Transcript
2dy
Solucionario de Física Básica
INDICE Vectores………………………………………………………….2 Cinemática……………………………………………………….37 Dinámica…………………………………………………………89 Trabajo, Potencia y Energía……………………………………121
1
VECTORES EJERCICIO 4 pg 50 ejer 6
R=|V2-V1| |V2-V1|2=V12+ V22-2V1V2COS60º |V2-V1|2=2 V12- V1 |V2-V1|2=|v1|
F12=R2+F22 F12=102+102 F1=14.14kg
R/SENθ=f1/SEN90º β=ARCSEN(RSEN90º/F1)=45º f1=(14.14kg;135º)
A=53i+0j -b=(-1.76i-18.91j) a-b= 484 |a-b|=22u
AB=BE EAE=AB+BE AE=2BE ED=DC EC=ED+DC Ec=2ED
AE/BE=EC/ED=AC/BD AC=2BD
R=a+b+c+d+e
2
A=b+c+e R=a+a+d R=2a+d R=2a+j-2(2ad)cosθ Cosθ=(4a2+d2+R2)/4ad
R2=A2+B2+-2ABcos37º R= 9 + 100 − 2 * 3 * 10 cos 37 º R=7.82kg
R/sen37º=B/senβ α=arcsen(Bsen37º)/7.82 α=50.32º
R2= A2+B2+-2ABcos143º R= 9 + 100 − 2 * 3 * 10 cos137 º R=12.53kg
R/sen143º=B/senβ α=arcsen(Bsen143º)/7.82 α=arcsen(Bsen143º)/12.53 Α=28.71º R=(12.53kg;28.71º)
R12=2002+3002-2*300*200cos75º R12=130000-12000cos75º R1=314.55Kg R1/sen75º=200/senα α=37.9º β=44.1º
R12= R12+1152-2R1(155)cos44.1 R1 122966.7-70024.85 R=230.09 r/sen44.1=155/senα senα=27.97º φ=27.97º+67.1º+30º φ=125.1º 2
3
|A+2B|= a 2 + 4B 2
tgθ=A/2B
Rmax 2=V12V22-2V1V2COS180º 82= V12+V22+2V1V2 82=(V1+V2)
φ=arctgA/2B
2=8-V3-V1 V2=3 V1=5
Rmax 2= V12V22-2V1V2COS0º 2 2= V12+V22-2V1V2 2=V1-V2
R=4.36u
4
EJERCICIO 5
COS30º=Fx/x F=8/cos30º F=9.24kg
tg30º=Fy/Fx Fy=8tg30º Fy=4.62Kg
Fr2=102+202-2*10*20cos30º Fr2=500-346.4 Fr=12.4N Fr/sen30º=10/senα Senα=10sen30º/12.4 α=23.8º
θ=30.723.8º θ=53.8º Fx/FR=cos53.8º Fx=12.4cos53.8 Fx=7.32N FR=(7.32;10)N
5
Bx=-60m/s By=0 -B(-60:0)m/s Ax=cos53º*100 Ax=60.18m/s Ay=100sen53º Ay=79.86m/s
tgθ=-0.14/0.18 θ=arctg0.78 θ=37.87º θ=180º-37.87 θ=142.13º
A(60.18;79.86)m/s Cx=0 Cy=-80m/s -c=(0;-80)m/s
R= 0.18 2 + 0.14 2 |R|=0.23m/s
R=(0.18i-0.14j)
Sen40º=Fy/F F=80/sen40º=124.5N
Fx=Fcos60º Fx=100cos60º Fx=50N
Fy=Fcosβ F2=Fcosγ Fy=100cos45º Fy=70.71N F2=-50N
F2=100*cos120º
F(50:70.71:-50)N
6
v
R= 10 2 + 15 2 R=18.03cm
R2=102+152-2*15*10cos120º R2=325+150 R=21.8
F3x=F1cos72º F1x=cos72º 45 F1x=2.09N F2=(2.07;-5.36;3.46)
F12=F1x2+F1y2+F1z2 F12=45-2072-5.362 F1= 45 − 33.01 F1=3.46
|F|= 7.8 2 + 3.28 2 + 0.75 2 |F|=8.5N Cosα=7.8/8.5 α=23.42º
cosβ=0.75/8.5 β=84.9º
AB=(-4:8:5) |AB|= 16 + 64 + 25 |AB|=10.25 Ac=(3:5:0) |Ac|= 1 + 4 + 1 |Ac|=2.45
F2z=F2cos115º F2z=cos115º 45 F2=(5.77;2.08;-2.71) F2=41-2.712-2.082 F2=5.77N
cosα=6/16.28 α=68.37º Cosβ=15/16.28 β=48.74º
7
R2=102-302-2*10*30cos165º R2=1000+579.56 R=39.74
α=45º-3.73º α=41.26
R/sen165º=10/senφ φ=3.73º
β=90º-41.26 β=48.74º
R-S=[(1+4)i+(7+2)j+(-3-3)k] R-S=5i+9j+6k | R-S|= 25 + 81 + 36 | R-S|=11.92u
S-R=[(-4-1)i+(-2-7)j+(3+3)k] S-R=(-5i-9j+6k) | S-R|= 25 + 81 + 36 | S-R|=11.92
Cosα=5/11.92 α=65.2º
cosα=-5/11.92 α=114.8
cosβ=9/11.92 β=40.97º
cosβ=-9/11.92 β=139.03º
cosγ=-6/11.92 γ=120.22º
cosγ=6/11.92 γ=59.78º
EJERCICIO 6
8
F1=100cos15º F1=96.59N
F1x=96.59cos15º F1x=68.3
F2x=50cos330º F2x=43.3N
F2=100cos60º F2=50N
F1y=96.59sen15º F1y=68.3
F2y=50sen30º F2y=-25N
F1=(68.3i+68.3j)N F2=(43.3i-25j)N
|X2|= 4 + 16 |X2|=4.42 cosθ=2/|X2| θ=26.51º
AB=a+B AB=(-2i-2j+4k) |AB|= 4 + 4 + +16 |AB|=4.9u
cos θ=X2/AB θ==24.18º
AB=(4.9i;S26.54O;)
|A|= 3 2 + 4 2 + 4 2 |A|=7.07u
cosα=2/64 α=71.8º
|B|= 12 + 2 2 + 6 2 |B|=6.4u
cosβ=6/6.4 β=20.36º
A+B=(2i+6j+k) |A+B|= 1 + 2 + 6 |A+B|=6.4u 2
2
cosγ=1/64 2
γ=81.01º
9
Ax=10cos70º Ax=3.42
cosθ=z/Cxz z=5.75
Az=10cos130º Az=-6.43
cosθ=Cxz/|C| Cxz=15cos40º Cxz=11.5 Cxz2=z2+x2 2 11.5 5.752=x x=9.96u
102=3.422+6.432+Ay2 Ay2=47.34 Ay=6.9
152=5.752+9.962+y2 y2=92.74 Y=9.63u
A(3.42:6.9:-6.43) c(-9.96;9.63;-5.75) 2A-B-C=[(6.84-5+9.96)i+(13.8-4-9.63)j+(-12.86-+5.75)k] 2A-B-C=11.8i+8.17j-13.11k |R|2=11.82+8.172+13.112 |R|=19.44u
a)∆d1=P1-P=(0:2:4) ∆d2=P2-P1=(0;2;0) ∆d3=P3-P2=(5:0:-4) ∆d2=P4-P3=(0;-2:0) | ∆d1|= 10 + 4 | ∆d2|=2 | ∆d3|= 4 + 10 = 41 | ∆d4|=2
b) ∆dt=(5:0;-4) |∆d3|=6.4Km ∆dxz=6.4Km cosθ=z/ ∆xz θ=51.32º Pp=(5i+2j+0k)
| ∆dt|=4.47+2+6.4+2 | ∆dt|=14.87Km
10
Cosγ=Az/A
Ax= Axz 2 − Az 2
Cos11.7º=Az/13.5 Az=-4.99
Ax= 12.09 2 + (−4.99) 2 Ax=11.01
Ay=sen26.41º*13.5 Axz=12.09 Sen58º=Bx/9.43 Bx=7.99 Tg58º=7.99/Bz Bz=4.99 By=tg32.4*9.43 By=5.98
Ra=(11.01+6j-4.99k) RA-B=Ra-RB RA-B=11.01i+6j-4.99k 7.99i+5.98j-4.99k Ra-B=(19i+11.98j-9.98k)
Rb=(-7.99i-5.98j+4.99k)
Sen60º=px/51.96 Px=44.99
sen30º=Py/60º Py=30
Cos60º=PZ/51.96 Pz=28.98
Pxz=51.96º
10.59i-25.08j+10.59k 44.99i+30j-25.48k 55.8i+30j-15.39k Sen45º=sx/14.99 Sx=10.59º Sz=10.59
sen60º=sy/30 sy=25.98 Tg60º=25.98/Sxz
11
S=(10.59i-25.98j+10.59k)
Cy=20sen60º Cy=17.32m Cxz=20cos60º Cx=Cx*sen30º Cx=10sen30º Cx=5m
Cz=Cxzcos30º Cz=10cos30º Cz=8.66m c=(5;17.32;8.66)m B+C=[(-2+5i)+(17.32)j+(8.66-3)K] B+C==D=3i+17.32j+5.66k Dxz= 3 2 + 5.66 2 = 6.41m |D|=18.47
Cosθ=Dx/Dxz θ=27.99º
b) C=(5i+17.32j+2.66k)m
µC=(5i+17.32j+2.66k)/20
|C|= 5 + 17.32 + 2.66 |C|=20m
µC=(0.25i+0.87j+0.43k)
2
2
2
12
a)V1=200u N40ºO elev.60º V2=160u SE elev.45º
V1z=V1xzcos40º V1z=76.6u
V1y=200sen60º V1y173.21u
V1=(-64.28i+173.21j-76.6k)
V1xz=200cos60º V1xz=100u V1x=V1xzsen40º V1x=64.28u V2x=V2x=V2xzsen45º V2x=80u
V2y=160sen45º V2y=113.14u V2xz=160cos45º V2xz=113.14u
V2=(80i+113.14j+80k) Vr=[(80-64.28)i+(173.21+113.14)j+(80-76.6)k] Vr=(15.72i+286.35j+3.4k)
13
Cosα=Bx/B Bx=10cos60º Bx=5m |B|2=Bx2+By2+Bz2 Bz=7.07m
B=5i+5j+7.07k C=(Cf-Ci)=[(2-0)+(2-4)+(1-5)] C=2i-2j-4k
Dy=1/2(-2) Dy=-1
Ax+Bx-1/2Cx+Dx=0 Dx=-14m D=(-14i-j-6.07k)m
Dz=1/2(-4)-7.07-3 Dz=-6.07
|A|=100µ ;60º ; elev45º |B|=50u ;α30º;γ75º
cos30º=Bx/50 Bx=43.3u
Ay=|A|sen45º Ay=70.71
cos75º=Bz/50 Bz=12.94u
Axz=|A|cos45º Axz=70.71u Ax=70.71sen60º Ax=-61.24u AZ=70.71cos60º Az=-35.4u A=(-61.24i+70.71j-35.4k)
502=43.32+12.92+By2 By=21.4u Ax+Bx+Cx=0 Cx=-Bx-Ax Cx=61.24-43.3 Cx=17.94u Cy-By-Ay Cy=-70.71-21
Cz=-Bz+Cz Cz=35.4-12.94 C=(17.94i-
92.11j+22.46k) Cy=-92.11u C=(17.94i-92.11+22j.46k)
|A|=100u Cosα=0.7 Cosβ=0.2
cosα=Ax/A Ax=70
Ay=100*0.2 Ay=20 A=(70i+20j+68.56k)m
A2=Ax2+Ay2+Az2 Az2=A2-Ax2-Ay2 Az= 100 2 − 70 2 − 20 2 Az=68.56
14
2A=10i-4j -3B=-12i-15j C=-3i+3j
R=-5i-16j
R=A-B |R|2=102+162-2*10*16*cos105º |R|2=356+82.82 R=20.9 R/sen105º=A/senθ Senθ=10sen105º/20.9
senθ=0.46 θ=27.53º+135º θ=162.53º Rx=Rcos162.53º Rx=-19.9 Ry=Rsen162.5 Ry=6.27
15
Ay=Asen50º Ay=7.6
Ax=3.21 Az=Axzcos30º
Axz=Acos50º Axz=6.43 Ax=Ax=sen30º
Az=Axzcos30º Az=-5.57
A(3.21i+7.6j-5.57k)
A=4i-2j+6k -2B=2i-8j+2k R1=6i-10j+8k
2A=-8i+4j-12k 3B=-3i+12j-3k R2=-11i+16j-15k
µR1=(6i-10j+8k)
|R2|= 112 + 16 2 + −15 2
6 2 − 10 2 + 8 2 µR1=0.42i-0.7j+0.57k
|R2|=24.54u
R1paralelo R1 R=24.54(0.42i+0.7j+0.57k)
16
ABC=[(2+5+7)i+(1-1+2)j+(2+4+1)k] ABC=14i+2j+7k
senθ=2/15.8 θ=7.27º
|ABC|= 14 2 + 2 2 + 7 2 |ABC|==15.8 Senθ=ABCy/ABC
θ/2=3.64º
a) a(12:6:-4) b(0:-6:-4) c(-6:6:-2)
d) |c|= 6 2 + 6 2 + 2 2 |c|=8.72
b) |a|= 12 2 + 6 2 + 4 2 |a|=14u
cosγ=-2/8.72 γ=-0.23
c) µb=(0i-6j-4k)/ 6 2 + 4 2 µb==(0i-0.83j-0.55k)m
cosβ=6/8.72 β=0.69
17
Ay=Asen30º Ay=20
Ax=Axz*sen45º Ax=24.5
d= 30.5 2 + 15 2 + 27.5 2 d=43.7m
Axz=Acos30º Axz=34.64
Az=Axz*cos45º Az=24.5
tgθ=-30/27.5 θ=47.5º
A=(24.5i+20j+24.5k) d(AB)=B-A dAB=[(-6-24.5)i+(5-20)j+(-3-24.5)k] dAB=-30.51i-15j-27.5k
cosγ=dy/d γ=70º
Φ=N70ºO dep47.5º
18
902=a2+b2 902=2a2 a=63.64m F1=[(63.64)i+(2*63.64+90)j+(150)k]/3 F1=(21.21i+72.43j-50k)Kp F2=[(63.64+90)i+(217.28)j+(150)k] F2=(51.21i+72.43j-50k)Kp
A(20i+50j+40k)m By=45sen30º By-22.5
F3=(153.64i-150k*1/3) F3=(25.21i-50k)
F1=21.21i+72.43j-50 F2=51.21i+72.43j-50k F3=25.21i-0j-50k____ Fr=(123.63i+144.86j-150k)Kp
Bxz=45cos30º Bxz=38.97 Bx=38.97sen60º Bx=33.75
µv=(0.6i-0.8j) C=(0.6i-0.8j)*20m C=(12i-16j)m
B+A=(33.75+20)i Bz=38.97cos60º +(22.5+50)j+(19.5+40)k Bz=19.5 B=(33.75i-22.5j+19.5k)m B+A+C=(53.75+12)i +(27.5-16)j+(59.5)k µv=(3i-4j)/ 9 + 16
19
µB+C=(0.11i+0.82j+0.56k)
By=Bsen40º By=48.21Km
Bz=57.45 cos60º Bz=28.73Km
Bxz=Ncos40º Bxz=57.45Km
B=(49.8i+48.21j+28.73k)Km cosα=0.11 α=83.7º µv=(-5i+12j+9k)/15.81 µv=(-0.32i+0.76j+0.57k) cosβ=0.82 β=34.9º
Bx=57.45sen60º Bx=49.8Km
C=100(µv) C=(-32i+76j+57k)Km
cosγ=0.56 γ=55.9º
B+C=[(49.8-32)i+(76+48.21)j+(28.73+57)k]Km B+C=(17.8i+124.21j+85.73k)km µB+C=(17.8i+124.21j+85.73k)/151.97
Ay=8sen30º Ay=-4 Axz=8cos30º Axz=6.93 Ax=6.93*sen60º Ax=6
Az=6.93cos60º Az=-3.47
Bxz=5
A=(6i-4j-3.47k)
Bx=5sen45º Bx=-3.54
By=10sen60º By=-8.66
Bz=5cos45º Bz=3.54
20
Bxz=10cos60º
d=B-A d=[(-6-3.54)i+(4-8.66)j+(3.47+3.54)k] d=(-9.54i-4.66j+7.01k)Km
B=(-3.54i-8.66j+3.54k)
cosα=-0.005 α=90.3º
d= 9.5 2 + 4.66 2 + 7.012 d=12.72Km
24.
Cx=12 2 cos45º Cx=12i Cy=12 2 sen45º Cy=12j
A=5i-10j+7k B=9i+4j+2k C=12i+12j+0k R=26i+6j+9k
C=(12i+12j+0k) EJERCICIO7
µB=(24i+6j+8k)/ 24 2 + 6 2 + 8 2 µB=(0.92i+0.23j+0.31k)
cosγ=0.31 γ=72º
F=520 µB Fy=520*0.23j Fy=119.6j
cos γ=Fz/F Fz=520*0.31k Fyz=119.6j+161.2k 21
A+R=B R=A-B R=(i+2j+k)
µr=(0.41i+0.82j+0.41k)
A+R=B R=B-A A2=152+102-2*10cos30º A2=325-260 A=8.06
F=µr*|F| F=(32.8i+65.6j+32.8k)
A R = sen30º senθ senθ=15sen30º 8.06
senθ=0.93 θ=68.52º
22
Cosα=Ax/A Ax=10cos50º Ax=6.43
sen60º=By/B By=20*sen60º By=-17.32m
Bxz=20cos60º Bxz=10m
Cosγ=Az/A Az=10cos100º Az=-1.74m
cos60º=Bxz/B
cos50º=Bz/Bxz Bz=10cos50º Bz=6.43m
102=6.432+1.742+Ay2
sen50º=Bx/Bxz Bx=10sen50º Bx=7.66m
Ay= 55.63 Ay=7.46m
B=(7.99i-17.32j+6.43k) A=(6.43i+7.46j-1.74k)m
a)A*B=A*Bcos θ (7.66 * 6.43) + (−17.32 * 7.46) + (6.43 * −1.74) cosθ= 10 * 20
BA=B(cos117.11)( µA) BA=-5.86i-6.8j+1.59k |BA|=9.12m
cosθ=-0.46 θ=117.11º
i
j
k
AXB= 7.66 − 17.32 6.43 6.43 7.46 − 1.74
µA=(6.43i+7.46j-1.74k)/10 µA=0.64i+0.75j-0.17k
AXB=17.83i-54.87j-168.52k |AXB|=178.05m
R=4i+3j 0.5i+0.87j) Ra=RcosθµA µA=cos60ºi+cos30ºj µA=0.5i+0.87j
rcosθ =(r*A)/A
RA=(4i+3j)(0.5i+0.87j)(
rcosθ=r*µA RA=[r(µA)* µA]
RA=2.31i+4.01j
23
A=(-3i+4j) A=5 µA=-0.6i+0.8j cosβ=By/B sen30º=By/|B| 0.5= By/|B|
cos30º= Bxz/|B| |B|cos30º=Bxz cos45º=BX/cos30º|B| cos45º*cos30º=Bz/B
µB=-0.61i+0.5j-0.61k AB=(A* µB) µa AB=(1.83+2)(-0.61i+0.5j -0.61k) AB=-2.34i+1.92j-2.34k
i j k 0 D=AXB= − 0.6 0.5 − 0.61 0.5 − 0.61 D=(-0.49i-0.37j+0.19k)*10 D=(-4.9-3.7j+1.9k)cm
(2a)2=a2+a2+c2 4a2=2a2+c2 4a2-2a2=c2
µvx-z=( a 2 i+aK)/ 2a 2 + a 2 µvx-z=(0.82i+0.88j)
C= 2a 2 C=a 2
cosα=0.82i cos α=0.58K
V=( a 2 i+aj+ak) Vx-2=( a 2 i+aK)
cosβ=0.5j
24
B=(a/3i+ 2 aj-ak) a)|A|=5a |Axy|=3ª Cos30º=Ay/3a 3asen30º=Ay Ax=1.5ª Az2=(5a)2-(1.5a) 2-(2.6a) 2 Az2=25a2-9.01a2
b)B-A=-17ai-1.19aj-5ak=C (B-A)xy=-1.17ai-1.19aj=D C*D=CDcosθ cosθ=(1.37+1.42)a2 a(5.27)a(1.67) cosθ=2.79/8.80 θ=71.52º A-B=1.17ai+1.19ajk+5ak=E |E|=5.27a µe=(1.17ai+1.19aj+5ak)/5.27 µe=0.22i+0.23j+0.95k
Az=4a A=(1.5a+2.6j+4ak)
Cosθ=Ex/E=1.19ª/5.27a θ=76.95º
µF=(-5i+7j-5k)/9.95 µF=-0.5i+0.7j-0.5k Ef=[(1.17ai+1.19aj+5ak)µf] µf Ef=(-0.59ª+0.83ª-2.5a) µf Ef=(-2.26)a µf Ef=(1.13i-1.58j+1.13k)
|F|= 12 + 2 2 + Fz 2
cos60º=10/5 5 + Fz 2
|F|= 5 + Fz 2
½=10/5 5 + Fz 2
|r|= 4 2 + 3 2 |r|=5
Fz2=16-5 Fz=3.32N
F*R=F*Rcosθ
25
a)B*C=Bccos60º |B|= 1 + 25 |B|=5.1
b)D*B=D*Bcos90º D*B=0 Dr=5Dz=0
µB=(1j+5K)/5.1 µB=0.2j+0.98k
5i+7j=(0+Dx)i+(0.2C+Dy)j+(0.98C+Dz)K Dx=5
c=C(0.2j+0.98k) c=0.02Cj+0.98Ck
Dy+0.2C=7 C=-Dz/0.98
7=0.2(-Dz/0.98)+Dy 70-0.2Dz+Dy Dy0-5(-1.35) Dy=6.75
-Dy-5Dz=0 Dy-0.2Dz=7 -5.2Dz=7
C=-(-1.35)/0.98 C=1.38
Dz0-1.35k D=(5i+6.75j-1.35k)
a)122=m2+9m2+0.04 (11.4+34.2j+0.63k) 144-0.04=10m2 m2=3.8
b)2A-3B=(6i+4j+110k)R=-5.4i-30.2j+9.37k 2c-4B=(8i-6j+24k)-(15.2i+45.6j+0.84k) R2=-7.2i-51.6j+23.16k
B=3.8i+11.4j+0.21k
i
j
C=(0.28j+1.35k)
k
R*R2= − 5.4 − 30.2 9.37 =-215.93i+57.64j+61.2K − 7.2 − 51.6 23.16 Rr2=(RµR2) µR2 7.2i - 51.6j + 23.16k µR2= 7.2 2 - 51.6 2 + 23.16 2 µR2=-0.13i-0.91j+0.41k
Rr2=(0.68+27.48+3.84)µR1 Rr2032µR2 Rr20-4.03i-29.12j+13.12k 26
52=(5*0.3)2+(5*0.2) 2+5c2 25-2.25-1=25 c2 C2=0.87 C=0.93
Rr20(0.68+27.48+3.84)µR2 Rr2032µR2 Rr20=-4.03i-29.12j+13.12k
V=(1.5i-j+4.55k) Sen30º=Ay/A Ay=15sen30º Ay=7.5 Cos30º=Axz/A Axz=13
64=(8*0.3)2+(8c)2+(8*0.46)2 64c2=64-5.76-13.54 C=0.84 23i+18.75j-23k A=2.4i+6.72-3.68k Sen20º=By/|B| By=10/sen20º By=3.42
cos50º=BZ/Bxz Bz=9.4/cos50º
|R|=17.47 5/2A=-
sen50º=Bx/Bxz Bx=9.4/sen50º Bx=7.2 B=7.2i+3.42j-6.04k
Cos20º=Bxz/|B| Bxz=10cos20º Bxz=9.4
3A=7.2i+20.16j-1104k -B=-(3.6i+1.71j-3.02k) R=16.74j-5k
27
AE=(4i-3j+6k) |AE|=7.81 FB=(4i+3j-6k) µFb0.5i+0.38j-0.77k
AEFB=(AE*µFB) µFB AEFB=(2.04-1.14-4.62) µFB AEFB=-1.89i-1.41j+2.86k
Sen45º=Vy/V Vy=30sen45º Vy=21.21m/s2 Vxz=21.21m/s
25=32+(5c)2+4 25-9-4=25c2 a=(3i+3.45j-2k)m/s2 Cosθ=(Aa)/Aa cosθ=(-31.83+73.17+36.74)/150 θ=58.63º
Cos30º=Vz/Vxz Vz=21.21cos30º Vz=-18.37m/s2 Sen30º=Vx/Vxz Vx=21.21sen30º Vx=-10.61m/s2 V=(-10.61i+21.21j-18.37k)m/s2
28
µv=(3i-j+k)/ 11 µv=0.9i-0.3j+0.3k
A=AzAu Au=(i+4k)-(1.62i-0.54j+0.54k) Au=-0.62i+1.54j+3.46k
AY=Az Az=(A*µA) µA Az=1.62i-0.54j+0.54k
A=2i+j+2k B=i-2j+3k
µB=(i-2j-3k)/ 14 µB=0.27i-0.53j+0.8k
AB=(A*µB) µB AB=(1.61)(0.27i-0.53j+0.8k)() AB=0.43i-0.85j+1.29k
A=i+j+k B=i+8j-4k |B|=9
20= 0.04 2 + 0.29 2 + 0.14 2 V 20=0.32V V= 3
µB=0.11i+0.89j-0.44k µB=(0.06i+0.52j-0.26k)V(µB) µB=(0.04i+0.29j-0.14k)
µA=0.58i+0.58j+0.58k V=V0.58i+V0.58j+V0.58k V=35.8i+35.8j+35.8k
|V|=20u B=A+V
|B-A|=17.83 µB-A=-0.28i-0.11j+0.95k
E=D-C E=-2i+4j-7k
29
V=A+V V=B-A V=-5i-2j-17k
V=-11.2i-4.4j-38k |E|=8.31 µE=-0.24i+0.48j-0.84k
VE=(V*µE) µE VE=(2.69-2.11+5.88) µE VE=6.46(-0.24i+0.48j-0.48k) VE=-1.55i+3.1j-5.43k
EJERCICIO 8
D=(2ai+3aj-6ak)-(-2bi+6bj+3bk-(4ci-2cj-3ck)) D=(2a+2b-4c)i+(3a-6b+2c)j-(6a+3b-3c)k
B=-2i+6j+3k -A=-2i-3j+6k C=4i-2j-3k__ D=j+6k
a=-1 b=-1 c=-1 P=(-1:-1:-1)
AB=(-4i+3j+9k) PAB=(-3i+4j+10k) |PAB|=11.2 AP=-3i-4j+5k 2 3 −6 A= − 2 6 3 −1 −1 −1 A=34.5u2
0=2a+2b-4c 1=3a-6b+2c 6=-6a-3b+3c
30
i j k ACXBD= − 20 6 20 − 20 10 − 20 µACXBD=0.37i+0.92j+0.09k
BD=(-2:10:-20) BE=(-20:0:0) µBE=-i BDBE=(BD*µBE) µBE BDBE=20(i) BDBE=-20i=V AC=(-20:6:20)
AB=(4:-8.8) AC=(4;-3:0) µCA=(4i-3j)/5
V=7.4i+18.4j+1.8k
ABcz=(AB*µCA) µCA ABcz=(3.2+4.8)(0.8I-0.6J)
i µCA=0.8i-0.6j
j
ABXCA=1/2* 4 − 8 8 4 −3 0 ABXCA=12i+16j+10k
i AB=(4i+2j-7k)m AC=(.7i+7j-5k)m BC=(-11i+5j+2k)m |AB|=8.3m |AC|=11.09m |BC|=12.24m
k
j
k
ABXBC=1/2* 4 2 − 7 7 7 −5 ABXBC=19.5i+34.5j+21k µABXAC=(19.5i+34.5j+21k)/44.85 =0.43i+0.77j+0.47k
V=(6.8i+12.018j+7.48k)
31
AB=4i-9j+k AC=9i+4j-11k BC=5i+3j-12k
i j k ABXAC=1/2* 4 − 9 1 9 4 − 11
=1/2(99i+16k+9j+81k-4i+44j) ABXAC=47.5i+26.5j+48.5k=R µR=(47.5i+26.5j+48.5k)/72.87 µR=0.65i+0.36j+0.67k E=15u E=9.75i+5.4j+10.05k
µBC=(5i+13j-12k)/18.38 µBC=0.27i+0.71j-0.65k ABBC=(AB*µBC) µBC =(1.08-6.39-0.65) µBC =-5.96(0.27i+0.71j-0.65k) =-1.61i-4.23j+3.87k |ABbc|=5.95
AD=(i-j+2k) AB=(3i+5j-k) AC=(4i-5j+4k) AC=(4i-5j+4k)
E=-15i-16j+35k |E|=41.3 µE=0.36i-0.39j+0.85k AD=(AD*µE) µE
i j k E=ACXAB= 4 − 5 4 3 5 −1
=(0.36+0.39+1.7) µE ADE=0.88i-9.56j+2.08k
32
BD=BD=-20i+10j-20k BE=-20i |BE|=20
b)BA=2j-20k BD=-20i+10j-20k
i j k BAXBD= 0 2 − 20 − 20 10 − 20 BDBE=(BD*µBE) µBE =20(-i) BDBE=-20i
A+B=11i-j+5k A-B=-5i+11j+9k 2A=6i+10j+14k A=3i+5j+7k
F=-40i+400j+40k+200i F=160i+400j+40k |F|=423.67 µF=0.37i+0.92j+0.09k V= µF(|BDBE|) V=7.4i+18.4j+1.84k
|A|=9.11 b)A*(A*B)=A(A*B)/cosθ cosθ045.52º
i j k AX(A+B)= 3 5 7 =25i-3k+7j-55k+7i+15j 11 − 1 5 A+B=11i-j+5k -A+B=5i-11j-9k 2B=16i-12j-4k B=8i-6j-2k
Sen40º=Ay/15 Ay=9.64 Cos40º=Axz/15 Axz=11.5 Sen60º=AX/11.5 Ax=9.96
AX(A+B)=32i+62j-58k
c=7.5i-125.5j+25k 252=7.52+11.52+252 m2=0.66 m=0.81 C=7.5i-12.5j+20.25k 3A-5C=(28.98-37.5)i+(28.92+62.5)j+(-17.25-101.25)k =-8.52i+91.42j-118.5k
33
Cos60º=Az/11.5 Az=-5.75
7B+5D=(28+35)i+(14+75)j+(-21-150)k =63i+89j-171k
A=9.66i+9.64j-5.75k
i j k L= − 8.52 91.42 − 118.5 63 89 − 171 L=-5096.58i-8922.42j-6475.14k
a)QR=R-Q=(i-j)
dPQR= (1 − 3) 2 + ( −1 + 2) 2 dPQR=2.24 b)QP=P-Q=(2i-4j)
Cos18º=Ay/A Ay=-57.06
3 −2 1 A=1/2* 1 2 1 =1/2*(-2) 2 −1 1 A=1
i j k BXA= − 22.9 44.45 0 − 18.54 − 57.06 0 BXA=2130.77K
34
Sen18º=Ax/A Ax=-18.54
A*B/AB=cosθ θ=134.74º
A=-18.54i-57.06j
i j k AXB= − 18.54 − 57.06 0 − 22.9 49.5 0 =-824.1K-1306.67K AXB=-2130.77K
Cosα=AX/A AX=10cos50º AX=6.43m
A2=Ax2+Ay2+Az2 Ay2=100-(6.43)2-(1.71) Ay=7.46
cos60º=Bxz/B Bxz=20*cos60º Bxz=10m
Cosγ=Az/A Az=10cos100º Az=-1.74
A=(6.43i+7.46j-1.74k) sen60º=By/B By=20sen60º By=-17.32
sen50=BX/Bxz Bx=7.66 cos50º=Bz/Bxz Bz=6.43
B=(7.66i-17.32j+6.43k) µA=A/10 µA=0.64i+0.75j-0.17k
i j k − 1.74 AXB= 6.43 7.46 7.66 − 17.32 6.43
µB=B/20 µB=0.38i-0.87j+0.52k
|AxB|=178.05
a) AXB=A*Bcosθ cosθ=(49.25-129.21-11.19)/200 θ=117.1º
µAXB=BA*µAxB µAxB=0.1i-0.31j-0.95k
b)BA=20cos117.1ºµA BA=-5.83i-6.83j+1.55k |BA|=9.11
V=BA* µAxB V=9.11*(0.1i-0.31j-0.95k) V=0.91i-2.82j-8.65k
35
a) AB=B-A=-i-j-2k b) |AB|=2.45 c) AC=C-A=i-3j-k |AC|=3.32 d)ABXAC=cosθ AB*BC Cosθ=4/245*3.32 θ=60.5º
i j k ABXAC=1/2* − 1 − 1 − 2 i −1 −1 =1/2(i+3k-2j+2k-6i-j)
Aabc=1/2* 5 2 + 3 2 + 4 2 Aabc=3.54u2
B=(-1.74i+7.66j+6.19k)
Cosα=Bx/B
i j k B= − 1.74 7.66 6.19 5 −2 4
Bx=10*cos100º Bx=-1.74 Cosβ=By/B By=10*cos40º By=7.66 102=1.742+7.66i2+Bz2 Bz2=100-61.7 Bz=6.19
BXA=(43.12i+37.97j-34.82k) 2A=10i-4j+8k -B=1.74i-7.66j-6.19k C=11.74i-11.66j+1.89k
|BXA|=67.08 µBXA=0.64i+0.57j-0.52k µBXA=-0.64i-0.57j+0.52k V=|c/2|=µBXA V=(-5.3i-4.7j+4.3k)
c/2=5.87i-5.83j+0.97k |c/2|=8.32m, 36
CINEMATICA
EJERCICIO 9 1.-Encontrar la velocidad media y la posición final, sabiendo que una partícula parte del punto A(2:0:1)m y se demora 5s para llegar a B que esta al NE de A. Se sabe que el módulo del desplazamiento es 20m Vo=(2:0:1) T=5s d=200m
Vm=d/t Vm=20/5 Vm=4m/s
∆r=20mNE Cos45º=z/20 Z=-14.14jm
sen45º=x/20 x=14.14i
V=4NE Z=4cos45º Z=-2.83jm/s
x=4sen45º x=2.53im/s
∆r=Vf-Vo Vf=16.14j-13.14k Vf=(16.14i-13.14k)m V=(2.83i-2.83j)m/s
2.-
r V = ( 7i − 3 j ) m/s
∆r=(7i-3j)6s 37
∆r=(42i-18j)m d= 422 + 182 d=457m
Ro=2i+2jq T=6s ∆r=rf-ro ∆r=42i-18j ro=2i+2j
|Vm|= 7 2 + 32 |Vm|=7.62
rf=44i-16j
µvm=
( 7i − 3 j ) m / s 7.62m / s
µvm=(0.90i-0.4j) 3.-
VA=36km/h=10m/s VB=45 km/h =12.5 m/s tA= td=2+ tB d=10(8+2) d=100m B=12.5m/s
dA= VA* tA dB= VB* tB VA* (2+ tB)= VB* tB 10(2+ tB)=12.5* tB tB=8S
4.-
VA= dA/ tA VA=800/2 VA=32m/s
tA= tB dA=800-20 dB=x 800 − x x − 32 40
dB=444.44 de B dA=(800-444.44)m de A dA=355.56 de A
3200=72x x=444.44m 5.-
38
d=428Km V=55Km/h Pp=18min=0.3h Sp=5min=0.083h
t=d/v t=128/55 t=2.33h
Tt=2.33+0.3+0.083 Tt=2.713h
Vm=128Km/2.73h
Vm=47.18Km/h
6.-dos móviles se desplazan 1.6Km en la misma dirección. El primero con una velocidad de 5.2m/s y el segundo con V=4.5m/s. El móvil más rápido da un ventaja al más lento: podrá arrancar solo después de que el más lento pase por cierto punto marcado en la pista. Donde debe estar esa marca para que lleguen los dos móviles al mismo tiempo ∆r ∆r = VA VA
VA=5.0 m/s
TA=
TB=
VB=4.5m/s
TA= TB 7200=832-5.2x X=215.38
∆r − x VB
7.-
T1=1.75H=105min T3=3.2h=192min ∆r=V*T=60*1.75=105Km ∆r=484-200-108-105=71Km
T4= ∆r/V=108/65 T4=1.66h=99.7min ∆r=62.5*3.2=200
Vm=484/8.8=55Km/h 8.-Una partícula se mueve rectilíneamente con velocidad constante la dirección de la velocidad media en los primeros 6s es 0.92i-0.39j con una magnitud 7.62 m/s Si su posición final es 44i-16j determinar a) La posición inicial al instante T=0 39
b) El desplazamiento hasta 6s c) la distancia recorrida r V = 0.39i-0.39j r V = =7.62m/s T=6s Vf=44i-16j
r Vf-Vf= V *t Vo=7.62*(0.92i-0.39j)*6+(4i-16j) Vo=1.94i+1.83j
∆r=v*t ∆r=42.06i-17.83j
d= 42.062 + 17.852 d=45.62m
9.-
17.5 Km + x VB 17.5 Km + x =x/25 VB
TB=
437.5+25x=32x 437.5=7x X=62.5Km
TA=x/ VA TB=(17.5+62.5)/32 TB=2.5h dA=62.5Km dB=17.5+62.5 dB=80Km
10.- Dos corredores A y B sobre uma pista tienen rapideces constantes de 2m y 5m respectivamente. Si A parte 5s antes que B. Determine : a) Cuando A es alcanzado por B b)Cuales son la graficas V-t para cada uno de los corredores VB=2m/s VB=5m/s
dA= TA-VA TA= Tb+5s (VA)( TB+5s)= TB+VB 2 TB+10=5TB 10=5TB-2TB 3 TB=10 TB=3.33
dB= TB-VB
TA=5+3.33=8.33s
40
EJERCICIO 10
Vf=Vo+at 1.33=0.67+a a=0.66m/s2 Vf=0.67+0.66*30 Vf=20.4m/s
m=tan53 m=1.33=V Vf=1.33m/s ∆x=(Vf+Vo)/2*t 2(1)=1.33+Vo Vo=0.67 Vm=(20.4+0.67)/2 Vm=10.53m/s
41
Vo=(3,2,0)m a=2i+3j m/s t=10s Vo= 4 + 9 Vo=3.61m/s ∆r=Vot-1/2at2 ∆r=3.61*10-1/2*3*100 |∆r|=-113.9m ∆r=113.9m
a)Vf=Vo+at Vf=2*10 Vf=20m/s Df=100+400+50 Df=550m D=(Vo+Vf)/2*Tc Tc=1/10*50 Tc=5s
Vf=Vo-at Vf=3.61m/s-3*10 Vf=µ*|Vf| Vf=(-26.36)*(0.55i+0.85j) Vf=(-14.51i-21.9j)m/s Vf= ∆r-r Vf=(62.65i+96.5j)m Vm=(-14.65i+96.5)+(2i+3j23) 2 Vm=(-6.26i-9.45j)m/s
da=20*10/2 da=100m dB=20m*20s Db=50m Db=400m Vf=Vo+at a=-20/5 a=-4m/s
42
a)
A en t=(0.3)=MRU en t=(3.10)= MRUR B en t=(0.10)=MRUA b) A : en t=3s |∆r|=v*t=6*3=18m en t=6s |∆r|=(Vf+Vo)/2*3s=9m c) |∆r|=Vot+1/2at2 (Vf-Vo)/t=a -6/3=a
|∆r|=27m
Ec1: Vf-Vo=6*t+1/2(-2) t2 Vf-9=6t- t2 Vf=6t- t2+9 43
-2m/s2=aA aB=1m/s2
EC2=Vf-Vo=-6*t+1/2(a) t2 Vf= t2/2-6t+1/2 t2 6t- t2+9= t2/2-6t+1/2 t2 12t-2t2+18= t2-6t+18 t=0s t=6s
44
T ∆x 0-a 0.5 a-b 1 b-c 2 c-d 7 d-e 4 e-f 3.5 f-g 5 g-h 2 a)Vm= ∆x/ ∆t=en t=5s Vm=(0.5+1+2+7)/5 Vm=2.1 m/s Vm en t=10s Vm=0.5+1+2+7+4+3.5+5+2 Vm=2.5m/s
T=0-30 a=2m/s2 Vf=Vo+at Vf=2*30 Vf=60m/s
∆x a 1 1 0 0 2 2 1 0.5 0 0 -1 -1 -1 -0.5 0 0 am= ∆v/t am=(1+2+1)/5 am=0.8m/s2 am en t=10s am(1+2+0.5-1-0.5)/10 am=0.2m/s2
t=30-70 Vf=Vo+at Vf=60m/s
Movimiento MRUVA MRU MRUVA MRUVA MRU MRUVR MRUVR MRU
t=70- α a=-4m/s Vf=Vo+at Vf=60-4 t=60/4 45
T=1.5s
∆x-t T=0-30 a=2m/s2 ∆x=(Vo+Vf)/2*t ∆x=(60/2)*30 ∆x=900m
t=30-70 a=0m/s ∆x=V*t ∆x=60*40 ∆x=2400
t=70- α a=-4m/s ∆x=Vot+1/2at2 ∆x=60t-2t2
Vf-Vo=∆r ∆r=| ∆r |*µ ∆r ∆r=(450+3300)(0.7i+0.5j-0.509k) 46
∆r=(2625i+1875j-1908.75k) Vf= ∆r+Vo ∆r=2626i+1875j -1908.75k Vo=400i+ 50j+ 300k Vf=3025i+2375j+1091.25k
a)dt=
Vo + Vf *t 2
b) d=Vot+1/2at2
Vf=2dt/t Vf=128/4 Vf=32m/s Vf=Vo+at a=32/4 a=8m/s2
t2=2*32/8 t=2.83s c)Vf=Vo+at Vf=8*2.83 Vf=22.64m/s
d) d=Vot+1/2at2 d=1/2*8*4 d=16m
e)
Vf=Vo+at Vf=8*2 Vf=16m/s
47
aB=
∆v v1 = ∆t 4
aA=
∆xA=Vo+1/2at2 ∆xA=1/2*V1/2*(t-2)2 ∆xA=V(t-2)2/4
∆v v1 = ∆t 2
∆xB=Vo+1/2at2 ∆xB=1/2*V/4*t2 ∆xB=Vt2/8
V(t-2)2/4= Vt2/8 2(t-2)2= t2 t2-8t+8=0 t=6.83s t=1.17s
T 0-2
∆x 20
V 10 48
2-3 3-4 4-6 6-8 8-9
a) ∆x=20+15+5+50 ∆x=90m c) ∆x=Vf-Vo ∆x=55m
15 5 50 -20 -15
15 5 2.5 -10 -15
b) ∆x=20+15 ∆x2=35m d=90+35 d=125m
11.La aceleración de cada una de las partículas la posición inicial relativa de B con respecto a A durante 5s Va=2i+5j µA=0.3i+0.94j dA=0.31i+1.89j |aA|=2 |Va|=3.37 |aA|=3 |VB|=30m/s
µB=0.6i-0.8j dB=-1.8i+2.4j
dA=6.32*5+0.5*52*2 Da=56.6227m DB=30*5+0.5*(-3)*52 dB=112.5m
B=67.5i+90J A=19.9i+56.75j R=47.6i-146.75J
49
1) d=Vt D=10(t+2)
2)d=Vot+1/2at2 d=1/2*1.5t2 10(t+2)= 1/2*1.5t2 20*(t+2)=1.5t2 1.8t2-20t+40= 0 X1=2.45 X2=10.88 T=15.09 a=10*(15.9+2)=170.99m
b) V=at=1.8*15.9=22.65m/s
50
Va=2m/s*10s=20m/s d1=1/2at2=1/2*2*100=100m d2=Vot+1/2at2=20*5=100m d3= Vot+1/2at2=20*5+1/2*(-3)(25)*52 =100-37.5=62.5m
A=d1+D2+D3=262.5m
51
∆r1=Vot+1/2at2 Vf=Vo+at
R=2Vo+2a a=6-Vo
∆r2= Vot+1/2at2 ∆r2=Vo+2a+1/2a 3=Vo+12-2Vo+3-1/2Vo 6=2Vo+24-4vo+6-vo
3Vo=20 Vo=8 a=-2
Vf=0 Vf=Vo+at de ida y de regreso 0=8m/s-2t=4s
|V|= 3 µv=(0.83i+0.55j) a=(-6.66i-4.44j) ∆x=-300m ∆y=Yo+Voyt+1/2ayt2 ∆y=-200m ∆r=(-300i-200j)m
Vf=Vo+at Vf= 3 +8*10 Vf=-76.34m vf=(-63.41i-42.002j) ∆r=Vot+1/2vot2 ∆r=10* 3 -400 ∆r=363.94m
52
a=
Vf − Vo t
∆r=Vo+at
Vo=0 ae=3m/s2 an=2.4m/s2 ∆r=d+60m T=
60 1.2
T=7.07s
∆r=60m Vf=3m/s2*7.07s Vf=21.21m/s
∆1=1/2at2 53
∆r=1.5*7.07 ∆r=75m
d=75-60=15m
∆r=Vot ∆r1=41.66*0.5 ∆r1=20.83m
Vf=0 Vf=Vo+at T=-Vo/a
∆r=Vot-1/2at2 ∆r=41.67*1.66-1/2*5*2.77 ∆r=48.62
T=
NO CAE
− Vo a 41.67 T= − 15
∆r=69.45m
T=1.66s
54
a=
Vf − Vo t
∆r=1/2at2=1/2*(-22.5)=45m/s
a=-45/2 a=-22.5m/s2
∆r2=Vot+1/2at2=-45.2+45.2=90m ∆r3=45*2=90m ∆r4=45*1+1/2*7.5=48.75m
a2=(45+45)/2=45 m/s2 a3=0 a4=(60-45)/2=7.5 x=273.75m
X=Vot X=16.67t
x=1/2at2 x=1/2*0.25t2
16.67t=1/2*0.25t2 33.33t=0.25t2 T=133.33m/s
x=16.67*1.33 X=2222.22
55
EJERCICIO 11
V en los 15m Vf2= Vo2+g*h1 Vf= 2 * 9.8 *15 Vf=17.15m/s
Vf al ipacto Vf2== Vo2+gh2 Vf= 17.152 + 2 * 9.8 *10 Vf=22.14m/s
Vf=Vo+gt t=
22.17 − 17.15 9. 2
t=0.51s
h=Vot+1/2gt2 hA=1/2g(t+1)2 ha=hB
hB=1/2g(t+1)2
9.8 * (t 2 + 2t + 1) 2 * 18t + 9.8t 2 2 = 2 2 56
16.4t=9.8 t=0.6s h=1/2(9.8)(1.6)2 h=12.5m
a) h=Vot+1/2gt2 h=1/2(20)(60) h=36000m Vf= h=Vo+gt Vf=20m/s*60s Vf=1200m/s b)Vf=Vo-gt 1200/9.8=t T2=122.45
Vf2= Vo2-2gh Vo2=2gh (1200)2/2*9.8=h h=73469.4 Ht=109469.4 h=Vot+1/2gt2 t3=149.5 tT=60s+122.45+149.5 tT=331.95s
57
a) h=Vot+1/2gt2 yf-f=50y+1/2(9.8)t2 yf-50=50t-49t2 yf=-4.9t2+50t+50 10t+10=-4.9t2+50t+50 4.9 t2-40t-40=0 t=9.06s b) yf=10*9.06+10 yf=100.6m ht=127.55+127.55-100.6+40 ht=195.1m c)Vf=Vo+gt Vf=50-9.8*9.06 Vf=-38.79m/s
∆y=v*t yf-f=10m/s*t yf=10t+10
Vf2=Vo2-2gh 50*50/(2*9.8)=h h=127.55m
Vo=0.05m/s Vf=0.316m/s Vf=Vo+at a=
0Vf − Vo 0.316 − 0.05 = = 0.046 t t
Vf=Vo+at
∆r=Vot+1/2at2 ∆r=-0.27*15+1/2*0.046*152 ∆r=1.13m ro=1.47m
Vf=0.042-0.0465 Vf=0.27m/s
58
∆y=Vot+1/2gt2 ∆y=4.9(3.15)2 ∆y=48.62m
Vf2=Vo2+2g ∆y Vf2=25+(-19.6)(-12) Vf=-16.13m/s Vf=Vo+gt -16.13=5-9.8t T=2.17s
59
∆y=Vot+1/2gt2 150-y=20(t+2)+4.9(t+2)2 150-y=20t+40+4.9t2+19.6t+19.6 4.9t2+39.6t-90.4=-y ∆y=Vot+1/2gt2 Y=150t-4.9t2
Vf2=Vo+2g∆y Vf2=7.84h Vf= 7.84h
y=150(0.47)-4.9(0.47)2 y=69.42 489.6t=0.04 t=0.47s
∆y=Vot+2gt2 3/5h= 7.84h (2)+19.6 (3/5h-19.6)2=(2* 7.84h )2 0.36h2-23.52h+334.16=31.36h H=145.15m
∆y=Vot+1/2gt2 145.15=4.9 t2 T=5.415s
60
Vf2=Vo+2g∆y Vf2=19.6∆y ∆y=Vot+1/2gt2 3= 19.6∆y *0.5+4.9*0.52 ∆y=0.64m
Vf2=19.6(0.64) Vf=3.57m/s
EJERCICIO 13
Vf=0m/s=mov. parabólicos
Vo= 402 + 302 Vo=50m/s
Vox=Vocosθ 40=50cosθ Θ=36.9º
Vfy2=Voy2-2gymax Ymax=(Vosen45º)/20m/s2
t=Vosenθ/g t=Vosen45º/10 T=0.07Vo
ymax=(Vosen45º)(0.07Vo)-5(Vosen45º) ymax=(0.07Vo)2-5(0.07Vo)2 ymax=2xmax xmax=(Vocos45º)Tv xmax=(0.07Vo)(2)(0.07Vo) xmax=2*(0.07Vo)2
61
ts=Vosenθ/g Xmax=Vocosθts Xmax=ymax (Vocosθ)(2)(Vosenθ )/g=(Vosenθ)2/2g 4=senθ/cosθ Tanθ=4 θ=tan-14 θ=75.96º
ymax=(Vosenθ)/g
∆x=Vocosθ ∆x=100cos30º*5 ∆x=433m ∆y=Vosenθt+1/2gt2 ∆y=100sen30º(5)-4.9*52
∆r=433i+127.5j
62
Vo=20m/s(cos45º+sen45º) Vo=(14.14i+14.14jm/s) Vf=Voy-gt T=Voy/g T=(14.14j)m/s T=1.41 Ymax=Yo+Voyt-9t2 Ymax=60m
∆t=t1+t2 ∆t=1.41+3.46 ∆t=4.87s
Y=Vot-gt2/2 t2=60/5 t=3.46s
∆y=Vosenθ-1/2gt2 ∆y=-4.9(3)2 ∆y=-44.1m H=44m
Y=xtgθ-gx2/(2Vo2cos2θ) 20=300*0.75-9.8(90000)/ 2Vo2(0.64) 20=225-88200/(1.28Vo2) 882000=VO2*262.4 63
Vo=57.97
Vo=Vo(cos30ºi+sen30ºj)
∆x=Vocosθt
Vx=Vocosθ Vx=300(
3
θ
Vo2(sen30º)2=9max-2g Vo2=5*2*10/sen30º Vo=20m/s
)
Vx=259.8m/s Ymax=
Vo 2 sen 2θ 2g
Ymax=
300 2 * 1 / 4 19.6
Ymax=1147.96
=300*
3 *10 2
∆x=2598.07m
∆y=Vosenθt =300*1/2*10-4.9*100 ∆y=1010m
Rf=2598.07i+1010j
Vy=Vosenθ-gt Vy=300*1/2-9.8(10) Vy=52m/s Xmax=sen2θ*Vo2/9.8
64
Xmax=7593.29m
∆x=Vocosθt
Vx=Vocosθ Vx=300(
3
θ
)
Vx=259.8m/s Ymax=
Vo 2 sen 2θ 2g
Vox=Vocosθ 5=17.11cosθ θ=73.03º
=300*
∆y=Vosenθt
3 *10 2
=300*1/2*10-4.9*100
∆x=2598.07m
∆y=1010m
Rf=2598.07i+1010j
x=Vox*t 15/3=Vox Vox=5m/s
h=Voy-1/2gt2 5=Voy*3-4.9*9 Voy=16.36m/s Vo= Vox 2 + Voy 2 Vo= 16.302 + 25 Vo=17.11m/s
Vy=Vo-gt Vy=16.36-9.8*3 Vy=-13.03m/s
65
Y=tgθx-g/(2Vo2cos2θ) Y=0.577x-
6.667 x 2 Vo 2
X=500cos40º X=383.0m
y=500sen40º y=321.39
Y=221-978030.36/Vo2 542.39Vo2=978030.36 Vo=42.46m/s Va=(36.77i-21.23j)m/s
Vox=Vocos30º=36.77m/s Voy=Vosen30º=21.23m/s
VB=(36.77i-82.94j)
Vf=Vo-gt T=40j/10m/s Tv=8s
V2=Vot-gt2/2 V2=(240i+320j)*320 66
Y=
Vo 2 sen 2θ 19.6
19.6y=Vo2sen2θ
α=tan-1(45/29.77)-45
19.6 = VO sen 2θ
θ=29.72
OP=r at=9.4m/s2 at=3.42m/s2
α=11.56º
Vx=Vox+axt Vox=29.24cos(-70º) Vox=10m/s Vy=Voy+ayt 29.24sen(-70)=Voy+(-10)(4.48) Voy=17.32m/s Vo=10i+17.32j(m/s)
A=V2/r 3.92= V2/250 V=29.24m/s
67
x=Vcos53t y=Vosen53ºt-5jt2 1.5=Vosen53º(6/Vocos53)-5(6/Vocos53º) 1.5=6tan53º-487.04/Vo2 Vo2=487.04/6.46 Vo=8.68m/s 1.5m/s=8.68sen37º-5t2 5t2-6.93t+1.5=0 T=1.12s
68
x=Vocosθ*t
ymax=vsenθ/2g
t=Vocosθ/x
ymax=
50senθ/32.15=50cosθ/60pies Senθ/cosθ=32.15/60 θ=tan-1(32.5/60) θ=28.18º
ymax=8.67pies y=13.67pies
at=(4.9i+8.43j)(0.5i+0.86j) at=2.45+7.25 at=9.7m/s2
Vx=800cos60=400 Vy=692.82m/s
150 * sen28.18º 2 * 32.15
µv=0.5i+0.86j Vf=200m
A: Ts=Vosenθ/g
B: ts=VosenB/g 69
Ts=0.05Vo Vo=ta/0.05
ts=0.08Vo Vo=(ts)/0.08
xA=Vocosθ(0.05Vo) xa=2(0.04 Vo2) Vo2=2xA/0.04
xB=VocosB(0.08Vo) xB=(0.04 Vo2) Vo2=Xb/0.04
0.08TsA=0.05TsB TsB>TsA
Vox=Vocos(-15) Vox=772.74m/s
Ta=Tb
Voy=Vosen(-15) Voy=-207.06m/s
Y=xtgθ-g/(2Vo2cos2θ)x2 -2000=xtg(-15)-10/(2*8002*cos2(-15)) X=6245.25m X=Xo+Voxt+1/2axt2 6245.25=7+2.76t T=8.08s
200=Vocos30t Vo=230.94/t
x=Xo+Voxt+1/2axt2 200=Vox9.12 Vox=21.93im/s
70
Y=Yo+Voyt+1/2gt2 -300=Vosen30ºt+1/2gt2 -300=(230.94/t)sen30ºt+1/2(-10)t2 T=9.12
y=yo+Voyt+1/2gt2 -300=Voy(9.12)+1/2(-10)(9.12)2 Voy=12.7jm/s
Vy=Voy+gt Vy=12.7-10*9.12 Vy=-78.5jm/s V=(21.93i-78.5j)m/s
ha=Voyt-1/2gt2 ha=25*1.7-4.9*1.72 hA=28.34m hB=Voyt-4.9t2 hB=21.6*1.7-4.9*1.72 HB=22.65m
H=Ha-HB H=28.34-22.65 H=5.69
D= h 2 + x 2 D= 5.62 + 2.122
h=hA-HB h=28.34-22.65 h=5.69m VoxA=25cos60º VoxA=12.5 VoyB=2.5sen60º VoyB=21.65 x=Vox*t x=12.5*1.7 X=21.25m
d=22m
71
Vo=3i+4j Tgθ=4/3 θ=53.13º Vo=5m/s
y= Tgθx-g/2Vo2cos2θ*x2 y=tg53.13x-10/(2*25*cos253.13)x3 x=24.5m Tv=2Vosenθ =2(5*sen53.13/10) g Tv=0.8s
Y=Yo+Voyt+1/2gt2 -100=(-4)t+1/2*10t2 T=4.04s
Vf2=Vo2+2g∆t Vf2=()2+2*(-10)*(-300) Vf=77.56m/s
V=(3i-77.56j)m/s
EJERCICIO14
f=1/24=0.041hz ac=w2*R ac=430.95km/h2
w=2πrad/t=2π/24=0.26rad/h
72
v=w*R V=(6375)(0.26) V=1668.97Km/h
750vueltas 2πrad 2.5min 1vuelta
1min =78.53rad/s 60s
d=θ*R d=(4712.38)(0.7)=3298.67m ac=w2*R ac=(4712.38/10)0.7 ac=329.86m/s2
v=w*R=3k*5=15K ac= w2*R=9K2*5=45 K2
v=w*R V=(78.53)(0.7)=54.97m/s2
V=5k()-0.6i+0.8j V=(-9i+12j)m/s ac=45 K2(-0.6i+0.8j) ac=(-27i+36j)m/s2
73
1200rev=125.66rad/s T=2πrad/w=0.05s W=θ/t θ =(125.66)(10)=1256.6rad
V=w*r V=(125.66)(2) V=251.32m/s
ac=w2*R ac=(1256.66)2*2 ac=31580.87m/s
Vcte=72Km/h=20m/s θ =30º=0.52rad r=150m
V=W*R 20=W*160 W=1/8
ac=w2*R ac=(1/8)2*160 ac=2.5m/s2
74
W=80rpm Ac=w2*R Ac=35.09m/s2 X=(0.27i+0.41j) µx=(0.54i+0.82j) ac=35.09(0.5i+0.82j) ac=(17.55i+29.7j)m/s2
θ=w*t θ=66.96rad
x=3836.52º x=-236.52º x=123.48º
W=4rad/s R=0.25m V=1m/s Ac=V2/R Ac=4m/s2
75
EJERCICIO 15
∆θ/ts=π/1s30= π30 rad/s
V=w*R=4rad/s 0.5m=2m/s2
76
ac=w2*r 12.5/2=w2 w=2.5rad/s
Vo=Wo*r Wo=2/2 Wo=1rad/s W=Wo+αt 2.5=1+α*3 α=0.5rad/s
at=α*t at=0.5*2 at=1m/s2
Wf2=Wo2+2α∆θ (2.5)2=1+2*0.5∆θ ∆θ=300.8º R=-0.49i-1.94j
Q=45+59.2=104.2º Q=255.81 rx=2cos255.8º=-0.49i Ry=2sen255.8º=-1.94j
Vf= R * ac = 3 *15 = 45 = 6.71m / s Wo=Vo/R=3.5/3=1.67rad/s Wf=Vf/R=6.71/3=2.24rad/s ά=(Wf-Wo)/t=(2.24-1.67)/5=0.11rad/seg a= ac 2 + at 2 = 152 + 0.332 a=15m/s θ=315*π/180=7π/4 Vf=r(cos152.44i+sen152.44j) Vf=3m(-2.66i+1.34j) 77
β=tan-1ac/at=15/0.33=88.74º
At=α*r 2/10=α α=0.2rad/s2 rx=10cos15º rx=9.66i ry=10sen15º ry=2.58j
wf2=Wo2+2 α∆θ wf2=2*0.2*7π/3 Wf=1.71rad/seg= b) ac=w2*r ac=2.93(9.66i+2.58j) ac=28.32i+7.6j
V=w*r V=1.71(9.66i+2.585j) V=16.52i+4.43j c)at=a+at at=28.32i+7.6j 1.932i+0.51j at=(3025i+8.12j)
78
Wf=Wo+αt Wf=2rad/s+2rad/s2*s Wf=4rad/s ∆θ=
Wf − Wo *t 0 2
Vf=w*r Vf=4rad/s*m Vf=4m/s Vf=(1.49i-3.71j)m/s
∆θ=(4+2)/2 ∆θ=9rad=171.89º θf=171.89+30º θf=01.89º
At=αr 12.56/2=α α=12.56rad
V= αTv V=6.28*3*2 V=37.68m/s
n=∆θ/2π=12.56/2 π n=1.99vueltas
V=w*r W=37.68/2 W=18.84rad/s
wf2=wo2+2α∆ θ (12.56)2=2*6.28∆ θ ∆ θ=12.56rad
Wf2= Wo2+2α∆θ (8.8)2=2*6.28∆θ ∆θ=28.26rad
hasta t=2s----n=2vueltas hasta t=3s----n=4.5vueltas
79
X=θ*R θ =π/4rad*10m x=7.85m
∆θ=Wb=*t+1/2αt2 α=2π/4 α= π/2rad/s2
Wf=Wo+at Wf=π/2*2 Wf=πrad/s
α=at/R at=10(π/2rad/s2) at=15.71m/s2
º ∆θ=Wot+άt π/2=20*t-20t2/2 π 20t2-40 π t+ π2
∆θ=Wot+άt ∆θ=20*2π-20*4 π/2 π ∆θ=2 π oi 360º 80
∆θ=Wot+άt2 ∆θ=20*π/2 ∆θ=10π
Wf + Wo *t 2 5 + 10 d= *t 2
d=
Vf=Vo+at
ac=Vf2/t
at=(10-5)/5
ac=100/100
at=1m/s2
at=1 m/s2
aT= at 2 + ac 2 aT= 12 + 12 aT= 12 m/s2
Wo=Vo/R=4/15=0.27rad/s ∆θ=Wo*t+άt2/2 ά=-2.94/0.28s3 ά=10.50rad/s W1=Wo+ά W1=10.77rad/s ac= ac 2 + at 2 ac= 17393892 + 157.52 ac=17.47m/s2
Wf=Wo+άt Wf=0.27+10.50*3/4 Wf=8.15m/s at=0.27+10.50*2 at=157.5m/s W2=21.27rad/s ac= ac 2 + at 2 ac= 7108.992 + 157.52 ac=7110.73m/s2
81
ά =(Wf-Wo)/∆t=30rad/s Vf=Wo*R=30rad/s at= ά*R+ άt2/2 ac= ac 2 + at 2 = 900 2 + 5 2 =900m/s ∆θ=90rad*θ*116.64º a=(-4.47i-2.24j)+(403.54i-804.46j) a=(399.07i-806.24j)m/s
ac=900*(cos116.64+sen116.64) ac=(403.54i-804.46j)m/s2 at=5(sen116.64i+cos116.64j) at=(-4.47-2.24j)m/s2
a
Vo=Wor Wo=4rad/seg at=α*r at=(-π/3)(1) at=-π/3rad/s2 ∆θ=Wot+αt2/2 W2=(120-3*8)/4 W1=24rad/s
W1=Wo+αt 24rad/s=3*t t=8s
Wf2= Wo2+2α∆θ 0=16+2(π/3)∆θ ∆θ=77.74º 82
H=7.64/2π H=1.22vueltas
∆θ= ∆θ= ∆θ2 ∆θ=77.47-65.9 ∆θ=11.84º
β=30-11.84º β=-18.16=341.84º
Rx=1cos341.84º=0.95i Ry=1sen341.84º=-0.312j R=(0.95i-0.312j)
∆θ=Wot+άt2/2 50=5π+100ά/2 ά=0.843rad/s2
Wf=Wo+αt Wf= π/4+8.43 Wf=9.23 rad/s
at= ά*R=0.843*10=8.43m/s ac= ac 2 + at 2 ac= 8.432 + 851.932 ac=851.97m/s2
83
a) R=300π/2 π=150m 120m20m/s*t T=6s
Wf=Wo+αt ac=(25-15)/t at=10/6=1.67m/s2
b) Vf=Vo+at t=(Vf-Vo)/at=(30-15)/1.67=8.98s ∆θ=Wot+αt2/2 ∆θ=0.1rad*8.98+0.01*8.982/2 ∆θ=1.30rad
∆θ=Wot+αt2/2 W2=(120-3*8)/4 W1=24rad/s
∆θ=Wot+αt2/2 7 π /4=20πt+100 πt2/2
ac=30/150 ac=6m/s2 a= ac 2 + at 2 a= 36 2 + 1.67 2 a=6.23m/s2
Wo=15/150=0.1rad/s α=at/R=1.67/150=0.01 rad/s
Wf2= Wo2+2α∆θ 0=16+2(π/3)∆θ ∆θ=77.74º
W1=Wo+αt 24rad/s=3*t t=8s
∆r=V*t V= ∆r/t 84
200 t2+80t-2=0 t=0.0425
V=10/0.01 V=100m/s
Wf + Wo *t 2
Wf=Wo+αt
θ=
Wt=1rad/s+1rad/s2t Wf=3rad/s Vf=W*R Vf=3m/s
θ=(3+1)/2*2 ∆θ=4rad=229.18º ∆θ= θf – θ 229.18= θ-45 θf=274.18º Vf=|Vf|(cos4.18i+sen4.18j) Vf=(2.99i+0.22j)
85
WB=200rpm=20.94rad/seg α=π/2rad/s Va=Vb
VB=WB*RB RB=(20.94)(0) VA=(WA*RA) RA=(6.98rad/s)
RB=10cm=0.1m RA=30cm=0.3m
WfA=WoA+αt 6.98*2/π=TA TA=4.445s
d=R*θ d=π/2*2 d= πm
θ=1.56rad=89.38º α=at/R α=1rad/s
VB2/R=acB VB= 1 * 2 VB=-1.41j 86
Wo=VA/R Wo=4/2rad/s Wo=2rad/s
Wf=Wo-αt Wf=2-1*1.5 Wf=0.5rad/s Wf + Wo *t 2
Wf*R=ac
θ=
(0.5)2=2ac ac=0.5m/s
θ=(0.5+2)/2=1.5rad=107.43º
at=αr α=1rad/s
n= ∆θ/2π=8/2 π=1.27vueltas n= ∆θ/2π=18/2 π=2.86vueltas
Vo=Wor Wo=4rad/s
∆θ=Wot+1/2αt ∆θ=1/2(1)(36)
Vf=Vo+at 0=4+(-1)t T=4s
nt=1.27+2.86 nt=4.13vueltas
87
88
Dinámica 1.- las siguientes fuerzas F1=(-6i+4j)N, F2=(9i-5j)N, F3=(17i)N se aplican sobre un objeto produciendo una aceleración de 3,5 m/s2 a) ¿Cuál es la dirección de la aceleración ? b) ¿Cuál es la masa del objeto ? c)Si el objeto esta inicialmente en reposo calcularla velocidad después de 20s ∑ F = F 1+ F 2+ F 3 F 1=-6i+4j
a) |∑ F |=m*a µf=µa
F 2=9i-5j
µf= 20i +
F 3=17i ∑ F =20i-j
µf=0,99i-0,05j
|∑ F |= 202 + 1 |∑ F |=20.02
20,02
j 20,02
b) |∑ F |=m*3,5m/s2 20,02 = m =5,7Kg 3,5
c) Vf =V0+at Vf =(3,5)(20)=70m/s 2.- La velocidad promedio de una molécula de nitrógeno en el aire es de aproximadamente 6,7x1012 m/s y su masa de alrededor de 4,68x10-26 kg Si se requieren 3x10-13 s para que una molécula rebote en la pared y rebote con la misma rapidez pero en direcciones opuesta, calcular: a) La aceleración promedio de la molécula durante ese intervalo de tiempo. B) ¿Qué fuerza promedio ejerce la molécula sobre la pared? V=6,7x1012 m/s m=4,68x10-26 kg
|∑ F |=m*a |∑ F |=(4,68x10-26)(4,5x1015)=2,11x10-10 N
t=3x10-13s
Vf =V0-at 0=6,7x1012+3x10-13ª a=2,23x1025m/s2
3.- Dos bloques de masa 1 y 2 Kg. (según la figura) cuelgan de los extremos de una cuerda ligera y flexible que pasa por una polea sin rozamiento, sujeta al techo; al sistema se le llama la maquina a Atwood inicialmente se encuentra en reposo y a 1 y2 m respectivamente del suelo a) dibujar el 89
diagrama de cuerpo libre parta cada bloque b) Escribir la ecuaciones de movimiento para cada cuerpo c) Determinar la posición y la velocidad de cuerpo un segundo después de empezar a moverse d) Calcular el valor de la tensión de la cuerda cuando el sistema esta en movimiento ∑ F =m*a T-m*g=m*a m2*g-T= m2*a
T= m2a +m2g→1 T= m2g - m2a→2
1=2 m2a +m2g= m2g - m2a a=
g(m1 - m2) 9,8( 2 − 1) = =3,27m/s2 m1 - m2 1+ 2
1 2 at 2
Vf =V0+at
∆y= V0+
Vf=3,27m/s
∆y= (3,27)*12
h1=1,64m
1 2
h2=1+1,64=2,64m ∆y=1,64 T=1(3,27+9,8)=13,07N 4.- Los instrumentos de un globo meteorológico tiene un masa de 1Kg. a) el globo se suelta y ejerce una fuerza hacia arriba de 50N sobre los instrumentos ¿Cuál es la aceleración del globo y de los instrumentos? d) Después de que el globo ha acelerado durante 10 segundos , los instrumentos se sueltan ¿Cuál es velocidad de los instrumentos en el momento en que se sueltan? d) ¿Cual es la fuerza neta que actúa sobre los instrumentos de que se sueltan? d) En que momento la dirección de su velocidad comienza hacia abajo?
m=1Kg F=5N a=40m/s2 t=10s
a)F=m*a 5=0.125*a a=40m/s2
90
b) V=V0+at V =40*10 V=400m/s
c) Fr=10N
5.- Un trineo de 50Kg de masa se empuja a lo largo de una superficie plana cubierta de nieve. El coeficiente de rozamiento estático es de 0.3 y el de rozamiento cinético es de 0.1 a) ¿Cuál es el peso del trineo? B) ¿Qué fuerza se requiere para que el trineo comience a moverse? c)¿Qué fuerza se requiere para que el trineo se mueva con un velocidad constante? D) Una vez en movimiento ¿Qué fuerza debe aplicársele al trineo para acelerarlo a 3m/s2?
m=50kg µr=0.3 µc=0.1
a) ∑Fy=0 N-P=0 N=P=500N
b) ∑Fx=0 F-Fr=0 F= µr*N F=0.3*500 F=150N
c) ∑Fx=0 F-frc=0 F=frc F=N* µc F=0.1*500 F=50N
d) µrt= µr+ µc µrt=0.3+0.1=0.4 Frt= µrt*N ∑Fx=0 F-fr=0 F=0.4*500 F=200N
6.- Una persona de masa de 78Kg. Se encuentra en un ascensor. Para las siguientes situaciones determine la fuerza que el piso ejerce sobre la persona cuando: a) El ascensor asciende con velocidad uniforme b) El ascensor baja con velocidad uniforme c) El ascensor acelera hacia arriba a 2.5m/s2 d) El ascensor acelera hacia abajo a 2.5m/s2 e) El cable se rompe y el ascensor cae libremente
91
m=78Kg a) a=Fr/mT =780/78 =780 N
b) a=Fr/mT =780/78 =780 N
c) a=Fr/mT =2.5*78 =780N
e) N=780N-780N=0 7.-Una pequeña esfera de 1Kg se suelta al techo de un furgón por medio de un hilo. Cuando el furgón acelera uniformemente el objeto se desplaza desde su posición vertical de tal manera que al alcanzar el equilibrio el ángulo que forma el hilo con la vertical es de 15º ¿Cuál es la aceleración del furgón?
a) ∑Fx=0 F-Px=0 F=Px F=m*g*sen15º F=2.5N
∑Fy=0 F-Py=0 F=Py
F=m-a 2.5=1*a a=2.5m/s2
F=m*g*sen15º F=9.5N
8.-Dos bloques de masas Ma=20Kg y Mb=10Kg se encuentran sobre un plano inclinado que forma 30º con la horizontal. Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre los bloques y el plano son: µs=0,50 µk=0,30 para la masa A y B µs=0,50 y µk=0,40. Inicialmente ambos bloques se encuentran en contacto y son dejados en libertad a) encuentre la aceleración de cada bloque y la fuerza de contacto entre ambos. b)Encuentre la aceleración de cada bloque y la fuerza de contacto entre ambos si intercambian sus posiciones. ∑Fy=0 N-m*g*cos30º=0 92
N=m*g*cos30º ∑Fx=m*a m*g*sen30º-fx=m*a m*g*sen30º-µN=m*a (m*g*sen30º-µ*m*g*cos30º)/m=a (20*9.81*sen30º*0.3*20*9.81*cos30º)/20=a a=2.4m/s2 (10*9.8*sen30º*0.49*10*9.8*cos30º)/10=a a=1.5m/s2 9.-Un cuerpo se desliza primero: a lo largo de un plano inclinado un ángulo de 30º y luego continúa moviéndose sobre el plano horizontal. Determine el coeficiente de rozamiento, si se sabe que el cuerpo recorre en el plano horizontal la misma distancia que en el plano inclinado
∑Fy=0 N-Py=0 N=P N=P*sen30º N=0.5P
∑Fx=0 F+Px=0 F=-Px F+Psen30º F=-0.86P
∑Fy=0 N-P=0 N=P
∑Fx=0 F-fr=0 F= µ*N
Μ*mg=max=a2= µg V2=Vo2-2a2(1) 0=2g(sen30ºL-2µgcos30º)L*2µg 2g*sen30ºL-2µgcos30ºL*2µg Sen30º=µcos30º µ=0.27 10.-Hallar la fuerza P necesaria para iniciar a mover hacia la derecha el cuerpo de 200Kg que se muestra en la figura. El coeficiente de rozamiento estático es µ=0.35
93
m1=100Kg m2=200Kg µ=0.35 ∑Fy=0 N-P=0 N=P N=1960
P- µr- µN=0 P-(0.35)Na-(0.35)Nb=0 Tcos30º- µNa=0 Tcos30º-0.35(µNa-Tcos35º)=0 T=35.65N Na=100-33.65(Nn30) Na=83,17
∑Fx=0 P-fr=0 P=fr P= µ*N=0.35*1960=205.5Kg 11.-Determine los valores entre los cuales puede variar m2 para que el sistema se mueva con velocidad constante. El coeficiente de rozamiento entre los bloques y la superficie es de 0.3
Cuerpo1 ∑Fx=m*a Px-fr-T=m*a Psen20º* µ*N-T=m*a
∑Fy=0 N=Py N=p*cos20º
100sen20º-(0.3)(100)cos20º-T=m*a A es constante=0
94
Cuerpo2 ∑Fx=m*a Px-fr-T=m*a m2sen70º* µ*N-T=m2*a
∑Fx=0 N=Py N=m2*pcos70º
m2sen70º-(m2cos70º)(0.3)-T=m*a a es constante =0 6-T=0 T=6N m2=(sen70º-(cos70º)(0.3))=T m2=7.16Kg 12.-Tres bloques se encuentran como muestra la figura. Hallar la aceleración con que se mueve y las tensiones en la cuerdas, Si se conoce que la: m1=5Kg. M2=3Kg, el coeficiente de rozamiento entre la superficie inclinada y la masa 2 es de 0.2
Cuerpo 1 w=9.8*2 ∑Fx=0 ∑Fy=m*a T-w=m*a T1-19.6=2a T1-2a =19.6
cuerpo 3 ∑Fx=0 ∑Fy=m*a T2-49=5a
cuerpo2 ∑Fx=m*a ∑Fy=0 N=Py N=Pcos30º N=29.4cos30º 29.4sen30º-29.4cos30º-t1+t2=m*a 10.76-T1+T2=m*a T2+10.76-T1=3a T1+T2+3a=-10.76
T2=223.3N 95
T2-5a=49
a=14.46m/s2
13.-Designando por θ el ángulo de rozamiento estático entre el bloque y el plano hallar el módulo y dirección de la menor fuerza P que haría ascender el bloque por el plano
∑Fx=m*a -Fx+Fy=m*a -w*sen θ+wcos θ=m*a P=
∑Fy==0 Fy=wy wy=w*cosα
w( senα + tgθ * cos α ) cos θ + tgθ * cosθ
14.-Hallar la aceleración mínima que el sistema puede soportar
m1=m2=2 Kg cuerpo m1 ∑Fx=0 ∑Fy=m*a T-w-fr=m*a
Cuerpo2 m2 ∑Fx=m*a Px-Fr-T=2a 0-(0.6)N-T=2a
a=6.25m/s2
96
T1-w-fr=2a ∑Fy=0 T1-2a-fr=w N=0 15.- Sobre una superficie horizontal se encuentra un plano inclinado α con respecto a la horizontal. Un cuerpo de masa m se coloca sobre el plano inclinad. Para que m deslice con respecto al plano inclinado, se aplica sobre el sistema un fuerza horizontal F, tal como se muestra en la figura ¿Qué aceleración debe darse al plano inclinado, para que m no deslice ? despreciar el tipo de rozamiento
∑Fx=m*g Fx-Fy=m*g W*senα+wcosα=m*g
∑Fy=0 Fy=wy Wy=Wcosα
a=g*tanα 16.- Dos cuerpos de 15N y 30N están conectados por una cuerda y sobre un plano inclinado de 45º Cuando los cuerpos son soltados a)¿Cuál será la tensión de la cuerda? B) ¿Cuál es la aceleración que adquieren?
Cuerpo1 W=15 ∑Fx=m*a T-w-fr=m*a T-15sen45-3/8=15a ∑Fx=0 N=Py N=15cos45
cuerpo2 w=30 ∑Fx=m*a T-w-fr=m*a T-30sen45-0.25=30a ∑Fy=0 N=Py N=Pcos45º
a=4.19m/s2 T=0.88N
97
N=30cos45º 17.- Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre los bloques A y C con las superficies horizontales es de 0.2. calcule la aceleración de cada cuerpo
Cuerpo A ∑Fx=m*a T1-w-fr=m*a T1-0-0.2=a ∑Fy=0 N=Py
Cuerpo c ∑Fx=m*a T2-w-fr=m*a T2-0-0.2=2ª ∑Fy=0 N=Py N=0
cuerpoB ∑Fx=0 ∑Fy=m*a T2-T1=2a T2-T1-2a=34 aA=4.49m/s2 aB=3.28 m/s2 aC=1.45 m/s2
18.-
98
cuerpoC ∑Fx=m*a T-W-Fr=m*a T-0-0.1=81a ∑Fy=0 N=Py
cuerpoA ∑Fx=0 ∑Fy=m*a T2-15N=m*a
Cuerpo B ∑Fy=m*a T-w-fr=m*a T-70-0.5+(T2-15N)=m*a ∑Fy=0 N=Py N=0
a=6.61m/s2 T1=7.65N T2=4.68N
19.- Dado el sistema. Encuentre las aceleraciones con que se mueven los bloques
Cuerpo m3 W=200*9.8 ∑Fx=0 ∑Fy=m*a T-W=0 T1-1960=200a Cuerpo m2 ∑Fy=m*a T2-T1-Px-fr=m*a T2-T1-300-0.1-3000a ∑Fy=0
cuerpo m1 ∑Fx=m*a ∑Fx=0 T2-Px=m*a 0-50sen60º=60a ∑Fy=0 N=Py N=50cos60º a1=1.98m/s2 a2=a33.37 m/s2
99
N=Py N=0 20.-A un bloque de 4Kgsituado sobre una superficie horizontal están unidas 2 cuerdas que se soportan a dos cuerpos de 5 y 3 Kg como se indica en la figura si el coeficiente de rozamiento sobre el plano inclinado y horizontal es de 0.2 determinar a) la
∑Fy=0 N=wy N=3*9.8*cos60º N=14.7
Fr=0.2*14.7 ∑Fy=0 ∑Fx=m*a*f=0.*39.2 N=39.2Nt2=7ª+36.24
∑Fx=m*a T1-wx-f=m*a T1-3*9.8*sen60º-2.9=3ª T1=3a+28.4
∑Fx=0 Vo=0 ∑Fy=m*a=Vf=(2*1.06) w-t2=m*a*Vf=14.6 12.76=12at1=31.59 A=1.06m/s2T2=43.63N
21.-
100
wA=200Nm*a=20.41Kg WB=200NmB=20.41Kg WxB=200sen37º=120.36 WyB=200cos37º=159.73 m=0.5 ∑Fy=0 ∑Fx=m*a N=wt-f=m*a N=200Nt1=100+20.41ª F=100N
∑Fx=0 ∑Fy=m*a w=300.22N
∑Fy=0 ∑Fx=m*a N=wyT2-f-wx-t1=m*a N=159.73Nt2=79.86+120.36+100+20.41a+20.41ª F=79.86NT2=40.82a+300.22 T1=100NT2=300.22N 22.- Un bloque de 30Kg se encuentra sobre un plano horizontal con µ=0.2 y se une mediante una cuerda que pasa por una pequeña polea sin rozamiento a un bloque suspendido, inicialmente en reposo y situado a 4m por encima del suelo. El bloque suspendido golpea el suelo al cabo de 5s. a) Hállese el peso del bloque suspendido b)calcular la tensión en la cuerda mientras ambos bloques estaban en movimiento
Ma=30Kg Wa=2.49N µ=0.2 Vo=0 h=4m t=5s
d=Vot+1/2at2 a=0.32m/s2 ∑Fx=0 ∑Fx=m*a N=wt-f=m*a N=0.2*294T=68.4 F=58.8N 101
∑Fx=0 ∑Fy=0 w-t=m*a 9.8m=68.4+0.32m 9.48m=68.4 m=7.22Kg w=70.71N 23.-Em el sistema las aceleraciones de cada bloque Ma=5Kg Mb=20Kg Mc=15Kg µ=0.5
mA=5KggmB=20Kgmc=15Kg wA=49NwB=196Nwc=147N
aA=20aB tB=2tA ∑Fx=0 ∑Fy=m*a ∑Fy=maB Ta-w=maw-tB=ma*B Ta-49=5aA196-2Ta=20(1/2aA)+15ac Ta=49-5aA9B-20aA=15aC
∑Fy=0 ∑Fx=m*a N=Wta-f=m*aC N=147N49+5aA73.5=15aC F=13.5N5a+24.5 =15aC
98-20Aa=5aA-24.5 122.5=25aA aA=4.9m/s2 aC=0 aB=2.45m/s2
maB=mAaA+mCaC maB=40aB+15aC 24.- Determinar la aceleración con la cual se mueve los cuerpos en la figura a) y b) También la tensiones en la cuerdas. Supòner que lso cuerpos se deslizan sin fricción m1=200gr m2=180gr α=30º β=60º
102
a
Wx=Wsen30º Wy=Wcos30º W=1.96N Wx=0.98N Wz=1.76N T=1.39 ∑Fy=m*a W-T=0.18ª ∑Fx=m*a T=1.768-0.18aT-wsen30º=m*a -T=-0.78-0.38T=0.2ª+0.98+a=20.6m/s2 Wx=wsen30º=0.98N Wy=wcos30º
∑Fy=m*a t-wsen30º=0.2 1T=0.2a+0.98 -t=0.18a-1.53 a=1.45m/s2 Wx=wsen60º=1.53 Wy=wcos60 ∑Fx=m*a wsen60º-t=0.18 2T=1.53-0.18a T=1.27N
25.-Un bloque de hielo sobre un plano inclinado rugoso de 45º sobre la horizontal en el doble de tiempo que resbala sobre el plano igualmente inclinado pero sin rozamiento. Determinar para la superficie rugosa el coeficiente de fricción Wx=Wsen45º=6.93N ∑Fx=m*a ∑Fy=0 ∑Fy=Wcos45ºwx- µN=m*a*N=wy 6.93 µ=6.93-aN=6.93N D=Vot+1/2at2 =Vot+4t2 ∑Fx=4a at2=4a t2 wx=4aµ=0.75 2 a lisa=4ª rugosa=1.73m/s 26.-Hallar la aceleración y la fuerza F hará que el bloque de peso W, este4 a punto de deslizarse sobre la superficie inclinada tal como se muestra la figura El coeficiente de rozamiento en el plano inclinado es u1 y entre la cuña y el suelo es u2
103
∑Fx=m*a ∑Fy=0 F-Fr=a*(w+w1)N=(w+w1)wy=N F=(w+w1)(a+ µ2) ∑Fx=0 µ w1cosθ=w1senθ w1(µcosθ-senθ)=0 Fr= µ2Nw1x=w1senθ Fr= µ(w+w1)w1y=w1cosθ a=g(µcosθ-senθ) µsenθ+cosθ F=w1+w(µ2 µ1senθ+ µ2cosθ+ µ1 cosθ-senθ) 27.- Los dos bloques de la figura parten del reposo. El coeficiente de rozamiento para todas las superficies es 0.25. Calcular la aceleración de cada bloque y la tensión en cada cuerda.
Wasen30º=49N Wacos30º=848.7N Wb=1960N12t1=T2
∑Fy=0 N=wacos30º=818.7
∑Fx=m*a a1=2a1 -wsen30º-0.25wacos30º+t1=100a1 100a1=-702.176-t1 T1=702.176+100a1 -t1=-980+100ª2a1+a2=2.78 T1=887N3a2=2.78 a2=0.93 a1=1.87 28.-El tirante de una torre esta asegurado en A mediante un perno, la tensión en el cable es de 2500N Determinar a)las componentes Fx, Fy, Fz de la
104
fuerza que actúa sobre el perno b)Los ángulos α,β,γ que definen la dirección de la fuerza.
T=2500(-4i+80j+30k) Ut=94.33 Ut=-0.42i+0.85j-0.32K T=-1500i+2125j+800k(N) Cosα=ax/a=1050/2500 α=114.83 β=31.79 γ=71.34 29.- Sabiendo que la tensión en el cable AB=450N. calcular las componentes de la fuerza que se ejerce sobre la placa en A
105
AB=4i+j-7k (AB)=9 µAB=-0.44+0.44-0.77 fuerza en A=-00i+200j-350K(N) 30.- Una carga W está suspendida de 3 cables, como se muestra en la figura. Determinar el valor de w, si la tensión en el cable DB es de 975N
DB=975N DBy-DBz=(12j-5k) DB=13 µDB=0.92j-0.38k Fuerza BD=897j-370.5K
DC=9i+12j µDc=0.6i+0.8j DA=-6i+12j+4k µDA=-0.43i+0.86j+0.29k
0.6C-0.43a=0-370.5+0.29a=0 0.6c=0.43ª*0.29ª=370.5 C=919.86NA=1277.59N
By+Cy+Ay=w 897+735.89+1098.73 w=273.62N
31.- Sabiendo que la tensión en el cable AB=450N. Calcular las componentes de las fuerzas que se ejerce sobre la placa en A
106
BA=-4i+3j-5k (BA)=7.07 µBA=-0.57i+0.42j+0.71k
F=-256i+189j-318k
32.-Una carga W está suspendida de 3cables se muestra en la figura determine el valor de W, si la tensión den el cable DC es de 2866(N) y AD es 185(N)
BD=6j+3k (BD)=6.55 BD=0.89j+0.45k DC=2i+6j-k DC=6.4 DC=0.31i+0.94j-0.26k AD=6.08 AD=-0.16i+0.98j
tension DC=88.46i+2685.56-447.59K(N) AD=-30.41+182.48j(N)
33.-se tiene una cuerda fija en el punto A y se la hala con una fuerza de 100N desde el punto B Determinar: a) El vector F en términos de i,j,k b)el vector proyección del vector F sobre DC c)El ángulo que forman el vector con su proyección en el plano x,z
107
µAB=µF µf=-4i+10j-2k µAB=-36.51+91.29j-18.26k(N) FDC=F*DC*DC=-4i+2K (DC) µDC=4.47 µDC=109.52/4.47 µDC=(-0.89i+0.15j) FDC=-21.8i+10.95K Tanα=10/4.47 α=65.91º 34.- Si la tensión en AB es de 39N, determinar los valores de las tensiones que se requieren en AC y AD para que la resultante de las fuerzas aplicadas en A sea vertical
108
AB=16i-48j+12k AB=0.31i-0.92j+0.23K AC=16i-48j-14k AC=0.29i-0.86j-0.43k AD=-14i+18j AD=-0.28i-0.96j
0.23AB-0.43AC=0 9=0.43AC AC=21N AC=6i-18j-9k 0.28AD=18.18 AD=64.93N AD=-18.18i-62.33j+k(N)
Dinámica Rotacional 1.-
∑Fy=m*a V2=g*r*tanα
N=m*g mg µ=m*a g* µ=ac ac=w2R v= w2R a/w2=v/w a=w*v
2.-
Mg-senα=m(V2/R)=El=EF m(V2/R)mgRsenα=mgR VF2=2gR-2gRsenα Mgsenα=m/R(2gR-2gRsenα) 109
Senα=2-2senα Senα=2/3 Α=41.81º 3.-Un cuerpo de 24Kg se hace girar em círculos horizontales por médio de uma cuerda com resistência a la ruptura de 300N. Cuando la velocidad del cuerpo llega a 8m/s se rompe la cuerda a)Encuentre el ángulo que forman la cuerda con la vertical en ese instante b)La longitud de la cuerda, si el radio de la trayectoria es de 9m m=24Kg t=300N Vt=8m/s L=R/senθ ∑Fx=m*a L=9/0.55 Tcosα=24v2/R 2 Tcosα=24*8 /9 L=16.23 cosα=170.66/300 α=55.32º 4.-Si el tren pasa una curva con peralte de 63Kg/h. El radio de curvatura es de 328.08m calcular a)El peralte de la curva de modo que el tren no experimenta fuerzas laterales b)El ángulo que hace con la vertical una cadena que cuelga de uno de los vagones V=63K/h R=328.08 Vop= gRtgα 17.5= 10 * 328.08 * tgα 306=3280.8tg α tg α=9093= α=5.33º 5.-Una piedra cuya masa es de 0.4Kg de masa esta atada al extremo de una cuerda de 0.8m. Si la piedra describe un circulo a velocidad de 80rev/min. Cual es la magnitud de la fuerza que ejerce la cuerda sobre la piedra. Si la cuerda se rompe bajo una tensión de 50Kg. Cual es la mayor velocidad angular posible?
110
W=80rev/min=8.38rad/s ∑Fx=0 T cosθ-p=0 T cosθ=p T cosθ=4N T=4N/cosθ 6.- Sobre um plato de tocadiscos horizontal se halla uma moneda a 0.25m Del centro. el tocadiscos inicia su movimiento desde el reposo con una aceleración angular de 2rad/seg. El coeficiente único de rozamiento entre la moneda y el plato es 0.5 a)El tiempo que permanece la moneda sin deslizarse b)La velocidad angular antes que la moneda se deslice
FC=m*a
Wf=Wo+t αt
Fr=m*wf2r
2t=
Nµ=mwf2r
t=2.2s
Wf=
0.5 * 9.8 0.25
µ2 r
Wf=4.42rad 7.-La masa m gira con velocidad angular w constante como se indica en la figura ¿Qué w deberá tener para que t1=3/2t2?
111
T1=3/2T2 R=sen30º R=0.5m ∑Fy=0 3/2T2sen60º-T2sen60º=P 1.3T2-0.86T2=m*g M=0.043T2
∑Fx=0 3/2T2cos60º-T2scos60º=(0.043T2) (w2*R) 1.25T2/0.043T2= w2*0.5 W=7.59rad/s
8.- Un balde se suspende de una cuerda de 1.2m de longitud y se mueve en un circulo horizontal. Las gotas de agua que abandonan el balde caen y forman en el piso un circulo de radio r.Calcular el radio r cuando θ=30º 1.2/sen90º=r/sen30=0.6 0.6/sen60º=b/sen30º=0.34 R=Vt H=Vot+gt2/2 0.34=4.9 t2 T=0.20s tcos60=mV2/r tsen660=m*g
v=
gr tsen60 m* g = = tg 60 = 2 2 v v t cos 60 m* r
gr = 1.86 tg 60
rt=1.2+x r=1.1
x=0.1
112
R=ABcos60º R=0.5m m=w/9.8 m=1.02
∑Fr=m*a 2Ty=1.02*400/0.5 T=816N
Fr=m(7.2/50)2 N*µ-m=103.68 10*µ=8m Μ=8/10=0.8
∑Fy=0 W=N mg=N N=10m
11.-A cuantas revoluciones por segundo há de girar alrededor de um eje vertical, el aparato de la figura, para que la cuerda forma um ángulo de 45º com la vertical?¿cual es entonces la tensión de la cuerda?
R=sen45º*L R=14.4cm=0.14m Tcos45º=m*a Tcos45º=w2*R W=8.33rad/s W=1.32 RPS
T=2/sen45º T=2.83N
113
12.-Dos bloques que tienen el peso y la posición de la figura descansan sobre un marco que gira alrededor de un eje vertical con velocidad constante . el coeficiente de fricción entre los bloques y el marco es µ=0.20 Despreciando el peso y la fricción de la polea. A cuantas RPM empezarán a deslizarse los bloques y cual es la tensión de la cuerda en ese instante?
114
W=cte W=4RPS P=m*g m=P/g m=0.03m
∑FX=m*a T=m*a T=0.3(25.12)2R T=17.37N
14.-Un cuerpo de 30kg gira con movimiento circular uniforme sobre una mesa horizontal completamente lisa, sujeta a una cuerda de 60cm de longitudes. Otro cuerpo de 10Kg de masa descansa sobre el cuerpo anterior. Calcular: a)El coeficiente de rozamiento mínimo entre las superficies de los cuerpos para que con una velocidad angular de 2rad/s el cuerpo de 10Kg no se deslice. b)La tensión de la cuerda
T=m*w2*R T=40*4*0.6 T=96N 15.-se hace girar un cuerpo de masa 5Kg. En una circunferencia horizontal como se indica en la figura, sujeta a una cuerda de longitud de 2m y comnuna velocidad Vo constante. Si la cuerda forma un ángulo de 45º con la vertical a)La tensión en la cuerda b)El valor de la velocidad del cuerpo Vo
115
∑Fx=m*a T cos45º=m*a T cos45º=m(V2/R) V2=14.1 V=3.75m/s
∑Fx=0 T sen45º=P T=70.71N
16.-Um bloque de masa 10libras esta asegurado a los extremos de los alambres AC Y BC, como se indica em la figura. El sistema gira en una circunferência horizontal com uma velocidad constante. Determine: a) La magnitud de la velocidad para que la tensión en las dos cuerda se a la misma. b)El valor de la tensión
Peso=10lb=44.54N Masa=4.54Kg AC/sen120º=1.21/sen30º AC=2.11m
T*sen60º+Tsen330º=m*g T(sen60º+sen30º)=44.5
R=AC*cos60º
T=
44.54 sen60º + sen30º
R=2.11cos60º R=1.055m
T=32.61 44.54=4.3V2 V2=10.35 V=3.21m/s 17.-Una pequeña esfera de 10N de peso se sostiene mediante dos cuerdas AB y BC como se muestra en la figura. En la posición mostrada se le describa una trayectoria circular vertical. Determinar la tensión en las cuerdas en el punto más bajo de la trayectoria
116
R=(1-0.752) R=0.66m Cosθ=0.75 θ=41.4º
∑Fy=0 2Ty=m*V2/R 2Tsen41.4º=618.43 T=468.5
18.-El sistema de la figura gira alrededor de un eje vertical con velocidad constante. Conociendo que el coeficiente de rozamiento entre el pequeño bloque A y la pared cilíndrica es 0,2 determine la velocidad para que el bloque permanezca en contacto con la pared.
µ=0.2 R=0.2m
Fr-mg=0
N=m mg
µ
v2 R
=m
v2 R
N µ=m*g N=mg/ µ
v=
9.8 * 0.2 0. 2
V=3.13m/s
19.-Un pequeño cuerpo de masa 1Kg. Descansa un plano inclinado que gira alrededor de un eje vertical con una velocidad angular constante de 20 RPM. Si el cuerpo está unido al eje de rotación por medio de una cuerda, como se muestra en la figura, y se considera despreciable el rozamiento entre el cuerpo y el plano. Calcule la tensión en la cuerda
117
W=20RPM=2.09 rad/s R=3sen60º=2.598m
W=5Kg(9.8)=49N T=0.5m(sen60º)+0.49m a) V=0.13m/s ∑Fy=0 Ncos30º+Tcos60º-w=0 0.86N+0.5T=R2
∑Fx=m*a Tcos30º=m*a T=1/0.87(w2*R T=13.07N
∑Fx=0 tsen60º-Nsen30º=mV2/R -0.5N+0.86T=2.05 ∑Fx=0 TCOS60º=W T=49/cos60º 118
T=98N 2
∑Fy=mV /R Tsen60º=mV2/R V2=8.48 V=2.91
R=cosθ*a ∑Fy=0 Tsenθ=P Tsenθ=m*10/a2 Tsenθ=20m Ty=20m
Ti=Tx+Ty Ti=m*w2*a+20m/s Ti=m(w2*A+10)
119
N=
m* g senθ
Cos θ=R’/R R’=Rcosθ
∑FX=m*a Ncosθ=w2 Rcosθ
Nsenθ=w
w2= rsenθ
g
w=
g R cosθ
120
TRABAJO, POTENCIA Y ENERGIA
EJERCICIO 18
F=200N W= ? D=200m θ=30º
W=F*d W=Fcos30º*200 W=69282.03j
F=4000N V=5m/s T=5min=300s V=d/t d=V*t W=F*d W=F*V*t
a)W=4000N*5m/s*300s W=6*106J b) W=4000N*2.5m/s*300s W=3*106J
T=1/2K*x2 1)T=1/2*(500)(0.1) 2 T=0.025J 2) T=1/2*(500)(0.04) 2 T=0.4J
121
a)Tt=T2-T1 Tt=0.375J b) Tt=T1-T2 Tt=-0.375J
4.
W=F*d W=(F1-F2)*d a)W=(10-0)*2 W=20J
b)W=(0-10)*2 W=-20J
c)W=(10-10)*2 W=0J 5.
ΣFy=0
ΣFx 122
N=Wcos20º N=(0.75)(9.8)(cos20º) N=6.9N
Wsen208-Fr Fr=(0.75)(9.8)(sen20º) Fr=2.51N
TFr=(2.51)(1.28) TFr=-3.22J
Tn=Tw- TFr Tn=(Wcos70º)(d)-3.2J Tn=3.2-3.2 Tn=0J
6.
F=60xicos 0º a)Xo=0=x=0.15m W=F*dcos0º W=60N*0.15m W=9j
Xo=0.15m x=0.25m W=60N*0.10m W=9J
7.
ΣFy=0 Fe=w Kx=m*g K=
Fe=W Kx=(0.15+0.1)(9.8)
0.15 * 9.8 0.046
x=6.37/31.96
K=31.96N/m Tr=
(1.47 + 6.37) (15.4) 2
X=0.2m x2=20-4.6 X2=15.4
Tr=60.37N
123
∑Fy=0 N-p=0 N=P
F=15N M=3Kg D=3m µc=0.2 a)W=F*d W=15*3 W=45J
b)WFr*d W=µc*N*d W=1.8J
c)W=N*d W=3*0 W=0
d)W=p*d W=3*0 W=0
e)Tt=T1+T2+T3+T4 Tt=46.8J
H=V*t H=1.5*20 H=30m Tw=(500)(9.8)(3cm) Tw=-1.47x105J Tf=W*30 Tf=1.47x102 J
m=0.05Kg a)resistencia=20000N
Ec=1/2mV2
d=16000Kgm2/s2
Ec=1/2(0.05K)(900)2 124
2000Kfm/s2 D=0.8m
Ec=16000J
c)
d) w=F*d
A=
0.8 * 20000 2
W=20000*0.8m W=16000J
A=8000J
h=Vt+1/2at2 h=1/2(2)*2s h=25m
X1=3cm
ΣFy=m*ac Fe-W=M*a fé=m*g+m*a
X2=10cm
W=F*d W=(75)(9.8)(0.03m) W1=22.05J
W=F*d W=(75)(9.8)(0.13m) W=95.55J
No almacena trabajo
125
µc=0.20 W=F*d Σy=0 Fy+N-Py=0 N=Py-Fy N=50cos30º-80sen10º N=29.41J
Σx=m*a Fx-Px-Fr=m*a 80cos10º-50sen30º-0.20*29.41 m*a=47.90J
W=m*a*d W=47.90*6 W=287.4J
EJERCICIO19
R=75% T=?min M=50000Kg P=20CV
R=P(util)/P(total) 0.75= P(util)/20CV P(util)=15cv=11040watts W=m*g*h W=7350J P=W/t P(util)=W/t T=0.67s=0.011min
P=F*V*cos50º
126
F=
50Cv 5 * cos 50º
P=F*V*cosθ V=P/(Fcos6.84º) V=6764.1WaTT
m=1Kg h=10m t=10s g=10m/s
W=m*g*h W=1*10*10 W=100J
P=W/t P=100/10 P=10watt
EJERCICIO20
Ec+ep=0 1/2mv2+m*g*h=0 a)ΣFy=m*a N-W=m* v2/r N=m v2/r+m*g N=m(v2/r+g)
ΣFy=m*a N=mV2/r*m*g N=m(V2/r-g)
c)para que exista ingravidez debe estar em altura máxima por los tanto N=m(V2/r+g) V2/r=g V= 9.8 * r
127
2.
ΣFy=0 Tcosβ=W 2Wcosβ=W cosB=1/2 β=60º
M=2Kg W=19.6Kg Fr=0 Vo=0 ΣFy=0 N-w=0 N=19.68
Vo=9.8m/s Fr=0.82 Vf2=0
ep=m*g*hf ep=-19.5*5 ep=-98
ec+ep=0 Vf-98=0 Vf=9.89m/s
ΣFx=m*a -0.8*19.6=2a a=77.84m/s2
128
m=5Kg y1=10m y=5m y3=1m T2=2 K=1500N/m U=0
W1-W2=Eg1-Eg2 W1-W2=(m*g*y2*m*g*y1) W1-W2=(5Kg*9.8*5)(5*9.8*10) W1-W2=245J
Ew1=(W1-W2)+( W2-W3) Ewt=245+196 Ewt=441J W2-W3=(m*g*y3*m*g*y2) W2-W3=(5*9.8*1)+(5*9.8*5) W2-W3=196J T=1/2Kx2 X= 2 * 44 / 1500 X=0.7666m
a)T=10J T=F∆xcosB 10J=F2cosθ F=5N
ec=ec1-ec2 ∆ec=T ∆ec=10J ecf=10J 129
Em1=Em2 (ec+ep+ec1)= (ec2+ep2+ec2) m*g*∆x=m/2v2 +m*g* ∆x g(h)=g ∆x h=2R
(ec+ec+eg)=( ec2+ec2+eg2+q+F) Wgy1=1/2mVo2+10µmgRcos30º Fc=µNc Tfc=fcmg*30 ∆x=Sr/sen30 30=1/2 Vo2+8.666 Vo=6.53m/s
ΣFy=m*ac N+mg=mVoc2/r Voc=3.16m/s
Σfy=0 T-mg=0 T-15.3(10)=0
Mt=m1+m2 mt=0.3+15 mt=15.3
(1/2mVf2-1/2mVo2)+(mg*hf- mg*hf)=0 -35.03+153hf-153ho=0 hf-ho =0.23m 130
T=153N
T=∆eg T=-(Eg2-Eg1) T=(m*9.8*40)+(m*9.58*100) T=588m m(Vf2- Vo2)/2=588m Vf2=2*588 Vf=34.29
∆h= 0.23m
Fx=588m(J) gya-gyb=1/2Vb2 Vb2=220g Nb=m*g+m220/10g Nb=23mb Ema=Emb (ec+ep+eg)=(ec2+ep2+eg) (10)(100)=1/2 Vb2+10*-10 Vb=46.9 ΣFy=May Nb-mg=MVb2/r
Wf=ec+ee+ep 131
Fd=1/2mV2+1/2Kx2+1/2L2 2*5/k*k=2*25-400+200L2 10=-50-400+20L2 L=1.51
d)V=2m Tf=1/2mVc2-1/2mV Vc2=1250 Vc=35.41m/s Tf=∆ec 100=Vb2-4 Vb=31.69
Ec=1/2(2)(31.69) 2 Ec=1009 T=1250J a)T=F*d T=50N*20m T=1000J b)T=f*d T=(50N)(10m) T=500J Tf=1/2mvc2 Vc=35.35m/s
132
V2+2gh=Vo2 107.8+9.8=v2 Vc2=117.5
a)Eca=1/2mVa2 Eca=1/2*40*36 Eca=720J
Sen30º=
h1 4 − 0.5 + x
h1=(sen30º)(3.5+x)
Ema=m*ac Epg=Ecf Vb2=107.8
b)Epa=m*h*g Epa=40*9.8*120 _Epa=48000J
Efr=m*ac N-mgcos60=M*Vb2/r N=m*g*cos60º+107.8 N=112.7
c)Ea=EB Epa+Eca=Ecb m*g*h+1/2mVa2=1/2mVb2 Vb=2436 Vb=49.35m/s
Ema=Emc 1/2kx2=m*g*h+1/2m*V2 ½(600)x2=1*9.8*(4+1.75+0.5x)+1/2(1)(4.43) 133
h1=1.75+0.5x
3000x2=56.35+4.9x+9.8 3000x2-4.9x-66.15=0 X=0.15m
ΣFx=m*a m*g=m*ac v= 2 * 9.8 V=4.43m/s
Ecb=TR TR+Bem=EMA M*g*h-Tr=1/2mV2 Epgb=(m*g*h)+Tr
EmA=Em2 M*g*há-m*g*h+1/2mV2 V2=2ghA-g*h Vf2=Vo2+2ad D=2Rh 134
0.5Vb2=9.89m/s
TfrA-B=AEc+AEpg Μmg(ABcos30º)=ECB+Epgb+Epeb+EPra 0.2*1*9.8*cos30º*4m=1/2KgVb2+Kg(9.8)2 6.7876=4.89-0.5Xo*4000 Xo=0.451
A)ΣFx=m*a F=1*34.2N F=34.2N m*g*h=1/2mVf2
B)N=m*g N=1*9.8 N=9.8N F=5*9.8
c)senΦ=Rh senΦ=1/2 Φ=30º
135
Vf2*0.5=19.6 Vf=34.2m/s
F=49N
Ec=Epg 1/2m*V2=m*g*h M(0.5V2-gh)=0 35V2=70gh V2=2gh
Ec=Ep M*g*h=m*g(0.4R)+Fr 10mgR-10(0.4mgR)=Wfr 10mgr-4mgr=WFr 6mgr=Wfr 136
a)Ema=Emb Eca+Epa= Ecb+Epb 1/2mva2+m*g*h=0 0.5*2Vb2=98 Vb=9.8m/s
EmA=EmB (Ee+Eg+Ec)A=(Ee+Eg+Ec)B EcA=EcB 1/2mV2=m*g*h
B)EmA=Emc Ecb=Ecc+Epc 1/2mVb2=1/2m*Vb2+m*g*h 0.5*2*9.8=0.5*2Vc2+2*9.8*2.5 Vc=7m/s Ecc+Epc=Eco+Epo 0.5*4.9+9.8*1.25=0.5V2+9.8*7.5 Vo=5m/s
h=V2/2g
EmA=Emb (Ee+Eg+Ec)A=(Ee+Eg+Ec)B mgYa=1/2mVb2+1/2Kx2 Vb=706m/s
137
ΣFy=0 N=W N=m*g Fr1=m*g*µ Fr2=m*g*µ Fr1=mcos*2.94
EmA=EmC+R Epg+Ema=Emc+Tfr1+ Tfr2 m*g*h+1/2mV2=m*g*µd2+m*g*d2 µd2 (9.8)(5)+1/819=(9.8)(0.3)(5)+(2.94cosθ*5/senθ) 49.5=14.7+14.7tgθ 34.8=14.7tgθ tgθ=34.8 θ=97.12 θ=22.88º
Cosθ=0.5 θ=60º ΣFy=0 Tsen60º=m*g
ΣFx=0 tcos60=m*v2/R 138
T=
3 * 9. 8 sen60º
T=33.95N
V=
0.5 * 33.95 * cos 60 3
V=1.68m/s H=3-0.866 H=2.13
EmA=Ema Epg+Ec=Ec m*g*h+1/2mV2=1/2m V2 v=
2 * 9.8 * 2.13 + 1.612 *2 2
V=6.68m/s
139
