecuaciones no lineales puede expresarse en forma funcional en términos de las incógnitas h y Q en el nivel de tiempo j + 1, como sigue: UB(h 1 ,
Q1 )=0
condición de frontera aguas arriba
C¡ (h¡, Q¡, h2, Q2) =O
continuidad para la
M¡ (h¡, Q¡, h2, Q2) =O
momentum para la celda 1
c~lda
1
(10.3.19)
La velocidad del viento relativa a la superficie del agua, V,, está definida por
r-) \V, . --
10.4 SOLUCIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS
donde Cw es un coeficiente de arrastre por fricción [C"" = (CJ2 dado en la ecuación (9.1.18)]. Los términos que tienen el superíndice j en las ecuaciones (10.3.11) y (10.3.12) se conocen ya sea de las condiciones iniciales o de una solución de las ecuaciones de Saint-Venant en una línea de tiempo previa. Los términos g, ~;. /3;, K,, Cw y Vw se conocen y deben especificarse independientemente de la solución. Las incógnitas son Q{+ 1, Q{!:. h{+ 1, h{!:, A{+ 1, A{!:, B{+ 1 y B{!:. Sin embargo, todos los términos pueden expresarse como funciones de las incógnitas, Q{+ 1, Q{!:. h{+ 1 y h{!:. de manera que realmente sólo existen cuatro incógnitas. Las incógnitas se elevan a potencias diferentes de la unidad, luego (1 0.3 .11) y (10.3.12) son ecuaciones no lineales. Las ecuaciones de continuidad y momentum se consideran en cada una de las N- 1 celdas rectangulares de la figura 10.2.1, entre la frontera aguas arriba en i = 1 y la frontera aguas abajo en i =N. Esto arroja 2N- 2 ecuaciones. Existen dos incógnitas en cada uno de los N puntos de la malla (Q y h), luego en total existen 2N incógnitas. Las dos ecuaciones adicionales requeridas para completar la solución están dadas por las condiciones de frontera aguas arriba y aguas abajo. La condición de frontera aguas arriba usualmente se especifica como un hidrograma de flujo conocido, mientras que la condición de frontera aguas abajo puede especificarse como un hidrograma de niveles conocido, un hidrograma de caudal conocido o una relación conocida entre caudal y profundidad, tal como una curva de calibración.
C; ( h;, Q;, h; + 1, Q¡ + 1) M; ( h¡ , Q¡ , h¡ + 1, Q; + 1)
= =
O O
=o QN) =o
continuidad para la celda i
(10.4.1)
momentum para la celda i
CN-1 (hN-J, QN-J, hN, QN)
continuidad para la celda N- 1
MN-1 (hN-!. QN-J, hN,
momentum para la celda N - 1
DB(hN,QN)=O
condición de frontera aguas abajo
Este sistema de 2N ecuaciones no lineales con 2N incógnitas se resuelve para cada intervalo de tiempo utilizando el método de Newton-Raphson. El procedimiento computacional para cada tiempo j + 1 se inicia asignando valores de prueba a las 2N incógnitas en ese tiempo. Estos valores de prueba de Q y h pueden ser los valores conocidos en el tiempo j de las condiciones iniciales (sij = 1) o de cálculos realizados durante el intervalo de tiempo previo. Utilizando los valores de prueba en el sistema ( 10.4.1) se llega a 2N residuos. Para la k-ésima iteración estos residuos pueden expresarse como residuo para la condición de frontera aguas arnba C¡ (h~, Q~, h;, Q~)
= RC~
M¡ (h~, Q~, h~, Q;) = RM~
residuo para la continuidad en la celda 1 residuo para el morríentum en la celda 1
residuo para la continuidad en la celda i (10.4.2) residuo para el momentum en la celda i
residuo para la continuidad en la celda N -1
330
HIDROLOGÍA APLICADA
331
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA
2
Q y signo positivo o negativo dependiendo de si el flujo es aguas abajo o aguas
arriba, respectivamente:
nfiQ¡j"Q;
(10.3.18)
-2-4/3
2.208A¡ R¡
11'11
Las pérdidas menores de cabeza que resultan de las contracciones y expansiones del canal son proporcionales a la diferencia entre los cuadrados de las velocidades aguas abajo y aguas arriba, con un coeficiente de pérdida de contracción/ expansión Ke:
(Set
(Ke); 2g lli;
=
( )2] ~(º)2 -º A ; +!
A ;
1
(º¡)- _ A;
(V¡,.); cos w
(10.3.20)
donde w es el ~ngulo entre las direcciones del viento y del agua. El factor de cortante por viento está dado por (10.3.21)
i1'' 1¡
'1
La siguiente discusión de la solución de un sistema de ecuaciones de diferencias finitas sigue el análisis de Fread (1976b). El sistema de ecuaciones no lineales puede expresarse en forma funcional en términos de las incógnitas h y Q en el nivel de tiempo j + 1, como sigue: UB(h 1 ,
Q1 )=0
condición de frontera aguas arriba
C¡ (h¡, Q¡, h2, Q2) =O
continuidad para la
M¡ (h¡, Q¡, h2, Q2) =O
momentum para la celda 1
c~lda
1
(10.3.19)
La velocidad del viento relativa a la superficie del agua, V,, está definida por
r-) \V, . --
10.4 SOLUCIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS
donde Cw es un coeficiente de arrastre por fricción [C"" = (CJ2 dado en la ecuación (9.1.18)]. Los términos que tienen el superíndice j en las ecuaciones (10.3.11) y (10.3.12) se conocen ya sea de las condiciones iniciales o de una solución de las ecuaciones de Saint-Venant en una línea de tiempo previa. Los términos g, ~;. /3;, K,, Cw y Vw se conocen y deben especificarse independientemente de la solución. Las incógnitas son Q{+ 1, Q{!:. h{+ 1, h{!:, A{+ 1, A{!:, B{+ 1 y B{!:. Sin embargo, todos los términos pueden expresarse como funciones de las incógnitas, Q{+ 1, Q{!:. h{+ 1 y h{!:. de manera que realmente sólo existen cuatro incógnitas. Las incógnitas se elevan a potencias diferentes de la unidad, luego (1 0.3 .11) y (10.3.12) son ecuaciones no lineales. Las ecuaciones de continuidad y momentum se consideran en cada una de las N- 1 celdas rectangulares de la figura 10.2.1, entre la frontera aguas arriba en i = 1 y la frontera aguas abajo en i =N. Esto arroja 2N- 2 ecuaciones. Existen dos incógnitas en cada uno de los N puntos de la malla (Q y h), luego en total existen 2N incógnitas. Las dos ecuaciones adicionales requeridas para completar la solución están dadas por las condiciones de frontera aguas arriba y aguas abajo. La condición de frontera aguas arriba usualmente se especifica como un hidrograma de flujo conocido, mientras que la condición de frontera aguas abajo puede especificarse como un hidrograma de niveles conocido, un hidrograma de caudal conocido o una relación conocida entre caudal y profundidad, tal como una curva de calibración.
C; ( h;, Q;, h; + 1, Q¡ + 1) M; ( h¡ , Q¡ , h¡ + 1, Q; + 1)
= =
O O
=o QN) =o
continuidad para la celda i
(10.4.1)
momentum para la celda i
CN-1 (hN-J, QN-J, hN, QN)
continuidad para la celda N- 1
MN-1 (hN-!. QN-J, hN,
momentum para la celda N - 1
DB(hN,QN)=O
condición de frontera aguas abajo
Este sistema de 2N ecuaciones no lineales con 2N incógnitas se resuelve para cada intervalo de tiempo utilizando el método de Newton-Raphson. El procedimiento computacional para cada tiempo j + 1 se inicia asignando valores de prueba a las 2N incógnitas en ese tiempo. Estos valores de prueba de Q y h pueden ser los valores conocidos en el tiempo j de las condiciones iniciales (sij = 1) o de cálculos realizados durante el intervalo de tiempo previo. Utilizando los valores de prueba en el sistema ( 10.4.1) se llega a 2N residuos. Para la k-ésima iteración estos residuos pueden expresarse como residuo para la condición de frontera aguas arnba C¡ (h~, Q~, h;, Q~)
= RC~
M¡ (h~, Q~, h~, Q;) = RM~
residuo para la continuidad en la celda 1 residuo para el morríentum en la celda 1
residuo para la continuidad en la celda i (10.4.2) residuo para el momentum en la celda i
residuo para la continuidad en la celda N -1
332
HIDROLOGÍA APLICADA
333
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA
M N-I ( h~-I, Q~-I, h'Jv, Q'Jv) = RM~_ 1
residuo para el momentum en la celda N- 1
ac · ah¡dh;
+
ac. J(j;dQ;
+
ac. ah;: dh; + t 1
+
ac.
k
~dQ; + 1 = -RC¡
(10.4.6)
residuo para la condición de frontera aguas abajo
i'·ll
La solución se aproxima encontrando valores de las incógnitas Q y h de tal manera que se obligue a que los residuos sean cero o muy cercanos a cero. El método de Newton-Raphson es una técnica iterativa para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales. Utiliza la idea presentada en el capítulo 5 para la determinación de la profundidad de flujo en la ecuación de Manning, excepto que aquí la solución es para un vector de variables en lugar que para una sola variable. Considérese el sistema de ecuaciones (10.4.2) escrito en forma vectorial como f(x) =O
aCN-I dh aCN-I dQ + aCN-I dh aCN-I dQ RCk N-l ahN N+ aQ¡y N= N-l ahN-l N-I + aQN-I aMN-1 dh ahN-l N-!
(10.4.4) donde J(xk) es el jacobiano, el cual es una matriz coeficiente compuesta por las primeras derivadas parciales de f(x) evaluadas en xk. La parte derecha de la ecuación (1 0.4.4) es la función vectorial lineal de _rk. Básicamente, se utiliza un proceso iterativo para determinar xk+l que hace que el error residual f(xk + 1) en la ecuación (1 O.4 .4) sea igual a cero. Esto también puede llevarse a cabo haciendo que f(xk + t) = O reordenando (10.4.4) de tal manera que
1/!;dhN + dfttdQN
C¡
-
oUB oUB ~ oQ¡
aM¡ dQ aQ 1 1
+
aM1 ah2 dh2
+
=
k -Re 1
_ k aM1 af22 dQ2- -RM 1
-
'
-
-RUB
oC¡ oc1 oc1 oc1 oQ 1 ohz oQ 2
-RC1
oM¡ oM¡ oM1 oM¡ ilQ¡ ohz ilQz
-RM¡
ah;
a¡¡;
acz acz acz acz ohz ilQz oh3 aQ,
-RCz
ilMz ilMz ilMz ilMz ohz oQz oh3 ilQ3
-RM2
ac3 ac, ac3 ac3 ilh3 ilQ3 ilh4 ilQ4 ilM3 ilM3 ilM3 ilM3 oh3 aQ3 ah4 aQ4 ac4 ac4 ac4 ac4 ilh4 ilQ4 ohs oQs
oM4 oM4 ilM4 oM4 oh4 aQ4 ilhs ilQs
ac) af22 dQ2
'
dh¡
= - RUBk
~ + ~d aQ¡ Q¡ + ah2 dh2 +
+
= -RDBk
Frontera aguas arriba
Este sistema se resuelve para(xk + ¡_ xk) = Ark, y el estimativo mejorado de la solución, xk + 1 , se determina conociendo Ark. El proceso se repite hasta que (xk + 1 - xk) sea menor que alguna tolerancia especificada. El sistema de ecuaciones lineales representado por ( 10.4.5) involucra a J(x~, el jacobiano del conjunto de ecuaciones (10.4.1) con respecto ah y Q, y -J(x~, el vector de los negativos de los residuos en (10.4.2). El sistema de ecuaciones resultante es
aMt dh ah 1 1
aMN- 1 dh aMN- 1 dQ k ahN N+ aQ¡y N= -RMN-l
+
En la figura 10.4.1 se presentan estas ecuaciones en forma matricial para un río dividido en cuatro tramos (cinco secciones transversales). Los términos de derivadas parciales se definen en detalle en el apéndice 10.A.
(10.4.5)
~dh ah¡ I
aMN- 1 dQ aQN-l N-!
(10.4.3)
donde x = (Q 1, h 1, Q 2 , h2 , ••• , QN, hN es el vector de incógnitas y para la iteración k, xk = (Q ~. h ~. Q ~. h ~ • ... , Q ~. h ~ ). El sistema no lineal puede linealizarse como
JJJ.l.J1dht + aUB dQ¡ ah 1 aQ 1
+
dhs
ilDB ilDB
Frontera aguas abajo
ilhs ilQs
-RDB
-'--'-
'-
Sección transversal 1 Tramo
4
2 2
-
5 4
FIGURA 10.4.1 Sistema de ecuaciones lineales para una iteración del método de Newton-Raphson en un río con cuatro tramos (cinco secciones transversales).
332
HIDROLOGÍA APLICADA
333
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA
M N-I ( h~-I, Q~-I, h'Jv, Q'Jv) = RM~_ 1
residuo para el momentum en la celda N- 1
ac · ah¡dh;
+
ac. J(j;dQ;
+
ac. ah;: dh; + t 1
+
ac.
k
~dQ; + 1 = -RC¡
(10.4.6)
residuo para la condición de frontera aguas abajo
i'·ll
La solución se aproxima encontrando valores de las incógnitas Q y h de tal manera que se obligue a que los residuos sean cero o muy cercanos a cero. El método de Newton-Raphson es una técnica iterativa para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales. Utiliza la idea presentada en el capítulo 5 para la determinación de la profundidad de flujo en la ecuación de Manning, excepto que aquí la solución es para un vector de variables en lugar que para una sola variable. Considérese el sistema de ecuaciones (10.4.2) escrito en forma vectorial como f(x) =O
aCN-I dh aCN-I dQ + aCN-I dh aCN-I dQ RCk N-l ahN N+ aQ¡y N= N-l ahN-l N-I + aQN-I aMN-1 dh ahN-l N-!
(10.4.4) donde J(xk) es el jacobiano, el cual es una matriz coeficiente compuesta por las primeras derivadas parciales de f(x) evaluadas en xk. La parte derecha de la ecuación (1 0.4.4) es la función vectorial lineal de _rk. Básicamente, se utiliza un proceso iterativo para determinar xk+l que hace que el error residual f(xk + 1) en la ecuación (1 O.4 .4) sea igual a cero. Esto también puede llevarse a cabo haciendo que f(xk + t) = O reordenando (10.4.4) de tal manera que
1/!;dhN + dfttdQN
C¡
-
oUB oUB ~ oQ¡
aM¡ dQ aQ 1 1
+
aM1 ah2 dh2
+
=
k -Re 1
_ k aM1 af22 dQ2- -RM 1
-
'
-
-RUB
oC¡ oc1 oc1 oc1 oQ 1 ohz oQ 2
-RC1
oM¡ oM¡ oM1 oM¡ ilQ¡ ohz ilQz
-RM¡
ah;
a¡¡;
acz acz acz acz ohz ilQz oh3 aQ,
-RCz
ilMz ilMz ilMz ilMz ohz oQz oh3 ilQ3
-RM2
ac3 ac, ac3 ac3 ilh3 ilQ3 ilh4 ilQ4 ilM3 ilM3 ilM3 ilM3 oh3 aQ3 ah4 aQ4 ac4 ac4 ac4 ac4 ilh4 ilQ4 ohs oQs
oM4 oM4 ilM4 oM4 oh4 aQ4 ilhs ilQs
ac) af22 dQ2
'
dh¡
= - RUBk
~ + ~d aQ¡ Q¡ + ah2 dh2 +
+
= -RDBk
Frontera aguas arriba
Este sistema se resuelve para(xk + ¡_ xk) = Ark, y el estimativo mejorado de la solución, xk + 1 , se determina conociendo Ark. El proceso se repite hasta que (xk + 1 - xk) sea menor que alguna tolerancia especificada. El sistema de ecuaciones lineales representado por ( 10.4.5) involucra a J(x~, el jacobiano del conjunto de ecuaciones (10.4.1) con respecto ah y Q, y -J(x~, el vector de los negativos de los residuos en (10.4.2). El sistema de ecuaciones resultante es
aMt dh ah 1 1
aMN- 1 dh aMN- 1 dQ k ahN N+ aQ¡y N= -RMN-l
+
En la figura 10.4.1 se presentan estas ecuaciones en forma matricial para un río dividido en cuatro tramos (cinco secciones transversales). Los términos de derivadas parciales se definen en detalle en el apéndice 10.A.
(10.4.5)
~dh ah¡ I
aMN- 1 dQ aQN-l N-!
(10.4.3)
donde x = (Q 1, h 1, Q 2 , h2 , ••• , QN, hN es el vector de incógnitas y para la iteración k, xk = (Q ~. h ~. Q ~. h ~ • ... , Q ~. h ~ ). El sistema no lineal puede linealizarse como
JJJ.l.J1dht + aUB dQ¡ ah 1 aQ 1
+
dhs
ilDB ilDB
Frontera aguas abajo
ilhs ilQs
-RDB
-'--'-
'-
Sección transversal 1 Tramo
4
2 2
-
5 4
FIGURA 10.4.1 Sistema de ecuaciones lineales para una iteración del método de Newton-Raphson en un río con cuatro tramos (cinco secciones transversales).
HIDROLOGÍA APLICADA
334
para resolver un sistema de ecuaciones como éste teniendo en cuenta estas estructuras en forma de banda (cuadri-diagonal). La solución de (10.4.6) arroja valores de dh; y dQ;. Los valores para las incógnitas en la iteración (K + 1) están dados por
9
y
h~l +
...
Resolver los términos de las derivadas parciales para definir la matriz de coeficientes jacobiana usando los valores de x•
k
k
Calc!llar los residuos RUB , RC 1, /.. k k RM1, .. k ,RCN-1,RMN-1. y RDB de ( 10.4.2).
Resolver el sistema de ecuaciones para dh; y dQ;, usando eliminación gaussiana.
Qt1 usando las
1
= hkl + dh.l
o;c+ 1 = 0
,Q;,
Empezar con valores dexk= .
~
~ ~
~
o ,g E-
"'ee o
~
e
o.,
1u."'"
Mississippi Alto
Río Clark b()
e :<:; e
j
¿1
.,u &:
Presa Kentucky (milla 22.4)
Metropolis
8 340 338 o 336 :<:; ., 8 334 O) 332 ·a> 330 O)
"'
O)
"'.8
·¡; .,c
a ¡:¡ "'"
§
328 326 324 322 320 318
O)
>
Grand Chain
z
Cairo (milla 955.8)
a
o
10
20
30 40 Tiempo (días)
Observado
50
60
70
60
70
Simulado
a) Cape Girardeau, Missouri.
8
"':<:;o
-~ 1 -~
~
320 318 316 8 O) 314 > 312 O) 310 O)
·s.
z
298
o
10
20
30 40 Tiempo (días)
Observado
Otra aplicación hecha por Fread (1974b) en el Bajo Mississippi ilustra la utilidad del DWOPER en la simulación de crecientes causadas por huracanes. La figura 1O.5 .3 muestra los hidro gramas de profundidad y de caudal en el bajo río Mississippi en Carrollton, Louisiana, durante el huracán Camille en 1969. La figura muestra un breve periodo de caudal negativo resultante de la onda de creciente generada por el huracán que forzó al agua a fluir aguas arriba en el río Mississippi.
10.6 TRÁNSITO DE CRECIENTES EN RÍOS CON MEANDROS El modelo de onda dinámica desarrollado en la sección previa puede expandirse para considerar el tránsito de crecientes a través de ríos con meandros con llanuras de inundación amplias (véase la figura 10.6.1). El flujo no permanente en un río con meandros en una planicie de inundación se complica debido a cinco efectos: 1) diferencias en las resistencias hidráulicas del canal principal del río y de la llanura
b)
...
50
Simulado
Cairo, Illinois.
FIGURA 10.5.2 Niveles observados vs. simulados en Cape Girardeau, Missouri, y en Cairo, Illinois, para la creciente de 1970. Véase la figura 10.5.1 para ubicar estas estaciones. Cairo se localiza en el río Ohio y Cape Girardeau en el río Mississippi. (Fuente: Fread, 1978. Utilizada con autorización).
de inundación; 2) variación en las geometrías de la sección transversal del canal y la planicie; 3) efectos de corto circuito, en los cuales el flujo se aleja del canal principal y toma una ruta más directa a través de la planicie de inundación; 4) porciones de la planicie de inundación que actúan como áreas de almacenamiento muerto en las cuales la velocidad de flujo es despreciable; y 5) el efecto en las pérdidas de energía causadas por la interacción de flujos entre el canal principal y la planicie de inundación, dependiendo de la dirección del intercambio lateral d-e flujo. Debido a estas diferencias, la atenuación y el tiempo de tránsito del flujo en el canal pueden ser significativamente diferentes del flujo en la planicie de inundación.
336
HIDROLOGÍA APLICADA
337
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA
. ...
(milla 1076.5) Shawneetown Río Saline Ford's Ferry
- R í o Tradewater
Golconda
¿1
Cumberland Presa Barkley (milla 30.6) Tennessee
~
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Paducah
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Mississippi Alto
Río Clark b()
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Presa Kentucky (milla 22.4)
Metropolis
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§
328 326 324 322 320 318
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Grand Chain
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Cairo (milla 955.8)
a
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10
20
30 40 Tiempo (días)
Observado
50
60
70
60
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Simulado
a) Cape Girardeau, Missouri.
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298
o
10
20
30 40 Tiempo (días)
Observado
Otra aplicación hecha por Fread (1974b) en el Bajo Mississippi ilustra la utilidad del DWOPER en la simulación de crecientes causadas por huracanes. La figura 1O.5 .3 muestra los hidro gramas de profundidad y de caudal en el bajo río Mississippi en Carrollton, Louisiana, durante el huracán Camille en 1969. La figura muestra un breve periodo de caudal negativo resultante de la onda de creciente generada por el huracán que forzó al agua a fluir aguas arriba en el río Mississippi.
10.6 TRÁNSITO DE CRECIENTES EN RÍOS CON MEANDROS El modelo de onda dinámica desarrollado en la sección previa puede expandirse para considerar el tránsito de crecientes a través de ríos con meandros con llanuras de inundación amplias (véase la figura 10.6.1). El flujo no permanente en un río con meandros en una planicie de inundación se complica debido a cinco efectos: 1) diferencias en las resistencias hidráulicas del canal principal del río y de la llanura
b)
...
50
Simulado
Cairo, Illinois.
FIGURA 10.5.2 Niveles observados vs. simulados en Cape Girardeau, Missouri, y en Cairo, Illinois, para la creciente de 1970. Véase la figura 10.5.1 para ubicar estas estaciones. Cairo se localiza en el río Ohio y Cape Girardeau en el río Mississippi. (Fuente: Fread, 1978. Utilizada con autorización).
de inundación; 2) variación en las geometrías de la sección transversal del canal y la planicie; 3) efectos de corto circuito, en los cuales el flujo se aleja del canal principal y toma una ruta más directa a través de la planicie de inundación; 4) porciones de la planicie de inundación que actúan como áreas de almacenamiento muerto en las cuales la velocidad de flujo es despreciable; y 5) el efecto en las pérdidas de energía causadas por la interacción de flujos entre el canal principal y la planicie de inundación, dependiendo de la dirección del intercambio lateral d-e flujo. Debido a estas diferencias, la atenuación y el tiempo de tránsito del flujo en el canal pueden ser significativamente diferentes del flujo en la planicie de inundación.
338
HIDROLOGÍA APLICADA
339
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA 12 10
1969 Huracán Camille Carrollton
Frontera aguas arriba
""' 8
& "il >
z
6 4 2
o
10
20
30
40
50
60
70
Tiempo (h) - - Observado --- Calculado a) Hidrograma de nivel.
Planicie de inundación
1969 Huracán Camille Carrollton
400 300 200
~ u
o o
Frontera· aguas abajo
100
~
o
FIGURA 10.6.1 Río con meandros en una llanura de inundación. El flujo no permanente en ríos con meandros natural~s se complica por las grandes diferencias en los factores de fricción y en las geometrías de las secCiones transversales del río y la llanura. Tal como se muestra, existen complicaciones adicionales debidas a cortos circuitos de flujo a lo largo de la línea de flujo más directa en la llanura de inundación. Como resultado, la atenuación de onda y el tiempo de tránsito son diferentes para el canal y la llanura.
'""'
-o -lOO
u"' -200 -300
o
10
20
30
40
50
60
70
Tiempo (h)
+ gAc( ah + S¡c
Calculado
axc
+ El caudal se asocia con una velocidad aguas abajo.
+Se)
+ gA¡( ah
ax¡
+S¡¡)+ gAr( ah axr
+ S¡r) = O
(10.6.2)
- El caudal se asocia con una velocidad aguas arriba.
11
b) Hidro grama de caudal.
FIGURA 10.5.3 Hidrogramas de caudal y nivel para el huracán Camille de 1969 en Carrollton en el bajo río Mississippi. Carrollton se localiza en la milla 102.4 desde la desembocadura. El error medio de la simulación utilizando DWOPER fue de 0.34 pies (Fread, 1978. Utilizada con autorización).
Fread ( 1976a, 1980) desarrolló un modelo para ríos con meandros, en el cual se diferenciaban la planicie de inundación izquierda, la planicie de inundación derecha y el canal, denotados con los subíndices /, r y e respectivamente. Las ecuaciones de continuidad y momentum, despreciando el momentum por esfuerzo cortante de viento y flujo lateral, se expresan como a(KcQ)
+ a{K¡Q) +
a(KrQ)
~
~
~
y
+
a(Ac +A¡
+ Ar + A ~
0)
_
q
=O
El área total de la sección transversal de flujo es la suma de Ac, A 1, Ar y A 0 . Las constantes Kc, K1 y Kr dividen el caudal total Q en caudal de canal, caudal en la planicie de inundación izquierda y caudal en la planicie de inundación derecha, respectivamente, y están definidas como Kc = Qc!Q, K 1 = Q¡IQ y Kr = Qr!Q. Se supone que el flujo es unidimensional, de tal manera que la superficie del agua es horizontal a través de las tres secciones y que la pérdida de cabeza h¡ incurrida en el movimiento entre dos secciones de río es la misma sin importar cuál sea la ruta adoptada por el flujo. Por consiguiente, h¡ =S¡ at-en cada sección de flujo (izquierda, canal y derecha), y S¡ = h¡!t1x. Tomando la relación de los caudales calculados por medio de la ecuación de Manning en esta forma, h¡ se cancela; las relaciones de los flujos en las áreas por encima de la banca a la izquierda y a la derecha con respecto al flujo en el canal son Q¡ = nc A¡ R¡ 2/3( .!lxc )1/2 Qc n¡ Ac ( Re ) .!lx¡
(10.6.1)
(10.6.3)
y
(10.6.4)
338
HIDROLOGÍA APLICADA
339
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA 12 10
1969 Huracán Camille Carrollton
Frontera aguas arriba
""' 8
& "il >
z
6 4 2
o
10
20
30
40
50
60
70
Tiempo (h) - - Observado --- Calculado a) Hidrograma de nivel.
Planicie de inundación
1969 Huracán Camille Carrollton
400 300 200
~ u
o o
Frontera· aguas abajo
100
~
o
FIGURA 10.6.1 Río con meandros en una llanura de inundación. El flujo no permanente en ríos con meandros natural~s se complica por las grandes diferencias en los factores de fricción y en las geometrías de las secCiones transversales del río y la llanura. Tal como se muestra, existen complicaciones adicionales debidas a cortos circuitos de flujo a lo largo de la línea de flujo más directa en la llanura de inundación. Como resultado, la atenuación de onda y el tiempo de tránsito son diferentes para el canal y la llanura.
'""'
-o -lOO
u"' -200 -300
o
10
20
30
40
50
60
70
Tiempo (h)
+ gAc( ah + S¡c
Calculado
axc
+ El caudal se asocia con una velocidad aguas abajo.
+Se)
+ gA¡( ah
ax¡
+S¡¡)+ gAr( ah axr
+ S¡r) = O
(10.6.2)
- El caudal se asocia con una velocidad aguas arriba.
11
b) Hidro grama de caudal.
FIGURA 10.5.3 Hidrogramas de caudal y nivel para el huracán Camille de 1969 en Carrollton en el bajo río Mississippi. Carrollton se localiza en la milla 102.4 desde la desembocadura. El error medio de la simulación utilizando DWOPER fue de 0.34 pies (Fread, 1978. Utilizada con autorización).
Fread ( 1976a, 1980) desarrolló un modelo para ríos con meandros, en el cual se diferenciaban la planicie de inundación izquierda, la planicie de inundación derecha y el canal, denotados con los subíndices /, r y e respectivamente. Las ecuaciones de continuidad y momentum, despreciando el momentum por esfuerzo cortante de viento y flujo lateral, se expresan como a(KcQ)
+ a{K¡Q) +
a(KrQ)
~
~
~
y
+
a(Ac +A¡
+ Ar + A ~
0)
_
q
=O
El área total de la sección transversal de flujo es la suma de Ac, A 1, Ar y A 0 . Las constantes Kc, K1 y Kr dividen el caudal total Q en caudal de canal, caudal en la planicie de inundación izquierda y caudal en la planicie de inundación derecha, respectivamente, y están definidas como Kc = Qc!Q, K 1 = Q¡IQ y Kr = Qr!Q. Se supone que el flujo es unidimensional, de tal manera que la superficie del agua es horizontal a través de las tres secciones y que la pérdida de cabeza h¡ incurrida en el movimiento entre dos secciones de río es la misma sin importar cuál sea la ruta adoptada por el flujo. Por consiguiente, h¡ =S¡ at-en cada sección de flujo (izquierda, canal y derecha), y S¡ = h¡!t1x. Tomando la relación de los caudales calculados por medio de la ecuación de Manning en esta forma, h¡ se cancela; las relaciones de los flujos en las áreas por encima de la banca a la izquierda y a la derecha con respecto al flujo en el canal son Q¡ = nc A¡ R¡ 2/3( .!lxc )1/2 Qc n¡ Ac ( Re ) .!lx¡
(10.6.1)
(10.6.3)
y
(10.6.4)
340
HIDROLOGÍA APLICADA
La pendiente de fricción también se define para la planicie de inundación izquierda, (SJI), la planicie de inundación derecha, (S¡r), y el canal (S¡c), utilizando la ecuación de Manning; por ejemplo,
(10.6.5)
l•i'll
El esquema implícito ponderado de cuatro puntos puede utilizarse para resolver este modelo con las incógnitas h y Q. El modelo de onda dinámica descrito anteriormente mediante las ecuaciones (10.6.1) y (10.6.2) está incorporado en el programa de computador del National Weather Service DAMBRK; DAMBRK es un programa para analizar las crecientes que podrían resultar de las fallas de presas.
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA
341
El flujo hacia afuera del embalse consta del flujo de salida a través de la brecha Qb (flujo en un vertedero de cresta ancha) y el flujo de salida a través del vertedero Qs: (10.7.1) El caudal de salida a través de la brecha puede calcularse utilizando una combinación de las ecuaciones para un vertedero rectangular de cresta ancha, el cual se agranda gradualmente a medida que la brecha se amplía, y un vertedero trapezoidal para los extremos de la brecha (Fread, 1980):
(10.7.2)
"1 ',¡ !
F1
10.7 TRÁNSITO DE CRECIENTES CAUSADAS POR ROMPIMIENTOS DE PRESAS El pronóstico de las crecientes rápidas debidas a las fallas de presas es una aplicación del tránsito de crecientes que ha recibido considerable atención. El modelo más ampliamente usado para el análisis de rompimiento de presas es el DAMBRK* desarrollado por Fread (1977, 1980, 1981). Este modelo consiste en tres partes funcionales: 1) descripción temporal y geométrica de la brecha que se forma en la presa; 2) cálculo del hidrograma de caudal de salida a través de la-bre-cha; y 3) tránsito aguas abajo del hidrograma de caudal de salida a través de la brecha. La formación de la brecha, o crecimiento de la abertura en la presa a medida que ésta falla, se muestra en la figura 10.7.1. La forma de la brecha (triangular, rectangular o trapezoidal) se especifica mediante la pendiente z y el ancho terminal Bw en el fondo de la brecha. El modelo DAMBRK supone que el ancho del fondo de la brecha empieza en un punto y se agranda con una tasa lineal hasta que alcanza el ancho terminal al final del intervalo de tiempo de falla T. La brecha empieza cuando la elevación del agua en el embalse, h, excede un valor especificado hcr permitido para la falla por desbordamiento o por tubificación.
' , ____
/
--~------7--
_/
1--b-1
1-Bw-1 (0 ~b-~Bw)
FIGURA 10.7.1 Formación de brecha. La formación de brecha durante la falla de una presa está descrita por el tiempo de falla T, el tamaño y la forma. La forma se especifica por z, la cual define la pendiente lateral de la brecha. Típicamente O ~ z ~ 2. El ancho en la base de la brecha b es una función del tiempo, con un ancho terminal de Bw. Una brecha triangular tiene Bw = O y z > O. Para una brecha rectangular Bw > O y z = O. Para una brecha trapezoidal, Bw > O y z > O.
*
Una copia del programa de computador DAMBRK puede obtenerse del Hydrologic Research Laboratory, Office of Hydrology, NOAA, National Weather Service, Silver Spring, Maryland, 20910.
donde tb es el tiempo después del inicio de la brecha, C, es el factor de corrección por velocidad de aproximación, Ks es la corrección por sumergencia debida a los efectos de aguas abajo en el flujo de salida a través del vertedero y hb es la elevación del fondo de la brecha. El caudal de salida a través del vertedero, Qs, puede calcularse utilizando (Fread, 1980):
(10.7.3) donde Cs es el coeficiente de descarga de un vertedero no controlado, Ls es la longitud del vertedero no controlado, hs es la elevación de la cresta del vertedero no controlado, C 8 es el coeficiente de descarga del vertedero controlado, A 8 es el área de apertura de compuertas, h 8 es la elevación de la línea central del vertedero con compuertas, Cd es el coeficiente de descarga para el flujo por encima de la cresta de la presa, Ld es la longitud de la cresta, hd es la elevación de la cresta de la presa y Q, es un caudal de salida constante o filtración a través de la presa. El modelo DAMBRK utiliza el tránsito hidrológico de almacenamiento o el modelo de onda dinámica para calcular el caudal de salida de la presa. El hidrograma de caudal de salida de la presa es luego transitado hacia aguas abajo utilizando el modelo de onda dinámica completo descrito en la sección 10. 3; alternativamente puede utilizarse el modelo de onda dinámica descrito en la sección 10.6 para el tránsito de crecientes en ríos con meandros con planicies de inundación. El modelo DAMBR:K puede simular varios embalses localizados secuencialmente a lo largo de un valle con una cierta combinación de falla de presas. Algunos puentes de carreteras o vías férreas con terraplenes pueden tratarse como condiciones de frontera internas. Las condiciones de frontera internas se utilizan para describir el flujo en lugares a lo largo de la ruta del agua en los cuales las ecuaciones de Saint-Venant no son aplicables. En otras palabras, existen algunos lugares tales como vertederos, brechas, cascadas, luces de puentes, terraplenes de carreteras y así sucesivamente, donde el flujo varía rápidamente en lugar de hacerlo gradualmente. Se requieren dos ecuaciones para definir una condición de frontera interna, porque se añaden dos incógnitas (Q y h) en dicha frontera. Por ejemplo, para simular el cruce de una carretera (véase la figura 10.7 .2) con caudal a través de la luz del puente QP, caudal por encima del terraplén Q 1r y caudal a través de una brecha Qb, las dos condiciones internas de fronteras son:
340
HIDROLOGÍA APLICADA
La pendiente de fricción también se define para la planicie de inundación izquierda, (SJI), la planicie de inundación derecha, (S¡r), y el canal (S¡c), utilizando la ecuación de Manning; por ejemplo,
(10.6.5)
l•i'll
El esquema implícito ponderado de cuatro puntos puede utilizarse para resolver este modelo con las incógnitas h y Q. El modelo de onda dinámica descrito anteriormente mediante las ecuaciones (10.6.1) y (10.6.2) está incorporado en el programa de computador del National Weather Service DAMBRK; DAMBRK es un programa para analizar las crecientes que podrían resultar de las fallas de presas.
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA
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El flujo hacia afuera del embalse consta del flujo de salida a través de la brecha Qb (flujo en un vertedero de cresta ancha) y el flujo de salida a través del vertedero Qs: (10.7.1) El caudal de salida a través de la brecha puede calcularse utilizando una combinación de las ecuaciones para un vertedero rectangular de cresta ancha, el cual se agranda gradualmente a medida que la brecha se amplía, y un vertedero trapezoidal para los extremos de la brecha (Fread, 1980):
(10.7.2)
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F1
10.7 TRÁNSITO DE CRECIENTES CAUSADAS POR ROMPIMIENTOS DE PRESAS El pronóstico de las crecientes rápidas debidas a las fallas de presas es una aplicación del tránsito de crecientes que ha recibido considerable atención. El modelo más ampliamente usado para el análisis de rompimiento de presas es el DAMBRK* desarrollado por Fread (1977, 1980, 1981). Este modelo consiste en tres partes funcionales: 1) descripción temporal y geométrica de la brecha que se forma en la presa; 2) cálculo del hidrograma de caudal de salida a través de la-bre-cha; y 3) tránsito aguas abajo del hidrograma de caudal de salida a través de la brecha. La formación de la brecha, o crecimiento de la abertura en la presa a medida que ésta falla, se muestra en la figura 10.7.1. La forma de la brecha (triangular, rectangular o trapezoidal) se especifica mediante la pendiente z y el ancho terminal Bw en el fondo de la brecha. El modelo DAMBRK supone que el ancho del fondo de la brecha empieza en un punto y se agranda con una tasa lineal hasta que alcanza el ancho terminal al final del intervalo de tiempo de falla T. La brecha empieza cuando la elevación del agua en el embalse, h, excede un valor especificado hcr permitido para la falla por desbordamiento o por tubificación.
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--~------7--
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FIGURA 10.7.1 Formación de brecha. La formación de brecha durante la falla de una presa está descrita por el tiempo de falla T, el tamaño y la forma. La forma se especifica por z, la cual define la pendiente lateral de la brecha. Típicamente O ~ z ~ 2. El ancho en la base de la brecha b es una función del tiempo, con un ancho terminal de Bw. Una brecha triangular tiene Bw = O y z > O. Para una brecha rectangular Bw > O y z = O. Para una brecha trapezoidal, Bw > O y z > O.
*
Una copia del programa de computador DAMBRK puede obtenerse del Hydrologic Research Laboratory, Office of Hydrology, NOAA, National Weather Service, Silver Spring, Maryland, 20910.
donde tb es el tiempo después del inicio de la brecha, C, es el factor de corrección por velocidad de aproximación, Ks es la corrección por sumergencia debida a los efectos de aguas abajo en el flujo de salida a través del vertedero y hb es la elevación del fondo de la brecha. El caudal de salida a través del vertedero, Qs, puede calcularse utilizando (Fread, 1980):
(10.7.3) donde Cs es el coeficiente de descarga de un vertedero no controlado, Ls es la longitud del vertedero no controlado, hs es la elevación de la cresta del vertedero no controlado, C 8 es el coeficiente de descarga del vertedero controlado, A 8 es el área de apertura de compuertas, h 8 es la elevación de la línea central del vertedero con compuertas, Cd es el coeficiente de descarga para el flujo por encima de la cresta de la presa, Ld es la longitud de la cresta, hd es la elevación de la cresta de la presa y Q, es un caudal de salida constante o filtración a través de la presa. El modelo DAMBRK utiliza el tránsito hidrológico de almacenamiento o el modelo de onda dinámica para calcular el caudal de salida de la presa. El hidrograma de caudal de salida de la presa es luego transitado hacia aguas abajo utilizando el modelo de onda dinámica completo descrito en la sección 10. 3; alternativamente puede utilizarse el modelo de onda dinámica descrito en la sección 10.6 para el tránsito de crecientes en ríos con meandros con planicies de inundación. El modelo DAMBR:K puede simular varios embalses localizados secuencialmente a lo largo de un valle con una cierta combinación de falla de presas. Algunos puentes de carreteras o vías férreas con terraplenes pueden tratarse como condiciones de frontera internas. Las condiciones de frontera internas se utilizan para describir el flujo en lugares a lo largo de la ruta del agua en los cuales las ecuaciones de Saint-Venant no son aplicables. En otras palabras, existen algunos lugares tales como vertederos, brechas, cascadas, luces de puentes, terraplenes de carreteras y así sucesivamente, donde el flujo varía rápidamente en lugar de hacerlo gradualmente. Se requieren dos ecuaciones para definir una condición de frontera interna, porque se añaden dos incógnitas (Q y h) en dicha frontera. Por ejemplo, para simular el cruce de una carretera (véase la figura 10.7 .2) con caudal a través de la luz del puente QP, caudal por encima del terraplén Q 1r y caudal a través de una brecha Qb, las dos condiciones internas de fronteras son:
342
HIDROLOGÍA APLICADA
343
(10.7.4)
donde CP es un coeficiente de puente; el caudal por encima del terraplén Q,r se define por una ecuación de vertedero de cresta ancha
(10.7.5)
(10.7.7)
y
El flujo a través de la brecha Qb se define por la ecuación (10.7 .2); QP se define por una curva de calibración o por la ecuación de un orificio, tal como (10.7.6)
1
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA
donde C,n L,r y K,r son el coeficiente de descarga, la longitud del terraplén y el factor de corrección por sumergencia, respectivamente, y h,, es la elevación de la parte superior del terraplén. Con referencia a la figura 1O. 7 .2, la malla de diferencias finitas ilustra que para una línea de tiempo dada, las ecuaciones de continuidad y de momentum se escriben para cada celda donde son aplicables las ecuaciones de s'aint-Venant y las condiciones internas de frontera están escritas para la celda desde i hasta i + 1, donde se localiza el cruce de la carretera.
Falla de la presa Teton
'l~
a) Sección transversal
( Ecuaciones de condiciones de frontera interna
1", 1 1
C,M
C,M
1 1
-
e, M /
......
k/ i -3
i -2
1
1
......
1
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11 ~
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1
1
1
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1
1
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1
1
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-
i i+1
1
1
i+2
i+3
b) Localización de las secciones transversales.
Ecuaciones de condiciones
{¡ de frontera interna j
C,M
C,M
C,M
¡
j
C,M
C,M j+ 1
j+ 1 i- 3
i- 2
i - 1
i i+ 1
i +2
i+3
e) Malla de diferencias finitas.
FIGURA 10.7.2 Condición interna de frontera para terraplenes de carreteras. C se refiere a la ecuación de continuidad mientras que M se refiere a la de momentum.
El modelo DAMBRK se ha aplicado (Fread, 1980) para reconstruir la onda de creciente causada por la falla ocurrida en 1976 en la presa Teton en Idaho. Ésta era una presa de tierra de 300 pies de altura con una longitud de cresta de 3,000 pies. Como resultado de la falla de esta presa, 11 personas murieron, 25,000 quedaron sin hogar y se causaron daños por 400 millones de dólares en el valle Teton-Snake River localizado aguas abajo. En la figura 10.7.3 se muestra el área inundada en un tramo de 60 millas aguas abajo de la presa con 12 secciones transversales. El valle aguas abajo consistía en un cañón angosto de aproximadamente 1,000 pies de ancho en las primeras 5 millas y de ahí en adelante un valle ancho que fue inundado hasta una anchura de alrededor de 9 millas. Los valores de n de Manning cubrían un rango de 0.028 a 0.047 de acuerdo con estimaciones de campo. Algunas secciones transversales se calcularon mediante interpolación por DAMBRK para ser usadas en la modelación de tal manera que las secciones transversales estuvieran espaciadas 0.5 millas cerca de la presa y 1.5 millas en el extremo aguas abajo del tramo. En total se utilizaron 77 secciones transversales. El hidrograma de caudal de salida del embalse calculado se muestra en la figura 10.7.3 con un valor pico de 1,652,300 cfs. El pico ocurrió aproximadamente 1.25 horas después de que se abrió la brecha. Es interesante anotar que el pico del caudal de salida de la presa fue aproximadamente 20 veces más grande que la máxima creciente registrada en el sitio. Los caudales pico calculados a lo largo del valle aguas abajo se muestran en la figura 10.7 .4, la cual ilustra la rápida atenuación del caudal pico debido al almacénamiento de agua en la llanura de inundación a medida que la onda de creciente progresaba aguas abajo a través del valle. Los tiempos de tránsito calculados para el pico de la creciente se muestran en la figura 10.7.5, y las elevaciones pico calculadas aparecen en la figura 10.7.6. La máxima profundidad de la creciente fue de aproximadamente 60 pies en la presa. La simulación ·de 55 horas de la creciente de Tetan utilizó un intervalo de tiempo inicial de 0.06 h. El tiempo de ejecución es menos de 10 segundos en la mayoría de los procesadores centrales.
342
HIDROLOGÍA APLICADA
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(10.7.4)
donde CP es un coeficiente de puente; el caudal por encima del terraplén Q,r se define por una ecuación de vertedero de cresta ancha
(10.7.5)
(10.7.7)
y
El flujo a través de la brecha Qb se define por la ecuación (10.7 .2); QP se define por una curva de calibración o por la ecuación de un orificio, tal como (10.7.6)
1
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA
donde C,n L,r y K,r son el coeficiente de descarga, la longitud del terraplén y el factor de corrección por sumergencia, respectivamente, y h,, es la elevación de la parte superior del terraplén. Con referencia a la figura 1O. 7 .2, la malla de diferencias finitas ilustra que para una línea de tiempo dada, las ecuaciones de continuidad y de momentum se escriben para cada celda donde son aplicables las ecuaciones de s'aint-Venant y las condiciones internas de frontera están escritas para la celda desde i hasta i + 1, donde se localiza el cruce de la carretera.
Falla de la presa Teton
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a) Sección transversal
( Ecuaciones de condiciones de frontera interna
1", 1 1
C,M
C,M
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i+3
b) Localización de las secciones transversales.
Ecuaciones de condiciones
{¡ de frontera interna j
C,M
C,M
C,M
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j
C,M
C,M j+ 1
j+ 1 i- 3
i- 2
i - 1
i i+ 1
i +2
i+3
e) Malla de diferencias finitas.
FIGURA 10.7.2 Condición interna de frontera para terraplenes de carreteras. C se refiere a la ecuación de continuidad mientras que M se refiere a la de momentum.
El modelo DAMBRK se ha aplicado (Fread, 1980) para reconstruir la onda de creciente causada por la falla ocurrida en 1976 en la presa Teton en Idaho. Ésta era una presa de tierra de 300 pies de altura con una longitud de cresta de 3,000 pies. Como resultado de la falla de esta presa, 11 personas murieron, 25,000 quedaron sin hogar y se causaron daños por 400 millones de dólares en el valle Teton-Snake River localizado aguas abajo. En la figura 10.7.3 se muestra el área inundada en un tramo de 60 millas aguas abajo de la presa con 12 secciones transversales. El valle aguas abajo consistía en un cañón angosto de aproximadamente 1,000 pies de ancho en las primeras 5 millas y de ahí en adelante un valle ancho que fue inundado hasta una anchura de alrededor de 9 millas. Los valores de n de Manning cubrían un rango de 0.028 a 0.047 de acuerdo con estimaciones de campo. Algunas secciones transversales se calcularon mediante interpolación por DAMBRK para ser usadas en la modelación de tal manera que las secciones transversales estuvieran espaciadas 0.5 millas cerca de la presa y 1.5 millas en el extremo aguas abajo del tramo. En total se utilizaron 77 secciones transversales. El hidrograma de caudal de salida del embalse calculado se muestra en la figura 10.7.3 con un valor pico de 1,652,300 cfs. El pico ocurrió aproximadamente 1.25 horas después de que se abrió la brecha. Es interesante anotar que el pico del caudal de salida de la presa fue aproximadamente 20 veces más grande que la máxima creciente registrada en el sitio. Los caudales pico calculados a lo largo del valle aguas abajo se muestran en la figura 10.7 .4, la cual ilustra la rápida atenuación del caudal pico debido al almacénamiento de agua en la llanura de inundación a medida que la onda de creciente progresaba aguas abajo a través del valle. Los tiempos de tránsito calculados para el pico de la creciente se muestran en la figura 10.7.5, y las elevaciones pico calculadas aparecen en la figura 10.7.6. La máxima profundidad de la creciente fue de aproximadamente 60 pies en la presa. La simulación ·de 55 horas de la creciente de Tetan utilizó un intervalo de tiempo inicial de 0.06 h. El tiempo de ejecución es menos de 10 segundos en la mayoría de los procesadores centrales.
344
HIDROLOGÍA APLICADA
Modelo FLDWAV
1.8
El modelo FLDW A V* (Fread, 1985) es una síntesis de DWOPER y DAMBRK, y añade capacidades de modelación importantes que no se encuentran disponibles en ninguno de los otros modelos. FLDW A V es un modelo generalizado de onda dinámica para flujos no estacionarios unidimensionales en canales simples o con ramificaciones. Se basa en un método implícito de diferencias finitas (cuatro puntos, no lineal) de las ecuaciones de Saint-Venant. Los siguientes aspectos y capacidades especiales están incluidos en FLDW A V: intervalos computacionales Ax y !l.t variables; geometría de la sección transversal irregular; almacenamiento fuera del canal; coeficientes de rugosidad que pueden variar con el caudal o con la elevación del agua, y con la distancia a lo largo del canal; capacidad para generar secciones transversales interpoladas linealmente y coeficientes de rugosidad entre las secciones transversales de entrada; cálculo automático de las condiciones iniciales de flujo permanente y elevación del agua en todas las secciones transversales a lo largo del canal; fronteras externas como series de tiempo del caudal o de elevación de la
Henry's Fork \,.
N
t \
Presa Teton
* El millaje se da en millas aguas
+-
345
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA
Estación de aforo
abajo de la presa Teton
:§'
1.6
u
1.4
8
1.2
o
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1.0 0.8
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ü
0.4
0.2
10 20 30 40 50 60 Distancia aguas abajo de la presa (millas) 0
Observado
- Calculado
FIGURA 10.7.4 Perfil del caudal pico para la falla de la presa Teton (Fuente: Frcad, 1977).
superficie del agua (hidrogramas); relación profundidad-caudal de valor único o múltiple (tabulada o calculada); caudales laterales de entrada (o de salida) dependientes del tiempo; fronteras internas que permiten el tratamiento ~e fallas de presa, flujos de vertedero, control de compuertas, flujos por debajo de puentes, o flujo por encima de terraplenes dependientes del tiempo; flujo en cortos circuitos en planicies de inundación en un valle de un río con meandros; falla y/o desbordamiento de jarillones (diques); una técnica computacional especial que provee estabilidad numérica cuando se están tratando flujos que cambian de supercríticos a subcríticos o, alternativamente, que cambien con el tiempo y la distancia a lo largo del canal; y una técnica automática de calibración para determinar el coeficiente de rugosidad variable utilizando hidrogramas observados a lo largo del canal. FLDWA V fue desarrollado en lenguaje FORTRAN IV utilizando un diseño modular, en el cual cada una de las subrutinas requiere menos de 64 kilobytes de almacenamiento. Los requerimientos de almacenamiento totales del programa son aproximadamente de 256 kilobytes. Los arreglos (vectores y matrices) del programa
1.5 ~
u
+-
Idaho Falls
"'"'
=
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40
l. O
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'
Estación de aforo Shelly
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5
6
Hora
30 25
0..
"O "'
2
35
&] E
.,_u ·-E- "' "O
20 15 10
FIGURA 10.7.3 Área inundada aguas abajo de la presa Teton e hidrograma de caudal de salida calculado en el sitio de presa (Fuente: Fread, 1977).
10 20 30 40 50 60 70 Distancia aguas abajo de la presa (millas)
* Una copia del programa de computador FLDW A V puede obtenerse del Hydrologic Research Laboratory, Office of Hydrology, NOAA, National Weather Service, Silver Spring, Maryland 20910.
0
Observado
- Calculado
FIGURA 10.7.5 Tiempo de tránsito para el caudal pico durante la falla de la presa Teton (Fuente: Fread, 1977).
344
HIDROLOGÍA APLICADA
Modelo FLDWAV
1.8
El modelo FLDW A V* (Fread, 1985) es una síntesis de DWOPER y DAMBRK, y añade capacidades de modelación importantes que no se encuentran disponibles en ninguno de los otros modelos. FLDW A V es un modelo generalizado de onda dinámica para flujos no estacionarios unidimensionales en canales simples o con ramificaciones. Se basa en un método implícito de diferencias finitas (cuatro puntos, no lineal) de las ecuaciones de Saint-Venant. Los siguientes aspectos y capacidades especiales están incluidos en FLDW A V: intervalos computacionales Ax y !l.t variables; geometría de la sección transversal irregular; almacenamiento fuera del canal; coeficientes de rugosidad que pueden variar con el caudal o con la elevación del agua, y con la distancia a lo largo del canal; capacidad para generar secciones transversales interpoladas linealmente y coeficientes de rugosidad entre las secciones transversales de entrada; cálculo automático de las condiciones iniciales de flujo permanente y elevación del agua en todas las secciones transversales a lo largo del canal; fronteras externas como series de tiempo del caudal o de elevación de la
Henry's Fork \,.
N
t \
Presa Teton
* El millaje se da en millas aguas
+-
345
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA
Estación de aforo
abajo de la presa Teton
:§'
1.6
u
1.4
8
1.2
o
~
-;
1.0 0.8
-g
0.6
ü
0.4
0.2
10 20 30 40 50 60 Distancia aguas abajo de la presa (millas) 0
Observado
- Calculado
FIGURA 10.7.4 Perfil del caudal pico para la falla de la presa Teton (Fuente: Frcad, 1977).
superficie del agua (hidrogramas); relación profundidad-caudal de valor único o múltiple (tabulada o calculada); caudales laterales de entrada (o de salida) dependientes del tiempo; fronteras internas que permiten el tratamiento ~e fallas de presa, flujos de vertedero, control de compuertas, flujos por debajo de puentes, o flujo por encima de terraplenes dependientes del tiempo; flujo en cortos circuitos en planicies de inundación en un valle de un río con meandros; falla y/o desbordamiento de jarillones (diques); una técnica computacional especial que provee estabilidad numérica cuando se están tratando flujos que cambian de supercríticos a subcríticos o, alternativamente, que cambien con el tiempo y la distancia a lo largo del canal; y una técnica automática de calibración para determinar el coeficiente de rugosidad variable utilizando hidrogramas observados a lo largo del canal. FLDWA V fue desarrollado en lenguaje FORTRAN IV utilizando un diseño modular, en el cual cada una de las subrutinas requiere menos de 64 kilobytes de almacenamiento. Los requerimientos de almacenamiento totales del programa son aproximadamente de 256 kilobytes. Los arreglos (vectores y matrices) del programa
1.5 ~
u
+-
Idaho Falls
"'"'
=
~
40
l. O
:g
o~
-~e
= uo
.... ·"".,_
-; 0.5 "O
-
::l
'
Estación de aforo Shelly
u"' 4
5
6
Hora
30 25
0..
"O "'
2
35
&] E
.,_u ·-E- "' "O
20 15 10
FIGURA 10.7.3 Área inundada aguas abajo de la presa Teton e hidrograma de caudal de salida calculado en el sitio de presa (Fuente: Fread, 1977).
10 20 30 40 50 60 70 Distancia aguas abajo de la presa (millas)
* Una copia del programa de computador FLDW A V puede obtenerse del Hydrologic Research Laboratory, Office of Hydrology, NOAA, National Weather Service, Silver Spring, Maryland 20910.
0
Observado
- Calculado
FIGURA 10.7.5 Tiempo de tránsito para el caudal pico durante la falla de la presa Teton (Fuente: Fread, 1977).
HIDROLOGÍA APLICADA
346
347
TRÁNSITO DE ONDA DINÁMICA 5,100
ac
Ax¡ (B + B )! +
=
ah¡ + 1
2 fl.rj
ac
5,000
aQi+
o
=
1
1
(10.A.3)
+1
o
(IO.A.4)
1
donde B 0 es el ancho en la superficie de la sección transversal de almacenamiento muerto por fuera del canal. Para la ecuación de momentum (M), los términos que dependen de hi + 1 y Qi + 1 en la ecuación (10.3.12) contribuyen a las derivadas, las cuales son
4,900
"' §
45.0 pulg. Los números de valores en la tabla 11.1.1 que caen en estos rangos son nA= 23 y ns = 19, luego P(A) = 23/69 = 0.333 y P(B) = 19/69 = 0.275. De la ecuación (11.1.3), la probabilidad de que la precipitación anual esté entre 35 y 45 pulg puede calcularse ahora ~ R ~
P(35.0
45.0 pulg)
=1-
P(R < 35.0)- P(R
1
=0.392 Ejemplo 11.1.2 Suponiendo que la precipitación anual en College Station es un proceso independiente, calcule la probabilidad de que haya dos años sucesivos con precipitación menor que 35.0 pulg. Compare esta probabilidad estimada con la frecuencia relativa de este evento en la información desde 1911 a 1979 (tabla 11.1.1 ).
11.2 FUNCIONES DE FRECUENCIA Y DE PROBABILIDAD Si las observaciones de una muestra están idénticamente distribuidas (cada valor de la muestra extraído de la misma distribución de probabilidad), éstas pueden ordenarse para formar un histograma de frecuencia. Primero, el rango factible de la variable aleatoria se divide en intervalos discretos, luego se cuenta el número de observaciones que cae en cada uno de los intervalos y finalmente el resultado se dibuja como una gráfica de barras, tal como se muestra en la figura 11.1.2b) para la precipitación anual en College Station. El ancho Ax del intervalo utilizado para construir el histograma de frecuencia se escoge tan pequeño como sea posible y de tal manera que caigan suficientes observaciones dentro de cada uno de los intervalos para que el histograma tenga una variación razonablemente suave en el rango de la información. Si el número de observaciones n; en el intervalo i, que cubre el rango [x;- ~x, x;], se divide por el número total de observaciones n, el resultado se conoce como la función de frecuencia relativa f.Jx):
Solución. Sea C el evento de que R < 35.0 pulg para dos años sucesivos. Del ejemplo 11.1.1, P(R < 35.0 pulg) = 0.333 y suponiendo una precipitación anual independiente,
= [P(R < 35.0 pulg)F = (0.333) 2 =0.111
70
70-
65
65-
60 55
60-
1\
50
1\~ 1\
:§ 45
\1
::l
IT"
,5o 40 e:
]
35
:§..
30 25
e
~
55 -
V\
n \Ai\ 1\
r~
1~
~
~
vv \
\ V \
\
V V
b(¡
:;
\A
50 45
R
J:
20
1
2015 -
10
10
~
5
o 1911
o
T
20
30
40
50
60
Año a) Precipitación anual.
70
80
= !2!. n
(11.2.1)
la cual, tal como en la ecuación ( 11.1.1 ), es una estimación de P(x;- Ax::::; X::::; x;), la probabilidad de que la variable aleatoria X caiga en el intervalo [x;- Ax, x¡]. El subíndice s indica que la función se calcula utilizando información de la muestra. La suma de los valores de las frecuencias relativas hasta un punto dado es la función de frecuencia acumulada Fs(x):
1
25
15 5
1
1
-~ 30
o. ·¡;
fs(X¡)
1
,5o 40 e: 'O ·¡; 35
1
En la información se observa que existen 9 pares de años sucesivos con precipitación menor que 35.0 pulg, de los 68 pares posibles; luego, utilizando un conteo directo, se podría estimar que P( C) = ncln = 9/68 = 0.132, aproximadamente el valor encontrado anteriormente suponiendo independencia.
Las probabilidades estimadas utilizando información de muestra, tal como en los ejemplos 11.1.1 y 11.1.2, son aproximadas debido a que dependen de valores específicos de las observaciones en una muestra de tamaño limitado. Una alternativa es ajustar una función de distribución de probabilidad a la información y luego determinar las probabilidades de los eventos utilizando esta función de distribución.
> 45.0)
= 1 - 0.333 - 0.275
P(C)
365
ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA
o
2 4 6 8 10 12 14 16
b)
Número de datos Histograma de frecuencia.
FIGURA 11.1.2 Precipitación anual en College Station, Texas, 1911-1979. El histograma de frecuencia se forma sumando el número de precipitaciones observadas que caen en cada intervalo.
i
Fs(x;) =
L fs(Xj)
(11.2.2)
j=l
Es un estimativo de P(X.::;; x;), la probabilidad acumulada de x;. Las funciones de frecuencia relativa y de frecuencia acumulada están definidas para una muestra; las funciones correspondientes para la población se aproximan como límites a medida que n -oo y ~x-o. En el límite la función de frecuencia relativa dividida por el intervalo de longitud ~x se convierte en la función de densidad de probabilidad f(x): f(x) = lim n~oo .ix~
fs(x) ~
(11.2.3)
364
HIDROLOGÍA APLICADA
Solución. Existen n = 79- 11 + 1 = 69 años de información. Sea A e! evento de que R < 35.0 pulg, B el evento de que R > 45.0 pulg. Los números de valores en la tabla 11.1.1 que caen en estos rangos son nA= 23 y ns = 19, luego P(A) = 23/69 = 0.333 y P(B) = 19/69 = 0.275. De la ecuación (11.1.3), la probabilidad de que la precipitación anual esté entre 35 y 45 pulg puede calcularse ahora ~ R ~
P(35.0
45.0 pulg)
=1-
P(R < 35.0)- P(R
1
=0.392 Ejemplo 11.1.2 Suponiendo que la precipitación anual en College Station es un proceso independiente, calcule la probabilidad de que haya dos años sucesivos con precipitación menor que 35.0 pulg. Compare esta probabilidad estimada con la frecuencia relativa de este evento en la información desde 1911 a 1979 (tabla 11.1.1 ).
11.2 FUNCIONES DE FRECUENCIA Y DE PROBABILIDAD Si las observaciones de una muestra están idénticamente distribuidas (cada valor de la muestra extraído de la misma distribución de probabilidad), éstas pueden ordenarse para formar un histograma de frecuencia. Primero, el rango factible de la variable aleatoria se divide en intervalos discretos, luego se cuenta el número de observaciones que cae en cada uno de los intervalos y finalmente el resultado se dibuja como una gráfica de barras, tal como se muestra en la figura 11.1.2b) para la precipitación anual en College Station. El ancho Ax del intervalo utilizado para construir el histograma de frecuencia se escoge tan pequeño como sea posible y de tal manera que caigan suficientes observaciones dentro de cada uno de los intervalos para que el histograma tenga una variación razonablemente suave en el rango de la información. Si el número de observaciones n; en el intervalo i, que cubre el rango [x;- ~x, x;], se divide por el número total de observaciones n, el resultado se conoce como la función de frecuencia relativa f.Jx):
Solución. Sea C el evento de que R < 35.0 pulg para dos años sucesivos. Del ejemplo 11.1.1, P(R < 35.0 pulg) = 0.333 y suponiendo una precipitación anual independiente,
= [P(R < 35.0 pulg)F = (0.333) 2 =0.111
70
70-
65
65-
60 55
60-
1\
50
1\~ 1\
:§ 45
\1
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IT"
,5o 40 e:
]
35
:§..
30 25
e
~
55 -
V\
n \Ai\ 1\
r~
1~
~
~
vv \
\ V \
\
V V
b(¡
:;
\A
50 45
R
J:
20
1
2015 -
10
10
~
5
o 1911
o
T
20
30
40
50
60
Año a) Precipitación anual.
70
80
= !2!. n
(11.2.1)
la cual, tal como en la ecuación ( 11.1.1 ), es una estimación de P(x;- Ax::::; X::::; x;), la probabilidad de que la variable aleatoria X caiga en el intervalo [x;- Ax, x¡]. El subíndice s indica que la función se calcula utilizando información de la muestra. La suma de los valores de las frecuencias relativas hasta un punto dado es la función de frecuencia acumulada Fs(x):
1
25
15 5
1
1
-~ 30
o. ·¡;
fs(X¡)
1
,5o 40 e: 'O ·¡; 35
1
En la información se observa que existen 9 pares de años sucesivos con precipitación menor que 35.0 pulg, de los 68 pares posibles; luego, utilizando un conteo directo, se podría estimar que P( C) = ncln = 9/68 = 0.132, aproximadamente el valor encontrado anteriormente suponiendo independencia.
Las probabilidades estimadas utilizando información de muestra, tal como en los ejemplos 11.1.1 y 11.1.2, son aproximadas debido a que dependen de valores específicos de las observaciones en una muestra de tamaño limitado. Una alternativa es ajustar una función de distribución de probabilidad a la información y luego determinar las probabilidades de los eventos utilizando esta función de distribución.
> 45.0)
= 1 - 0.333 - 0.275
P(C)
365
ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA
o
2 4 6 8 10 12 14 16
b)
Número de datos Histograma de frecuencia.
FIGURA 11.1.2 Precipitación anual en College Station, Texas, 1911-1979. El histograma de frecuencia se forma sumando el número de precipitaciones observadas que caen en cada intervalo.
i
Fs(x;) =
L fs(Xj)
(11.2.2)
j=l
Es un estimativo de P(X.::;; x;), la probabilidad acumulada de x;. Las funciones de frecuencia relativa y de frecuencia acumulada están definidas para una muestra; las funciones correspondientes para la población se aproximan como límites a medida que n -oo y ~x-o. En el límite la función de frecuencia relativa dividida por el intervalo de longitud ~x se convierte en la función de densidad de probabilidad f(x): f(x) = lim n~oo .ix~
fs(x) ~
(11.2.3)
366
HIDROLOGÍA APLICADA
367
EST ADÍSTTCA HIDROLÓGICA
La función de frecuencia acumulada se convierte en la función de distribución de probabilidad F(x), F(x)
x¡
p(x¡) = Jf(x)dx x¡- L\x
=
lim
F s(x)
(11.2.4)
n-+oo
Muestra
llx--+0
cuya derivada es la función de densidad de probabilidad
Población d) Función de densidad de probabilidad
a) Función de frecuencia relativa p(X¡)
f(x) = dF(x)
dx
f(x)
or
(11.2.5)
f.,(x¡)
Para un valor dado de x, F(x) es la probabilidad acumulada P(X::; x), y puede expresarse como la integral de la función de densidad de probabilidad sobre el rangoX::;x:
f
P(X :o; x) = F(x) =
o /(u) du
(11.2.6)
00
p(x;) = P(x; - .:lx :o; X :o; x;)
1
1
1
1
o
X
1 1
1
1
1
1
1
1
1
~
1
e) Función de distribución de probabilidad.._, 1
1 1
F(x)
1
:
1
1
1
1
1
Fs (X¡)
X
1
b) Función de frecuencia acumulada F,(x)
X;
1
- - - - - - - - - ---F(x¡)
0
Xi-1 X¡
o
X
X¡
X
lim F,(x¡)= F(x;) Ó,X-+ Ü
11+
00
FIGURA 1 1.2. 1 Funciones de frecuencia para la información de muestra y funciones de probabilidad para la población.
f(x) dx
Jx;-ax
= J:f(x) dx = F(x;)
1
1
donde u es una variable de integración auxiliar. Desde el punto de vista de ajuste de la información de la muestra a una distribución teórica, las cuatro funciones -frecuencia relativa fs (x) y frecuencia acumulada F. (x) para la muestra, y distribución de probabilidad F(x) y densidad de probabilidad f(x) para la población- pueden ordenarse en un ciclo, tal como se muestra en la figura 11.2.1. Empezando por la parte superior izquierda, a), la función de frecuencia relativa se calcula utilizando la datos de la muestra divididos en intervalos y acumulados para formar la función de frecuencia acumulada mostrada en la parte inferior izquierda, b). La función de distribución de probabilidad, en la parte inferior derecha, e), es el límite teórico de la función de frecuencia acumulada a medida que el tamaño de la muestra se vuelve infinitamente grande y el intervalo de la información infinitamente pequeño. La función de densidad de probabilidad, en la parte superior derecha, d), es el valor de la pendiente de la función de distribución para un valor específico de x. El ciclo puede cerrarse calculando un valor teórico de la función de frecuencia relativa, denominado la función de probabilidad incrementada:
= (x;
:.M
1
~
f:ax
f(x) dx
- F(x; - .:lx)
=F(x;)- F(x;- 1)
(11.2.7)
La comparación entre p(x;) y la función de frecuencia relativa observada f, (x;) para cada X¡ puede utilizarse como una medida del grado de ajuste de la distribución a la información.
Las funciones de frecuencia relativa, frecuencia acumulada y distribución de probabilidad son todas adimensionales y varían en el rango [0,1]. Sin embargo, como dF(x) es adimensional y dx tiene dimensiones de X, la función de densidad de probabilidadf(x) = dF(x)/dx tiene dimensiones de [X]- 1 y varía en el rango [0, oo]. La relación dF(x) = f (x) dx puede describirse diciendo que f (x) representa la "densidad" o "concentración" de probabilidad en el intervalo [x, x + dx]. Una de las funciones de densidad de probabilidad más conocidas es la familiar curva en forma de campana de la distribución normal: f(x) = -
1
-
.fiiru
exp [
(11.2.8)
366
HIDROLOGÍA APLICADA
367
EST ADÍSTTCA HIDROLÓGICA
La función de frecuencia acumulada se convierte en la función de distribución de probabilidad F(x), F(x)
x¡
p(x¡) = Jf(x)dx x¡- L\x
=
lim
F s(x)
(11.2.4)
n-+oo
Muestra
llx--+0
cuya derivada es la función de densidad de probabilidad
Población d) Función de densidad de probabilidad
a) Función de frecuencia relativa p(X¡)
f(x) = dF(x)
dx
f(x)
or
(11.2.5)
f.,(x¡)
Para un valor dado de x, F(x) es la probabilidad acumulada P(X::; x), y puede expresarse como la integral de la función de densidad de probabilidad sobre el rangoX::;x:
f
P(X :o; x) = F(x) =
o /(u) du
(11.2.6)
00
p(x;) = P(x; - .:lx :o; X :o; x;)
1
1
1
1
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X
1 1
1
1
1
1
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F(x)
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1
1
1
Fs (X¡)
X
1
b) Función de frecuencia acumulada F,(x)
X;
1
- - - - - - - - - ---F(x¡)
0
Xi-1 X¡
o
X
X¡
X
lim F,(x¡)= F(x;) Ó,X-+ Ü
11+
00
FIGURA 1 1.2. 1 Funciones de frecuencia para la información de muestra y funciones de probabilidad para la población.
f(x) dx
Jx;-ax
= J:f(x) dx = F(x;)
1
1
donde u es una variable de integración auxiliar. Desde el punto de vista de ajuste de la información de la muestra a una distribución teórica, las cuatro funciones -frecuencia relativa fs (x) y frecuencia acumulada F. (x) para la muestra, y distribución de probabilidad F(x) y densidad de probabilidad f(x) para la población- pueden ordenarse en un ciclo, tal como se muestra en la figura 11.2.1. Empezando por la parte superior izquierda, a), la función de frecuencia relativa se calcula utilizando la datos de la muestra divididos en intervalos y acumulados para formar la función de frecuencia acumulada mostrada en la parte inferior izquierda, b). La función de distribución de probabilidad, en la parte inferior derecha, e), es el límite teórico de la función de frecuencia acumulada a medida que el tamaño de la muestra se vuelve infinitamente grande y el intervalo de la información infinitamente pequeño. La función de densidad de probabilidad, en la parte superior derecha, d), es el valor de la pendiente de la función de distribución para un valor específico de x. El ciclo puede cerrarse calculando un valor teórico de la función de frecuencia relativa, denominado la función de probabilidad incrementada:
= (x;
:.M
1
~
f:ax
f(x) dx
- F(x; - .:lx)
=F(x;)- F(x;- 1)
(11.2.7)
La comparación entre p(x;) y la función de frecuencia relativa observada f, (x;) para cada X¡ puede utilizarse como una medida del grado de ajuste de la distribución a la información.
Las funciones de frecuencia relativa, frecuencia acumulada y distribución de probabilidad son todas adimensionales y varían en el rango [0,1]. Sin embargo, como dF(x) es adimensional y dx tiene dimensiones de X, la función de densidad de probabilidadf(x) = dF(x)/dx tiene dimensiones de [X]- 1 y varía en el rango [0, oo]. La relación dF(x) = f (x) dx puede describirse diciendo que f (x) representa la "densidad" o "concentración" de probabilidad en el intervalo [x, x + dx]. Una de las funciones de densidad de probabilidad más conocidas es la familiar curva en forma de campana de la distribución normal: f(x) = -
1
-
.fiiru
exp [
(11.2.8)
368
HIDROLOGÍA APLICADA
J.L z=-X-
TABLA 11.2.1
Probabilidad acumulada de la distribución normal estándar .00
.01
.02
.03
.04
.os
.06
.07
.08
.09
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554
0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591
0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628
0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664
0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700
0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736
0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772
0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808
0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844
0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.6915 0.7257 0.7580 o. 7881 0.8159
0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186
0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212
0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238
0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264
0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289
0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315
0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340
0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365
0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192
0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207
0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222
0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236
0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251
0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265
0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279
0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292
0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306
0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713
0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719
0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726
0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732
0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738
0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744
0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750
0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756
0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761
0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4
0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918
0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920
0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922
0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925
0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927
0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929
0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931
0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932
0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934
0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981
0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982
0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982
0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983
0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984
0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984
0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985
0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985
0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986
0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986
0.3
3.0 3.1 3.2 3.3 3.4
0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997
0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997
0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997
0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997
0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997
0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997
0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997
0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997
0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997
0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998
0.2
Fuente: Grant, E. L., y R. S. Leavenworth, Statistical Quality and Control, tabla A. p. 643, McGraw-Hill. New York,' 1972. Utilizada con autorización.
(11.2.9)
u
La distribución normal estándar correspondiente tiene la siguiente función de densidad de probabilidad
/( z ) = -1- e __- 2/2
-oo:::;z
~
:::;
(11.2.10)
00
la cual depende solamente del valor z y se encuentra graficada en la figura 11.2.2. La función de distribución de probabilidad normal estándar, F(z)
=
r
-1- e-" 212
du
(11.2.11)
-~ ~
donde u es una variable de integración auxiliar, no tiene forma analítica. Sus valores están tabulados en la tabla 11.2.1 y pueden aproximarse mediante el siguiente polinomio (Abramowitz y Stegun, 1965):
1 B = 2[1
+ 0.196854lzl + 0.115194lzl 2 + 0.000344Izl 3 + 0.019527lzl 4] - 4 (11.2.12a)
donde lzl es el valor absoluto de z y la distribución normal estándar tiene F(z) =B
para
z 0), la información está desviada hacia la derecha, con sólo un pequeño número de valores grandes; para una asimetría negativa (y< 0), la información está desviada hacia la izquierda. Si la datos tienen una asimetría pronunciada, un pequeño número de valores extremos causa un efecto significativo en la media aritmética calculada mediante la ecuación (11.3.2), luego son apropiadas medidas alternativas de la tendencia central, tales como la mediana o la media geométrica listadas en la tabla 11.3.1. Ejemplo 11.3.1 Calcule la media de la muestra, la desviación estándar de la muestra y el coeficiente de asimetría de la muestra de la información de precipitación anual en College Station, Texas, desde 1970 hasta 1979. La información está dada en la tabla 11.1.1.
Solución. Los valores de precipitación anual desde 1970 hasta 1979 se muestran en la columna 2 de la tabla 11.3.2. Utilizando la ecuación (11.3.2) la media es
-
(11.3.6)
1t
1
X=-
n
Un estimativo de la muestra de y está dado por:
~
L...,
X¡
i=l
401.7
10
= 40.17 pulg. i=l
(11.3.7)
(n- l)(n- l)s 3
TABLA 11.3.2
Cálculo de las estadísticas de muestra para la precipitación anual en College Station, 1970-1979 (pulg) (ejemplo 11.3.1) Cs= O
Columna:
...-Pequeña cr
X
a) Desviación estándar cr.
X
b) Coeficiente de asimetría Cs.
FIGURA 11.3.1 Efectos en la función de densidad de probabilidad causados por cambios en la desviación estándar y en el coeficiente de asimetría.
1 año 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 Total
2 Precipitación x 33.9 31.7 31.5 59.6 50.5 38.6 43.4 28.7 32.0 51.8 401.7
3
4
(x- x) 2
(x- x} 3
39.3 71.7 75.2 377.5 106.7 2.5 10.4 131.6 66.7 135.3 1,016.9
-246.5 -607.6 -651.7 7,335.3 1,102.3 -3.9 33.7 -1,509.0 -545.3 1,573.0 6,480.3
372
HIDROLOGÍA APLICADA
El valor estimado de la muestra de la varianza está dado por
s2
= _1_
n- 1
373
ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA
o
i(x¡- x)2
(11.3.4)
i=J
en la cual el divisor es n - 1 en lugar de n para asegurar que la estadística de la muestra no sea sesgada, es decir, que no tenga una tendencia, en promedio, a ser mayor o menor que el valor verdadero. La varianza tiene dimensiones de [X]2. La desviación estándar u es una medida de la variabilidad que tiene las mismas dimensiones de X. La cantidad de u es la raíz cuadrada de la varianza y se estima por s. El significado de la desviación estándar se ilustra en la figura 11.3.la); a medida que la desviación estándar aumenta, aumenta la dispersión de la información. El coeficiente de variación CV = ulf-t, estimado por s/X, es una medida adimensional de la variabilidad. La simetría de una distribución alrededor de la media se mide utilizando la asimetría (oblicuidad) la cual es el tercer momento alrededor de la media:
(11.3.5) La asimetría normalmente se construye en forma adimensional dividiendo la ecuación (11.3.5) por u-1 para dar el coeficiente de asimetría y:
(11.3.8) Tal como se muestra en la figura 11.3.lb), para la asimetría positiva (y> 0), la información está desviada hacia la derecha, con sólo un pequeño número de valores grandes; para una asimetría negativa (y< 0), la información está desviada hacia la izquierda. Si la datos tienen una asimetría pronunciada, un pequeño número de valores extremos causa un efecto significativo en la media aritmética calculada mediante la ecuación (11.3.2), luego son apropiadas medidas alternativas de la tendencia central, tales como la mediana o la media geométrica listadas en la tabla 11.3.1. Ejemplo 11.3.1 Calcule la media de la muestra, la desviación estándar de la muestra y el coeficiente de asimetría de la muestra de la información de precipitación anual en College Station, Texas, desde 1970 hasta 1979. La información está dada en la tabla 11.1.1.
Solución. Los valores de precipitación anual desde 1970 hasta 1979 se muestran en la columna 2 de la tabla 11.3.2. Utilizando la ecuación (11.3.2) la media es
-
(11.3.6)
1t
1
X=-
n
Un estimativo de la muestra de y está dado por:
~
L...,
X¡
i=l
401.7
10
= 40.17 pulg. i=l
(11.3.7)
(n- l)(n- l)s 3
TABLA 11.3.2
Cálculo de las estadísticas de muestra para la precipitación anual en College Station, 1970-1979 (pulg) (ejemplo 11.3.1) Cs= O
Columna:
...-Pequeña cr
X
a) Desviación estándar cr.
X
b) Coeficiente de asimetría Cs.
FIGURA 11.3.1 Efectos en la función de densidad de probabilidad causados por cambios en la desviación estándar y en el coeficiente de asimetría.
1 año 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 Total
2 Precipitación x 33.9 31.7 31.5 59.6 50.5 38.6 43.4 28.7 32.0 51.8 401.7
3
4
(x- x) 2
(x- x} 3
39.3 71.7 75.2 377.5 106.7 2.5 10.4 131.6 66.7 135.3 1,016.9
-246.5 -607.6 -651.7 7,335.3 1,102.3 -3.9 33.7 -1,509.0 -545.3 1,573.0 6,480.3
374
HIDROLOGÍA APLICADA
Los cuadrados de las desviaciones de la media se muestran en la columna 3 de la tabla, totalizando 1,016.9 pulg 2 • De la ecuación (11.3.4)
sz = _1_ n-I
~ (x; -
.L..
/
x)z
ll
""
=_tf(x)dx (primer momento alrededor del origen)
!l ~ ·:~"'
i=l
1,016.9
=
375
ESTA DÍSTICA HIDROLÓGICA
9 = 113.0 pulg'
La desviación estándar es
1--x--1 S
= (113.0) 1/Z
=
\
10.63 pulg
a)
x
Brazo de momento
Función de densidad de probabilidad.
Los cubos de la desviación de la media se muestran en la columna 4 de la tabla 11.3.2, totalizando 6,480.3. Utilizando la ecuación (11.3.7)
n
Cs
x =L
= __i_=_l_ _ __
i =1
(n - l)(n - 2)s3
"masa"
10
=
9
X
6,480.3 8 X (10.63)3 X
= 0.749
_Lx; (primer momento alrededor del origen) n
_1_
n
l~x;~l
X
""-Brazo de momento b)
11.4 AJUSTE A UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Una distribución de probabilidad es una función que representa la probabilidad de ocurrencia de una variable aleatoria. Mediante el ajuste a una distribución de un conjunto de datos hidrológicos, una gran cantidad de información probabilística en la muestra puede resumirse en forma compacta en la función y en sus parámetros asociados. El ajuste de distribuciones puede llevarse a cabo por el método de los momentos o el método de la máxima verosimilitud.
Método de los momentos El mét~_?do de los momentos fue desarrollado por primera vez por Karl Pearson en 1902. El consideró que unos buenos estimativos de los parámetros de una función de probabilidad son aquellos para los cuales los momentos de la función de densidad de probabilidad alrededor del origen son iguales a los momentos correspondientes de la información de la muestra. Tal como se muestra en la figura 11.4.1, si a cada uno de los valores de la información se le asigna una "masa" hipotética igual a su frecuencia relativa de ocurrencia (1/n) y si se imagina que este sistema de masas se rota alrededor del origen x = O, entonces el primer momento de cada observación X; alrededor del origen es el producto de su brazo de momento X; y de su masa 1/n, y la suma de estos momentos para toda la información es la media de la muestra. Esto
Información de la muestra.
FIGURA 11.4.1 El método de los momentos selecciona valores para los parámetros de la función de densidad de probabilidad de tal manera que sus momentos son iguales a aquellos de la información de la muestra. n
l
n
L ~=-LX;= X n n i=l
i=1
es equivalente al centroide de un cuerpo. El centroide correspondiente de la función de probabilidad es ¡..t =
[oo xf(x) dx
(11.4.1)
Igualmente, los segundo y tercer momentos en la distribución de probabilidad pueden igualarse a los valores de la muestra para determinar los valores de los parámetros de la distribución de probabilidad. Originalmente Pearson consideró solamente momentos alrededor del origen, pero posteriormente se volvió común el uso de la varianza como el segundo momento central, if2 = E[(x- ¡..t) 2], y el coeficiente de asin:etría como el tercer momento central estandarizado, y= E[ (x - ¡..t ) 3 Vcr', para determmar el segundo y el tercer parámetro de la distribución si se requería.
374
HIDROLOGÍA APLICADA
Los cuadrados de las desviaciones de la media se muestran en la columna 3 de la tabla, totalizando 1,016.9 pulg 2 • De la ecuación (11.3.4)
sz = _1_ n-I
~ (x; -
.L..
/
x)z
ll
""
=_tf(x)dx (primer momento alrededor del origen)
!l ~ ·:~"'
i=l
1,016.9
=
375
ESTA DÍSTICA HIDROLÓGICA
9 = 113.0 pulg'
La desviación estándar es
1--x--1 S
= (113.0) 1/Z
=
\
10.63 pulg
a)
x
Brazo de momento
Función de densidad de probabilidad.
Los cubos de la desviación de la media se muestran en la columna 4 de la tabla 11.3.2, totalizando 6,480.3. Utilizando la ecuación (11.3.7)
n
Cs
x =L
= __i_=_l_ _ __
i =1
(n - l)(n - 2)s3
"masa"
10
=
9
X
6,480.3 8 X (10.63)3 X
= 0.749
_Lx; (primer momento alrededor del origen) n
_1_
n
l~x;~l
X
""-Brazo de momento b)
11.4 AJUSTE A UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Una distribución de probabilidad es una función que representa la probabilidad de ocurrencia de una variable aleatoria. Mediante el ajuste a una distribución de un conjunto de datos hidrológicos, una gran cantidad de información probabilística en la muestra puede resumirse en forma compacta en la función y en sus parámetros asociados. El ajuste de distribuciones puede llevarse a cabo por el método de los momentos o el método de la máxima verosimilitud.
Método de los momentos El mét~_?do de los momentos fue desarrollado por primera vez por Karl Pearson en 1902. El consideró que unos buenos estimativos de los parámetros de una función de probabilidad son aquellos para los cuales los momentos de la función de densidad de probabilidad alrededor del origen son iguales a los momentos correspondientes de la información de la muestra. Tal como se muestra en la figura 11.4.1, si a cada uno de los valores de la información se le asigna una "masa" hipotética igual a su frecuencia relativa de ocurrencia (1/n) y si se imagina que este sistema de masas se rota alrededor del origen x = O, entonces el primer momento de cada observación X; alrededor del origen es el producto de su brazo de momento X; y de su masa 1/n, y la suma de estos momentos para toda la información es la media de la muestra. Esto
Información de la muestra.
FIGURA 11.4.1 El método de los momentos selecciona valores para los parámetros de la función de densidad de probabilidad de tal manera que sus momentos son iguales a aquellos de la información de la muestra. n
l
n
L ~=-LX;= X n n i=l
i=1
es equivalente al centroide de un cuerpo. El centroide correspondiente de la función de probabilidad es ¡..t =
[oo xf(x) dx
(11.4.1)
Igualmente, los segundo y tercer momentos en la distribución de probabilidad pueden igualarse a los valores de la muestra para determinar los valores de los parámetros de la distribución de probabilidad. Originalmente Pearson consideró solamente momentos alrededor del origen, pero posteriormente se volvió común el uso de la varianza como el segundo momento central, if2 = E[(x- ¡..t) 2], y el coeficiente de asin:etría como el tercer momento central estandarizado, y= E[ (x - ¡..t ) 3 Vcr', para determmar el segundo y el tercer parámetro de la distribución si se requería.
376
HIDROLOGÍA APLICADA
Ejemplo 11.4.1 La distribución exponencial puede utilizarse para describir varios tipos de información hidrológica, tales como los tiempos de interarribo de eventos de lluvia. Su función de densidad de probabilidad es f(x) = Áe-u para x > O. Determine la relación entre el parámetro Á y el primer momento alrededor del origen, IL·
377
ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA
Ejemplo 11.4.2 Los siguientes datos contienen los tiempos observados entre eventos de lluvia en un lugar dado. Suponiendo que el tiempo de interarribo de eventos de lluvia sigue una función exponencial, determine el parámetro Á para este proceso utilizando el método de la máxima verosimilitud. Los tiempos entre lluvias (días) son: 2.40, 4.25, 0.77, 13.32, 3.55 y 1.37.
Solución: Utilizando la ecuación (11.4.1), Solución. Para un valor dado X;, la densidad de probabilidad exponencial es J.L
= E(x) = [, xf(x) dx luego, de la ecuación (11.4.3), la función logaritmo de verosimilitud es ln L =¿In (f(x;)] i=l
la cual puede integrarse por partes para arrojar 1
=
J.L=-¡_
¿
ln (Ae-.u1)
i=l
En este caso Á = 1/¡.L, y el estimativo de muestra para Á es 1/.X. Como algo interesante, puede observarse que la función de densidad de probabilidad exponencial f(x) = Áe-u y la función impulso respuesta para un embalse lineal (véase el ejemplo 7.2. 1) u(l) = (1/ k)e -I/ k son idénticas si x = 1 y Á = 11k. En este sentido, la distribución exponencial puede entenderse como la función que describe la probabilidad del "tiempo de retención" del agua en un embalse lineal.
n
=
¿
(lnA- Ax;)
i=l n
=n lnA- A¿x; i=l
Método de la máxima verosimilitud
El máximo valor de In L ocurre cuando a(ln L)lt1Á = O; es decir, cuando
El método de la máxima verosimilitud fue desarrollado por R. A. Fisher (1922). Él razonó que el mejor valor de un parámetro de una distribución de probabilidad debería ser el valor que maximizara la verosimilitud o probabilidad conjunta de ocurrencia de la muestra observada. Supóngase que el espacio muestra! se divide en intervalos de longitud dx y se toma una muestra de observaciones independientes e idénticamente distribuidas x 1, x 2 , ••• , x •. El valor de la densidad de probabilidad para X = X¡ es f (x¡), y la probabilidad de que la variable aleatoria ocurra en el intervalo que incluye X¡ es f(x¡) dx. Debido a que las observaciones son independientes, su probabilidad de ocurrencia conjunta está dada por la ecuación ( 11.1.5) como el producto f (x 1) dx f (x2 ) dx ... f (x.)dx = [TI 7= d (x¡)] dx", y puesto que el tamaño del intervalo dx es fijo, el maximizar la probabilidad conjunta de la muestra observada es equivalente a maximizar !a función de verosimilitud n
L
(11.4.2)
nt(x;) i= 1
Debido a que muchas funciones de densidad de probabilidad son exponenciales, algunas veces es conveniente trabajar con la función logaritmo de la verosimilitud
a(ln L) = aA
!!__~X· A
= ¿ In i=l
=O
i=l
luego
i=l
A=_!_ X
Este es el mismo estimador de la muestra para A. que el producido por el método de los momentos. En este caso, x = (2.40 + 4.25 + 0.77 + 13.22 + 3.55 + 1.37)/6 = 25.56/6 = 4.28 días, luego Á = 1/4.28 = 0.234 día- 1• Nótese que t12(ln L)!aÁ 2 = -nÁ 2 , lo que es negativo tal como ·se requiere en un máximo. El valor de la función logaritmo de verosimilitud puede calcularse para cualquier valor de Á. Por ejemplo, para Á =0.234 día- 1, el valor de la función logaritmo de verosimilitud es n
¿
ln L = n ln A - A
n
In L
¿'
X;
i=l
[f(x;)]
(11.4.3)
=61n (0.234)- 0.234 x 25.56
= -14.70
376
HIDROLOGÍA APLICADA
Ejemplo 11.4.1 La distribución exponencial puede utilizarse para describir varios tipos de información hidrológica, tales como los tiempos de interarribo de eventos de lluvia. Su función de densidad de probabilidad es f(x) = Áe-u para x > O. Determine la relación entre el parámetro Á y el primer momento alrededor del origen, IL·
377
ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA
Ejemplo 11.4.2 Los siguientes datos contienen los tiempos observados entre eventos de lluvia en un lugar dado. Suponiendo que el tiempo de interarribo de eventos de lluvia sigue una función exponencial, determine el parámetro Á para este proceso utilizando el método de la máxima verosimilitud. Los tiempos entre lluvias (días) son: 2.40, 4.25, 0.77, 13.32, 3.55 y 1.37.
Solución: Utilizando la ecuación (11.4.1), Solución. Para un valor dado X;, la densidad de probabilidad exponencial es J.L
= E(x) = [, xf(x) dx luego, de la ecuación (11.4.3), la función logaritmo de verosimilitud es ln L =¿In (f(x;)] i=l
la cual puede integrarse por partes para arrojar 1
=
J.L=-¡_
¿
ln (Ae-.u1)
i=l
En este caso Á = 1/¡.L, y el estimativo de muestra para Á es 1/.X. Como algo interesante, puede observarse que la función de densidad de probabilidad exponencial f(x) = Áe-u y la función impulso respuesta para un embalse lineal (véase el ejemplo 7.2. 1) u(l) = (1/ k)e -I/ k son idénticas si x = 1 y Á = 11k. En este sentido, la distribución exponencial puede entenderse como la función que describe la probabilidad del "tiempo de retención" del agua en un embalse lineal.
n
=
¿
(lnA- Ax;)
i=l n
=n lnA- A¿x; i=l
Método de la máxima verosimilitud
El máximo valor de In L ocurre cuando a(ln L)lt1Á = O; es decir, cuando
El método de la máxima verosimilitud fue desarrollado por R. A. Fisher (1922). Él razonó que el mejor valor de un parámetro de una distribución de probabilidad debería ser el valor que maximizara la verosimilitud o probabilidad conjunta de ocurrencia de la muestra observada. Supóngase que el espacio muestra! se divide en intervalos de longitud dx y se toma una muestra de observaciones independientes e idénticamente distribuidas x 1, x 2 , ••• , x •. El valor de la densidad de probabilidad para X = X¡ es f (x¡), y la probabilidad de que la variable aleatoria ocurra en el intervalo que incluye X¡ es f(x¡) dx. Debido a que las observaciones son independientes, su probabilidad de ocurrencia conjunta está dada por la ecuación ( 11.1.5) como el producto f (x 1) dx f (x2 ) dx ... f (x.)dx = [TI 7= d (x¡)] dx", y puesto que el tamaño del intervalo dx es fijo, el maximizar la probabilidad conjunta de la muestra observada es equivalente a maximizar !a función de verosimilitud n
L
(11.4.2)
nt(x;) i= 1
Debido a que muchas funciones de densidad de probabilidad son exponenciales, algunas veces es conveniente trabajar con la función logaritmo de la verosimilitud
a(ln L) = aA
!!__~X· A
= ¿ In i=l
=O
i=l
luego
i=l
A=_!_ X
Este es el mismo estimador de la muestra para A. que el producido por el método de los momentos. En este caso, x = (2.40 + 4.25 + 0.77 + 13.22 + 3.55 + 1.37)/6 = 25.56/6 = 4.28 días, luego Á = 1/4.28 = 0.234 día- 1• Nótese que t12(ln L)!aÁ 2 = -nÁ 2 , lo que es negativo tal como ·se requiere en un máximo. El valor de la función logaritmo de verosimilitud puede calcularse para cualquier valor de Á. Por ejemplo, para Á =0.234 día- 1, el valor de la función logaritmo de verosimilitud es n
¿
ln L = n ln A - A
n
In L
¿'
X;
i=l
[f(x;)]
(11.4.3)
=61n (0.234)- 0.234 x 25.56
= -14.70
378
HIDROLOGÍA APLICADA
379
ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA
-14.6
a elevar al cuadrado la diferencia entre el número de ocurrencias observadas y esperadas, dividiendo por el número de ocurrencias esperadas en el intervalo y sumando el resultado para todos los intervalos. Para describir la prueba X2 , debe definirse la distribución de probabilidad X 2 • Una distribución X2 con v grados de libertad es la distribución para la suma de los cuadrados de v variables aleatorias normales estándar independientes z;; esta suma es la variable aleatoria
-14.8 -15.0 "O
:::1
:E
:~
-15.2 1
~> -15.6 -15.8 "O
"
01)
o ,...¡
1
-15.4
n
1
: 1nL= ninA.-A.Lx, i =
1
1
Estimativo de__..: = 6ln A.- 25.6/... máxima verosimilitud : de A. A.= 0.234
V
1
-16.0 -16.2 -16.4 0.10
0.30
0.20
(11.4.5)
0.40
FIGURA 11.4.2 Función logaritmo de verosimilitud para una distribución exponencial (ejemplo 11.4.2).
La figura 11.4.2 muestra la variación de la función logaritmo de verosimilitud con respecto a Á, con un valor máximo de Á = 0.234 día- 1 tal como se determinó analíticamente.
El método de la máxima verosimilitud teóricamente es el más correcto para ajustar distribuciones de probabilidad a información en el sentido de que produce los estimativos de parámetros más eficientes, aquellos que estiman los parámetros de la población con los menores errores promedio. Pero, para algunas distribuciones de probabilidad, no existe solución analítica para todos los parámetros en términos de las estadísticas de la muestra y la función logaritmo de verosimilitud debe maximizarse numéricamente, lo cual puede ser bastante difícil. En general, el método de los momentos es más fácil de aplicar que el método de la máxima verosimilitud y es más apropiado para análisis prácticos en hidrología.
Prueba de la bondad del ajuste
La función de distribución X2 está tabulada en muchos textos de estadística (por ejemplo, Haan, 1977). En la prueba X 2 , v =m- p- 1, donde m es el número de intervalos tal como se describió anteriormente y p es el número de parámetros utilizado en el ajuste de la distribución propuesta. Se escoge un nivel de confianza para la prueba; éste usualmente se expresa como 1 - a., donde a. se conoce como el nivel de significancia. Un valor típico para el nivel de confianza es del 95%. La hipótesis nula para la prueba es que la distribución de probabilidad propuesta ajusta adecuadamente la información. Esta hipótesis se rechaza (es decir, el ajuste se considera como inadecuado) si el valor de X?: en (11.4.4) es mayor que un valor límite, X~, 1 _ "', determinado de la distribución X 2 con V grados de libertad COmO el valor que tiene una probabilidad acumulada de 1 -a. Ejemplo 11.4.3 Usando el método de los momentos, ajuste la distribución normal a la precipitación anual en College Station, Texas, de 1911 a 1979 (tabla 11.1.1 ). Grafique las funciones de frecuencia relativa y de probabilidad incremental, y las funciones de frecuencia acumulada y probabilidad acumulada. Utilice la prueba X 2 para determinar si la distribución normal se ajusta adecuadamente a los datos.
Solución. El rango de precipitación R se divide en 10 intervalos. El primer intervalo es R ~ 20 pulg, el último intervalo es R > 60 pulg y cada uno de los intervalos intermedios cubre un rango de 5 pulg. Examinando la tabla 11.1.1 puede recopilarse el histograma de frecuencias, tal como se muestra en la columna 2 de la tabla 11.4.1. La función de frecuencia relativa f s(X;) (columna 3) se calcula utilizando la ecuación (11.2.1) con n = 69. Por ejemplo, para i = 4 (30- 35 pulg), n; = 14, y
La bondad del ajuste de una distribución de probabilidad puede probarse comparando los valores teóricos y muestrales de las funciones de frecuencia relativa o de frecuencia acumulada. En el caso de la función de frecuencia relativa se utiliza la prueba X 2 . El valor muestra! de la frecuencia relativa del intervalo i es, de la ecuación (11. 2.1), f..(x¡) = n;ln; el valor teórico de (11. 2. 7) es p(x;) = F(x¡) - F(x; _ 1 • La prueba estadística, X2 , xl, está dada por
Kc
=
i i=1
n[f"s(x¡)- p(x¡)f p(X¡)
(11.4.4)
14 69 =0.203 La función de frecuencia acumulada (columna 4) se encuentra sumando las frecuencias relativas tal como en la ecuación (11.2.2). Para i = 4 4
F 5 (X4) =
donde m es el número de intervalos. Debe notarse que nfs(x;) = n;, el número de ocurrencias observadas en el intervalo i, y np(x;) es el correspondiente número esperado de ocurrencias en el intervalo i; luego el cálculo de la ecuación (11.4.4) se limita
L
fs(Xj)
j=1
+ fs(X4) 0.130 + 0.203
= F s(XJ) =
378
HIDROLOGÍA APLICADA
379
ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA
-14.6
a elevar al cuadrado la diferencia entre el número de ocurrencias observadas y esperadas, dividiendo por el número de ocurrencias esperadas en el intervalo y sumando el resultado para todos los intervalos. Para describir la prueba X2 , debe definirse la distribución de probabilidad X 2 • Una distribución X2 con v grados de libertad es la distribución para la suma de los cuadrados de v variables aleatorias normales estándar independientes z;; esta suma es la variable aleatoria
-14.8 -15.0 "O
:::1
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-15.2 1
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01)
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1
-15.4
n
1
: 1nL= ninA.-A.Lx, i =
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1
Estimativo de__..: = 6ln A.- 25.6/... máxima verosimilitud : de A. A.= 0.234
V
1
-16.0 -16.2 -16.4 0.10
0.30
0.20
(11.4.5)
0.40
FIGURA 11.4.2 Función logaritmo de verosimilitud para una distribución exponencial (ejemplo 11.4.2).
La figura 11.4.2 muestra la variación de la función logaritmo de verosimilitud con respecto a Á, con un valor máximo de Á = 0.234 día- 1 tal como se determinó analíticamente.
El método de la máxima verosimilitud teóricamente es el más correcto para ajustar distribuciones de probabilidad a información en el sentido de que produce los estimativos de parámetros más eficientes, aquellos que estiman los parámetros de la población con los menores errores promedio. Pero, para algunas distribuciones de probabilidad, no existe solución analítica para todos los parámetros en términos de las estadísticas de la muestra y la función logaritmo de verosimilitud debe maximizarse numéricamente, lo cual puede ser bastante difícil. En general, el método de los momentos es más fácil de aplicar que el método de la máxima verosimilitud y es más apropiado para análisis prácticos en hidrología.
Prueba de la bondad del ajuste
La función de distribución X2 está tabulada en muchos textos de estadística (por ejemplo, Haan, 1977). En la prueba X 2 , v =m- p- 1, donde m es el número de intervalos tal como se describió anteriormente y p es el número de parámetros utilizado en el ajuste de la distribución propuesta. Se escoge un nivel de confianza para la prueba; éste usualmente se expresa como 1 - a., donde a. se conoce como el nivel de significancia. Un valor típico para el nivel de confianza es del 95%. La hipótesis nula para la prueba es que la distribución de probabilidad propuesta ajusta adecuadamente la información. Esta hipótesis se rechaza (es decir, el ajuste se considera como inadecuado) si el valor de X?: en (11.4.4) es mayor que un valor límite, X~, 1 _ "', determinado de la distribución X 2 con V grados de libertad COmO el valor que tiene una probabilidad acumulada de 1 -a. Ejemplo 11.4.3 Usando el método de los momentos, ajuste la distribución normal a la precipitación anual en College Station, Texas, de 1911 a 1979 (tabla 11.1.1 ). Grafique las funciones de frecuencia relativa y de probabilidad incremental, y las funciones de frecuencia acumulada y probabilidad acumulada. Utilice la prueba X 2 para determinar si la distribución normal se ajusta adecuadamente a los datos.
Solución. El rango de precipitación R se divide en 10 intervalos. El primer intervalo es R ~ 20 pulg, el último intervalo es R > 60 pulg y cada uno de los intervalos intermedios cubre un rango de 5 pulg. Examinando la tabla 11.1.1 puede recopilarse el histograma de frecuencias, tal como se muestra en la columna 2 de la tabla 11.4.1. La función de frecuencia relativa f s(X;) (columna 3) se calcula utilizando la ecuación (11.2.1) con n = 69. Por ejemplo, para i = 4 (30- 35 pulg), n; = 14, y
La bondad del ajuste de una distribución de probabilidad puede probarse comparando los valores teóricos y muestrales de las funciones de frecuencia relativa o de frecuencia acumulada. En el caso de la función de frecuencia relativa se utiliza la prueba X 2 . El valor muestra! de la frecuencia relativa del intervalo i es, de la ecuación (11. 2.1), f..(x¡) = n;ln; el valor teórico de (11. 2. 7) es p(x;) = F(x¡) - F(x; _ 1 • La prueba estadística, X2 , xl, está dada por
Kc
=
i i=1
n[f"s(x¡)- p(x¡)f p(X¡)
(11.4.4)
14 69 =0.203 La función de frecuencia acumulada (columna 4) se encuentra sumando las frecuencias relativas tal como en la ecuación (11.2.2). Para i = 4 4
F 5 (X4) =
donde m es el número de intervalos. Debe notarse que nfs(x;) = n;, el número de ocurrencias observadas en el intervalo i, y np(x;) es el correspondiente número esperado de ocurrencias en el intervalo i; luego el cálculo de la ecuación (11.4.4) se limita
L
fs(Xj)
j=1
+ fs(X4) 0.130 + 0.203
= F s(XJ) =
380
HIDROLOGÍA APLICADA
TABLA 11.4.1
y los valores calculados en forma similar para otros intervalos se muestran en la columna 7. Las funciones de frecuencia relativa!, (x;) y p(x;) de la tabla 11.4.1 se grafican en la figura 11.4.3a) y las funciones de frecuencia acumulada y de distribución de probabilidad F 5 (x;) y F(x) están graficadas en la figura 11.4.3b). Debido a la similitud de las dos funciones mostradas en cada una de las gráficas, es evidente que la distribución normal se ajusta muy bien a esta información de precipitación anual. Para verificar la bondad del ajuste, se calcula la prueba de estadística X 2 utilizando la ecuación (11.4.4). Para i = 4,
Ajuste de una distribución normal a la precipitación anual en College Station, Texas, 1911-1979 (ejemplo 11.4.3) Columna Rango (pulg)
Intervalo
~
•
< 20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
>60
2
3
4
5
6
7
8
n;
f.(xJ
F.(xJ
Zi
F(xJ
p(xJ
X~
1 2 6 14 11 16
0.014 0.029 0.087 0.203 0.159 0.232 0,145 0.072 0.043 0.014
0.014 0.043 0.130 0.333 0.493 0.725 0.870 0.942 0.986 1.000
0.015 0.053 0.144 0.301 0.510 0.716 0.868 0.952 0.986 1.000
0.015 0.038 0.090 0.158 0.209 0.206 0.151 0.084 0.034 0.014
0.004 0.147 0.008 0.891 0.805 0.222 0.019 0.114 0.163 0.004
lO
5 3 1
-2.157 -1.611 -1.065 -0.520 0.026 0.571 1.117 1.662 2.208 2.753
69 X(0.20290- 0.15777) 2
n[f5 (X4)- p(x4)j2
0.15777
p(x4)
=0.891 0.24 0.20
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Total
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1.000
1.000
2.377
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0.16
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39.77 Media Desviación estándar 9.17
"ü 0.12
"" ::l (.)
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=0.333
•
381
ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA
0.08 0.04
Puede notarse que esta es P(X S 35 .O pulg) tal como se usó en el ejemplo 11.1.1. Para ajustar la función de distribución normal, las estadísticas de la muestra =: 39.77 pulg y s =: 9.17 pulg se calculan de la información obtenida desde 1911 hasta 1979 en la forma mostrada en el ejemplo 11.3.1, y se usan como estimativos para J.L y a. La variable normal estándar z correspondiente al límite superior en cada uno de los intervalos de la información se calcula utilizando (11.2.9) y se muestra en la columna 5 de la tabla. Por ejemplo, para i =: 4,
0.00 25
<20
x
30
35
40
45
50
55
60
>65
Precipitación anual (pulg)
D Muestra, j,(x¡) O
Ajuste, p(x¡)
a) Función de frecuencia relativa.
1.0 0.9
x- J.L a
z=--
"' -a"'
0.8
::l
0.6
"O
35.0- 39.77 9.17 = -0.520
E
(.)
"'"' "ü "" ::l (.)
El valor correspondiente de la función de probabilidad normal acumulada está dado por (11.2.12) o en la tabla 11.2.1 como 0.301, tal como se muestra en la columna 6 de la tabla 11.4.1. La función de probabilidad incremental se calcula utilizando (11.2.7). Para i = 4,
"'
~
0.7 Distribución normal con JL = 39.77, a= 9.17
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 20
25
= F{35) -
30
35
40
45
50
55
60
>65
Precipitación anual (pulg)
p(x4) = P(30 ::::; X ::::; 35 pulg)
• Muestra, F,(x¡) -
F(30)
b)
Ajuste, F(x¡)
Función de frecuencia acumulada.
=0.301 - 0.144
FIGURA 11.4.3
=0.158
Funciones de frecuencia para una distribución normal ajustada a la precipitación anual en College Station, Texas (ejemplo 11.4.3).
380
HIDROLOGÍA APLICADA
TABLA 11.4.1
y los valores calculados en forma similar para otros intervalos se muestran en la columna 7. Las funciones de frecuencia relativa!, (x;) y p(x;) de la tabla 11.4.1 se grafican en la figura 11.4.3a) y las funciones de frecuencia acumulada y de distribución de probabilidad F 5 (x;) y F(x) están graficadas en la figura 11.4.3b). Debido a la similitud de las dos funciones mostradas en cada una de las gráficas, es evidente que la distribución normal se ajusta muy bien a esta información de precipitación anual. Para verificar la bondad del ajuste, se calcula la prueba de estadística X 2 utilizando la ecuación (11.4.4). Para i = 4,
Ajuste de una distribución normal a la precipitación anual en College Station, Texas, 1911-1979 (ejemplo 11.4.3) Columna Rango (pulg)
Intervalo
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>60
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8
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F.(xJ
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1 2 6 14 11 16
0.014 0.029 0.087 0.203 0.159 0.232 0,145 0.072 0.043 0.014
0.014 0.043 0.130 0.333 0.493 0.725 0.870 0.942 0.986 1.000
0.015 0.053 0.144 0.301 0.510 0.716 0.868 0.952 0.986 1.000
0.015 0.038 0.090 0.158 0.209 0.206 0.151 0.084 0.034 0.014
0.004 0.147 0.008 0.891 0.805 0.222 0.019 0.114 0.163 0.004
lO
5 3 1
-2.157 -1.611 -1.065 -0.520 0.026 0.571 1.117 1.662 2.208 2.753
69 X(0.20290- 0.15777) 2
n[f5 (X4)- p(x4)j2
0.15777
p(x4)
=0.891 0.24 0.20
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Total
69
1.000
1.000
2.377
""§
0.16
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39.77 Media Desviación estándar 9.17
"ü 0.12
"" ::l (.)
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=0.333
•
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ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA
0.08 0.04
Puede notarse que esta es P(X S 35 .O pulg) tal como se usó en el ejemplo 11.1.1. Para ajustar la función de distribución normal, las estadísticas de la muestra =: 39.77 pulg y s =: 9.17 pulg se calculan de la información obtenida desde 1911 hasta 1979 en la forma mostrada en el ejemplo 11.3.1, y se usan como estimativos para J.L y a. La variable normal estándar z correspondiente al límite superior en cada uno de los intervalos de la información se calcula utilizando (11.2.9) y se muestra en la columna 5 de la tabla. Por ejemplo, para i =: 4,
0.00 25
<20
x
30
35
40
45
50
55
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>65
Precipitación anual (pulg)
D Muestra, j,(x¡) O
Ajuste, p(x¡)
a) Función de frecuencia relativa.
1.0 0.9
x- J.L a
z=--
"' -a"'
0.8
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0.6
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35.0- 39.77 9.17 = -0.520
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(.)
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El valor correspondiente de la función de probabilidad normal acumulada está dado por (11.2.12) o en la tabla 11.2.1 como 0.301, tal como se muestra en la columna 6 de la tabla 11.4.1. La función de probabilidad incremental se calcula utilizando (11.2.7). Para i = 4,
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~
0.7 Distribución normal con JL = 39.77, a= 9.17
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 20
25
= F{35) -
30
35
40
45
50
55
60
>65
Precipitación anual (pulg)
p(x4) = P(30 ::::; X ::::; 35 pulg)
• Muestra, F,(x¡) -
F(30)
b)
Ajuste, F(x¡)
Función de frecuencia acumulada.
=0.301 - 0.144
FIGURA 11.4.3
=0.158
Funciones de frecuencia para una distribución normal ajustada a la precipitación anual en College Station, Texas (ejemplo 11.4.3).
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HIDROLOGÍA APLICADA
383
ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA
tal como se muestra en la columna 8 de la tabla 11.4.1. El valor total dado en la columna 8 es X~ = 2.3 77. El valor de X ;_ 1 -a para una probabilidad acumulada de 1 - a = O. 95 y v = m - p - 1 = 10 - 2 - 1 = 7 grados de libertad es X ~.o.9s = 14.1 (Abramowitz y Stegun, 1965). Como este valor es mayor que X~. la hipótesis nula (la distribución se ajusta a la información) no puede rechazarse con un nivel de confianza del 95%; el ajuste de la distribución normal a la información de precipitación anual de College Station se acepta. Si la distribución se hubiera ajustado pobremente, los valores de f,(x;) y p(x;) habrían sido bastante diferentes el uno del otro, resultando en un valor de X~ mayor que 14.1, en cuyo caso la hipótesis nula se hubiera rechazado. ~· 11
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Distribución normal
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Si la variable aleatoria Y = log X está normalmente distribuida, entonces se dice que X está distribuida en forma lognormal. Chow (1954) llegó a la conclusión de que esta distribución se aplica a variables hidrológicas formadas como productos d~ otras variables debido a que si X= X 1X2X3 •.• X no entonces Y = log X = L 7= 1 log X¡ = L 7= 1 Y¡,
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11
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....-----..
Distribución lognormal
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En la sección 11.4 se utilizó la distribución normal para describir la precipitación anual en College Station, Texas. A pesar de que esta distribución se ajusta particularmente bien a este conjunto de datos, observaciones de otras variables hidrológicas siguen distribuciones diferentes. En esta sección se presenta una selección de las distribuciones de probabilidad comúnmente utilizadas para variables hidrológicas y se dan ejemplos de los tipos de variables a los cuales se han aplicado dichas distribuciones. La tabla 11.5.1 resume, para cada distribución, la función de densidad de probabilidad y el rango de la variable, junto con las ecuaciones para estimar los parámetros de la distribución a partir de los momentos de la muestra .
La distribución normal surge del teorema del límite central, el cual establece que si una secuencia de variables aleatorias X¡ son independientes y están idénticamente distribuidas con media J.L y varianza u 2 , entonces la distribución de la suma de n de estas variables aleatorias, Y = L 7= 1 X;, tiende hacia la distribución normal con media nJ.L y varianza nu2 a medida que n aumenta. El punto importante es que esto es cierto sin importar cuál es la función de distribución de probabilidad de X. Así, por ~emplo, la distribución de probabilidad de la media de la muestra x = lln L ; = 1 X¡ puede aproximarse como una distribución normal con media J.L y varianza (I!n) 2 nu2 = u 2 /n sin importar cuál es la distribución de x. Las variables hidrológicas, como la precipitación anual, calculadas como la suma de los efectos de muchos eventos independientes tienden a seguir la distribución normal. Las principales limitaciones de la distribución normal en la descripción de variables hidrológicas son, por un lado, que ésta varía a lo largo de un rango continuo [-oo, oo], mientras que la mayor parte de las variables hidrológicas son no negativas, y por otro lado, que es simétrica alrededor de la media, mientras que la información hidrológica tiende a ser asimétrica.
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11.5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA LAS VARIABLES HIDROLÓGICAS
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382 HIDROLOGÍA APLICADA
tal como se muestra en la columna 8 de la tabla 11.4.1. El valor total dado en la columna 8 es X~ = 2.3 77. El valor de X ;_ 1 -a para una probabilidad acumulada de 1 - a = O. 95 y v = m - p - 1 = 10 - 2 - 1 = 7 grados de libertad es X ~.o.9s = 14.1 (Abramowitz y Stegun, 1965). Como este valor es mayor que X~. la hipótesis nula (la distribución se ajusta a la información) no puede rechazarse con un nivel de confianza del 95%; el ajuste de la distribución normal a la información de precipitación anual de College Stayor que 14.1, en cuyo caso la hipótesis nula se hubiera rechazado.
tion se acepta. Si la distribución se hubiera ajustado pobremente, los valores de f,(x;) y p(x;) habrían sido bastante diferentes el uno del otro, resultando en un valor de X~ ma-
11.5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA LAS VARIABLES HIDROLÓGICAS En la sección 11.4 se utilizó la distribución normal para describir la precipitación anual en College Station, Texas. A pesar de que esta distribución se ajusta particularmente bien a este conjunto de datos, observaciones de otras variables hidrológicas siguen distribuciones diferentes. En esta sección se presenta una selección de las distribuciones de probabilidad comúnmente utilizadas para variables hidrológicas y se dan ejemplos de los tipos de variables a los cuales se han aplicado dichas distribuciones. La tabla 11.5.1 resume, para cada distribución, la función de densidad de probabilidad y el rango de la variable, junto con las ecuaciones para estimar los parámetros de la distribución a partir de los momentos de la muestra .
Distribución normal La distribución normal surge del teorema del límite central, el cual establece que si una secuencia de variables aleatorias X¡ son independientes y están idénticamente distribuidas con media J.L y varianza u 2 , entonces la distribución de la suma de n de estas variables aleatorias, Y = L 7= 1 X;, tiende hacia la distribución normal con media nJ.L y varianza nu2 a medida que n aumenta. El punto importante es que esto es cierto sin importar cuál es la función de distribución de probabilidad de X. Así, por ~emplo, la distribución de probabilidad de la media de la muestra x = lln L ; = 1 X¡ puede aproximarse como una distribución normal con media J.L y varianza (I!n) 2 nu2 = u 2 /n sin importar cuál es la distribución de x. Las variables hidrológicas, como la precipitación anual, calculadas como la suma de los efectos de muchos eventos independientes tienden a seguir la distribución normal. Las principales limitaciones de la distribución normal en la descripción de variables hidrológicas son, por un lado, que ésta varía a lo largo de un rango continuo [-oo, oo], mientras que la mayor parte de las variables hidrológicas son no negativas, y por otro lado, que es simétrica alrededor de la media, mientras que la información hidrológica tiende a ser asimétrica.
Distribución lognormal Si la variable aleatoria Y = log X está normalmente distribuida, entonces se dice que X está distribuida en forma lognormal. Chow (1954) llegó a la conclusión de que esta distribución se aplica a variables hidrológicas formadas como productos d~ otras variables debido a que si X= X 1X2X3 •.• X no entonces Y = log X = L 7= 1 log X¡ = L 7= 1 Y¡,
ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA
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HIDROLOGÍA APLICADA
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ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA
385
lo cual tiende a la distribución normal para valores grandes de n siempre y cuando los X; sean independientes y estén idénticamente distribuidos. Se ha encontrado que la distribución lognormal describe la distribución de la conductividad hidráulica en un medio poroso (Freeze, 1975), la distribución de tamaño de gotas de lluvia en una tormenta y otras variables hidrológicas. La distribución lognormal tiene las ventajas sobre la distribución normal de que está limitada (X > O) y de que la transformación log tiende a reducir la asimetría positiva comúnmente encontrada en información hidrológica, debido a que al tomar logaritmos se reducen en una proporción mayor los números grandes que los número~ pequeños. Algunas limitaciones de la distribución lognormal son, por un lado, que tiene solamente dos parámetros y, por otro lado, que requiere que los logaritmos de los datos sean simétricos alrededor de su media.
Distribución exponencial
Algunas secuencias de eventos hidrológicos, como la ocurrencia de precipitación, pueden considerarse como procesos de Poisson, en los cuales los eventos ocurren instantánea e independientemente en un horizonte de tiempo, o a lo largo de una línea. El tiempo entre tales eventos, o tiempo de interarribo, está descrito por una distribución exponencial cuyo parámetro A es la tasa media de ocurrencia de los eventos. La distribución exponencial se utiliza para describir los tiempos de interarribo de choques aleatorios a sistemas hidrológicos, tales como volúmenes de escorrentía contaminada que entran en los ríos a medida que la lluvia lava los contaminantes localizados en la superficie del terreno. La ventaja de la distribución exponencial radica en que es fácil estimar Á a partir de la infomación observada y que la distribución exponencial se adapta muy bien a estudios teóricos, tales como un modelo de probabilidad para el embalse lineal (Á = 1/k, donde k es la constante de almacenamiento en el embalse lineal). Su desventaja es que requiere que la ocurrencia de cada evento sea completamente independiente de sus vecinos, lo cual puede ser un supuesto no válido para el proceso en estudio -por ejemplo, el arribo de un frente puede generar muchos procesos de lluvia- y esto ha llevado a los investigadores a estudiar varias formas de procesos de Poisson compuestos, en los cuales se considera como una variable aleatoria en lugar de una constante (Kavvas y Delleur, 1981; Waymire y Gupta, 1981). Á
Distribución gamma
El tiempo que toma la ocurrencia de un número {3 de eventos en un proceso de Poisson está descrito por la distribución gamma, la cual es la distribución de una suma de {3 variables aleatorias independientes e idénticas, distribuidas exponencialmente. La distribución gamma tiene una forma que varía suavemente similar a la función de densidad de probabilidad típica ilustrada en la figura 11.2.1 y es muy útil para la descripción de variables hidrológicas asimétricas sin el uso de la transformación log. Se ha aplicado a la descripción de la distribución de profundidades de precipitación en tormentas, por ejemplo. La distribución gamma incluye lafunción gamma f({3), lacualestádadaporf({3) = ({3- 1)! = ({3- 1)({3- 2) ... 3·2·1 para un entero positivo {3, y en general por
(11.5.1)
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HIDROLOGÍA APLICADA
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ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA
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lo cual tiende a la distribución normal para valores grandes de n siempre y cuando los X; sean independientes y estén idénticamente distribuidos. Se ha encontrado que la distribución lognormal describe la distribución de la conductividad hidráulica en un medio poroso (Freeze, 1975), la distribución de tamaño de gotas de lluvia en una tormenta y otras variables hidrológicas. La distribución lognormal tiene las ventajas sobre la distribución normal de que está limitada (X > O) y de que la transformación log tiende a reducir la asimetría positiva comúnmente encontrada en información hidrológica, debido a que al tomar logaritmos se reducen en una proporción mayor los números grandes que los número~ pequeños. Algunas limitaciones de la distribución lognormal son, por un lado, que tiene solamente dos parámetros y, por otro lado, que requiere que los logaritmos de los datos sean simétricos alrededor de su media.
Distribución exponencial Algunas secuencias de eventos hidrológicos, como la ocurrencia de precipitación, pueden considerarse como procesos de Poisson, en los cuales los eventos ocurren instantánea e independientemente en un horizonte de tiempo, o a lo largo de una línea. El tiempo entre tales eventos, o tiempo de interarribo, está descrito por una distribución exponencial cuyo parámetro A es la tasa media de ocurrencia de los eventos. La distribución exponencial se utiliza para describir los tiempos de interarribo de choques aleatorios a sistemas hidrológicos, tales como volúmenes de escorrentía contaminada que entran en los ríos a medida que la lluvia lava los contaminantes localizados en la superficie del terreno. La ventaja de la distribución exponencial radica en que es fácil estimar Á a partir de la infomación observada y que la distribución exponencial se adapta muy bien a estudios teóricos, tales como un modelo de probabilidad para el embalse lineal (Á = 1/k, donde k es la constante de almacenamiento en el embalse lineal). Su desventaja es que requiere que la ocurrencia de cada evento sea completamente independiente de sus vecinos, lo cual puede ser un supuesto no válido para el proceso en estudio -por ejemplo, el arribo de un frente puede generar muchos procesos de lluvia- y esto ha llevado a los investigadores a estudiar varias formas de procesos de Poisson compuestos, en los cuales Á se considera como una variable aleatoria en lugar de una constante (Kavvas y Delleur, 1981; Waymire y Gupta, 1981).
Distribución gamma El tiempo que toma la ocurrencia de un número {3 de eventos en un proceso de Poisson está descrito por la distribución gamma, la cual es la distribución de una suma de {3 variables aleatorias independientes e idénticas, distribuidas exponencialmente. La distribución gamma tiene una forma que varía suavemente similar a la función de densidad de probabilidad típica ilustrada en la figura 11.2.1 y es muy útil para la descripción de variables hidrológicas asimétricas sin el uso de la transformación log. Se ha aplicado a la descripción de la distribución de profundidades de precipitación en tormentas, por ejemplo. La distribución gamma incluye lafunción gamma f({3), lacualestádadaporf({3) = ({3- 1)! = ({3- 1)({3- 2) ... 3·2·1 para un entero positivo {3, y en general por
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HIDROLOGÍA APLICADA
(Abramowitz y Stegun, 1965). La distribución gamma de dos parámetros (parámetros f3 y Á) tiene como límite inferior cero, Jo cual es una desventaja para la aplicación a variables hidrológicas que tienen un límite inferior superior a cero.
Distribución Pearson tipo 111 La distribución Pearson tipo III, también llamada la distribución gamma de tres parámetros, introduce un tercer parámetro el límite inferior E, de tal manera que por el método de Jos momentos, los tres momentos de la muestra (la media, la desviación estándar y el coeficiente de asimetría) pueden transformarse en los tres parámetros Á, f3 y E de la distribución de probabilidad. Esta es una distribución muy flexible, que puede asumir diferentes formas a medida que Á, f3 y E varían (Bobee y Robitaille, 1977). El sistema de distribuciones Pearson incluye siete tipos; todos son soluciones para f(x) en una ecuación de la forma f(x)(x- d)
(11.5.2)
donde des la moda de la distribución (el valor de x para el cualf(x) es un máximo) y C 0 , C1 y C 2 son coeficientes que deben determinarse. Cuando Cz =O, la solución de la ecuación (11.5.2) es una distribución Pearson tipo III, con una función de densidad de probabilidad de la forma que se muestra en la tabla 11.5.1. Para C1 = Cz =O la solución de (11.5.2) es una distribución normal. Por tanto, la distribución normal es un caso especial de la distribución Pearson tipo III para describir una variable no asimétrica. La distribución Pearson tipo III se aplicó por primera vez en la hidrología por Foster ( 1924) para describir la distribución de probabilidad de picos de crecientes máximos anuales. Cuando la información es muy asimétrica positivamente, se utiliza una transformación log para reducir la asimetría.
Distribución log-Pearson tipo 111 Si log X sigue una distribución Pearson tipo 111, entonces se dice que X sigue una distribución log-Pearson tipo III. Esta es la distribución estándar para análisis de frecuencia de crecientes máximas anuales en los Estados Unidos (Benson, 1968), y su uso se describe en detalle en el capítulo 12. Como un caso especial, cuando log X es simétrico alrededor de su media, la distribución log-Pearson tipo III se reduce a la distribución lognormal. La localización del límite € en la distribución log-Pearson tipo III depende de la asimetría de la información. Si ésta tiene asimetría positiva, entonces log X ?: E y E es un límite inferior, mientras que si la información tiene asimetría negativa, Jog X :=::; E y E es un límite superior. La transformación log reduce la asimetría de la información transformada y puede producir información transformada con asimetría negativa utilizando información original con asimetría positiva. En este caso, la aplicación de la distribución log-Pearson tipo III impondría un límite superior artificial a la información. Dependiendo de los valores de los parámetros, la distribución log-Pearson tipo 111 puede asumir muchas formas diferentes, tal como se muestra en la tabla 11.5.2 (Bobee, 1975).
387
ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA
TABLA 11.5.2
Forma y localización de la moda para la distribución log-Pearson tipo 111 como una función de sus parámetros O
0<{3 1
Unimodal
Sin moda forma en J invertida
Unimodal
Fuente: Bobee. 1975.
Tal como se describió previamente, la distribución log- Pearson tipo 111 se desarrolló como un método para ajustar una curva a cierta información. Su uso está justificado porque se ha encontrado que arroja buenos resultados en muchas aplicaciones, particularmente para la información de picos de crecientes. El ajuste de la distribución a la información puede probarse utilizando la prueba X2 , o utilizando la graficación de probabilidad descrita en el capítulo 12.
Distribución de valor extremo Los valores extremos son valores máximos o mínimos seleccionados de conjuntos de datos. Por ejemplo, el caudal máximo anual en un lugar dado es el mayor caudal registrado durante un año y los valores de caudal máximo anual para cada año de registro histórico conforman un conjunto de valores extremos que puede analizarse estadísticamente. Fisher y Tippett (1928) han demostrado que las distribuciones de valores extremos seleccionados de conjuntos de muestras de cualquier distribución de probabili$d convergen en una de las tres formas de distribuciones de valor extremo, llamadas tipo 1, II y III respectivamente, cuando el número de valores extremos seleccionados es grande. Las propiedades de las tres formas limitantes fueron desarrolladas en mayor detalle por Gumbel (1941) para la distribución de Valor Extremo tipo I (EVI, por sus siglas en inglés), por Frechet (1927) para la distribución de Valor Extremo tipo 11 (EVII) y por Weibull (1939) para la distribución de Valor Extremo tipo III (EVIII). Jenkinson (1955) demostró que estas tres formas limitantes eran casos especiales de una distribución única llamada la distribución de Valor Extremo General (GEV, por sus siglas en inglés). La función de distribución de probabilidad para la GEVes F(x)
= exp
x-u) llk] [ - (1 - k -a-
(11.5 .3)
donde k, u y a son parámetros que deben ser determinados. Los tres casos Iimitantes son 1) para k= O, la distribución de Valor Extremo tipo 1, para la cual la función de densidad de probabilidad está dada en la tabla 11.5.1; 2) para k< O, la distribución de Valor Extremo tipo 11, para la cual (11.5.3) se aplica con (u + a/k) :=::; x :=::; oo, y 3) para k > O, la distribución de Valor
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HIDROLOGÍA APLICADA
(Abramowitz y Stegun, 1965). La distribución gamma de dos parámetros (parámetros f3 y Á) tiene como límite inferior cero, Jo cual es una desventaja para la aplicación a variables hidrológicas que tienen un límite inferior superior a cero.
Distribución Pearson tipo 111 La distribución Pearson tipo III, también llamada la distribución gamma de tres parámetros, introduce un tercer parámetro el límite inferior E, de tal manera que por el método de Jos momentos, los tres momentos de la muestra (la media, la desviación estándar y el coeficiente de asimetría) pueden transformarse en los tres parámetros Á, f3 y E de la distribución de probabilidad. Esta es una distribución muy flexible, que puede asumir diferentes formas a medida que Á, f3 y E varían (Bobee y Robitaille, 1977). El sistema de distribuciones Pearson incluye siete tipos; todos son soluciones para f(x) en una ecuación de la forma f(x)(x- d)
(11.5.2)
donde des la moda de la distribución (el valor de x para el cualf(x) es un máximo) y C 0 , C1 y C 2 son coeficientes que deben determinarse. Cuando Cz =O, la solución de la ecuación (11.5.2) es una distribución Pearson tipo III, con una función de densidad de probabilidad de la forma que se muestra en la tabla 11.5.1. Para C1 = Cz =O la solución de (11.5.2) es una distribución normal. Por tanto, la distribución normal es un caso especial de la distribución Pearson tipo III para describir una variable no asimétrica. La distribución Pearson tipo III se aplicó por primera vez en la hidrología por Foster ( 1924) para describir la distribución de probabilidad de picos de crecientes máximos anuales. Cuando la información es muy asimétrica positivamente, se utiliza una transformación log para reducir la asimetría.
Distribución log-Pearson tipo 111 Si log X sigue una distribución Pearson tipo 111, entonces se dice que X sigue una distribución log-Pearson tipo III. Esta es la distribución estándar para análisis de frecuencia de crecientes máximas anuales en los Estados Unidos (Benson, 1968), y su uso se describe en detalle en el capítulo 12. Como un caso especial, cuando log X es simétrico alrededor de su media, la distribución log-Pearson tipo III se reduce a la distribución lognormal. La localización del límite € en la distribución log-Pearson tipo III depende de la asimetría de la información. Si ésta tiene asimetría positiva, entonces log X ?: E y E es un límite inferior, mientras que si la información tiene asimetría negativa, Jog X :=::; E y E es un límite superior. La transformación log reduce la asimetría de la información transformada y puede producir información transformada con asimetría negativa utilizando información original con asimetría positiva. En este caso, la aplicación de la distribución log-Pearson tipo III impondría un límite superior artificial a la información. Dependiendo de los valores de los parámetros, la distribución log-Pearson tipo 111 puede asumir muchas formas diferentes, tal como se muestra en la tabla 11.5.2 (Bobee, 1975).
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TABLA 11.5.2
Forma y localización de la moda para la distribución log-Pearson tipo 111 como una función de sus parámetros O
0<{3 1
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Fuente: Bobee. 1975.
Tal como se describió previamente, la distribución log- Pearson tipo 111 se desarrolló como un método para ajustar una curva a cierta información. Su uso está justificado porque se ha encontrado que arroja buenos resultados en muchas aplicaciones, particularmente para la información de picos de crecientes. El ajuste de la distribución a la información puede probarse utilizando la prueba X2 , o utilizando la graficación de probabilidad descrita en el capítulo 12.
Distribución de valor extremo Los valores extremos son valores máximos o mínimos seleccionados de conjuntos de datos. Por ejemplo, el caudal máximo anual en un lugar dado es el mayor caudal registrado durante un año y los valores de caudal máximo anual para cada año de registro histórico conforman un conjunto de valores extremos que puede analizarse estadísticamente. Fisher y Tippett (1928) han demostrado que las distribuciones de valores extremos seleccionados de conjuntos de muestras de cualquier distribución de probabili$d convergen en una de las tres formas de distribuciones de valor extremo, llamadas tipo 1, II y III respectivamente, cuando el número de valores extremos seleccionados es grande. Las propiedades de las tres formas limitantes fueron desarrolladas en mayor detalle por Gumbel (1941) para la distribución de Valor Extremo tipo I (EVI, por sus siglas en inglés), por Frechet (1927) para la distribución de Valor Extremo tipo 11 (EVII) y por Weibull (1939) para la distribución de Valor Extremo tipo III (EVIII). Jenkinson (1955) demostró que estas tres formas limitantes eran casos especiales de una distribución única llamada la distribución de Valor Extremo General (GEV, por sus siglas en inglés). La función de distribución de probabilidad para la GEVes F(x)
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(11.5 .3)
donde k, u y a son parámetros que deben ser determinados. Los tres casos Iimitantes son 1) para k= O, la distribución de Valor Extremo tipo 1, para la cual la función de densidad de probabilidad está dada en la tabla 11.5.1; 2) para k< O, la distribución de Valor Extremo tipo 11, para la cual (11.5.3) se aplica con (u + a/k) :=::; x :=::; oo, y 3) para k > O, la distribución de Valor
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HIDROLOGÍA APLICADA
Extremo tipo III para la cual (11.5.3) se aplica en - oc::; x::; (u + alk). En todos los tres casos, se supone que a es positivo. Para la distribución EVI, x no tiene límites (tabla 11.5.1), mientras que para EVII, x está acotado por abajo (por u + a/k), y para la distribución EVIII, x está similarmente acotado por arriba. Las distribuciones EVI y EVII también se conocen como las distribuciones Gumbel y Frechet respectivamente. Si una variable x está descrita por la distribución EVIII, entonces se dice que -x tiene una distribución
11.1.2
11.3.1 11.3.2
Weibull.
REFERENCIAS Abramowitz. M., and l. A. Stegun, Handbook of Mathematica/ Functions, Dover, New York, p. 932, 1965. Benson, M. A., Uniform flood-frequency estimating methods for federal agencies, Water Resour. Res., vol. 4, No. 5, pp. 891- 908, 1968. Bobee, B., The 1og-Pearson Type III distribution and its application in hydro1ogy, Water Resour. Res., vol. 11, No. 5, pp. 681-689, 1975. Bobee, B. B., R. Robitaille, The use for the Pearson Type 3 and 1og Pearson Type 3 distributions revisited. Water Resour, Res., vol. 13, No. 2, pp. 427-443, 1977. Chow, V. T., The 1og-probability 1aw and its engineering app1ications, Proc. Am. Soc. Civ. Eng.; vol. 80, pp. 1-25, 1954. Fisher, R. A., O the mathematical foundations of theoretical statistics, Trans. R. Soc. London A. vol. 222, pp. 309-368, 1922. Fisher, R, A, and L. H. C. Tippett, Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample, Proc. Cambridge Phi/. Soc., vol. 24, parte TI, pp. 180-191, 1928. Foster, H. A., Theoretical frequency curves and their application to engineering prob1ems. Trans. Am. Soc. Civ. Eng., vol. 87. pp. 142-173, 1924. Frechet, M., Sur la loi de pro habilite de l'ecart maximum ("On the probability law of maximum values"). Annales de la societe Po/onaise de Mathematique, vol. 6, pp. 93-116, Krakow, Poland, 1927. Freeze, R. A., A stochastic-conceptual analysis of one-dimensional groundwater flow in nonuniform .homogeneous media. WaterResour. Res., vol. 11, No. 5, pp. 725-741,1975. Gumbel, E. J., The return period of flood flows. The Annals of Mathematical Statistics. vol. 12, No. 2, pp. 163-190, 1941. Haan, C. T. Statistical Methods in Hydrology. Iowa State Univ. Press, Ames, Iowa, 1977. Jenkinson, A. F., The frequency distribution of the annua1 maximum (or mínimum) va1ues of meteoro1ogical elements. Quart, Jour. Roy, Met. Soc., vol. 81, pp. 158-171, 1955. Kavvas, M. L., and J. W. Delleur. A stochastic cluster mode1 of daily rainfall sequences, Water Resour. Res. vol. 17, No. 4, pp. 1151-1160, 1981. Pearson, K., On the systematic fitting of curves to observations and measurements. Biometrika, vol. 1 No. 3, pp. 265-303, 1902. Waymire, E. and V. K. Gupta. The mathematica1 structure of rainfall representations T. A review of the stochastic rainfall mode1s. Water Resour, Res., vol. 17, No. 5, pp. 1261-1294, 1981. Weibull, W., A statistica1 theory of the strength of materia1s, lngeniors Vetenskaps Akademien (The Royal Swedish Institute for Engineering Research), proceedings No. 51, pp. 5-45, 1939.
11.4.1 11.4.2
PROBLEMAS La información de precipitación anual para College Station, Texas, desde 1911 hasta 1979 está dada en la tabla 11.1.1. Utilizando estos datos, estime la probabilidad de que la precipitación anual sea mayor que 50 pulg en cualquier año. Calcule la probabilidad de que la precipitación anual sea mayor que 50 pulg en dos años consecutivos a) suponiendo que la precipitación anual es un proceso independiente; b) directamente de la información. ¿Los datos sugieren la existencia de algunas tendencias para años con precipitación > 50 pulg a seguir uno a otro en College Station?
Resuelva el problema 11.1.1 para precipitación menor de 30 pulg. ¿Existe alguna tendencia para años de precipitación menor de 30 pulg a estar seguidos unos con respecto a otros más que lo sugerido por la independencia de eventos de un año a otro? Calcule la media, la desviación estándar y el coeficiente de asimetría para la precipitación anual en College Station desde 1960 hasta 1969. La datos se dan en la tabla 11.1.1. Calcule la media, la desviación estándar y el coeficiente de asimetría para la precipitación anual en College Station para los seis periodos de 10 años empezando en 1920, 1930, 1940, 1950, 1960, 1970 (por ejemplo, 1920-1929). Compare los valores de estas estadísticas para las seis muestras. Calcule la media y la desviación estándar de las medias de las seis muestras y sus coeficientes de variación. Repita este ejercicio para las desviaciones estándar de las seis muestras y los seis coeficientes de asimetría. Tal como se mide por el coeficiente de variación de cada estadística de la muestra, ¿cuál de estas tres estadísticas de la muestra (media, desviación estándar o coeficiente de asimetría) varía más de una muestra a otra? Demuestre que la media J.L de la distribución exponencial f(.x) = Ae-"x está dada por J.L = 1/A. Demuestre que los estimativos de máxima verosimilitud para los parámetros de distribución normal están dados por
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11.4.3
11.4.4
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11.4.6 11.1.1
389
ESTA DÍSTICA HIDROLÓGICA
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X>z
i=l
Calcule el valor de los estimativos de máxima verosimilitud para los parámetros de la distribución normal ajustada para la precipitación anual en College Station desde 1970 hasta 1979. Utilice las ecuaciones dadas en el problema 11.4.2 y los datos dados en la tabla 11.1.1. Compare los resultados con los estimativos de momentos dados en el ejemplo 11.3.1. Calcule el valor de la función logaritmo de verosimilitud para la precipitación anual en College Station desde 1970 hasta 1979 con J.L = 40. 17 pulg y u = 10.63 pulg. Manteniendo J.L constante, calcule y grafique los valores de la función logaritmo de verosimilitud variando u en incrementos de 0.1 desde 9.5 hasta 11.5. Determine el valor de u que maximiza la función logaritmo de verosimilitud. Resuelva el ejemplo 11.1.1 utilizando las probabilidades para los eventos A y B calculadas mediante una distribución normal con J.L = 39.77 pulg y u = 9.17 pulg (tal como es ajustado para la información de precipitación en College Station en el ejemplo 11.4.3 ). Compare los resultados obtenidos con aquellos del ejemplo 11.1.1. ¿Cuál método es más confiable? Un sistema de embalses cerca de College Station, Texas, ha experimentado una sequía y se ha determinado que si la precipitación anual en el próximo año en la cuenca del embalse es menor de 35 pulg, se requerirá una reducción en el suministro de agua para irrigación desde el embalse durante dicho año. Si la precipitación anual es menor de 35 pulg para cada uno de los siguientes dos años, también se requerirá una reducción en el suministro de agua para consumo municipal. Utilizando la distribución normal ajustada a la información de precipitación en el ejemplo 11.4.3, calcule la probabilidad de que estas reducciones en los suministros sean necesarias. ¿Puede considerarse que estas probabilidades son lo suficientemente altas para justificar el que se prevenga a los usuarios de agua municipal y de irrigación sobre posibles reducciones en los suministros?
388
HIDROLOGÍA APLICADA
Extremo tipo III para la cual (11.5.3) se aplica en - oc::; x::; (u + alk). En todos los tres casos, se supone que a es positivo. Para la distribución EVI, x no tiene límites (tabla 11.5.1), mientras que para EVII, x está acotado por abajo (por u + a/k), y para la distribución EVIII, x está similarmente acotado por arriba. Las distribuciones EVI y EVII también se conocen como las distribuciones Gumbel y Frechet respectivamente. Si una variable x está descrita por la distribución EVIII, entonces se dice que -x tiene una distribución
11.1.2
11.3.1 11.3.2
Weibull.
REFERENCIAS Abramowitz. M., and l. A. Stegun, Handbook of Mathematica/ Functions, Dover, New York, p. 932, 1965. Benson, M. A., Uniform flood-frequency estimating methods for federal agencies, Water Resour. Res., vol. 4, No. 5, pp. 891- 908, 1968. Bobee, B., The 1og-Pearson Type III distribution and its application in hydro1ogy, Water Resour. Res., vol. 11, No. 5, pp. 681-689, 1975. Bobee, B. B., R. Robitaille, The use for the Pearson Type 3 and 1og Pearson Type 3 distributions revisited. Water Resour, Res., vol. 13, No. 2, pp. 427-443, 1977. Chow, V. T., The 1og-probability 1aw and its engineering app1ications, Proc. Am. Soc. Civ. Eng.; vol. 80, pp. 1-25, 1954. Fisher, R. A., O the mathematical foundations of theoretical statistics, Trans. R. Soc. London A. vol. 222, pp. 309-368, 1922. Fisher, R, A, and L. H. C. Tippett, Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample, Proc. Cambridge Phi/. Soc., vol. 24, parte TI, pp. 180-191, 1928. Foster, H. A., Theoretical frequency curves and their application to engineering prob1ems. Trans. Am. Soc. Civ. Eng., vol. 87. pp. 142-173, 1924. Frechet, M., Sur la loi de pro habilite de l'ecart maximum ("On the probability law of maximum values"). Annales de la societe Po/onaise de Mathematique, vol. 6, pp. 93-116, Krakow, Poland, 1927. Freeze, R. A., A stochastic-conceptual analysis of one-dimensional groundwater flow in nonuniform .homogeneous media. WaterResour. Res., vol. 11, No. 5, pp. 725-741,1975. Gumbel, E. J., The return period of flood flows. The Annals of Mathematical Statistics. vol. 12, No. 2, pp. 163-190, 1941. Haan, C. T. Statistical Methods in Hydrology. Iowa State Univ. Press, Ames, Iowa, 1977. Jenkinson, A. F., The frequency distribution of the annua1 maximum (or mínimum) va1ues of meteoro1ogical elements. Quart, Jour. Roy, Met. Soc., vol. 81, pp. 158-171, 1955. Kavvas, M. L., and J. W. Delleur. A stochastic cluster mode1 of daily rainfall sequences, Water Resour. Res. vol. 17, No. 4, pp. 1151-1160, 1981. Pearson, K., On the systematic fitting of curves to observations and measurements. Biometrika, vol. 1 No. 3, pp. 265-303, 1902. Waymire, E. and V. K. Gupta. The mathematica1 structure of rainfall representations T. A review of the stochastic rainfall mode1s. Water Resour, Res., vol. 17, No. 5, pp. 1261-1294, 1981. Weibull, W., A statistica1 theory of the strength of materia1s, lngeniors Vetenskaps Akademien (The Royal Swedish Institute for Engineering Research), proceedings No. 51, pp. 5-45, 1939.
11.4.1 11.4.2
PROBLEMAS La información de precipitación anual para College Station, Texas, desde 1911 hasta 1979 está dada en la tabla 11.1.1. Utilizando estos datos, estime la probabilidad de que la precipitación anual sea mayor que 50 pulg en cualquier año. Calcule la probabilidad de que la precipitación anual sea mayor que 50 pulg en dos años consecutivos a) suponiendo que la precipitación anual es un proceso independiente; b) directamente de la información. ¿Los datos sugieren la existencia de algunas tendencias para años con precipitación > 50 pulg a seguir uno a otro en College Station?
Resuelva el problema 11.1.1 para precipitación menor de 30 pulg. ¿Existe alguna tendencia para años de precipitación menor de 30 pulg a estar seguidos unos con respecto a otros más que lo sugerido por la independencia de eventos de un año a otro? Calcule la media, la desviación estándar y el coeficiente de asimetría para la precipitación anual en College Station desde 1960 hasta 1969. La datos se dan en la tabla 11.1.1. Calcule la media, la desviación estándar y el coeficiente de asimetría para la precipitación anual en College Station para los seis periodos de 10 años empezando en 1920, 1930, 1940, 1950, 1960, 1970 (por ejemplo, 1920-1929). Compare los valores de estas estadísticas para las seis muestras. Calcule la media y la desviación estándar de las medias de las seis muestras y sus coeficientes de variación. Repita este ejercicio para las desviaciones estándar de las seis muestras y los seis coeficientes de asimetría. Tal como se mide por el coeficiente de variación de cada estadística de la muestra, ¿cuál de estas tres estadísticas de la muestra (media, desviación estándar o coeficiente de asimetría) varía más de una muestra a otra? Demuestre que la media J.L de la distribución exponencial f(.x) = Ae-"x está dada por J.L = 1/A. Demuestre que los estimativos de máxima verosimilitud para los parámetros de distribución normal están dados por
y
11.4.3
11.4.4
11.4.5
11.4.6 11.1.1
389
ESTA DÍSTICA HIDROLÓGICA
cr = ..!_n
i
(.x¡ -
X>z
i=l
Calcule el valor de los estimativos de máxima verosimilitud para los parámetros de la distribución normal ajustada para la precipitación anual en College Station desde 1970 hasta 1979. Utilice las ecuaciones dadas en el problema 11.4.2 y los datos dados en la tabla 11.1.1. Compare los resultados con los estimativos de momentos dados en el ejemplo 11.3.1. Calcule el valor de la función logaritmo de verosimilitud para la precipitación anual en College Station desde 1970 hasta 1979 con J.L = 40. 17 pulg y u = 10.63 pulg. Manteniendo J.L constante, calcule y grafique los valores de la función logaritmo de verosimilitud variando u en incrementos de 0.1 desde 9.5 hasta 11.5. Determine el valor de u que maximiza la función logaritmo de verosimilitud. Resuelva el ejemplo 11.1.1 utilizando las probabilidades para los eventos A y B calculadas mediante una distribución normal con J.L = 39.77 pulg y u = 9.17 pulg (tal como es ajustado para la información de precipitación en College Station en el ejemplo 11.4.3 ). Compare los resultados obtenidos con aquellos del ejemplo 11.1.1. ¿Cuál método es más confiable? Un sistema de embalses cerca de College Station, Texas, ha experimentado una sequía y se ha determinado que si la precipitación anual en el próximo año en la cuenca del embalse es menor de 35 pulg, se requerirá una reducción en el suministro de agua para irrigación desde el embalse durante dicho año. Si la precipitación anual es menor de 35 pulg para cada uno de los siguientes dos años, también se requerirá una reducción en el suministro de agua para consumo municipal. Utilizando la distribución normal ajustada a la información de precipitación en el ejemplo 11.4.3, calcule la probabilidad de que estas reducciones en los suministros sean necesarias. ¿Puede considerarse que estas probabilidades son lo suficientemente altas para justificar el que se prevenga a los usuarios de agua municipal y de irrigación sobre posibles reducciones en los suministros?
390 11.5.1
11.5.2 11.5.3
11.5.4
11.5.5
HIDROLOGÍA APLICADA
En el sistema de distribuciones Pearson se deduce la ecuación d [f(x)]/dx = [f(x)(xd)]/ (Ca+ C 1x + C 2x 2 ), donde des la moda de la distribución [el valor de x donde f(x) es máximo] y Ca, C1 y C2 son coeficientes. Haciendo que C2 =O, demuestre que se obtiene la distribución Pearson tipo III. En el problema 11.5.1, haga que C 1 = C2 =O y demuestre que se obtiene la distribución normal. La demanda sobre el sistema de tratamiento de aguas y distribución de una ciudad está aumentando hasta cerca de la capacidad del sistema debido a un periodo largo de clima seco y cálido. La lluvia evitará una situación en la cual la demanda exceda la capacidad del sistema. Si el tiempo promedio entre lluvias en esa ciudad en esa época del año es 5 días, calcule la posibilidad de que no haya lluvias a) en los siguientes 5 días, b) 10 días, e) 15 días. Utilice la distribución exponencial. La información para el caudal máximo anual en el río Guadalupe en Victoria, Texas, se presenta en la tabla 12.1.1. Las estadísticas para los logaritmos en base 10 de estos datos son y= 4.2743 y s,. = 0.3981. Ajuste la distribución lognormal a estos datos. Grafique las funciones de frecuencia relativa y probabilidad incremental y las funciones de frecuencia acumulada y distribución de probabilidad de la información tal como se muestra en la figura 11.4.3 (utilice una escala logarítmica para los caudales del río Guadalupe). En la tabla 15.P.5 se da la información del caudal de entrada al sitio propuesto para la represa Justiceburg. Calcule la media, la desviación estándar y el coeficiente de asimetría para los flujos de entrada totales anuales y ajuste una distribución de probabilidad a la información.
12
CAPÍTULO /
ANALISIS DE FRECUENCIA
Los sistemas hidrológicos son afectados algunas veces por eventos extremos, tales como tormentas severas, crecientes y sequías. La magnitud de un evento extremo está inversamente relacionada con su frecuencia de ocurrencia, es decir, eventos muy severos ocurren con menor frecuencia que eventos más moderados. El objetivo del análisis de frecuencia de información hidrológica es relacionar la magnitud de los eventos extremos con su frecuencia de ocurrencia mediante el uso de distribuciones de probabilidad. Se supone que la información hidrológica analizada es independiente y está idénticamente distribuida, y el sistema hidrológico que la produce (por ejemplo, un sistema de tormenta) se considera estocástico, independiente del espacio y del tiempo, en el esquema de clasificación mostrado en la figura 1 .4. l. La información hidrológica empleada debe seleccionarse cuidadosamente de tal manera que se satisfagan las suposiciones de independencia y de distribución idéntica. En la práctica, usualmente esto se lleva a cabo seleccionando el máximo anual de la variable que está siendo analizada (por ejemplo, el caudal máximo anual, que es el flujo pico instantáneo máximo que ocurre en cualquier momento durante el año) con la expectativa de que observaciones sucesivas de esta variable de un año a otro sean independientes. Los resultados del análisis de frecuencia de flujo de crecientes pueden utilizarse para muchos propósitos en ingeniería: para el diseño de presas, puentes, culverts y estructuras de control de crecientes; para determinar el beneficio económico de proyectos de control de crecientes; y para delinear planicies de inundación y determinar el efecto de invasiones o construcciones en éstas.
12.1 PERIODO DE RETORNO Supóngase que por definición un evento extremo ocurre si una variable aleatoria X es mayor o igual que un cierto nivel Xr. El intervalo de recurrencia 't es el tiempo entre ocurrencias de X ;;::: xr. Por ejemplo, la figura 12.1.1 muestra el registro de caudales máximos anuales del río Guadalupe cerca de Victoria, Texas, de 1935 a 1978, graficado a partir de los datos dados en la tabla 12.1.1. Si xr = 50,000 cfs, 391
390 11.5.1
11.5.2 11.5.3
11.5.4
11.5.5
HIDROLOGÍA APLICADA
En el sistema de distribuciones Pearson se deduce la ecuación d [f(x)]/dx = [f(x)(xd)]/ (Ca+ C 1x + C 2x 2 ), donde des la moda de la distribución [el valor de x donde f(x) es máximo] y Ca, C1 y C2 son coeficientes. Haciendo que C2 =O, demuestre que se obtiene la distribución Pearson tipo III. En el problema 11.5.1, haga que C 1 = C2 =O y demuestre que se obtiene la distribución normal. La demanda sobre el sistema de tratamiento de aguas y distribución de una ciudad está aumentando hasta cerca de la capacidad del sistema debido a un periodo largo de clima seco y cálido. La lluvia evitará una situación en la cual la demanda exceda la capacidad del sistema. Si el tiempo promedio entre lluvias en esa ciudad en esa época del año es 5 días, calcule la posibilidad de que no haya lluvias a) en los siguientes 5 días, b) 10 días, e) 15 días. Utilice la distribución exponencial. La información para el caudal máximo anual en el río Guadalupe en Victoria, Texas, se presenta en la tabla 12.1.1. Las estadísticas para los logaritmos en base 10 de estos datos son y= 4.2743 y s,. = 0.3981. Ajuste la distribución lognormal a estos datos. Grafique las funciones de frecuencia relativa y probabilidad incremental y las funciones de frecuencia acumulada y distribución de probabilidad de la información tal como se muestra en la figura 11.4.3 (utilice una escala logarítmica para los caudales del río Guadalupe). En la tabla 15.P.5 se da la información del caudal de entrada al sitio propuesto para la represa Justiceburg. Calcule la media, la desviación estándar y el coeficiente de asimetría para los flujos de entrada totales anuales y ajuste una distribución de probabilidad a la información.
12
CAPÍTULO /
ANALISIS DE FRECUENCIA
Los sistemas hidrológicos son afectados algunas veces por eventos extremos, tales como tormentas severas, crecientes y sequías. La magnitud de un evento extremo está inversamente relacionada con su frecuencia de ocurrencia, es decir, eventos muy severos ocurren con menor frecuencia que eventos más moderados. El objetivo del análisis de frecuencia de información hidrológica es relacionar la magnitud de los eventos extremos con su frecuencia de ocurrencia mediante el uso de distribuciones de probabilidad. Se supone que la información hidrológica analizada es independiente y está idénticamente distribuida, y el sistema hidrológico que la produce (por ejemplo, un sistema de tormenta) se considera estocástico, independiente del espacio y del tiempo, en el esquema de clasificación mostrado en la figura 1 .4. l. La información hidrológica empleada debe seleccionarse cuidadosamente de tal manera que se satisfagan las suposiciones de independencia y de distribución idéntica. En la práctica, usualmente esto se lleva a cabo seleccionando el máximo anual de la variable que está siendo analizada (por ejemplo, el caudal máximo anual, que es el flujo pico instantáneo máximo que ocurre en cualquier momento durante el año) con la expectativa de que observaciones sucesivas de esta variable de un año a otro sean independientes. Los resultados del análisis de frecuencia de flujo de crecientes pueden utilizarse para muchos propósitos en ingeniería: para el diseño de presas, puentes, culverts y estructuras de control de crecientes; para determinar el beneficio económico de proyectos de control de crecientes; y para delinear planicies de inundación y determinar el efecto de invasiones o construcciones en éstas.
12.1 PERIODO DE RETORNO Supóngase que por definición un evento extremo ocurre si una variable aleatoria X es mayor o igual que un cierto nivel Xr. El intervalo de recurrencia 't es el tiempo entre ocurrencias de X ;;::: xr. Por ejemplo, la figura 12.1.1 muestra el registro de caudales máximos anuales del río Guadalupe cerca de Victoria, Texas, de 1935 a 1978, graficado a partir de los datos dados en la tabla 12.1.1. Si xr = 50,000 cfs, 391
392
HIDROLOGÍA APLICADA
180
180
160
160
140
140
"':3 120
"':3 120
X
~
100
X ~
100
80
-¡¡¡
80
-¡¡¡
~
"O
"O
u"'"
u" "'
60 40
40 20
o
o
1930
1940
TABLA 12.1.2
Años con un caudal máximo igual o superior a 50,000 cfs en el río Guadalupe cerca de Victoria, Texas, con sus correspondientes intervalos de recurrencia Año de excedencia Intervalo de recurrencia (años)
60
20 1950
1960 1970 1980 Año a) Serie de tiempo de caudales máximos anuales
393
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
o
0.08 0.16 0.24 0.32 Frecuencia relativa b) Función de frecuencia relativa
FIGURA 12.1.1 Caudal máximo anual para el río Guadalupe cerca de Victoria, Texas.
1940
1936
1941
1942
4
1961
1958 16
3
1967 6
1972 5
1977 5
Promedio 5.1
La probabilidad p = P(X;;::: xr) de ocurrencia del evento X;;::: xr en cualquier observación puede relacionarse con el periodo de retomo en la siguiente forma. Para cada observación existen dos resultados posibles: ya sea "éxito" X;;::: xr (probabilidad p) o "falla" X < xT (probabilidad 1 - p). Debido a que las observaciones son independientes, la probabilidad de un intervalo de recurrencia de duración 'Tes el producto de las probabilidades de 'T- 1 fallas seguidas por un éxito, es decir. (1 - p).,._ 1p y el valor esperado para 'T está dado por 00
E(r)=
TABLA 12.1.1
Caudales máximos anuales para el río Guadalupe cerca de Victoria, Texas, 1935-1978, en cfs Año
1930
1940
1950
1960
1970
38,500 179,000 17,200 25,400 4,940
55,900 58,000 56,000 7,710 12,300 22,000 17,900 46,000 6,970 20,600
13,300 12,300 28,400 11,600 8,560 4,950 1,730 25,300 58,300 10,100
23,700 55,800 10,800 4,100 5,720 15,000 9.790 70,000 44,300 15,200
9,190 9,740 58,500 33,100 25,200 30,200 14,100 54,500 12,700
o 2 3 4 5 6 7 8 9
L 'T(l- pr- p 1
-r=l
+ 2(1 =p[l + 2(1 =p
(12.l.la)
+ 3(1- p) 2p + 4(1 - p) 3p + p) + 3(1 - p) 2 + 4(1- p) 3 + ... ]
p)p
-
La expresión dentro de los corchetes tiene la forma de una expansión de series de potencia (1 + xr = 1 + nx + [n(n- 1)/2]r + [n(n- 1)(n- 2)/6]x3 + ... 'conx = -(1 - p) y n = -2, luego (12.1. 1a) puede reescribirse como E(r)
p [1 - (1 - p)]Z
(12.l.lb)
1
p
Luego E(r) = T = l/p; es decir, la probabilidad de ocurrencia de un evento en cualquier observación es el inverso de su periodo de retomo: puede verse que el caudal máximo excede este nivel nueve veces durante el periodo de registro, con intervalos de recurrencia que varían desde un año a 16 años, tal como se muestra en la tabla 12.1.2. El periodo de retorno T de un evento X;;::: xr es el valor esperado de T, E(r), su valor promedio medido sobre un número de ocurrencias suficientemente grande. Para los datos acerca del río Guadalupe, existen 8 intervalos de recurrencia que cubren un periodo total de 41 años entre la primera y la última excedencia de 50,000 cfs, luego el periodo de retomo de un caudal máximo anual de 50,000 cfs en el río Guadalupe es aproximadamente f' = 41/8 = 5.1 años. Por consiguiente, el periodo de retomo de un evento con una magnitud dada puede definirse como el intervalo de recurrencia promedio entre eventos que igualan o exceden una magnitud especificada.
P(X;::::
1 T
Xy) = -
(12.1.2)
Por ejemplo, la probabilidad de que el caudal máximo en el río Guadalupe sea igual o exceda 50,000 cfs en cualquier año es aproximadamente p = 1/7' = 1/5.1 = 0.195. ¿Cuál es la probabilidad de que un evento con periodo de retorno de T años ocurra al menos una vez en N años? Para calcular esto, primero se considera la situación de que no ocurra el evento de T años en N años. Esto requeriría una secuencia de N "fallas" sucesivas, de tal manera que P(X < Xr cada año durante N años) = ( 1 - p )N
392
HIDROLOGÍA APLICADA
180
180
160
160
140
140
"':3 120
"':3 120
X
~
100
X ~
100
80
-¡¡¡
80
-¡¡¡
~
"O
"O
u"'"
u" "'
60 40
40 20
o
o
1930
1940
TABLA 12.1.2
Años con un caudal máximo igual o superior a 50,000 cfs en el río Guadalupe cerca de Victoria, Texas, con sus correspondientes intervalos de recurrencia Año de excedencia Intervalo de recurrencia (años)
60
20 1950
1960 1970 1980 Año a) Serie de tiempo de caudales máximos anuales
393
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
o
0.08 0.16 0.24 0.32 Frecuencia relativa b) Función de frecuencia relativa
FIGURA 12.1.1 Caudal máximo anual para el río Guadalupe cerca de Victoria, Texas.
1940
1936
1941
1942
4
1961
1958 16
3
1967 6
1972 5
1977 5
Promedio 5.1
La probabilidad p = P(X;;::: xr) de ocurrencia del evento X;;::: xr en cualquier observación puede relacionarse con el periodo de retomo en la siguiente forma. Para cada observación existen dos resultados posibles: ya sea "éxito" X;;::: xr (probabilidad p) o "falla" X < xT (probabilidad 1 - p). Debido a que las observaciones son independientes, la probabilidad de un intervalo de recurrencia de duración 'Tes el producto de las probabilidades de 'T- 1 fallas seguidas por un éxito, es decir. (1 - p).,._ 1p y el valor esperado para 'T está dado por 00
E(r)=
TABLA 12.1.1
Caudales máximos anuales para el río Guadalupe cerca de Victoria, Texas, 1935-1978, en cfs Año
1930
1940
1950
1960
1970
38,500 179,000 17,200 25,400 4,940
55,900 58,000 56,000 7,710 12,300 22,000 17,900 46,000 6,970 20,600
13,300 12,300 28,400 11,600 8,560 4,950 1,730 25,300 58,300 10,100
23,700 55,800 10,800 4,100 5,720 15,000 9.790 70,000 44,300 15,200
9,190 9,740 58,500 33,100 25,200 30,200 14,100 54,500 12,700
o 2 3 4 5 6 7 8 9
L 'T(l- pr- p 1
-r=l
+ 2(1 =p[l + 2(1 =p
(12.l.la)
+ 3(1- p) 2p + 4(1 - p) 3p + p) + 3(1 - p) 2 + 4(1- p) 3 + ... ]
p)p
-
La expresión dentro de los corchetes tiene la forma de una expansión de series de potencia (1 + xr = 1 + nx + [n(n- 1)/2]r + [n(n- 1)(n- 2)/6]x3 + ... 'conx = -(1 - p) y n = -2, luego (12.1. 1a) puede reescribirse como E(r)
p [1 - (1 - p)]Z
(12.l.lb)
1
p
Luego E(r) = T = l/p; es decir, la probabilidad de ocurrencia de un evento en cualquier observación es el inverso de su periodo de retomo: puede verse que el caudal máximo excede este nivel nueve veces durante el periodo de registro, con intervalos de recurrencia que varían desde un año a 16 años, tal como se muestra en la tabla 12.1.2. El periodo de retorno T de un evento X;;::: xr es el valor esperado de T, E(r), su valor promedio medido sobre un número de ocurrencias suficientemente grande. Para los datos acerca del río Guadalupe, existen 8 intervalos de recurrencia que cubren un periodo total de 41 años entre la primera y la última excedencia de 50,000 cfs, luego el periodo de retomo de un caudal máximo anual de 50,000 cfs en el río Guadalupe es aproximadamente f' = 41/8 = 5.1 años. Por consiguiente, el periodo de retomo de un evento con una magnitud dada puede definirse como el intervalo de recurrencia promedio entre eventos que igualan o exceden una magnitud especificada.
P(X;::::
1 T
Xy) = -
(12.1.2)
Por ejemplo, la probabilidad de que el caudal máximo en el río Guadalupe sea igual o exceda 50,000 cfs en cualquier año es aproximadamente p = 1/7' = 1/5.1 = 0.195. ¿Cuál es la probabilidad de que un evento con periodo de retorno de T años ocurra al menos una vez en N años? Para calcular esto, primero se considera la situación de que no ocurra el evento de T años en N años. Esto requeriría una secuencia de N "fallas" sucesivas, de tal manera que P(X < Xr cada año durante N años) = ( 1 - p )N
394
HIDROLOGÍA APLICADA
El complemento de esta situación es el caso requerido, luego utilizando la ecuación (11.1.3)
P(X
~
xr al menos una vez en N años)= 1 - ( 1 - p)N
Como p = 1/T,
P(X
~
Xr
al menos una vez en N años)=
1- (1 - ~r
(12.1.3)
100
80 "C
·aa
~
::8
(12.1.4)
1
60 40
20
a) Información original N= 20 años.
Ejemplo 12.1.1 Estime la probabilidad de que el caudal máximo anual Q en el río Guadalupe exceda 50,000 cfs al menos una vez durante los próximos tres años. Solución. De acuerdo con la discusión anterior, P(Q ~ 50,000 cfs en cualquier año)= 0.195, luego de la ecuación (12.1.3) P(Q ~ 50,000 cfs al menos una vez durante los próximos tres años) = 1 - ( 1 - 0.195) 3 = 0.48
395
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
Tiempo
100
80 "C
·aa
60
::8
40
~
20
La pregunta en el ejemplo 12.1.1 pudiera haber sido "¿Cuál es la probabilidad de que el caudal en el río Guadalupe exceda 50,000 cfs al menos una vez durante los próximos tres años?" Los cálculos hechos usaron sólo los datos máximos anuales, pero, alternativamente hubieran podido considerarse todas las excedencias de 50,000 cfs contenidas en el registro del río Guadalupe. Este conjunto de información se conoce como la serie de duración parcial. Ésta contendría más de las nueve excedencias mostradas en la tabla 12.1.2 si existieran dos o más excedencias de 50,000 cfs en algún año de registro.
O~+,~~~,J~~~--~~~~~~~
b)
Excedencias anuales.
Tiempo
Máximos anuales.
Tiempo
100
80
Series de información hidrológica Una serie de duración completa está compuesta por toda la información disponible tal como se muestra en la figura 12.1.2a). Una serie de duración parcial es una serie de datos seleccionados de tal manera que su magnitud es mayor que un valor base predefinido. Si el valor base se selecciona de tal manera que el número de valores en la serie es igual al número de años en el registro, la serie se conoce como una serie de excedencia anual; un ejemplo se muestra en la figura 12.1.2b). Una serie de valor extremo incluye el valor máximo o mínimo que ocurre en cada uno de los intervalos de tiempo de igual longitud del registro. La longitud del intervalo de tiempo usualmente se toma como un año, y una serie seleccionada de esta manera se conoce como una serie anual. Si se utilizan los valores máximos anuales es una serie anual máxima tal como se muestra en la figura 12.1.2c). La selección de los valores mínimos anuales produce una serie anual mínima. Los valores máximos anuales y los valores de excedencia anual de la información hipotética que se muestra en la figura 12.1.3a) están ordenados gráficamente en la figura 12.1.3b) según su orden de magnitud. En este ejemplo particular, solamente 16 de los 20 máximos anuales aparecen en la serie de excedencia anual; el segundo valor máximo en varios años tiene una magnitud mayor que la de algunos máximos anuales. Sin embargo, en la serie de máximos anuales, estos segundos valores máximos se excluyen, con lo cual no se tiene en cuenta su efecto en el análisis.
e)
FIGURA 12.1.2 Información hidrológica ordenada por su tiempo de ocurrencia (Fuente: Chow, 1964. Utilizada con autorización).
El periodo de retorno TE de magnitudes de evento deducido de una serie de excedencia anual se relaciona con el correspondiente periodo de retorno T para magnitudes deducido de una serie máxima anual por (Chow, 1964) (12.1.5) A pesar de que la serie de excedencia anual es útil para algunos propósitos, está limitada por el hecho de que puede ser difícil verificar que todas las observaciones son independientes; la ocurrencia de una gran creciente bien podría estar relacionada con unas condiciones de suelo saturado producidas por otra gran creciente ocurrida un corto tiempo antes. Como resultado, usualmente es mejor utilizar la serie de máximos anuales para el análisis. En cualquier caso, a medida que el periodo
394
HIDROLOGÍA APLICADA
El complemento de esta situación es el caso requerido, luego utilizando la ecuación (11.1.3)
P(X
~
xr al menos una vez en N años)= 1 - ( 1 - p)N
Como p = 1/T,
P(X
~
Xr
al menos una vez en N años)=
1- (1 - ~r
(12.1.3)
100
80 "C
·aa
~
::8
(12.1.4)
1
60 40
20
a) Información original N= 20 años.
Ejemplo 12.1.1 Estime la probabilidad de que el caudal máximo anual Q en el río Guadalupe exceda 50,000 cfs al menos una vez durante los próximos tres años. Solución. De acuerdo con la discusión anterior, P(Q ~ 50,000 cfs en cualquier año)= 0.195, luego de la ecuación (12.1.3) P(Q ~ 50,000 cfs al menos una vez durante los próximos tres años) = 1 - ( 1 - 0.195) 3 = 0.48
395
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
Tiempo
100
80 "C
·aa
60
::8
40
~
20
La pregunta en el ejemplo 12.1.1 pudiera haber sido "¿Cuál es la probabilidad de que el caudal en el río Guadalupe exceda 50,000 cfs al menos una vez durante los próximos tres años?" Los cálculos hechos usaron sólo los datos máximos anuales, pero, alternativamente hubieran podido considerarse todas las excedencias de 50,000 cfs contenidas en el registro del río Guadalupe. Este conjunto de información se conoce como la serie de duración parcial. Ésta contendría más de las nueve excedencias mostradas en la tabla 12.1.2 si existieran dos o más excedencias de 50,000 cfs en algún año de registro.
O~+,~~~,J~~~--~~~~~~~
b)
Excedencias anuales.
Tiempo
Máximos anuales.
Tiempo
100
80
Series de información hidrológica Una serie de duración completa está compuesta por toda la información disponible tal como se muestra en la figura 12.1.2a). Una serie de duración parcial es una serie de datos seleccionados de tal manera que su magnitud es mayor que un valor base predefinido. Si el valor base se selecciona de tal manera que el número de valores en la serie es igual al número de años en el registro, la serie se conoce como una serie de excedencia anual; un ejemplo se muestra en la figura 12.1.2b). Una serie de valor extremo incluye el valor máximo o mínimo que ocurre en cada uno de los intervalos de tiempo de igual longitud del registro. La longitud del intervalo de tiempo usualmente se toma como un año, y una serie seleccionada de esta manera se conoce como una serie anual. Si se utilizan los valores máximos anuales es una serie anual máxima tal como se muestra en la figura 12.1.2c). La selección de los valores mínimos anuales produce una serie anual mínima. Los valores máximos anuales y los valores de excedencia anual de la información hipotética que se muestra en la figura 12.1.3a) están ordenados gráficamente en la figura 12.1.3b) según su orden de magnitud. En este ejemplo particular, solamente 16 de los 20 máximos anuales aparecen en la serie de excedencia anual; el segundo valor máximo en varios años tiene una magnitud mayor que la de algunos máximos anuales. Sin embargo, en la serie de máximos anuales, estos segundos valores máximos se excluyen, con lo cual no se tiene en cuenta su efecto en el análisis.
e)
FIGURA 12.1.2 Información hidrológica ordenada por su tiempo de ocurrencia (Fuente: Chow, 1964. Utilizada con autorización).
El periodo de retorno TE de magnitudes de evento deducido de una serie de excedencia anual se relaciona con el correspondiente periodo de retorno T para magnitudes deducido de una serie máxima anual por (Chow, 1964) (12.1.5) A pesar de que la serie de excedencia anual es útil para algunos propósitos, está limitada por el hecho de que puede ser difícil verificar que todas las observaciones son independientes; la ocurrencia de una gran creciente bien podría estar relacionada con unas condiciones de suelo saturado producidas por otra gran creciente ocurrida un corto tiempo antes. Como resultado, usualmente es mejor utilizar la serie de máximos anuales para el análisis. En cualquier caso, a medida que el periodo
396
HIDROLOGÍA APLICADA
90
rante ese año. Y este ejercicio se realiza para cada uno de los años de información histórica. Debido a que estas observaciones se localizan en la cola extrema de la distribución de probabilidad de todas las observaciones de la cual se extraen (la población matriz), no es sorprendente que su distribución de probabilidad sea diferente a aquella de la población matriz. Tal como se describió en la sección 11.5, existen tres formas asintóticas para las distribuciones de valores extremos, conocidas como Tipo 1, Tipo 11 y Tipo III, respectivamente. La función de distribución de probabilidad de Valor Extremo Tipo I (EVI) es
80 70 60
-o 50 E! -~ 40
::E"'
397
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
Base para valores de excedencia anual
30 20
F(x) = exp [ -exp(- x:
u)]
(12.2.1)
lO
11111111
o JO
30 40 Rango de valores
20
50
Los parámetros se estiman, tal como se muestra en la tabla 11.5 .1, por
60
.J6s
a=--
u=x- 0.5772a
100
-o E!
·a
(12.2.2)
7T
a) Información original.
80
Excedencia anual \ Máximo anual \ ~
60
(12.2.3)
El parámetro u es la moda de la distribución (punto de máxima densidad de probabilidad). Una variable reducida y puede definirse como
b()
::E"' 40
r\
y=
20
x-u a
(12.2.4)
Sustituyendo la variable reducida en (12.2.1) se encuentra
o lO
20
F(x) = exp [-exp(-y)]
Rango de valores b) Excedencia anual y valores máximos ..
Resolviendo para y:
FIGURA 12.1.3
(12.2.6)
Información hidrológica ordenada por orden de magnitud (Fuente: Chow, 1964. Utilizada con autorización).
de retorno del evento considerado es mayor, los resultados de las dos metodologías se vuelven muy similares, debido a que la posibilidad de que dos de estos eventos ocurran durante un mismo año es muy pequeña.
12.2 DISTRIBUCIONES DE VALORES EXTREMOS El estudio de eventos hidrológicos extremos incluye la selección de una secuencia de observaciones máximas o mínimas de conjuntos de datos. Por ejemplo, el estudio de los caudales picos en una estación hidrométrica utiliza solamente el máximo caudal registrado cada año, entre los muchos miles de valores registrados. De hecho, usualmente el nivel de agua se registra cada 15 minutos, de modo que existen 4 X 24 = 96 valores registrados cada día, y 365 X 96 = 35,040 valores registrados cada año; luego el evento de caudal máximo anual utilizado para el análisis de frecuencia de caudales de crecientes es la mayor de más de 35,000 observaciones hechas du-
(12.2.5)
Puede utilizarse la ecuación (12.2.6) para definir y para las distribuciones Tipo 11 y Tipo 111. Los valores de x y y pueden graficarse tal como se muestra en la figura 12.2.1. Para la distribución EVI la gráfica es una línea recta mientras que, para valores grandes de y, la curva correspondiente para la distribución EVII tiene una pendiente mayor que aquella para EVI, y la curva para la distribución EVIII tiene una pendiente menor, sjendo acotada por arriba. La figura 12.2.1 también muestra los valores del periodo de retorno T como un eje alterno a y. Tal como se demostró utilizando la ecuación (12.1.2), 1 - =P(x 2: T =
XT)
1- P(x <
== 1 - F(xT)
XT)
396
HIDROLOGÍA APLICADA
90
rante ese año. Y este ejercicio se realiza para cada uno de los años de información histórica. Debido a que estas observaciones se localizan en la cola extrema de la distribución de probabilidad de todas las observaciones de la cual se extraen (la población matriz), no es sorprendente que su distribución de probabilidad sea diferente a aquella de la población matriz. Tal como se describió en la sección 11.5, existen tres formas asintóticas para las distribuciones de valores extremos, conocidas como Tipo 1, Tipo 11 y Tipo III, respectivamente. La función de distribución de probabilidad de Valor Extremo Tipo I (EVI) es
80 70 60
-o 50 E! -~ 40
::E"'
397
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
Base para valores de excedencia anual
30 20
F(x) = exp [ -exp(- x:
u)]
(12.2.1)
lO
11111111
o JO
30 40 Rango de valores
20
50
Los parámetros se estiman, tal como se muestra en la tabla 11.5 .1, por
60
.J6s
a=--
u=x- 0.5772a
100
-o E!
·a
(12.2.2)
7T
a) Información original.
80
Excedencia anual \ Máximo anual \ ~
60
(12.2.3)
El parámetro u es la moda de la distribución (punto de máxima densidad de probabilidad). Una variable reducida y puede definirse como
b()
::E"' 40
r\
y=
20
x-u a
(12.2.4)
Sustituyendo la variable reducida en (12.2.1) se encuentra
o lO
20
F(x) = exp [-exp(-y)]
Rango de valores b) Excedencia anual y valores máximos ..
Resolviendo para y:
FIGURA 12.1.3
(12.2.6)
Información hidrológica ordenada por orden de magnitud (Fuente: Chow, 1964. Utilizada con autorización).
de retorno del evento considerado es mayor, los resultados de las dos metodologías se vuelven muy similares, debido a que la posibilidad de que dos de estos eventos ocurran durante un mismo año es muy pequeña.
12.2 DISTRIBUCIONES DE VALORES EXTREMOS El estudio de eventos hidrológicos extremos incluye la selección de una secuencia de observaciones máximas o mínimas de conjuntos de datos. Por ejemplo, el estudio de los caudales picos en una estación hidrométrica utiliza solamente el máximo caudal registrado cada año, entre los muchos miles de valores registrados. De hecho, usualmente el nivel de agua se registra cada 15 minutos, de modo que existen 4 X 24 = 96 valores registrados cada día, y 365 X 96 = 35,040 valores registrados cada año; luego el evento de caudal máximo anual utilizado para el análisis de frecuencia de caudales de crecientes es la mayor de más de 35,000 observaciones hechas du-
(12.2.5)
Puede utilizarse la ecuación (12.2.6) para definir y para las distribuciones Tipo 11 y Tipo 111. Los valores de x y y pueden graficarse tal como se muestra en la figura 12.2.1. Para la distribución EVI la gráfica es una línea recta mientras que, para valores grandes de y, la curva correspondiente para la distribución EVII tiene una pendiente mayor que aquella para EVI, y la curva para la distribución EVIII tiene una pendiente menor, sjendo acotada por arriba. La figura 12.2.1 también muestra los valores del periodo de retorno T como un eje alterno a y. Tal como se demostró utilizando la ecuación (12.1.2), 1 - =P(x 2: T =
XT)
1- P(x <
== 1 - F(xT)
XT)
398
HIDROLOGÍA APLICADA 30
FIGURA 12.2.1
25
Para cada uno de los tres tipos de distribuciones de valores extremos la variable x se grafica contra la variable reducida y calculada para la distribución de Valor Extremo Tipo I. La distribución Tipo I no es acotada en x, mientras que la distribución Tipo II tiene un límite inferior y la Tipo III tiene un límite superior (Fuente: Natural Environment Research Council, 1975, Figura 1.10, p. 41. Utilizada con autorización).
x-u y= -a
20
... .!l 15 ..0 .~
la
>
399
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
lO ,---,--,--,---,-~T
2
10
20
50
lOO años
o -2
-1
o
2 Variable reducida, y
4
5
Jf,
0.177
X
7T
=0.138 u =:X- 0.5772a
=0.649- 0.5772
X
0.138
=0.569 El modelo de probabilidad es X - 0.569)] F(x) = exp [ -exp ( - ----
0.138
6
Para determinar los valores de xr para varios valores del periodo de retorno T, es conveniente utilizar la variable reducida Yr· Para T = 5 años, la ecuación (12.2.7) da
-ln[ln(T
~ J]
-ln [1n(
~ J]
luego YT=
T-l
F(xT)=-T =
y, sustituyendo en (12.2.6),
5
= 1.500
(12.2.7) Para la distribución EVI,
XT
y la ecuación (12.2.8) da
se relaciona con YT mediante la ecuación (12.2.4 ), o = 0.569
(12.2.8)
+ 0.138
X
= 0.78 pulg
Las di-stribuciones de valor extremo han sido ampliamente utilizadas en hidrología. Éstas forman la base para el método estándar de análisis de frecuencia de crecientes en Gran Bretaña (Natural Environment Research Council, 1975). Las tormentas de lluvia son comúnmente modeladas utilizando la distribución de Valor Extremo Tipo 1 (Chow, 1953; Tomlinson, 1980), y los flujos de estiraje mediante la distribución Weibull, es decir, la distribución EVIII aplicada a- x (Gumbel, 1954, 1963). Ejemplo 12.2.1 Los valores máximos anuales para lluvias de 10 minutos de duración en Chicago, Illinois, desde 1913 hasta 1947 se presentan en la tabla 12.2.1. Desarrolle un modelo para el análisis de frecuencia de tormentas de lluvia utilizando la distribución de Valor Extremo Tipo 1 y calcule los valores máximos de lluvias de 10 minutos de duración con periodos de retorno de 5, 10 y 50 años en Chicago. Solución. Los momentos de la muestra calculados de la información dada en la tabla 12.2.1 son :X = 0.649 pulg y s = 0.177 pulg. Sustituyendo en las ecuaciones (12.2.2) y (12.2.3) se encuentra
J6s
a=-7T
TABLA 12.2.1
Lluvia máxima anual de 10 minutos en pulgad&s para Chicago, Illinois, 1913-1947 Año
o
1910
1920 0.53 0.76 0.57 0.80 0.66 0.68 0.68 0.61 0.88 0.49
1930 0.33 0.96 0.94 0.80 0.62 0.71 1.11 0.64 0.52 0.64
2 3 0.49 4 0.66 5 0.36 6 0.58 0.41 7 8 0.47 9 0.74 Media = 0.649 pu1g Desviación estándar = 0.177 pu1g
1940 0.34 0.70 0.57 0.92 0.66 0.65 0.63 0.60
1.500
398
HIDROLOGÍA APLICADA 30
FIGURA 12.2.1
25
Para cada uno de los tres tipos de distribuciones de valores extremos la variable x se grafica contra la variable reducida y calculada para la distribución de Valor Extremo Tipo I. La distribución Tipo I no es acotada en x, mientras que la distribución Tipo II tiene un límite inferior y la Tipo III tiene un límite superior (Fuente: Natural Environment Research Council, 1975, Figura 1.10, p. 41. Utilizada con autorización).
x-u y= -a
20
... .!l 15 ..0 .~
la
>
399
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
lO ,---,--,--,---,-~T
2
10
20
50
lOO años
o -2
-1
o
2 Variable reducida, y
4
5
Jf,
0.177
X
7T
=0.138 u =:X- 0.5772a
=0.649- 0.5772
X
0.138
=0.569 El modelo de probabilidad es X - 0.569)] F(x) = exp [ -exp ( - ----
0.138
6
Para determinar los valores de xr para varios valores del periodo de retorno T, es conveniente utilizar la variable reducida Yr· Para T = 5 años, la ecuación (12.2.7) da
-ln[ln(T
~ J]
-ln [1n(
~ J]
luego YT=
T-l
F(xT)=-T =
y, sustituyendo en (12.2.6),
5
= 1.500
(12.2.7) Para la distribución EVI,
XT
y la ecuación (12.2.8) da
se relaciona con YT mediante la ecuación (12.2.4 ), o = 0.569
(12.2.8)
+ 0.138
X
= 0.78 pulg
Las di-stribuciones de valor extremo han sido ampliamente utilizadas en hidrología. Éstas forman la base para el método estándar de análisis de frecuencia de crecientes en Gran Bretaña (Natural Environment Research Council, 1975). Las tormentas de lluvia son comúnmente modeladas utilizando la distribución de Valor Extremo Tipo 1 (Chow, 1953; Tomlinson, 1980), y los flujos de estiraje mediante la distribución Weibull, es decir, la distribución EVIII aplicada a- x (Gumbel, 1954, 1963). Ejemplo 12.2.1 Los valores máximos anuales para lluvias de 10 minutos de duración en Chicago, Illinois, desde 1913 hasta 1947 se presentan en la tabla 12.2.1. Desarrolle un modelo para el análisis de frecuencia de tormentas de lluvia utilizando la distribución de Valor Extremo Tipo 1 y calcule los valores máximos de lluvias de 10 minutos de duración con periodos de retorno de 5, 10 y 50 años en Chicago. Solución. Los momentos de la muestra calculados de la información dada en la tabla 12.2.1 son :X = 0.649 pulg y s = 0.177 pulg. Sustituyendo en las ecuaciones (12.2.2) y (12.2.3) se encuentra
J6s
a=-7T
TABLA 12.2.1
Lluvia máxima anual de 10 minutos en pulgad&s para Chicago, Illinois, 1913-1947 Año
o
1910
1920 0.53 0.76 0.57 0.80 0.66 0.68 0.68 0.61 0.88 0.49
1930 0.33 0.96 0.94 0.80 0.62 0.71 1.11 0.64 0.52 0.64
2 3 0.49 4 0.66 5 0.36 6 0.58 0.41 7 8 0.47 9 0.74 Media = 0.649 pu1g Desviación estándar = 0.177 pu1g
1940 0.34 0.70 0.57 0.92 0.66 0.65 0.63 0.60
1.500
400
HIDROLOGÍA APLICADA
401
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
Luego la lluvia de 1O minutos y de 5 años de periodo de retorno en Chicago tiene una magnitud de 0.78 pulg. Utilizando el mismo método los valores de 10 y 50 años resultan ser 0.88 pulg y 1.11 pulg respectivamente. En la información dada en la tabla 12.2.1 puede notarse que la lluvia con 50 años de periodo de retorno fue igualada una vez en los 35 años de información (en 1936), y la lluvia de 1O años de periodo de retorno fue igualada o excedida cuatro veces durante este periodo, de tal manera que la frecuencia de ocurrencia de valores de lluvia extrema observados es aproximadamente la predicha por el modelo.
FIGURA 12.3.1
12.3 ANÁLISIS DE FRECUENCIA UTILIZANDO FACTORES DE FRECUENCIA
X
El cálculo de las magnitudes de eventos extremos por el método utilizado en el ejemplo 12.2.1 requiere que la función de distribución de probabilidad sea invertible, es decir, dado un valor para T o [F(xr) = T/(T- l )], el correspondiente valor de xr puede determinarse. Algunas funciones de distribución de probabilidad no son fácilmente invertibles, incluyendo las distribuciones normal y Pearson Tipo III, requiriéndose un método alternativo para calcular las magnitudes de eventos extremos para estas distribuciones. La magnitud xr de un evento hidrológico extremo puede representarse como la media¡..¿ más una desviación Llxr de la variable con respecto a la media (véase la figura 12.3.1): JL
XT =
+
f::.xT
La magnitud de un evento extremo Xr expresado como una desviación K-, 0.5, 1 -pes sustituido por p en la ecuación ( 12.3.6) y el valor de z calculado al utilizar ( 12.3. 7) se le asigna un signo negativo. El error en esta fórmula es menor que 0.00045 en : (Abramowitz y Stegun, 1965). El factor de frecuencia Kr para la distribución normal es igual a z, tal como se mencionó anteriormente. Para la distribución lognormal, se aplica el mis procedimiento excepto que éste se aplica a los logaritmos de las variables y su media y desviación estándar son utilizadas en la ecuación (12.3.4).
1
Ejemplo 12.3.1 Calcule el factor de frecuencia para la distribución normal de un evento con un periodo de retorno de 50 años.
400
HIDROLOGÍA APLICADA
401
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
Luego la lluvia de 1O minutos y de 5 años de periodo de retorno en Chicago tiene una magnitud de 0.78 pulg. Utilizando el mismo método los valores de 10 y 50 años resultan ser 0.88 pulg y 1.11 pulg respectivamente. En la información dada en la tabla 12.2.1 puede notarse que la lluvia con 50 años de periodo de retorno fue igualada una vez en los 35 años de información (en 1936), y la lluvia de 1O años de periodo de retorno fue igualada o excedida cuatro veces durante este periodo, de tal manera que la frecuencia de ocurrencia de valores de lluvia extrema observados es aproximadamente la predicha por el modelo.
FIGURA 12.3.1
12.3 ANÁLISIS DE FRECUENCIA UTILIZANDO FACTORES DE FRECUENCIA
X
El cálculo de las magnitudes de eventos extremos por el método utilizado en el ejemplo 12.2.1 requiere que la función de distribución de probabilidad sea invertible, es decir, dado un valor para T o [F(xr) = T/(T- l )], el correspondiente valor de xr puede determinarse. Algunas funciones de distribución de probabilidad no son fácilmente invertibles, incluyendo las distribuciones normal y Pearson Tipo III, requiriéndose un método alternativo para calcular las magnitudes de eventos extremos para estas distribuciones. La magnitud xr de un evento hidrológico extremo puede representarse como la media¡..¿ más una desviación Llxr de la variable con respecto a la media (véase la figura 12.3.1): JL
XT =
+
f::.xT
La magnitud de un evento extremo Xr expresado como una desviación K-, 0.5, 1 -pes sustituido por p en la ecuación ( 12.3.6) y el valor de z calculado al utilizar ( 12.3. 7) se le asigna un signo negativo. El error en esta fórmula es menor que 0.00045 en : (Abramowitz y Stegun, 1965). El factor de frecuencia Kr para la distribución normal es igual a z, tal como se mencionó anteriormente. Para la distribución lognormal, se aplica el mis procedimiento excepto que éste se aplica a los logaritmos de las variables y su media y desviación estándar son utilizadas en la ecuación (12.3.4).
1
Ejemplo 12.3.1 Calcule el factor de frecuencia para la distribución normal de un evento con un periodo de retorno de 50 años.
402
HIDROLOGÍA APLICADA
403
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
Solución. Para T =50 años, p
= 1/50 = 0.02. De la ecuación ( 12.3.6)
=0.719
2
Utilizando (12.3.3),
w= [ln(fz)J'
= [ 1 n(0.~22)r
2
=0.649 = 0.78
+ 0.719
X
0.177
pulg
tal como se determinó en el ejemplo 12.2.1.
=2.7971
Luego, sustituyendo w en (12.3.7)
Kr=z = . _ 2 7971
2.51557 + 0.80285 X 2.7971 + 0.01033 X (2.7971)2 1 + 1.43279 X 2.7971 + 0.18927 X (2.7971) 2 + 0.00131 X (2.7971)3
=2.054
DISTRIBUCIONES DE VALOR EXTREMO. Para la distribución de Valor Extremo Tipo 1, Chow (1953) dedujo la siguiente expresión Kr = -
~{ 0.5772 + ln[ln(r~ 1)]}
(12.3.8)
Para expresar Ten términos de Kr, la anterior ecuación puede escribirse como
(12.3.9)
donde y= 0.5772. Cuando xr = J.L, la ecuación (12.3.5) arroja Kr = O y la ecuación (12.3.8) arroja T = 2.33 años. Este es el periodo de retorno de la media de la distribución de Valor Extremo Tipo 1. Para la distribución de Valor Extremo Tipo 11, el logaritmo de la variable sigue la distribución EVI. Para este caso, la ecuación ( 12.3.4) se utiliza para calcular Yr. utilizando el valor de Kr de (12.3.8). Ejemplo 12.3.2 Determine la lluvia de 5 años de periodo de retorno para Chicago utilizando el método de factor de frecuencia y la información de lluvia anual máxima dada en la tabla 12.2.1. Solución. La media y la desviación estándar de las lluvias anuales máximas en Chicago son x = 0.649 pulg y s = 0.177 pulg, respectivamente. Para T = 5, la ecuación ( 12.3.HJ da
Kr=-
=-
~{ 0.5772 + ln[ln(T~ 1)]} ~ { 0.5772 + In [1n( 5 ~ 1 )]}
DISTRIBUCIÓN LOG-PEARSON TIPO 111. Para esta distribución, el primer paso es tomar los logaritmos de la información hidrológica, y= log x. Usualmente se utilizan logaritmos con base 1O. Se calculan la media y, la desviación estándar Sv y el coeficiente de asimetría C.. para los logaritmos de los datos. El factor de frecuencia depende del periodo de retorno T y del coeficiente de asimetría C... Cuando C., = O el factor de frecuencia es igual a la variable normal estándar z. Cuando C.. "/:.O, Kr se aproxima por Kite (1977) como Kr = z
+
(z 2
-
1)k
+
1
3(z 3
-
2
6z)k - (z
2
-
l)k 3
+ zk 4 +
l
3k
5
(12.3.10)
donde k= C,./6. El valor de z para un periodo de retorno dado puede calcularse utilizando el procedimiento del ejemplo 12.3.1. La tabla 12.3.1 da los valores del factor de frecuencia para la distribución Pearson Tipo III (y log-Pearson tipo III) para diferentes valores del periodo de retorno y del coeficiente de asimetría. Ejemplo 12.3.3 Calcule los caudales anuales máximos con 5 y 50 años de periodo de retorno para el río Guadalupe cerca de Victoria, Texas, utilizando las distribuciones lognormal y log-Pearson Tipo III. La información desde 1935 a 1978 está dada enlatabla 12.1.1. Solución. Se toman los logaritmos de los valores de caudal y se calculan sus estadísticas: y= 4.2743, s, = 0.4027, e= -0.0696. Distribución lognormal. El factor de frecuencia puede obtenerse de la ecuación (12.3.7) o de la tabla 12.3.1 para un coeficiente de asimetría O. Para T =50 años, Kr fue calculado en el ejemplo 12.3.1 como K50 = 2.054; el mismo valor puede obtenerse de la tabla 12.3.1. Utilizando (12.3'.4)
+ Krsy Yso= 4.2743 + 2.054 x Yr=y
=5.101
Entonces Xso = (10)5.101
= 126,300 cfs
0.4027
402
HIDROLOGÍA APLICADA
403
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
Solución. Para T =50 años, p
= 1/50 = 0.02. De la ecuación ( 12.3.6)
=0.719
2
Utilizando (12.3.3),
w= [ln(fz)J'
= [ 1 n(0.~22)r
2
=0.649 = 0.78
+ 0.719
X
0.177
pulg
tal como se determinó en el ejemplo 12.2.1.
=2.7971
Luego, sustituyendo w en (12.3.7)
Kr=z = . _ 2 7971
2.51557 + 0.80285 X 2.7971 + 0.01033 X (2.7971)2 1 + 1.43279 X 2.7971 + 0.18927 X (2.7971) 2 + 0.00131 X (2.7971)3
=2.054
DISTRIBUCIONES DE VALOR EXTREMO. Para la distribución de Valor Extremo Tipo 1, Chow (1953) dedujo la siguiente expresión Kr = -
~{ 0.5772 + ln[ln(r~ 1)]}
(12.3.8)
Para expresar Ten términos de Kr, la anterior ecuación puede escribirse como
(12.3.9)
donde y= 0.5772. Cuando xr = J.L, la ecuación (12.3.5) arroja Kr = O y la ecuación (12.3.8) arroja T = 2.33 años. Este es el periodo de retorno de la media de la distribución de Valor Extremo Tipo 1. Para la distribución de Valor Extremo Tipo 11, el logaritmo de la variable sigue la distribución EVI. Para este caso, la ecuación ( 12.3.4) se utiliza para calcular Yr. utilizando el valor de Kr de (12.3.8). Ejemplo 12.3.2 Determine la lluvia de 5 años de periodo de retorno para Chicago utilizando el método de factor de frecuencia y la información de lluvia anual máxima dada en la tabla 12.2.1. Solución. La media y la desviación estándar de las lluvias anuales máximas en Chicago son x = 0.649 pulg y s = 0.177 pulg, respectivamente. Para T = 5, la ecuación ( 12.3.HJ da
Kr=-
=-
~{ 0.5772 + ln[ln(T~ 1)]} ~ { 0.5772 + In [1n( 5 ~ 1 )]}
DISTRIBUCIÓN LOG-PEARSON TIPO 111. Para esta distribución, el primer paso es tomar los logaritmos de la información hidrológica, y= log x. Usualmente se utilizan logaritmos con base 1O. Se calculan la media y, la desviación estándar Sv y el coeficiente de asimetría C.. para los logaritmos de los datos. El factor de frecuencia depende del periodo de retorno T y del coeficiente de asimetría C... Cuando C., = O el factor de frecuencia es igual a la variable normal estándar z. Cuando C.. "/:.O, Kr se aproxima por Kite (1977) como Kr = z
+
(z 2
-
1)k
+
1
3(z 3
-
2
6z)k - (z
2
-
l)k 3
+ zk 4 +
l
3k
5
(12.3.10)
donde k= C,./6. El valor de z para un periodo de retorno dado puede calcularse utilizando el procedimiento del ejemplo 12.3.1. La tabla 12.3.1 da los valores del factor de frecuencia para la distribución Pearson Tipo III (y log-Pearson tipo III) para diferentes valores del periodo de retorno y del coeficiente de asimetría. Ejemplo 12.3.3 Calcule los caudales anuales máximos con 5 y 50 años de periodo de retorno para el río Guadalupe cerca de Victoria, Texas, utilizando las distribuciones lognormal y log-Pearson Tipo III. La información desde 1935 a 1978 está dada enlatabla 12.1.1. Solución. Se toman los logaritmos de los valores de caudal y se calculan sus estadísticas: y= 4.2743, s, = 0.4027, e= -0.0696. Distribución lognormal. El factor de frecuencia puede obtenerse de la ecuación (12.3.7) o de la tabla 12.3.1 para un coeficiente de asimetría O. Para T =50 años, Kr fue calculado en el ejemplo 12.3.1 como K50 = 2.054; el mismo valor puede obtenerse de la tabla 12.3.1. Utilizando (12.3'.4)
+ Krsy Yso= 4.2743 + 2.054 x Yr=y
=5.101
Entonces Xso = (10)5.101
= 126,300 cfs
0.4027
404
HIDROLOGÍA APLICADA
TABLA 12.3.1
Valores de KT para la distribución Pearson Tipo 111 (asimetría positiva)
(cont.) Valores de Kr para la distribución Pearson Tipo 111 (asimetría negativa)
TABLA 12.3.1
Periodo de retorno en años 2
5
Coeficiente de asimetría
CsoCw 3.0 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 l. O 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
Periodo de retorno en añQS
10 25 50 100 Probabilidad de excedencia
200
2
0.50
0.20
0.10
0.04
0.02
0.01
0.005
Coeficiente de asimetría 0.50 Cs o c•.
--0.396 --0.390 --0.384 --0.376 --0.368 --0.360 --0.351 --0.341 --0.330 --0.319 --0.307 --0.294 --0.282 --0.268 --0.254 --0.240 --0.225 --0.210 --0.195 --0.180 --0.164 --0.148 --0.132 --0.116 --0.099 --0.083 --0.066 --0.050 --0.033 --0.017
0.420 0.440 0.460 0.479 0.499 0.518 0.537 0.555 0.574 0.592 0.609 0.627 0.643 0.660 0.675 0.690 0.705 0.719 0.732 0.745 0.758 0.769 0.780 0.790 0.800 0.808 0.816 0.824 0.830 0.836 0.842
1.180 1.195 1.210 1.224 1.238 1.250 1.262 1.274 1.284 1.294 1.302 1.310 1.318 1.324 1.329 1.333 1.337 1.339 1.340 1.341 1.340 1.339 1.336 1.333 1.328 1.323 1.317 1.309 1.301 1.292 1.282
2.278 2.277 2.275 2.272 2.267 2.262 2.256 2.248 2.240 2.230 2.219 2.207 2.193 2.179 2.163 2.146 2.128 2.108 2.087 2.066 2.043 2.018 1.993 1.967 1.939 1.910 1.880 1.849 1.818 1.785 1.751
3.152 3.134 3.114 3.093 3.071 3.048 3.023 2.997 2.970 2.942 2.912 2.881 2.848 2.815 2.780 2.743 2.706 2.666 2.626 2.585 2.542 2.498 2.453 2.407 2.359 2.311 2.261 2.211 2.159 2.107 2.054
4.051 4.013 3.973 3.932 3.889 3.845 3.800 3.753 3.705 3.656 3.605 3.553 3.499 3.444 3.388 3.330 3.271 3.211 3.149 3.087 3.022 2.957 2.891 2.824 2.755 2.686 2.615 2.544 2.472 2.400 2.326
4.970 4.909 4.847 4.783 4.718 4.652 4.584 4.515 4.444 4.372 4.298 4.223 4.147 4.069 3.990 3.910 3.828 3.745 3.661 3.575 3.489 3.401 3.312 3.223 3.132 3.041 2.949 2.856 2.763 2.670 2.576
--0.1 --0.2 --0.3 --0.4 --0.5 --0.6 --0.7 --0.8 --0.9 -l. O -1.1 -1.2 -1.3 -1.4 -1.5 -1.6 -1.7 -1.8 -1.9 -2.0 -2.1 -2.2 -2.3 -2.4 -2.5 -2.6 -2.7 -2.8 -2.9 -3.0
o
405
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
0.017 0.033 0.050 0.066 0.083 0.099 0.116 0.132 0.148 0.164 0.180 0.195 0.210 0.225 0.240 0.254 0.268 0.282 0.294 0.307 0.319 0.330 0.341 0.351 0.360 0.368 0.376 0.384 0.390 0.396
5
25 10 50 Probabilidad de excedencia
100
200
0.20
0.10
0.04
0.02
0.01
0.005
0.846 0.850 0.853 0.855 0.856 0.857 0.857 0.856 0.854 0.852 0.848 0.844 0.838 0.832 0.825 0.817 0.808 0.799 0.788 0.777 0.765 0.752 0.739 0.725 0.711 0.696 0.681 0.666 0.651 0.636
1.270 1.258 1.245 1.231 1.216 1.200 1.183 1.166 1.147 1.128 1.107 1.086 1.064 1.041 1.018 0.994 0.970 0.945 0.920 0.895 0.869 0.844 0.819 0.795 0.771 0.747 0.724 0.702 0.681 0.666
1.716 1.680 1.643 1.606 1.567 1.528 1.488 1.448 1.407 1.366 1.324 1.282 1.240 1.198 1.157 1.116 1.075 1.035 0.996 0.959 0.923 0.888 0.855 0.823 0.793 0.764 0.738 0.712 0.683 0.666
2.000 1.945 1.890 1.834 1.777 1.720 1.663 1.606 1.549 1.492 1.435 1.379 1.324 1.270 1.217 1.166 1.116 1.069 1.023 0.980 0.939 0.900 0.864 0.830 0.798 0.768 0.740 0.714 0.689 0.666
2.252 2.178 2.104 2.029 1.955 1.880 1.806 1.733 1.660 1.588 1.518 1.449 1.383 1.318 1.256 1.197 1.140 1.087 1.037 0.990 0.946 0.905 0.867 0.832 0.799 0.769 0.740 0.714 0.690 0.667
2.482 2.388 2>.294 2.201 2.108 2.016 1.926 1.837 1.749 1.664 1.581 1.501 1.424 1.351 1.282 1.216 1.155 1.097 1.044 0.995 0.949 0.907 0.869 0.833 0.800 0.769 0.741 0.714 0.690 0.667
Fuente: U. S. Water Resources Council ( 1981 ).
Similarmente, de la tabla 12.3.1 K5 = 0.842, y 5 = 4.2743 + 0.842 X 0.4027 = 4.6134 Y x 5 = (10) 4 · 6134 = 41,060 cfs. . Distribución log-Pearson Tipo //1. Para C., = - 0.0696, el valor de Kso se obtiene mediante interpolación en la tabla 12.3.1 o utilizando la ecuación (12.3.10). Por interpolación con T = 50 años: 2 00 2 054 - · ) ( -0.0696- O) (-0.1- O)
K50 = 2.054 + ( .
= 2.016
Luego y 50 =y+ K 5 oS, = 4.2743 + 2.016 X 0.4027 = 5.0863 y Xso = (10) 5 ·0863 = 121,990 cfs. Utilizando un cálculo similar K 5 = 0.845, y 5 = 4.6146 y Xs = 41,170 cfs. Los resultados para los caudales máximos anuales estimados son:
Periodo de retorno
Lognormal (Cs =O) Log-Pearson Tipo 111 (C.,= -0.07)
5 años
50 años
41,060
126,300
41,170
121,990
Puede observarse que el efecto de incluir el pequeño coeficiente de asimetría negativa en los cálculos es el de alterar levemente el caudal estimado, y ese efecto es más pronunciado en T = 50 años que en T = 5 años. Otro aspecto de los resultados es que el es-
404
HIDROLOGÍA APLICADA
TABLA 12.3.1
Valores de KT para la distribución Pearson Tipo 111 (asimetría positiva)
(cont.) Valores de Kr para la distribución Pearson Tipo 111 (asimetría negativa)
TABLA 12.3.1
Periodo de retorno en años 2
5
Coeficiente de asimetría
CsoCw 3.0 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 l. O 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
Periodo de retorno en añQS
10 25 50 100 Probabilidad de excedencia
200
2
0.50
0.20
0.10
0.04
0.02
0.01
0.005
Coeficiente de asimetría 0.50 Cs o c•.
--0.396 --0.390 --0.384 --0.376 --0.368 --0.360 --0.351 --0.341 --0.330 --0.319 --0.307 --0.294 --0.282 --0.268 --0.254 --0.240 --0.225 --0.210 --0.195 --0.180 --0.164 --0.148 --0.132 --0.116 --0.099 --0.083 --0.066 --0.050 --0.033 --0.017
0.420 0.440 0.460 0.479 0.499 0.518 0.537 0.555 0.574 0.592 0.609 0.627 0.643 0.660 0.675 0.690 0.705 0.719 0.732 0.745 0.758 0.769 0.780 0.790 0.800 0.808 0.816 0.824 0.830 0.836 0.842
1.180 1.195 1.210 1.224 1.238 1.250 1.262 1.274 1.284 1.294 1.302 1.310 1.318 1.324 1.329 1.333 1.337 1.339 1.340 1.341 1.340 1.339 1.336 1.333 1.328 1.323 1.317 1.309 1.301 1.292 1.282
2.278 2.277 2.275 2.272 2.267 2.262 2.256 2.248 2.240 2.230 2.219 2.207 2.193 2.179 2.163 2.146 2.128 2.108 2.087 2.066 2.043 2.018 1.993 1.967 1.939 1.910 1.880 1.849 1.818 1.785 1.751
3.152 3.134 3.114 3.093 3.071 3.048 3.023 2.997 2.970 2.942 2.912 2.881 2.848 2.815 2.780 2.743 2.706 2.666 2.626 2.585 2.542 2.498 2.453 2.407 2.359 2.311 2.261 2.211 2.159 2.107 2.054
4.051 4.013 3.973 3.932 3.889 3.845 3.800 3.753 3.705 3.656 3.605 3.553 3.499 3.444 3.388 3.330 3.271 3.211 3.149 3.087 3.022 2.957 2.891 2.824 2.755 2.686 2.615 2.544 2.472 2.400 2.326
4.970 4.909 4.847 4.783 4.718 4.652 4.584 4.515 4.444 4.372 4.298 4.223 4.147 4.069 3.990 3.910 3.828 3.745 3.661 3.575 3.489 3.401 3.312 3.223 3.132 3.041 2.949 2.856 2.763 2.670 2.576
--0.1 --0.2 --0.3 --0.4 --0.5 --0.6 --0.7 --0.8 --0.9 -l. O -1.1 -1.2 -1.3 -1.4 -1.5 -1.6 -1.7 -1.8 -1.9 -2.0 -2.1 -2.2 -2.3 -2.4 -2.5 -2.6 -2.7 -2.8 -2.9 -3.0
o
405
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
0.017 0.033 0.050 0.066 0.083 0.099 0.116 0.132 0.148 0.164 0.180 0.195 0.210 0.225 0.240 0.254 0.268 0.282 0.294 0.307 0.319 0.330 0.341 0.351 0.360 0.368 0.376 0.384 0.390 0.396
5
25 10 50 Probabilidad de excedencia
100
200
0.20
0.10
0.04
0.02
0.01
0.005
0.846 0.850 0.853 0.855 0.856 0.857 0.857 0.856 0.854 0.852 0.848 0.844 0.838 0.832 0.825 0.817 0.808 0.799 0.788 0.777 0.765 0.752 0.739 0.725 0.711 0.696 0.681 0.666 0.651 0.636
1.270 1.258 1.245 1.231 1.216 1.200 1.183 1.166 1.147 1.128 1.107 1.086 1.064 1.041 1.018 0.994 0.970 0.945 0.920 0.895 0.869 0.844 0.819 0.795 0.771 0.747 0.724 0.702 0.681 0.666
1.716 1.680 1.643 1.606 1.567 1.528 1.488 1.448 1.407 1.366 1.324 1.282 1.240 1.198 1.157 1.116 1.075 1.035 0.996 0.959 0.923 0.888 0.855 0.823 0.793 0.764 0.738 0.712 0.683 0.666
2.000 1.945 1.890 1.834 1.777 1.720 1.663 1.606 1.549 1.492 1.435 1.379 1.324 1.270 1.217 1.166 1.116 1.069 1.023 0.980 0.939 0.900 0.864 0.830 0.798 0.768 0.740 0.714 0.689 0.666
2.252 2.178 2.104 2.029 1.955 1.880 1.806 1.733 1.660 1.588 1.518 1.449 1.383 1.318 1.256 1.197 1.140 1.087 1.037 0.990 0.946 0.905 0.867 0.832 0.799 0.769 0.740 0.714 0.690 0.667
2.482 2.388 2>.294 2.201 2.108 2.016 1.926 1.837 1.749 1.664 1.581 1.501 1.424 1.351 1.282 1.216 1.155 1.097 1.044 0.995 0.949 0.907 0.869 0.833 0.800 0.769 0.741 0.714 0.690 0.667
Fuente: U. S. Water Resources Council ( 1981 ).
Similarmente, de la tabla 12.3.1 K5 = 0.842, y 5 = 4.2743 + 0.842 X 0.4027 = 4.6134 Y x 5 = (10) 4 · 6134 = 41,060 cfs. . Distribución log-Pearson Tipo //1. Para C., = - 0.0696, el valor de Kso se obtiene mediante interpolación en la tabla 12.3.1 o utilizando la ecuación (12.3.10). Por interpolación con T = 50 años: 2 00 2 054 - · ) ( -0.0696- O) (-0.1- O)
K50 = 2.054 + ( .
= 2.016
Luego y 50 =y+ K 5 oS, = 4.2743 + 2.016 X 0.4027 = 5.0863 y Xso = (10) 5 ·0863 = 121,990 cfs. Utilizando un cálculo similar K 5 = 0.845, y 5 = 4.6146 y Xs = 41,170 cfs. Los resultados para los caudales máximos anuales estimados son:
Periodo de retorno
Lognormal (Cs =O) Log-Pearson Tipo 111 (C.,= -0.07)
5 años
50 años
41,060
126,300
41,170
121,990
Puede observarse que el efecto de incluir el pequeño coeficiente de asimetría negativa en los cálculos es el de alterar levemente el caudal estimado, y ese efecto es más pronunciado en T = 50 años que en T = 5 años. Otro aspecto de los resultados es que el es-
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HIDROLOGÍA APLICADA
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ANÁLISIS DE FRECUENCIA
timativo para 50 años de periodo de retomo es alrededor de tres veces más grande que el estimativo para 5 años de periodo de retorno; para este ejemplo, el incremento en los caudales de creciente estimados es menor que el incremento proporcional en el periodo de retorno.
Las dos ecuaciones anteriores representan los límites dentro de los cuales deberían localizarse las posiciones de graficación apropiadas. Un término medio entre estas dos ecuaciones es
Como una verificación de que la distribución de probabilidad se ajusta a un conjunto de datos hidrológicos, éstos pueden graficarse en un papel de probabilidad diseñado especialmente o utilizando una escala de graficación que linealice la función de distribución. Luego, los datos graficados se ajustan por medio de una línea recta con propósitos de interpolación y extrapolación.
Papel de probabilidad La probabilidad acumulada de una distribución teórica puede representarse gráficamente en un papel de probabilidad diseñado para la distribución. En uno de estos papeles las ordenadas usualmente representan el valor de x en una cierta escala y las abscisas representan la probabilidad P (X 2: x) o P (X< x), el periodo de retorno T o la variable reducida yr. Las escalas para las ordenadas y las abscisas están diseñadas de tal manera que se espera que los datos que van a ser ajustados aparezcan cercanos a una línea recta. El propósito del uso del papel de probabilidad es el de linealizar la relación de probabilidad de tal manera que los datos graficados puedan ser fácilmente utilizados para interpolación, extrapolación o con propósitos de comparación. En el caso de la extrapolación, sin embargo, el efecto de varios errores se aumenta frecuentemente; por consiguiente, los hidrólogos deben alertarse contra tal práctica si no se tiene en cuenta algún tipo de consideración contra este efecto.
Posiciones de graficación Una posición de graficación se refiere al valor de la probabilidad asignada a cada uno de los datos que van a graficarse. Se han propuesto numerosos métodos para la determinación de las posiciones de graficación, la mayoría de los cuales son empíricos. Si n es el número total de los valores que van a ser graficados y m es la posición de un valor en una lista ordenada por magnitud descendente, la probabilidad de excedencia del m-ésimo valor mayor, xm, es, para un n grande, P(X 2':
(12.4.1)
Sin embargo, esta fórmula simple (conocida como la fórmula de California) produce una probabilidad del ciento por ciento para m = n, que puede ser difícil de graficar en una escala de probabilidad. Como un ajuste, la anterior ecuación puede modificarse a P(X 2: Xm)
m-l
= -n
(12.4.2)
Aun cuando esta ecuación no produce una probabilidad del ciento por ciento, sí produce una probabilidad de cero (para m =1), lo cual también puede ser difícil de graficar en un papel de probabilidad.
(12.4.3)
la cual fue propuesta por primera vez por Hazen (1930). Otra ecuación intermedia (conocida como la de Chegodayev) ampliamente utilizada en Rusia y los países de Europa Oriental es P(X 2': Xm)
m Xm) = n
m- 0.5 n
P(X 2: Xm) =
12.4 GRÁFICAS DE PROBABILIDAD
=
m -0.3 O n + .4
(12.4.4)
La ecuación de Weibull es un término medio con una mejor justificación estadística. Si los n valores están uniformemente distribuidos entre el O y el 100% de probabilidad, entonces deben existir n + 1 intervalos, n- 1 entre los puntos de los datos y 2 en los extremos. Este sistema simple de graficación se expresa mediante la ecuación de Weibull: P(X 2': Xm)
=
m n + 1
(12.4.5)
indicando un periodo de retorno un año mayor que el periodo de retorno del registro del valor máximo. En la práctica, para una serie de duración completa (empleando toda la información, no solamente los valores extremos seleccionados), se utiliza la ecuación (12.4.1 ), con n refiriéndose al número total de los ítems en la información en lugar de al número de años. Para series anuales máximas, la ecuación (12.4.5), la cual es equivalente a la siguiente ecuación para periodo de retorno, fue adoptada como el método estándar de posición de graficación por el U.S. Water Resources Council (1981): (12.4.6) donde n se refiere al número de años en el registro. La mayor parte de las fórmulas de posición de graficación están representadas en la siguiente forma: P(X 2: Xm)
=
m- b n+l-2b
(12.4.7)
donde h es un parámetro. Por ejemplo, b = 0.5 para la fórmula de Hazen, b = 0.3 para la fórmula de Chegodayev, y b = O para la de Weibull. También, para algunos otros ejemplos b = 3/8 para la fórmula de Blom, 1/3 para la de Tukey y 0.44 para la de Gri ngorten (véase Chow, 1964). Cunnane (1978) estudió los diferentes métodos disponibles para las posiciones de graficación utilizando criterios de varianza mínima y no sesgo. Un método de graficación no sesgado es aquel que, si se utiliza para la graficación de un número grande de muestras de igual tamaño, resultará en que el promedio de los puntos gra-
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HIDROLOGÍA APLICADA
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ANÁLISIS DE FRECUENCIA
timativo para 50 años de periodo de retomo es alrededor de tres veces más grande que el estimativo para 5 años de periodo de retorno; para este ejemplo, el incremento en los caudales de creciente estimados es menor que el incremento proporcional en el periodo de retorno.
Las dos ecuaciones anteriores representan los límites dentro de los cuales deberían localizarse las posiciones de graficación apropiadas. Un término medio entre estas dos ecuaciones es
Como una verificación de que la distribución de probabilidad se ajusta a un conjunto de datos hidrológicos, éstos pueden graficarse en un papel de probabilidad diseñado especialmente o utilizando una escala de graficación que linealice la función de distribución. Luego, los datos graficados se ajustan por medio de una línea recta con propósitos de interpolación y extrapolación.
Papel de probabilidad La probabilidad acumulada de una distribución teórica puede representarse gráficamente en un papel de probabilidad diseñado para la distribución. En uno de estos papeles las ordenadas usualmente representan el valor de x en una cierta escala y las abscisas representan la probabilidad P (X 2: x) o P (X< x), el periodo de retorno T o la variable reducida yr. Las escalas para las ordenadas y las abscisas están diseñadas de tal manera que se espera que los datos que van a ser ajustados aparezcan cercanos a una línea recta. El propósito del uso del papel de probabilidad es el de linealizar la relación de probabilidad de tal manera que los datos graficados puedan ser fácilmente utilizados para interpolación, extrapolación o con propósitos de comparación. En el caso de la extrapolación, sin embargo, el efecto de varios errores se aumenta frecuentemente; por consiguiente, los hidrólogos deben alertarse contra tal práctica si no se tiene en cuenta algún tipo de consideración contra este efecto.
Posiciones de graficación Una posición de graficación se refiere al valor de la probabilidad asignada a cada uno de los datos que van a graficarse. Se han propuesto numerosos métodos para la determinación de las posiciones de graficación, la mayoría de los cuales son empíricos. Si n es el número total de los valores que van a ser graficados y m es la posición de un valor en una lista ordenada por magnitud descendente, la probabilidad de excedencia del m-ésimo valor mayor, xm, es, para un n grande, P(X 2':
(12.4.1)
Sin embargo, esta fórmula simple (conocida como la fórmula de California) produce una probabilidad del ciento por ciento para m = n, que puede ser difícil de graficar en una escala de probabilidad. Como un ajuste, la anterior ecuación puede modificarse a P(X 2: Xm)
m-l
= -n
(12.4.2)
Aun cuando esta ecuación no produce una probabilidad del ciento por ciento, sí produce una probabilidad de cero (para m =1), lo cual también puede ser difícil de graficar en un papel de probabilidad.
(12.4.3)
la cual fue propuesta por primera vez por Hazen (1930). Otra ecuación intermedia (conocida como la de Chegodayev) ampliamente utilizada en Rusia y los países de Europa Oriental es P(X 2': Xm)
m Xm) = n
m- 0.5 n
P(X 2: Xm) =
12.4 GRÁFICAS DE PROBABILIDAD
=
m -0.3 O n + .4
(12.4.4)
La ecuación de Weibull es un término medio con una mejor justificación estadística. Si los n valores están uniformemente distribuidos entre el O y el 100% de probabilidad, entonces deben existir n + 1 intervalos, n- 1 entre los puntos de los datos y 2 en los extremos. Este sistema simple de graficación se expresa mediante la ecuación de Weibull: P(X 2': Xm)
=
m n + 1
(12.4.5)
indicando un periodo de retorno un año mayor que el periodo de retorno del registro del valor máximo. En la práctica, para una serie de duración completa (empleando toda la información, no solamente los valores extremos seleccionados), se utiliza la ecuación (12.4.1 ), con n refiriéndose al número total de los ítems en la información en lugar de al número de años. Para series anuales máximas, la ecuación (12.4.5), la cual es equivalente a la siguiente ecuación para periodo de retorno, fue adoptada como el método estándar de posición de graficación por el U.S. Water Resources Council (1981): (12.4.6) donde n se refiere al número de años en el registro. La mayor parte de las fórmulas de posición de graficación están representadas en la siguiente forma: P(X 2: Xm)
=
m- b n+l-2b
(12.4.7)
donde h es un parámetro. Por ejemplo, b = 0.5 para la fórmula de Hazen, b = 0.3 para la fórmula de Chegodayev, y b = O para la de Weibull. También, para algunos otros ejemplos b = 3/8 para la fórmula de Blom, 1/3 para la de Tukey y 0.44 para la de Gri ngorten (véase Chow, 1964). Cunnane (1978) estudió los diferentes métodos disponibles para las posiciones de graficación utilizando criterios de varianza mínima y no sesgo. Un método de graficación no sesgado es aquel que, si se utiliza para la graficación de un número grande de muestras de igual tamaño, resultará en que el promedio de los puntos gra-
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HIDROLOGÍA APLICADA
ficados para cada valor de m cae en la línea de distribución teórica. Un método de graficación con varianza mínima es aquel que minimiza la varianza de los puntos graficados alrededor de la línea teórica. Cunnane concluyó que la ecuación de graficación de Weibull es sesgada y grafica los valores máximos de una muestra con periodos de retorno demasiado pequeños. Para datos normalmente distribuidos, él encontró que la posición de graficación (b ::::!· 3/8) de Blom (1958) está bastante cercana a ser no sesgada, mientras que para datos distribuidos de acuerdo con la distribución de Valor Extremo Tipo 1, la fórmula de Gringorten (b = 0.44) (1963) es la mejor. Para la distribución log-Pearson Tipo 111 el valor óptimo de b depende del valor del coeficiente de asimetría, siendo mayor que 3/8 cuando los datos tienen asimetría positiva y menor que 3/8 cuando los datos tienen asimetría negativa. Las mismas posiciones de graficación pueden aplicarse a los logaritmos de los datos, cuando se utiliza la distribución lognormal, por ejemplo. Una vez que la serie de datos ha sido identificada y ordenada y las posiciones de graficación calculadas, puede elaborarse una gráfica de magnitud (x) vs. probabilidad [(P (X> x), P(X < x), o T)] para ajustar gráficamente una distribución. Alternativamente, puede hacerse un ajuste analítico utilizando el método de los momentos y la línea ajustada resultante puede compararse con la información de la muestra.
1
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ANÁLISIS DE FRECUENCIA
Solución. Primero los datos se ordenan del mayor caudal (m= 1) al menor (m = n = 44), tal como se muestra en las columnas 1 y 2 de la tabla 12.4. 1. Se utiliza la ecuación de graficación de Blom, debido a que los logaritmos de los datos se están ajustando a una distribución normal. La ecuación de Blom utilizab = 3/8 en la ecuación (12.4.7). Por ejemplo, para m= 1, la probabilidad de excedencia P(Q ;:, 179,000 cfs) = (m - 3/8)/(n + 1 - 6/8) = (1- 3/8)/(44 + 1/4) = 0.014, tal como se muestra en la columna 3 de la tabla 12.4.1. El valor correspondiente de la variable normal estándar z se determina utilizando p = 0.014 en las ecuaciones (12.3.6) y (12.3.7) en la forma mostrada en el ejemplo 12.3.1; el resultado, z = 2. 194, se lista en la columna 4 de la tabla. La magnitud de evento con la misma probabilidad de excedencia en la distribución lognormal ajustada se encuentra al utilizar el método del factordefrecuenciacony= 4.2743, s,. = 0.40,27y KT= z = 2.194;el resultado es log Q = 4.2743 + 2.194 x 0.4027 = 5.158 (c.olumna 5). Este valor se compara con log Q para la observación, es decir, log ( 179,000) = 5 .253, tal como se muestra en la columna 6. Las observaciones están graficadas junto con la curva ajustada en la figura 12.4. 1, en la cual el valor de la variable normal estándar se utiliza como el eje horÍzontal para lineal izar la gráfica; esto es equivalente a utilizar un papel de graficación de probabilidad normal. La gráfica muestra que la línea ajustada es consistente con las observaciones, aun para la mayor con un valor de 179,000 cfs, el cual aparece bastante diferente al resto de los datos en la figura 12. l. l.
Ejemplo 12.4.1 Desarrolle un análisis de graficación de probabilidad para los caudales máximos anuales del río Guadalupe cerca de Victoria, Texas, dados en la tabla 12.1.1. Compare los datos graficados con la distribución lognormal ajustada a ellos en el ejemplo 12.3.3. Periodo de retorno T (años) 2 10 Probabilidad de excedencia (1 /T) 0.998 0.99 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1
TABLA 12.4.1 Graficación de probabilidades utilizando la distribución normal y la fórmula de Blom para los caudales máximos anuales en el río Guadalupe cerca de Victoria, Texas (ejemplo 12.4.1) 100,000 Columna:
1 Caudal
Q (cfs)
2 Rango m
3
+ 1/4
4 Variable normal estándar z
Probabilidad de excedencia
!!!.=..3LB. n
5 6 Log Qdela Log Q distribución de los datos log normal
179,000 70,000 58,500 58,300 58,000
1 2 3 4 5
0.014 0.037 0.059 0.082 0.105
2.194 1.790 1.561 1.393 1.256
5.158 4.995 4.903 4.835 4.780
5.253 4.845 4.767 4.766 4.763
5,720 4,950 4,940 4,100 1,730
40 41 42 43
0.895 0.918 0.941 0.963 0.986
-1.256 -1.393 -1.561 -1.790 -2.194
3.768 3.714 3.646 3.553 3.391
3.757 3.695 3.694 3.613 3.238
0.01 0.002
....... .
;§' ~
-¡¡¡ 'O :::3
u"'
10.000
. 1,000
1
-3
-1
-2
o
2
Variable normal estándar z 0.002 0.01
44
100 500
0.1
0.3 0.5 0.7 Probabilidad acumulada
0.9
0.99 0.998
FIGURA 12.4.1 Caudal máximo anual para el río Guadalupe cerca de Victoria, Texas, graficado utilizando la fórmula de Blom en una escala probabilística para la distribución lognormal.
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HIDROLOGÍA APLICADA
ficados para cada valor de m cae en la línea de distribución teórica. Un método de graficación con varianza mínima es aquel que minimiza la varianza de los puntos graficados alrededor de la línea teórica. Cunnane concluyó que la ecuación de graficación de Weibull es sesgada y grafica los valores máximos de una muestra con periodos de retorno demasiado pequeños. Para datos normalmente distribuidos, él encontró que la posición de graficación (b ::::!· 3/8) de Blom (1958) está bastante cercana a ser no sesgada, mientras que para datos distribuidos de acuerdo con la distribución de Valor Extremo Tipo 1, la fórmula de Gringorten (b = 0.44) (1963) es la mejor. Para la distribución log-Pearson Tipo 111 el valor óptimo de b depende del valor del coeficiente de asimetría, siendo mayor que 3/8 cuando los datos tienen asimetría positiva y menor que 3/8 cuando los datos tienen asimetría negativa. Las mismas posiciones de graficación pueden aplicarse a los logaritmos de los datos, cuando se utiliza la distribución lognormal, por ejemplo. Una vez que la serie de datos ha sido identificada y ordenada y las posiciones de graficación calculadas, puede elaborarse una gráfica de magnitud (x) vs. probabilidad [(P (X> x), P(X < x), o T)] para ajustar gráficamente una distribución. Alternativamente, puede hacerse un ajuste analítico utilizando el método de los momentos y la línea ajustada resultante puede compararse con la información de la muestra.
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ANÁLISIS DE FRECUENCIA
Solución. Primero los datos se ordenan del mayor caudal (m= 1) al menor (m = n = 44), tal como se muestra en las columnas 1 y 2 de la tabla 12.4. 1. Se utiliza la ecuación de graficación de Blom, debido a que los logaritmos de los datos se están ajustando a una distribución normal. La ecuación de Blom utilizab = 3/8 en la ecuación (12.4.7). Por ejemplo, para m= 1, la probabilidad de excedencia P(Q ;:, 179,000 cfs) = (m - 3/8)/(n + 1 - 6/8) = (1- 3/8)/(44 + 1/4) = 0.014, tal como se muestra en la columna 3 de la tabla 12.4.1. El valor correspondiente de la variable normal estándar z se determina utilizando p = 0.014 en las ecuaciones (12.3.6) y (12.3.7) en la forma mostrada en el ejemplo 12.3.1; el resultado, z = 2. 194, se lista en la columna 4 de la tabla. La magnitud de evento con la misma probabilidad de excedencia en la distribución lognormal ajustada se encuentra al utilizar el método del factordefrecuenciacony= 4.2743, s,. = 0.40,27y KT= z = 2.194;el resultado es log Q = 4.2743 + 2.194 x 0.4027 = 5.158 (c.olumna 5). Este valor se compara con log Q para la observación, es decir, log ( 179,000) = 5 .253, tal como se muestra en la columna 6. Las observaciones están graficadas junto con la curva ajustada en la figura 12.4. 1, en la cual el valor de la variable normal estándar se utiliza como el eje horÍzontal para lineal izar la gráfica; esto es equivalente a utilizar un papel de graficación de probabilidad normal. La gráfica muestra que la línea ajustada es consistente con las observaciones, aun para la mayor con un valor de 179,000 cfs, el cual aparece bastante diferente al resto de los datos en la figura 12. l. l.
Ejemplo 12.4.1 Desarrolle un análisis de graficación de probabilidad para los caudales máximos anuales del río Guadalupe cerca de Victoria, Texas, dados en la tabla 12.1.1. Compare los datos graficados con la distribución lognormal ajustada a ellos en el ejemplo 12.3.3. Periodo de retorno T (años) 2 10 Probabilidad de excedencia (1 /T) 0.998 0.99 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1
TABLA 12.4.1 Graficación de probabilidades utilizando la distribución normal y la fórmula de Blom para los caudales máximos anuales en el río Guadalupe cerca de Victoria, Texas (ejemplo 12.4.1) 100,000 Columna:
1 Caudal
Q (cfs)
2 Rango m
3
+ 1/4
4 Variable normal estándar z
Probabilidad de excedencia
!!!.=..3LB. n
5 6 Log Qdela Log Q distribución de los datos log normal
179,000 70,000 58,500 58,300 58,000
1 2 3 4 5
0.014 0.037 0.059 0.082 0.105
2.194 1.790 1.561 1.393 1.256
5.158 4.995 4.903 4.835 4.780
5.253 4.845 4.767 4.766 4.763
5,720 4,950 4,940 4,100 1,730
40 41 42 43
0.895 0.918 0.941 0.963 0.986
-1.256 -1.393 -1.561 -1.790 -2.194
3.768 3.714 3.646 3.553 3.391
3.757 3.695 3.694 3.613 3.238
0.01 0.002
....... .
;§' ~
-¡¡¡ 'O :::3
u"'
10.000
. 1,000
1
-3
-1
-2
o
2
Variable normal estándar z 0.002 0.01
44
100 500
0.1
0.3 0.5 0.7 Probabilidad acumulada
0.9
0.99 0.998
FIGURA 12.4.1 Caudal máximo anual para el río Guadalupe cerca de Victoria, Texas, graficado utilizando la fórmula de Blom en una escala probabilística para la distribución lognormal.
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HIDROLOGÍA APLICADA
12.5 MÉTODO DEL WATER RESOURCES COUNCIL El U.S. Water Resources Council* recomendó que la distribución log-Pearson Tipo III fuera utilizada como una distribución base para estudios de frecuencia de caudales de crecientes (U.S. Water Resources Council, 1967, 1976, 1977 y 1981; Benson, 1968). Esta decisión fue un intento para promover un método de determinación de frecuencias de caudales de crecientes consistente y uniforme para ser usado en toda la planificación federal que involucre recursos hídricos y de tierra relacionados. Sin embargo, la escogencia de la distribución log-Pearson Tipo III es subjetiva en alguna forma, en el sentido de que existen varios criterios que pueden emplearse para seleccionar la mejor distribución, y ninguna distribución de probabilidad es la mejor bajo todos los criterios.
Determinación del coeficiente de asimetría
lf
El coeficiente de asimetría utilizado en el ajuste de la distribución log-Pearson Tipo III es muy sensible al tamaño de la muestra y, en particular, es difícil de estimar en forma acertada utilizando muestras pequeñas. Debido a esto, el Water Resources Council recomendó la utilización de un estimativo generalizado para el coeficiente de asimetría, Cv, basado en la ecuación
Cr
= WCs
+
(l - W)Cn
(12.5.1)
donde W es un factor de ponderación, C. es el coeficiente de asimetría calculado utilizando la información de la muestra y Cm es una asimetría de mapa, la cual es leída en un mapa tal como el que se muestra en la figura 12.5 .l. El factor de ponderación W se calcula de tal manera que se minimice la varianza de C.,, como se explica a continuación. Se supone que los estimativos de los coeficientes de asimetría de muestra y de asimetría de mapa en la ecuación (12.5 .1) son independientes con la misma media y diferentes varianzas, V(C,) y V(Cm). La varianza de la asimetría ponderada, V(C.,), puede expresarse como (12.5.2) El valor de W que minimiza la varianza Cw puede determinarse diferenciando (12.5.2) con respecto a W y resolviendo d[V(Cw)]ldW = O para W con el fin de obtener
W=
(12.5.3)
La segunda derivada (12.5.4) *El U.S. Water Resources Council fue abolido en 1981. El trabajo de esta agencia en las pautas para determinar las frecuencias de flujos de crecientes fue asumido por el Interagency Advisory Commitee on Water Data, U.S. Geological Survey, Reston, Virginia.
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
411
lf
410 HIDROLOGÍA APLICADA
12.5 MÉTODO DEL WATER RESOURCES COUNCIL El U.S. Water Resources Council* recomendó que la distribución log-Pearson Tipo III fuera utilizada como una distribución base para estudios de frecuencia de caudales de crecientes (U.S. Water Resources Council, 1967, 1976, 1977 y 1981; Benson, 1968). Esta decisión fue un intento para promover un método de determinación de frecuencias de caudales de crecientes consistente y uniforme para ser usado en toda la planificación federal que involucre recursos hídricos y de tierra relacionados. Sin embargo, la escogencia de la distribución log-Pearson Tipo III es subjetiva en alguna forma, en el sentido de que existen varios criterios que pueden emplearse para seleccionar la mejor distribución, y ninguna distribución de probabilidad es la mejor bajo todos los criterios.
Determinación del coeficiente de asimetría
= WCs
+ (l - W)Cn
(12.5.1)
El coeficiente de asimetría utilizado en el ajuste de la distribución log-Pearson Tipo III es muy sensible al tamaño de la muestra y, en particular, es difícil de estimar en forma acertada utilizando muestras pequeñas. Debido a esto, el Water Resources Council recomendó la utilización de un estimativo generalizado para el coeficiente de asimetría, Cv, basado en la ecuación
Cr
(12.5.2)
donde W es un factor de ponderación, C. es el coeficiente de asimetría calculado utilizando la información de la muestra y Cm es una asimetría de mapa, la cual es leída en un mapa tal como el que se muestra en la figura 12.5 .l. El factor de ponderación W se calcula de tal manera que se minimice la varianza de C.,, como se explica a continuación. Se supone que los estimativos de los coeficientes de asimetría de muestra y de asimetría de mapa en la ecuación (12.5 .1) son independientes con la misma media y diferentes varianzas, V(C,) y V(Cm). La varianza de la asimetría ponderada, V(C.,), puede expresarse como
W=
(12.5.3)
El valor de W que minimiza la varianza Cw puede determinarse diferenciando (12.5.2) con respecto a W y resolviendo d[V(Cw)]ldW = O para W con el fin de obtener
La segunda derivada (12.5.4) *El U.S. Water Resources Council fue abolido en 1981. El trabajo de esta agencia en las pautas para determinar las frecuencias de flujos de crecientes fue asumido por el Interagency Advisory Commitee on Water Data, U.S. Geological Survey, Reston, Virginia.
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
411
412
HIDROLOGÍA APLICADA
es mayor que cero, confirmando que el peso dado por (12.5.3) minimiza la varianza de la asimetría, V(C..). La determinación de W utilizando la ecuación (12.5.3) requiere el conocimiento de V(C.,) y V(C,). V(C.,) se estima del mapa del coeficiente de asimetría para los Estados Unidos como 0.3025. Alternativamente, V(C.,) puede deducirse de un estudio de regresión que relacione la asimetría con las características fisiográficas y meteorológicas de las cuencas (Tung y Mays, 1981 ). Sustituyendo la ecuación (12.5.3) en la ecuación (12.5.1), la asimetría ponderada C. puede escribirse como
C.,. = V(C,n)Cs V(C 111 )
+ V(Cs)Cm + V(Cs)
(12.5.5)
La varianza de la asimetría por estación C para las variables aleatorias logPearson Tipo III pueden obtenerse de los resultados de los experimentos Monte Cario hechos por Wallis, Matalas & Slack (1974). Ellos demostraron que V(C,) de la asimetría logarítmica de estación es una función de la longitud del registro y de la asimetría de la población. Para usarse en el cálculo de C,., esta función puede aproximarse, con suficiente exactitud, como V(Cs)
=
wA-B log¡o(n/10)
(12.5.6)
donde
+ 0.08jCsl - 0.52 + 0.30jCsl
si
!Csl :::; 0.90
(12.5.7a)
si
!Csl > 0.90
(12.5.7b)
B=
0.94- 0.26jCsl
si
!Csl
1.50
(12.5.7c)
B=
0.55
si
!Csl > 1.50
(12.5.7d)
A o
o
A
- 0.33
:S
413
ANÁLISIS DE FRECUENCIA TABLA 12.5.1
Cálculo de las estadísticas para los logaritmos de los caudales máximos anuales de la quebrada Walnut (ejemplo 12.5.1) Columna:
2
3
4
y= logx
(y-
S
Caudal x Año
(cfs)
1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982
303 5,640 1,050 6,020 3,740 4,580 5,140 10,560 12,840 5,140 2,520 1,730 12,400 3,400 14,300 9,540
2.4814 3.7513 3.0212 3.7796 3.5729 3.6609 3.7110 4.0237 4.1086 3.7110 3.4014 3.2380 4.0934 3.5315 4.1553 3.9795
1.3395 0.0127 0.3814 0.0198 0.0043 0.0005 0.0052 0.1481 0.2207 0.0052 0.0564 0.1606 0.2067 0.0115 0.2668 0.1161
-1.5502 0.0014 -0.2356 0.0028 -0.0003 0.0000 0.0004 0.0570 0.1037 0.0004 -0.0134 -0.0644 0.0940 -0.0012 0.1378 0.0396
58.2206 3.6388
2.9555
-1.4280
y=
Total n = 16
y)2
(y-W
Utilizando la columna 4 de la tabla, la desviación estándar es
Sr
=
(.n ~ 1
i
(,Y¡ - y)2)'12
i=l
en las cuales IC"I es el valor absoluto de la simetría de estación (utilizada como un estimativo de la asimetría de población) y n es la longitud del registro en años.
1
112
= l152.9555) Ejemplo 12.5.1 Determine la curva de frecuencia que contiene las magnitudes de crecientes estimadas con periodos de retorno de 2, 5, 1O, 25, 50 y 100 años utilizando el método del Water Resources Council para la información de la quebrada Walnut en Martin Luther King Boulevard, Austin, Texas, tal como se registra en la tabla 12.5. l.
Solución. Los datos mostrados en las columnas 1 y 2 de la tabla 12.5.1 cubren n = 16 años, desde 1967 a 1982. Paso l. Transforme la información de muestra, x., a sus valores logarítmicos, y;; es decir, sea y;= log X; para i = 1,... , n, tal como se muestra en la columna 3 de la tabla. Paso 2. Calcule las estadísticas de la muestra. La media de los valores logarítmicos transformados es
y = ! ..¿., y¡ nL-
= 58.22 = 3 639 16 ·
=0.4439 Utilizando la columna 5 de la tabla, el coeficiente de asimetría es n
n¿(y;y) ""' -3 Cs=
16
i=l
-----~
(n - 1)(n - 2)s;
15
X
X ( -1.4280)
14
X
(0.4439)3
=
-1.
244
Paso 3. Calcule la asimetría ponderada. La asimetría del mapa es -0.3, con base en la figura 12.5.1, en Austin, Texas. La varianza de la asimetría de estación puede calcularse utilizando la ecuación (12.5.6) en la siguiente forma. De la ecuación (12.5.7b) con IC,I > 0.90
i=1
A = -0.52
+ 0.301- 1.2441
= -0.147
412
HIDROLOGÍA APLICADA
es mayor que cero, confirmando que el peso dado por (12.5.3) minimiza la varianza de la asimetría, V(C..). La determinación de W utilizando la ecuación (12.5.3) requiere el conocimiento de V(C.,) y V(C,). V(C.,) se estima del mapa del coeficiente de asimetría para los Estados Unidos como 0.3025. Alternativamente, V(C.,) puede deducirse de un estudio de regresión que relacione la asimetría con las características fisiográficas y meteorológicas de las cuencas (Tung y Mays, 1981 ). Sustituyendo la ecuación (12.5.3) en la ecuación (12.5.1), la asimetría ponderada C. puede escribirse como
C.,. = V(C,n)Cs V(C 111 )
+ V(Cs)Cm + V(Cs)
(12.5.5)
La varianza de la asimetría por estación C para las variables aleatorias logPearson Tipo III pueden obtenerse de los resultados de los experimentos Monte Cario hechos por Wallis, Matalas & Slack (1974). Ellos demostraron que V(C,) de la asimetría logarítmica de estación es una función de la longitud del registro y de la asimetría de la población. Para usarse en el cálculo de C,., esta función puede aproximarse, con suficiente exactitud, como V(Cs)
=
wA-B log¡o(n/10)
(12.5.6)
donde
+ 0.08jCsl - 0.52 + 0.30jCsl
si
!Csl :::; 0.90
(12.5.7a)
si
!Csl > 0.90
(12.5.7b)
B=
0.94- 0.26jCsl
si
!Csl
1.50
(12.5.7c)
B=
0.55
si
!Csl > 1.50
(12.5.7d)
A o
o
A
- 0.33
:S
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ANÁLISIS DE FRECUENCIA TABLA 12.5.1
Cálculo de las estadísticas para los logaritmos de los caudales máximos anuales de la quebrada Walnut (ejemplo 12.5.1) Columna:
2
3
4
y= logx
(y-
S
Caudal x Año
(cfs)
1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982
303 5,640 1,050 6,020 3,740 4,580 5,140 10,560 12,840 5,140 2,520 1,730 12,400 3,400 14,300 9,540
2.4814 3.7513 3.0212 3.7796 3.5729 3.6609 3.7110 4.0237 4.1086 3.7110 3.4014 3.2380 4.0934 3.5315 4.1553 3.9795
1.3395 0.0127 0.3814 0.0198 0.0043 0.0005 0.0052 0.1481 0.2207 0.0052 0.0564 0.1606 0.2067 0.0115 0.2668 0.1161
-1.5502 0.0014 -0.2356 0.0028 -0.0003 0.0000 0.0004 0.0570 0.1037 0.0004 -0.0134 -0.0644 0.0940 -0.0012 0.1378 0.0396
58.2206 3.6388
2.9555
-1.4280
y=
Total n = 16
y)2
(y-W
Utilizando la columna 4 de la tabla, la desviación estándar es
Sr
=
(.n ~ 1
i
(,Y¡ - y)2)'12
i=l
en las cuales IC"I es el valor absoluto de la simetría de estación (utilizada como un estimativo de la asimetría de población) y n es la longitud del registro en años.
1
112
= l152.9555) Ejemplo 12.5.1 Determine la curva de frecuencia que contiene las magnitudes de crecientes estimadas con periodos de retorno de 2, 5, 1O, 25, 50 y 100 años utilizando el método del Water Resources Council para la información de la quebrada Walnut en Martin Luther King Boulevard, Austin, Texas, tal como se registra en la tabla 12.5. l.
Solución. Los datos mostrados en las columnas 1 y 2 de la tabla 12.5.1 cubren n = 16 años, desde 1967 a 1982. Paso l. Transforme la información de muestra, x., a sus valores logarítmicos, y;; es decir, sea y;= log X; para i = 1,... , n, tal como se muestra en la columna 3 de la tabla. Paso 2. Calcule las estadísticas de la muestra. La media de los valores logarítmicos transformados es
y = ! ..¿., y¡ nL-
= 58.22 = 3 639 16 ·
=0.4439 Utilizando la columna 5 de la tabla, el coeficiente de asimetría es n
n¿(y;y) ""' -3 Cs=
16
i=l
-----~
(n - 1)(n - 2)s;
15
X
X ( -1.4280)
14
X
(0.4439)3
=
-1.
244
Paso 3. Calcule la asimetría ponderada. La asimetría del mapa es -0.3, con base en la figura 12.5.1, en Austin, Texas. La varianza de la asimetría de estación puede calcularse utilizando la ecuación (12.5.6) en la siguiente forma. De la ecuación (12.5.7b) con IC,I > 0.90
i=1
A = -0.52
+ 0.301- 1.2441
= -0.147
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HIDROLOGÍA APLICADA
415
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
De (12.5.7c) con IC,I < 1.50 B = 0.94 ~ 0.26[-1.244[ = 0.617
Luego, utilizando (12.5.6) V(Cs) = (lO)-O.I47-0.6I7log06/IOJ = 0 _533
La varianza de la asimetría generalizada es V(Cm) = 0.303. El peso que debe aplicarse a = V(C.,)/[V(C.,) + V(C,)] = 0.303/(0.303 + 0.533) = 0.362, y el peso complementario que debe aplicarse a C, es 1 - W = 1 - 0.362 = 0.638. Entonces, de (12.5.1)
C., es W
Cw= WCs
+
=0.362
(1 ~ W)Cm
X (~1.244)
+ 0.638
X (~0.3)
Pruebas de datos dudosos
= -0.64
Paso 4. Calcule las coordenadas de la curva de frecuencia. Los factores de frecuencia log-Pcarson Tipo III Kr para los valores de coeficiente de asimetría de- 0.6 y- O. 7 se encuentran en la tabla 12.3.1. Los valores para c .. = -0.64 se encuentran por interpolación lineal tal como se hizo en el ejemplo 12.3.3, con los resultados presentados en la columna 2 de la tabla 12.5.2. El valor correspondiente de YT se encuentra utilizando la ecuación (12.3.4) y se toma su antilogaritmo para determinar la magnitud de la creciente estimada. Por ejemplo, para T = 100 años, KT = 1.850 y
TABLA 12.5.2
Resultados del análisis de frecuencia utilizando el método del Water Resources Council (ejemplos 12.5.1 y 12.5.2) Columna:
1 Periodo de retorno
2 Factor de frecuencia
3
T
Kr
logQr
0.106 0.857 1.193 1.512 1.697 1.850
5
4
Estimativos de crecientes
(años) 2 5 10 25 50 100
Qr
Qí-
(cfs)
(cfs)
4,900 10,500 14,700 20,400 24,700 28,900
3.686 4.019 4.169 4.310 4.392 4.460
Los valores en la columna 4 son los calculados sin ajustes por datos dudosos y los de la columna 5 los calculados después del ajuste por datos dudosos.
Yr=:Y + Krs.-
1
= 3.639 =4.460
y QT = (10)4 .. 60 = 28,900 cfs,tal como se muestra en las columnas 3 y 4 de la tabla. También se muestran estimativos de crecientes calculados en forma similar para los otros periodos de retorno requeridos. Tal como se mostró en el ejemplo (12.3.3), el incremento en la magnitud de lacreciente es menos que directamente proporcional al incremento en el periodo de retorno. Por ejemplo, un incremento en el periodo de retorno de 10 a 100 años aproximadamente duplica la magnitud de la creciente estimada en la tabla. Tal como se estableció previamente, las magnitudes de crecientes estimadas utilizando la distribución log-Pearson Tipo 111 son muy sensibles al valor del coeficiente de asimetría. Las magnitudes de crecientes para periodos de retorno mayores (50 y 100 años) son difíciles de estimar en forma confiable utilizando sólo 16 años de información.
+ 1.850
X
0.4439
5,500 10,000 13,200 17,600 20,900 24,200
El método del Water Resources Council recomienda la realización de ajustes de datos dudosos. Los datos dudosos(outliers) son puntos de la información que se alejan significativamente de la tendencia de la información restante. La retención o eliminación de estos datos puede afectar significativamente la magnitud de los parámetros estadísticos calculados para la información, especialmente en muestras pequeñas. Los procedimientos para tratar los datos dudosos requieren un criterio que involucra consideraciones matemáticas e hidrológicas. De acuerdo con el Water Resources Council (1981 ), si la asimetría de estación es mayor que +0.4, se consideran primero las pruebas para detectar datos dudosos altos; si la asimetría de estación es menor que -0.4, primero se consideran pruebas para detectar datos dudosos bajos. Cuando la asimetría de la estación está entre ±0.4, deben aplicarse pruebas para detectar datos dudosos altos y bajos antes de eliminar cualquier dato dudoso del conjunto de datos. La siguiente ecuación de frecuencia puede utilizarse para detectar datos dudosos altos: YH
=y+
Knsy
(12.5.8)
donde YH es el umbral de dato' dudoso alto en unidades logarítmicas y Kn es tal como se da en la tabla 12.5.3 para un tamaño de muestra n. Los valores de Kn dados en la tabla 12.5.3 se usan en pruebas de un lado para detectar datos dudosos en el nivel 10% de significancia en información normalmente distribuida. Si los logaritmos de los valores en una muestra son mayores que YH en la anterior ecuación, entonces se consideran como datos dudosos altos. Picos de creciente considerados como datos dudosos altos deben compararse con la información histórica y de crecientes en sitios cercanos. La información histórica de crecientes contiene información de eventos inusual mente extremos, fuera del registro sistemático. De acuerdo con el Water Resources Council (1981 ), si existe información disponible que indica que un dato dudoso alto es el máximo sobre un periodo extendido, el dato dudoso es tratado como información histórica de crecientes y es excluido del análisis. Si no hay disponibilidad de información histórica útil para comparar con los datos dudosos altos, entonces éstos deben ser retenidos como parte del registro sistemático. Una ecuación similar puede utilizarse para detectar los datos dudosos bajos: (12.5.9)
414
HIDROLOGÍA APLICADA
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ANÁLISIS DE FRECUENCIA
De (12.5.7c) con IC,I < 1.50 B = 0.94 ~ 0.26[-1.244[ = 0.617
Luego, utilizando (12.5.6) V(Cs) = (lO)-O.I47-0.6I7log06/IOJ = 0 _533
La varianza de la asimetría generalizada es V(Cm) = 0.303. El peso que debe aplicarse a = V(C.,)/[V(C.,) + V(C,)] = 0.303/(0.303 + 0.533) = 0.362, y el peso complementario que debe aplicarse a C, es 1 - W = 1 - 0.362 = 0.638. Entonces, de (12.5.1)
C., es W
Cw= WCs
+
=0.362
(1 ~ W)Cm
X (~1.244)
+ 0.638
X (~0.3)
Pruebas de datos dudosos
= -0.64
Paso 4. Calcule las coordenadas de la curva de frecuencia. Los factores de frecuencia log-Pcarson Tipo III Kr para los valores de coeficiente de asimetría de- 0.6 y- O. 7 se encuentran en la tabla 12.3.1. Los valores para c .. = -0.64 se encuentran por interpolación lineal tal como se hizo en el ejemplo 12.3.3, con los resultados presentados en la columna 2 de la tabla 12.5.2. El valor correspondiente de YT se encuentra utilizando la ecuación (12.3.4) y se toma su antilogaritmo para determinar la magnitud de la creciente estimada. Por ejemplo, para T = 100 años, KT = 1.850 y
TABLA 12.5.2
Resultados del análisis de frecuencia utilizando el método del Water Resources Council (ejemplos 12.5.1 y 12.5.2) Columna:
1 Periodo de retorno
2 Factor de frecuencia
3
T
Kr
logQr
0.106 0.857 1.193 1.512 1.697 1.850
5
4
Estimativos de crecientes
(años) 2 5 10 25 50 100
Qr
Qí-
(cfs)
(cfs)
4,900 10,500 14,700 20,400 24,700 28,900
3.686 4.019 4.169 4.310 4.392 4.460
Los valores en la columna 4 son los calculados sin ajustes por datos dudosos y los de la columna 5 los calculados después del ajuste por datos dudosos.
Yr=:Y + Krs.-
1
= 3.639 =4.460
y QT = (10)4 .. 60 = 28,900 cfs,tal como se muestra en las columnas 3 y 4 de la tabla. También se muestran estimativos de crecientes calculados en forma similar para los otros periodos de retorno requeridos. Tal como se mostró en el ejemplo (12.3.3), el incremento en la magnitud de lacreciente es menos que directamente proporcional al incremento en el periodo de retorno. Por ejemplo, un incremento en el periodo de retorno de 10 a 100 años aproximadamente duplica la magnitud de la creciente estimada en la tabla. Tal como se estableció previamente, las magnitudes de crecientes estimadas utilizando la distribución log-Pearson Tipo 111 son muy sensibles al valor del coeficiente de asimetría. Las magnitudes de crecientes para periodos de retorno mayores (50 y 100 años) son difíciles de estimar en forma confiable utilizando sólo 16 años de información.
+ 1.850
X
0.4439
5,500 10,000 13,200 17,600 20,900 24,200
El método del Water Resources Council recomienda la realización de ajustes de datos dudosos. Los datos dudosos(outliers) son puntos de la información que se alejan significativamente de la tendencia de la información restante. La retención o eliminación de estos datos puede afectar significativamente la magnitud de los parámetros estadísticos calculados para la información, especialmente en muestras pequeñas. Los procedimientos para tratar los datos dudosos requieren un criterio que involucra consideraciones matemáticas e hidrológicas. De acuerdo con el Water Resources Council (1981 ), si la asimetría de estación es mayor que +0.4, se consideran primero las pruebas para detectar datos dudosos altos; si la asimetría de estación es menor que -0.4, primero se consideran pruebas para detectar datos dudosos bajos. Cuando la asimetría de la estación está entre ±0.4, deben aplicarse pruebas para detectar datos dudosos altos y bajos antes de eliminar cualquier dato dudoso del conjunto de datos. La siguiente ecuación de frecuencia puede utilizarse para detectar datos dudosos altos: YH
=y+
Knsy
(12.5.8)
donde YH es el umbral de dato' dudoso alto en unidades logarítmicas y Kn es tal como se da en la tabla 12.5.3 para un tamaño de muestra n. Los valores de Kn dados en la tabla 12.5.3 se usan en pruebas de un lado para detectar datos dudosos en el nivel 10% de significancia en información normalmente distribuida. Si los logaritmos de los valores en una muestra son mayores que YH en la anterior ecuación, entonces se consideran como datos dudosos altos. Picos de creciente considerados como datos dudosos altos deben compararse con la información histórica y de crecientes en sitios cercanos. La información histórica de crecientes contiene información de eventos inusual mente extremos, fuera del registro sistemático. De acuerdo con el Water Resources Council (1981 ), si existe información disponible que indica que un dato dudoso alto es el máximo sobre un periodo extendido, el dato dudoso es tratado como información histórica de crecientes y es excluido del análisis. Si no hay disponibilidad de información histórica útil para comparar con los datos dudosos altos, entonces éstos deben ser retenidos como parte del registro sistemático. Una ecuación similar puede utilizarse para detectar los datos dudosos bajos: (12.5.9)
416
HIDROLOGÍA APLICADA
TABLA 12.5.3 Valores K. para la prueba de datos dudosos Tamaño de
Tamaño de
Tamaño
Tamaño
de
de
muestran
Kn
muestran K 11
38 39
2.661 2.671 2.682 2.692 2.700 2.710 2.719 2.727 2.736 2.744 2.753 2.760 2.768 2.804
60 65 70 75 80 85 90 95 100 110 120 130 140
muestran
K 11
muestran Kn
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
2.036 2.088 2.134 2.175 2.213 2.247 2.279 2.309 2.335 2.361 2.385 2.408 2.429 2.448
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
2.467 2.486 2.502 2.519 2.534 2.549 2.563 2.577 2.591 2.604 2.616 2.628 2.639 2.650
40
41 42 43 44
45 46 47 48 49 50 55
417
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
El flujo pico de 1967 con 303 cfs es menor que QL por lo cual se considera como un dato dudoso bajo. Paso 3. El dato dudoso bajo es eliminado de la muestra y se repite el análisis de frecuencia utilizando el mismo procedimiento que en el ejemplo 12.5. l. Las estadísticas para los logaritmos del nuevo conjunto de datos, ahora reducido a 15 valores, son y= 3.716, s,. = 0.3302 y e_,=- 0.545. Puede verse que la omisión del valor en 303 cfs ha alterado significativamente el valor de asimetría calculado (del valor de -1.24 encontrado en el ejemplo 12.5.1). La asimetría por mapa permanece igual a -0.3 para Austin, Texas, y la asimetría ponderada revisada es e"'= -0.41. Los valores de KT se interpolan en la tabla 12.3.1 para los periodos de retorno requeridos, y los estimativos del flujo de creciente correspondiente se calculan como Q' T• tal como se muestra en la columna 5 de la tabla 12.5 .2. Comparando estos valores con aquellos dados en la columna 4 para el conjunto completo de datos, puede verse que el efecto de eliminar los datos dudosos bajos en este ejemplo es disminuir los estimativos de creciente para largos periodos de retorno.
2.837 2.866 2.893 2.917 2.940 2.961 2.981 3.000 3.017 3.049 3.078 3.104 3.129
Programa de computador HECWRC
Fuente: U. S. Water Resources Council, 1981. Esta tabla contiene valores de K, de un lado con un nivel de significancia del 10% para la distribución normal.
donde YL es el umbral de datos dudosos bajos en unidades logarítmicas. Los picos de crecientes considerados como datos dudosos bajos se eliminan del registro y puede aplicarse un ajuste de probabilidad condicional descrito por el Water Resources Council (1981 ). Ejemplo 12.5.2 Utilizando la información para el ejemplo de la quebrada Walnut (tabla 12.5.1 ), determine si existe cualquier dato dudoso alto o bajo en la muestra. Si este es el caso, omítalo del conjunto de datos y vuelva a calcular la curva de frecuencia de crecientes.
El programa de computador HECWRC (U.S. Army Corps of Engineers, 1982) lleva a cabo el análisis de frecuencia de flujos de creciente para series de crecientes máximas anuales de acuerdo con U.S. Water Resources Council Bulletin 17B (1981). Este programa se encuentra disponible en el U.S. Army Corps of Engineers Hydrologic Engineering Center en Davis, California, en versiones para computadores grandes y microcomputadores.
12.6 ANÁLISIS DE CONFIABILIDAD La confiabilidad de los resultados de un análisis de frecuencia depende de qué tan bien se aplica el modelo probabilístico supuesto a un conjunto de datos hidrológicos dado.
Límites de confianza Solución. Paso l. Determine el valor del umbral para datos dudosos altos. De la tal;lla 12.5.3,
= 2.279 para n 12.5.1,
K,
= 16
datos. De la ecuación (12.5.8) utilizando
YH=y + K 11 s,.
= 3.639
+ 2.279(0.4439)
yy
s, del ejemplo
= 4.651
Los estimativos estadísticos usualmente se presentan con un rango, o intervalo de confianza, dentro del cual razonablemente puede esperarse que caiga el valor correcto. El tamaño del intervalo de confianza depende del nivel de confianza {3. Los valores extremos superior e inferior del intervalo de confianza se conocen como los límites de confianza (véase la figura 12.6.1 ). A cada nivel de confianza f3 corresponde un nivel de sif{nificancia a, dado por
Entonces
a= El mayor valor registrado ( 14,300 cfs en la tabla 12.5. 1) no excede el valor del umbral, luego no existen datos dudosos altos en esta muestra. Paso 2. Determine el valor del umbral para datos dudosos bajos. El mismo valor de K 11 es utilizado:
YL =y - Kns,. QL =
(10) 2·627
=
3.639 - 2.279(0.4439)
= 424 cfs
=
2.627
(12.6.1)
Por ejemplo, si f3 = 90%, entonces a= (1 - 0.9)/2 = 0.05, o 5%. Para estimar la magnitud del evento con un periodo de retorno T, el límite superior Lr,a y el límite inferior Ur,a pueden especificarse ajustando la ecuación del factor de frecuencia: (12.6.2)
416
HIDROLOGÍA APLICADA
TABLA 12.5.3 Valores K. para la prueba de datos dudosos Tamaño de
Tamaño de
Tamaño
Tamaño
de
de
muestran
Kn
muestran K 11
38 39
2.661 2.671 2.682 2.692 2.700 2.710 2.719 2.727 2.736 2.744 2.753 2.760 2.768 2.804
60 65 70 75 80 85 90 95 100 110 120 130 140
muestran
K 11
muestran Kn
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
2.036 2.088 2.134 2.175 2.213 2.247 2.279 2.309 2.335 2.361 2.385 2.408 2.429 2.448
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
2.467 2.486 2.502 2.519 2.534 2.549 2.563 2.577 2.591 2.604 2.616 2.628 2.639 2.650
40
41 42 43 44
45 46 47 48 49 50 55
417
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
El flujo pico de 1967 con 303 cfs es menor que QL por lo cual se considera como un dato dudoso bajo. Paso 3. El dato dudoso bajo es eliminado de la muestra y se repite el análisis de frecuencia utilizando el mismo procedimiento que en el ejemplo 12.5. l. Las estadísticas para los logaritmos del nuevo conjunto de datos, ahora reducido a 15 valores, son y= 3.716, s,. = 0.3302 y e_,=- 0.545. Puede verse que la omisión del valor en 303 cfs ha alterado significativamente el valor de asimetría calculado (del valor de -1.24 encontrado en el ejemplo 12.5.1). La asimetría por mapa permanece igual a -0.3 para Austin, Texas, y la asimetría ponderada revisada es e"'= -0.41. Los valores de KT se interpolan en la tabla 12.3.1 para los periodos de retorno requeridos, y los estimativos del flujo de creciente correspondiente se calculan como Q' T• tal como se muestra en la columna 5 de la tabla 12.5 .2. Comparando estos valores con aquellos dados en la columna 4 para el conjunto completo de datos, puede verse que el efecto de eliminar los datos dudosos bajos en este ejemplo es disminuir los estimativos de creciente para largos periodos de retorno.
2.837 2.866 2.893 2.917 2.940 2.961 2.981 3.000 3.017 3.049 3.078 3.104 3.129
Programa de computador HECWRC
Fuente: U. S. Water Resources Council, 1981. Esta tabla contiene valores de K, de un lado con un nivel de significancia del 10% para la distribución normal.
donde YL es el umbral de datos dudosos bajos en unidades logarítmicas. Los picos de crecientes considerados como datos dudosos bajos se eliminan del registro y puede aplicarse un ajuste de probabilidad condicional descrito por el Water Resources Council (1981 ). Ejemplo 12.5.2 Utilizando la información para el ejemplo de la quebrada Walnut (tabla 12.5.1 ), determine si existe cualquier dato dudoso alto o bajo en la muestra. Si este es el caso, omítalo del conjunto de datos y vuelva a calcular la curva de frecuencia de crecientes.
El programa de computador HECWRC (U.S. Army Corps of Engineers, 1982) lleva a cabo el análisis de frecuencia de flujos de creciente para series de crecientes máximas anuales de acuerdo con U.S. Water Resources Council Bulletin 17B (1981). Este programa se encuentra disponible en el U.S. Army Corps of Engineers Hydrologic Engineering Center en Davis, California, en versiones para computadores grandes y microcomputadores.
12.6 ANÁLISIS DE CONFIABILIDAD La confiabilidad de los resultados de un análisis de frecuencia depende de qué tan bien se aplica el modelo probabilístico supuesto a un conjunto de datos hidrológicos dado.
Límites de confianza Solución. Paso l. Determine el valor del umbral para datos dudosos altos. De la tal;lla 12.5.3,
= 2.279 para n 12.5.1,
K,
= 16
datos. De la ecuación (12.5.8) utilizando
YH=y + K 11 s,.
= 3.639
+ 2.279(0.4439)
yy
s, del ejemplo
= 4.651
Los estimativos estadísticos usualmente se presentan con un rango, o intervalo de confianza, dentro del cual razonablemente puede esperarse que caiga el valor correcto. El tamaño del intervalo de confianza depende del nivel de confianza {3. Los valores extremos superior e inferior del intervalo de confianza se conocen como los límites de confianza (véase la figura 12.6.1 ). A cada nivel de confianza f3 corresponde un nivel de sif{nificancia a, dado por
Entonces
a= El mayor valor registrado ( 14,300 cfs en la tabla 12.5. 1) no excede el valor del umbral, luego no existen datos dudosos altos en esta muestra. Paso 2. Determine el valor del umbral para datos dudosos bajos. El mismo valor de K 11 es utilizado:
YL =y - Kns,. QL =
(10) 2·627
=
3.639 - 2.279(0.4439)
= 424 cfs
=
2.627
(12.6.1)
Por ejemplo, si f3 = 90%, entonces a= (1 - 0.9)/2 = 0.05, o 5%. Para estimar la magnitud del evento con un periodo de retorno T, el límite superior Lr,a y el límite inferior Ur,a pueden especificarse ajustando la ecuación del factor de frecuencia: (12.6.2)
418
HIDROLOGÍA APLICADA
419
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
Variable
logarítmica, la desviación estándar y el coeficiente de asimetría son 3 .639, O.4439 y -0.64, respectivamente, para los 16 años de información.
X
Solución. Para f3 = O. 9, a = O.05 y la variable normal estándar requerida za tiene una probabilidad de excedencia de 0.05 o una probabilidad acumulada de 0.95. De la tabla 11.2.1, el valor requerido es Za = 1.645. El factor de frecuencia Kr para T = 100 años se calculó en el ejemplo 12.5.1 como K10o = 1.850. Por tanto utilizando las ecuaciones (12.6.4) a (12.6.7)
Límite superior
Probabilidad
~ =
1- 2 a
a=1-
Curva de frecuencia
~ 2(n- 1)
b=K~FIGURA 12.6.1
Definición de los límites de confianza.
Periodo de retorno T
y
LT,cr.
=y+ syK~.cr.
(12.6.3)
r
donde K a y K~. a son los factores de los límites de confianza superior e inferior, los cuales pueden determinarse para unos datos distribuidos normalmente utilizando la distribución no central t (Kendall y Stuart, 1967). Los mismos factores se utilizan para construir límites de confianza aproximados para la distribución Pearson Tipo 111. Valores aproximados para estos factores se encuentran utilizando las siguientes ecuaciones (Natrella, 1963; U.S. Water Resources Council, 1981):
2
Za
n
= (1.850) 2 - (1.
Kr + JK~-ab Kfoo.o.os =
2
= 1- (1. 645 ) -O 9098 2(16- 1) - ·
_ _ _a_ __
1.850
645 f = 3.253 16
+ [(1.850) 2 - 0.9098
X
3.253] 112
0.9098
=2.781
K7oo.o.os =
Kr- JK~-ab _ _ _a_ __
1.850- [(1.850) 2 - 0.9098 0.9098
X
3.253] 112
= 1.286 Los límites de confianza se calculan utilizando las ecuaciones (12.6.2) y (12.6.3):
Uwo.o.os
=Y + s.vKfoo.o.os + 0.4439
X
2.781
Y + s.vKtoo.o.os + 0.4439
X
1.286
= 3.639 = 4.874
(12.6.4)
L¡oo,o.os =
a
= 3.639
KT- JKf- ah ~,cr. = - - a --en las cuales
zz
a=l- _ _ a_ 2(n - 1)
(12.6.6)
y 2
Los caudales correspondientes a los límites superior e inferior son (1 0)4 ·874 = 74,820 cfs y (10) 4·210 = 16,200 cfs, respectivamente, comparados con una magnitud de evento estimada de 28,900 cfs tal como se muestra en la tabla 12.5.2. El intervalo de confianza es, en este caso, bastante amplio debido a que el tamaño de la muestra es pequeño. A medida que el tamaño de la muestra aumenta, el ancho del intervalo de confianza alrededor de la magnitud de creciente estimada será menor.
zz
cr.
b=Kr--
n
(12.6.7)
La cantidad za es la variable normal estándar con una probabilidad de excedencia a..
1
= 4.210
(12.6.5)
Ejemplo 12.6.1 Determine los límites de confianza del 90% para el caudal de 100 años en la quebrada Walnut, utilizando los datos presentados en el ejemplo 12.5.1. La media
Error estándar El error estándar de un estimativo se es una medida de la desviación estándar de las magnitudes de eventos calculadas mediante muestras con respecto a la magnitud verdadera del evento. Las ecuaciones para el cálculo del error estándar de estimativos para las distribuciones normales y de Valor Extremo Tipo 1 son (Kite, 1977): Normal
418
HIDROLOGÍA APLICADA
419
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
Variable
logarítmica, la desviación estándar y el coeficiente de asimetría son 3 .639, O.4439 y -0.64, respectivamente, para los 16 años de información.
X
Solución. Para f3 = O. 9, a = O.05 y la variable normal estándar requerida za tiene una probabilidad de excedencia de 0.05 o una probabilidad acumulada de 0.95. De la tabla 11.2.1, el valor requerido es Za = 1.645. El factor de frecuencia Kr para T = 100 años se calculó en el ejemplo 12.5.1 como K10o = 1.850. Por tanto utilizando las ecuaciones (12.6.4) a (12.6.7)
Límite superior
Probabilidad
~ =
1- 2 a
a=1-
Curva de frecuencia
~ 2(n- 1)
b=K~FIGURA 12.6.1
Definición de los límites de confianza.
Periodo de retorno T
y
LT,cr.
=y+ syK~.cr.
(12.6.3)
r
donde K a y K~. a son los factores de los límites de confianza superior e inferior, los cuales pueden determinarse para unos datos distribuidos normalmente utilizando la distribución no central t (Kendall y Stuart, 1967). Los mismos factores se utilizan para construir límites de confianza aproximados para la distribución Pearson Tipo 111. Valores aproximados para estos factores se encuentran utilizando las siguientes ecuaciones (Natrella, 1963; U.S. Water Resources Council, 1981):
2
Za
n
= (1.850) 2 - (1.
Kr + JK~-ab Kfoo.o.os =
2
= 1- (1. 645 ) -O 9098 2(16- 1) - ·
_ _ _a_ __
1.850
645 f = 3.253 16
+ [(1.850) 2 - 0.9098
X
3.253] 112
0.9098
=2.781
K7oo.o.os =
Kr- JK~-ab _ _ _a_ __
1.850- [(1.850) 2 - 0.9098 0.9098
X
3.253] 112
= 1.286 Los límites de confianza se calculan utilizando las ecuaciones (12.6.2) y (12.6.3):
Uwo.o.os
=Y + s.vKfoo.o.os + 0.4439
X
2.781
Y + s.vKtoo.o.os + 0.4439
X
1.286
= 3.639 = 4.874
(12.6.4)
L¡oo,o.os =
a
= 3.639
KT- JKf- ah ~,cr. = - - a --en las cuales
zz
a=l- _ _ a_ 2(n - 1)
(12.6.6)
y 2
Los caudales correspondientes a los límites superior e inferior son (1 0)4 ·874 = 74,820 cfs y (10) 4·210 = 16,200 cfs, respectivamente, comparados con una magnitud de evento estimada de 28,900 cfs tal como se muestra en la tabla 12.5.2. El intervalo de confianza es, en este caso, bastante amplio debido a que el tamaño de la muestra es pequeño. A medida que el tamaño de la muestra aumenta, el ancho del intervalo de confianza alrededor de la magnitud de creciente estimada será menor.
zz
cr.
b=Kr--
n
(12.6.7)
La cantidad za es la variable normal estándar con una probabilidad de excedencia a..
1
= 4.210
(12.6.5)
Ejemplo 12.6.1 Determine los límites de confianza del 90% para el caudal de 100 años en la quebrada Walnut, utilizando los datos presentados en el ejemplo 12.5.1. La media
Error estándar El error estándar de un estimativo se es una medida de la desviación estándar de las magnitudes de eventos calculadas mediante muestras con respecto a la magnitud verdadera del evento. Las ecuaciones para el cálculo del error estándar de estimativos para las distribuciones normales y de Valor Extremo Tipo 1 son (Kite, 1977): Normal
420
HIDROLOGÍA APLICADA
421
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
(12.6.8) Valor Extremo Tipo 1
1
Se
= [ ~(1 + 1.1396Kr + l.lOOOK}I
] 1/2
s
(12.6.9)
rada para eventos de creciente en cualquier año puede estimarse, para eventos con periodo de retorno nominal T, utilizando las siguientes ecuaciones, las cuales están deducidas para la distribución normal y se aplican en forma aproximada a la distribución Pearson Tipo III (Beard, 1960; Hardison y Jennings, 1972). Para una muestra de tamaño n la probabilidad esperada para la distribución normal se expresa como
donde s es la desviación estándar de la muestra original de tamaño n. Los errores estándar pueden utilizarse para construir límites de confianza en una forma similar a la mostrada en el ejemplo 12.6.1, excepto que en este caso los límites de confianza para niveles de significancia a están definidos como xr" ± seza.
(12.6.10)
Ejemplo 12.6.2 Investigue el error estándar de un estimativo y los límites de confianza del 90% para el periodo de retorno de 5 años y la lluvia de 1O minutos de duración en Chicago, Illinois. Del ejemplo 12.3.2, la profundidad de 5 años estimada es x, = 0.78 pu1g; también s = 0.177 pulg, Kr = 0.719 y n = 35.
donde z es la variable normal estándar para la probabilidad de excedencia esperada y tn-I es la estadística t de student con n - 1 grados de libertad. Los cálculos pueden llevarse a cabo utilizando las tablas apropiadas para t 1 Y z. Estos cálculos también pueden realizarse utilizando las siguientes ecuaciones (U.S. Water Resources Council, 1981; U.S. Army Corps ofEngineers, 1972). 11 _
Soluci6n. Para la distribución de Valor Extremo Tipo 1 el error estándar se calcula uti-
lizando la ecuación (12.6.9) 2
s, =
[~(1 + 1.1396Kr + uoooK~lf s
={ 315 [1 + 1.1396
T (años)
Probabilidad de excedencia
Probabilidad esperada E(P .)
1000
0.001
0.001( 1.0+
100
0.01
o.o1(
112 X
0.719 + 1.1000
X
(0.719) 2 1}
X
0.177
= 0.046 pulg Los límites de confianza del 90%, con z"' = 1.645 para cx = 0.05 son xr ± s,z"' = 0.78 ± 0.046 X 1.645 = 0.70 y 0.86 pulg. Luego la estimación para la lluvia con periodo de retorno de 5 años y duración de 1O minutos en Chicago es O. 78 pulg con límites de confianza del 90% de [0.7.0, 0.861 pulg.
280 n1.ss
)
(12.6.1la)
LO+~) . n
(12.6.1lb)
1.16
20
0.05
6 o.os(Lo+-- )
(12.6.11c)
10
0.10
3 0.10(1.0+-- )
(12.6.1ld)
3.33
0.30
6 0.30( 1.0+ 0.4 )
(12.6.1le)
n!.04
n!.04
Probabilidad esperada La probabilidad esperada se define como el promedio de las probabilidades de excedencia verdaderas para todos los estimativos de magnitud que pueden hacerse sobre muestras sucesivas de un tamaño especificado para una frecuencia de crecientes especificada (Beard, 1960; U.S. Water Resources Council, 1981). El estimativo de magnitud de creciente calculado para una muestra es aproximadamente igual a la mediana de todos los estimativos posibles; es decir, existe una posibilidad aproximadamente igual de que la magnitud verdadera sea mayor o menor que la magnitud estimada. Debido a que la distribución de probabilidad del estimativo tiene asimetría positiva, el promedio de las magnitudes calculadas de muchas muestras es mayor que la mediana. Esta asimetría aparece debido a que la magnitud de creciente tiene a cero como límite inferior pero no tiene límite superior. La consecuencia de la discrepancia entre la mediana y la creciente promedio estimada es que, si sobre una región se hace un número grande de estimativos de magnitud de crecientes, en promedio ocurrirán más crecientes con periodo de retorno de 100 años que lo esperado (Beard, 1978). La probabilidad de ocurrencia espe-
n0.925
Ejemplo 12.6.3. Determine la probabilidad esperada para el caudal de 100 años para la quebrada Walnut utilizando la información dada en el ejemplo 12.5.1 (n = 16). Solución. Para T = 100 años, se utiliza la ecuación (12.6.11b) para obtener
De acuerdo con el ajuste anterior el caudal de 100 años tiene una probabilidad esperada de 0.02 (no 0.01) o un periodo de retomo de 1/0.02 =50 años.
420
HIDROLOGÍA APLICADA
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ANÁLISIS DE FRECUENCIA
(12.6.8) Valor Extremo Tipo 1
1
Se
= [ ~(1 + 1.1396Kr + l.lOOOK}I
] 1/2
s
(12.6.9)
rada para eventos de creciente en cualquier año puede estimarse, para eventos con periodo de retorno nominal T, utilizando las siguientes ecuaciones, las cuales están deducidas para la distribución normal y se aplican en forma aproximada a la distribución Pearson Tipo III (Beard, 1960; Hardison y Jennings, 1972). Para una muestra de tamaño n la probabilidad esperada para la distribución normal se expresa como
donde s es la desviación estándar de la muestra original de tamaño n. Los errores estándar pueden utilizarse para construir límites de confianza en una forma similar a la mostrada en el ejemplo 12.6.1, excepto que en este caso los límites de confianza para niveles de significancia a están definidos como xr" ± seza.
(12.6.10)
Ejemplo 12.6.2 Investigue el error estándar de un estimativo y los límites de confianza del 90% para el periodo de retorno de 5 años y la lluvia de 1O minutos de duración en Chicago, Illinois. Del ejemplo 12.3.2, la profundidad de 5 años estimada es x, = 0.78 pu1g; también s = 0.177 pulg, Kr = 0.719 y n = 35.
donde z es la variable normal estándar para la probabilidad de excedencia esperada y tn-I es la estadística t de student con n - 1 grados de libertad. Los cálculos pueden llevarse a cabo utilizando las tablas apropiadas para t 1 Y z. Estos cálculos también pueden realizarse utilizando las siguientes ecuaciones (U.S. Water Resources Council, 1981; U.S. Army Corps ofEngineers, 1972). 11 _
Soluci6n. Para la distribución de Valor Extremo Tipo 1 el error estándar se calcula uti-
lizando la ecuación (12.6.9) 2
s, =
[~(1 + 1.1396Kr + uoooK~lf s
={ 315 [1 + 1.1396
T (años)
Probabilidad de excedencia
Probabilidad esperada E(P .)
1000
0.001
0.001( 1.0+
100
0.01
o.o1(
112 X
0.719 + 1.1000
X
(0.719) 2 1}
X
0.177
= 0.046 pulg Los límites de confianza del 90%, con z"' = 1.645 para cx = 0.05 son xr ± s,z"' = 0.78 ± 0.046 X 1.645 = 0.70 y 0.86 pulg. Luego la estimación para la lluvia con periodo de retorno de 5 años y duración de 1O minutos en Chicago es O. 78 pulg con límites de confianza del 90% de [0.7.0, 0.861 pulg.
280 n1.ss
)
(12.6.1la)
LO+~) . n
(12.6.1lb)
1.16
20
0.05
6 o.os(Lo+-- )
(12.6.11c)
10
0.10
3 0.10(1.0+-- )
(12.6.1ld)
3.33
0.30
6 0.30( 1.0+ 0.4 )
(12.6.1le)
n!.04
n!.04
Probabilidad esperada La probabilidad esperada se define como el promedio de las probabilidades de excedencia verdaderas para todos los estimativos de magnitud que pueden hacerse sobre muestras sucesivas de un tamaño especificado para una frecuencia de crecientes especificada (Beard, 1960; U.S. Water Resources Council, 1981). El estimativo de magnitud de creciente calculado para una muestra es aproximadamente igual a la mediana de todos los estimativos posibles; es decir, existe una posibilidad aproximadamente igual de que la magnitud verdadera sea mayor o menor que la magnitud estimada. Debido a que la distribución de probabilidad del estimativo tiene asimetría positiva, el promedio de las magnitudes calculadas de muchas muestras es mayor que la mediana. Esta asimetría aparece debido a que la magnitud de creciente tiene a cero como límite inferior pero no tiene límite superior. La consecuencia de la discrepancia entre la mediana y la creciente promedio estimada es que, si sobre una región se hace un número grande de estimativos de magnitud de crecientes, en promedio ocurrirán más crecientes con periodo de retorno de 100 años que lo esperado (Beard, 1978). La probabilidad de ocurrencia espe-
n0.925
Ejemplo 12.6.3. Determine la probabilidad esperada para el caudal de 100 años para la quebrada Walnut utilizando la información dada en el ejemplo 12.5.1 (n = 16). Solución. Para T = 100 años, se utiliza la ecuación (12.6.11b) para obtener
De acuerdo con el ajuste anterior el caudal de 100 años tiene una probabilidad esperada de 0.02 (no 0.01) o un periodo de retomo de 1/0.02 =50 años.
422
HIDROLOGÍA APLICADA
REFERENCIAS Abramowitz, M., and Stegun, I. A., Handbook of Mathematical Functions. Dover, New York, 1965. Beard, L. R., Probability estimates based on small normal distribution samples, J. Geophys, Res. vol. 65, No. 7, pp. 2143-2148, 1960. Beard, L. R., Statistical methods in hydrology, U. S. Army Corps of Engineers, January 1962. Beard, L. R., Impact of hydrologic uncertainties on flood insurance, J. Hyd. Div., Am. Soc. Civ. Eng., vol. 104, No. HYll, pp. 1473-1484, 1978. Benson, M. A., Uniform flood-frequency estimating methods for federal agencies, Water Resour. Res., vol. 4, No. 5, pp. 891- 908, 1968. Blom, G., Statistical Estimares and Transformed Beta Variables, Wiley, New York, pp. 68-75, and 143146, 1958. Chow, V. T., A general formula for hydrologic frequency analysis, Trans. Am. Geophysica/ Union. vol. 32, No. 2, pp. 231-237, 1951. Chow, V. T., Frequency analysis of hydrologic data with special application to rainfall intensities. bulletin No. 414, University of Illinois Eng. Expt. Station, 1953. Chow, V. T., The log-probablity law and its engineering applications, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., vol. 80, No. 536, pp. 1-25, September 1954. Chow, V. T., Statistical and probability analysis of hydrologic data, sec. 8-I in Handbook of Applied Hydrology, ed. by V. T. Chow MacGraw-Hill, New York, 1964. Cunnane, C., Unbiased plotting positions -a review, J. Hydrol., vol. 37, pp. 205-222, 1978. Gringorten, I. I., A plotting rule for extreme probability paper, J. Geophys. Res., vol. 68, No. 3 pp. 813814, 1963. Gumbel, E. J., The statistical theory of droughts, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., vol. 80, pp. 439-1 to 439-19, 1954. Gumbel, E. J., Statistical forecast of droughts, Bull, Int. Assn. Sci. Hydrol. 8th year, No. 1, pp. 5-23, 1963. Hardison, C. H., and M. E. Jennings, Bias in computed flood risk, J. Hyd. Div., Am. Soc. Civ. Eng., vol. 98, No. HY3, pp. 415-427, March 1972. Hazen, A., Flood Flóws, a Study of Frequencies and Magnitudes, Wiley, New York, 1930. Kendall, M. G., and A. Stuart, The Advanced Theory of Statistics, vol. 2, 2nd, ed., Hafner, New York, 1967. Kite, G. W., Frequency and Risk Analysis in Hydrology, Water Resources Publications. Fort Collins, Colo., 1977. Natrella, M. G., Experimental Statistics, National Bureau of Standards Handbook 91, 1963. Natural Environment Research Council, Flood studies report, vol. 1, hydrological studies, Natural Environment Research Council, London (available from Institute of Hydrology, Wallingford. Oxon, England), 1975. Tomlinson, A. I., The frequency of high intensity rainfalls in New Zealand, Water and Soil Tech. Pub/., No. 19, Ministry of Works and Development, Wellington, New Zealand, 1980. Tung, Y.-K., and L. W. Mays, Reducing hydrologic parameter-uncertainty, J. Water Res. P/anning and Management Div., Am. Soc. Civ. Eng., vol. 107, No. WRI, pp. 245-262, March 1981. U. S. Army Corps of Engineers Hydrologic Engineering, Regional frequency computation, generalized computer program, Davis, California, July 1972. U. S. Army Corps of Engineers Hydro1ogic Engineering Center, F1ood flow frequency ana1ysis, computer program 723-X6-L 7550 user's manual, Da vis, California, February 1982. U. S. Water Resources Council, A uniform technique for determining flood flow frequencies, bulletin 15, Washington, D.C., 1967. U. S. Water Resources Council, Guide1ines for determining flood flow frequency, bulletin 17, Washington, D.C., 1976. U. S. Water Resources Council, Guidelines for determining flood flow frequency, bulletin 17 A, Washington, D.C., 1977. U. S. Water Resources Counci1 (now called Interagency Advisory Committee on Water Data), Guide1ines for determining flood flow frequency, bulletin 17B, available from Office of Water Data Coordination, U.S. (ieological Survey, Reston, VA 22092, 1981. Wallis, J. R., N. C. Matalas, and J. R. Slack, Justa moment, Water Resour. Res., vol. 10, No. 2, pp. 211219, Apri11974.
423
ANÁLISIS DE FRECUENCIA
PROBLEMAS 12.1.1 12.1.2
12.1.3
12.1.4 12.2.1 12.3.1
Estime el periodo de retorno de un caudal máximo anual de 40,000 cfs utilizando los datos dados en la tabla 12.1.1. Estime el periodo de retorno para caudales máximos anuales de 10,000, 20,000, 30,000, 40,000 y 50,000 cfs para el río Guadalupe en Victoria, Texas, utilizando los datos dados en la tabla 12.1.1. Elabore una gráfica de caudal de creciente de vs. periodo de retorno utilizando estos resultados. Calcule la probabilidad de que ocurra una creciente de 100 años de periodo de retorno en un sitio dado al menos una vez durante los próximos 5, 10, 50 y 100 años. ¿Cuál es la posibilidad de que no ocurra una creciente de 100 años de periodo de retorno en ese mismo sitio durante los próximos 100 años? ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra una creciente de cinco años: a) en el próximo año; b) al menos una vez durante los próximos cinco años, y e) al menos una vez durante los próximos 50 años? Calcule la lluvia de 10 minutos de duración con periodos de retorno de 20 y 100 años en Chicago, utilizando los datos dados en la tabla 12.2.1. Utilice una distribución de Valor Extremo Tipo l. a) Para la serie de máximos anuales dada a continuación, determine los caudales pico de 25, 50 y 100 años de periodo de retorno utilizando la distribución de Valor Extremo Tipo I.
Año
1
2
3
4
5
6
7
Caudal Pico (cfs)
4,780
1,520
9,260
17,600
4,300
21,200
12,000
Año
8
9
10
11
12
13
14
Caudal Pico
2,840
2,120
3,170
3,490
3,920
3,310
13,200
Año
15
16
17
18
19
20
21
Caudal Pico
9,700
3,380
9,540
12,200
20,400
7,960
15,000
Año
22
23
24
25
26
27
Caudal Pico
3,930
3,840
4,470
16,000
6,540
4,130
Determine el riesgo de que ocurra un caudal que iguale o exceda 25,000 cfs en ese sitio durante los próximos 15 años. e) Determine el periodo de retorno para un caudal de 15,000 cfs. Los caudales máximos tal corno se registraron en una estación hidrométrica en un río son los siguientes: b)
12.3.2
12.3.3
12.3.4 12.3.5
Seleccione la serie anual máxima para este conjunto de datos. Ajustando los datos anuales máximos a una distribución de Valor Extremo Tipo I, determine los caudales con periodos de retorno de 10, 50 y 100 años. Seleccione la serie anual de excedencia utilizando los datos dados en el problema 12.3.2 y calcule los valores del caudal con periodos de retorno de 10, 50 y 100 años utilizando la distribución de Valor Extremo Tipo I. Compare los valores calculados con los obtenidos en el problema 12.3.2. Resuelva el problema 12.3.2 utilizando la distribución lognormal. Resuelva el problema 12.3.2 utilizando la distribución log-Pearson Tipo 111.
422
HIDROLOGÍA APLICADA
REFERENCIAS Abramowitz, M., and Stegun, I. A., Handbook of Mathematical Functions. Dover, New York, 1965. Beard, L. R., Probability estimates based on small normal distribution samples, J. Geophys, Res. vol. 65, No. 7, pp. 2143-2148, 1960. Beard, L. R., Statistical methods in hydrology, U. S. Army Corps of Engineers, January 1962. Beard, L. R., Impact of hydrologic uncertainties on flood insurance, J. Hyd. Div., Am. Soc. Civ. Eng., vol. 104, No. HYll, pp. 1473-1484, 1978. Benson, M. A., Uniform flood-frequency estimating methods for federal agencies, Water Resour. Res., vol. 4, No. 5, pp. 891- 908, 1968. Blom, G., Statistical Estimares and Transformed Beta Variables, Wiley, New York, pp. 68-75, and 143146, 1958. Chow, V. T., A general formula for hydrologic frequency analysis, Trans. Am. Geophysica/ Union. vol. 32, No. 2, pp. 231-237, 1951. Chow, V. T., Frequency analysis of hydrologic data with special application to rainfall intensities. bulletin No. 414, University of Illinois Eng. Expt. Station, 1953. Chow, V. T., The log-probablity law and its engineering applications, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., vol. 80, No. 536, pp. 1-25, September 1954. Chow, V. T., Statistical and probability analysis of hydrologic data, sec. 8-I in Handbook of Applied Hydrology, ed. by V. T. Chow MacGraw-Hill, New York, 1964. Cunnane, C., Unbiased plotting positions -a review, J. Hydrol., vol. 37, pp. 205-222, 1978. Gringorten, I. I., A plotting rule for extreme probability paper, J. Geophys. Res., vol. 68, No. 3 pp. 813814, 1963. Gumbel, E. J., The statistical theory of droughts, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., vol. 80, pp. 439-1 to 439-19, 1954. Gumbel, E. J., Statistical forecast of droughts, Bull, Int. Assn. Sci. Hydrol. 8th year, No. 1, pp. 5-23, 1963. Hardison, C. H., and M. E. Jennings, Bias in computed flood risk, J. Hyd. Div., Am. Soc. Civ. Eng., vol. 98, No. HY3, pp. 415-427, March 1972. Hazen, A., Flood Flóws, a Study of Frequencies and Magnitudes, Wiley, New York, 1930. Kendall, M. G., and A. Stuart, The Advanced Theory of Statistics, vol. 2, 2nd, ed., Hafner, New York, 1967. Kite, G. W., Frequency and Risk Analysis in Hydrology, Water Resources Publications. Fort Collins, Colo., 1977. Natrella, M. G., Experimental Statistics, National Bureau of Standards Handbook 91, 1963. Natural Environment Research Council, Flood studies report, vol. 1, hydrological studies, Natural Environment Research Council, London (available from Institute of Hydrology, Wallingford. Oxon, England), 1975. Tomlinson, A. I., The frequency of high intensity rainfalls in New Zealand, Water and Soil Tech. Pub/., No. 19, Ministry of Works and Development, Wellington, New Zealand, 1980. Tung, Y.-K., and L. W. Mays, Reducing hydrologic parameter-uncertainty, J. Water Res. P/anning and Management Div., Am. Soc. Civ. Eng., vol. 107, No. WRI, pp. 245-262, March 1981. U. S. Army Corps of Engineers Hydrologic Engineering, Regional frequency computation, generalized computer program, Davis, California, July 1972. U. S. Army Corps of Engineers Hydro1ogic Engineering Center, F1ood flow frequency ana1ysis, computer program 723-X6-L 7550 user's manual, Da vis, California, February 1982. U. S. Water Resources Council, A uniform technique for determining flood flow frequencies, bulletin 15, Washington, D.C., 1967. U. S. Water Resources Council, Guide1ines for determining flood flow frequency, bulletin 17, Washington, D.C., 1976. U. S. Water Resources Council, Guidelines for determining flood flow frequency, bulletin 17 A, Washington, D.C., 1977. U. S. Water Resources Counci1 (now called Interagency Advisory Committee on Water Data), Guide1ines for determining flood flow frequency, bulletin 17B, available from Office of Water Data Coordination, U.S. (ieological Survey, Reston, VA 22092, 1981. Wallis, J. R., N. C. Matalas, and J. R. Slack, Justa moment, Water Resour. Res., vol. 10, No. 2, pp. 211219, Apri11974.
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ANÁLISIS DE FRECUENCIA
PROBLEMAS 12.1.1 12.1.2
12.1.3
12.1.4 12.2.1 12.3.1
Estime el periodo de retorno de un caudal máximo anual de 40,000 cfs utilizando los datos dados en la tabla 12.1.1. Estime el periodo de retorno para caudales máximos anuales de 10,000, 20,000, 30,000, 40,000 y 50,000 cfs para el río Guadalupe en Victoria, Texas, utilizando los datos dados en la tabla 12.1.1. Elabore una gráfica de caudal de creciente de vs. periodo de retorno utilizando estos resultados. Calcule la probabilidad de que ocurra una creciente de 100 años de periodo de retorno en un sitio dado al menos una vez durante los próximos 5, 10, 50 y 100 años. ¿Cuál es la posibilidad de que no ocurra una creciente de 100 años de periodo de retorno en ese mismo sitio durante los próximos 100 años? ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra una creciente de cinco años: a) en el próximo año; b) al menos una vez durante los próximos cinco años, y e) al menos una vez durante los próximos 50 años? Calcule la lluvia de 10 minutos de duración con periodos de retorno de 20 y 100 años en Chicago, utilizando los datos dados en la tabla 12.2.1. Utilice una distribución de Valor Extremo Tipo l. a) Para la serie de máximos anuales dada a continuación, determine los caudales pico de 25, 50 y 100 años de periodo de retorno utilizando la distribución de Valor Extremo Tipo I.
Año
1
2
3
4
5
6
7
Caudal Pico (cfs)
4,780
1,520
9,260
17,600
4,300
21,200
12,000
Año
8
9
10
11
12
13
14
Caudal Pico
2,840
2,120
3,170
3,490
3,920
3,310
13,200
Año
15
16
17
18
19
20
21
Caudal Pico
9,700
3,380
9,540
12,200
20,400
7,960
15,000
Año
22
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24
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26
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Caudal Pico
3,930
3,840
4,470
16,000
6,540
4,130
Determine el riesgo de que ocurra un caudal que iguale o exceda 25,000 cfs en ese sitio durante los próximos 15 años. e) Determine el periodo de retorno para un caudal de 15,000 cfs. Los caudales máximos tal corno se registraron en una estación hidrométrica en un río son los siguientes: b)
12.3.2
12.3.3
12.3.4 12.3.5
Seleccione la serie anual máxima para este conjunto de datos. Ajustando los datos anuales máximos a una distribución de Valor Extremo Tipo I, determine los caudales con periodos de retorno de 10, 50 y 100 años. Seleccione la serie anual de excedencia utilizando los datos dados en el problema 12.3.2 y calcule los valores del caudal con periodos de retorno de 10, 50 y 100 años utilizando la distribución de Valor Extremo Tipo I. Compare los valores calculados con los obtenidos en el problema 12.3.2. Resuelva el problema 12.3.2 utilizando la distribución lognormal. Resuelva el problema 12.3.2 utilizando la distribución log-Pearson Tipo 111.
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HIDROLOGÍA APLICADA
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ANÁLISIS DE FRECUENCIA
Fecha de ocurrencia
Caudal (cfs)
1940 junio 23 1941 feb. 13 1941 marzo 20 1941 mayo 31 1941junio3 1941 junio 28 1941 sept. 8 1941 oct. 23 1942 junio 3 1942junio 10 1942 junio 11 1942 sept. 3 1942 dic. 27 1943 feb. 20 1943 marzo 15 1943 junio 2 1943 junio 20 1943 ago. 2 1944 feb. 23
908 1,930 3,010 2,670 2,720 2,570 1,930 2,270 1,770 1,770 1,970 1,570 3,850 2,650 2,450 1,290 1,200 1,200 1,490
Fecha de ocurrencia
Caudal (cfs)
1944 feb. 26 1944 marzo 13 1945 mayo 14 1946 enero 5 1946 enero 9 1946 marzo 5 1947 marzo 13 1948 feb. 28 1948 marzo 15 1948 marzo 19 1949 enero 4 1949 enero 15 1949 feb. 13 1949 feb. 18 1949 feb. 24 1950 enero 25 1950 marzo 5 1950 junio 2
1,610 4,160 770 5,980 2,410 1,650 1,260 4,630 2,690 4,160 1,680 1,640 2,310 3,300 3,460 3,050 2,880 1,450
12.4.3 12.4.4 12.5.1
12.5.2
Caudales máximos anuales para el río Leaf, lllinois Año
Los registros de caudales máximos anuales en una estación de aforo son los siguienles:
Año Caudal
(m3/s)
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
45.3
27.5
16.9
41.1
31.2
19.9
22.7
59.0
35.4
Determine, utilizando la distribución lognormal, 3 La probabilidad de que no sea excedido un flujo pico anual de 42.5 m /s. El periodo de retomo de un caudal de 42.5 m 3/s. La magnitud de la creciente con periodo de retorno de 20 años.
a) b) e)
12.3.7
Demuestre que el factor de frecuencia para la distribución de Valor Extremo Tipo I está dado por
12.5.4 12.4.1 12.4.2
1940
1941
1942
1943
1944
1945
Caudal (cfs) 2,160 3,210 3,070 4,000 3,830 978
12.5.3 12.3.6
Grafique los datos en el problema 12.3. 1 en una escala de probabilidad de Valor Extremo Tipo 1 utilizando la variable reducida y como el eje horizontal y el caudal como el eje vertical. Utilice la ecuación de graficación de Gringorten. Resuelva el problema 12.4.3 utilizando la ecuación de graficación de Weibull y compare los resultados de las dos ecuaciones de graficación. Desarrolle un análisis de frecuencia para el caudal máximo anual en la quebrada Walnut utilizando los datos dados en la tabla 12.5.1 y empleando la distribución log-Pearson Tipo III sin las correcciones por asimetría y por datos dudosos recomendadas por el U.S. Water Resources Council. Compare los resultados con aqueIIos mostrados en la tabla 12.5.2 para eventos con periodos de retorno de 2, 5, 1O, 25, 50 y 100 años. Utilizando la distribución Iog-Pearson Tipo III y la información hidrológica dada en la siguiente tabla, calcule las crecientes máximas anuales con periodos de retorno de 2, 5, 10, 25, 50 y 100 años en el río Leaf, Illinois. Utilice el método del U.S. Water Resources Council para asimetría y para verificación de datos dudosos. La asimetría de mapa para el río Leaf es -0.4.
Grafique los datos de caudales máximos anuales para la quebrada Walnut dados en la tabla 12.5.1 sobre una escala de probabilidad lognormal utilizando la ecuación de graficación de Blom. Resuelva el problema 12.4.1 utilizando la ecuación de graficación de Walnut y compare los resultados de las dos ecuaciones de graficación.
1946
1947
6,090
1,150 6,510 3,070 3,360
1948
1949
1950
Utilizando los flujos anuales máximos que se dan a continuación para la quebrada Mills cerca de Los Molinos, California, determine los caudales máximos con periodo de retorno de 2, 10, 25, 50 y 100 años utilizando la distribución log-Pearson Tipo III y los ajustes por asimetría del U.S. Water Resources Council. La asimetría de mapa en Los Molinos es Cm= O.
Año Caudal (cfs)
1929 1,520
1930 6,000
1931 1,500
1932 5,440
1933 1,080
1934 2,630
1935 4,010
1936 4.380
Año Caudal
1937 3,310
1938 23,000
1939 1,260
1940 11,400
1941 12,200
1942 1943 11,000 6,970
1944 3,220
Año Caudal
1945 3,230
1946 6,180
1947 4,070
1948 7,320
1949 3,870
1950 4,430
1952 5,280
Año Caudal
1953 7,710
1954 4,910
1955 2,480
1956 9,180
1957 6,150
1958 6,880
1951 3,870
Las estadísticas para los logaritmos con base lO para estos datos son: media 3.6656, desviación estándar 0.3031, coeficiente de asimetría -0.165. El registro hidrométrico para la quebrada Fishkill en Beacon, New York, tiene una media para caudales transformados (log Q) de 3.3684, una desviación estándar para caudales transformados de 0.2456 y un coeficiente de asimetría para caudales transformados de 0.7300. El registro está dado en cfs y se basa en 24 valores. a) Determine el caudal de creciente con periodos de retomo de 2, 20 y 100 años utilizando la distribución lognormal. b) Determine los caudales de creciente con los mismos periodos de retorno utilizando la asimetría de muestra para la distribución log-Pearson Tipo III.
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HIDROLOGÍA APLICADA
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ANÁLISIS DE FRECUENCIA
Fecha de ocurrencia
Caudal (cfs)
1940 junio 23 1941 feb. 13 1941 marzo 20 1941 mayo 31 1941junio3 1941 junio 28 1941 sept. 8 1941 oct. 23 1942 junio 3 1942junio 10 1942 junio 11 1942 sept. 3 1942 dic. 27 1943 feb. 20 1943 marzo 15 1943 junio 2 1943 junio 20 1943 ago. 2 1944 feb. 23
908 1,930 3,010 2,670 2,720 2,570 1,930 2,270 1,770 1,770 1,970 1,570 3,850 2,650 2,450 1,290 1,200 1,200 1,490
Fecha de ocurrencia
Caudal (cfs)
1944 feb. 26 1944 marzo 13 1945 mayo 14 1946 enero 5 1946 enero 9 1946 marzo 5 1947 marzo 13 1948 feb. 28 1948 marzo 15 1948 marzo 19 1949 enero 4 1949 enero 15 1949 feb. 13 1949 feb. 18 1949 feb. 24 1950 enero 25 1950 marzo 5 1950 junio 2
1,610 4,160 770 5,980 2,410 1,650 1,260 4,630 2,690 4,160 1,680 1,640 2,310 3,300 3,460 3,050 2,880 1,450
12.4.3 12.4.4 12.5.1
12.5.2
Caudales máximos anuales para el río Leaf, lllinois Año
Los registros de caudales máximos anuales en una estación de aforo son los siguienles:
Año Caudal
(m3/s)
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
45.3
27.5
16.9
41.1
31.2
19.9
22.7
59.0
35.4
Determine, utilizando la distribución lognormal, 3 La probabilidad de que no sea excedido un flujo pico anual de 42.5 m /s. El periodo de retomo de un caudal de 42.5 m 3/s. La magnitud de la creciente con periodo de retorno de 20 años.
a) b) e)
12.3.7
Demuestre que el factor de frecuencia para la distribución de Valor Extremo Tipo I está dado por
12.5.4 12.4.1 12.4.2
1940
1941
1942
1943
1944
1945
Caudal (cfs) 2,160 3,210 3,070 4,000 3,830 978
12.5.3 12.3.6
Grafique los datos en el problema 12.3. 1 en una escala de probabilidad de Valor Extremo Tipo 1 utilizando la variable reducida y como el eje horizontal y el caudal como el eje vertical. Utilice la ecuación de graficación de Gringorten. Resuelva el problema 12.4.3 utilizando la ecuación de graficación de Weibull y compare los resultados de las dos ecuaciones de graficación. Desarrolle un análisis de frecuencia para el caudal máximo anual en la quebrada Walnut utilizando los datos dados en la tabla 12.5.1 y empleando la distribución log-Pearson Tipo III sin las correcciones por asimetría y por datos dudosos recomendadas por el U.S. Water Resources Council. Compare los resultados con aqueIIos mostrados en la tabla 12.5.2 para eventos con periodos de retorno de 2, 5, 1O, 25, 50 y 100 años. Utilizando la distribución Iog-Pearson Tipo III y la información hidrológica dada en la siguiente tabla, calcule las crecientes máximas anuales con periodos de retorno de 2, 5, 10, 25, 50 y 100 años en el río Leaf, Illinois. Utilice el método del U.S. Water Resources Council para asimetría y para verificación de datos dudosos. La asimetría de mapa para el río Leaf es -0.4.
Grafique los datos de caudales máximos anuales para la quebrada Walnut dados en la tabla 12.5.1 sobre una escala de probabilidad lognormal utilizando la ecuación de graficación de Blom. Resuelva el problema 12.4.1 utilizando la ecuación de graficación de Walnut y compare los resultados de las dos ecuaciones de graficación.
1946
1947
6,090
1,150 6,510 3,070 3,360
1948
1949
1950
Utilizando los flujos anuales máximos que se dan a continuación para la quebrada Mills cerca de Los Molinos, California, determine los caudales máximos con periodo de retorno de 2, 10, 25, 50 y 100 años utilizando la distribución log-Pearson Tipo III y los ajustes por asimetría del U.S. Water Resources Council. La asimetría de mapa en Los Molinos es Cm= O.
Año Caudal (cfs)
1929 1,520
1930 6,000
1931 1,500
1932 5,440
1933 1,080
1934 2,630
1935 4,010
1936 4.380
Año Caudal
1937 3,310
1938 23,000
1939 1,260
1940 11,400
1941 12,200
1942 1943 11,000 6,970
1944 3,220
Año Caudal
1945 3,230
1946 6,180
1947 4,070
1948 7,320
1949 3,870
1950 4,430
1952 5,280
Año Caudal
1953 7,710
1954 4,910
1955 2,480
1956 9,180
1957 6,150
1958 6,880
1951 3,870
Las estadísticas para los logaritmos con base lO para estos datos son: media 3.6656, desviación estándar 0.3031, coeficiente de asimetría -0.165. El registro hidrométrico para la quebrada Fishkill en Beacon, New York, tiene una media para caudales transformados (log Q) de 3.3684, una desviación estándar para caudales transformados de 0.2456 y un coeficiente de asimetría para caudales transformados de 0.7300. El registro está dado en cfs y se basa en 24 valores. a) Determine el caudal de creciente con periodos de retomo de 2, 20 y 100 años utilizando la distribución lognormal. b) Determine los caudales de creciente con los mismos periodos de retorno utilizando la asimetría de muestra para la distribución log-Pearson Tipo III.
426
HIDROLOGÍA APLICADA
Determine los caudales de creciente utilizando el procedimiento recomendado por el U.S. Water Resources Council. La asimetría de mapa es 0.6. Compare los resultados obtenidos en las partes a), b) y e). Utilice el método del U.S. Water Resources Council para determinar los caudales pico con periodos de retorno de 2, 10, 25, 50 y 100 años para el registro hidrométrico del río San Gabriel en Georgetown, Texas. La asimetría de mapa es -0.3
e)
12.5.5
12.5.6
12.5.7
12.5.8
12.6.1
12.6.2
12.6.3
12.6.4 12.6.5 12.6.6 12.6.7
1940 1941 34,500 30,000
1942 18,600
1948 1949 14,000 6,600
1950 5,080
Año Caudal (cfs)
1938 1939 1936 1937 1935 25,100 32,400 16,300 24,800 903
Año Caudal
1943 7,800
1944 37,500
Año Caudal
1951 5,350
1952 1953 1954 11,000 14,300 24,200
1956 1955 12,400 5,660
Año Caudal
1959 3,080
1961 1962 1960 71,500 22,800 4,040
1963 858
Año Caudal
1967 1,900
1969 1968 21,800 20,700
1946 1945 10,300 8,000
1947 21,000
1970 1971 11,200 9,640
CAPÍTULO
13
.
DISENO /
HIDROLOGICO
1957 1958 155,000 21,800
1964 1965 1966 13,800 26,700 5,480 1972 4,790
1973 18,100
Resuelva el probl;:ma 12.5.5 utilizando el programa de computador HECWRC del U.S. Army Corps of Engineers para el análisis de frecuencia de crecientes con la distribución log-Pearson Tipo III. Utilice el método del U.S. Water Resources Council para determinar los caudales pico con periodos de retorno de 2, 10, 25, 50 y 100 años para el registro hidrométrico (tabla 12.1.1) del río Guadal upe en Victoria, Texas. El coeficiente de asimetría es -0.3. Resuelva el problema 12.5.7 utilizando el programa de computador HECWRC del U.S. Army Corps of Engineers para el análisis de frecuencia de crecientes con la distribución log- Pearson III. Grafique los límites de confianza del 90% de la curva de frecuencia de crecientes para la información en la quebrada Walnut dada en la tabla 12.5.1. Considere periodos de retorno de 2, 10, 25, 50 y 100 años. Grafique los límites de confianza del 90% de la curva de frecuencia de crecientes para el registro hidrométrico de Los Molinos, California (problema 12.5.3). Considere periodos de retorno de 2, 10, 25, 50 y 100 años. Grafique los límites de confianza del 90% de la curva de frecuencia de crecientes para el río San Gabriel, en Georgetown, Texas (problema 12.5.5). Considere periodos de retorno de 2, 10, 25, 50 y 100 años. Grafique los límites de confianza del 90% de la curva de frecuencia de crecientes para el río Guadalupe, en Victoria, Texas (problema 12.5.7). Determine la probabilidad esperada para un evento de 10 años de periodo de retorno utilizando la información de la quebrada Walnut (tabla 12.5.1). Determine la probabilidad esperada para crecientes con periodos de retomo de 1O y 100 años en el río Guadalupe, en Victoria, Texas (datos dados en la tabla 12.1.1). Determine la probabilidad esperada para caudales estimados con periodos de retorno de 10 y 100 años para el río San Gabriel, en Georgetown, Texas (problema 12.5.5).
El diseño hidrológico es el proceso de evaluación del impacto de los eventos hidrológicos en un sistema de recursos hidráulicos y de escogencia de valores para las variables importantes del sistema para que éste se comporte adecuadamente. El diseño hidrológico puede utilizarse para desarrollar esquemas de una nueva estructura, como un dique para el control de crecientes, o para desarrollar programas de manejo y administración para controlar mejor un sistema existente, por ejemplo, produciendo un mapa de la planicie de inundación para limitar la construcción cerca de un río. Aparte de la hidrología, existen muchos factores que están envueltos en los diseños de sistemas de recursos hidráulicos; éstos incluyen la seguridad y salud pública, la economía, la estética, los aspectos legales y factores de ingeniería tales como diseños geotécnicos y estructurales. A pesar de que la principal preocupación del hidrólogo es el flujo de agua a través de un sistema, siempre debe tener presentes dichos factores y la forma como podría afectarlos la operación hidrológica del sistema. En este sentido, el diseño hidrológico es un tema más amplio que el análisis hidrológico desarrollado en los capítulos previos.
13.1 ESCALA DEL DISEÑO HIDROLÓGICO Los fines de la planeación y el manejo de los recursos hidráulicos pueden clasificarse en dos categorías. Una es el control del agua, tal como el drenaje, el control de crecientes, la disminución de contaminación, el control de insectos, el control de sedimentos y el control de salinidad. El otro es el uso de agua y su manejo, como en el suministro de agua doméstica e industrial, la irrigación, la generación hidroeléctrica, la recreación y el mejoramiento de la vida silvestre, el aumento de los caudales bajos para el manejo de la calidad del agua y el manejo integral de la cuenca. En ambos casos, la tarea del hidrólogo es la misma, es decir, determinar un caudal de entrada de diseño, transitarlo a través del sistema y verificar que los valores del caudal de salida sean satisfactorios. La diferencia entre los dos casos es que el diseño para el control de agua usualmente está relacionado con eventos extremos de
427
426
HIDROLOGÍA APLICADA
Determine los caudales de creciente utilizando el procedimiento recomendado por el U.S. Water Resources Council. La asimetría de mapa es 0.6. Compare los resultados obtenidos en las partes a), b) y e). Utilice el método del U.S. Water Resources Council para determinar los caudales pico con periodos de retorno de 2, 10, 25, 50 y 100 años para el registro hidrométrico del río San Gabriel en Georgetown, Texas. La asimetría de mapa es -0.3
e)
12.5.5
12.5.6
12.5.7
12.5.8
12.6.1
12.6.2
12.6.3
12.6.4 12.6.5 12.6.6 12.6.7
1940 1941 34,500 30,000
1942 18,600
1948 1949 14,000 6,600
1950 5,080
Año Caudal (cfs)
1938 1939 1936 1937 1935 25,100 32,400 16,300 24,800 903
Año Caudal
1943 7,800
1944 37,500
Año Caudal
1951 5,350
1952 1953 1954 11,000 14,300 24,200
1956 1955 12,400 5,660
Año Caudal
1959 3,080
1961 1962 1960 71,500 22,800 4,040
1963 858
Año Caudal
1967 1,900
1969 1968 21,800 20,700
1946 1945 10,300 8,000
1947 21,000
1970 1971 11,200 9,640
CAPÍTULO
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DISENO /
HIDROLOGICO
1957 1958 155,000 21,800
1964 1965 1966 13,800 26,700 5,480 1972 4,790
1973 18,100
Resuelva el probl;:ma 12.5.5 utilizando el programa de computador HECWRC del U.S. Army Corps of Engineers para el análisis de frecuencia de crecientes con la distribución log-Pearson Tipo III. Utilice el método del U.S. Water Resources Council para determinar los caudales pico con periodos de retorno de 2, 10, 25, 50 y 100 años para el registro hidrométrico (tabla 12.1.1) del río Guadal upe en Victoria, Texas. El coeficiente de asimetría es -0.3. Resuelva el problema 12.5.7 utilizando el programa de computador HECWRC del U.S. Army Corps of Engineers para el análisis de frecuencia de crecientes con la distribución log- Pearson III. Grafique los límites de confianza del 90% de la curva de frecuencia de crecientes para la información en la quebrada Walnut dada en la tabla 12.5.1. Considere periodos de retorno de 2, 10, 25, 50 y 100 años. Grafique los límites de confianza del 90% de la curva de frecuencia de crecientes para el registro hidrométrico de Los Molinos, California (problema 12.5.3). Considere periodos de retorno de 2, 10, 25, 50 y 100 años. Grafique los límites de confianza del 90% de la curva de frecuencia de crecientes para el río San Gabriel, en Georgetown, Texas (problema 12.5.5). Considere periodos de retorno de 2, 10, 25, 50 y 100 años. Grafique los límites de confianza del 90% de la curva de frecuencia de crecientes para el río Guadalupe, en Victoria, Texas (problema 12.5.7). Determine la probabilidad esperada para un evento de 10 años de periodo de retorno utilizando la información de la quebrada Walnut (tabla 12.5.1). Determine la probabilidad esperada para crecientes con periodos de retomo de 1O y 100 años en el río Guadalupe, en Victoria, Texas (datos dados en la tabla 12.1.1). Determine la probabilidad esperada para caudales estimados con periodos de retorno de 10 y 100 años para el río San Gabriel, en Georgetown, Texas (problema 12.5.5).
El diseño hidrológico es el proceso de evaluación del impacto de los eventos hidrológicos en un sistema de recursos hidráulicos y de escogencia de valores para las variables importantes del sistema para que éste se comporte adecuadamente. El diseño hidrológico puede utilizarse para desarrollar esquemas de una nueva estructura, como un dique para el control de crecientes, o para desarrollar programas de manejo y administración para controlar mejor un sistema existente, por ejemplo, produciendo un mapa de la planicie de inundación para limitar la construcción cerca de un río. Aparte de la hidrología, existen muchos factores que están envueltos en los diseños de sistemas de recursos hidráulicos; éstos incluyen la seguridad y salud pública, la economía, la estética, los aspectos legales y factores de ingeniería tales como diseños geotécnicos y estructurales. A pesar de que la principal preocupación del hidrólogo es el flujo de agua a través de un sistema, siempre debe tener presentes dichos factores y la forma como podría afectarlos la operación hidrológica del sistema. En este sentido, el diseño hidrológico es un tema más amplio que el análisis hidrológico desarrollado en los capítulos previos.
13.1 ESCALA DEL DISEÑO HIDROLÓGICO Los fines de la planeación y el manejo de los recursos hidráulicos pueden clasificarse en dos categorías. Una es el control del agua, tal como el drenaje, el control de crecientes, la disminución de contaminación, el control de insectos, el control de sedimentos y el control de salinidad. El otro es el uso de agua y su manejo, como en el suministro de agua doméstica e industrial, la irrigación, la generación hidroeléctrica, la recreación y el mejoramiento de la vida silvestre, el aumento de los caudales bajos para el manejo de la calidad del agua y el manejo integral de la cuenca. En ambos casos, la tarea del hidrólogo es la misma, es decir, determinar un caudal de entrada de diseño, transitarlo a través del sistema y verificar que los valores del caudal de salida sean satisfactorios. La diferencia entre los dos casos es que el diseño para el control de agua usualmente está relacionado con eventos extremos de
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428
HIDROLOGÍA APLICADA DISEÑO HIDROLÓGICO
corta duración tales como los caudales picos instantáneos en una creciente o el caudal mínimo durante un periodo de unos pocos días en una estación seca, mientras que el diseño para el uso de agua está relacionado con el hidrograma de caudales completo durante un periodo de varios años. La escala del diseño hidrológico es el rango en magnitud de la variable de diseño (tal como el caudal de diseño) dentro del cual se debe seleccionar un valor para determinar el flujo de entrada al sistema (véase la figura 13.1.1). Los factores más importantes en la selección del valor de diseño son el costo y la seguridad. Es demasiado costoso diseñar estructuras pequeñas como culverts para caudales pico muy grandes; sin embargo, si una estructura hidráulica importante, como el vertedero en una presa grande, se diseña para una creciente demasiado pequeña, el resultado puede ser una catástrofe tal como la falla de la presa. La magnitud óptima para el diseño es aquella que equilibra los criterios enfrentados de costo y seguridad.
Valor límite estimado El límite superior práctico de la escala de diseño hidrológico no es infinito, debido a que el ciclo hidrológico global es un sistema cerrado; es decir, la cantidad total de agua en la Tierra es esencialmente constante. Algunos hidrólogos no reconocen un límite superior, pero tal criterio no es realista físicamente. El límite inferior de la escala de diseño es cero en la mayoría de los casos, debido a que el valor de la variable de diseño no puede ser negativo. A pesar de que el límite superior real es usualmente desconocido, para propósitos prácticos puede estimarse un límite superior. Este valor límite estimado (EL V por sus siglas en inglés) se define como la máxima magnitud posible de un evento hidrológico en un lugar dado utilizando la mejor información hidrológica disponible. El rango de incertidumbre para el EL V
100
Valor límite estimado (ELV) •
90
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80
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70
..J UJ "O
1,000 500
Q)
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200
o
100
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Cl.
50
"'"'1 w .5
50 25
40 10
2
o
FIGURA 13.1.1 Escala de diseño hidrológico. Se muestran rangos aproximados de nivel de diseño para diferentes tipos de estructuras. El diseño puede basarse en un porcentaje del EL V o en un periodo de retorno de diseño. Los valores de las dos escalas mostradas en el diagrama son solamente ilustrativos y no corresponden directamente el uno con respecto al otro.
429
depende de la confiabilidad de la información, del conocimiento técnico y de la exactitud del análisis. A medida que mejora la información, el conocimiento y el análisis, el valor límite estimado se aproxima más al límite superior real y su rango de incertidumbre disminuye. Han existido algunos casos en los cuales eventos hidrológicos observados excedieron sus valores límites estimados previamente. El concepto de un valor límite estimado está implícito en las comúnmente usadas precipitación máxima probable (PMP) y la correspondiente creciente máxima probable (CMP). La precipi:cación máxima probable está definida por la Organización Meteorológica Mundial ( 1983) como "una cantidad de precipitación que es cercana al límite físico superior para una duración dada sobre una cuenca particular" Con base en registros mundiales, la PMP puede tener periodos de retorno tan grandes como 500,000,000 de años, que corresponde aproximadamente a un factor de frecuencia de 15. Sin embargo, el periodo de retorno varía geográficamente. Algunas personas asignan arbitrariamente a la PMP o a la CMP un periodo de retorno dado, por ejemplo 10,000 años, pero esta sugerencia no tiene bases físicas.
Límites basados en probabilidades Debido a que su probabilidad es desconocida, el valor límite estimado se utiliza determinísticamente. Más abajo en la escala de diseño, comúnmente se adopta un método basado en probabilidades o frecuencias. Las magnitudes de eventos hidrológicos en este nivel son más pequeñas, usualmente localizadas dentro o cerca del rango de observaciones frecuentes. Como resultado, sus probabilidades de ocurrencia pueden estimarse adecuadamente cuando están disponibles registros hidrológicos suficientemente largos para el análisis de frecuencia. El método probabilístico es menos subjetivo y teóricamente más manejable que el método determinístico. Los métodos probabilísticos también conducen a formas lógicas para determinar los niveles de diseños óptimos, como aquellos hechos mediante análisis hidroeconómicos y de riesgo, los cuales serán discutidos en la sección 13.2. Para un área densamente poblada, donde la falla de estructuras para el control de agua causaría pérdidas de vidas y extensos daños a propiedades, puede justificarse el uso del ELV en un diseño. En áreas menos pobladas, donde las fallas causarían solamente pequeños daños, se justificaría un diseño con un menor grado de protección. Entre estos dos extremos de la escala de diseño hidrológico existen condiciones diferentes y por consiguiente se requieren valores de diseño diferentes. Cuando el comportamiento probabilístico de un evento hidrológico puede determinarse, usualmente es mejor utilizar la magnitud del evento para un periodo de retorno especificado como el valor de diseño. Con base en experiencias pasadas, se han desarrollado algunos criterios generalizados de diseño para estructuras de control de agua, tal como se resume en la tabla 13 .1.1. Teniendo en cuenta las consecuencias potenciales de falla, las estructuras se clasifican como grandes, intermedias y pequeñas; en la figura 13. 1 . 1 se muestran los rangos aproximados correspondientes en la escala de diseño. Los criterios para presas mostrados en la tabla 13.1.1 están relacionados con el diseño de las capacidades de los vertederos, y fueron tomados de la National Academy of Sciences (1983). La Academia define como presas pequeñas aquellas que tienen un almacenamiento de 50 a 1,000 acres-pie o que tienen una altura de 25 a 40 pies, co-
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HIDROLOGÍA APLICADA DISEÑO HIDROLÓGICO
corta duración tales como los caudales picos instantáneos en una creciente o el caudal mínimo durante un periodo de unos pocos días en una estación seca, mientras que el diseño para el uso de agua está relacionado con el hidrograma de caudales completo durante un periodo de varios años. La escala del diseño hidrológico es el rango en magnitud de la variable de diseño (tal como el caudal de diseño) dentro del cual se debe seleccionar un valor para determinar el flujo de entrada al sistema (véase la figura 13.1.1). Los factores más importantes en la selección del valor de diseño son el costo y la seguridad. Es demasiado costoso diseñar estructuras pequeñas como culverts para caudales pico muy grandes; sin embargo, si una estructura hidráulica importante, como el vertedero en una presa grande, se diseña para una creciente demasiado pequeña, el resultado puede ser una catástrofe tal como la falla de la presa. La magnitud óptima para el diseño es aquella que equilibra los criterios enfrentados de costo y seguridad.
Valor límite estimado El límite superior práctico de la escala de diseño hidrológico no es infinito, debido a que el ciclo hidrológico global es un sistema cerrado; es decir, la cantidad total de agua en la Tierra es esencialmente constante. Algunos hidrólogos no reconocen un límite superior, pero tal criterio no es realista físicamente. El límite inferior de la escala de diseño es cero en la mayoría de los casos, debido a que el valor de la variable de diseño no puede ser negativo. A pesar de que el límite superior real es usualmente desconocido, para propósitos prácticos puede estimarse un límite superior. Este valor límite estimado (EL V por sus siglas en inglés) se define como la máxima magnitud posible de un evento hidrológico en un lugar dado utilizando la mejor información hidrológica disponible. El rango de incertidumbre para el EL V
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Valor límite estimado (ELV) •
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FIGURA 13.1.1 Escala de diseño hidrológico. Se muestran rangos aproximados de nivel de diseño para diferentes tipos de estructuras. El diseño puede basarse en un porcentaje del EL V o en un periodo de retorno de diseño. Los valores de las dos escalas mostradas en el diagrama son solamente ilustrativos y no corresponden directamente el uno con respecto al otro.
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depende de la confiabilidad de la información, del conocimiento técnico y de la exactitud del análisis. A medida que mejora la información, el conocimiento y el análisis, el valor límite estimado se aproxima más al límite superior real y su rango de incertidumbre disminuye. Han existido algunos casos en los cuales eventos hidrológicos observados excedieron sus valores límites estimados previamente. El concepto de un valor límite estimado está implícito en las comúnmente usadas precipitación máxima probable (PMP) y la correspondiente creciente máxima probable (CMP). La precipi:cación máxima probable está definida por la Organización Meteorológica Mundial ( 1983) como "una cantidad de precipitación que es cercana al límite físico superior para una duración dada sobre una cuenca particular" Con base en registros mundiales, la PMP puede tener periodos de retorno tan grandes como 500,000,000 de años, que corresponde aproximadamente a un factor de frecuencia de 15. Sin embargo, el periodo de retorno varía geográficamente. Algunas personas asignan arbitrariamente a la PMP o a la CMP un periodo de retorno dado, por ejemplo 10,000 años, pero esta sugerencia no tiene bases físicas.
Límites basados en probabilidades Debido a que su probabilidad es desconocida, el valor límite estimado se utiliza determinísticamente. Más abajo en la escala de diseño, comúnmente se adopta un método basado en probabilidades o frecuencias. Las magnitudes de eventos hidrológicos en este nivel son más pequeñas, usualmente localizadas dentro o cerca del rango de observaciones frecuentes. Como resultado, sus probabilidades de ocurrencia pueden estimarse adecuadamente cuando están disponibles registros hidrológicos suficientemente largos para el análisis de frecuencia. El método probabilístico es menos subjetivo y teóricamente más manejable que el método determinístico. Los métodos probabilísticos también conducen a formas lógicas para determinar los niveles de diseños óptimos, como aquellos hechos mediante análisis hidroeconómicos y de riesgo, los cuales serán discutidos en la sección 13.2. Para un área densamente poblada, donde la falla de estructuras para el control de agua causaría pérdidas de vidas y extensos daños a propiedades, puede justificarse el uso del ELV en un diseño. En áreas menos pobladas, donde las fallas causarían solamente pequeños daños, se justificaría un diseño con un menor grado de protección. Entre estos dos extremos de la escala de diseño hidrológico existen condiciones diferentes y por consiguiente se requieren valores de diseño diferentes. Cuando el comportamiento probabilístico de un evento hidrológico puede determinarse, usualmente es mejor utilizar la magnitud del evento para un periodo de retorno especificado como el valor de diseño. Con base en experiencias pasadas, se han desarrollado algunos criterios generalizados de diseño para estructuras de control de agua, tal como se resume en la tabla 13 .1.1. Teniendo en cuenta las consecuencias potenciales de falla, las estructuras se clasifican como grandes, intermedias y pequeñas; en la figura 13. 1 . 1 se muestran los rangos aproximados correspondientes en la escala de diseño. Los criterios para presas mostrados en la tabla 13.1.1 están relacionados con el diseño de las capacidades de los vertederos, y fueron tomados de la National Academy of Sciences (1983). La Academia define como presas pequeñas aquellas que tienen un almacenamiento de 50 a 1,000 acres-pie o que tienen una altura de 25 a 40 pies, co-
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HIDROLOGÍA APLICADA
TABLA 13.1.1
Criterios de diseño generalizados para estructuras de control de agua Tipo de estructura Alcantarillas de carreteras Volúmenes de tráfico bajos Volúmenes de tráfico intermedios Volúmenes de tráfico altos Puentes de carreteras Sistema secundario Sistema primario Drenaje agrícola Cu/verts Surcos Drenaje urbano Alcantarillas en ciudades pequeñas Alcantarillas en ciudades grandes Aeropuertos Volúmenes bajos Volúmenes intermedios Volúmenes altos Diques En fincas Alrededor de ciudades Presas con poca probabilidad de pérdidas de vidas (baja amenaza) Presas pequeñas Presas intermedias Presas grandes Presas con probabilidad de pérdidas de vidas (amenaza significativa) Presas pequeñas Presas intermedias Presas grandes Presas con probabilidad de altas pérdidas de vidas (alta amenaza) Presas pequeñas Presas intermedias ' Presas grandes
Periodo de retorno (años)
ELV
5-10 10-25 50-100 10-50 50-100 5-50 5-50 2-25 25-50 5-10 10-25 50-100 2-50 50-200
50-100 100+ 50-100%
100+
50% 50-100% 100%
50-100% 100% lOO%
mo presas intermedias aquellas que tienen una capacidad de almacenamiento de 1,000 a 50,000 acres-pie o que tienen una altura de 40 a 100 pies, y como presas grandes aquellas que tienen más de 50,000 acres-pie de capacidad de almacenamiento o tienen más de 100 pies de alto. En general, si una estructura grande falla existirán altas pérdidas de vidas y daños considerables. En el caso de una estructura intermedia, es posible que se produzcan pocas pérdidas de vidas y los daños estarían dentro de las capacidades financieras del propietario. Para estructuras menores, en general no existirán pérdidas de vidas y los daños tendrán la misma magnitud que el costo de reemplazar o reparar la estructura.
DISEÑO HIDROLÓGICO
431
Diseño para uso de agua Toda la discusión anterior se aplica al diseño hidrológico de estructuras para el control de aguas en exceso, como crecientes. El diseño para el uso del agua se maneja en forma similar, excepto que el problema es de agua insuficiente en lugar de agua en exceso. Debido a los largos intervalos de tiempo entre sequías, en los registros hidrológicos históricos existen menos de éstas que crecientes extremas. Por consiguiente, es más difícil determinar los niveles de diseño de sequías a través de análisis de frecuencias, especialmente si el evento de diseño dura varios años, como es el caso del diseño de sistemas de suministro de agua. Una base común para el diseño de sistemas de suministro de agua municipal es la sequía crítica de registro, es decir, la peor sequía registrada. Se considera que el diseño es satisfactorio si puede suministrarse agua a las tasas requeridas durante un periodo crítico equivalente. La limitación de este método de periodo crítico es que no se conoce el nivel de riesgo asociado con el hecho de basar el diseño en un único registro histórico. Con el fin de eliminar esta limitación, se han desarrollado métodos de generación sintética de caudales utilizando computadores y generación de números aleatorios para preparar registros sintéticos de caudales, los cuales son estadísticamente equivalentes al registro histórico. En conjunto con los registros históricos, los registros sintéticos conforman una base probabilística para el diseño contra eventos de sequía (Hirsch, 1979; Salas, et al., 1980). El diseño hidrológico para el uso del agua está estrictamente regulado por los aspectos legales de derechos de agua, especialmente en regiones áridas. La ley especifica qué usuarios deben reducir sus consumos de agua en el evento de una sequía. Como un esfuerzo para proteger los peces y la vida silvestre en los ríos, en los últimos años se han desarrollado métodos para cuantificar su necesidad de caudal en la corriente (Milhous y Grenney, 1980). A diferencia del control de crecientes y el suministro de agua, para los cuales los caudales y los niveles de agua proveen toda la información hidrológica necesaria, en el caso de los caudales en la corriente las necesidades están también influidas en forma compleja por la turbiedad, la temperatura y otras variables de calidad de agua, variando de una especie acuática a otra. Los sistemas de recursos hidráulicos están sujetos a las demandas de los diferentes usuarios, a la necesidad de mantener un caudal en la corriente y a las diferentes demandas relacionadas con el control de crecientes. El diseño hidrológico debe especificar los niveles de diseño adecuados para cada uno de estos factores.
13.2 SELECCIÓN DEL NIVEL DE DISEÑO Un nivel de diseño hidrológico en la escala de diseño es la magnitud del evento hidrológico que debe considerarse para el diseño de una estructura o proyecto. No siempre resulta económico diseñar estructuras o proyectos utilizando el valor límite estimado, el cual se modifica frecuentemente para algunos propósitos específicos de diseño. El valor de diseño definitivo puede ser modificado adicionalmente de acuerdo con criterios de ingeniería y con la experiencia del diseñador o planificador. Existen tres formas de uso común para determinar el valor de diseño hidrológico: una aproximación empírica, un análisis de riesgo y un análisis hidroeconómico.
Aproximación empírica Durante los primeros años de práctica de la ingeniería hidráulica, alrededor del año 1900, se consideraba adecuado diseñar un vertedero para permitir el paso de una
430
HIDROLOGÍA APLICADA
TABLA 13.1.1
Criterios de diseño generalizados para estructuras de control de agua Tipo de estructura Alcantarillas de carreteras Volúmenes de tráfico bajos Volúmenes de tráfico intermedios Volúmenes de tráfico altos Puentes de carreteras Sistema secundario Sistema primario Drenaje agrícola Cu/verts Surcos Drenaje urbano Alcantarillas en ciudades pequeñas Alcantarillas en ciudades grandes Aeropuertos Volúmenes bajos Volúmenes intermedios Volúmenes altos Diques En fincas Alrededor de ciudades Presas con poca probabilidad de pérdidas de vidas (baja amenaza) Presas pequeñas Presas intermedias Presas grandes Presas con probabilidad de pérdidas de vidas (amenaza significativa) Presas pequeñas Presas intermedias Presas grandes Presas con probabilidad de altas pérdidas de vidas (alta amenaza) Presas pequeñas Presas intermedias ' Presas grandes
Periodo de retorno (años)
ELV
5-10 10-25 50-100 10-50 50-100 5-50 5-50 2-25 25-50 5-10 10-25 50-100 2-50 50-200
50-100 100+ 50-100%
100+
50% 50-100% 100%
50-100% 100% lOO%
mo presas intermedias aquellas que tienen una capacidad de almacenamiento de 1,000 a 50,000 acres-pie o que tienen una altura de 40 a 100 pies, y como presas grandes aquellas que tienen más de 50,000 acres-pie de capacidad de almacenamiento o tienen más de 100 pies de alto. En general, si una estructura grande falla existirán altas pérdidas de vidas y daños considerables. En el caso de una estructura intermedia, es posible que se produzcan pocas pérdidas de vidas y los daños estarían dentro de las capacidades financieras del propietario. Para estructuras menores, en general no existirán pérdidas de vidas y los daños tendrán la misma magnitud que el costo de reemplazar o reparar la estructura.
DISEÑO HIDROLÓGICO
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Diseño para uso de agua Toda la discusión anterior se aplica al diseño hidrológico de estructuras para el control de aguas en exceso, como crecientes. El diseño para el uso del agua se maneja en forma similar, excepto que el problema es de agua insuficiente en lugar de agua en exceso. Debido a los largos intervalos de tiempo entre sequías, en los registros hidrológicos históricos existen menos de éstas que crecientes extremas. Por consiguiente, es más difícil determinar los niveles de diseño de sequías a través de análisis de frecuencias, especialmente si el evento de diseño dura varios años, como es el caso del diseño de sistemas de suministro de agua. Una base común para el diseño de sistemas de suministro de agua municipal es la sequía crítica de registro, es decir, la peor sequía registrada. Se considera que el diseño es satisfactorio si puede suministrarse agua a las tasas requeridas durante un periodo crítico equivalente. La limitación de este método de periodo crítico es que no se conoce el nivel de riesgo asociado con el hecho de basar el diseño en un único registro histórico. Con el fin de eliminar esta limitación, se han desarrollado métodos de generación sintética de caudales utilizando computadores y generación de números aleatorios para preparar registros sintéticos de caudales, los cuales son estadísticamente equivalentes al registro histórico. En conjunto con los registros históricos, los registros sintéticos conforman una base probabilística para el diseño contra eventos de sequía (Hirsch, 1979; Salas, et al., 1980). El diseño hidrológico para el uso del agua está estrictamente regulado por los aspectos legales de derechos de agua, especialmente en regiones áridas. La ley especifica qué usuarios deben reducir sus consumos de agua en el evento de una sequía. Como un esfuerzo para proteger los peces y la vida silvestre en los ríos, en los últimos años se han desarrollado métodos para cuantificar su necesidad de caudal en la corriente (Milhous y Grenney, 1980). A diferencia del control de crecientes y el suministro de agua, para los cuales los caudales y los niveles de agua proveen toda la información hidrológica necesaria, en el caso de los caudales en la corriente las necesidades están también influidas en forma compleja por la turbiedad, la temperatura y otras variables de calidad de agua, variando de una especie acuática a otra. Los sistemas de recursos hidráulicos están sujetos a las demandas de los diferentes usuarios, a la necesidad de mantener un caudal en la corriente y a las diferentes demandas relacionadas con el control de crecientes. El diseño hidrológico debe especificar los niveles de diseño adecuados para cada uno de estos factores.
13.2 SELECCIÓN DEL NIVEL DE DISEÑO Un nivel de diseño hidrológico en la escala de diseño es la magnitud del evento hidrológico que debe considerarse para el diseño de una estructura o proyecto. No siempre resulta económico diseñar estructuras o proyectos utilizando el valor límite estimado, el cual se modifica frecuentemente para algunos propósitos específicos de diseño. El valor de diseño definitivo puede ser modificado adicionalmente de acuerdo con criterios de ingeniería y con la experiencia del diseñador o planificador. Existen tres formas de uso común para determinar el valor de diseño hidrológico: una aproximación empírica, un análisis de riesgo y un análisis hidroeconómico.
Aproximación empírica Durante los primeros años de práctica de la ingeniería hidráulica, alrededor del año 1900, se consideraba adecuado diseñar un vertedero para permitir el paso de una
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HIDROLOGÍA APLICADA
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DISEÑO HIDROLÓGICO
creciente con una magnitud 50 a 100% mayor que la mayor creciente registrada en un periodo de alrededor de 25 años. Este criterio de diseño no es más que una regla empírica la cual involucra un factor de seguridad arbitrario. Como ejemplo de lo inadecuado de este criterio, el río Republicano en Nebraska experimentó en 1935 una creciente 10 veces más grande que cualquiera de las que habían ocurrido en el río durante los 40 años de registro anteriores. Se encontró que esta práctica de diseño era completamente inadecuada y los hidrólogos e ingenieros hidráulicos empezaron a buscar mejores métodos. Como una aproximación empírica, usualmente se selecciona el evento más extremo de las observaciones pasadas como el valor de diseño. La probabilidad de que el evento más extremo de los pasados N años sea igualado o excedido una vez durante los próximos n años puede estimarse como
1,000 500
200 Riesgo
R
100 o"' ~
50
¡...,
o
E 20
B
n
(13.2.1}
P(N,n) = - N
+n
o
10
'O
Luego, por ejemplo, la probabilidad de que la creciente máxima observada en N años sea igualada o excedida en N años futuros es 0.50. Si una sequía con m años de duración es el evento crítico registrado sobre un periodo de N años, ¿cuál es la probabilidad P(N, m, n) de que ocurra una sequía más severa durante los próximos n años? El número de secuencias con longitud m en los N años de registro es N - m + 1, y en n años de registro es n - m + l. Luego la probabilidad de que el peor evento de la combinación que abarca los periodos pasados y futuros esté contenida en los n años futuros está dada aproximadamente por (n - m
..,1::!
'O
+
n-m+ 1 N+ n-2m+ 2
R=l-(1- ~)"
c..
-- R = 0.63 para n =T y n grande.
2
2
5
10
20
50
100
200
(13.2.2)
(n;::::: m)
(13.2.3)
Ejemplo 13.2.1 Si la sequía crítica registrada, determinada de 40 años de información hidrológica, duró 5 años, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra una sequía más severa durante los próximos 20 años?
Solución. Utilizando la ecuación (13.2.2)
(
' '
)
=
40
1,000
te riesgo hidrológico natural, o inherente, de falla puede calcularse utilizando la ecuación (12.1.4 ):
la cual se reduce a (13.2.1) cuando m= l.
p 40 5 20 =
500
Vida útil de diseño n (años)
FIGURA 13.2.1 Riesgo de por lo menos una excedencia del evento de diseño durante la vida útil.
1)
P(N, m, n) = - - - ' - - - - - - ' - - - (N - m + 1) + (n - m + 1)
.g..,
20 - 5 + 1
+ 20 - 2 X 5 + 2
0.308
Análisis de riesgo El diseño de estructuras para el control de agua incluye la consideración de riesgos. Una estructura para el control de agua puede fallar si la magnitud correspondiente al periodo de retorno de diseño T se excede durante la vida útil de la estructura. Es-
donde P(X 2: xT) = 1/T, y n es la vida útil de la estructura; R representa la probabilidad de que un evento x 2: xT ocurra por lo menos una vez en n años. Esta relación se encuentra graficada en la figura 13.2.1. Si, por ejemplo, un hidrólogo desea estar seguro con una aproximación del 90% de que la capacidad de diseño de un culvert no sea excedida durante la vida útil de 10 años de la estructura, debe diseñar para un caudal de escorrentía pico de 100 años de periodo de retorno. Si un riesgo de falla del 40% es aceptable, el periodo de retorno de diseño debe reducirse a 20 años o la vida útil de la estructura extenderse a 50 años. Ejemplo 13.2.2 Un culvert tiene una vida útil de 10 años. Si el riesgo aceptable de que al menos ocurra un evento que exceda la capacidad del culvert durante su vida útil es del 10%, ¿qué periodo de retorno de diseño debe utilizarse? ¿Cuál es la posibilidad de que un culvert diseñado para un evento con este periodo de retorno no sea excedido en su capacidad durante los próximos 50 años?
Solución. Utilizando la ecuación (13.2.3) -R=1-(1-T 1 )"
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HIDROLOGÍA APLICADA
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DISEÑO HIDROLÓGICO
creciente con una magnitud 50 a 100% mayor que la mayor creciente registrada en un periodo de alrededor de 25 años. Este criterio de diseño no es más que una regla empírica la cual involucra un factor de seguridad arbitrario. Como ejemplo de lo inadecuado de este criterio, el río Republicano en Nebraska experimentó en 1935 una creciente 10 veces más grande que cualquiera de las que habían ocurrido en el río durante los 40 años de registro anteriores. Se encontró que esta práctica de diseño era completamente inadecuada y los hidrólogos e ingenieros hidráulicos empezaron a buscar mejores métodos. Como una aproximación empírica, usualmente se selecciona el evento más extremo de las observaciones pasadas como el valor de diseño. La probabilidad de que el evento más extremo de los pasados N años sea igualado o excedido una vez durante los próximos n años puede estimarse como
1,000 500
200 Riesgo
R
100 o"' ~
50
¡...,
o
E 20
B
n
(13.2.1}
P(N,n) = - N
+n
o
10
'O
Luego, por ejemplo, la probabilidad de que la creciente máxima observada en N años sea igualada o excedida en N años futuros es 0.50. Si una sequía con m años de duración es el evento crítico registrado sobre un periodo de N años, ¿cuál es la probabilidad P(N, m, n) de que ocurra una sequía más severa durante los próximos n años? El número de secuencias con longitud m en los N años de registro es N - m + 1, y en n años de registro es n - m + l. Luego la probabilidad de que el peor evento de la combinación que abarca los periodos pasados y futuros esté contenida en los n años futuros está dada aproximadamente por (n - m
..,1::!
'O
+
n-m+ 1 N+ n-2m+ 2
R=l-(1- ~)"
c..
-- R = 0.63 para n =T y n grande.
2
2
5
10
20
50
100
200
(13.2.2)
(n;::::: m)
(13.2.3)
Ejemplo 13.2.1 Si la sequía crítica registrada, determinada de 40 años de información hidrológica, duró 5 años, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra una sequía más severa durante los próximos 20 años?
Solución. Utilizando la ecuación (13.2.2)
(
' '
)
=
40
1,000
te riesgo hidrológico natural, o inherente, de falla puede calcularse utilizando la ecuación (12.1.4 ):
la cual se reduce a (13.2.1) cuando m= l.
p 40 5 20 =
500
Vida útil de diseño n (años)
FIGURA 13.2.1 Riesgo de por lo menos una excedencia del evento de diseño durante la vida útil.
1)
P(N, m, n) = - - - ' - - - - - - ' - - - (N - m + 1) + (n - m + 1)
.g..,
20 - 5 + 1
+ 20 - 2 X 5 + 2
0.308
Análisis de riesgo El diseño de estructuras para el control de agua incluye la consideración de riesgos. Una estructura para el control de agua puede fallar si la magnitud correspondiente al periodo de retorno de diseño T se excede durante la vida útil de la estructura. Es-
donde P(X 2: xT) = 1/T, y n es la vida útil de la estructura; R representa la probabilidad de que un evento x 2: xT ocurra por lo menos una vez en n años. Esta relación se encuentra graficada en la figura 13.2.1. Si, por ejemplo, un hidrólogo desea estar seguro con una aproximación del 90% de que la capacidad de diseño de un culvert no sea excedida durante la vida útil de 10 años de la estructura, debe diseñar para un caudal de escorrentía pico de 100 años de periodo de retorno. Si un riesgo de falla del 40% es aceptable, el periodo de retorno de diseño debe reducirse a 20 años o la vida útil de la estructura extenderse a 50 años. Ejemplo 13.2.2 Un culvert tiene una vida útil de 10 años. Si el riesgo aceptable de que al menos ocurra un evento que exceda la capacidad del culvert durante su vida útil es del 10%, ¿qué periodo de retorno de diseño debe utilizarse? ¿Cuál es la posibilidad de que un culvert diseñado para un evento con este periodo de retorno no sea excedido en su capacidad durante los próximos 50 años?
Solución. Utilizando la ecuación (13.2.3) -R=1-(1-T 1 )"
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HIDROLOGÍA APLICADA
o
435
DISEÑO HIDROLÓGICO
Análisis hidroeconómico 1 )JO
o.w= 1- (1--;¡.
El periodo de retorno de diseño óptimo puede determinarse por un análisis hidroeconómico si se conocen tanto la naturaleza probabilística de un evento hidrológico como el daño que resultaría si éste ocurre sobre un rango posible de eventos hidrológicos. A medida que el periodo de retorno de diseño se incrementa, los costos de capital de la estructura aumentan, pero los daños esperados disminuyen debido a que se proporciona una mejor protección. Sumando los costos de capital y los costos de los daños esperados anualmente, puede encontrarse el periodo de retorno de diseño que tenga los menores costos totales.
y resolviendo se encuentra que T = 95 años. Si T = 95 años, el riesgo de falla en n = 50 años es
R=l-(l-915r =0.41 Luego la probabilidad de que la capacidad no sea excedida durante este periodo de 50 años es 1- 0.41 = 0.59, o 59%.
En la figura 13.2.1 puede verse que, para un riesgo de falla dado, el periodo de retorno de diseño requerido T se incrementa linealmente con la vida útil de diseño n, a medida que T y n aumentan. Bajo estas condiciones, ¿cuál es el riesgo de falla si el periodo de retorno de diseño es igual que la vida útil de diseño, es decir, T = n? Expandiendo la ecuación (13.2.3) como una serie de potencias, puede demostrarse que para valores altos den, 1- (1- l!D" = 1- e-ntT, luego, para T = n el riesgo es 1 - e- 1 = 0.632. Por ejemplo, existe una posibilidad del 63% aproximada- . mente de que un evento con periodo de retorno de 100 años sea excedido al menos una vez durante los próximos 100 años. A pesar de que la incertidumbre hidrológica natural puede tenerse en cuenta tal como se describió previamente, otras clases de incertidumbre son difíciles de calcular. A menudo éstas son tratadas utilizando un factor de seguridad, FS, o un margen de seguridad, MS. Si el valor dado por el diseño hidrológico es L y la capacidad real adoptada para el proyecto es e, el factor de seguridad es
e FS=L
(13.2.4)
y el margen de seguridad es
MS=e-L
(13.2.5)
La capacidad real es mayor que el valor dado por el diseño hidrológico debido a que se tienen en cuenta otras clases de incertidumbre: tecnológicas (hidráulica, estructural, de construcción, de operación, etc.), socioeconómicas, políticas y ambientales. Para un riesgo hidrológico especificado R y una vida útil de diseño n de una estructura, la ecuación (13. 2. 3) puede utilizarse para calcular el periodo de retorno relevante T. La magnitud L del evento hidrológico que corresponde a esta probabilidad de excedencia se encuentra al utilizar un análisis de frecuencia de la información hidrológica. El valor de diseño e se encuentra al multiplicar L por un factor de seguridad asignado, o sumando a L el margen de seguridad adoptado. Por ejemplo, se acostumbra diseñar diques con un margen de seguridad de uno a tres pies, es decir, con un borde libre de uno a tres pies por encima de la máxima elevación de la superficie de agua calculada.
Periodo de retomo de diseño (años) o Costo de riesgo b)
o Costo de capital
!!.
Costo total
Análisis hidroeconómico.
FIGURA 13.2.2 Determinación del periodo de retomo de diseño óptimo mediante análisis hidroeconómico (ejemplo 13.2.3).
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HIDROLOGÍA APLICADA
o
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DISEÑO HIDROLÓGICO
Análisis hidroeconómico 1 )JO
o.w= 1- (1--;¡.
El periodo de retorno de diseño óptimo puede determinarse por un análisis hidroeconómico si se conocen tanto la naturaleza probabilística de un evento hidrológico como el daño que resultaría si éste ocurre sobre un rango posible de eventos hidrológicos. A medida que el periodo de retorno de diseño se incrementa, los costos de capital de la estructura aumentan, pero los daños esperados disminuyen debido a que se proporciona una mejor protección. Sumando los costos de capital y los costos de los daños esperados anualmente, puede encontrarse el periodo de retorno de diseño que tenga los menores costos totales.
y resolviendo se encuentra que T = 95 años. Si T = 95 años, el riesgo de falla en n = 50 años es
R=l-(l-915r =0.41 Luego la probabilidad de que la capacidad no sea excedida durante este periodo de 50 años es 1- 0.41 = 0.59, o 59%.
En la figura 13.2.1 puede verse que, para un riesgo de falla dado, el periodo de retorno de diseño requerido T se incrementa linealmente con la vida útil de diseño n, a medida que T y n aumentan. Bajo estas condiciones, ¿cuál es el riesgo de falla si el periodo de retorno de diseño es igual que la vida útil de diseño, es decir, T = n? Expandiendo la ecuación (13.2.3) como una serie de potencias, puede demostrarse que para valores altos den, 1- (1- l!D" = 1- e-ntT, luego, para T = n el riesgo es 1 - e- 1 = 0.632. Por ejemplo, existe una posibilidad del 63% aproximada- . mente de que un evento con periodo de retorno de 100 años sea excedido al menos una vez durante los próximos 100 años. A pesar de que la incertidumbre hidrológica natural puede tenerse en cuenta tal como se describió previamente, otras clases de incertidumbre son difíciles de calcular. A menudo éstas son tratadas utilizando un factor de seguridad, FS, o un margen de seguridad, MS. Si el valor dado por el diseño hidrológico es L y la capacidad real adoptada para el proyecto es e, el factor de seguridad es
e FS=L
(13.2.4)
y el margen de seguridad es
MS=e-L
(13.2.5)
La capacidad real es mayor que el valor dado por el diseño hidrológico debido a que se tienen en cuenta otras clases de incertidumbre: tecnológicas (hidráulica, estructural, de construcción, de operación, etc.), socioeconómicas, políticas y ambientales. Para un riesgo hidrológico especificado R y una vida útil de diseño n de una estructura, la ecuación (13. 2. 3) puede utilizarse para calcular el periodo de retorno relevante T. La magnitud L del evento hidrológico que corresponde a esta probabilidad de excedencia se encuentra al utilizar un análisis de frecuencia de la información hidrológica. El valor de diseño e se encuentra al multiplicar L por un factor de seguridad asignado, o sumando a L el margen de seguridad adoptado. Por ejemplo, se acostumbra diseñar diques con un margen de seguridad de uno a tres pies, es decir, con un borde libre de uno a tres pies por encima de la máxima elevación de la superficie de agua calculada.
Periodo de retomo de diseño (años) o Costo de riesgo b)
o Costo de capital
!!.
Costo total
Análisis hidroeconómico.
FIGURA 13.2.2 Determinación del periodo de retomo de diseño óptimo mediante análisis hidroeconómico (ejemplo 13.2.3).
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HIDROLOGÍA APLICADA
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DISEÑO HIDROLÓGICO
La figura 13.2.2a) muestra el daño que resultaría si ocurre un evento, como una creciente, con el periodo de retorno especificado. Si la magnitud del evento de diseño es xr, la estructura evitaría todos los daños para eventos con x :S xr, pero ninguno para eventos con x :S Xr, luego el costo anual de daños esperado se encuentra mediante el producto de la probabilidad f(x)dx de que un evento de magnitud x ocurra en un año dado, y el daño D(x) que resultaría de este evento, e integrando para x > xr (el nivel de diseño). Es decir, el costo anual esperado Dr es Dr = [
Solución. Para cada uno de los periodos de retomo mostrados en la columna 2 de la tabla 13.2.1, la probabilidad de excedencia anual es P(x <:: xT) = 1(F. El costo de daños correspondiente tJJ se encuentra al utilizar la ecuación (13.2.9). Por ejemplo, para el intervalo i = 1 entre T = 1 año y T = 2 años,
]¡
1) t:.D 1 = [ D(x + D(x2) P(x 2
(13.2.6)
D(x)f(x) dx
f;
(13.2. 7)
D(x)f(x)dx
X,-I
la cual puede aproximarse por aD; = [D(x;-¡) + D(x;)]
2
fr;
f(x)dx
X,-¡
(13.2.8)
=D(x;-¡)+D(x;)[P(X<- X ·)-P(X< . ) - X -¡ 1
2
1
1
:S x;) - P(x :S X;- 1) = [1 - P(x 2: x;)] - [1 - P(x X¡-¡)- P(x 2: X¡), luego (13.2.8) puede escribirse como
Pero P(x P(x
2:
M; =
D(x;-¡) + D(x;)[
2
P(x
2: X¡-¡)-
P(x
2:
x;)
1
i i=l
[D(x;-¡) + D(x;)][P(x
2
2: X;- 1) -
P(x
2:
x;)l
(13.2.9)
(13.2.10)
El costo total puede calcularse sumando DT a los costos de capital anuales de la estructura; el periodo de retorno del diseño óptimo es aquel que tenga el costo total mínimo.
1
P(x
2:
x 2) l
tal como se muestra en la columna 5 de la tabla. Sumando estos costos incrementales se calcula el costo anual de daños esperados en $49,098/año si no se construye ninguna estructura. Esto representa el costo promedio anual de los daños causados por crecientes a lo largo de muchos años, suponiendo condiciones económicas constantes. Esta cantidad es el costo de riesgo de daño correspondiente a que no se construya ninguna estructura, y se muestra en la primera -línea de la columna 6 de la tabla. Los costos de riesgo de daño disminuyen a medida que aumenta el periodo de retorno de diseño de la estructura de control. Por ejemplo, si se selecciona T = 2 años, el costo de riesgo de daño sería 49,098- ó.D 1 = 49,098 - 5,000 = $44,098/año. Los valores de costo de riesgo de daño y costo de capital (columna 7) se suman para calcular el costo total (columna 8); los tres costos están graficados en la figura 13.2.2 b). Puede verse tanto en la tabla como en la figura que el periodo de retorno de diseño óptimo, aquel que tiene el costo total mínimo, es de 25 años, para el cual el costo total es $40,250/año. De esta cantidad, $29,000/año (72%) corresponden a los costos de capital y $11 ,250/año (28%) corresponden al costo de riesgo del daño.
2: X;- 1)]
y el costo anual de daños esperado para una estructura con un periodo de retorno T está dado por Dr =
-
= $5,000/año
La integral ( 13.2.6) se evalúa al dividir el rango de x > xr en intervalos y calcular el costo anual de daños esperado para eventos en cada uno de los intervalos. Para X;.¡ ~X~ X;,
=
x 1)
=(o + 2~, ooo )o.o _ o.s)
el cual está representado por el área sombreada en la figura 13.2.2a).
aD;
2:
Ejemplo 13.2.3 Para eventos con diferentes periodos de retomo en un lugar dado, los costos de daños y los costos de capital anuales de estructuras diseñadas para controlar los eventos, se muestran en las columnas 4 y 7 de la tabla 13.2.1, respectivamente. Determine los daños anuales esperados si no se construye ninguna estructura y calcule el periodo de retomo de diseño óptimo.
TABLA 13.2.1 Cálculo del periodo de retorno de diseño óptimo mediante análisis hidroeconómico (ejemplo 13.2.3) Columna
2 3 4 Probabilidad Daño Incre- Periodo mento de retorno de excelencia anual T (Años) ($)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 5 10 15 20 25 50 100 200
1.000 0.500 0.200 0.100 0.067 0.050 0.040 0.020
O.QIO 0.005
S 6 7 Costo de Costo de Daño incremental riesgo de capital daño esperado ($/año) ($/año) ($/año)
o 20,000 60,000 140,000 177,000 213,000 250,000 300,000 400,000 500,000
5,000 12,000 10,000 5,283 3,250 2,315 5,500 3,500 2,250
Daños anuales esperados = $49,098
49,098 44,098 32,098 22,098 16,815 13,565 11,250 5,750 2,250
o
o 3,000 14,000 23,000 25,000 27,000 29,000 40,000 60,000 80,000
8 Costo total ($/año) 49,098 47,098 46,098 45,098 41,815 40,565 40,250 -+5,750 62,250 80,000
436
HIDROLOGÍA APLICADA
437
DISEÑO HIDROLÓGICO
La figura 13.2.2a) muestra el daño que resultaría si ocurre un evento, como una creciente, con el periodo de retorno especificado. Si la magnitud del evento de diseño es xr, la estructura evitaría todos los daños para eventos con x :S xr, pero ninguno para eventos con x :S Xr, luego el costo anual de daños esperado se encuentra mediante el producto de la probabilidad f(x)dx de que un evento de magnitud x ocurra en un año dado, y el daño D(x) que resultaría de este evento, e integrando para x > xr (el nivel de diseño). Es decir, el costo anual esperado Dr es Dr = [
Solución. Para cada uno de los periodos de retomo mostrados en la columna 2 de la tabla 13.2.1, la probabilidad de excedencia anual es P(x <:: xT) = 1(F. El costo de daños correspondiente tJJ se encuentra al utilizar la ecuación (13.2.9). Por ejemplo, para el intervalo i = 1 entre T = 1 año y T = 2 años,
]¡
1) t:.D 1 = [ D(x + D(x2) P(x 2
(13.2.6)
D(x)f(x) dx
f;
(13.2. 7)
D(x)f(x)dx
X,-I
la cual puede aproximarse por aD; = [D(x;-¡) + D(x;)]
2
fr;
f(x)dx
X,-¡
(13.2.8)
=D(x;-¡)+D(x;)[P(X<- X ·)-P(X< . ) - X -¡ 1
2
1
1
:S x;) - P(x :S X;- 1) = [1 - P(x 2: x;)] - [1 - P(x X¡-¡)- P(x 2: X¡), luego (13.2.8) puede escribirse como
Pero P(x P(x
2:
M; =
D(x;-¡) + D(x;)[
2
P(x
2: X¡-¡)-
P(x
2:
x;)
1
i i=l
[D(x;-¡) + D(x;)][P(x
2
2: X;- 1) -
P(x
2:
x;)l
(13.2.9)
(13.2.10)
El costo total puede calcularse sumando DT a los costos de capital anuales de la estructura; el periodo de retorno del diseño óptimo es aquel que tenga el costo total mínimo.
1
P(x
2:
x 2) l
tal como se muestra en la columna 5 de la tabla. Sumando estos costos incrementales se calcula el costo anual de daños esperados en $49,098/año si no se construye ninguna estructura. Esto representa el costo promedio anual de los daños causados por crecientes a lo largo de muchos años, suponiendo condiciones económicas constantes. Esta cantidad es el costo de riesgo de daño correspondiente a que no se construya ninguna estructura, y se muestra en la primera -línea de la columna 6 de la tabla. Los costos de riesgo de daño disminuyen a medida que aumenta el periodo de retorno de diseño de la estructura de control. Por ejemplo, si se selecciona T = 2 años, el costo de riesgo de daño sería 49,098- ó.D 1 = 49,098 - 5,000 = $44,098/año. Los valores de costo de riesgo de daño y costo de capital (columna 7) se suman para calcular el costo total (columna 8); los tres costos están graficados en la figura 13.2.2 b). Puede verse tanto en la tabla como en la figura que el periodo de retorno de diseño óptimo, aquel que tiene el costo total mínimo, es de 25 años, para el cual el costo total es $40,250/año. De esta cantidad, $29,000/año (72%) corresponden a los costos de capital y $11 ,250/año (28%) corresponden al costo de riesgo del daño.
2: X;- 1)]
y el costo anual de daños esperado para una estructura con un periodo de retorno T está dado por Dr =
-
= $5,000/año
La integral ( 13.2.6) se evalúa al dividir el rango de x > xr en intervalos y calcular el costo anual de daños esperado para eventos en cada uno de los intervalos. Para X;.¡ ~X~ X;,
=
x 1)
=(o + 2~, ooo )o.o _ o.s)
el cual está representado por el área sombreada en la figura 13.2.2a).
aD;
2:
Ejemplo 13.2.3 Para eventos con diferentes periodos de retomo en un lugar dado, los costos de daños y los costos de capital anuales de estructuras diseñadas para controlar los eventos, se muestran en las columnas 4 y 7 de la tabla 13.2.1, respectivamente. Determine los daños anuales esperados si no se construye ninguna estructura y calcule el periodo de retomo de diseño óptimo.
TABLA 13.2.1 Cálculo del periodo de retorno de diseño óptimo mediante análisis hidroeconómico (ejemplo 13.2.3) Columna
2 3 4 Probabilidad Daño Incre- Periodo mento de retorno de excelencia anual T (Años) ($)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 5 10 15 20 25 50 100 200
1.000 0.500 0.200 0.100 0.067 0.050 0.040 0.020
O.QIO 0.005
S 6 7 Costo de Costo de Daño incremental riesgo de capital daño esperado ($/año) ($/año) ($/año)
o 20,000 60,000 140,000 177,000 213,000 250,000 300,000 400,000 500,000
5,000 12,000 10,000 5,283 3,250 2,315 5,500 3,500 2,250
Daños anuales esperados = $49,098
49,098 44,098 32,098 22,098 16,815 13,565 11,250 5,750 2,250
o
o 3,000 14,000 23,000 25,000 27,000 29,000 40,000 60,000 80,000
8 Costo total ($/año) 49,098 47,098 46,098 45,098 41,815 40,565 40,250 -+5,750 62,250 80,000
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HIDROLOGÍA APLICADA
439
DISEÑO HIDROLÓGICO
El análisis hidroeconómico se ha aplicado al diseño de embalses para el control de crecientes, diques, canales y cruces de ríos en carreteras (Corry, Jones y Thompson, 1980). Para llevar a cabo un estudio de daños causados por crecientes, debe determinarse la duración y la extensión de inundación para eventos con varios periodos de retorno y deben hacerse encuestas económicas para cuantificar los daños correspondientes a cada nivel de inundación. Es muy difícil calcular los costos sociales causados por una inundación. El U.S. Army Corps of Engineers Hidrologic Engineering Center en Davis, California, tiene disponibles los siguientes programas de computador para el análisis hidroeconómico (U.S. Army Corps of Engineers, 1986): DAMCAL (Damage Reach Stage-Damage Calculation), EAD (Expected Annual Flood Damage Computation), SID (Structure lnventory for Damage Analysis), AGDAM (Agricultura! Flood Damage Analysis) y SIPP (lnteractive Nonstructural Analysis Package).
w
= f(x) +
df dx
-(x - x)
1 Jl¡ + -2! -dx2( x -
x-) 2
+
...
(13.3.3)
donde las derivadas df/dx, cf2j/dx2, ... , se evalúan en x = x. Si se desprecian los términos de orden segundo o superior, la expresión de primer orden resultante para el error en w es w -
w=
df (x - x)
dx
(13.3.4)
La varianza de este error es s~ = E[(w- w) 2] donde E es el operador de esperanza [véase la ecuación (11.3.3)]; es decir,
13.3 ANÁLISIS DE INCERTIDUMBRE DE PRIMER ORDEN Muchas de las incertidumbres asociadas con sistemas hidrológicos no son cuantificables. Por ejemplo, la capacidad de conducción de un culvert con una entrada no obstruida puede calcularse con un pequeño margen de error, pero durante una creciente es usual que la entrada se vea obstruida por basuras y desechos vegetales, reduciendo la capacidad de conducción del culvert en una cantidad que no puede predeterminarse. La incertidumbre hidrológica puede dividirse en tres categorías: incertidumbre natural, o inherente, la cual surge debido a la variabilidad aleatoria del fenómeno hidrológico; incertidumbre de modelo, la cual resulta de las aproximaciones hechas en la representación de los fenómenos mediante ecuaciones, e incertidumbre de parámetro, la cual surge de la naturaleza desconocida de los coeficientes en las ecuaciones, tales como la rugosidad del lecho en la ecuación de Manning. La incertidumbre inherente en la magnitud del evento de diseño está descrita por la ecuación (13.2.3); en esta sección se considerarán las incertidumbres de modelo y de parámetro. El análisis· de incertidumbre de primer orden es un procedimiento para calcular la variabilidad esperada en una variable dependiente calculada como una función de una o más variables independientes (Ang y Tang, 1975; Kapur y Lamberson, 1977; Ang y Tang, 1984; Yen, 1986). Supóngase que w se expresa como una función de x; w
= f(x)
(13.3.5) dondes} es la varianza de x. La ecuación (13.3.5) permite el cálculo de la varianza de una variable dependiente w como una función de la varianza de una variable independiente x, suponiendo que la relación funcional w = f(x) es correcta. Et valor sw es el error de estimación estándar de w. Si. w es dependiente de varias variables mutuamente independientes Xt, xz, ... , x., puede demostrarse, utilizando un procedimiento similar al anterior, que
(13.3.6) Kapur y Lamberson (1977) mostraron cómo extender la ecuación (13.3.6) para tener en cuenta el efecto de la correlación entre Xt, Xz, ... , x., si existe, sobre s,~. .
(13.3.1)
Existen dos fuentes de error en w: primero, la función f, o modelo, puede ser incorrecta; segundo, la medida de x puede ser inexacta. En el siguiente análisis se supone que no existe error de modelo, o sesgo. Kapur y Lamberson ( 1977) demostraron cómo puede extenderse el análisis cuando existe error de modelo. Entonces, suponiendo que f(·) es un modelo correcto, se selecciona un valor nominal de x, denotado por .X, como una entrada de diseño y se calcula el valor correspondiente de w:
w = f(x)
o
(13.3.2)
Si el valor real de x es diferente de .X, el efecto de esta discrepancia de w se estima expandiendo f(x) en una serie de Taylor alrededor de x =.X:
Análisis de primer orden de la ecuación de Manning: profundidad como la variable dependiente La ecuación de Manning es ampliamente utilizada en hidrología con el fin de determinar la profundidad de flujo correspondiente a un caudal especificado, o para determinar caudales para profundidades de flujo especificadas, teniendo en cuenta la resistencia al flujo en canales ocasionada por la rugosidad del lecho. Una aplicación común, para el diseño de un canal o para la delineación de una llanura de inundación, es calcular la profundidad de flujo y en el canal, dado un caudal Q, un coeficiente de rugosidad n y la forma y la pendiente del canal determinadas por el diseño o por topografía. Una vez que la profundidad de flujo (o elevación de la superficie de agua) se conoce, pueden determinarse los valores de las variables de diseño, tales como la elevación de las paredes del canal o la extensión de la llanura de inun-
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HIDROLOGÍA APLICADA
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DISEÑO HIDROLÓGICO
El análisis hidroeconómico se ha aplicado al diseño de embalses para el control de crecientes, diques, canales y cruces de ríos en carreteras (Corry, Jones y Thompson, 1980). Para llevar a cabo un estudio de daños causados por crecientes, debe determinarse la duración y la extensión de inundación para eventos con varios periodos de retorno y deben hacerse encuestas económicas para cuantificar los daños correspondientes a cada nivel de inundación. Es muy difícil calcular los costos sociales causados por una inundación. El U.S. Army Corps of Engineers Hidrologic Engineering Center en Davis, California, tiene disponibles los siguientes programas de computador para el análisis hidroeconómico (U.S. Army Corps of Engineers, 1986): DAMCAL (Damage Reach Stage-Damage Calculation), EAD (Expected Annual Flood Damage Computation), SID (Structure lnventory for Damage Analysis), AGDAM (Agricultura! Flood Damage Analysis) y SIPP (lnteractive Nonstructural Analysis Package).
w
= f(x) +
df dx
-(x - x)
1 Jl¡ + -2! -dx2( x -
x-) 2
+
...
(13.3.3)
donde las derivadas df/dx, cf2j/dx2, ... , se evalúan en x = x. Si se desprecian los términos de orden segundo o superior, la expresión de primer orden resultante para el error en w es w -
w=
df (x - x)
dx
(13.3.4)
La varianza de este error es s~ = E[(w- w) 2] donde E es el operador de esperanza [véase la ecuación (11.3.3)]; es decir,
13.3 ANÁLISIS DE INCERTIDUMBRE DE PRIMER ORDEN Muchas de las incertidumbres asociadas con sistemas hidrológicos no son cuantificables. Por ejemplo, la capacidad de conducción de un culvert con una entrada no obstruida puede calcularse con un pequeño margen de error, pero durante una creciente es usual que la entrada se vea obstruida por basuras y desechos vegetales, reduciendo la capacidad de conducción del culvert en una cantidad que no puede predeterminarse. La incertidumbre hidrológica puede dividirse en tres categorías: incertidumbre natural, o inherente, la cual surge debido a la variabilidad aleatoria del fenómeno hidrológico; incertidumbre de modelo, la cual resulta de las aproximaciones hechas en la representación de los fenómenos mediante ecuaciones, e incertidumbre de parámetro, la cual surge de la naturaleza desconocida de los coeficientes en las ecuaciones, tales como la rugosidad del lecho en la ecuación de Manning. La incertidumbre inherente en la magnitud del evento de diseño está descrita por la ecuación (13.2.3); en esta sección se considerarán las incertidumbres de modelo y de parámetro. El análisis· de incertidumbre de primer orden es un procedimiento para calcular la variabilidad esperada en una variable dependiente calculada como una función de una o más variables independientes (Ang y Tang, 1975; Kapur y Lamberson, 1977; Ang y Tang, 1984; Yen, 1986). Supóngase que w se expresa como una función de x; w
= f(x)
(13.3.5) dondes} es la varianza de x. La ecuación (13.3.5) permite el cálculo de la varianza de una variable dependiente w como una función de la varianza de una variable independiente x, suponiendo que la relación funcional w = f(x) es correcta. Et valor sw es el error de estimación estándar de w. Si. w es dependiente de varias variables mutuamente independientes Xt, xz, ... , x., puede demostrarse, utilizando un procedimiento similar al anterior, que
(13.3.6) Kapur y Lamberson (1977) mostraron cómo extender la ecuación (13.3.6) para tener en cuenta el efecto de la correlación entre Xt, Xz, ... , x., si existe, sobre s,~. .
(13.3.1)
Existen dos fuentes de error en w: primero, la función f, o modelo, puede ser incorrecta; segundo, la medida de x puede ser inexacta. En el siguiente análisis se supone que no existe error de modelo, o sesgo. Kapur y Lamberson ( 1977) demostraron cómo puede extenderse el análisis cuando existe error de modelo. Entonces, suponiendo que f(·) es un modelo correcto, se selecciona un valor nominal de x, denotado por .X, como una entrada de diseño y se calcula el valor correspondiente de w:
w = f(x)
o
(13.3.2)
Si el valor real de x es diferente de .X, el efecto de esta discrepancia de w se estima expandiendo f(x) en una serie de Taylor alrededor de x =.X:
Análisis de primer orden de la ecuación de Manning: profundidad como la variable dependiente La ecuación de Manning es ampliamente utilizada en hidrología con el fin de determinar la profundidad de flujo correspondiente a un caudal especificado, o para determinar caudales para profundidades de flujo especificadas, teniendo en cuenta la resistencia al flujo en canales ocasionada por la rugosidad del lecho. Una aplicación común, para el diseño de un canal o para la delineación de una llanura de inundación, es calcular la profundidad de flujo y en el canal, dado un caudal Q, un coeficiente de rugosidad n y la forma y la pendiente del canal determinadas por el diseño o por topografía. Una vez que la profundidad de flujo (o elevación de la superficie de agua) se conoce, pueden determinarse los valores de las variables de diseño, tales como la elevación de las paredes del canal o la extensión de la llanura de inun-
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HIDROLOGÍA APLICADA
dación. Cualquier hidrólogo a cargo de esta tarea es consciente de todas las incertidumbres envueltas, especialmente en la selección del caudal de diseño y del coeficiente de rugosidad de Manning. A pesar de que no es tan obvio, también existe incertidumbre en el valor de la pendiente de fricción, S1, dependiendo de cómo se calcula, variando desde el caso simple de flujo uniforme (S 0 = S1 ) a los casos más complejos de flujo no uniforme permanente o flujo no uniforme no permanente [véase la ecuación (9.2.1)]. El análisis de incertidumbre de primer orden debe utilizarse para estimar el efecto de incertidumbre en Q, n y S¡ sobre y. En primer lugar, se considera el efecto de la variación en el caudal Q sobre la profundidad del flujo. La ecuación de Manning para unidades inglesas se escribe como l.49suz 2/3 ¡ AR
Q
(13.3.7)
=-
n
donde A es el área de la sección transversal, R es el radio hidráulico, los cuales dependen de la profundidad de flujo y. Si las variaciones en y dependen solamente de variaciones en Q, entonces, utilizando la ecuación (13.3.5), 2-
sy -
' )2
dy (dQ
2
(13.3.8)
sQ
donde dyldQ es la tasa a la cual cambia la profundidad con cambios en Q. Ahora, en el capítulo 5, se demostró [ecuación (5.6.15)] que el inverso de esta derivada, es decir dQ!dy, está dado para la ecuación de Manning por
441
DISEÑO HIDROLÓGICO
ning y en la pendiente de fricción S1 , puede demostrarse en forma similar, utilizando la ecuación (13.3.6), que
CV~ + CV~ + (l/4)CV~J
.1_ dR + !_ dA )
( 3R dy
(13.3.12)
2
A dy
la cual representa la varianza de la profundidad de flujo y como una función de los coeficientes de variación del caudal, del n de Manning, de la pendiente de fricción y de la función de forma del canal. Ejemplo 13.3.1 Un canal rectangular de 50 pies de ancho tiene una pendiente de lecho del 1%. Un hidrólogo estima que el caudal de diseño es 5,000 cfs y que la rugosidad es n = 0.035. Si los coeficientes de variación del caudal y de la rugosidad estimados son del 30% y del 15% respectivamente, ¿cuál es el error de estimación estándar para la profundidad de flujo y? Si se han construido algunas casas al lado de este canal con una elevación del piso un pie por encima de la elevación de la superficie del agua calculada para el evento de diseño, estime la posibilidad de que dichas casas se inunden durante el evento de diseño debido a las incertidumbres envueltas en el cálculo del nivel del agua. Suponga flujo uniforme.
Solución. Para un ancho de 50 pies, A= 50y y R = 50y/(50 + 2y); la profundidad de flujo para el caso base se calcula utilizando la ecuación de Manning: Q = 1.49 s}I2AR2t3
dQ = dy
Q[l:__ dR 3R dy
+
..!_dA ] A dy
n
(13.3.9) 5,000
La tabla 5 .6.1 suministra algunas fórmulas para la función de la forma del canal (2/3R)(dR!dy) + (1/A)(dA/dy) para secciones transversales comunes. Sustituyendo en la ecuación (13.3.8),
S~
Q2
(l:_ dR + !_dA ) 3R dy A dy
2
(13.3.10)
=
213 49 1. (0.01) 112 (50y)(___22L_) 0.035 50+ 2y
que puede resolverse utilizando la técnica de iteración de Newton (véase la sección 5.6) para encontrar y= 7.37 pies
El error de estimación estándar es S,., calculado al utilizar la ecuación (13.3.12) con CV Q = 0.30, CV n = 0.15 y CV sr = O. De la tabla 5.6.1, para un canal rectangular, 2 dR ( 3R dy
Pero sQ/Q = CV º' el coeficiente de variación de caudal (véase la tabla 11.3.1), luego (13. 3. 1O) puede reescribirse como
1 dA )
5B
3
.1_ dR + !_ dA )
( 3R dy
2
(13.3.11)
i=
-'"
5 X 50 + 6 X 7.37 7.37(50 + 2 X 7.37)
X
cv~ + cv~ + (1/4)CV~
(2 dR 3R dy (0.30) 2
os,.
=
6y
= 0.206
Luego
A dy
la cual especifica la varianza de la profundidad de flujo como una función del coeficiente de variación del caudal y del valor de la función de forma del canal. Para tener en cuenta también la incertidumbre en el coeficiente de rugosidad n de Man-
+
+ A dy = 3y(B + 2y)
1.63 pies.
+ .!_ dA ) A dy
+ (0.15f (0.206) 2
2
f
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HIDROLOGÍA APLICADA
dación. Cualquier hidrólogo a cargo de esta tarea es consciente de todas las incertidumbres envueltas, especialmente en la selección del caudal de diseño y del coeficiente de rugosidad de Manning. A pesar de que no es tan obvio, también existe incertidumbre en el valor de la pendiente de fricción, S1, dependiendo de cómo se calcula, variando desde el caso simple de flujo uniforme (S 0 = S1 ) a los casos más complejos de flujo no uniforme permanente o flujo no uniforme no permanente [véase la ecuación (9.2.1)]. El análisis de incertidumbre de primer orden debe utilizarse para estimar el efecto de incertidumbre en Q, n y S¡ sobre y. En primer lugar, se considera el efecto de la variación en el caudal Q sobre la profundidad del flujo. La ecuación de Manning para unidades inglesas se escribe como l.49suz 2/3 ¡ AR
Q
(13.3.7)
=-
n
donde A es el área de la sección transversal, R es el radio hidráulico, los cuales dependen de la profundidad de flujo y. Si las variaciones en y dependen solamente de variaciones en Q, entonces, utilizando la ecuación (13.3.5), 2-
sy -
' )2
dy (dQ
2
(13.3.8)
sQ
donde dyldQ es la tasa a la cual cambia la profundidad con cambios en Q. Ahora, en el capítulo 5, se demostró [ecuación (5.6.15)] que el inverso de esta derivada, es decir dQ!dy, está dado para la ecuación de Manning por
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DISEÑO HIDROLÓGICO
ning y en la pendiente de fricción S1 , puede demostrarse en forma similar, utilizando la ecuación (13.3.6), que
CV~ + CV~ + (l/4)CV~J
.1_ dR + !_ dA )
( 3R dy
(13.3.12)
2
A dy
la cual representa la varianza de la profundidad de flujo y como una función de los coeficientes de variación del caudal, del n de Manning, de la pendiente de fricción y de la función de forma del canal. Ejemplo 13.3.1 Un canal rectangular de 50 pies de ancho tiene una pendiente de lecho del 1%. Un hidrólogo estima que el caudal de diseño es 5,000 cfs y que la rugosidad es n = 0.035. Si los coeficientes de variación del caudal y de la rugosidad estimados son del 30% y del 15% respectivamente, ¿cuál es el error de estimación estándar para la profundidad de flujo y? Si se han construido algunas casas al lado de este canal con una elevación del piso un pie por encima de la elevación de la superficie del agua calculada para el evento de diseño, estime la posibilidad de que dichas casas se inunden durante el evento de diseño debido a las incertidumbres envueltas en el cálculo del nivel del agua. Suponga flujo uniforme.
Solución. Para un ancho de 50 pies, A= 50y y R = 50y/(50 + 2y); la profundidad de flujo para el caso base se calcula utilizando la ecuación de Manning: Q = 1.49 s}I2AR2t3
dQ = dy
Q[l:__ dR 3R dy
+
..!_dA ] A dy
n
(13.3.9) 5,000
La tabla 5 .6.1 suministra algunas fórmulas para la función de la forma del canal (2/3R)(dR!dy) + (1/A)(dA/dy) para secciones transversales comunes. Sustituyendo en la ecuación (13.3.8),
S~
Q2
(l:_ dR + !_dA ) 3R dy A dy
2
(13.3.10)
=
213 49 1. (0.01) 112 (50y)(___22L_) 0.035 50+ 2y
que puede resolverse utilizando la técnica de iteración de Newton (véase la sección 5.6) para encontrar y= 7.37 pies
El error de estimación estándar es S,., calculado al utilizar la ecuación (13.3.12) con CV Q = 0.30, CV n = 0.15 y CV sr = O. De la tabla 5.6.1, para un canal rectangular, 2 dR ( 3R dy
Pero sQ/Q = CV º' el coeficiente de variación de caudal (véase la tabla 11.3.1), luego (13. 3. 1O) puede reescribirse como
1 dA )
5B
3
.1_ dR + !_ dA )
( 3R dy
2
(13.3.11)
i=
-'"
5 X 50 + 6 X 7.37 7.37(50 + 2 X 7.37)
X
cv~ + cv~ + (1/4)CV~
(2 dR 3R dy (0.30) 2
os,.
=
6y
= 0.206
Luego
A dy
la cual especifica la varianza de la profundidad de flujo como una función del coeficiente de variación del caudal y del valor de la función de forma del canal. Para tener en cuenta también la incertidumbre en el coeficiente de rugosidad n de Man-
+
+ A dy = 3y(B + 2y)
1.63 pies.
+ .!_ dA ) A dy
+ (0.15f (0.206) 2
2
f
442
HIDROLOGÍA APLICADA
443
DISEÑO HIDROLÓGICO
Si las casas están construidas de tal manera que los pisos se localicen un pie por encima de su nivel de agua calculado, éstas se inundarán si la profundidad real es mayor que 7.37 + 1.00 = 8.37 pies. Si la elevación de la superficie de agua y está distribuida normalmente, entonces la probabilidad de que se presente una inundación en las casas se evalúa convirtiendo y a la variable normal estándar z al restar el valor de la media de y (7 .37 pies) a ambos lados de la desigualdad y dividir por el error estándar (1.63 pies):
Ejemplo 13.3.2 Para las mismas condiciones del ejemplo 13.3. 1 (B =50 pies, Q = 5,000 cfs, S0 = 0.01, n = 0.035), en la figura 13.3. 1 puede encontrarse que la variación del caudal con la profundidad de flujo en el nivel del caso base es iJQ!iiy = 1,028 cfs/pie y que la variación den con la profundidad de flujo es iJnliJy = 0.0072 pies- 1 • Si CV Q = 0.30 y CV" = O. 15, calcule el error estándar en y.
Solución. De la ecuación (13.3.6), P(y
> 8 .37)= =
p(Y -7.37 > 1.63
p(Y ~.~;37
= P(z
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en este caso, sQ = 5,000 X 0.30 = 1,500, s,. = 0.035 x 0.15 = 0.0053; también iJy!iJQ = 1/1,028, ay!iJn = 1/0.0072. Luego,
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donde F= es la función de distribución normal estándar. Utilizando la tabla 11.2. 1 o el método empleado en el ejemplo 11 .2. 1, el resultado es F=(0.613) = 0.73, luego P(y > 8.37) = 1 - 0.73 = 0.27. Existe una posibilidad aproximada del 27% de que las casas se inunden durante el evento de diseño debido a las incertidumbres en el cálculo del nivel del agua para dicho evento. Este ejemplo tuvo en cuenta solamente la incertidumbre de parámetro para los cálculos. La probabilidad real de que las casas se inunden es mayor que la calculada aquí, debido a que la creciente crítica puede exceder la magnitud de diseño (debido a la incertidumbre natural).
En el ejemplo 13.3.1 es claro que cantidades razonables de incertidumbre en la estimación de Q y n pueden producir incertidumbres significativas en la profundidad del flujo. Un error del 15% en la estimación den= 0.035 es un error de 0.035 x 0.15 = 0.005. Esto se indicaría en una medida de 0.035 ± 0.005, que es tan precisa como la que puede ser dada por un hidrólogo experimentado observando un canal existente. Un error del 30% en la estimación de Q es 5,000 X 0.30 = 1,500 cfs. Una estimación de Q = 5,000 ± 1,5000 cfs también puede reflejar el orden de magnitud de incertidumbre correcto, especialmente si el periodo de retorno de diseño es grande (por ejemplo T = 100 años). El uso de la función de forma de canal (2/3R)(dR!dy) + (1/A)(dA/dy) en la ecuación (13.3.12) depende del conocimiento de dR!dy y dA!dy, que pueden ser difíciles de obtener para canales con formas irregulares. Así mismo, la suposición de que y solamente depende de Q puede no ser válida. En tales casos, la ecuación (13.3.6) puede utilizarse para obtener sv, tratando a y como una función de Q y n, y utilizar un programa de computador pára simular el flujo en el canal para estimar las derivadas parciales requeridasay/aQ y ay!an, ejecutando el programa para diferentes valores de Q y n y usando los resultados calculados de profundidad de flujo o de la superficie del agua. La figura 13.3.1 muestra los resultados de este procedimiento para el canal y las condiciones dadas en el ejemplo 13.3.1. Para este ejemplo los gradientes ay! aQ y ay/ an son aproximadamente lineales; esto valida el usar únicamente términos de primer orden para el análisis de incertidumbre (si las líneas estuvieran significativamente curvadas, el análisis habría requerido el haber tenido en cuenta los términos de segundo orden en la serie de expansión de Taylor).
Análisis de primer orden de la ecuación de Manning: caudal como la variable dependiente Otra aplicación de la ecuación de Manning es la de calcular el caudal o capacidad C de un canal o cualquier otra estructura de conducción en función de una profundidad de flujo dada, un coeficiente n de rugosidad, una pendiente de lecho y una geometría de la sección transversal. La ecuación de Manning (13.3.7) puede expresarse, utilizando R = Al P, como
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442
HIDROLOGÍA APLICADA
443
DISEÑO HIDROLÓGICO
Si las casas están construidas de tal manera que los pisos se localicen un pie por encima de su nivel de agua calculado, éstas se inundarán si la profundidad real es mayor que 7.37 + 1.00 = 8.37 pies. Si la elevación de la superficie de agua y está distribuida normalmente, entonces la probabilidad de que se presente una inundación en las casas se evalúa convirtiendo y a la variable normal estándar z al restar el valor de la media de y (7 .37 pies) a ambos lados de la desigualdad y dividir por el error estándar (1.63 pies):
Ejemplo 13.3.2 Para las mismas condiciones del ejemplo 13.3. 1 (B =50 pies, Q = 5,000 cfs, S0 = 0.01, n = 0.035), en la figura 13.3. 1 puede encontrarse que la variación del caudal con la profundidad de flujo en el nivel del caso base es iJQ!iiy = 1,028 cfs/pie y que la variación den con la profundidad de flujo es iJnliJy = 0.0072 pies- 1 • Si CV Q = 0.30 y CV" = O. 15, calcule el error estándar en y.
Solución. De la ecuación (13.3.6), P(y
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donde F= es la función de distribución normal estándar. Utilizando la tabla 11.2. 1 o el método empleado en el ejemplo 11 .2. 1, el resultado es F=(0.613) = 0.73, luego P(y > 8.37) = 1 - 0.73 = 0.27. Existe una posibilidad aproximada del 27% de que las casas se inunden durante el evento de diseño debido a las incertidumbres en el cálculo del nivel del agua para dicho evento. Este ejemplo tuvo en cuenta solamente la incertidumbre de parámetro para los cálculos. La probabilidad real de que las casas se inunden es mayor que la calculada aquí, debido a que la creciente crítica puede exceder la magnitud de diseño (debido a la incertidumbre natural).
En el ejemplo 13.3.1 es claro que cantidades razonables de incertidumbre en la estimación de Q y n pueden producir incertidumbres significativas en la profundidad del flujo. Un error del 15% en la estimación den= 0.035 es un error de 0.035 x 0.15 = 0.005. Esto se indicaría en una medida de 0.035 ± 0.005, que es tan precisa como la que puede ser dada por un hidrólogo experimentado observando un canal existente. Un error del 30% en la estimación de Q es 5,000 X 0.30 = 1,500 cfs. Una estimación de Q = 5,000 ± 1,5000 cfs también puede reflejar el orden de magnitud de incertidumbre correcto, especialmente si el periodo de retorno de diseño es grande (por ejemplo T = 100 años). El uso de la función de forma de canal (2/3R)(dR!dy) + (1/A)(dA/dy) en la ecuación (13.3.12) depende del conocimiento de dR!dy y dA!dy, que pueden ser difíciles de obtener para canales con formas irregulares. Así mismo, la suposición de que y solamente depende de Q puede no ser válida. En tales casos, la ecuación (13.3.6) puede utilizarse para obtener sv, tratando a y como una función de Q y n, y utilizar un programa de computador pára simular el flujo en el canal para estimar las derivadas parciales requeridasay/aQ y ay!an, ejecutando el programa para diferentes valores de Q y n y usando los resultados calculados de profundidad de flujo o de la superficie del agua. La figura 13.3.1 muestra los resultados de este procedimiento para el canal y las condiciones dadas en el ejemplo 13.3.1. Para este ejemplo los gradientes ay! aQ y ay/ an son aproximadamente lineales; esto valida el usar únicamente términos de primer orden para el análisis de incertidumbre (si las líneas estuvieran significativamente curvadas, el análisis habría requerido el haber tenido en cuenta los términos de segundo orden en la serie de expansión de Taylor).
Análisis de primer orden de la ecuación de Manning: caudal como la variable dependiente Otra aplicación de la ecuación de Manning es la de calcular el caudal o capacidad C de un canal o cualquier otra estructura de conducción en función de una profundidad de flujo dada, un coeficiente n de rugosidad, una pendiente de lecho y una geometría de la sección transversal. La ecuación de Manning (13.3.7) puede expresarse, utilizando R = Al P, como
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444
HIDROLOGÍA APLICADA
en la cual Pes el perímetro mojado. Llevando a cabo el análisis de primer orden sobre (13.3.13), el coeficiente de variación de la capacidad puede expresarse como (13.3.14) suponiendo CV A = O y CV P = O También puede expresarse la ecuación de Manning para un canal y una planicie de inundación como (Chow, 1959)
te que utiliza el agua. La magnitud de una. creciente rápida depende de las características de la tormenta que la produce y de las condiciones de la cuenca en el momento de la tormenta. La capacidad, o resistencia, es la medida de la habilidad del sistema para soportar la carga o satisfacer la demanda. Si L representa la carga y C la capacidad, entonces el riesgo de fallaR está dado por la probabilidad de que L exceda a C, o
R=P(f < 1)
(13.3.16) donde CV A,, CV P., CV A,, y CV P, se han supuesto muy pequeños, y
(13.3.17) Estudiando la información de crecientes en el río Ohio, Lee .y Mays ( 1986) concluyeron que las incertidumbres en los coeficientes de rugosidad y en la pendiente de fricción explicaban el 95% de las incertidumbres de la capacidad calculada. Ellos presentaron un nuevo método para determinar la incertidumbre en la pendiente de fricción utilizando el hidrograma de crecientes del río observado.
El riesgo depende de las distribuciones de probabilidad de L y C. Supóngase que la función de densidad de probabilidad de L es f(L). Esta función podría ser, por ejemplo, una función de densidad de probabilidad de Valor Extremo o log-Pearson Tipo III para valores extremos, tal como se describió anteriormente. Dado f(L). la posibilidad de que la carga exceda una capacidad C* fija y conocida es (~·éase la figura 13.4.1)
P(L > C*) =
Las secciones previas introdujeron los conceptos de incertidumbre inherente debida a la variabilidad natural de los fenómenos hidrológicos y la incertidumbre de modelo y de parámetro causadas por la forma en que son analizados dichos fenómenos. El análisis de riesgo compuesto es un método para tener en cuenta los riesgos que resultan en las diferentes fuentes de incertidumbres para producir el cálculo del riesgo total en un diseño particular. Para este análisis, los conceptos de carga y capacidad son vitales. La carga, o demanda, puesta sobre un sistema es la medida del impacto de los eventos externos. La demanda para el suministro de agua es determinada por la gen-
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La capacidad real no se conoce en forma exacta, pero puede considerarse que tiene una función de densidad de probabilidad g(C), la cual puede ser la distribución normal o lognormal resultante en el análisis de incertidumbre de primer orden sobre la capacidad del sistema. Por ejemplo, si se ha utilizado la ecuación de Manning para determinar la capacidad de una estructura hidráulica. la incertidumbre e puede ev-aluarse utilizando el análisis de primer orden descrito anteriormente. La probabilidad de que la capacidad caiga dentro de un pequeño rango dC alrededor de un valor e es g(C)dC. Suponiendo que L y e son Yariables aleatorias independientes, el riesgo compuesto se evaluaría calculando la probabilidad de que la carga exceda la capacidad en cada uno de los Yalores en el rango de capacidades posible, e integrando para obtener
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13.4 ANÁLISIS DE RIESGO COMPUESTO
(13.4.1)
=P(C-L C*) =
Las secciones previas introdujeron los conceptos de incertidumbre inherente debida a la variabilidad natural de los fenómenos hidrológicos y la incertidumbre de modelo y de parámetro causadas por la forma en que son analizados dichos fenómenos. El análisis de riesgo compuesto es un método para tener en cuenta los riesgos que resultan en las diferentes fuentes de incertidumbres para producir el cálculo del riesgo total en un diseño particular. Para este análisis, los conceptos de carga y capacidad son vitales. La carga, o demanda, puesta sobre un sistema es la medida del impacto de los eventos externos. La demanda para el suministro de agua es determinada por la gen-
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13.4 ANÁLISIS DE RIESGO COMPUESTO
(13.4.1)
=P(C-L 0.001, R no es influido en forma importante por la escogencia de las distribuciones para L y e, y que la suposición de que el MS tiene u~a distribución normal es satisfactoria. Para un riesgo menor que éste (por ejemplo R = 0.00001), las formas de las colas de las distribuciones de probabilidad para L y e se vuelven críticas y, en este caso, el riesgo de falla debe evaluarse utilizando el análisis de riesgo compuesto completo descrito en la sección 13.4.
Factor de seguridad El factor de seguridad FS está dado por la relación e!L y el riesgo de falla se expresa como P(FS < 1). Si se toman logaritmos a ambos lados en esta desigualdad se obtiene
R=P(SF
(13.5.6)
~ 0.001, R no es influido en forma importante por la escogencia de las distribuciones para L y e, y que la suposición de que el MS tiene u~a distribución normal es satisfactoria. Para un riesgo menor que éste (por ejemplo R = 0.00001), las formas de las colas de las distribuciones de probabilidad para L y e se vuelven críticas y, en este caso, el riesgo de falla debe evaluarse utilizando el análisis de riesgo compuesto completo descrito en la sección 13.4.
Factor de seguridad El factor de seguridad FS está dado por la relación e!L y el riesgo de falla se expresa como P(FS < 1). Si se toman logaritmos a ambos lados en esta desigualdad se obtiene
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Precipitación de 2 años y 60 minutos (pulgadas). (Fuente: Frederick, Meyers y Auciello, 1977).
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HIDROLOGÍA APLICADA
463
TORMENTAS DE DISEÑO
Para periodos de retorno diferentes de 2 ó 100 años, se utiliza la siguiente ecuación de interpolación, con los coeficientes apropiados a y b tomados de la tabla 14.1.1. Praños
(14.1.2)
= aP2 años+ bP10o años
Miller, Frederick y Tracey (1973) presentaron mapas de isoyetas para duraciones de 6 y 24 horas para los 11 estados montañosos del oeste de los Estados Unidos; éstos reemplazan los correspondientes mapas en el TP 40. Ejemplo 14.1.1 Determine la profundidad de lluvia de diseño para una tormenta de 25 años y 30 minutos en Oklahoma City.
Solución. Oklahoma City está localizada muy cerca del centro del estado de Oklahoma y los valores de precipitaciones de 15 y 60 minutos con periodos de retorno de 2 y 100 años pueden leerse en la figura 14.1.2 como P 2 ,1 5 = 1.02 pulg, P1oo,\s = 1.86 pulg, Pz,6o = 1.85 pulg y P 100 ,6o = 3.80 pulg, respectivamente. Utilizando (14.1.lb), se calculan los valores de la profundidad para la precipitación de 30 minuto~ P3om;,
= 0.51Pl5m;,
+ 0.49P6om;,
Para T
= 2 años, P 2,3o= 0.51
Para T
= 100 años, P 100 ,30 = 0.51 x 1.86 + 0.49 x 3.80 = 2.81
x 1.02 + 0.49 x 1.85 = 1.43 pulg. pulg.
Luego se utiliza la ecuación (14.1.2) con coeficientes a= 0.293 y b = 0.669 tomados de la tabla 14.1.1 con lo cual se obtiene la profundidad de precipitación de 25 años y 30 minutos:
Pzs,3o = aPz,3o =0.293
+ bP10o,3o X
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= 2.30 pulg
TABLA 14.1.1
Coeficientes para la interporlación de profundidades de precipitación utilizando la ecuación (14.1.2) Periodo de retorno T años
a
b
5
0.674
0.278
10
0.496
0.449
25
0.293
0.669
50
0.146
0.835
Fuente: Frederick, Meyers y Auciello, 1977.
+ 0.669
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462
HIDROLOGÍA APLICADA
463
TORMENTAS DE DISEÑO
Para periodos de retorno diferentes de 2 ó 100 años, se utiliza la siguiente ecuación de interpolación, con los coeficientes apropiados a y b tomados de la tabla 14.1.1. Praños
(14.1.2)
= aP2 años+ bP10o años
Miller, Frederick y Tracey (1973) presentaron mapas de isoyetas para duraciones de 6 y 24 horas para los 11 estados montañosos del oeste de los Estados Unidos; éstos reemplazan los correspondientes mapas en el TP 40. Ejemplo 14.1.1 Determine la profundidad de lluvia de diseño para una tormenta de 25 años y 30 minutos en Oklahoma City.
Solución. Oklahoma City está localizada muy cerca del centro del estado de Oklahoma y los valores de precipitaciones de 15 y 60 minutos con periodos de retorno de 2 y 100 años pueden leerse en la figura 14.1.2 como P 2 ,1 5 = 1.02 pulg, P1oo,\s = 1.86 pulg, Pz,6o = 1.85 pulg y P 100 ,6o = 3.80 pulg, respectivamente. Utilizando (14.1.lb), se calculan los valores de la profundidad para la precipitación de 30 minuto~ P3om;,
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Para T
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Para T
= 100 años, P 100 ,30 = 0.51 x 1.86 + 0.49 x 3.80 = 2.81
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Luego se utiliza la ecuación (14.1.2) con coeficientes a= 0.293 y b = 0.669 tomados de la tabla 14.1.1 con lo cual se obtiene la profundidad de precipitación de 25 años y 30 minutos:
Pzs,3o = aPz,3o =0.293
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= 2.30 pulg
TABLA 14.1.1
Coeficientes para la interporlación de profundidades de precipitación utilizando la ecuación (14.1.2) Periodo de retorno T años
a
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0.278
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0.146
0.835
Fuente: Frederick, Meyers y Auciello, 1977.
+ 0.669
X
2.81
464
HIDROLOGÍA APLICADA
Profundidad de precipitación promedio sobre un área El análisis de frecuencia para la precipitación sobre un área no se encuentra tan desarrollado como el análisis de la precipitación puntual. Ante la falta de información sobre la verdadera distribución de probabilidad de la precipitación promedio sobre un área, usualmente se extienden estimativos de precipitación puntual para desarrollar unas profundidades promedio de precipitación sobre un área. La estimación de la precipitación sobre el área puede ser centrada alrededor de la tormenta o fijada localmente. Para este último caso, se tiene en cuenta el hecho de que las estaciones de precipitación algunas veces están cerca del centro de la tormenta, otras veces cerca de los bordes exteriores y otras veces entre estos dos puntos. Un proceso de promediar produce curvas de profundidad-área fijadas localmente que relacionan la precipitación promedio sobre el área con medidas puntuales. La figura 14.1.3 muestra curvas para calcular profundidades de precipitación promedio sobre un área como un porcentaje de los valores de precipitación puntual (Organización Meteorológica Mundial, 1983). Las relaciones profundidad-área para diferentes duraciones, tales como las que se muestran en la figura 14.1.3, se deducen de un análisis de profundidad-áreaduración, en el cual se preparan mapas de isoyetas para cada duración utilizando la tabulación de lluvias máximas de n horas registradas en un área densamente instrumentada. Se determina el área contenida dentro de cada una de las isoyetas de estos
o
48
97
145
241
290
338
mapas y luego se dibuja una gráfica de profundidad de precipitación promedio vs. área para cada duración.
14.2 RELACIONES INTENSIDAD-DURACIÓN-FRECUENCIA Uno de los primeros pasos que debe seguirse en muchos proyectos de diseño hidrológico, como el diseño de un drenaje urbano, es la determinación del evento o los eventos de lluvia que deben usarse. La forma más común de hacerlo es utilizar una tormenta de diseño o un evento que involucre una relación entre la intensidad de lluvia (o profundidad), la duración y las frecuencias o periodos de retorno apropiados para la obra y el sitio. En muchos casos existen curvas estándar de intensidadduración-frecuencia (IDF) disponibles para el sitio, luego no hay que llevar a cabo este análisis. Sin embargo, es conveniente entender el procedimiento utilizado para desarrollar estas relaciones. Usualmente los datos se presentan en forma gráfica, con la duración en el eje horizontal y la intensidad en el eje vertical, mostrando una serie de curvas, para cada uno de los periodos de retornó de diseño, tal como se muestra en la figura 14.2.1 para la ciudad de Chicago. La intensidad es la tasa temporal de precipitación, es decir, la profundidad por unidad de tiempo (mm/h o pulg/h). Puede ser la intensidad instantánea o la intensi-
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465
TORMENTAS DE DISEÑO
Periodo de retorno
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rimer c~arti_l. La probabilidad mostrada es la posibilidad de que el patron de torm~nta obser~ado catga a la tzqmerda de la curva. b) Histogramas selecciona-
Fuente: U. S. Dept. of Agriculture, Soil Conservation Service, 1973, 1986.
dos. de tormentas del pnmer cuart1l. (Fuente: Huff, 1967, Copyright de la American Geophysical Umon).
Método del hietograma triangular
geográfica en los Estados Unidos donde dichos hietogramas podrían aplicarse. Los Tipos I y IA corresponden al clima marítimo del Pacífico con inviernos húmedos y veranos secos. El Tipo III corresponde al Golfo de México y las áreas costeras del Atlántico, donde las tormentas tropicales producen lluvias de 24 horas muy grandes. El Tipo II corresponde al resto del país. Pilgrim y Cordery (1975) desarrollaron un método de análisis de hietogramas basado en el ordenamiento de los intervalos de tiempo de una tormenta teniendo en cuenta la profundidad de precipitación que ocurre en cada uno de ellos y repitiendo ese procedimiento en muchas tormentas en la región. Sumando el orden de cada intervalo, puede obtenerse la forma típica del hietograma. Esta metodología es la estándar en el diseño hidrológico en Australia (The Institution of Engineers Australia, 1987).
Un triángulo es una figura simple para un hietograma de diseño debido a que una vez que se conozcan tanto la profundidad de precipitación de diseño P como la duración Td, la longitud de la base y la altura del triángulo se determinan. Considérese un hietograma triangular como el mostrádo en la figura 14.3.4. La longitud de la base es Td y la altura es h, luego la profundidad total de precipitación en el hietograma está dada por P = .! Tdh, de donde 2
h = 2P
Td
(14.3.1)
Un coeficiente del avance de tormenta r se define como la relación del tiempo antes del pico ta con respecto a la duración total:
r=
la
(14.3.2)
472
HIDROLOGÍA APLICADA
473
TORMENTAS DE DISEÑO
60
10% de probabilidad
TABLA 14.3.1
Distribuciones de lluvia SCS Tormenta de 24 horas
Tormenta de 6 horas
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Porcentaje acumulado de tiempo de tormenta b)
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0.035 0.076 0.125 0.156 0.194 0.219 0.254 0.303 0.362 0.515 0.583 0.624 0.654 0.669 0.682 0.706 0.727 0.748 0.767 0.830 0.926 1.000
0.050 0.116 0.206 0.268 0.425 0.480 0.520 0.550 0.564 0.577 0.601 0.624 0.645 0.655 0.664 0.683 0.701 0.719 0.736 0.800 0.906 1.000
0.022 0.048 0.080 0.098 0.120 0.133 0.147 0.163 0.172 0.181 0.204 0.235 0.283 0.357 0.663 0.735 0.772 0.799 0.820 0.880 0.952 1.000
0.020 0.043 0.072 0.089 0.115 0.130 0.148 0.167 0.178 0.189 0.216 0.250 0.298 0.339 0.500 0.702 0.751 0.785 0.811 0.886 0.957 1.000
0.60 1.20 1.50 1.80 2.10 2.28 2.40 2.52 2.64 2.76 3.00 3.30 3.60 3.90 4.20 4.50 4.80 5.40 6.00
0.10 0.20 0.25 0.30 0.35 0.38 0.40 0.42 0.44 0.46 0.50 0.55 0".60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.90 1.0
0.04 0.10 0.14 0.19 0.31 0.44 0.53 0.60 0.63 0.66 0.70 0.75 0.79 0.83 0.86 0.89 0.91 0.96 1.00
FIGURA 14.3.1 a) Distribució~ temporal de tormentas de J.>rimer c~arti_l. La probabilidad mostrada es la posibilidad de que el patron de torm~nta obser~ado catga a la tzqmerda de la curva. b) Histogramas selecciona-
Fuente: U. S. Dept. of Agriculture, Soil Conservation Service, 1973, 1986.
dos. de tormentas del pnmer cuart1l. (Fuente: Huff, 1967, Copyright de la American Geophysical Umon).
Método del hietograma triangular
geográfica en los Estados Unidos donde dichos hietogramas podrían aplicarse. Los Tipos I y IA corresponden al clima marítimo del Pacífico con inviernos húmedos y veranos secos. El Tipo III corresponde al Golfo de México y las áreas costeras del Atlántico, donde las tormentas tropicales producen lluvias de 24 horas muy grandes. El Tipo II corresponde al resto del país. Pilgrim y Cordery (1975) desarrollaron un método de análisis de hietogramas basado en el ordenamiento de los intervalos de tiempo de una tormenta teniendo en cuenta la profundidad de precipitación que ocurre en cada uno de ellos y repitiendo ese procedimiento en muchas tormentas en la región. Sumando el orden de cada intervalo, puede obtenerse la forma típica del hietograma. Esta metodología es la estándar en el diseño hidrológico en Australia (The Institution of Engineers Australia, 1987).
Un triángulo es una figura simple para un hietograma de diseño debido a que una vez que se conozcan tanto la profundidad de precipitación de diseño P como la duración Td, la longitud de la base y la altura del triángulo se determinan. Considérese un hietograma triangular como el mostrádo en la figura 14.3.4. La longitud de la base es Td y la altura es h, luego la profundidad total de precipitación en el hietograma está dada por P = .! Tdh, de donde 2
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(14.3.1)
Un coeficiente del avance de tormenta r se define como la relación del tiempo antes del pico ta con respecto a la duración total:
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HIDROLOGÍA APLICADA
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TORMENTAS DE DISEÑO
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Ejemplo 14.6.1 Determine la distribución espacial y la profundidad promedio sobre la cuenca producida por la precipitación máxima probable de 6 horas en la cuenca de drenaje del río León aguas arriba del embalse Belton, en Texas. El área de la cuenca de drenaje es de 3,660 mi 2 aproximadamente con el centro de drenaje localizado en 31° 45'N, 98° 15'0. (Este ejemplo es una versión simplificada de un ejemplo de diseño presentado en el HMR 52).
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Ejemplo 14.6.1 Determine la distribución espacial y la profundidad promedio sobre la cuenca producida por la precipitación máxima probable de 6 horas en la cuenca de drenaje del río León aguas arriba del embalse Belton, en Texas. El área de la cuenca de drenaje es de 3,660 mi 2 aproximadamente con el centro de drenaje localizado en 31° 45'N, 98° 15'0. (Este ejemplo es una versión simplificada de un ejemplo de diseño presentado en el HMR 52).
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496
HIDROLOGÍA APUCADA
497
TORMENTAS DE DISEÑO
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20,000 10,000
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la figura 14.6.6. En este ejemplo solamente se considerará la curva de 6 horas. Los puntos tomados de los mapas se grafican y se conectan con una línea suave para formar la curva de profundidad-área para esta duración. Luego se leen las profundidades de la PMP para un cierto número de áreas de tormenta tal como se muestra en la columna 2 de la tabla 14.6.1. 2. Ajuste por orientación de la cuenca. En la figura 14.6.7 se muestra la forma como se centra el patrón de isoyetas estándar sobre la cuenca de drenaje del río León. El eje longitudinal de la cuenca parte del sureste (134 ') hacia el noroeste (314 ') en forma oblicua a la dirección preferencial para este lugar, desde el suroeste (208'). El mapa mostrado en la figura 14.6.4 se aplica a una orientación que varía desde 135' hasta 315', luego la orientación preferencial (208') se resta de la dirección del eje de la cuenca que caiga en el rango 135' a 315' (314' en este caso), es decir, 314' 208' 106'. Cuando la diferencia en orientación es mayor que 90', se utiliza el valor de 1800 menos la diferencia en orientación para esta figura, es decir, en este caso 180° 106° 74°. Los valores de factor de ajuste por orientación para 74 y para áreas de tormenta pueden leerse en la figura 14.6.4 para ser colocados en la columna 3 de la tabla 14.6.1. La multiplicación de las columnas 2 y 3 arroja las profundidades ajustadas que se muestran en la columna 4. o
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496
HIDROLOGÍA APUCADA
497
TORMENTAS DE DISEÑO
40,000 30,000
Duración 6
20,000 10,000
12
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N
50
PMP (pulg)
S
I<'IGURA 14.6.6 Curvas profundidad-área-duración para 31"45'N, 98'15'0 aplicable al drenaje del río León, Texas. (Fuente: Hansen, Schreiner y Miller, 1982).
la figura 14.6.6. En este ejemplo solamente se considerará la curva de 6 horas. Los puntos tomados de los mapas se grafican y se conectan con una línea suave para formar la curva de profundidad-área para esta duración. Luego se leen las profundidades de la PMP para un cierto número de áreas de tormenta tal como se muestra en la columna 2 de la tabla 14.6.1. 2. Ajuste por orientación de la cuenca. En la figura 14.6.7 se muestra la forma como se centra el patrón de isoyetas estándar sobre la cuenca de drenaje del río León. El eje longitudinal de la cuenca parte del sureste (134 ') hacia el noroeste (314 ') en forma oblicua a la dirección preferencial para este lugar, desde el suroeste (208'). El mapa mostrado en la figura 14.6.4 se aplica a una orientación que varía desde 135' hasta 315', luego la orientación preferencial (208') se resta de la dirección del eje de la cuenca que caiga en el rango 135' a 315' (314' en este caso), es decir, 314' 208' 106'. Cuando la diferencia en orientación es mayor que 90', se utiliza el valor de 1800 menos la diferencia en orientación para esta figura, es decir, en este caso 180° 106° 74°. Los valores de factor de ajuste por orientación para 74 y para áreas de tormenta pueden leerse en la figura 14.6.4 para ser colocados en la columna 3 de la tabla 14.6.1. La multiplicación de las columnas 2 y 3 arroja las profundidades ajustadas que se muestran en la columna 4. o
1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1
o
1 1
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1 1 1 1 1
498
HIDROLOGÍA APLICADA
3. Encontrar el área de tormenta critica. Para un área de tormenta dada, los factores de ajuste de isoyetas para cada nivel se leen en la figura 14.6.5 encontrando el área de la tormenta en el eje vertical y leyendo horizontalmente la curva para esa isoyeta. Por ejemplo, para un área de 1,500 mF la gráfica da un factor de ajuste del 162% o 1.62 para la isoyeta A. Los factores de ajuste para todas las isoyetas en un área de tormenta de 1,500 mF se muestran en la columna 2 de la tabla 14.6.2. El ajuste en la profundidad de PMP para el área de tormenta de 1,500 mF es 13.44 pu1g tal como se muestra enlatabla 14.6.1, y este valor se multiplica por el factor de ajuste de isoyetas para dar la profundidad de precipitación de cada isoyeta en la columna 3 de la tabla 14.6.2; por ejemplo, en la isoyeta A, la profundidad es 1.62 x 13.44 = 21.77 pulg. En la columna 4 se muestran las profundidades de precipitación promedio P med entre isoyetas adyacentes. Para la isoyeta B, Pmed = (21.77 + 20.43)/2 = 21.10 pulg, por ejemplo.
TABLA 14.6.2
Cálculo de las profundidades promedio de isoyeta y de área para la precipitación máxima probable de 6 horas en el río León para un área nominal de tormenta de 1,500 mF (ejemplo 14.6.1) Columna:
1
Precipitación máxima probable de 6 horas para el río León, ajustada por orientación de la cuenca con respecto a la dirección del máximo flujo de humedad atmosférica (ejemplo 14.6.1). 2
Columna: Área de tormenta nominal (mi
2
)
1,000 1,500 2,150 3,000 4,500 6,500 10,000 15,000
PMP de 6 h de la curva profundidadárea-duración (pulg) 16.1 14.4 12.9 11.5 9.8 8.5 7.1 5.9
3 Factor de ajuste por orientación
0.961 0.933 0.897 0.850 0.850 0.850 0.850 0.850
4
PMP de 6 h ajustada
2
3
Nombre Factor Profundidad de isoyeta de ajuste de precipitación de isoyeta de isoyeta* (pulg) A B
e
TABLA 14.6.1
499
TORMENTAS DE DISEÑO
D E F G H I
J K L
M N
1.62 1.52 1.42 1.32 1.22 1.12 1.05 0.96 0.88 0.80 0.56 0.41 0.26 0.16
21.77 20.43 19.08 17.74 16.40 15.05 14.11 12.90 11.83 10.75 7.53 5.51 3.49 2.15
4
S
6
Profundidad promedio Pmed entre isoyetas (pulg)
Área incremental M en la cuenca (mi2 )
Volumen incremental de precipitación i\ V=PmectM (pulg. mi 2 )
21.77 21.10 19.76 18.41 17.07 15.72 14.58 13.51 12.36 11.29 9.14 6.52 4.50 2.82
(pulg)
Total
15.47 13.44 11.57 9.78 8.33 7.23 6.04 5.02
PMP promedio sobre la cuenca (pulg)
En la columna 5 de la tabla 14.6.2 se muestran las áreas incrementales M sumadas para incluir cada isoyeta sucesiva. Tal como se muestra en la figura 14.6.7, las isoyetas A a H están contenidas completamente dentro de la cuenca, de tal manera que el área incremental asignada a cada una de ellas es simplemente el incremento en áreas, desde la isoyeta previa, cuyas áreas se muestran en la figura 14.6.2. Por ejemplo, la isoyeta B mide 25 mi 2 , de las cuales 10 mi 2 caen dentro de la isoyeta A, de tal manera que el área incremental para la isoyeta B es 25 - 10 = 15 mi 2 . Para las isoyetas I hasta N, el área incremental mostrada en la columna 5 corresponde a aquella parte del área de isoyeta que está comprendida dentro de la cuenca. El volumen incremental Ll V añadido por cada una de las isoyetas se calcula de Ll V = P mectLlA. Por ejemplo, el volumen dentro de la isoyeta A es 21.77 pulg X 1O mi 2 = 217.7 pulg . mi 2 , mientras que la isoyeta B incluye un volumen adicional de 21.1 O pulg x 15 mi 2 = 316.5 pulg · mi 2 , tal como se muestra en la columna 6 de la tabla. Sumando todos los volúmenes incrementales para las isoyetas que contienen al
10 15 25 50 75 125 150 250 271 393 488 582 737 489
217.7 316.5 493.9 920.6 1,280.2 1,965.6 2,187.4 3,376.8 3,350.9 4,436.8 4,459.9 3,793.7 3,318.3 1,380.2
3,660
31,498.5
= 31,498.5 13,660 = 8.61
pulg
*La PMP para 1,500 mi 2 es 13.44 pulg.
menos parte de su área dentro de la cuenca, se encuentra el volumen total y luego éste se divide por el área de la cuenca para calcular la profundidad de precipitación promedio. En este caso la profundidad promedio es 31,489.5 pulg · mi 2 /3,660 mi 2 = 8.61 pulg. El procedimiento descrito anteriormente se repite para todas las áreas de tormenta dadas en la tabla 14.6.1 con el fin de encontrar el área de tormenta crítica: el área que da la mayor PMP promedio sobre la cuenca. En este caso el área de 1,500 mi 2 arroja la mayor profundidad promedio y es el área de tormenta crítica. En la columna 3 de la tabla 14.6.2 se muestra el patrón de isoyetas de precipitación para la PMP de 6 horas en el río León y la PMP promedio de 6 horas para la cuenca es 8.61 pulg. Este proceso puede repetirse para varias duraciones con el fin de obtener las correspondientes profundidades de isoyetas y profundidades promedio. Con estas profundidades se puede desarrollar un hietograma de tormenta utilizando el método del bloque alterno (sección 14.4) o cualquier otro método. Si para un diseño específico se requiere solamente un porcentaje de la precipitación máxima probable (por ejemplo, 50%, tal como se muestra en la tabla 13 .1.1 para algunos diseños de presas), los valores de las profundidades de precipitación de isoyetas dadas en la columna 3 de la tabla 14.6.2 se reducen en el porcentaje deseado.
498
HIDROLOGÍA APLICADA
3. Encontrar el área de tormenta critica. Para un área de tormenta dada, los factores de ajuste de isoyetas para cada nivel se leen en la figura 14.6.5 encontrando el área de la tormenta en el eje vertical y leyendo horizontalmente la curva para esa isoyeta. Por ejemplo, para un área de 1,500 mF la gráfica da un factor de ajuste del 162% o 1.62 para la isoyeta A. Los factores de ajuste para todas las isoyetas en un área de tormenta de 1,500 mF se muestran en la columna 2 de la tabla 14.6.2. El ajuste en la profundidad de PMP para el área de tormenta de 1,500 mF es 13.44 pu1g tal como se muestra enlatabla 14.6.1, y este valor se multiplica por el factor de ajuste de isoyetas para dar la profundidad de precipitación de cada isoyeta en la columna 3 de la tabla 14.6.2; por ejemplo, en la isoyeta A, la profundidad es 1.62 x 13.44 = 21.77 pulg. En la columna 4 se muestran las profundidades de precipitación promedio P med entre isoyetas adyacentes. Para la isoyeta B, Pmed = (21.77 + 20.43)/2 = 21.10 pulg, por ejemplo.
TABLA 14.6.2
Cálculo de las profundidades promedio de isoyeta y de área para la precipitación máxima probable de 6 horas en el río León para un área nominal de tormenta de 1,500 mF (ejemplo 14.6.1) Columna:
1
Precipitación máxima probable de 6 horas para el río León, ajustada por orientación de la cuenca con respecto a la dirección del máximo flujo de humedad atmosférica (ejemplo 14.6.1). 2
Columna: Área de tormenta nominal (mi
2
)
1,000 1,500 2,150 3,000 4,500 6,500 10,000 15,000
PMP de 6 h de la curva profundidadárea-duración (pulg) 16.1 14.4 12.9 11.5 9.8 8.5 7.1 5.9
3 Factor de ajuste por orientación
0.961 0.933 0.897 0.850 0.850 0.850 0.850 0.850
4
PMP de 6 h ajustada
2
3
Nombre Factor Profundidad de isoyeta de ajuste de precipitación de isoyeta de isoyeta* (pulg) A B
e
TABLA 14.6.1
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TORMENTAS DE DISEÑO
D E F G H I
J K L
M N
1.62 1.52 1.42 1.32 1.22 1.12 1.05 0.96 0.88 0.80 0.56 0.41 0.26 0.16
21.77 20.43 19.08 17.74 16.40 15.05 14.11 12.90 11.83 10.75 7.53 5.51 3.49 2.15
4
S
6
Profundidad promedio Pmed entre isoyetas (pulg)
Área incremental M en la cuenca (mi2 )
Volumen incremental de precipitación i\ V=PmectM (pulg. mi 2 )
21.77 21.10 19.76 18.41 17.07 15.72 14.58 13.51 12.36 11.29 9.14 6.52 4.50 2.82
(pulg)
Total
15.47 13.44 11.57 9.78 8.33 7.23 6.04 5.02
PMP promedio sobre la cuenca (pulg)
En la columna 5 de la tabla 14.6.2 se muestran las áreas incrementales M sumadas para incluir cada isoyeta sucesiva. Tal como se muestra en la figura 14.6.7, las isoyetas A a H están contenidas completamente dentro de la cuenca, de tal manera que el área incremental asignada a cada una de ellas es simplemente el incremento en áreas, desde la isoyeta previa, cuyas áreas se muestran en la figura 14.6.2. Por ejemplo, la isoyeta B mide 25 mi 2 , de las cuales 10 mi 2 caen dentro de la isoyeta A, de tal manera que el área incremental para la isoyeta B es 25 - 10 = 15 mi 2 . Para las isoyetas I hasta N, el área incremental mostrada en la columna 5 corresponde a aquella parte del área de isoyeta que está comprendida dentro de la cuenca. El volumen incremental Ll V añadido por cada una de las isoyetas se calcula de Ll V = P mectLlA. Por ejemplo, el volumen dentro de la isoyeta A es 21.77 pulg X 1O mi 2 = 217.7 pulg . mi 2 , mientras que la isoyeta B incluye un volumen adicional de 21.1 O pulg x 15 mi 2 = 316.5 pulg · mi 2 , tal como se muestra en la columna 6 de la tabla. Sumando todos los volúmenes incrementales para las isoyetas que contienen al
10 15 25 50 75 125 150 250 271 393 488 582 737 489
217.7 316.5 493.9 920.6 1,280.2 1,965.6 2,187.4 3,376.8 3,350.9 4,436.8 4,459.9 3,793.7 3,318.3 1,380.2
3,660
31,498.5
= 31,498.5 13,660 = 8.61
pulg
*La PMP para 1,500 mi 2 es 13.44 pulg.
menos parte de su área dentro de la cuenca, se encuentra el volumen total y luego éste se divide por el área de la cuenca para calcular la profundidad de precipitación promedio. En este caso la profundidad promedio es 31,489.5 pulg · mi 2 /3,660 mi 2 = 8.61 pulg. El procedimiento descrito anteriormente se repite para todas las áreas de tormenta dadas en la tabla 14.6.1 con el fin de encontrar el área de tormenta crítica: el área que da la mayor PMP promedio sobre la cuenca. En este caso el área de 1,500 mi 2 arroja la mayor profundidad promedio y es el área de tormenta crítica. En la columna 3 de la tabla 14.6.2 se muestra el patrón de isoyetas de precipitación para la PMP de 6 horas en el río León y la PMP promedio de 6 horas para la cuenca es 8.61 pulg. Este proceso puede repetirse para varias duraciones con el fin de obtener las correspondientes profundidades de isoyetas y profundidades promedio. Con estas profundidades se puede desarrollar un hietograma de tormenta utilizando el método del bloque alterno (sección 14.4) o cualquier otro método. Si para un diseño específico se requiere solamente un porcentaje de la precipitación máxima probable (por ejemplo, 50%, tal como se muestra en la tabla 13 .1.1 para algunos diseños de presas), los valores de las profundidades de precipitación de isoyetas dadas en la columna 3 de la tabla 14.6.2 se reducen en el porcentaje deseado.
500
HIDROLOGÍA APLICADA
REFERENCIAS Bandyopadhyay, M., Synthetic storm pattern and runoff for Gauhati, India, J. Hyd. Div., Am. Soc. Civ. Eng., vol. 98, No. HY5, pp. 845-857, 1972. Frederick, R. H., V. A. Myers, and E. P. Auciello, Five to 60-minute precipitation frequency for the eastern and central United States, NOAA technical memo NWS HYDR0-35, National Weather Service, Silver Spring, Maryland, June 1977. Hansen, E. M., L. C. Schreiner, and J. F. Miller, Application of probable maximum precipitation estimates- United S tates east of the 105th meridian, NOAA hydrometeorological report No. 52, National Weather Service, Washington, D. C., August 1982. Havens and Emerson, consulting engineers, master plan for pollution abatement, Cleveland, Ohio, July 1968. Hershfield, D. M., Rainfall frequency atlas of the United States for durations from 30 minutes to 24 hours and return periods from 1 to 100 years, tech. paper 40, U. S. Dept. of Comm., Weather Bureau, Washington, D. C., May 1961. Huff, F. A., Time distribution of rainfall in heavy storms, Water Resour. Res., vol. 3, No. 4, pp 10071019, 1967. Institution of Engineers Australia, Australian Rainfall and Runoff, vol. 1 ed. by D. H. Pilgrim, vol. 2 ed. by R. P. Canterford, Canberra, Australia, 1987. Keifer, C. J., and H. H. Chu, Synthetic storm pattern for drainage design, J. Hyd. Div., Am. Soc. Civ. Eng., vol. 83, No. HY4, pp. 1-25, 1957. Marsalek, J., Research on the design storm concept, tech. memo. 33, Am. Soc. Civ. Eng., Urban Water Resour, Res. Prog., New York, 1978. McPherson, M. B., Discussion of "Synthetic storm pattern for drainage design", J. Hyd. Div., Am. Soc. Civ. Eng., vol. 84, No. HY1, pp. 49-60, 1958. Miller, J. F., R. H. Frederick, and R. J. Trace y, Precipitation-frequency atlas of the conterminous western United States (by states), NOAA atlas 2, 11 vols., National Weather Service, Silver Spring, Maryland, 1973. National Academy of Sciences, Safety of Existing Dams: Evaluation and Improvement, National Academy Press, Washington, D. C., 1983. Pilgrim, D. H., and I. Cordery, Rainfall temporal patterns for design floods, J. Hyd. Div., Am. Soc. Civ. Eng., vol. 101, No. HYI, pp. 81-95, 1975. Preul, H. D., and C. N. Papadakis, Development of design storm hyetographs for Cincinnati, Ohio, Water Resour. Bull., vol. 9, No. 2, pp. 291-300, 1973. Schreiner, L. C., and J. T. Riedel, Probable maximum precipitation estimates. United States east of the 105th meridian, NOAA hydrometeorological report No. 51, National Weather Service, Washington, D. C., June 1978. Terstriep, M. L., and J. B. Stall, The Illinois urban drainage area simulator, ILLUDAS, bulletin 58, Illinois State Water Survey, Urbana, III., 1974. U. S. Army Corps of Engineers Hydrologic Engineering Center, Probable maximum storm (eastern United States), HMR 52, user's manual, CPD-46, March 1984. U. S. Department of Commerce, Probable maximum precipitation estimates, Colorado River and Great runoff in small watersheds, tech. paper 149, Washington, D.C., April1973. U. S. Department of Agriculture Soil Conservation Service, Urban hydrology for small watersheds, tech. release No. 55, June 1986. U. S. Department of Commerce, Probable maximum precipitation es ti mates, Colorado River and Great Basin drainages, hydrometeorological report No. 49, NOAA, National Weather Service, Silver Spring, Md., September 1917. U. S. Department of Commerce, Seasonal variation of 10-square-mile probable maximum precipitation estimates. United States east of the 105th meridian, hydrometeorologica1 report No. 53, NOAA, National Weather Service, Silver Spring, Md., April1980. U. S. Weather Bureau, Seasonal variation of the probable maximum precipitation east of the 105th meridian, hydrometeorological report No. 33, Washington, D.C., 1956. U. S. Weather Bureau, Rainfall-intensity-frequency regime, Part 2- Southeastern United States, tech, paper No. 29, March 1958. U. S. Weather Bureau, Generalized estimates of probable maximum precipitation west of the 105th meridian, tech, paper No. 38, Washington, D.C., 1960. U. S. Weather Bureau, Generalized estimates of probable maximum precipitation and rainfall-frequency data for Puerto Rico and Virgin Islands, tech. paper No. 42, Washington, D. C., 1961. U. S. Weather Bureau, Probable maximum precipitation in the Hawaiian Islands, hydrometeorological report No. 39, Washington, D. C., 1963a.
501
TORMENTAS DE DISEÑO
U. S. Weather Bureau, Probable maximum precipitation rainfall-frequency data for Alaska, tech. report No. 47, Washington, D.C., 1963b. U. S. Weather Bureau, Two- to ten-day precipitation for return periods of 2 to 100 years in the contiguous United States, tech. paper 49, Washington, D.C., 1964. U. S. Weather Bureau, Meteorological conditions for the probable maximum flood on the Yukon River above Rampart. Alaska, hydrometeorological report No. 42, Environmental Science Services Administration, Washington, D. C., May 1966a. U. S. Weather Bureau, Probable maximum precipitation, northwest states, hydrometeorological report No. 43, Washington, D. C., 1966b. U. S. Weather Bureau, Interim report-probable maximum precipitation in California, hydrometeorological report No. 36. Washington, D. C., October 1961, with revisions in October 1969. Wenzel, H. G., Rainfall for urban stormwater design, in Urban Storm Water Hydrology, ed. by David F. Kibler, Water Resources Monograph 7, American Geophysical Union, Washington, D. C., 1982. Wiesner, C. J., Hydrometeorology, Chapman and Hall, London, 1970. World Meteorological Organization. Cuide to Hydrological Practices, vol. II, Analysis, forecasting and other applications, WMO No. 168, 4th ed., Geneva, Switzerland, 1983. Yen, B. C., Risk-based design of storm sewers, report No. INT 141, Hydraulics Research Station. Wallingford, Oxfordshire, England, July 1975. Yen, B. C., and V. T. Chow, Design hyetographs for small drainage structures, J. Hyd. Div., Am. Soc. Civ. Eng., vol. 106, No. HY6, pp. 1055-1076, 1980.
PROBLEMAS 14.1.1 14.1.2 14.1.3
14.2.1 14.2.2
14.2.3 14.2.4
14.2.5 14.2.6
Determine la profundidad de precipitación con periodo de retomo de 50 años para una duración de 30 minutos en Austin, Texas, utilizando los mapas de isoyetas dados en la figura 14.1.2. Determine las profundidades de precipitación con periodos de retomo de 2, 10, 25 y 100 años para una tormenta de 15 minutos de duración en San Luis, Missouri. Determine las profundidades de precipitación con periodos de retomo de 2, 10, 25 y 100 años en Miami, Florida, para una duración de 15 minutos. ¿Qué tan grandes son estos valores en comparación con los encontrados para San Luis? ¿Por qué la profundidad de precipitación en Miami es mayor que en San Luis? Determine la profundidad y la intensidad de lluvia de diseño con periodo de retorno de 10 años y 1 hora de duración para Chicago, utilizando la curva IDF dada en la figura 14.2.1. Utilizando los mapas de isoyetas dados en la figura 14.1.2, desarrolle las curvas de intensidad-duración-frecuencia para San Luis, Missouri, graficando los puntos para duraciones de 5, 10, 15, 30 y 60 minutos y periodos de retorno de 2, 5, 10, 25, 50 y 100 años. Resuelva el problema 14.2.2 para Atlanta, Georgia. Determine las intensidades de lluvia de diseño para tormentas con periodos de retorno de 1O, 25 y 100 años y 120 minutos de duración para un lugar donde la profundidad de lluvia promedio es 2.22 pulg y la desviación estándar es 0.823 pulg. Sup;mga que puede aplicarse la distribución Gumbel (Valor Extremo Tipo I). Utilice el análisis de incertidumbre de primer orden y la ecuación (14.2.2) de intensidad-duración de lluvia para encontrar una expresión del coeficiente de variación de intensidad de lluvia i debido a la incertidumbre en la duración TJ. Utilizando el análisis de incertidumbre de primer orden, determine el coeficiente de variación de la intensidad de lluvia i debido a la incertidumbre en la duración para la cuenca Derby en Inglaterra central (Y en, 1975). La relación intensidad-duración-frecuencia de lluvia aplicable en este caso es
e
12.1T0 ·25
TJ· 75 + 0.125
TJ· 75
+ 0.125
500
HIDROLOGÍA APLICADA
REFERENCIAS Bandyopadhyay, M., Synthetic storm pattern and runoff for Gauhati, India, J. Hyd. Div., Am. Soc. Civ. Eng., vol. 98, No. HY5, pp. 845-857, 1972. Frederick, R. H., V. A. Myers, and E. P. Auciello, Five to 60-minute precipitation frequency for the eastern and central United States, NOAA technical memo NWS HYDR0-35, National Weather Service, Silver Spring, Maryland, June 1977. Hansen, E. M., L. C. Schreiner, and J. F. Miller, Application of probable maximum precipitation estimates- United S tates east of the 105th meridian, NOAA hydrometeorological report No. 52, National Weather Service, Washington, D. C., August 1982. Havens and Emerson, consulting engineers, master plan for pollution abatement, Cleveland, Ohio, July 1968. Hershfield, D. M., Rainfall frequency atlas of the United States for durations from 30 minutes to 24 hours and return periods from 1 to 100 years, tech. paper 40, U. S. Dept. of Comm., Weather Bureau, Washington, D. C., May 1961. Huff, F. A., Time distribution of rainfall in heavy storms, Water Resour. Res., vol. 3, No. 4, pp 10071019, 1967. Institution of Engineers Australia, Australian Rainfall and Runoff, vol. 1 ed. by D. H. Pilgrim, vol. 2 ed. by R. P. Canterford, Canberra, Australia, 1987. Keifer, C. J., and H. H. Chu, Synthetic storm pattern for drainage design, J. Hyd. Div., Am. Soc. Civ. Eng., vol. 83, No. HY4, pp. 1-25, 1957. Marsalek, J., Research on the design storm concept, tech. memo. 33, Am. Soc. Civ. Eng., Urban Water Resour, Res. Prog., New York, 1978. McPherson, M. B., Discussion of "Synthetic storm pattern for drainage design", J. Hyd. Div., Am. Soc. Civ. Eng., vol. 84, No. HY1, pp. 49-60, 1958. Miller, J. F., R. H. Frederick, and R. J. Trace y, Precipitation-frequency atlas of the conterminous western United States (by states), NOAA atlas 2, 11 vols., National Weather Service, Silver Spring, Maryland, 1973. National Academy of Sciences, Safety of Existing Dams: Evaluation and Improvement, National Academy Press, Washington, D. C., 1983. Pilgrim, D. H., and I. Cordery, Rainfall temporal patterns for design floods, J. Hyd. Div., Am. Soc. Civ. Eng., vol. 101, No. HYI, pp. 81-95, 1975. Preul, H. D., and C. N. Papadakis, Development of design storm hyetographs for Cincinnati, Ohio, Water Resour. Bull., vol. 9, No. 2, pp. 291-300, 1973. Schreiner, L. C., and J. T. Riedel, Probable maximum precipitation estimates. United States east of the 105th meridian, NOAA hydrometeorological report No. 51, National Weather Service, Washington, D. C., June 1978. Terstriep, M. L., and J. B. Stall, The Illinois urban drainage area simulator, ILLUDAS, bulletin 58, Illinois State Water Survey, Urbana, III., 1974. U. S. Army Corps of Engineers Hydrologic Engineering Center, Probable maximum storm (eastern United States), HMR 52, user's manual, CPD-46, March 1984. U. S. Department of Commerce, Probable maximum precipitation estimates, Colorado River and Great runoff in small watersheds, tech. paper 149, Washington, D.C., April1973. U. S. Department of Agriculture Soil Conservation Service, Urban hydrology for small watersheds, tech. release No. 55, June 1986. U. S. Department of Commerce, Probable maximum precipitation es ti mates, Colorado River and Great Basin drainages, hydrometeorological report No. 49, NOAA, National Weather Service, Silver Spring, Md., September 1917. U. S. Department of Commerce, Seasonal variation of 10-square-mile probable maximum precipitation estimates. United States east of the 105th meridian, hydrometeorologica1 report No. 53, NOAA, National Weather Service, Silver Spring, Md., April1980. U. S. Weather Bureau, Seasonal variation of the probable maximum precipitation east of the 105th meridian, hydrometeorological report No. 33, Washington, D.C., 1956. U. S. Weather Bureau, Rainfall-intensity-frequency regime, Part 2- Southeastern United States, tech, paper No. 29, March 1958. U. S. Weather Bureau, Generalized estimates of probable maximum precipitation west of the 105th meridian, tech, paper No. 38, Washington, D.C., 1960. U. S. Weather Bureau, Generalized estimates of probable maximum precipitation and rainfall-frequency data for Puerto Rico and Virgin Islands, tech. paper No. 42, Washington, D. C., 1961. U. S. Weather Bureau, Probable maximum precipitation in the Hawaiian Islands, hydrometeorological report No. 39, Washington, D. C., 1963a.
501
TORMENTAS DE DISEÑO
U. S. Weather Bureau, Probable maximum precipitation rainfall-frequency data for Alaska, tech. report No. 47, Washington, D.C., 1963b. U. S. Weather Bureau, Two- to ten-day precipitation for return periods of 2 to 100 years in the contiguous United States, tech. paper 49, Washington, D.C., 1964. U. S. Weather Bureau, Meteorological conditions for the probable maximum flood on the Yukon River above Rampart. Alaska, hydrometeorological report No. 42, Environmental Science Services Administration, Washington, D. C., May 1966a. U. S. Weather Bureau, Probable maximum precipitation, northwest states, hydrometeorological report No. 43, Washington, D. C., 1966b. U. S. Weather Bureau, Interim report-probable maximum precipitation in California, hydrometeorological report No. 36. Washington, D. C., October 1961, with revisions in October 1969. Wenzel, H. G., Rainfall for urban stormwater design, in Urban Storm Water Hydrology, ed. by David F. Kibler, Water Resources Monograph 7, American Geophysical Union, Washington, D. C., 1982. Wiesner, C. J., Hydrometeorology, Chapman and Hall, London, 1970. World Meteorological Organization. Cuide to Hydrological Practices, vol. II, Analysis, forecasting and other applications, WMO No. 168, 4th ed., Geneva, Switzerland, 1983. Yen, B. C., Risk-based design of storm sewers, report No. INT 141, Hydraulics Research Station. Wallingford, Oxfordshire, England, July 1975. Yen, B. C., and V. T. Chow, Design hyetographs for small drainage structures, J. Hyd. Div., Am. Soc. Civ. Eng., vol. 106, No. HY6, pp. 1055-1076, 1980.
PROBLEMAS 14.1.1 14.1.2 14.1.3
14.2.1 14.2.2
14.2.3 14.2.4
14.2.5 14.2.6
Determine la profundidad de precipitación con periodo de retomo de 50 años para una duración de 30 minutos en Austin, Texas, utilizando los mapas de isoyetas dados en la figura 14.1.2. Determine las profundidades de precipitación con periodos de retomo de 2, 10, 25 y 100 años para una tormenta de 15 minutos de duración en San Luis, Missouri. Determine las profundidades de precipitación con periodos de retomo de 2, 10, 25 y 100 años en Miami, Florida, para una duración de 15 minutos. ¿Qué tan grandes son estos valores en comparación con los encontrados para San Luis? ¿Por qué la profundidad de precipitación en Miami es mayor que en San Luis? Determine la profundidad y la intensidad de lluvia de diseño con periodo de retorno de 10 años y 1 hora de duración para Chicago, utilizando la curva IDF dada en la figura 14.2.1. Utilizando los mapas de isoyetas dados en la figura 14.1.2, desarrolle las curvas de intensidad-duración-frecuencia para San Luis, Missouri, graficando los puntos para duraciones de 5, 10, 15, 30 y 60 minutos y periodos de retorno de 2, 5, 10, 25, 50 y 100 años. Resuelva el problema 14.2.2 para Atlanta, Georgia. Determine las intensidades de lluvia de diseño para tormentas con periodos de retorno de 1O, 25 y 100 años y 120 minutos de duración para un lugar donde la profundidad de lluvia promedio es 2.22 pulg y la desviación estándar es 0.823 pulg. Sup;mga que puede aplicarse la distribución Gumbel (Valor Extremo Tipo I). Utilice el análisis de incertidumbre de primer orden y la ecuación (14.2.2) de intensidad-duración de lluvia para encontrar una expresión del coeficiente de variación de intensidad de lluvia i debido a la incertidumbre en la duración TJ. Utilizando el análisis de incertidumbre de primer orden, determine el coeficiente de variación de la intensidad de lluvia i debido a la incertidumbre en la duración para la cuenca Derby en Inglaterra central (Y en, 1975). La relación intensidad-duración-frecuencia de lluvia aplicable en este caso es
e
12.1T0 ·25
TJ· 75 + 0.125
TJ· 75
+ 0.125
502
HIDROLOGÍA APLICADA
donde i está dada en milímetros por hora y Td en horas. Suponga que el coeficiente de variación de Td es 0.20. Determine CV; para duraciones de 10, 20, 30 min, 1 hora y 2 horas. 14.2.7 Grafique los datos de profundidad-duración-frecuencia para Coshocton, Ohio, dados en la tabla 14.2.2 con el periodo de retomo en las abscisas y la profundidad de precipitación (pulgadas) en las ordenadas. Utilizando la distribución de Valor Extremo Tipo l, ajuste una línea para cada una de las duraciones 15, 30, 60 y 120 minutos. Utilice periodos de retomo de 2, 5, 10 y 25 años. 14.2.8 Utilizando los datos de Coshocton, Ohio (tabla 14.2.2) lleve a cabo un análisis de frecuencia utilizando la distribución de Valor Extremo Tipo I para las profundidades de lluvia de 30 minutos de duración, e identifique las profundidades de lluvia con periodos de retomo de 10, 25 y 100 años para esta duración. Utilizando los datos de Coshocton, Ohio (tabla 14.2.2), haga un análisis de frecuen14.2.9 cia utilizando la distribución de Valor Extremo Tipo 1 para las profundidades de lluvia con duración de 120 minutos, e identifique las profundidades de lluvia con periodos de retomo de 10, 25 y 100 años para esta duración. 14.2.10 La media y la desviación estándar de las profundidades de lluvias anuales máximas para diferentes duraciones en Austin, Texas, se muestran a continuación. Determine, para cada una de las duraciones, la intensidad de lluvia de diseño con periodos de retorno de 2, 5, 10, 25, 50 y 100 años. Utilice la distribución de Valor Extremo Tipo 1 (Gumbel). Grafique los resultados como un conjunto de curvas intensidad-duraciónfrecuencia.
503
TORMENTAS DE DTSEÑO
14.4.2 14.4.3 14.4.4 14.4.5 14.4.6 14.4.7
Encuentre y grafique el hietograma de lluvia de diseño de una hora para Los Angeles utilizando el método de la intensidad instantánea con r = 0.5. Resuelva el problema 14.4.2 utilizando un coeficiente de avance r de 0.375. Grafique los hietogramas de diseño parar= 0.5 y r = 0.375 en la misma gráfica. Desarrolle el hietograma de diseño de 1 hora para Los Angeles utilizando el método del bloque alterno e incrementos de tiempo de 10 minutos. Utilice un periodo de retorno de 1O años. Desarrolle y grafique un hietograma de lluvia de diseño de 10 años y 2 horas para Miami utilizando el método del bloque alterno con incrementos de tiempo de 10 minutos. Desarrolle y grafique el hietograma de diseño de 10 años y 1 hora para Cleveland utilizando el método de la intensidad instantánea. En las tablas 14.2.3 y 14.3.2 se dan los valores de los coeficientes requeridos. Deduzca la ecuación de intensidad para un hietograma de diseño desarrollado utilizando el método de la intensidad instantánea con la siguiente ecuación de intensidad-duración-frecuencia de lluvia:
e' imed
= -(T_d_+_j-')-,e'
donde Td es la duración de la lluvia. Para Los Ángeles e' = 10.9, e'= 0.5l,f' = 1.15 y r = 0.5. Construya un hietograma de diseño de una hora para esta ciudad.
14.3.1
14.3.2 14.3.3 14.3.4
14.4.1
Duración
Profundidad media (pulg)
Desviación estándar (pulg)
5 min 10 min 15 min 30 min 1h 2h 3h 1 día
0.493 0.795 1.040 1.480 1.910 2.220 2.470 4.140
0.133 0.225 0.298 0.493 0.665 0.823 0.793 2.490
Utilice el mapa de precipitación de 100 años y 24 horas en los Estados Unidos (véase la figura 14.1.1) y el patrón de distribución de tormentas del ses \t.Jbla 14.3.1) para desarrollar el hietograma de tormenta de diseño de 100 años y 24 horas en Washington, D. C. Determine un hietograma triangular para el diseño de un culvert en Philadelphia. El periodo de retorno de diseño es de 10 años y la duración es de 60 minutos. El valor de r se da en la tabla 14.3.2. Construya un hietograma triangular para el diseño de un culvert en Baltimore con un periodo de retorno de 50 años y una duración de 1 hora. El valor de r se da en la tabla 14.3.2. Demuestre que el tiempo entre el inicio y el centroide de la precipitación para un hietograma triangular de diseño está dado por (Td + ta)/3, donde Td es la duración del hietograma y ta es el tiempo hasta la intensidad pico. Utilizando las curvas IDF para Chicago dadas en la figura 14.2.1, desarrolle un hietograma de diseño de 1 hora con incrementos de 10 minutos utilizando el método del bloque alterno; considere un periodo de retorno de 10 años.
+ 35° 94°
+ 35° 93°
PRESA RENNEL
o Millas
+
34° 94°
o
FIGURA 14.P.l
Río Ouachita, Arkansas (1 ,600 mi 2 ) aguas arriba de la presa Rennel, mostrando el área de drenaje. (Fuente: Hansen, Schreiner y Miller, 1982).
502
HIDROLOGÍA APLICADA
donde i está dada en milímetros por hora y Td en horas. Suponga que el coeficiente de variación de Td es 0.20. Determine CV; para duraciones de 10, 20, 30 min, 1 hora y 2 horas. 14.2.7 Grafique los datos de profundidad-duración-frecuencia para Coshocton, Ohio, dados en la tabla 14.2.2 con el periodo de retomo en las abscisas y la profundidad de precipitación (pulgadas) en las ordenadas. Utilizando la distribución de Valor Extremo Tipo l, ajuste una línea para cada una de las duraciones 15, 30, 60 y 120 minutos. Utilice periodos de retomo de 2, 5, 10 y 25 años. 14.2.8 Utilizando los datos de Coshocton, Ohio (tabla 14.2.2) lleve a cabo un análisis de frecuencia utilizando la distribución de Valor Extremo Tipo I para las profundidades de lluvia de 30 minutos de duración, e identifique las profundidades de lluvia con periodos de retomo de 10, 25 y 100 años para esta duración. Utilizando los datos de Coshocton, Ohio (tabla 14.2.2), haga un análisis de frecuen14.2.9 cia utilizando la distribución de Valor Extremo Tipo 1 para las profundidades de lluvia con duración de 120 minutos, e identifique las profundidades de lluvia con periodos de retomo de 10, 25 y 100 años para esta duración. 14.2.10 La media y la desviación estándar de las profundidades de lluvias anuales máximas para diferentes duraciones en Austin, Texas, se muestran a continuación. Determine, para cada una de las duraciones, la intensidad de lluvia de diseño con periodos de retorno de 2, 5, 10, 25, 50 y 100 años. Utilice la distribución de Valor Extremo Tipo 1 (Gumbel). Grafique los resultados como un conjunto de curvas intensidad-duraciónfrecuencia.
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TORMENTAS DE DTSEÑO
14.4.2 14.4.3 14.4.4 14.4.5 14.4.6 14.4.7
Encuentre y grafique el hietograma de lluvia de diseño de una hora para Los Angeles utilizando el método de la intensidad instantánea con r = 0.5. Resuelva el problema 14.4.2 utilizando un coeficiente de avance r de 0.375. Grafique los hietogramas de diseño parar= 0.5 y r = 0.375 en la misma gráfica. Desarrolle el hietograma de diseño de 1 hora para Los Angeles utilizando el método del bloque alterno e incrementos de tiempo de 10 minutos. Utilice un periodo de retorno de 1O años. Desarrolle y grafique un hietograma de lluvia de diseño de 10 años y 2 horas para Miami utilizando el método del bloque alterno con incrementos de tiempo de 10 minutos. Desarrolle y grafique el hietograma de diseño de 10 años y 1 hora para Cleveland utilizando el método de la intensidad instantánea. En las tablas 14.2.3 y 14.3.2 se dan los valores de los coeficientes requeridos. Deduzca la ecuación de intensidad para un hietograma de diseño desarrollado utilizando el método de la intensidad instantánea con la siguiente ecuación de intensidad-duración-frecuencia de lluvia:
e' imed
= -(T_d_+_j-')-,e'
donde Td es la duración de la lluvia. Para Los Ángeles e' = 10.9, e'= 0.5l,f' = 1.15 y r = 0.5. Construya un hietograma de diseño de una hora para esta ciudad.
14.3.1
14.3.2 14.3.3 14.3.4
14.4.1
Duración
Profundidad media (pulg)
Desviación estándar (pulg)
5 min 10 min 15 min 30 min 1h 2h 3h 1 día
0.493 0.795 1.040 1.480 1.910 2.220 2.470 4.140
0.133 0.225 0.298 0.493 0.665 0.823 0.793 2.490
Utilice el mapa de precipitación de 100 años y 24 horas en los Estados Unidos (véase la figura 14.1.1) y el patrón de distribución de tormentas del ses \t.Jbla 14.3.1) para desarrollar el hietograma de tormenta de diseño de 100 años y 24 horas en Washington, D. C. Determine un hietograma triangular para el diseño de un culvert en Philadelphia. El periodo de retorno de diseño es de 10 años y la duración es de 60 minutos. El valor de r se da en la tabla 14.3.2. Construya un hietograma triangular para el diseño de un culvert en Baltimore con un periodo de retorno de 50 años y una duración de 1 hora. El valor de r se da en la tabla 14.3.2. Demuestre que el tiempo entre el inicio y el centroide de la precipitación para un hietograma triangular de diseño está dado por (Td + ta)/3, donde Td es la duración del hietograma y ta es el tiempo hasta la intensidad pico. Utilizando las curvas IDF para Chicago dadas en la figura 14.2.1, desarrolle un hietograma de diseño de 1 hora con incrementos de 10 minutos utilizando el método del bloque alterno; considere un periodo de retorno de 10 años.
+ 35° 94°
+ 35° 93°
PRESA RENNEL
o Millas
+
34° 94°
o
FIGURA 14.P.l
Río Ouachita, Arkansas (1 ,600 mi 2 ) aguas arriba de la presa Rennel, mostrando el área de drenaje. (Fuente: Hansen, Schreiner y Miller, 1982).
504
HIDROLOGÍA APLICADA TORMENTAS DE DISEÑO
14.5.1
14.6.1
14.6.2
14.6.3 14.6.4
Utilice la ecuación (14.5.1) que describe las mayores lluvias registradas en el mundo, con el fin de encontrar y grafique un hietograma de diseño de 24 horas utilizando incrementos de tiempo de 1 hora y el método de bloque alterno. Determine la profundidad de la PMP promedio de 6 horas sobre la cuenca del río León con una tormenta de área nominal de 2,150 mF. Tenga en cuenta el ejemplo 14.6.1 para obtener información. Tomando áreas de tormenta diferentes a aquellas mostradas en la tabla 14.6.1, determine el área de tormenta crítica para la profundidad máxima de PMP de 6 horas sobre la cuenca del río León. Evalúe la profundidad de la PMP promedio de 6 horas sobre la cuenca del río León suponiendo que no existe ajuste por orientación. Tenga en cuenta el ejemplo 14.6.1 para obtener información. Utilice las curvas de profundidad-área-duración para el río León (véase la figura 14.6.6), con el fin de desarrollar un hietograma de PMP de diseño para una precipitación promedio sobre un área de 1,000 mF la cual tiene la forma elíptica del patrón de isoyetas estándar. Suponga que no es necesario hacer ningún ajuste por orientación.
14.6.5
14.6.6
14.6.7
14.6.8 1
-1-----l---IDuracilón (h)-+---+---+--+----l---4--_¡_ 12
24
48
72
10,000 """'\:
5,000 4,000 3,000
\
\
\
~
\
2,000
\
\
1\
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1,000 N
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500 400 300
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1\
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200
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1\
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100 50 40 30
\
20
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10
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' 5
10
15
20
25
\
\
\
30
\
\ 1\ 35
\
\
\
\
1\
\\
\ 40
45
50
PMP (pulg)
FIGURA 14.P.2 Curvas profundidad-área-duración para 34°36'N, 93°27'0, aplicable al drenaje del río Ouachita, Arkansas. (Fuente: Hansen, Schreiner y Miller, 1982).
505
Utilizando las curvas profundidad-área-duración para el río León (véase la hgura 14.6.6), calcule la profundidad de precipitación adicional en una PMP de 12 horas adicional a aquella de una PMP de 6 horas para áreas de tormenta de 10, 100, 1,000 y 10,000 mi 2 • Determine la distribución espacial y la profundidad promedio de la precipitación máxima probable de 6 horas en el río Ouachita, Arkansas, aguas arriba de la presa Rennel (véase la figura 14.P.l). El área dé la cuenca de drenaje es de 1,600 mi2 aproximadamente con su centro de drenaje localizado en 34° 36'N, 93° 27'0. Considere un área de tormenta de 2, 150 mi 2 •. Las curvas de profundidad-área-duración para este sitio están dadas en la figura 14.P.2. Suponga que el eje mayor del patrón de tormenta elíptico apunta en la dirección 95°/275°. La cuenca contiene todos los niveles desde el A hasta el H para el patrón de tormenta. Los niveles desde I hasta L añaden las siguientes áreas incrementales (en mi 2 ): I, 242; J, 242; K, 224; L, 192. Resuelva el problema 14.6.6 para determinar la profundidad promedio de la precipitación máxima probable de 6 horas en el río Ouachita, Arkansas, aguas arriba de la presa Rennel (véase la figura 14.P.I) considerando un área de tormenta de 1,500 mi2. Considere varias áreas de tormenta con el fin de determinar el área de tormenta crítica para PMP de 6 horas en la cuenca del río Ouachita (véase el problema 14.6.6).
504
HIDROLOGÍA APLICADA TORMENTAS DE DISEÑO
14.5.1
14.6.1
14.6.2
14.6.3 14.6.4
Utilice la ecuación (14.5.1) que describe las mayores lluvias registradas en el mundo, con el fin de encontrar y grafique un hietograma de diseño de 24 horas utilizando incrementos de tiempo de 1 hora y el método de bloque alterno. Determine la profundidad de la PMP promedio de 6 horas sobre la cuenca del río León con una tormenta de área nominal de 2,150 mF. Tenga en cuenta el ejemplo 14.6.1 para obtener información. Tomando áreas de tormenta diferentes a aquellas mostradas en la tabla 14.6.1, determine el área de tormenta crítica para la profundidad máxima de PMP de 6 horas sobre la cuenca del río León. Evalúe la profundidad de la PMP promedio de 6 horas sobre la cuenca del río León suponiendo que no existe ajuste por orientación. Tenga en cuenta el ejemplo 14.6.1 para obtener información. Utilice las curvas de profundidad-área-duración para el río León (véase la figura 14.6.6), con el fin de desarrollar un hietograma de PMP de diseño para una precipitación promedio sobre un área de 1,000 mF la cual tiene la forma elíptica del patrón de isoyetas estándar. Suponga que no es necesario hacer ningún ajuste por orientación.
14.6.5
14.6.6
14.6.7
14.6.8 1
-1-----l---IDuracilón (h)-+---+---+--+----l---4--_¡_ 12
24
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100 50 40 30
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20
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10
15
20
25
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\
\
30
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\ 1\ 35
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\
\
\
1\
\\
\ 40
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PMP (pulg)
FIGURA 14.P.2 Curvas profundidad-área-duración para 34°36'N, 93°27'0, aplicable al drenaje del río Ouachita, Arkansas. (Fuente: Hansen, Schreiner y Miller, 1982).
505
Utilizando las curvas profundidad-área-duración para el río León (véase la hgura 14.6.6), calcule la profundidad de precipitación adicional en una PMP de 12 horas adicional a aquella de una PMP de 6 horas para áreas de tormenta de 10, 100, 1,000 y 10,000 mi 2 • Determine la distribución espacial y la profundidad promedio de la precipitación máxima probable de 6 horas en el río Ouachita, Arkansas, aguas arriba de la presa Rennel (véase la figura 14.P.l). El área dé la cuenca de drenaje es de 1,600 mi2 aproximadamente con su centro de drenaje localizado en 34° 36'N, 93° 27'0. Considere un área de tormenta de 2, 150 mi 2 •. Las curvas de profundidad-área-duración para este sitio están dadas en la figura 14.P.2. Suponga que el eje mayor del patrón de tormenta elíptico apunta en la dirección 95°/275°. La cuenca contiene todos los niveles desde el A hasta el H para el patrón de tormenta. Los niveles desde I hasta L añaden las siguientes áreas incrementales (en mi 2 ): I, 242; J, 242; K, 224; L, 192. Resuelva el problema 14.6.6 para determinar la profundidad promedio de la precipitación máxima probable de 6 horas en el río Ouachita, Arkansas, aguas arriba de la presa Rennel (véase la figura 14.P.I) considerando un área de tormenta de 1,500 mi2. Considere varias áreas de tormenta con el fin de determinar el área de tormenta crítica para PMP de 6 horas en la cuenca del río Ouachita (véase el problema 14.6.6).
CRECIENTES DE DISEÑO
507
15.1 DISEÑO DE ALCANTARILLADO DE AGUAS LLUVIAS
CRECIENTES DE DISENO
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El diseño hidrológico para el control de aguas está relacionado con la mitigación de los efectos adversos causados por caudales altos o crecientes. Se considera que una creciente es cualquier caudal alto que desborde los terraplenes ya sean artificiales o naturales a lo largo de la corriente. Las magnitudes de las crecientes están descritas por sus caudales, sus elevaciones y sus volúmenes. Cada uno de estos factores es importante en el diseño hidrológico de diferentes tipos de estructuras para el control de flujo. La mayor parte de este capítulo se relaciona con el estudio del caudal de diseño o la creciente de diseño para estructuras de regulación (embalses de detención, embalses para el control de crecientes, etc.) y para estructuras de conducción (alcantarillados de aguas lluvias, canales de drenaje, diques de crecientes, estructuras de derivación, etc.) El propósito de las estructuras de regulación de crecientes es atenuar los caudales picos, haciendo decrecer de esta manera los picos de elevación de la creciente aguas abajo, y el propósito de las estructuras de conducción es llevar en forma segura el flujo hacia puntos localizados aguas abajo donde los efectos adversos de las crecientes sean controlados o se minimicen. Este capítulo discute los métodos y los modelos de simulación que pueden utilizarse en el diseño hidrológico de estructuras de control de flujos, desde sistemas de drenaje urbano hasta embalses para el control de crecientes. El diseño hidrológico para el uso del agua está relacionado con el desarrollo de los recursos hidráulicos para cubrir las necesidades humanas y con la conservación de la vida natural en los ambientes hídricos. A medida que la población y la actividad económica se incrementan, también aumentan las demandas para uso de agua. Pero ésta tiene que balancearse con la oferta finita dada por la naturaleza y el deseo de mantener la vida vegetal y animal en los ríos, lagos y estuarios. La información hidrológica juega un papel vital en el manejo del balance entre la oferta y la demanda de recursos hidráulicos y en la planeación de proyectos de desarrollo de este tipo de recursos. En contraste con el diseño hidrológico para el control de aguas, el cual está relacionado con la mitigación de efectos adversos causados por grandes crecientes, el diseño hidrológico para el uso del agua está dirigido a la utilización de los caudales promedios y a la mitigación de los efectos causados por caudales extremadamente bajos. 506
Tanto el crecimiento de la población como el desarrollo urbano pueden crear severos problemas potenciales en el manejo de aguas urbanas. Una de las estructuras más importantes para la preservación y el mejoramiento del ambiente de aguas urbanas es un sistema de drenaje de aguas lluvias adecuado y que funcione correctamente. La construcción de casas, edificios comerciales, parqueaderos, caminos pavimentados y calles incrementa la cubierta impermeable en una cuenca y reduce la infiltración. Además, con la urbanización, el patrón espacial del flujo en la cuenca se altera y la eficiencia hidráulica se incrementa a través de canales artificiales, cunetas y sistemas de recolección y drenaje de aguas lluvias. Estos factores incrementan el volumen y la velocidad de la escorrentía y producen caudales de crecientes con picos mayores en las cuencas urbanizadas que aquellos que ocurrían antes de la urbanización. Muchos sistemas de drenaje urbano construidos bajo un cierto nivel de urbanización operan hoy en día bajo niveles de urbanización mayores por lo cual tienen una capacidad inadecuada. En la figura 15.1.1 se muestra un esquema de mí sistema de drenaje urbano típico. Puede considerarse que el sistema consta de dos tipos de elementos principales: elementos de localización y elementos de transferencia. Los elementos de localización son los lugares donde el agua es retenida y sufre algunos cambios como resultado de los procesos controlados por el hombre, como por ejemplo el almacenamiento de agua, la purificación y el uso de la misma y el tratamiento de aguas residuales. Los elementos de transferencia conectan los elementos de localización; estos elementos incluyen canales, tuberías, alcantarillados de aguas lluvias, alcanta-
FIGURA 15.1.1 Sistema de drenaje urbano típico. (Fuente: Roesner, 1982, Copyright de la American Geophysical Union).
CRECIENTES DE DISEÑO
507
15.1 DISEÑO DE ALCANTARILLADO DE AGUAS LLUVIAS
CRECIENTES DE DISENO
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El diseño hidrológico para el control de aguas está relacionado con la mitigación de los efectos adversos causados por caudales altos o crecientes. Se considera que una creciente es cualquier caudal alto que desborde los terraplenes ya sean artificiales o naturales a lo largo de la corriente. Las magnitudes de las crecientes están descritas por sus caudales, sus elevaciones y sus volúmenes. Cada uno de estos factores es importante en el diseño hidrológico de diferentes tipos de estructuras para el control de flujo. La mayor parte de este capítulo se relaciona con el estudio del caudal de diseño o la creciente de diseño para estructuras de regulación (embalses de detención, embalses para el control de crecientes, etc.) y para estructuras de conducción (alcantarillados de aguas lluvias, canales de drenaje, diques de crecientes, estructuras de derivación, etc.) El propósito de las estructuras de regulación de crecientes es atenuar los caudales picos, haciendo decrecer de esta manera los picos de elevación de la creciente aguas abajo, y el propósito de las estructuras de conducción es llevar en forma segura el flujo hacia puntos localizados aguas abajo donde los efectos adversos de las crecientes sean controlados o se minimicen. Este capítulo discute los métodos y los modelos de simulación que pueden utilizarse en el diseño hidrológico de estructuras de control de flujos, desde sistemas de drenaje urbano hasta embalses para el control de crecientes. El diseño hidrológico para el uso del agua está relacionado con el desarrollo de los recursos hidráulicos para cubrir las necesidades humanas y con la conservación de la vida natural en los ambientes hídricos. A medida que la población y la actividad económica se incrementan, también aumentan las demandas para uso de agua. Pero ésta tiene que balancearse con la oferta finita dada por la naturaleza y el deseo de mantener la vida vegetal y animal en los ríos, lagos y estuarios. La información hidrológica juega un papel vital en el manejo del balance entre la oferta y la demanda de recursos hidráulicos y en la planeación de proyectos de desarrollo de este tipo de recursos. En contraste con el diseño hidrológico para el control de aguas, el cual está relacionado con la mitigación de efectos adversos causados por grandes crecientes, el diseño hidrológico para el uso del agua está dirigido a la utilización de los caudales promedios y a la mitigación de los efectos causados por caudales extremadamente bajos. 506
Tanto el crecimiento de la población como el desarrollo urbano pueden crear severos problemas potenciales en el manejo de aguas urbanas. Una de las estructuras más importantes para la preservación y el mejoramiento del ambiente de aguas urbanas es un sistema de drenaje de aguas lluvias adecuado y que funcione correctamente. La construcción de casas, edificios comerciales, parqueaderos, caminos pavimentados y calles incrementa la cubierta impermeable en una cuenca y reduce la infiltración. Además, con la urbanización, el patrón espacial del flujo en la cuenca se altera y la eficiencia hidráulica se incrementa a través de canales artificiales, cunetas y sistemas de recolección y drenaje de aguas lluvias. Estos factores incrementan el volumen y la velocidad de la escorrentía y producen caudales de crecientes con picos mayores en las cuencas urbanizadas que aquellos que ocurrían antes de la urbanización. Muchos sistemas de drenaje urbano construidos bajo un cierto nivel de urbanización operan hoy en día bajo niveles de urbanización mayores por lo cual tienen una capacidad inadecuada. En la figura 15.1.1 se muestra un esquema de mí sistema de drenaje urbano típico. Puede considerarse que el sistema consta de dos tipos de elementos principales: elementos de localización y elementos de transferencia. Los elementos de localización son los lugares donde el agua es retenida y sufre algunos cambios como resultado de los procesos controlados por el hombre, como por ejemplo el almacenamiento de agua, la purificación y el uso de la misma y el tratamiento de aguas residuales. Los elementos de transferencia conectan los elementos de localización; estos elementos incluyen canales, tuberías, alcantarillados de aguas lluvias, alcanta-
FIGURA 15.1.1 Sistema de drenaje urbano típico. (Fuente: Roesner, 1982, Copyright de la American Geophysical Union).
508
HIDROLOGÍA APLICADA
rillados de aguas residuales y calles. El sistema es alimentado por la lluvia, el agua proveniente de diferentes fuentes y el agua traída por tuberías y canales. El cuerpo de agua receptor puede ser un río, un lago o un oceáno. La figura 15 .1.1 muestra un sistema de alcantarillado de aguas lluvias utilizado para la recolección de aguas lluvias mediante un sistema de tuberías que descarga en un cuerpo de agua receptor. Esta sección considera el diseño de un sistema de alcantarillado para el drenaje de aguas lluvias. Los conceptos de sistemas se están utilizando cada vez más como una ayuda para el entendimiento y la solución a problemas urbanos complejos. Estos problemas involucran sistemas distribuidos y deben analizarse para tener en cuenta tanto las variaciones espaciales como las temporales. Las cuencas urbanas varían en el espacio debido a que la pendiente de la superficie del suelo, su cubierta y el tipo de suelo cambian de un lugar a otro dentro de la cuenca. Las cuencas varían con el tiempo ya que las características hidrológicas cambian con el proceso de urbanización. La formulación matemática de modelos para los sistemas de aguas urbanas distribuidos tanto en el tiempo como en el espacio es una tarea complicada. En consecuencia, algunas veces se ignora la variación espacial, y el sistema se maneja como un sistema agregado. Algún tipo de variación espacial puede introducirse dividiendo el sistema de la cuenca en varios subsistemas, cada uno de los cuales se considera como agregado, y luego se unen estos modelos de sistemas agregados para producir un modelo del sistema completo. Los modelos pueden utilizarse como herramienta para la planeación y administración. En particular, se han propuesto varios modelos para la simulación de cuencas en computadores. La determinación del volumen de escorrentía y el caudal pico son asuntos muy importantes en el manejo de aguas lluvias urbanas, y los métodos para calcular estas variables van desde la muy conocida fórmula racional hasta los más avanzados modelos de simulación en computador tal como el Storm Water Management Model (SWMM; véase Huher, et al., 1975).
Filosofía de diseño Un sistema de alcantarillado de aguas lluvias es una red de tuberías utilizada para conducir la escorrentía de una tormenta a través de una ciudad. El diseño de sistemas de alcantarillado de aguas lluvias involucra la determinación de los diámetros, las pendientes, las elevaciones de clave y de batea para cada tubo del sistema. Las elevaciones de clave y de batea en un tubo son, respectivamente, las elevaciones de la parte superior y de la parte inferior de la circunferencia interna de la tubería. La selección de una distribución o localización de la red de tubería para un sistema de alcantarillado de aguas lluvias requiere cantidades considerables de criterios subjetivos. Usualmente los hidrólogos pueden investigar sólo una pequeña cantidad de las posibles distribuciones. Generalmente, los pozos de inspección se localizan en las intersecciones de calles y en los cambios de pendientes más fuertes, y las tuberías de alcantarillado se tienden con una pendiente paralela a la superficie del terreno, con el fin de conectarlas con los alcantarillados principales o matrices localizados aguas abajo. Una vez que se ha seleccionado una distribución, puede utilizarse el método racional para seleccionar el diámetro de las tuberías. Este enfoque convencional de diseño está basado en un conjunto de criterios y estándares de diseño, tales como los propuestos por la American Society of Civil Engineers (1960) y varias agencias de planeación.
CRECIENTES DE DISEÑO
509
El diseño del drenaje de aguas lluvias puede dividirse en dos partes: predicción de la escorrentía y diseño del sistema. En años recientes, la modelación del proceso de lluvia-escorrentía para cuencas urbanas ha sido una actividad muy popular y hoy en día está disponible una gran variedad de tales modelos de lluvia-escorrentía, como los descritos por Chow y Yen (1977), Heeps y Mein (1974), Brandstetter(l976), McPherson (1975), Colyery Pethick (1977), Yen (1978) y Kibler(l982). Los modelos de computador se describen en forma más completa en la sección 15.2. Las siguientes restricciones y suposiciones son de uso común en la práctica de diseño de alcantarillado de aguas lluvias: l. 2. 3.
4.
5. 6.
7. 8.
9.
Existe flujo a superficie libre para los caudales de diseño; es decir, el sistema de alcantarillado se diseña para "flujo gravitacional"; no se consideran ni estaciones de bombeo ni alcantarillados presurizados. Las tuberías de alcantarillado son de sección circular con diámetros comerciales no menores de 8 pulg. El diámetro de diseño es el menor diámetro comercialmente disponible que tenga una capacidad de flujo igual o mayor que el caudal de diseño y que satisfaga todas las restricciones apropiadas. Los alcantarillados de aguas lluvias deben colocarse a una profundidad tal que no sean susceptibles de congelamiento, que sean capaces de drenar sótanos y que tengan un colchón lo suficientemente grande para prevenir los rompimientos debidos a cargas en la superficie del terreno. Teniendo en cuenta esto, deben especificarse las profundidades de recubrimiento mínimas. Las alcantarillas deben estar unidas en los nodos de tal manera que la elevación de clave del alcantarillado de aguas arriba no sea inferior que la del alcantarillado de aguas abajo. Con el fin de prevenir o reducir la sedimentación excesiva de material sólido en los alcantarillados, debe especificarse una velocidad de flujo mínima permisible para el caudal de diseño o cuando el tubo fluya a máxima capacidad con flujo gravitacional (por ejemplo 2.5 pies/s). Para prevenir la socavación y otros efectos indeseables causados por una alta velocidad de flujo, también debe especificarse una velocidad máxima permisible. En cualquier nodo o pozo de inspección el alcantarillado de aguas abajo no puede ser menor que cualquiera de los alcantarillados de aguas arriba de ese nodo. El sistema de alcantarillado es una red dendrítica o con brazos que converge en la dirección aguas abajo sin ningún circuito cerrado.
Método racional El método racional, el cual empezó a utilizarse alrededor de la mitad del siglo XIX, es probablemente el método más ampliamente utilizado hoy en día para el diseño de alcantarillados de aguas lluvias (Pilgrim, 1986; Linsley, 1986). A pesar de que han surgido críticas válidas acerca de lo adecuado de este método, se sigue utilizando para el diseño de alcantarillados debido a su simplicidad. Una vez que se ha seleccionado la distribución y se han determinado los tamaños de las tuberías por el método racional, la bondad del sistema puede verificarse utilizando un tránsito dinámico de los hidrogramas de caudal a través del sistema.
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HIDROLOGÍA APLICADA
rillados de aguas residuales y calles. El sistema es alimentado por la lluvia, el agua proveniente de diferentes fuentes y el agua traída por tuberías y canales. El cuerpo de agua receptor puede ser un río, un lago o un oceáno. La figura 15 .1.1 muestra un sistema de alcantarillado de aguas lluvias utilizado para la recolección de aguas lluvias mediante un sistema de tuberías que descarga en un cuerpo de agua receptor. Esta sección considera el diseño de un sistema de alcantarillado para el drenaje de aguas lluvias. Los conceptos de sistemas se están utilizando cada vez más como una ayuda para el entendimiento y la solución a problemas urbanos complejos. Estos problemas involucran sistemas distribuidos y deben analizarse para tener en cuenta tanto las variaciones espaciales como las temporales. Las cuencas urbanas varían en el espacio debido a que la pendiente de la superficie del suelo, su cubierta y el tipo de suelo cambian de un lugar a otro dentro de la cuenca. Las cuencas varían con el tiempo ya que las características hidrológicas cambian con el proceso de urbanización. La formulación matemática de modelos para los sistemas de aguas urbanas distribuidos tanto en el tiempo como en el espacio es una tarea complicada. En consecuencia, algunas veces se ignora la variación espacial, y el sistema se maneja como un sistema agregado. Algún tipo de variación espacial puede introducirse dividiendo el sistema de la cuenca en varios subsistemas, cada uno de los cuales se considera como agregado, y luego se unen estos modelos de sistemas agregados para producir un modelo del sistema completo. Los modelos pueden utilizarse como herramienta para la planeación y administración. En particular, se han propuesto varios modelos para la simulación de cuencas en computadores. La determinación del volumen de escorrentía y el caudal pico son asuntos muy importantes en el manejo de aguas lluvias urbanas, y los métodos para calcular estas variables van desde la muy conocida fórmula racional hasta los más avanzados modelos de simulación en computador tal como el Storm Water Management Model (SWMM; véase Huher, et al., 1975).
Filosofía de diseño Un sistema de alcantarillado de aguas lluvias es una red de tuberías utilizada para conducir la escorrentía de una tormenta a través de una ciudad. El diseño de sistemas de alcantarillado de aguas lluvias involucra la determinación de los diámetros, las pendientes, las elevaciones de clave y de batea para cada tubo del sistema. Las elevaciones de clave y de batea en un tubo son, respectivamente, las elevaciones de la parte superior y de la parte inferior de la circunferencia interna de la tubería. La selección de una distribución o localización de la red de tubería para un sistema de alcantarillado de aguas lluvias requiere cantidades considerables de criterios subjetivos. Usualmente los hidrólogos pueden investigar sólo una pequeña cantidad de las posibles distribuciones. Generalmente, los pozos de inspección se localizan en las intersecciones de calles y en los cambios de pendientes más fuertes, y las tuberías de alcantarillado se tienden con una pendiente paralela a la superficie del terreno, con el fin de conectarlas con los alcantarillados principales o matrices localizados aguas abajo. Una vez que se ha seleccionado una distribución, puede utilizarse el método racional para seleccionar el diámetro de las tuberías. Este enfoque convencional de diseño está basado en un conjunto de criterios y estándares de diseño, tales como los propuestos por la American Society of Civil Engineers (1960) y varias agencias de planeación.
CRECIENTES DE DISEÑO
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El diseño del drenaje de aguas lluvias puede dividirse en dos partes: predicción de la escorrentía y diseño del sistema. En años recientes, la modelación del proceso de lluvia-escorrentía para cuencas urbanas ha sido una actividad muy popular y hoy en día está disponible una gran variedad de tales modelos de lluvia-escorrentía, como los descritos por Chow y Yen (1977), Heeps y Mein (1974), Brandstetter(l976), McPherson (1975), Colyery Pethick (1977), Yen (1978) y Kibler(l982). Los modelos de computador se describen en forma más completa en la sección 15.2. Las siguientes restricciones y suposiciones son de uso común en la práctica de diseño de alcantarillado de aguas lluvias: l. 2. 3.
4.
5. 6.
7. 8.
9.
Existe flujo a superficie libre para los caudales de diseño; es decir, el sistema de alcantarillado se diseña para "flujo gravitacional"; no se consideran ni estaciones de bombeo ni alcantarillados presurizados. Las tuberías de alcantarillado son de sección circular con diámetros comerciales no menores de 8 pulg. El diámetro de diseño es el menor diámetro comercialmente disponible que tenga una capacidad de flujo igual o mayor que el caudal de diseño y que satisfaga todas las restricciones apropiadas. Los alcantarillados de aguas lluvias deben colocarse a una profundidad tal que no sean susceptibles de congelamiento, que sean capaces de drenar sótanos y que tengan un colchón lo suficientemente grande para prevenir los rompimientos debidos a cargas en la superficie del terreno. Teniendo en cuenta esto, deben especificarse las profundidades de recubrimiento mínimas. Las alcantarillas deben estar unidas en los nodos de tal manera que la elevación de clave del alcantarillado de aguas arriba no sea inferior que la del alcantarillado de aguas abajo. Con el fin de prevenir o reducir la sedimentación excesiva de material sólido en los alcantarillados, debe especificarse una velocidad de flujo mínima permisible para el caudal de diseño o cuando el tubo fluya a máxima capacidad con flujo gravitacional (por ejemplo 2.5 pies/s). Para prevenir la socavación y otros efectos indeseables causados por una alta velocidad de flujo, también debe especificarse una velocidad máxima permisible. En cualquier nodo o pozo de inspección el alcantarillado de aguas abajo no puede ser menor que cualquiera de los alcantarillados de aguas arriba de ese nodo. El sistema de alcantarillado es una red dendrítica o con brazos que converge en la dirección aguas abajo sin ningún circuito cerrado.
Método racional El método racional, el cual empezó a utilizarse alrededor de la mitad del siglo XIX, es probablemente el método más ampliamente utilizado hoy en día para el diseño de alcantarillados de aguas lluvias (Pilgrim, 1986; Linsley, 1986). A pesar de que han surgido críticas válidas acerca de lo adecuado de este método, se sigue utilizando para el diseño de alcantarillados debido a su simplicidad. Una vez que se ha seleccionado la distribución y se han determinado los tamaños de las tuberías por el método racional, la bondad del sistema puede verificarse utilizando un tránsito dinámico de los hidrogramas de caudal a través del sistema.
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HIDROLOGÍA APLICADA
La idea detrás del método racional es que si una lluvia con intensidad i empieza en forma instantánea y continúa en forma indefinida, la tasa de escorrentía continuará hasta que se llegue al tiempo de concentración te, en el cual toda la cuenca está contribuyendo al flujo en la salida. El producto de la intensidad de lluvia i y el área de la cuenca A es el caudal de entrada al sistema, iA, y la relación entre este caudal y el caudal pico Q (que o9urre en el tiempo te) se conoce como el coeficiente de escorrentía e (O :S e :S 1). Este se expresa en la fórmula racional: Q
= eiA
(15.1.1)
Comúnmente, Q está dado en pies cúbicos por segundo (cfs), i en pulgadas por hora y A en acres, por lo cual el factor de conversión (1 cfs = 1.008 acre . pulg/hora) se considera incluido en el coeficiente de escorrentía. La duración utilizada para la determinación de la intensidad de precipitación de diseño i en (15.1.1) es el tiempo de concentración en la cuenca. En áreas urbanas, el área de drenaje usualmente está compuesta de subáreas o subcuencas de diferentes características superficiales. Como resultado, se requiere un análisis compuesto que tenga en cuenta las diferentes características superficiales. Las áreas de las subcuencas se denominan como A1 y los coeficientes de escorrentía para cada una de ellas se denominan como e1. La escorrentía pico se calcula al utilizar la siguiente forma de la fórmula racionál: m
Q = i
L ejAj
(15.1.2)
j=l
donde m es el número de subcuencas drenadas por un alcantarillado. Las suposiciones asociadas con el método racional son: l.
2. 3.
La tasa de escorrentía pico calculada en el punto de salida de la cuenca es una función de la tasa de lluvia promedio durante el tiempo de concentración, es decir, el caudal pico no resulta de una lluvia más intensa, de menor duración, durante la cual solamente una porción de la cuenca contribuye ll la escorrentía a la salida de ésta. El tiempo de concentración empleado es el tiempo para que la escorrentía se · establezca y fluya desde la parte más remota del área de drenaje hacia el punto de entrada del alcantarillado que se está diseñando. La intensidad de lluvia es constante durante toda la tormenta.
Coeficiente de escorrentía El coeficiente de escorrentía e es la variable menos precisa del método racional. Su uso en la fórmula implica una relación fija entre la tasa de escorrentía pico y la tasa de lluvia para la cuenca de drenaje, lo cual no es cierto en la realidad. Una selección apropiada del coeficiente de escorrentía requiere del conocimiento y la experiencia por parte del hidrólogo. La proporción de la lluvia total que alcanzarán los drenajes de tormenta depende del porcentaje de permeabilidad •. de la pendiente y de las características de encharcamiento de la superficie. Superficies impermeables, tales como los pavimentos de asfalto o los techos de edificios, producirán una escorrentía de casi el ciento por ciento después de que la superficie haya sido completamente mojada, independientemente de la pendiente. Inspecciones de cam-
512
HIDROLOGÍA APLICADA
depresión. Debe escogerse un coeficiente razonable para representar lds efectos integrados de todos estos factores. En la tabla 15.1.1 se dan algunos coeficientes escogidos para diferentes tipos de superficie, utilizados en Austin, Texas.
Intensidad de lluvia La intensidad de lluvia i es la tasa promedio de lluvia en pulgadas por hora para una cuenca o subcuenca de drenaje particular. La intensidad se selecciona con base en la duración de lluvia de diseño y el periodo de retorno, tal como se describió en la sección 14.2. La duración de diseño es igual al tiempo de concentración para el área de drenaje en consideración. El periodo de retorno se establece utilizando estándares de diseño o es escogido por el hidrólogo como un parámetro de diseño. Se supone que la escorrentía alcanza su pico en el tiempo de concentración te cuando toda la cuenca está contribuyendo al flujo en su salida. El tiempo de concentración es el tiempo requerido por una gota de agua para fluir desde el punto más remoto en la cuenca hasta el punto de interés. Puede utilizarse un procedimiento de tanteos para determinar el tiempo crítico de concentración donde existen varias rutas posibles que deben considerarse. El tiempo de concentración de cualquier punto en un sistema de drenaje de aguas lluvias es la suma del tiempo de entrada t 0 (el tiempo que se toma para fluir desde el punto más remoto hasta la entrada al alcantarillado) y del tiempo de flujo t ¡en los alcantarillados localizados aguas arriba conectados al punto de salida:
+ f¡
le = l 0
(15.1.3)
El tiempo de flujo está dado por la ecuación (5.7.3): t¡=
n
L
i=l
v;
¿__¿_
(15.1.4)
donde L; es la longitud del i-ésimo tubo a lo largo de la trayectoria de flujo y V; es la velocidad del flujo en el tubo. El tiempo de entrada, o tiempo de concentración para el caso de que no exista alcantarillado aguas arriba, puede obtenerse mediante observaciones experimentales o puede estimarse utilizando ecuaciones como las presentadas en la tabla 15.1.2. Pueden existir varias rutas posibles de flujo para diferentes cuencas drenadas por un alcantarillado; el mayor tiempo de concentración de todos los tiempos para las diferentes rutas se supone que es el tiempo de concentración crítico del área drenada. Debido a que las áreas que llegan a la mayor parte de las obras de captación de aguas lluvias son relativamente pequeñas, también es bastante común determinar el tiempo de entrada con base en experiencias bajo condiciones similares. El tiempo de entrada disminuye a medida que tanto la pendiente como la impermeabilidad de la superficie aumentan, y se incrementa a medida que la distancia sobre la cual tiene que viajar el agua se incrementa y a medida que la retención en las superficies de contacto aumenta. Todos los tiempos de entrada determinados con base en la experiencia deben verificarse mediante cálculos directos de la escorrentía superficial en el terreno.
511
CRECIENTES DE DISEÑO
513
(.:RECIENTES DE DISEÑO
po y fotografías aéreas son muy útiles en la estimación de la naturaleza de la superficie dentro del área de drenaje. El coeficiente de escorrentía también depende de las características y las condiciones del suelo. La tasa de infiltración disminuye a medida que la lluvia continúa y también es influida por las condiciones de humedad antecedentes en el suelo. Otros factores que influyen en el coeficiente de escorrentía son la intensidad de lluvia, la proximidad del nivel freático, el grado de compactación del suelo, la porosidad del subsuelo, la vegetación, la pendiente del suelo y el almacenamiento por
TABLA 15.1.1
Coeficientes de escorrentía para ser usados en el método racional Periodo de retorno (años) Característica de la superficie
2
S
10
25
50
100
Áreas desarrolladas Asfáltico 0.73 0.77 0.81 0.86 0.90 0.95 Concreto/techo 0.75 0.80 0.83 0.88 0.92 0.97 Zonas verdes Uardines, parques, etc.) Condición pobre (cubierta de pasto menor del 50% del área) Plano, 0-2% 0.32 0.34 0.37 0.40 0.44 0.47 Promedio, 2-7% 0.37 0.40 0.43 0.46 0.49 0.53 Pendiente, superior a 7% 0.40 0.43 0.45 0.49 0.52 0.55 Condición promedio (cubierta de pasto del 50 al 75% del área) Plano, 0-2% 0.25 0.28 0.34 0.30 0.37 0.41 Promedio, 2-7% 0.33 0.42 0.36 0.38 0.45 0.49 Pendiente, superiora 7% 0.37 0.40 0.42 0.46 0.49 0.53 Condición buena (cubierta de pasto mayor del 75% del área) Plano, 0-2% 0.21 0.23 0.25 0.29 0.32 0.36 Promedio, 2-7% 0.29 0.32 0.35 0.39 0.42 0.46 Pendiente, superior a 7% 0.34 0.37 0.40 0.44 0.47 0.51 Áreas no desarrolladas Área de cultivos Plano, 0-2% 0.31 0.34 0.36 0.40 0.43 0.47 Promedio, 2-7% 0.41 0.35 0.38 0.44 0.48 0.51 Pendiente, superior a 7% 0.39 0.42 0.44 0.48 0.51 0.54 Pastizales Plano, 0-2% 0.25 0.28 0.30 0.34 0.37 0.41 Promedio, 2-7% 0.33 0.36 0.38 0.42 0.45 0.49 Pendiente, superior a 7% 0.37 0.40 0.42 0.46 0.49 0.53 Bosques Plano, 0-2% 0.22 0.25 0.28 0.31 0.35 0.39 Promedio, 2-7% 0.31 0.34 0.36 0.40 0.43 0.47 Pendiente, superior a 7% 0.35 0.39 0.41 0.52 0.45 0.48 Nota: Los valores de la tabla son los estándares utilizados en la ciudad de Austin, Texas. con autorización.
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0.57 0.60 0.61 0.53 0.58 0.60 0.48 0.56 0.58 Utilizada
= Q,l "' ..:! ~
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510
HIDROLOGÍA APLICADA
La idea detrás del método racional es que si una lluvia con intensidad i empieza en forma instantánea y continúa en forma indefinida, la tasa de escorrentía continuará hasta que se llegue al tiempo de concentración te, en el cual toda la cuenca está contribuyendo al flujo en la salida. El producto de la intensidad de lluvia i y el área de la cuenca A es el caudal de entrada al sistema, iA, y la relación entre este caudal y el caudal pico Q (que o9urre en el tiempo te) se conoce como el coeficiente de escorrentía e (O :S e :S 1). Este se expresa en la fórmula racional: Q
= eiA
(15.1.1)
Comúnmente, Q está dado en pies cúbicos por segundo (cfs), i en pulgadas por hora y A en acres, por lo cual el factor de conversión (1 cfs = 1.008 acre . pulg/hora) se considera incluido en el coeficiente de escorrentía. La duración utilizada para la determinación de la intensidad de precipitación de diseño i en (15.1.1) es el tiempo de concentración en la cuenca. En áreas urbanas, el área de drenaje usualmente está compuesta de subáreas o subcuencas de diferentes características superficiales. Como resultado, se requiere un análisis compuesto que tenga en cuenta las diferentes características superficiales. Las áreas de las subcuencas se denominan como A1 y los coeficientes de escorrentía para cada una de ellas se denominan como e1. La escorrentía pico se calcula al utilizar la siguiente forma de la fórmula racionál: m
Q = i
L ejAj
(15.1.2)
j=l
donde m es el número de subcuencas drenadas por un alcantarillado. Las suposiciones asociadas con el método racional son: l.
2. 3.
La tasa de escorrentía pico calculada en el punto de salida de la cuenca es una función de la tasa de lluvia promedio durante el tiempo de concentración, es decir, el caudal pico no resulta de una lluvia más intensa, de menor duración, durante la cual solamente una porción de la cuenca contribuye ll la escorrentía a la salida de ésta. El tiempo de concentración empleado es el tiempo para que la escorrentía se · establezca y fluya desde la parte más remota del área de drenaje hacia el punto de entrada del alcantarillado que se está diseñando. La intensidad de lluvia es constante durante toda la tormenta.
Coeficiente de escorrentía El coeficiente de escorrentía e es la variable menos precisa del método racional. Su uso en la fórmula implica una relación fija entre la tasa de escorrentía pico y la tasa de lluvia para la cuenca de drenaje, lo cual no es cierto en la realidad. Una selección apropiada del coeficiente de escorrentía requiere del conocimiento y la experiencia por parte del hidrólogo. La proporción de la lluvia total que alcanzarán los drenajes de tormenta depende del porcentaje de permeabilidad •. de la pendiente y de las características de encharcamiento de la superficie. Superficies impermeables, tales como los pavimentos de asfalto o los techos de edificios, producirán una escorrentía de casi el ciento por ciento después de que la superficie haya sido completamente mojada, independientemente de la pendiente. Inspecciones de cam-
512
HIDROLOGÍA APLICADA
depresión. Debe escogerse un coeficiente razonable para representar lds efectos integrados de todos estos factores. En la tabla 15.1.1 se dan algunos coeficientes escogidos para diferentes tipos de superficie, utilizados en Austin, Texas.
Intensidad de lluvia La intensidad de lluvia i es la tasa promedio de lluvia en pulgadas por hora para una cuenca o subcuenca de drenaje particular. La intensidad se selecciona con base en la duración de lluvia de diseño y el periodo de retorno, tal como se describió en la sección 14.2. La duración de diseño es igual al tiempo de concentración para el área de drenaje en consideración. El periodo de retorno se establece utilizando estándares de diseño o es escogido por el hidrólogo como un parámetro de diseño. Se supone que la escorrentía alcanza su pico en el tiempo de concentración te cuando toda la cuenca está contribuyendo al flujo en su salida. El tiempo de concentración es el tiempo requerido por una gota de agua para fluir desde el punto más remoto en la cuenca hasta el punto de interés. Puede utilizarse un procedimiento de tanteos para determinar el tiempo crítico de concentración donde existen varias rutas posibles que deben considerarse. El tiempo de concentración de cualquier punto en un sistema de drenaje de aguas lluvias es la suma del tiempo de entrada t 0 (el tiempo que se toma para fluir desde el punto más remoto hasta la entrada al alcantarillado) y del tiempo de flujo t ¡en los alcantarillados localizados aguas arriba conectados al punto de salida:
+ f¡
le = l 0
(15.1.3)
El tiempo de flujo está dado por la ecuación (5.7.3): t¡=
n
L
i=l
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¿__¿_
(15.1.4)
donde L; es la longitud del i-ésimo tubo a lo largo de la trayectoria de flujo y V; es la velocidad del flujo en el tubo. El tiempo de entrada, o tiempo de concentración para el caso de que no exista alcantarillado aguas arriba, puede obtenerse mediante observaciones experimentales o puede estimarse utilizando ecuaciones como las presentadas en la tabla 15.1.2. Pueden existir varias rutas posibles de flujo para diferentes cuencas drenadas por un alcantarillado; el mayor tiempo de concentración de todos los tiempos para las diferentes rutas se supone que es el tiempo de concentración crítico del área drenada. Debido a que las áreas que llegan a la mayor parte de las obras de captación de aguas lluvias son relativamente pequeñas, también es bastante común determinar el tiempo de entrada con base en experiencias bajo condiciones similares. El tiempo de entrada disminuye a medida que tanto la pendiente como la impermeabilidad de la superficie aumentan, y se incrementa a medida que la distancia sobre la cual tiene que viajar el agua se incrementa y a medida que la retención en las superficies de contacto aumenta. Todos los tiempos de entrada determinados con base en la experiencia deben verificarse mediante cálculos directos de la escorrentía superficial en el terreno.
511
CRECIENTES DE DISEÑO
513
(.:RECIENTES DE DISEÑO
po y fotografías aéreas son muy útiles en la estimación de la naturaleza de la superficie dentro del área de drenaje. El coeficiente de escorrentía también depende de las características y las condiciones del suelo. La tasa de infiltración disminuye a medida que la lluvia continúa y también es influida por las condiciones de humedad antecedentes en el suelo. Otros factores que influyen en el coeficiente de escorrentía son la intensidad de lluvia, la proximidad del nivel freático, el grado de compactación del suelo, la porosidad del subsuelo, la vegetación, la pendiente del suelo y el almacenamiento por
TABLA 15.1.1
Coeficientes de escorrentía para ser usados en el método racional Periodo de retorno (años) Característica de la superficie
2
S
10
25
50
100
Áreas desarrolladas Asfáltico 0.73 0.77 0.81 0.86 0.90 0.95 Concreto/techo 0.75 0.80 0.83 0.88 0.92 0.97 Zonas verdes Uardines, parques, etc.) Condición pobre (cubierta de pasto menor del 50% del área) Plano, 0-2% 0.32 0.34 0.37 0.40 0.44 0.47 Promedio, 2-7% 0.37 0.40 0.43 0.46 0.49 0.53 Pendiente, superior a 7% 0.40 0.43 0.45 0.49 0.52 0.55 Condición promedio (cubierta de pasto del 50 al 75% del área) Plano, 0-2% 0.25 0.28 0.34 0.30 0.37 0.41 Promedio, 2-7% 0.33 0.42 0.36 0.38 0.45 0.49 Pendiente, superiora 7% 0.37 0.40 0.42 0.46 0.49 0.53 Condición buena (cubierta de pasto mayor del 75% del área) Plano, 0-2% 0.21 0.23 0.25 0.29 0.32 0.36 Promedio, 2-7% 0.29 0.32 0.35 0.39 0.42 0.46 Pendiente, superior a 7% 0.34 0.37 0.40 0.44 0.47 0.51 Áreas no desarrolladas Área de cultivos Plano, 0-2% 0.31 0.34 0.36 0.40 0.43 0.47 Promedio, 2-7% 0.41 0.35 0.38 0.44 0.48 0.51 Pendiente, superior a 7% 0.39 0.42 0.44 0.48 0.51 0.54 Pastizales Plano, 0-2% 0.25 0.28 0.30 0.34 0.37 0.41 Promedio, 2-7% 0.33 0.36 0.38 0.42 0.45 0.49 Pendiente, superior a 7% 0.37 0.40 0.42 0.46 0.49 0.53 Bosques Plano, 0-2% 0.22 0.25 0.28 0.31 0.35 0.39 Promedio, 2-7% 0.31 0.34 0.36 0.40 0.43 0.47 Pendiente, superior a 7% 0.35 0.39 0.41 0.52 0.45 0.48 Nota: Los valores de la tabla son los estándares utilizados en la ciudad de Austin, Texas. con autorización.
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514
HIDROWGÍA APLICADA
515
CRECIENTES DE DISEÑO
Área de drenaje Debe determinarse el tamaño y la forma de la cuenca o subcuenca bajo consideración. El área puede determinarse utilizando planímetros en mapas topográficos, o mediante trabajos topográficos de campo cuando los datos topográficos han cambiado o cuando el intervalo entre las líneas de nivel en los mapas es demasiado grande para distinguir la dirección del flujo. Deben medirse el área de drenaje que contribuye al sistema que se está diseñando y la subárea de drenaje que contribuye a cada uno de los puntos de entrada. El esquema de la divisoria del drenaje debe seguir las fronteras reales de la cuenca, en lugar de las fronteras comerciales de los terrenos, como puede utilizarse en alcantarillados de aguas residuales. Las líneas divisorias del drenaje están influidas por las pendientes de pavimentos, la localización de conductos subterráneos y parques pavimentados o no pavimentados, la calidad de pastos, los céspedes, y muchas otras características introducidas por la urbanización. E-~¡.¡¡
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En la tabla 15 .2.1 se muestra la información de entrada al HEC-1 para la cuenca de Castro Valley. En el archivo de entrada de información presentado en la tabla se han hecho comentarios para q1.1e sea fácil de entender. El uso de la opción multiplán del HEC-1 permite que en una sola corrida del programa se calculen los hidrogramas de escorrentía para todas las tres condiciones. El plan 1 corresponde a las condiciones existentes, el plan 2 incluye la subcuenca 4 urbanizada y el plan 3 introduce el embalse y las modificaciones del canal. Cada operación de componente empieza con una instrucción KK. La información de entrada se ha organizado de tal manera que se determina primero la escorrentía de la subcuenca 4, luego se lleva a cabo el tránsito a través del embalse de detención propuesto, seguido por el tránsito de Muskingum a través de la subcuenca l. A continuación se hacen los cálculos del proceso lluvia-escorrentía para la subcuenca 1 y el hidrograma de escorrentía resultante se suma al hidrograma de cscorrentía de la subcuenca 4. Luego se llevan a cabo Jos cálculos de lluvia-escorrentía para la subcuenca 2, y esta escorrentía se transita a través de la subcuenca 3 para ser sumada al hidrograma de salida. El último paso es llevar a cabo Jos cálculos de Iluvia-escorrentía para la subcuenca 3 y añadir este resultado al hidrograma de salida.
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Los resultados de este cálculo para las cuatro sui:Jcuencas son:
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Solución. Los parámetros utilizados para el hidrograma unitario de Snyder en HEC-1 son tp y eP; tp se calcula para las condiciones existentes utilizando la ecuación (7.7.2) con e1 = 1.0 y e,, L y LeA tal como se dieron anteriormente. Por ejemplo, para la subcuenca 1,
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525
CRECIENTES DE DISEÑO
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CRECIENTES DE DISEÑO
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525
VI
~
TABLA 15.2.1 (cont.)
Entrada al HEC-1 para la cuenta Castro Valley (ejemplo 15.2.1) Col. 1:
8
24 25 26 27 28 29
KP RS
3 1
sv
o
SE SL SS
388.5 391 401.8
30 31 32 33 34 35
KK KM KP RM KP RM
OUT ROUTE SUBCATCHMENT 4 RUNOFF TO OUTLET 1 1 0.6 0.2 3 0.4 1 0.3
36 37 38 39 40
KK KM BA LS
SUB! RUNOFF COMPUTATIONS FOR SUBCATCHMENT 1 !.52 o 70 0.56 0.25
us
24
16 STOR 6 394.2 19.63 30
32
48
40
o 12 '398.2 0.71 2.86
18 400.8 0.5 1.5
23 401.8
30 405.8
56
64
[Componente de tránsito en el canal] [Plan 1 y 2 son lo mismos] [Parámetros de Muskingum K= 0.6 h, X
=
0.2]
[Nuevos parámetros de Muskingum para plan 3] [Escorrentía de la subárea 1]
41 KK 42 KM 43 HC
OUT [Suma de dos hidrogramas] COMBINE SUBCATCHMENT 1 RUNOFF WITH SUBCATCHMENT RUNOFF ROUTED TO OUTLET 2
44 KK
SUB2 RUNOFF COMPUTATIONS FOR SUBCATCHMENT 2 2.17 o 84 0.41 0.25
45 KM 46 BA 47 LS 48 us
80
72
[Tránsito a través del embalse en plan 3] [Tránsito en el embalse] [Volumen en acre-pie] [Elevación en pies sobre el NMM] [Características de la tubería de salida] [Características del vertedero]
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~
o
§
[Escorrentía de la subárea 2]
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TABLA 15.2.1 (cont.)
Entrada al HEC-1 para la cuenta Castro Valley (ejemplo 15.2.1) Col. 1:
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
49 KK 50 KM 51 RM
OUT ROUTE SUBCATCHMENT 2 RUNOFF TO OUTLET 1 0.3 0.2
[Tránsito en el canal por el método de Muskingum]
52 KK 53 KM 54 HC
OUT COMBINE HYDROGRAPHS AT OUTLET 2
[Suma de dos hidrogramas]
55 56 57 58 59
KK KM BA LS
us
60 KK 61 KM 62 HC 63
zz
~ S2 Vl
m Z•
o
SUB3 RUNOFF COMPUTATIONS FOR SUBCATCHMENT 3 0.96 80 o 0.34 0.25 OUT COMBINE HYDROGRAPHS AT OUTLET 2
[Suma de dos hidrogramas]
[Finalización]
Los comentarios entre corchetes [ ] sirven para interpretación y no forman parte de la información de entrada real.
~
VI
~
TABLA 15.2.1 (cont.)
Entrada al HEC-1 para la cuenta Castro Valley (ejemplo 15.2.1) Col. 1:
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KP RS
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36 37 38 39 40
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18 400.8 0.5 1.5
23 401.8
30 405.8
56
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[Componente de tránsito en el canal] [Plan 1 y 2 son lo mismos] [Parámetros de Muskingum K= 0.6 h, X
=
0.2]
[Nuevos parámetros de Muskingum para plan 3] [Escorrentía de la subárea 1]
41 KK 42 KM 43 HC
OUT [Suma de dos hidrogramas] COMBINE SUBCATCHMENT 1 RUNOFF WITH SUBCATCHMENT RUNOFF ROUTED TO OUTLET 2
44 KK
SUB2 RUNOFF COMPUTATIONS FOR SUBCATCHMENT 2 2.17 o 84 0.41 0.25
45 KM 46 BA 47 LS 48 us
80
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[Tránsito a través del embalse en plan 3] [Tránsito en el embalse] [Volumen en acre-pie] [Elevación en pies sobre el NMM] [Características de la tubería de salida] [Características del vertedero]
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[Escorrentía de la subárea 2]
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TABLA 15.2.1 (cont.)
Entrada al HEC-1 para la cuenta Castro Valley (ejemplo 15.2.1) Col. 1:
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49 KK 50 KM 51 RM
OUT ROUTE SUBCATCHMENT 2 RUNOFF TO OUTLET 1 0.3 0.2
[Tránsito en el canal por el método de Muskingum]
52 KK 53 KM 54 HC
OUT COMBINE HYDROGRAPHS AT OUTLET 2
[Suma de dos hidrogramas]
55 56 57 58 59
KK KM BA LS
us
60 KK 61 KM 62 HC 63
zz
~ S2 Vl
m Z•
o
SUB3 RUNOFF COMPUTATIONS FOR SUBCATCHMENT 3 0.96 80 o 0.34 0.25 OUT COMBINE HYDROGRAPHS AT OUTLET 2
[Suma de dos hidrogramas]
[Finalización]
Los comentarios entre corchetes [ ] sirven para interpretación y no forman parte de la información de entrada real.
~
HIDROLOGÍA APLICADA
528 Hidrograma en RES4
800
- o Plan2 600
] u 400 200 0~~~~-.~~------~-.--.--.--.-~
o
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22 24
Tiempo (h) Hidrograma a la salida 2,400 2,000 1,600 '¡;j
""a1.200
FIGURA 15.2.3
800 400
o
o
2
4
6
10
12
14
Tiempo (h)
529
al diseño de sistemas de alcantarillado de aguas lluvias pueden clasificarse como modelos de diseño, modelos de predicción de caudales y modelos de planeación.
1,000
'¡;j
CRECffiNTES DE DISEÑO
16
18
20
22 24
Hidrogramas de caudal en RES4 y en la salida (ejemplo 15.2.1). El plan 1 corresponde a las condiciones existentes, el plan 2 contiene la subcuenca 4 urbanizada y el plan 3 introduce un embalse y mejoras en el canal aguas abajo de la subcuenca 4.
Los hidrogramas de escorrentía resultantes a la salida de la subcuenca 4 y a la salida de toda la cuenca para cada uno de los 3 planes se muestran en la figura 15.2.3. El caudal pico en la subcuenca 4 bajo las condiciones existentes es 271 cfs y bajo las condiciones de urbanización es 909 cfs. El embalse de detención reduce el caudal pico a 482 cfs. La elevación pico de la superficie de agua en el embalse es 402.88 pies sobre el nivel medio del mar en el tiempo 12.67 h. Los caudales pico a la salida son 1 ,906 cfs para las condiciones existentes, 2,258 cfs para las condiciones urbanizadas y 2,105 cfs para condiciones urbanizadas con el embalse y las modificaciones del canal.
Modelos para el drenaje urbano de aguas lluvias Los primeros modelos de computador para el drenaje urbano de tormentas se desarrollaron durante los últimos años de la década de 1960 y desde ese momento se ha discutido una gran cantidad de ellos en la literatura técnica. Los modelos aplicables
Modelos de diseño. Estos modelos determinan las dimensiones geométricas de las alcantarillas de aguas lluvias (y de otras estructuras) para un sistema nuevo o una extensión o mejora de un sistema existente. Los cálculos de diseño se llevan a cabo para un periodo de retorno de diseño especificado. Los modelos de diseño pueden subclasificarse en modelos de diseño hidráulico y modelos de diseño de menor costo óptimo. Los modelos de diseño hidráulico varían desde el simple método racional hasta los modelos de simulación mucho más sofisticados basados en la solución de las ecuaciones de onda dinámica. Un ejemplo de un modelo de diseño hidráulico es el ILLUDAS (Illinois Urban Drainage Area Simulator), desarrollado por Terstriep y Stall (1974), el cual es muy popular en los Estados Unidos y en otros países. Este modelo es una extensión del modelo británico TRRL (Transportation and Road Research Laboratory) (Watkins, 1962) para incluir tanto hidrogramas de áreas pavimentadas como hidrogramas de zonas verdes. En la figura 15.2.4 se muestra un diagrama de flujo para el programa ILLUDAS. Los modelos de diseño de menor costo óptimo tienen como objetivo determinar la distribución del alcantarillado de aguas lluvias y los diámetros de tubería con el menor costo que conduzcan las aguas de tormenta en forma adecuada. Estos modelos están basados en técnicas de optimización como la programación lineal, la programación dinámica, la programación no lineal, las técnicas heurísticas o una combinación de todas éstas. La simulación del flujo a través de la red de alcantarillados se considera como una parte de la optimización. Uno de los modelos más completos de este tipo es un modelo de programación dinámica conocido como ILSD (Illinois Sewer Design) desarrollado por Yen, et al. (1976). Modelos de predicción de caudale~. Estos modelos simulan los caudales de tormenta en sistemas existentes con dimensiones geométricas conocidas o en sistemas propuestos con dimensiones geométricas predeterminadas. La mayor parte de los modelos de predicción simulan caudales para un evento de lluvia único, pero algunos de ellos pueden simular la respuesta a una secuencia de eventos. La simulación puede ser para eventos históricos, eventos en tiempo real o tormentas generadas en forma sintética. En la mayoría de los modelos se incluye al menos algo de simulación hidráulica. Los modelos pueden incluir o no la simulación de calidad del agua. El propósito de la simulación de un flujo puede ser verificar la suficiencia y el comportamiento de un sistema existente o propuesto para la mitigación de caudales y el control de la contaminación de agua, proveer información para el manejo de agua' de tormenta o formar parte de un sistema de control operacional en tiempo real. Una filosofía de diseño que está surgiendo consiste en utilizar ya sea métodos tradicionales (método racional) o métodos más avanzados de optimización para diseñar un sistema de alcanta,riilado para aguas lluvias, y luego verificar el diseño final utilizando una simulación hidráulica detallada y un análisis de costo. Un ejemplo de esta metodología es el procedimiento británico de diseño y análisis conocido como el Wallingford Storm Sewer Package (W ASSP; véase Price, 1981 ). Modelos de planeación. Estos modelos se utilizan para estudios generales de p1aneación de problemas de aguas lluvias, usualmente en un espacio relativamente grande y durante periodos relativamente largos. La cantidad y calidad del agua llu-
HIDROLOGÍA APLICADA
528 Hidrograma en RES4
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Tiempo (h) Hidrograma a la salida 2,400 2,000 1,600 '¡;j
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FIGURA 15.2.3
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Tiempo (h)
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al diseño de sistemas de alcantarillado de aguas lluvias pueden clasificarse como modelos de diseño, modelos de predicción de caudales y modelos de planeación.
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CRECffiNTES DE DISEÑO
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Hidrogramas de caudal en RES4 y en la salida (ejemplo 15.2.1). El plan 1 corresponde a las condiciones existentes, el plan 2 contiene la subcuenca 4 urbanizada y el plan 3 introduce un embalse y mejoras en el canal aguas abajo de la subcuenca 4.
Los hidrogramas de escorrentía resultantes a la salida de la subcuenca 4 y a la salida de toda la cuenca para cada uno de los 3 planes se muestran en la figura 15.2.3. El caudal pico en la subcuenca 4 bajo las condiciones existentes es 271 cfs y bajo las condiciones de urbanización es 909 cfs. El embalse de detención reduce el caudal pico a 482 cfs. La elevación pico de la superficie de agua en el embalse es 402.88 pies sobre el nivel medio del mar en el tiempo 12.67 h. Los caudales pico a la salida son 1 ,906 cfs para las condiciones existentes, 2,258 cfs para las condiciones urbanizadas y 2,105 cfs para condiciones urbanizadas con el embalse y las modificaciones del canal.
Modelos para el drenaje urbano de aguas lluvias Los primeros modelos de computador para el drenaje urbano de tormentas se desarrollaron durante los últimos años de la década de 1960 y desde ese momento se ha discutido una gran cantidad de ellos en la literatura técnica. Los modelos aplicables
Modelos de diseño. Estos modelos determinan las dimensiones geométricas de las alcantarillas de aguas lluvias (y de otras estructuras) para un sistema nuevo o una extensión o mejora de un sistema existente. Los cálculos de diseño se llevan a cabo para un periodo de retorno de diseño especificado. Los modelos de diseño pueden subclasificarse en modelos de diseño hidráulico y modelos de diseño de menor costo óptimo. Los modelos de diseño hidráulico varían desde el simple método racional hasta los modelos de simulación mucho más sofisticados basados en la solución de las ecuaciones de onda dinámica. Un ejemplo de un modelo de diseño hidráulico es el ILLUDAS (Illinois Urban Drainage Area Simulator), desarrollado por Terstriep y Stall (1974), el cual es muy popular en los Estados Unidos y en otros países. Este modelo es una extensión del modelo británico TRRL (Transportation and Road Research Laboratory) (Watkins, 1962) para incluir tanto hidrogramas de áreas pavimentadas como hidrogramas de zonas verdes. En la figura 15.2.4 se muestra un diagrama de flujo para el programa ILLUDAS. Los modelos de diseño de menor costo óptimo tienen como objetivo determinar la distribución del alcantarillado de aguas lluvias y los diámetros de tubería con el menor costo que conduzcan las aguas de tormenta en forma adecuada. Estos modelos están basados en técnicas de optimización como la programación lineal, la programación dinámica, la programación no lineal, las técnicas heurísticas o una combinación de todas éstas. La simulación del flujo a través de la red de alcantarillados se considera como una parte de la optimización. Uno de los modelos más completos de este tipo es un modelo de programación dinámica conocido como ILSD (Illinois Sewer Design) desarrollado por Yen, et al. (1976). Modelos de predicción de caudale~. Estos modelos simulan los caudales de tormenta en sistemas existentes con dimensiones geométricas conocidas o en sistemas propuestos con dimensiones geométricas predeterminadas. La mayor parte de los modelos de predicción simulan caudales para un evento de lluvia único, pero algunos de ellos pueden simular la respuesta a una secuencia de eventos. La simulación puede ser para eventos históricos, eventos en tiempo real o tormentas generadas en forma sintética. En la mayoría de los modelos se incluye al menos algo de simulación hidráulica. Los modelos pueden incluir o no la simulación de calidad del agua. El propósito de la simulación de un flujo puede ser verificar la suficiencia y el comportamiento de un sistema existente o propuesto para la mitigación de caudales y el control de la contaminación de agua, proveer información para el manejo de agua' de tormenta o formar parte de un sistema de control operacional en tiempo real. Una filosofía de diseño que está surgiendo consiste en utilizar ya sea métodos tradicionales (método racional) o métodos más avanzados de optimización para diseñar un sistema de alcanta,riilado para aguas lluvias, y luego verificar el diseño final utilizando una simulación hidráulica detallada y un análisis de costo. Un ejemplo de esta metodología es el procedimiento británico de diseño y análisis conocido como el Wallingford Storm Sewer Package (W ASSP; véase Price, 1981 ). Modelos de planeación. Estos modelos se utilizan para estudios generales de p1aneación de problemas de aguas lluvias, usualmente en un espacio relativamente grande y durante periodos relativamente largos. La cantidad y calidad del agua llu-
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HIDROLOGÍA APLICADA
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via se trata en forma bastante aproximada, considerando solamente la conservación de la masa del agua y de los contaminantes sin considerar la dinámica de su movimiento a través del sistema. Los modelos de planeación se emplean para tareas tales como estudios de calidad de agua y plantas de tratamiento. Estos no requieren información geométrica detallada de las estructuras de drenaje, como sí lo requieren los dos primeros grupos de modelos. Ejemplos típicos de modelos de planeación son: 1) STORM (Storage, Treatment, Overflow, Runoff Model), creado por el U. S. Army Corps of Engineers (1976); 2) SWMM (Storm Water Management Model), desarrollado por Metcalf y Eddy, .Inc., de la Universidad de Florida, y Water Resources Engineers, In c. (Metcalf y Eddy, 1971; U. S. Environmental Protection Agency, 1977); 3) RUNQUAL (Runoff Quality), el cual incluye la porción hidráulica del modelo SWMM RUNOFF y el modelo de calidad de agua en ríos QUAL-11 (Roesner, Giguere y Davis, 1977); 4) HSPF (Hydrocomp Simulation Program-Fortran), desarrollado por Johnson, et al. ( 1980), el cual es una versión modificada del Stanford Watershed Model; y 5) MITCAT (MIT Catchment Model), desarrollado por Harley, Perkins y Eagleson (1970). Combinar hidro gramas de áreas pavimentadas y de zonas verdes
15.3 ANÁLISIS DE PLANICIES DE INUNDACIÓN
Combinar otros hidrogramas tributarios hasta este punto
Diseño
Evaluación
Transitar el hidrograma hasta el siguiente punto de diseño
NO
SI
FIGURA 15.2.4 Diagrama de flujo para el modelo de drenaje de aguas urbanas ILLUDAS. (Fuente: Terstripel y Stall, 1974).
Una planicie o llanura de inundación es un área usualmente seca adyacente a ríos, cori"ientes, lagos, bahías, océanos, la cual se inunda durante eventos de crecientes. Las causas más comunes de inundación son las crecientes de corrientes y de ríos y las mareas anormalmente altas que resultan de tormentas severas. La planicie de inundación puede incluir el ancho total de valles angostos o áreas amplias localizadas a lo largo de ríos en valles amplios y planos. Tal como se muestra en la figura 15.3.1, el canal y la planicie de inundación son partes integrales de la conducción natural- de una corriente. La planicie de inundación mueve el caudal que excede la capacidad del canal y a medida que el caudal crece, aumenta el flujo sobre la planicie de inundación. El primer paso en cualquier análisis de una planicie de inundación es recolectar información, incluyendo mapas topográficos, información sobre flujos de creciente si existe alguna estación de aforo en las cercanías, información de lluvia si no existe información de caudales de crecientes y secciones transversales levantadas topográficamente y estimaciones de la rugosidad del canal en un cierto número de puntos a lo largo del lecho. Se requiere una determinación del caudal de creciente para el periodo de retorno deseado. Si existen registros de caudales de ríos, puede llevarse a cabo un análisis de frecuencia de caudales de crecientes. Si no hay registros de caudal disponibles, se debe llevar a cabo un análisis de lluvia-escorrentía con el fin de determinar el caudal de creciente. Se determina el hietograma de lluvia para el periodo de retorno deseado, se encuentra un hidrograma unitario sintético para cada subárea de la cuenca de drenaje y se calcula el hidrograma de escorrentía directa de cada subárea. Los hidrogramas de escorrentía directa de cada subárea se transitan aguas abajo y se suman para determinar el hidrograma de escorrentía directa total en la parte más baja de la cuenca de drenaje, tal como se ilustró en el ejemplo 15.2.1 para Castro Valley. El caudal pico del hidrograma del punto localizado en el extremo de aguas abajo se utiliza como el caudal de la creciente de diseño. Una vez que se ha determinado el caudal de creciente para el periodo de retorno deseado, el siguiente paso es determinar el perfil de la superficie de agua a lo
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via se trata en forma bastante aproximada, considerando solamente la conservación de la masa del agua y de los contaminantes sin considerar la dinámica de su movimiento a través del sistema. Los modelos de planeación se emplean para tareas tales como estudios de calidad de agua y plantas de tratamiento. Estos no requieren información geométrica detallada de las estructuras de drenaje, como sí lo requieren los dos primeros grupos de modelos. Ejemplos típicos de modelos de planeación son: 1) STORM (Storage, Treatment, Overflow, Runoff Model), creado por el U. S. Army Corps of Engineers (1976); 2) SWMM (Storm Water Management Model), desarrollado por Metcalf y Eddy, .Inc., de la Universidad de Florida, y Water Resources Engineers, In c. (Metcalf y Eddy, 1971; U. S. Environmental Protection Agency, 1977); 3) RUNQUAL (Runoff Quality), el cual incluye la porción hidráulica del modelo SWMM RUNOFF y el modelo de calidad de agua en ríos QUAL-11 (Roesner, Giguere y Davis, 1977); 4) HSPF (Hydrocomp Simulation Program-Fortran), desarrollado por Johnson, et al. ( 1980), el cual es una versión modificada del Stanford Watershed Model; y 5) MITCAT (MIT Catchment Model), desarrollado por Harley, Perkins y Eagleson (1970). Combinar hidro gramas de áreas pavimentadas y de zonas verdes
15.3 ANÁLISIS DE PLANICIES DE INUNDACIÓN
Combinar otros hidrogramas tributarios hasta este punto
Diseño
Evaluación
Transitar el hidrograma hasta el siguiente punto de diseño
NO
SI
FIGURA 15.2.4 Diagrama de flujo para el modelo de drenaje de aguas urbanas ILLUDAS. (Fuente: Terstripel y Stall, 1974).
Una planicie o llanura de inundación es un área usualmente seca adyacente a ríos, cori"ientes, lagos, bahías, océanos, la cual se inunda durante eventos de crecientes. Las causas más comunes de inundación son las crecientes de corrientes y de ríos y las mareas anormalmente altas que resultan de tormentas severas. La planicie de inundación puede incluir el ancho total de valles angostos o áreas amplias localizadas a lo largo de ríos en valles amplios y planos. Tal como se muestra en la figura 15.3.1, el canal y la planicie de inundación son partes integrales de la conducción natural- de una corriente. La planicie de inundación mueve el caudal que excede la capacidad del canal y a medida que el caudal crece, aumenta el flujo sobre la planicie de inundación. El primer paso en cualquier análisis de una planicie de inundación es recolectar información, incluyendo mapas topográficos, información sobre flujos de creciente si existe alguna estación de aforo en las cercanías, información de lluvia si no existe información de caudales de crecientes y secciones transversales levantadas topográficamente y estimaciones de la rugosidad del canal en un cierto número de puntos a lo largo del lecho. Se requiere una determinación del caudal de creciente para el periodo de retorno deseado. Si existen registros de caudales de ríos, puede llevarse a cabo un análisis de frecuencia de caudales de crecientes. Si no hay registros de caudal disponibles, se debe llevar a cabo un análisis de lluvia-escorrentía con el fin de determinar el caudal de creciente. Se determina el hietograma de lluvia para el periodo de retorno deseado, se encuentra un hidrograma unitario sintético para cada subárea de la cuenca de drenaje y se calcula el hidrograma de escorrentía directa de cada subárea. Los hidrogramas de escorrentía directa de cada subárea se transitan aguas abajo y se suman para determinar el hidrograma de escorrentía directa total en la parte más baja de la cuenca de drenaje, tal como se ilustró en el ejemplo 15.2.1 para Castro Valley. El caudal pico del hidrograma del punto localizado en el extremo de aguas abajo se utiliza como el caudal de la creciente de diseño. Una vez que se ha determinado el caudal de creciente para el periodo de retorno deseado, el siguiente paso es determinar el perfil de la superficie de agua a lo
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HIDROLOGÍA APLICADA
largo del canal. Este análisis puede llevarse a caho suponiendo flujo permanente, gradualmente variado, no uniforme, utilizando un· modelo unidimensional como el HEC-2 (U. S. Army Corps of Engineers, 1982), o un modelo bidimensional basado en diferencias finitas o elementos finitos (Lee y Bennett, 1981; Lee, et al., 1982; Mays y Taur, 1984). Los modelos unidimensionales solamente permiten que las propiedades de flujo varíen a lo largo del canal, mientras que los modelos bidimensionales también tienen en cuenta cambios a lo ancho, en la sección transversal. En forma opcional, puede llevarse a cabo un análisis de flujo no permanente con el fin de identificar la máxima elevación de la superficie del agua en diferentes secciones transversales durante la propagación de la onda de creciente a través del tramo del río, utilizando DAMBRK, DWOPER o FLDWA V, tal como se describió en el capítulo 1O. Los modelos de flujo no permanente son necesarios para la delineación de las planicies de inundación en grandes lagos, debido a que el almacenamiento en el lago altera la forma y el caudal pico del hidrograma de crecientes a medida que el flujo pasa a través de él. Secciones
1 Base de la falda"'-../----
A
1 1
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1
1
1/
Límite de la creciente / "'-... / de 100 años 1
1
1 1
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Límite de la creciente de ...._
1 /lo anos 1
1
1 1
1 1 1 1
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........
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Una vez que se han determinado las elevaciones de la superficie del agua, se delinea el área correspondiente a la planicie de inundación. La extensión lateral de la planicie de inundación se determina encontrando puntos en el terreno a ambos lados de la corriente que correspondan al perfil de la creciente (elevación de la superficie de agua). Las elevaciones del terreno en la planicie de inundación pueden determinarse por memo de mapas topográficos, mapas de calles o fotografías aéreas. Los mapas topográficos son los más convenientes, ya que las elevaciones están dadas por las líneas de nivel. La frontera de la planicie de inundación se determina siguiendo la línea de nivel que corresponde a la elevaéión del perfil de creciente para un área particular. Por supuesto que la delineación de la planicie de inundación es tan precisa como los mapas topográficos utilizados. Una vez determinados los niveles de creciente para un tramo particular de un río, la localización real de las fronteras de la planicie de inundación debe verificarse mediante trabajos topográficos de campo. Con el fin de generar un procedimiento nacional estándar, la U. S. Federal Emergency Management Agency {FEMA) ha adoptado la creciente de 100 años como la creciente base para tomar medidas de gestión de las planicies de inundación. La creciente de 500 años también se utiliza para indicar áreas adicionales con riesgos de inundaciones en la comunidad. Para cada río que se estudie en detalle, las fronteras de las crecientes de 100 y 500 años normalmente se delinean utilizando las elevaciones de crecientes determinadas para cada sección transversal. Entre las secciones transversales, las fronteras se interpolan utilizando mapas topográficos con una escala de 1:24,000 con un intervalo entre líneas de nivel de 10 ó 20 pies. En los casos en que las fronteras de las crecientes de 100 y 500 años están muy juntas, sólo se muestra la frontera correspondiente a 100 años. Las intrusiones en las planicies de inundación, tales como rellenos con materiales artificiales, reducen la capacidad de transporte de las crecientes, incrementan las alturas de crecientes los ríos e incrementan los riesgos de inundaciones en áreas más allá de dichos rellenos. Uno de los aspectos más importantes del manejo
en
Nivel de la superficie de agua de la creciente seleccionada con rellenos en las márgenes Margen de creciente
Vía de creciente
Margen de creciente
Incremento permitido
~ Perfiles Sección A Nivel de creciente de 100 años Nivel de creciente de 10 años "'-... __ ---
Sec-ció~ _ ~c~o==::l~~---
---
FIGURA 15.3.2 FIGURA 15.3.1 Secciones y perfiles típicos en un tramo del valle de una corriente sin obstrucciones. (Fuente: Waananen, et al., 1977. Utilizada con autorización).
Definición de la vía de creciente y el margen de creciente. El margen de creciente es el área entre el límite de creciente designado y el límite de la creciente seleccionada. El límite de la creciente se ?efine de tal manera que el uso del margen de creciente no incremente signific~tivamente la elevac~ó.n de la creciente. La creciente de 100 años es de uso común y en los Estados Umdos es normal permitir un incremento de un pie en dicha elevación.
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largo del canal. Este análisis puede llevarse a caho suponiendo flujo permanente, gradualmente variado, no uniforme, utilizando un· modelo unidimensional como el HEC-2 (U. S. Army Corps of Engineers, 1982), o un modelo bidimensional basado en diferencias finitas o elementos finitos (Lee y Bennett, 1981; Lee, et al., 1982; Mays y Taur, 1984). Los modelos unidimensionales solamente permiten que las propiedades de flujo varíen a lo largo del canal, mientras que los modelos bidimensionales también tienen en cuenta cambios a lo ancho, en la sección transversal. En forma opcional, puede llevarse a cabo un análisis de flujo no permanente con el fin de identificar la máxima elevación de la superficie del agua en diferentes secciones transversales durante la propagación de la onda de creciente a través del tramo del río, utilizando DAMBRK, DWOPER o FLDWA V, tal como se describió en el capítulo 1O. Los modelos de flujo no permanente son necesarios para la delineación de las planicies de inundación en grandes lagos, debido a que el almacenamiento en el lago altera la forma y el caudal pico del hidrograma de crecientes a medida que el flujo pasa a través de él. Secciones
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Una vez que se han determinado las elevaciones de la superficie del agua, se delinea el área correspondiente a la planicie de inundación. La extensión lateral de la planicie de inundación se determina encontrando puntos en el terreno a ambos lados de la corriente que correspondan al perfil de la creciente (elevación de la superficie de agua). Las elevaciones del terreno en la planicie de inundación pueden determinarse por memo de mapas topográficos, mapas de calles o fotografías aéreas. Los mapas topográficos son los más convenientes, ya que las elevaciones están dadas por las líneas de nivel. La frontera de la planicie de inundación se determina siguiendo la línea de nivel que corresponde a la elevaéión del perfil de creciente para un área particular. Por supuesto que la delineación de la planicie de inundación es tan precisa como los mapas topográficos utilizados. Una vez determinados los niveles de creciente para un tramo particular de un río, la localización real de las fronteras de la planicie de inundación debe verificarse mediante trabajos topográficos de campo. Con el fin de generar un procedimiento nacional estándar, la U. S. Federal Emergency Management Agency {FEMA) ha adoptado la creciente de 100 años como la creciente base para tomar medidas de gestión de las planicies de inundación. La creciente de 500 años también se utiliza para indicar áreas adicionales con riesgos de inundaciones en la comunidad. Para cada río que se estudie en detalle, las fronteras de las crecientes de 100 y 500 años normalmente se delinean utilizando las elevaciones de crecientes determinadas para cada sección transversal. Entre las secciones transversales, las fronteras se interpolan utilizando mapas topográficos con una escala de 1:24,000 con un intervalo entre líneas de nivel de 10 ó 20 pies. En los casos en que las fronteras de las crecientes de 100 y 500 años están muy juntas, sólo se muestra la frontera correspondiente a 100 años. Las intrusiones en las planicies de inundación, tales como rellenos con materiales artificiales, reducen la capacidad de transporte de las crecientes, incrementan las alturas de crecientes los ríos e incrementan los riesgos de inundaciones en áreas más allá de dichos rellenos. Uno de los aspectos más importantes del manejo
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Nivel de la superficie de agua de la creciente seleccionada con rellenos en las márgenes Margen de creciente
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FIGURA 15.3.2 FIGURA 15.3.1 Secciones y perfiles típicos en un tramo del valle de una corriente sin obstrucciones. (Fuente: Waananen, et al., 1977. Utilizada con autorización).
Definición de la vía de creciente y el margen de creciente. El margen de creciente es el área entre el límite de creciente designado y el límite de la creciente seleccionada. El límite de la creciente se ?efine de tal manera que el uso del margen de creciente no incremente signific~tivamente la elevac~ó.n de la creciente. La creciente de 100 años es de uso común y en los Estados Umdos es normal permitir un incremento de un pie en dicha elevación.
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de planicies de inundación, involucra el balance entre la ganancia económica de un desarrollo de la planicie de inundación contra el incremento resultante en el riesgo de inundación. Para propósitos de los estudios de la FEMA, el área ocupada por la creciente de 100 años se divide en vía de creciente y margen de creciente, tal como se muestra en la figura 15.3.2. La vía de creciente es el canal del río más cualquier área de la planicie de inundación adyacente que deba mantenerse libre de invasiones
--11155---Frontera de la creciente de \:\
Abscisa del río medida a lo
~ largo del canal aguas arriba de Dutton Landing
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con el fin de que la creciente de 100 años sea transitada sin incrementos sustanciales en las alturas de inundación. Los estándares mínimos de la FEMA permiten un incremento en la altura de inundación de un pie, siempre y cuando no se produzcan velocidades peligrosas. El margen de creciente es la porción en la planicie de inundación que puede ser completamente obstruida sin incrementos en la elevación de la superficie del agua superiores a 1.O pie en cualquier punto para la creciente de 100 años. Se han utilizado dos tipos de mapas de inundación, mapas de áreas propensas a inundación y mapas de riesgo de inundación. Los mapas de áreas propensas a inundación muestran las áreas que se inundarían debido a su proximidad a un río, corriente, bahía, océano, o cualquier otro cuerpo de agua como puede determinarse de información fácilmente disponible. Los mapas de riesgos de inundación como el de la figura 15.3.3 para Napa, California, muestran la extensión de las inundaciones determinadas a través de estudios técnicos de inundaciones en un lugar dado. Los mapas de riesgo de inundaciones se utilizan comúnmente en informes sobre planicies de inundación y requieren actualizaciones cuando ocurren cambios en los canales o en las planicies de inundación y en las áreas localizadas aguas arriba. Estos cambios incluyen modificaciones estructurales o modificaciones en canales o planicies de inundación en áreas localizadas aguas arriba. La construcción de nuevas edificaciones en las planicies de inundación, obstrucciones o cualquier otro cambio en el uso del suelo pueden afectar los caudales, las elevaciones de la superficie de agua y las velocidades de flujo, cambiando por consiguiente la elevación del perfil que define la planicie de inundación.
15.4 DISEÑO DE EMBALSES PARA EL CONTROL DE CRECIENTES
FIGURA 15.3.3 Mapa de amenaza de inundación para Napa, California. (Fuente: Waananen;et al., 1977. Utilizada con autorización).
La urbanización incrementa tanto el volumen como la velocidad de la escorrentía, por lo cual se han hecho esfuerzos en áreas urbapas para atenuar estos efectos. Los embalses de detención de aguas lluvias son uno de los medios utilizados para manejar las aguas de las tormentas. Un embalse de este tipo puede variar desde una simple estructura tal como el efecto de remanso aguas arriba de una alcantarilla de carretera hasta un embalse grande con mecanismos de control sofisticados. La detención es mantener la escorrentía por un periodo corto antes de devolverla a su curso de agua natural. Los términos "detención" y "retención" tienden a ser confundidos. La retención es mantener el agua en un sitio de almacenamiento durante un periodo considerable con propósitos estéticos, de consumo, para agricultura y otros. Puede que el agua nunca se descargue en un curso de agua natural y por el contrario sea consumida por plantas, evaporación o infiltración en el suelo. Las estructuras de detención generalmente no reducen en forma significativa el volumen total de la escorrentía superficial, sino que simplemente reducen las tasas de caudal pico redistribuyendo el hidrograma de caudal. Sin embargo, existen algunas excepciones: por ejemplo, el volumen de escorrentía superficial reducido de áreas trabajadas con movimientos de tierra y la escorrentía superficial reducida en embalses de detención en suelos granulares. La detención in situ del agua lluvia es el almacenamiento de la escorrentía cerca del sitio donde ocurre la precipitación. En algunas aplicaciones, la escorrentía puede conducirse primero pequeñas distancias mediante colectores adyacentes o localizados en el sitio donde se ubica la estructura de detención. La detención in situ
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CRECIENTES DE DISEÑO
de planicies de inundación, involucra el balance entre la ganancia económica de un desarrollo de la planicie de inundación contra el incremento resultante en el riesgo de inundación. Para propósitos de los estudios de la FEMA, el área ocupada por la creciente de 100 años se divide en vía de creciente y margen de creciente, tal como se muestra en la figura 15.3.2. La vía de creciente es el canal del río más cualquier área de la planicie de inundación adyacente que deba mantenerse libre de invasiones
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Abscisa del río medida a lo
~ largo del canal aguas arriba de Dutton Landing
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con el fin de que la creciente de 100 años sea transitada sin incrementos sustanciales en las alturas de inundación. Los estándares mínimos de la FEMA permiten un incremento en la altura de inundación de un pie, siempre y cuando no se produzcan velocidades peligrosas. El margen de creciente es la porción en la planicie de inundación que puede ser completamente obstruida sin incrementos en la elevación de la superficie del agua superiores a 1.O pie en cualquier punto para la creciente de 100 años. Se han utilizado dos tipos de mapas de inundación, mapas de áreas propensas a inundación y mapas de riesgo de inundación. Los mapas de áreas propensas a inundación muestran las áreas que se inundarían debido a su proximidad a un río, corriente, bahía, océano, o cualquier otro cuerpo de agua como puede determinarse de información fácilmente disponible. Los mapas de riesgos de inundación como el de la figura 15.3.3 para Napa, California, muestran la extensión de las inundaciones determinadas a través de estudios técnicos de inundaciones en un lugar dado. Los mapas de riesgo de inundaciones se utilizan comúnmente en informes sobre planicies de inundación y requieren actualizaciones cuando ocurren cambios en los canales o en las planicies de inundación y en las áreas localizadas aguas arriba. Estos cambios incluyen modificaciones estructurales o modificaciones en canales o planicies de inundación en áreas localizadas aguas arriba. La construcción de nuevas edificaciones en las planicies de inundación, obstrucciones o cualquier otro cambio en el uso del suelo pueden afectar los caudales, las elevaciones de la superficie de agua y las velocidades de flujo, cambiando por consiguiente la elevación del perfil que define la planicie de inundación.
15.4 DISEÑO DE EMBALSES PARA EL CONTROL DE CRECIENTES
FIGURA 15.3.3 Mapa de amenaza de inundación para Napa, California. (Fuente: Waananen;et al., 1977. Utilizada con autorización).
La urbanización incrementa tanto el volumen como la velocidad de la escorrentía, por lo cual se han hecho esfuerzos en áreas urbapas para atenuar estos efectos. Los embalses de detención de aguas lluvias son uno de los medios utilizados para manejar las aguas de las tormentas. Un embalse de este tipo puede variar desde una simple estructura tal como el efecto de remanso aguas arriba de una alcantarilla de carretera hasta un embalse grande con mecanismos de control sofisticados. La detención es mantener la escorrentía por un periodo corto antes de devolverla a su curso de agua natural. Los términos "detención" y "retención" tienden a ser confundidos. La retención es mantener el agua en un sitio de almacenamiento durante un periodo considerable con propósitos estéticos, de consumo, para agricultura y otros. Puede que el agua nunca se descargue en un curso de agua natural y por el contrario sea consumida por plantas, evaporación o infiltración en el suelo. Las estructuras de detención generalmente no reducen en forma significativa el volumen total de la escorrentía superficial, sino que simplemente reducen las tasas de caudal pico redistribuyendo el hidrograma de caudal. Sin embargo, existen algunas excepciones: por ejemplo, el volumen de escorrentía superficial reducido de áreas trabajadas con movimientos de tierra y la escorrentía superficial reducida en embalses de detención en suelos granulares. La detención in situ del agua lluvia es el almacenamiento de la escorrentía cerca del sitio donde ocurre la precipitación. En algunas aplicaciones, la escorrentía puede conducirse primero pequeñas distancias mediante colectores adyacentes o localizados en el sitio donde se ubica la estructura de detención. La detención in situ
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HIDROLOGÍA APLICADA
es diferente de la detención aguas abajo debido a su proximidad al extremo aguas arriba de la cuenca y al uso de estructuras de detención pequeñas en contraste con las presas grandes normalmente asociadas con la detención aguas abajo. El concepto de detener la escorrentía y liberarla a una tasa regulada es un principio importante en el manejo de aguas lluvias. En áreas que tienen un relieve topográfico apreciable, el almacenamiento por detención atenúa el pico de los caudales y la alta energía cinética de la escorrentía superficial. Esta atenuación del flujo puede reducir la erosión del suelo y la cantidad de contaminantes de diferentes clases asimilados y transportados por la escorrentía urbana desde el suelo, los pavimentos y otras superficies. Existen varios métodos para la detención de aguas lluvias, incluyendo el almacenamiento subterráneo, el almacenamiento en embalses y estanques, el almacenamiento en parqueaderos y la detención en tejados y cubiertas. Varias consideraciones se hallan involucradas en el diseño para la detención de aguas lluvias. Éstas son: 1) la selección de un evento de lluvia de diseño, 2) el volumen de almacenamiento necesario, 3) la tasa de liberación máxima permitida, 4) los requerimientos y oportunidades para el control de contaminación, y 5) los diseños de las estructuras de salida para la liberación del agua detenida. Modelos de simulación de flujo tales como el HEC-1 pueden utilizarse para llevar el tránsito a través de embalses y verificar la suficiencia de los diseños de embalses de detención. El área inundada hipotética mostrada en la figura 15.4.1 sirve como ejemplo de un estanque de detención. La figura 15.4.2 muestra una comparación de los hidrogramas de caudal de salida para este estanque de detención con los correspondientes hidrogramas de entrada para varios volúmenes de flujo. En todos los casos, el estanque de detención reduce el caudal pico de creciente en una forma menor cuando el volumen de escorrentía es más grande que cuando es pequeño.
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CRECIENTES DE DISEÑO
1,000 Pico de entrada = 1,000 cfs Pico de salida = 401 cfs Volumen de entrada= 29.00 acre . pie
800
Pico de entrada = 1,000 cfs Pico de salida = 4 71 cfs Volumen de entrada = 54.21 acre. pie
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''
'
\
\
\
200
, ''
'\
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o
......
\
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'
o
20 40 60 80 Tiempo (min)
20
40
60 80 100 120 140 160 Tiempo (min)
1,000 Pico de entrada = 1,000 cfs Pico de salida= 538 cfs Volumen de entrada = 101.26 acre . pie
800
Hidrograma de entrada Hidrograma de salida
600
200
E
e h w
e
área de encharcamiento terraplén culvert altura longitud ancho ángulo utilizado en la determinación de la pendiente
FIGURA 15.4.1 Representación esquemática del área de encharcamiento en forma de cuña a la salida de un box-culvert. (Fuente: Craig y Rankl, 1978. Utilizada con autorización).
o
20
40
60
80
100 120 140 160 180 200 220 240 Tiempo (min)
FIGURA 15.4.2 Comparación entre los hidrogramas de entrada y salida para un embalse de detención. Los picos de entrada siempre son 1,000 cfs; sin embargo, los volúmenes de entrada varían. El área de encharcamiento es un almacenamiento hipotético en forma de cuña (véase la figura 1~.4.1), y un box-culvert de 4 x 4 pies es la salida. El ancho del charco es 60 pies con una pendiente de 0.02 pies/pie. El flujo con el mayor volumen causa la mayor tasa de flujo de salida desde el charco. (Fuente: Craig y Rankl, 1978. Utilizada con autorización).
536
HIDROLOGÍA APLICADA
es diferente de la detención aguas abajo debido a su proximidad al extremo aguas arriba de la cuenca y al uso de estructuras de detención pequeñas en contraste con las presas grandes normalmente asociadas con la detención aguas abajo. El concepto de detener la escorrentía y liberarla a una tasa regulada es un principio importante en el manejo de aguas lluvias. En áreas que tienen un relieve topográfico apreciable, el almacenamiento por detención atenúa el pico de los caudales y la alta energía cinética de la escorrentía superficial. Esta atenuación del flujo puede reducir la erosión del suelo y la cantidad de contaminantes de diferentes clases asimilados y transportados por la escorrentía urbana desde el suelo, los pavimentos y otras superficies. Existen varios métodos para la detención de aguas lluvias, incluyendo el almacenamiento subterráneo, el almacenamiento en embalses y estanques, el almacenamiento en parqueaderos y la detención en tejados y cubiertas. Varias consideraciones se hallan involucradas en el diseño para la detención de aguas lluvias. Éstas son: 1) la selección de un evento de lluvia de diseño, 2) el volumen de almacenamiento necesario, 3) la tasa de liberación máxima permitida, 4) los requerimientos y oportunidades para el control de contaminación, y 5) los diseños de las estructuras de salida para la liberación del agua detenida. Modelos de simulación de flujo tales como el HEC-1 pueden utilizarse para llevar el tránsito a través de embalses y verificar la suficiencia de los diseños de embalses de detención. El área inundada hipotética mostrada en la figura 15.4.1 sirve como ejemplo de un estanque de detención. La figura 15.4.2 muestra una comparación de los hidrogramas de caudal de salida para este estanque de detención con los correspondientes hidrogramas de entrada para varios volúmenes de flujo. En todos los casos, el estanque de detención reduce el caudal pico de creciente en una forma menor cuando el volumen de escorrentía es más grande que cuando es pequeño.
537
CRECIENTES DE DISEÑO
1,000 Pico de entrada = 1,000 cfs Pico de salida = 401 cfs Volumen de entrada= 29.00 acre . pie
800
Pico de entrada = 1,000 cfs Pico de salida = 4 71 cfs Volumen de entrada = 54.21 acre. pie
600
''
'
\
\
\
200
, ''
'\
\
\
\ \ \
\
o
......
\
\
\
'
o
20 40 60 80 Tiempo (min)
20
40
60 80 100 120 140 160 Tiempo (min)
1,000 Pico de entrada = 1,000 cfs Pico de salida= 538 cfs Volumen de entrada = 101.26 acre . pie
800
Hidrograma de entrada Hidrograma de salida
600
200
E
e h w
e
área de encharcamiento terraplén culvert altura longitud ancho ángulo utilizado en la determinación de la pendiente
FIGURA 15.4.1 Representación esquemática del área de encharcamiento en forma de cuña a la salida de un box-culvert. (Fuente: Craig y Rankl, 1978. Utilizada con autorización).
o
20
40
60
80
100 120 140 160 180 200 220 240 Tiempo (min)
FIGURA 15.4.2 Comparación entre los hidrogramas de entrada y salida para un embalse de detención. Los picos de entrada siempre son 1,000 cfs; sin embargo, los volúmenes de entrada varían. El área de encharcamiento es un almacenamiento hipotético en forma de cuña (véase la figura 1~.4.1), y un box-culvert de 4 x 4 pies es la salida. El ancho del charco es 60 pies con una pendiente de 0.02 pies/pie. El flujo con el mayor volumen causa la mayor tasa de flujo de salida desde el charco. (Fuente: Craig y Rankl, 1978. Utilizada con autorización).
538
HIDROLOGÍA APLICADA
539
CRECIENTES DE DISEÑO
Método racional modificado El método racional modificado es una extensión del método racional para lluvias con duración mayor que el tiempo de concentración. Este método fue desarrollado de tal manera que los conceptos del método racional pudieran usarse para determinar los hidrogramas utilizables en el diseño de almacenamientos, en lugar de solamente caudales picos de crecientes para el diseño de alcantarillados de aguas lluvias. El método racional modificado puede utilizarse para el diseño preliminar de almacenamientos de detención en cuencas con áreas de hasta 20 ó 30 acres. La forma del hidrograma producido por el método racional modificado es un trapecio, el cual se construye ajustando la duración de las ramas de aumento y de recesión del hidrograma hasta hacerlas iguales al tiempo de concentración te, y calculando el caudal pico, suponiendo varias duraciones de lluvia. La figura 15.4.3 muestra hidrogramas del método racional modificado determinados para una cuenca de drenaje con un tiempo de concentración de 10 minutos sujeta a lluvias de varias duraciones mayores de 10 minutos. Por ejemplo, considér~se el trapecio más alto de la figura. La duración de la lluvia es Td = 20 min, y la correspondiente intensidad de lluvia i se utiliza en la fórmula racional (15.1.1) para calcular el caudal pico. El hidrograma aumenta en forma lineal hasta este caudal en el tiempo de concentración
(10 minutos), es constante hasta que la lluvia cesa (20 minutos) y luego recede linealmente hasta cero a los 30 minutos. Los hidrogramas para lluvias de mayor duración tienen unos caudales pico menores, debido a que sus intensidades de lluvia también son menores. Si se conoce un caudal permisible de salida en un embalse de detención propuesto, tal como del requerimiento de que el caudal de salida pico del embalse de detención no sea mayor que el caudal pico del área con las condiciones antes del desarrollo, entonces el almacenamiento de detención requerido para cada duración de lluvia puede aproximarse como el área del hidrograma trapezoidal por encima del caudal permitido. Calculando el almacenamiento para hidrogramas de lluvias con diferentes duraciones, el hidrólogo puede determinar la duración crítica para la tormenta de diseño como aquella que requiere el mayor volumen de detención. Esta duración crítica también puede determinarse analíticamente. La figura 15.4.4. es una representación de los hidrogramas de caudal de entrada y de salida para el diseño de un embalse de detención. En esta figura, a es la relación entre el caudal pico antes del desarrollo QA (o caudal pico del embalse de detención) y el caudal pico después del desarrollo Qp: (15.4.1)
-8
~-~ B
&~ ~ ~
E u~ c.. ., o ·o .... E-< u c.. 1
r
60
1
·yd = 10 mmutos .
1 1
50
1 1
Hidrograma de entrada ..---(condiciones de desarrollo)
1
~
40
3
01
30 Hidro grama de salida - - - - - (volumen = V,) 20
10
o
10
20 30 Tiempo (min)
40
YT,
50
Tiempo
FIGURA 15.4.3
FIGURA 15.4.4
Hidrogramas típicos de escorrentía de aguas lluvias para el método racional modificado con diferentes duraciones de lluvia.
Hidrogramas de entrada y salida para el diseño de embalses de detención. El hidrograma de salida está basado en el hidrograma de entrada con las condiciones antes del desarrollo o en otro criterio de flujo de salida más restrictivo. (Fuente: Donahue, McCuen y Bondelid, 1981. Utilizada con autorización).
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HIDROLOGÍA APLICADA
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CRECIENTES DE DISEÑO
Método racional modificado El método racional modificado es una extensión del método racional para lluvias con duración mayor que el tiempo de concentración. Este método fue desarrollado de tal manera que los conceptos del método racional pudieran usarse para determinar los hidrogramas utilizables en el diseño de almacenamientos, en lugar de solamente caudales picos de crecientes para el diseño de alcantarillados de aguas lluvias. El método racional modificado puede utilizarse para el diseño preliminar de almacenamientos de detención en cuencas con áreas de hasta 20 ó 30 acres. La forma del hidrograma producido por el método racional modificado es un trapecio, el cual se construye ajustando la duración de las ramas de aumento y de recesión del hidrograma hasta hacerlas iguales al tiempo de concentración te, y calculando el caudal pico, suponiendo varias duraciones de lluvia. La figura 15.4.3 muestra hidrogramas del método racional modificado determinados para una cuenca de drenaje con un tiempo de concentración de 10 minutos sujeta a lluvias de varias duraciones mayores de 10 minutos. Por ejemplo, considér~se el trapecio más alto de la figura. La duración de la lluvia es Td = 20 min, y la correspondiente intensidad de lluvia i se utiliza en la fórmula racional (15.1.1) para calcular el caudal pico. El hidrograma aumenta en forma lineal hasta este caudal en el tiempo de concentración
(10 minutos), es constante hasta que la lluvia cesa (20 minutos) y luego recede linealmente hasta cero a los 30 minutos. Los hidrogramas para lluvias de mayor duración tienen unos caudales pico menores, debido a que sus intensidades de lluvia también son menores. Si se conoce un caudal permisible de salida en un embalse de detención propuesto, tal como del requerimiento de que el caudal de salida pico del embalse de detención no sea mayor que el caudal pico del área con las condiciones antes del desarrollo, entonces el almacenamiento de detención requerido para cada duración de lluvia puede aproximarse como el área del hidrograma trapezoidal por encima del caudal permitido. Calculando el almacenamiento para hidrogramas de lluvias con diferentes duraciones, el hidrólogo puede determinar la duración crítica para la tormenta de diseño como aquella que requiere el mayor volumen de detención. Esta duración crítica también puede determinarse analíticamente. La figura 15.4.4. es una representación de los hidrogramas de caudal de entrada y de salida para el diseño de un embalse de detención. En esta figura, a es la relación entre el caudal pico antes del desarrollo QA (o caudal pico del embalse de detención) y el caudal pico después del desarrollo Qp: (15.4.1)
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~-~ B
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E u~ c.. ., o ·o .... E-< u c.. 1
r
60
1
·yd = 10 mmutos .
1 1
50
1 1
Hidrograma de entrada ..---(condiciones de desarrollo)
1
~
40
3
01
30 Hidro grama de salida - - - - - (volumen = V,) 20
10
o
10
20 30 Tiempo (min)
40
YT,
50
Tiempo
FIGURA 15.4.3
FIGURA 15.4.4
Hidrogramas típicos de escorrentía de aguas lluvias para el método racional modificado con diferentes duraciones de lluvia.
Hidrogramas de entrada y salida para el diseño de embalses de detención. El hidrograma de salida está basado en el hidrograma de entrada con las condiciones antes del desarrollo o en otro criterio de flujo de salida más restrictivo. (Fuente: Donahue, McCuen y Bondelid, 1981. Utilizada con autorización).
540
HIDROLOGÍA APLICADA
La relación de los tiempos hasta el pico de los dos hidrogramas es y. Vr es el volumen de escorrentía después del desarrollo. El volumen del almacenamiento Vs necesario en el embalse es el volumen acumulado de entrada menos el caudal de salida durante el periodo en el cual el caudal de entrada es mayor que el caudal de salida como se muestra mediante el área sombreada en la figura. Utilizando la geometría de los hidrogramas trapezoidales, puede determinarse la relación entre el volumen de almacenamiento y el volumen de escorrentía, Vs!Vr (Donahue, McCuen y Bondelid, 1981):
a)]
Vs [ T. ( y + -=1-al+~l---
Td
Vr
2
(15.4.2)
donde Td es la duración de la precipitación y Tp es el tiempo hasta el pico del hidrograma ·de caudal de entrada.
541
CRECIENTES DE DISEÑO
donde se ha supuesto que QA,Tp y y son constantes. Resolviendo para Td,
(15.4.7)
El tiempo hasta el pico TP se hace igual al tiempo de concentración. Ejemplo 15.4.1 Determine la duración crítica Td (es decir, aquella que requiere el máximo almacenamiento de detención) para una cuenca de 25 acres con un coeficiente de escorrentía de desarrollo C = 0.825. El caudal permitido es igual a 18 cfs, el caudal antes del desarrollo. El tiempo de concentración para las condiciones de desarrollo es 20 min y para las condiciones sin desarrollo es 40 min. La relación intensidad de lluvia-duración aplicable es
Considérese una relación entre intensidad de lluvia-duración de la forma:
.
i
a
(15.4.3)
¡=---
Td
+b
96.6 + 13.9
= ----
Td
Soluci6n. La duración crítica se encuentra al utilizar la ecuación (15.4.7):
donde i es la intensidad de la lluvia y a y b son coeficientes. El volumen de escorrentía después del desarrollo es igual al volumen bajo el hidro grama de entrada:
Td =
(15.4.4)
(
El volumen de almacenamiento se determina sustituyendo (15.4.4) en (15.4.2) y reordenando para obtener (15.4.5)
(13.9)(0.825)(25.0)(96.6) (18) 2(20)
U2
_
_ 13 9
)
=27.23 min Ejemplo 15.4.2 Determine el máximo almacenamiento de detención para la cuenca descrita en el ejemplo 15.4.1 si y = 40/20 = 2. Soluci6n. El caudal pico para la duración de 27.23 mines
(15.4.6) Q P
donde a se ha reemplazado por QA/Qp. La duración que produce la máxima detención se determina sustituyendo Qp = CiA = CAa!(Td + b), después diferenciando (15.4.6) con respecto a Tdy haciendoque la derivada sea igual a cero:
=CA(-a + ) Td
b
82 2 ( 96.6 ) -(O. 5)( 5) 27.23 + 13.9 =48.44 cfs Utilizando la ecuación (15.4.6),
dVs dTd
=
O=T ~ d dTd
+ Q _ Q + Q~Tp[d(l/Qp)] p
A
2
dTd
- TdCAa CA a Q~ Tp (Td + b) 2 + Td + b - QA + 2CAa bCAa (Td + b) 2
Q~Tp -
QA
+ 2CAa
V.=(27.23)(48.44)- (18)(27.23)- (18)(20)
+ (18)(20)(~) +
(1 8 )~( 20) 48~44
= 895.77 cfs · m in x 60 s/min = 53,746 pies 3
Como comparación, de (15.4.4), V,= QpTd = 48.44 x 27.23 = 1,319 cfs·min = 79,140 pies', luego V_,! V, = 53,746179, 140 = O. 68. Luego el embalse de detención almacenará el 68% de su hidrograma de caudal de entrada para este ejemplo.
540
HIDROLOGÍA APLICADA
La relación de los tiempos hasta el pico de los dos hidrogramas es y. Vr es el volumen de escorrentía después del desarrollo. El volumen del almacenamiento Vs necesario en el embalse es el volumen acumulado de entrada menos el caudal de salida durante el periodo en el cual el caudal de entrada es mayor que el caudal de salida como se muestra mediante el área sombreada en la figura. Utilizando la geometría de los hidrogramas trapezoidales, puede determinarse la relación entre el volumen de almacenamiento y el volumen de escorrentía, Vs!Vr (Donahue, McCuen y Bondelid, 1981):
a)]
Vs [ T. ( y + -=1-al+~l---
Td
Vr
2
(15.4.2)
donde Td es la duración de la precipitación y Tp es el tiempo hasta el pico del hidrograma ·de caudal de entrada.
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CRECIENTES DE DISEÑO
donde se ha supuesto que QA,Tp y y son constantes. Resolviendo para Td,
(15.4.7)
El tiempo hasta el pico TP se hace igual al tiempo de concentración. Ejemplo 15.4.1 Determine la duración crítica Td (es decir, aquella que requiere el máximo almacenamiento de detención) para una cuenca de 25 acres con un coeficiente de escorrentía de desarrollo C = 0.825. El caudal permitido es igual a 18 cfs, el caudal antes del desarrollo. El tiempo de concentración para las condiciones de desarrollo es 20 min y para las condiciones sin desarrollo es 40 min. La relación intensidad de lluvia-duración aplicable es
Considérese una relación entre intensidad de lluvia-duración de la forma:
.
i
a
(15.4.3)
¡=---
Td
+b
96.6 + 13.9
= ----
Td
Soluci6n. La duración crítica se encuentra al utilizar la ecuación (15.4.7):
donde i es la intensidad de la lluvia y a y b son coeficientes. El volumen de escorrentía después del desarrollo es igual al volumen bajo el hidro grama de entrada:
Td =
(15.4.4)
(
El volumen de almacenamiento se determina sustituyendo (15.4.4) en (15.4.2) y reordenando para obtener (15.4.5)
(13.9)(0.825)(25.0)(96.6) (18) 2(20)
U2
_
_ 13 9
)
=27.23 min Ejemplo 15.4.2 Determine el máximo almacenamiento de detención para la cuenca descrita en el ejemplo 15.4.1 si y = 40/20 = 2. Soluci6n. El caudal pico para la duración de 27.23 mines
(15.4.6) Q P
donde a se ha reemplazado por QA/Qp. La duración que produce la máxima detención se determina sustituyendo Qp = CiA = CAa!(Td + b), después diferenciando (15.4.6) con respecto a Tdy haciendoque la derivada sea igual a cero:
=CA(-a + ) Td
b
82 2 ( 96.6 ) -(O. 5)( 5) 27.23 + 13.9 =48.44 cfs Utilizando la ecuación (15.4.6),
dVs dTd
=
O=T ~ d dTd
+ Q _ Q + Q~Tp[d(l/Qp)] p
A
2
dTd
- TdCAa CA a Q~ Tp (Td + b) 2 + Td + b - QA + 2CAa bCAa (Td + b) 2
Q~Tp -
QA
+ 2CAa
V.=(27.23)(48.44)- (18)(27.23)- (18)(20)
+ (18)(20)(~) +
(1 8 )~( 20) 48~44
= 895.77 cfs · m in x 60 s/min = 53,746 pies 3
Como comparación, de (15.4.4), V,= QpTd = 48.44 x 27.23 = 1,319 cfs·min = 79,140 pies', luego V_,! V, = 53,746179, 140 = O. 68. Luego el embalse de detención almacenará el 68% de su hidrograma de caudal de entrada para este ejemplo.
HIDROLOGÍA APLICADA
542
CRECIENTES DE DISEÑO
15.5 PRONÓSTICO DE CRECIENTES El pronóstico de.crecientes es un área en expansión para la aplicación de las técnicas hidrológicas. 'El objetivo es obtener información en tiempo real de precipitación y caudales a trav~s de una red de microondas, r~dio o comunicacione_s v.ía satélite, utilizar dicha información en programas de lluv1a-escorrentía y de transito de caudales y pronosticar los caudales de crecientes y los niveles de agua para periodos desde unas pocas horas hasta unos pocos días en el futuro, dependiendo del tamaño de la cuenca. Los pronósticos de crecientes se utilizan para alertar a la población con el fin de evacuar áreas con amenaza de inundación y para ayudar al personal encargado del manejo de aguas en la operación de estructuras para el control de inundaciones, tales como vertederos con compuertas en embalses. Los sistemas de recolección de información utilizados en el pronóstico de crecientes se describieron en el capítulo 6. Los componentes implicados en un modelo de pronósticos de crecientes en un sistema con embalses grandes pueden ilustrarse utilizando el modelo desarrollado en la Universidad de Texas, en Austin, para el sistema de embalses de Highland Lakes en el bajo río Colorado, en Texas central (figura 15 .5.1; véase Un ver, Mays y Lansey, 1987). Este sistema se caracteriza por la operación integral de varios embalses con objetivos múltiples. La porción de la cuenca del río controlada por la Lower Colorado River Authority (LCRA) se extiende desde la parte de aguas arriba
1
1
Presa Buchanan (Lago Buchanan) Presa Inks (Lago Inks) Presa Starcke (Lago Marble Falls) Presa Mansfield (Lago Travis) -~--">..P_r_esa Tom Miller (Lago Austin) Presa Longhom (Lago Town)
FIGURA 15.5.1 Cuenca del bajo río Colorado. (Fuente: Unver, Mays y Lansey, 1987).
México
543
del lago Buchanan hasta la desembocadura del río Colorado en el Golfo de México. El sistema Highland Lakes está compuesto por siete embalses conectados en serie. El desarrollo urbano en la planicie de inundación en Highland Lakes ha restringido el rango de operación de los embalses durante las crecientes. Por ejemplo, el diseño original del lago Travis en 1930 permitía la evacuación de 90,000 cfs durante condiciones severas de inundación. La construcción subsiguiente en la planicie de inundación aguas abajo del lago ha reducido los caudales de evacuación seguros (sin inundación) a menos de 30,000 cfs. La operación para el control de crecientes en Highland Lakes se ha complicado debido a que solamente dos de los lagos, Buchanan y Travis, pueden almacenar volúmenes significativos durante crecientes. Los otros lagos se mantienen con un nivel constante durante su operación normal. El modelo para el pronóstico de crecientes en el sistema Highland Lakes puede utilizarse en tiempo real con el fin de tomar decisiones sobre la operación de los embalses durante eventos de creciente. Este modelo es un programa integrado de computador con componentes para el tránsito de crecientes, para la modelación llu· via-escorrentía y para la presentación gráfica, el cual es controlado por un software interactivo. Los datos de entrada al modelo incluyen información automatizada en tiempo real de precipitación y caudales tomados en varios lugares en la cuenca tal como se mostró en el capítulo 6. En la figura 15.5.2 se muestra la estructura general del modelo. La información en tiempo real se introduce al modelo por medio de la red de recolección de información. El módulo para el control de crecientes en tiempo real incluye los siguientes submódulos: 1) un submódulo DWOPER, es decir el U. S. National Weather Service Dynamic Wave Operational Model para tránsito de flujo no permanente; 2) un submódulo GATES, que determina la información de operación de compuertas para DWOPER, tal comp el caudal a través de la compuerta como una función de la cabeza aguas arriba dé ésta; 3) un submódulo RAINFALL-RUNOFF, el cual es un modelo de lluvia-escorrentía del tipo ses para el área de drenaje no instrumentada que rodea los lagos para los cuales no existe información disponible de caudales; 4) un submódulo DISPLAY, el cual contiene el software para la presentación gráfica; y 5) un submódulo OPERATIONS, el cual es el software de control del usuario que opera interactivamente los otros submódulos y los archivos de información. Los datos de entrada a este modelo de pronóstico de crecientes incluyen la información en tiempo real y la descripción física de los componentes del sistema que permanecen sin cambio durante una creciente. La información física incluye: 1) información del DWOPER que describe la información sobre las secciones transversales del río, las relaciones de rugosidad, y así sucesivamente; 2) las características de las estructuras de vertimientos de los embalses para GATES; y 3) la descripción del área de drenaje y los estimativos de los parámetros hidrológicos para RAINFALL-RUNOFF. El sistema río-lago completo contiene 871 secciones transversales para DWOPER. Está dividido en cinco subsistemas debido a que no es usualmente necesario utilizar el modelo de escorrentía para el sistema completo, ya que las crecientes tienden a estar localizadas en uno o dos de los subsistemas. La información en tiempo real incluye: 1) información de caudales en cada una de las estaciones automatizadas y las elevaciones de aguas arriba y aguas abajo en cada presa; 2) información de precipitación en las estaciones de registro; 3) información acerca de cuál subsistema de lagos y embalses debe considerarse en el tránsito; y 4) operaciones de los embalses.
HIDROLOGÍA APLICADA
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CRECIENTES DE DISEÑO
15.5 PRONÓSTICO DE CRECIENTES El pronóstico de.crecientes es un área en expansión para la aplicación de las técnicas hidrológicas. 'El objetivo es obtener información en tiempo real de precipitación y caudales a trav~s de una red de microondas, r~dio o comunicacione_s v.ía satélite, utilizar dicha información en programas de lluv1a-escorrentía y de transito de caudales y pronosticar los caudales de crecientes y los niveles de agua para periodos desde unas pocas horas hasta unos pocos días en el futuro, dependiendo del tamaño de la cuenca. Los pronósticos de crecientes se utilizan para alertar a la población con el fin de evacuar áreas con amenaza de inundación y para ayudar al personal encargado del manejo de aguas en la operación de estructuras para el control de inundaciones, tales como vertederos con compuertas en embalses. Los sistemas de recolección de información utilizados en el pronóstico de crecientes se describieron en el capítulo 6. Los componentes implicados en un modelo de pronósticos de crecientes en un sistema con embalses grandes pueden ilustrarse utilizando el modelo desarrollado en la Universidad de Texas, en Austin, para el sistema de embalses de Highland Lakes en el bajo río Colorado, en Texas central (figura 15 .5.1; véase Un ver, Mays y Lansey, 1987). Este sistema se caracteriza por la operación integral de varios embalses con objetivos múltiples. La porción de la cuenca del río controlada por la Lower Colorado River Authority (LCRA) se extiende desde la parte de aguas arriba
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Presa Buchanan (Lago Buchanan) Presa Inks (Lago Inks) Presa Starcke (Lago Marble Falls) Presa Mansfield (Lago Travis) -~--">..P_r_esa Tom Miller (Lago Austin) Presa Longhom (Lago Town)
FIGURA 15.5.1 Cuenca del bajo río Colorado. (Fuente: Unver, Mays y Lansey, 1987).
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del lago Buchanan hasta la desembocadura del río Colorado en el Golfo de México. El sistema Highland Lakes está compuesto por siete embalses conectados en serie. El desarrollo urbano en la planicie de inundación en Highland Lakes ha restringido el rango de operación de los embalses durante las crecientes. Por ejemplo, el diseño original del lago Travis en 1930 permitía la evacuación de 90,000 cfs durante condiciones severas de inundación. La construcción subsiguiente en la planicie de inundación aguas abajo del lago ha reducido los caudales de evacuación seguros (sin inundación) a menos de 30,000 cfs. La operación para el control de crecientes en Highland Lakes se ha complicado debido a que solamente dos de los lagos, Buchanan y Travis, pueden almacenar volúmenes significativos durante crecientes. Los otros lagos se mantienen con un nivel constante durante su operación normal. El modelo para el pronóstico de crecientes en el sistema Highland Lakes puede utilizarse en tiempo real con el fin de tomar decisiones sobre la operación de los embalses durante eventos de creciente. Este modelo es un programa integrado de computador con componentes para el tránsito de crecientes, para la modelación llu· via-escorrentía y para la presentación gráfica, el cual es controlado por un software interactivo. Los datos de entrada al modelo incluyen información automatizada en tiempo real de precipitación y caudales tomados en varios lugares en la cuenca tal como se mostró en el capítulo 6. En la figura 15.5.2 se muestra la estructura general del modelo. La información en tiempo real se introduce al modelo por medio de la red de recolección de información. El módulo para el control de crecientes en tiempo real incluye los siguientes submódulos: 1) un submódulo DWOPER, es decir el U. S. National Weather Service Dynamic Wave Operational Model para tránsito de flujo no permanente; 2) un submódulo GATES, que determina la información de operación de compuertas para DWOPER, tal comp el caudal a través de la compuerta como una función de la cabeza aguas arriba dé ésta; 3) un submódulo RAINFALL-RUNOFF, el cual es un modelo de lluvia-escorrentía del tipo ses para el área de drenaje no instrumentada que rodea los lagos para los cuales no existe información disponible de caudales; 4) un submódulo DISPLAY, el cual contiene el software para la presentación gráfica; y 5) un submódulo OPERATIONS, el cual es el software de control del usuario que opera interactivamente los otros submódulos y los archivos de información. Los datos de entrada a este modelo de pronóstico de crecientes incluyen la información en tiempo real y la descripción física de los componentes del sistema que permanecen sin cambio durante una creciente. La información física incluye: 1) información del DWOPER que describe la información sobre las secciones transversales del río, las relaciones de rugosidad, y así sucesivamente; 2) las características de las estructuras de vertimientos de los embalses para GATES; y 3) la descripción del área de drenaje y los estimativos de los parámetros hidrológicos para RAINFALL-RUNOFF. El sistema río-lago completo contiene 871 secciones transversales para DWOPER. Está dividido en cinco subsistemas debido a que no es usualmente necesario utilizar el modelo de escorrentía para el sistema completo, ya que las crecientes tienden a estar localizadas en uno o dos de los subsistemas. La información en tiempo real incluye: 1) información de caudales en cada una de las estaciones automatizadas y las elevaciones de aguas arriba y aguas abajo en cada presa; 2) información de precipitación en las estaciones de registro; 3) información acerca de cuál subsistema de lagos y embalses debe considerarse en el tránsito; y 4) operaciones de los embalses.
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HIDROLOGÍA APLICADA
CRECIENTES DE DISEÑO
15.6 DISEÑO PARA USO DE AGUA
545
Las variables primordiales que deben determinarse en un diseño de embalse para el suministro de agua son la localización y la altura de la presa, la elevación y la capacidad del vertedero, y la capacidad y el modo de operación de las estructuras de descarga. Dos variables hidrológicas son supremamente importantes: la capacidad de almacenamiento en el embalse y el caudal firme, o descarga de agua promedio anual a través de la presa fi_Ue pueda garantizarse utilizando un análisis de la información histórica. Puede existir un alto grado de incertidumbre, en el caudal firme, especialmente para un periodo histórico corto. Naturalmente, la capacidad de almacenamiento y el caudal firme están interconectados, debido a que a mayor almacenamiento mayor es el caudal firme, con el límite de que el caudal firme no puede ser mayor que el caudal medio anual de entrada al embalse. Un embalse puede ser una estructura con propósito único, tal como la de suministro de agua o control de inundaciones, o puede ser un embalse con propósitos múltiples, en el cual las zonas de almacenamiento están identificadas de acuerdo con los diferentes propósitos (véase la figura 15.6.1).
Resumen del proceso de diseño
El diseño hidrológico de un embalse para el uso del agua involucra cuatro pasos:
*
Evaporación er
Almacenamiento para suministro de agua o generación hidroeléctrica Sr
muerto
Vertimientos Q,
l. Proyección hacia el futuro de la demanda de agua que debe ser suministrada por el embalse; 2. Determinación de la localización y la elevación de la presa, y cálculo de sus curvas de área superficial-capacidad de almacenamiento, para las condiciones presentes y futuras; 3. Cálculo del caudal firme del embalse para las condiciones presentes y futuras; 4. Comparación de la demanda de agua y del caudal firme del embalse para determinar su vida útil o periodo de años durante el cual el embalse cubrirá las demandas en forma adecuada. Este proceso se ilustra en los siguientes ejemplos, los cuales involucran el diseño de un nuevo embalse para el sumini-stro de agua en la ciudad de Winters, Texas (Henningson, Durham y Rich-ardson, 1979). El embalse considerado en estos ejemplos fue finalizado y entró en servicio en 1981.
FIGURA 15.6.1
Zonas de almacenamiento en un embalse multipropósito.
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HIDROLOGÍA APLICADA
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CRECIENTES DE DISEÑO
15.6 DISEÑO PARA USO DE AGUA Las variables primordiales que deben determinarse en un diseño de embalse para el suministro de agua son la localización y la altura de la presa, la elevación y la capacidad del vertedero, y la capacidad y el modo de operación de las estructuras de descarga. Dos variables hidrológicas son supremamente importantes: la capacidad de almacenamiento en el embalse y el caudal firme, o descarga de agua promedio anual a través de la presa fi_Ue pueda garantizarse utilizando un análisis de la información histórica. Puede existir un alto grado de incertidumbre, en el caudal firme, especialmente para un periodo histórico corto. Naturalmente, la capacidad de almacenamiento y el caudal firme están interconectados, debido a que a mayor almacenamiento mayor es el caudal firme, con el límite de que el caudal firme no puede ser mayor que el caudal medio anual de entrada al embalse. Un embalse puede ser una estructura con propósito único, tal como la de suministro de agua o control de inundaciones, o puede ser un embalse con propósitos múltiples, en el cual las zonas de almacenamiento están identificadas de acuerdo con los diferentes propósitos (véase la figura 15.6.1).
Condiciones existentes y predichas
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Resumen del proceso de diseño El diseño hidrológico de un embalse para el uso del agua involucra cuatro pasos:
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Precipitación
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Proyección hacia el futuro de la demanda de agua que debe ser suministrada por el embalse; 2. Determinación de la localización y la elevación de la presa, y cálculo de sus curvas de área superficial-capacidad de almacenamiento, para las condiciones presentes y futuras; 3. Cálculo del caudal firme del embalse para las condiciones presentes y futuras; 4. Comparación de la demanda de agua y del caudal firme del embalse para determinar su vida útil o periodo de años durante el cual el embalse cubrirá las demandas en forma adecuada. Este proceso se ilustra en los siguientes ejemplos, los cuales involucran el diseño de un nuevo embalse para el sumini-stro de agua en la ciudad de Winters, Texas (Henningson, Durham y Rich-ardson, 1979). El embalse considerado en estos ejemplos fue finalizado y entró en servicio en 1981. Evaporación er
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Zonas de almacenamiento en un embalse multipropósito.
Vertimientos Q,
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HIDROLOGÍA APLICADA
Proyección de demanda Ejemplo 15.6.1 Proyecte las necesidades de suministro de agua para la ciudad de Winters, Texas, desde el año 1980 hasta el 2030, dada la siguiente tabla de población histórica e información de uso de agua. Año Población
1910 1,347
1920 1,509
1930 2,423
1940 2,335
1950 2,676
1960 3,266
1970 2,907
1980 3,061
Solución. Se ajusta una regresión lineal de mínimos cuadrados a los datos de la población, de la forma P(t) = a 0
+ a 1t
(15.6.1)
donde P(t) es la población estimada en el añq t, y los coeficientes son a 0 = -48,170 y = 26.02 años- 1 • Por ejemplo, para 1980, P(t) = - 48,170 + 26.02 x 1980 = 3,350. Utilizando (15.6.1}, se proyecta la población hacia el futuro arrojando los siguientes estimativos: 1990- 3,610; 2000- 3,870; 2010- 4,130; 2020- 4,390; y 2030-4,651. Estas predicciones se verifican con las proyecciones de población dadas por entidades gubernamentales, locales y regionales, teniendo en cuenta factores económicos y demográficos y se aceptan como adecuadas. Ahora, las proyecciones de población se convierten en proyecciones de uso de agua. En 1978 se observó una tasa de uso de agua de 175 gal per cápita por día (gpcd); se ha proyectado que este valor aumentará a 200 gpcd en el año 2000 y a 225 gpcd en el 2030. Por consiguiente, para una población de 3,350 habitantes, en 1980, la demanda de agua es W = 3,350 x 175 = 0.586 MGD (millones de galones por día); esta demanda se aumenta una cantidad adicional para cubrir las necesidades de la población rural alrededor de la ciudad de Winters. La demanda total resultante es 0.66 MGD en 1980, creciendo hasta 1.36 MGD en 2030 (véase la figura 15.6.2). Para los cálculos de balance de agua en los embalses es conveniente expresar las demandas en acres. pies/año
a1
(1 acre ·pie/año = 8.92 X 104 MGD); las demandas en 1980 y 2030 se han proyectado 740 y 1,520 acres-pie/año, respectivamente. El método de pronóstico del uso de agua descrito aquí es muy simple. También están disponibles algunos métodos más completos para llevar a cabo esta tarea, tales como el modelo IWR-Main (Dziegelewski, Boland y Baumann, 1981) y modelos estadísticos de series de tiempo (Maidment y Parzen, 1984).
Curva almacenamiento-área. Una vez que la localización y la elevación de la presa se conocen, puede determinarse la curva almacenamiento-área. A cada una de las elevaciones de la superficie del agua hj en el embalse corresponde un área superficial Aj y un volumen de almacenamiento Sj. La relación entre Sj y Aj constituye la curva almacenamiento-área. Para determinar la curva almacenamiento-área, el área superficial Aj se determina midiendo en mapas topográficos el área incluida dentro de la línea de nivel de elevación h1 (véanse las columnas 2 y 3 de la tabla 15 .6. 1). La tajada de almacenahiento horizontal entre las elevaciones hjy h1 + 1 tiene un área promedio de (A1 + A1 + 1)/2 y un espesor de hi+ 1 - h1 , de tal manera que el almacenamiento en el nivel superior j + 1 es (véase la figura 15.6.3):
S,;
Nivelj
--1 _ -·--------------- =-=Vida útil
Caudal firme /
~ ~--/
-v
____ -
Í ---
Uso proyectado
U~histórico
o 1940
1960
1980
2000
2020
Año FIGURA 15.6.2 Comparación entre el uso de agua proyectado y el caudal firme de suministro de agua para Winters, Texas.
=Si
+
(h¡ +1- h¡)(A¡ +A¡ +1) 2
TABLA 15.6.1 Cálculo almacenamiento-área para un embalse Columna:
[
+1
(15.6.2)
donde Sj es el almacenamiento correspondiente al nivel más bajo j de la tajada. Por ejemplo, en la tabla 15.6.1, S 3 = 2 + (1,760- 1,756)(1 + 19)/2 = 42 acre-_pie. El almiento horizontal entre las elevaciones h1 y h1 + 1 tiene un área promedio de (A1 + A1 + ¡)!2 cual (A¡+ A¡+ 1)/2 en (15.6.2) se reemplaza por (A¡+ A¡,+I + .YA 1A 1+ 1/3) (U. S. Army Corps of Engineers, 1981 ).
~-------------------------------------------------
2.0
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CRECIENTES DE DISEÑO
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2
3
4
Elevación hj (pies sobre NMM)
Área superficial Aj (acres)
AlmacenamientoSj (acres-pie)
1,752 1,756 1,760 1,764 1,768 1,772 1,776 1,780 1,784 1,788 1,790 1,792
o
o
1 19 77 146 227 262 341 430 573 643 805
2 42 234 680 1,426 2,404 3,610 5,152 7,158 8,374 9,822
Nota: Los últimos dos incrementos usan una diferencia de elevación de 2 pies en lugar de 4 debido a que la elevación 1,790 es la cresta del vertedero.
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HIDROLOGÍA APLICADA
Proyección de demanda Ejemplo 15.6.1 Proyecte las necesidades de suministro de agua para la ciudad de Winters, Texas, desde el año 1980 hasta el 2030, dada la siguiente tabla de población histórica e información de uso de agua. Año Población
1910 1,347
1920 1,509
1930 2,423
1940 2,335
1950 2,676
1960 3,266
1970 2,907
1980 3,061
Solución. Se ajusta una regresión lineal de mínimos cuadrados a los datos de la población, de la forma P(t) = a 0
+ a 1t
(15.6.1)
donde P(t) es la población estimada en el añq t, y los coeficientes son a 0 = -48,170 y = 26.02 años- 1 • Por ejemplo, para 1980, P(t) = - 48,170 + 26.02 x 1980 = 3,350. Utilizando (15.6.1}, se proyecta la población hacia el futuro arrojando los siguientes estimativos: 1990- 3,610; 2000- 3,870; 2010- 4,130; 2020- 4,390; y 2030-4,651. Estas predicciones se verifican con las proyecciones de población dadas por entidades gubernamentales, locales y regionales, teniendo en cuenta factores económicos y demográficos y se aceptan como adecuadas. Ahora, las proyecciones de población se convierten en proyecciones de uso de agua. En 1978 se observó una tasa de uso de agua de 175 gal per cápita por día (gpcd); se ha proyectado que este valor aumentará a 200 gpcd en el año 2000 y a 225 gpcd en el 2030. Por consiguiente, para una población de 3,350 habitantes, en 1980, la demanda de agua es W = 3,350 x 175 = 0.586 MGD (millones de galones por día); esta demanda se aumenta una cantidad adicional para cubrir las necesidades de la población rural alrededor de la ciudad de Winters. La demanda total resultante es 0.66 MGD en 1980, creciendo hasta 1.36 MGD en 2030 (véase la figura 15.6.2). Para los cálculos de balance de agua en los embalses es conveniente expresar las demandas en acres. pies/año
a1
(1 acre ·pie/año = 8.92 X 104 MGD); las demandas en 1980 y 2030 se han proyectado 740 y 1,520 acres-pie/año, respectivamente. El método de pronóstico del uso de agua descrito aquí es muy simple. También están disponibles algunos métodos más completos para llevar a cabo esta tarea, tales como el modelo IWR-Main (Dziegelewski, Boland y Baumann, 1981) y modelos estadísticos de series de tiempo (Maidment y Parzen, 1984).
Curva almacenamiento-área. Una vez que la localización y la elevación de la presa se conocen, puede determinarse la curva almacenamiento-área. A cada una de las elevaciones de la superficie del agua hj en el embalse corresponde un área superficial Aj y un volumen de almacenamiento Sj. La relación entre Sj y Aj constituye la curva almacenamiento-área. Para determinar la curva almacenamiento-área, el área superficial Aj se determina midiendo en mapas topográficos el área incluida dentro de la línea de nivel de elevación h1 (véanse las columnas 2 y 3 de la tabla 15 .6. 1). La tajada de almacenahiento horizontal entre las elevaciones hjy h1 + 1 tiene un área promedio de (A1 + A1 + 1)/2 y un espesor de hi+ 1 - h1 , de tal manera que el almacenamiento en el nivel superior j + 1 es (véase la figura 15.6.3):
S,;
Nivelj
--1 _ -·--------------- =-=Vida útil
Caudal firme /
~ ~--/
-v
____ -
Í ---
Uso proyectado
U~histórico
o 1940
1960
1980
2000
2020
Año FIGURA 15.6.2 Comparación entre el uso de agua proyectado y el caudal firme de suministro de agua para Winters, Texas.
=Si
+
(h¡ +1- h¡)(A¡ +A¡ +1) 2
TABLA 15.6.1 Cálculo almacenamiento-área para un embalse Columna:
[
+1
(15.6.2)
donde Sj es el almacenamiento correspondiente al nivel más bajo j de la tajada. Por ejemplo, en la tabla 15.6.1, S 3 = 2 + (1,760- 1,756)(1 + 19)/2 = 42 acre-_pie. El almiento horizontal entre las elevaciones h1 y h1 + 1 tiene un área promedio de (A1 + A1 + ¡)!2 cual (A¡+ A¡+ 1)/2 en (15.6.2) se reemplaza por (A¡+ A¡,+I + .YA 1A 1+ 1/3) (U. S. Army Corps of Engineers, 1981 ).
~-------------------------------------------------
2.0
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CRECIENTES DE DISEÑO
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2
3
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Elevación hj (pies sobre NMM)
Área superficial Aj (acres)
AlmacenamientoSj (acres-pie)
1,752 1,756 1,760 1,764 1,768 1,772 1,776 1,780 1,784 1,788 1,790 1,792
o
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1 19 77 146 227 262 341 430 573 643 805
2 42 234 680 1,426 2,404 3,610 5,152 7,158 8,374 9,822
Nota: Los últimos dos incrementos usan una diferencia de elevación de 2 pies en lugar de 4 debido a que la elevación 1,790 es la cresta del vertedero.
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HIDROLOGÍA APLICADA
*~ (h· J+
1
~
-h)(A+A+/ 12
1
1
11
h¡+I¡.
A 1
'JI<~
Ejemplo 15.6.2 Calcule el balance de aguas para el embalse Winters Elm Creek para las condiciones hidrológicas de 1940 dadas en la tabla 15.6.2, si la tasa de desembalse Y es 1,240 acres · pies/año.
.
Solución. La información dada de caudales men.males de entrada y evaporación neta para 1940 está contenida en las columnas 2 y S de la tabla 1S.6.2, respectivamente. Los
FIGURA 15.6.3 Cálculo de volumen almacenado en un embalse.
La curva almacenamiento-área calculada de esta manera corresponde a las condiciones topográficas de la fecha de construcción del embalse. Después de que éste ha estado en uso durante algunos años, su curva almacenamiento-área puede modificarse debido a la sedimentación en el embalse, la cual reduce tanto el almacenamiento como el área para una elevación dada de la superficie de agua. Se necesitan estudios específicos en cada sitio para determinar la tasa de sedimentación y cómo se distribuye el sedimento depositado dentro del embalse. Caudal firme. El caudal firme de un embalse es la tasa de desembalse media anual que bajaría el nivel a su mínimo permitido solamente una vez durante la sequía crítica de registro. La sequía crítica es un periodo con una duración de varios años que contiene lluvias y caudales bajos sostenidos para el cual existen registros hidrológicos de lluvias, caudales y evaporación, cerca del sitio del embalse. El caudal firme se determina simulando el balance de agua en el embalse utilizando intervalos mensuales de tiempo t, t = 1,2, ... , T. La información mensual de caudales de entrada en el embalse J, y evaporación neta e, (evaporación menos precipitación en la superficie del embalse) se obtiene de medidas tomadas en o cerca del sitio del embalse durante un periodo de registro largo, que ojalá incluya la sequía crítica. Los registros de uso de agua del sitio que debe ser abastecido (ciudad, área de irrigación, etc.) se analizan para determinar la relación d, entre el uso de agua medio mensual y el uso de agua medio anual. La variable d,, denominada el factor de demanda, representa la proporción del caudal firme anual necesario en el mes t. Luego, empezando con el embalse lleno, el balance de agua en éste se calcula hacia adelante en el tiempo como
S1
= S 1 -¡ + 11 - Yde- Acec- Qt
t =
549
dal a través del vertedero es Q1 = O, pero cuando los caudales de entrada en el embalse son altos puede ocurrir que Sr. tal como se calcula de la ecuación (15.6.3), resulte mayor que Smax; en este caso, Q 1 = S1 - Smax y se utiliza un nuevo valor de S 1 = Smax en el siguiente paso computacional.
A¡+I
t~/ 111111/ 1 *t~ S;
CRECIENTES DE DISEÑO
1, 2, ... , T
(15.6.3)
donde S,_ 1 y S, son los almacenamientos al principio y al final del mes t, A, es el área superficial y Q, el volumen de descarga a través del vertedero en el mes t, y Y es la tasa de desembalse. El área superficial A, se calcula al utilizar la curva de almacenamiento-área para S,_ 1 y S1. Las unidades de (15.6.3) son acres·pies o m 3 • Si el.rango permisible de operación de almacenamiento está localizado entre Smin y Smax, el caudal firme es el valor de Y que da S,= Smin solamente una vez durante el periodo de cálculo (con S, > Smin para los demás meses). Normalmente, el cau-
factores de demanda mensuales d, están dados en la columna 3. Multiplicando estos factores por la tasa de desembalse Y = 1,240 acres . pies/año, se encuentran las tasas de desembalse ·mensuales, tal como se muestra en la columna 4. Las pérdidas por evaporación neta (evaporación menos precipitación) para la superficie del embalse, dadas en la columna 7, son el producto de los datos de las columnas S y 6. En t = 1 (enero), el almacenamiento inicial es embalse lleno, So = Smax = 8,374 acres . pies; de la ecuación (15.6.3), S, = 8,374 + O- 76- 102- O= 8,196 acres · pie; para t = 2 (febrero), S, = 8,196 + 191 -68-51 -O = 8,268 acres · pie, y así sucesivamente. El área superficial A, se calcula por interpolación lineal en la tabla 15.6.1, dado el almacenamiento promedio en el mes t; para t = 1, el almacenamiento promedio es (8,374 + 8, 196)/2 = 8,28S acres ·pie, y por interpolación lineal A, = 638 acres. Debe notarse que A, y S, son interdependientes, luego, en la práctica (1S.6.3) se calcula iterativamente para cada mes, haciendo pequeños ajustes a A, hasta que el almacenamiento final S, sea consistente con (1S.6.3) y con la tabla 1S.6.1. Los vertimientos que ocurren en mayo y en junio impiden que el almacenamiento exceda los niveles máximos para estos meses. Ejemplp Ü.6.3 Determine el caudal firme para el embalse Winters Elm Creek dada la :información hidrológica de la tabla 1S.6.3.
Solución. La simulación de balance de agua ilustrada en el ejemplo previo para 1940 se lleva a cabo secuencialmente para la información hidrológica de los años 1940 a 1969, los cuales contienen la sequía crítica de registro para esta región, en los años 19SO a l9S6. Existen 30 años x 12 meses/año= 360 meses de simulación. El almacenamiento mínimo Smin para este embalse es 48 acres . pie, y es alcanzado en abril de 1951 (t = 136). La simulación de balance de agua para los primeros seis meses de 19S1 se muestra en la tabla IS.6.3. Resultó que el valor Y= 1,240 acres ·pies/año es el caudal firme correcto, de tal manera que el almacenamiento mínimo se alcanza solamente una vez durante el periodo de registro de 360 meses. En la práctica, se hacen simulaciones repetidas utilizando el registro hidrológico completo con varios valores de prueba de Y hasta que se encuentre la máxima tasa de desembalse que satisfaga la condición de almacenamiento mínimo requerida.
Balance de oferta y demanda. La vida útil de un embalse es la duración para la cual el caudal firme (o tasa de suministro del embalse) es mayor que la demanda esperada. Para el ejemplo de Winters Elm Creek el caudal firme es Y = 1,240 acres . pies/año= 1.106 MGD. Tal como se muestra en la gráfica de la figura 15.6.2, la condición de que la oferta y la demanda estén apenas balanceadas se espera que ocurra aproximadamente en el año 2014, es decir, 34 años después de la construcción del embalse.
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HIDROLOGÍA APLICADA
*~ (h· J+
1
~
-h)(A+A+/ 12
1
1
11
h¡+I¡.
A 1
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Ejemplo 15.6.2 Calcule el balance de aguas para el embalse Winters Elm Creek para las condiciones hidrológicas de 1940 dadas en la tabla 15.6.2, si la tasa de desembalse Y es 1,240 acres · pies/año.
.
Solución. La información dada de caudales men.males de entrada y evaporación neta para 1940 está contenida en las columnas 2 y S de la tabla 1S.6.2, respectivamente. Los
FIGURA 15.6.3 Cálculo de volumen almacenado en un embalse.
La curva almacenamiento-área calculada de esta manera corresponde a las condiciones topográficas de la fecha de construcción del embalse. Después de que éste ha estado en uso durante algunos años, su curva almacenamiento-área puede modificarse debido a la sedimentación en el embalse, la cual reduce tanto el almacenamiento como el área para una elevación dada de la superficie de agua. Se necesitan estudios específicos en cada sitio para determinar la tasa de sedimentación y cómo se distribuye el sedimento depositado dentro del embalse. Caudal firme. El caudal firme de un embalse es la tasa de desembalse media anual que bajaría el nivel a su mínimo permitido solamente una vez durante la sequía crítica de registro. La sequía crítica es un periodo con una duración de varios años que contiene lluvias y caudales bajos sostenidos para el cual existen registros hidrológicos de lluvias, caudales y evaporación, cerca del sitio del embalse. El caudal firme se determina simulando el balance de agua en el embalse utilizando intervalos mensuales de tiempo t, t = 1,2, ... , T. La información mensual de caudales de entrada en el embalse J, y evaporación neta e, (evaporación menos precipitación en la superficie del embalse) se obtiene de medidas tomadas en o cerca del sitio del embalse durante un periodo de registro largo, que ojalá incluya la sequía crítica. Los registros de uso de agua del sitio que debe ser abastecido (ciudad, área de irrigación, etc.) se analizan para determinar la relación d, entre el uso de agua medio mensual y el uso de agua medio anual. La variable d,, denominada el factor de demanda, representa la proporción del caudal firme anual necesario en el mes t. Luego, empezando con el embalse lleno, el balance de agua en éste se calcula hacia adelante en el tiempo como
S1
= S 1 -¡ + 11 - Yde- Acec- Qt
t =
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dal a través del vertedero es Q1 = O, pero cuando los caudales de entrada en el embalse son altos puede ocurrir que Sr. tal como se calcula de la ecuación (15.6.3), resulte mayor que Smax; en este caso, Q 1 = S1 - Smax y se utiliza un nuevo valor de S 1 = Smax en el siguiente paso computacional.
A¡+I
t~/ 111111/ 1 *t~ S;
CRECIENTES DE DISEÑO
1, 2, ... , T
(15.6.3)
donde S,_ 1 y S, son los almacenamientos al principio y al final del mes t, A, es el área superficial y Q, el volumen de descarga a través del vertedero en el mes t, y Y es la tasa de desembalse. El área superficial A, se calcula al utilizar la curva de almacenamiento-área para S,_ 1 y S1. Las unidades de (15.6.3) son acres·pies o m 3 • Si el.rango permisible de operación de almacenamiento está localizado entre Smin y Smax, el caudal firme es el valor de Y que da S,= Smin solamente una vez durante el periodo de cálculo (con S, > Smin para los demás meses). Normalmente, el cau-
factores de demanda mensuales d, están dados en la columna 3. Multiplicando estos factores por la tasa de desembalse Y = 1,240 acres . pies/año, se encuentran las tasas de desembalse ·mensuales, tal como se muestra en la columna 4. Las pérdidas por evaporación neta (evaporación menos precipitación) para la superficie del embalse, dadas en la columna 7, son el producto de los datos de las columnas S y 6. En t = 1 (enero), el almacenamiento inicial es embalse lleno, So = Smax = 8,374 acres . pies; de la ecuación (15.6.3), S, = 8,374 + O- 76- 102- O= 8,196 acres · pie; para t = 2 (febrero), S, = 8,196 + 191 -68-51 -O = 8,268 acres · pie, y así sucesivamente. El área superficial A, se calcula por interpolación lineal en la tabla 15.6.1, dado el almacenamiento promedio en el mes t; para t = 1, el almacenamiento promedio es (8,374 + 8, 196)/2 = 8,28S acres ·pie, y por interpolación lineal A, = 638 acres. Debe notarse que A, y S, son interdependientes, luego, en la práctica (1S.6.3) se calcula iterativamente para cada mes, haciendo pequeños ajustes a A, hasta que el almacenamiento final S, sea consistente con (1S.6.3) y con la tabla 1S.6.1. Los vertimientos que ocurren en mayo y en junio impiden que el almacenamiento exceda los niveles máximos para estos meses. Ejemplp Ü.6.3 Determine el caudal firme para el embalse Winters Elm Creek dada la :información hidrológica de la tabla 1S.6.3.
Solución. La simulación de balance de agua ilustrada en el ejemplo previo para 1940 se lleva a cabo secuencialmente para la información hidrológica de los años 1940 a 1969, los cuales contienen la sequía crítica de registro para esta región, en los años 19SO a l9S6. Existen 30 años x 12 meses/año= 360 meses de simulación. El almacenamiento mínimo Smin para este embalse es 48 acres . pie, y es alcanzado en abril de 1951 (t = 136). La simulación de balance de agua para los primeros seis meses de 19S1 se muestra en la tabla IS.6.3. Resultó que el valor Y= 1,240 acres ·pies/año es el caudal firme correcto, de tal manera que el almacenamiento mínimo se alcanza solamente una vez durante el periodo de registro de 360 meses. En la práctica, se hacen simulaciones repetidas utilizando el registro hidrológico completo con varios valores de prueba de Y hasta que se encuentre la máxima tasa de desembalse que satisfaga la condición de almacenamiento mínimo requerida.
Balance de oferta y demanda. La vida útil de un embalse es la duración para la cual el caudal firme (o tasa de suministro del embalse) es mayor que la demanda esperada. Para el ejemplo de Winters Elm Creek el caudal firme es Y = 1,240 acres . pies/año= 1.106 MGD. Tal como se muestra en la gráfica de la figura 15.6.2, la condición de que la oferta y la demanda estén apenas balanceadas se espera que ocurra aproximadamente en el año 2014, es decir, 34 años después de la construcción del embalse.
tl1 tl1
= TABLA 15.6.2
Simulación del balance de agua en el embalse Winters Elm Creek para una tasa de desembalse de 1,240 acres . pie/año y para la información hidrológica de 1940 2 Caudal de entrada
Mes
4
dt
0.061 0.055 0.068 0.075 0.089 0.114 0.137 0.122 0.086 0.072 0.059 0.062 1,000
lt
t (t = 1 es Ene.)
(acres . pie)
o 191
2 3 4 5 6 7 8
o 706 1,334 770 5 933
9 10 11 12 Total
3 Factor de demanda
135
o 143
o 4,217
Tasa de desembalse
5 Evaporación neta
6 Área superficial
7 Pérdida por evaporación
8 Vertimientos
Ydt
e,
At
Atet
Qt
St
(acres . pie)
(pies)
(acres)
(acres . pie)
(acres · pie)
(acres . pie)
76 68 84 93 111 141 170 !51
0.160 0.080 0.450 0.490 0.540 0.520 0.940 0.590
638 635 626 625 643 643 621 612
102 51 282 306 347 334 584 361
o o o o
107 89 73 77 1,240
0.790 0.590 0.110 0.200
611 585 573 567
483 345 63 113 -3,371
711 295
o o o o o o
9
Almacenamiento
Inicial= 8,374 8,196 8,268 7,902 8,209 8,374 8,374 7,625 8,046 7,591 7,157 7,164 6,974
1,006
:e
S ;Q o r o Cl :;· > '1:l
~
> o >
n ;oc
~ 5l
~
ot:rl o ¡;;
TABLA 15.6.3
Simulación del balance de agua en el embalse Winters Elm Creek para una tasa de desembalse de 1,240 acres . pie/año y para la información hidrológica desde enero a junio de 1951 Mes
Caudal de entrada
Factor de demanda
Tasa de desembalse
Evaporación Área neta superficial
lt
dt
Ydt
et
At
Atet
Qt
(acres . pie)
(pies)
(acres)
(acres . pie)
(acres . pie) (acres . pie)
76 68
0.35 0.22
103 88
36 19
0.068
84
(acres . pie)
Pérdidas por Vertimientos Almacenaevaporación miento
0.061 0.055
135 136
o o o o
20
93
0.29 0.40
69
0.075
37
15
137 138
2,411 1,256
0.089 0.114
111 141
0.36 0.42
198 286
71 120
133 134
t:rl
Z•
o
o o o o o o
St
S132 =459 347 260 !56 48 (mínimo) 2,277 3,272
Nota: t = 1 es enero de 1940, t = 133 es enero de 1951; el almacenamiento inicial para enero de 1951 es S,,= 459 acres. pie.
tl1
tl1 ......
tl1 tl1
= TABLA 15.6.2
Simulación del balance de agua en el embalse Winters Elm Creek para una tasa de desembalse de 1,240 acres . pie/año y para la información hidrológica de 1940 2 Caudal de entrada
Mes
4
dt
0.061 0.055 0.068 0.075 0.089 0.114 0.137 0.122 0.086 0.072 0.059 0.062 1,000
lt
t (t = 1 es Ene.)
(acres . pie)
o 191
2 3 4 5 6 7 8
o 706 1,334 770 5 933
9 10 11 12 Total
3 Factor de demanda
135
o 143
o 4,217
Tasa de desembalse
5 Evaporación neta
6 Área superficial
7 Pérdida por evaporación
8 Vertimientos
Ydt
e,
At
Atet
Qt
St
(acres . pie)
(pies)
(acres)
(acres . pie)
(acres · pie)
(acres . pie)
76 68 84 93 111 141 170 !51
0.160 0.080 0.450 0.490 0.540 0.520 0.940 0.590
638 635 626 625 643 643 621 612
102 51 282 306 347 334 584 361
o o o o
107 89 73 77 1,240
0.790 0.590 0.110 0.200
611 585 573 567
483 345 63 113 -3,371
711 295
o o o o o o
9
Almacenamiento
Inicial= 8,374 8,196 8,268 7,902 8,209 8,374 8,374 7,625 8,046 7,591 7,157 7,164 6,974
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TABLA 15.6.3
Simulación del balance de agua en el embalse Winters Elm Creek para una tasa de desembalse de 1,240 acres . pie/año y para la información hidrológica desde enero a junio de 1951 Mes
Caudal de entrada
Factor de demanda
Tasa de desembalse
Evaporación Área neta superficial
lt
dt
Ydt
et
At
Atet
Qt
(acres . pie)
(pies)
(acres)
(acres . pie)
(acres . pie) (acres . pie)
76 68
0.35 0.22
103 88
36 19
0.068
84
(acres . pie)
Pérdidas por Vertimientos Almacenaevaporación miento
0.061 0.055
135 136
o o o o
20
93
0.29 0.40
69
0.075
37
15
137 138
2,411 1,256
0.089 0.114
111 141
0.36 0.42
198 286
71 120
133 134
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S132 =459 347 260 !56 48 (mínimo) 2,277 3,272
Nota: t = 1 es enero de 1940, t = 133 es enero de 1951; el almacenamiento inicial para enero de 1951 es S,,= 459 acres. pie.
tl1
tl1 ......
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HIDROLOGÍA APLICADA CRECIENTES DE DISEÑO
Debe notarse que mientras las demandas se proyectan hacia adelante en el tiempo (desde 1980 hasta 2030), el caudal firme se calcula con base en la información hidrológica pasada (desde 1940 hasta 1969 en los ejemplos). La suposición implícita en este análisis es que las condiciones hidrológicas pasadas son patrones típicos que pueden repetirse en cualquier secuencia de años futura. Por consiguiente, el caudal firme puede concebirse como la tasa de suministro media anual que puede desembalsarse constantemente, año tras año, aun en el caso de condiciones futuras equivalentes a la sequía crítica de registro. De todas maneras, el caudal firme no se caracteriza en forma absoluta debido a que puede ocurrir una sequía futura que sea más severa que la sequía de registro. Estudios llevados a cabo sobre el espesor de los anillos anuales de crecimiento de los árboles indican que en algunas regiones han ocurrido en siglos anteriores sequías más severas que aque.llas registradas en este siglo, para el cual existe información sobre lluvias y caudales.
REFERENCIAS American Society of Civil Engineers and Water Pollution Control Federation, Design and construction of sanitary and storm sewers, ASCE Manual and Reports on Engineering Practice, No. 37, New York, 1960. Aron, G., and C. E. Egborge, A practica! feasibility study of flood peak abatement in urban areas, report, U. S. Army Corps of Engineers, Sacramento District, Sacramento, Calif., March 1973. Brandstetter. A., Assessment of mathematical models for urban storm and combined sewer management, Environmental Protection Technology Series, EPA-600/2-76-175a, Municipal Environmental Research Laboratory, USEPA, August 1976. Chow, V. T., and B. C. Yen, Urban storm water runoff-determination of volumes and flow rates, Environmental Protection Technology Series, EPA-600/2-76-116, Municipal Environmental Research Laboratory, USEPA, May 1976; available from NTIS (PB 253 410), Springfield, Va. Craig, G. S., and J. G. Rankl, Analysis of runoff from small drainage basins in Wyoming, U. S. Geological Survey water-supply paper 2056, U. S. Govemmen1 Printing Office, Washington, D. C., 1978. Colyer, P. J., and R. W. Pethick, Storm drainage design methods: a literature review, report No. INT 154, Hydraulics Research Station, Wallingford, England, September, 1977. Day, G. N., Extended streamflow forecasting using NWSRFS, J. Water Res., Planning and Management Div., Am. Soc. Civ. Eng., vol. 111, No. 2, pp. 157-170, 1985. Donahue, J. R., R. H. McCuen and T. R. Bondelid, Comparison of detention basin planning and design models, J. Water Res., Planning and Management Div., Am. Soc. Civ. Eng., vol. 107, No. WR2, pp. 385-400, October 1981. Dziegielewski, B., J. J. Boland, and D. D. Baumann, An annotated bibliography on techniques of forecasting demand of water, report 81-C03, Engineer lnst. for Wat. Res., U. S. Army Corps of Engineers, Fort Belvoir, Va., 1981. Federal Aviation Administration, Department of Transportation, circularon airport drainage, report A/C 050-5320-5B, Washington, D. C., 1970. Ford, D. T., Catchment runoff analysis with computer program HEC-1, in Flood Plain Hydrology Course Notes, ed. by L. W. Mays, Continuing Eng. Studies, College of Eng., University of Texas at Austin, 1986. Harley, B. M., F. E. Perkins, and P. S. Eagleson, A modular distributed model of catchment dynamics, report No. 133, R. M. Parsons Lab for Water Resources and Hydrodynamics, MIT, Cambridge, Massachusetts, December 1970. Heeps, D. P., and R. G. Mein, lndependent comparison of three urban runoff models, J. Hyd. Div., Am Soc. Civ. Eng., vol. 100, No. HY7, pp. 995-1009, July 1974. Henningson, Durham, and Richardson, Inc. of Texas, Preliminary Engineering Report, Winters Elm Creek dam and reservoir. Report submitted to the Farmers Home Administration, U. S. Dept. of Agriculture, July 1979. Huber, W. C., J. P. Heaney, M. A. Medina, W. A. Peltz, H. Sheikhj, and G. F. Smith, Storm water management modeluser's manual, vcrsion 11, Environmental Protection Technology Series, EPA-670/275-017, Municipal Environmcntal Rcscarch Laboratory, USEPA, March 1975.
553
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HIDROLOGÍA APLICADA CRECIENTES DE DISEÑO
Debe notarse que mientras las demandas se proyectan hacia adelante en el tiempo (desde 1980 hasta 2030), el caudal firme se calcula con base en la información hidrológica pasada (desde 1940 hasta 1969 en los ejemplos). La suposición implícita en este análisis es que las condiciones hidrológicas pasadas son patrones típicos que pueden repetirse en cualquier secuencia de años futura. Por consiguiente, el caudal firme puede concebirse como la tasa de suministro media anual que puede desembalsarse constantemente, año tras año, aun en el caso de condiciones futuras equivalentes a la sequía crítica de registro. De todas maneras, el caudal firme no se caracteriza en forma absoluta debido a que puede ocurrir una sequía futura que sea más severa que la sequía de registro. Estudios llevados a cabo sobre el espesor de los anillos anuales de crecimiento de los árboles indican que en algunas regiones han ocurrido en siglos anteriores sequías más severas que aque.llas registradas en este siglo, para el cual existe información sobre lluvias y caudales.
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554
HIDROLOGÍA APLICADA
555
CRECIENTES DE DISEÑO
\Vaananen, A. 0., J. T. Limerinos, W. J. Kockelman, W. E. Spangle, and M. L. Blair, Floodprone areas and land-usc planning-selected examples from the San Francisco Bay region, U. S. Geological Survey Professional Paper 942, California, 1977. Watkins, L. H., The design of urban sewer systems, road research technical paper 55, Department of Scientific and Industrial Research, London, Her Majesty's Stationary Office, 1962. Yen, B. C., Risk based design of storm sewers, report No. INT 141, Hydraulics Research Station, WaIlingford, England, July 1975. Yen, B. C., ed., Storm Sewer System Design, Department of Civil Engineering, University of Illinois at Urbana-Champaign, 1978. Yen, B. C., H. G. Wenzel, Jr., L. W. Mays, and W. H. Tang, Advanced methodologies for design of storm sewers systems, research report 112, Water Resources Center, University of Illinois at Urbana-Champaign, August 1976.
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6--5 1,732
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Entrada Nivel del terreno (pies)
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HIDROLOGÍA APLICADA
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CRECIENTES DE DISEÑO
\Vaananen, A. 0., J. T. Limerinos, W. J. Kockelman, W. E. Spangle, and M. L. Blair, Floodprone areas and land-usc planning-selected examples from the San Francisco Bay region, U. S. Geological Survey Professional Paper 942, California, 1977. Watkins, L. H., The design of urban sewer systems, road research technical paper 55, Department of Scientific and Industrial Research, London, Her Majesty's Stationary Office, 1962. Yen, B. C., Risk based design of storm sewers, report No. INT 141, Hydraulics Research Station, WaIlingford, England, July 1975. Yen, B. C., ed., Storm Sewer System Design, Department of Civil Engineering, University of Illinois at Urbana-Champaign, 1978. Yen, B. C., H. G. Wenzel, Jr., L. W. Mays, and W. H. Tang, Advanced methodologies for design of storm sewers systems, research report 112, Water Resources Center, University of Illinois at Urbana-Champaign, August 1976.
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HIDROLOGÍA APLICADA
557
CRECIENTES DE DISEÑO
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200
400\.,715'
L---~----~----~-----"
8 .1
Escala (pies)
- - Riachuelo Boneyard
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1
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o
1,000
Leyenda o Pozo de inspección
2,000 pies
1 1 1 ....
Escala o--+----~
FIGURA 15.P.l Esquema del alcantarillado de aguas lluvias de Calder Alley. (Fuente: Kibler, 1982. Utilizada con autorización).
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L
•
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•
1
1 1
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•
J
1
1
Características de las subcuencas en la cuenca de d1·enaje de la avenida Goodwin
15.1.6
,
1
TABLA 15.P.2
1.1 1.2 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 5.1 5.2 5.3 6.1 7.1 8.1
•
5.1 :
1
•
Cuenca
1
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Nivel del terreno en el pozo de inspección (pies)
731.08 725.48 724.27 723.10 722.48 723.45 721.89 720.86 720.64 720.12 721.23 720.26 719.48 715.39 715.1ú
Área A
(acres)
2.20 1.20 3.90 0.45 0.70 0.60 1.70 2.00 0.65 1.25 0.70 1.70 0.60 2.30
Coeficiente de escorrentía
Tiempo de entrada
(min)
Longitud del tubo de salida desde el pozo de inspección (pies)
11.0 9.2 13.7 5.2 8.7 5.9 11.8 9.5 6.2 10.3 11.8 17.6 9.0 12.0
390 183 177 200 156 210 130 181 200 230 70 130 160 240
e
0.65 0.80 0.70 0.80 0.70 0.85 0.65 ú.75 0.85 0.70 0.65 0.55 0.75 0.70
Determine los diámetros de tub<-rías para el sistema de alcantarillado de aguas lluvías para la cuenca de drenaje de la avenida Goodwin en Urbana, Illinois (véase la figura 15.P.2). En la tabla 15.P.2 se presentan las características de la cuenca. La re!ación lluvia-intensidad-duración para un periodo de retorno de 2 años es la siguiente:
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FIGURA 15.P.2 Cuenca de drenaje de la avenida Goodwin con su sistema de alcantarillado de aguas lluvias en Urbana, Illinois.
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HIDROLOGÍA APLICADA
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CRECIENTES DE DISEÑO
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200
400\.,715'
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Escala (pies)
- - Riachuelo Boneyard
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1,000
Leyenda o Pozo de inspección
2,000 pies
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Escala o--+----~
FIGURA 15.P.l Esquema del alcantarillado de aguas lluvias de Calder Alley. (Fuente: Kibler, 1982. Utilizada con autorización).
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Características de las subcuencas en la cuenca de d1·enaje de la avenida Goodwin
15.1.6
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1
TABLA 15.P.2
1.1 1.2 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 5.1 5.2 5.3 6.1 7.1 8.1
•
5.1 :
1
•
Cuenca
1
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Nivel del terreno en el pozo de inspección (pies)
731.08 725.48 724.27 723.10 722.48 723.45 721.89 720.86 720.64 720.12 721.23 720.26 719.48 715.39 715.1ú
Área A
(acres)
2.20 1.20 3.90 0.45 0.70 0.60 1.70 2.00 0.65 1.25 0.70 1.70 0.60 2.30
Coeficiente de escorrentía
Tiempo de entrada
(min)
Longitud del tubo de salida desde el pozo de inspección (pies)
11.0 9.2 13.7 5.2 8.7 5.9 11.8 9.5 6.2 10.3 11.8 17.6 9.0 12.0
390 183 177 200 156 210 130 181 200 230 70 130 160 240
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Determine los diámetros de tub<-rías para el sistema de alcantarillado de aguas lluvías para la cuenca de drenaje de la avenida Goodwin en Urbana, Illinois (véase la figura 15.P.2). En la tabla 15.P.2 se presentan las características de la cuenca. La re!ación lluvia-intensidad-duración para un periodo de retorno de 2 años es la siguiente:
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735'
FIGURA 15.P.2 Cuenca de drenaje de la avenida Goodwin con su sistema de alcantarillado de aguas lluvias en Urbana, Illinois.
558
HIDROLOGÍA APLICADA
Duración (mio) Intensidad de lluvia (pulg/h)
5
10
15
20
25
5.40
4.18
3.52
3.10
2.76
Duración (mio)
30
40
50
60
Intensidad de lluvia (pulg/h)
2.50
2.10
1.76
1.50
559
CRECIENTES DE DISEÑO Cuenca 1 B
300 pies
15.1.7
Diseñe el sistema de alcantarillado de aguas lluvias mostrado en la figura 15.P.3. La curva intensidad-duración está descrita por
120T0.175
Td + 27 Cuenca 11
donde i es la intensidad en pulg/h, Tes el periodo de retomo en años y Td es la duración en minutos. Debe utilizarse un periodo de retomo de 10 años y deben seleccionarse tuberías con diámetros comerciales. Estas tuberías son de concreto, con un coeficiente n de Manning de 0.013. Las restricciones para el diseño son: 1) profundidad de cubrimiento mínima es de 5 pies; 2) velocidad de flujo mínima permisible es de 2 pies/s; 3) velocidad de flujo máxima permisible es de 8 pies/s; y 4) en las uniones el alcantarillado de aguas abajo no puede ser menor que el alcantarillado de aguas arriba. El diseño debe especificar los diámetros de tubería y las elevaciones de batea en cada pozo de inspección. La información pertinente es la siguiente:
e
Cuenca V E
Elevación del terreno (pies sobre NMM) Tubo AC BC CD DE
Cuenca 1 11 III IV V
15.1.8
Longitud (pies)
Aguas arriba
Aguas abajo
500
504 500 499 485
499 499 485 481
600
300 500
Cuenca 111 A
Cuenca IV D
FIGURA 15.P.3 Sistema de alcantarillado de aguas lluvias para el problema 15. 1. 7.
Área (acres)
Coeficiente de escorrentía e Tiempo de entrada (min)
3.0 2.2 4.2 2.2 4.5
0.7 0.7 0.6 0.5 0.6
10 12 14 8 14
Determine una expresión para el coeficiente de variación del caudal calculado utilizando la fórmula racional, Q = CiA, como una función de los coeficientes de variación de C, i y A. 15.1.9 Utilizando los resultados del problema 15.1.8, calcule el coeficiente de variación del caudal para la fórmula racional si CVc = 0.071, CV; = 0.177 y CVA = 0.05. 15.1.10 Determine una expresión para el coeficiente de variación del caudal calculado utilizando la ecuación de Manning (15.1.5) con análisis de primer orden y suponiendo
flujo a tubería llena. Considere que el diámetro D, la pendiente So y la rugosidad n son variables. 15.1.11 Utilizando los resultados del problema 15.1.10, determine el coeficiente de variación del caudal calculado usando la ecuación de Manning si CV. = 0.0553, CV v = 0.01, y cv s., = 0.068. 15.1.12 Determine el riesgo compuesto de la carga que excede la capacidad de un tubo de alcantarillado de aguas lluvias para el cual dicha carga se determina utilizando la fórmula racional y la capacidad se determina utilizando la ecuación de Manning (15.1.5) para flujo a tubería llena. Suponga que tanto la carga como la capacidad están distribuidas normalmente. Utilice los siguientes datos:
Parámetro
Media
Coeficiente de variación
e
0.825 3.4 pulg/h 10 acres 0.015 5 pies 0.001
0.071 0.177 0.05 0.0553
A n
d So
O.otO 0.068
15.1.13 Desarrolle un análisis de incertidumbre de primer orden para la ecuación de DarcyWeisbach para flujo o tubería llena utilizando la siguiente ecuación:
558
HIDROLOGÍA APLICADA
Duración (mio) Intensidad de lluvia (pulg/h)
5
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15
20
25
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Duración (mio)
30
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Intensidad de lluvia (pulg/h)
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1.50
559
CRECIENTES DE DISEÑO Cuenca 1 B
300 pies
15.1.7
Diseñe el sistema de alcantarillado de aguas lluvias mostrado en la figura 15.P.3. La curva intensidad-duración está descrita por
120T0.175
Td + 27 Cuenca 11
donde i es la intensidad en pulg/h, Tes el periodo de retomo en años y Td es la duración en minutos. Debe utilizarse un periodo de retomo de 10 años y deben seleccionarse tuberías con diámetros comerciales. Estas tuberías son de concreto, con un coeficiente n de Manning de 0.013. Las restricciones para el diseño son: 1) profundidad de cubrimiento mínima es de 5 pies; 2) velocidad de flujo mínima permisible es de 2 pies/s; 3) velocidad de flujo máxima permisible es de 8 pies/s; y 4) en las uniones el alcantarillado de aguas abajo no puede ser menor que el alcantarillado de aguas arriba. El diseño debe especificar los diámetros de tubería y las elevaciones de batea en cada pozo de inspección. La información pertinente es la siguiente:
e
Cuenca V E
Elevación del terreno (pies sobre NMM) Tubo AC BC CD DE
Cuenca 1 11 III IV V
15.1.8
Longitud (pies)
Aguas arriba
Aguas abajo
500
504 500 499 485
499 499 485 481
600
300 500
Cuenca 111 A
Cuenca IV D
FIGURA 15.P.3 Sistema de alcantarillado de aguas lluvias para el problema 15. 1. 7.
Área (acres)
Coeficiente de escorrentía e Tiempo de entrada (min)
3.0 2.2 4.2 2.2 4.5
0.7 0.7 0.6 0.5 0.6
10 12 14 8 14
Determine una expresión para el coeficiente de variación del caudal calculado utilizando la fórmula racional, Q = CiA, como una función de los coeficientes de variación de C, i y A. 15.1.9 Utilizando los resultados del problema 15.1.8, calcule el coeficiente de variación del caudal para la fórmula racional si CVc = 0.071, CV; = 0.177 y CVA = 0.05. 15.1.10 Determine una expresión para el coeficiente de variación del caudal calculado utilizando la ecuación de Manning (15.1.5) con análisis de primer orden y suponiendo
flujo a tubería llena. Considere que el diámetro D, la pendiente So y la rugosidad n son variables. 15.1.11 Utilizando los resultados del problema 15.1.10, determine el coeficiente de variación del caudal calculado usando la ecuación de Manning si CV. = 0.0553, CV v = 0.01, y cv s., = 0.068. 15.1.12 Determine el riesgo compuesto de la carga que excede la capacidad de un tubo de alcantarillado de aguas lluvias para el cual dicha carga se determina utilizando la fórmula racional y la capacidad se determina utilizando la ecuación de Manning (15.1.5) para flujo a tubería llena. Suponga que tanto la carga como la capacidad están distribuidas normalmente. Utilice los siguientes datos:
Parámetro
Media
Coeficiente de variación
e
0.825 3.4 pulg/h 10 acres 0.015 5 pies 0.001
0.071 0.177 0.05 0.0553
A n
d So
O.otO 0.068
15.1.13 Desarrolle un análisis de incertidumbre de primer orden para la ecuación de DarcyWeisbach para flujo o tubería llena utilizando la siguiente ecuación:
560
HIDROLOGÍA APLICADA
15.1.16 Determine el coeficiente de escorrentía ponderado promedio (véase el problema 15 .1.15) y su coeficiente de variación para la cuenca Derby en Inglaterra central (Yen, 1975). La cuenca tiene un área total de 87,734 m2 (o 21.68 acres), con las subáreas y coeficientes de escorrentía dados a continuación.
Considere que So.! Y D son variables.
15.1.14 Determine el riesgo compuesto de que la carga exceda la capacidad de un alcantarillado de aguas lluvias, para una condición de carga determinada utilizando la forma racional y una capacidad determinada utilizando la ecuación de Darcy-Weisbach. Utilice los siguientes datos:
Parámetro
Media
Coeficiente de variación
e
0.498 48.28 mmJh 87,734 m 2 914 mm 0.0297 0.005
0.07 0.25 0.05 0.02 0.25 0.40
A D
f So
15.2.1
,. . . ----¡
a-=~ t A
Cj
cv..j
CVc¡
Techo Caminos Carreteras (asfaltadas) Arcilla permeable
0.145 0.103 0.179 0.573
0.85 0.80 0.875 0.15
0.10 0.15 0.10 0.20
0.048 0.255 0.0618 0.0544
Utilice el programa HEC-1 del U. S. Army Cor:ps of Engineers para determinar el hidrograma de escorrentía de la cuenca mostrada en la figura 15.P.4. La cuenca se divide en dos subcuencas, A y B, con las siguientes características:
A B
Longitud hasta el centroide
Área
Longitud de cuenca
(mi2)
(mi)
LeA
2.17 0.96
1.85 1.13
0.68 0.60
L
(mi)
Número de curva
ses CN 70 75
Utilice el hidrograma unitario sintético de Snyder con ep = 0.25 y e, = 0.38 para ambas subcuencas. Debe utilizarse el tránsito de Muskingum para transitar los caudales a través de la subcuenca B con K= 0.3 h y X= 0.25. Considere un hidrograma unitario de 15 minutos y utilice la tormenta de 12 horas definida por la siguiente información de profundidad-duración.
\/ ... \
Tipo de sub área
Subcuenca
15.1.15 Un coeficiente de escorrentía ponderado e para la fórmula racional puede expresarse como e= ~ epj, en donde aj = A/A, donde A es el área total de la cuenca de drenaje y Aj es la subárea que tiene un coeficiente de escorrentía ej. Determine la expresión para el coeficiente de variación del peso e ponderado· en términos de las medias y coeficientes de variación de los a/ y e¡.
\
561
CRECIENTES DE DISEÑO
A
-
Duración Lluvia (pulg)
......
...... _.-"'
15.2.2
B
15.2.3 FIGURA 1S.P.4 Cuenca para los problemas 15.2.1 - 15.2.3.
15 min 0.74
1h 1.30
2h 1.70
3h 2.10
6h 3.00
12 h 5.00
Resuelva el problema 15.2.1 para condiciones urbanizadas, con el área desarrollada de tal manera que los números de curva sean 85 para la subcuenca A y 90 para la subcuenca B. El K de Muskingum para el canal a través de la subcuenca B cambia a 0.2 h. Los parámetros de Snyder ep y e, cambian a 0.35 y 0.30, respectivamente. Utilice el programa HEC-1 del U. S. Army Corps of Engineers para calcular el hidrograma de escorrentía correspondiente a condiciones urbanizadas utilizando la tormenta hipotética dada en el problema 15 .2.1. Utilizando las condiciones de urbanización del problema 15.2.2 para la cuenca del problema 15 .2.1, determine el hidrograma de escorrentía si se localiza el siguiente embalse de detención a la salida de la subcuenca B. Utilice el programa de computador HEC-1 del U. S. Army Corps of Engineers para llevar a cabo los cálculos.
560
HIDROLOGÍA APLICADA
15.1.16 Determine el coeficiente de escorrentía ponderado promedio (véase el problema 15 .1.15) y su coeficiente de variación para la cuenca Derby en Inglaterra central (Yen, 1975). La cuenca tiene un área total de 87,734 m2 (o 21.68 acres), con las subáreas y coeficientes de escorrentía dados a continuación.
Considere que So.! Y D son variables.
15.1.14 Determine el riesgo compuesto de que la carga exceda la capacidad de un alcantarillado de aguas lluvias, para una condición de carga determinada utilizando la forma racional y una capacidad determinada utilizando la ecuación de Darcy-Weisbach. Utilice los siguientes datos:
Parámetro
Media
Coeficiente de variación
e
0.498 48.28 mmJh 87,734 m 2 914 mm 0.0297 0.005
0.07 0.25 0.05 0.02 0.25 0.40
A D
f So
15.2.1
,. . . ----¡
a-=~ t A
Cj
cv..j
CVc¡
Techo Caminos Carreteras (asfaltadas) Arcilla permeable
0.145 0.103 0.179 0.573
0.85 0.80 0.875 0.15
0.10 0.15 0.10 0.20
0.048 0.255 0.0618 0.0544
Utilice el programa HEC-1 del U. S. Army Cor:ps of Engineers para determinar el hidrograma de escorrentía de la cuenca mostrada en la figura 15.P.4. La cuenca se divide en dos subcuencas, A y B, con las siguientes características:
A B
Longitud hasta el centroide
Área
Longitud de cuenca
(mi2)
(mi)
LeA
2.17 0.96
1.85 1.13
0.68 0.60
L
(mi)
Número de curva
ses CN 70 75
Utilice el hidrograma unitario sintético de Snyder con ep = 0.25 y e, = 0.38 para ambas subcuencas. Debe utilizarse el tránsito de Muskingum para transitar los caudales a través de la subcuenca B con K= 0.3 h y X= 0.25. Considere un hidrograma unitario de 15 minutos y utilice la tormenta de 12 horas definida por la siguiente información de profundidad-duración.
\/ ... \
Tipo de sub área
Subcuenca
15.1.15 Un coeficiente de escorrentía ponderado e para la fórmula racional puede expresarse como e= ~ epj, en donde aj = A/A, donde A es el área total de la cuenca de drenaje y Aj es la subárea que tiene un coeficiente de escorrentía ej. Determine la expresión para el coeficiente de variación del peso e ponderado· en términos de las medias y coeficientes de variación de los a/ y e¡.
\
561
CRECIENTES DE DISEÑO
A
-
Duración Lluvia (pulg)
......
...... _.-"'
15.2.2
B
15.2.3 FIGURA 1S.P.4 Cuenca para los problemas 15.2.1 - 15.2.3.
15 min 0.74
1h 1.30
2h 1.70
3h 2.10
6h 3.00
12 h 5.00
Resuelva el problema 15.2.1 para condiciones urbanizadas, con el área desarrollada de tal manera que los números de curva sean 85 para la subcuenca A y 90 para la subcuenca B. El K de Muskingum para el canal a través de la subcuenca B cambia a 0.2 h. Los parámetros de Snyder ep y e, cambian a 0.35 y 0.30, respectivamente. Utilice el programa HEC-1 del U. S. Army Corps of Engineers para calcular el hidrograma de escorrentía correspondiente a condiciones urbanizadas utilizando la tormenta hipotética dada en el problema 15 .2.1. Utilizando las condiciones de urbanización del problema 15.2.2 para la cuenca del problema 15 .2.1, determine el hidrograma de escorrentía si se localiza el siguiente embalse de detención a la salida de la subcuenca B. Utilice el programa de computador HEC-1 del U. S. Army Corps of Engineers para llevar a cabo los cálculos.
HIDROLOGÍA APLICADA
562 Salida de fondo Diámetro Coeficiente de orificio Elevación de línea central Vertedero de exceso (Tipo ogee) Longitud Coeficiente del vertedero Elevación de la cresta
Capacidad del embalse (acres . pie)
o
CRECIENTES DE DISEÑO
563
5 pies
0.71 391 pies sobre NMM 30 pies 2.86 400 pies sobre NMM
Elevación (pies sobre NMM) 388.5 394.2 398.2 400.8 401.8 405.8
6
12 18 23 30
Quebrada Waller 15.2.4
Determine el caudal de 100 años para la quebrada Waller en su confluencia con el río Colorado en Austin, Texa.s (véase la figura 15.P.5), utilizando el programa de computador HEC-1 del U. S. Army Corps of Engineers. Utilice el patrón de lluvia
TABLA 1S.P.3
Hemphill
Características flsiográflcas para las subáreas de la cuenca Waller Designación desubárea
WC1 WC2 WC3 WC4 WC5 WC6 WC7-A WC7-B WC8-A WC8-B WC8-C WC8-D HB1 HB2 TB1 TB2 TB3
Área
Longitud
Pendiente
mi2
(pies)
(pies/pie)
0.19 0.32 0.41 0.47 0.32 0.70 0.53 0.17 0.19 0.16 0.15 0.10 0.2C 0.50 0.49 0.11 0.45
4,800 4,250 3,600 5,000 5,700 7,400 5,400 2,900 2,500 2,750 3,300 2,900 6,300 7,600 7,700 3,700 8,000
0.015 0.013 0.015 0.011 0.014 0.012 0.013 0.017 0.025 0.026 0.014 0.013 0.012 0.011 0.013 0.012 0.010
Número de curva 87 86 87 86 85 89 89 89 91 91 91 91 86 87 86 90 86
Tiempo de Muskingum* Factor retardo pico lp (h)
0.28 0.29 0.26 0.32 0.31 0.32 0.29 0.22 0.18 0.18 0.24 0.23 0.33 0.34 0.34 0.27 0.37
K
Cp
(h)
0.20 0.15 0.24 0.22 0.25 0.24 0.07 0.07 0.07 0.06 0.11 0.34
0.54 0.54 0.53 0.54 0.54 0.53 0.54 0.53 0.51 0.50 0.54 0.54 0.56 0.54 0.54 0.56 0.55
*Para tránsito a través de la subárea. Utilice K = 0.06 para el tránsito entre los nodos N8 y N6 en la subárea WC6.
FIGURA IS.P.S Delineación de subáreas y localización de nodos para la quebrada Waller.
HIDROLOGÍA APLICADA
562 Salida de fondo Diámetro Coeficiente de orificio Elevación de línea central Vertedero de exceso (Tipo ogee) Longitud Coeficiente del vertedero Elevación de la cresta
Capacidad del embalse (acres . pie)
o
CRECIENTES DE DISEÑO
563
5 pies
0.71 391 pies sobre NMM 30 pies 2.86 400 pies sobre NMM
Elevación (pies sobre NMM) 388.5 394.2 398.2 400.8 401.8 405.8
6
12 18 23 30
Quebrada Waller 15.2.4
Determine el caudal de 100 años para la quebrada Waller en su confluencia con el río Colorado en Austin, Texa.s (véase la figura 15.P.5), utilizando el programa de computador HEC-1 del U. S. Army Corps of Engineers. Utilice el patrón de lluvia
TABLA 1S.P.3
Hemphill
Características flsiográflcas para las subáreas de la cuenca Waller Designación desubárea
WC1 WC2 WC3 WC4 WC5 WC6 WC7-A WC7-B WC8-A WC8-B WC8-C WC8-D HB1 HB2 TB1 TB2 TB3
Área
Longitud
Pendiente
mi2
(pies)
(pies/pie)
0.19 0.32 0.41 0.47 0.32 0.70 0.53 0.17 0.19 0.16 0.15 0.10 0.2C 0.50 0.49 0.11 0.45
4,800 4,250 3,600 5,000 5,700 7,400 5,400 2,900 2,500 2,750 3,300 2,900 6,300 7,600 7,700 3,700 8,000
0.015 0.013 0.015 0.011 0.014 0.012 0.013 0.017 0.025 0.026 0.014 0.013 0.012 0.011 0.013 0.012 0.010
Número de curva 87 86 87 86 85 89 89 89 91 91 91 91 86 87 86 90 86
Tiempo de Muskingum* Factor retardo pico lp (h)
0.28 0.29 0.26 0.32 0.31 0.32 0.29 0.22 0.18 0.18 0.24 0.23 0.33 0.34 0.34 0.27 0.37
K
Cp
(h)
0.20 0.15 0.24 0.22 0.25 0.24 0.07 0.07 0.07 0.06 0.11 0.34
0.54 0.54 0.53 0.54 0.54 0.53 0.54 0.53 0.51 0.50 0.54 0.54 0.56 0.54 0.54 0.56 0.55
*Para tránsito a través de la subárea. Utilice K = 0.06 para el tránsito entre los nodos N8 y N6 en la subárea WC6.
FIGURA IS.P.S Delineación de subáreas y localización de nodos para la quebrada Waller.
564
15.2.5 15.2.6
15.2.7
15.4.1
15.4.2 15.4.3
15.4.4 15.4.5
HIDROLOGÍA APLICADA
de diseño de 100 años y 3 horas para Austin, dado en el problema 5.5.1. En la tabla 15.P.3 se presenta la información de la subcuenca. Debe utilizarse el modelo de infiltración ses para definir las pérdidas con los números de curva apropiados dados en la tabla 15.P.3. Utilice el método de Muskingum para el tránsito a través de las subáreas con un factor de ponderación X de 0.250 y los valores de K dados en la tabla. Utilice hidro gramas unitarios sintéticos de Snyder de 1O minutos para cada subárea. Lleve a cabo los cálculos durante un periodo de 20 horas. ¿Cuáles son las pérdidas totales y el volumen de exceso total para cada s11bárea? Resuelva el problema 15.2.4 utilizando el hidrograma unitario adimensional SCS para cada subárea. Resuelva el problema 15.2.4 para determinar el hidrograma de escorrentía utilizando la tormenta Tipo II del SCS de 100 años y 24 horas dada en la tabla 14.3.1. Esta tormenta tiene una profundidad total de 10 pulg. ¿Cuáles son las pérdidas totales y el volumen de exceso total para cada subárea? Resuelva el problema 15.2.4 para determinar el hidrograma de escorrentía utilizando el hidrograma unitario adimensional SCS para cada subárea y la tormenta Tipo 11 del SCS de 100 años y 24 horas dada en la tabla 14.3.1. ¿Cuáles son las pérdidas totales y el volumen de exceso total para cada subárea? Determine y dibuje los hidrogramas del método racional modificado para una cuenca de drenaje de 27 acres en Urbana, Illinois, para la cual el tiempo de concentración es de 20 minutos y el coeficiente de escorrentía es 0.65. Utilice un periodo de retorno de 25 años y la curva intensidad-duración-frecuencia definida por i = 120'P 175 /(Td + 27). Considere duraciones de lluvia de 30, 40, 50, 60 y 120 min. Resuelva el problema 15.4.1 para un periodo de retorno de 100 años. Determine el máximo almacenamiento para un embalse de detención localizado en una cuenca de 25 acres, para la cual el coeficiente de escorrentía después del desarrollo es 0.8, y el tiempo de concentración antes del desarrollo es de 25 minutos y después del desarrollo es 25 minutos. El caudal permitido es 25 cfs; a = 96.6 y b = 13.9. Resuelva el problema 15.4.3 considerando un tiempo de concentración después del desarrollo de 1O min. Desarrolle una ecuación para estimar el almacenamiento máximo en una cuenca de detención utilizando el método racional modificado. Exprese el almacenamiento como una función de la duración, luego diferencie la función de almacenamiento con respecto a la duración e iguale la derivada a cero; luego resuelva esta expresión para la duración. En lugar de la relación intensidad-duración dada en la ecuación (15.4.3), utilice
P = bT;
15.4.9
15.4.7 15.4.8
donde i es la intensidad de lluvia en pulg/h y Td es la duración en minutos. El caudal permitido es QA. Utilice la ecuación desarrollada en el problema 15.4.5 para estimar el almacenamiento máximo requerido en un embalse de detención localizado en una cuenca de 25 acres, en Austin, Texas. El tiempo de concentración para las condiciones antes del desarrollo es de 30 minutos y para las condiciones después del desarrollo es de 10 minutos. El coeficiente de escorrentía para las condiciones antes del desarrollo es 0.44 y para las condiciones después del desarrollo es 0.90. Suponga que toda la escorrentía superficial fluye hacia el embalse de detención. Considere una tormenta de 25 años con a= 97.86, b = 16.4 y e= 0.76 en la relación intensidad de lluvia-duración. Resuelva el problema 15.4.6 utilizando la tormenta de 100 años, para la cual a = 117.28, b = 17.2 y e= 0.74. Desarrolle una ecuación para estimar el almacenamiento máximo en ·un embalse de detención utilizando el método racional modificado (véase la figura 15.P.6 para definir el volumen de almacenamiento). Utilice la siguiente ecuación de lluvia
+ eTd + d
donde P está en pulgadas de precipitación y Td es la duración en horas. Utilice la ecuación desarrollada en el problema 15.4.8 para estimar el almacenamiento máximo requerido en un embalse de detención localizado en una cuenca de 25 acres. El tiempo de concentración para condiciones antes del desarrollo es 30 minutos y para condiciones después del desarrollo es 5 minutos. El coeficiente de escorrentía para condiciones antes del desarrollo es 0.44 y para condiciones de desarrollo es 0.90. Suponga que toda la escorrentía superficial fluye hacia el embalse de detención. Considere una tormenta de 25 años donde:
a
a= 1.281, b = -10.73, e= 14.11, d = 0.089 para Td< 0.5 h = -0.0640, b = -21.33, e = 0.084, d = 24.99 para Td 2:: 0.5 h
15.4.10 Utilice el HEC-1 o cualquier otro modelo de simulación para transitar el siguiente hidrograma de flujo de entrada, el cual se dedujo de una tormenta de diseño Tipo 11 del SCS de 100 años, a través de llago Ganzert l9'calizado cerca de Round Rock, Texas. El hidrograma de escorrentía (flujo de entrada al embalse) para el drenaje de aguas arriba es: Tiempo (h:min) Caudal de entrada (cfs)
o
0:00
1:00 201
1:30 259
2:00 322
2:30 394
3:00 474
3:30 566
Tiempo (h:min) Caudal de entrada (cfs)
4:00 674
4:30 807
5:00 976
5:30 1,221
6:00 1,615
6:30 2,332
7:00 8,969
Tiempo (h:min) Caudal de entrada (cfs)
7:30 17,185
8:00 13,870
8:30 8,386
9:00 4,533
9:30 2,817
10:00 2,221
10:30 1,770
Tiempo (h:min) Caudal de entrada (cfs)
11:00 1,538
11:30 1,366
12:00 1,233
12:30 1,12'8
13:00 1,040
13:30 970
14:00 909
Tiempo (h:min) Caudal de entrada (cfs)
14:30 853
15:00 805
15:30 768
------Td
15.4.6
565
CRECIENTES DE DISEÑO
------+1
T.t Tiempo
FIGURA 15.P.6 Hidrograma para los problemas 15.4.8- 15.4.9.
564
15.2.5 15.2.6
15.2.7
15.4.1
15.4.2 15.4.3
15.4.4 15.4.5
HIDROLOGÍA APLICADA
de diseño de 100 años y 3 horas para Austin, dado en el problema 5.5.1. En la tabla 15.P.3 se presenta la información de la subcuenca. Debe utilizarse el modelo de infiltración ses para definir las pérdidas con los números de curva apropiados dados en la tabla 15.P.3. Utilice el método de Muskingum para el tránsito a través de las subáreas con un factor de ponderación X de 0.250 y los valores de K dados en la tabla. Utilice hidro gramas unitarios sintéticos de Snyder de 1O minutos para cada subárea. Lleve a cabo los cálculos durante un periodo de 20 horas. ¿Cuáles son las pérdidas totales y el volumen de exceso total para cada s11bárea? Resuelva el problema 15.2.4 utilizando el hidrograma unitario adimensional SCS para cada subárea. Resuelva el problema 15.2.4 para determinar el hidrograma de escorrentía utilizando la tormenta Tipo II del SCS de 100 años y 24 horas dada en la tabla 14.3.1. Esta tormenta tiene una profundidad total de 10 pulg. ¿Cuáles son las pérdidas totales y el volumen de exceso total para cada subárea? Resuelva el problema 15.2.4 para determinar el hidrograma de escorrentía utilizando el hidrograma unitario adimensional SCS para cada subárea y la tormenta Tipo 11 del SCS de 100 años y 24 horas dada en la tabla 14.3.1. ¿Cuáles son las pérdidas totales y el volumen de exceso total para cada subárea? Determine y dibuje los hidrogramas del método racional modificado para una cuenca de drenaje de 27 acres en Urbana, Illinois, para la cual el tiempo de concentración es de 20 minutos y el coeficiente de escorrentía es 0.65. Utilice un periodo de retorno de 25 años y la curva intensidad-duración-frecuencia definida por i = 120'P 175 /(Td + 27). Considere duraciones de lluvia de 30, 40, 50, 60 y 120 min. Resuelva el problema 15.4.1 para un periodo de retorno de 100 años. Determine el máximo almacenamiento para un embalse de detención localizado en una cuenca de 25 acres, para la cual el coeficiente de escorrentía después del desarrollo es 0.8, y el tiempo de concentración antes del desarrollo es de 25 minutos y después del desarrollo es 25 minutos. El caudal permitido es 25 cfs; a = 96.6 y b = 13.9. Resuelva el problema 15.4.3 considerando un tiempo de concentración después del desarrollo de 1O min. Desarrolle una ecuación para estimar el almacenamiento máximo en una cuenca de detención utilizando el método racional modificado. Exprese el almacenamiento como una función de la duración, luego diferencie la función de almacenamiento con respecto a la duración e iguale la derivada a cero; luego resuelva esta expresión para la duración. En lugar de la relación intensidad-duración dada en la ecuación (15.4.3), utilice
P = bT;
15.4.9
15.4.7 15.4.8
donde i es la intensidad de lluvia en pulg/h y Td es la duración en minutos. El caudal permitido es QA. Utilice la ecuación desarrollada en el problema 15.4.5 para estimar el almacenamiento máximo requerido en un embalse de detención localizado en una cuenca de 25 acres, en Austin, Texas. El tiempo de concentración para las condiciones antes del desarrollo es de 30 minutos y para las condiciones después del desarrollo es de 10 minutos. El coeficiente de escorrentía para las condiciones antes del desarrollo es 0.44 y para las condiciones después del desarrollo es 0.90. Suponga que toda la escorrentía superficial fluye hacia el embalse de detención. Considere una tormenta de 25 años con a= 97.86, b = 16.4 y e= 0.76 en la relación intensidad de lluvia-duración. Resuelva el problema 15.4.6 utilizando la tormenta de 100 años, para la cual a = 117.28, b = 17.2 y e= 0.74. Desarrolle una ecuación para estimar el almacenamiento máximo en ·un embalse de detención utilizando el método racional modificado (véase la figura 15.P.6 para definir el volumen de almacenamiento). Utilice la siguiente ecuación de lluvia
+ eTd + d
donde P está en pulgadas de precipitación y Td es la duración en horas. Utilice la ecuación desarrollada en el problema 15.4.8 para estimar el almacenamiento máximo requerido en un embalse de detención localizado en una cuenca de 25 acres. El tiempo de concentración para condiciones antes del desarrollo es 30 minutos y para condiciones después del desarrollo es 5 minutos. El coeficiente de escorrentía para condiciones antes del desarrollo es 0.44 y para condiciones de desarrollo es 0.90. Suponga que toda la escorrentía superficial fluye hacia el embalse de detención. Considere una tormenta de 25 años donde:
a
a= 1.281, b = -10.73, e= 14.11, d = 0.089 para Td< 0.5 h = -0.0640, b = -21.33, e = 0.084, d = 24.99 para Td 2:: 0.5 h
15.4.10 Utilice el HEC-1 o cualquier otro modelo de simulación para transitar el siguiente hidrograma de flujo de entrada, el cual se dedujo de una tormenta de diseño Tipo 11 del SCS de 100 años, a través de llago Ganzert l9'calizado cerca de Round Rock, Texas. El hidrograma de escorrentía (flujo de entrada al embalse) para el drenaje de aguas arriba es: Tiempo (h:min) Caudal de entrada (cfs)
o
0:00
1:00 201
1:30 259
2:00 322
2:30 394
3:00 474
3:30 566
Tiempo (h:min) Caudal de entrada (cfs)
4:00 674
4:30 807
5:00 976
5:30 1,221
6:00 1,615
6:30 2,332
7:00 8,969
Tiempo (h:min) Caudal de entrada (cfs)
7:30 17,185
8:00 13,870
8:30 8,386
9:00 4,533
9:30 2,817
10:00 2,221
10:30 1,770
Tiempo (h:min) Caudal de entrada (cfs)
11:00 1,538
11:30 1,366
12:00 1,233
12:30 1,12'8
13:00 1,040
13:30 970
14:00 909
Tiempo (h:min) Caudal de entrada (cfs)
14:30 853
15:00 805
15:30 768
------Td
15.4.6
565
CRECIENTES DE DISEÑO
------+1
T.t Tiempo
FIGURA 15.P.6 Hidrograma para los problemas 15.4.8- 15.4.9.
566
HIDROLOGÍA APLICADA
567
CRECIENTES DE DISEÑO
Las características del embalse son las siguientes: Estructura de retardo de flujo SCS sitio No. 8* (Lago Ganzert) Caudal Elevación (pies sobre
Almacenamiento en el embalse
Vertedero principal
Vertedero de emergencia
Total
NMM)
Área superficial del embalse (acres)
(acres . pie)
(cfs)
(cfs)
(cfs)
824.0 824.8 826.4 828.0 832.0 836.0 840.0 844.0 846.8 847.8 848.0 848.8 849.8 850.8 851.8 852.0
29.0 37.0 40.0 48.0 70.0 111.0 168.0 218.0 264.0 281.0 284.0 299.0 317.0 336.0 354.0 358.0
174.0 200.0 262.0 332.0 568.0 930.0 1,488.0 2,260.0 2,935.0 3,209.0 3,264.0 3,521.0 3,842.0 4,163.0 4,484.0 4,548.0
0.0 32.6 65.1 73.3 80.6 87.4 93.6 97.7 99.2 99.5 100.0 100.0 100.0 100.0
Nivel superior de la presa Nivel de cresta del vertedero de emergencia Nivel de cresta del vertedero principal Nivel del embalse muerto Longitud de cresta del vertedero de emergencia Área de drenaje Almacenamiento de sedimentos Almacenamiento de crecientes Capacidad máxima del vertedero de emergencia
o 280 442 1,092 2,142 3,612 5,397
0.0 32.6 65.1 73.3 80.6 87.4 93.6 97.7 379.2 541.5 1,192.0 2,242.0 3,712.0 5,497.0
Suponga que la elevación de la superficie del agua inicial coincide con la elevación de la cresta del vertedero principal. ¿Cuáles son el almacenamiento pico, el nivel pico y el caudal pico del embalse? 15.4.11 Utilice el HEC-1 o cualquier otro modelo de simulación para transitar el hidrograma del caudal de entrada dado, el cual corresponde a una tormenta de diseño Tipo II del SCS de 100 años, a través del lago Smith, localizado cerca de Round Rock, Texas. El hidrograma de escorrentía (caudal de entrada al embalse) de drenaje de aguas arriba es:
Tiempo (h:min) Caudal de entrada (cfs)
o
0:00
1:00 215
1:30 259
2:00 311
2:30 373
3:00 450
Tiempo (h:min) Caudal de entrada (cfs)
3:30 557
4:00 721
4:30 1,008
5:00 3,090
5:30 6,746
6:00 7,363
Tiempo (h:min) Caudal de entrada (cfs)
6:30 6,249
7:00 3,797
7:30 2,121
8:00 1,381
8:30 1,064
9:00
Tiempo (h:min) Caudal de entrada (cfs)
9:30 786
10:00 702
10:30 637
11:00 584
11:30 541
897
Las características del embalse son las siguientes:
Estructura de retardo de flujo SCS sitio No. 9* (Lago Smith) Caudal
851.8 pies sobre NMM 846.8 pies sobre NMM 826.4 pies sobre NMM 824.8 pies sobre NMM 210.0 pies 5,180.0 acres 262.0 acres · pie 2,673.0 acres · pie 3,850.0 cfs
*Información-obtenida del Soil Conservation Service (U. S. Department of Agriculture) en Waco, Texas.
Elevación Área Almacenamiento Vertedero principal superficial en el embalse (pies sobre del embalse (acres . pie) NMM) (acres) (cfs) 770.0 774.0 778.8 782.0 785.4 786.4 787.4 788.4 789.4
39.7 65.0 96.9 134.7 183.2 197.4 211.7 225.9 240.2
192.3 401.7 725.5 1,188.7 1,725.0 1,939.0 2,153.0 2,367.0 2,581.0
0.0 40.2 45.0 49.3 52.7 53.7 54.6 55.5
Nivel superior de la presa Nivel de la cresta del vertedero de emergencia Nivel de la cresta del vertedero principal Longitud de la cresta del vertedero de emergencia Área de drenaje Almacenamiento de sedimentos Almacenamiento de crecientes Capacidad máxima del vertedero de emergencia
Descarga de fondo (cfs)
Vertedero de emergencia
Total
(cfs)
(cfs)
o 16.0 20.0 24.0 27.4 28.4 29.3 30.4
o 420 1,620 3,210 5,430
791.0 pies sobre NMM 785.4 pies sobre NMM 770.0 pies sobre NMM 300.0 pies 3,616.0 acres 182.0 acres . pie 1,638.0 acres . pie 5,100.0 cfs
* Información obtenida del Soil Conservation Service (U. S. Department of agriculture) en Waco. Texas.
56.2 65.0 73.3 80.1 502.1 1,703.9 3,295.9 5,520.0
566
HIDROLOGÍA APLICADA
567
CRECIENTES DE DISEÑO
Las características del embalse son las siguientes: Estructura de retardo de flujo SCS sitio No. 8* (Lago Ganzert) Caudal Elevación (pies sobre
Almacenamiento en el embalse
Vertedero principal
Vertedero de emergencia
Total
NMM)
Área superficial del embalse (acres)
(acres . pie)
(cfs)
(cfs)
(cfs)
824.0 824.8 826.4 828.0 832.0 836.0 840.0 844.0 846.8 847.8 848.0 848.8 849.8 850.8 851.8 852.0
29.0 37.0 40.0 48.0 70.0 111.0 168.0 218.0 264.0 281.0 284.0 299.0 317.0 336.0 354.0 358.0
174.0 200.0 262.0 332.0 568.0 930.0 1,488.0 2,260.0 2,935.0 3,209.0 3,264.0 3,521.0 3,842.0 4,163.0 4,484.0 4,548.0
0.0 32.6 65.1 73.3 80.6 87.4 93.6 97.7 99.2 99.5 100.0 100.0 100.0 100.0
Nivel superior de la presa Nivel de cresta del vertedero de emergencia Nivel de cresta del vertedero principal Nivel del embalse muerto Longitud de cresta del vertedero de emergencia Área de drenaje Almacenamiento de sedimentos Almacenamiento de crecientes Capacidad máxima del vertedero de emergencia
o 280 442 1,092 2,142 3,612 5,397
0.0 32.6 65.1 73.3 80.6 87.4 93.6 97.7 379.2 541.5 1,192.0 2,242.0 3,712.0 5,497.0
Suponga que la elevación de la superficie del agua inicial coincide con la elevación de la cresta del vertedero principal. ¿Cuáles son el almacenamiento pico, el nivel pico y el caudal pico del embalse? 15.4.11 Utilice el HEC-1 o cualquier otro modelo de simulación para transitar el hidrograma del caudal de entrada dado, el cual corresponde a una tormenta de diseño Tipo II del SCS de 100 años, a través del lago Smith, localizado cerca de Round Rock, Texas. El hidrograma de escorrentía (caudal de entrada al embalse) de drenaje de aguas arriba es:
Tiempo (h:min) Caudal de entrada (cfs)
o
0:00
1:00 215
1:30 259
2:00 311
2:30 373
3:00 450
Tiempo (h:min) Caudal de entrada (cfs)
3:30 557
4:00 721
4:30 1,008
5:00 3,090
5:30 6,746
6:00 7,363
Tiempo (h:min) Caudal de entrada (cfs)
6:30 6,249
7:00 3,797
7:30 2,121
8:00 1,381
8:30 1,064
9:00
Tiempo (h:min) Caudal de entrada (cfs)
9:30 786
10:00 702
10:30 637
11:00 584
11:30 541
897
Las características del embalse son las siguientes:
Estructura de retardo de flujo SCS sitio No. 9* (Lago Smith) Caudal
851.8 pies sobre NMM 846.8 pies sobre NMM 826.4 pies sobre NMM 824.8 pies sobre NMM 210.0 pies 5,180.0 acres 262.0 acres · pie 2,673.0 acres · pie 3,850.0 cfs
*Información-obtenida del Soil Conservation Service (U. S. Department of Agriculture) en Waco, Texas.
Elevación Área Almacenamiento Vertedero principal superficial en el embalse (pies sobre del embalse (acres . pie) NMM) (acres) (cfs) 770.0 774.0 778.8 782.0 785.4 786.4 787.4 788.4 789.4
39.7 65.0 96.9 134.7 183.2 197.4 211.7 225.9 240.2
192.3 401.7 725.5 1,188.7 1,725.0 1,939.0 2,153.0 2,367.0 2,581.0
0.0 40.2 45.0 49.3 52.7 53.7 54.6 55.5
Nivel superior de la presa Nivel de la cresta del vertedero de emergencia Nivel de la cresta del vertedero principal Longitud de la cresta del vertedero de emergencia Área de drenaje Almacenamiento de sedimentos Almacenamiento de crecientes Capacidad máxima del vertedero de emergencia
Descarga de fondo (cfs)
Vertedero de emergencia
Total
(cfs)
(cfs)
o 16.0 20.0 24.0 27.4 28.4 29.3 30.4
o 420 1,620 3,210 5,430
791.0 pies sobre NMM 785.4 pies sobre NMM 770.0 pies sobre NMM 300.0 pies 3,616.0 acres 182.0 acres . pie 1,638.0 acres . pie 5,100.0 cfs
* Información obtenida del Soil Conservation Service (U. S. Department of agriculture) en Waco. Texas.
56.2 65.0 73.3 80.1 502.1 1,703.9 3,295.9 5,520.0
568
HIDROLOGÍA APLICADA
569
CRECIENTES DE DISEÑO
15.6.1
15.6.2
Suponga que la elevación inicial de la superficie del agua es igual a la elevación de la cresta del vertedero principal. ¿Cuáles son el almacenamiento pico, el nivel pico y el caudal pico del embalse? Escriba un programa de computador para llevar a cabo el cálculo de balance de agua en un embalse. El programa de computador debe tener la siguiente información de entrada: características elevación de la superficie del agua-área superficial-capacidad; factores de demanda mensuales; caudales mensuales de entrada en el embalse; información de evaporación neta mensual; y nivel inicial de almacenamiento. La salida del programa debe estar compuesta por los valores mensuales de pérdidas por evaporación neta, demanda, caudales de entrada y vertimientos. Adicionalmente debe imprimirse el volumen almacenado al final de cada año. Calcule los balances de agua mensuales para el sitio de presa propuesto en Justiceburg cerca de Lubbock, Texas, para los años 1940 a 1942. Suponga que el embalse se encuentra inicialmente con un nivel normal de almacenamiento, en la elevación 2,220 pies sobre el nivel medio del mar (la cual corresponde a la elevación del vertedero de servicio). El vertedero de emergencia se localiza a 2,240 pies sobre el NMM. Las características elevación-área superficial-capacidad son las siguientes:
Elevación (pies sobre NMM) Área (acres) Capacidad (acres . pie)
2,130 108 608
2,140 253 2,407
2,150 506 6,187
2,160 765 12,515
2,170 1,046 21,549
2,180 1,330 33,417
Elevación (pies sobre NMM) Área (acres) Capacidad (acres · pie)
2,190 1,682 48,485
2,200 2,045 67,065
2,205 2,232 77,737
2,210 2,437 89,414
2,215 2,651 102,108
2,220 2,884 115,937
Elevación (pies sobre NMM) Área (acres) Capacidad (acres . pie)
2,225 3,197 131,153
2,230 3,589 148,069
2,235 4,094 167,194
2,240 4,784 189,268
Considere una demanda anual de 26,100 acre·pie con las siguientes fracciones de demanda. Mes Fracción Mes Fracción
15.6.3
15.6.4
15.6.5
1
2
0.05 7
0.15
0.05
3 0.05
4 0.06
8 0.17
9 0.09
5 0.07
6 0.13
10
11
0.07
0.06
12 0.05
La información de evaporación neta está dada en la tabla 15.P.4 y la información de escorrentía (caudales de entrada en el embalse) está dada en la tabla 15.P.5. Utilice el programa de computador escrito para el problema 15.6.1 con el fin de hacer el balance de agua desde 1940 hasta 1978 para el sitio de la presa J usticeburg descrito en el problema 15.6.2. ¿Cuál es el almacenamiento mínimo en el embalse para este periodo? Utilice el programa de computador escrito para el problema 15.6.1 con el fin de hacer el balance de agua (1940-1978) para el sitio del embalse Justiceburg. Utilice la información presentada en el problema 15.6.2, pero suponiendo las siguientes capacidades de embalse: 50,000 acres . pie, 90,000 acres · pie y 130,000 acres . pie. Determine el caudal firme para el sitio del embalse Justiceburg (véase el problema 15.6.2). Utilice el programa de computador escrito para el problema 15.6.1 con el
15.6.6 15.6.7
fin de hacer el balance de agua. Suponga una capacidad de embalse de 110,000 acres· pie, permita un vaciado completo del embalse. Resuelva el problema 15.6.5 para determinar el caudal firme para una capacidad de embalse de 110,000 acres . pie permitiendo un almacenamiento mínimo de 2,000 acres · pie. Resuelva el problema 15.6.5 para determinar el caudal firme con una capacidad de embalse de 130,000 acres ·pie permitiendo un vaciado completo. Además, determine el caudal firme para un almacenamiento mínimo de 2,000 acres · pie.
TABLA 1S.P.4
Información de evaporación neta para el embalse Justiceburg dada en pies Año
Ene.
Feb.
Mar. Abr.
May. Jun. Jul.
Ago.
Sep. Oct.
Nov.
Dic.
Total
1940
0.09
0.04
0.46
0.37
0.56
0.48
1.03
0.58
0.79
0.04
0.16
4.99
1941 1942 1943 1944 1945
0.12 0.18 0.21 0.03 0.11
0.09 0.25 0.35 0.05 0.13
0.02 0.38 0.35 0.29 0.34
0.18 -{).48 0.08 0.65 0.52 0.27 0.48 0.41 0.39 0.64
0.35 0.50 0.56 0.68 0.78
0.50 0.62 0.51 0.45 0.49
0.63 0.18 -0.28 0.53 -0.03 0.12 1.12 0.59 0.53 0.66 0.33 0.32 0.53 0.61 0.13
0.26 0.14 0.34 -0.13 0.31 -0.01 0.13 0.01 0.32 0.19
1.71 3.49 5.31 3.84 4.66
1946 1947 1948 1949 1950
0.08 0.05 0.13 -0.12 0.27
0.28 0.23 0.11 0.17 0.24
0.39 0.14 0.41 0.30 0.44
0.58 0.36 0.57 0.24 0.38
0.52 0.09 0.45 0.02 0.15
0.69 0.67 0.58 0.33 0.43
0.90 0.79 0.71 0.55 o. 13
0.73 0.84 0.81 0.66 0.60
0.33 1.08 0.69 0.34 0.18
0.13 0.60 0.40 0.22 0.69
0.26 0.22 0.41 0.47 0.53
0.14 0.12 0.33 0.23 0.33
5.03 5.19 5.60 3.41 4.37
1951 1952 1953 1954 1955
0.23 0.20 0.35 0.32 0.18
0.18 0.35 0.27 0.42 0.21
0.38 0.53 0.36 0.53 0.63
0.49 0.26 0.56 0.31 0.60
0.38 0.43 0.60 0.03 0.29
0.63 0.98 1.02 0.89 0.51
O. 76 0.62 0.83 1.02 0.56
0.50 1.01 0.67 0.78 0.76
O. 73 0.75 0.84 0.93 0.41
0.50 0.80 0.15 0.59 0.33
0.33 0.42 0.28 0.47 0.50
0.33 0.24 0.31 0.34 0.47
5.44 6.59 6.24 6.63 5.45
1956 1957 1958 1959 1960
0.31 0.24 0.03 0.17 0.05
0.26 0.60 0.12 0.40 0.09 -0.05 0.20 0.48 0.09 0.23
0.71 0.52 0.64 0.12 -0.09 0.41 0.12 0.15 0.61 0.30 0.23 -0.06 0.46 0.46 0.36
0.93 0.78 0.71 0.33 0.01
1.06 0.87 0.81 0.77 0.87
1.02 0.63 0.50 0.78 0.58
0.64 0.10 0.28 0.25 0.00
0.35 0.05 0.27 0.40 0.37
0.40 0.34 0.21 0.28 0.03
7.44 3.97 3.73 4.13 3.51
1961 1962 1963 1964 1965
0.08 0.12 0.18 0.20 0.35
0.01 0.29 0.15 0.15 0.30
0.51 0.41 0.33 0.80 0.49 -0.01 0.65 0.52 0.38 0.30
0.26 0.54 0.17 0.49 0.55
0.14 0.43 0.73 0.79 0.72
0.51 0.61 0.61 0.61 0.46
0.65 0.14 0.51 0.41 0.34
0.52 0.31 0.57 0.55 0.57
0.15 0.26 0.33 0.33 0.38
0.16 0.15 0.21 0.20 0.19
3.62 4.31 4.30 5.35 4.84
1966 1967 1968 1969 1970
0.09 0.13 0.04 0.15 0.17
0.08 0.37 0.20 0.25 0.05 -0.06 0.07 0.07 0.19 0.08
0.15 0.38 0.25 0.29 0.48
0.25 0.38 0.33 0.06 0.57
0.50 0.60 0.40 0.54 0.59
0.48 0.42 0.42 0.69 0.83
0.24 0.58 0.48 0.61 0.57
0.23 0.51 0.16 0.63 0.48 0.33 0.21 -0.09 0.24 0.35
0.39 0.19 0.10 0.18 0.44
0.22 0.14 0.15 0.17 0.38
3.51 4.06 2.97 2.95 4.89
1971 1972 1973 1974 1975
0.28 0.26 0.07 0.25 0.22
0.28 0.25 0.06 0.37 0.09
0.50 0.43 0.19 0.38 0.40
0.50 0.49 0.26 0.60 0.48
0.64 0.31 0.62 0.68 0.46
0.58 0.41 0.77 0.76 0.62
o. 76 0.23 0.30 0.21 0.23 0.15 4.66 0.48 0.49 0.89 0.34
0.29 0.73 0.33 0.56
0.26 0.38 0.17 0.27
0.23 0.46 0.14 0.57
0.16 0.41 0.23 0.27
0.17 0.42 0.19 0.24
3.74 4.86 4.99 4.52
1976 1977 1978
0.40 0.11 0.17
0.46 0.23 0.10
0.55 -0.06 0.59 0.47 0.25 -0.09 0.46 0.74 0.34
0.83 0.67 0.56
0.22 0.94 0.61
0.37 0.31 0.63
0.19 0.81 0.47
0.12 0.54 0.35
0.29 0.46 0.30
0.30 0.46 0.22
4.26 5.16 4.95
Promedio 0.17
0.19
0.34
0.56
0.61
0.63
0.47
0.35
0.30
0.22
4.57
0.22 0.33 0.36 0.45 0.30
0.39
0.34
0.39
Nota: La información de mayo a diciembre de 1978 no está disponible y ha sido reemplazada por sus valores promedio.
568
HIDROLOGÍA APLICADA
569
CRECIENTES DE DISEÑO
15.6.1
15.6.2
Suponga que la elevación inicial de la superficie del agua es igual a la elevación de la cresta del vertedero principal. ¿Cuáles son el almacenamiento pico, el nivel pico y el caudal pico del embalse? Escriba un programa de computador para llevar a cabo el cálculo de balance de agua en un embalse. El programa de computador debe tener la siguiente información de entrada: características elevación de la superficie del agua-área superficial-capacidad; factores de demanda mensuales; caudales mensuales de entrada en el embalse; información de evaporación neta mensual; y nivel inicial de almacenamiento. La salida del programa debe estar compuesta por los valores mensuales de pérdidas por evaporación neta, demanda, caudales de entrada y vertimientos. Adicionalmente debe imprimirse el volumen almacenado al final de cada año. Calcule los balances de agua mensuales para el sitio de presa propuesto en Justiceburg cerca de Lubbock, Texas, para los años 1940 a 1942. Suponga que el embalse se encuentra inicialmente con un nivel normal de almacenamiento, en la elevación 2,220 pies sobre el nivel medio del mar (la cual corresponde a la elevación del vertedero de servicio). El vertedero de emergencia se localiza a 2,240 pies sobre el NMM. Las características elevación-área superficial-capacidad son las siguientes:
Elevación (pies sobre NMM) Área (acres) Capacidad (acres . pie)
2,130 108 608
2,140 253 2,407
2,150 506 6,187
2,160 765 12,515
2,170 1,046 21,549
2,180 1,330 33,417
Elevación (pies sobre NMM) Área (acres) Capacidad (acres · pie)
2,190 1,682 48,485
2,200 2,045 67,065
2,205 2,232 77,737
2,210 2,437 89,414
2,215 2,651 102,108
2,220 2,884 115,937
Elevación (pies sobre NMM) Área (acres) Capacidad (acres . pie)
2,225 3,197 131,153
2,230 3,589 148,069
2,235 4,094 167,194
2,240 4,784 189,268
Considere una demanda anual de 26,100 acre·pie con las siguientes fracciones de demanda. Mes Fracción Mes Fracción
15.6.3
15.6.4
15.6.5
1
2
0.05 7
0.15
0.05
3 0.05
4 0.06
8 0.17
9 0.09
5 0.07
6 0.13
10
11
0.07
0.06
12 0.05
La información de evaporación neta está dada en la tabla 15.P.4 y la información de escorrentía (caudales de entrada en el embalse) está dada en la tabla 15.P.5. Utilice el programa de computador escrito para el problema 15.6.1 con el fin de hacer el balance de agua desde 1940 hasta 1978 para el sitio de la presa J usticeburg descrito en el problema 15.6.2. ¿Cuál es el almacenamiento mínimo en el embalse para este periodo? Utilice el programa de computador escrito para el problema 15.6.1 con el fin de hacer el balance de agua (1940-1978) para el sitio del embalse Justiceburg. Utilice la información presentada en el problema 15.6.2, pero suponiendo las siguientes capacidades de embalse: 50,000 acres . pie, 90,000 acres · pie y 130,000 acres . pie. Determine el caudal firme para el sitio del embalse Justiceburg (véase el problema 15.6.2). Utilice el programa de computador escrito para el problema 15.6.1 con el
15.6.6 15.6.7
fin de hacer el balance de agua. Suponga una capacidad de embalse de 110,000 acres· pie, permita un vaciado completo del embalse. Resuelva el problema 15.6.5 para determinar el caudal firme para una capacidad de embalse de 110,000 acres . pie permitiendo un almacenamiento mínimo de 2,000 acres · pie. Resuelva el problema 15.6.5 para determinar el caudal firme con una capacidad de embalse de 130,000 acres ·pie permitiendo un vaciado completo. Además, determine el caudal firme para un almacenamiento mínimo de 2,000 acres · pie.
TABLA 1S.P.4
Información de evaporación neta para el embalse Justiceburg dada en pies Año
Ene.
Feb.
Mar. Abr.
May. Jun. Jul.
Ago.
Sep. Oct.
Nov.
Dic.
Total
1940
0.09
0.04
0.46
0.37
0.56
0.48
1.03
0.58
0.79
0.04
0.16
4.99
1941 1942 1943 1944 1945
0.12 0.18 0.21 0.03 0.11
0.09 0.25 0.35 0.05 0.13
0.02 0.38 0.35 0.29 0.34
0.18 -{).48 0.08 0.65 0.52 0.27 0.48 0.41 0.39 0.64
0.35 0.50 0.56 0.68 0.78
0.50 0.62 0.51 0.45 0.49
0.63 0.18 -0.28 0.53 -0.03 0.12 1.12 0.59 0.53 0.66 0.33 0.32 0.53 0.61 0.13
0.26 0.14 0.34 -0.13 0.31 -0.01 0.13 0.01 0.32 0.19
1.71 3.49 5.31 3.84 4.66
1946 1947 1948 1949 1950
0.08 0.05 0.13 -0.12 0.27
0.28 0.23 0.11 0.17 0.24
0.39 0.14 0.41 0.30 0.44
0.58 0.36 0.57 0.24 0.38
0.52 0.09 0.45 0.02 0.15
0.69 0.67 0.58 0.33 0.43
0.90 0.79 0.71 0.55 o. 13
0.73 0.84 0.81 0.66 0.60
0.33 1.08 0.69 0.34 0.18
0.13 0.60 0.40 0.22 0.69
0.26 0.22 0.41 0.47 0.53
0.14 0.12 0.33 0.23 0.33
5.03 5.19 5.60 3.41 4.37
1951 1952 1953 1954 1955
0.23 0.20 0.35 0.32 0.18
0.18 0.35 0.27 0.42 0.21
0.38 0.53 0.36 0.53 0.63
0.49 0.26 0.56 0.31 0.60
0.38 0.43 0.60 0.03 0.29
0.63 0.98 1.02 0.89 0.51
O. 76 0.62 0.83 1.02 0.56
0.50 1.01 0.67 0.78 0.76
O. 73 0.75 0.84 0.93 0.41
0.50 0.80 0.15 0.59 0.33
0.33 0.42 0.28 0.47 0.50
0.33 0.24 0.31 0.34 0.47
5.44 6.59 6.24 6.63 5.45
1956 1957 1958 1959 1960
0.31 0.24 0.03 0.17 0.05
0.26 0.60 0.12 0.40 0.09 -0.05 0.20 0.48 0.09 0.23
0.71 0.52 0.64 0.12 -0.09 0.41 0.12 0.15 0.61 0.30 0.23 -0.06 0.46 0.46 0.36
0.93 0.78 0.71 0.33 0.01
1.06 0.87 0.81 0.77 0.87
1.02 0.63 0.50 0.78 0.58
0.64 0.10 0.28 0.25 0.00
0.35 0.05 0.27 0.40 0.37
0.40 0.34 0.21 0.28 0.03
7.44 3.97 3.73 4.13 3.51
1961 1962 1963 1964 1965
0.08 0.12 0.18 0.20 0.35
0.01 0.29 0.15 0.15 0.30
0.51 0.41 0.33 0.80 0.49 -0.01 0.65 0.52 0.38 0.30
0.26 0.54 0.17 0.49 0.55
0.14 0.43 0.73 0.79 0.72
0.51 0.61 0.61 0.61 0.46
0.65 0.14 0.51 0.41 0.34
0.52 0.31 0.57 0.55 0.57
0.15 0.26 0.33 0.33 0.38
0.16 0.15 0.21 0.20 0.19
3.62 4.31 4.30 5.35 4.84
1966 1967 1968 1969 1970
0.09 0.13 0.04 0.15 0.17
0.08 0.37 0.20 0.25 0.05 -0.06 0.07 0.07 0.19 0.08
0.15 0.38 0.25 0.29 0.48
0.25 0.38 0.33 0.06 0.57
0.50 0.60 0.40 0.54 0.59
0.48 0.42 0.42 0.69 0.83
0.24 0.58 0.48 0.61 0.57
0.23 0.51 0.16 0.63 0.48 0.33 0.21 -0.09 0.24 0.35
0.39 0.19 0.10 0.18 0.44
0.22 0.14 0.15 0.17 0.38
3.51 4.06 2.97 2.95 4.89
1971 1972 1973 1974 1975
0.28 0.26 0.07 0.25 0.22
0.28 0.25 0.06 0.37 0.09
0.50 0.43 0.19 0.38 0.40
0.50 0.49 0.26 0.60 0.48
0.64 0.31 0.62 0.68 0.46
0.58 0.41 0.77 0.76 0.62
o. 76 0.23 0.30 0.21 0.23 0.15 4.66 0.48 0.49 0.89 0.34
0.29 0.73 0.33 0.56
0.26 0.38 0.17 0.27
0.23 0.46 0.14 0.57
0.16 0.41 0.23 0.27
0.17 0.42 0.19 0.24
3.74 4.86 4.99 4.52
1976 1977 1978
0.40 0.11 0.17
0.46 0.23 0.10
0.55 -0.06 0.59 0.47 0.25 -0.09 0.46 0.74 0.34
0.83 0.67 0.56
0.22 0.94 0.61
0.37 0.31 0.63
0.19 0.81 0.47
0.12 0.54 0.35
0.29 0.46 0.30
0.30 0.46 0.22
4.26 5.16 4.95
Promedio 0.17
0.19
0.34
0.56
0.61
0.63
0.47
0.35
0.30
0.22
4.57
0.22 0.33 0.36 0.45 0.30
0.39
0.34
0.39
Nota: La información de mayo a diciembre de 1978 no está disponible y ha sido reemplazada por sus valores promedio.
Ul
.....¡
= TABLA lS.P.S
Información de escorrentía para el sitio de la presa Justiceburg en acres. pie Año
Ene.
Feb.
1940
20
190
o
570
2,650
5,570
lOO
15,780
6,280
o
2,910
130
34,200
o
870 40 40 20 20
~.530
30,830 3,250 970 60 170
68,820 760 3,000 3,510 230
21,700 3,530 4,190 990 3,910
11,210 650 3,050 6,250 12,140
5,670 7,360
10,730 9,400
o
2,500 730
890 1,430
o
54,660 13,950
o
o
540
220 2,020
590 10,990
300 60
920
o
213,410 41,360 12,570 13,400 30,170
o o
o
1,100 47,310 1,560 9,420 19,950
2,680 2,700 10,120 12,340 1,790
330 1,060 15,350 120 'i,370
4,180 2,300 270 1,260
4,840 1,130 30 10,450 19,770
13,740 540 2,040 1,220 360
320 30 4,220 140 lO
2,470 2,350 lO lO lO
29,670 55,470 40,310 35,260 52,310
2,800 4,940 5,140 25,360 46,440
9,650 170 670 2,030 13,480
790 2,300 2,810
5,170 340 4,540
210 170 60
lO
22,670
24,380
910
70,500
5,010 43,810 15,300 2,240 1,310
690 32,360 3,160 28,180 1,590
510 3,920 270 31,380 32,380
620 1,770 1,030 4,310 460
o
1941 1942 1943 1944 1945 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960
250 700
o
60
o 240 lO
o
4,380
130
lO
o o
o o
20 lO 280
o
60 lO 380
lO 620
o
570
May.
lO
o o
lO 290
o o o o
1,290 3,650
160
540 22,990 160
o
lO
Abr.
Mar.
lO lO 1,620
5,970
lOO 5,670 80
20 110 210
o
o
240
70
o
20
o
lO 17,620 2,560 170
o
Jun.
Sep.
Ago.
Jul.
o
o
lOO
o
Oct.
o
2,810 4,100
o 20
Dic.
Nov.
o
Total
o
o 20 70
31,510
90 1,020 260 940
460
18,660 8,030 37,690 50,670 197,380
320 6,760 430 6,820 60,090
40 5,490 530 260 1,830
20 150 30 3,760 1,020
7,620 120,470 27,760 77,130 99,390
o o
o
::::
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TABLA lS.P.S (cont.)
Cll
Información de escorrentía para el sitio de la presa Justiceburg en acres . pie Año
Ene.
Feb.
1961 1962 1963 1964 1965
1,140 20 40 480
1,200 lO 20 20
1966 1967 1968 1969 1970
30
1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 Promedio
o
o
700
o
20
Mar. 810
Abr.
May.
,Jun. 26,460 10,680 39,630 2,920 810
31,050 3,490 lOO
om
Ago.
Sep.
Oct.
Nov.
Dic.
Total
1,780 2,210 560 2,120 12,110
600 35,350 900 1,570 1,570
280 480 1,820
2,110 20 1,700 210 lO
30 340 lO 490 940
65,690 52,610 57,660 10,180 42,680
720 2,680
lO lO 3,710 2,450
lO lO 60 50
19,900 83,180 14,550 74,660 16,720
40
lOO
80 50
140 570
lO lO
37,350 55,360 10,000 9,630 22,570
80
180 lO 60
o
lOO
640
12,740 2,370 26,260
lO lO 1,300 lO lO
20 4,440 2,750 2,700 8,110
11,560 1,150 370 2,550 240
2,100 920 1,070 35,450 4,670
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30 23,340 1,350 lO
o
4,800 60 1,740 3,290 320
17,510 2,260
lO 1,560 330 9,480 400
lO
3,360 1,650 120 140 360
770 4,860 240 40 1,950
1,130 3,990 2,680 140 6,040
9,530 40,550 270 990 5,390
21,370 3,410 2,150 5,220 8,160
1,060 710 lO 2,740 lO
180 2,870 4,100
9,170
1,390 20 5,640
830 30 2,000
o
o o
970
700 3,800 270
30
o
260 7,360 12,130
860
420
15,650 15,740 26,390
2,740
10,810
7,940
6,100
3,770
6,490
6,380
860
420
47,020
o
o
o
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o
20 740
lO 1,730
lO 1,950
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10
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140
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Nota: La infonnación de noviembre
o
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110 210 30 3,070 1,660
50
Jul.
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210
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y diciembre de 1978 no está disponible y ha sido reemplazada por sus valores promedio.
Ul
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= TABLA lS.P.S
Información de escorrentía para el sitio de la presa Justiceburg en acres. pie Año
Ene.
Feb.
1940
20
190
o
570
2,650
5,570
lOO
15,780
6,280
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2,910
130
34,200
o
870 40 40 20 20
~.530
30,830 3,250 970 60 170
68,820 760 3,000 3,510 230
21,700 3,530 4,190 990 3,910
11,210 650 3,050 6,250 12,140
5,670 7,360
10,730 9,400
o
2,500 730
890 1,430
o
54,660 13,950
o
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540
220 2,020
590 10,990
300 60
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o
213,410 41,360 12,570 13,400 30,170
o o
o
1,100 47,310 1,560 9,420 19,950
2,680 2,700 10,120 12,340 1,790
330 1,060 15,350 120 'i,370
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4,840 1,130 30 10,450 19,770
13,740 540 2,040 1,220 360
320 30 4,220 140 lO
2,470 2,350 lO lO lO
29,670 55,470 40,310 35,260 52,310
2,800 4,940 5,140 25,360 46,440
9,650 170 670 2,030 13,480
790 2,300 2,810
5,170 340 4,540
210 170 60
lO
22,670
24,380
910
70,500
5,010 43,810 15,300 2,240 1,310
690 32,360 3,160 28,180 1,590
510 3,920 270 31,380 32,380
620 1,770 1,030 4,310 460
o
1941 1942 1943 1944 1945 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960
250 700
o
60
o 240 lO
o
4,380
130
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20 lO 280
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60 lO 380
lO 620
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570
May.
lO
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lO 290
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1,290 3,650
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540 22,990 160
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Abr.
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lO lO 1,620
5,970
lOO 5,670 80
20 110 210
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lO 17,620 2,560 170
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Jun.
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Dic.
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31,510
90 1,020 260 940
460
18,660 8,030 37,690 50,670 197,380
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20 150 30 3,760 1,020
7,620 120,470 27,760 77,130 99,390
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Información de escorrentía para el sitio de la presa Justiceburg en acres . pie Año
Ene.
Feb.
1961 1962 1963 1964 1965
1,140 20 40 480
1,200 lO 20 20
1966 1967 1968 1969 1970
30
1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 Promedio
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20
Mar. 810
Abr.
May.
,Jun. 26,460 10,680 39,630 2,920 810
31,050 3,490 lOO
om
Ago.
Sep.
Oct.
Nov.
Dic.
Total
1,780 2,210 560 2,120 12,110
600 35,350 900 1,570 1,570
280 480 1,820
2,110 20 1,700 210 lO
30 340 lO 490 940
65,690 52,610 57,660 10,180 42,680
720 2,680
lO lO 3,710 2,450
lO lO 60 50
19,900 83,180 14,550 74,660 16,720
40
lOO
80 50
140 570
lO lO
37,350 55,360 10,000 9,630 22,570
80
180 lO 60
o
lOO
640
12,740 2,370 26,260
lO lO 1,300 lO lO
20 4,440 2,750 2,700 8,110
11,560 1,150 370 2,550 240
2,100 920 1,070 35,450 4,670
600 49,000 1,170 1,160 690
30 23,340 1,350 lO
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4,800 60 1,740 3,290 320
17,510 2,260
lO 1,560 330 9,480 400
lO
3,360 1,650 120 140 360
770 4,860 240 40 1,950
1,130 3,990 2,680 140 6,040
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180 2,870 4,100
9,170
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830 30 2,000
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o
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20 740
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Nota: La infonnación de noviembre
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110 210 30 3,070 1,660
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y diciembre de 1978 no está disponible y ha sido reemplazada por sus valores promedio.
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574 E
Eagleson, P. S., 111, 229, 299, 531 Egborge, C. E., 514 EG & G Washington Analytica1 Services Center, 201 Emmett, W. W., 39, 162 Engleman R. L., 118 Espey, W. H. Jr., 235, 235
"' Indice de autores
F
A
e
Abramowitz, M., 269, 287, 368, 382, 386, 401 Altman, D.G., 235, 235 American Society of Agricultura) Engineers, 118 American Society of Civil Engineers, 91, 94, 508 Ampt, G. A. 16, 112 Ang, A. H. S., 438, 449 Aron, G., 514 Auciello, E. P., 456-463
Carnahan, B., 259 Carslaw, H.R., 43 Cherry, J. A., 40, 101 Chow, V. T., 35,36135, 160, 168,209,241, 252,272,282,288,382,398,400,402, 407, 444, 474, 509 Chowdhury, P. K., 82 Chu, H. H., 481 Clark, C. 0., 231 Coles, S. L., 229 Collins, W. T., 225 Colyer, P. J., 509 Conte, S. D., 334 Cordery, I. , 273, 4 72 Corey, A. T., 116 Corry, M. L., 438 Courant, R., 303 Craig, G. S., 536, 537 Crowe, C. T., 21, 32, 34, 37, 160 Cunge, J. A., 312, 314 Cunnane, C., 407
B
Bandyopadhyay, M., 476 Baumann, D. D., 547 Beard, L. R., 420, 420 Bennett, C. S. III, 532 Benson, M. A., 386, 410 Betson, R. P., 134 Bhowmik, N., 193 Bird, R. B., 43 Blair, M. L., 518, 520 Blank, D., 241 Blom, G., 408 Bobee, B., 386, 386 Boland, J. J., 547 Bondelid, T. R., 539 Boneh, A., 230 Bouwer, H., 117, 125 Bowen, I. S., 89 Boyd, M. J., 273 Bradley, S. P., 229 Brakensiek, D. L., 118 Brandstetter, A., 509 Bree, T., 229, 241 Brooks, J., 116 Brutsaert, W., 46, 48, 56, 61
D
Dalton, J., 16 Darcy H., 16 Davis, L. C., 531 Day, G. N., 519 Deininger, R. A., 229 Delleur, J. W., 241, 385 de Marsily, G., 101 Devaurs, M., 118 Diskin, M. H., 230, 272 Donahue, J. R., 539 Dooge, J. C. I., 241,273 Doorenbos, J., 91, 94 Dunne, T., 132 Dziegielewski, B., 547 573
Fahien, R. W., 43, 43 Federal Aviation Administration, 513 Fiallo, Y., 173 Fisher, R. A., 387 Frazier, A. H., (15) Fread, D. L., 321, 322, 325, 331, 334, 335338, 340, 341, 343-346 Frederick, R. H., 456-463, 471 Ford, D. T., 522 Foster, H. A., 386 Fox, R. W., (21) Frechet, M., 387 Freeze, R. A., 40, 101, 132, 133, 385 Friedrichs, K. O., 303 Fruelich, D. C., 553 G
Giancoli, D. C., 48 Gifford, G. F., 118 Giguere, P. R., 531 Gilbert J. J., 553 Giorgini, A., 241 Gouevsky, l. V., 94 Graves, C. B., 235, 235 Gray, D. M., 231 Oreen, W. H., 16, II2 Grenney, W. J., 431 Gringorten, l. I., 407 Gumbel, E. J., 16, 387, 398 Grupta, V. K., 173, 240, 273, 385 Haan, C. T., 379 Hagen, G. H. L., 16 Hansen, E. M., 486, 487-496,497, 503, 504 Hardison, C. H., 421 Harley, B. M., 531 Harr, R. D., 134, 446 Havens and Emerson, 476 Hax, A. C., 229 Hazen, A., 16, 407, 407 Heaney, J. P., 538 Heeps, D. P., 509
ÍNDICE DE AUTORES
Heerdegen, R. G., 221 Henderson, F. M., 33, 35, 36, 288 Henningson, Durham, and Richardson, Inc. of Texas, 545 Hershfie1d, D. M., 456, 471 Hewlett, J. D., 134, 138 Hibbert, A. R., 138 Hillel, D., 110 Hillier, F. S., 229 Hirsch. R. M., 431 Holzman, B., 88 Horton, R. E., 16, 111, 131, 135, 171 Huang, K.-Z., 449 Huber, W. C., 508 Huff, F. A., 471, 472 Hurst, H. E., 16
1 Ince, S., 273 Institution of Engineers Australia, 472 Institute of Hidrology, 106, 107 Isaacson, E., 321 Izzard, C. F., 167, 513
J Jaeger, J. C., 43 Jenkinson, A. F., 387 Jennings, M. E., 198, 421 Johnson, R. C., 531 Jones, J. S., 438 K
Kapur, K. C., 438, 439 Kavvas, M. L., 385 Keifer, C. J., 481 Kendall, M. G., 418 Kib1er, D. F., 509, 514, 555 Kirpich, Z. P., 513 Kite, G. W., 419 Kockelman, W. J., 554 Kohler, M. A., 188, 247 Klett, J. D., 68 Kraijenhoff van der Leur, D. A., 272 Kreyszig, E., 210 Kulandaiswamy, V. C., 209 L
Lamberson, L. R., 438, 439 Lansey, K., 542-544 Larson, C. L., 120 Lear, W. A., 77 Lee, H.-L., 444, 447
574 E
Eagleson, P. S., 111, 229, 299, 531 Egborge, C. E., 514 EG & G Washington Analytica1 Services Center, 201 Emmett, W. W., 39, 162 Engleman R. L., 118 Espey, W. H. Jr., 235, 235
"' Indice de autores
F
A
e
Abramowitz, M., 269, 287, 368, 382, 386, 401 Altman, D.G., 235, 235 American Society of Agricultura) Engineers, 118 American Society of Civil Engineers, 91, 94, 508 Ampt, G. A. 16, 112 Ang, A. H. S., 438, 449 Aron, G., 514 Auciello, E. P., 456-463
Carnahan, B., 259 Carslaw, H.R., 43 Cherry, J. A., 40, 101 Chow, V. T., 35,36135, 160, 168,209,241, 252,272,282,288,382,398,400,402, 407, 444, 474, 509 Chowdhury, P. K., 82 Chu, H. H., 481 Clark, C. 0., 231 Coles, S. L., 229 Collins, W. T., 225 Colyer, P. J., 509 Conte, S. D., 334 Cordery, I. , 273, 4 72 Corey, A. T., 116 Corry, M. L., 438 Courant, R., 303 Craig, G. S., 536, 537 Crowe, C. T., 21, 32, 34, 37, 160 Cunge, J. A., 312, 314 Cunnane, C., 407
B
Bandyopadhyay, M., 476 Baumann, D. D., 547 Beard, L. R., 420, 420 Bennett, C. S. III, 532 Benson, M. A., 386, 410 Betson, R. P., 134 Bhowmik, N., 193 Bird, R. B., 43 Blair, M. L., 518, 520 Blank, D., 241 Blom, G., 408 Bobee, B., 386, 386 Boland, J. J., 547 Bondelid, T. R., 539 Boneh, A., 230 Bouwer, H., 117, 125 Bowen, I. S., 89 Boyd, M. J., 273 Bradley, S. P., 229 Brakensiek, D. L., 118 Brandstetter, A., 509 Bree, T., 229, 241 Brooks, J., 116 Brutsaert, W., 46, 48, 56, 61
D
Dalton, J., 16 Darcy H., 16 Davis, L. C., 531 Day, G. N., 519 Deininger, R. A., 229 Delleur, J. W., 241, 385 de Marsily, G., 101 Devaurs, M., 118 Diskin, M. H., 230, 272 Donahue, J. R., 539 Dooge, J. C. I., 241,273 Doorenbos, J., 91, 94 Dunne, T., 132 Dziegielewski, B., 547 573
Fahien, R. W., 43, 43 Federal Aviation Administration, 513 Fiallo, Y., 173 Fisher, R. A., 387 Frazier, A. H., (15) Fread, D. L., 321, 322, 325, 331, 334, 335338, 340, 341, 343-346 Frederick, R. H., 456-463, 471 Ford, D. T., 522 Foster, H. A., 386 Fox, R. W., (21) Frechet, M., 387 Freeze, R. A., 40, 101, 132, 133, 385 Friedrichs, K. O., 303 Fruelich, D. C., 553 G
Giancoli, D. C., 48 Gifford, G. F., 118 Giguere, P. R., 531 Gilbert J. J., 553 Giorgini, A., 241 Gouevsky, l. V., 94 Graves, C. B., 235, 235 Gray, D. M., 231 Oreen, W. H., 16, II2 Grenney, W. J., 431 Gringorten, l. I., 407 Gumbel, E. J., 16, 387, 398 Grupta, V. K., 173, 240, 273, 385 Haan, C. T., 379 Hagen, G. H. L., 16 Hansen, E. M., 486, 487-496,497, 503, 504 Hardison, C. H., 421 Harley, B. M., 531 Harr, R. D., 134, 446 Havens and Emerson, 476 Hax, A. C., 229 Hazen, A., 16, 407, 407 Heaney, J. P., 538 Heeps, D. P., 509
ÍNDICE DE AUTORES
Heerdegen, R. G., 221 Henderson, F. M., 33, 35, 36, 288 Henningson, Durham, and Richardson, Inc. of Texas, 545 Hershfie1d, D. M., 456, 471 Hewlett, J. D., 134, 138 Hibbert, A. R., 138 Hillel, D., 110 Hillier, F. S., 229 Hirsch. R. M., 431 Holzman, B., 88 Horton, R. E., 16, 111, 131, 135, 171 Huang, K.-Z., 449 Huber, W. C., 508 Huff, F. A., 471, 472 Hurst, H. E., 16
1 Ince, S., 273 Institution of Engineers Australia, 472 Institute of Hidrology, 106, 107 Isaacson, E., 321 Izzard, C. F., 167, 513
J Jaeger, J. C., 43 Jenkinson, A. F., 387 Jennings, M. E., 198, 421 Johnson, R. C., 531 Jones, J. S., 438 K
Kapur, K. C., 438, 439 Kavvas, M. L., 385 Keifer, C. J., 481 Kendall, M. G., 418 Kib1er, D. F., 509, 514, 555 Kirpich, Z. P., 513 Kite, G. W., 419 Kockelman, W. J., 554 Kohler, M. A., 188, 247 Klett, J. D., 68 Kraijenhoff van der Leur, D. A., 272 Kreyszig, E., 210 Kulandaiswamy, V. C., 209 L
Lamberson, L. R., 438, 439 Lansey, K., 542-544 Larson, C. L., 120 Lear, W. A., 77 Lee, H.-L., 444, 447
575
ÍNDICE DE AUTORES
Lee, J. K., 532 Li, R.-M., 312 Lieberman, G. J., 229 Lighfoot, E. N., 43 Lighthill, M. J., 294, 295 Limerinos, J. T., 554 Lins1ey, R. K., 188, 247, 509, 514 Luther, H. A., 273
Natural Envíronment Research Council, 314, 398 Newton, D. S., 229, 230
M
p
Maidment, D. R., 94, 547 MacCurdy, E., 15 MacDona1d, A. T., 21 McCuen, R. H., 539 McGuinness, L. L., 82 McKerchar, A. 1., 125, 134 McPherson, M. B., 476, 509 Magnanti, T. L., 229 Manning, R., 16 March, F., 229 Marsa1ek, J., 476 Marsh-McBimey, Inc., 192, 194 Martín, G. N., 137 Mason, B. J., 69 Massey, B. C., 77 Matalas, N. C., 412 Mawdsley, J. A., 230 Mays, L. W., 139, 229, 231, 412, 444, 447, 451' 532, 542-544 Meadows, M. E., 299 Medina, M. A., 552 Meín, R. G., 120, 509 Mejía-R, R., 229 Metcalf & Eddy, lile., 531 Milhous, R. T., 431 Miller, J. E., 294 Miller, J. F., 463, 471, 486, 487-496 Miller, N., 118 Minístry ofWorks and Development, 186, 191 Monteith, J. L., 93 Moore, T. R., 132 Moore, W. L., 73 Morel-Seytoux, H. J., 125, 157 Morgali, J. R., 514 Moseley, M. P., 132 Mulvaney, T. J., (16) Myers, V. A., 456-463
Papadakis, C. N., 476 Parzen, E., 547 Paulhus, J. L. H., 188, 247 Pearse, A. J., 125, 132, 134 Pearson, K., 374 Peltz, W. A., 552 Penman, H. L., 90 Perkíns, F. E., 531 Pethick, R. W., 509 Philip, J. R., 104, 111 Pilgrim, D. H., 273, 472, 509 Preul, H. D., 476 Price, R. K., 529 Priestley, C. H. B., 45, 90 Pruitt, W. 0., 91, 94 Pruppacher, H. R., 68
N Nash, J. E., 269 National Academy of Sciences, 49, 429, 485 Natrella, M. G., 418
o Oben-Myarko, K., 273 O'Donnell, T., 241 Overton, D. E., 299
R Ragau, R. M., 134 Rankl, J. G., 536, 537 Rantz, S. C., 189, 192 Raudkivi, A. J., 42, 59, 105, 115 Rawls, W. J., 1.18 Reeves, W. E., 77 Reidel, J. T., 485 Richards, L. A., 16, 106 Riggs, H. C., 194 Ríppl, W., 16 Roberson, J. A., 21, 32, 34, 37, 160 Robitailler, R., 386 RodrÍguez-Iturbe, 1., 173, 174, 240, 273 Roesner, L. A., 507, 531
S Saint-Venant, Barre de, 282 Salas, J. D., 431 Schreiner, L. C., 485,486-496,497,503,504 Schumm, S. A., 172 Shames, I. V., 21 Shaw, E. M., 197 Sherman, L. K., 16, 220
576 Shreve, R. L., 174 Sierra/Mísco, lnc., 202, 203 Síkorskí, W., 94 Simons, D. B., 312 Síngh, K. P., 137, 229 Síngh, V. P., 82 Skaggs, R. W., 127 Sklash, M. G., 132 Slack, J. R., 412 Smart, J. S., 173 Snyder, F. F., 231 Snyder, W. M., 229 Soil Conservatíon Servíce, 150-154, 231, 236, 237, 471, 519, 566, 567 Stall, J. B., 127, 137, 177, 471, 519, 529, 530 Stegun, l. A., 269, 287, 368, 382, 386, 401 Stephenson, D., 299 Stevens, M. A., 312 Stewart, M. K., 132 Steward, W. E., 43 Stoker, J. J., 321 Strahler, A. N., 171 Strelkoff, T., 289 Stuart, A., 418
T Tagg, A. F., 230 Tang, W. H., 438, 447 Taur, C. K., 231, 532 Taylor, C. H., 132 Taylor, R. J., 90 Terstríep, M. L., 127, 177,471,519,529,530 Texas Híghway Department, 169 Thompson, P. L., 438 Thomthwaite, C. W., 88 Tippett, L. H. C., 387 tomlinson, A. I. 398 Tracey, R. J., 463, 471 Troesch, A., 321 Tung, Y.-K., 412, 447, 451
u UNESCO, 4, 5, 15, 76 Unver, 0., 139, 231,542-544 U. S. Army Corps of Engineers, 232, 438, 519, 531, 532, 547 U. S. Army Corps of Enginccrs HEC, 421, 487
ÍNDICE DE AUTORES
U. S. Department of Agriculture Soil Conservation Service, 471-475 U. S. Department of Commerce, 500 U. S. Environmental Data Servíce, 74, 75 U. S. Envíronmental Protection Agency, 519 U. S. Geological Survey, 183, 184, 186, 190, 191' 197 U. S. National Weather Servíce, 456 U. S. Water Resources Council, 407, 410, 420, 421 U. S. Water Bureau, 464 U.S.S.R. National Committee for the Hydrologícal Decade, 17 V Van Bavel, C. H. M., 93 Vanmarcke, E., 10 Valdés, J. B., 173, 174, 240, 273 Verdín, J. P., 157 Vínyard, J. W., 229, 230
w Waananen, A. 0., 532, 534 Wallis, J. R., 412 Wang, C. T., 173, 240, 273 Watkíns, L. H., 529 Waymire, E., 173, 240, 273, 385 Wei, T. C., 82 Weíbull, W., 387 Wellings, S. R., 109 Wenzel, H. G., 468-471, 476 Whíte, F. M., 21 Whitham, G. B., 294 Wiche, G. J., 553 Wiesner, C. J., 70, 90, 484 Wilkes, J. 0., 273 Wood, E. F., 173, 273 World Meteorological Organízation, (Organización Meteorológica Mundial), 187, 188, 429, 464, 484,
y Yen, B. C., 160, 438, 447, 474, 501, 509, 516, 529, 561
z Zoch, R. T., 269
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ÍNDICE DE AUTORES
Lee, J. K., 532 Li, R.-M., 312 Lieberman, G. J., 229 Lighfoot, E. N., 43 Lighthill, M. J., 294, 295 Limerinos, J. T., 554 Lins1ey, R. K., 188, 247, 509, 514 Luther, H. A., 273
Natural Envíronment Research Council, 314, 398 Newton, D. S., 229, 230
M
p
Maidment, D. R., 94, 547 MacCurdy, E., 15 MacDona1d, A. T., 21 McCuen, R. H., 539 McGuinness, L. L., 82 McKerchar, A. 1., 125, 134 McPherson, M. B., 476, 509 Magnanti, T. L., 229 Manning, R., 16 March, F., 229 Marsa1ek, J., 476 Marsh-McBimey, Inc., 192, 194 Martín, G. N., 137 Mason, B. J., 69 Massey, B. C., 77 Matalas, N. C., 412 Mawdsley, J. A., 230 Mays, L. W., 139, 229, 231, 412, 444, 447, 451' 532, 542-544 Meadows, M. E., 299 Medina, M. A., 552 Meín, R. G., 120, 509 Mejía-R, R., 229 Metcalf & Eddy, lile., 531 Milhous, R. T., 431 Miller, J. E., 294 Miller, J. F., 463, 471, 486, 487-496 Miller, N., 118 Minístry ofWorks and Development, 186, 191 Monteith, J. L., 93 Moore, T. R., 132 Moore, W. L., 73 Morel-Seytoux, H. J., 125, 157 Morgali, J. R., 514 Moseley, M. P., 132 Mulvaney, T. J., (16) Myers, V. A., 456-463
Papadakis, C. N., 476 Parzen, E., 547 Paulhus, J. L. H., 188, 247 Pearse, A. J., 125, 132, 134 Pearson, K., 374 Peltz, W. A., 552 Penman, H. L., 90 Perkíns, F. E., 531 Pethick, R. W., 509 Philip, J. R., 104, 111 Pilgrim, D. H., 273, 472, 509 Preul, H. D., 476 Price, R. K., 529 Priestley, C. H. B., 45, 90 Pruitt, W. 0., 91, 94 Pruppacher, H. R., 68
N Nash, J. E., 269 National Academy of Sciences, 49, 429, 485 Natrella, M. G., 418
o Oben-Myarko, K., 273 O'Donnell, T., 241 Overton, D. E., 299
R Ragau, R. M., 134 Rankl, J. G., 536, 537 Rantz, S. C., 189, 192 Raudkivi, A. J., 42, 59, 105, 115 Rawls, W. J., 1.18 Reeves, W. E., 77 Reidel, J. T., 485 Richards, L. A., 16, 106 Riggs, H. C., 194 Ríppl, W., 16 Roberson, J. A., 21, 32, 34, 37, 160 Robitailler, R., 386 RodrÍguez-Iturbe, 1., 173, 174, 240, 273 Roesner, L. A., 507, 531
S Saint-Venant, Barre de, 282 Salas, J. D., 431 Schreiner, L. C., 485,486-496,497,503,504 Schumm, S. A., 172 Shames, I. V., 21 Shaw, E. M., 197 Sherman, L. K., 16, 220
576 Shreve, R. L., 174 Sierra/Mísco, lnc., 202, 203 Síkorskí, W., 94 Simons, D. B., 312 Síngh, K. P., 137, 229 Síngh, V. P., 82 Skaggs, R. W., 127 Sklash, M. G., 132 Slack, J. R., 412 Smart, J. S., 173 Snyder, F. F., 231 Snyder, W. M., 229 Soil Conservatíon Servíce, 150-154, 231, 236, 237, 471, 519, 566, 567 Stall, J. B., 127, 137, 177, 471, 519, 529, 530 Stegun, l. A., 269, 287, 368, 382, 386, 401 Stephenson, D., 299 Stevens, M. A., 312 Stewart, M. K., 132 Steward, W. E., 43 Stoker, J. J., 321 Strahler, A. N., 171 Strelkoff, T., 289 Stuart, A., 418
T Tagg, A. F., 230 Tang, W. H., 438, 447 Taur, C. K., 231, 532 Taylor, C. H., 132 Taylor, R. J., 90 Terstríep, M. L., 127, 177,471,519,529,530 Texas Híghway Department, 169 Thompson, P. L., 438 Thomthwaite, C. W., 88 Tippett, L. H. C., 387 tomlinson, A. I. 398 Tracey, R. J., 463, 471 Troesch, A., 321 Tung, Y.-K., 412, 447, 451
u UNESCO, 4, 5, 15, 76 Unver, 0., 139, 231,542-544 U. S. Army Corps of Engineers, 232, 438, 519, 531, 532, 547 U. S. Army Corps of Enginccrs HEC, 421, 487
ÍNDICE DE AUTORES
U. S. Department of Agriculture Soil Conservation Service, 471-475 U. S. Department of Commerce, 500 U. S. Environmental Data Servíce, 74, 75 U. S. Envíronmental Protection Agency, 519 U. S. Geological Survey, 183, 184, 186, 190, 191' 197 U. S. National Weather Servíce, 456 U. S. Water Resources Council, 407, 410, 420, 421 U. S. Water Bureau, 464 U.S.S.R. National Committee for the Hydrologícal Decade, 17 V Van Bavel, C. H. M., 93 Vanmarcke, E., 10 Valdés, J. B., 173, 174, 240, 273 Verdín, J. P., 157 Vínyard, J. W., 229, 230
w Waananen, A. 0., 532, 534 Wallis, J. R., 412 Wang, C. T., 173, 240, 273 Watkíns, L. H., 529 Waymire, E., 173, 240, 273, 385 Wei, T. C., 82 Weíbull, W., 387 Wellings, S. R., 109 Wenzel, H. G., 468-471, 476 Whíte, F. M., 21 Whitham, G. B., 294 Wiche, G. J., 553 Wiesner, C. J., 70, 90, 484 Wilkes, J. 0., 273 Wood, E. F., 173, 273 World Meteorological Organízation, (Organización Meteorológica Mundial), 187, 188, 429, 464, 484,
y Yen, B. C., 160, 438, 447, 474, 501, 509, 516, 529, 561
z Zoch, R. T., 269
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Indice de materias A
Abstracción, 139 inicial, 141, 150 Método SCS, 150-158 utilizando ecuaciones de infiltración, 143-150 Aceleración local, 290 Acumulada: función de frecuencia, 365 Hietograma de precipitación, 77 infiltración, 110 probabilidad, 365 Adsorción, 112 Advección, 45 Aerosoles, 49 Agua: control del, 427, 535-541 dulce de la Tierra, 2 nivel freático, 3, 101 precipitable, 63-65 propiedades del, tabla de, 37 subterránea, flujo de 101, 130 fuente de caudal, 132, 133 recarga, 2 uso del, 427, 545-552 vapor de, 57-65 Albedo, 48 Almacenamiento: capacidad·de, 545 de información, 184 endepresiones, 131,143 función de, 208, 250 pluviómetro de, 181 relaciones caudal, 251 superficial, 130 Altura: de estación, 190 de rugosidad, 45
Análisis: de evaporación de Dalton, 88 de incertidumbre de primer orden, 438-444 Análisis de riesgo, 432-434, 438-451, 516 basado en periodo de retomo, 432-434, 450-451 compuesto, 444-448 de primer orden, 438-444 dinámico, 448 estático, 448 hidroeconómico, 435-438 Anemómetro, 185 Anticiclón, 57 Aparato de registro digital, 183 Aproximación por diferencias: centrales, 30 1 hacia adelante, 302 hacia atrás, 302 Aproximaciones sucesivas, método de, 225 Áreas: de fuentes variables, 134 de tormenta crítica, 488, 491 Asimetría, coeficiente de, 372 B
Balance: de agua mundial, 4-5 de calor en la Tierra, 49 de energía, 41-42 ecuación para evaporación, 85 Bloques de yeso, 197
e Cabeza de succión, 105 Calidad de ajuste, 378 Calor: específico, 41 latente, 41-42 577
sensible, 41 Campo aleatorio, 10 Canal prismático, 284 Capacidad: de la cuenca, 135 de un sistema, 445 de un tubo, 515 Carga (en un sistema), 444 Caudal: cálculo con información de estaciones, 194-195 ecuaciones para vertederos, 255 en la corriente, 431 firme, 545, 548 Celeridad de onda, 292 cinemática, 292 dinámica, 295-296 Ciclón, 57 Cinemática, 292 Circulación: atmosférica, 54-57 de Hadley, 54 Clasificación: de los modelos de tránsito, 290-291 de modelos hidrológicos, 9-12 Coeficiente: de arrastre, 68 de asimetría, 372, 410 de Boussinesq, 288 de cultivo, 94 de difusión, 43 de escorrentía, 142, 510, 511 de momentum, 288 de rugosidad de Manning, 34, 35 y 511 de variación, 372 Componente: de embalse en HEC-1 , 521 de escorrentía superficial, 521 de tránsito de caudales, 521 Concentración, tiempo de, 170, 513-514 Condensación, 42, 65 Condición: antecedente de humedad, 152 de Courant, 303 de frontera, 297, 330, 341 , 348 inicial, 210, 297 interna de frontera, 341 Conducción, 42, 43-44 Confiabilidad, 446 Constante psicrométrica, 90 Convección, 42, 44-45 Convectiva: aceleración, 290 circulación de celda, 70
ÍNDICE DE MATERIAS
elevación, 66 Correlación, 11, 361 con el tiempo, 12 Correntómetro, 190 Corriente: jet, 56 perenne, 135 Costo: anual de daños esperado, 436 de daños, 436-438 Creciente: diseño de embalses para el control de, 535-541 margen de, 533 máxima probable, 429, 483, 486 pronóstico, 542-544 sistema de alerta temprana, 202 Cuenca, 7, 130 Cuerpo negro, 48 Cultivo referencia para,evapotranspiración, 93 Curva: almacenamiento-área, 547 de abatimiento normal, 135 de calibración, 194, 195 intensidad-duración-frecuencia, 465-471 profundidad-área-duración, 487, 496 D
Datos dudosos, 415 Década Hidrológica Internacional, 180 De convolución, 223 Demanda sobre un sistema, 444 Densidad: de drenaje, 173 del agua, 37 del aire, 58-61 Detención, 130, 535 Diagrama de Moody, 36-38 Difusividad de momentum, 44 Diseño: criterios de, 430 de alcantarillado de aguas lluvias, 507-519 de drenajes urbanos, 528-531 de embalses para, control de crecientes, 535-541 uso del agua, 545-552 hietogramas de, 471-483 niveles de, 429 tormenta de, 455 Distribución: de Gumbel (Valor Extremo Tipo 1), 388, 397-403
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Indice de materias A
Abstracción, 139 inicial, 141, 150 Método SCS, 150-158 utilizando ecuaciones de infiltración, 143-150 Aceleración local, 290 Acumulada: función de frecuencia, 365 Hietograma de precipitación, 77 infiltración, 110 probabilidad, 365 Adsorción, 112 Advección, 45 Aerosoles, 49 Agua: control del, 427, 535-541 dulce de la Tierra, 2 nivel freático, 3, 101 precipitable, 63-65 propiedades del, tabla de, 37 subterránea, flujo de 101, 130 fuente de caudal, 132, 133 recarga, 2 uso del, 427, 545-552 vapor de, 57-65 Albedo, 48 Almacenamiento: capacidad·de, 545 de información, 184 endepresiones, 131,143 función de, 208, 250 pluviómetro de, 181 relaciones caudal, 251 superficial, 130 Altura: de estación, 190 de rugosidad, 45
Análisis: de evaporación de Dalton, 88 de incertidumbre de primer orden, 438-444 Análisis de riesgo, 432-434, 438-451, 516 basado en periodo de retomo, 432-434, 450-451 compuesto, 444-448 de primer orden, 438-444 dinámico, 448 estático, 448 hidroeconómico, 435-438 Anemómetro, 185 Anticiclón, 57 Aparato de registro digital, 183 Aproximación por diferencias: centrales, 30 1 hacia adelante, 302 hacia atrás, 302 Aproximaciones sucesivas, método de, 225 Áreas: de fuentes variables, 134 de tormenta crítica, 488, 491 Asimetría, coeficiente de, 372 B
Balance: de agua mundial, 4-5 de calor en la Tierra, 49 de energía, 41-42 ecuación para evaporación, 85 Bloques de yeso, 197
e Cabeza de succión, 105 Calidad de ajuste, 378 Calor: específico, 41 latente, 41-42 577
sensible, 41 Campo aleatorio, 10 Canal prismático, 284 Capacidad: de la cuenca, 135 de un sistema, 445 de un tubo, 515 Carga (en un sistema), 444 Caudal: cálculo con información de estaciones, 194-195 ecuaciones para vertederos, 255 en la corriente, 431 firme, 545, 548 Celeridad de onda, 292 cinemática, 292 dinámica, 295-296 Ciclón, 57 Cinemática, 292 Circulación: atmosférica, 54-57 de Hadley, 54 Clasificación: de los modelos de tránsito, 290-291 de modelos hidrológicos, 9-12 Coeficiente: de arrastre, 68 de asimetría, 372, 410 de Boussinesq, 288 de cultivo, 94 de difusión, 43 de escorrentía, 142, 510, 511 de momentum, 288 de rugosidad de Manning, 34, 35 y 511 de variación, 372 Componente: de embalse en HEC-1 , 521 de escorrentía superficial, 521 de tránsito de caudales, 521 Concentración, tiempo de, 170, 513-514 Condensación, 42, 65 Condición: antecedente de humedad, 152 de Courant, 303 de frontera, 297, 330, 341 , 348 inicial, 210, 297 interna de frontera, 341 Conducción, 42, 43-44 Confiabilidad, 446 Constante psicrométrica, 90 Convección, 42, 44-45 Convectiva: aceleración, 290 circulación de celda, 70
ÍNDICE DE MATERIAS
elevación, 66 Correlación, 11, 361 con el tiempo, 12 Correntómetro, 190 Corriente: jet, 56 perenne, 135 Costo: anual de daños esperado, 436 de daños, 436-438 Creciente: diseño de embalses para el control de, 535-541 margen de, 533 máxima probable, 429, 483, 486 pronóstico, 542-544 sistema de alerta temprana, 202 Cuenca, 7, 130 Cuerpo negro, 48 Cultivo referencia para,evapotranspiración, 93 Curva: almacenamiento-área, 547 de abatimiento normal, 135 de calibración, 194, 195 intensidad-duración-frecuencia, 465-471 profundidad-área-duración, 487, 496 D
Datos dudosos, 415 Década Hidrológica Internacional, 180 De convolución, 223 Demanda sobre un sistema, 444 Densidad: de drenaje, 173 del agua, 37 del aire, 58-61 Detención, 130, 535 Diagrama de Moody, 36-38 Difusividad de momentum, 44 Diseño: criterios de, 430 de alcantarillado de aguas lluvias, 507-519 de drenajes urbanos, 528-531 de embalses para, control de crecientes, 535-541 uso del agua, 545-552 hietogramas de, 471-483 niveles de, 429 tormenta de, 455 Distribución: de Gumbel (Valor Extremo Tipo 1), 388, 397-403
ÍNDICE DE MATERIAS
de valores extremos, 387, 396-400, 402 exponencial, 376, 385 lognormal, 382, 403 log-Pearson Tipo III, 386, 403 tabla de factores de frecuencia, 404-405 normal, 382 tabla de valores, 369 probabilidad, 365-370, 382-388, 401-406 y función gamma, 385 Dominio espacio-tiempo, 12 E
Ecuación: característica, 294 de Brooks-Corey, 117 de caudal a través de vertederos, 255 de continuidad, 24-29 en un medio poroso no saturado, 103 integral, 25 de convolución discreta, 218 de Chezy, 34, 295 de Darcy-Weisbach, 34, 160, 515 de evaporación de Priestley-Taylor, 91 de graficación, de Blom, 407-409 de Chegodayev, 407 de Weibull, 407 de Hagen-Poiseulle, 40 de infiltración, de Horton, 111, 124, 145 de Philip, 111, 124, 145 de Maning, 34 solución por el método de Newton, 164-167 de momentum, 104 del teorema de transporte de Reynolds, 30-31 en el método de Green-Amp, 114 en flujo en medio poroso, 39-40 en las ecuaciones de Saint-Venant, 284-290 flujo uniforme permanente, 32-33 de Penman (combinación), 90 de Richards, 106 de Saint-Venant, 281-291 de Thornthwaite-Holzman, 88 de transformación, 8 Edición de información, 184 Efectos: de invernadero, 49 de remanso, 291, 324
579 de urbanización en el hidrograma, 156-157 Elevación: frontal, 66 orográfica, 66 Eliminación de Gauss, 224 Embalse: con propósitos múltiples, 545 lineal, 9, 137, 214-216, 250, 268-273 Emisivi.dad, 48 Energía: cinética, 41 interna, 41 potencial, 41 Entrada: en un sistema, 210 lateral de caudal, 282 Error potencial, 83 de truncamiento, 302 residual, 312 Escorrentía directa, 135, 138 hidrograma de, 139-142, 220-221, 225-228 Esfuerzo cortante, 33, 285 Espacio muestra!, 362 Esquema: de caja, 325 explícito de diferencias finitas, 302, 325 implícito de diferencias finitas, 302, 325 lineal de diferencias finitas, 305 Estación climática, 185 Estadística, 361 , 370 Estándar: creciente y tormenta de proyecto, 486 desviación, 372 distribución normal, 368 error, 419, 439 patrón de isoyetas, 487 variable normal, 368 Estimativos de parámetros eficientes, 378 Estratosfera, 56 Estructuras: grandes y pequeñas, 429 intermedias, 429 Eventos, 362 independientes, 363 Evaporación, 2 coeficientes de tanque de, 188 ecuaciones de cálculo de, 92 medida de, 188-189 método aerodinámico de, 86-89 método de combinación (Penman), 90 método de Priestley-Taylor, 91 método del balance de energía, 83-86
580
tanque de, 83-91 Evapotranspiración, 83, 93-95 potencial, 83 método de Priestley-Taylor, 91 método de balance de energía, 83-86 tanque de, 83-91 Evapotranspiración, 83, 93-95 potencial, 83
Factor: de ajuste de isoyetas, 488 de ajuste por orientación, 488, 491 de demanda, 548 integrante, 214 y margen de seguridad, 434, 448, 449 Falla de la presa Tetan, 343-345, 358 Fase, 26 Federal Emergency Management Agency, 533 Flujo, 43 base, 135 curva maestra de recesión, 137 separación, 137-138 completamente turbulento, 35 de Darcy, 40, 103 de fase única, 26 de humedad en el suelo de Deep Dean, 106-109 en canales, 130, 163-164 en canales abiertos, 34-39, 163-164, 167, 439-444 en medio poroso, 39, 101 laminar, 36, 160 no saturado, 10 1-109, 130 no uniforme, 30 rápido, 135 subsuperficial, 2, 101, 132 superficial, 2, 13 1, 159-163 de Horton, 131-132 de saturación, 134 turbulento, 35-38, 162-163 uniforme, 30 Franja capilar, 101 Frecuencia: análisis de, 391-421,465,467-470 factor de, 400, 403-405 histograma de, 365 relativa, 362, 365 Frente, 56 de mojado, 110 Forma: conservativa, 284 no conservativa, 284
ÍNDICE DE MATERIAS
Formación de brecha, 340 Fórmula de graficación de Gringorten, 408 Fuerza: cortante del viento, 285, 286 de contracción/expansión, 285 de Coriolis, 55 de fricción, 285, 291 de presión, 285, 291 gravitacional, 285, 291 Función: de forma del canal, 166, 440 de información, por muestreo, 27, 216 por pulso, 27, 216 de respuesta por pulso, 212, 213, 218, 220 de transferencia, 8, 209 de verosimilitúd, 376 de viento de Doorenbos-Pruitt, 94 impulso respuesta, 210 respuesta de paso, 21 1 Fusión, calor latente de, 41 G
Geomorfología, 171 Gotas de lluvia, 65-70 Grados de libertad, 379 H
Hidráulico: conductividad, 40 radio, 33 tránsito, 249, 281 Hidro grama: de caudal, 135-138 unitario, 220-238 aplicación del, 225-228 cálculo matricial del, 228-23 1 compuesto, 230 deducción del 223-225 definición de, 220 geomórfico instantáneo, 273 instantáneo, 223, 240-241, 269-272 para diferentes duraciones de lluvia, 237-241 sintético, 231-237 sintético de Snyder, 231-236, 522-527 Hidrológico: ciclo, 2-8 clasificación de modelos, 9-12 definición de sistema, 7, 207 escala del diseño, 428 historia, 13-17
ÍNDICE DE MATERIAS
de valores extremos, 387, 396-400, 402 exponencial, 376, 385 lognormal, 382, 403 log-Pearson Tipo III, 386, 403 tabla de factores de frecuencia, 404-405 normal, 382 tabla de valores, 369 probabilidad, 365-370, 382-388, 401-406 y función gamma, 385 Dominio espacio-tiempo, 12 E
Ecuación: característica, 294 de Brooks-Corey, 117 de caudal a través de vertederos, 255 de continuidad, 24-29 en un medio poroso no saturado, 103 integral, 25 de convolución discreta, 218 de Chezy, 34, 295 de Darcy-Weisbach, 34, 160, 515 de evaporación de Priestley-Taylor, 91 de graficación, de Blom, 407-409 de Chegodayev, 407 de Weibull, 407 de Hagen-Poiseulle, 40 de infiltración, de Horton, 111, 124, 145 de Philip, 111, 124, 145 de Maning, 34 solución por el método de Newton, 164-167 de momentum, 104 del teorema de transporte de Reynolds, 30-31 en el método de Green-Amp, 114 en flujo en medio poroso, 39-40 en las ecuaciones de Saint-Venant, 284-290 flujo uniforme permanente, 32-33 de Penman (combinación), 90 de Richards, 106 de Saint-Venant, 281-291 de Thornthwaite-Holzman, 88 de transformación, 8 Edición de información, 184 Efectos: de invernadero, 49 de remanso, 291, 324
579 de urbanización en el hidrograma, 156-157 Elevación: frontal, 66 orográfica, 66 Eliminación de Gauss, 224 Embalse: con propósitos múltiples, 545 lineal, 9, 137, 214-216, 250, 268-273 Emisivi.dad, 48 Energía: cinética, 41 interna, 41 potencial, 41 Entrada: en un sistema, 210 lateral de caudal, 282 Error potencial, 83 de truncamiento, 302 residual, 312 Escorrentía directa, 135, 138 hidrograma de, 139-142, 220-221, 225-228 Esfuerzo cortante, 33, 285 Espacio muestra!, 362 Esquema: de caja, 325 explícito de diferencias finitas, 302, 325 implícito de diferencias finitas, 302, 325 lineal de diferencias finitas, 305 Estación climática, 185 Estadística, 361 , 370 Estándar: creciente y tormenta de proyecto, 486 desviación, 372 distribución normal, 368 error, 419, 439 patrón de isoyetas, 487 variable normal, 368 Estimativos de parámetros eficientes, 378 Estratosfera, 56 Estructuras: grandes y pequeñas, 429 intermedias, 429 Eventos, 362 independientes, 363 Evaporación, 2 coeficientes de tanque de, 188 ecuaciones de cálculo de, 92 medida de, 188-189 método aerodinámico de, 86-89 método de combinación (Penman), 90 método de Priestley-Taylor, 91 método del balance de energía, 83-86
580
tanque de, 83-91 Evapotranspiración, 83, 93-95 potencial, 83 método de Priestley-Taylor, 91 método de balance de energía, 83-86 tanque de, 83-91 Evapotranspiración, 83, 93-95 potencial, 83
Factor: de ajuste de isoyetas, 488 de ajuste por orientación, 488, 491 de demanda, 548 integrante, 214 y margen de seguridad, 434, 448, 449 Falla de la presa Tetan, 343-345, 358 Fase, 26 Federal Emergency Management Agency, 533 Flujo, 43 base, 135 curva maestra de recesión, 137 separación, 137-138 completamente turbulento, 35 de Darcy, 40, 103 de fase única, 26 de humedad en el suelo de Deep Dean, 106-109 en canales, 130, 163-164 en canales abiertos, 34-39, 163-164, 167, 439-444 en medio poroso, 39, 101 laminar, 36, 160 no saturado, 10 1-109, 130 no uniforme, 30 rápido, 135 subsuperficial, 2, 101, 132 superficial, 2, 13 1, 159-163 de Horton, 131-132 de saturación, 134 turbulento, 35-38, 162-163 uniforme, 30 Franja capilar, 101 Frecuencia: análisis de, 391-421,465,467-470 factor de, 400, 403-405 histograma de, 365 relativa, 362, 365 Frente, 56 de mojado, 110 Forma: conservativa, 284 no conservativa, 284
ÍNDICE DE MATERIAS
Formación de brecha, 340 Fórmula de graficación de Gringorten, 408 Fuerza: cortante del viento, 285, 286 de contracción/expansión, 285 de Coriolis, 55 de fricción, 285, 291 de presión, 285, 291 gravitacional, 285, 291 Función: de forma del canal, 166, 440 de información, por muestreo, 27, 216 por pulso, 27, 216 de respuesta por pulso, 212, 213, 218, 220 de transferencia, 8, 209 de verosimilitúd, 376 de viento de Doorenbos-Pruitt, 94 impulso respuesta, 210 respuesta de paso, 21 1 Fusión, calor latente de, 41 G
Geomorfología, 171 Gotas de lluvia, 65-70 Grados de libertad, 379 H
Hidráulico: conductividad, 40 radio, 33 tránsito, 249, 281 Hidro grama: de caudal, 135-138 unitario, 220-238 aplicación del, 225-228 cálculo matricial del, 228-23 1 compuesto, 230 deducción del 223-225 definición de, 220 geomórfico instantáneo, 273 instantáneo, 223, 240-241, 269-272 para diferentes duraciones de lluvia, 237-241 sintético, 231-237 sintético de Snyder, 231-236, 522-527 Hidrológico: ciclo, 2-8 clasificación de modelos, 9-12 definición de sistema, 7, 207 escala del diseño, 428 historia, 13-17
581
ÍNDICE DE MATERIAS
nivel de diseño, 431 secuencia de la medición, 182 tránsito, 249 Hidrosfera, 2, 77 Hietograma de exceso de precipitación, 138 método de índice fi, 139, 140, 141 método ses, 150-158 usando ecuaciones de infiltración, 143-150 Higrómetro, 185 Hipótesis nula, 379 Humedad, 58 específica, 58 relativa, 59 Huracanes, 57 1
Incertidumbre: de modelo, 438 de parámetro, 438 natural, 433, 438 Independiente del tiempo, 12 Índice fi, 139-142 Infiltración, 2, 101,110-119,143 medida de, 197 tasas de, 110 Infiltrómetro de anillo, 197 Información distribuida, 181 Instrumentos para mediciones hidrológicas, 185-204 Integral de convolución, 210, 218 Intercepción, 2, 143, 187 Intervalo: de confianza, 417 de recurrencia, 391 Invariante en el tiempo, 209 Isocronas, 170, 273 Isovelas, 192 Isoyetas, 73
L Ley (es): de caudal de Horton, 171 de conducción de calor de Fourier, 43 de Darcy, 40, 104 de difusión de Fick, 43 de gas ideal, 58 de Newton de la viscosidad, 43 de número de corriente, longitud y área, 171-172 de presión hidrostática, 61 de Stefan-Boltzmann, 48 de Stokes, 69
de Wien, 48 Limnímetro, 189 de burbuja, 189, 190 Líneas características. 298 Lisímetro, 189 Longitud de onda (de radiación), 49 Lower Colorado River Authority, 542
LL Lluvia: curva intensidad-duración-frecuencia, 465-471 curva de masa, 78 hietograma de, 77 intensidad de, 465 pluviómetros, 185 Malla espacio-tiempo, 300 M
Mapa: de a si me tría, 41 1 de isoyetas, 73 Materia prima, 7 Matriz coeficiente jacobiana, 334 Máxima verosimilitud, 374 Maximización de tormentas, 484 Media geométrica, 373 Mediana, 373 Medida de nieve, 187 Medidor: de velocidad modificada de flujo (VMFM), 192 de nivel máximo, 189 Medio de trabajo, 7 Método: aerodinámico para evaporación, 86-89 combinado para cálculo de evaporación, 89-93 cónico, 547 de Green-Ampt, 112-119 modelo de dos capas, 118 parámetros, 116-118 tiempo de encharcamiento, 120-125, 144-149 de iteración de Newton 116, 164-166 de la intensidad instantánea, 479-483 de los momentos, 374 de medición con tinta, 195 de Muskingum, 250, 264-268 de Muskingum-Cunge, 265, 312-314 de Newton-Raphson, 334 de Runge-Kutta, 259-264 del bloqueo alterno, 477
582 del hietograma triangular, 473-477 racional, 509-516 modificado, 538 Moda (de una distribución), 386 Modelo (s): abstractos, 9 análogos, 9 DAMBRK, 340 de celdas de tormentas eléctricas, 70-73 de drenaje urbano de aguas lluvias, 528-531 de flujo no permanente, 12 de flujo permanente, 12 de N embalses lineales, 269-272 de onda, cinemática, 291-314 de difusión, 291 dinámica, 291, 324-326 de simulación, continua, 519 de eventos, 519 de sistema hidrológico, 208 determinístico, 10, 249, 281 DWOPER, 335 estocástico, 10 físicos, 9 FLDWAV, 344 HEC-1, 487, 519-528 Muestras: distribuidas, 181 puntuales, 181 Momento central, 375 Movimiento de onda, 291-297 Nivel: de confianza, 379, 417 de significancia, 379, 417 No sesgado, 372, 407 Nubes, 65-67 Número de Reynolds, 35 Operador diferencial, 9 p
Pendiente: de fricción, 33 del fondo del canal, 32 Percepción remota, 181 Pérdidas (véase Abstracciones) de cabeza, 32 Perfil logarítmico de velocidad, 45 Perímetro mojado, 33 Periodo de retomo, 391-396, 432-434, 450, 465 Peso específico, 33
ÍNDICE DE MATERIAS
Planicies de inundación, 323, 531-535 Población, 362 Porosidad, 40, 101 Polígonos de Thiessen, 80 Porosidad efectiva, 116 Posición de graficación, 406 Potencial (en conducción), 43 Precipitación, 2, 65-73 efectiva (véase Hietograma de exceso de lluvia) en los Estados Unidos, 74-75 estimativos de profundidad, '455-463 intensidad de, 27 mapas para varias duraciones y periodos de retomo, 456-462 máxima probable, 429, 483 cálculo de, 487-499 mapas, 488-490 mundial, 76 promedio sobre un área, método de la media aritmética, 80 método de las isoyetas, 81 método de Thiessen, 80 método del cuadrado de la distancia recíproca, 82 relación puntual sobre promedio superficial, 464 Predicción, 10 Presión: de vapor, 58-61 efecto en la evaporación, 86-88 de vapor de saturación, 59 del aire, 56, 58-61 Primera ley de la termodinámica, 41 Principios: de proporcionalidad y superposición (o aditividad), 210 de invarianza temporal, 221 Probabilidad: complementaria, 362 conjunta, 363 condicional, 363 definición de, 362 distribución de, 361 esperada, 420 función de densidad de, 365 función de distribución de, 366 gráficas de, 406-409 objetiva, 362 papel de, 406 Proceso: de Poisson, 385 estocástico, 361
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ÍNDICE DE MATERIAS
nivel de diseño, 431 secuencia de la medición, 182 tránsito, 249 Hidrosfera, 2, 77 Hietograma de exceso de precipitación, 138 método de índice fi, 139, 140, 141 método ses, 150-158 usando ecuaciones de infiltración, 143-150 Higrómetro, 185 Hipótesis nula, 379 Humedad, 58 específica, 58 relativa, 59 Huracanes, 57 1
Incertidumbre: de modelo, 438 de parámetro, 438 natural, 433, 438 Independiente del tiempo, 12 Índice fi, 139-142 Infiltración, 2, 101,110-119,143 medida de, 197 tasas de, 110 Infiltrómetro de anillo, 197 Información distribuida, 181 Instrumentos para mediciones hidrológicas, 185-204 Integral de convolución, 210, 218 Intercepción, 2, 143, 187 Intervalo: de confianza, 417 de recurrencia, 391 Invariante en el tiempo, 209 Isocronas, 170, 273 Isovelas, 192 Isoyetas, 73
L Ley (es): de caudal de Horton, 171 de conducción de calor de Fourier, 43 de Darcy, 40, 104 de difusión de Fick, 43 de gas ideal, 58 de Newton de la viscosidad, 43 de número de corriente, longitud y área, 171-172 de presión hidrostática, 61 de Stefan-Boltzmann, 48 de Stokes, 69
de Wien, 48 Limnímetro, 189 de burbuja, 189, 190 Líneas características. 298 Lisímetro, 189 Longitud de onda (de radiación), 49 Lower Colorado River Authority, 542
LL Lluvia: curva intensidad-duración-frecuencia, 465-471 curva de masa, 78 hietograma de, 77 intensidad de, 465 pluviómetros, 185 Malla espacio-tiempo, 300 M
Mapa: de a si me tría, 41 1 de isoyetas, 73 Materia prima, 7 Matriz coeficiente jacobiana, 334 Máxima verosimilitud, 374 Maximización de tormentas, 484 Media geométrica, 373 Mediana, 373 Medida de nieve, 187 Medidor: de velocidad modificada de flujo (VMFM), 192 de nivel máximo, 189 Medio de trabajo, 7 Método: aerodinámico para evaporación, 86-89 combinado para cálculo de evaporación, 89-93 cónico, 547 de Green-Ampt, 112-119 modelo de dos capas, 118 parámetros, 116-118 tiempo de encharcamiento, 120-125, 144-149 de iteración de Newton 116, 164-166 de la intensidad instantánea, 479-483 de los momentos, 374 de medición con tinta, 195 de Muskingum, 250, 264-268 de Muskingum-Cunge, 265, 312-314 de Newton-Raphson, 334 de Runge-Kutta, 259-264 del bloqueo alterno, 477
582 del hietograma triangular, 473-477 racional, 509-516 modificado, 538 Moda (de una distribución), 386 Modelo (s): abstractos, 9 análogos, 9 DAMBRK, 340 de celdas de tormentas eléctricas, 70-73 de drenaje urbano de aguas lluvias, 528-531 de flujo no permanente, 12 de flujo permanente, 12 de N embalses lineales, 269-272 de onda, cinemática, 291-314 de difusión, 291 dinámica, 291, 324-326 de simulación, continua, 519 de eventos, 519 de sistema hidrológico, 208 determinístico, 10, 249, 281 DWOPER, 335 estocástico, 10 físicos, 9 FLDWAV, 344 HEC-1, 487, 519-528 Muestras: distribuidas, 181 puntuales, 181 Momento central, 375 Movimiento de onda, 291-297 Nivel: de confianza, 379, 417 de significancia, 379, 417 No sesgado, 372, 407 Nubes, 65-67 Número de Reynolds, 35 Operador diferencial, 9 p
Pendiente: de fricción, 33 del fondo del canal, 32 Percepción remota, 181 Pérdidas (véase Abstracciones) de cabeza, 32 Perfil logarítmico de velocidad, 45 Perímetro mojado, 33 Periodo de retomo, 391-396, 432-434, 450, 465 Peso específico, 33
ÍNDICE DE MATERIAS
Planicies de inundación, 323, 531-535 Población, 362 Porosidad, 40, 101 Polígonos de Thiessen, 80 Porosidad efectiva, 116 Posición de graficación, 406 Potencial (en conducción), 43 Precipitación, 2, 65-73 efectiva (véase Hietograma de exceso de lluvia) en los Estados Unidos, 74-75 estimativos de profundidad, '455-463 intensidad de, 27 mapas para varias duraciones y periodos de retomo, 456-462 máxima probable, 429, 483 cálculo de, 487-499 mapas, 488-490 mundial, 76 promedio sobre un área, método de la media aritmética, 80 método de las isoyetas, 81 método de Thiessen, 80 método del cuadrado de la distancia recíproca, 82 relación puntual sobre promedio superficial, 464 Predicción, 10 Presión: de vapor, 58-61 efecto en la evaporación, 86-88 de vapor de saturación, 59 del aire, 56, 58-61 Primera ley de la termodinámica, 41 Principios: de proporcionalidad y superposición (o aditividad), 210 de invarianza temporal, 221 Probabilidad: complementaria, 362 conjunta, 363 condicional, 363 definición de, 362 distribución de, 361 esperada, 420 función de densidad de, 365 función de distribución de, 366 gráficas de, 406-409 objetiva, 362 papel de, 406 Proceso: de Poisson, 385 estocástico, 361
584
lluvia-escorrentía, 299 Profundidad de flujo y velocidad, 159-167, 190 Programación lineal, 229 Pronósticos, 10 Propiedad: extensiva, 20 intensiva, 20 Prueba: en una dirección, 415 estadística, 378 ji cuadrado, 378-382 Psicrómetro, 188 R
Radiación, 42 neta, 48 reflejada, 54 Radiómetro, 185 Radiosonda, 185 Redes de ríos, 171-174 Registro: automático, 181 manual, 181 Relación: caudal de salida-almacenamiento, 250 de bifurcación, 171 de Bowen, 89 profundidad-caudal, 321-324 Resistencia (de un sistema), 445 Retención, 130, 535 Riesgo inherente, 433, 438 Río efímero, 135 Rugosidad relativa, 36 S Saturación efectiva, 116 Segunda ley de Newton, 20, 30, 284 Sensor, 181 directo, 181 indirecto, 181 Series: anuales, excedencia, 394, 468 máximas, 394 de duración parcial, 394 de valores extremos, 394 espaciales, 181 Sequía crítica de registro, 431 Sesgo, 372, 407, 438 Siembra de nubes, 67 Simetría (de una distribución), 372
ÍNDICE DE MATERIAS
583
ÍNDICE DE MATERJAS
Simulación de crecientes de diseño, 519-531 Sistema: abierto, 26 agregado, 10, 249 cerrado, 26 concepto de, 5 de adquisición de información hidrometeorológica, 201 de agua atmosférica, 5 de agua subsuperficial, 6 de agua superficial, 5 de monitoreo de hidrología urbana, 198 lineal, 9, 208-220 no lineal, 9 transformación de un, 8 Soil Conservation Service: abstracciones en HEC-1, 522-527 hidrograma adimensional, 236-237 método para abstracciones, 150-158 Sonda de neutrones, 197 Sublimación, 41 Suelo: difusividad del agua en, 106 horizontes de, 11 O humedad del, 101, 102, 196 sucCión del, 104-105 Superficie de control, 7 Sustituciones sucesivas, método de, 115
T Tasa: de crecimiento, 56 de infiltración potencial, 110 de lapso adiabático, 56 Temperatura: de rocío, 59 del aire, 58-65 efecto en la evaporación, 89, 91 Tendencia central, 370 Teorema: de transporte de Reynolds, 20-24, 25, 30, 41, 58, 284 del límite central, 382 Teoría lagrangiana de movimiento, 21 Tiempo: de concentración, 170, 513-514 de encharcamiento, 120 bajo intensidad constante de lluvia, 120-125 bajo intensidad variable de lluvia, 143-150 de interarribo, 385 de residencia, 4
de tránsito, 167-171 de línea de, 300 serie de, 181 Tormenta (véase Hietograma) análisis de eventos de, 471-473 coeficiente del avance de, 473, 476 diseño de alcantarillado para, 507-519 máxima probable, 483, 486 modelo de manejo de agua de (SWMM) 508 ' modelos de, 483 Traducción (de información), 183 Tránsito: de caudales, 249 de crecientes, 249 distribuido de crecientes, 281-314 en piscina nivelada, 252-259 en ríos, 264-268 · en ríos con meandros, 336-340 modelo DWOPER, 335-336 por ruptura de presa, 340-346, 351 Transmisión de información en tiempo real 182 ' Transpiración, 83 Tropopausa, 56 Troposfera, 55
V Vacíos, 102 Valor: esperado, 370 límite estimado, 428 Vaporización, 41 calor !atente de, 42 Variable: aleatoria, JO, 361 reducida, 397 Varianza, 371 mínima, 407 Vector normal de área 23 Vc1ocidad: ' crítica, 296 de flujo, 159-167 terminal (de gotas de lluvia) 67-70 Viscosidad, 43-46 ' cinemática, 36 de Eddy, 44 del agua, 37 Visión euleriana del movimiento 21 Volumen de control, 20 ' ecuación general de, 20
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lluvia-escorrentía, 299 Profundidad de flujo y velocidad, 159-167, 190 Programación lineal, 229 Pronósticos, 10 Propiedad: extensiva, 20 intensiva, 20 Prueba: en una dirección, 415 estadística, 378 ji cuadrado, 378-382 Psicrómetro, 188 R
Radiación, 42 neta, 48 reflejada, 54 Radiómetro, 185 Radiosonda, 185 Redes de ríos, 171-174 Registro: automático, 181 manual, 181 Relación: caudal de salida-almacenamiento, 250 de bifurcación, 171 de Bowen, 89 profundidad-caudal, 321-324 Resistencia (de un sistema), 445 Retención, 130, 535 Riesgo inherente, 433, 438 Río efímero, 135 Rugosidad relativa, 36 S Saturación efectiva, 116 Segunda ley de Newton, 20, 30, 284 Sensor, 181 directo, 181 indirecto, 181 Series: anuales, excedencia, 394, 468 máximas, 394 de duración parcial, 394 de valores extremos, 394 espaciales, 181 Sequía crítica de registro, 431 Sesgo, 372, 407, 438 Siembra de nubes, 67 Simetría (de una distribución), 372
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Simulación de crecientes de diseño, 519-531 Sistema: abierto, 26 agregado, 10, 249 cerrado, 26 concepto de, 5 de adquisición de información hidrometeorológica, 201 de agua atmosférica, 5 de agua subsuperficial, 6 de agua superficial, 5 de monitoreo de hidrología urbana, 198 lineal, 9, 208-220 no lineal, 9 transformación de un, 8 Soil Conservation Service: abstracciones en HEC-1, 522-527 hidrograma adimensional, 236-237 método para abstracciones, 150-158 Sonda de neutrones, 197 Sublimación, 41 Suelo: difusividad del agua en, 106 horizontes de, 11 O humedad del, 101, 102, 196 sucCión del, 104-105 Superficie de control, 7 Sustituciones sucesivas, método de, 115
de tránsito, 167-171 de línea de, 300 serie de, 181 Tormenta (véase Hietograma) análisis de eventos de, 471-473 coeficiente del avance de, 473, 476 diseño de alcantarillado para, 507-519 máxima probable, 483, 486 modelo de manejo de agua de (SWMM) 508 ' modelos de, 483 Traducción (de información), 183 Tránsito: de caudales, 249 de crecientes, 249 distribuido de crecientes, 281-314 en piscina nivelada, 252-259 en ríos, 264-268 · en ríos con meandros, 336-340 modelo DWOPER, 335-336 por ruptura de presa, 340-346, 351 Transmisión de información en tiempo real 182 ' Transpiración, 83 Tropopausa, 56 Troposfera, 55
V Vacíos, 102 Valor: esperado, 370 límite estimado, 428 Vaporización, 41 calor !atente de, 42 Variable: aleatoria, JO, 361 reducida, 397 Varianza, 371 mínima, 407 Vector normal de área 23 Vc1ocidad: ' crítica, 296 de flujo, 159-167 terminal (de gotas de lluvia) 67-70 Viscosidad, 43-46 ' cinemática, 36 de Eddy, 44 del agua, 37 Visión euleriana del movimiento 21 Volumen de control, 20 ' ecuación general de, 20
T Tasa: de crecimiento, 56 de infiltración potencial, 110 de lapso adiabático, 56 Temperatura: de rocío, 59 del aire, 58-65 efecto en la evaporación, 89, 91 Tendencia central, 370 Teorema: de transporte de Reynolds, 20-24, 25, 30, 41, 58, 284 del límite central, 382 Teoría lagrangiana de movimiento, 21 Tiempo: de concentración, 170, 513-514 de encharcamiento, 120 bajo intensidad constante de lluvia, 120-125 bajo intensidad variable de lluvia, 143-150 de interarribo, 385 de residencia, 4
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