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2ème Année Alain HUARD Email : alain.hua alain.huard@ins rd@insa-tou a-toulouse.f louse.fr r
Calcul diff érentiel érentiel et intégral
F.Bernis, J. L. Dunau, E. Fouassier, J. Monnier, V. Roussier-Michon, D. Sanchez, S. Scott...
2016-2017
Table des matières I
Calcul diff érentiel
2
1 Fonct onctio ions ns de Rn à valeurs dans R p 1 Rapp Rappel elss sur sur l’es l’espa pace ce Rm . . . . . . . . . . . . . . . 2 Fonctions de Rn dans R p . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.1 Fonc onction tionss com compos posante antes, s, fonc onction tionss parti artieelle lles 2.2 Exemples, notations . . . . . . . . . . . . . 3 Limite, continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Continuité des applications linéaires . . . . . . . .
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3 3 4 4 5 5 6
2 Diff érentielle 1 Définition, premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Diff érentielle érentielle de f de f en en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 1.3 Inte Interp rpré réta tati tion on de Df ( Df (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Diff érentielle érentielle de f de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.1 Lien Lien dériv érivéée/ diff érentielle érentielle des fonctions de R dans R p . . . . . . . . 2.2 2.2 Exem Exempl ples es des des appl applic icat atio ions ns cons consta tan ntes, tes, linéa linéair ires es,, multi ultilin linéa éair ires es . . . . 2.3 Exem xemple du carré rré de la norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . 3 Diff érentie tielle de fonctions compos posées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 7 8 8 9 9 9 9 10 10 10 11
3 Dérivées partielles 1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Liens diff érentielle/dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Matrice jacobienne, gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Matrice jacobienne et jacobien . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Gradient de f : Rn R (cas p = 1) . . . . . . . . . . . . 4 Rééc Réécri ritu ture re du théo théorè rème me de diff éren é renti tiat atio ion n des des fonc foncti tion onss com compos posée éess 5 Dérivées partielles d’ordres supér périeurs . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Théorème de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 13 13 15 15 16 17 17 18 19
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1
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Table des matières I
Calcul diff érentiel
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1 Fonct onctio ions ns de Rn à valeurs dans R p 1 Rapp Rappel elss sur sur l’es l’espa pace ce Rm . . . . . . . . . . . . . . . 2 Fonctions de Rn dans R p . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.1 Fonc onction tionss com compos posante antes, s, fonc onction tionss parti artieelle lles 2.2 Exemples, notations . . . . . . . . . . . . . 3 Limite, continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Continuité des applications linéaires . . . . . . . .
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2 Diff érentielle 1 Définition, premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Diff érentielle érentielle de f de f en en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 1.3 Inte Interp rpré réta tati tion on de Df ( Df (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Diff érentielle érentielle de f de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.1 Lien Lien dériv érivéée/ diff érentielle érentielle des fonctions de R dans R p . . . . . . . . 2.2 2.2 Exem Exempl ples es des des appl applic icat atio ions ns cons consta tan ntes, tes, linéa linéair ires es,, multi ultilin linéa éair ires es . . . . 2.3 Exem xemple du carré rré de la norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . 3 Diff érentie tielle de fonctions compos posées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Dérivées partielles 1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Liens diff érentielle/dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Matrice jacobienne, gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Matrice jacobienne et jacobien . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Gradient de f : Rn R (cas p = 1) . . . . . . . . . . . . 4 Rééc Réécri ritu ture re du théo théorè rème me de diff éren é renti tiat atio ion n des des fonc foncti tion onss com compos posée éess 5 Dérivées partielles d’ordres supér périeurs . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Théorème de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Extrem Extrema a d’une d’une fonct fonction ion de de Rn dans R 20 1 Condition nécessaire d’extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Condition suffisante d’extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5 Théo Théorè rème me d’in d’inv versi ersion on loca locale le,, théo théorè rème me des des fonc foncti tion onss impl implic icit ites es 1 Diff éomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Théorème d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Changements de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
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Calcul intégral
23 23 23 24 25
27
6 Intégrale dép endant d’un paramètre 1 Intégrale définie dépen pendant d’un paramètre . . . . . 1.1 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Bornes fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Bornes dépendant du paramètre . . . . . . . 2 Inté Intégr gral alee imp improp ropre dépe dépend ndan antt d’un ’un para param mètre ètre . . . . 3 Un exemple : la fonction Gamma d’Euler . . . . . . . 3.1 3.1 Défi Définitio ition n sur R+∗ , premières propriétés . . . 3.2 3.2 Prol Prolon onge geme men nt de Γ à R− \ Z . . . . . . . . . . 3.3 Etude de Gamma et courbe représentative . . 4 Un autre exem xemple : la transformée de Laplace . . . . 4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Intégrale multiple 1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . 1.1 Intégrale sur un compact élémentaire . . 1.2 Premières propriétés . . . . . . . . . . . 2 Théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Théorème de la moyenne . . . . . . . . . 2.2 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . 2.3 Théorème de changement de variables . 3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.1 Chan Change geme men nt de variab ariable less affine . . . . . 3.2 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . 3.3 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . 3.4 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . 3.5 3.5 Mesu Mesure re des des boule bouless en dime dimens nsio ion nn . . .
2
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28 28 28 28 31 31 34 34 35 35 37 37 38 39
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40 40 40 41 41 41 42 42 43 43 43 44 44 44
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Première partie
Calcul diff érentiel érentiel
3
Chapitre 1
Fonctions de Rn à valeurs dans R p 1
Rappels sur l’espace
Rm
Soit m N∗ . On note Rm l’espace euclidien canonique de dimension m. Il est muni de la base canonique B m = (e jm )1≤ j≤m . Dans cette base, on écrira x Rm comme :
∈
∈
m
x = (x1 , . . . , x j , . . . , xm ), ou x =
X
x j e jm .
j=1
Définition 1.1 (Norme). Soit E un espace vectoriel sur R. On appelle norme sur E toute application N : E R+ telle que i) N (x) = 0 x = 0, ii) pour tout x E , tout λ R, N (λx) = | λ|N (x), iii) pour tout (x, y) E 2 , N (x + y) N (x) + N (y) (inégalité triangulaire).
→ ⇐⇒ ∈
∈
∈
≤
L’espace Rm est un espace vectoriel normé. Il existe de nombreuses normes sur Rm , rappelle les définitions des normes usuelles 1, 2 et ∞ : pour x
k k k k k k
m
kxk1 =
X
j=1
v utX
m R .
On
∈
m
|x j |,
kxk2 =
x j2 ,
j=1
max |x j |. kxk∞ = j=1,...,m
La norme 2 a un statut particulier car c’est la norme euclidienne associée au produit scalaire usuel de Rm : pour x Rm et y Rm ,
∈
∈
m
< x, y >=
X
x j y j et x 22 =< x, x > .
k k
j=1
On rappelle que la base canonique B m est orthonormée pour ce produit scalaire, i.e. m m m < em i , e j >= 1 si i = j, < ei , e j >= 0 sinon. Le résultat suivant permet de travailler avec une norme quelconque sur Rn et R p , quand il s’agit d’étudier les propriétés locales des fonctions de Rn dans R p du type : existence de limite, continuité, diff érentiabilité. . . Elles ne dépendent pas de la norme considérée.
4
Théorème 1.2. Dans Rm , toutes les normes sont équivalentes, i.e. si N 1 et N 2 sont deux m normes sur Rm , alors il existe deux constantes c , C > 0 telles que pour tout x R , cN 1 (x) N 2 (x) CN 1 (x).
≤
∈
≤
m et, s’il n’y a pas de risques de On notera Rm l’une quelconque des normes de R confusion, on allègera cette notation en (dans R, = | |).
k k
k k
k k Définition 1.3 (Boules). On notera B(x, r) = {y ∈ Rm /kx − yk < r} la boule ouverte de centre x ∈ Rm de rayon r > 0 et B(x, r) = { y ∈ Rm /kx − yk ≤ r } la boule fermée de centre x ∈ Rm de rayon r > 0. Exercice 1.4. Dessiner la boule unité B(0, 1) de R2 pour les trois normes définies cidessus. Définition 1.5 (Ouvert). Le sous-ensemble Ω de Rm est appelé ouvert de Rm si a) Ω = , ou b) Ω = et a Ω, r > 0, B(a, r) Ω.
∅ 6 ∅ ∀ ∈ ∃
2
Fonctions de
⊂
Rn
Soient n et p deux entiers
2.1
dans
R p
≥ 1. Soit f une fonction définie de Rn à valeurs dans R p.
Fonctions composantes, fonctions partielles
On utilisera souvent la notation f (x) = f (x1 , . . . , x j , . . . , xn ). Si n = 2, on écrira souvent f (x, y) au lieu de f (x1 , x2 ), et si n = 3, f (x,y,z) au lieu de f (x1 , x2 , x3 ). Définition 1.6. Soit f : Rn
→ R p. On note
f (x) = f (x1 , . . . , xn ) = f 1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fi (x1 , . . . , xn ), . . . , f p (x1 , . . . , xn ) . Les fonctions f i sont appelées les fonctions composantes de f . Ce sont des fonctions à valeurs réelles. Si p = 1, on dira que f est une fonction scalaire. Au contraire, si p > 1 on parlera de fonction vectorielle. Définition 1.7. Soit f : p définit fa ,j : R R par
e
→
n R
→ R p. Soit a = (a1, . . . , an) ∈ Rn et j ∈ {1, . . . , n}. On
e
fa ,j (t) = f (a1 , . . . , a j−1 , t , a j+1 , . . . , an ).
e
La fonction f a,j s’appelle la j ème application partielle de f au point a. Les applications partielles de f sont des fonctions d’une seule variable réelle, à valeurs dans R p . Exercice 1.8. Déterminer l’ensemble de définition, les applications composantes et les 2 2x+y 2 applications partielles au point a de la fonction f : R2 ,x y , R , f (x, y) = e a = (x0 , y0 ).
→
5
2.2
Exemples, notations 1. On note L(Rn , R p ) l’ensemble des applications linéaires de Rn dans R p . C’est un espace vectoriel sur R. 3 Exemple : f : R3 y + z, y z). R , f (x,y,z) = (2x + 3y + 5z, x
→
−
−
n et une norme p Si on fixe une norme Rn sur R Rp sur R , on peut définir une norme sur L(Rn , R p ) relative à ces deux normes par la norme triple d’application linéaire : f (x) Rp . |f | = f L(Rn ,Rp ) = sup x Rn x∈Rn ,x6 =0
k k
k k
k
k k kk
kk
k
2. On appelle forme linéaire sur Rn toute application linéaire de Rn dans vectoriel L (Rn , R) s’appelle l’espace dual de Rn . On le note (Rn )∗ . 3. On dit que f est une application a ffi ne de
Rn
dans
R p
R.
L’espace
si :
∃a ∈ R p et ϕ ∈ L(Rn, R p) tels que ∀x ∈ Rn, f (x) = a + ϕ(x). Exemple : f (x,y,z) = (2 − x + 3y + z, 1 + x − z). 4. ϕ : Rn × Rn → R p est une application bilinéaire si pour tout x ∈ Rn , y 7→ ϕ(x, y) est linéaire et pour tout y ∈ Rn , x 7→ ϕ(x, y) est linéaire. On dit que ϕ est une 1
2
1
2
forme bilinéaire si p = 1.
5. Une forme quadratique sur Rn est une application q : Rn une forme bilinéaire symétrique telle que q (x) = ϕ (x, x). n
q (x) = q (x1 , . . . , x j , . . . , xn ) =
X
j=1
Exemple : q :
3
3 R
a jj x j2 + 2
→ R telle qu’il existe ϕ
X
aij xi x j ,
1≤i 0, ∃η > 0 | ∀x ∈ Ω, kx − ak < η =⇒ kf (x) − bk < ε Définition 1.10. On dit que f est continue au point a si et seulement si lim f (x) = f (a), x→a c’est-à-dire si et seulement si
∀ε > 0, ∃η > 0 | ∀x ∈ Ω, kx − ak < η =⇒ kf (x) − f (a)k < ε 6
Définition 1.11. On dit que f est continue sur Ω si et seulement si f est continue en tout point de Ω.
∈
Théorème 1.12. Soit a Ω. Si f est continue en a alors pour tout j fonction partielle f a,j est continue au point a j .
e
∈ {1, . . . , n}, la
Démonstration : faite en cours.
Attention ! La réciproque est fausse ! xy Exercice 1.13. Soit f : R2 R, définie par f (x, y) = x2 +y 2 pour (x, y) = (0, 0) et f (0, 0) = 0. Montrer que les deux applications partielles de f sont continues en 0, mais que f n’est pas continue en (0, 0).
→
4
6
Continuité des applications linéaires
Le cas particulier des applications linéaires est très important pour ce cours sur la différentielle. Nous rappelons donc ici ce qui a été vu au premier semestre de 2MIC sur la continuité des applications linéaires dans un espace vectoriel normé. Théorème 1.14. Soit f : Rn équivalentes :
→ R p une application linéaire. Les assertions suivantes sont
1. f est continue sur Rn .
≥ 0 tel que pour tout x ∈ Rn, kf (x)k ≤ M kxk
2. Il existe M
Rp
Rn
.
Démonstration : Voir cours du premier semestre. Comme
Rn
est un espace vectoriel de dimension finie, on a le théorème suivant
Théorème 1.15. Toute application linéaire de Rn dans R p est continue. Démonstration : Voir cours du premier semestre.
Théorème 1.16. Soit f : Rn
→ R p une application linéaire. Les réels suivants sont égaux : kf (x)k = sup kf (x)k = sup kf (x)k sup x∈ ,x6 =0 kxk kxk =1 kxk ≤1 Rp
Rp
Rn
Rn
Rn
Rp
Rn
Notant |f | leur valeur commune, on a 1. pour tout x Rn , f (x) |f | x ,
k k
∈
k
k≤k kk k
2. | · | est une norme sur L(Rn , R p ).
k k
Démonstration : Voir cours du premier semestre.
Attention : la valeur de la norme |f | dépend des normes choisies sur
k k
7
Rn
et
R p .
Chapitre 2
Diff érentielle Dans ce chapitre, Ω désigne un ouvert non vide de Rn et f une fonction définie sur valeurs dans R p , avec n et p deux entiers naturels non nuls.
1 1.1
Ω,
à
Définition, premières propriétés Diff érentielle de f en un point
p Lorsque la variable x est scalaire, i.e. f : R R , on dit que f est dérivable en x si la limite du taux d’accroissement en x existe, ou encore si f peut s’écrire pour h su ffisament petit f (x + h) = f (x) + lh + hε(h) où lim ε(h) = 0 et l R p .
→
On remarque que l’application définie donc donner la définition suivante.
h→0 de R dans R p
∈
par h
7→ lh est linéaire. On pourrait
Définition 2.1. f : Ω R R p est dérivable en x s’il existe λ : R R p linéaire, η > 0 et ε :] η , η[ R p telles que pour tout h ] η , η[, f (x + h) = f (x) + λ(h) + hε(h), avec 0. ε(h)
− → h→0
→
⊂ →
→
∈−
Cette dernière définition peut se généraliser au cas d’une fonction de
∈
Rn
dans
R p .
Définition 2.2. Soit x Ω. On dit que f est di ff érentiable en x s’il existe λ : p linéaire, η > 0 et ε : B Rn (0, η ) BRn (0, η ), R telles que pour tout h
→
∈
kk
f (x + h) = f (x) + λ(h) + h ε(h), avec ε(h)
n R
→ R p
→ 0. h→0
On appelle λ la di ff érentielle de f en x. On la note Df (x). Remarque 2.3. Les autres notations possibles pour Df (x) sont Df x , df (x) ou df x . Exercice 2.4. Soit f la fonction définie de R2 dans R2 par f (x, y) = (x2 + xy, y 2 + 2x). Calculer la di ff érentielle Df (x, y) de f en tout point (x, y) de R2 . On pourra donner sa matrice dans la base canonique de R2 . Faites attention : à x fixé, Df (x) est une application linéaire de Avec la notation Df (x), on écrit donc :
8
Rn
dans
R p .
f est diff érentiable en x si et seulement si pour h petit, on a
kk
f (x+h) = f (x)+Df (x)(h)+ h ε(h), avec ε(h)
1.2
→ 0.
h→0
Premières propriétés
Proposition 2.5. 1) (Unicité) Si f est di ff érentiable en x, la di ff érentielle de f en x est unique et est définie par : f (x + th) f (x) Df (x)(h) = lim . t→0 t
−
2) (Continuité) Si f est di ff érentiable en x alors f est continue en x. 3) (Linéarité) L’ensemble des applications di ff érentiables est un espace vectoriel, c’es-à-dire p que si f , g : Ω Rn ff érentiables en x Ω, alors pour tous λ, µ R, λ f + µg R sont di est di ff érentiable en x et
⊂
→
∈
∈
D(λf + µg)(x) = λ Df (x) + µDg(x). Démonstration : 1) et 2) faites en cours. 3) Les applications f et g étant diff érentiables en x, il existe η > 0, ε 1 : B Rn (0, η) R p telles que pour tout h < η , ε2 : B Rn (0, η)
→
k k
→ R p et
kk → 0 h→0 g(x) + Dg(x)(h) + khkε2 (h), avec ε2 (h) → 0 h→0
f (x + h) = f (x) + Df (x)(h) + h ε1 (h), avec ε1 (h) g(x + h) = Alors, pour tout λ, µ
∈ R, on a pour khk < η ,
k k
(λf + µg)(x + h) = (λf + µg)(x) + λDf (x)(h) + µDg(x)(h) + h avec λε1 (h) + µε2 (h)
→ 0. h→0
λε1 (h) + µε2 (h) ,
Cela signifie que λ f +µg est diff érentiable en x avec D(λf +µg)(x) = λ Df (x)+µDg(x).
1.3
Interprétation de Df (x)
kk
Le développement f (a + h) = f (a) + Df (a)(h) + h ε(h) où lim ε(h) = 0, qui se réécrit
−
k − k
h→0
f (x) = f (a) + Df (a)(x a) + x a ε(h), s’interprète en disant qu’au voisinage de a, f est approchée par l’application affine f (a) + Df (a)(x a) : on a linéarisé f . On retrouve le même résultat que pour une fonction d’une variable réelle dérivable au point a, pour laquelle la meilleure approximation à l’ordre 1 est donnée par la droite d’équation y(x) = f (a) + f 0 (a)(x a).
−
−
9
1.4
Diff érentielle de f
p Définition 2.6. Si f : Ω ff érentiable en tout point de Ω, alors on peut définir R est di l’application diff érentielle de f par
→
Df :
Ω
x
→ 7→
L(Rn , R p ) Df (x)
On note D (Ω, R p ) l’ensemble des applications di ff érentiables sur riel réel et f Df est linéaire (cf Proposition 2.5.3)).
7→
Ω.
C’est un espace vecto-
p 1 Définition 2.7. Soit f : Ω ff érentiable R . On dit que f est de classe C sur Ω si f est di n p en tout point de Ω et si Df : Ω L(R , R ) est continue, i.e. si
→
∀x ∈ Ω, ∀ε > 0, 2 2.1
→ ∃η > 0, ∀y ∈ Ω, kx − yk < η =⇒ k|Df (x) − Df (y)k| < ε.
Exemples Lien dérivée/ diff érentielle des fonctions de
Proposition 2.8. Si Ω est un ouvert de R, f : dérivable en x, et l’on a
→ R p est di ff érentiable en x ∈ Ω si et seulement si f est
Ω
Df (x)(h) = hf 0 (x),
∀h ∈ R ,
R dans R p
f 0 (x) = Df (x)(1)
∈ R p .
Démonstration : faite en cours.
2.2
Exemples des applications constantes, linéaires, multilinéaires
Proposition 2.9. ff érentiable en tout point de Ω et Df (x) = 0 R p est constante, alors f et di 1) Si f : Ω n p R est l’application nulle). pour tout x Ω (i.e. Df (x) : R n p 2) Si f : R ff érentiable en tout point x Rn et Df (x) = f R est linéaire, alors f est di pour tout x Rn . p 3) Si f : Rn1 . . . Rnk ff érentiable en tout point, et R est multilinéaire, alors f est di n n pour tout (X 1 , . . . , Xk ) R 1 . . . R k , tout (H 1 , . . . , Hk ) Rn1 . . . Rnk ,
→ ∈ → ∈ × ×
→
∈
→
∈
× ×
∈
× ×
k
Df (X 1 , . . . , Xk )(H 1 , . . . , Hk ) =
X
f (X 1 , . . . , X j−1 , H j , X j+1 , . . . , Xk ).
j=1
Démonstration : 1) et 2) faites en cours. 3) Démontrons le point 3) dans le cas k = 2. On utilise sur Rn1 Rn2 la norme (X 1 , X 2 ) = max( X 1 , X 2 ). Soit (X 1 , X 2 ) Rn1 Rn2 . Alors, pour tout (H 1 , H 2 ) Rn1 Rn2 ,
k kk k
∈
×
×
∈
k
×
f (X 1 + H 1 , X 2 + H 2 ) = f (X 1 , X 2 ) + f (H 1 , X 2 ) + f (X 1 , H 2 ) + f (H 1 , H 2 ). 10
k
L’application (H 1 , H 2 ) f est bilinéaire sur Rn1
7→ f (H 1, X 2) + f (X 1, H 2) est linéaire car f est bilinéaire. Comme × Rn , elle y est continue, donc kf (H 1, H 2)k ≤ kf kkH 1kkH 2k ≤ kf k max(kH 1k, kH 2k)2. kf (H 1, H 2)k tend vers 0 quand (H 1, H 2) tend vers 0. Ainsi, le quotient k(H 1, H 2)k 2.3
2
Exemple du carré de la norme euclidienne
Proposition 2.10. Soit f : Rn R la fonction définie par le carré de la norme euclidienne sur n 2 x 2 = j=1 x j2 . Alors, f est di ff érentiable sur Rn et
kk
P→
Rn
: f (x) =
n
∀x ∈
n R ,
∀h ∈ R
n
,
Df (x)(h) = 2
X
x j h j = 2 < x,h > .
j=1
Démonstration : faite en cours.
3 3.1
Diff érentielle de fonctions composées Théorème
Ce théorème est un théorème fondamental, qui a de nombreuses applications. Théorème 2.11. Soit n, p, q trois entiers 1. Soit Ω un ouvert de Rn , Ω0 un ouvert de R p , f : Ω R p , g : Ω0 Rq . On suppose que f (Ω) Ω0 . Soit x Ω. Rq est Si f est di ff érentiable en x et si g est di ff érentiable en f (x), alors g f : Ω di ff érentiable en x, avec
→
≥
→
◦
⊂
◦
D(g f )(x) = Dg f (x) i.e. pour tout h
∈ Rn, D(g ◦ f )(x)(h) = Dg
∈
◦
→
Df (x)
f (x) Df (x)(h) .
Si f est de classe C 1 sur Ω et si g est de classe C 1 sur Ω0 , alors g f est de classe C 1 sur Ω.
◦
∈ Ω tel que les hypothèses du théorème soient vérifiées. On a
Démonstration : Soit x pour h, k assez petits,
kk
f (x + h) = f (x) + Df (x)(h) + h ε1 (h),
où ε1 (h)
g(f (x) + k) = g(f (x)) + Dg(f (x))(k) + k ε2 (k),
kk
11
→ 0 h→0
où ε2 (k)
0 → k→0
On écrit cette dernière ligne avec k = k(h) = Df (x)(h) + h ε1 (h). On a k Df (x) + ε1 (h) h , donc k 0 quand h 0.
k k ≤ k
k k
g(f (x + h)) = g(f (x) + k)
kkk
kk →
→
kkkk kk
kk
= g(f (x)) + Dg(f (x)) Df (x)(h) + h ε1 (h) + k ε2 (k)
kk
= g(f (x)) + Dg(f (x)) Df (x)(h) + h Dg(f (x)) ε1 (h) + k ε2 (k) = g(f (x)) + Dg(f (x)) Df (x)(h) + h ε3 (h)
kk kk
k 0. Or ε2 (k). Reste à montrer que ε3 (h) h→0 h
avec ε3 (h) = Dg(f (x)) ε1 (h) +
→
kε3(h)k ≤ kDg(f (x))kkε1(h)k + kkhkkk kε2(k)k ≤ kDg(f (x))kkε1(h)k + kDf (x)k + kε1(h)k kε2(k)k. Comme k → 0 quand h → 0, on a ε2 (k) → 0 donc ε3 (h) → 0. h→0 h→0
3.2
Applications
Diff érentielle de la norme euclidienne
k k 2 est di ff érentiable sur Rn \ {0}, avec pour tout x 6= 0, tout h ∈ Rn,
Théorème 2.12.
D(
> k k2)(x)(h) = < kx,h . xk2
Démonstration : faite en cours.
Auxiliaire "universelle" Théorème 2.13. Soit f : que [a, a + h] Ω. On pose
⊂
→ R p où Ω est un ouvert de Rn. Soit a ∈ Ω et h ∈ Rn tels
Ω
u : [0, 1] t
→ 7→
p R
.
f (a + th)
Si f est di ff érentiable en a, l’auxiliaire u est dérivable en 0, avec u0 (0) = Df (a)(h). Si f est di ff érentiable en tout point de Ω, alors u est dérivable sur [0, 1], avec u0 (t) = Df (a + th)(h). Démonstration : faite en cours.
12
Inégalité des accroissements finis
→ R p est de classe C 1, alors pour tout a, b ∈ kf (b) − f (a)k ≤ kb − ak sup k|Df (x)k|.
Théorème 2.14. Si f : [a, b] Ω, on a
⊂
Ω
Ω tels
que
x∈[a,b]
Démonstration : faite en cours.
∈
⊂
Corollaire 2.15. Un ensemble Ω est convexe si pour tout a, b Ω, [a, b] Ω. Si Ω p est convexe et si f : Ω ff érentiable sur Ω, de di ff érentielle nulle, alors f est R est di constante sur Ω.
→
13
Chapitre 3
Dérivées partielles Soit f une fonction définie sur l’ouvert non vide
1
Ω de Rn ,
à valeurs dans
R p .
Définitions
R p , la jème application {1, . . . , n}. Si f ˜a,j : R Ω et j Définition 3.1. Soit a partielle de f en a, est dérivable en a j , on dit que f admet une dérivée partielle d’indice j en a, ou une dérivée partielle par rapport à x j en a. On note cette dérivée
∈
∈
→
f ˜a,j (a j + t) ∂ f (a) = ∂ xj f (a) = lim t→0 t ∂ x j On remarque que
∂ f (a) ∂ x j
− f ˜a,j (a j ) .
∈ R p. En particulier, si f est scalaire, ∂ ∂ xf j (a) est un réel.
Définition 3.2. Si f admet une dérivée partielle d’indice j en tout point x ∂ f l’application , la dérivée partielle d’indice j de f sur Ω, par ∂ x j ∂ f : ∂ x j
Ω
x
−→ 7−→
∈ Ω, on définit
R p
∂ f (x). ∂ x j
Exercice 3.3. Calculer les dérivées partielles de la fonction f définie de R2 dans R2 par f (x, y) = (e2x+y , x2 y).
2
Liens diff érentielle/dérivées partielles
{1, . . . , n}, Proposition 3.4. Si f est di ff érentiable en un point a, alors pour tout j ∂ f f admet une dérivée partielle d’indice j en a, et ∂ xj (a) = Df (a)(e j ). De plus, pour tout h Rn , n ∂ f Df (a)(h) = h j (a). ∂ x j
∈
∈
X
j=1
14
Démonstration : faite en cours.
Attention ! La réciproque n’est pas vraie en général. L’existence de toutes les dérivées partielles de f en a n’entraîne pas nécessairement la di ff érentiabilité de f en a ! x3 y Exercice 3.5. Soit f définie et f (0, 0) = 0. Montrer \ { 0} par f (x, y) = 4 x + y2 que f est continue en (0, 0), que f admet des dérivées partielles en x et en y en (0, 0), mais que f n’est pas di ff érentiable en (0, 0). sur R2
Cependant, on a le résultat suivant. p Théorème 3.6. Soit Ω un ouvert non vide de Rn , a Ω et f : Ω R . Si f admet des dérivées partielles sur Ω et si celles-ci sont continues en a, alors f est di ff érentiable en a, et pour tout h Rn , n ∂ f Df (a)(h) = h j (a). ∂ x j
∈
∈
→
X
j=1
Démonstration : 1) Cas n = 2 : Soit a = (a1 , a2 ) et h = (h1 , h2 ). On utilise ici la norme du sup x = max(|x1 |, |x2 |). Le p candidat linéaire pour la di ff érentielle de f en a est λ : R2 R définie par
k k
→
λ(h) = h 1
∂ f ∂ f (a) + h2 (a). ∂ x1 ∂ x2
On écrit
−
−
−
−
f (a+h) f (a) λ(h) = f (a1 +h1 , a2 +h2 ) f (a1 , a2 ) h1
∂ f ∂ f (a) h2 (a) = ∆1 (h)+∆2 (h) ∂ x1 ∂ x2
−
où
− f (a1, a2 + h2) − h1 ∂ ∂ xf1 (a), ∂ f (a). f (a1 , a2 + h2 ) − f (a1 , a2 ) − h2 ∂ x2
∆1 (h)
= f (a1 + h1 , a2 + h2 )
∆2 (h)
=
(On "sépare" les variations selon la première et la deuxième variable) . On introduit la fonction auxiliaire, définie pour t assez petit, ϕ(t) = f (a1 + t, a2 + h2 )
− t ∂ ∂ xf 1 (a).
Alors, ∆1 (h) = ϕ (h1 ) ϕ(0). De plus, ϕ est dérivable, car f admet une dérivée partielle par rapport à x1 sur
−
ϕ0 (t) =
∂ f (a1 + t, a2 + h2 ) ∂ x1
15
− ∂ ∂ xf1 (a)
Ω,
avec
On applique l’inégalité des accroissements finis à ϕ :
k∆1(h)k = kϕ(h1)−ϕ(0)k ≤ |h1|
0
sup t∈[0,h1 ]
kϕ (t)k ≤ |h1|
Soit ε > 0. Comme la dérivée partielle
kxk ≤ η, alors
∂ f (a1 + x1 , a2 + x2 ) ∂ x1
−
sup t∈[0,h1 ]
∂ f (a1 + t, a2 + h2 ) ∂ x1
−
∂ f est continue en a, il existe η > 0 tel que si ∂ x1 ∂ f (a) ε. ∂ x1
≤
k k ≤ η. Pour t ∈ [0, h1], kϕ0(t)k ≤ ε et k∆1(h)k ≤ ε|h1|. f (a1 , a2 + t) − f (a1 , a2 ) ∂ f D’autre part, (a1 , a2 ) = lim , donc il existe η 0 > 0 tel que si Supposons h
|t| < η 0 ,
alors
∂ x2
t
t→0
∂ f t (a1 , a2 ) ∂ x2
− f (a1, a2 + t) + f (a1, a2)
Ainsi, pour h < η 0 ,
k k
< ε |t|.
k∆2(h)k ≤ ε|h2|. En conclusion, pour khk < min(η , η 0 ), on a kf (a + h) − f (a) − λ(h)k < 2εkhk, i.e. f est diff érentiable en a, avec Df (a) = λ .
2) Cas général : On décompose comme précédemment
∆(h)
= ∆1 (h) + . . . + ∆n−1 (h) + ∆n (h). Pour esti∂ f ∂ f mer ∆1 , . . . , ∆n−1 , on utilise la continuité de ,..., ; et pour ∆n , l’existence de ∂ x1 ∂ xn−1 ∂ f (a). ∂ xn R p , Ω ouvert de Rn . f est de classe C 1 sur Ω si et seulement Corollaire 3.7. Soit f : Ω si f admet des dérivées partielles sur Ω et les dérivées partielles de f sont continues sur Ω.
→
Démonstration : faite en cours.
3 3.1
Matrice jacobienne, gradient Matrice jacobienne et jacobien
ff érentiable en a, on appelle Rn R p est di Définition 3.8 (Jacobienne). Si f : Ω jacobienne de f au point a la matrice de Df (a) dans les bases canoniques de Rn et R p . On la note J f (a).
⊂
J f (a) est une matrice de taille p
× n.
J f (a) =
→
∂ f i (a) ∂ x j
16
. 1≤i≤ p,1≤ j≤n
∂ f (a) . ∂ x1
Exemples : — Si f est une fonction scalaire J f (a) est une matrice ligne. — Si f est une application linéaire alors a Rn , Df (a) = f et a Rn , J f (a) = Mat(f, B n , B p ). — Si f est une fonction a ffine, f = c + Φ où c R p et Φ L (Rn , R p ) alors a Rn , Df (a) = Φ et J f (a) = Mat(Φ, B n , B p ).
∀ ∈ ∈
∀ ∈
∈
∀ ∈
Définition 3.9 (Jacobien (n = p)). n n Si f : Ω ff érentiable au point a R R est di Ω, on appelle jacobien de f en a le déterminant de la matrice jacobienne de f au point a. Il est noté
⊂
→
∈
det J f (a) =
D(f 1 , . . . , fn ) (a). D(x1 , . . . , xn )
Le jacobien apparaît lors des changements de variables dans les intégrales multiples (voir chapitre II de ce cours). 2 Exercice 3.10. Soit f : R2 (x = ρ cos θ, y = ρ sin θ). Calculer la matrice R , (ρ, θ ) jacobienne de f et le jacobien de f en tout point de R2 .
→
3.2
Gradient de f : Rn
7→
→ R (cas p = 1) →
∈
Définition 3.11. Soit f : Ω R une fonction scalaire et a Ω. Si f admet des dérivées partielles en a, on appelle gradient de f en a le vecteur de Rn ayant pour composantes dans la base canonique B n les dérivées partielles de f au point a. On le note grad f (a), ou f (a). ∂ f (a) ∂ x1 n ∂ f .. f (a) = grad f (a) = (a)e jn = . . ∂ x j j=1 ∂ f (a) ∂ xn La notation peut se lire gradient ou nabla.
∇
X
∇
∇
On peut écrire la di ff érentielle de f en a à partir du gradient : pour tout h Df (a)(h) =<
∈ Rn,
∇f (a), h > .
Remarque 3.12. Soit f : Ω Rn ff érentiable en a telle que f (a) = 0Rn . Soit R, di 1 u = f (a). Alors pour tout vecteur v tel que v = 1, f (a)
k∇
⊂
k∇
→
k k
∇
6
−Df (a)(u) ≤ Df (a)(v) ≤ Df (a)(u). On peut donc dire que la variation de f au voisinage de a est maximale suivant le vecteur u et minimale suivant le vecteur u. Exemple : si T désigne une température, sa variation est la plus forte au point a quand on se déplace dans la direction du gradient de T en a.
−
Remarque 3.13. Le gradient est une notion très utilisée en physique. Par exemple, le champ electrostatique E dérive d’un potentiel electrostatique V :
−→
−→ E = −∇V = −grad V 17
4
Réécriture du théorème de diff érentiation des fonctions composées
On peut réécrire le théorème de di ff érentiation des fonctions composées (Théorème 2.11) à l’aide des dérivées partielles. Théorème 3.14. Soit n, p, q trois entiers naturels non nuls. Soit Ω un ouvert de Rn , Ω0 un ouvert de R p . Soit f C 1 (Ω, R p ) et g C 1 (Ω0 , Rq ). On suppose que f (Ω) Ω0 . Alors, F = g f C 1 (Ω, Rq ) et pour tout x Ω,
∈
◦ ∈
pour tout 1
∈
∈
⊂
∂ Fi (x) = ∂ x j
≤ j ≤ n, 1 ≤ i ≤ q,
p
X k=1
∂ gi ∂ f k (f (x)) (x) ∂ yk ∂ x j
En terme de jacobienne, cela s’écrit J g◦f (x) = J g (f (x)) J f (x). Démonstration : de la réécriture faite en cours.
Rn dans Ω0 Proposition 3.15. Soit f une application bijective de Ω f −1 sa réciproque. Si f C 1 (Ω, Rn ) et si f −1 C 1 (Ω0 , Rn ) alors pour tout a
∈
⊂ Rn. On note ∈ Ω,
⊂
∈
J f 1 (f (a)) = (J f (a))−1 . −
Démonstration : faite en cours.
+∗ R
+∗ R , Φ : Ω
× classe C 1 , F : Ω → R p , F = g ◦ Φ. Exercice 3.16. Soit Ω =
→ Ω,
(x, y)
7 → xy,
y . Soit g : Ω x
→ R p de
1. Montrer que Φ est de classe C 1 sur Ω. ∂ F ∂ F ∂ g ∂ g 2. Exprimer , en fonction de et . ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y
5
Dérivées partielles d’ordres supérieurs
Définition 3.17. Soit f :
Ω
⊂ Rn → R p. Supposons que ∂ ∂ xf j
existe sur Ω. C’est une
application de Ω dans R p . Si cette application admet une dérivée partielle d’indice k en un ∂ ∂ f ∂ 2 f point x Ω, (x) sera notée (x). C’est par définition la dérivée partielle ∂ xk ∂ x j ∂ xk ∂ x j de f d’ordre 2 d’indice k, j au point x. Plus généralement, on définit par récurrence les ∂ k f dérivées partielles de f d’ordre k : (x). ∂ xi1 . . . ∂ xik
∈
Définition 3.18. Soit k 1. On dit que f : Ω R p est de classe C k sur Ω si toutes ses dérivées partielles d’ordre k existent et sont continues sur Ω.
≥
→
18
Proposition 3.19. La composée de deux applications C k est de classe C k . Définition 3.20. On considère ici le cas p = 1. Soit f : Ω Rn R. On appelle hessienne de f en a la matrice des dérivées partielles secondes de f en a. On la note H f (a).
⊂
H f (a) =
5.1
→
∂ 2 f (a) ∂ xi ∂ x j
1≤i,j≤n
Théorème de Schwarz
Le théorème suivant permet de commuter les indices de dérivation dans certaines conditions. p Théorème 3.21 (Théorème de Schwarz). Soit f : Ω R une fonction définie sur un ouvert Ω de Rn , à valeurs dans R p . Soit a Ω. Si f admet des dérivées partielles secondes ∂ 2 f ∂ 2 f et sur Ω et si, de plus, ces fonctions sont continues en a, alors ∂ xk ∂ x j ∂ x j ∂ xk
→
∈
∂ 2 f ∂ 2 f (a) = (a). ∂ xk ∂ x j ∂ x j ∂ xk
Démonstration : Il suffit de démontrer le théorème dans le cas où n = 2. ∂ 2 f ∂ 2 f On suppose que et existent sur Ω et qu’elles sont continues en a = (a1 , a2 ). ∂ x∂ y ∂ y ∂ x ∂ 2 f ∂ 2 f Notons K = (a) et L = (a). ∂ x∂ y ∂ y ∂ x Soit ε > 0. On utilise la norme (x, y) = sup(|x|, |y|). Par continuité, il existe r > 0 tel que B (a, r) Ω et pour tout (x, y) B(a, r),
⊂
k
∂ 2 f (x, y) ∂ x∂ y
On fixe u = (u1 , u2 )
∈
k
≤
− K
ε
et
∂ 2 f (x, y) ∂ y ∂ x
− ≤ L
ε.
∈ B(0, r). On pose ∆(u) = f (a1 + u1 , a2 + u2 ) − f (a1 + u1 , a2 ) − f (a1 , a2 + u2 ) + f (a1 , a2 ).
On utilise les auxiliaires suivantes, définies pour | t| < r, |τ | < r : ϕ(t) = f (a1 + t, a2 + u2 ) f (a1 + t, a2 ) ∂ f (a1 + t, a2 + τ ) τ K θt (τ ) = ∂ x
− −
Alors,
∆(u)
= ϕ (u1 )
− tu2K
− ϕ(0) + Ku 1u2 et ϕ0(t) = θt(u2) − θt(0).
Et à | t| < r fixé, pour tout | τ | < r, θt0 (τ ) =
∂ 2 f (a1 + t, a2 + τ ) ∂ y ∂ x
19
− K , donc kθ0(τ )k ≤ ε.
On applique maintenant l’inégalité des accroissements finis à ϕ puis à θt . On obtient
kϕ(u1) − ϕ(0)k ≤ ≤
kϕ0(t)k t∈[0,u ] |u1 | sup kθt (u2 ) − θt (0)k |u1 | sup
1
t∈[0,u1 ]
≤ |u1| sup |u2| sup kθt0 (τ )k t∈[0,u ] τ ∈[0,u ] ≤ ε|u1||u2| On obtient donc k∆(u) − Ku 1 u2 k ≤ ε|u1 ||u2 |. De la même manière, on montre que k∆(u) − Lu1 u2 k ≤ ε|u1 ||u2 |. D’où, k(L − K )u1 u2 k ≤ 2ε|u1 ||u2 |. En choisissant u tel que u 1 6 = 0 et u 2 6 = 0, on déduit k(L − K )k ≤ 2ε. Ceci étant vrai pour 1
2
tout ε > 0, on conclut que L = K .
Corollaire 3.22. On considère ici le cas p = 1. Soit f une application de classe C 2 sur Ω. En tout point a Ω, H f (a) est une matrice symétrique. Si on note Qf (a) la forme quadratique associée à H f (a), on a pour tout h Rn ,
∈
∈
Qf (a)(h) =< H f (a)h, h >= hT H f (a)h Démonstration : faite en cours.
5.2
Formules de Taylor
Théorème 3.23 (Formule de Taylor avec reste intégral dans le cas p = 1 et k = 2). 2 n Soit f : Ω Rn R de classe C . Soit a R tels que [a, a + h] Ω, h Ω. Alors,
⊂
→
f (a + h) = f (a)+ <
∈
∈
∇f (a), h > +
Z 0
⊂
1
(1
− t)hT H f (a + th)hdt
∇
où f (a) est le gradient de f en a et H f (a) la matrice Hessienne de f en a . Démonstration : faite en cours.
Théorème 3.24 (Formule de Taylor-Young dans le cas p = 1 et k = 2). 2 n Ω, h Soit f : Ω Rn R de classe C . Soit a R tels que [a, a + h]
⊂
→
f (a + h) = f (a)+ <
∈
∈
⊂ Ω. Alors,
∇f (a), h > + 12 hT H f (a)h + khk2ε(h)
∇
où f (a) est le gradient de f en a, H f (a) la matrice Hessienne de f en a et ε est une application définie sur un voisinage de 0 dans Rn , à valeurs dans R, qui vérifie ε(h) 0.
→ h→0
Démonstration : admise.
20
Chapitre 4
Extrema d’une fonction de Rn dans R R. Soit a Ω. On dit que f admet Définition 4.1. Soient Ω un ouvert de Rn et f : Ω un extremum local (maximum ou minimum) au point a s’il existe une boule B(a, r) Ω telle que : x B(a, r), f (x) f (a) (maximum), x B(a, r), f (x) f (a) (minimum). On dit que l’extremum est strict si les inégalités ci-dessus sont strictes pour tout x B(a, r) \ {a}.
→
∀ ∈ ∀ ∈
1
∈
≤ ≥
⊂
∈
Condition nécessaire d’extremum
∈ Ω tel que Df (a) = 0 ou bien
Définition 4.2. On appelle point critique de f tout point a tout point a Ω où toutes les dérivées partielles s’annulent.
∈
Proposition 4.3. Soit f : Ω R et a Ω. Si f admet un extremum au point a et si f est di ff érentiable en a, alors a est un point critique de f .
→
∈
Démonstration : faite en cours.
ATTENTION ! Cette condition n’est pas suffisante.
2
Condition suffisante d’extremum
Pour la réciproque, reprenons le cas d’une variable réelle : f 0 (a) = 0 n’entraîne pas que f admet un extremum en a. Mais si f est deux fois dérivable en a, si f 0 (a) = 0 et f 00 (a) > 0, alors, f admet un minimum local en a. Ceci se démontre en écrivant le développement de Taylor de f en a. n 00 Pour une fonction de Ω R R, f (a) va être remplacé par le deuxième terme du développement de Taylor-Young : la hessienne de f en a. On rappelle sa définition :
⊂
→
Proposition-Définition 4.4. Soit f : Ω Rn R. On appelle hessienne de f en a la matrice des dérivées partielles secondes de f en a. On la note H f (a).
⊂
H f (a) =
→
∂ 2 f (a) ∂ xi ∂ x j
21
1≤i,j≤n
Si f est de classe C 2 , par le théorème de Schwarz, Hess f (a) est une matrice symétrique et on note Qf (a) la forme quadratique associée. Alors Qf (a)(h) = hT H f (a)h pour tout h Rn .
∈
Théorème 4.5 (Condition suffisante d’extremum strict). Soient f C 2 (Ω, R) et a Ω un point critique de f . i) Si Qf (a) est définie positive, alors f admet un minimum strict au point a. ii) Si Qf (a) est définie négative, alors f admet un maximum strict au point a. iii) Si Q f (a) n’est ni positive ni négative, alors f n’admet pas d’extremum en a. On dit que f admet un point selle ou un point col en a. iv) Si Qf (a) est positive sans être définie, ou négative sans être définie, alors on ne peut rien a ffi rmer.
∈
∈
Démonstration : faite en cours dans le cas n = 2. Exercice 4.6. Soit g : de g.
R3
→ R, (x,y,z) 7→ (x + y + z)2 + x3 + y3 + 3z. Etudier les extrema
Cas particulier, n = 2
∈ C 2(Ω ⊂ R2, R) et a ∈ Ω un point critique de f . Notons
Théorème 4.7. Considérons f r =
∂ 2 f (a), ∂ x2
s =
∂ 2 f (a), ∂ x∂ y
t =
∂ 2 f (a). ∂ y 2
Alors, i) si rt s2 > 0, et r > 0, alors f admet un minimum local en a, ii) si rt s2 > 0, et r < 0, alors f admet un maximum local en a, iii) si rt s2 < 0, alors f n’admet pas d’extremum en a, on dit que f admet un point selle ou un point col en a, iv) si rt s2 = 0, on ne peut pas conclure.
− − − −
Démonstration : faite en cours.
22
Minimum local : cas i)
Maximum local : cas ii)
Point selle : cas iii)
Aucune conclusion possible : cas iv)
23
Chapitre 5
Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites 1
Diff éomorphismes
Définition 5.1 (Diff éomorphisme). Soient U et V deux ouverts de Rn et k que f : U Rn V Rn est un di ff éomorphisme de classe C k si : i) f est une bijection de U Rn dans V Rn , ii) f est de classe C k sur U , iii) f −1 est de classe C k sur V .
⊂
∈ N∗. On dit
→ ⊂
⊂
⊂
Pour k = 0, i.e. le cas continu seulement, on dit que f est un homéomorphisme. Définition 5.2. Soit U un ouvert de Rn , a U et k N∗ . On dit que f : U Rn est un di ff éomorphisme de classe C k au voisinage de a s’il existe un ouvert Ω Rn tel que i) a Ω U ii) Ω0 = f (Ω) est ouvert, 0 iii) la restriction f : Ω ff éomorphisme de classe C k . Ω est un di
∈
∈
∈ ⊂
⊂
→
→
2
Théorème d’inversion locale
n Théorème 5.3 (Inversion locale (admis)). Soit U un ouvert de Rn et f : U R de n classe C k sur U, k N∗ . Soit a U tel que Df (a) : Rn R soit bijective (ce qui équivaut à det J f (a) = 0). Alors, f est un C k -di ff éomorphisme au voisinage de a.
∈
6
∈
→
→
Autrement dit, outre la régularité, il suffit de vérifier que l’application linéaire Df (a) est bijective pour en déduire que f elle-même est une bijection au voisinage de a. Corollaire 5.4. Soit U un ouvert de Rn et f : U Rn de classe C k sur U, k a = (a1 , . . . , an ) U et b = f (a). Considérons le système d’équations
∈
→
f 1 (x1 , . . . , xn ) = y1 .. . f n (x1 , . . . , xn ) = yn 24
∈ N∗. Soit
D (f 1 , . . . , fn ) (a) = 0, il existe un ouvert Ω contenant a, un ouvert Ω0 contenant b, tels D (x1 , . . . , xn ) que pour tout y = (y1 , . . . , yn ) Ω0 , le système y = f (x) possède une unique solution x dans Ω. De plus, les x1 , . . . , xn solutions sont des fonctions C k de y1 , . . . , yn , c’est-à-dire que si x = φ (y) alors φ C k (Ω0 ). Si
6
∈
∈
Théorème 5.5 (Inversion globale). Soit U un ouvert de Rn et f : U classe C k sur U, k N∗ . Si pour tout x U , Df (x) est bijective, alors i) f (U ) est un ouvert, ii) la restriction f : U f (U ) est un C k -di ff éomorphisme.
∈
→ Rn injective, de
∈
→
∈
∈ →
Démonstration : Soit b f (U ). Il existe a U tel que b = f (a). On applique le n théorème d’inversion locale en a : il existe un ouvert Ω R contenant a et un ouvert n Ω0 Ω0 soit un C k -diff éomorphisme. Ainsi, R contenant b tels que la restriction f 1 : Ω Ω0 f (U ). On a montré que pour tout b f (U ), il existe un ouvert contenant b inclus dans f (U ) ; ce qui veut dire que f (U ) est ouvert. f étant injective, elle est bijective de U dans f (U ). On note f −1 : f (U ) U son inverse. −1 0 −1 k Sur Ω , f coïncide avec f 1 , donc est de classe C . Ceci étant vrai au voisinage de tous les points de f (U ), f −1 est de classe C k sur f (U ).
⊂ ⊂
∈
⊂
→
Exercice 5.6. Soit f : R+∗ ] π , π[ R2 , f (r, θ) = (r cos θ, r sin θ) (coordonnées polaires). Déterminer V = f (R+∗ ] π , π [) et montrer que f : R+∗ ] π , π[ V est un C 1 -di ff éomorphisme.
×− → ×−
3
×−
→
Changements de variables
Définition 5.7. Soient Ω1 et Ω2 deux ouverts de Rn . Un C 1 -di ff éomorphisme ϕ : est aussi appelé un changement de variables.
→ Ω2
Ω1
Le théorème d’inversion globale donne un critère pour vérifier si une application est un changement de variables. Supposons par exemple n = 2, ϕ(x, y) = (u(x, y), v(x, y)). La ∂ u ∂ u x ∂ y jacobienne de ϕ au point (x, y) est J ϕ (x, y) = ∂ ∂ v ∂ v (x, y). Elle se calcule facile∂ x ∂ y u = u(x, y) ment si l’on dispose de Il arrive souvent que ce système soit difficile (ou v = v(x, y) impossible) à inverser explicitement : on ne peut expliciter x, y en fonction de u, v. Cepenx = x(u, v) dant, on peut calculer les dérivées partielles des fonctions en inversant y = y(u, v) la jacobienne. En eff et, si (u, v) = ϕ (x, y), on a J ϕ (x, y)J ϕ 1 (u, v) = I 2 , donc
−
J ϕ 1 (u, v) = −
∂ x ∂ u ∂ y ∂ u
∂ x ∂ v ∂ y ∂ v
(u, v) =
∂ u ∂ x ∂ v ∂ x
∂ u ∂ y ∂ v ∂ y
On obtient les dérivées partielles de ϕ−1 sans expliciter ϕ−1 . 25
(x, y)
−1
R2
Exercice 5.8. Soit ϕ :
→ R2, ϕ(x, y) = (u, v),
u = ex + ey v = x+y
−
Montrer que ϕ est un changement de variables de R2 dans Im ϕ. Déterminer
∂ x ∂ x ∂ y ∂ y , , , . ∂ u ∂ v ∂ u ∂ v
Exemple : Changement de variables polaires x = r cos θ Soit ϕ(r, θ) = (x, y) définie par . y = r sin θ ϕ est bien définie sur R2 , elle est C ∞ sur R2 et on a
−r sin θ
cos θ J ϕ (r, θ) = sin θ
r cos θ
,
D(x, y) = r. D(r, θ)
×] − π, π[ dans R2 \ {(x, 0) | x ∈ R−}. En eff et, D(x, y) 6 0, donc = r est non nul pour r = ϕ est injective sur R+∗ ×] − π , π[ et son jacobien D(r, θ) d’après le théorème d’inversion globale, ϕ est un C 1 -diff éomorphisme de R+∗ ×] − π , π [ dans ϕ R+∗ ×] − π , π [ = R2 \ {(x, 0) | x ∈ R− }. ϕ est un changement de variables de
+∗ R
Le système donnant x et y en fonction de r et θ est impossible à inverser en toute généralité. On peut cependant calculer les dérivées partielles de l’inverse en inversant la jacobienne de ϕ : ∂ r ∂ r cos θ sin θ ∂ x ∂ y J 1 (r, θ) = = sin θ cos θ ϕ−
∂θ ∂ x
∂θ ∂ y
−
r
!
r
Soit f une fonction définie sur un ouvert de R2 inclus dans R2 \ {(x, 0) | x R− }. On pose g = f ϕ, i.e. g(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ) = f (x, y). On calcule alors, par le théorème de diff érentiation des applications composées,
∈
◦
∂ f (x, y) = ∂ x ∂ f (x, y) = ∂ y
∂ g ∂ r ∂ g ∂θ ∂ g (r, θ) + (r, θ) = (r, θ)cos θ ∂ r ∂ x ∂θ ∂ x ∂ r ∂ g ∂ r ∂ g ∂θ ∂ g (r, θ) + (r, θ) = (r, θ)sin θ + ∂ r ∂ y ∂θ ∂ y ∂ r
sin θ ∂ g − ∂θ (r, θ) , r
(5.1)
cos θ ∂ g (r, θ) . (5.2) ∂θ r
Ces relations permettent de résoudre quelques équations aux dérivées partielles (EDP). Exercice 5.9. Donner les applications f définies sur l’ouvert Ω = R+∗ cet ouvert telles que ∂ f ∂ f x +y = x 2 + y2 ∂ x ∂ y
4
× R de R2, C 1 sur (5.3)
Théorème des fonctions implicites
Corollaire 5.10 (Théorème des fonctions implicites dans le cas n = p = 1). Soit Ω un k ouvert de R2 , f : Ω 1), et (a, b) R R. On suppose R de classe C ( k i) f(a,b)=0,
→
≥
∈ ×
26
ii) ∂ ∂ y f (a, b) = 0. Alors, il existe • A > 0, B > 0, • ϕ :]a A, a + A[ ]b B, b + B[ de classe C k telle que i) ϕ(a) = b ii) f (x, y) = 0 y = ϕ (x) pour tout x ]a A, a + A[. De plus, quitte à diminuer A > 0, pour tout x ]a A, a + A[,
6
−
→ − ⇐⇒
∈ − ∈ −
0
ϕ (x) =
−
∂ f (x, ϕ(x)) ∂ x ∂ f (x, ϕ(x)) ∂ y
.
On dit que ϕ est la fonction implicite définie par f (x, y) = 0 au voisinage de (a, b). Démonstration : faite en cours.
Une application de ce théorème est le résultat sur les extrémas liés ou multiplicateurs de Lagrange qui intervient quand on cherche les extremas d’une fonction tout en vérifiant une contrainte. Cette situation est très courante en théorie de l’optimisation que vous aborderez en 3MIC. Corollaire 5.11. Considérons l’équation f (x, y) = 0 où f C k (R2 ). Soit (a, b) une solution de cette équation, c’est-à-dire que f (a, b) = 0. On suppose de plus que ∂ ∂ y f (a, b) = 0. Alors, il existe A > 0, B > 0 tels que pour tout x ]a A, a + A[, l’équation possède une unique solution y dans ]b B, b + B[ (et y dépend de x de façon C k ).
∈
∈ −
−
27
6
Deuxième partie
Calcul intégral
28
Chapitre 6
Intégrale dépendant d’un paramètre 1 1.1
Intégrale définie dépendant d’un paramètre Continuité uniforme
Définition 6.1. Soit Ω un domaine de Rn . Une fonction f : Ω continue sur Ω si elle vérifie
→ R est dite uniformément
∀ε > 0, ∃ η > 0 tel que ∀(x, y) ∈ Ω2 , kx − yk ≤ η =⇒ |f (x) − f (y)| ≤ ε. Le théorème de Heine, qu’on énonce maintenant, généralisation du théorème de Heine démontré en première année, donne une condition su ffisante assurant qu’une fonction est uniformément continue. Théorème 6.2. Si une fonction f est continue sur un domaine Ω = est uniformément continue sur Ω.
1.2
Q
n i=1 [ai , bi ],
alors f
Bornes fixes
Soient a < b et c < d des réels. On note ∆ = [a, b] [c, d] R2 . Soit f : ∆ R, (t, x) f (t, x) une fonction définie sur ∆, à valeurs réelles. En première année, vous a été définie l’intégrale sur un segment, au sens de Riemann, des fonctions continues d’une variable réelle. A x fixé, la fonction [a, b] f (t, x) est R, t une fonction d’une seule variable réelle. Si elle est continue sur [a, b], on peut définir
×
⊂
→
→
Z
7→
7→
b
g(x) =
f (t, x)dt.
a
Si t
7→ f (t, x) est continue sur [a, b] pour tout x ∈ [c, d], alors on peut définir g : [c, d] → R b x 7→ f (t, x)dt
Z a
On dit que g est définie comme une intégrale dépendant d’un paramètre (le paramètre x). Dans ce paragraphe, on étudie les propriétés de la fonction g en fonction de celles de f . 29
Théorème 6.3 (Continuité). Soient a < b et c < d des réels. Soit f : ∆ = [a, b]
× [c, d] → R. Si f est continue sur ∆, alors la fonction g : [c, d] → R, x 7→ continue sur [c, d].
Z
b
f (t, x)dt est définie et
a
Démonstration : faite en cours.
Z
1
Exercice 6.4. Montrer que g : R → R, x 7→ g(x) = sur R.
Théorème 6.5 (Classe C 1 ). Soient a < b et c < d des réels. Soit f : ∆ = [a, b] i) f est continue sur ∆, ∂ f ii) existe et est continue sur ∆. ∂ x
Z 7→ Z b
→ R,
Alors, la fonction g : [c, d] x
x
f (t, x)dt est de classe C 1 sur [c, d] et pour tout b
0
g (x) =
a
∈
× [c, d] → R. Supposons que
a
∈ [c, d],
Démonstration : Soit x
0
cos(tx) dt est définie et continue 1 + t2
∂ f (t, x)dt. ∂ x
g(x + h) [c, d]. Montrons que A(h) = h
Z
− g(x) −
b
a
∂ f (t, x)dt ∂ x
−h→0 −−→
0. A t [a, b] fixé, on applique la formule des accroissements finis à la fonction d’une variable réelle x f (t, x) sur l’intervalle [x, x + h] : il existe θh (t) ]x, x + h[ tel que ∂ f f (t, x + h) f (t, x) = h t, θh (t) . Ainsi, ∂ x
∈
−
7→
Z b
A(h) =
a
∈
∂ f (t, θh (t)) ∂ x
−
∂ f (t, x) dt. ∂ x
∂ f est continue sur le fermé borné ∆, donc elle y est uniformément continue. ∂ x Soit ε > 0. Prenons pour la norme du sup. Il existe η > 0 tel que pour tout (t, t0 ) [a, b]2 , tout (x, x0 ) [c, d]2 , si (t0 , x0 ) (t, x) < η ∂ f 0 0 ∂ f alors (t , x ) (t, x) < ε . ∂ x ∂ x Soit |h| < η . Pour tout t [a, b], on a | θh (t) x| < η . On obtient
Or
k k
−
∈
∈
∈
k
k
−
A(h) < ε (b
− a). 0
En conclusion, lim A(h) = 0, i.e. g est dérivable en x, avec g (x) = h→0
pour tout x
−
∈ [c, d], donc g est dérivable sur [c, d]. 30
Z
b
a
∂ f (t, x)dt. Ceci ∂ x
De plus,
∂ f est continue sur ∂ x
∆ donc,
par le théorème précédent, g 0 est continue sur [c, d].
g est donc de classe C 1 .
Z
1
cos(tx) dt. Montrer que g est de classe C 2 2 1 + t 0 sur R et que g est solution de l’équation di ff érentielle : Exercice 6.6. Soit g :
R
→ R, x → 7 g(x) =
−
y”(x) + y(x) =
lim y(x) =
π
sin x , x
x > 0,
, 4 lim y 0 (x) = 0.
x→0+ x→0+
Théorème 6.7 (Théorème de Fubini). Soient a < b et c < d des réels. Soit f : ∆ = [a, b]
× → Z → 7→ Z Z Z Z Z [c, d]
R continue
sur ∆.
b
Alors la fonction g : [c, d]
R,
x
f (t, x)dt est continue sur [c, d] et l’on peut calculer
a
son intégrale sur [c, d] comme suit : d
d
b
g(x)dx =
c
b
f (t, x)dt dx =
c
a
a
d
f (t, x)dx dt.
c
En d’autres termes, on peut "intervertir" les intégrales sur [a, b] et sur [c, d]. Démonstration : On définit les trois fonctions suivantes : u i) H 1 : [c, d] H 1 (u) = g(x)dx, R, u
Z Z Z
→
7 → c u R → → 7 ii) h : ∆ , (t, u) h(t, u) = f (t, x)dx, c b iii) H 2 : [c, d] → R, u 7→ H 2 (u) = h(t, u)dt . a
On veut montrer que H 1 (d) = H 2 (d). Pour cela, on montre que pour tout u [c, d], 0 0 H 1 (u) = H 2 (u). Comme H 1 (c) = H 2 (c) = 0, cela suffit bien à montrer que H 1 (d) = H 2 (d). Vérifions tout d’abord que ces trois fonctions sont bien définies, puis que H 1 et H 2 sont de classe C 1 . i) H 1 est bien définie sur [c, d] car g est continue sur [c, d] ; H 1 est une primitive de g donc elle est de classe C 1 et pour tout u [c, d], H 10 (u) = g(u). ii) h est bien définie car pour tout t [a, b], x f (t, x) est continue sur [c, d]. Montrons que h est continue sur ∆, et qu’elle admet une dérivée partielle par rapport à u continue sur [c, d]. Soit ε > 0. Prenons pour la norme du sup. Soit (t, u), (t0 , u0 ) ∆. On a
∈
∈ ∈
k k
|h(t, u)
− h(t0, u0)|
Z ≤
7→
u
c
|f (t, x)
− f (t0, x)|dx +
Z
u
∈
0
|f (t0 , x)|dx .
u
Comme f est continue sur le fermé borné ∆ de R2 , elle y est uniformément continue, donc il existe η > 0 tel que pour tout x [c, d], tout |t t0 | < η , | f (t, x) f (t0 , x)| < ε .
∈
−
31
−
− t0| < η et |u − u0| < ε, on obtient |h(t, u) − h(t0 , u0 )| ≤ (u − c)ε + kf k∞ |u − u0 | < (d − c + kf k∞ )ε.
Ainsi, pour | t
Ce qui signifie que h est continue sur ∆. De plus, à t fixé, h(t, .) est une primitive de f (t, .) donc la dérivée partielle de h par rapport ∂ h à u existe, et pour tout t [a, b], tout u [c, d], (t, u) = f (t, u), qui est bien continue ∂ u sur ∆. iii) Par le théorème 6.5, H 2 est de classe C 1 sur [c, d] et pour tout u [c, d],
∈
H 20 (u)
∈
Z
b
=
a
∂ h (t, u)dt = ∂ u
∈
Z
b
f (t, u)dt = g(u).
a
Ainsi, H 10 = H 20 , ce qui termine la preuve du théorème.
Z 7 →
1
Exercice 6.8. Soit g :
1.3
R
→ R, x
0
cos(xt) dt. Montrer que 1 + t2
Z
1
Z
1
g(x)dx =
0
0
sin t dt. t(1 + t2 )
Bornes dépendant du paramètre
On rappelle que
∈ C ([a, b]), on peut définir F sa primive qui s’annule en a par F : [a, b] → R x x 7→ f (t)dt
Théorème 6.9. Si f
Z a
∈ C 1([a, b]) et pour tout x ∈ [a, b], F 0(x) = f (x).
Alors F
En utilisant ce théorème et le résultat sur la dérivation des fonctions composées, on peut traiter le cas des intégrales dont une borne au moins dépend d’un paramètre.
Z
x2
Exercice 6.10. Soit g : [0, 1]
→ R, x → 7 g(x) =
x
Montrer que g est dérivable sur [0, 1] et calculer g0 .
2
cos(tx) dt. 1 + t2
Intégrale impropre dépendant d’un paramètre
Soient a, c, d trois réels tels que c < d. Soit b ]a, + [ {+ } (b est soit un réel > a, soit égal à + ). Soit f une fonction de deux variables réelles à valeurs réelles définie sur [a, b[ [c, d] :
×
∈
∞
×
∞∪ ∞
→ R, (t, x) 7→ f (t, x). On pourrait tout aussi bien considérer f définie sur ]a, b] × [c, d], avec a ∈ R ∪ {−∞}. f : [a, b[ [c, d]
32
A x fixé, la fonction [a, b[ R, t f (t, x) est une fonction d’une seule variable réelle. Si f est continue sur [a, b[, on peut définir, si elle converge, l’intégrale impropre, ou intégrale généralisée,
→
7→
Z
b
g(x) =
f (t, x)dt.
a
7→
(Si t f (t, x) est prolongeable par continuité en b, cette intégrale coïncide avec l’intégrale de Riemann de f sur [a, b]).
Z
b
7 f (t, x) est continue sur [a, b[ pour tout x ∈ [c, d], et que → converge pour tout x ∈ [c, d], alors on peut définir g : [c, d] → R b x 7→ f (t, x)dt Définition 6.11. Si t
f (t, x)dt
a
Z a
On dit que g est définie comme une intégrale impropre (ou généralisée) dépendant d’un paramètre (le paramètre x). Exercice 6.12. Quel est l’ensemble de définition de la fonction g définie par g(x) = +∞ −t e e−tx dt ? t 1
Z
−
Les hypothèses faites aux théorèmes 6.3 et 6.5 ne su ffisent plus ici pour étudier la régularité de l’intégrale impropre à paramètre. Il faut ajouter une condition de domination (voir hypothèse ii) dans le théorème 6.13 et hypothèses ii), iv) dans le théorème 6.15) pour obtenir le résultat de continuité ou de dérivabilité. Cette hypothèse de domination assure que l’intégrale impropre converge uniformément par rapport au paramètre x. Théorème 6.13 (Théorème de continuité). Soient a, c, d trois réels tels que c < d. Soit b ]a, + [ {+ }. Soit f : [a, b[ [c, d] R. Supposons que i) f est continue sur [a, b[ [c, d], ii) il existe ϕ0 : [a, b[ R+ telle que - pour tout t [a, b[, tout x [c, d], |f (t, x)| ϕ0 (t),
∈
∞∪ ∞
Z
b
-
× → × → ∈
∈
≤
ϕ0 (t)dt converge.
a
Z →
b
Alors, la fonction définie par g : [c, d]
→ R,
x
f (t, x)dt est continue sur [c, d].
a
Démonstration : faite en cours.
Z
+∞
∞ → R, x 7→ g(x) =
Exercice 6.14. Montrer que g :]0, + [ sur ]0, + [.
∞
33
1
e−t
− e−tx dt est continue t
Théorème 6.15 (Théorème classe C 1 ). Supposons que i) f est continue sur [a, b[ [c, d], ii) il existe ϕ0 : [a, b[ R telle que
×
→ - pour tout t ∈ [a, b[, tout x ∈ [c, d], |f (t, x)| ≤ ϕ0 (t), b -
Z
ϕ0 (t) dt converge,
a
∂ f existe et est continue sur [a, b[ [c, d], ∂ x iv) il existe ϕ1 : [a, b[ R telle que
iii)
×
→ - pour tout t ∈ [a, b[, tout x ∈ [c, d],
Z
b
-
ϕ1 (t)dt converge,
a
b
→ R,
Alors, la fonction définie par g : [c, d] pour tout x
Z →
∈ [c, d],
x b
g (x) =
a
∈ − −
≤
∂ f (t, x) ∂ x
ϕ1 (t),
f (t, x)dt est de classe C 1 sur [c, d], et
a
Z
0
∂ f (t, x)dt. ∂ x
Démonstration : Soit x [c, d]. Montrer que g est dérivable en x équivaut à montrer b g(x + h) g(x) ∂ f que A(h) = (t, x)dt 0. h→0 h a ∂ x Soit ε > 0.
Z
Z
b
Comme
a
−−−→
existe b 0
φ1 (t)dt converge, il
b
∈ [a, b[ tel que
˜ On décompose A(h) = A(h) + R(h) avec ˜ A(h) = R(h) =
−
g˜(x + h) g˜(x) h b f (t, x + h) h b
Z 0
Z
Z −
b
0
b
∂ f (t, x)dt, ∂ x
a
φ1 (t)dt < ε .
0
b
g˜(x) =
− f (t, x) − ∂ f (t, x)dt ∂ x
Z
0
f (t, x)dt
a
On peut appliquer le théorème 6.5 à g˜ (f satisfait les hypothèses du théorème 6.5 sur ˜ [a, b0 ] [c, d]). On obtient lim A(h) = 0. Ainsi, il existe η > 0 tel que pour |h| < η ,
×
h→0
˜ | < ε . |A(h) Il reste à majorer R(h). Pour cela, à t [b0 , b[ fixé, on applique la formule des accroissements finis à la fonction d’une variable réelle x f (t, x) sur l’intervalle [x, x + h] : il existe ∂ f t, θh (t) . Ainsi, θh (t) ]x, x + h[ tel que f (t, x + h) f (t, x) = h ∂ x
∈
∈
7→
−
Z b
R(h) =
b
0
∂ f (t, θh (t)) ∂ x
−
∂ f (t, x) dt. ∂ x
On utilise maintenant la condition de domination sur la dérivée partielle de f par rapport à x :
Z ≤
b
|R(h)|
2
b
φ1 (t)dt < 2 ε.
0
34
Ainsi, |A(h)| < 3 ε pour |h| < η . b
0
En conclusion, lim A(h) = 0, i.e. g est dérivable en x, avec g (x) = h→0
pour tout x De plus,
a
∈ [c, d], donc g est dérivable sur [c, d].
∂ f est continue sur ∂ x
∆ et
Z
∂ f (t, x)dt. Ceci ∂ x
vérifie une condition de domination donc, par le théo-
rème précédent, g 0 est continue sur [c, d]. g est donc de classe C 1 sur [c, d].
Z
+∞
∞ → R, x 7→ g(x) =
Exercice 6.16. Montrer que g :]0, + [ 1
∞
C sur ]0, + [ et calculer sa dérivée.
3
e−t
− e−tx dt est de classe t
1
Un exemple : la fonction Gamma d’Euler
La fonction gamma se range parmi les fonctions spéciales les plus élémentaires, mais en même temps les plus importantes. La connaissance de ses propriétés est essentielle pour l’étude des autres fonctions spéciales. Un grand nombre d’intégrales en analyse peut être exprimé au moyen de la fonction gamma. La fonction gamma intervient dans de nombreuses estimations asymptotiques des "grands nombres", en statistique notamment.
3.1
Définition sur
R+∗ ,
premières propriétés
Z
+∞
Proposition-Définition 6.17. Pour tout x > 0, l’intégrale
0
gente. On appelle fonction Gamma d’Euler la fonction
Γ
:
R+∗
x
→ 7→
R
Z
+∞
Γ(x)
=
tx−1 e−t dt est conver-
tx−1 e−t dt
0
Démonstration : Soit x > 0. D’une part, au voisinage de 0, on a tx−1 e−t
∼0 tx−1, donc 1 x−1 −t e dt converge. D’autre part, il existe C > 0 tel que pour tout t ≥ 1, t x−1 ≤ Ce t/2 0 t +∞ x−1 −t/2 x−1 −t −t/2 (on a en eff et lim t e = 0), donc t e ≤ Ce et l’intégrale tx−1 e−t dt t→+∞
R
Z 1
converge.
Proposition 6.18. a) Γ(1) = 1. b) Pour tout x > 0, Γ(x + 1) = x Γ(x). c) Pour tout n N∗ , Γ(n + 1) = n!.
∈
35
Démonstration : La relation b) s’obtient en intégrant par parties, et c) est une conséquence directe de a) et b). En conséquence, si on connait les valeurs de valeurs de Γ pour x > 0.
Z
+∞
Exercice 6.19. En admettant
0
cours), calculer pour tout n
∈ N, Γ
3.2
Γ
Prolongement de
On prolonge la fonction Γ à pose
à
Γ sur ]0, 1],
2
e−u du =
on déduit à partir de b) toutes les
√ π (on le démontrera plus loin dans ce
n+
R−
1 . 2
\Z
− R \ Z en
∀
utilisant la relation : x > 0,
Γ(x + 1)
= x Γ(x). On
∈ − 1, 0[, on a x + 1 > 0, donc on peut définir Γ(x) = Γ(xx+ 1) . Γ(x + 1) Γ(x + 2) — Si x ∈] − 2, −1[, on a x+1 ∈] − 1, 0[ donc on peut définir Γ(x) = = x x(x + 1) — Pour x ]
Γ(x)
Γ(x
+ 2) , avec x + 2 ]0, 1[, x(x + 1)
=
∈
— etc...
∈ − n − 1, −n[, n ∈ N, on pose Γ(x) = x(xΓ+(x1)+. n. .+(x1)+ n) .
— Si x ] Ainsi,
Γ est
Γ
définie sur
: R \ Z− x
Attention !
3.3
Γ ne
R \ Z− .
→
R
7→
Γ(x)
Z
+∞
=
0
tx−1 e−t dt
Γ(x
+ n + 1) x(x + 1) . . . (x + n)
si x > 0
∈ − n − 1, −n[, n ∈ N
si x ]
s’écrit sous la forme d’une intégrale que pour x > 0.
Etude de Gamma et courbe représentative
Proposition 6.20 (Etude de Γ sur R+∗ ). i) La fonction Γ est de classe C ∞ sur R+∗ . ii) Il existe une constante c ]1, 2[ telle que Γ est décroissante sur ]0, c[ et croissante sur ]c, + [. iii) lim Γ(x) = lim Γ(x) = + .
∈
∞
x→+∞
x→0
∞
× R+∗ → R, f (t, x) = tx−1e−t. f est infiniment ∂ k f dérivable par rapport x dans R+∗ et pour tout k ∈ N∗ , tout (t, x) ∈ R+∗ × R+∗ , (t, x) = ∂ xk Démonstration : i) Notons f :
+∗ R
(ln t)k tx−1 e−t .
36
Soit 0 < a < b deux réels. Soit k N∗ . Montrons que ∂ l f Pour tout l est continue sur R+∗ {0, . . . , k}, l ∂ x +∗ [a, b], R
∈
∈
×
Z
≤
∂ l f (t, x) ∂ xl
+∞
L’intégrale
0
l
(ln t)
a−1 −t
1]0,1] t
e
∈
× [a, b]. De plus, pour tout (t, x) ∈ b−1 −t
+ 1]1,+∞[ t
ϕl (t)dt converge. On en déduit que
Ceci étant vrai pour tout [a, b] avec pour tout k N∗ ,
de classe C k sur [a, b].
Γ est
Γ est
e
:= ϕ l (t).
de classe C k sur [a, b].
⊂ R+∗ et pour tout k ∈ N∗, Γ est de classe C ∞ sur R+∗,
(k) Γ (x)
Z
+∞
=
(ln t)k tx−1 e−t dt.
0
Γ00
ii) Comme est strictement positive sur R+∗ , Γ0 est strictement croissante. De plus, comme Γ(2) = 1.Γ(1), on peut appliquer le théorème de Rolle à Γ sur [1, 2] : il existe c ]1, 2[ tel que Γ0 (c) = 0. Ainsi, Γ0 est strictement négative sur ]0, c[ et strictement positive sur ]c, + [. On en déduit que Γ est strictement décroissante sur ]0, c[ et strictement croissante sur ]c, + [. iii) Soit M > 0. Il existe un entier n 2 tel que n! > M . Pour tout x n + 1, Γ(x) Γ(n + 1) = n! > M . Cela montre que lim Γ(x) = + .
∈
∞
≥
∞
≥
∞
x→+∞
Comme Γ(x) =
Γ(x
+ 1) pour tout x > 0, on a lim = + x x→0+
Proposition 6.21 (Etude sur R− \ Z). Soit n N. i) Si n est pair, alors - lim Γ(x) = , lim
≥
∞.
∈
x→−n
−
−∞
x→−n+
Γ(x)
=+ ,
∞
- la fonction Γ admet un maximum relatif sur ] ii) Si n est impair, alors - lim Γ(x) = + , x→−n
−
∞
lim
x→−n+
Γ(x)
=
− n − 1, −n[.
−∞,
- la fonction Γ admet un minimum relatif sur ]
− n − 1, −n[.
Démonstration : Nous prouvons le résultat pour n pair. Γ(x + n + 1) Pour tout x ] n 1, n[, on a Γ(x) = . Or Γ est continue sur R+∗ , x(x + 1) . . . (x + n) donc lim Γ(x + n + 1) = Γ(1) = 1 ; et le dénominateur est un produit de n + 1 termes
∈− − −
x→−n
−
négatifs, dont l’un tend vers 0, il tend donc vers 0 − . Ainsi,
lim
x→−n
−
Γ(x)
=
−∞.
+ n) . Or lim Γ(x + n) = ∈ − n, −n + 1[, on a Γ(x) = x(x + 1)Γ(x . . . (x + n − 1) x→−n lim Γ(x) = +∞, et le dénominateur est un produit de n termes négatifs, dont l’un tend x→0 vers 0, il tend donc vers 0 + . Ainsi, lim Γ(x) = + ∞. x→−n Γ(x) = −∞ et lim Γ(x) = Sur ] − n − 1, −n[, la fonction Γ vérifie : Γ continue, lim x→(−n−1) x→−n Pour tout x ]
+
+
+
+
37
−
−∞. Cela suffit à montrer que Γ admet un maximum relatif. En eff et, on remarque tout d’abord que Γ est majorée sur ] − n − 1, −n[ (il existe α > 0 tel que Γ(x) < 0 pour tout x ∈ ] − n − 1, −n − 1 + α [∪] − n − α, −n[, et Γ continue sur le fermé borné [−n − 1 + α, −n − α] donc bornée). Notons M = sup Γ(x). Il existe η > 0 tel que x∈]−n−1,−n[ pour tout x ∈] − n − 1, −n − 1 + η [∪] − n − η , −n[, Γ(x) < M/2. Γ étant continue sur le segment [ −n − 1 + η , −n − η ], elle y atteint ses bornes : il existe x 0 ∈ [−n − 1+ η, −n − η ] tel que f (x0 ) = M . Ainsi, pour tout x ∈] − n − 1, −n[, f (x) ≤ f (x0 ), et f admet un maximum relatif sur ] − n − 1, −n[. 4
Un autre exemple : la transformée de Laplace
La transformée de Laplace d’une fonction f est une transformation intégrale, c’est-à-dire une opération associant à une fonction f une nouvelle fonction dite transformée de Laplace de f via une intégrale à paramètres. Comme la plupart des opérations courantes sur la fonction originale f (dérivation, retard) ont une traduction plus simple sur la transformée de Laplace, cet outil est souvent utilisé en automatique, électronique ou mécanique pour résoudre des équations di ff érentielles. La transformée de Laplace peut également s’interpréter comme une généralisation de la transformée de Fourier que nous aborderons dans le chapitre d’analyse harmonique. Cette transformation fut introduite pour la première fois par Pierre-Simon de Laplace en 1774, dans le cadre de la théorie des probabilités.
4.1
Définition
∀ ≥
Soit f une fonction définie de R dans R telle que t < 0, f (t) = 0. On note H la fonction définie par H (t) = 1 si t 0 et H (t) = 0 si t < 0. H est appelée échelon unité ou fonction de Heaviside. transformée de Laplace Définition 6.22. On appelle transformée de Laplace de f la fonction F = L[f ] de la variable complexe p définie par l’intégrale impropre de paramètre p :
Z
+∞
F ( p) = L[f ]( p) =
f (t)e− pt dt
0
La fonction f est appelée l’originale et F l’image. Si la transformée inverse existe, on la note L−1 (F ) = f . condition suffisante d’existence de L[f ] Proposition 6.23. Si les trois conditions suivantes sont vérifiées : 1. f est continue sur ]0, + [
∞
2. f est absolument intégrable au voisinage de 0+ 38
3. il existe trois constantes strictement positives A, C et γ telles que
⇒ |f (t)| < Ce γ t alors f admet une transformée de Laplace F pour p ∈ C tel que Re( p) > γ . ∀t ∈ R ,
t>A
Démonstration : faite en TD pour p réel.
table des fonctions usuelles fonction dirac échelon puissance exponentielle approche exponentielle exponentielle monome sinus cosinus sinus hyperbolique cosinus hyperbolique decroissance exp d’un sin decroissance exp d’un cos
4.2
f (t)H (t) δ (t) K tn e−at 1 e−t/τ e−αt tn sin(ω t) cos(ω t) sinh(ω t) cosh(ω t) e−at sin(ω t) e−at cos(ω t)
F ( p) 1
∈
K p n!
pn+1 1 p+a 1 p(1+τ p) n! ( p+a)n+1
−
ω
p2 +ω2 p p2 +ω2 ω
p2 −ω2 p p2 −ω2 ω
domaine de cv p C Re( p) > 0 Re( p) > 0 Re( p) > a Re( p) > 0 Re( p) > a Re( p) > 0 Re( p) > 0 Re( p) > | ω | Re( p) > | ω | Re( p) > a Re( p) > a
( p+a)2 +ω2 p+a ( p+a)2 +ω2
− −
− −
Propriétés
Théorème 6.24 (linéarité). La transformée de Laplace est linéaire :
∀(f, g) , ∀(α, β ) ∈ C2 ,
L[αf + β g ] = α L[f ] + β L[g]
si toutes ces transformées sont bien définies.
∈
Théorème 6.25 (théorème du retard). Soit τ R et f une fonction. Soit g la fonction f retardée de τ : g(t) = f (t τ )H (t τ ). Alors la transformée de Laplace d’un retard est la multiplication par une exponentielle :
−
−
L[g]( p) = e −τ p L[f ]( p) si toutes ces transformées sont bien définies. Théorème 6.26 (Dérivation). On suppose que f hypothèses du théorème 6.23. Alors L[f 0 ]( p) = pL[f ]( p) si toutes ces transformées sont bien définies.
39
∈ C 1(R) telle que f et f 0 vérifient les
− f (0+)
Démonstration : faite en TD.
Théorème 6.27 (Intégration). On suppose que f théorème 6.23. Alors
Z t
L
f (u)du ( p) =
0
∈ C 0(R+∗ ) vérifient les hypothèses du L[f ]( p) p
si toutes ces transformées sont bien définies.
4.3
Applications
Exercice 6.28. Soient τ et A deux réels. Résoudre à l’aide de la transformée de Laplace l’équation di ff érentielle τ f 0 (t) + f (t) = A sin(ω t)H (t) ,
40
t
∈ R.
Chapitre 7
Intégrale multiple Dans ce chapitre, on définit l’intégrale des fonctions continues de Rn dans R, au sens de Riemann. La construction, qui n’est pas explicitée ici, se fait comme pour l’intégrale sur R et se généralise sans di fficulté aux fonctions continues de Rn dans R p . L’une des di fficultés est de déterminer les ensembles sur lesquels on peut intégrer. Pour les fonctions d’une seule variable, on définit l’intégrale de Riemann sur un intervalle fermé borné. En dimension supérieure, on peut définire l’intégrale d’une fonction continue sur un ensemble mesurable. On se limitera ici aux compacts élémentaires.
1
Définition et premières propriétés
1.1
Intégrale sur un compact élémentaire
Définition 7.1. On appelle compact élémentaire de Rn tout sous ensemble de Rn défini par des inégalités
≤ xσ(1) ≤ b f 1 (xσ(1) ) ≤ xσ(2) ≤ g1 (xσ(1) ) a
.. .
f n−1 (xσ(1) , . . . , xσ(n−1) )
≤ xσ(n) ≤ gn−1(xσ(1), . . . , xσ(n−1))
où a, b R, f 1 , . . . , fn , g1 , . . . , gn sont continues, et σ est une permutation de {1, . . . , n} dans lui-même.
∈
Définition 7.2. Si A est un compact élémentaire de Rn et f : A l’intégrale de f sur A est définie par
Z
f (x)dx =
A
Z Z Z
f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . d xn
A b
=
→ R est continue, alors
a
g1 (x
dxσ(1)
f 1 (x
σ
σ
(1) )
(1) )
Z
gn
dxσ(2) . . .
f n
−
1 (xσ(1) ,...,xσ(n−1) )
1 (xσ(1) ,...,xσ(n−1) )
f (x1 , . . . , xn )dxσ(n) .
−
Cas particulier Si f est constante égale à 1 sur A, on obtient la mesure de A (son aire si n = 2, son volume 41
si n = 3) :
|A| = µ(A) =
Z
1dx.
A
1.2
Premières propriétés
Proposition 7.3. L’intégrale ainsi définie a les propriétés suivantes. i) ( Linéarité ) Pour tout A compact élémentaire, f
Z 7→
f (x)dx est linéaire sur
A
C (A, R). ii) ( Positivité ) Pour tout A compact élémentaire et tout couple de fonctions (f, g), si x A, f (x) g(x) alors A f (x)dx A g(x)dx. iii) ( Majoration ) Pour tout A compact élémentaire, pour tout f C (A, R),
∀ ∈
R
≤
≤
Z Z
≤ Z
f (x)dx
A
R
∈
|f (x)|dx
A
≤ µ(A)kf k∞ .
iv) ( Additivité ) Pour tous compacts élémentaires A 1 et A 2 d’intérieurs disjoints, pour
∈ C (A1 ∪ A2, R),
tout f
f (x)dx =
A1 ∪A2
Z
f (x)dx +
A1
Z
f (x)dx.
A2
Remarque 7.4. Si l’intégrale porte sur un compact élémentaire de R2 , on notera souvent
Z Z f =
A
f (x, y)dxdy. On parle d’intégrale double.
A
Si l’intégrale porte sur un compact élémentaire de R
3 , on notera souvent
Exercice 7.5.
1 a) Quelle est la mesure de D1 = (x, y) x2 + y 2 4 2 2 b) Même question avec D2 = (x, y) R , x + y 0 et y
∈
∈
2 R ,
≤ ≤
≤ − ≥ Z Z
2.1
f (x,y,z)dxdydz.
A
1 ?
x
∈ R2, x ≥ 0 et y ≥ 0 et x + y ≤ 1}. Calculer b) Soit B = { (x, y) ∈ R2 , y ≤ x et x + y ≤ 2 et y ≥ 0}. Calculer
2
f =
A
On parle d’intégrale triple.
Exercice 7.6. a) Soit A = {(x, y)
Z ZZ
0 . xdxdy.
A
ex+y dxdy.
B
Théorèmes Théorème de la moyenne
Soit A un compact mesurable de Rn et f : A 1 moyenne de f sur A le réel f . µ(A) A
Z
→ R une fonction continue. On appelle valeur
Théorème 7.7 (Théorème de la moyenne). Soit A un compact élémentaire de Rn et f : A R une fonction continue. Alors, 1 i) il existe x0 A, tel que f (x)dx = f (x0 ), µ(A) A
→
∈
Z
42
ii) pour tout g : A
→ R continue et positive, il existe x0 ∈ A, 1 µ(A)
Z
f (x)g(x)dx = f (x0 )
A
Z
g(x)dx .
A
Démonstration : Admise.
2.2
Théorème de Fubini
Nous n’énonçons ce théorème que dans des cas particuliers. Théorème 7.8 (Intégrale sur un produit de pavé). Soit P un pavé de Rn et Q un pavé de Rm , n, m 1. Soit f : P une fonction continue. Alors,
≥
Z
f (x, y)dxdy =
P ×Q
Z Z P
× Q → R, (x, y) → f (x, y)
Z Z
f (x, y)dy dx =
Q
Q
f (x, y)dx dy.
P
Démonstration : Ce théorème a été démontré dans le cas n = m = 1 (cf Théorème 6.7). Nous ne le démontrerons pas dans le cas général. Corollaire 7.9 (Cas des fonctions à variables séparées). Soit P un pavé de Rn et Q un pavé de Rm , n, m 1. Soit f : P fonctions continues. Alors,
≥
Z
f (x)g(y)dxdy =
P ×Q
→ R et g : Q → R deux
Z Z f (x)dx
g(y)dy .
P
Q
Dans ce cas, si n = m = 1, l’intégrale double se ramène au produit de deux intégrales simples. Exercice 7.10. a) Calculer
Z Z
ex+y dxdy.
[0,1]×[1,2]
b) Calculer
x sin(x2 + y)dxdy.
[0,1]2
2.3
Théorème de changement de variables
Théorème 7.11 (admis). ff éomorphisme de classe C 1 de Ω sur Φ(Ω). Soit Rn un di Soit Ω un ouvert de Rn , Φ : Ω R continue. Alors, A un compact élémentaire inclus dans Ω. Soit f : Φ(A) i) Φ(A) est un compact élémentaire, ii) en notant Jac (Φ) le jacobien de Φ,
→
→
Z Z ◦ f =
Φ(A)
(f
A
43
Φ)|Jac (Φ)|.
En pratique : notons y =
Φ(x), i.e.
y1 = .. .
Φ1 (x1 , . . . , xn )
yn =
Φn (x1 , . . . , xn )
.
Le théorème de changement de variables se réécrit
Z
f (y1 , . . . , yn )dy1 . . . d yn =
Φ(A)
Z f
Φ1 (x1 , . . . , xn ), . . . , Φn (x1 , . . . , xn )
A
Il suffit donc de retenir
D(y1 , . . . , yn ) dy1 . . . d yn = dx1 . . . d xn . D(x1 , . . . , xn )
3 3.1
Exemples
D(y1 , . . . , yn ) dx1 . . . d xn . D(x1 , . . . , xn )
Changement de variables affine
Prenons un changement de variables a ffine
y1 = b1 + m11 x1 + . . . + m1n xn .. . yn = bn + mn1 x1 + . . . + mnn xn
soit, vectoriellement, Y = B + MX , avec M une matrice inversible. n Notons ϕ : Rn R , ϕ(X ) = B + M X . Le jacobien du changement de variables ϕ est, en tout point de Rn , D(y1 , . . . , yn ) = det M. D(x1 , . . . , xn ) Ainsi, pour tout compact mesurable A de Rn ,
→
Z
f = | det M |
ϕ(A)
Z ◦
f ϕ.
A
En particulier, avec f = 1, on obtient µ(ϕ(A)) = | det M |µ(A). Dans une transformation affine, la mesure (aire, volume, . . . ) est multipliée par le déterminant de la transformation. Par exemple, dans Rn , l’homothétie de rapport k multiplie les mesures pas kn . Exercice 7.12. Calculer l’aire du compact délimité par l’ellipse
3.2
x2 y 2 + 2 = 1. a2 b
Coordonnées polaires
Notons U = R+∗ ] π , π [. Soit Φ : U R2 , Φ(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ). Alors Φ est un C 1 -diff éomorphisme de U dans Φ(U ) et | detJ Φ (ρ, θ)| = ρ . Ainsi, pour tout A compact mesurable de R2 , inclus dans Φ(U ),
→
×−
Z A
f (x, y)dxdy =
Z
φ−1 (A)
44
◦ Φ(r, θ)rdrdθ.
f
Exercice 7.13. Soit f : 0 et x2 + y2
3.3
2 R
≤ 1}. Calculer
Z →
R,
f (x, y) = xy et A = {(x, y)
f (x, y)dxdy.
∈
2 R ,
x
≥
0 et y
≥
A
Coordonnées cylindriques
Notons U = R+∗ ] π , π [ R. On pose Φ : U R3 , (ρ, θ, z) (x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, z). 1 Alors, Φ est un C diff éomorphisme de U sur Φ(U ) et | detJ Φ(ρ, θ, z)| = ρ . Ainsi, pour tout A compact mesurable de R3 , ne contenant pas l’origine,
×− →
ZZ
×
7→
ZZ
f (x,y,z)dxdydz =
◦ Φ(r, θ, z)rdrdθdz.
f
φ−1 (A)
A
Exercice 7.14. Calculer le volume de la portion de cylindre de révolution de rayon R, et de hauteur comprise entre 0 et h.
3.4
Coordonnées sphériques
Notons U = R+∗ ] π , π [ ]0, π[. Soit Φ : U R3 , (ρ, θ, ϕ) (x = ρ cos θ sin ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ, z = ρ cos ϕ). 1 2 Φ est un C -diff éomorphisme de U sur Φ(U ) et | detJ Φ (ρ, θ , ϕ)| = ρ sin ϕ. Ainsi, pour tout A compact mesurable de R3 , inclus dans V ,
→
×−
ZZ
× 7→
f (x,y,z)dxdydz =
ZZ
φ−1 (A)
A
◦ Φ(r, θ, ϕ)r2 sin ϕ drdθdϕ.
f
Exercice 7.15. Calculer le volume de la boule de centre 0 et de rayon R dans R3 .
3.5
Mesure des boules en dimension n Rn , B n (0, 1)
Notons µ n la mesure de la boule unité de
= { x
∈ Rn | x21 + . . . + x2n ≤ 1}.
On a µ 1 = 2 et µ 2 = π . On montre que les boules Bn (x, R) ont pour mesure µn (R) = Rn µn pour tout x Rn , tout R > 0 (homothétie et translation). E eff et, on calcule µ n par récurrence sur n : par le théorème de Fubini, on a pour tout n 3,
∈
Z Z 1
µn =
≥ √ 1−x √ − 1−x
−1
dx1
2 1 2 1
dx2
45
Z √ √
1−x21 −x22
−
1−x21 −x22
!
dx3 . . .
q − − Z Z √ √ Z Z √ √ − − Z Z − 1−x21
1
µn =
dx1
−1
−
1−x21
1−x21
1
= µn−2
dx1
−1
−
2π
= µn−2 =
1−x21
1
dθ
0
dx2 µ n−2
(1
x22 ) 2 −1
n
r 2 ) 2 −1 rdr
0
2π µn−2 . n
On en déduit µ 3 =
x22
n
x21
(1
x21
1
4π , etc... 3
46
(changement de variables polaires)