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MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES Docente: Francisco Arias Dominguez
R2 ! R tiene un máximo local en (a; b) 2
De…nición: Una función de dos variables f :
f (x; y)
si
f (a; b)
para todos los puntos (x; y) en algún entorno con centro (a; b). El número f (a; b) se llama valor máximo local. Si f (x; y) f (a; b) para todo punto (x; y) en dicho entorno, entonces f (a; b) es un mínimo local. Observación: Si las desigualdades de la de…nición anterior se cumplen para todos los puntos (x; y) en el dominio de f , entonces f tiene un máximo absoluto (o mínimo absoluto) en (a; b). La …gura 1 siguiente ilustra los conceptos de máximo y mínimo, respectivamente.
Observe que si z = f (x; y) es una función de dos variables y tiene un extremo en el punto P = (a; b) entonces el plano tangente a la super…cie en el punto P es paralelo al plano xy (…gura 2),
esto quiere decir que cualquiera de sus vectores normales es paralelo al vector zb = h0; 0; 1i y puesto que, en este caso, un vector normal del plano tangente es ! n =
@f (P ) ; @x
@f (P ) ;1 @y
! concluimos que rf (P ) = 0 , es decir, en P las derivadas parciales se anulan @f (P ) =0 @x
y
@f (P ) = 0: @y
Esto se resume en el siguiente teorema. Teorema (Condición necesaria para extremos) Sea f : R2 P = (a; b) 2 , f tiene un extremo local (máximo o mínimo), entonces
! R una función derivable tal que en
@f (P ) = 0 @x @f (P ) = 0: @y ! Los puntos P en donde rf (P ) = 0 se conocen como puntos críticos. De…nición (Puntos críticos) Si f : R2 ! R y P = (a; b) 2 existe, decimos que P es un punto crítico o punto estacionario. 1
! , entonces si rf (P ) = 0 o rf (P ) no
Observación: El teorema anterior establece que si f tiene un extremo local en (a; b) entonces (a; b) es un punto crítico de f . Y al igual que sucede en una variable, no todos los puntos críticos son extremos locales. ! Nota: Si rf (P ) = 0 y P = (a; b) no es un máximo o un mínimo, entonces decimos que f tiene un punto de encilladura (o silla) en P . Ejemplo 1: Sea f (x; y) = x2 + y 2 Solución: Tenemos que
2x
6y + 14. Calcule los puntos críticos de f . fx = 2x
2
fy = 2y
6
Estas derivadas parciales son iguales a 0 cuando x = 1 y y = 3, de modo que el único punto crítico es (1; 3). Al completar el cuadrado, se encuentra que f (x; y) = 4 + (x
1)2 + (y
3)2
Puesto que (x 1)2 0 y (y 3)2 0, tenemos que f (x; y) 4 para todos los valores de x y y. Por lo tanto, f (1; 3) = 4 es un mínimo local y, de hecho, es el mínimo absoluto de f . Esto se puede con…rmar en forma geométrica a partir de la grá…ca de f la cual es el paraboloide elíptico con vértice (1; 3; 4) como se muestra en la …gura 3.
Ejemplo 2: Sea f (x; y) = 6xy 2x2 y 3xy 2 . Calcule los puntos críticos de f . Solución: Veri…que que los puntos críticos son: (0; 0); (3; 0); (0; 2); 1;
2 3
:
Ejemplo 3: Calcule los valores extremos de f (x; y) = y 2 x2 . Solución: Puesto que, fx = 2x y fy = 2y, el único punto crítico es (0; 0). Observe que para los puntos en el eje x, y = 0, de modo que f (x; y) = x2 < 0 (si x 6= 0). No obstante, para puntos en el eje y, x = 0, de modo que f (x; y) = y 2 > 0 (si y 6= 0). Por lo tanto, todo disco con centro en (0; 0) contiene puntos donde f toma valores positivos, así como puntos donde f toma valores negativos. Por lo tanto, f (0; 0) = 0 no puede ser un valor extremo de f , de modo que f no tiene valor extremo. Esto quiere decir que el punto (0; 0) la función tiene un punto de silla, en la …gura 4 se muestra la grá…ca z = y 2 x2 la cual tiene la forma de una silla de montar y por eso (0; 0) se llama punto silla de f .
Una vez encontrados los puntos críticos, necesitamos de un criterio que nos permita clasi…carlos como máximos, mínimos o puntos de silla, con este propósito se enuncia el siguiente teorema. 2
Teorema: Suponga que f : R2 ! R tiene derivadas parciales de segundo orden continuas en un entorno con centro en P = (a; b): Si fx (a; b) = 0 y fy (a; b) = 0 (es decir, P es un punto crítico de f ), entonces si H(a; b) = fxx (a; b)fyy (a; b)
[fxy (a; b)]2
Si H(a; b) > 0 y fxx (a; b) > 0, entonces f (a; b) es un mínimo local. Si H(a; b) > 0 y fxx (a; b) < 0, entonces f (a; b) es un máximo local. Si H(a; b) < 0, entonces f (a; b) es un punto de silla.
Observación: Si H(a; b) = 0, el teorema no proporciona ninguna información; la función podría tener un máximo, un mínimo o un punto de silla en el punto (a; b). Ejemplo 4: Determine los valores máximo y mínimo locales y los puntos silla de f (x; y) = x4 + y 4 4xy + 1: Solución: Primero localizamos los puntos críticos: fx = 4x3
4y
y fy = 4y 3
4x:
Al igualar a estas derivadas parciales con 0, se obtienen las ecuaciones x3
y=0
y
y3
x = 0:
Para resolver estas ecuaciones, sustituimos y = x3 de la primera ecuación en la segunda, y obtenemos 0 = x9
x = x(x8
1) = x(x4
1)(x4 + 1) = x(x2
1)(x2 + 1)(x4 + 1)
de modo que hay tres raíces reales: x = 0; 1; 1. Los tres puntos críticos son (0; 0); (1; 1) y ( 1; 1): Luego calculamos la segunda derivada parcial y H(x; y) : fxx = 12x2
fxy =
4
fyy = 12y 2
y H(x; y) = fxx fyy
(fxy )2 = 144x2 y 2
16
en consecuencia, (x; y) = (0; 0), se tiene H(0; 0) = 6 < 0 se in…ere que el origen es un punto silla; es decir, f no tiene máximo ni mínimo local en (0; 0). (x; y) = (1; 1), tenemos H(1; 1) = 128 > 0 y fxx (1; 1) = 12 > 0, se ve que f (1; 1) = 1 es un mínimo local. (x; y) = ( 1; 1), tenemos H( 1; 1) = 128 > 0 y fxx ( 1; 1) = 12 > 0, se in…ere que f ( 1; 1) = 1 es también un mínimo local. La grá…ca de f se ilustra en la …gura 5.
3
Ejemplo 5: Calcule la distancia más corta desde el punto (1; 0; 2) al plano x + 2y + z = 4. Solución: La distancia desde cualquier punto (x; y; z) al punto (1; 0; 2) es p d = (x 1)2 + y 2 + (z + 2)2
pero si (x; y; z) se encuentra en el plano x + 2y + z = 4, entonces z = 4 x p d = (x 1)2 + y 2 + (6 x 2y)2 :
2y y se tiene
Podemos minimizar d minimizando la expresión más sencilla d2 = f (x; y) = (x
1)2 + y 2 + (6
2y)2
x
Al resolver las ecuaciones fx = 2(x
1)
fy = 2y
4(6
2(6 x
x
2y) = 4x + 4y
2y) = 4x + 10y
14 = 0
24 = 0
encontramos que el único punto crítico es 11 ; 5 . Puesto que fxx = 4, fxy = 4 y fyy = 10, tenemos H(x; y) = 6 3 2 fxx fyy (fxy ) = 24 > 0 y fxx > 0, de este modo, f tiene un mínimo local en 11 ; 5 . Intuitivamente, se desprende 6 3 que este mínimo local es en realidad un mínimo absoluto porque debe haber un punto en el plano dado que está más cerca a (1; 0; 2). Si x = 11 y y = 53 , entonces 6 d=
p
1)2
(x
+
y2
+ (6
x
2y)2
=
s
5 6
2
+
5 3
2
5 6
+
2
=
5p 6: 6
p La distancia más corta desde (1; 0; 2) al plano x + 2y + z = 4 es 65 6. Ejemplo 6: Hallar el punto del paraboloide z = x2 + y 2 + 2 más cercano del punto P = (2; 2; 2). Solución:
Todo punto que esta sobre el paraboloide es de la forma Q = (x; y; x2 + y 2 + 2), entonces su distancia al punto (2; 2; 2) está dada por p d(P; Q) = (x 2)2 + (y 2)2 + (x2 + y 2 )2 así que basta con encontrar los puntos críticos de d(P; Q) = (x
2)2 + (y
2)2 + (x2 + y 2 )2 .
@d = 2(x @x
2) + 4x(x2 + y 2 ) = 0
(1)
@d = 2(y @y
2) + 4y(x2 + y 2 ) = 0
(2)
Restando miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2) obtenemos 2x
2y + (x2 + y 2 )(4x
4y) = 0 =) (x
y)[1 + 2(x2 + y 2 )] = 0 =) x 4
y = 0, es decir x = y:
En este caso, la geometría del problema nos indica que no hay un número in…nito de soluciones, sino una sola solución. Podemos encontrar esta única solución sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones (1) o (2); obtenemos 4x3 + x
2=0
y al resolverla obtenemos que x = 0:689:::. Y así, el punto que buscamos es (0:689:::; 0:689:::; 2:475::::). Observe que en este caso no es necesario usar el criterio de clasi…cación, claramente el punto que encontramos se trata de un mínimo. Ejemplo 7: Calcule el volumen de la caja rectangular más grande que esté en el primer octante con tres de sus caras en los planos coordenados y un vértice en el plano x + 2y + 3z = 6. Solución: La caja rectangular es como la que se muestra en la …gura 7 siguiente.
Aquí, el volumen de la caja es V (x; y; z) = xyz pero, z = 13 (6
x
2y) en consecuencia
1 V (x; y) = xy(6 3
1 2y) = (6xy 3
x
x2 y
2xy 2 ):
función a optimizar
al resolver el sistema @V @x
=
1 (6y 3
2xy
2y 2 ) = 0
(1)
@V @x
=
1 (6y 3
2xy
2y 2 ) = 0
(2)
se calculan los siguientes puntos criticos (0; 0); (6; 0); (0; 3); (2; 1) pero, los puntos (0; 0); (6; 0) y (0; 3) son puntos de silla y en el punto (2; 1) la función tiene un máximo. En consecuencia, el volumen es máximo cuando x = 2, y = 1 y z = 32 , las cuales son las dimensiones de la caja. Por otro lado, el volumen máximo es de 34 . Ejemplo 8: Una caja rectangular sin tapa se fabrica con 12 m2 de cartón. Calcule el volumen máximo de la caja. Solución: Sean x, y y z la longitud, el ancho y la altura de la caja en metros, según se muestra en la …gura 8. Entonces, el volumen de la caja es V = xyz
Expresamos V como una función de sólo dos variables x y y recurriendo al hecho de que el área de los cuatro lados y el fondo de la caja es 2xz + 2yz + xy = 12 5
de aquí, se tiene z =
12 xy , 2(x+y)
de modo que la expresión para V se transforma en V = xy
12 xy 12xy x2 y 2 = 2(x + y) 2(x + y)
Calculamos las derivadas parciales: @V y 2 (12 2xy x2 ) = @x 2(x + y)2 Si V es un máximo, entonces ecuaciones
@V @x
= 12
@V @y
y
x2 (12 2xy y 2 ) @V = @y 2(x + y)2
= 0, pero x = 0 o y = 0 da V = 0, de modo que debemos resolver las 2xy
x2 = 0
y
12
y2 = 0
2xy
Esto implica que x2 = y 2 y x = y. (Note que x y y ambas deben ser positivas en este problema.) Si hacemos x = y en cualquier ecuación obtenemos 12 3x2 = 0, lo cual da x = 2, y = 2 y z = (12 2 2)=[2(2 + 2)] = 1. Podríamos utilizar la prueba de la segunda derivada para demostrar que esto da un máximo local de V , o bien, podríamos argumentar simplemente que por la naturaleza física de este problema debe haber un volumen máximo absoluto, lo cual tiene que ocurrir en un punto crítico de V , de modo que se debe presentar cuando x = 2, y = 2, z = 1. Entonces V = 2 2 1 = 4, de modo que el volumen máximo de la caja es 4 m3 . Ejemplo 9: Sea z = xy + xa + yb la ecuación de una super…cie (con a y b constantes). Si P = (1; 2) es un punto crítico de z, determine si en P la función alcanza un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto de silla. Solución: Como P = (1; 2) es punto crítico, las derivadas parciales de z se anulan en P , es decir 8 8 @z 8 8 > > y xa2 (1;2) = 0 = 0 > > < 2 1a2 = 0 < a=2 < < @x (1;2) =) =) =) : : > > @z > > b = 4: =0 1 2b2 = 0 =0 : x ya2 : @y (1;2)
(1;2)
Ahora
H(x; y) =
2a x3
2b y3
12 =
4 x3
8 y3
1:
Por lo tanto, H(1; 2) = 3 y zxx (1; 2) = 4 > 0. Luego, en el punto P = (2; 1) z alcanza un mínimo local. Ejemplo 10: Cuales deben ser las dimensiones de un envase para leche de forma rectangular, volumen de 512 3 cm y costo mínimo, si el material de los lados de la caja cuestan 10 pesos el centímetro cuadrado y el material de la tapa y el fondo cuestan 20 pesos el centímetro cuadrado. Solución: Suponga que las dimensiones de la caja son x cms de ancho, y cms de largo y z cms de alto, entonces su volumen es: 512 . 512 = xyz =) z = xy Por otro lado, el costo total esta dado por c(x; y; z) = 20xz + 20yz + 40xy: De donde obtenemos que c(x; y) =
10240 10240 + + 40xy x y
Calculando las derivadas parciales, formamos el siguiente sistema 8 @c 10240 =0 < @x = 40y x2 :
@c @y
= 40x
10240 y2
=0
p Y resolviendo obtenemos que x = y = 4 3 4. Para comprobar que se trata de un mínimo aplicamos el criterio de la segunda derivada 20480 204802 cxx = y H(x; y) = 402 x3 x3 y 3 6
p p y al evaluar en el punto (4 3 4; 4 3 4), tenemos que p p 3 3 H(4 4; 4 4) =
204802 p p 402 = 6400 1600 = 4800 > 0: 3 3 3 3 (4 4) (4 4) p p Con lo cual las dimensiones de la caja con costo mínimo son x = y = 4 3 4 y z = 8 3 4. cxx =
20480 p = 80 > 0 (4 3 4)3
y
EXTREMOS CON RESTRICCIONES: MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Es más fácil explicar el fundamento geométrico del método de Lagrange para funciones de dos variables. Para empezar, se calculan los valores extremos de f (x; y) sujeta a una restricción de la forma g(x; y) = k. En otras palabras, buscamos los valores extremos de f (x; y) cuando el punto (x; y) está restringido a quedar en la curva de nivel g(x; y) = k. En la …gura 9 se muestra esta curva junto con varias curvas de nivel de f . Sus ecuaciones son f (x; y) = c, donde c = 7; 8; 9; 10; 11. Maximizar f (x; y) sujeta a g(x; y) = k es encontrar el valor más grande de c tal que la curva de nivel f (x; y) = c se interseque con g(x; y) = k. Al parecer esto sucede cuando las curvas se tocan apenas según la …gura 1, es decir, cuando tienen una recta tangente común. (De lo contrario, el valor de c podría incrementarse más.) Esto signi…ca que las rectas normales en el punto (x0 ; y0 ) donde se tocan son idénticas. De modo que los vectores gradiente son paralelos; es decir, rf (x0 ; y0 ) = rg(x0 ; y0 ) para algún escalar .
Esta clase de razonamiento también se aplica al problema de encontrar los valores extremos de f (x; y; z) sujeta a la restricción g(x; y; z) = k. Por consiguiente, el punto (x; y; z) está restringido a estar ubicado en la super…cie de nivel S con ecuación g(x; y; z) = k. En lugar de las curvas de nivel de la …gura 1, consideramos las super…cies de nivel f (x; y; z) = c y argumentamos que si el valor máximo de f es f (x0 ; y0 ; z0 ) = c, entonces la super…cie de nivel f (x; y; z) = c es tangente a la super…cie de nivel g(x; y; z) = k, y de este modo los vectores gradiente correspondientes son paralelos. rf (x0 ; y0 ; z0 ) = rg(x0 ; y0 ; z0 )
(1)
El número de la ecuación 1 se llama multiplicador de Lagrange. El procedimiento que se basa en la ecuación 1 es como sigue. Método de los multiplicadores de Lagrange: Para determinar los valores máximos y mínimos de f (x; y; z) sujeta a la restricción g(x; y; z) = k [suponiendo que estos valores existan y que rg 6= 0 se encuentre en la super…cie g(x; y; z) = k]: a) Determine todos los valores de x, y, z y tales que rf (x; y; z) = rg(x; y; z) y g(x; y; z) = k: b) Evalúe f en todos los puntos (x; y; z) que resulten del paso a). El más grande de estos valores es el valor máximo de f , el más pequeño es el valor mínimo de f . Nota: Si escribimos la ecuación vectorial rf = rg en términos de sus componentes, entonces las ecuaciones en el paso a) se transforman en fx = gx ,
fy = gy ,
fz = gz , 7
g(x; y; z) = k:
Éste es un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas x, y, z y , pero no es necesario determinar los valores explícitos de . Ejemplo 11: Una caja rectangular sin tapa se hace con 12 m2 de cartón. Calcule el volumen máximo de esta caja. Solución: Sean x, y y z el largo, el ancho y la altura, respectivamente, de la caja medidos en metros. Buscamos maximizar V = xyz sujeta a la restricción g(x; y; z) = 2xz + 2yz + xy = 12 Utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange, buscamos valores de x, y, z y g(x; y; z) = 12. De aquí obtenemos las ecuaciones Vx = gx , las cuales se transforman en
8 > > > > > > > > < > > > > > > > > :
Vy = gy ,
Vz = gz ,
tales que rf = rg y
g(x; y; z) = 12:
yz = (2z + y)
(1)
xz = (2z + x)
(2)
xy = (2x + 2y)
(3)
2xz + 2yz + xy = 12
(4)
No hay reglas generales para resolver sistemas de ecuaciones. Algunas veces se re quiere ingenio. En el presente ejemplo, se ve que si multiplicamos (1) por x, (2) por y, y (3) por z, entonces los primeros miembros de estas ecuaciones son idénticos. Al hacerlo tenemos 8 xyz = (2xz + xy) (5) > > > > < xyz = (2yz + xy) (6) > > > > : xyz = (2xz + 2yz) (7)
Observe que 6= 0 porque = 0 implicaría que yz = xz = xy = 0 de acuerdo con (1), (2) y (3) y esto contradice (4). Por lo tanto, de (5) y (6), tenemos 2xz + xy = 2yz + xy, lo cual da xz = yz: Pero z 6= 0 (ya que z = 0 daría V = 0), de modo que x = y. De acuerdo con (6) y (7) tenemos 2yz + xy = 2xz + 2yz, lo cual da xy = 2xz, y de este modo (como x 6= 0) y = 2z. Si hacemos x = y = 2z en (4), obtenemos 4z 2 + 4z 2 + 4z 2 = 12 Puesto que x, y y z son positivas, se tiene que z = 1 y por lo tanto x = 2 y y = 2. Esto concuerda con la respuesta del ejemplo 8. Ejemplo 12: Determine los valores extremos de la función f (x; y) = x2 +2y 2 sobre la circunferencia x2 +y 2 = 1. Solución: Se pide calcular los valores extremos de f sujetos a la restricción g(x; y) = x2 + y 2 = 1. Mediante los multiplicadores de Lagrange, resolvemos las ecuaciones rf = rg y g(x; y) = 1, lo que se puede escribir como 8 2x = 2x (1) > > > > < 4y = 2y (2) > > > > : 2 x + y2 = 1 (3) 8
De acuerdo con (1) tenemos x = 0, o bien, = 1. Si x = 0, entonces (3) da y = 1. Si = 1, entonces y = 0 de acuerdo con (2), de modo que (3) da x = 1. Por lo tanto, f tiene posibles valores extremos en los puntos (0; 1), (0; 1), (1; 0) y ( 1; 0). Al evaluar f en estos cuatro puntos encontramos que f (0; 1) = 2, f (0; 1) = 2,
f (1; 0) = 1, f ( 1; 0) = 1:
Por lo tanto, el valor máximo de f en la circunferencia x2 +y 2 = 1 es f (0; 1) = 2 y el valor mínimo es f ( 1; 0) = 1. Al veri…car en la …gura 10, estos valores parecen razonables.
Ejemplo 13: Determine los puntos sobre la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 que están más cercanos y más lejanos al punto (3; 1; 1). Solución: La distancia desde un punto (x; y; z) al punto (3; 1; 1) es p d = (x 3)2 + (y 1)2 + (z + 1)2
pero los pasos algebraicos son más sencillos si maximizamos y minimizamos el cuadrado de la distancia: d2 = f (x; y; z) = (x
3)2 + (y
1)2 + (z + 1)2
La restricción es que el punto (x; y; z) está sobre la esfera, es decir, g(x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 = 4 De acuerdo con el método de los multiplicadores de Lagrange, resolvemos rf = rg y g(x; y; z) = 4. Esto da 8 2(x 3) = 2x (1) > > > > > > > > (2) < 2(y 1) = 2y > > 2(z + 1) = 2z > > > > > > : 2 x + y2 + z2 = 4
De (1), (2) y (3) se tiene x=
[Observe que 1
6= 0 porque
3
, y=
(1 )2 =
11 , 4
(4)
, z=
1
: 1 1 1 = 1 es imposible según (1).] Por lo tanto, a partir de (4), tenemos 32
lo cual da (1
1
(3)
)2
+
12 (1
)2
de modo que
+
p
=1 9
( 1)2 =4 (1 )2
11 : 2
Estos valores de
proporcionan los puntos correspondientes (x; y; z): 6 2 p ;p ; 11 11
2 p 11
y
6 p ; 11
2 2 p ;p 11 11
Es fácil ver que f tiene un valor más pequeño en el primero de estos puntos, de modo que el punto más cercano es p6 ; p2 ; p2 p6 ; p2 ; p2 y el más lejano es . 11 11 11 11 11 11 DOS RESTRICCIONES Suponga que ahora deseamos calcular los valores máximo y mínimo de una función f (x; y; z) sujeta a dos restricciones (condiciones secundarias) de la forma g(x; y; z) = k y h(x; y; z) = c. Desde el punto de vista geométrico, esto signi…ca que estamos buscando los valores extremos de f cuando (x; y; z) está restringida a quedar sobre la curva de intersección C de las super…cies de nivel g(x; y; z) = k y h(x; y; z) = c (véase …gura 11).
Supongamos que f tiene ese valor extremo en un punto P (x0 ; y0 ; z0 ). Sabemos, que rf es ortogonal a C en P . Pero también sabemos que rg es ortogonal a g(x; y; z) = k y rh es ortogonal a h(x; y; z) = c, de modo que rg y rh son ambos ortogonales a C. Esto signi…ca que el vector gradiente rf (x; y; z) está en el plano determinado por rg(x0 ; y0 ; z0 ) y rh(x0 ; y0 ; z0 ). (Suponemos que estos vectores gradiente no son cero y no son paralelos.) Entonces, existen números y (llamados multiplicadores de Lagrange), tales que rf (x0 ; y0 ; z0 ) = rg(x0 ; y0 ; z0 ) + rh(x0 ; y0 ; z0 )
( )
En este caso, el método de Lagrange es para determinar valores extremos resolviendo cinco ecuaciones con cinco incógnitas x, y, z, y . Estas ecuaciones se obtienen escribiendo la ecuación ( ) en términos de sus componentes y usando las ecuaciones de restricción: 8 fx = gx + hx (1) > > > > > > > > fy = gy + hy (2) > > > > < fz = gz + hz (3) > > > > > > g(x; y; z) = k (4) > > > > > > : h(x; y; z) = c: (5)
Ejemplo 14: Determine el valor máximo de la función f (x; y; z) = x + 2y + 3z sobre la curva de intersección del plano x y + z = 1 y el cilindro x2 + y 2 = 1. Solución: Maximizamos la función f (x; y; z) = x + 2y + 3z sujeta a las restricciones g(x; y; z) = x y + z = 1
10
y h(x; y; z) = x2 + y 2 = 1. La condición de Lagrange es rf = rg + rh 8 1 = + 2x (1) > > > > > > > > 2= + 2y (2) > > > > < 3= (3) > > > > > > x y+z =1 (4) > > > > > > : 2 x + y 2 = 1: (5)
Haciendo = 3 [de (3)] en (1), obtenemos 2x = sustituir en (5) tenemos
2, de modo que x =
1 2 p
29 . Luego x = y entonces = 2 correspondientes de f son
p2 , 29
p5 , 29
y=
2 p +2 29
5 p 29
+
1
. De manera similar, (2) da y =
5 2
. Al
25 =1 4 2
y, de acuerdo con (4), z = 1
7 p 29 p Por lo tanto, el valor máximo de f sobre la curva dada es 3 + 29. +3 1
=3
p
x+y = 1
p7 . 29
Los valores
29
EJERCICIOS PROPUESTO SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 1) Encuentre y clasi…que los puntos criticos, si existen en cada caso. a) f (x; y) = x2 + 5y 2 c) f (x; y) = x3
b) f (x; y) = x3 + y 3
6x + 10y + 15
3xy 2 + y 3
d) f (x; y) = x3 + y 3 f ) f (x; y) = 83 x3 + 4y 3
e) f (x; y) = x2 + y 2 g) f (x; y) = x3 + 3xy 2 i) f (x; y) = (x k) f (x; y) =
y3
y)2 + y 2 + (6
h) f (x; y) = x4 + y 4 2y)2
x
l) f (x; y) = xye
o) f (x; y) = y 3 + 3x2 y
6x2
0 0
6y 2 + 2
x y
x4
y4
4xy + 1
j) f (x; y) = sin x + sin y + sin(x + y)
12xy x2 y 2 2(x+y)
m) f (x; y) = sin x sin y sin(x + y),
3xy
:
x2 y 2
n) f (x; y) = ex cos y p) f (x; y) = xy
2x
2y
x2
y2
2) Determine los puntos sobre la super…cie y 2 = 9 + xz que están más cercanos al origen. 3) Determinar los puntos sobre la super…cie xyz = 1 más cercanos al origen. 4) Determine el costo mínimo de una caja rectangular con volumen de 48 pies cúbico, si el costo del frente y la parte posterior es $ 1 el pie cuadrado, la tapa y el fondo cuestan $ 2 el pie cuadrado y los dos extremos cuestan $ 3 el pie cuadrado. (Rta: $ 144 y la caja óptima tiene 6 pies de ancho, 2 pies de largo y 4 pies de alto.) 11
5) Un cable de 120 cm de largo se corta en tres o menos piezas y cada pieza se dobla para formar un cuadrado. ¿Cómo debe hacerse esto para minimizar el área total de estos cuadrados? ¿Para Maximizarla? Rta: área máxima: 900 (un cuadrado), área mínima: 300 (tres cuadrados iguales) 6) Encuentre tres números positivos cuya suma es 100 y cuyo producto es un máximo. 7) Encuentre tres números positivos cuya suma sea 12 y la suma de cuyos cuadrados es tan pequeña como sea posible. 8) Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular inscrita en una esfera de radio r. 9) Calcule el volumen de la caja rectangular más grande en el primer octante con tres caras en los planos coordenados y un vértice en el plano x + 2y + 3z = 6. 10) La base de un acuario de volumen V está hecho de pizarra y los lados son de vidrio. Si la pizarra cuesta cinco veces más por unidad de área que el vidrio, determine las dimensiones del acuario que minimizan el costo de los materiales. 11) Una caja de cartón sin tapa debe tener 32000 cm3 . Calcule las dimensiones que minimicen la cantidad de cartón utilizado. 12) Está en proceso de diseño un edi…cio rectangular para que minimice las pérdidas de calor. Los muros oriente y poniente pierden calor a razón de 10 unidades/m2 por día, los muros del norte y del sur pierden 8 unidades/m2 por día, el piso pierde 1 unidad/m2 por día, y el techo pierde 5 unidades/m2 por día. Cada muro debe medir por lo menos 30 m de largo, la altura debe ser por lo menos de 4 m y el volumen debe ser exactamente 4000 m3 . a) Determine y gra…que el dominio de la pérdida de calor como una función del largo de los lados. b) Encuentre las dimensiones que minimizan la pérdida de calor. Compruebe tanto los puntos críticos como los puntos en el límite del dominio. c) ¿Podría diseñar un edi…cio con menos pérdida de calor si las restricciones de las longitudes de los muros se eliminaran? 13) Tres alelos (otras versiones de un gen), A, B y O determinan los cuatro tipos de sangre, a saber, A(AA o AO), B(BB o BO), O(OO) y AB. La ley de Hardy-Weinberg establece que la proporción de individuos de una población que llevan dos alelos diferentes es P = 2pq + 2pr + 2rq donde p, q y r son las proporciones de A, B y O en la población. Use el hecho de que p + q + r = 1 para demostrar que P es cuando mucho 32 . 14) Encuentre el volumen de la máxima caja, de base rectángular, que tenga tres caras en los planos x = 0, y = 0, z = 0, en el primer octante, y un vértice en el plano x + 2y + 3z = 6 (haga un dibujo). 15) Tres lados de una caja rectangular están sobre los planos de coordenadas, y su vértice común está en el origen; el vértice opuesto está en el plano con ecuación x y z + + =1 a b c (a; b, c son constantes positivas). En términos de a; b y c, ¿Cuál es el máximo volumen posible de dicha caja? Rta : abc 27 16) Usted desea construir un acuario rectangular con un fondo de pizarra que cuesta 28 dolares la pulgada cuadrada. Sus lados serán de vidrio, que cuestan 5 dolares de pulgada cuadradas y su tapa será de acero inoxidable, que cuesta 2 dolares de pulgada cuadrada. El volumen de este acuario debe ser de 24000 pulgadas cúbicas, ¿Cuáles son las dimensiones del acuario menos caro? ( Rta: Base: 20 20 pulg. Altura: 60 pulg.) 17) La suma de tres números positivos es 120. ¿Cuál es el valor máxima posible de su producto? (Rta: 64000) 18) Determinar las dimensiones x; y; z de una caja rectangular con volumen …jo V = 1000 y área mínima total A: (Rta: 10 10 10) 19) Hallar los valores extremos de z = xy con la condición x + y = 1. (Rta: el valor máximo es 14 ; no tiene mínimo) 20) Hallar la distancia máxima y mínima desde el origen a la curva 5x2 + 6xy + 5y 2 = 8: (Rta: el valor máximo es 2; el mínimo es 1)
12
p
21) Hallar los valores extremos de z = cos2 x + cos2py con la condición x y = 4 .(Rta: el máximo es 1 + 22 en 2 los puntos (n + 8 , n ), n 2 Z; el mínimo es 1 en los puntos (n + 58 , n + 38 ), n 2 Z) 8 2 22) Hallar los valores extremos del campo escalar f (x; y; z) = x 2y + 2z en la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1.(Rta: el valor máximo es 3 en ( 31 ; 32 ; 23 ); el mínimo es 3 en ( 13 ; 23 ; 23 )) 23) Hallar los puntos de la super…cie z 2 xy = 1 más próximos al origen. (Rta: (0; 0; 1); (0; 0; 1)) 24) Hallar la distancia mínima desde el punto (1; 0) a la parábola y 2 = 4x. (Rta: 1) 25) Hallar los puntos de la curva de intersección de las dos super…cies x2
xy + y 2
z 2 = 1 y x2 + y 2 = 1
que están más próximos al origen.(Rta: (1; 0; 0); (0; 1; 0); ( 1; 0; 0); (0; 1; 0)) 26) Si a; b y c son números positivos, hallar el valor máximo de f (x; y; z) = xa y b z c con la condición x + y + z = 1.
Rta:
aa bb cc (a+b+c)a+b+c
en
a , b , c , a+b+c a+b+c a+b+c 2
27) Hallar el máximo de ln x + ln y + 3 ln z en la porción de la esfera x + y 2 + z 2 = 5r2 en la que x > 0, y > 0, z > 0. Aplicar el resultado para demostrar que para números reales positivos a, b, c tenemos abc3
27
a+b+c 5
5
:
p Rta: 5 ln r + 3 ln 3 28) Hallar el volumen mínimo limitado por los planos x = 0, y = 0, z = 0, y un plano que sea tangente al elipsoide x2 y 2 z 2 + 2 + 2 =1 a2 b c p
en un punto del octante x > 0, y > 0, z > 0. Rta: abc 23 29) Aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias máxima y mínima de un p punto de la elipse x2 + 4y 2 = 4 a la recta x + y = 4. Rta: 4 p2 5 30) Encuentre los puntos más cercano al origen sobre la recta de intersección de los planos y + 2z = 12 y x + y = 6. 31) Encuentre los valores extremos de la función f (x; y; z) = xy + z 2 sobre el círculo en que el plano y x = 0 interseca la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4. 32) Encuentre el punto más cercano al origen sobre la curva de intersección del plano 2y + 4z = 5 y el cono 2 z = 4x2 + 4y 2 .
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