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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA Y TEXTIL
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I Separata N°4 TEMA :
PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN
PROFESOR :
ING. MAURO PÉREZ
2010
TRANSPORTE
Y
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Ing. Mauro Pérez
FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICAY TEXTIL
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I CUARTO TALLER P1. Un fabricant fabricantee elabora elabora un producto producto en tres plantas plantas y lo distribuye distribuye al mercado mercado a través de cuatro bodegas. Se cuenta con los siguientes datos: Bodega 1 2 3 4
Precio a venta $/unidad 1.00 1.10 1.00 0.60
Planta
Costo de ($/unid) 0.40 0.35 0.45
A B C
Demanda anual (unidades) 40000 10000 20000 25000
producción Capacidad anual (unidades) 40000 30000 45000
COSTOS DE TRANSPORTE (Unidad)
Desde Hasta Planta
Bodega 1 0.20 0.20 0.45
A B C
2 0.20 0.10 0.30
3 0.30 0.35 0.20
4 0.30 0.40 0.20
a)
Determinar el programa que optimice las operac raciones que rea realiza el fabricante. Se sabe que: Pv = Pc + g (por unidad) g = Pv – Pc(#/unidad) Caso: A1 gA1 = 10 – (0.4 + 0.2) = 0.4 #unidad Así sucesivamente llenamos la tabla. Debe Hasta Plantas
A B C
1
Bodegas 2
3
0.4 0.45 0.10
0.50 0.65 0.35
0.3 0.3 0.35
4 -0.1 -0.15 -0.05
Ganancias por transportar cada unidad (#/unidad) Entonces se sabe que: Min = -Max
Des
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
Bodegas
Capacida
1
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d anual (unidade s)
Hasta Planta
A B C Demanda anual (unid.)
1
2
3
4
-0.4 -0.45 -0.10 40 000
-0.50 -0.65 -0.35 10 000
-0.3 -0.3 -0.35 20 000
0.1 0.15 0.05 25 000
40 000 30 000 45 000
Hallando un programa que optimice las operaciones: Maximizando ganancias
Zmax = -0.4XA1 - 0.5XA2 - -0.3XA3 + 0.1XA4 - 0.45XB1 - 0.65XB2 - 0.3XB3 + 0.15XB4 0.1XC1 + 0.35XC2 - 0.35XC3 + 0.05XC4 XA1 + AX2 + XA3 + XA4 = 40 000 XB1 + XB2 + XB3 + XB4 = 30 000 XC1 + XC2 + XC3 + XC4 = 45 000 YA1 + XB1 + XC1 = 40 000 YA2 + XB2 + XC2 = 10 000 YA3 + XB3 + XC3 = 20 000 YA4 + XB4 + XC4 = 45 000 ∀
Xij ≥ (i = A,B,C b)
B)
;
j = 1,2,3,4)
Aplicar el método Vogel para determinar la asignación óptima. Aplicando el método Vogel: Ordenados adecuadamente Desp. 1
2
Bodegas 3
-0.4 -0.45 -0.1
-0.5 -0.65 -0.35
-0.3 -0.3 -0.35
0.1 0.15 0.05
0 0 0
40 000
10 000
20 000
25 000
20 000
Hasta Plant a
A B C
Demanda
4
5
Capacid ad anual 40 000 30 000 45 000 115 000 115 000
Penalizacio nes -0.4
-0.5
0.45
0.65 0.35
-0.1
-0.3 -0.3 0.35
0.1 0.1 5 0.0 5
0
0.1
0
0.2
0
0.0 5
0.1 0 0.1 5 0.2 5
0.4
0.4
0.1
0.1
0.0 5
0.4 5 0.1
Penalizaciones 0.0
0.1
0.0
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
0.0
0
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5 0.0 5 0.0 5 0.3
5
5 0.0 5
5 0.0 5 0.0 5 0.0 5 0.0 5
Matriz de asignación I: 20 000
20 000
20 000
0 40 000
10 000
0 30 000 20 000
40 000
10 000
20 000
200000
0
25 000
0
25 000
20 000
0
0
0
20 000 0
45 000
5 000
20 000 0
Costo (-Ganancia) = 20000(-0.4) + 20000(-0.45)+10000(-0.65) + 20000(-0.35) + 25000(0.05) + 20000(0) = $ - 29250 Verificando si es óptima la tabla: Zj -0.4
-0.6
-0.4
0
0
0.45 0.35 0.45
0.65 0.55 0.65
0.45 0.35 0.45
0.05 0.05
0.05 0.05
0.05
0.05
0.0 5 0 0.1
Cj – Zj >=0 0 0
0.1 0
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0.1 0
0.1 0.15
0 0.2
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0.25
0.2
0.2
0
0
Entonces es el óptimo. Con ganancia = -(-$29250) = $ 29 250 Se venderán las siguientes cantidades: 20000 productos de la planta “A” se venderán por la bodega 1
20000 productos de la planta “B” se venderán por la bodega 1 10000 productos de la planta “B” se venderán por la bodega 2 20000 productos de la planta “C” se venderán por la bodega 3 25000 productos de la planta “C” se venderán por la bodega 4
P2. Suponga que Inglaterra, Francia y España producen todo el trigo, cebada y avena en el mundo. La demanda de trigo requiere que se dediquen 125 millones de acres a la producción de este cereal. De igual manera se necesitan 60 millones de acres para cebada y 75 millones de acres para avena. La cantidad total de tierra disponible es suficiente para los tres productos en los tres países. El número de horas de mano de obra necesaria para producir un acre de trigo en los respectivos países es 18, 13 y 16 horas. La producción de un acre de cebada requiere 15, 12 y 12 horas de mano de obra en Inglaterra, Francia y España y el número de horas de mano de obra necesarias para producir un acre de avena es 12, 10 y 16 respectivamente. El costo de mano de obra por hora en los tres países respectivos es $3.00, $2.40 y $ 3.30 para la producción de trigo; $2.70, $3.00 y $ 2.80 para la producción de cebada y $2.30, $ 2.50 y $ 2.10 para la producción de avena. El problema es asignar un solo producto a uno de los países. El objetivo al hacer esta asignación es minimizar el costo total de la producción. a) Formular el problema como uno de asignación. - Número de horas de mano de obra para producir un acre de cada cereal (horas/acre): Productores Terreno Cereales Inglaterra Francia España (millones acres) 18 13 16 125 Trigo 15 12 12 60 Cebada 12 10 16 75 Avena
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-
Costo de mano de obra por hora de cada cereal en los tres países respectivos ($/hora): Productores Cereales
Inglaterra
Francia
España
Trigo
3.00 2.70 2.30
2.40 3.00 2.50
3.30 2.80 2.10
Cebada Avena
-
Para obtener la matriz de asignación multiplicamos la primera matriz por la segunda y por los acres de terreno disponible por cada cereal, así obtenemos la matriz de asignación final: Productores Cereales
Inglaterra
Francia
España
Trigo
6 750 2 430 2 070
3 900 2 160 1 875
6 600 2 016 2 520
Cebada Avena
b) Resolver utilizando el método Húngaro. -
Restando a cada fila el mínimo número de sus elementos: Productores Cereales Inglaterra Francia España 6 750 3 900 6 600 Trigo 2 430 2 160 2 016 Cebada 2 070 1 875 2 520 Avena
3 900 2 016 1 875
Productores Cereales
Inglaterra
Francia
España
Trigo
2 850 414 195
0 144 0
2700 0 645
Cebada Avena
-
Restando a cada columna el mínimo de sus elementos: Productores Cereales Inglaterra Francia 2 850 0 Trigo 414 144 Cebada
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España
2700 0
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195 195
Avena
0 0
645 0
Productores Cereales
Inglaterra
Francia
España
Trigo
2 655 219 0
0 144 0
2700 0 645
Cebada Avena
Como el número de ceros es igual a 3(orden de la matriz) hemos llegado al óptimo. Asignaciones óptimas: X 12 = 1 X23 = 1 X31 = 1 Costo mínimo: 19 252.8 P3. Considere el siguiente problema de transporte con la tabla de costos y requerimientos que se muestren enseguida:
Origen
1 2 3 4 5
Demanda
1 13 14 3 18 30 3
Destino 2 3 4 5 6 10 22 29 18 0 13 16 21 M 0 0 M 11 6 0 9 19 23 11 0 24 34 36 28 0 5 4 5 6 2
Recurso 5 6 7 4 3
Utilice cada uno de los siguientes criterios para obtener una solución inicial BF. Compare los valores de la función objetivo para estas soluciones. a) b)
Regla de la esquina Noroeste. Método de la aproximación de Vogel.
( a ) Esquina Noroeste Se considera M = 100 Cij 13 14 3 18 30
10 13 0 9 24
22 16 100 19 34
29 21 11 23 36
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18 100 6 11 28
0 0 0 0 0
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Matriz Asignación I 3
2 3
3
3 1
5
5
4
1 4 1 5
5 6 7 4 3
2
6
2
25 25
Costo = 879
Zij 13 16 100 105 122 122
10 13 97 102 119 119
13 16 100 105 122 122
-16 -73 11 16 33 33
-81 -78 6 11 28 28
-109 -106 -22 -17 0 0
0 0 -97 -93 -95
9 0 0 -86 -88
105 94 0 7 3
99 178 0 0 0
109 106 22 17 0
5
1 4 1
2
-109 -106 -22 -17 0
Cij – Zij 0 -2 -97 -87 -92
Punto de mejora: X 31 3-X
2+X 3-X
3+X 1-X
X = 1 Matriz de Asignación II 2
3
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2
4
1
5
1 4 1
2
16 19 6 11 28
-12 -9 -22 -17 0
COSTO = 282 Zij 13 16 3 8 25
10 13 0 5 22
13 16 3 8 25
21 24 11 16 33
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
8
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Cij - Zij 0 -2 0 10 5
0 0 0 4 2
Mejorando Matriz 2-X 3+X 2-X 1+X
9 0 97 11 9
8 -3 0 7 3
4
X 5-X
2 81 0 0 0
12 9 22 17 0
1 4 1
2
1 4 1
2
X = 2 Matriz de Asignación III 5 0
4
3
2 3
COSTO = 276 Zij 10 13 3 8 25
10 13 3 8 25
13 16 6 11 28
18 21 11 16 33
13 16 6 11 28
-15 -12 -22 -17 0
0 0 -3 1 -1
9 0 94 8 6
11 0 0 7 3
5 84 0 0 0
15 12 22 17 0
Cij - Zij 3 1 0 10 5
Punto de mejora X 32
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3
5 0-X X
4
2+X 3-X
1 4 1
2
1 4 1
2
X = 0 Matriz de Asignación IV 5 4 3
0
2 3
COSTO = 276 Zij 13 13 3 8 28
10 10 0 5 22
21 16 6 11 28
16 21 11 16 33
16 16 6 11 28
-15 -12 -22 -17 0
0 3 0 4 2
6 0 94 8 6
8 0 0 7 3
2 84 0 0 0
12 12 22 17 0
1 4 1
2
Cij - Zij 0 1 0 10 2
Punto optimo alternativo X 11 Matriz X alternativa X
5-X 4
3-X
0-X
2 3
X = 3
Matriz de Asignación Alternativa
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3
2 4 3
2 3
1 4 1
2
COSTO = 276 (b) METODO VOGEL: 13 14 3 18 30
10 13 0 9 24
22 16 100 19 34
29 21 11 23 36
18 100 6 11 28
0 0 0 0 0
Penalizaciones En las filas 10 3 13 1 3 3 9 2 24 4
8 3 6 2 4
8 3
3
3
2 4
2 4
4
En las columnas 10 9 10 9 9 1 4 11
3 3 3 3 3 18
10 10 10 2 2 15
5 5 5 7 17 72
0
Matriz de asignación I 5 0
4
3
3
5
10 13
10 13
1 4
4 5 COSTO = 360 13 16
18 21
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
1 4 1 6
2 2
97 100
-69 72
5 6 7 4 3
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3 -76 -59
3 -76 -59
6 -73 -56
11 -68 -51
90 11 28
62 -17 0
3 0 9 1 0 0 0 -3 94 94 85 92 89 83 90 Punto de mejora : X35
11 0 0 91 87
-79 0 -84 0 0
-69 -72 -62 17 0
1+X 4-X
1-X X 4 1
2
1 4 1
2
Matriz de asignación 5 0 4 3
Matriz de Asignación II 5 0
4
3
2 3
COSTO = 276 Esta matriz es igual a la matriz III del método de la ESQUINA NOROESTE, entonces se procederá como lo ya hecho antes.
Problema MTI posee tres plantas de ensamblado de microcomputadoras. La que se encuentra localizado en San Francisco tiene una capacidad de producción mensual de 1700 unidades, la que esta localizada en los Ángeles tiene una capacidad mensual de 2000 unidades y la de Phoenix tiene una capacidad de producción mensual de 1700 unidades. Las microcomputadoras son vendidas a través de tiendas al menudeo. Para el mes siguiente, la tienda que se encuentra en San Diego ha hecho un pedido de 1700 unidades, la que esta en Barstow tiene un pedido de 1000 unidades, la de Tucson ha pedido 1500 unidades y la situada en Dallas tiene un pedido de 1200 unidades. El costo de envió de una microcomputadora desde cada planta de ensamblado a cada una de las diferentes tiendas se presenta en la tabal siguiente. costo de embarque (dólares/maquina)
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Tiendas Plantas
San Diego
San Francisco Los Ángeles Phoenix
Barstow
Tucson
Dallas
3
2
6
5 4
7 6
8 5
10 3
8
Resolver el problema utilizando el método de la esquina Nor-Oeste. Solución: La suma de ofertas= 1700 + 2000 + 1700= 5400 La suma de demandas= 1700 + 1000 + 1500 + 1200 = 5400 EL SIMPLEX Min Z = 5XA1 + 3XA2 + 2XA3 + 6XA4 + 4XB1 + 7XB2 + 8XB3 + 10XB4 + 6XC1 + 5XC2 + 3XC3 + 8XC4 S.A= XA1 + XA2 + XA3 + XA4= 1700 XB1 + XB2 + XB3 + XB4= 2000 XC1 + XC2 + XC3 + XC4= 1700 XA1 + XB1 + XC1= 1700 XA2 + XB2 + XC2= 1000 XA3 + XB3 + XC3= 1500 XA4 + XB4 + XC4= 1200
Xi; j ≥ o (i= A, B, C) … (J= 1…...4)
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SAN DIEGO A = SAN FRANCISCO B= LOS ANGELES C= PHOTENIX DEMANDA
BARTOW TUCSON DALLAS OFERTA
5
3
2
6
1700
4
7
8
10
2000
6
5
3
8
1700
1700
1000
1500
1200
METODO DE LA ESQUINA NORESTE 1
2
A
1700
B
0
3
4
OFERTAS 1700
1000
1000
C DEMANDA 1700
1000
0
500
1200
1500
1200
0
0
0
2000 1000
0
1700 1200
0
0
a.1) Matriz: I 1
2
3
A
1700
B
0
4
1000
1000 500 1200
C Evaluación de la matriz 5
8
9
14
4
7
8
13
-1
2
3
8
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
Cij= Ri + Kj Ecuaciones: R1 + K1= 5 R1= 1 R2 + K2= 7 R2 + K3= 8 R2= 0 R3 + K3= 3 R3 + K4= 8 R3= -5 R2 + K1= 4 Haciendo R2=0
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Matriz Cij – Zij 0
-5
-7
-8
0
0
0
-3
7
3
0
0
La matriz no es óptima.
a.2) Mejorando la matriz 1700 - x
x
X
1000
x x = 1000
1000 - x 500 + x
1200 - x
Matriz II 1600
1000
1000
1000
0
CTR= 26 600 dólares
1500
200 5 4
6 7
8 3
R1 + K1= 5 R2 + K1= 4 R2 + K2= 7 R2 + K3= 8 R3 + K3= 3 R1 + K3= 6 R3 + K4= 8
8
R2= 0
Matriz Cij – Zij 0
-5
1
0
0
0
8
5
-1
-5
0
0
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Mejorando la matriz II 1600-x
x
1000+x
1000-x
1000 X=1000
0 1500
200
Matriz III 0
700
0
1000
1700
300
0
0
0
0
1500
200
CTR= 23100 dolares
Matriz Zij 0
3
1
6
4
7
5
10
2
5
3
8
Matriz optima: 5
0
1
0
0
0
3
0
4
0
0
0
Se verifica que la Matriz de Asignación III es la óptima. CTR=23100 dólares
valor optimo.
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Problema La Heinson Fisheries Incorporated (HFI) tiene cuartos fríos en sus almacenes localizadas en Boston, Nueva Cork y Washington D.C. , en cada almacén la HFI procesa y distribuye langostas para vendedores de pescado localizados en varias ciudades del país. La demanda semanal estimada por Pedido langostas es como sigue
Ciudad
Numero de cajas
Miami
30
Chicago
50
Philadelphia
65
Dallas
55
Los costos de transporte aéreo por caja entre las plantas y los vendedores son como sigue: Desde
Hacia
Miami
Boston
14
Nueva York
12 10
Washington DC
Chicago 16
Philadelphia
Dallas
12
20
14
10
8
16
8
15
En la próxima semana se espera tener el siguiente suministro de langostas disponible. Plantas
Suministro
Boston
100
Nueva York
40
Washington
60
Resolver el problema utilizando el método de la esquina Nor – Oeste.
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Solución: Matriz (i) (1) Miami (A) Boston
14
(B) Nueva York
12
(C) Washington
10
Demanda
30
(2) (3) Chicago Pliladelphia 16
(4) Dallas
Oferta
12
20
100
14
10
8
40
16
8
15
60
65
55
50
La suma de ofertas: 100 + 40 + 60 =200 La suma de demandas: 30 + 50 + 65 + 55=200 Hallando la Matriz I 1
2
3
30
50
20
100
70 20
B
40
40
0
C
5
55
60
55
A
Demanda
4
30 0
50 0
65 45 5 0
55 0
1
2
3
4
30
50
20
0
0
Matriz I
A B
40
C
5
CTR=2725, 00 dólares 55
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
18
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Ing. Mauro Pérez
FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICAY TEXTIL
Evaluación de la Matriz de Asignación I Matriz Zij 1
2
3
4
A
14
16
12
19
R1=0
B
12
14
10
17
R2=-2
C
10
12
8
15
R3=-4
K1 14
K2 16
K3 12
K4 19
R1 + K1=14 Sea R1=0 R1 + K2=16 R1 + K3=12 R2 + K3=10 R3 + K3=8 R3 + K4=15
Matriz Cij – Zij 1
2
3
4
A
0
0
0
1
B
0
0
0
-9
C
0
4
0
0
La matriz no es óptima
Mejorando la solución Punto de Mejora (2:4) Matriz II
A
1
2
3
30
50
20
B
40-X
C
5+X
4
X=40 X 55-X
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
19
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICAY TEXTIL
A
1
2
3
30
50
20
4
B
CTR=2365, 00 dólares
40
C
Ing. Mauro Pérez
45
15
Evaluación de la Matriz II Matriz Zij 1
2
3
4
A
14
16
12
19
B
3
5
1
8
C
10
12
8
15
K3 12
K4 19
K1 14
K2 16
R1 + K1=14 R1=0 R1 + K2=16 R1 + K3=12 Sea R1=0 R2=-11 R2 + K4=8 R3 + K3=8 R3=-4 R3 + K4=15
Matriz Cij – Zij 1
2
3
4
A
0
0
0
1
B
9
9
9
0
C
0
4
0
0
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
La Matriz II, es la óptima.
20
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FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICAY TEXTIL
Finalmente El patrón de embarque de costo mínimo es: Destinos 1 2 3 A
30
50
20
Orígenes B C
4
40 45
15
Es decir: De A se envía a 1: 30 cajas De A se envía a 2: 50 cajas De A se envía a 3: 20 cajas De C se envía a 3: 45 cajas De B se envía a 4: 40 cajas De C se envía a 4: 15 cajas. Min (z) = 30(14) + 50(16) + 20(12) + 45(8) + 40(8) + 15(15) Min z).= 2365.00 dólares Problema La Santa Bárbara Oil Company tiene refinerías en los Ángeles, Houston y St Louis. La gerencia necesita un plan de distribución óptimo entre las refinerías y lasa instalaciones regionales de almacenamiento, localizadas en Denver, Seattle, Chicago y Buffalo. Los datos siguientes son representativos para las operaciones de un mes tipico.
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Hacia Desde
Buffalo
Seattle
Chicago
Denver
Los Ángeles
8
5
8
Houston
9
5
5
5
St. Louis
9
8
4
4
Refineria
4
Capacidad mensual disponible Costo variable (Millones de barriles) (Dólares / barriles)
Los Angeles
150
5
Houston
80
4
St. Louis
100
3
Instalacion regional De almacenamiento
Ventas mensuales (Millones de barriles)
Buffalo
50
Seattle
100
Chicago Denver
50 100
Resolver este problema utilizando el método de VOGEL.
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Solucion: Costo total= costo de envió + costo variable (Dólares/barril) (Dólares / barril)
Demandas
Buffalo Seattle Chicago Denver
Ofertas
13
10
13
9
150
13
9
9
9
80
12
11
7
7
100
50
100
50
100
Suma de ofertas: 150 + 80 + 100 = 330 Suma de demandas: 50 + 100 + 50 + 100 = 300 Se sabe que: Demanda tiene que ser igual a la oferta por lo tanto se le adiciona columna. Ofertas
Demandas
13
10
13
9
0
150
13
9
9
9
0
80
12
11
7
7
0
100
50
100
50
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
100 30
23
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Vogel: Mayor penalización 1
1
1
0
9
4 1
4 1
0
7
4 2
4 2
13
10
13
9
0
13
9
9
9
12
11
7
7
1
2
2
2
1 1 0
2 2 1
2 2
2 2 0
9
4
0
Para determinar la matriz asignación consideramos lo sgte:
En la fila 2 y 3 observamos que el menor valor es cero pero esa columna ha sido cancelada ya que consumimos la demanda ( 30 dólares) en su totalidad en la posición A14. Lo que nos queda es desempacar con el sgte menor valor.
En la fila II tenemos un triple empate, escogemos el primero de izquierda a derecha. En la fila III tomamos el mismo criterio para eliminar el doble empate. Completando los valores obtenemos la sgte MATRIZ DE ASIGNACION. 50
20 0
0
0
30
80
0
0
0
50
50
0 50
50
100 50 20
0
0 0
100
30
50
0
0
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
150
120 80
0
100
50
0
0
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Matriz Zj
Matriz Cj – Zj >=0 13
10
9
9
0
0
0
4
0
0
12
9
8
8 -1
1
0
1
1
1
11
8
7
7 -2
1
3
0
0
2
Observamos que es la tabla optima. Finalmente la distribución optima es
Los Ángeles
Buffalo
Seattle
50
20
Houston St. Louis
Chicago
Denver
Otro
50
30
80 50
50
Observamos que para llegar a tener un resultado optimo deberíamos buscar otra inslacion adicional para cumplir con las demandas requeridas. Teniendo como costo: 2720 dólares
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