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P3.11transformadas De Laplace De Una Funcion Periodica

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Matemáticas V Unidad III TRANSFORMADA DE LAPLACE 3.11 Transformadas de Laplace de una función periódica *Problemario* EJERCICIO 1.- Se la función y(t) = con periodo 2. Hallar la transformada de Laplace. L * ( )+ ( ) ∫ ( ( ) ) ) 1 )( 1 ∫ ( ( ( 1 1 ( 0∫ ) ) ( ( ) *Isabel Car mona Jover, Ecuaciones Diferenciales (México: Addison Wesley Longman, 1992), ) EJERCICIO 2 .-Encontrar la transformada de la siguiente función periódica. ∫ ∫ ( ) Multiplicamos por e . Veamos esta expresión: ( √( ) ) √ √ 2 √ √ por identidades hiperbólicas del ángulo mitad2. 2 Isabel Car mona Jover, Ecuaciones Diferenciales (México: Addison Wesley Longman, 1992), EJERCICIO 3.- Sea ( ) que se extiende como una función periódica. Esta es una onda de dientes de sierra y se muestra en la fig. De arriba. Su primer periodo es: 2 De esto obtenemos ( ) ( Y entonces por el teorema 6.8 ( ) ( )) ( ) ( ) , ( )- , ( ) Por el último teorema 6.9 3 Proporciona el resultado: , ( )- 3 3 . / ( ( ) ) Isabel Car mona Jover, Ecuaciones Diferenciales (México: Addison Wesley Longman, 1992), EJERCICIO 4.-La figura 4.23 muestra la grafica de la función de onda cuadrada ( ) , -representa el máximo entero que no excede a x. Por ( ), - cuyo periodo es el teorema 2, la transformada de Laplace de ( ) es: ( ) ∫ ( ) ∫ ( (∫ ([ 4 ( ( ) [ ] ) ) ) ( ) Por tanto: ( ) ( 4 ] ) ( ) ) Ecuaciones Diferenciales Elementales y problemas con condiciones en la frontera. C.H. Edwards, Jr. Tercera edición EJERCICIO 5.- 5Determine la transformada de Laplace de la función periódica que muestra la fig. 7.29 Solución: la función se puede definir en el intervalo ( ) Y fuera del intervalo mediante ( como sigue: 2 ) ( ) con * ( )+ aplicamos la ecuación 9: ( ) ∫ Y la integración por partes: * ( )+ ∫ ( ) *∫ [ ( ( 5 ∫ ] ) ) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis G. Zill, sexta edición, pag. 325. + EJERCICIO 6.-6 Determine la transformada de Laplace de la función onda cuadrada del ejemplo 4.47 Solución: se tiene que ( ) ( ) * ( ( )+ * ) ( )+ Por lo tanto * ( )+ 6 ( ) ( ) ( ) *Ecuaciones Diferenciales ordinarias, Fernando Mesa, Universidad Tecnológica de Pereira, PEREIRA-RISARALDA 2011: http://es.baixardoc.com/doc/96531058/61/Bibliograf%C2%B4%C4%B1a EJERCICIO 7.-7Halle * ( )+para ( ) Solución: en este caso se tiene * ( )+ 2 ( ( ) ( * ( ) ( ) ) y el periodo es )+ * + * ( )+ * ( . Luego )+ ( ) Por lo tanto * ( )+ 7 ( ) ( )( ) ( )( ) *Ecuaciones Diferenciales ordinarias, Fernando Mesa, Universidad Tecnológica de Pereira, PEREIRA-RISARALDA 2011: http://es.baixardoc.com/doc/96531058/61/Bibliograf%C2%B4%C4%B1a EJERCICIO 8.- Resolver ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Solución: * ( )+ En el ejemplo 4.49 se encontró que ( ) Luego, * ( ) ( )+ * ( )+. Así ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) donde ( ) ( ) De donde, * ( )+ ( ) { } { ( ) } { | ( ) , ( ) ( ( ) ( ( ) } ) )- ( ) 8 Equivalente ( ) 8 { Ecuaciones Diferenciales ordinarias, Fernando Mesa, Universidad Tecnológica de Pereira, PEREIRA-RISARALDA 2011: http://es.baixardoc.com/doc/96531058/61/Bibliograf%C2%B4%C4%B1a EJERCICIO 9.- Resuelva la ecuación integro-diferencial ( ) ( ) ∫ Solución: La ecuación se pude escribir como ( ) transformada de Laplace y despejar ( ) se tiene ( ) ( ) sea * ( )+ entonces al aplicar ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) Al despejar y usar fracciones parciales, se tiene ( ) ( ( )( )( ) ) 9 De donde, ( ) 9 * ( )+ Ecuaciones Diferenciales ordinarias, Fernando Mesa, Universidad Tecnológica de Pereira, PEREIRA-RISARALDA 2011: http://es.baixardoc.com/doc/96531058/61/Bibliograf%C2%B4%C4%B1a EJERCICIO 10.- 10Determine la transformada de la función cuya grafica es: Solución: Esta función es periódica con período T=2 y para el cálculo de su transformada podemos * ( )+ ( ) utilizar la formula: ∫ Puesto que la función es seccionada en el intervalo [0,2] entonces la integral se calcula también por secciones: ∫ ( ) ∫ (∫ ) Así: ∫ ( ) ( ) Por tanto * ( )+ 10 ( http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm ) EJERCICIO 11.- 11Sea ( )una función continua por partes en el intervalo [0,∞), y de orden exponencial, con periodo T entonces : * + ∫ ( ) Aplicamos entonces la definición que tenemos anteriormente: * + ∫ ( ) Y sustituimos los valores correspondientes, quedándonos la transformada de laplace de la siguiente manera. * + ∫ ( ) Resolviendo la integral anterior tenemos: * + ( . ( 11 )( / ( )) ) ) http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Transformada_de_laplace_de_funciones_peri%C3%B3dicas EJERCICIO 12.- 12Para esta función tenemos que el periodo es 2. También debemos saber cuál es la función que estamos evaluando, para esto tenemos que: ( ) Ya sabiendo esto podemos aplicar la integral anteriormente enunciada * + ∫ ( ) ∫ ( ) Es decir nuestra integral a evaluar es la siguiente: * + Entonces nuestro resultado queda de la siguiente manera: ( 12 ) ( )) http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Transformada_de_laplace_de_funciones_peri%C3%B3dicas EJERCICIO 13.- 13Determine la trasformada de Laplace de la función periódica definida como: ( ) 2 Solución: aplicando la ecuación: * ( )+ ( ) ∫ Resulta: ( ) ∫ ∫ Evaluando las integrales se tiene: ( ) ( ) Ya que el denominador de la expresión anterior es una diferencia de cuadrados perfectos, nos queda: ( ) 13 ( ) http://microe.udea.edu.co/~alince/recursos/ecuaciones/libro/Ecuaciones-Cap4.pdf. Pag.268 EJERCICIO 14.- 14Determine la transformada de Laplace de la función ( ) | ( )| Solución: La función dada es periódica con periodo T= y se conoce como la onda seno rectificada de onda completa. Su representación grafica se ilustra en la fig. 2.3, aplicando la transformada, resulta: *| ( )|+ ∫ ( ) ( ) * ( Con base a la ecuación: ( ) ∫ )+ Se tiene: ( ) ∫ * ( )+ * * ( )+ ( )+ Entonces, la transformada de la función periódica seno rectificada de onda completa es: *| 14 ( )|+ ( )( ) http://microe.udea.edu.co/~alince/recursos/ecuaciones/libro/Ecuaciones-Cap4.pdf, pag 269 EJERCICIO 15.- 15Determine la transformada de Laplace de la función periódica, definida como: ( ) 2 Solución: la función ( )corresponde a la señal triangular con periodo , ilustrada en la figura 4.4, aplicando la transformada de Laplace para una señal periódica, resulta: ( ) ∫ ( ∫ ) Efectuando las integrales, tenemos: ( ( ) ) ( ) ( ) En el denominador teneos una diferencia de cuadrados entonces simplificando nos queda: ( ) 15 ( ) ( ) http://microe.udea.edu.co/~alince/recursos/ecuaciones/libro/Ecuaciones-Cap4.pdf pag. 270