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Introduccion A La Mecánica De Lagrange Y Hamilton

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Geometry Theoretical Physics Physics & Mathematics Physics Mechanics

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1

era
edición (preprint)
Enero 2010
S O L D O V I E R I
LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA
Introducción a la
Mecánica de
Lagrange y Hamilton
Con numerosos ejemplos y una
presentación que facilita la
comprensión del contenido.
(EN CONSTRUCCION Y REVISION)

Giuseppe Lodovico Lagrangia ( Joseph Louis Lagrange )
(1736-1813).

Matemático y astrónomo francés nacido en Turín (Italia), en cuya
universidad estudió. Fue nombrado profesor de geometría en la Academia Militar
de Turín a los 19 años y en 1758 fundó una sociedad que más tarde se convertiría
en la Academia de Ciencias de Turín. En 1766 fue nombrado director de la
Academia de Ciencias de Berlín, y 20 años después llegó a París invitado por el rey
Luis XVI. Durante el periodo de la Revolución Francesa, estuvo al cargo de la
comisión para el establecimiento de un nuevo sistema de pesos y medidas. Después
de la Revolución, fue profesor de la nueva École Normale y con Napoleón fue
miembro del Senado y recibió el título de conde. Fue uno de los matemáticos más
importantes del siglo XVIII; creó el cálculo de variaciones, sistematizó el campo de
las ecuaciones diferenciales y trabajó en la teoría de números. Entre sus
investigaciones en astronomía destacan los cálculos de la libración de la Luna y los
movimientos de los planetas. Su obra más importante es Mecánica analítica
(1788).

Sir William Rowan Hamilton (1805-1865).

Matemático y astrónomo británico, conocido sobre todo por sus trabajos en
análisis de vectores y en óptica. Nació en Dublín y estudió en el Trinity College. En
1827, sin haber obtenido su título, fue nombrado profesor de astronomía, y al año
siguiente astrónomo real para Irlanda. Hamilton pasó el resto de su vida trabajando
en el Trinity College y en el observatorio de Dunsink, cerca de Dublín. En el
campo de la dinámica, introdujo las funciones de Hamilton, que expresan la suma
de las energías cinética y potencial de un sistema dinámico; son muy importantes
en el desarrollo de la dinámica moderna y para el estudio de la teoría cuántica.

SOLDOVIERI C., Terenzio
Licenciado en Física
Profesor agregado del Departamento de Física
Facultad de Ciencias - La Universidad del Zulia (LUZ)
[email protected]
[email protected]
www.cmc.org.ve/tsweb
INTRODUCCION A LA MECANICA DE
LAGRANGE Y HAMILTON
Con numerosos ejemplos y una presentación que
facilita la comprensión del contenido.
1
era
edición (preprint)
Versión 1.12
(EN CONSTRUCCION Y REVISION)
2010
Escrito usando L
A
T
E
X
Copyright c (2010 por Terenzio Soldovieri C.
República Bolivariana de Venezuela
- - - - - - --
ÍNDICE GENERAL
I Fundamentos físicos y matemáticos básicos para estudiar Mecáni-
ca de Lagrange y Hamilton 1
1 Dinámica de un sistema de partículas 3
1.1. Sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Clasiﬁcación de los sistemas de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Fuerzas en un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1. Externas e internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Fuerzas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Fuerzas internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2. Aplicadas y de reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Aplicadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
De reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1. Para un sistema discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2. Para un sistema continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.3. Para un sistema compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Movimiento del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6. Momento lineal y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7. Momento angular y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8. Energía y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8.1. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I
ÍNDICE GENERAL
1.8.2. Energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8.3. Conservación de la energía mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Deﬁniciones y principios básicos 39
2.1. Propiedades del espacio y el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2. Ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3. Clasiﬁcación de las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.1. Si son o no desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Unilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Bilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.2. Si dependen explícita o implícitamente del tiempo . . . . . . . . . . 46
Ligaduras reónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Ligaduras esclerónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.3. Por su integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Ligaduras holónomas o geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Ligaduras no-holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4. Fuerza de ligadura y fuerza aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.1. Ligaduras lisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.2. Ligaduras rugosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5. Diﬁcultades introducidas por las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.7. Espacio de conﬁguración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.8. Magnitudes mecánicas en coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . 58
2.8.1. Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.8.2. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.8.3. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.8.4. Trabajo mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.8.5. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.9. Desplazamiento virtual y trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.9.1. Desplazamiento virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.9.2. Trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.10. Algunos principios mecánicos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.10.1. Principio de los trabajos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.10.2. Principio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.10.3. Principio de Hamilton o de acción estacionaria . . . . . . . . . . . . 74
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: II
ÍNDICE GENERAL
3 Cálculo variacional con fronteras ﬁjas 77
3.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2. Cálculo de extremales sin restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.1. Para una variable dependiente — Ecuación de Euler . . . . . . . . 82
3.2.2. Para múltiples variables dependientes — Ecuaciones de Euler - La-
grange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3. Cálculo de extremales con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3.1. Restricciones del tipo o [n
j
(r) ; r] = 0 y o [n
j
(r) . n
t
j
(r) ; r] = 0 . . . . . . 102
3.3.2. Restricciones del tipo isoperimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4. La notación o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4 Transformación de Legendre 127
4.1. Deﬁnición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.2. Para una variable independiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.3. Para más de una variable independiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.4. Variables activas y pasivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.5. Algunas propiedades matemáticas de la transformación de Legendre . . 142
4.5.1. La inversa de la transformación de Legendre . . . . . . . . . . . . . . 142
4.5.2. Valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.5.3. Simetrías y relaciones entre derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
II Mecánica de Lagrange y Hamilton 151
5 Mecánica Lagrangiana 153
5.1. Ecuaciones de Lagrange partiendo del Principio de D’Alembert . . . . . . 154
5.1.1. Sistemas holónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Cuando las ligaduras se usan en forma implícita . . . . . . . . . . . . 157
Cuando las ligaduras se usan en forma explícita . . . . . . . . . . . . 158
5.1.2. Sistemas no-holónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.2. Ecuaciones de Lagrange partiendo del Principio de Hamilton . . . . . . . 162
5.2.1. Sistemas holónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Cuando las ligaduras se usan en forma implícita . . . . . . . . . . . . 162
Cuando las ligaduras se usan en forma explícita . . . . . . . . . . . . 163
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: III
ÍNDICE GENERAL
5.2.2. Sistemas no-holónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.3. Ejemplos con ligaduras holónomas (forma implícita) . . . . . . . . . . . . . 163
5.4. Ejemplos con ligaduras holónomas (forma explícita) . . . . . . . . . . . . . 182
5.5. Ejemplos con ligaduras semi-holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.6. Condición de integrabilidad de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . 201
5.7. Invariancia de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.8. Equivalencia entre las ecuaciones de Lagrange y de Newton . . . . . . . 204
5.9. Momentos generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.10. Coordenadas cíclicas o ignorables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.11. Integrales primeras de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.12. Integrales primeras de movimiento para un sistema cerrado . . . . . . . . 208
5.13. Teoremas de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.13.1. Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.13.2. Conservación del momento generalizado - Conservación del mo-
mento lineal y angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Conservación del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Conservación del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.14. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.15. Mecánica Lagrangiana vs la Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.16. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6 Mecánica Hamiltoniana 235
6.1. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.1.1. Sistemas holónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Las ligaduras se usan en forma implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Las ligaduras se usan en forma explícita . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.1.2. Sistemas no-holónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.2. Pasos a seguir para construir un Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
6.3. Ejemplos con ligaduras holónomas (forma implícita) . . . . . . . . . . . . . 246
6.4. Ejemplos con ligaduras holónomas (forma explícita) . . . . . . . . . . . . . 259
6.5. Ejemplos con ligaduras semi-holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.6. Ecuaciones de Hamilton a partir del principio de Hamilton . . . . . . . . . 272
6.7. Espacio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.8. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6.9. Forma simpléctica de las Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . 285
6.10. El método de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.11. Dinámica Lagrangiana vs Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: IV
ÍNDICE GENERAL
6.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
7 Transformaciones canónicas 295
7.1. Deﬁnición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7.2. Ecuaciones de transformación canónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
7.2.1. Caso 1: Función generatriz T
1
= T
1
(¡
j
. ¯ ¡
j
. t) . . . . . . . . . . . . . . . 298
7.2.2. Caso 2: Función generatriz T
2
= T
2
(¡
j
. ¯ j
j
. t) . . . . . . . . . . . . . . . 299
7.2.3. Caso 3: Función generatriz T
3
= T
3
(j
j
. ¯ ¡
j
. t) . . . . . . . . . . . . . . . 300
7.2.4. Caso 4: Función generatriz T
4
= T
4
(j
j
. ¯ j
j
. t) . . . . . . . . . . . . . . . 301
7.3. Invariante integral universal de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
7.4. Corchetes de Lagrange y Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
7.4.1. Corchetes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
7.4.2. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
7.4.3. Ecuaciones de Hamilton en corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . 320
7.5. Transformaciones canónicas inﬁnitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7.6. Forma simpléctica de las transformaciones canónicas . . . . . . . . . . . . 325
7.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
8 Teoría de Hamilton-Jacobi 331
8.1. Ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
8.2. Solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . 335
8.2.1. Para sistemas con H independiente del tiempo . . . . . . . . . . . . 335
8.2.2. Para sistemas con H independiente del tiempo y alguna coorde-
nada cíclica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
8.2.3. Para sistemas con H independiente del tiempo y coordenadas no
cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
8.3. Ejemplos de aplicación de la ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . 338
8.4. Variables acción-ángulo en sistemas con un grado de libertad . . . . . . . 338
A Teorema de Euler 339
B Funciones monótonas y continuidad 341
C Lema fundamental del cálculo de variaciones 343
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: V
ÍNDICE GENERAL
D Propiedades de los determinantes 345
E Identidad de Jacobi 349
E.1. Por transformaciones canónicas inﬁnitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
E.2. Por cálculo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
Bibliografía 353
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: VI
ÍNDICE DE FIGURAS
1.1. Tipos de fuerzas en un sistema de partículas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Forma fuerte de la tercera ley de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Fuerzas interacción electromagnética de entre dos partículas cargadas
¡
j
y ¡
;
en movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Posición del centro de masa de un sistema de partículas. . . . . . . . . . . 9
1.5. Sistema discreto formado por tres partículas situadas en los vértices de un
triángulo rectángulo (Ejemplo 1.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6. Aro semicircular homogéneo de radio c y densidad lineal \ (Ejemplo 1.2). 11
1.7. Cono sólido homogéneo de altura / y base de radio c (Ejemplo 1.3). . . . 12
1.8. Sistema o discreto de ` partículas subdividido (por completo) en : subsis-
temas o
1
,o
2
,o
3
,...,o
c
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9. Centro de masa de un sistema compuesto por una concha hemisférica y
un hemisferio sólido homogéneo acoplados (Ejemplo 1.4). . . . . . . . . . 15
1.10. Dos partículas de masas iguales que se deslizan sobre correderas lisas en
ángulo recto (Ejemplo 1.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.11. Vector de posición
÷÷
:
t
j
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.12. Aro homogéneo, de radio c, que rueda sobre una superﬁcie lisa con fre-
cuencia angular constante (Ejemplo 1.6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.13. Vector de posición
÷÷
:
j;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.14. Centro de masa de un cono sólido homogéneo (Problema 1). . . . . . . . 29
1.15. Centro de masa de un sistema formado por un cono sólido homogéneo
cuya base está unida a la correspondiente de un hemisferio sólido ho-
mogéneo (Problema 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
VII
ÍNDICE DE FIGURAS
1.16. Centro de masa de un alambre uniforme que substiende un arco o circu-
lar de radio c (Problema 5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.17. Centro de gravedad y centro de masa de un sistema de partículas (Pro-
blema 6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.18. Centro de masa de un modelo de la molécula de H
2
( (Problema 8). . . . 32
1.19. Centro de masa de un triángulo rectángulo isósceles homogéneo (Pro-
blema 9). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.20. Centro de masa de una pirámide homogénea (Problema 10). . . . . . . . 33
1.21. Proyectil disparado con un ángulo de elevación el cual estalla en el aire
(Problema 14). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.22. Sistema discreto formado por ` partículas de igual masa :, que delizan
libremente sobre alambres paralelos lisos y se atraen unas a otras con
fuerzas proporcionales al producto de sus masas y a sus distancias (Pro-
blema 17). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.23. Dos partículas de masa : se mueven, cada una, sobre las correderas lisas
perpendiculares (A y () , atrayéndose con una fuerza proporcional a su
distancia (Problema 18). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.24. Torque de un sistema de partículas con respecto a dos sistemas de coor-
denadas cuyos orígenes no coinciden (Problema 19). . . . . . . . . . . . . 37
2.1. Péndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2. Un bloque de masa : que se mueve sobre una superﬁcie inclinada. . . . 43
2.3. Cuerpo rígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4. Dos masas :
1
y :
2
unidas por una barra rígida de longitud /. . . . . . . . . 44
2.5. Moléculas de gas encerradas en una esfera de radio 1. . . . . . . . . . . . 45
2.6. Partícula que se desliza sobre la superﬁcie de una esfera de radio 1. . . . 46
2.7. Una partícula de masa : que se mueve en un aro cuyo radio cambia
con el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.8. Partícula que se mueve sobre un plano inclinado cuyo ángulo de incli-
nación varía con el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.9. Un disco que rueda (sin deslizar) sobre el plano horizontal rn (Ejemplo 2.7). 51
2.10. Movimiento de un círculo que se desplaza sobre un plano inclinado. . . . 52
2.11. Dos masas :
1
y :
2
acopladas por un resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.12. Ligaduras lisa (a) y rugosa (b). Para el movimiento permitido por la liga-
dura (deslizamiento horizontal) la reacción lisa no realiza trabajo, mientras
que en el caso rugoso sí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.13. El historial temporal de un sistema es representado mediante una curva
en el espacio de conﬁguración. Se muestran cuatro posibles. . . . . . . . . 58
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: VIII
ÍNDICE DE FIGURAS
2.14. Desplazamiento real d
÷÷
: y desplazamiento virtual o
÷÷
: . . . . . . . . . . . . . 63
2.15. Coordenada real ¡ (t) y la coordenada desplazada virtualmente ¡ (t)+o¡ (t). 64
2.16. Palanca horizontal en equilibrio estático (Ejemplo 2.10). . . . . . . . . . . . 67
2.17. Péndulo en equilibrio estático (Ejemplo 2.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.18. Sistema de dos masas unidas por una cuerda que pasa a través de una
polea (Ejemplo 2.12). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.19. Dos masas unidas por una cuerda que pasa a través de una polea y
donde una de las masas se desliza sobre un plano inclinado (Ejemplo 2.13). 72
3.1. La función n (r) es el camino que hace que el funcional J tome un valor
extremal. Las funciones n (c. r) = n (r) + c: (r) son las funciones vecinas
donde : (r) se anula en las fronteras del intervalo [r
1
. r
2
]. . . . . . . . . . . . 79
3.2. Función n (r) = 3r entre los límites de r = 0 y r = 2: y dos de sus variaciones
n (c. r) = 3r + c[Sen (r) ÷Cos (r) + 1] (Ejemplo 3.1). . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3. Función n (r) = r
2
entre los límites de r = ÷1 y r = 1 y dos de sus varia-
ciones n (c. r) = r
2
+ c(r
3
÷r) (Ejemplo 3.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.4. El problema de la braquistócrona (Ejemplo 3.6). . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.5. Camino resultante para que la partícula se mueva desde (r
1
. n
1
) = (0. 0)
hasta (r
2
. n
2
) en el menor tiempo posible (Ejemplo 3.6). . . . . . . . . . . . . 88
3.6. Distancia más corta entre dos puntos del plano (Ejemplo 3.7). . . . . . . . 89
3.7. Superﬁcie mínima de revolución (Ejemplo 3.8). . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.8. Película de jabón entre dos anillos concéntricos de radio c y separados
por una distancia 2d (Ejemplo 3.10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.9. Geodésicas sobre una esfera (Ejemplo 3.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.10. Geodésicas en un cilindro circular recto de radio 1 (Ejemplo 3.15). . . . . 104
3.11. Función n (r) cuya área encerrada ha de maximizarse (Ejemplo 3.18). . . 110
3.12. Cuerda de longitud / colocada entre las orillas de un río de ancho 2c
(Ejemplo 3.19). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.13. Desplazamiento virtual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.14. Camino más corto sobre la superﬁcie de un cono de semiángulo c (Pro-
blema 43). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.15. Geodésicas sobre la superﬁcie de un cilindro circular recto de radio 1
(Problema 51). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.1. (a) Representación de la relación fundamental 1 = 1 (n). (b) Repre-
sentación de una familia de relaciones fundamentales. . . . . . . . . . . . 129
4.2. Una curva dada puede representarse igualmente bien como envolvente
de una familia de líneas tangentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: IX
ÍNDICE DE FIGURAS
4.3. (a) Gráﬁca de una función convexa 1 = 1 (n). (b) Gráﬁca de su tangente
· en función de n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.4. Representación de la relación fundamental 1 para el caso de una sola
variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.1. Partícula de masa : que se desplaza hacia abajo en un plano inclinado
un ángulo o con respecto a la horizontal (Ejemplo 5.1). . . . . . . . . . . . . 164
5.2. Partícula de masa : que se encuentra inmersa en un campo de fuerza
conservativo (Ejemplo 5.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.3. La máquina simple de Atwood (Ejemplo 5.3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.4. Anillo de masa : que se desliza por un alambre, de masa despreciable,
que gira uniformemente (Ejemplo 5.4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.5. Movimieno de un proyectil de masa : bajo la acción de la gravedad en
dos dimensiones (Ejemplo 5.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.6. Partícula de masa : que está obligada a moverse sobre la superﬁcie
interna de un cono liso (Ejemplo 5.6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.7. Un péndulo simple de longitud / y masa pendular : cuyo punto de so-
porte mueve sobre un anillo con velocidad angular constante (Ejemplo
5.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.8. Péndulo simple colocado dentro de un vagón que se mueve con una
aceleración constante c en la dirección +r (Ejemplo 5.8). . . . . . . . . . . 176
5.9. Cuenta de masa : se desplaza a lo largo de un alambre liso, de masa
despreciable, que tiene la forma de la parábola . = c:
2
(Ejemplo 5.9). . . 178
5.10. Sistema de doble polea (Ejemplo 5.10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.11. Cilindro sólido de centro (
t
y radio 1
1
que rueda sin deslizar dentro de la
superﬁcie semicilíndrica ﬁja con centro ( y radio 1
2
1
1
(Ejemplo 5.11). . 181
5.12. Disco de masa ` y radio 1 rueda, sin deslizar, hacia abajo en un plano
inclinado (Ejemplo 5.15). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.13. Partícula de masa :que comienza a moverse desde el reposo, partiendo
de la parte más alta de un hemisferio ﬁjo y liso (Ejemplo 5.17). . . . . . . . 191
5.14. Partícula de masa : que se mueve sobre un plano inclinado móvil (Ejem-
plo 5.18). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.15. Un disco que rueda (sin deslizar) sobre el plano horizontal rn (Ejemplo 5.20).196
5.16. Carrito rectangular homogéneo de masa ` inmerso en un campo eléc-
trico uniforme
÷÷
1 (Ejemplo 5.21). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.17. Cambio del vector de posición debido una traslación del sistema. . . . . 214
5.18. Variación del vector de posición al rotar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: X
ÍNDICE DE FIGURAS
5.19. Una partícula de masa : está obligada a moverse sobre la superﬁcie
interna de un cono liso (Problema 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.20. Una partícula de masa : se desplaza sobre un plano inclinado (Problema
4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.21. Esfera que se desliza, sin rozamiento, en un alambre liso doblado en forma
de cicloide (Problema 7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.22. Péndulo simple (Problema 8). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.23. Péndulo doble (Problema 9). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.24. Dos bloques acoplados mediante una cuerda que pasa a través de una
polea (Problema 11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.25. Bloque de masa : que se desplaza sobre un plano inclinado de masa `
móvil (Problema 12). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.26. Dos bloques acoplados mediante una cuerda que pasa a través de una
polea (Problema 14). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.27. Péndulo esférico (Problema 17). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.28. Péndulo simple cuyo soporte se mueve verticalmente (Problema 19). . . . 230
5.29. Masa : unida a una vara liviana que pivotea por la acción de un aro
que gira (Problema 20). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.30. Masa : sujeta a un soporte ﬁjo mediante un resorte (Problema 21). . . . . 232
5.31. Péndulo de masa : y longitud / sujeto a un bloque de masa despreciable
el cual esta sujeto, a la vez, a una pared mediante un resorte de masa
despreciable (Problema 24). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.1. Partícula de masa : obligada a moverse sobre la superﬁcie de un cilindro
(Ejemplo 6.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
6.2. Péndulo esférico (Ejemplo 6.8). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6.3. Partícula de masa : que se mueve a lo largo del eje r sometida a una
fuerza ÷1r (Ejemplo 6.9). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.4. Partícula de masa : que se mueve en un plano, inmersa en un campo
con energía potencial l = l (:) (Ejemplo 6.10). . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.5. Péndulo simple de masa : y longitud / (Ejemplo 6.11). . . . . . . . . . . . . 258
6.6. Trayectoria de fase en un espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.7. Diagrama de fase para una partícula de masa : obligada a moverse
sobre la superﬁcie de un cilindro (Ejemplo 6.23). . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.8. Diagrama de fase para el péndulo simple (Ejemplo 6.24). . . . . . . . . . . 276
6.9. Partícula de masa : que se desliza bajo la acción de la gravedad y sin
fricción sobre un alambre que tiene forma de parábola n =
a
2
2
(Ejemplo
6.25). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: XI
ÍNDICE DE FIGURAS
6.10. Diagrama de fase para la partícula de masa : que se mueve sobre un
alambre en forma de parábola, para : = 1 y o = 1 (Ejemplo 6.25). . . . . . 278
6.11. Péndulo cónico (Ejemplo 6.26). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6.12. Diagrama de fase para el péndulo cónico (Ejemplo 6.26). . . . . . . . . . . 279
6.13. Diagrama de fase para el ejemplo 6.4 (Ejemplo 6.27). . . . . . . . . . . . . 280
6.14. Evolución de una región en el espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . 280
6.15. Proyección del elemento de volumen sobre el plano ¡
I
. j
I
. . . . . . . . . . 282
6.16. Diagrama de fase para un conjunto de partículas de masa : en un cam-
po gravitacional constante (Ejemplo 6.258). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
6.17. Partícula de masa : está obligada a moverse sobre la superﬁcie interna
de un cono liso (Problema 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
6.18. Máquina simple de Atwood (Problema 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
6.19. Partícula de masa : que se desplaza sobre un plano inclinado (Problema
3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.20. Pequeña esfera que se desliza, sin rozamiento, en un alambre liso dobla-
do en forma de cicloide (Problema 4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.21. Péndulo simple cuya cuerda es de longitud variable (Problema 8). . . . . 294
6.22. Partícula de masa : que se mueve, bajo la inﬂuencia de la gravedad, a
lo largo de la espiral (Problema 9). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
C.1. Función arbitraria : (r). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: XII
Prefacio
E
l presente texto constituye un intento de ...
XIII
Parte I
Fundamentos físicos y matemáticos
básicos para estudiar Mecánica de
Lagrange y Hamilton
1
CAPÍTULO 1
Dinámica de un sistema de partículas
Contents
1.1. Sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Clasi…cación de los sistemas de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Fuerzas en un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1. Externas e internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2. Aplicadas y de reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1. Para un sistema discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2. Para un sistema continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.3. Para un sistema compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Movimiento del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6. Momento lineal y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7. Momento angular y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8. Energía y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8.1. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8.2. Energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8.3. Conservación de la energía mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
1.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.1. Sistema de partículas
Los cuerpos que se observan a simple vista están formados por un gran número
de partículas, macroscópicas, atómicas o subatómicas. Sólo en ciertos casos es váli-
da la simpliﬁcación que supone el modelo de la masa puntual. En otros casos, por el
contrario, será necesario considerar el sistema como si estuviesen formados por varias
partículas.
Se llama sistema de partículas o sistema mecánico a un conjunto de varias
partículas, de número ﬁnito o inﬁnito, de las cuales se quiere estudiar su movi-
miento.
Por otro lado,
Se llama conﬁguración de un sistema a la posición de cada una de sus
partículas en un instante dado.
Para deﬁnir la conﬁguración se necesita un determinado número de parámetros,
según el sistema de que se trate. Por ejemplo, una partícula libre precisa de tres pará-
metros: las coordenadas Cartesianas, (r. n. .). Un sistema de ` partículas libres queda
deﬁnido por 3` parámetros. Sin embargo, si existen ligaduras (detalles en el capítulo
2) que restrinjan el movimiento, el número de parámetros preciso para deﬁnir la conﬁ-
guración será menor.
1.2. Clasiﬁcación de los sistemas de partículas
Un sistema de partículas puede ser clasiﬁcado como:
1.2.1. Discreto
Este modelo de sistema de partículas considera el cuerpo formado por un
número ﬁnito de partículas. Dentro de este modelo se pueden considerar los sistemas
indeformables, en los cuales la distancia relativa entre las partículas del sistema per-
manece inalterable en el tiempo y los deformables, en los cuales puede cambiar la
distancia relativa entre las partículas.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 4
1.3. FUERZAS EN UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
1.2.2. Continuo
Este modelo de sistema de partículas considera el cuerpo formado por una
distribución continua de materia, es decir, por un número inﬁnito de partículas. A nivel
macroscópico, un cuerpo puede considerarse formado por una distribución continua
de materia, llenando todo el espacio que ocupa (esta consideración no es cierta a
nivel microscópico ya que se sabe de la discontinuidad de la materia). En este modelo
también se consideran los sistemas deformables y los indeformables (sólidos rígidos).
1.3. Fuerzas en un sistema de partículas
En un sistema de partículas están involucradas fuerzas. Las fuerzas ejercidas so-
bre las partículas de un sistema son las causantes de la variación del movimiento de
las mismas y es posible clasiﬁcarlas atendiendo a varios criterios (ver ﬁgura 1.1):
Figura (1.1): Tipos de fuerzas en un sistema de partículas.
1.3.1. Externas e internas
Resulta conveniente en estos modelos clasiﬁcar las fuerzas que intervienen, ya
que las partículas del sistema no sólo están interaccionando entre sí sino con otras
partículas que no pertenecen al sistema en estudio, en fuerzas externas y fuerzas inter-
nas.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 5
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
Fuerzas externas
Las fuerzas externas son ejercidas por agentes externos al sistema, es decir,
son las que están aplicadas a partículas del sistema debidas a partículas que no
pertenecen al sistema.
A un sistema de partículas sobre el cual no se aplican fuerzas externas se
le denomina Sistema Aislado o sistema cerrado. Es decir, es un sistema que no
interacciona con otros agentes físicos situados fuera de él y, por tanto, no está
conectado çausalmente"ni correlacionalmente con nada externo a él.
Fuerzas internas
Las fuerzas internas, en caso contrario, son ejercidas entre las partículas que
constituyen al sistema, es decir, son las que están aplicadas en las partículas del sis-
tema debidas a otras partículas del mismo sistema. Tanto la acción como la reacción
se producen sobre partículas del propio sistema.
1.3.2. Aplicadas y de reacción
Se pueden clasiﬁcar también en aplicadas y de reacción.
Aplicadas
A este tipo de fuerzas también se les denomina fuerzas activas. Las fuerzas apli-
cadas son aquellas que actúan a “motu propio” sobre el sistema, es decir, son las
fuerzas impuestas.
De reacción
A este tipo de fuerzas también se les denomina fuerzas reactivas o también
fuerzas de ligadura. Este tipo de fuerzas son aquellas que actúan como respuesta a
un movimiento determinado que intentan impedir, en cuyo caso sólo se dan cuando
existe la tendencia a este movimiento.
La tercera ley de Newton juega un papel muy importante en la dinámica de un
sistema de partículas debido a las fuerzas internas entre las partículas que constituyen
el sistema. Dos suposiciones son necesarias referentes a las fuerzas internas:
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 6
1.3. FUERZAS EN UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
Figura (1.2): Forma fuerte de la tercera ley de Newton.
1. Las fuerzas ejercidas entre dos partículas :
j
y :
;
son iguales en magnitud y opues-
tas en dirección. Si se denota por
÷÷
1
(ja)
j;
la fuerza (interna del sistema de partículas)
ejercida sobre la i-ésima partícula debido a la ,-ésima, entonces la llamada forma
“débil” de la tercera ley de Newton se escribe como,
÷÷
1
(ja)
j;
= ÷
÷÷
1
(ja)
;j
(1.1)
2. Las fuerzas ejercidas entre dos partículas :
j
y :
;
, además de ser iguales y opuestas,
deben darse sobre la línea recta que une a ambas partículas, es decir, si
÷÷
1
(ja)
j;
es
paralela a
÷÷
:
j
÷
÷÷
:
;
. Esta forma más restringida de la tercera ley de Newton, llamada
también la forma “fuerte”, es mostrada en la ﬁgura 1.2. A las fuerzas que cumplen
esta forma de la tercera ley de Newton se le denominan fuerzas centrales.
Se debe tener cuidado en saber cuándo es aplicable cada una de las formas de
la tercera ley de Newton. En verdad, muchas son las fuerzas que obedecen ambas
formas de la tercera ley de Newton. Por ejemplo, las fuerza gravitacional y la fuerza
electrostática tienen esta propiedad, conservándose el momento lineal total y el mo-
mento angular en estos sistemas. Sin embargo, existen algunas fuerzas que, en general,
no cumplen con ambas formas a la vez! y el ejemplo más famoso lo constituye la fuerza
de Lorentz que viene dada por,
÷÷
1
j;
= ¡
j
÷÷
·
j

÷÷
1
j;
(1.2)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 7
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
que se estudia en el curso de electromagnetismo y donde
÷÷
·
j
es la velocidad de la
carga ¡
j
y
÷÷
1
j;
es el campo magnético sobre la carga ¡
j
generado por el movimiento
de la carga ¡
;
. Esta fuerza, en general, sólo obedece a la forma débil de la tercera
ley de Newton. Para visualizar esto, considérense dos partículas cargadas ¡
j
y ¡
j
que
se mueven con velocidades respectivas
÷÷
·
j
y
÷÷
·
;
en el plano de esta página, como se
muestra en la ﬁgura 1.3.
Figura (1.3): Fuerzas interacción electromagnética de entre dos partículas cargadas c
i
y c
j
en movimien-
to.
Puesto que
÷÷
1
j;
es perpendicular a ambos
÷÷
·
j
y
÷÷
1
j;
( el cual puede apuntar hacia
adentro o hacia afuera del plano de esta página),
÷÷
1
j;
puede ser paralela a
÷÷
1
;j
sólo
cuando
÷÷
·
j
y
÷÷
·
;
son paralelas, lo cual no es cierto en general.
Cualquier fuerza que dependa de las velocidades de los cuerpos interactuantes
no es central, por lo tanto no es aplicable la forma fuerte. La fuerza gravitacional
entre cuerpos en movimiento también depende de la velocidad, pero el efecto es
pequeño y difícil de detectar. El único efecto observable es la precesión del perihelio
de los planetas interiores (Mercurio, Venus, Tierra y Marte).
1.4. Centro de masa
1.4.1. Para un sistema discreto
Para deﬁnir el centro de masa de un sistema de partículas discreto, pártase
de uno formado por ` partículas de masas :
1
. :
2
. .... :
.
cuyos vectores de posición
son
÷÷
:
1
.
÷÷
:
2
. ....
÷÷
:
.
respectivamente con respecto al origen del sistema de referencia
escogido, el cual es inercial (ver ﬁgura 1.4). La masa total ` del sistema vendrá dada
por,
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 8
1.4. CENTRO DE MASA
Figura (1.4): Posición del centro de masa de un sistema de partículas.
` =
.
¸
j=1
:
j
(1.3)
Ahora bien,
El centro de masa de un sistema de partículas se deﬁne como el punto cuyo
vector de posición
÷÷
1 viene dado por,
÷÷
1 =
1
`
.
¸
j=1
:
j
÷÷
:
j
(1.4)
Las componentes Cartesianas de (1.4) son,
r
cn
=
1
A
.
¸
j=1
:
j
r
j
n
cn
=
1
A
.
¸
j=1
:
j
n
j
.
cn
=
1
A
.
¸
j=1
:
j
.
j
(1.5)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.1
Sistema discreto bidimensional. Un sistema consta de tres partículas
de masas :
1
= 2 1o, :
2
= 4 1o y :
3
= 8 1o, localizadas en los vértices de un triángulo
rectángulo como se muestra en la ﬁgura 1.5. Encuéntrese la posición del centro de
masa del sistema respecto al referencial dado.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 9
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
Figura (1.5): Sistema discreto formado por tres partículas situadas en los vértices de un triángulo rectán-
gulo (Ejemplo 1.1).
Solución: Al usar (1.5),
r
cn
=
1
`
3
¸
j=1
:
j
r
j
=
:
1
r
1
+ :
2
r
2
+ :
3
r
3
:
1
+ :
2
+ :
3
=
(21o) (/ + d) + (41o) (/) + (81o) (/ + d)
21o + 41o + 81o
=
5
7
d + / (1.6)
n
cn
=
1
`
3
¸
j=1
:
j
n
j
=
:
1
n
1
+ :
2
n
2
+ :
3
n
3
:
1
+ :
2
+ :
3
=
(21o) (0) + (41o) (0) + (81o) (/)
21o + 41o + 81o
=
4
7
/ (1.7)
Entonces, de los resultados (1.6) y (1.7), el centro de masa está en la posición,
÷÷
1 =

5
7
d + /.
4
7
/

=

5
7
d + /

´ c
a
+
4
7
/´ c
&
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Para un sistema continuo
En el caso de un sistema continuo se tiene que,
÷÷
1 =
1
`

÷÷
: d:, con ` =

d: (1.8)
cuyas componentes Cartesianas son,
r
cn
=
1
A

rd: n
cn
=
1
A

nd: .
cn
=
1
A

.d: (1.9)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 10
1.4. CENTRO DE MASA
Las anteriores integrales pueden simples si el sistema continuo es unidimensional,
dobles (integrales de superﬁcie) si lo es bidimensional y triples (integrales de volumen)
si lo es tridimensional.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.2
Sistema continuo unidimensional. Encuéntrese el centro de masa de
un aro semicircular homogéneo de radio c y densidad lineal \ (ver ﬁgura 1.6).
Figura (1.6): Aro semicircular homogéneo de radio a y densidad lineal ` (Ejemplo 1.2).
Solución: Tomando un referencial cuyo origen esté en el centro de la circunsferen-
cia que genera el aro, por la simetría del problema,
r
cn
= 0 (1.10)
Por otro lado, a partir de (1.9),
n
cn
=
1
`

nd: =

nd:

d:
(1.11)
donde, en coordenadas polares,
d: = \cdo (1.12)
por lo tanto, al sustituir (1.12) en (1.11),
n
cn
=

nd:

d:
=

¬
0
\ncdo

¬
0
\cdo
=

¬
0
(c Sen o) do

¬
0
do
=
2c
:
(1.13)
Entonces, de los resultados (1.10) y (1.13), el centro de masa está en la posición,
÷÷
1 =

0.
2c
:

=
2c
:
´ c
&
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 11
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
Figura (1.7): Cono sólido homogéneo de altura / y base de radio a (Ejemplo 1.3).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.3
Sistema continuo tridimensional. Encuéntrese el centro de masa de
un cono sólido homogéneo de altura / y radio de la base c (ver ﬁgura 1.7).
Solución: Tomando un referencial cuyo origen esté en el centro de la base del co-
mo, de manera que esta última esté contenida en el plano rn, se encuentra, por la
simetría del problema,
r
cn
= n
cn
= 0 (1.14)
Por otro lado, a partir de (1.9), utilizando coordenadas cilíndricas y puesto que la
densidad del cono es j =constante (por ser homogéneo), se puede escribir,
.
cn
=
1
`

.d: =

.d:

d:
(1.15)
donde,
d: = j:d:dod. (1.16)
por lo tanto, al sustituir (1.16) en (1.15),
.
cn
=

.d:

d:
=

÷
I
a
v+I
0

2¬
0

o
0
j.:d:dod.

÷
I
a
v+I
0

2¬
0

o
0
j:d:dod.
=
1
4
/ (1.17)
con respecto a su base. Entonces, de los resultados (1.14) y (1.17), el centro de masa
está en la posición,
÷÷
1 =

0. 0.
1
4
/

=
1
4
/´ c
:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.4. CENTRO DE MASA
1.4.3. Para un sistema compuesto
Considérese un sistema o discreto de ` partículas que ha sido subdividido (por
completo) en : subsistemas o
1
,o
2
,o
3
,...,o
c
(ver ﬁgura 1.8). Si :
1
, :
2
, :
3
,...,:
c
representan el
número de partículas de cada uno de los subsistemas debe cumplirse que,
Figura (1.8): Sistema o discreto de · partículas subdividido (por completo) en : subsistemas o
1
,o
2
,o
3
,...,o
s
.
` = :
1
+ :
2
+ :
3
+ ... + :
c
=
c
¸
;=1
:
;
(1.18)
Cada uno de los subsistemas tienen su centro de masa posicionados en
÷÷
1
1
,
÷÷
1
2
,
÷÷
1
3
,...,
÷÷
1
c
y masas totales `
1
,`
2
,`
3
,...,`
c
. Para el subsistema 1 se tiene que su masa total viene
dada por,
`
1
= :
11
+ :
12
+ :
13
+ ... + :
1a
1
=
a
1
¸
j=1
:
1j
(1.19)
(el primer índice indica el sistema y el segundo cada una de las masas de dicho sis-
tema) y los vectores de posición de cada una de las masas de las partículas que lo
integran viene dado por
÷÷
:
11
,
÷÷
:
12
,
÷÷
:
13
,...,
÷÷
:
1a
1
. Para los restantes : ÷ 1 subsistemas se
hace de forma análoga.
Por la deﬁnición de centro de masa (1.4) se tendrá, para cada uno de los : subsis-
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 13
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
temas de partículas,
Subsistema 1:
÷÷
1
1
=
1
A
1
a
1
¸
j=1
:
1j
÷÷
:
1j
Subsistema 2:
÷÷
1
2
=
1
A
2
a
2
¸
j=1
:
2j
÷÷
:
2j
Subsistema 3:
÷÷
1
3
=
1
A
3
a
3
¸
j=1
:
3j
÷÷
:
3j
.
.
.
Subsistema ::
÷÷
1
c
=
1
As
as
¸
j=1
:
cj
÷÷
:
cj
(1.20)
Por otro lado, al usar la deﬁnición(1.4), el centro de masa del sistema o viene dado
por,
÷÷
1
S
=
a
1
¸
j=1
:
1j
÷÷
:
1j
+
a
2
¸
j=1
:
2j
÷÷
:
2j
+
a
3
¸
j=1
:
3j
÷÷
:
3j
+ .... +
as
¸
j=1
:
cj
÷÷
:
cj
a
1
¸
j=1
:
1j
+
a
2
¸
j=1
:
2j
+
a
3
¸
j=1
:
3j
+ .... +
as
¸
j=1
:
cj
(1.21)
Finalmente, al sustituir (1.20) en (1.21) resulta,
÷÷
1
S
=
`
1
÷÷
1
1
+ `
2
÷÷
1
2
+ `
3
÷÷
1
3
+ .... + `
c
÷÷
1
c
`
1
+ `
2
+ `
3
+ .... + `
c
=
1
`
S
c
¸
;=1
`
;
÷÷
1
;
, con , = 1. 2. 3. .... : (1.22)
por lo tanto:
En los sistemas compuestos se pueden encontrar los centros de masa de los
sistemas parciales o subsistemas y, a partir de ellos, calcular el centro de masa
del sistema completo. A esta propiedad del centro de masa se le conoce como
propiedad de agrupamiento.
Es fácil mostrar que lo mismo ocurre para sistemas compuestos continuos.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.4
Sistema compuesto. Encuéntrese el centro de masa del sistema mos-
trado en la ﬁgura 1.9 que consiste en una concha hemisférica de radio externo c e
interno / y un hemisferio sólido de radio c, ambos homogéneos de densidad j.
Solución: La posición del centro de masa de la concha hemisférica y el hemisferio
sólido vienen dadas por (ver problemas 2 y 3),
÷÷
1
concha
=
÷÷
1
1
=
3 (c
4
÷/
4
)
8 (c
3
÷/
3
)
´ c
:
, con `
1
=
4
3
:j

c
3
÷/
3

÷÷
1
hemisferio
=
÷÷
1
2
= ÷
3
8
c´ c
:
, con `
2
=
4
3
:jc
3
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 14
1.5. MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
Figura (1.9): Centro de masa de un sistema compuesto por una concha hemisférica y un hemisferio
sólido homogéneo acoplados (Ejemplo 1.4).
Ahora, por la propiedad de agrupamiento del centro de masa (1.22),
÷÷
1
S
=
1
`
S
¸
;
`
;
÷÷
1
;
=
`
1
÷÷
1
1
+ `
2
÷÷
1
2
`
1
+ `
2
=
4
3
:j (c
3
÷/
3
)
3(o
4
÷b
4
)
8(o
3
÷b
3
)
´ c
:
+
4
3
:jc
3

÷
3
8
c´ c
:

4
3
:j (c
3
÷/
3
) +
4
3
:jc
3
= ÷
3
8
/
4
2c
3
÷/
3
´ c
:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Movimiento del centro de masa
Supóngase que se tiene un sistema constituido por ` partículas que interactúan
entre sí y sobre el cual actúan fuerzas externas, entonces la fuerza resultante sobre la
i-ésima partícula estará compuesta (en general) por dos partes: una parte es la resul-
tante de todas las fuerzas externas
÷÷
1
(ca)
j
y, la otra parte, de todas las fuerzas internas
÷÷
1
(ja)
j
que se originan de la interacción de todas las otras `÷1 partículas con la i-ésima.
La fuerza
÷÷
1
(ja)
j
podrá ser calculada mediante la suma vectorial de todas las fuerzas
individuales
÷÷
1
(ja)
j;
(como se dijo antes, debe leerse como la fuerza aplicada sobre la
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 15
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
i-ésima partícula debida a la ,-ésima),
÷÷
1
(ja)
j
=
.
¸
;=1
÷÷
1
(ja)
j;
(1.23)
Por lo tanto, la fuerza total
÷÷
1
j
sobre la i-ésima partícula vendrá dada por,
÷÷
1
j
=
÷÷
1
(ca)
j
+
÷÷
1
(ja)
j
(1.24)
Ahora bien, a partir de la segunda ley de Newton, se puede escribir para la i-ésima
partícula,
÷÷
1
j
=
«
÷÷
j
j
= :
j
««
÷÷
:
j
=
÷÷
1
(ca)
j
+
÷÷
1
(ja)
j
(1.25)
o también, en virtud de (1.23) y un pequeño cambio en la derivada,
d
2
dt
2
(:
j
÷÷
:
j
) =
÷÷
1
(ca)
j
+
.
¸
;=1
÷÷
1
(ja)
j;
(1.26)
y al sumar sobre i en ambos miembros de esta expresión,
d
2
dt
2

.
¸
j=1
:
j
÷÷
:
j

=
.
¸
j=1
÷÷
1
(ca)
j
+
.
¸
j=1
.
¸
;=1
÷÷
1
(ja)
j;
j,=; (no hay auto-fuerzas)
(1.27)
que representa la fuerza total respecto al origen del referencial escogido.
Si se sustituye
.
¸
j=1
:
j
÷÷
:
j
a partir de (1.4) en (1.27) resulta,
d
2
dt
2

`
÷÷
1

=
÷÷
1
(ca)
+
.
¸
j.;=1 j,=;
÷÷
1
(ja)
j;
(1.28)
donde
÷÷
1
(ca)
=
.
¸
j=1
÷÷
1
(ca)
j
es la resultante de todas las fuerzas externas y se ha hecho el
cambio de notación
.
¸
j=1
.
¸
;=1
j,=;
=
.
¸
j.;=1 j,=;
. Pero si se supone que se cumple la tercera ley de
Newton (1.1),
.
¸
j.;=1 j,=;
÷÷
1
(ja)
j;
=
.
¸
j.;=1 j<;

÷÷
1
(ja)
j;
+
÷÷
1
(ja)
;j

=
÷÷
0 (1.29)
por lo tanto al sustituir (1.29) en (1.28),
`
««
÷÷
1 =
÷÷
1
(ca)
(1.30)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 16
1.5. MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
que es un resultado importantísimo que dice lo siguiente:
El centro de masa de un sistema de partículas se mueve como si fuera una
partícula real, de masa igual a la masa total del sistema sobre el cual actúa
la fuerza externa total e independientemente de la naturaleza de las fuerzas
internas, siempre que se cumpla la tercera ley de Newton.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.5
Dos partículas de masas iguales se atraen con una fuerza inversa-
mente proporcional al cuadrado de su distancia ÷/d
2
(/ constante positiva). Si las
partículas se deslizan sobre correderas lisas en ángulo recto (ver ﬁgura 1.10), demuestre
que el centro de masa describe una cónica con su foco en la intersección de las
correderas.
Figura (1.10): Dos partículas de masas iguales que se deslizan sobre correderas lisas en ángulo recto
(Ejemplo 1.5).
Solución: De la ﬁgura 1.10, las coordenadas de cada partícula vendrán dadas por,
Para la que se mueve verticalmente (partícula 1) ÷÷ (0. n)
Para la que se mueve horizontalmente (partícula 2) ÷÷ (r. 0)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 17
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
por lo tanto, al usar (1.5),
r
cn
=
1
`
¸
j
:
j
r
j
=
:
1
r
1
+ :
2
r
2
:
1
+ :
2
=
:(0) + :(r)
: + :
=
1
2
r (1.31)
n
cn
=
1
`
¸
j
:
j
n
j
=
:
1
n
1
+ :
2
n
2
:
1
+ :
2
=
(:) (n) + (:) (0)
: + :
=
1
2
n (1.32)
de aquí que,
÷÷
1 =

1
2
r.
1
2
n

=
1
2
r´ c
a
+
1
2
n´ c
&
y,
1 =
1
2

r
2
+ n
2
=
1
2
d =d = 21 (1.33)
Por otro lado, la ecuación de movimiento de la partícula 1 y la 2 vendrán dadas
respectivamente por,
:
««
r = 1 Cos o = ÷
/
d
2
Cos o = ÷
/r
d
3
(1.34)
:
««
n = 1 Sen o = ÷
/
d
2
Sen o = ÷
/n
d
3
(1.35)
ya que, de la ﬁgura 1.10,
Cos o =
r
d
y Sen o =
n
d
(1.36)
Ahora bien, al sustituir (1.31) para r en (1.34) resulta,
:
d
2
dt
2
(2r
cn
) = ÷
/ (2r
cn
)
d
3
o,
««
r
cn
= ÷
/r
cn
:d
3
(1.37)
y, de forma análoga, al sustituir (1.32) para n en (1.35) resulta,
««
n
cn
= ÷
/n
cn
:d
3
(1.38)
entonces,
÷÷
c
cn
=
««
÷÷
1 =
««
r
cn
´ c
a
+
««
n
cn
´ c
&
= ÷
/r
cn
:d
3
´ c
a
÷
/n
cn
:d
3
´ c
&
= ÷
/
:d
3
(r
cn
´ c
a
+ n
cn
´ c
&
) = ÷
/
:d
3
÷÷
1 (1.39)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 18
1.6. MOMENTO LINEAL Y SU CONSERVACIÓN
y por (1.33),
÷÷
c
cn
= ÷
/
8:1
3
÷÷
1
o,
÷÷
c
cn
= ÷
/
8:1
2
´ c
1
(1.40)
donde ´ c
1
=
÷÷
1
1
es un vector unitario en la dirección de
÷÷
1.
Del resultado (1.40) se puede argüir que el centro de masa es atraído hacia ( con
una fuerza que es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia a dicho
punto (. Cuando se estudió el movimiento de una partícula en un campo de fuerza
central, se pudo demostrar que para una fuerza de este tipo la trayectoria seguida es
una cónica, por lo tanto, en este caso el centro de masa del sistema sigue este tipo
de trayectoria.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Momento lineal y su conservación
El momento lineal de la i-ésima partícula puede escribirse como,
÷÷
j
j
= :
j
«
÷÷
:
j
(1.41)
y al sumar sobre i en ambos miembros de esta expresión, se obtiene el momento lineal
total
÷÷
j del sistema,
÷÷
j =
.
¸
j=1
÷÷
j
j
=
.
¸
j=1
:
j
«
÷÷
:
j
(1.42)
o también,
÷÷
j =
d
dt

.
¸
j=1
:
j
÷÷
:
j

(1.43)
ahora, si se sustituye
.
¸
j=1
(:
j
÷÷
:
j
) a partir de (1.4) resulta,
÷÷
j =
d
dt

`
÷÷
1

= `
«
÷÷
1 (1.44)
que es otro resultado importantísimo y que dice lo siguiente:
El momento lineal de un sistema de partículas es el mismo que si fuera una
partícula real de masa ` localizada en la posición de centro de masa y que se
mueve de la manera en que él lo hace. Es decir, el momento lineal del sistema
de partículas es el mismo de su centro de masa.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 19
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
Además, al derivar con respecto al tiempo (1.44) y teniendo presente (1.30) se ob-
tiene,
«
÷÷
j = `
««
÷÷
1 =
÷÷
1
(ca)
(1.45)
de la cual se puede enunciar la ley de conservación del momento lineal para un
sistema de partículas de la siguiente manera:
El momento lineal para un sistema de partículas libre de fuerzas externas
(
÷÷
1
(ca)
=
÷÷
0 ), es constante e igual al momento lineal de su centro de masa.
1.7. Momento angular y su conservación
El momento angular
÷÷
L de la i-ésima partícula en en torno al origen del sistema
de referencia viene dado por,
÷÷
L
j
=
÷÷
:
j

÷÷
j
j
(1.46)
que al sumar sobre i en sus dos miembros proporciona el momento angular total
÷÷
L del
sistema de partículas, pudiéndose escribir,
Figura (1.11): Vector de posición
÷÷
r
0
i
.
÷÷
L =
¸
j
÷÷
L
j
=
¸
j
÷÷
:
j

÷÷
j
j
=
¸
j

÷÷
:
j
:
j
«
÷÷
:
j

(1.47)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 20
1.7. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN
Defínase ahora un vector de posición
÷÷
:
t
j
, que posicione a la i-ésima partícula con
respecto al centro de masa del sistema. Este vector es mostrado en la ﬁgura 1.11, de
la cual se puede deducir que,
÷÷
:
j
=
÷÷
:
t
j
+
÷÷
1 (1.48)
Ahora, al sustituir (1.48) en (1.47) resulta,
÷÷
L =
.
¸
j=1
¸

÷÷
:
t
j
+
÷÷
1

:
j

«
÷÷
:
t
j
+
«
÷÷
1
¸
=
.
¸
j=1
¸
:
j

÷÷
:
t
j

«
÷÷
:
t
j
+
÷÷
:
t
j

«
÷÷
1 +
÷÷
1
«
÷÷
:
t
j
+
÷÷
1
«
÷÷
1
¸
=
.
¸
j=1

÷÷
:
t
j
:
j
«
÷÷
:
t
j

.
¸
j=1
:
j
÷÷
:
t
j

«
÷÷
1 +
÷÷
1
d
dt

.
¸
j=1
:
j
÷÷
:
t
j

+
.
¸
j=1
:
j

÷÷
1
«
÷÷
1

(1.49)
pero,
:
j
«
÷÷
:
t
j
=
÷÷
j
t
j
,
.
¸
j=1
:
j
= ` (1.50)
.
¸
j=1
:
j
÷÷
:
t
j
=
.
¸
j=1

:
j

÷÷
:
j
÷
÷÷
1

. .. .
=
Por (1.48)
.
¸
j=1
:
j
÷÷
:
j
÷
.
¸
j=1
:
j
÷÷
1
= `
÷ ÷
1
....
Por (1.4)
÷`
÷÷
1 =
÷÷
0 (1.51)
esta última indica que
.
¸
j=1
:
j
÷÷
:
t
j
especiﬁca la posición del centro de masa en el sistema
de coordenadas del mismo centro de masa. Ahora debido a (1.50) y (1.51), la expre-
sión (1.49) queda escrita como,
÷÷
L =
÷ ÷
1 `
«
÷÷
1 +
.
¸
j=1
÷÷
:
t
j

÷÷
j
t
j
o debido a (1.44),
÷÷
L =
÷÷
1
÷÷
j
. .. .
Término 1
+
.
¸
j=1
÷÷
:
t
j

÷÷
j
t
j
. .. .
Término 2
(1.52)
de la que se puede concluir que:
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 21
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
El momento angular total del sistema de partículas respecto al origen de un
referencial escogido es la suma del momento angular del centro de masa del
sistema respecto a dicho origen (término 1) y el momento angular del sistema
con respecto a la posición del centro de masa (término 2).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.6
Un aro homogéneo, de radio c, rueda sobre una superﬁcie lisa con
frecuencia angular constante (ver ﬁgura 1.12). Encuentre el momento angular total.
Figura (1.12): Aro homogéneo, de radio a, que rueda sobre una superﬁcie lisa con frecuencia angular
constante (Ejemplo 1.6).
Solución: El centro de masa del aro coincide con su centro geométrico por ser
homogéneo. Según (1.52) el momento angular total respecto al origen ( es la suma
del momento angular del centro de masa del sistema respecto a dicho origen
÷÷
1
÷÷
j
y el momento angular del sistema con respecto a la posición del centro de masa
÷÷
L
cn
,
÷÷
L =
÷÷
1
÷÷
j +
÷÷
L
cn
(1.53)
Para el presente caso,
L
cn
= 1
cn
. (1.54)
donde 1
cn
es el momento de inercia en torno al centro de masa y,

÷÷
1
÷÷
j

= 1j = c`· (1.55)
donde · es la velocidad del centro de masa. Por lo tanto, al sustituir (1.54) y (1.55) en
(1.53),
L = c`· + 1
cn
. = c
2
`.
. .. .
·=o.
+ 1
cn
.
=

1
cn
+ `c
2

. (1.56)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 22
1.7. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN
pero
1
,
1
cn
+ `c
2
= 1 (1.57)
donde 1 es el momento de inercia en torno a (, entonces, de (1.56) y (1.57),
L = 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Por otro lado, la derivada temporal del momento angular de la i-ésima partícula
es, a partir de (1.46),
«
÷÷
L
j
=
«
÷÷
:
j

÷÷
j
j
. .. .
=
÷÷
0
+
÷÷
:
j

«
÷ ÷
j
j
=
÷÷
:
j

«
÷÷
j
j
=
÷÷
:
j

÷÷
1
(ca)
j
+
.
¸
;=1
÷÷
1
(ja)
j;

. .. .
Por (1.23) y (1.25)
(1.58)
y al sumar sobre i en ambos miembros,
«
÷÷
L =
.
¸
j=1
«
÷÷
L
j
=
.
¸
j=1
÷÷
:
j

÷÷
1
(ca)
j
+
.
¸
j.;=1 j,=;
÷÷
:
j

÷÷
1
(ja)
j;
(1.59)
pero,
.
¸
j.;=1 j,=;
÷÷
:
j

÷÷
1
(ja)
j;
=
.
¸
j.;=1 j<;

÷÷
:
j

÷÷
1
(ja)
j;
+
÷÷
:
;

÷÷
1
(ja)
;j

. .. .
De forma análoga a (1.29)
=
.
¸
j.;=1 j<;

÷÷
:
j

÷÷
1
(ja)
j;
÷
÷÷
:
;

÷÷
1
(ja)
j;

. .. .
en virtud de (1.1)
=
.
¸
j.;=1 j<;
(
÷÷
:
j
÷
÷÷
:
;
)
÷÷
1
(ja)
j;
(1.60)
y puesto que el vector que posiciona a la i-ésima partícula con respecto a la ,-ésima
se puede deﬁnir como (ver ﬁgura 1.13),
÷÷
:
j;
=
÷÷
:
j
÷
÷÷
:
;
(1.61)
entonces de (1.60) y (1.61) se puede escribir (1.59) como,
«
÷÷
L =
.
¸
j=1
÷÷
:
j

÷÷
1
(ca)
j
+
¸
j.;=1 j<;
÷÷
:
j;

÷÷
1
(ja)
j;
(1.62)
1
Teorema de Steiner.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 23
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
Figura (1.13): Vector de posición
÷÷
r
ij
.
Si en este momento se limita estudio a fuerzas internas centrales, entonces debido
a que en este caso
÷÷
1
(ja)
j;
va a lo largo de la misma dirección de ±
÷÷
:
j;
, entonces
.
¸
j.;=1 j<;
÷÷
:
j;

÷÷
1
(ja)
j;
=
÷÷
0 (1.63)
y, por lo tanto, es posible escribir a partir de (1.62),
«
÷÷
L =
.
¸
j=1
÷÷
:
j

÷÷
1
(ca)
j
(1.64)
que es justamente (el miembro derecho) la suma de todos los torques t
(ca)
j
externos,
«
÷÷
L =
.
¸
j=1
t
(ca)
j
= t
(ca)
(1.65)
de aquí que se pueda concluir lo siguiente respecto a la conservación del momento
angular de un sistema de partículas:
Si el torque externo resultante en torno a un eje dado se anula, entonces el
momento angular total del sistema en torno al mismo eje permanece constante
en el tiempo, es decir, se conserva.
Se debe notar que,
.
¸
;=1
÷÷
:
j

÷÷
1
(ja)
j;
(1.66)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 24
1.8. ENERGÍA Y SU CONSERVACIÓN
es el torque sobre la i-ésima partícula debido a todas las fuerzas internas, es decir, es
el torque interno. Puesto que la suma de esta cantidad sobre todas las partículas i se
anula [ver (1.63)], el torque interno total se anula, es decir:
El torque interno total de un sistema de partículas se anula si las fuerzas
internas son centrales, es decir, si cumplen con la forma fuerte de la tercera ley
de Newton y el momento angular de un sistema de partículas no se altera si no
hay fuerzas externas aplicadas.
1.8. Energía y su conservación
1.8.1. Energía cinética
Supóngase que un determinado sistema de partículas pasa de una conﬁgutación
1 en la cual todas las coordenadas
÷÷
:
j
se especiﬁcan a una conﬁguración 2 en la cual
las coordenadas
÷÷
:
j
se especiﬁcan de alguna forma diferente. El trabajo \
12
realizado
para pasar de la conﬁguración 1 a la 2 vendrá dado por,
\
12
=
.
¸
j=1

conf. 2
conf. 1
÷÷
1
j
« d
÷÷
:
j
(1.67)
donde
÷÷
1
j
es la fuerza resultante que actúa sobre la i-ésima partícula. Pero,
÷÷
1
j
« d
÷÷
:
j
=

:
j
d
÷÷
·
j
dt

d
÷÷
:
j
dt
dt

=

:
j
d
÷÷
·
j
dt

« (
÷÷
·
j
dt)
=
1
2
:
j
d
dt
(
÷÷
·
j
«
÷÷
·
j
) dt =
1
2
:
j
d
dt

·
2
j

dt = d

1
2
:
j
·
2
j

(1.68)
entonces, al sustituir (1.68) en (1.67) resulta,
\
12
=
.
¸
j=1

conf. 2
conf. 1
d

1
2
:
j
·
2
j

=
.
¸
j=1
1
2
:
j
·
2
j

conf. 2
conf. 1
=
.
¸
j=1
1
2
:
j
·
2
j2
÷
.
¸
j=1
1
2
:
j
·
2
j1
= 1
2
÷1
1
(1.69)
donde,
1 =
.
¸
j=1
1
j
=
.
¸
j=1
1
2
:
j
·
2
j
(1.70)
es la energía cinética total.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 25
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
Por otro lado, si se deriva con respecto al tiempo la expresión (1.48) y se despeja
«
÷÷
:
j
. resulta,
«
÷÷
:
j
=
«
÷÷
:
t
j
+
«
÷÷
1 (1.71)
entonces,
·
2
j
=
«
÷÷
:
j
«
«
÷÷
:
j
=

«
÷÷
:
t
j
+
«
÷÷
1

=
«
÷÷
:
t
j
«
«
÷÷
:
t
j
+
«
÷÷
:
t
j
«
«
÷÷
1 +
«
÷÷
1 «
«
÷÷
:
t
j
+
«
÷÷
1 «
«
÷÷
1
= ·
t2
j
+ 2
«
÷÷
:
t
j
«
«
÷÷
1 + \
2
(1.72)
donde
÷÷
·
t
j
=
«
÷÷
:
t
j
y \ es la velocidad del centro de masa del sistema de partículas.
Entonces en base a (1.72) se puede escribir (1.70) como,
1 =
.
¸
j=1
1
2
:
j

·
t2
j
+ 2
«
÷÷
:
t
j
«
«
÷÷
1 + \
2

=
.
¸
j=1
1
2
:
j
·
t2
j
+
«
÷÷
1 «
d
dt

.
¸
j=1
:
j
÷÷
:
t
j

+
.
¸
j=1
1
2
:
j
\
2
(1.73)
pero debido a (1.50) y (1.51) se puede escribir (1.73) como,
1 =
.
¸
j=1
1
2
:
j
·
t2
j
+
1
2
`\
2
(1.74)
de la cual es posible concluir que:
La energía cinética total de un sistema de partículas es igual a la suma de la
energía cinética de una partícula de masa ` que se mueve con la velocidad
del centro de masa y la energía cinética total del movimiento de las partículas
individuales relativas al centro de masa.
1.8.2. Energía potencial
Al sustituir (1.23) y (1.24) en (1.67) resulta,
\
12
=
.
¸
j=1

conf. 2
conf. 1

÷÷
1
(ca)
j
+
.
¸
;=1
÷÷
1
(ja)
j;

« d
÷÷
:
j
=
.
¸
j=1

conf. 2
conf. 1
÷÷
1
(ca)
j
« d
÷÷
:
j
. .. .
Término 1
+
.
¸
j.;=1 j,=;

conf. 2
conf. 1
÷÷
1
(ja)
j;
« d
÷÷
:
j
. .. .
Término 2
(1.75)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 26
1.8. ENERGÍA Y SU CONSERVACIÓN
Ahora, si se supone que las fuerzas
÷÷
1
(ca)
j
y
÷÷
1
(ja)
j;
son conservativas, entonces son
derivables a partir de energías potenciales como sigue,
÷÷
1
(ca)
j
= ÷
÷÷
\
j
l
j
÷÷
1
(ja)
j;
= ÷
÷÷
\
j
l
j;
¸
(1.76)
donde l
j
y l
j;
son funciones de energía potencial que no tienen necesariamente la
misma forma. Aquí
÷÷
\
j
signiﬁca que la operación gradiente es realizada con respecto
a las coordenadas de la i-ésima partícula.
Desarróllense ahora los términos 1 y 2 de (1.75) con la ﬁnalidad de transfolrmar
sus integrandos en diferenciales exactas para así efectuar la integración indicada [se
supondrá que se cumple la tercera ley de Newton (1.1)]:
Término 1: al sustituir la primera de las expresiones (1.76) en el término 1 de (1.75)
resulta,
Término 1 =
.
¸
j=1

conf. 2
conf. 1
÷÷
1
(ca)
j
« d
÷÷
:
j
= ÷
.
¸
j=1

conf. 2
conf. 1

÷÷
\
j
l
j

« d
÷÷
:
j
= ÷
.
¸
j=1

conf. 2
conf. 1
dl
j
= ÷
.
¸
j=1
l
j

conf. 1
conf. 1
(1.77)
Término 2: de (1.75),
Término 2 =
.
¸
j.;=1 j,=;

conf. 2
conf. 1
÷÷
1
(ja)
j;
« d
÷÷
:
j
=
.
¸
j.;=1 j<;

conf. 2
conf. 1

÷÷
1
(ja)
j;
« d
÷÷
:
j
+
÷÷
1
(ja)
;j
« d
÷÷
:
;

. .. .
De forma análoga a (1.29)
=
.
¸
j.;=1 j<;

conf. 2
conf. 1
÷÷
1
(ja)
j;
« (d
÷÷
:
j
÷d
÷÷
:
;
)
. .. .
Por (1.1)
=
.
¸
j.;=1 j<;

conf. 2
conf. 1
÷÷
1
(ja)
j;
« d
÷÷
:
j;
(1.78)
Puesto que l
j;
es una función sólo de la distancia entre las partículas :
j
y :
;
(el
campo es central) depende, por lo tanto, de 6 cantidades, es decir, las 3 coordenadas
de :
j
(las r
j.c
) y las 3 coordenadas de :
;
(las r
;.c
). Ahora bien, la diferencial total de
l
j;
es, por lo tanto, la suma de 6 derivadas parciales,
dl
j;
=
¸
c

·l
j;
·r
j.c
dr
j.c
+
·l
j;
·r
;.c
dr
;.c

(1.79)
(terner presente que c indica la coordenada r
1
= r, r
2
= n, r
3
= ., y la i y , las
partículas) donde las r
;.c
son mantenidas constantes en el primer término y las r
j.c
son
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 27
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
mantenidas constantes en el segundo término. Así,
dl
j;
=

÷÷
\
j
l
j;

« d
÷÷
:
j
+

÷÷
\
;
l
j;

« d
÷÷
:
;
(1.80)
pero como,
l
j;
= l
;j
(por ser escalar no cambia con la dirección) (1.81)
entonces,
÷÷
\
;
l
j;
=
÷÷
\
;
l
;j
. .. .
Por
= ÷
÷÷
1
(ja)
;j
. .. .
Por (1.76)
=
÷÷
1
(ja)
j;
. .. .
Por (1.1)
(1.82)
Ahora, debido a (1.76) y (1.82), la expresión (1.80) puede escribirse como,
dl
j;
= ÷
÷÷
1
(ja)
j;
« d
÷÷
:
j
+
÷÷
1
(ja)
j;
« d
÷÷
:
;
= ÷
÷÷
1
(ja)
j;
« (d
÷÷
:
j
÷d
÷÷
:
;
)
= ÷
÷÷
1
(ja)
j;
« d (
÷÷
:
j
÷
÷÷
:
;
) = ÷
÷÷
1
(ja)
j;
« d
÷÷
:
j;
. .. .
Por (1.61)
(1.83)
y entonces, al sustituir (1.83) en (1.78), se obtiene,
Término 2 =
.
¸
j.;=1 j<;

conf. 2
conf. 1
÷÷
1
(ja)
j;
« d
÷÷
:
j;
= ÷
.
¸
j.;=1 j<;

conf. 2
conf. 1
dl
j;
= ÷
.
¸
j.;=1 j<;
l
j;

conf. 2
conf. 1
(1.84)
Por último,al sustituir (1.77) y (1.84) en (1.75), resulta,
\
12
= ÷
.
¸
j=1
l
j

conf. 1
conf. 1
÷
.
¸
j.;=1 j<;
l
j;

conf. 2
conf. 1
= ÷

.
¸
j=1
l
j
+
.
¸
j.;=1 j<;
l
j;

conf. 2
conf. 1
(1.85)
expresión que fue obtenida suponiendo que las fuerzas externas e internas son deri-
vables de energías potenciales. En este caso, la energía potencial total l (externa +
interna) del sistema de partículas puede ser escrita como,
l =
.
¸
j=1
l
j
+
.
¸
j.;=1 j<;
l
j;
(1.86)
donde el término
.
¸
j.;=1 j<;
l
j;
representa la energía potencial interna del sistema de
partículas. Ahora bien, (1.85) puede escribirse ahora como,
\
12
= ÷ l

conf. 2
conf. 1
= l
1
÷l
2
(1.87)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 28
1.9. PROBLEMAS
1.8.3. Conservación de la energía mecánica
Si se igualan (1.69) y (1.87) resulta,
1
2
÷1
1
= l
1
÷l
2
=1
1
+ l
1
= 1
2
+ l
2
= 1
1
= 1
2
(1.88)
que expresa la conservación de la energía total del sistema en el cual todas las fuerzas
son derivables a partir de energías potenciales que no dependen explícitamente del
tiempo. A tales sistemas, como se sabe, se denominan sistemas conservativos:
La energía total de un sistema de partículas se conserva cuando sus fuerzas
externas e internas son derivables a partir de energías poteciales que no de-
penden explícitamente del tiempo.
Si el sistema es un cuerpo rígido donde, como se sabe, las partículas que lo cons-
tituyen están restringidas a mantener sus posiciones relativas, entonces, en cualquier
proceso en el que se involucre el cuerpo, la energía potencial interna permanece
constante. En esta situación, la energía potencial interna puede ser ignorada cuan-
do se calcule la energía potencial total del sistema. Esta cantidad contribuye simple-
mente a deﬁnir la posición cero en la energía potencial, pero esta posición es elegida
arbitrariamente en cualquier caso; es decir, sólo la diferencia de energías potenciales
es físicamente signiﬁcativa. El valor absoluto de la energía potencial es una cantidad
arbitraria.
1.9. Problemas
1. Encuentre el centro de masa de un cono sólido homogéneo de base 2c y altura /
(ver ﬁgura 1.14). Resp.:
÷÷
1 = ÷
3
4
´ c
:
.
2. Encuentre el centro de masa de una concha semiesférica de densidad constante
de radio interno :
j
y radio externo :
c
. Posicione el origen del sistema de coordenadas
en el centro de la base, de manera tal que ésta quede contenida en el plano A) .
Resp.:
÷÷
1 =
3(v
4
c
÷v
4
.
)
8(v
3
c
÷v
3
.
)
´ c
:
.
3. Encuentre el centro de masa de un cono sólido homogéneo cuya base tiene un
diámetro 2c y altura / y un hemisferio sólido homogéneo de radio c, de manera tal
que ambas bases se tocan (ver ﬁgura 1.15). Resp.:
÷÷
1 =
I
2
÷3o
2
4(2o+I)
´ c
:
.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 29
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
Figura (1.14): Centro de masa de un cono sólido homogéneo (Problema 1).
4. Un conjunto de ` partículas de masas :
1
. :
2
. :
3
. .... :
.
están situadas en puntos
cuyos vectores de posición con respecto a un origen ( son
÷÷
:
1
.
÷÷
:
2
.
÷÷
:
3
. ....
÷÷
:
.
re-
spectivamente. Como ya se sabe, el centro de masa (` del conjunto de partículas
se deﬁne como el punto en el espacio cuyo vector de posición
÷÷
1 viene dado por,
÷÷
1 =
.
¸
j=1
:
j
÷÷
:
j
.
¸
j=1
:
j
Mostrar que si se usara un origen (
t
diferente, la anterior deﬁnición situaría al (` en
el mismo punto del espacio.
5. Encuentre el centro de masa de un alambre uniforme que substiende un arco o
circular de radio c, como el mostrado en la ﬁgura 1.16. Resp.:
÷÷
1 =
2o
0
Sen

0
2

´ c
a
.
6. El centro de gravedad de un sistema de partículas es el punto en torno al cual las
fuerzas externas gravitacionales no ejercen torque. Para una fuerza gravitacional
uniforme, mostrar que el centro de gravedad es idéntico al centro de masa para el
sistema de partículas. Ayuda: Establecer un sistema como el mostrado en la ﬁgura
1.17 donde
÷÷
:
c
indica la posición del centro de gravedad y calcular el torque total
del sistema en torno a este punto.
7. Considere dos partículas de masa :. Las fuerzas sobre las partículas son
÷÷
1
1
=
÷÷
0
y
÷÷
1
2
= 1
c
´
i. Si las partículas están inicialmente en reposo en el origen, cuál es la
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 30
1.9. PROBLEMAS
Figura (1.15): Centro de masa de un sistema formado por un cono sólido homogéneo cuya base está
unida a la correspondiente de un hemisferio sólido homogéneo (Problema 3).
posición, velocidad y aceleración del centro de masas?. Resp.:
÷÷
1 =
1o
4n
t
2
´ c
a
,
÷÷
· =
1o
2n
t´ c
a
,
÷÷
c =
1o
2n
´ c
a
.
8. Un modelo de la molécula de H
2
( es mostrado en la ﬁgura 1.18. Localice el centro
de masas. Resp.:
÷÷
1 = 0. 068c´ c
a
9. ¿Dónde está el centro de masas del triángulo rectángulo isósceles de densidad
superﬁcial uniforme mostrado en la ﬁgura 1.19?. Resp.:
÷÷
1 =
o
3

2
´ c
&
.
10. Hallar la posición del centro de masa de la pirámide mostrada en la ﬁgura 1.20.
Resp.:
÷÷
1 =
o
4
´ c
a
+
o
4
´ c
&
+
o
4
´ c
:
.
11. Mostrar que la expresión
.
¸
j=1
.
¸
;=1
÷÷
1
j;
en verdad se anula para para un sistema de 3
partículas.
12. Mostrar que la magnitud 1 del vector de posición del centro de masa con respecto
a un origen arbitrario es dado por la expresión,
`
2
1
2
= `
.
¸
j=1
:
j
:
2
j
÷
1
2
.
¸
j.;=1
:
j
:
;
:
2
j;
13. Mostrar que para una sola partícula de masa constante : la ecuación de movi-
miento implica la siguiente ecuación diferencial para la energía cinética 1,
«
1 =
÷÷
1 «
÷÷
·
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 31
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
Figura (1.16): Centro de masa de un alambre uniforme que substiende un arco 0 circular de radio a
(Problema 5).
mientras que si la masa varía con el tiempo la ecuación correspondiente es,
d (:1)
dt
=
÷÷
1 «
÷÷
j
14. Se dispara un proyectil a un ángulo de 45
c
con energía cinética inicial 1
c
. En el
punto más alto de su trayectoria, el proyectil explota con energía adicional 1
c
en
dos fragmentos. Un fragmento de masa :
1
cae verticalmente (ver ﬁgura 1.21). (a)
¿Cuál es la velocidad (magnitud y dirección) del primer fragmeto y del segundo
fragmento de masa :
2
?, (b) ¿Cuánto vale la razón :
1
:
2
cuando :
1
es un máx-
imo?. Resp.: (a) ·
1
= ÷

1o(2n
2
÷n
1
)
n
1
(n
1
+n
2
)
, verticalmente hacia abajo; ·
2
=

1o(4n
1
+n
2
)
n
2
(n
1
+n
2
)
,
o = tan
÷1

n
1
(2n
2
÷n
1
)
n
1
+n
2

; (b)
n
1
n
2
=
1
2
.
15. Un sistema de partículas discreto interactúa mediante fuerzas que siguen la “forma
fuerte” de la tercera ley de Newton. Dada la relación usual entre las coordenadas
ﬁjas y las coordenadas del centro de masa,
÷÷
:
j
=
÷÷
:
t
j
+
÷÷
1
y la fuerza total sobre la i-ésima partícula,
«
÷÷
j
j
=
÷÷
1
(ca)
j
+
.
¸
;=1
÷÷
1
(ja)
j;
mostrar que el torque total
÷÷
t ,
÷÷
t =
«
÷÷
1 =
.
¸
j=1
«
÷÷
1
j
, con
÷÷
1
j
=
÷÷
:
j

÷÷
j
j
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 32
1.9. PROBLEMAS
Figura (1.17): Centro de gravedad y centro de masa de un sistema de partículas (Problema 6).
para una fuerza externa de la forma
÷÷
1
(ca)
j
= :
j
÷÷
o , es simplemente dada por,
÷÷
t =
÷÷
1
÷÷
1
(ca)
donde
÷÷
1
(ca)
=
.
¸
j=1
÷÷
1
(ca)
j
es la fuerza externa total.
16. Si cada partícula de un sistema discreto es atraida hacia un punto ﬁjo ( con una
fuerza proporcional a su masa y a su distancia a dicho punto ÷/:
j
÷÷
:
j
(/ constante
positiva), demostrar que el centro de masa se mueve como si fuera una partícula
del sistema.
17. Un sistema discreto está formado por ` partículas de igual masa : que delizan
libremente sobre alambres paralelos lisos y se atraen unas a otras con fuerzas pro-
porcionales al producto de sus masas y a sus distancias ÷/:
j
:
;
÷÷
:
j;
. Supóngase que
las correderas están en la dirección 0A y considere dos de ellas, la i-ésima y la ,-
ésima (ver ﬁgura 1.22). En la ﬁgura, o
j;
es el ángulo que forma la línea de la fuerza
con respecto al eje A.
a) Muestre que la aceleración de la i-ésima partícula viene dada por,
««
r
j
= /:
.
¸
;=1
(r
;
÷r
j
)
b) Muestre que la posición del centro de masa viene dada por,
r
cn
=
1
`
.
¸
j=1
r
j
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 33
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
Figura (1.18): Centro de masa de un modelo de la molécula de H
2
O (Problema 8).
Figura (1.19): Centro de masa de un triángulo rectángulo isósceles homogéneo (Problema 9).
c) Ahora, combinando lo mostrado en (a) y (b), mostrar que las partículas oscilan
con igual frecuencia angular dada por,
. =

/:`
donde se ha supuesto que el centro de masa está en reposo. La independencia
de i de esta cantidad es lo que indica que es igual para todas las ` partículas
del sistema.
18. Dos partículas de masa : se mueven, cada una, sobre las correderas lisas perpen-
diculares (A y () (ver ﬁgura 1.23), atrayéndose con una fuerza proporcional a su
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 34
1.9. PROBLEMAS
Figura (1.20): Centro de masa de una pirámide homogénea (Problema 10).
distancia ÷/:
j
÷÷
:
j
. Si inicialmente,
r (t = 0) = c,
«
r (t = 0) = ÷\
c
n (t = 0) = c,
«
n (t = 0) = 0
a) Muestre que,
r (t) = c Cos (.t) ÷
\
c
2.
Sen (.t)
n (t) = c Cos (.t)
b) Muestre que la ecuación cartesiana de la trayectoria del centro de masa del
sistema viene dada por,
n
2
cn
¸
1 +

\
c
c.

2
¸
÷2r
cn
n
cn
+ r
2
cn
=

\
c
c.

2
que representa una elipse.
19. El torque total
÷÷
t sobre un sistema de partículas, como el mostrado en la ﬁgura
1.24, con respecto al origen ( del sistema de coordenadas o viene, como ya se
sabe, dado por,
÷÷
t =
.
¸
j=1
÷÷
:
(c)
j

÷÷
1
(ca)
j
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 35
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
Figura (1.21): Proyectil disparado con un ángulo de elevación el cual estalla en el aire (Problema 14).
Establecer un nuevo sistema de coordenadas o
t
de origen (
t
cuya posición respec-
to de ( sea dada por
÷÷
:
c
y donde
÷÷
:
(c
0
)
j
sea la posición del sistema de partículas
respecto a o
t
. Mostrar que el torque total sobre mismo sistema de partículas con
respecto a (
t
es el mismo
÷÷
t si
.
¸
j=1
÷÷
1
(ca)
j
=
÷÷
0 , es decir, que el torque resultante tiene
el mismo valor en cualquier sistema de coordenadas.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 36
1.9. PROBLEMAS
Figura (1.22): Sistema discreto formado por · partículas de igual masa :, que delizan libremente sobre
alambres paralelos lisos y se atraen unas a otras con fuerzas proporcionales al producto de sus masas y
a sus distancias (Problema 17).
Figura (1.23): Dos partículas de masa : se mueven, cada una, sobre las correderas lisas perpendiculares
OA y O1 , atrayéndose con una fuerza proporcional a su distancia (Problema 18).
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 37
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
Figura (1.24): Torque de un sistema de partículas con respecto a dos sistemas de coordenadas cuyos
orígenes no coinciden (Problema 19).
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 38
CAPÍTULO 2
De…niciones y principios básicos
En este capítulo se estudiarán una serie deﬁniciones y términos que son básicos
para la comprensión de lo expuesto en los capítulos subsiguientes.
Contents
2.1. Propiedades del espacio y el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2. Ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3. Clasi…cación de las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.1. Si son o no desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.2. Si dependen explícita o implícitamente del tiempo . . . . . . . . . . . . 46
2.3.3. Por su integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4. Fuerza de ligadura y fuerza aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.1. Ligaduras lisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.2. Ligaduras rugosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5. Di…cultades introducidas por las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.7. Espacio de con…guración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.8. Magnitudes mecánicas en coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . 58
2.8.1. Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.8.2. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.8.3. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.8.4. Trabajo mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
39
CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS
2.8.5. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.9. Desplazamiento virtual y trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.9.1. Desplazamiento virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.9.2. Trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.10. Algunos principios mecánicos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.10.1. Principio de los trabajos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.10.2. Principio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.10.3. Principio de Hamilton o de acción estacionaria . . . . . . . . . . . . . . 74
2.1. Propiedades del espacio y el tiempo
El espacio y el tiempo son dos conceptos fundamentales de la Física y partic-
ularmente en la Mecánica Clásica, por lo tanto, sus propiedades son importantísimas
en el desarrollo de las teorías que la conforman. Aquí se abordarán las propiedades
que tienen el espacio y el tiempo en Mecánica Clásica o Newtoniana.
El espacio, y por tanto su métrica, tienen las propiedades siguientes:
1. El espacio se caracteriza por una métrica Euclídea
1
, lo que lo convierte en un es-
pacio puntual Euclidiano en 3 dimensiones, R
3
.
2. Independencia de los objetos en él inmersos, es decir, la métrica del espacio no se
ve afectada por los mismos.
3. Constancia a lo largo del tiempo.
4. Homogeneidad: Es igual en todos los puntos, no existiendo puntos privilegiados. La
propiedad de homogeneidad del espacio signiﬁca que las leyes de la física tienen
validez en todos los lugares del universo, es decir, las propiedades mecánicas de un
sistema dado no son afectadas por las traslación del mismo en el espacio.
1
Euclides (ﬂ. 300 a.C.), matemático griego, cuya obra principal, Elementos de geometría, es un extenso
tratado de matemáticas en 13 volúmenes sobre materias tales como geometría plana, proporciones
en general, propiedades de los números, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio. Prob-
ablemente estudió en Atenas con discípulos de Platón. Enseñó geometría en Alejandría y allí fundó una
escuela de matemáticas.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 40
2.1. PROPIEDADES DEL ESPACIO Y EL TIEMPO
5. Isotropía
2
: Es igual en todas las direcciones, no existiendo direcciones privilegiadas.
La isotropía del espacio se reﬁere a que las propiedades mecánicas de un sistema
en particular no son afectadas por la orientación del mismo. Aparece en el hecho
de que la orientación de los ejes de coordenadas, los cuales sirven de marco de
referencia para analizar un fenómeno físico, es arbitraria. La isotropía del espacio
signiﬁca que si un experimento es efectuado en un laboratorio donde el equipo
experimental tenga una cierta orientación espacial, los resultados obtenidos serán
los mismos si la orientación de todos los instrumentos, el sistema que se va a analizar
y el medio ambiente se modiﬁca.
El tiempo se caracteriza, a su vez, por las siguientes propiedades:
1. Homogeneidad: No existen instantes privilegiados. La homogeneidad del tiempo se
reﬁere a la equivalencia entre cualesquiera dos instantes de tiempo, independien-
temente de en que momento se tomen. Se introduce en forma práctica al utilizar
marcos de referencia donde el origen de coordenadas puede seleccionarse arbi-
trariamente. Una forma equivalente de expresar la homogeneidad del tiempo es
plantear que las leyes de la física son las mismas ahora que hace mil años.
2. Anisotropía: Fluye constantemente en un sentido, por lo que no se puede retroced-
er ni volver al pasado. Asimismo, los fenómenos futuros no pueden condicionar los
presentes. No se cumple, por tanto, la isotropía, existiendo un único sentido en el
que puede discurrir el tiempo.
3. Simultaneidad absoluta: Los fenómenos considerados simultáneos para dos obser-
vadores en sendos sistemas de referencia lo son, asimismo, para cualquier otro ob-
servador ligado a cualquier otro sistema de referencia.
4. En Mecánica Clásica, el tiempo se considera una variable de naturaleza distinta de
las variables espaciales.
Algunos de estos postulados básicos no son aceptados por la Mecánica Relativista.
La Teoría de la Relatividad Especial establece un referencial en cuatro dimensiones
espacio-tiempo. La Teoría de la Relatividad General establece un espacio curvado,
con métrica Riemanniana, debido a la presencia de masas que condicionan dicha
métrica. De esta forma el espacio no sería independiente de los objetos en él inmersos.
2
Su etimología está en la raíces griegas isos = equitativo o igual y tropos = medio, espacio de lugar,
dirección.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 41
CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS
2.2. Ligaduras
Después de estudiar en el curso de Física elemental la dinámica de una partí-
cula se tiende, muy frecuentemente, a pensar que para describir el movimiento de las
` partículas que constituyen a un sistema dado sólo se tiene que aplicar la segunda
ley de Newton a cada una de ellas
3
,
:
j
««
÷÷
:
j
(r
j.1
. r
j.2
. r
j.3
) = :
j
««
÷÷
:
j
(r
j.c
) =
÷÷
1
j
, con i = 1. 2. .... `, c = 1. 2. 3 (2.1)
e integrar las 3` ecuaciones resultantes para obtener las 3` coordenadas r
j.c
como
función del tiempo. Pero es frecuente descubrir que, además de ser inviable en la
mayoría de las situaciones, el sistema de ecuaciones está incompleto. Se necesita
algo más, en particular, las coordenadas podrían estar relacionadas o restringidas por
ligaduras.
Esto se puede ilustrar con el ejemplo sencillo del péndulo simple (ver ﬁgura 2.1): una
masa : cuelga de un soporte mediante una cuerda inelástica, de masa despreciable
y de longitud /, en un campo gravitacional. La fuerza gravitatoria o peso
÷÷
n = :
÷÷
o
no es la única fuerza que actúa sobre la masa puesto que la cuerda misma también
ejerce una fuerza
÷÷
1 sobre : (en realidad la fuerza
÷÷
1 de la cuerda es una fuerza que
describe las interacciones de las partículas de la cuerda con la masa :, dado que
el sistema de la masa y las partículas individuales de la cuerda es inmanejable). El
problema ahora radica en que, para determinar el movimiento de la masa : a través
de la segunda ley de Newton, es necesario conocer también una expresión para
÷÷
1
pero, dado que
÷÷
1 es una fuerza que surge de la interacción de la cuerda con la masa,
no se tiene esa expresión. El efecto de la fuerza desconocida
÷÷
1 es mantener la masa
a distancia / del origen (, haciendo que el movimiento de la masa esté restringido.
Cuando lo anterior ocurre, se dice entonces que la masa está sometida a una ligadura
y a la fuerza que restringe su movimiento (la ejercida por la cuerda) se le llama fuerza
de ligadura.
Se denominan ligaduras a las restricciones sobre las coordenadas de un sis-
tema siendo independientes de las fuerzas actuantes, es decir, son condiciones
que restringen el movimiento de una partícula o sistema de partículas.
En cualquier sistema dinámico aparecen ligaduras que restringen el movimiento,
además de fuerzas que controlan su evolución.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
El subíndice i indica la partícula estudiada y c la coordenada, es decir, c = 1 ÷r, c = 2 ÷n, c = 3 ÷..
De esta manera, para la partícula i = 1 las coordenadas serán (r
1;1
. r
1;2
. r
1;3
).
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 42
2.2. LIGADURAS
Figura (2.1): Péndulo simple.
Ejemplo 2.1
Algunas ligaduras en sistemas sencillos.
1. En el caso de un bloque que se desliza sobre un plano inclinado, dicho bloque
está obligado a moverse sobre plano (ver ﬁgura 2.2) y la ligadura puede expresarse
como,
Figura (2.2): Un bloque de masa : que se mueve sobre una superﬁcie inclinada.
n = ÷r tan o + / (2.2)
2. Como se vió anteriormente, en un péndulo simple la partícula (masa pendular) está
obligada a moverse en una trayectoria semicircular (ver ﬁgura 2.1). En este caso la
ligadura puede expresarse como,
r
2
+ n
2
= /
2
(2.3)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 43
CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS
3. En un cuerpo rígido (ver ﬁgura 2.3) las partículas están enlazadas de manera que
la distancia entre ellas permanezca constante, pudiéndose establecer la ligadura
como,
Figura (2.3): Cuerpo rígido.
[
÷÷
:
j
÷
÷÷
:
;
[ = :
j;
= constante. (2.4)
donde :
j;
es la distancia entre la partícula i-ésima y la ,-ésima. Algo análogo ocurre
en un sistema de dos partículas de masas :
1
y :
2
unidas por una barra de masa
despreciable de longitud / (ver ﬁgura 2.4), siendo en este caso la ligadura,
Figura (2.4): Dos masas :
1
y :
2
unidas por una barra rígida de longitud /.
[
÷÷
:
1
÷
÷÷
:
2
[ = / (2.5)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.3. CLASIFICACIÓN DE LAS LIGADURAS
2.3. Clasiﬁcación de las ligaduras
Las ligaduras se pueden clasiﬁcar de variadas formas, a continuación algunas
de ellas,
2.3.1. Si son o no desigualdades
Unilaterales
Se dice que una ligadura es unilateral cuando se expresa mediante una desigual-
dad.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.2
Algunas ligaduras unilaterales.
1. Si se tiene un sistema de moléculas de gas encerrado en una esfera de radio 1 (ver
ﬁgura 2.5), las posiciones
÷÷
:
j
de las moléculas deben satisfacer las ligaduras,
Figura (2.5): Moléculas de gas encerradas en una esfera de radio 1.
:
j
_ 1, con i = 1. 2. .... ` (2.6)
2. Una partícula colocada sobre la superﬁcie de una esfera de radio 1, está sujeta a
una ligadura que se puede escribir como,
:
2
÷1
2
_ 0 (2.7)
Así, en un campo gravitacional, una partícula colocada sobre una superﬁcie de
una esfera se deslizará hacia abajo sobre parte de su superﬁcie hasta que, even-
tualmente, se desprende de dicha superﬁcie (ver ﬁgura 2.6).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 45
CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS
Figura (2.6): Partícula que se desliza sobre la superﬁcie de una esfera de radio 1.
Bilaterales
Se dice que una ligadura es bilateral cuando se expresa mediante una igualdad.
Este tipo de ligaduras pueden escribirse en la forma general,
1
|

÷÷
:
j
.
«
÷÷
:
j
. t

= 0, con i = 1. 2. .... `; | = 1. 2. .... 1 (2.8)
El subíndice | indica que puede haber más de una ligadura de este tipo en el sis-
tema, siendo / el número total de ellas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.3
Algunas ligaduras bilaterales.
Las ligaduras expresadas por (2.3), (2.4) y (2.5) son ligaduras bilaterales.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Si dependen explícita o implícitamente del tiempo
Ligaduras reónomas
Se dice que una ligadura es reónoma si depende explícitamente del tiempo.
También se les llaman ligaduras móviles.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.4
Algunas ligaduras reónomas.
1. La ligadura presente en un sistema donde una canica hueca se desliza a través de
un alambre rígido y curvo, de manera tal que el alambre se mueve de una forma
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 46
2.3. CLASIFICACIÓN DE LAS LIGADURAS
predeterminada. Es de hacer notar que, si el alambre se mueve como una reacción
al movimiento de la canica, entonces la dependencia de la ligadura respecto al
tiempo entra en la ecuación de la misma sólo a través de las coordenadas del
alambre curvado (las cuales son ahora parte del sistema de coordenadas), por
esta razón la ligadura resultante no depende explícitamente del tiempo y por lo
tanto no es reónoma.
2. La ligadura presente en un sistema de moléculas de gas encerrado en una esfera
cuyo radio 1 depente del tiempo (ver ﬁgura 2.5, con la diferencia de que 1 = 1(t)).
En este sistema las posiciones
÷÷
:
j
de las moléculas deben satisfacer las ligaduras,
:
j
_ 1(t) , con i = 1. 2. .... ` (2.9)
3. La ligadura presente en un sistema donde una partícula de masa : es obligada a
moverse en un aro que cambia su radio 1 con el tiempo (ver ﬁgura 2.7). En este
caso, la ligadura puede ser expresada como,
1(t) =

r
2
+ n
2
(2.10)
Figura (2.7): Una partícula de masa : que se mueve en un aro cuyo radio cambia con el tiempo.
4. La ligadura presente en un sistema donde una partícula de masa : se desplaza
sobre un plano inclinado cuyo ángulo de inclinación varía con el tiempo (ver ﬁgura
2.8). En este caso la ligadura viene representada por,
n = tan (.t) r (2.11)
apareciendo tiempo explícitamente.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS
Figura (2.8): Partícula que se mueve sobre un plano inclinado cuyo ángulo de inclinación varía con el
tiempo.
Ligaduras esclerónomas
Se dice que una ligadura es esclerónoma si no depende explícitamente del tiem-
po. También se les llaman ligaduras ﬁjas o estacionarias.
Por otro lado, si un sistema tiene todas sus ligaduras esclerónomas entonces se dice
que el mismo es esclerónomo, pero si al menos una de sus ligaduras no lo es entonces
se dice que es reónomo.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.5
Algunas ligaduras esclerónomas.
Las ligaduras expresadas por (2.3), (2.4), (2.5), (2.6) y (2.7) son ligaduras escleróno-
mas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Por su integrabilidad
Ligaduras holónomas o geométricas
Son ligaduras bilaterales que no dependen de las velocidades, sólo dependen
de las posiciones de las partículas y el tiempo, exclusivamente. Son integrables, por
lo tanto, es posible emplearlas para eliminar las coordenadas dependientes puesto
que expresan relaciones algebraicas entre las coordenadas.
Este tipo de ligaduras son geométricas (curvas, superﬁcies, etc.) y se pueden escribir
en la forma,
1
|
(
÷÷
:
j
. t) = 0, con i = 1. 2. .... `; | = 1. 2. .... 1 (2.12)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 48
2.3. CLASIFICACIÓN DE LAS LIGADURAS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.6
Algunas ligaduras holónomas.
Las ligaduras expresadas por (2.3), (2.4), (2.5) y (2.10) son ligaduras holónomas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ligaduras no-holónomas
Se dice que una ligadura es no-holónoma cuando no se pueden escribir como
ligaduras holónomas, es decir, no se pueden escribir en la forma expresada por (2.12).
No son integrables, por lo tanto, es imposible emplear las ecuaciones que la expresan
para eliminar las coordenadas dependientes.
Si en un sistema al menos una de las ligaduras es no-holónoma, se dice que el
sistema es no-holónomo.
Todas las ligaduras unilaterales son de este tipo. Pueden haber ligaduras bilaterales
no-holónomas. Un caso particularmente importante de este tipo de ligadura lo cons-
tituyen aquellas que pueden ser expresadas en términos de las velocidades de las
partículas en el sistema, es decir,
1
|

÷÷
:
j
.
«
÷÷
:
j
. t

= 0, con i = 1. 2. .... `; | = 1. 2. .... 1 (2.13)
Estas constituyen ligaduras no-holónomas, a menos que la ecuación pueda ser in-
tegrada para encontrar relaciones entre las coordenadas. Debido a que algunas ve-
ces pueden ser integrables y convertirse en holónomas, a las ligaduras del tipo (2.13)
suelen llamárseles semi-holónomas.
Las expresiones (2.13) aparecen, frecuentemente, en la forma,
1
|

÷÷
:
j
.
«
÷÷
:
j
. t

=
3.
¸
;=1
¹
|;
(
÷÷
:
j
. t)
«
r
;
+ 1
|
(
÷÷
:
j
. t) = 0, con | = 1. 2. .... 1 (2.14)
llamadas ligaduras diferenciales.
En particular si,
¹
|;
=
·1
|
·r
;
, 1
|
=
·1
|
·t
, 1
|
= 1
|
(
÷÷
:
j
. t)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 49
CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS
entonces la expresión (2.14) queda en la forma,
3.
¸
;=1
·1
|
·r
;
dr
;
+
·1
|
·t
dt = 0, con | = 1. 2. .... 1 (2.15)
que es justo,
d1
|
dt
= 0 (2.16)
y que al ser integrada resulta,
1
|
(
÷÷
:
j
. t) ÷( = 0, ( = constante de integración (2.17)
donde ( = constante de integración. La expresión (2.17) es de la forma (2.12), por lo
tanto la ligadura (2.14) es, para este caso particular, holónoma.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.7
Algunas ligaduras no-holónomas.
Como ejemplo de ligaduras no-holónomas se tienen los siguientes casos:
1. Las ligaduras representadas por las expresiones (2.6), (2.7) y (2.9) por ser unilaterales.
2. Un ejemplo muy conocido de una ligadura no-holónoma bilateral es el de un objeto
que rueda (sin deslizar) sobre una superﬁcie. En particular, un disco que rueda sobre
el plano horizontal A) (ver ﬁgura 2.9), obligado a moverse de modo que su plano
permanezca siempre vertical (el disco puede ser una de las dos ruedas de un eje).
Si se eligen como coordenadas para describir el movimiento las (r. n) del centro del
disco, un ángulo de giro c alrededor de su eje, y el ángulo o formado por dicho eje
y, por ejemplo, el eje A (ver ﬁgura 2.9) entonces, como resultado de la ligadura, la
magnitud de la velocidad del centro del disco es proporcional a
«
c,
· = 1
«
c (2.18)
donde 1 es el radio del disco, siendo su dirección perpendicular al eje del disco.
Sus componentes vienen dadas por,
«
r = · Sen o (2.19)
«
n = ÷· Cos o (2.20)
Combinando (2.18) con (2.19) y (2.20), se obtienen dos ecuaciones diferenciales de
ligadura,
dr ÷1Sen odc = 0 (2.21)
dn + 1Cos odc = 0 (2.22)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 50
2.3. CLASIFICACIÓN DE LAS LIGADURAS
Figura (2.9): Un disco que rueda (sin deslizar) sobre el plano horizontal rn (Ejemplo 2.7).
que no pueden ser integradas sin resolver, de hecho, el problema entero. En otras
palabras, no se puede encontrar un factor integrante 1 (r. n. o. c) que transforme las
ecuaciones (2.22) en diferenciales perfectos, lo que trae como consecuencia que
las ligaduras no puedan ser reducidas a la forma expresada por (2.12). A las liga-
duras como las representadas por las expresiones (2.22) suelen llamárseles ligaduras
diferenciales, como ya se había mencionado.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Las ligaduras diferenciales no integrables de la forma (2.22) no son el único tipo de
ligaduras no-holónomas. Las condiciones de ligadura pueden involucrar derivadas de
orden superior o pueden aparecer en forma de desigualdades, como ya se ha visto.
En principio, siempre se puede encontrar un factor integrante para una ecuación
diferencial de ligadura, de primer orden, en sistemas que involucran sólo dos coorde-
nadas siendo estas ligaduras, por lo tanto, holónomas. Un ejemplo familiar (que será
desarrollado en un ejemplo en el capítulo 5), ver ﬁgura 2.10, es el movimiento en dos
dimensiones de un disco que se desplaza sobre un plano inclinado donde,
1 (r. o) = dr ÷1do = 0 (2.23)
Por último, un aspecto que debe ser tomado en consideración sobre las ligaduras
es que a .
es
cala de partículas"los sistemas interactúan en base a fuerzas y al describir
el movimiento a esa escala no se requiere el uso de ligaduras. Las ligaduras aparecen
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 51
CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS
Figura (2.10): Movimiento de un círculo que se desplaza sobre un plano inclinado.
a escala macroscópica como idealizaciones matemáticas de partes del sistema que
no se conocen o no se quieren tratar a detalle (como superﬁcies o cuerdas). Imponer
ligaduras es un método para tratar con agentes externos que aplican fuerzas, inicial-
mente desconocidas, al sistema. Generalmente sólo se conoce el efecto geométrico
de la acción combinada de estos agentes con las fuerzas conocidas.
2.4. Fuerza de ligadura y fuerza aplicada
La introducción de ligaduras en un sistema lleva al concepto de fuerza de liga-
dura,
Son las que aparecen espontáneamente al establecer una ligadura y ase-
guran su cumplimiento. Actúan tanto si el sistema está en reposo o si está en
movimiento.
En general, las fuerzas de ligadura son desconocidas a priori a diferencia de la
llamada fuerza aplicada.
La fuerza aplicada es aquella determinada independientemente de cual-
quier otra fuerza, dando sólo las posiciones ( y a veces también las velocidades)
de las partículas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.8
Algunas fuerzas aplicadas.
1. La fuerza que ejerce el resorte sobre una de las partículas en un sistema de dos
partículas unidas por un resorte es una fuerza aplicada que, como se sabe, de-
pende de la posición de ambas partículas (ver ﬁgura 2.11).
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 52
2.4. FUERZA DE LIGADURA Y FUERZA APLICADA
Figura (2.11): Dos masas :
1
y :
2
acopladas por un resorte.
2. El peso, la fuerza eléctrica sobre una partícula cargada, la fuerza magnética (que
depende de la velocidad), etc.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.9
Algunas fuerzas de ligadura.
1. La fuerza que ejerce un riel que guía el movimiento de una partícula es una fuerza
de ligadura que no puede ser determinada sin conocer las otras fuerzas que ac-
túan.
2. La tensión de la cuerda en un péndulo simple y la fuerza normal que ejerce un plano
horizontal o inclinado sobre una partícula que se mueve sobre él.
Una codición adicional que se imponen a las fuerzas de ligadura es que puedan
ser tan grandes en magnitud como fuera necesario para imponer la ligadura, lo que
es una idealización de las ligadura reales, pués los hilos se estiran, las varillas se doblan
o se quiebran, etc., pero se trabaja dentro de los límites en lo que esto no pasa o su
efecto puede despreciarse.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un problema con la condición anterior lo dan las fuerzas de rozamiento. Si las condi-
ciones del problema son tales que el rozamiento es suﬁciente para impedir que haya
deslizamiento (rozamiento estático), la fuerza de rozamiento entonces se considera de
ligadura.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 53
CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS
Si pudiera haber deslizamiento (rozamiento dinámico) se debería considerar al roza-
miento como una fuerza aplicada anómala, ya que no cumple con ser independiente
de las otras fuerzas dado que su magnitud depende de la fuerza de ligadura normal,
pero ya no puede ser considerada fuerza de ligadura.
Figura (2.12): Ligaduras lisa (a) y rugosa (b). Para el movimiento permitido por la ligadura (deslizamiento
horizontal) la reacción lisa no realiza trabajo, mientras que en el caso rugoso sí.
Aquí se puede ahora introducir una nueva clasiﬁcación de las ligaduras, en este
caso de las geométricas:
2.4.1. Ligaduras lisas
Son ligaduras sin rozamiento [ver ﬁgura 2.12(a)]. En este caso, la ligadura no
opone reacción a las fuerzas transversales (esto es, tangentes a la ligadura) y, por
lo tanto, la fuerza de ligadura
÷÷
1
(|)
es siempre normal a la ligadura.
Lo anterior se puede escribir matemáticamente como,
÷÷
1
(|)
= 1
(|)
a
´ : (2.24)
donde 1
(|)
a
es la componente normal de
÷÷
1
(|)
y ´ : un versor normal a la ligadura. Aquí,
se desconoce el módulo de
÷÷
1
(|)
y se conoce su dirección.
2.4.2. Ligaduras rugosas
Son ligadoras con rozamiento [ver ﬁgura 2.12(b)]. Aquí, debido al rozamiento, la
ligadura opone una reacción a fuerzas tangenciales.
Lo anterior se puede escribir matemáticamente como,
÷÷
1
(|)
= 1
(|)
a
´ : + 1
(|)
t
´
t (2.25)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 54
2.5. DIFICULTADES INTRODUCIDAS POR LAS LIGADURAS
donde 1
(|)
t
es la componente tangencial de
÷÷
1
(|)
y
´
t un versor tangencial a la ligadura.
Para la reacción normal vale lo dicho antes: es la necesaria para compensar la com-
ponente normal de la resultante de las fuerzas aplicadas. En cuanto a la componente
tangencial de la reacción, se debe al rozamiento como ya se había dicho.
2.5. Diﬁcultades introducidas por las ligaduras
Las ligaduras introducen dos tipos de diﬁcultades en la solución de problemas
mecánicos:
1. Las 3` coordenadas (r
j.1
. r
j.2
. r
j.3
) no son ahora todas independientes. Para un sis-
tema con : grados de libertad hay sólo : coordenadas independientes.
Los grados de libertad de un sistema son el número de coordenadas in-
dependientes (sin incluir el tiempo) que se requieren para describir completa-
mente la posición de todas y cada una de las partículas o partes componentes
del sistema.
El término "parte componente"se reﬁere aquí a cualquier parte del sistema, tal co-
mo una palanca, un disco, un piñón, una plataforma, etc., que deben ser tratados
como un cuerpo rígido y no como una partícula.
2. Existen fuerzas de ligadura
÷÷
1
(|)
j
que son ejercidas por las superﬁcies, curvas, varillas,
etc. sobre las partículas de tal manera que hacen que ellas se muevan de acuerdo
a la ligadura. Estas fuerzas no son suministradas a priori y deben ser determinadas
como parte de la solución del problema.
Si a las restantes fuerzas se las denomina fuerzas aplicadas
÷÷
1
(o)
j
, las 3` ecuaciones
(2.1) toman la forma,
:
j
««
÷÷
:
j
=
÷÷
1
(o)
j
+
÷÷
1
(|)
j
, con i = 1. 2. .... ` (2.26)
que, en conjunto con las 1 ecuaciones de ligadura, resulta un total de 3` + 1 ecua-
ciones para las 3` r
j.c
y 1
(|)
j.c
(componentes de
÷÷
1
(|)
j
) desconocidas
4
.
2.6. Coordenadas generalizadas
De las diﬁcultades descritas en la sección 2.5, la primera es resuelta mediante
la introducción de las llamadas Coordenadas Generalizadas.
4
Como ya se dijo, las fuerzas aplicadas
÷÷
1
(a)
i
son conocidas a priori.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 55
CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS
Considérese un sistema mecánico genérico, formado por un grupo de ` partículas
discretas, donde alguna de las cuales podrían estar asociadas para formar cuerpos
rígidos. Como ya fue mencionado antes, para describir el estado del sistema en un
tiempo dado, es nesesario usar ` vectores de posición y puesto que, cada vector
de posición consiste en un conjunto de tres números (por ejemplo, las coordenadas
rectangulares), se necesitan 3` de estas cantidades para describir las posiciones de
todas las partículas.
Si existen ligaduras holónomas, expresadas en 1 ecuaciones de la forma (2.12),
entonces no todas las 3` coordenadas son independientes y se pueden usar estas
ecuaciones para eliminar 1 de las 3` coordenadas, quedando : = 3` ÷ 1 coorde-
nadas independientes, y se dice que el sistema tiene ahora : grados de libertad (las
ligaduras reducen los grados de libertad de un sistema).
Es importante hacer notar que si son requeridas : coordenadas en un caso da-
do, no se tiene que elegir : coordenadas rectangulares o : coordenadas curvilíneas
(por ejemplo cilíndricas o esféricas). Se pueden elegir cualesquiera parámetros inde-
pendientes, siempre y cuando describan completamente el estado del sistema. Estas
: cantidades ni siquiera tienen que tener dimensiones de longitud. Dependiendo del
problema, es probable que sea más conveniente algunos de los parámetros con di-
mensiones de energía, algunos con dimensiones de área, algunos podría ser adimen-
sionales y así sucesivamente.
Se da el nombre de coordenadas generalizadas (denotadas con la letra ¡)
de un sistema de : grados de libertad, a las : magnitudes cualesquiera ¡
1
. ¡
2
. ....
¡
c
que caracterizan totalmente su estadoo conﬁguración.
Las ecuaciones escritas en términos de estas coordenadas son válidas para cual-
quier sistema de coordenadas (rectangular, cilíndrico, esférico, etc.). Por convenien-
cia, se usa ¡ como símbolo general para representar este tipo de coordenadas, no
importando cuál sea su naturaleza, como ya fue mencionado.
Es de hacer notar que las coordenadas generalizadas fueron deﬁnidas a partir de
la incorporación de ligaduras holónomas, pues de lo contrario, no se hubiesen podido
usar las ligaduras para eliminar las coordenadas dependientes. Si en el sistema existe
al menos una ligadura no-holónoma, esto haría que el sistema fuese no-holónomo y,
por lo tanto, ya las coordenadas generalizadas no serían independientes.
Se da el nombre de coordenadas generalizadas propias a un conjunto de
coordenadas generalizadas que son completamente independientes entre sí.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 56
2.7. ESPACIO DE CONFIGURACIÓN
Usando coordenadas generalizadas, se puede escribir ahora,
÷÷
:
j
=
÷÷
:
j
(¡
;
. t) , con i = 1. 2. .... `; , = 1. 2. .... : (2.27)
que expresan la relación entre las viejas coordenadas
÷÷
:
j
y las nuevas : coordenadas
independientes ¡
;
. Las expresiones (2.27) contienen las ligaduras (2.12) implícitamente,
y son las ecuaciones de transformación desde el conjunto de las coordenadas de la
posición
÷÷
:
j
hacia el conjunto de las ¡
;
o, en forma alternativa, pueden ser considera-
das como una representación paramétrica de las posiciones
÷÷
:
j
.
Se supone, siempre, que también se puede realizar la transformación en sentido
contrario (transformación inversa), de manera tal que las ecuaciones (2.27) combi-
nadas con las / ecuaciones de ligadura (2.12), puedan ser invertidas para obtener
cualquier ¡
;
como una función de las coordenadas de la posición
÷÷
:
j
y el tiempo, es
decir,
¡
;
= ¡
;
(
÷÷
:
j
. t) , con i = 1. 2. .... `; , = 1. 2. .... : (2.28)
Cuando el sistema de ecuaciones (2.27) no depende explícitamente del
tiempo, se dice que el sistema es natural.
2.7. Espacio de conﬁguración
Como ya se dijo, el estado de un sistema de ` partículas y sujeto a 1 ligaduras
que relacionan algunas de las 3` coordenadas rectangulares está completamente
descrito por : coordenadas generalizadas. Se puede, por lo tanto, representar el es-
tado de tal sistema mediante un punto en un espacio de dimensión : denominado
espacio de conﬁguración.
Se da el nombre de espacio de conﬁguración al espacio abstracto con-
stituído por cualquier conjunto de coordenadas generalizadas. La dimensión
de este espacio es el número de coordenadas generalizadas independientes :
(grados de libertad) que se necesitan para describir, en el espacio tridimension-
al, cada una de las posiciones de las ` partículas del sistema. Cada dimensión
de este espacio corresponde a una de las coordenadas ¡
j
.
Se puede representar la historia temporal de un sistema mediante una curva en el
espacio de conﬁguración, donde cada punto describe la conﬁguración del sistema
en un instante particular (ver ﬁgura 2.13).
Através de cada punto pasa un inﬁnito número de curvas que representan movimien-
tos posibles del sistema, correspondiendo cada curva a un conjunto particular de
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 57
CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS
Figura (2.13): El historial temporal de un sistema es representado mediante una curva en el espacio de
conﬁguración. Se muestran cuatro posibles.
condiciones iniciales. Por lo tanto, se puede hablar del “camino” de un sistema co-
mo si éste se “moviese” a través del espacio de conﬁguración, pero se debe tener
cuidado de no confundir esta terminología con aquella aplicada al movimiento de
una partícula a lo largo de un camino es el espacio tridimensional ordinario.
Se debe hacer notar también que, un camino dinámico en un espacio de con-
ﬁguración que consiste en un conjunto de coordenadas generalizadas propias es,
automáticamente, consistente con las ligaduras del sistema debido a que las coor-
denadas son elegidas sólo para corresponder a movimientos posibles del sistema.
2.8. Magnitudes mecánicas en coordenadas generaliza-
das
Seguidamente serán expresadas en coordenadas generalizadas algunas mag-
nitudes físicas de uso frecuente. Se supndrá que el sitema tiene : grados de libertad.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 58
2.8. MAGNITUDES MECÁNICAS EN COORDENADAS GENERALIZADAS
2.8.1. Desplazamiento
De acuerdo a las transformaciones (2.27),
÷÷
:
j
=
÷÷
:
j
(¡
;
. t) , con i = 1. 2. .... `; , = 1. 2. .... :
entonces,
d
÷÷
:
j
=
c
¸
;=1
·
÷÷
:
j
·¡
;
d¡
;
+
·
÷÷
:
j
·t
dt, con i = 1. 2. .... ` (2.29)
2.8.2. Velocidad
Nuevamente, partiendo de las transformaciones (2.27),
«
÷÷
:
j
=
d
÷÷
:
j
dt
=
c
¸
;=1
·
÷÷
:
j
·¡
;
«
¡
;
+
·
÷÷
:
j
·t
(2.30)
Aquí, a las cantidades
«
¡
;
se les da el nombre de velocidades generalizadas.
Para el caso particular de un sistema natural, se puede escribir,
«
÷÷
:
j
=
d
÷÷
:
j
dt
=
c
¸
;=1
·
÷÷
:
j
·¡
;
«
¡
;
, con i = 1. 2. .... ` (2.31)
puesto que
0
÷÷
v
.
0t
= 0.
2.8.3. Aceleración
Al derivar con respecto al tiempo la expresión (2.30) resulta,
««
÷÷
:
j
=
d
2÷÷
:
j
dt
2
=
c
¸
;=1
d
dt

·
÷÷
:
j
·¡
;
«
¡
;

+
d
dt

·
÷÷
:
j
·t

=
c
¸
;=1
¸
d
dt

·
÷÷
:
j
·¡
;

«
¡
;
+
·
÷÷
:
j
·¡
;
««
¡
;

+
d
dt

·
÷÷
:
j
·t

(2.32)
pero,
d
dt

·
÷÷
:
j
·¡
;

=
c
¸
I=1
·
2÷÷
:
j
·¡
I
·¡
;
«
¡
I
(2.33)
d
dt

·
÷÷
:
j
·t

=
c
¸
I=1
·
2÷÷
:
j
·¡
I
·t
«
¡
I
(2.34)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 59
CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS
entonces, al sustituir (2.33) y (2.34) en (2.32) resulta,
««
÷÷
:
j
=
c
¸
;.I=1
·
2÷ ÷
:
j
·¡
I
·¡
;
«
¡
I
«
¡
;
+
c
¸
;=1
·
÷÷
:
j
·¡
;
««
¡
;
+
c
¸
I=1
·
2÷÷
:
j
·¡
I
·t
«
¡
I
(2.35)
y como los índices que suman son mudos en los últimos dos términos,
««
÷÷
:
j
=
c
¸
;.I=1
·
2÷÷
:
j
·¡
I
·¡
;
«
¡
I
«
¡
;
+
c
¸
;=1

·
÷÷
:
j
·¡
;
««
¡
;
+
·
2÷÷
:
j
·¡
;
·t
«
¡
;

, con i = 1. 2. .... ` (2.36)
Para el caso particular en el que el sistema considerado sea natural se puede es-
cribir,
««
÷÷
:
j
=
¸
;.I
·
2÷÷
:
j
·¡
I
·¡
;
«
¡
I
«
¡
;
+
¸
;
·
÷÷
:
j
·¡
;
««
¡
;
, con i = 1. 2. .... ` (2.37)
2.8.4. Trabajo mecánico
El trabajo mecánico total \ realizado sobre un sistema viene dado por,
d\ =
.
¸
j=1
÷÷
1
j
« d
÷÷
:
j
(2.38)
y al sustituir d
÷÷
:
j
por la expresión (2.29) resulta,
d\ =
.
¸
j=1
÷÷
1
j
«

c
¸
;=1
·
÷÷
:
j
·¡
;
d¡
;
+
·
÷÷
:
j
·t
dt

=
c
¸
;=1

.
¸
j=1
÷÷
1
j
«
·
÷÷
:
j
·¡
;

d¡
;
+
.
¸
j=1
÷÷
1
j
«
·
÷÷
:
j
·t
dt (2.39)
y si el sistema es natural,
d\ =
c
¸
;=1

.
¸
j=1
÷÷
1
j
«
·
÷÷
:
j
·¡
;

d¡
;
=
c
¸
;=1
(
;
d¡
;
(2.40)
donde,
(
;
=
.
¸
j=1
÷÷
1
j
«
·
÷÷
:
j
·¡
;
, con , = 1. 2. .... : (2.41)
son las llamadas fuerzas generalizadas. Puesto que las coordenadas generalizadas ¡
;
no necesariamente tienen dimensión de longitud, entonces las (
;
no necesariamente
tienen dimensión fuerza. El producto (
;
d¡
;
, sin embargo, siempre tiene dimensión de
trabajo.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 60
2.8. MAGNITUDES MECÁNICAS EN COORDENADAS GENERALIZADAS
En el caso de un sistema conservativo, las fuerzas
÷÷
1
j
se derivan de una función
potencial escalar l = l (¡
j
), que es la energía potencial del sistema,
÷÷
1
j
= ÷
÷÷
\
j
l, con i = 1. 2. .... ` (2.42)
pudiéndose escribir a partir de (2.41),
(
;
=
.
¸
j=1
÷÷
1
j
«
·
÷÷
:
j
·¡
;
= ÷
.
¸
j=1
÷÷
\
j
l «
·
÷÷
:
j
·¡
;
= ÷
.
¸
j=1
¸
·l
·r
j
´ c
a
+
·l
·n
j
´ c
&
+
·l
·.
j
´ c
:

·r
j
·¡
;
´ c
a
+
·n
j
·¡
;
´ c
&
+
·n
j
·¡
;
´ c
:

(2.43)
de aquí que,
(
;
= ÷
·l
·¡
;
, con , = 1. 2. .... :, para sistemas conservativos (2.44)
2.8.5. Energía cinética
La energía cinética total 1 de un sistema viene dada por,
1 =
1
2
.
¸
j=1
:
j
·
2
j
(2.45)
Ahora, al sustituir en ella la expresión(2.30), resulta,
1 =
1
2
.
¸
j=1
:
j

c
¸
;=1
·
÷÷
:
j
·¡
;
«
¡
;
+
·
÷÷
:
j
·t

2
= c
c
+
c
¸
;=1
c
;
«
¡
;
+
c
¸
;.I=1
c
;I
«
¡
;
«
¡
I
= 1
c
+ 1
1
+ 1
2
(2.46)
donde c
c
, c
;
y c
;I
son funciones deﬁnidas de las
÷÷
:
j
y t, y por lo tanto, de las ¡
j
y t, dadas
por,
c
c
=
1
2
.
¸
j=1
:
j

·
÷÷
:
j
·t

2
(2.47)
c
;
=
.
¸
j=1
:
j
·
÷÷
:
j
·t
«
·
÷÷
:
j
·¡
;
, con , = 1. 2. .... : (2.48)
c
;I
=
1
2
.
¸
j=1
:
j
·
÷÷
:
j
·¡
;
«
·
÷÷
:
j
·¡
I
, con ,. / = 1. 2. .... : (2.49)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 61
CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS
Si el sistema es natural, se anulan todos los términos de (2.46) menos el último,
1 =
c
¸
;.I=1
c
;I
«
¡
;
«
¡
I
(2.50)
y, por lo tanto, 1 será siempre una forma cuadrática homogénea respecto a las ve-
locidades generalizadas.
Si se halla la derivada parcial de (2.50) con respecto a las velocidades generaliza-
das
«
¡
|
resulta,
·1
·
«
¡
|
=
c
¸
I=1
c
|I
«
¡
I
+
c
¸
;=1
c
;|
«
¡
;
, con | = 1. 2. .... :
multiplicando por
«
¡
|
y sumando sobre |,
c
¸
|=1
«
¡
|
·1
·
«
¡
|
=
c
¸
I.|=1
c
|I
«
¡
I
«
¡
|
+
c
¸
;.|=1
c
;|
«
¡
;
«
¡
|
y como en este caso, todos los índices son mudos, los dos términos de la derecha son
idénticos, entonces,
c
¸
|=1
«
¡
|
·1
·
«
¡
|
= 2
c
¸
;.|=1
c
;|
«
¡
;
«
¡
|
= 21 (2.51)
Este importante resultado es un caso especial del Teorema de Euler (ver apéndice
A), el cual establece que,
Si 1 (n
j
) es una función homogénea de las n
j
que es de grado j, es decir,
1 (\n
1
. \n
2
. .... \n
a
) = \
j
1 (n
1
. n
2
. .... n
a
)
siendo \ = 0, entonces,
a
¸
;=1
¸
n
;
·1 (n
j
)
·n
;

= j1 (n
j
) , con i = 1. 2. . . . . : (2.52)
2.9. Desplazamiento virtual y trabajo virtual
Las deﬁniciones de desplazamiento virtual y trabajo virtual serán útiles a la hora
de establecer el Principio de D’Alembert más adelante.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 62
2.9. DESPLAZAMIENTO VIRTUAL Y TRABAJO VIRTUAL
2.9.1. Desplazamiento virtual
Se da el nombre de desplazamiento virtual a un desplazamiento inﬁnitesimal de
la posición de una partícula realizado instantáneamente, es decir, que es realizado
a velocidad inﬁnita, sin que transcurra el tiempo durante el desplazamiento (de aquí
la condición de virtual ya que no es posible realizarlo efectivamente).
Aparte de ser instantáneo, es arbitrario no relacionado con el movimiento real de la
partícula en el instante considerado. Es un desplazamiento hipotético, es simplemente
una forma de razonar.
Existen ciertos tipos de desplazamientos virtuales que son los más útiles y que serán
de interés más adelante, estos son los denominados compatibles con las ligaduras.
Los desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras son aquellos
que respetan las ligaduras (no sacan la partícula del riel que la guía, no de-
forman los cuerpos rígidos, no estiran los hilos, etc.); es decir, que después de
realizado un desplazamiento virtual, se mantienen las relaciones de ligadura
del sistema.
Un desplazamiento virtual inﬁnitesimal se representará por la diferencial de primer
orden o
÷÷
: en vez de d
÷÷
: (usado para los desplazamientos reales). También puede ser
un desplazamiento virtual una rotación de un cuerpo.
Figura (2.14): Desplazamiento real d
÷÷
r y desplazamiento virtual c
÷÷
r .
Es importante hacer notar que si las ligaduras fueran dependientes del tiempo, al
ser instantáneo el desplazamiento virtual, las ligaduras permanecen en el estado en
que se encontraban en el instante del desplazamiento, por lo que los desplazamientos
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 63
CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS
virtuales compatibles con las ligaduras deben respetar las condiciones impuestas por
estas en ese instante dado, es decir,
1
|
(¡
j
. t) = 0 y 1
|
(¡
j
+ o¡
j
. t) = 0
en el caso de ligaduras holónomas. Por otro lado, en un desplazamiento real transcur-
riría un tiempo dt en el cual las fuerzas y las ligaduras del sistema podrían variar.
La diferencia entre un desplazamiento virtual o
÷÷
:
j
y un desplazamiento real d
÷÷
:
j
es
posible verla a partir de (2.29). En efecto,
d
÷÷
:
j
=
c
¸
;=1
·
÷÷
:
j
·¡
;
d¡
;
+
·
÷÷
:
j
·t
dt, con i = 1. 2. . . . . `
y como en los desplazamientos virtuales el tiempo no varía, entonces resulta que,
o
÷÷
:
j
=
c
¸
;=1
·
÷÷
:
j
·¡
;
o¡
;
, con i = 1. 2. . . . . ` (2.53)
Figura (2.15): Coordenada real c (t) y la coordenada desplazada virtualmente c (t) +cc (t).
Por lo tanto, los desplazamientos virtuales son vectores tangenciales en el espa-
cio de conﬁguración. Los vectores o
÷÷
:
j
apuntan a diferentes trayectorias geométrica-
mente posibles de la i-ésima partícula en un instante de tiempo dado. Por ejemplo,
una determinada trayectoria de la i-ésima partícula puede llevarse a cabo partien-
do de unas condiciones iniciales dadas, pero o
÷÷
:
j
puede también apuntar hacia otras
trayectorias imaginarias (ver ﬁguras 2.14 y 2.15).
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 64
2.10. ALGUNOS PRINCIPIOS MECÁNICOS BÁSICOS
Matemáticamente, con el elemento o se opera de la misma forma que como se
hace con un diferencial. Por ejemplo,
o tan r =
o tan r
or
or =

sec
2
r

or (2.54)
2.9.2. Trabajo virtual
El trabajo virtual se deﬁne de la siguiente manera:
El trabajo virtual o\ realizado por una fuerza
÷÷
1 para desplazar una partícu-
la un desplazamiento virtual o
÷÷
: viene dado por,
o\ =
÷÷
1 « o
÷÷
: = 1o: Cos c (2.55)
donde 1 y o: son los módulos de la fuerza
÷÷
1 y el desplazamiento virtual o
÷÷
:
respectivamente, y c es el ángulo entre ambos vectores.
El trabajo virtual que efectúa un par
÷÷
( durante un desplazamiento virtual o
÷÷
o del
cuerpo viene dado por,
o\ =
÷÷
( « o
÷÷
o = (oo Cos c (2.56)
donde ( y oo son los módulos del par
÷÷
( y el desplazamiento virtual o
÷÷
o respectiva-
mente, y c es el ángulo entre ambos vectores.
Es importante hacer notar que, como los desplazamiento virtuales o: y oo de las
expresiones (2.55) y (2.56) corresponden a movimientos ﬁcticios, dichas expresiones no
se podrán integrar.
2.10. Algunos principios mecánicos básicos
2.10.1. Principio de los trabajos virtuales
Si un sistema está en equilibrio traslacional signiﬁca que es nula la resultante
de las fuerzas que actúan sobre cada partícula,
÷÷
1
j
=
÷÷
0 . Es obvio que en tal caso se
anulará también el producto escalar
÷÷
1
j
« o
÷÷
:
j
que es el trabajo virtual de la fuerza
÷÷
1
j
en el desplazamiento virtual o
÷÷
:
j
. La suma de estos productos nulos extendida a todas
las partículas será,
o\ =
.
¸
j=1
÷÷
1
j
« o
÷÷
:
j
= 0 (2.57)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 65
CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS
Hasta ahora nada se ha dicho que posea un contenido físico nuevo. Desdóblese
÷÷
1
j
en la fuerza aplicada
÷÷
1
(o)
j
y en la de ligadura
÷÷
1
(|)
j
,
÷÷
1
j
=
÷÷
1
(o)
j
+
÷÷
1
(|)
j
(2.58)
de modo que la expresión (2.57) adopte la forma,
.
¸
j=1
÷÷
1
(o)
j
« o
÷÷
:
j
+
.
¸
j=1
÷÷
1
(|)
j
« o
÷÷
:
j
= 0 (2.59)
Limítese ahora el estudio a aquellos sistemas en los que el trabajo virtual de las
fuerzas de ligadura es nulo, condición que se veriﬁca en el sólido rígido y en gran
número de diversas ligaduras.
A la ligadura cuya fuerza de ligadura correspondiente no realiza trabajo en los
desplazamientos virtuales se le denomina ligadura ideal. La ligadura de sólido
rígido, los contactos sin rozamiento y la rodadura lo son.
De este modo, si una partícula se ve obligada a moverse sobre una superﬁcie, la
fuerza de ligadura será perpendicular a la misma, en tanto que el desplazamiento vir-
tual deberá ser tangente y, por lo tanto, el trabajo virtual será nulo. Lo anterior deja de
cumplirse si existen fuerzas de rozamiento, por lo que se habrá de excluir tales fuerzas
de la formulación. Entonces,
o\ =
.
¸
j=1
÷÷
1
(o)
j
« o
÷÷
:
j
= 0 (2.60)
que suele denominarse principio de los trabajos virtuales.
El principio de los trabajos virtuales puede enunciarse de la manera siguiente,
En un sistema mecánico sometido a ligaduras lisas, es condición necesaria y
suﬁciente para el equilibrio que el trabajo del conjunto de fuerzas aplicadas so-
bre dicho sistema, para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales com-
patibles con las ligaduras, sea nulo.
Se debe tener presente, además, que:
1. Los coeﬁcientes de o
÷÷
:
j
no son ya nulos, es decir, en general
÷÷
1
(o)
j
=
÷÷
0 . En esencia,
esto se debe a que las o
÷÷
:
j
no son completamente independientes, sino que están
relacionadas por las ligaduras. Es decir, para una fuerza total
÷÷
1
j
sobre un punto
dado, se veriﬁca que
÷÷
1
j
« o
÷÷
:
j
= 0 \i (no sumado); sin embargo, para la fuerza
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 66
2.10. ALGUNOS PRINCIPIOS MECÁNICOS BÁSICOS
aplicada correspondiente
÷÷
1
(o)
j
en general es
÷÷
1
(o)
j
« o
÷÷
:
j
= 0 En otras palabras, los
términos individuales del trabajo virtual de las fuerzas aplicadas no tienen por qué
anularse, aunque la suma sí es siempre nula
.
¸
j=1
÷÷
1
(o)
j
« o
÷÷
:
j
= 0.
2. Las fuerzas aplicadas
÷÷
1
(o)
j
deben incluir tanto las externas como las internas que,
en un caso general, sí realizan trabajo virtual. Por el contrario, las fuerzas aplicadas
÷÷
1
(o)
j
excluyen a las fuerzas de reacción, que no desarrollan trabajo virtual.
Por último, conviene notar que la ventaja del principio de los trabajos virtuales es
que plantea las condiciones para el equilibrio global del sistema, sin emplear las reac-
ciones de las ligaduras lisas, que no hace falta calcular en ningún momento. También
pueden tratarse problemas con ligaduras no lisas, agregando a la expresión (2.60) el
trabajo virtual correspondiente a las reacciones de las ligaduras no lisas, como si se
tratase de fuerzas aplicadas. Dicho de otra forma, las únicas fuerzas de reacción que
se eliminan de la expresión general del trabajo virtual son las de las ligaduras lisas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.10
Una palanca (de masa despreciable) horizontal está en equilibrio
estático bajo la aplicación de las fuerzas verticales
÷÷
1
1
a una distancia /
1
del punto de
apoyo y
÷÷
1
2
a una distancia /
2
del mismo como se muestra en la ﬁgura 2.16. ¿Cuál es
la condición sobre estas cantidades para que se mantenga el equilibrio?.
Figura (2.16): Palanca horizontal en equilibrio estático (Ejemplo 2.10).
Solución: Aquí las fuerzas aplicadas son
÷÷
1
1
y
÷÷
1
2
(no existen fuerzas inerciales).
Supóngase que la palanca realiza un desplazamiento virtual, rotando en el sentido
horario con respecto a su punto de apoyo un ángulo inﬁnitesimal oo. Debido a esto,
el extremo ¹ se mueve hacia arriba una distancia /
1
oo y el extremo 1 se mueve hacia
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 67
CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS
abajo /
2
oo. Al aplicar el principio de los trabajos virtuales (2.60),
¸
j
÷÷
1
(o)
j
« o
÷÷
:
j
=
÷÷
1
(o)
1
« o
÷÷
:
1
+
÷÷
1
(o)
2
« o
÷÷
:
2
=
÷÷
1
1
« o
÷÷
:
1
. .. .
Trabajo virual de
÷÷
1
1
+
÷÷
1
2
« o
÷÷
:
2
. .. .
Trabajo virual de
÷÷
1
2
= 1
1
/
1
oo Cos : + 1
2
/
2
oo Cos 0 = 0
o,
1
1
/
1
= 1
2
/
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.11
Encuentre la relación entre las cantidades mostradas en la ﬁgura
2.17 para que el péndulo permanezca en equilibrio estático.
Figura (2.17): Péndulo en equilibrio estático (Ejemplo 2.11).
Solución: En este caso las fuerzas aplicadas son
÷÷
n y
÷÷
1 (no existen fuerzas inerciales).
Supóngase un desplazamiento virtual donde el ángulo o se incrementa una pequeña
cantidad oo. Es fácil encontrar, a partir de la ﬁgura 2.17, que los desplazamientos hori-
zontal y vertical de la masa pendular para este incremento de o vienen dados por,
or = /oo Cos o
on = /oo Sen o
por lo tanto, a partir del principio de los trabajos virtuales (2.60),
¸
j
÷÷
1
(o)
j
« o
÷÷
:
j
=
÷÷
1
(o)
1
« o
÷÷
:
1
+
÷÷
1
(o)
2
« o
÷÷
:
2
= 0
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 68
2.10. ALGUNOS PRINCIPIOS MECÁNICOS BÁSICOS
si
÷÷
1
(o)
1
=
÷÷
1 y
÷÷
1
(o)
2
=
÷÷
n entonces,
÷÷
1 « o
÷÷
:
1
. .. .
Trabajo virual de
÷÷
1
+
÷÷
n « o
÷ ÷
:
2
. .. .
Trabajo virual de
÷÷
&
= 1/oo Cos o Cos 0 + n/oo Sen o Cos : = 0
1 = ntan o
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.2. Principio de D’Alembert
Se extenderá el principio de los trabajos virtuales (que se reﬁere a sistemas es-
táticos) a sistemas dinámicos. Para realizar esto, se recurrirá a un artiﬁcio ideado ini-
cialmente por Bernoulli
5
y perfeccionado después por D’Alembert
6
.
La segunda ley de Newton establece que,
÷÷
1
j
=
«
÷÷
j
j
(2.61)
de donde se tiene que,
÷÷
c
j
=
÷÷
1
j
÷
«
÷÷
j
j
=
÷÷
0 (2.62)
Es decir, que si cada partícula i estuviera sometida a una fuerza neta dada por
÷÷
c
j
el sistema estaría en equilibrio estático instantáneamente (las partículas del sistema
estarán en equilibrio bajo los efectos de la fueza real
÷÷
1
j
y de otra “fuerza efectiva
invertida” ÷
«
÷÷
j
j
). Considerada desde este punto de vista, la dinámica se reduce a la
estática.
La fuerza
÷÷
c
j
debe cumplir con lo establecido en el principio de los trabajos virtuales
(2.60), por lo tanto,
.
¸
j=1
÷÷
c
j
« o
÷÷
:
j
= 0 (2.63)
entonces,
.
¸
j=1

÷÷
1
j
÷
«
÷÷
j
j

« o
÷÷
:
j
= 0 (2.64)
5
Daniel Bernoulli ( 8 de febrero de 1700 - 17 de marzo de 1782) fue un matemático, estadístico, físico
y médico holandés/suizo. Destacó no sólo en matemática pura, sino también en las aplicadas. Hizo
importantes contribuciones en hidrodinámica y elasticidad.
6
Jean le Rond D’Alembert (París, 16 de noviembre 1717 - ídem, 24 de octubre 1783) matemático y ﬁlósofo
francés. Uno de los máximos exponentes del movimiento ilustrado, concibe las Ciencias como un todo
integrado y herramienta para el progreso de la Humanidad.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 69
CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS
pero de (2.58),
÷÷
1
j
=
÷÷
1
(o)
j
+
÷÷
1
(|)
j
(2.65)
donde
÷÷
1
(o)
j
es la fuerza aplicada y
÷÷
1
(|)
j
es la de ligadura, entonces,
.
¸
j=1

÷÷
1
(o)
j
+
÷÷
1
(|)
j
÷
«
÷÷
j
j

« o
÷÷
:
j
=
.
¸
j=1

÷÷
1
(o)
j
÷
«
÷÷
j
j

« o
÷÷
:
j
+
.
¸
j=1
÷÷
1
(|)
j
« o
÷÷
:
j
= 0 (2.66)
Ahora, considerando sistemas en los que el trabajo virtual de las fuerzas de ligadura
es nulo, resulta,
.
¸
j=1

÷÷
1
(o)
j
÷
«
÷÷
j
j

« o
÷÷
:
j
= 0 (2.67)
que suele llamarse principio de D’Alembert.
En la expresión (2.67) no aparecen las fuerzas de ligadura, por lo que cabe eliminar
el superíndice c sin riesgo de ambigüedad, por lo tanto,
.
¸
j=1

÷÷
1
j
÷
«
÷÷
j
j

« o
÷÷
:
j
= 0 (2.68)
El principio de D’Alembert puede enunciarse de la manera siguiente:
En un sistema mecánico sometido a ligaduras lisas, la evolución dinámica
del sistema está determinada, como condición necesaria y suﬁciente, por la
anulación en todo instante del trabajo de las fuerzas aplicadas más el trabajo
de las fuerzas de inercia para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales
compatibles con las ligaduras.
Todos los cuerpos tienen una tendencia a permanecer en su estado de reposo o
de movimiento rectilíneo y uniforme. Se puede pensar en esto como una resistencia
inercial al cambio o, en otras palabras, en una fuerza inercial. La forma más conocida
de la fuerza inercial es la fuerza centrífuga.
En el principio de D’Alembert la fuerza inercial
o
÷÷
j
.
ot
=
«
÷÷
j
j
aparece en un pie
de igualdad con la fuerza aplicada
÷÷
1
j
, reduciendo el problema dinámico a un
problema estático.
Se debe tener presente, además, que:
1. Para una partícula dada (por ejemplo la i-ésima) sería, en general,

÷÷
1
j
÷
«
÷÷
j
j

«
o
÷÷
:
j
= 0; es decir, que el sumando individual del trabajo virtual no se anula necesari-
amente, aunque la suma extendida a todo el sistema sí se anula siempre.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 70
2.10. ALGUNOS PRINCIPIOS MECÁNICOS BÁSICOS
2. Aplica la misma observación realizada arriba para el principio de los trabajos vir-
tuales sobre la naturaleza de las fuerzas
÷÷
1
(o)
j
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.12
Encuentre la aceleración del sistema de dos masas unidas por una
cuerda de longitud / que pasa a través de una polea (cuyo diámetro es despreciable),
como se muestra en la ﬁgura (2.18), usando el principio de D’Alembert.
Figura (2.18): Sistema de dos masas unidas por una cuerda que pasa a través de una polea (Ejemplo
2.12).
Solución: Supóngase que la masa `
2
se mueve hacia abajo una distancia on
2
, en
consecuencia la masa `
1
se mueve hacia arriba una distancia on
1
. Aquí las fuerzas
aplicadas son los pesos de cada masa y las fuerzas inerciales son el producto de cada
masa por su correspondiente aceleración. Al aplicar el principio de D’Alembert (2.68)
resulta,
¸
j

÷÷
1
j
÷
«
÷÷
j
j

« o
÷÷
:
j
=

÷÷
1
1
÷
«
÷÷
j
1

« o
÷÷
:
1
+

÷÷
1
2
÷
«
÷÷
j
2

« o
÷÷
:
2
=
÷÷
1
1
« o
÷÷
:
1
÷
«
÷÷
j
1
« o
÷÷
:
1
+
÷÷
1
2
« o
÷÷
:
2
÷
«
÷÷
j
2
« o
÷÷
:
2
= n
1
on
1
Cos : ÷`
1
««
n
1
on
1
+ n
2
on
2
Cos 0 ÷`
2
««
n
2
on
2
= 0
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 71
CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS
pero n
1
= n y n
2
= / ÷n entonces,
`
1
oon
. .. .
ya que &
1
=÷A
1
j
÷`
1
««
non ÷`
2
oon
. .. .
ya que &
2
=÷A
2
j
÷`
2
««
non = 0
o,
««
n =

`
1
÷`
2
`
1
+ `
2

o
resultado conocido del curso de Física elemental.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.13
Encuentre la aceleración del sistema que se muestra en la ﬁgura
(2.19), usando el principio de D’Alembert.
Figura (2.19): Dos masas unidas por una cuerda que pasa a través de una polea y donde una de las
masas se desliza sobre un plano inclinado (Ejemplo 2.13).
Solución: En este caso, al igual que en el anterior, las fuerzas aplicadas son los pesos
de cada masa y las fuerzas inerciales son el producto de cada masa por su correspon-
diente aceleración. Supóngase que la masa :
1
se mueve hacia abajo sobre el plano
inclinado una distacia o:, entonces se desplazará una distancia horizontal y vertical
dadas por,
r
1
= : Cos c =or
1
= o: Cos c
n
2
= : Cos c =on
1
= o: Sen c
y :
2
,
n
2
= : =on
2
= o:
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 72
2.10. ALGUNOS PRINCIPIOS MECÁNICOS BÁSICOS
Al usar el principio de D’Alembert (2.68) resulta,
¸
j

÷÷
1
j
÷
«
÷÷
j
j

« o
÷÷
:
j
=

÷÷
1
1
÷
«
÷÷
j
1

« o
÷÷
:
1
+

÷÷
1
2
÷
«
÷÷
j
2

« o
÷÷
:
2
+

÷÷
1
3
÷
«
÷÷
j
3

« o
÷ ÷
:
3
=
÷÷
1
1
« o
÷÷
:
1
÷
«
÷÷
j
1
« o
÷÷
:
1
+
÷÷
1
2
« o
÷÷
:
2
÷
«
÷÷
j
2
« o
÷÷
:
2
+
÷÷
1
3
« o
÷÷
:
3
÷
«
÷÷
j
3
« o
÷÷
:
3
= n
1
or
1
Cos
:
2
÷:
1
««
r
1
or
1
Cos 0 + n
1
on
1
Cos 0 ÷:
1
««
n
1
on
1
Cos 0
+n
2
on
2
Cos : ÷:
2
««
n
2
on
2
Cos 0
= ÷:
1
««
r
1
o: Cos c + n
1
o: Sen c ÷:
1
««
n
1
o: Sen c ÷n
2
o: ÷:
2
««
n
2
o: = 0
pero,
««
r
1
=
««
: Cos c,
««
n
1
=
««
: Sen c, n
2
=
««
:, n
1
= ÷:
1
o y n
2
= ÷:
2
o, entonces,
÷:
1
««
:o: Cos
2
c ÷:
1
oo: Sen c ÷:
1
««
:o: Sen
2
c + :
2
oo: ÷:
2
««
:o: = 0
o,
««
: =

:
1
Sen c ÷:
2
:
1
+ :
2

o
resultado también conocido del curso de Física elemental.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El principio de D’Alembert (2.68) debe considerarse como un principio básico de
la dinámica, alternativo a las leyes de Newton. Como caso particular, el principio de
D’Alembert da lugar al principio de los trabajos virtuales estudiado en la sección an-
terior.
Al igual que en el principio de los trabajos virtuales, el principio de D’Alembert
permite expresar la dinámica global del sistema en forma compacta, eliminando las
fuerzas de reacción de las ligaduras lisas.
Cuando lo que se busca es precisamente calcular el valor de alguna reacción,
es posible realizarlo mediante trabajos virtuales empleando un artiﬁcio. Para ello, se
considera esta ligadura “liberada” y la fuerza de reacción como una fuerza aplicada
normal, que tendría el efecto precisamente de la ligadura, lo cual permite tomar o
÷÷
:
j
vulnerando la ligadura. De esta manera, la reacción correspondiente sí realiza trabajo
virtual, y la expresión de los trabajos virtuales (2.60) o (2.68) permite calcular al ﬁnal
dicha reacción.
La importancia de los métodos basados en los trabajos virtuales radica en que per-
miten obtener formulaciones prácticas muy generales para la estática o la dinámi-
ca de sistemas con varias partículas (las ecuaciones de Lagrange, por ejemplo, que
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 73
CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS
serán estudiadas en el capítulo 5). Asimismo son la base de métodos numéricos, muy
extendidos en la práctica, para la resolución de problemas con numerosos grados
de libertad, como el método de los elementos ﬁnitos. Estos métodos son de una gran
importancia en la Mecánica Computacional y en el cálculo de las estructuras.
2.10.3. Principio de Hamilton o de acción estacionaria
Antes de establecer el Principio de Hamilton es necesario aclarar la deﬁnición
de acción,
En la Física, la acción o es la magnitud que expresa el producto de la ener-
gía implicada en un proceso por el tiempo que dura este proceso.
Se puede clasiﬁcar según el lapso de tiempo considerado en acción instantánea,
acción promedio, etc. La acción es una magnitud física que no es directamente med-
ible, aunque puede ser calculada a partir de cantidades medibles. Entre otras cosas,
eso signiﬁca que no existe una escala absoluta de la acción, ni puede deﬁnirse sin
ambigüedad un cero u origen de esta magnitud. La constante de Planck es el cuanto
de acción.
La primera formulación del principio de Hamilton se debe a Pierre-Louis Moreau
de Maupertuis (1744)
7
, que dijo que la "naturaleza es económica en todas sus ac-
ciones"(D’Alembert había formulado un año antes el principio que lleva su nombre
generalizando las leyes de Newton). Entre los que desarrollaron la idea se incluyen
Euler y Leibniz
8
. Anteriormente, Pierre de Fermat había introducido la idea de que los
rayos de la luz, en situaciones ópticas tales como la refracción y la reﬂexión, seguían
un principio de menor tiempo.
El Principio de Hamilton o de acción estacionaria condujo al desarrollo de las for-
mulaciones lagrangiana y hamiltoniana de la Mecánica Clásica. Aunque sean al prin-
cipio más difíciles de captar, tienen la ventaja que su cosmovisión es más transferible
a los marcos de la Teoría de la Relatividad y la Mecánica Cuántica que la de las leyes
de Newton.
El principio de Hamilton puede enunciarse así:
7
Pierre Louis Moreau de Maupertuis (7 de julio de 1698, Saint-Malo — 27 de julio de 1759) Filósofo,
matemático y astrónomo francés.
8
Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 de julio de 1646 - Hannover, 14 de noviembre de 1716) fue un
ﬁlósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán. Fue uno de los grandes pensadores del siglo
XVII y XVIII, y se le reconoce como el "último genio universal".
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 74
2.10. ALGUNOS PRINCIPIOS MECÁNICOS BÁSICOS
De todas las trayectorias posibles (compatibles con las ligaduras), que
puede seguir un sistema dinámico para desplazarse de un punto a otro en un
intervalo de tiempo determinado, la trayectoria verdaderamente seguida es
aquella que hace mínima la acción dada por la integral temporal de la difer-
encia entre las energías cinética 1 y potencial l.
o =

t
2
t
1
(1 ÷l) dt
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 75
CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 76
CAPÍTULO 3
Cálculo variacional con fronteras …jas
El cálculo variacional constituye una herramienta matemática básica para es-
tudiar la Mecánica de Lagrange y Hamilton que será desarrollada en la parte II de
este texto. Este contenido es presentado como capítulo aparte debido a su importan-
cia, haciéndose énfasis en aquellos aspectos de la teoría de variaciones que tienen
una aplicación directa en los sistemas clásicos, omitiendo algunas pruebas de existen-
cia. El objetivo primario será la determinación del camino que proporciona soluciones
estacionarias (extremales), es decir, máximos y mínimos. Por ejemplo, la distancia más
corta o el tiempo más corto entre dos puntos determinados. Otro ejemplo, bien cono-
cido, es el Principio de Fermat: la luz viaja por el camino que le toma el menor tiempo.
Contents
3.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2. Cálculo de extremales sin restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.1. Para una variable dependiente — Ecuación de Euler . . . . . . . . . . . 82
3.2.2. Para múltiples variables dependientes — Ecuaciones de Euler - Lagrange 97
3.3. Cálculo de extremales con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3.1. Restricciones del tipo o [n
j
(r) ; r] = 0 y o [n
j
(r) . n
t
j
(r) ; r] = 0 . . . . . . 102
3.3.2. Restricciones del tipo isoperimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4. La notación c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
77
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
3.1. Planteamiento del problema
El problema básico del cálculo de variaciones es el de determinar la función n (r)
tal que la integral,
J=

a
2
a
1
1 [n (r) . n
t
(r) ; r] dr (3.1)
tenga un valor estacionario, es decir, que resulte un valor extremal: un máximo o un
mínimo.
A la función n (r) así obtenida se le dará el nombre de función extremal o camino
extremal de J. Aquí r
1
y r
2
son ﬁjos (fronteras ﬁjas), n
t
(r) =
o&(a)
oa
y el punto y coma separa
la variable independiente r de la variable dependiente n (r) y su derivada n
t
(r) . A J
se le denomina funcional.
Se denomina funcional a una función que toma funciones como su argu-
mento; es decir, una función cuyo dominio es un conjunto de funciones.
Este problema se diferencia del, más familiar, problema del cálculo de valores esta-
cionarios o extremos en el cual se tiene que variar una sola variable o un conjunto de
ellas, en que ahora lo que será variado es una función n (r). Sin embargo, se puede
aplicar el mismo criterio: cuando la integral (3.1) tiene un valor estacionario, debe per-
manecer sin cambios hasta el primer orden al hacer una pequeña variación en la
función n (r). Este es, justamente, el criterio que será usado más adelante para encon-
trar los valores estacionarios de (3.1).
Como en el cálculo diferencial, la anulación de la primera derivada es una condi-
ción necesaria pero no suﬁciente para un máximo o un mínimo; así en el cálculo varia-
cional se habla de primeras variaciones y segundas variaciones de J para discriminar
entre máximos, mínimos y puntos de inﬂexión. En este texto sólo se trabajará con la
primera variación y se emplearán razonamientos geométricos o físicos para decidir si
se ha encontrado un máximo, un mínimo o un punto de inﬂexión.
El funcional J (que se denomina también integral funcional ) depende de la función
n (r), y los límites de integración r
1
y r
2
son ﬁjos. No es necesario que los límites de
integración sean considerados ﬁjos y, si se permite que estos límites varíen, el problema
se convierte en no sólo determinar n (r), sino también r
1
y r
2
de manera tal que J
tome un valor estacionario. La función n (r) tiene entonces que ser variada hasta que
se consiga un valor estacionario de J, queriéndose decir con esto que si n = n (r) hace
que J tome un valor mínimo, entonces cualquier función vecina, no importando lo
cerca que esté de n (r), hará que J se incremente.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 78
3.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Se da el nombre de función vecina, función variada o camino vecino de
n = n (r) a todas las posibles funciones n = n (c. r) con la condición de que,
para c = 0, n (0. r) = n (r).
Como caso particular se puede considerar (ver ﬁgura 3.1),
n (c. r) = n (0. r) + c: (r) = n (r) + c: (r) (3.2)
donde la variación : (r) es una función auxiliar que introduce la variación y que debe
anularse en las fronteras del camino r = r
1
y r = r
2
,
: (r
1
) = : (r
2
) = 0 (3.3)
debido a que la función variada n (c. r) debe ser idéntica a n (r) en las fronteras del
camino. Por simplicidad, se supondrá que n (r) y : (r) son continuas y no singulares en
el intervalo [r
1
. r
2
] con primera y segunda derivada continua en el mismo intervalo.
Cualquier variación que cumpla con la condición (3.3) se denomina variación admis-
ible.
Figura (3.1): La función n (r) es el camino que hace que el funcional J tome un valor extremal. Las
funciones n (c. r) = n (r) + c: (r) son las funciones vecinas donde : (r) se anula en las fronteras del
intervalo [r
1
. r
2
].
Si se consideran funciones del tipo (3.2), la integral J se convierte en un funcional
del parámetro c,
J (c) =

a
2
a
1
1 [n (c. r) . n
t
(c. r) ; r] dr (3.4)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 79
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
La condición fundamental para que esta integral tome un valor estacionario es que
J sea independiente de c en primer orden a lo largo del camino resultando así el valor
extremo (c = 0), es decir,
·J
·c

c=0
= 0 (3.5)
(primera variación) para todas las funciones : (r). Esto es sólo una condición necesaria
pero no es suﬁciente, como ya fue mencionado antes.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.1
Considerar la función 1 =

o&(a)
oa

2
donde n (r) = 3r. Sumar a n (r) la
función : (r) = Sen (r)÷Cos (r)+1, y (a) encontrar J (c) entre los límites de r = 0 y r = 2:,
(b) mostrar que el valor estacionario de J (c) se da cuando c = 0.
Figura (3.2): Función n (r) = 3r entre los límites de r = 0 y r = 2¬ y dos de sus variaciones n (c. r) =
3r +c[Sen(r) ÷Cos (r) + 1] (Ejemplo 3.1).
Solución: Los caminos vecinos al camino estacionario vendrán dados por,
n (c. r) = 3r + c[Sen (r) ÷Cos (r) + 1] (3.6)
Estos caminos están ilustrados en la ﬁgura 3.2 para c = 0 y otros dos valores no nulos de
la misma. Es claro que la función : (r) = Sen (r) ÷ Cos (r) + 1 cumple con que se anule
en las fronteras r = 0 y r = 2:. Para determinar 1 (n. n
t
; r) . se determina primero,
dn (c. r)
dr
= 3 + c[Cos (r) + Sen (r)] (3.7)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 80
3.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
entonces,
1 =

dn (c. r)
dr

2
= 9 + 6c[Cos (r) + Sen (r)] + c
2
[Sen (2r) + 1] (3.8)
Ahora, a partir de (3.4), se obtiene,
J (c) =

2¬
0
¸
9 + 6c[Cos (r) + Sen (r)] + c
2
[Sen (2r) + 1]

dr = 2:

9 + c
2

(3.9)
Así se puede ver que J (c) es siempre mayor que J (0), no importando el valor (po-
sitivo o negativo) escogido para c. Es obvio que la condición descrita por la expresión
(3.5) es también satisfecha.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.2
Considerar la función 1 =

o&(a)
oa

2
+ r donde n (r) = r
2
. Sumar a n (r)
la función : (r) = r
3
÷ r, y (a) encontrar J (c) entre los límites de r = ÷1 y r = 1, (b)
mostrar que el valor estacionario de J (c) se da cuando c = 0.
Figura (3.3): Función n (r) = r
2
entre los límites de r = ÷1 y r = 1 y dos de sus variaciones n (c. r) =
r
2
+c

r
3
÷r

(Ejemplo 3.2).
Solución: Los caminos vecinos al camino estacionario vendrán dados por,
n (c. r) = r
2
+ c

r
3
÷r

(3.10)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 81
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
Estos caminos están ilustrados en la ﬁgura 3.3 para c = 0 y otros dos valores no nulos de
la misma. Es claro que la función : (r) = r
3
÷r cumple con que se anule en las fronteras
r = ÷1 y r = 1. Para determinar 1 (n. n
t
; r) . se determina primero,
dn (c. r)
dr
= 2r + c

3r
2
÷1

(3.11)
entonces,
1 =

dn (c. r)
dr

2
+ r =

2r + c

3r
2
÷1

2
+ r (3.12)
Ahora, a partir de (3.4), se obtiene,
J (c) =

1
÷1

2r + c

3r
2
÷1

2
+ r
¸
dr = 8

1
3
+
1
5
c
2

(3.13)
Así se puede ver que J (c) es siempre mayor que J (0), no importando el valor (po-
sitivo o negativo) escogido para c. Es obvio que la condición descrita por la expresión
(3.5) es también satisfecha.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Cálculo de extremales sin restricciones
En esta sección se calcularán los valores extremos del funcional integral (3.1)
pero sin restricciones adicionales a las ya impuestas por las condiciones de frontera
r = r
1
y r = r
2
.
3.2.1. Para una variable dependiente — Ecuación de Euler
Para determinar el resultado de la condición descrita por la expresión (3.5), se
efectuará la derivada indicada en la expresión (3.4),
·J
·c
=
·
·c

a
2
a
1
1 (n. n
t
; r) dr (3.14)
y puesto que los límites de integración son ﬁjos, la derivación sólo afecta al integrando,
por lo tanto,
·J
·c
=

a
2
a
1

·1
·n
·n
·c
+
·1
·n
t
·n
t
·c

dr (3.15)
El segundo término en el integrando de (3.15) puede ser escrito como,

a
2
a
1
·1
·n
t
·n
t
·c
dr =

a
2
a
1
·1
·n
t
·
·c

dn
dr

dr (3.16)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 82
3.2. CÁLCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
que puede ser integrada por partes,

nd· = n· ÷

·dn (3.17)
n =
·1
·n
t
; d· =
·
·c

dn
dr

a
2
a
1
·1
·n
t
·
·c

dn
dr

dr =
·1
·n
t
·n
·c

a
2
a
1
÷

a
2
a
1
·n
·c
d
dr

·1
·n
t

dr (3.18)
donde el término integrado se anula debido a que la derivada parcial de n con res-
pecto a c en r
1
y r
2
debe anularse. Por lo tanto, la expresión (3.15) queda escrita
como,
·J
·c
=

a
2
a
1
¸
·1
·n
÷
d
dr

·1
·n
t

·n
·c
dr (3.19)
Al aplicar la condición (3.5), para encontrar así los valores estacionarios de J (c),
·J
·c

c=0
=

a
2
a
1
¸
·1
·n
÷
d
dr

·1
·n
t

·n
·c

c=0
= 0 (3.20)
La derivada
0&
0c
en (3.19) es una función de r que es arbitraria excepto porque debe
cumplir con las condiciones de continuidad y valores en las fronteras del camino. Por
ejemplo, para el caso particular de la familia paramétrica de caminos variados dados
por (3.2), es la función arbitraria : (r).
Por otro lado, en el cálculo variacional existe el llamado lema
1
fundamental del
cálculo de variaciones (ver apéndice C) que establece lo sguiente:
Si,

a
2
a
1
` (r) j(r) = 0 (3.21)
para todas las funciones arbitrarias j(r) continuas hasta la segunda deriva-
da (al menos), entonces ` (r) debe anularse idénticamente en el intervalo
(r
1
. r
2
).
Ahora bien, al aplicar el anterior lema a la expresión (3.20) resulta,
·1
·n
÷
d
dr

·1
·n
t

= 0 Ecuación de Euler (3.22)
donde, ahora, n y n
t
son independientes de c. Este resultado es conocido como la
Ecuación de Euler
2
, que constituye la condición necesaria para que J tenga un valor
estacionario.
1
Proposición que es preciso demostrar antes de establecer un teorema.
2
Leonhard Paul Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, y murió el 18 de septiembre de 1783
en San Petersburgo, Rusia. Fue un respetado matemático y físico, y está considerado como el principal
matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 83
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.3
Hallar las extremales de la funcional,
J =

a
2
a
1

n
2
+ n
t2
+ 2nc
a

dr
Solución: Aquí,
1 = n
2
+ n
t2
+ 2nc
a
(3.23)
Ahora bien, al sustituir (3.23) en la ecuación de Euler (3.22) resulta,
·
·n

n
2
+ n
t2
+ 2nc
a

÷
d
dr
¸
·
·n
t

n
2
+ n
t2
+ 2nc
a

= 0
n + c
a
÷n
tt
= 0 (3.24)
La expresión (3.24) es una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea con
coeﬁcientes constantes, cuya solución es,
n = c
1
c
a
+ c
2
c
÷a
+
1
2
rc
a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.4
Hallar las extremales de la funcional,
J =

2
1
n
t2
4r
dr
que satisfagan las condiciones de frontera n (1) = 5 y n (2) = 11.
Solución: Aquí,
1 =
n
t2
4r
(3.25)
Ahora bien, al sustituir (3.25) en la ecuación de Euler (3.22) resulta,
·
·n

n
t2
4r

÷
d
dr
¸
·
·n
t

n
t2
4r

= 0
d
dr

n
t
r

= 0
que al integrarse produce,
n
t
= c
1
r (3.26)
Al integrar (3.26) resulta,
n =
c
1
2
r
2
+ c
2
(3.27)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 84
3.2. CÁLCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
Si ahora se aplican las condiciones de frontera sobre (3.27) resulta,
Para n (1) = 5:
c
1
2
+ c
2
= 5
Para n (2) = 11: 2c
1
+ c
2
= 11
de las cuales se obtiene c
1
= 4 y c
2
= 3. Por lo tanto, al sustituir estos resultados en (3.27)
se obtiene ﬁnalmente,
n = 2r
2
+ 3 (3.28)
que es una parábola.
Queda ahora por responder la pregunta: ¿la parábola (3.28) maximiza o minimiza
a J?. La extremal hallada puede maximizar, minimizar o no hacer ninguna de las dos
cosas. Con la teoría mostrada en este texto no es posible, en general, decidir qué es
lo que ocurre. Sin embargo existen unos pocos casos simples (este ejemplo es uno de
ellos) donde se puede decidir muy fácilmente.
Si · es cualquier variación admisible (no necesariamente pequeña), entonces la
variación que sobre J hace · viene dada por (n
c
= n extremal= 2r
2
+ 3),
J (n
c
+ ·) ÷J (n
c
) =
1
4

2
1
1
r
¸
d
dr
(n
c
+ ·)

2
dr ÷
1
4

2
1
1
r
¸
d
dr
(n
c
)

2
dr
=
1
4

2
1
(4r + ·
t
)
2
r
dr ÷4

2
1
rdr
= 2·

2
1
+
1
4

2
1
·
t2
r
dr
y como ·, por ser una variación admisible, debe satisfacer · (1) = 0 y · (2) = 0; se tiene
que,
J (n
c
+ ·) ÷J (n
c
) =
1
4

2
1
·
t2
r
dr _ 0
puesto que la integral de una función positiva debe ser positiva (r es positiva en el
intervalo de integración). Así (3.28) proporciona realmente un mínimo global de J. El
mínimo global de J viene dado al sustituir (3.28) en J y evaluar la integral resultante. En
efecto,
J

2r
2
+ 3

=

2
1
1
4r
¸
d
dr

2r
2
+ 3

2
dr = 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.5
¿En qué curvas puede alcanzar su extremo la funcional,
J =

1
0

n
t2
+ 12rn

dr
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 85
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
sabiendo que n (0) = 0 y n (1) = 1?.
Solución: Aquí,
1 = n
t2
+ 12rn (3.29)
Ahora bien, al sustituir (3.29) en la ecuación de Euler (3.22) resulta,
·
·n

n
t2
+ 12rn

÷
d
dr
¸
·
·n
t

n
t2
+ 12rn

= 0
6r ÷n
tt
= 0 (3.30)
La ecuación diferencial (3.30) tiene como solución,
n = r
3
+ c
1
r + c
2
(3.31)
Para hallar las constantes c
1
y c
2
se aplican sobre (3.31) las condiciones de frontera
dadas. En efecto,
Para n (0) = 0: c
2
= 0 (3.32)
Para n (1) = 1: 1 + c
1
+ c
2
= 1 =c
1
= 0 (3.33)
Por último, al sustituir (3.32) y (3.33) en (3.31) resulta,
n = r
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.6
El problema de la braquistócrona
3
. Considérese una partícula que
se mueve en un campo de fuerza constante
÷÷
1 (el campo gravitacional cerca de la
superﬁcie de la Tierra, por ejemplo), iniciando desde el reposo en algún punto 1
1
=
(r
1
. n
1
) hasta otro punto más bajo 1
2
= (r
2
. n
2
). Encontrar el camino que permite a la
partícula moverse entre ambos puntos en el menor tiempo posible.
Solución: Si se coloca el origen del sistema de coordenadas de referencia en el
punto donde la partícula comienza a moverse, se tiene que 1
1
= (r
1
. n
1
) = (0. 0).
Además, supóngase que el campo de fuerza está dirigido a lo largo del eje r (ver
ﬁgura 3.4). Puesto que la fuerza sobre la partícula es constante y si se ignora la posibili-
dad de fricción, el campo es conservativo, es decir, la energía total 1 de la partícula
es constante. En el punto 1
1
, 1 = 1 +l = 0. La energía cinética es 1 =
1
2
:·
2
y la energía
potencial es l = ÷:or, donde o es la aceleración originada por el campo de fuerza.
Así,
1 = 1 + l =
1
2
:·
2
÷:or = 0 (3.34)
3
Del griego Braquistos = “el más breve” y Cronos= tiempo.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 86
3.2. CÁLCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
Figura (3.4): El problema de la braquistócrona (Ejemplo 3.6).
resultando,
· =

2or (3.35)
Por otro lado, se sabe que,
· =
d:
dt
(3.36)
entonces,
t =

(a
2
.&
2
)
(a
1
.&
1
)=(0.0)
d:
·
=

(dr
2
+ dn
2
)
1
2
(2or)
1
2
=

a
2
a
1
=0

1 + n
t2
2or
1
2
dr (3.37)
donde se ha supuesto que la partícula parte en t = 0.
El tiempo transcurrido durante todo el movimiento es la cantidad que se quiere
minimizar, por lo tanto, la función 1 puede ser identiﬁcada como,
1 =

1 + n
t2
2or
1
2
(3.38)
entonces de la ecuación de Euler (3.22) resulta,
·
·n
¸

1 + n
t2
2or
1
2
¸
÷
d
dr

·
·n
t
¸

1 + n
t2
2or
1
2
¸¸
= 0
o,
d
dr

·
·n
t
¸

1 + n
t2
r
1
2
¸¸
= 0 (3.39)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 87
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
Figura (3.5): Camino resultante para que la partícula se mueva desde (r
1
. n
1
) = (0. 0) hasta (r
2
. n
2
) en el
menor tiempo posible (Ejemplo 3.6).
que al ser integrada resulta en,
·1
·n
t
= c
1
, c
1
= constante (3.40)
y desarrollando la derivada parcial,
n
t2
r (1 + n
t2
)
= c
2
1
(3.41)
que puede escribirse en la forma,
n =

r
1
c
2
1
÷r
1
2
dr (3.42)
Al hacer el cambio de variable,
r =
1
2c
2
1
(1 ÷Cos .) (3.43)
dr =
1
2c
2
1
Sen .d.
resulta,
n =
1
2c
2
1

(1 ÷Cos .) d. =
1
2c
1
(. ÷Sen .) + c
2
, c
2
= constante
de aquí que, al hacer la constante de integración c
2
igual a cero para cumplir con el
requerimiento de que (0. 0) es el punto de partida del movimiento,
n =
1
2c
1
(. ÷Sen .) (3.44)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 88
3.2. CÁLCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
por lo tanto, en conjunto, las expresiones (3.43) y (3.44),
r = c (1 ÷Cos .)
n = c (. ÷Sen .)
¸
, c =
1
2c
2
1
(3.45)
son las ecuaciones paramétricas para una cicloide que pasa por el origen (ver ﬁgura
3.5) y la constante c debe ser ajustada para permitir que la cicloide pase a través del
punto de llegada 1
2
= (r
2
. n
2
) del movimiento de la partícula.
La solución del problema de la braquistocrona resultó, en verdad, en el camino que
debe seguir la partícula para que el tiempo sea mínimo.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.7
Distancia más corta entre dos puntos del plano. Encuentre la ecua-
ción de la línea que proporciona la distancia más corta entre dos puntos en un plano
(ver ﬁgura 3.6).
Figura (3.6): Distancia más corta entre dos puntos del plano (Ejemplo 3.7).
Solución: El elemento de línea en un plano viene dado por,
d:
2
= dr
2
+ dn
2
=d: =

dr
2
+ dn
2
1
2
(3.46)
por lo tanto, la longitud total de cualquier curva que une los puntos (r
1
. n
1
) y (r
2
. n
2
)
vendrá dada por,
: =

(a
2
.&
2
)
(a
1
.&
1
)

dr
2
+ dn
2
1
2
=

a
2
a
1

1 + n
t2
1
2
dr (3.47)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 89
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
que es precisamente la cantidad que se quiere minimizar.. Es fácil notar que aquí,
1 =

1 + n
t2
1
2
(3.48)
de aquí que,
0;
0&
= 0
0;
0&
0
=
&
0
(1+&
02
)
1
2
(3.49)
Ahora, al usar la ecuación de Euler (3.22) resulta,
d
dr
¸
n
t
(1 + n
t2
)
1
2
¸
= 0 (3.50)
o bien,
n
t
(1 + n
t2
)
1
2
= c
1
(3.51)
donde c
1
es una constante de integración y de la cual se puede escribir,
n
t
= c
2
(3.52)
con,
c
2
=
c
1
(1 ÷c
2
1
)
1
2
Finalmente, al integrar (3.52), resulta,
n = c
2
r + c
3
(3.53)
donde c
3
es otra constante de integración. En rigor, sólo se ha probado que la rec-
ta es una trayectoria que hace que (3.47) dé un valor estacionario, aunque en este
problema es obvio que se trata de un mínimo. Las constantes de integración c
2
y c
3
quedan determinadas por la condición de que la curva pase por los dos puntos fron-
teras (r
1
. n
1
) y (r
2
. n
2
).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.8
Superﬁcie mínima de revolución. Considerar la superﬁcie generada
al hacer girar una línea que une dos puntos ﬁjos (r
1
. n
1
) y (r
2
. n
2
) en torno a un eje
coplanar con los dos puntos. Determinar la ecuación de la línea que une dichos pun-
tos de manera tal que el área de la superﬁcie generada (el área de la superﬁcie de
revolución) sea mínima.
Solución: Supóngase que la curva que pasa a través de (r
1
. n
1
) y (r
2
. n
2
) es trasla-
dada en torno al eje n, coplanar con los dos puntos. Para calcular el área total de la
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 90
3.2. CÁLCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
Figura (3.7): Superﬁcie mínima de revolución (Ejemplo 3.8).
superﬁcie de revolución, primero se encuentra el área d¹ de una cinta (ver ﬁgura 3.7),
de manera que,
d¹ = 2:rd: = 2:r

dr
2
+ dn
2
1
2
(3.54)
¹ = 2:

(a
2
.&
2
)
(a
1
.&
1
)
r

dr
2
+ dn
2
1
2
= 2:

a
2
a
1
r

1 + n
t2
1
2
dr (3.55)
Aquí,
1 = 2:r

1 + n
t2
1
2
(3.56)
y como,
·1
·n
= 0
·1
·n
t
=
rn
t
(1 + n
t2
)
1
2
por lo tanto, de (3.22) resulta,
d
dr
¸
rn
t
(1 + n
t2
)
1
2
¸
= 0
rn
t
(1 + n
t2
)
1
2
= c
1
, c
1
= constante (3.57)
de aquí que,
n
t
=
c
(r
2
÷c
2
1
)
1
2
=n = c
1

dr
(r
2
÷c
2
1
)
1
2
(3.58)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 91
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
cuya solución es,
n = c
1
Cosh
÷1

r
c
1

+ c
2
(3.59)
donde c
1
y c
2
son constantes de integración que pueden ser determinadas requiriendo
que la curva pase por los puntos (r
1
. n
1
) y (r
2
. n
2
). La expresión (3.59) puede ser escrita
también como,
r = c
1
Cosh

n ÷c
2
c
1

(3.60)
la cual es más fácil de reconocer como la ecuación de la catenaria, la curva que
forma una cuerda ﬂexible que cuelga entre dos puntos de soporte ﬁjos.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Una segunda forma de la ecuación de Euler puede ser obtenida a partir de
la ecuación de Euler (3.22) que será conveniente para funciones 1 que no dependen
explícitamente de r, es decir,
0;
0a
= 0.
Nótese primero que para cualquier función 1 (n. n
t
; r) se tiene,
d1
dr
=
·1
·n
dn
dr
+
·1
·n
t
dn
t
dr
+
·1
·r
= n
t
·1
·n
+ n
tt
·1
·n
t
+
·1
·r
(3.61)
También,
d
dr

n
t
·1
·n
t

= n
tt
·1
·n
t
+ n
t
d
dr

·1
·n
t

(3.62)
o, sustituyendo n
tt 0;
0&
0
de (3.61),
d
dr

n
t
·1
·n
t

=
d1
dr
÷
·1
·r
+ n
t
¸
n
t
d
dr

·1
·n
t

÷
·1
·n

(3.63)
donde el último término se anula debido a la ecuación de Euler (3.22). Por lo tanto,
·1
·r
÷
d
dr

1 ÷n
t
·1
·n
t

= 0 (3.64)
que a menudo se le llama segunda forma de la ecuación de Euler. Se puede usar esta
ecuación en casos en los cuales 1 no depende explícitamente de r, de manera que
0;
0a
= 0. Entonces,
1 ÷n
t
·1
·n
t
= c, c = constante (para
·1
·r
= 0) (3.65)
que es la llamada forma integrada de la ecuación de Euler.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 92
3.2. CÁLCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
Ejemplo 3.9
Hallar las extremales de la funcional,
J =

a
2
a
1

n
t2
+ 1
n
dr
Solución: Aquí,
1 =

n
t2
+ 1
n
(3.66)
que no depende explícitamente de r, por lo tanto, es posible usar la forma integrada
de la ecuación de Euler. En efecto, al sustituir (3.66) en (3.65) resulta,

n
t2
+ 1
n
÷n
t
·
·n
t

n
t2
+ 1
n

= c
1
n

n
t2
+ 1
= c
o,
n
t
= ±
1
cn

1 ÷c
2
n
2
(3.67)
que constituyen un par de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de
variables separables. Al integrar (3.67) resulta,
(r ÷c
1
)
2
+ n
2
=
1
c
2
donde c
1
es una constante de integración. Por lo tanto, las curvas extremales de la
funcional dada son una familia de circunferencias.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.10
Se tiene una película de jabón entre dos anillos paralelos concén-
tricos de radio c, separados por una distancia 2d (ver ﬁgura 3.8). Encuentre la forma
adquirida por la película de jabón.
Solución: La forma que adquirirá la película de jabón será aquella que minimice
la energía del sistema (todo sistema al tender a la estabilidad, tiende a su estado
de mínima energía), por lo tanto este estado debe corresponder a aquél donde la
superﬁcie de la película de jabón sea la mínima.
Es fácil ver de la ﬁgura 3.8 que las condiciones de frontera vienen dadas por n (d) = c
y n (÷d) = c. El elemento de superﬁcie de la película de jabón vendrá dado por,
do = 2:nd:
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 93
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
Figura (3.8): Película de jabón entre dos anillos concéntricos de radio a y separados por una distancia
2d (Ejemplo 3.10).
y,
d:
2
= dn
2
+ d.
2
=d: =

n
t2
+ 1d.
con n
t
=
o&
o:
. Por lo tanto,
o = 2:

o
÷o
n

n
t2
+ 1d. (3.68)
que es la cantidad que se quiere minimizar. En (3.68) es posible identiﬁcar,
1 = 2:n

n
t2
+ 1 (3.69)
Ahora bien, como 1 no depende de la variable independiente ., entonces es posible
usar la forma integrada (3.65) de la ecuación de Euler. Entonces,
2:n

n
t2
+ 1 ÷2:n
t
·
·n
t

n
t2
+ 1

= c
o,
n
t2
=
n
2
c
2
1
÷1 (3.70)
con c
1
=
c
2¬
. Al introducir el cambio de variable,
n = c
1
Cosh n (3.71)
en (3.70) e integrando resulta,
n
c
1
= Cosh

.
c
1
+ c
2

(3.72)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 94
3.2. CÁLCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
con c
2
una constante de integración.
Las constantes c
1
y c
2
se calculan aplicanso las condiciones de frontera n (d) = c y
n (÷d) = c sobre (3.72). En efecto,
Para n (d) = c:
c
c
1
= Cosh

d
c
1
+ c
2

Para n (÷d) = c:
c
c
1
= Cosh

÷
d
c
1
+ c
2

de las cuales se deduce que c
2
= 0 ya que d = 0. La constante c
1
vendrá dada por,
c
c
1
= Cosh

d
c
1

(3.73)
que es una ecuación trascendental para dicha constante.
Por último (3.72) se puede escribir como,
n = c
1
Cosh

.
c
1

(3.74)
con c
1
dada por (3.73). La expresión (3.74) es la ecuación de una catenaria, por lo
tanto, en perﬁl la película de jabón toma esta forma, con una distancia mínima al eje
dada por c
1
(veriﬁcarlo).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.11
La geodésica. La geodésica es una línea que representa el camino
más corto entre dos puntos cuando el camino está restringido a una superﬁcie en
particular. Encuentre la geodésica sobre una esfera de radio 1.
Solución: En la ﬁgura 3.9 se muestra la situación planteada en el enunciado. El ele-
mento de longitud (elemento de línea) en coordenadas esféricas viene dado por,
d:
2
= d:
2
+ :
2
do
2
+ :
2
Sen
2
od.
2
(3.75)
y para una esfera de radio : = 1 se convierte en,
d: = 1

do
2
+ Sen
2
od.
2
1
2
(3.76)
que proporciona la distancia entre dos puntos sobre la esfera de radio 1. De esta
forma, la distancia : entre los puntos 1 y 2 viene dada por,
: = 1

2
1
¸

do
d.

2
+ Sen
2
o
¸1
2
d. (3.77)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 95
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
Figura (3.9): Geodésicas sobre una esfera (Ejemplo 3.11).
y si : debe ser un mínimo, se puede identiﬁcar 1 como,
1 = 1

o
t2
+ Sen
2
o
1
2
(3.78)
donde o
t
=
o0
o,
.
Ahora, puesto que
0;
0,
= 0, se puede usar la forma integrada de la ecuación de
Euler (3.65) obteniéndose,

o
t2
+ Sen
2
o
1
2
÷o
t
·
·o
t

o
t2
+ Sen
2
o
1
2

= (, con ( =
c
1
(3.79)
Sen
2
o = (

o
t2
+ Sen
2
o
1
2
(3.80)
de la cual resulta,
d.
do
=
( csc
2
o
(1 ÷(
2
csc
2
o)
1
2
(3.81)
y al integrar,
. = Sen
÷1

cot o

+ c (3.82)
donde c es la constante de integración y
2
=
(1÷C
2
)
C
2
que, al reescribirla,produce,
cot o = Sen (. ÷c) (3.83)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 96
3.2. CÁLCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
Para interpretar este resultado, se transforma (3.83) a coordenadas rectangulares.
Con este ﬁn, multiplicando (3.83) por 1Sen o se obtiene,
( Cos c) 1Sen o Sen . ÷( Sen c) 1Sen o Cos .
. .. .
Aplicando la identidad Sen(,÷c)=Sen ,Cos c+Cos ,Sen c
= 1Cos o (3.84)
y puesto que c y son constantes, se puede escribir,
Cos c = ¹. Sen c = 1 (3.85)
de modo que (3.84) queda escrita como,
¹(1Sen o Sen .) ÷1(1Sen o Cos .) = (1Cos o) (3.86)
Las cantidades en los paréntesis son justo las expresiones para n, r y . respectiva-
mente, en coordenadas esféricas, por lo tanto resulta,
¹n ÷1r = . (3.87)
que es la ecuación de un plano que pasa a través del centro de la esfera. Por lo tanto
la geodésica sobre una esfera es el camino que el plano (3.87) en la intersección con
la esfera, el círculo mayor. Nótese que el círculo mayor es el máximo a la vez que es la
mínima distancia en “línea recta” entre dos puntos sobre la superﬁcie de una esfera.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Para múltiples variables dependientes — Ecuaciones de Euler -
Lagrange
La ecuación de Euler encontrada en la sección 3.2.1 es la solución del pro-
blema variacional en el cual se deseaba determinar la única función n (r) tal que la
integral del funcional 1 (3.1) tome un valor estacionario. El caso más comúnmente en-
contrado en Mecánica es aquél en el cual 1 es un funcional de múltiples variables
dependientes, es decir,
1 = 1 [n
1
(r) . n
t
1
(r) . n
2
(r) . n
t
2
(r) . ...; r] (3.88)
o simplemente,
1 = 1 [n
j
(r) . n
t
j
(r) ; r] , con i = 1. 2. .... : (3.89)
En este caso, el problema variacional se convierte en encontrar las funciones n
j
(r)
que hacen que,
J =

a
2
a
1
1 [n
j
(r) . n
t
j
(r) ; r] dr (3.90)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 97
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
tome un valor estacionario. Siguiendo un procedimiento análogo al mostrado en la
sección 3.2.1 resulta,
·J
·c
=

a
2
a
1
¸
j
¸
·1
·n
j
÷
d
dr

·1
·n
t
j

·n
j
·c
dr (3.91)
Ahora, al aplicar la condición (3.5), para encontrar así los valores estacionarios de
J (c),
·J
·c

c=0
=

a
2
a
1
¸
j
¸
·1
·n
j
÷
d
dr

·1
·n
t
j

·n
j
·c
dr

c=0
= 0 (3.92)
y al aplicar el lema fundamental del cálculo de variaciones (3.21),
·1
·n
j
÷
d
dr

·1
·n
t
j

= 0, con i = 1. 2. .... : (3.93)
que son las ecuaciones de Euler para un funcional 1 de múltiple variables dependi-
entes y conforman un conjunto de : ecuaciones diferenciales. Se les conoce también
como ecuaciones de Euler-Lagrange.
Posteriores generalizaciones del problema variacional fundamental son posibles fá-
cilmente. Así se puede suponer que 1 es un funcional de las derivadas de orden superi-
or n
tt
, n
ttt
, etc., resultando en ecuaciones diferentes a las (3.93). O es posible extenderlo
a casos donde hay múltiples parámetros r
;
convirtiéndose la integral (3.1) en múltiple,
donde 1 involucraría también como variables derivadas de n
j
con respecto a cada
uno de los parámetros r
;
. Finalmente, es posible considerar variaciones en las cuales
los puntos fronteras del camino no sean ﬁjos.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.12
Hallar las extremales de la funcional,
J =
r
2
0

n
t2
+ .
t2
+ 2n.

dr
sabiendo que n (0) = 0, n

¬
2

= 1 y . (0) = 0, .

¬
2

= ÷1.
Solución: Aquí,
1 = n
t2
+ .
t2
+ 2n. (3.94)
Ahora bien, 1 tiene dos variables n y ., por lo tanto, se debe escribir una ecuación de
Euler para cada una de estas variables. Al sustituir (3.94) en las ecuaciones de Euler
(3.93) (para i = 1. 2 con n
1
= n y n
2
= .) resulta,
Para i = 1:
·1
·n
÷
d
dr

·1
·n
t

= 0
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 98
3.2. CÁLCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
·
·n

n
t2
+ .
t2
+ 2n.

÷
d
dr
¸
·
·n
t

n
t2
+ .
t2
+ 2n.

= 0
. ÷n
tt
= 0 (3.95)
y,
Para i = 2:
·1
·.
÷
d
dr

·1
·.
t

= 0
·
·.

n
t2
+ .
t2
+ 2n.

÷
d
dr
¸
·
·.
t

n
t2
+ .
t2
+ 2n.

= 0
n ÷.
tt
= 0 (3.96)
Si entre (3.95) y (3.96) se elimina . resulta,
n
1\
÷n = 0
que al integrarla produce,
n = c
1
c
a
+ c
2
c
÷a
+ c
3
Cos r + c
4
Sen r (3.97)
Para encontrar ., se sustituye (3.97) en (3.95) resultando,
. = c
1
c
a
+ c
2
c
÷a
÷c
3
Cos r ÷c
4
Sen r (3.98)
Por último, al aplicar las condiciones de frontera sobre (3.97) en (3.98) resulta,
c
1
= 0, c
2
= 0, c
3
= 0 y c
4
= 1 (3.99)
por lo tanto, sustituyendo (3.99) en (3.97) y (3.98),
n = Sen r y . = ÷Sen r
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.13
Hallar las extremales de la funcional,
J =

1
0

n
t2
+ .
t2

dr
sabiendo que n (0) = 0, n (1) = 1 y . (0) = 0, . (1) = ÷2.
Solución: Aquí,
1 = n
t2
+ .
t2
(3.100)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 99
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
Ahora bien, 1 tiene dos variables n y ., por lo tanto, se debe escribir una ecuación de
Euler para cada una de estas variables. Al sustituir (3.100) en las ecuaciones de Euler
(3.93) (para i = 1. 2 con n
1
= n y n
2
= .) resulta,
Para i = 1:
·1
·n
÷
d
dr

·1
·n
t

= 0
·
·n

n
t2
+ .
t2

÷
d
dr
¸
·
·n
t

n
t2
+ .
t2

= 0
n
tt
= 0 (3.101)
y,
Para i = 2:
·1
·.
÷
d
dr

·1
·.
t

= 0
·
·.

n
t2
+ .
t2

÷
d
dr
¸
·
·.
t

n
t2
+ .
t2

= 0
.
tt
= 0 (3.102)
Las soluciones de (3.101) y (3.102) son respectivamente,
n = c
1
r + c
2
(3.103)
. = c
3
r + c
4
(3.104)
Por último, al aplicar las condiciones de frontera sobre (3.103) en (3.104) resulta,
c
1
= 1, c
2
= 0, c
3
= ÷2 y c
4
= 0 (3.105)
por lo tanto, sustituyendo (3.105) en (3.103) y (3.104),
n = r y . = ÷2r
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.14
Hallar las extremales de la funcional,
J =

a
2
a
1
1 (n
t
. .
t
) dr
Solución: Aquí,
1 = 1 (n
t
. .
t
) (3.106)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 100
3.2. CÁLCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
Ahora bien, 1 tiene dos variables n y ., por lo tanto, se debe escribir una ecuación de
Euler para cada una de estas variables. Al sustituir (3.106) en las ecuaciones de Euler
(3.93) (para i = 1. 2 con n
1
= n y n
2
= .) resulta,
Para i = 1:
·
·n
1 (n
t
. .
t
)
. .. .
=0
÷
d
dr
¸
·
·n
t
1 (n
t
. .
t
)

= 0
d
dr
¸
·
·n
t
1 (n
t
. .
t
)

= 0
·
·n
t

·1
·n
t

dn
t
dr
+
·
·.
t

·1
·n
t

d.
t
dr
. .. .
Por regla de la cadena
= 0
·
2
1
·n
t2
n
tt
+
·
2
1
·.
t
·n
t
.
tt
= 0 (3.107)
y,
Para i = 2:
·
·.
1 (n
t
. .
t
)
. .. .
=0
÷
d
dr
¸
·
·.
t
1 (n
t
. .
t
)

= 0
d
dr
¸
·
·.
t
1 (n
t
. .
t
)

= 0
·
·n
t

·1
·.
t

dn
t
dr
+
·
·.
t

·1
·.
t

d.
t
dr
. .. .
Por regla de la cadena
= 0
·
2
1
·n
t
·.
t
n
tt
+
·
2
1
·.
t2
.
tt
= 0 (3.108)
Por último, al resolver el sistema formado por (3.107) y (3.108) resulta,
n
tt
= 0
.
tt
= 0
¸
si

·
2
1
·n
t
·.
t

2
÷
·
2
1
·n
t2
·
2
1
·.
t2
= 0
de las cuales resulta, como se vió en el ejemplo anterior, lo siguiente,
n = c
1
r + c
2
y . = c
3
r + c
4
que es una familia de líneas rectas en el espacio. Como se puede ver, el ejemplo
anterior constituye un caso especial de éste.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 101
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
3.3. Cálculo de extremales con restricciones
Existen aplicaciones en las que es natural considerar ciertas restricciones adi-
cionales sobre el conjunto de funciones de las que depende el funcional integral J
deﬁnido por (3.90). Supóngase que se quiere buscar, por ejemplo, el camino más cor-
to entre dos puntos sobre una superﬁcie. Entonces, adicionalmente a las condiciones
ya discutidas antes, existe ahora la restricción de que el camino debe satisfacer la
ecuación de dicha superﬁcie.
Una forma de abordar este problema es la de transformar el problema con restric-
ciones dado, a un problema equivalente sin restricciones mediante el uso del método
de los multiplicadores de Lagrange; de forma análoga a como se procede para hal-
lar los valores extremales para las funciones de varias variables en el curso básico de
cálculo varias variables.
3.3.1. Restricciones del tipo o [n
i
(r) ; r] = 0 y o [n
i
(r) . n
/
i
(r) ; r] = 0
En general, supóngase que se quiere encontrar las funciones n
j
(r) que hacen
que la integral (3.90),
J=

a
2
a
1
1 [n
j
(r) . n
t
j
(r) ; r] dr, con i = 1. 2. .... :
tome un valor estacionario, pero bajo las restricciones algebraicas impuestas por,
o
|
[n
j
(r) ; r] = 0, con | = 1. 2. .... : (3.109)
(el subíndice | indica que puede haber más de una restricción de este tipo, en to-
tal :) entonces, al aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange, es posible
demostar
4
que se puede escribir la nueva integral funcional,
¯
J=

a
2
a
1
¯
1dr (3.110)
con,
¯
1 = 1 +
n
¸
|=1
\
|
(r) o
|
(3.111)
donde las \
|
son los llamados multiplicadores de Lagrange. La expresión (3.110) repre-
senta el problema variacional sin restricciones (pues ahora están contenidas en
¯
1) del
problema variacional con restricciones original planteado por las expresiones (3.90) y
4
Ver [15], págs. 388-390.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 102
3.3. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
(3.109) en conjunto. Como (3.110) es sin restricciones, entonces
¯
1 debe cumplir con las
ecuaciones de Euler - Lagrange (3.93), por lo tanto,
·
¯
1
·n
j
÷
d
dr

·
¯
1
·n
t
j

= 0
o,
d
dr

·1
·n
t
j

÷
·1
·n
j
= (
j
(3.112)
donde,
(
j
=
n
¸
|=1

\
|
¸
·o
|
·n
j
÷
d
dr

·o
|
·n
t
j

÷
d\
|
dr
·o
|
·n
t
j
¸
(3.113)
que son las ecuaciones de Euler - Lagrange para el problema planteado. La general-
ización para \
|
= \
|
[n
j
(r) . n
t
j
(r) ; r] es sencilla.
La solución completa al problema depende ahora de la determinación de : fun-
ciones n
j
y : funciones \
|
. Como hay : dadas por (3.109) y : ecuaciones dadas por
(3.112), entonces existen suﬁcientes ecuaciones para permitir una solución completa
al problema planteado. Aquí las \
|
son consideradas indeterminadas y son obtenidas
como parte de la solución.
En el caso de que se tenga una restricción del tipo o
|
= o [n
j
(r) ; r], la expresión
(3.113) se reduce a,
(
j
=
n
¸
|=1
\
|
·o
|
·n
j
(3.114)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.15
Hallar las geodésicas del cilindro circular : = 1.
Solución: En la ﬁgura 3.10 se muestra esquemáticamente lo planteado. En coorde-
nadas Cartesianas,
o = r
2
+ n
2
÷1
2
= 0 (3.115)
y el elemento de longitud (elemento de línea) viene dado por,
d:
2
= dr
2
+ dn
2
+ d.
2
de aquí que la longitud de la curva venga dada por,
: =

2
1

dr
2
+ dn
2
+ d.
2
1
2
=

2
1

1 + n
t2
+ .
t2
1
2
dr
de modo que,
1 =

1 + n
t2
+ .
t2
1
2
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 103
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
Figura (3.10): Geodésicas en un cilindro circular recto de radio 1 (Ejemplo 3.15).
Ahora, al usar (3.112) con (
j
dada por (3.114) puesto que en este caso o no depende
de las n
t
j
, las ecuaciones de Euler vendrán dadas por,
d
dr

·1
·n
t

÷
·1
·n
= (
&
d
dr

1 + n
t2
+ .
t2

÷
1
2
n
t

= 2\n (3.116)
y,
d
dr

·1
·.
t

÷
·1
·.
= (
:
d
dr

1 + n
t2
+ .
t2

÷
1
2
.
t

= 0 (3.117)
Ahora bien, de (3.117) resulta,

1 + n
t2
+ .
t2

÷
1
2
.
t
= c
1
(3.118)
y de (3.115),
n = ±

1
2
÷r
2
1
2
(3.119)
Al sustituir (3.119) en (3.118) resulta,
.
t
= ±
c
2
1
(1
2
÷r
2
)
1
2
(3.120)
donde,
c
2
=

c
2
1
1 ÷c
2
1
1
2
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 104
3.3. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
Por último, al resolver (3.120) se obtiene,
. = c
2
1tan
÷1

1
2
÷r
2

+ c
3
(3.121)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.16
Geodésicas en general. Sea : (r. n. .) = 0 la ecuación de una super-
ﬁcie o dada y suponiendo que toda curva diferenciable deﬁnida sobre o admite una
parametrización del tipo,
c(t) = (r (t) ; n (t) ; . (t)) , c : [t
0
. t
1
] ÷o
hallar las geodésicas sobre o.
Solución: Aquí,
o = : (r. n. .) = 0 (3.122)
En coordenadas Cartesianas el elemento de longitud (elemento de línea) viene dado
por,
d:
2
= [dr(t)]
2
+ [dn (t)]
2
+ [d. (t)]
2
de aquí que la longitud de la curva venga dada por,
: =

2
1
¸
[dr(t)]
2
+ [dn (t)]
2
+ [d. (t)]
2

1
2
=

2
1

[r
t
(t)]
2
+ [n
t
(t)]
2
+ [.
t
(t)]
2
¸1
2
dt (3.123)
que es la cantidad que se quiere minimizar, de modo que,
1 =

[r
t
(t)]
2
+ [n
t
(t)]
2
+ [.
t
(t)]
2
¸1
2
(3.124)
Ahora bien, 1 tiene tres variables dependientes r, n, . y t como variable independiente.
Por lo tanto, se debe escribir una ecuación de Euler para cada una de estas variables
dependientes. Ahora, al usar (3.112) con (
j
dada por (3.114) puesto que en este caso
o no depende de las n
t
j
, las ecuaciones de Euler (para i = 1. 2. 3 con n
1
= r, n
2
= n, n
3
= .
y para | = 1 por haber sólo una restricción) vendrán dadas por,
Para i = 1:
d
dt

·1
·r
t

÷
·1
·r
= \
·:
·r
d
dt
¸
·
·r
t

r
t2
+ n
t2
+ .
t2
1
2

÷
·1
·r

r
t2
+ n
t2
+ .
t2
1
2
= \
·:
·r
d
dt
¸
r
t
(r
t2
+ n
t2
+ .
t2
)
1
2
¸
= \
·:
·r
(3.125)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 105
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
Para i = 2:
d
dt

·1
·n
t

÷
·1
·n
= \
·:
·n
d
dt
¸
·
·n
t

r
t2
+ n
t2
+ .
t2
1
2

÷
·1
·n

r
t2
+ n
t2
+ .
t2
1
2
= \
·:
·n
d
dt
¸
n
t
(r
t2
+ n
t2
+ .
t2
)
1
2
¸
= \
·:
·n
(3.126)
y,
Para i = 3:
d
dt

·1
·.
t

÷
·1
·.
= \
·:
·.
d
dt
¸
·
·.
t

r
t2
+ n
t2
+ .
t2
1
2

÷
·1
·.

r
t2
+ n
t2
+ .
t2
1
2
= \
·:
·.
d
dt
¸
.
t
(r
t2
+ n
t2
+ .
t2
)
1
2
¸
= \
·:
·.
(3.127)
pero como,
d
dt
=
d:
dt
d
d:
= :
t
d
d:
y de (3.123),
d:
dt
=

r
t2
+ n
t2
+ .
t2
1
2
entonces (3.125), (3.126) y (3.127) se pueden escribir como,
d
2
rd:
2
·:·r
=
\
:
t
d
2
nd:
2
·:·n
=
\
:
t
d
2
.d:
2
·:·.
=
\
:
t
o,
d
2
rd:
2
·:·r
=
d
2
nd:
2
·:·n
=
d
2
.d:
2
·:·.
=
\
:
t
expresando que la normal a la curva coincide con la normal a la superﬁcie, deﬁnición
usual de geodésica en geometría diferencial.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 106
3.3. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
3.3.2. Restricciones del tipo isoperimétrico
Se llaman problemas isoperimétricos, en el sentido estricto de esta palabra, a
los problemas sobre la determinación de una ﬁgura geométrica de superﬁcie máxima
con perímetro dado.
En la actualidad se llaman problemas isoperimétricos a una clase mucho
más general de problemas, más precisamente, a todos los problemas varia-
cionales en los cuales se pide hallar el extremo de la funcional (3.90),
J=

a
2
a
1
1 [n
j
(r) . n
t
j
(r) ; r] dr, con i = 1. 2. .... :
tome un valor estacionario, pero bajo las llamadas restricciones isoperimétric-
as,

a
2
a
1
o
|
[n
j
(r) . n
t
j
(r) ; r] dr = ·
|
, con | = 1. 2. .... : (3.128)
donde las ·
|
son constantes; : puede ser mayor, menor o igual a :, y también
problemas análogos para funcionales más complejas.
Los problemas isoperimétricos pueden ser reducidos a problemas con restricciones
del tipo o [n
j
(r) . n
t
j
(r) ; r] = 0 por medio de la introducción de nuevas funciones desco-
nocidas. En efecto, al hacer,

a
2
a
1
o
|
[n
j
(r) . n
t
j
(r) ; r] dr = /
|
(r) (3.129)
con,
/
|
(r
1
) = 0
/
|
(r
2
) = ·
|
, por la condición (3.128)
y derivando /
|
(r) con respecto a r, se obtiene,
/
t
|
(r) = o
|
[n
j
(r) . n
t
j
(r) ; r] ó o
|
[n
j
(r) . n
t
j
(r) ; r] ÷/
t
|
(r) = 0 (3.130)
de manera que las restricciones isoperimétricas (3.128) han sido reemplazadas por res-
tricciones diferenciales, reduciéndose así al problema estudiado en la sección anterior.
Ahora bien, en lugar de estudiar los valores extremos de (3.90) restringidos por (3.130),
se pueden estudiar (inspirándose en el procedimiento seguido en la sección anterior)
los valores extremos sin restricción de la funcional,
¯
J =

a
2
a
1
¸
1 +
n
¸
|=1
\
|
(r) (o
|
÷/
t
|
)
¸
dr =

a
2
a
1
¯
1dr (3.131)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 107
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
donde,
¯
1 = 1 +
n
¸
|=1
\
|
(r) (o
|
÷/
t
|
) (3.132)
cuyas ecuaciones de Euler vienen dadas por,
d
dr

·
¯
1
·n
t
j

÷
·
¯
1
·n
j
= 0, con i = 1. 2. .... :
d
dr

·1
·n
t
j
+
¸
|
\
|
·o
|
·n
t
j

÷
·1
·n
j
÷
n
¸
|=1
\
|
·o
|
·n
j
= 0 (3.133)
y,
d
dr

·
¯
1
·/
t
|

÷
·
¯
1
·/
|
= 0, con | = 1. 2. .... :
d\
|
(r)
dr
= 0 (3.134)
de la cual se deduce que todos los \
|
son constantes. Por lo tanto, de (3.133) y (3.134)
se pueden escribir las ecuaciones de Euler - Lagrange para este caso como,
d
dr

·1
·n
t
j

÷
·1
·n
j
= (
j
con,
(
j
=
n
¸
|=1
\
|
¸
·o
|
·n
j
÷
d
dr

·o
|
·n
t
j

(3.135)
que es lo mismo que se obtiene a partir de (3.112) sabiendo que los \
|
son constantes.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.17
Hallar las extremales de la funcional,
J =

¬
0
n
t2
dr
sabiendo que n (0) = 0, n (:) = 0 y sujeta a la restricción isoperimétrica,

¬
0
n
2
dr = 1
Solución: Aquí,
1 = n
t2
(3.136)
y,
o = n
2
(3.137)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 108
3.3. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
y como para este caso \ es constante (por ser un caso de restricción isoperimétrica),
se obtiene de (3.112) y (3.135) (i = | = 1),
d
dr

·1
·n
t

÷
·1
·n
= \
·o
·n
d
dr

·n
t2
·n
t

÷
·n
t2
·n
= \
·n
2
·n
n
tt
= \n (3.138)
que representa un problema de autovalores. Las raíces del polinomio característico
son ±

\.
Son posibles dos casos:
1. Si \ _ 0, la solución general viene dada por,
n (r) = c
1
c

Aa
+ c
2
c
÷

Aa
que no puede satisfacer las condiciones de frontera dadas, no existiendo así solu-
ción para \ _ 0.
2. Si \ < 0, la solución general viene dada por,
n (r) = c
1
Sen

÷\r

+ c
2
Cos

÷\r

(3.139)
De la condición de frontera n (0) = 0 resulta,
n (0) = c
2
= 0 (3.140)
y de n (:) = 0,
Sen

÷\:

= 0 =\ = 0. ÷1. ÷4. . . . . ÷:
2
, con : = 1. 2. 3. . . . (3.141)
Ahora, teniendo presente (3.140) y (3.141), de la restricción isoperimétrica resulta,

¬
0

c
1
Sen

÷\r

+ c
2
Cos

÷\r

2
dr = 1
c
1
= ±

2
:
(3.142)
Por lo tanto, al sustituir los resultados (3.140) y (3.142) en (3.139), se obtiene,
n (r) = ±

2
:
Sen (:r) , con : = 1. 2. 3. . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 109
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
Figura (3.11): Función n (r) cuya área encerrada ha de maximizarse (Ejemplo 3.18).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.18
Determinar la función n (r) de longitud / limitada por el eje r en la
parte inferior y que pasa por los puntos (÷c. 0) y (c. 0) y que encierra la mayor área.
Solución: En la ﬁgura 3.11 se muestra que,
d¹ = ndr (3.143)
de manera que,
¹ =

o
÷o
ndr (3.144)
que es la cantidad que se quiere maximizar, por lo tanto,
1 = n (3.145)
teniéndose presente que n (r) debe cumplir con las condiciones n (÷c) = 0 y n (c) = 0.
Por otro lado, n (r) debe tener longitud /, por lo tanto,
d: =

dr
2
+ dn
2
1
2
=: =

o
÷o

1 + n
t2
1
2
dr = / (3.146)
que es una restricción isoperimétrica. De aquí que,
o =

1 + n
t2
1
2
(3.147)
y como para este caso \ es constante (por ser un caso de restricción isoperimétrica),
se obtiene de (3.112) y (3.135) (i = | = 1),
d
dr

·1
·n
t

÷
·1
·n
= \
¸
·o
·n
÷
d
dr

·o
·n
t

(3.148)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 110
3.3. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
pero,
0;
0&
= 1
0;
0&
0
= 0
0j
0&
= 0
0j
0&
0
=
&
0
(1+&
02
)
1
2
entonces,
d
dr
¸
n
t
(1 + n
t2
)
1
2
¸
=
1
\
(3.149)
que al integrar resulta,
\n
t
(1 + n
t2
)
1
2
= r ÷c
1
, con c
1
constante de integración (3.150)
Esta ecuación puede ser reescrita como,
dn = ±
(r ÷c
1
)

\
2
÷(r ÷c
1
)
2

1
2
dr (3.151)
y al integrarla resulta,
n = ·

\
2
÷(r ÷c
1
)
2

1
2
+ c
2
, con c
2
otra constante de integración (3.152)
y reordenando términos,
(r ÷c
1
)
2
+ (n ÷c
2
)
2
= \
2
(3.153)
que representa un círculo de radio \ centrado en (c
1
. c
2
). El área máxima es un semi-
círculo limitado por la línea n = 0. El semicírculo parte del punto (÷c. 0) y llega hasta
el (c. 0) (o viceversa), lo cual signiﬁca que el círculo debe estar centrado en el origen
(c
1
. c
2
) = (0. 0) y tiene radio \ = c. La longitud del semicírculo es :c = /, por lo tanto,
c = /:. De todo lo anterior se deduce que,
n =
¸

/
:

2
÷r
2
¸1
2
sea la función buscada.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.19
Para atravesar un río se coloca, desde una orilla a la otra, una cuer-
da de longitud / de densidad lineal de masa j. Si la separación entre las orillas es 2c
(2c < /), ¿qué forma tomará la cuerda con el ﬁn de minimizar la energía potencial?
(ver ﬁgura 3.12).
Solución: Si d: es el elemento de longitud de la cuerda, entonces su energía poten-
cial vendrá dada por,
dl = ÷jond: (3.154)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 111
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
Figura (3.12): Cuerda de longitud / colocada entre las orillas de un río de ancho 2a (Ejemplo 3.19).
y como,
d: =

dr
2
+ dn
2
1
2
=

1 + n
t2
1
2
dr
entonces,
l = ÷jo

o
÷o
n

1 + n
t2
1
2
dr (3.155)
que es la cantidad que se quiere minimizar, pero sujeta a la restricción de que la lon-
gitud de la cuerda permanezca constante, es decir,

d: =

o
÷o

1 + n
t2
1
2
dr = / (3.156)
que es una restricción de tipo isoperimétrica. De (3.155) y (3.156) se puede identiﬁcar,
1 = ÷jon

1 + n
t2
1
2
(3.157)
o
+
=

1 + n
t2
1
2
(3.158)
(se ha escrito o
+
para no confundirla con la aceleración debida a la gravedad o).
Como para este caso \ es constante y o
+
depende de las n
j
/, se obtiene de (3.112) y
(3.135) (i = | = 1),
d
dr

·1
·n
t

÷
·1
·n
= \
¸
·o
+
·n
÷
d
dr

·o
+
·n
t

÷jo
d
dr

·
·n
t

1 + n
t2
1
2

¸
+ jo
·
·n

1 + n
t2
1
2

= \
·
·n

1 + n
t2
1
2

÷\
d
dr

·
·n
t

1 + n
t2
1
2

¸
o,
n
tt

n ÷
\
jo

= 1 + n
t2
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 112
3.3. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
que puede ser escrita como,
dn
t
1 + n
t2
=
dr
n ÷
A
jj
(3.159)
y puesto que dr =
oa
o&
dn, entonces (3.159) se puede escribir como,
n
t
dn
t
1 + n
t2
=
dn
n ÷
A
jj
(3.160)
Ahora bien, al integrar (3.160) resulta,
n
t2
= c
1

n ÷
\
jo

2
÷1, c
2
= constante de integración (3.161)
y al hacer la sustitución,
n ÷
\
jo
=
1
c
1/2
1
Cosh n (3.162)
en (3.161) se obtiene,
n
t2
= c
1
cuya solución es,
n = c
1/2
1
r + c
2
, c
2
= constante de integración (3.163)
Entonces, de (3.162) y (3.163) se obtiene,
n =
1
c
1/2
1
Cosh

c
1/2
1
r + c
2

+
\
jo
(3.164)
Las condiciones de frontera establecen que n (±c) = 0. Al aplicarlas sobre (3.164)
resulta que,
Para n (c) = 0: 0 =
1
c
1/2
1
Cosh

c
1/2
1
c + c
2

+
\
jo
Para n (÷c) = 0: 0 =
1
c
1/2
1
Cosh

÷c
1/2
1
c + c
2

+
\
jo
de las cuales se puede deducir que c
2
= 0 ya que c = 0 y, por lo tanto,
\ = ÷
jo
c
1/2
1
Cosh

c
1/2
1
c

(3.165)
Por otro lado, para hallar c
1
se usa la restricción isoperimétrica (3.156). En efecto, al
sustituir (3.164) en dicha restricción resulta,

o
÷o

1 + Senh
2

c
1/2
1
r
1
2
dr = / =
2
c
1/2
1
Senh

c
1/2
1
c

= / (3.166)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 113
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
que es una ecuación trascendental para c
1
.
Finalmente, de (3.164) y (3.165) resulta,
n =
1
c
1/2
1

Cosh

c
1/2
1
r

÷Cosh

c
1/2
1
c

que es una catenaria, con c
1
dada por (3.166).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. La notación o
En el análisis donde se usa el cálculo de variaciones, se acostumbra a usar
una notación compacta para representar la variación. Ahora bien, la expresión (3.19)
puede ser escrita como,
·J
·c
dc =

a
2
a
1
¸
·1
·n
÷
d
dr

·1
·n
t

·n
·c
dcdr (3.167)
y si se hace,
·J
·c
dc = oJ (3.168)
·n
·c
dc = on (3.169)
se puede escribir (3.167) como,
oJ =

a
2
a
1
¸
·1
·n
÷
d
dr

·1
·n
t

ondr
Ahora, en vista de la nueva notación, la condición para que la integral (3.1),
J=

a
2
a
1
1 [n (r) . n
t
(r) ; r] dr
tenga un valor estacionario, puede escribirse ahora como,
oJ=o

a
2
a
1
1 [n (r) . n
t
(r) ; r] dr = 0 (3.170)
Introduciendo el símbolo de variación o en la integral (puesto que por hipótesis los
límites de integración no son afectados por la variación por ser ﬁjos) se tiene,
oJ=

a
2
a
1
o1dr =

a
2
a
1

·1
·n
on ÷
·1
·n
t
on
t

dr
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 114
3.4. LA NOTACIÓN o
Figura (3.13): Desplazamiento virtual.
pero,
on
t
= o

dn
dr

=
d
dr
(on)
entonces,
oJ=

a
2
a
1
¸
·1
·n
on ÷
·1
·n
t
d
dr
(on)

dr
e integrando el segundo término por partes,
oJ=

a
2
a
1
¸
·1
·n
÷
d
dr

·1
·n
t

ondr (3.171)
Puesto que la variación on es arbitraria, la condición para que J tenga un valor
estacionario,
oJ = 0
requiere que el integrando de (3.171) se anule debido al lema fundamental del cálculo
de variaciones enunciado en la sección 3.2.1, resultando así las ecuación de Euler
(3.22).
Aunque la notación o es usada frecuentemente, es importante darse cuenta que
es sólo una notación compacta de cantidades diferenciales más precisas. El camino
variado on puede ser interpretado físicamente como un desplazamiento virtual desde
el camino real consistente con todas las fuerzas y ligaduras (ver ﬁgura 3.13). Esta varia-
ción on se distingue del desplazamiento diferencial dn por la condición de que dt = 0,
es decir, el tiempo es ﬁjo como fue visto en la sección 2.9.1. El camino variado on de
hecho, ni siquiera corresponde a un posible camino de movimiento. La variación debe
anularse en los extremos del camino.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 115
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
3.5. Problemas
1. Hallar la extremal del problema isoperimétrico,
J =

1
0

n
t2
+ r
2

dr
con la restricción,

1
0
n
2
dr = 2
sabiendo que n (0) = 0 y n (1) = 0. Resp.: n = ±2 Sen (::r), donde : es un entero.
2. Hallar las extremales del problema isoperimétrico,
J =

1
0
n
t2
dr
con la restricción,

1
0
ndr = c
donde c es una constante. Resp.: n = \r
2
+ c
1
r + c
2
, donde c
1
, c
2
y \ se determinan
de las condiciones de frontera y de la condición isoperimétrica.
3. Dada la funcional,
J =

1
0

cn
t2
÷/n
2

dr
donde c y / son costantes positivas y que satisface las condiciones de frontera n (0) =
0 y n (1) = 1.
a. Hallar el camino extremal de la funcional.
b. Encuentre el valor de J usando el camino extremal hallado en (a).
4. Hallar el extremal de la funcional,
J =

¬
0

2n Sen r ÷n
t2

dr
que satisface n (0) = 0 y n (:) = 0. Mostrar que este extremal hace que J tome un
máximo global. Resp.: n = Sen r.
5. Hallar la extremal del problema isoperimétrico,
J =

1
0

n
t2
+ .
t2
÷4r.
t
÷4.

dr
con la restricción,

1
0

n
t2
÷rn
t
÷.
t2

dr = 2
sabiendo que n (0) = 0, . (0) = 0 y n (1) = 1, . (1) = 1. Resp.: n = ÷
5
2
r
2
+
7
2
r; . = r.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 116
3.5. PROBLEMAS
6. Analizar el extremo de la funcional,
J =

a
2
a
1

n
2
+ 2rnn
t

dr
sabiendo que n (r
1
) = n
c
y n (r
2
) = n
1
. Resp.: La integral no depende del camino de
integración. El problema variacional no tiene sentido.
7. Hallar las extremales de la funcional,
J =

a
2
a
1
n
t

1 + r
2
n
t

dr
Resp.: Las extremales son las hipérbolas n =
c
1
a
+ c
2
.
8. Hallar las extremales de la funcional,
J =

a
2
a
1

n
t2
+ 2rn
t
÷16n
2

dr
Resp.: n = c
1
Sen (4r ÷c
2
).
9. Hallar la extremal de la funcional,
J =

1
0

n
t2
+ r

dr
bajo las condiciones de frontera n (0) = 1 y n (1) = 2.
10. Hallar la extremal de la funcional,
J =

1
0

n
t2
+ n
2

dr
bajo las condiciones de frontera n (0) = 1 y n (1) = c
÷1
. Tener presente que c
±a
=
Cosh r ±Senh r. Resp.: n = Cosh r ÷Senh r.
11. Hallar las extremales de la funcional,
J =

a
2
a
1

rn
t
+ n
t2

dr
Resp.: n = ÷
a
2
4
+ c
1
r + c
2
.
12. Hallar las extremales de la funcional,
J =

a
2
a
1
r + n
2
n
t2
dr
Resp.: n = sinh (c
1
r + c
2
).
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 117
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
13. Sea 1 (r. n) = n + rn
t
. Muestre que

b
o
1 (r. n) dr no depende del camino n = n (r),
por lo tanto, el problema de optimizar dicha integral no tiene sentido.
14. Hallar las extremales de la funcional,
J =

a
2
a
1

n
2
+ n
t2
÷2n Sen r

dr
Resp.: n = c
1
c
a
+ c
2
c
÷a
+
1
2
Sen r.
15. Hallar las extremales de la funcional,
J =

a
2
a
1

2n. ÷2n
2
+ n
t2
÷.
t2

dr
Resp.: n = (c
1
r + c
2
) Cos r + (c
3
r + c
4
) Sen r; . = 2n + n
tt
, de donde . se determina
fácilmente.
16. ¿En qué curva puede alcanzar su extremo la funcional
J =
r
2
0

n
t2
÷n
2

dr
sabiendo que n (0) = 0 y n

¬
2

= 1?. Resp.: n = Sen r.
17. ¿En qué curvas puede alcanzar su extremo la funcional
J =

1
0

1 + n
t2
1
2
dr
sabiendo que n (0) = 0 y n (1) = 0?. Mostrar que esta extremal hace que J tome un
mínimo global.
18. ¿En qué curvas puede alcanzar su extremo la funcional
J =

a
2
a
1
n
2
dr
sabiendo que n (r
1
) = n
c
y n (r
2
) = n
1
?. Resp.: n = 0. La extremal n = 0 pasa por los
puntos frontera sólo cuando n
c
= 0 y n
1
= 0.
19. Hallar el extremal de la funcional,
J =

2
1
r
2
n
t2
dr
que satisface n (1) = 0 y n (2) = 1.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 118
3.5. PROBLEMAS
20. Hallar el extremal de la funcional,
J =

1
0
(1 + n
2
)
2
n
t2
dr
que satisface n (0) = 0 y n (1) = 1.
21. Hallar el extremal de la funcional,
J =

1
0

n
t2
÷n
t4

dr
que satisface n (0) = 0 y n (1) = 0.
22. Hallar el extremal de la funcional,
J =

2
1
r
3
n
t3
dr
que satisface n (1) = 1 y n (2) = 4.
23. Hallar la extremal de la funcional,
J =
r
2
0
n (2r ÷n) dr
bajo las condiciones de frontera n (0) = 0 y n

¬
2

=
¬
2
.
24. Hallar las extremales de la funcional,
J =

a
2
a
1

n
2
÷n
t2
÷2n Cosh r

dr
25. Hallar las extremales de la funcional,
J =

a
2
a
1

n
2
÷n
t2
÷2n Sen r

dr
26. Obténgase la forma que adopta la ecuación de Euler-Lagrange en los siguientes
casos particulares:
a) 1 sólo depende de n.
b) 1 no depende de n.
c) 1 = ((r. n)

1 + n
t2
.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 119
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
27. Hallar la extremal de la funcional,
J =

2
1

n
t2
÷2rn

dr
bajo las condiciones de frontera n (1) = 0 y n (2) = ÷1. Resp.: n (r) =
a
6
(1 ÷r
2
).
28. Hallar la extremal de la funcional,
J =

3
1
(3r ÷n) ndr
bajo las condiciones de frontera n (1) = 1 y n (3) = 4
1
2
. Resp.: La extremal encontrada
no satisface la condición n (1) = 1, por lo tanto, este problema variacional no tiene
solución.
29. Hallar la extremal de la funcional,
J =

2
1
(n
t
+ n)
2
dr
bajo las condiciones de frontera n (1) = 1 y n (2) = 0. Resp.: n (r) =
Senh(2÷a)
Senh 1
.
30. Hallar la extremal de la funcional,
J =

1
0

n (1 + n
t2
)dr
bajo las condiciones de frontera n (0) =
1

2
y n (1) =
1

2
. Resp.: Hay dos extremales
dadas por,
n (r) =
1 +

3 ±2

(2r ÷1)
2
4

2 ±1

31. Hallar la extremal de la funcional,
J =

1
0
nn
t2
dr
bajo las condiciones de frontera n (0) = 1 y n (1) =
3

4. Resp.: Hay dos extremales
dadas por, n (r) =
3

(r + 1)
2
y n (r) =
3

(3r ÷1)
2
.
32. Hallar la extremal de la funcional,
J =

1
0

n
t2
÷n
2
÷n

c
2a
dr
bajo las condiciones de frontera n (0) = 0 y n (1) = c
÷1
. Resp.: n (r) =
1
2
[c
÷a
+ (1 + c) rc
÷a
÷1].
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 120
3.5. PROBLEMAS
33. Hallar la extremal de la funcional,
J =

c
1

rn
t2
+ nn
t

dr
bajo las condiciones de frontera n (1) = 0 y n (c) = 1. Resp.: n (r) = ln r.
34. Hallar la extremal de la funcional,
J =

b
o

2rn +

r
2
+ c
&

n
t

dr
bajo las condiciones de frontera n (c) = ¹ y n (/) = 1. Resp.: La integral no depende
del camino de integración por lo tanto, este problema variacional, no tiene sentido.
35. Hallar la extremal de la funcional,
J =

1
0
(rn
t
+ c
&
) dr
bajo las condiciones de frontera n (0) = 0 y n (1) = c. Resp.: n (r) = 0 si c = 0; si c = 0
no existe extremal suave.
36. Hallar la extremal de la funcional,
J =

1
0

2c
&
÷n
2

dr
bajo las condiciones de frontera n (0) = 1 y n (1) = c. Resp.: No hay extremales, la
ecuación de Euler no tiene soluciones.
37. Considérese la funcional,
J =

a
2
a
1
1 [n (r) . n
t
(r) ; r] dr
con las condiciones de frontera n (r
1
) = ¹ y n (r
2
) = 1. Demostrar que la ecuación
de Euler se mantiene al agregar al integrando la derivada total de cualquier función
n = n(r. n).
38. Hallar las extremales de la funcional,
J =

b
o
r
a
n
t2
dr
y probar que para : > 1 no existen extremales que pasen por dos puntos distintos
situados sobre el eje (n.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 121
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
39. Demuéstrese la invariancia de la ecuación de Euler frente a cambios de coorde-
nadas.
40. Considerar la función 1 =

o&(a)
oa

2
donde n (r) = r. Sumar a n (r) la función : (r) =
Sen (r), y (a) graﬁcar n (r) y dos de sus variaciones n (c. r) en un mismo plano Carte-
siano, (b) encontrar J (c) entre los límites r = 0 y r = 2:, (b) mostrar que el valor
estacionario de J (c) se da cuando c = 0. Resp.: (b) J (c) = : (2 + c
2
).
41. Considerar la función 1 =

o&(a)
oa

÷c
a
÷1

2
+ r
2
donde n (r) = r + c
a
. Sumar a
n (r) la función : (r) = r
2
÷ Cos

¬
2
r

÷ 1, y (a) graﬁcar n (r) y dos de sus variaciones
n (c. r) en un mismo plano Cartesiano, (b) encontrar J (c) entre los límites r = ÷1 y
r = 1, (b) mostrar que el valor estacionario de J (c) se da cuando c = 0. Resp.: (b)
J (c) =
2
3
+
1
¬

1
4
:
3
+
8
3
: + 16

c
2
.
42. Encuentre y resuelva las ecuaciones para las geodésicas sobre un plano, usando
coordenadas polares planas (:. .) en términos de las cuales el elemento de distan-
cia d: es dado por d:
2
= d:
2
+ :
2
d.
2
.
43. Encuentre:
a) La expresión general para el camino más corto sobre la superﬁcie de un cono
de semiángulo c mediante cálculo variacional. Tome la ecuación del camino
en la forma j = j (.) . donde j es la distancia desde el vértice ( y . es el ángulo
polar cilíndrico medido alrededor del eje del cono (ver ﬁgura 3.14). La ecuación
de un cono viene dada por . = 1 ÷

r
2
+ n
2
. Resp.: j =
1
b
Sen csec [(. ÷c) Sen c],
con c una constante.
b) Encuentre el camino particular que satisface las condiciones de frontera j

±
¬
2

=
c. Resp.: j =
o Cos(
r
2
Sen c)
Cos(,Sen c)
.
44. Un fabricante desea minimizar la funcional de costo,
( =

4
0
[(3 + n
t
) n
t
+ 2n] dr
sujeta a las condiciones de frontera n (0) = 0 y n (4) = A, donde A es el volu-
men deseado de producción. Encuentre el extremal de ( que satisface las condi-
ciones dadas y pruebe que ésta hace que ( tome un mínimo global. Resp.: n =
1
4
r (2r + A ÷8).
45. Considérese la propagación de los rayos de luz en un medio axialmente simétrico
donde, en un sistema de coordenadas cilíndricas (:. .. .), el índice de refracción es
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 122
3.5. PROBLEMAS
Figura (3.14): Camino más corto sobre la superﬁcie de un cono de semiángulo c (Problema 43).
: = :(:) y los rayos están en el plano . = 0. Para este caso el principio de Fermat
resulta en la funcional,
1 = c
÷1

,
1
,
o
:

:
2
+ :
t2
1
2
d.
donde c es la velocidad de la luz en el vacío, 1 es el tiempo empleado por un rayo
de luz para ir de un punto a otro, : = : (.) es la ecuación del camino seguido y
:
t
=
ov
o,
.
a) Mostrar que las extremales de 1 satisfacen la ecuación diferencial ordinaria,
::
2
(:
2
+ :
t2
)
1
2
= constante
b) Mostrar que si se escribe :
t
= : tan · (· ángulo entre la tangente al rayo y la
superﬁcie cilíndrica local : =constante), la anterior ecuación se transforma en,
::Cos · = constante
que es la forma de la ley de Snell para este caso.
46. Muestre que el extremal de,
J =
1
\

÷÷
\c(r
1
. r
2
. r
3
)

2
dr
1
dr
2
dr
3
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 123
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
viene dado por,
\
2
c(r
1
. r
2
. r
3
) = 0
J representa el valor promedio del cuadrado del gradiente de c(r
1
. r
2
. r
3
) dentro
de un cierto volumen \ .
47. Encuentre el camino más corto sobre la superﬁcie de una esfera, pero usando
ahora los multiplicadores de Lagrange.
48. A partir de la forma usual (no integrada) de la ecuación de Euler, rehacer el pro-
blema de encontrar el camino más corto sobre la superﬁcie de una esfera, usando
o como variable dependiente y . como independiente. Mostrar,
a) que se obtiene la ecuación diferencial,
tan o ÷
d
d.

o
t
Sen
2
o

= 0
donde o
t
=
o0
o,
.
b) y que,
d
d.
(tan o) = ÷
o
t
Sen
2
o
Use esta expresión para resolver la ecuación encontrada en (a).
49. Rehaga el problema de encontrar el camino más corto sobre la superﬁcie de una
esfera usando ambas o y . como variables dependientes, formulándolo como un
problema paramétrico escribiendo las condiciones de frontera apropiadas. Com-
bine las dos Ecuaciones de Euler-Lagrange resultantes y muestre que se obtiene el
camino ya conocido.
50. Dada la superﬁcie . = r
3
2
,
a) ¿cuál es la curva sobre esta superﬁcie que une los puntos (r. n. .) = (0. 0. 0) y
(1. 1. 1) que tiene la mínima longitud?. Resp.: n =
8
13
3'2
÷8

1 +
9
4
r

3/2
÷1

.
b) Use la computadora para generar una gráﬁca conjunta que muestre la superﬁ-
cie dada y el camino más corto obtenido en (a).
51. Mostrar que la geodésica sobre la superﬁcie de un cilindro circular recto de radio
1 (ver ﬁgura 3.15) es un segmento de hélice,
. = c
1
+ c
2
.
Usar coordenadas cilíndricas d:
2
= 1
2
d.
2
+ d.
2
.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 124
3.5. PROBLEMAS
Figura (3.15): Geodésicas sobre la superﬁcie de un cilindro circular recto de radio 1 (Problema 51).
a) Sin usar multiplicadores de Lagrange.
b) Usando multiplicadores de Lagrange.
52. Considérese la línea que une los puntos (r
1
. n
1
) = (0. 0) y (r
1
. n
1
) = (1. 1). Mediante
los siguientes pasos, se mostrará explícitamente que la función n (r) = r produce
un camino de mínima longitud mediante el uso de la función variada n (c. r) =
r + cSen [: (1 ÷r)].
a) Muestre que la longitud : de la curva n (c. r) que une los puntos (r
1
. n
1
) = (0. 0) y
(r
1
. n
1
) = (1. 1) es,
: =

2
:

¬
0
[1 ÷c: Cos n
+
1
2
c
2
:
2
Cos
2
n

1/2
dn
donde se ha hecho el cambio : (1 ÷r) = n. Aquí : es el funcional.
b) La anterior integral no puede resolverse directamente puesto que, de hecho,
es una integral elíptica. Sin embargo, como c es pequeña se puede desarrollar
el integrando en la forma (1 ÷r)
1/2
hasta el término cuadrático. Mostrar que el
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 125
CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS
resultado de esta operación viene dado por,
: =

2
:

¬
0
¸
1 ÷
1
2
(c: Cos n
÷
1
2
c
2
:
2
Cos
2
n

÷
1
8
(c: Cos n
÷
1
2
c
2
:
2
Cos
2
n

2
+ ...
¸
dn
c) Ahora, si en la anterior expresión se dejan sólo los términos hasta Cos
2
n y se inte-
gra, mostrar que el resultado viene dado por,
: =

1 +
1
16
:
2
c
2

d) Por último, mostrar que cumple con la condición para que esta integral tome un
valor estacionario, es decir,
·:
·c

c=0
= 0
mostrándose así que la función n (r) = r produce un camino de mínima longitud.
53. Encuéntrese la ecuación de la línea que proporciona la distancia más corta en-
tre dos puntos en el espacio (r
1
. n
1
. .
1
) y (r
2
. n
2
. .
2
). Ayuda: Supóngase que r, n y .
dependen del parámetro / y que los puntos extremos son expresados por (r
1
(/
1
),
n
1
(/
1
), .
1
(/
1
)) y (r
2
(/
2
), n
2
(/
2
), .
2
(/
2
)). Resp.:
a÷a
1
a
2
÷a
1
=
&÷&
1
&
2
÷&
1
=
:÷:
1
:
2
÷:
1
que es la ecuación
de la recta en el espacio que pasa por los puntos (r
1
. n
1
. .
1
) y (r
2
. n
2
. .
2
).
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 126
CAPÍTULO 4
Transformación de Legendre
Contents
4.1. De…nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.2. Para una variable independiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.3. Para más de una variable independiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.4. Variables activas y pasivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.5. Algunas propiedades matemáticas de la transformación de Legendre 142
4.5.1. La inversa de la transformación de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.5.2. Valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.5.3. Simetrías y relaciones entre derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.1. Deﬁnición
La transformación de Legendre
1
es una herramienta matemática comúnmente
utilizada en Mecánica Clásica, Mecánica Estadística y Termodinámica.
1
Reciben su nombre debido a Adrien-Marie Legendre (París, 18 de septiembre de 1752 - Auteuil, Francia,
10 de enero de 1833), Matemático francés. Hizo importantes contribuciones a la estadística, la teoría
de números, el álgebra abstracta y el análisis matemático.
127
CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIÓN DE LEGENDRE
Bajo algunas circunstancias, es útil almacenar la información contenida en una
determinada función de una forma diferente. Dos ejemplos comunes son las transfor-
maciones de Fourier y de Laplace. Estas expresan la función como la suma de ex-
ponenciales (reales o complejas), mostrando la información contenida en la función
en términos de la suma de cada componente contenida en la misma más que en
términos de su valor.
Una transformación de Legendre da como resultado una nueva función,
en la que se sustituye una o más variables independientes con la derivada de
la función original respecto a esa variable.
En ciertos problemas matemáticos o físicos es deseable expresar una cierta mag-
nitud 1 (como la energía interna) mediante una función diferente G en la que los
argumentos sean precisamente las derivadas de la función respecto a las antiguas
variables.
Supóngase que se tiene una relación matemática cualquiera,
1 = 1 (n
1
. n
2
. .... n
a
) = 1 (n
j
) , con i = 1. 2. . . . . : (4.1)
que será llamada relación fundamental para señalar que contiene toda la informa-
ción necesaria para caracterizar la relación. Ahora, es de interés tomar las variables,
·
j
=
·1 (n
;
)
·n
j
(4.2)
como variables independientes sin perder nada de la información contenida en la
relación fundamental, es decir, se quiere escribir 1 = 1 (·
j
). Esto no se logra por el
simple artilugio de escribir las n
j
en términos de las ·
j
usando (4.2) y reemplazándolas
en la relación fundamental (4.1).
Para comprender mejor lo inadecuado de este procedimiento, piénsese en el caso
de una sola variable n. Si la relación fundamental 1 = 1 (n) está representada como
se muestra en la ﬁgura 4.1(a) y se elimina n mediante la expresión para la pendiente ·,
· =
d1 (n)
dn
(4.3)
una breve reﬂexión indica que con tal procedimiento se perdería algo del contenido
matemático de la relación fundamental 1 = 1 (n), puesto que:
1. Desde el punto de vista geométrico, es evidente que el conocimiento de 1 en
función de la pendiente · no permitirá reconstruir la curva 1 = 1 (n). En efecto,
cualquiera de las curvas de la ﬁgura 4.1(b) satisface la relación 1 = 1 (·).
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 128
4.1. DEFINICIÓN
Figura (4.1): (a) Representación de la relación fundamental 1 = 1 (n). (b) Representación de una familia
de relaciones fundamentales.
2. Desde el punto de vista analítico, la relación 1 = 1 (·) es una ecuación diferencial
de primer orden, y su integración da una 1 = 1 (n) en la que queda indeterminada
una constante de integración. Así pues, se ve que la aceptación de 1 = 1 (·) como
relación fundamental en lugar de 1 = 1 (n) implicaría la pérdida de parte de la
información contenida originalmente en la relación fundamental.
A pesar de la conveniencia de disponer de · como variable independiente, este
sacriﬁcio del contenido informativo es completamente inaceptable. La solución acept-
able al problema planteado es suministrada por la dualidad entre la geometría con-
vencional del punto y la geometría de Plücker
2
de las líneas
3
.
El concepto esencial en la geometría de líneas es que una curva dada puede re-
presentarse igualmente bien como envolvente de una familia de líneas tangentes (ver
ﬁgura 4.2) o como lugar geométrico de los puntos que satisfacen la relación funda-
mental 1 = 1 (n). Por consiguiente, cualquier expresión que permita construir la fa-
milia de líneas tangentes determina la curva tan satisfactoriamente como la relación
1 = 1 (n).
Del mismo modo que cualquier punto del plano está descrito por dos números (n,
1 (n)), así cualquier recta del plano puede describirse por los dos números (·. G(·)),
2
Julius Plücker nació en Elberfeld (ahora parte de Wuppertal). Después de ser educado en Düsseldorf
y las universidades de Bonn, Heidelberg y Berlín fue a París en 1823, donde encontró la inﬂuencia de
la gran escuela de geómetras, cuyo fundador, Gaspard Monge, había muerto recientemente. En 1825
volvió a Bonn, y en 1828 se hizo catedrático en matemática. En el mismo año publicó el primer volumen
de su Analytisch-geometrische Entwickelungen, que introdujo por primera vez el método de anotación
abreviada. En 1831 publicó el segundo volumen, en el cual estableció la dualidad proyectiva en una
base sólida e independiente.
3
La geometría de Plücker propone una relación funcional para las rectas a través de los pares ordenados
(·. G(·)) donde · es la pendiente y G(·) la ordenada al origen.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 129
CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIÓN DE LEGENDRE
Figura (4.2): Una curva dada puede representarse igualmente bien como envolvente de una familia de
líneas tangentes.
donde G(·) es su intersección con el eje n. Por lo tanto, del mismo modo que la
relación fundamental 1 = 1 (n) selecciona un subconjunto de todos los puntos posi-
bles (n. G(n)), una relación G = G(·) selecciona un subconjunto de todas las rectas
posibles (·. G(·)). El conocimiento de las intersecciones G de las líneas tangentes en
función de las pendientes · permite construir la familia de líneas tangentes, y por con-
siguiente la curva que constituye su envolvente. Así, la relación,
G = G(·) (4.4)
es completamente equivalente a la relación fundamental 1 = 1 (n). En (4.4), la vari-
able independiente es ·, por lo que proporciona una solución completa y satisfactoria
al problema y puede considerarse como una relación fundamental equivalente.
El procedimiento para encontrar (4.4) lo proporciona la llamada transformación de
Legendre.
4.2. Para una variable independiente
Dada una función 1 (n), la transformación de Legendre proporciona una forma
más conveniente de almacenar la información en la función cuando son satisfechas
las siguientes condiciones:
1. La función 1 (n) debe ser suave, es decir, tiene “suﬁcientes” derivadas continuas.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 130
4.2. PARA UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
2. Es estrictamente convexa, es decir, la segunda derivada nunca cambia de sig-
no o es nula (es siempre positiva o siempre negativa); que es equivalente a decir
que la función pendiente · (n) =
o1(&)
o&
es una función estrictamente monótona (ver
apéndice B) de n.
3. Es más fácil medir, controlar o pensar sobre la derivada de 1 con respecto a n que
medir o pensar directamente respecto a n.
Debido a la condición 1, la derivada de 1 (n) con respecto a n puede servir como
un sustituto de n, es decir, hay un mapeo uno a uno entre n y
o1(&)
o&
. La transformación
de Legendre muestra cómo crear una función que contenga la misma información
que 1 (n) pero que, en vez de ser función de n, sea función de
o1(&)
o&
.
Figura (4.3): (a) Gráﬁca de una función convexa 1 = 1 (n). (b) Gráﬁca de su tangente · en función de
n.
Una forma gráﬁca de constatar cómo el valor de la pendiente · puede sustituir el
valor de n en una función convexa, puede verse considerando el ejemplo mostrado
en la ﬁgura 4.3(a). En dicha ﬁgura la curva dibujada representa una función 1 (n)
convexa. Al moverse a lo largo de la curva hacia la derecha (el sentido en que n se in-
crementa), la pendiente · de la tangente a la curva se incrementa continuamente. En
otras palabras, si se graﬁca la pendiente · como una función de n, resultará una curva
suavemente creciente, como se muestra en la ﬁgura 4.3(b). Si la segunda derivada
de 1 (n) existe (en cualquier rango de n en la cual 1 (n) está deﬁnida, que es parte
de la condición de que 1 (n) sea suave), existe un valor único de la pendiente · para
cada valor de n y viceversa. En lenguaje matemático apropiado, se dice que existe
una relación 1 ÷1 entre · y n.
Para encontrar la forma de realizar esta transformación, se tomará una ruta ge-
ométrica. Considérese la gráﬁca de 1 (n) vs. n mostrada en la ﬁgura 4.4. Escójase un
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 131
CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIÓN DE LEGENDRE
valor de n, que represente la abcisa del punto donde la recta tangente toca a 1 (n),
por lo tanto, 1 (n) será la ordenada de dicho punto. La ordenada del punto de corte
de la tangente a la curva con el eje horizontal (“eje 1”) está representado por G. Es
fácil entonces ver, a partir del triángulo c/c que,
Figura (4.4): Representación de la relación fundamental 1 para el caso de una sola variable.
tan (o) = · =
1 + G
n
=
d1 (n)
dn
(4.5)
de aquí que,
G(·) = n· ÷1 (n) (4.6)
donde la función G se denomina transformada de legendre de 1.
Se tienen ahora dos posibles situaciones,
1. Si se tiene la relación 1 (n) entonces se tiene también · =
o1(&)
o&
, de donde se puede
despejar n(·) y reemplazarla en ella, de manera que queda G como una función
sólo de ·, G = G(·).
2. Si se conoce la relación G(·) y se quiere hallar 1 (n) entonces, al diferenciar (4.6),
dG = ·dn + nd· ÷d1 (4.7)
y como por (4.5),
d1 = ·dn
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 132
4.2. PARA UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
se puede escribir,
dG = nd· (4.8)
de manera que,
n =
dG
d·
(4.9)
De esta manera, si se dispone de · en función de n y se usa (4.9) para obtener
G = G(n), se puede escribir escribir,
1 = n· ÷G (4.10)
sólo en términos de la variable n.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 4.1
Sea 1 (n) = n
3
, encontrar su transformada de Legendre.
Solución: De (4.6),
G(·) = n· ÷n
3
(4.11)
y de (4.5),
· =
d1 (n)
dn
=
d
dn

n
3

= 3n
2
=n(·) =

·
3
1
2
(4.12)
por lo tanto, al sustituir (4.12) en (4.11) resulta,
G(·) =

·
3
1
2
· ÷

·
3
3
2
= 2

·
3
3
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 4.2
Sea 1 (n) = cn
2
+/n+c (c, / y c constantes), encontrar su transformada
de Legendre.
Solución: De (4.6),
G(·) = n· ÷

cn
2
+ /n + c

(4.13)
y de (4.5),
· =
d1 (n)
dn
=
d
dn

cn
2
+ /n + c

= 2cn + / =n(·) =
1
2c
(· ÷/) (4.14)
por lo tanto, al sustituir (4.14) en (4.13) resulta,
G(·) =
1
2c
(· ÷/) · ÷

c
¸
1
2c
(· ÷/)

2
+ /
¸
1
2c
(· ÷/)

+ c
¸
=
1
4c
(· ÷/)
2
÷c
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 133
CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIÓN DE LEGENDRE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 4.3
Sea 1 (n) = c
&
+ 1, encontrar su transformada de Legendre.
Solución: De (4.6),
G(·) = n· ÷(c
&
+ 1) (4.15)
y de (4.5),
· =
d1 (n)
dn
=
d
dn
(c
&
+ 1) = c
&
=n(·) = ln · (4.16)
por lo tanto, al sustituir (4.16) en (4.15) resulta,
G(·) = · ln · ÷(· + 1) = · (ln · ÷1) ÷1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Para más de una variable independiente
Ahora bien, todo el desarrollo anterior es válido para el caso de más de una
variable independiente, así la transformada de Legendre tomará la forma,
G(·
;
) =
a
¸
j=1
n
j
·
j
÷1 (n
;
) (4.17)
con,
·
j
=
·1 (n
1
. n
2
. . . . n
a
)
·n
j
=
·1 (n
;
)
·n
j
(4.18)
y donde la sumatoria podría incluir sólo algunos términos, que corresponden a las va-
riables que se transforman (variables activas), mientras que las otras se dejan inalter-
adas (variables pasivas).
El caso contrario vendrá dado por,
1 (n
;
) =
a
¸
j=1
n
j
·
j
÷G(·
;
) (4.19)
con,
n
j
=
·G(·
1
. ·
2
. . . . ·
a
)
··
j
=
·1 (·
;
)
··
j
(4.20)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 134
4.3. PARA MÁS DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
Ejemplo 4.4
Encuentre la transformada de Legendre G(·
1
. ·
2
) de la función,
1 (n
1
. n
2
) = c
&
1
+ n
2
2
Solución: Este es un caso de dos variables independientes, por lo tanto, de (4.17),
G(·
1
. ·
2
) = n
1
·
1
+ n
2
·
2
÷

c
&
1
+ n
2
2

(4.21)
y de (4.18),
·
1
=
·1
·n
1
=
·
·n
1

c
&
1
+ n
2
2

= c
&
1
=n
1
= ln ·
1
(4.22)
·
2
=
·1
·n
2
=
·
·n
2

c
&
1
+ n
2
2

= 2n
2
=n
2
=
1
2
·
2
(4.23)
por lo tanto, al sustituir (4.22) y (4.23) en (4.21) resulta,
G(·
1
. ·
2
) = ·
1
ln ·
1
+
1
2
·
2
·
2
÷
¸
·
1
+

1
2
·
2

2
¸
= ·
1
(ln ·
1
÷1) +
1
4
·
2
2
que es la transformada de Legendre pedida.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 4.5
Encuentre la transformada de Legendre G(·
1
. ·
2
. ·
3
) de la función,
1 (n
1
. n
2
. n
3
) = n
2
1
+ cn
3
Sen n
2
donde c es una constante.
Solución: Este es un caso de tres variables independientes, por lo tanto, de (4.17),
G(·
1
. ·
2
. ·
3
) = n
1
·
1
+ n
2
·
2
+ n
3
·
3
÷

n
2
1
+ cn
3
Sen n
2

(4.24)
y de (4.18),
·
1
=
·1
·n
1
=
·
·n
1

n
2
1
+ cn
3
Sen n
2

= 2n
1
=n
1
=
1
2
·
1
·
2
=
·1
·n
2
=
·
·n
2

n
2
1
+ cn
3
Sen n
2

= cn
3
Cos n
2
=n
3
=
1
c
·
2
sec n
2
·
3
=
·1
·n
3
=
·
·n
3

n
2
1
+ cn
3
Sen n
2

= c Sen n
2
=n
2
= Sen
÷1

1
c
·
3

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 135
CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIÓN DE LEGENDRE
de las cuales,
n
1
=
1
2
·
1
(4.25)
n
2
= Sen
÷1

1
c
·
3

(4.26)
n
3
=
1
c
·
2
sec
¸
Sen
÷1

1
c
·
3

=
·
2

c
2
÷·
2
3
(4.27)
por lo tanto, al sustituir (4.25), (4.26) y (4.27) en (4.24) resulta,
G(·
1
. ·
2
. ·
3
) =
1
2
·
1
·
1
+ ·
2
Sen
÷1

1
c
·
3

+ ·
3
·
2

c
2
÷·
2
3
÷

1
2
·
1

2
+ c
·
2

c
2
÷·
2
3
Sen
¸
Sen
÷1

1
c
·
3

¸
=
1
4
·
2
1
+ ·
2
Sen
÷1

1
c
·
3

que es la transformada de Legendre pedida.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 4.6
Encuentre la transformada de Legendre G(·
1
. ·
2
. ·
3
. ·
4
) de la función,
1 (n
1
. n
2
. n
3
. n
4
) = n
2
ln n
1
÷Cos n
3
+ n
2
n
4
donde c es una constante.
Solución: Este es un caso de cuatro variables independientes, por lo tanto, de (4.17),
G(·
1
. ·
2
. ·
3
. ·
4
) = n
1
·
1
+ n
2
·
2
+ n
3
·
3
+ n
4
·
4
÷(n
2
ln n
1
÷Cos n
3
+ n
2
n
4
) (4.28)
y de (4.18),
·
1
=
·1
·n
1
=
·
·n
1
(n
2
ln n
1
÷Cos n
3
+ n
2
n
4
) =
n
2
n
1
·
2
=
·1
·n
2
=
·
·n
2
(n
2
ln n
1
÷Cos n
3
+ n
2
n
4
) = ln n
1
+ n
4
·
3
=
·1
·n
3
=
·
·n
3
(n
2
ln n
1
÷Cos n
3
+ n
2
n
4
) = Sen n
3
·
4
=
·1
·n
4
=
·
·n
4
(n
2
ln n
1
÷Cos n
3
+ n
2
n
4
) = n
2
de las cuales,
n
1
=
·
4
·
1
(4.29)
n
2
= ·
4
(4.30)
n
3
= Sen
÷1
(·
3
) (4.31)
n
4
= ·
2
÷ln

·
4
·
1

(4.32)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 136
4.4. VARIABLES ACTIVAS Y PASIVAS
por lo tanto, al sustituir (4.29) a (4.32) en (4.28) resulta,
G(·
1
. ·
2
. ·
3
. ·
4
) =
·
4
·
1
·
1
+ ·
4
·
2
+ ·
3
Sen
÷1
(·
3
) +
¸
·
2
÷ln

·
4
·
1

·
4
÷

·
4
ln

·
4
·
1

÷Cos

Sen
÷1
(·
3
)

+ ·
4
¸
·
2
÷ln

·
4
·
1
¸
= ·
4
¸
1 + ·
2
÷ln

·
4
·
1

1 ÷·
2
3
+ ·
3
Sen
÷1
(·
3
)
que es la transformada de Legendre pedida.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Variables activas y pasivas
A las variables que se incluyen en la sumatoria de (4.17), es decir, las variables
que se transforman se les denominan variables activas y las variables adicionales
que no son parte de la transformación como tal, pero tienen estatus de parámetros,
se les denominan variables pasivas.
Es posible encontrar cómo están relacionadas las derivadas parciales, con respecto
a las variables pasivas, de las funciones 1 y G. En efecto, supóngase que se tiene
1 = 1 (n
1
. n
2
. n) y G = G(·
1
. ·
2
. n), donde n es una variable pasiva, y que satisfacen las
expresiones,
·
1
=
·1
·n
1
, ·
2
=
·1
·n
2
(4.33)
n
1
=
·G
··
1
, n
2
=
·G
··
2
(4.34)
donde (4.33) deﬁne ·
1
y ·
2
como funciones de n
1
, n
2
y n; y (4.34) deﬁne n
1
y n
2
como
funciones de ·
1
, ·
2
y n, es decir,
·
1
= ·
1
(n
1
. n
2
. n) , ·
2
= ·
2
(n
1
. n
2
. n)
n
1
= n
1
(n
1
. n
2
. n) , n
2
= n
2
(n
1
. n
2
. n)
De (4.17) se tiene que,
1 (n
1
. n
2
. n) + G(·
1
. ·
2
. n) = n
1
·
1
+ n
2
·
2
(4.35)
y supóngase, además, que se sustituye en ella ·
1
y ·
2
por sus respectivas expresiones
en términos de n
1
, n
2
y n. Entonces, al derivar parcialmente (4.35) respecto a n, resulta,
·1
·n
+
·G
··
1
··
1
·n
+
·G
··
2
··
2
·n
+
·G
·n
·n
·n
....
=1
= n
1
··
1
·n
+ n
2
··
2
·n
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 137
CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIÓN DE LEGENDRE
o,
·1
·n
+
·G
·n
=

n
1
÷
·G
··
1

. .. .
=0 por (4.35)
··
1
·n
+

n
2
÷
·G
··
2

. .. .
=0 por (4.35)
··
2
·n
= 0
de aquí que,
·1
·n
+
·G
·n
= 0
que es la relación buscada y se mantiene para cada una de las variables pasivas. En
general,
·1 (n
;
. n
;
)
·n
j
+
·G(·
;
. n
;
)
·n
j
= 0 (4.36)
donde las n
;
son las distintas variables pasivas que pueda contener 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 4.7
Encuentre la transformada de Legendre G(·
1
. ·
2
. n) de la función,
1 (n
1
. n
2
. n) = 2n
2
1
÷3n
1
n
2
+ n
2
2
+ 3nn
1
donde n es una variable pasiva. Veriﬁque que,
·1
·n
+
·G
·n
= 0
Solución: De (4.17),
G(·
1
. ·
2
. n) = n
1
·
1
+ n
2
·
2
÷

2n
2
1
÷3n
1
n
2
+ n
2
2
+ 3nn
1

(4.37)
y de (4.18),
·
1
=
·1
·n
1
=
·
·n
1

2n
2
1
÷3n
1
n
2
+ n
2
2
+ 3nn
1

= 4n
1
÷3n
2
+ 3n (4.38)
·
2
=
·1
·n
2
=
·
·n
2

2n
2
1
÷3n
1
n
2
+ n
2
2
+ 3nn
1

= ÷3n
1
+ 2n
2
(4.39)
Al resolver el sistema formado por (4.38) y (4.39) para n
1
y n
2
resulta,
n
1
= ÷2·
1
÷3·
2
+ 6n (4.40)
n
2
= ÷3·
1
÷4·
2
+ 9n (4.41)
por lo tanto, al sustituir (4.40) y (4.41) en (4.37), y después de algunos cálculos alge-
braicos elementales resulta,
G(·
1
. ·
2
. n) = ÷(·
1
÷3n)
2
+ ·
2
(9n ÷3·
1
÷2·
2
)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 138
4.4. VARIABLES ACTIVAS Y PASIVAS
que es la transformada de Legendre pedida.
Por otro lado,
·1
·n
+
·G
·n
=
·
·n

2n
2
1
÷3n
1
n
2
+ n
2
2
+ 3nn
1

+
·
·n

÷(·
1
÷3n)
2
+ ·
2
(9n ÷3·
1
÷2·
2
)

= 3n
1
+ 6 (·
1
÷3n) + 9·
2
= 3 (÷2·
1
÷3·
2
+ 6n)
. .. .
por (4.40)
+ 6 (·
1
÷3n) + 9·
2
= 0
veriﬁcándose así que
01
0&
+
0G
0&
= 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 4.8
Encuentre la transformada de Legendre G(·
1
. ·
2
. ·
3
. n
1
. n
2
) de la fun-
ción,
1 (n
1
. n
2
. n
3
. n
1
. n
2
) = 7n
1
n
3
+ 2n
2
2
÷5n
1
n
3
÷n
2
2
donde n
1
y n
2
son variables pasivas. Veriﬁque además que,
·1
·n
1
+
·G
·n
1
= 0 y
·1
·n
2
+
·G
·n
2
= 0
Solución: De (4.17),
G(·
1
. ·
2
. ·
3
. n
1
. n
2
) = n
1
·
1
+ n
2
·
2
+ n
3
·
3
÷

7n
1
n
3
+ 2n
2
2
÷5n
1
n
3
÷n
2
2

(4.42)
y de (4.18),
·
1
=
·1
·n
1
= 7n
3
(4.43)
·
2
=
·1
·n
2
= 4n
2
(4.44)
·
3
=
·1
·n
3
= 7n
1
÷5n
1
(4.45)
de las cuales se obtiene,
n
1
=
1
7
(·
3
+ 5n
1
) (4.46)
n
2
=
1
4
·
2
(4.47)
n
3
=
1
7
·
1
(4.48)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 139
CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIÓN DE LEGENDRE
por lo tanto, al sustituir (4.46), (4.47) y (4.48) en (4.42) resulta,
G(·
1
. ·
2
. ·
3
. n
1
. n
2
) =
1
8
·
2
2
+
1
7
·
1
(·
3
+ 5n
1
) + n
2
2
que es la transformada de Legendre pedida.
Por otro lado,
·1
·n
1
+
·G
·n
1
=
·1
·n
1

7n
1
n
3
+ 2n
2
2
÷5n
1
n
3
÷n
2
2

+
·
·n
1
¸
1
8
·
2
2
+
1
7
·
1
(·
3
+ 5n
1
) + n
2
2

= ÷5n
3
+
5
7
·
1
= ÷5

1
7
·
1

. .. .
por (4.48)
+
5
7
·
1
= 0
y,
·1
·n
2
+
·G
·n
2
=
·
·n
2

7n
1
n
3
+ 2n
2
2
÷5n
1
n
3
÷n
2
2

+
·
·n
2
¸
1
8
·
2
2
+
1
7
·
1
(·
3
+ 5n
1
) + n
2
2

= ÷2n
2
+ 2n
2
= 0
veriﬁcándose así que
01
0&
1
+
0G
0&
1
= 0 y
01
0&
2
+
0G
0&
2
= 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 4.9
Encuentre la transformada de Legendre G(·
1
. ·
2
. ·
3
. n
1
. n
2
. n
3
) de la
función,
1 (n
1
. n
2
. n
3
. n
1
. n
2
. n
3
) = n
1
n
2
ln n
1
÷n
3
Cos n
3
+ n
2
n
2
donde n
1
, n
2
y n
3
son variables pasivas. Veriﬁque que,
·1
·n
1
+
·G
·n
1
= 0,
·1
·n
2
+
·G
·n
2
= 0 y
·1
·n
3
+
·G
·n
3
= 0
Solución: De (4.17),
G(·
1
. ·
2
. ·
3
. n
1
. n
2
. n
3
) = n
1
·
1
+ n
2
·
2
+ n
3
·
3
÷(n
1
n
2
ln n
1
÷n
3
Cos n
3
+ n
2
n
2
) (4.49)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 140
4.4. VARIABLES ACTIVAS Y PASIVAS
y de (4.18),
·
1
=
·1
·n
1
=
·
·n
1
(n
1
n
2
ln n
1
÷n
3
Cos n
3
+ n
2
n
2
) =
n
1
n
2
n
1
·
2
=
·1
·n
2
=
·
·n
2
(n
1
n
2
ln n
1
÷n
3
Cos n
3
+ n
2
n
2
) = n
1
ln n
1
+ n
2
·
3
=
·1
·n
3
=
·
·n
3
(n
1
n
2
ln n
1
÷n
3
Cos n
3
+ n
2
n
2
) = n
3
Sen n
3
de las cuales resulta,
n
1
= c
r
2
u
2
u
1
(4.50)
n
2
=
·
1
n
1
c
r
2
u
2
u
1
(4.51)
n
3
= Sen
÷1

·
3
n
3

(4.52)
por lo tanto, al sustituir (2.47) a (2.49) en (4.49) resulta,
G(·
1
. ·
2
. ·
3
. n
1
. n
2
. n
3
) = ·
1
c
r
2
u
2
u
1
+ ·
2
·
1
n
1
c
r
2
u
2
u
1
+ ·
3
Sen
÷1

·
3
n
3

n
1
·
1
n
1
c
r
2
u
2
u
1
ln c
r
2
u
2
u
1
÷n
3
Cos
¸
Sen
÷1

·
3
n
3

+ n
2
·
1
n
1
c
r
2
u
2
u
1
¸
=

n
2
3
÷·
2
3
+ ·
1
c
r
2
u
2
u
1
+ ·
3
Sen
÷1

·
3
n
3

que es la transformada de Legendre pedida.
Por otro lado,
·1
·n
1
+
·G
·n
1
=
·
·n
1
(n
1
n
2
ln n
1
÷n
3
Cos n
3
+ n
2
n
2
)
+
·
·n
1
¸

n
2
3
÷·
2
3
+ ·
1
c
r
2
u
2
u
1
+ ·
3
Sen
÷1

·
3
n
3

= n
2
ln n
1
÷
·
1
n
2
1
(·
2
÷n
2
) c
r
2
u
2
u
1
=
·
1
n
1
c
r
2
u
2
u
1
ln c
r
2
u
2
u
1
. .. .
por (??) y (??)
÷
·
1
n
2
1
(·
2
÷n
2
) c
r
2
u
2
u
1
= 0
·1
·n
2
+
·G
·n
2
=
·
·n
2
(n
1
n
2
ln n
1
÷n
3
Cos n
3
+ n
2
n
2
)
+
·
·n
2
¸

n
2
3
÷·
2
3
+ ·
1
c
r
2
u
2
u
1
+ ·
3
Sen
÷1

·
3
n
3

= n
2
÷
·
1
n
1
c
r
2
u
2
u
1
=
·
1
n
1
c
r
2
u
2
u
1
. .. .
por (??)
÷
·
1
n
1
c
r
2
u
2
u
1
= 0
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 141
CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIÓN DE LEGENDRE
y,
·1
·n
3
+
·G
·n
3
=
·
·n
3
(n
1
n
2
ln n
1
÷n
3
Cos n
3
+ n
2
n
2
)
+
·
·n
3
¸

n
2
3
÷·
2
3
+ ·
1
c
r
2
u
2
u
1
+ ·
3
Sen
÷1

·
3
n
3

= ÷Cos n
3
+
n
3

n
2
3
÷·
2
3
÷
·
2
3
n
3

n
2
3
÷·
2
3
= ÷Cos
¸
Sen
÷1

·
3
n
3

. .. .
por (??)
+
n
3

n
2
3
÷·
2
3
÷
·
2
3
n
3

n
2
3
÷·
2
3
= 0
veriﬁcándose así que
01
0&
1
+
0G
0&
1
= 0,
01
0&
2
+
0G
0&
2
= 0 y
01
0&
3
+
0G
0&
3
= 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Algunas propiedades matemáticas de la transforma-
ción de Legendre
La construcción geométrica y las relaciones resultantes permiten mostrar rela-
ciones elegantes y útiles. En particular considérense las siguientes:
4.5.1. La inversa de la transformación de Legendre
Ordinariamente, la inversa de una transformación es distinta de la transforma-
ción en sí. La transformación de Legendre se distingue entre ellas ya que ella misma
es su inversa. Si se lleva a cabo la transformación de Legendre por segunda vez, se
recobra la función convexa y suave original.
Por simplicidad, se mostrará esta propiedad para el caso de una variable indepen-
diente pero el resultado es válido para el caso de más de una variable independiente.
Dada la función 1 = 1 (n), su transformada de Legendre viene dada según (4.6) por,
G(·) = n· ÷1 (n) , con · =
d1 (n)
dn
Ahora, supóngase que se quiere la transformada de Legendre de G(·). De forma
análoga, su transformada H se obtiene al estilo de (4.6) como sigue,
H (n
+
) = n
+
· ÷G(·) , con n
+
=
dG(·)
d·
(4.53)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 142
4.5. ALGUNAS PROPIEDADES MATEMÁTICAS DE LA TRANSFORMACIÓN DE LEGENDRE
Según la propiedad, debe cumplirse que H = 1. En efecto, de (4.53),
H (n
+
) = n
+
· ÷[n· ÷1 (n)]
. .. .
por (4.6)
= (n
+
÷n) · + 1 (n) (4.54)
pero,
n
+
=
dG(·)
d·
=
d
d·
[n· ÷1 (n)]
. .. .
por (4.6)
= n + ·
dn
d·
÷
d1 (n)
dn
dn
d·
= n + ·
dn
d·
÷ ·
....
por (4.5)
dn
d·
= n (4.55)
por lo tanto, al sustituir el resultado (4.55) en (4.54), resulta,
H (n) = 1 (n)
de aquí que,
La transformación de Legendre de una transformación de Legendre es la
función original y la transformación de Legendre es su propia inversa.
Esta dualidad de la transformación de Legendre es mejor resumida, a partir de (4.6),
por la expresión,
G(·) + 1 (n) = n· (4.56)
que muestra la simetría entre G. · y 1. n explícitamente. Esta expresión debe leerse con
cuidado, en particular, a pesar de su apariencia, hay sólo una variable independiente:
la n o la ·. Estas dos variables están relacionadas la una con la otra a través de,
n(·) =
dG(·)
d·
, o · (n) =
d1 (n)
dn
(4.57)
de esta manera la expresión (4.56) puede escribirse para ambos casos como,
G(·) + 1 [n(·)] = n(·) ·, o G[· (n)] + 1 (n) = n· (n) (4.58)
respectivamente.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 4.10
Encuentre la transformada de Legendre de la transformada encon-
trada en el ejemplo 4.1, es decir de,
G(·) = 2

·
3
3
2
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 143
CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIÓN DE LEGENDRE
Solución: De (4.10),
1 (n) = n· ÷2

·
3
3
2
(4.59)
y de (4.9),
n =
dG(·)
d·
=
d
d·
¸
2

·
3
3
2

=

·
3
1
2
=· = 3n
2
(4.60)
por lo tanto, al sustituir (4.60) en (4.59) resulta,
1 (n) = 3n
2
n ÷2

1
3
3n
2
3
2
= n
3
que es, precisamente, la función cuya transformada de Legendre es G(·).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 4.11
Encuentre la transformada de Legendre de la transformada encon-
trada en el ejemplo 4.4, es decir de,
G(·
1
. ·
2
) = ·
1
(ln ·
1
÷1) +
1
4
·
2
2
Solución: Este es un caso de dos variables independientes, por lo tanto, de (4.19),
1 (n
1
. n
2
) = n
1
·
1
+ n
2
·
2
÷
¸
·
1
(ln ·
1
÷1) +
1
4
·
2
2

(4.61)
y de (4.20),
n
1
=
·G
··
1
=
·
··
1
¸
·
1
(ln ·
1
÷1) +
1
4
·
2
2

= ln ·
1
=·
1
= c
&
1
(4.62)
n
2
=
·G
··
2
=
·
··
2
¸
·
1
(ln ·
1
÷1) +
1
4
·
2
2

=
1
2
·
2
=·
2
= 2n
2
(4.63)
por lo tanto, al sustituir (4.62) y (4.63) en (4.61) resulta,
1 (n
1
. n
2
) = n
1
c
&
1
+ 2n
2
n
2
÷
¸
c
&
1
(ln c
&
1
÷1) +
1
4
(2n
2
)
2

= c
&
1
+ n
2
2
que es, precisamente, la función cuya transformada de Legendre es G(·
1
. ·
2
).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 144
4.5. ALGUNAS PROPIEDADES MATEMÁTICAS DE LA TRANSFORMACIÓN DE LEGENDRE
Ejemplo 4.12
Encuentre la transformada de Legendre de la transformada encon-
trada en el ejemplo 4.8, es decir de,
G(·
1
. ·
2
. ·
3
. n
1
. n
2
) =
1
8
·
2
2
+
1
7
·
1
(·
3
+ 5n
1
) + n
2
2
Solución: Este es un caso de tres variables independientes, por lo tanto, de (4.19),
1 (n
1
. n
2
. n
3
. n
1
. n
2
) = n
1
·
1
+ n
2
·
2
+ n
3
·
3
÷
¸
1
8
·
2
2
+
1
7
·
1
(·
3
+ 5n
1
) + n
2
2

(4.64)
y de (4.20),
n
1
=
·G
··
1
=
·
··
1
¸
1
8
·
2
2
+
1
7
·
1
(·
3
+ 5n
1
) + n
2
2

=
1
7
(·
3
+ 5n
1
) =·
3
= 7n
1
÷5n
1
(4.65)
n
2
=
·G
··
2
=
·
··
2
¸
1
8
·
2
2
+
1
7
·
1
(·
3
+ 5n
1
) + n
2
2

=
1
4
·
2
=·
2
= 4n
2
(4.66)
n
3
=
·G
··
3
=
·
··
3
¸
1
8
·
2
2
+
1
7
·
1
(·
3
+ 5n
1
) + n
2
2

=
1
7
·
1
=·
1
= 7n
3
(4.67)
por lo tanto, al sustituir (4.62) y (4.63) en (4.61) resulta,
1 (n
1
. n
2
. n
3
. n
1
. n
2
) = 7n
3
n
1
+ 4n
2
n
2
+ n
3
(7n
1
÷5n
1
)
÷
¸
1
8
(4n
2
)
2
+
1
7
7n
3
(7n
1
÷5n
1
+ 5n
1
) + n
2
2

= 7n
1
n
3
+ 2n
2
2
÷5n
1
n
3
÷n
2
2
que es, precisamente, la función cuya transformada de Legendre es G(·
1
. ·
2
. ·
3
. n
1
. n
2
).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2. Valores extremos
Supóngase que la función 1 (n) es cóncava hacia arriba (tal como en la ﬁgura
4.4), entonces debe tener un mínimo. Suponiendo que esto ocurre, entonces el mínimo
es único. Denótese este punto por,
1
mín
= 1 (n
mín
) (4.68)
Por supuesto, la pendiente se anula en este punto, es decir, · (n
mín
) = 0. Si se in-
troduce este punto en la expresión (4.6) que deﬁne la transformación de Legendre,
resulta que el valor mínimo de 1 es,
1
mín
= ÷G(0) (4.69)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 145
CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIÓN DE LEGENDRE
De forma similar, a partir del hecho de que 1 es la transformación de Legendre de G,
se puede concluir que el valor mínimo de G es,
G
mín
= ÷1 (0) (4.70)
Ahora bien, se puede usar la relación simétrica (4.56) para ver qué ocurre para ex-
tremos generales. Supóngase que 1 toma su valor extremo en n
ext
, el cual corresponde
a una tangente horizontal, · = 0. De esta manera, a partir de (4.56),
G(0) + 1 (n
ext
) = 0 (4.71)
De forma similar, G tendrá un valor extremo en ·
ext
, donde n(·
ext
) = 0 debido a (4.9),
de manera que,
G(·
ext
) + 1 (0) = 0 (4.72)
Para apreciar el signiﬁcado geométrico de esta ecuación, sólo se necesita exami-
nar la ﬁgura 4.4 y ver que la intersección de la tangente a la curva 1 (n) con el eje
vertical nunca alcanza más allá de 1 (0).
4.5.3. Simetrías y relaciones entre derivadas
Puesto que 1 y G son transformaciones de Legendre la una de la otra, es de
esperarse que existan numerosas relaciones simétricas. Las expresiones (4.56) y (4.57)
constituyen dos de ellas. A partir de estas expresiones, se puede obtener un conjunto
inﬁnito de relaciones entre 1 y G, que conducen a algunas relaciones muy elegantes
e interesantes.
Puesto que cada función depende sólo de una variable, a partir de (4.57) es posible
escribir,
dG(·) = n(·) d·, y d1 (n) = · (n) dn (4.73)
Ahora, se pueden derivar nuevamente las expresiones (4.57) con respecto a · o n, de
manera que,
d
2
G(·)
d·
2
=
dn(·)
d·
, y
d
2
1 (n)
dn
2
=
d· (n)
dn
pero como dnd· = (d·dn)
÷1
entonces,
d
2
G(·)
d·
2
d
2
1 (n)
dn
2
= 1 (4.74)
que ilustra claramente la importancia de la covexidad (estricta) ya que ninguno de los
dos factores pueden anularse.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 146
4.6. PROBLEMAS
Derivando nuevamente (4.74), se puede escribir una relación simétrica para la ter-
cera derivada,
o
3
G
o·
3

o
2
G
o·
2

3/2
+
o
3
1
o&
3

o
2
1
o&
2

3/2
= 0 (4.75)
Es posible obtener un conjunto inﬁnito de relaciones como las anteriores para deri-
vadas de orden superior derivando una y otra vez. Tal ejercicio también muestra que
si 1 es suave, entonces G también lo es. Las relaciones para derivadas superiores son
más y más complejas.
4.6. Problemas
1. Sea 1 (n) = n
a
, encontrar su transformada de Legendre. Resp.: G(·) = (: ÷1)

·
a
n
n1
.
2. Sea 1 (n) =
1
2
/n
2
(/ constante), encontrar su transformada de Legendre. Resp.:
G(·) =
1
2I
·
2
.
3. Sea 1 (n) = n
c
c (c constante), encontrar su transformada de Legendre. Resp.:
G(·) =

1 ÷
1
c

·
o
o1
.
4. Encuentre la transformada de Legendre G(·
1
. ·
2
) de la función,
1 (n
1
. n
2
) = 2n
2
1
+ 3n
1
n
2
+ n
2
2
Resp.: G(·
1
. ·
2
) = ÷·
2
1
+ 3·
1
·
2
÷2·
2
2
.
5. Encuentre la transformada de Legendre G(·
1
. ·
2
. ·
3
) de la función,
1 (n
1
. n
2
. n
3
) = cn
2
1
+ /n
2
3
+ n
2
n
1
donde c y / son constantes.
6. Encuentre la transformada de Legendre G(·. n) de la función,
1 (n. n) = n

n
2
n ÷4

donde n es una variable pasiva. Veriﬁque que,
·1
·n
+
·G
·n
= 0
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 147
CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIÓN DE LEGENDRE
7. Encuentre la transformada de Legendre G(·
1
. ·
2
. n
1
. n
2
) de la función,
1 (n
1
. n
2
. n
1
. n
2
) = 2n
2
1
n
1
+ 3n
1
n
2
n
2
+ n
2
2
donde n
1
y n
2
son variables pasivas. Veriﬁque que,
·1
·n
1
+
·G
·n
1
= 0,
·1
·n
2
+
·G
·n
2
= 0
8. Encuentre la transformada de Legendre G(·
1
. ·
2
. ·
3
. n
1
. n
2
. n
3
) de la función,
1 (n
1
. n
2
. n
3
. n
1
. n
2
. n
3
) = n
1
n
2
2
÷n
3
n
3
n
2
+ n
2
n
2
n
1
+ n
2
2
donde n
1
, n
2
y n
3
son variables pasivas. Veriﬁque que,
·1
·n
1
+
·G
·n
1
= 0,
·1
·n
2
+
·G
·n
2
= 0 y
·1
·n
3
+
·G
·n
3
= 0
9. Muestre que,
o
3
G
o·
3

o
2
G
o·
2

3/2
+
o
3
1
o&
3

o
2
1
o&
2

3/2
= 0
donde G = G(·) es la transformada de Legendre de 1 = 1 (n).
10. Muestre que si G = G(·
j
) es la transformada de Legendre de 1 = 1 (n
j
), entonces
la transformada de Legendre de G = G(·
j
) es precisamente 1 = 1 (n
j
).
11. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema
1 y veriﬁque que se reobtiene la función 1 dada en dicho problema.
12. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema
2 y veriﬁque que se reobtiene la función 1 dada en dicho problema.
13. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema
3 y veriﬁque que se reobtiene la función 1 dada en dicho problema.
14. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema
4 y veriﬁque que se reobtiene la función 1 dada en dicho problema.
15. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema
5 y veriﬁque que se reobtiene la función 1 dada en dicho problema.
16. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema
6 y veriﬁque que se reobtiene la función 1 dada en dicho problema.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 148
4.6. PROBLEMAS
17. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema
7 y veriﬁque que se reobtiene la función 1 dada en dicho problema.
18. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema
8 y veriﬁque que se reobtiene la función 1 dada en dicho problema.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 149
CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIÓN DE LEGENDRE
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 150
Parte II
Mecánica de Lagrange y Hamilton
151
CAPÍTULO 5
Mecánica Lagrangiana
La aplicación directa de las leyes de Newton al movimiento de sistemas mecáni-
cos será ahora sustituido por una propuesta general, un método muy elegante y soﬁsti-
cado para encontrar las ecuaciones de movimiento para todos los sistemas dinámicos,
desarrollado por el matemático Joseph Louis Lagrange.
Contents
5.1. Ecuaciones de Lagrange partiendo del Principio de D’Alembert . . . 154
5.1.1. Sistemas holónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.1.2. Sistemas no-holónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.2. Ecuaciones de Lagrange partiendo del Principio de Hamilton . . . . . 162
5.2.1. Sistemas holónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.2.2. Sistemas no-holónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.3. Ejemplos con ligaduras holónomas (forma implícita) . . . . . . . . . . 163
5.4. Ejemplos con ligaduras holónomas (forma explícita) . . . . . . . . . . 182
5.5. Ejemplos con ligaduras semi-holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.6. Condición de integrabilidad de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . 201
5.7. Invariancia de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.8. Equivalencia entre las ecuaciones de Lagrange y de Newton . . . . . . 204
5.9. Momentos generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.10. Coordenadas cíclicas o ignorables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.11. Integrales primeras de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
153
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
5.12. Integrales primeras de movimiento para un sistema cerrado . . . . . . 208
5.13. Teoremas de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.13.1. Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.13.2. Conservación del momento generalizado - Conservación del momento li-
neal y angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.14. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.15. Mecánica Lagrangiana vs la Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.16. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.1. Ecuaciones de Lagrange partiendo del Principio de D’Alembert
Comiéncese por tratar de escribir el principio de D’Alembert (2.68) de manera
que incluya los desplazamientos virtuales de las coordenadas generalizadas.
Recuérdese, de la sección 2.9.1, que la expresión para los desplazamientos virtuales
o
÷÷
:
j
viene dada por (2.53) como sigue,
o
÷÷
:
j
=
3.
¸
;=1
·
÷÷
:
j
·¡
;
o¡
;
, con i = 1. 2. . . . . ` (5.1)
donde, a diferencia de (2.53), se supone que en principio no existen ligaduras en el
sistema, por esta razón la sumatoria se hace hasta 3`. Nótese que no hay cambio
alguno de tiempo ot pues, como se vio en la sección 2.9.1, por deﬁnición de despla-
zamiento virtual, en éste sólo intervienen cambios de las coordenadas espaciales, por
lo que el desplazamiento virtual es perpendicular a la fuerza de ligadura sólo si la liga-
dura misma cambia con el tiempo. Ahora, de (2.68) se puede escribir,
.
¸
j=1

÷÷
1
j
÷
«
÷÷
j
j

« o
÷÷
:
j
=
.
¸
j=1
÷÷
1
j
« o
÷÷
:
j
. .. .
Término A
÷
.
¸
j=1
«
÷÷
j
j
« o
÷÷
:
j
. .. .
Término B
= 0 (5.2)
El término A de (5.2) queda, al usar (5.1), como,
Término A =
.
¸
j=1
÷÷
1
j
« o
÷÷
:
j
=
.
¸
j=1

÷÷
1
j
«
3.
¸
;=1
·
÷÷
:
j
·¡
;
o¡
;

=
.
¸
j=1
3.
¸
;=1

÷÷
1
j
«
·
÷÷
:
j
·¡
;
o¡
;

=
3.
¸
;=1

.
¸
j=1
÷÷
1
j
«
·
÷÷
:
j
·¡
;

o¡
;
=
3.
¸
;=1
(
;
o¡
;
(5.3)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 154
5.1. ECUACIONES DE LAGRANGE PARTIENDO DEL PRINCIPIO DE D’ALEMBERT
donde,
(
;
=
.
¸
j=1
÷÷
1
j
«
·
÷÷
:
j
·¡
;
(5.4)
son las componentes de las llamadas fuerzas generalizadas como ya se vio en la sec-
ción 2.8.4, expresión (2.41).
Por otro lado, el término B de la expresión (5.2) puede escribirse, en virtud de (5.1),
como,
Término B =
.
¸
j=1
«
÷÷
j
j
« o
÷÷
:
j
=
.
¸
j=1

:
j
««
÷÷
:
j
«
3.
¸
;=1
·
÷÷
:
j
·¡
;
o¡
;

=
3.
¸
;=1

.
¸
j=1
:
j
««
÷÷
:
j
«
·
÷÷
:
j
·¡
;

o¡
;
=
3.
¸
;=1
.
¸
j=1
¸
d
dt

:
j
«
÷÷
:
j
«
·
÷÷
:
j
·¡
;

÷:
j
«
÷÷
:
j
«
d
dt

·
÷÷
:
j
·¡
;

o¡
;
(5.5)
donde, para desarrollar
.
¸
j=1
:
j
««
÷÷
:
j
«
0
÷÷
v
.
0o
,
se ha usado la propiedad,
d
÷÷
¹
dt
«
÷÷
1 =
d
dt

÷÷
¹ «
÷÷
1

÷
÷÷
¹ «
d
÷÷
1
dt
, con
÷÷
¹ =
«
÷÷
:
j
y
÷÷
1 =
·
÷÷
:
j
·¡
;
y además,
d
dt

·
÷÷
:
j
·¡
;

=
3.
¸
|=1
·
2÷÷
:
j
·¡
;
·¡
|
«
¡
|
+
·
2÷÷
:
j
·¡
;
·t
=
·
·¡
;

3.
¸
|=1
·
÷÷
:
j
·¡
|
«
¡
|
+
·
÷÷
:
j
·t

=
·
«
÷÷
:
j
·¡
;
....
por (2.30)
(5.6)
·
«
÷÷
:
j
·
«
¡
;
=
·
·
«
¡
;

3.
¸
|=1
·
÷÷
:
j
·¡
|
«
¡
|
+
·
÷÷
:
j
·t

=
3.
¸
|=1
·
÷÷
:
j
·¡
|
·
«
¡
|
·
«
¡
;
=
3.
¸
|=1
·
÷÷
:
j
·¡
|
o
|;
. .. .
O

c
I
O

c
,
=c
I,
=
·
÷÷
:
j
·¡
;
(5.7)
a la que suele llamársele regla de supresión o eliminación de puntos. Ahora, al sustituir
(5.6) y (5.7) en (5.5) resulta,
Término B =
3.
¸
;=1
.
¸
j=1

d
dt

¸
:
j
«
÷÷
:
j
«
·
«
÷÷
:
j
·
«
¡
;
¸

÷:
j
«
÷÷
:
j
«
·
«
÷÷
:
j
·¡
;
¸
¸
o¡
;
(5.8)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 155
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
y como,
:
j
«
÷÷
:
j
«
·
«
÷÷
:
j
·
«
¡
;
=
·
·
«
¡
;

1
2
:
j
«
÷÷
:
j
«
«
÷÷
:
j

=
·
·
«
¡
;

1
2
:
j
·
2
j

=
·1
j
·
«
¡
;
(5.9)
:
j
«
÷÷
:
j
«
·
«
÷÷
:
j
·¡
;
....
,=0,

÷÷
v
.

o
.
.

o
.
.t

=
·
·¡
;

1
2
:
j
«
÷÷
:
j
«
«
÷÷
:
j

=
·
·¡
;

1
2
:
j
·
2
j

=
·1
j
·¡
;
(5.10)
entonces, al sustituir (5.9) y (5.10) en (5.8) resulta,
Término B =
3.
¸
;=1
¸
d
dt

·
·
«
¡
;

.
¸
j=1
1
j

÷
·
·¡
;

.
¸
j=1
1
j
¸
o¡
;
=
3.
¸
;=1
¸
d
dt

·1
·
«
¡
;

÷
·1
·¡
;
¸
o¡
;
(5.11)
Por último, al sustituir (5.3) y (5.11) en (5.2), el principio de D’Alembert adopta la
forma,
3.
¸
;=1
(
;
o¡
;
÷
3.
¸
;=1
¸
d
dt

·1
·
«
¡
;

÷
·1
·¡
;
¸
o¡
;
= 0
3.
¸
;=1
¸
d
dt

·1
·
«
¡
;

÷
·1
·¡
;
÷(
;
¸
o¡
;
= 0 (5.12)
Esta expresión, al tratarse del principio de D’Alembert, puede ser considerada co-
mo ecuación fundamental de la dinámica. Por otro lado, las fuerzas generalizadas
(5.4) pueden ser descompuestas en una parte (
l
;
derivada de un potencial l =
l

¡
j
.
«
¡
j
. t

(potenciales dependientes de la velocidad)
1
,
(
l
;

¡
j
.
«
¡
j
. t

=
d
dt

·l
·
«
¡
;

÷
·l
·¡
;
(5.13)
y una parte (
.l
;
no derivada de un potencial,
(
.l
;
=
.
¸
j=1
÷÷
1
.l
j
«
·
÷÷
:
j
·¡
;
(5.14)
es decir,
(
;
= (
l
;
+ (
.l
;
(5.15)
1
Los campos de fuerzas electromagnéticos sobre las cargas en movimiento son de este tipo.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 156
5.1. ECUACIONES DE LAGRANGE PARTIENDO DEL PRINCIPIO DE D’ALEMBERT
por lo que (5.12) puede escribirse como,
3.
¸
;=1
¸
d
dt

·1
·
«
¡
;

÷
·1
·¡
;
÷(
.l
;
¸
o¡
;
= 0 (5.16)
donde la función,
1

¡
j
.
«
¡
j
. t

= 1

¡
j
.
«
¡
j
. t

÷l

¡
j
.
«
¡
j
. t

(5.17)
que será llamada la lagrangiana o lagrangiano del sistema a estudiar.
5.1.1. Sistemas holónomos
Es posible que se presenten dos casos:
Cuando las ligaduras se usan en forma implícita
Cuando las 1 ligaduras holónomas (2.12), escritas en función de las coorde-
nadas generalizadas, es decir,
1
|
(¡
j
. t) = 0, con i = 1. 2. .... : = 3` ÷/; | = 1. 2. .... 1 (5.18)
son usadas para reducir el número de coordenadas generalizadas desde 3` (depen-
dientes + independientes) a : = 3` ÷1 (independientes), entonces todos los : despla-
zamientos virtuales o¡
;
en (5.16) se convierten en independientes los unos de los otros.
Ahora, debido a que cada desplazamiento virtual puede tomar cualquier valor para
cada tiempo t, entonces para que se satisfaga (5.16) se requiere que cada coeﬁciente
de los o¡
;
se anule, es decir que,
d
dt

·1
·
«
¡
;

÷
·1
·¡
;
÷(
.l
;
= 0, con , = 1. 2. .... : (5.19)
para las : coordenadas ¡
j
independientes o grados de libertad del sistema. Por lo tan-
to, hay : de estas ecuaciones, y junto con las 1 ecuaciones de ligadura y las condi-
ciones iniciales que son impuestas, describen completamente el movimiento del sis-
tema. Estas ecuaciones constituyen las llamadas Ecuaciones de Lagrange para sis-
temas holónomos.
Si el sistema es conservativo, es decir (
.l
;
= 0 y l = l (¡
j
), entonces las ecuaciones
(5.19) se pueden escribir como,
d
dt

·1
·
«
¡
;

÷
·1
·¡
;
= 0, con , = 1. 2. .... : (5.20)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 157
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
Además, de (5.12), ya que los desplazamientos virtuales o¡
;
son independientes, se
obtiene,
d
dt

·1
·
«
¡
;

÷
·1
·¡
;
÷(
;
= 0, con , = 1. 2. .... : (5.21)
que son las llamadas ecuaciones de Lagrange en su forma básica. El signiﬁcado físico
de los términos
o
ot

0T
0

o
,

es el de las fuerzas de inercia. Para comprobarlo, tómese como
coordenadas las propias las coordenadas vectoriales r
;
,
d
dt

·1
·
«
r
;

=
d
dt
¸
·
·
«
r
;

¸
j
1
2
:
j
«
r
2
j
¸
=
d
dt

:
;
«
r
;

= :
;
««
r
;
y los término
0T
0o
,
pueden interpretarse como fuerzas ﬁcticias procedentes de la elec-
ción del conjunto de coordenadas generalizadas ¡
;
. En caso de que éstas sean simple-
mente las componentes cartesianas de los vectores
÷÷
:
j
, desaparecerían. Estas fuerzas
se añaden a las fuerzas generalizadas (
;
en la dirección de ¡
;
.
Cuando las ligaduras se usan en forma explícita
Cuando las 1 ligaduras holónomas (2.12) [o (5.18) ya escritas en función de las
coordenadas generalizadas] no son usadas para reducir las coordenadas generaliza-
das a sólo aquellas que son independientes sino que son anexadas en forma explícita
a la expresión (5.16), entonces, 1 de los desplazamientos virtuales o¡
;
en (5.16) depen-
den de las : coordenadas independientes y están relacionados por 1 ligaduras
2
,
3.
¸
;=1
·1
|
·¡
;
o¡
;
= 0, con | = 1. 2. . . . . 1 (5.22)
las cuales reciben el nombre de ligaduras instantáneas (provienen de un tiempo ﬁjo).
Es posible, en forma explícita, introducir (5.22) en (5.16) mediante el uso del método
de los multiplicadores de Lagrange \
|
(t), sumando la cantidad,
1
¸
|=1
3.
¸
;=1
\
|
(t)
·1
|
·¡
;
o¡
;
= 0 (5.23)
a su miembro derecho (y haciendo algunos arreglos) resultando,
3.
¸
;=1
¸
d
dt

·1
·
«
¡
;

÷
·1
·¡
;
÷
1
¸
|=1
\
|
(t)
·1
|
·¡
;
÷(
.l
;
¸
o¡
;
(t) = 0 (5.24)
2
Se obtiene diferenciando (5.18) y luego haciendo dt = 0. La sumatoria se efectúa hasta 3· debido a
que las ligaduras no se están usando para suprimir las coordenadas dependientes.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 158
5.1. ECUACIONES DE LAGRANGE PARTIENDO DEL PRINCIPIO DE D’ALEMBERT
Si ahora se denotan las : coordenadas independientes mediante ¡
1
. ¡
2
. . . . . ¡
c
y las 1
dependientes como ¡
c+1
. ¡
c+2
. . . . . ¡
3.
, entonces los 1 multiplicadores \
|
previamente
no asignados son ahora elegidos de tal manera que satisfagan las 1 ecuaciones,
d
dt

·1
·
«
¡
;

÷
·1
·¡
;
=
1
¸
|=1
\
|
(t)
·1
|
·¡
;
+ (
.l
;
, con , = : + 1. : + 2. . . . . 3` (5.25)
de aquí que las ecuaciones (5.24) se reduzcan a,
c
¸
;=1
¸
d
dt

·1
·
«
¡
;

÷
·1
·¡
;
÷
1
¸
|=1
\
|
(t)
·1
|
·¡
;
÷(
.l
;
¸
o¡
;
(t) = 0 (5.26)
para las : coordenadas ¡
;
independientes. Ahora, los : desplazamientos virtuales o¡
;
en
(5.26) son todos independientes y arbitrarios, por lo tanto cada uno de sus coeﬁcientes
debe anularse por separado.
De lo anterior, se deduce entonces que las ecuaciones,
d
dt

·1
·
«
¡
;

÷
·1
·¡
;
=
1
¸
|=1
\
|
(t)
·1
|
·¡
;
+ (
.l
;
, con , = 1. 2. . . . . 3` (5.27)
representan las ecuaciones de Lagrange para el conjunto completo de coordenadas
dependientes e independientes ¡
1
. ¡
2
. . . . . ¡
3.
. Estas 3` ecuaciones en conjunto con las
1 ecuaciones dadas por (5.18) forman un sistema de 3` +1 ecuaciones para 3` +1
incógnitas, 3` ¡
;
y 1 \
|
, quedando así determinado dicho sistema (en principio).
Las ecuaciones (5.27) tienen un término adicional con respecto a las (5.19), el cual
viene dado por,
(
|jj
,
=
1
¸
|=1
\
|
(t)
·1
|
·¡
;
, con , = 1. 2. . . . . 3` (5.28)
que son fuerzas adicionales que actúan sobre el sistema. Estas fuerzas están rela-
cionadas con las ligaduras y se les da el nombre de fuerzas generalizadas de ligadura.
Estas fuerzas, debido a (5.22) no realizan trabajo virtual como lo requiere la validez del
principio de D’Alembert.
Si se consideran sólo fuerzas que se derivan de potenciales, las ecuaciones (5.27)
se reducen a,
d
dt

·1
·
«
¡
;

÷
·1
·¡
;
=
1
¸
|=1
\
|
(t)
·1
|
·¡
;
, con , = 1. 2. . . . . 3` (5.29)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 159
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
Por otro lado, como las ligaduras (5.18) son independientes de las velocidades ge-
neralizadas
«
¡
j
, es posible escribir (5.27) de la siguiente forma,
d
dt

·
¯
1
·
«
¡
;

÷
·
¯
1
·¡
;
÷(
.l
;
= 0, con , = 1. 2. . . . . 3` (5.30)
donde,
¯
1 = 1 +
1
¸
|=1
\
|
(t) 1
|
(5.31)
es decir, el problema se ha reducido al del caso 1 pero con un Lagrangiano dado por
(5.31), mostrándose así la equivalencia entre (5.20) y (5.30).
Nótese que los caminos variados (desplazados) ¡
j
+ o¡
j
no sólo cumplen
con las condiciones esenciales (5.22) para los desplazamientos virtuales , sino
que también satisfacen las ecuaciones de ligadura,
1
|
(¡
j
+ o¡
j
. t) = 1
|
(¡
j
. t) + o1
|
(¡
j
. t) (5.32)
ya que no hay cambio para las ligaduras (5.18). es decir,
o1
|
=
3.
¸
;=1
·1
|
·¡
;
o¡
;
= 0, con | = 1. 2. . . . . 1
Debido a esto, los caminos variados son todos geométricamente posibles ya
que todos se ajustan a las ecuaciones (5.18), que es el requerimiento clave
para poder aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange.
5.1.2. Sistemas no-holónomos
Las ligaduras no-holónomas sólo pueden ser introducidas en forma explícita ya
que, por su naturaleza, no es posible usarlas para eleiminar coordenadas dependi-
entes. Estas ligaduras, como fue mencionado en la sección 2.3.3, vienen dadas (en
coordenadas generalizadas) por,
1
|

¡
j
.
«
¡
j
. t

= 0, con i = 1. 2. .... 3`; | = 1. 2. .... 1 (5.33)
que son frecuentemente encontradas en la forma,
1
|

¡
j
.
«
¡
j
. t

=
3.
¸
;=1
¹
|;
(¡
j
. t)
«
¡
;
+ 1
|
(¡
j
. t) = 0, con | = 1. 2. . . . . 1 (5.34)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 160
5.1. ECUACIONES DE LAGRANGE PARTIENDO DEL PRINCIPIO DE D’ALEMBERT
Los desplazamientos virtuales o¡
;
para sistemas no-holónomos con 1 ligaduras lin-
eales del tipo (5.18) obedecidas por los caminos verdaderos, están también obligados
a obedecer las 1 condiciones instantáneas
3
,
3.
¸
;=1
¹
|;
(¡
j
. t) o¡
;
= 0, con | = 1. 2. . . . . 1 (5.35)
Al igual como se hizo con (5.22), las condiciones lineales (5.35) también pueden ser
anexadas al principio de D’Alembert en forma explícita, ya que (5.16) es lineal en o¡
;
.
Sumando,
1
¸
|=1
3.
¸
;=1
\
|
(¡
j
. t) ¹
|;
(¡
j
. t) o¡
;
= 0 (5.36)
al miembro derecho de (5.16) y procediendo de forma análoga a la sección anteri-
or, las ecuaciones de Lagrange para las ligaduras no-holónomas (5.34) resultan en la
forma,
d
dt

·1
·
«
¡
;

÷
·1
·¡
;
=
1
¸
|=1
\
|
(¡
j
. t) ¹
|;
+ (
.l
;
, con , = 1. 2. . . . . 3` (5.37)
para todas las coordenadas. Aquí las fuerzas generalizadas de ligadura vienen dadas
por,
(
|jj
;
=
1
¸
|=1
\
|
(¡
j
. t) ¹
|;
, con , = 1. 2. . . . . 3` (5.38)
Ecuaciones análogas a (5.30) no son posibles para las ligaduras no-holónomas ya
que los caminos desplazados ¡
j
+ o¡
j
para sistemas con ligaduras holónomas lineales
no son geométricamente posibles y, por lo tanto, no satisfacen el requerimiento clave
para la aplicación del método de los multiplicadores de Lagrange. Sólo es posible en
el caso en que las ligaduras (5.34) sean integrables, convirtiéndose así en holónomas
4
.
Para el caso en que las fuerza sean derivables de potenciales, las ecuaciones (5.37)
se reducen a,
d
dt

·1
·
«
¡
;

÷
·1
·¡
;
=
1
¸
|=1
\
|
¹
|;
, con , = 1. 2. . . . . 3` (5.39)
3
Se obtienen escribiendo (5.34) en forma diferencial 1
l
dt =
¸
i
¹
li
(c
i
. t) dc
i
+1
l
dt y luego haciendo dt = 0.
4
Ver referencia [17] para detalles.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 161
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
5.2. Ecuaciones de Lagrange partiendo del Principio de Hamil-
ton
5.2.1. Sistemas holónomos
Como en la sección 5.1 es posible que se presenten dos casos:
Cuando las ligaduras se usan en forma implícita
En términos del cálculo de variaciones, el Principio de Hamilton (sección 2.10.3)
se puede escribir como,
oo = 0 (5.40)
donde o es la acción dada por,
o =

t
2
t
1
1

¡
j
.
«
¡
j
. t

dt (5.41)
con,
1

¡
j
.
«
¡
j
. t

= 1

¡
j
.
«
¡
j
. t

÷l (¡
j
. t) (5.42)
es el Lagrangiano ya deﬁnido en la sección 5.1, expresión (5.17).
El procedimiento a seguir es análogo al seguido en la sección 3.2.2 tomando las
coordenadas generalizadas ¡
j
como independientes, por haberse eliminado las de-
pendientes mediante el uso de las ligaduras holónomas (5.18). Por lo tanto, la integral
de la expresión (5.41) es análoga a la expresión (3.90) estudiada en la sección 3.2.2. Si
se hace una comparación entre estas expresiones se encuentra que,
Sección 3.2.2 Esta sección
r t
n
j
(r) ¡
j
(t)
n
t
j
(r)
«
¡
j
(t)
1 (n
j
. n
t
j
; r) 1

¡
j
.
«
¡
j
. t

de manera que, las ecuaciones de Euler (3.93) correspondientes al problema varia-
cional establecido en la expresión (5.40), pueden ser escritas como,
d
dt

·1
·
«
¡
;

÷
·1
·¡
;
= 0, con , = 1. 2. ...: (5.43)
que son las mismas dadas por (5.19) pero donde se han considerado sólo fuerzas deri-
vables de potenciales [es decir, las mismas (5.20)].
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 162
5.3. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA IMPLÍCITA)
Cuando las ligaduras se usan en forma explícita
Para este caso es posible, como se mostró en la sección 5.1, escribir un La-
grangiano
¯
1 dado por (5.31) en el cual se han introducido las ligaduras holónomas
(5.18) en forma explícita mediante el uso de los multiplicadores de Lagrange. Por lo
tanto, el problema variacional para este caso puede escribirse como,
o =

t
2
t
1
¯
1

¡
j
.
«
¡
j
. t

dt =

t
2
t
1
¸
1 +
1
¸
|=1
\
|
(t) 1
|
¸
dt (5.44)
que, siguiendo un procedimiento análogo al empleado para tratar el problema varia-
cional planteado por (5.41), resulta en las ecuaciones de Euler,
d
dt

·1
·
«
¡
j

÷
·1
·¡
j
= (
j
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·¡
j
, con i = 1. 2. ...3` (5.45)
que son las mismas dadas por (5.27) pero donde se han considerado sólo fuerzas deri-
vables de potenciales [es decir, las mismas (5.29)].
5.2.2. Sistemas no-holónomos
Para este caso, al considerar ligaduras no-holónomas (5.34) que son las más
frecuentes en los problemas de Mecánica, sólo es posible escribir un problema varia-
cional como el planteado por (5.44) cuado dichas ligaduras son integrables, es decir,
cuando son en realidad holónomas
5
. Como las ligaduras son holónomas, el problema
variacional a plantearse debe concluir encontrándose las mismas ecuaciones (5.45) o
(5.27) si se consideran fuerzas que no se derivan de un potencial.
5.3. Ejemplos con ligaduras holónomas (forma implícita)
Los ejemplos siguientes representan sistemas holónomos en los que las ecua-
ciones de ligadura (de haberlas) serán usadas en forma implícita, es decir, serán us-
adas para reducir el conjunto de coordenadas generalizadas particular de cada situación
planteada, a un conjunto de coordenadas generalizadas propias, es decir, indepen-
dientes las unas de las otras. Es de hacer notar que sólo la ejercitación intensa y con-
tínua es la que permitirá, al novicio, adquirir destrezas e intuición a la hora de escoger
las coordenadas generalizadas óptimas para un problema particular.
5
Ver referencia [17] para detalles sobre esta aﬁrmación.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 163
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.1
Para la partícula de masa : mostrada en la ﬁgura 5.1, encuentre la
ecuación de movimiento y su aceleración a lo largo del plano inclinado usando las
ecuaciones de Lagrange.
Figura (5.1): Partícula de masa : que se desplaza hacia abajo en un plano inclinado un ángulo 0 con
respecto a la horizontal (Ejemplo 5.1).
Solución: En coordenadas Cartesianas se tiene que la energía cinética viene dada
por,
1 =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2

(5.46)
y la energía potencial (para el origen de potencial escogido) por,
l = :on (5.47)
de manera que el Lagrangiano viene dado por,
1 = 1 ÷l =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2

÷:on (5.48)
Por otro lado, es fácil notar que la relación entre r y n viene dada por la ecuación de
la recta que describe el plano inclinado, por lo tanto,
n = ÷r tan o + / (5.49)
de manera que el sistema tiene sólo un grado de libertad. Si se escoge r como coor-
denada generalizada, es decir, sustituyendo (5.49) en (5.48), el Lagrangiano se puede
escribir como,
1 =
1
2
:
¸
«
r
2
+

÷
«
r tan o

÷:o (÷r tan o + /)
=
1
2
:
«
r
2
sec
2
o + :or tan o ÷:o/ (5.50)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 164
5.3. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA IMPLÍCITA)
de aquí que,
01
0a
= :o tan o
01
0

a
= :
«
r sec
2
o
o
ot

01
0

= :
««
r sec
2
o
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.20), se obtiene,
d
dt

·1
·
«
r

÷
·1
·r
= 0 =
««
r = o Sen o Cos o (5.51)
que es la ecuación de movimiento pedida.
La ecuación para la aceleración en n viene dada por la segunda derivada total
de (5.49) con respecto al tiempo, es decir,
««
n = ÷
««
r tan o (5.52)
entonces la aceleración a lo largo del plano inclinado viene dada por,
c =

««
r
2
+
««
n
2
=

««
r
2
+

¸
÷
««
r tan o
. .. .
por (5.49)
¸

2
=
««
r sec o (5.53)
y al usar (5.51),
c = o Sen o
que es el resultado ya conocido de la Física elemental.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.2
Encuentre, usando las ecuaciones de Lagrange, las ecuaciones de
movimiento de una partícula de masa : que se encuentra inmersa en un campo de
fuerza conservativo (ver ﬁgura 5.2) (a) en coordenadas Cartesianas y (b) en coorde-
nadas esféricas.
Solución: La ﬁgura 5.2 muestra la situación descrita en el problema.
(a) En coordenadas Cartesianas se tiene que el Lagrangiano se puede escribir co-
mo,
1 = 1 ÷l =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2
+
«
.
2

÷l (r. n. .) (5.54)
de aquí que,
01
0a
= ÷
0l
0a
= 1
a
01
0

a
= :
«
r
o
ot

01
0

= :
««
r
01
0&
= ÷
0l
0&
= 1
&
01
0

&
= :
«
n
o
ot

01
0

= :
««
n
01
0:
= ÷
0l
0:
= 1
:
01
0

:
= :
«
.
o
ot

01
0

= :
««
.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 165
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
Figura (5.2): Partícula de masa : que se encuentra inmersa en un campo de fuerza conservativo (Ejem-
plo 5.2).
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.20), se obtiene,
o
ot

01
0

÷
01
0a
= 0 =1
a
= :
««
r
o
ot

01
0

÷
01
0&
= 0 =1
&
= :
««
n
o
ot

01
0

÷
01
0:
= 0 =1
:
= :
««
.

(5.55)
que son las ecuaciones de movimiento buscadas.
(b) En coordenadas esféricas, el módulo cuadrado de la velocidad viene dado
por,
·
2
=
«
:
2
+ :
2
«
o
2
+ :
2
Sen
2
o
«
.
2
(5.56)
entonces, el Lagrangiano viene dado por,
1 = 1 ÷l =
1
2
:

«
:
2
+ :
2
«
o
2
+ :
2
Sen
2
o
«
.
2

÷l (:. o. .) (5.57)
de aquí que,
·1
·:
= ::
«
o
2
+ :: Sen
2
o
«
.
2
÷
·l
·:
·1
·
«
:
= :
«
:
d
dt

·1
·
«
:

= :
««
:
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 166
5.3. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA IMPLÍCITA)
·1
·o
= ::
2
Sen o Cos o
«
.
2
÷
·l
·o
·1
·
«
o
= ::
2
«
o
d
dt

·1
·
«
o

= ::
2
««
o + 2::
«
:
«
o
·1
·.
= ÷
·l
·.
= 1
,
·1
·
«
.
= ::
2
Sen
2
o
«
.
d
dt

·1
·
«
.

= 2::
«
: Sen
2
o
«
. + 2::
2
«
o
«
.Sen o Cos o + ::
2
Sen
2
o
««
.
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.20), se obtiene,
d
dt

·1
·
«
:

÷
·1
·:
= 0 =::
«
o
2
+ :: Sen
2
o
«
.
2
÷
·l
·:
= :
««
: (5.58)
d
dt

·1
·
«
o

÷
·1
·o
= 0 =::
2
Sen o Cos o
«
.
2
÷
·l
·o
= ::
2
««
o + 2::
«
:
«
o (5.59)
d
dt

·1
·
«
.

÷
·1
·.
= 0 =÷
·l
·.
= 2::
«
: Sen
2
o
«
. + 2::
2
«
o
«
.Sen o Cos o
+::
2
Sen
2
o
««
. (5.60)
pero, en coordenadas esféricas,
÷÷
1 = ÷
÷÷
\l = ÷
·l
·:
´ c
v
÷
1
:
·l
·o
´ c
v
÷
1
: Sen o
·l
·.
´ c
,
(5.61)
es decir,
÷
·l
·:
= 1
v
(5.62)
÷
1
:
·l
·o
= 1
0
=÷
·l
·o
= :1
0
(5.63)
÷
1
: Sen o
·l
·.
= 1
,
=÷
·l
·.
= : Sen o1
,
(5.64)
Por último, al sustituir (5.62), (5.63) y (5.64) en (5.58), (5.59) y (5.60) respectivamente, de
obtiene,
1
v
= :
««
: ÷::
«
o
2
÷:: Sen
2
o
«
.
2
:1
0
= ::
2
««
o + 2::
«
:
«
o ÷::
2
Sen o Cos o
«
.
2
: Sen o1
,
= 2::
«
: Sen
2
o
«
. + 2::
2
«
o
«
.Sen o Cos o + ::
2
Sen
2
o
««
.

(5.65)
que son las ecuaciones de movimiento buscadas.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 167
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.3
La máquina simple de Atwood. Encuentre la aceleración, usando
las ecuaciones de Lagrange, del sistema mostrado en la ﬁgura 5.3. Se desprecia el
rozamiento en la polea.
Figura (5.3): La máquina simple de Atwood (Ejemplo 5.3).
Solución: Este es un ejemplo de sistema conservativo con ligaduras holónomas y
esclerónomas. Es claro que sólo hay una coordenada independiente n, estando de-
terminada por la condición (ligadura) de que la longitud de la cuerda existente entre
ambos cuerpos sea /. es decir,
n
1
+ n
2
= / (5.66)
y si se hace n
1
= n entonces n
2
= / ÷n. Es fácil notar que la energía potencial es,
l = ÷`
1
on
1
÷`
2
on
2
= ÷`
1
on ÷`
2
o (/ ÷n) (5.67)
y que la cinética es,
1 =
1
2
`
1
«
n
1
2
+
1
2
`
2
«
n
2
2
=
1
2
(`
1
+ `
2
)
«
n
2
(5.68)
de aquí que el Lagrangiano venga dado por,
1 = 1 ÷l =
1
2
(`
1
+ `
2
)
«
n
2
+ `
1
on + `
2
o (/ ÷n) (5.69)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 168
5.3. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA IMPLÍCITA)
de donde,
·1
·n
= (`
1
÷`
2
) o
·1
·
«
n
= (`
1
+ `
2
)
«
n
d
dt

·1
·
«
n

= (`
1
+ `
2
)
««
n
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.20), se obtiene,
d
dt

·1
·
«
n

÷
·1
·n
= 0 =(`
1
+ `
2
)
««
n ÷(`
1
÷`
2
) o = 0 (5.70)
de la cual,
««
n =

`
1
÷`
2
`
1
+ `
2

o (5.71)
resultado familiar de los cursos de Física elemental.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.4
Encontrar la ecuación de movimiento, usando las ecuaciones de La-
grange, de un anillo de masa : que se desliza por un alambre (de masa despreciable)
que gira uniformemente con una velocidad angular . en una región libre de fuerzas
(ver ﬁgura 5.4).
Figura (5.4): Anillo de masa : que se desliza por un alambre, de masa despreciable, que gira uniforme-
mente (Ejemplo 5.4).
Solución: Este ejemplo es un caso sencillo de ligadura holónoma y reónoma (de-
pendiente del tiempo), por lo que las ecuaciones de transformación contendrán ex-
plícitamente el tiempo,
r = : Cos (.t) (5.72)
n = : Sen (.t) (5.73)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 169
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
de manera que,
·
2
=
«
r
2
+
«
n
2
=

«
: Cos (.t) ÷:. Sen (.t)

2
+

«
: Sen (.t) + :. Cos (.t)

2
=
«
:
2
+ :
2
.
2
y como se encuentra en una región libre de fuerzas l = 0, entonces el Lagrangiano
viene dado por,
1 = 1 ÷l =
1
2
:

«
:
2
+ :
2
.
2

(5.74)
resultando,
·1
·:
= ::.
2
·1
·
«
:
= :
«
:
d
dt

·1
·
«
:

= :
««
:
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.20), se obtiene,
d
dt

·1
·
«
:

÷
·1
·:
= 0 =
««
: = :.
2
(5.75)
que expresa el resultado ya conocido de que el anillo se mueve hacia afuera debido
a la fuerza centrípeta. Como en el caso anterior, el método no sirve para allar la fuerza
que mantiene unido el anillo al alambre.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.5
Considérese el caso del movimieno de un proyectil de masa : bajo
la acción de la gravedad en dos dimensiones (ver ﬁgura 5.5). Encontrar las ecuaciones
de movimiento, usando las ecuaciones de Lagrange, en: (a) coordenadas Carte-
sianas y (b) polares.
Solución: Aquí o es el ángulo de tiro. En coordenadas Cartesianas, serán usadas
r (horizontal) y n (vertical). En coordenadas polares serán usadas : (en la dirección
radial) y . (ángulo con respecto a la horizontal).
(a) Primero, en coordenadas Cartesianas se tiene,
1 =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2

(5.76)
l = :on (5.77)
donde l = 0 en n = 0. De esta manera el Lagrangiano viene dado por,
1 = 1 ÷l =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2

÷:on (5.78)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 170
5.3. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA IMPLÍCITA)
Figura (5.5): Movimieno de un proyectil de masa : bajo la acción de la gravedad en dos dimensiones
(Ejemplo 5.5).
resultando,
·1
·r
= 0,
·1
·n
= ÷:o
·1
·
«
r
= :
«
r,
·1
·
«
n
= :
«
n
d
dt

·1
·
«
r

= :
««
r,
d
dt

·1
·
«
n

= :
««
n
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.20), se obtiene,
««
r = 0
««
n = ÷o
¸
(5.79)
(b) En coordenadas polares,
1 =
1
2
:

«
:
2
+ :
2
«
.
2

(5.80)
l = :o: Sen . (5.81)
donde l = 0 cuando o = 0. De esta manera el Lagrangiano viene dado por,
1 = 1 ÷l =
1
2
:

«
:
2
+ :
2
«
.
2

÷:o: Sen . (5.82)
resultando,
·1
·:
= ::
«
.
2
÷:o Sen .,
·1
·.
= ÷:o: Cos .
·1
·
«
:
= :
«
:,
·1
·
«
.
= ::
2
«
.
d
dt

·1
·
«
:

= :
««
: ,
d
dt

·1
·
«
.

= 2::
«
:
«
. + ::
2
««
.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 171
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.20), se obtiene,
:
«
.
2
÷o Sen . ÷
««
: = 0
÷o: Cos . ÷2:
«
:
«
. ÷:
2
««
. = 0
¸
(5.83)
Las ecuaciones de movimiento (5.79) cláramente son más simples que las (5.83). Por
esta razón se escogerían coordenadas Cartesianas como coordenadas generalizadas
para resolver este problema, la clave es reconocer que en estas la energía potencial
sólo depende de la coordenada n, mientras que en coordenadas polares depende
de : y ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.6
Una partícula de masa : está obligada a moverse sobre la super-
ﬁcie interna de un cono liso como se muestra en la ﬁgura 5.6, donde c es constan-
te. La partícula está sometida a una fuerza gravitacional. Determinar un conjunto de
coordenadas generalizadas y determinar las ligaduras. Encuentre las ecuaciones de
movimiento usando las ecuaciones de Lagrange.
Figura (5.6): Partícula de masa : que está obligada a moverse sobre la superﬁcie interna de un cono
liso (Ejemplo 5.6).
Solución: Hágase que el eje del cono corresponda al eje . y colóquese el vértice
del cono en el origen. Puesto que el problema posee simetría cilíndrica, escójase :, .
y . como coordenadas generalizadas. Pero, sin embargo, se tiene la ligadura,
. = : cot c (5.84)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 172
5.3. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA IMPLÍCITA)
de manera que el sistema tiene sólo dos grados de libertad y, por lo tanto, dos coor-
denadas generalizadas. Se puede usar (5.84) para eliminar . o :.
En coordenadas cilíndricas, el módulo cuadrado de la velocidad viene dado por,
·
2
=
«
:
2
+ :
2
«
.
2
+
«
.
2
que, al usar (5.84),
·
2
= :
2
«
.
2
+
«
:
2
1 + cot
2
c

y como 1 + cot
2
c = csc
2
c,
·
2
=
«
:
2
csc
2
c + :
2
«
.
2
(5.85)
Por otro lado, la energía potencial (si se elige l = 0 en . = 0), viene dada por,
l = :o. = :o: cot c (5.86)
entonces el Lagrangiano se puede escribir como,
1 = 1 ÷l =
1
2
:

«
:
2
csc
2
c + :
2
«
.
2

÷:o: cot c (5.87)
resultando que,
·1
·.
= 0,
·1
·
«
.
= ::
2
«
.,
d
dt

·1
·
«
.

=
d
dt

::
2
«
.

·1
·:
= ::
«
.
2
÷:o cot c,
·1
·
«
:
= :
«
: csc
2
c,
d
dt

·1
·
«
:

= :
««
: csc
2
c
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.20), se obtiene,
01
0

,
= ::
2
«
. = constante.
««
: ÷:
«
.
2
Sen
2
c + o Sen cCos c = 0

(5.88)
donde la primera ecuación expresa la conservación del momento angular en torno
al eje . y la segunda es la ecuación de movimiento para la coordenada :.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.7
El punto de soporte para un péndulo simple de longitud / y masa
pendular : se mueve sobre un anillo (de masa despreciable) de radio c con veloci-
dad angular constante .. (a) Obtener la expresión en coordenadas Cartesianas de la
velocidad y la aceleración para la masa : y (b) usando las ecuaciones de Lagrange,
obtener también la aceleración angular para o. Ver ﬁgura 5.7.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 173
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
Figura (5.7): Un péndulo simple de longitud / y masa pendular : cuyo punto de soporte mueve sobre
un anillo con velocidad angular constante (Ejemplo 5.7).
Solución: Se posicionará el origen del sistema de coordenadas en el centro del
anillo rotante.
(a) La posición de : en coordenadas Cartesianas viene dada por,
r = c Cos (.t) + / Sen o (5.89)
n = c Sen (.t) ÷/ Cos o (5.90)
por lo tanto las velocidades son,
«
r = ÷c. Sen (.t) + /
«
o Cos o
«
n = c. Cos (.t) + /
«
o Sen o

(5.91)
y las aceleraciones,
««
r = ÷c.
2
Cos (.t) + /

««
o Cos o ÷
«
o
2
Sen o

««
n = ÷c.
2
Sen (.t) + /

««
o Sen o +
«
o
2
Cos o

(5.92)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 174
5.3. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA IMPLÍCITA)
(b) Es claro que la única coordenada generalizada es o. Las energías cinética y
potencial vendrán dadas por,
1 =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2

l = :on
donde l = 0 en n = 0. Entonces el Lagrangiano se puede escribir como,
1 = 1 ÷l =
:
2
¸
c
2
.
2
+ /
2
«
o
2
+ 2/
«
oc. Sen (o ÷.t)

÷:o [c Sen (.t) ÷/ Cos o] (5.93)
de aquí que,
·1
·o
= :/
«
oc. Cos (o ÷.t) ÷:o/ Sen o
d
dt

·1
·
«
o

= :/
2
««
o + :/c.

«
o ÷.

Cos (o ÷.t)
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.20), se obtiene,
««
o =
.
2
c
/
Cos (o ÷.t) ÷
o
/
Sen o (5.94)
Nótese que este resultado se reduce a la bien conocida ecuación de movimiento
del péndulo simple cuando . = 0, es decir, cuando el anillo no rota.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.8
Encuentre la frecuencia, para pequeñas oscilaciones, de un péndu-
lo simple colocado dentro de un vagón que se mueve con una aceleración constante
c en la dirección +r, usando las ecuaciones de Lagrange.
Solución: Un diagrama de la situación descrita es mostrado en la ﬁgura 5.8a, para
un péndulo de longitud /, masa :y ángulo de desplazamiento o. Se muestra un sistema
de coordenadas ﬁjo con r = 0 y
«
r = ·
c
en t = 0. La posición y la velocidad de : vienen
dadas por,
r = ·
c
t +
1
2
ct
2
+ / Sen o
n = ÷/ Cos o
«
r = ·
c
+ ct + /
«
o Cos o
«
n = /
«
o Sen o
Las energías cinética y potencial son,
1 =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2

l = ÷:o/ Cos o
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 175
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
Figura (5.8): Péndulo simple colocado dentro de un vagón que se mueve con una aceleración cons-
tante a en la dirección +r (Ejemplo 5.8).
y el Lagrangiano es,
1 = 1 ÷l =
1
2
:

·
c
+ ct + /
«
o Cos o

2
+
1
2
:

/
«
o Sen o

2
+ :o/ Cos o
de aquí que,
·1
·o
= ÷:/
«
o

·
c
+ ct + /
«
o Cos o

Sen o + :/
2
«
o
2
Sen o Cos o
÷:o/ Sen o
·1
·
«
o
= :/

·
c
+ ct + /
«
o Cos o

Cos o + :/
2
«
o Sen
2
o
d
dt

·1
·
«
o

= ÷:/
«
o

·
c
+ ct + /
«
o Cos o

Sen o
+:/ Cos o

c + /
««
o Cos o ÷/
«
o
2
Sen o

+ 2:/
2
«
o
2
Sen o Cos o
+:/
2
««
o Sen
2
o
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.20), se obtiene,
««
o = ÷
1
/
(o Sen o + c Cos o) (5.95)
Se puede determinar el ángulo de equilibrio o
c
(mostrado en la ﬁgura 5.8b) al hacer
««
o = 0 en (5.95),
0 = o Sen o
c
+ c Cos o
c
(5.96)
tan o
c
= ÷
c
o
(5.97)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 176
5.3. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA IMPLÍCITA)
Por otro lado, debido a que las oscilaciones son pequeñas y se dan en torno al
ángulo de equilibrio, hágase,
o = o
c
+ : (5.98)
donde : es un ángulo pequeño. Entonces, al sustituir (5.98) en (5.95) resulta,
««
: = ÷
o
/
Sen (o
c
+ :) ÷
c
/
Cos (o
c
+ :) (5.99)
Ahora, al usar las identidades para el seno y coseno de la suma de dos ángulos y
usar la aproximación para ángulo pequeño en Sen : y Cos : (tomando sólo el primer
término de los desarrollos en series de Taylor para ambos), resulta,
««
: = ÷
1
/
[(o Sen o
c
+ c Cos o
c
) + : (o Cos o
c
÷c Sen o
c
)] (5.100)
pero el primer término entre paréntesis es nulo debido a (5.96), quedando,
««
: = ÷
:
/
(o Cos o
c
÷c Sen o
c
) (5.101)
y usando (5.97),
««
: +

c
2
+ o
2
/
: = 0 (5.102)
que es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico sinple con,
.
2
=

c
2
+ o
2
/
(5.103)
Este resultado se ve plausible, ya que para c = 0 ÷÷. =

o/ que es la frecuencia
angular del péndulo simple cuando el vagón está en reposo o en movimiento rectilí-
neo uniforme.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.9
Una cuenta de masa : se desplaza a lo largo de un alambre liso
(de masa despreciable) que tiene la forma de la parábola . = c:
2
(ver ﬁgura 3.79).
La cuenta rota en un círculo de radio 1 cuando cuando el alambre está rotando en
torno a su eje vertical de simetría con velocidad angular .. Encuentre el valor de c
usando las ecuaciones de Lagrange.
Solución: Debido a que el problema tiene simetría cilíndrica, se escogen :, . y . co-
mo coordenadas generalizadas. Por lo tanto, la energía cinética de la cuenta vendrá
dada por,
1 =
1
2
:

«
:
2
+ :
2
«
.
2
+
«
.
2

(5.104)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 177
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
Figura (5.9): Cuenta de masa : se desplaza a lo largo de un alambre liso, de masa despreciable, que
tiene la forma de la parábola . = cr
2
(Ejemplo 5.9).
y si se elige l = 0 en . = 0, la energía potencial vendrá dada por,
l = :o. (5.105)
Pero :, . y . no son independientes. La ecuación de ligadura es la ecuación de la
parábola,
. = c:
2
(5.106)
«
. = 2c:
«
: (5.107)
y además, se tiene también una dependencia explícita del tiempo dada por,
. = .t (5.108)
«
. = . (5.109)
por lo tanto, el Lagrangiano se puede escribir como,
1 = 1 ÷l =
:
2

«
:
2
+ 4c
2
:
2
«
:
2
+ :
2
.
2

÷:oc:
2
(5.110)
de aquí que,
·1
·:
= :

4c
2
:
«
:
2
+ :.
2
÷2oc:

·1
·
«
:
=
:
2

2
«
: + 8c
2
:
2
«
:

d
dt

·1
·
«
:

=
:
2

2
««
: + 16c
2
:
«
:
2
+ 8c
2
:
2
««
:

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 178
5.3. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA IMPLÍCITA)
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.20), se obtiene,
««
:

1 + 4c
2
:
2

+
«
:
2
4c
2
: + :

2oc ÷.
2

= 0 (5.111)
que es un resultado complicado. Si, sin embargo, la cuenta rota con : = 1 = constan-
te, entonces
«
: =
««
: = 0, la ecuación (5.111) se convierte en,
1

2oc ÷.
2

= 0 (5.112)
y de aquí,
c =
.
2
2o
(5.113)
que es el resultado pedido.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.10
Considérese el sistema de doble polea (de masa despreciable)
mostrado en la ﬁgura 5.10. Usar las coordenadas indicadas y determinar las ecua-
ciones de movimiento usando las ecuaciones de Lagrange.
Solución: Aquí /
1
es la logitud de la cuerda que pasa por la polea 1 y /
2
es la logitud
de la cuerda que pasa por la polea 2. Las distancias n
1
y n
2
son medidas con respecto
al centro de las dos poleas.
Para :
1
:
·
1
=
«
n
1
(5.114)
Para :
2
:
·
2
=
d
dt
(/
1
÷n
1
+ n
2
) = ÷
«
n
1
+
«
n
2
(5.115)
Para :
3
:
·
3
=
d
dt
(/
1
÷n
1
+ /
2
÷n
2
) = ÷
«
n
1
÷
«
n
2
(5.116)
por lo tanto,
1 =
1
2
:
1
·
2
1
+
1
2
:
2
·
2
2
+
1
2
:
3
·
2
3
=
1
2
:
1
«
n
2
1
+
1
2
:
2

÷
«
n
1
+
«
n
2

2
+
1
2
:
3

÷
«
n
1
÷
«
n
2

2
(5.117)
y si l = 0 en n
1
= 0,
l = l
1
+ l
2
+ l
3
= ÷:
1
on
1
÷:
2
o (/
1
÷n
1
+ n
2
) ÷:
3
o (/
1
÷n
1
+ /
2
÷n
2
) (5.118)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 179
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
Figura (5.10): Sistema de doble polea (Ejemplo 5.10).
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.20), se obtiene,
:
1
««
n
1
+ :
2

««
n
1
÷
««
n
2

+ :
3

««
n
1
+
««
n
2

= (:
1
÷:
2
÷:
3
) o
÷:
2

««
n
1
÷
««
n
2

+ :
3

««
n
1
+
««
n
2

= (:
2
÷:
3
) o

(5.119)
ecuaciones que pueden ser resueltas para
««
n
1
y
««
n
2
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.11
Considérese un cilindro sólido de centro (
t
y radio 1
1
que rueda sin
deslizar dentro de la superﬁcie semicilíndrica ﬁja con centro ( y radio 1
2
1
1
(ver ﬁgura
5.11). Encuentre la ecuación de movimiento y el período para pequeñas oscilaciones
(o pequeño) en torno a la posición de equilibrio, usando las ecuaciones de Lagrange.
Solución: La velocidad del centro de masa del cilindro debe ser igual a la velocidad
con la cual gira, por lo tanto,
(1
2
÷1
1
)
«
o = 1
1
«
c =(1
2
÷1
1
)
«
o ÷1
1
«
c = 0 (5.120)
representando una ligadura cinemática que, afortunadamente, es integrable. Si se
toma c = 0 cuando o = 0, al integrar (5.120) resulta,
(1
2
÷1
1
) o ÷1
1
c = 0 (5.121)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 180
5.3. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA IMPLÍCITA)
Figura (5.11): Cilindro sólido de centro O
0
y radio 1
1
que rueda sin deslizar dentro de la superﬁcie semi-
cilíndrica ﬁja con centro O y radio 1
2
1
1
(Ejemplo 5.11).
por lo tanto el sistema sólo tiene un grado de libertad. La energía cinética viene dada
por,
1 =
1
2
:·
2
cn
+
1
2
1
«
c
2
(5.122)
donde ·
cn
es la velocidad del centro de masa del cilindro e 1 su momento de inercia
dados por,
·
cn
= (1
2
÷1
1
)
«
o (5.123)
1 =
1
2
:1
2
1
(5.124)
por lo tanto, al sustituir (5.123) y (5.124) en (5.122) resulta,
1 =
1
2
:
¸
(1
2
÷1
1
)
«
o

2
+
1
2

1
2
:1
2
1

«
c
2
=
1
2
:(1
2
÷1
1
)
2
«
o
2
+
1
4
:1
2
1
«
c
2
(5.125)
y si ahora se escoge o como coordenada entonces, teniendo presente la ligadura
(5.120), (5.125) se puede escribir como,
1 =
1
2
:(1
2
÷1
1
)
2
«
o
2
+
1
4
:1
2
1
2

(1
2
÷1
1
)
«
o
1
1
¸
¸
. .. .
por (5.120)
=
3
4
:(1
2
÷1
1
)
2
«
o
2
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 181
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
Por otro lado, la energía pontencial l vendrá dada por,
l = ÷:on = ÷:o(1
2
÷1
1
) Cos o
. .. .
del QOO
0
, ﬁg. 5.11
(5.126)
entonces, a partir de (5.125) y (5.126), el Lagrangiano se puede escribir como,
1 = 1 ÷l =
3
4
:(1
2
÷1
1
)
2
«
o
2
+ :o (1
2
÷1
1
) Cos o (5.127)
Ahora, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.20) (en este caso hay sólo una,
para o), se obtiene,
««
o +
2o
3 (1
2
÷1
1
)
Sen o = 0 (5.128)
que es la misma ecuación que para un péndulo simple de longitud
3
2
(1
2
÷1
1
). Ahora
bien, para o pequeño se tiene que,
««
o +
2o
3 (1
2
÷1
1
)
o = 0 (5.129)
ya que Sen o - o, de aquí que el período de oscilación t del cilindro venga dado por,
t = 2:

3
2o
(1
2
÷1
1
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Ejemplos con ligaduras holónomas (forma explícita)
Los ejemplos siguientes representan sistemas holónomos en los que las ecua-
ciones de ligadura serán usadas para ser incluidas, en forma explícita, en las ecua-
ciones de Lagrange mediante el uso del método de los multiplicadores de Lagrange.
En ciertos casos puede ser deseable conocer las fuerzas de ligadura. Por ejemplo,
desde el punto de vista de un ingeniero, podría ser útil conocer las fuerzas de ligadura
para propósitos de diseño. Estas fuerzas las proporcionan las fuerzas generalizadas de
ligadura (5.28).
La utilidad del método de los multiplicadores de Lagrange, es doble:
1. Los multiplicadores de Lagrange están relacionados con las fuerzas de liga-
dura, a través de (5.28), que son requeridas frecuentemente.
2. Cuando, para un sistema dado, no se desea un cojunto de coordenadas
generalizadas propias o es muy difícil obtenerlas, el método puede ser usa-
do para incrementar el número de coordenadas generalizadas mediante
la inclusión explícita de las relaciones de ligadura entre las coordenadas.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 182
5.4. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA EXPLÍCITA)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.12
Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.1.
Solución: Aquí, a partir de (5.49), la ecuación para la ligadura se puede escribir
como,
1 (r. n) = n + r tan o ÷/ = 0 (5.130)
por lo tanto el sistema tiene sólo un grado de libertad, pudiéndose entonces elegir r o
n como coordenada generalizada como se hizo en el ejemplo 5.1. Alternativamente,
se puede continuar considerando ambas r y n como coordenadas generalizadas y
usar el método de los multiplicadores de Lagrange. Aquí se seguirá lo último.
Teniendo presente que la ligadura (5.130) es holónoma, se pueden obtener las
ecuaciones de movimiento a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.29). Para este
caso (con 1 = 1 por sólo haber una ligadura),
d
dt

·1
·
«
r

÷
·1
·r
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·r
= \
1
·1
1
·r
(5.131)
d
dt

·1
·
«
n

÷
·1
·n
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·n
= \
1
·1
1
·n
(5.132)
A partir de (5.48) el Lagrangiano, sin incluir la ligadura, viene dado por,
1 = 1 ÷l =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2

÷:on
por lo tanto, de aquí y de (5.130) se halla que,
01
0a
= 0
01
0

a
= :
«
r
o
ot

01
0

= :
««
r
0;
1
0a
= tan o (5.133)
01
0&
= ÷:o
01
0

&
= :
«
n
o
ot

01
0

= :
««
n
0;
1
0&
= 1 (5.134)
Ahora, al sustituir los resultados (5.133) y (5.134) en (5.131) y (5.132) respectivamente,
se obtiene,
:
««
r = \
1
tan o (5.135)
:
««
n + :o = \
1
(5.136)
y del sistema formado por (5.130), (5.135) y (5.136) es fácil encontrar que,
\
1
= :o Cos
2
o
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 183
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
por lo tanto, a partir de (5.28), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas
por,
(
|jj
a
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·r
= \
1
·1
1
·r
= :o Cos
2
o tan o = :o Cos o Sen o (5.137)
(
|jj
&
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·n
= \
1
·1
1
·n
= :o Cos
2
o (5.138)
que representan las componentes de la fuerza de ligadura en el referencial escogido.
Entonces, la magnitud de la resultante de las fuerzas de ligadura vendrá dada por,
(
|jj
=

(
|jj
a

2
+

(
|jj
&

2
= :o Cos o
que no es más que la fuerza normal ya calculada en cursos de Física elemental.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.13
Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.3.
Solución: Aquí, a partir de (5.66), la ecuación para la ligadura se puede escribir
como,
1 (n
1
. n
2
) = n
1
+ n
2
÷/ = 0 (5.139)
Teniendo presente que la ligadura (5.139) es holónoma, se pueden obtener las
ecuaciones de movimiento a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.29). Para este
caso (con 1 = 1 por sólo haber una ligadura),
d
dt

·1
·
«
n
1

÷
·1
·n
1
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·n
1
= \
1
·1
1
·n
1
(5.140)
d
dt

·1
·
«
n
2

÷
·1
·n
2
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·n
2
= \
1
·1
1
·n
2
(5.141)
A partir de (5.67) y (5.68) el Lagrangiano, sin incluir la ligadura, viene dado por,
1 = 1 ÷l =
1
2
`
1
«
n
2
1
+
1
2
`
2
«
n
2
2
+ `
1
on
1
+ `
2
on
2
por lo tanto, de aquí y de (5.139) se halla que,
01
0&
1
= `
1
o
01
0

&
1
= `
1
«
n
1
o
ot

01
0

&
1

= `
1
««
n
1
0;
1
0&
1
= 1 (5.142)
01
0&
2
= `
2
o
01
0

&
2
= `
2
«
n
2
o
ot

01
0

&
2

= `
2
««
n
2
0;
1
0&
2
= 1 (5.143)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 184
5.4. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA EXPLÍCITA)
Ahora, al sustituir los resultados (5.142) y (5.143) en (5.140) y (5.141) respectivamente,
se obtiene,
`
1
««
n
1
÷`
1
o = \
1
(5.144)
`
2
««
n
2
÷`
2
o = \
1
(5.145)
Por último, del sistema formado por (5.139), (5.144) y (5.145) es fácil encontrar que,
\
1
= ÷
2`
1
`
2
`
1
+ `
2
o
por lo tanto, a partir de (5.28), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas
por,
(
|jj
&
1
= (
|jj
&
2
=
2`
1
`
2
`
1
+ `
2
o (5.146)
Este resultado coincide con la tensión de la cuerda que se calcula en cursos de Física
elemental.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.14
Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.9.
Solución: Aquí, a partir de (5.106), la ecuación para la ligadura se puede escribir
como,
1 (.. :) = . ÷c:
2
= 0 (5.147)
Teniendo presente que la ligadura (5.147) es holónoma, se pueden obtener las
ecuaciones de movimiento a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.29). Para este
caso (con 1 = 1 por sólo haber una ligadura),
d
dt

·1
·
«
:

÷
·1
·:
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·:
= \
1
·1
1
·:
(5.148)
d
dt

·1
·
«
.

÷
·1
·.
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·.
= \
1
·1
1
·.
(5.149)
d
dt

·1
·
«
.

÷
·1
·.
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·.
= \
1
·1
1
·.
(5.150)
A partir de (5.104) y (5.105) el Lagrangiano, sin incluir la ligadura, viene dado por,
1 = 1 ÷l =
1
2
:

«
:
2
+ :
2
«
.
2
+
«
.
2

÷:o.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 185
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
por lo tanto, de aquí y de (5.147) se halla que,
01
0v
= ::
«
.
2
01
0

v
= :
«
:
o
ot

01
0

= :
««
:
0;
1
0v
= ÷2c: (5.151)
01
0,
= 0
01
0

,
= ::
2
«
.
o
ot

01
0

= 2::
«
:
«
. + ::
2
««
.
0;
1
0,
= 0 (5.152)
01
0:
= ÷:o
01
0

:
= :
«
.
o
ot

01
0

= :
««
.
0;
1
0:
= 1 (5.153)
Ahora, al sustituir los resultados (5.151), (5.152) y (5.153) en (5.148), (5.149) y (5.150)
respectivamente, se obtiene,
:
««
: ÷::
«
.
2
= ÷2c:\
1
(5.154)
2
«
:
«
. + :
««
. = 0 (5.155)
:
««
. + :o = \
1
(5.156)
pero como : = 1 y
«
. = ., este sistema de ecuaciones se reduce a,
:.
2
= 2c\
1
(5.157)
:
««
. + :o = \
1
(5.158)
a partir de las cuales, junto con (5.147), se encuentra que,
\
1
= :o (5.159)
c =
.
2
2o
(5.160)
por lo tanto, a partir de (5.28), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas
por,
(
|jj
v
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·:
= \
1
·1
1
·:
= ÷:.
2
1 (5.161)
(
|jj
,
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·.
= \
1
·1
1
·.
= 0 (5.162)
(
|jj
:
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·.
= \
1
·1
1
·.
= :o (5.163)
donde (5.161) y (5.163) representan, respectivamente, la fuerza centrípeta y el peso.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.15
Un disco de masa ` y radio 1 rueda, sin deslizar, hacia abajo en un
plano inclinado (ver ﬁgura 5.12). (a) Encontrar las ecuaciones de movimiento, (b) las
fuerzas generalizadas de ligadura y (c) la aceleración angular.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 186
5.4. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA EXPLÍCITA)
Figura (5.12): Disco de masa ' y radio 1 rueda, sin deslizar, hacia abajo en un plano inclinado (Ejemplo
5.15).
Solución:
(a) La energía cinética de desdobla en la energía cinética del centro de masa y la
energía cinética del movimiento alrededor de éste,
1 =
1
2
`
«
r
2
+
1
2
1
«
o
2
=
1
2
`
«
r
2
+
1
4
`1
2
«
o
2
(5.164)
donde
1
2
1
«
o
2
es la energía rotacional e 1 =
1
2
`1
2
es el momento de inercia del disco. La
energía potencial es,
l = `o(| ÷r) Sen c (5.165)
donde | es la longitud de la superﬁcie inclinada y l = 0 para r = | (ﬁnal del plano).
El Lagrangiano es por lo tanto,
1 =
1
2
`
«
r
2
+
1
4
`1
2
«
o
2
÷`o(| ÷r) Sen c (5.166)
Además, la ecuación de ligadura es,
1 (r. o) = r ÷1o (5.167)
por lo tanto el sistema tiene sólo un grado de libertad, pudiéndose entonces elegir n o o
como coordenada generalizada y usar (5.167) para eliminar la otra. Alternativamente,
se puede continuar considerando ambas n y o como coordenadas generalizadas y
usar el método de los multiplicadores de Lagrange. Aquí se seguirá lo último.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 187
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
Teniendo presente que la ligadura (5.167) es holónoma, se pueden obtener las
ecuaciones de movimiento a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.29). Para este
caso (con 1 = 1 por sólo haber una ligadura),
d
dt

·1
·
«
r

÷
·1
·r
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·r
= \
1
·1
1
·r
(5.168)
d
dt

·1
·
«
o

÷
·1
·o
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·o
= \
1
·1
1
·o
(5.169)
De (5.166) y (5.167) se halla que,
01
0a
= `or Sen c
01
0

a
= `
«
r
o
ot

01
0

= `
««
r
0;
1
0a
= 1 (5.170)
01
00
= 0
01
0

0
=
1
2
`1
2
«
o
o
ot

01
0

=
1
2
`1
2
««
o
0;
1
00
= ÷1 (5.171)
y al sustituir estos resultados en (5.170) y (5.171), resulta,
`
««
r ÷`o Sen c ÷\
1
= 0
1
2
`1
««
o + \
1
= 0
¸
(5.172)
que son las ecuaciones de movimiento pedidas y que, junto con la ecuación de liga-
dura (5.167),
r = 1o (5.173)
constituyen un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas o, r, \
1
.
(b) Derivando con respecto al tiempo la ecuación de ligadura (5.173) dos veces,
««
o =
««
r
1
(5.174)
y al combinar este resultado con la segunda de las (5.172) resulta,
\
1
= ÷
1
2
`
««
r (5.175)
que al combinarla con la primera de las (5.172) resulta,
««
r =
2
3
o Sen c (5.176)
Por último, de (5.175) y (5.176), resulta,
\
1
= ÷
1
3
`o Sen c (5.177)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 188
5.4. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA EXPLÍCITA)
entonces las fuerzas generalizadas de ligadura (5.28) en este caso son,
(
|jj
a
=
1
¸
|=1
\
|
0;
I
0a
= \
1
0;
1
0a
= ÷
1
3
`o Sen c
(
|jj
0
=
1
¸
|=1
\
|
0;
I
00
= \
1
0;
1
00
=
1
3
`o1Sen c

(5.178)
donde (
|jj
a
y (
|jj
0
son la fuerza de fricción y un torque, respectivamente, y son las fuerzas
generalizadas de ligadura requeridas para mantener el disco rodando sobre el plano
sin resbalar.
(c) De (5.174) y (5.176), resulta,
««
o =
2
31
o Sen c (5.179)
que es la aceleración angular pedida.
Nótese que si el disco se hubiese deslizado sin fricción, se tendría
««
r = o Sen c. Por lo
tanto la ligadura reduce la aceleración en 23 del valor sin fricción.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.16
Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo
5.11.
Solución: Aquí, a partir de (5.121), la ecuación para la ligadura se puede escribir
como,
1 (o. c) = (1
2
÷1
1
) o ÷1
1
c = 0 (5.180)
Teniendo presente que la ligadura (5.180) es holónoma, se pueden obtener las
ecuaciones de movimiento a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.29). Para este
caso (con 1 = 1 por sólo haber una ligadura),
d
dt

·1
·
«
o

÷
·1
·o
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·o
= \
1
·1
1
·o
(5.181)
d
dt

·1
·
«
c

÷
·1
·c
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·c
= \
1
·1
1
·c
(5.182)
A partir de (5.125) y (5.126) el Lagrangiano, sin incluir la ligadura, viene dado por,
1 = 1 ÷l =
1
2
:(1
2
÷1
1
)
2
«
o
2
+
1
4
:1
2
1
«
c
2
+ :o (1
2
÷1
1
) Cos o
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 189
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
por lo tanto, de aquí y de (5.180) se halla que,

01
00
= ÷:o (1
2
÷1
1
) Sen o
01
0

0
= :(1
2
÷1
1
)
2
«
o
o
ot

01
0

= :(1
2
÷1
1
)
2
««
o
0;
1
00
= 1
2
÷1
1
(5.183)
01
0c
= 0
01
0

c
=
1
2
:1
2
1
«
c
o
ot

01
0

=
1
2
:1
2
1
««
c
0;
1
0c
= ÷1
1
(5.184)
Ahora, al sustituir los resultados (5.183) y (5.184) en (5.181) y (5.182) respectivamente,
se obtiene,
:(1
2
÷1
1
)
««
o + :o Sen o = \
1
(5.185)
1
2
:1
1
««
c = ÷\
1
(5.186)
a partir de las cuales, junto con (5.180), se encuentra que,
\
1
=
1
3
:o Sen o (5.187)
por lo tanto, a partir de (5.28), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas
por,
(
|jj
0
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·o
= \
1
·1
1
·o
=
1
3
:o (1
2
÷1
1
) Sen o (5.188)
(
|jj
c
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·c
= \
1
·1
1
·c
= ÷
1
3
:o1
1
Sen o (5.189)
Aquí (
|jj
0
y (
|jj
c
son dos torques, y son las fuerzas generalizadas de ligadura requeri-
das para mantener el cilindro sólido de radio 1
1
rodando sobre la superﬁcie interior del
cilindro de radio 1
2
sin resbalar.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.17
Una partícula de masa : comienza a moverse desde el reposo,
partiendo de la parte más alta de un hemisferio ﬁjo y liso de radio c. Encuentre las
fuerzas generalizadas de ligadura y el ángulo en el cual la partícula abandona la
superﬁcie del hemisferio.
Solución: Ver ﬁgura 5.13. Debido a que se está considerando la posibilidad de que
la partícula abandone la superﬁcie del hemisferio, se eligen como coordenadas ge-
neralizadas : y o. La ecuación de ligadura es,
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 190
5.4. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA EXPLÍCITA)
Figura (5.13): Partícula de masa : que comienza a moverse desde el reposo, partiendo de la parte más
alta de un hemisferio ﬁjo y liso (Ejemplo 5.17).
1 (:) = : ÷c = 0 (5.190)
Además,
1 =
:
2

«
:
2
+ :
2
«
o
2

l = :o: Cos o
1 = 1 ÷l =
:
2

«
:
2
+ :
2
«
o
2

÷:o: Cos o (5.191)
donde la energía potencial es cero en la parte más baja del hemisferio. Las ecua-
ciones de Lagrange (5.29) son para este caso (con 1 = 1 por sólo haber una ligadura),
d
dt

·1
·
«
:

÷
·1
·:
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·:
= \
1
·1
1
·:
(5.192)
d
dt

·1
·
«
o

÷
·1
·o
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·o
= \
1
·1
1
·o
(5.193)
y de aquí, en virtud de (5.191), resulta,
:
««
: ÷::
«
o
2
+ :o Cos o ÷\
1
= 0
:
««
o + 2
«
:
«
o ÷o Sen o = 0

(5.194)
y al aplicar la ligadura : = c a las anteriores ecuaciones,
÷:c
«
o
2
+ :o Cos o ÷\
1
= 0 (5.195)
c
««
o ÷o Sen o = 0 (5.196)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 191
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
A partir de (5.196) se tiene que,
««
o =
o
c
Sen o (5.197)
que se puede integrar para determinar
«
o
2
. Nótese primero que,
««
o =
d
dt

do
dt

=
d
«
o
dt
=
d
«
o
do
do
dt
=
«
o
d
«
o
do
(5.198)
entonces de (5.197),

0
0
«
~
od
«
~
o =
o
c

0
0
Sen
~
od
~
o (5.199)
ya que
«
o = 0 en t = 0 cuando o = 0 y la tilde se usó para hacer diferencia entre las
variables de integración y los límites. De aquí resulta,
1
2
«
o
2
= ÷
o
c
Cos o +
o
c
(5.200)
Sustituyendo
«
o
2
de (5.200) en (5.195) resulta,
\
1
= :o (3 Cos o ÷2) (5.201)
por lo tanto, a partir de (5.28), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas
por,
(
|jj
v
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·:
= \
1
·1
1
·:
= \
1
= :o (3 Cos o ÷2) (5.202)
(
|jj
0
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·o
= \
1
·1
1
·o
= 0 (5.203)
La partícula se desprende de la superﬁcie del hemisferio en el ángulo o
o
( el sub-
índice d signiﬁca desprendimiento) cuando (
|jj
v
= 0,
(
|jj
v
= 0 = :o (3 Cos o
o
÷2) (5.204)
de manera que,
o
o
= Cos
÷1

2
3

= 48. 2
c
(5.205)
Nótese que la fuerza generalizada de ligadura es (
|jj
v
= :o en o = 0, es decir,
cuando la partícula se encuentra en la parte más alta del hemisferio
6
.
6
Comparar el resultado aquí obtenido con el problema 8.39, página 236, de la referencia [1].
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 192
5.4. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA EXPLÍCITA)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.18
La ﬁgura 5.14 muestra una partícula de masa : sobre un plano
inclinado que se mueve con o constante. Encuéntrese la aceleración de : a lo largo
del plano inclinado y las fuerzas generalizadas de ligadura .
Figura (5.14): Partícula de masa : que se mueve sobre un plano inclinado móvil (Ejemplo 5.18).
Solución: La ecuación de la recta que deﬁne el plano inclinado viene dada por,
n = r tan o + /(t) (5.206)
de aquí que la ligadura sea,
1 (r. n. t) = n ÷r tan o ÷/(t) = 0 (5.207)
Teniendo presente que la ligadura (5.207) es holónoma (reónoma), se pueden obten-
er las ecuaciones de movimiento a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.29). Para
este caso (con 1 = 1 por sólo haber una ligadura),
d
dt

·1
·
«
r

÷
·1
·r
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·r
= \
1
·1
1
·r
(5.208)
d
dt

·1
·
«
n

÷
·1
·n
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·n
= \
1
·1
1
·n
(5.209)
El Lagrangiano viene dado por,
1 = 1 ÷l =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2

÷:on (5.210)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 193
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
por lo tanto, de aquí y de (5.207) se halla que,
01
0a
= 0
01
0

a
= :
«
r
o
ot

01
0

= :
««
r
0;
1
0a
= ÷tan o (5.211)
01
0&
= ÷:o
01
0

&
= :
«
n
o
ot

01
0

= :
««
n
0;
1
0&
= 1 (5.212)
Ahora, al sustituir los resultados (5.211) y (5.212) en (5.208) y (5.209) respectivamente,
se obtiene,
:
««
r = ÷\
1
tan o (5.213)
:
««
n + :o = \
1
(5.214)
a partir de las cuales, junto con (5.207), se encuentra que,
««
r = ÷

o +
««
/

Cos o Sen o (5.215)
««
n = ÷o Sen
2
o +
««
/ Cos
2
o (5.216)
\
1
= :

o +
««
/

Cos
2
o (5.217)
De (5.215) y (5.216) la aceleración c a lo largo del plano inclinado viene dada por,
c =

««
r
2
+
««
n
2
=

o
2
Sen
2
o +
««
/
2
Cos
2
o (5.218)
por lo tanto, a partir de (5.28), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas
por,
(
|jj
a
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·r
= \
1
·1
1
·r
= ÷:

o +
««
/

Cos o Sen o (5.219)
(
|jj
&
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·n
= \
1
·1
1
·n
= :

o +
««
/

Cos
2
o (5.220)
Aquí (
|jj
a
y (
|jj
&
son dos fuerzas, y son las fuerzas generalizadas de ligadura requeridas
para mantener a : sobre la superﬁcie del plano inclinado. El módulo de la resultante
de las fuerzas (5.219) y (5.220) viene dada por,
(
|jj
=

(
|jj
a

2
+

(
|jj
&

2
= :

o +
««
/

Cos o (5.221)
que es la fuerza de reacción normal al plano inclinado. Nótese que si
««
/ = 0, todo lo
anterior se reduce a los resultados de los ejemplos 5.1 y 5.12.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 194
5.5. EJEMPLOS CON LIGADURAS SEMI-HOLÓNOMAS
5.5. Ejemplos con ligaduras semi-holónomas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.19
Resolver la parte (b) del ejemplo 5.15 pero expresando la ligadura
en forma diferencial.
Solución: La ecuación de ligadura, en forma diferencial, viene dada por,
1 (r. o) = dr ÷1do =
«
r ÷1
«
o = 0 (5.222)
que es, en realidad, una ligadura holónoma pues es posible integrarla. En este caso se
desea dejarla en esta forma. Aquí se tiene una ligadura y dos coordenadas generali-
zadas. A partir de (5.34) para 1 = 1 y , = 1. 2 resulta,
¹
11
«
¡
1
+ ¹
12
«
¡
2
+ 1
1
(¡
1
. ¡
2
. t) = 0
y si ¡
1
= r y ¡
2
= o entonces la anterior ecuación se puede escribir como,
¹
1a
«
r + ¹
10
«
o + 1
1
(r. o. t) = 0 (5.223)
Al comparar (5.222) con (5.223) es fácil encontrar que,
¹
1a
= 1 y ¹
10
= ÷1 (5.224)
Ahora al usar las ecuaciones de Lagrange (5.39) resulta,
d
dt

·1
·
«
r

÷
·1
·r
=
1
¸
|=1
\
|
¹
|a
=`
««
r ÷`orSen c = \
1
(5.225)
d
dt

·1
·
«
o

÷
·1
·o
=
1
¸
|=1
\
|
¹
|0
=
1
2
`1
2
««
o = ÷1\
1
(5.226)
donde se ha usado el Lagrangiano (5.166). Obsérvese que son idénticas a las encon-
tradas en el ejemplo 5.15, por lo tanto,
\
1
= ÷
1
3
`o Sen c (5.227)
y las fuerzas generalizadas de ligadura, al usar (5.38), vendrán dadas por,
(
|jj
a
=
1
¸
|=1
\
|
¹
|a
= \
1
¹
1a
= ÷
1
3
`o Sen c
(
|jj
0
=
1
¸
|=1
\
|
¹
|0
= \
1
¹
10
=
1
3
`o1Sen c

(5.228)
resultados idénticos a los obtenidos en el ejemplo 5.15.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 195
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.20
Un disco rueda (sin deslizar) sobre el plano horizontal A) (ver ﬁgura
5.31), obligado a moverse de modo que su plano permanezca siempre vertical (el
disco puede ser una de las dos ruedas de un eje). Encontrar las fuerzas generalizadas
de ligadura.
Figura (5.15): Un disco que rueda (sin deslizar) sobre el plano horizontal rn (Ejemplo 5.20).
Solución: Si se eligen como coordenadas para describir el movimiento las (r. n) del
centro del disco, un ángulo de giro c alrededor de su eje, y el ángulo o formado por di-
cho eje y el eje A (ver ﬁgura 2.9) entonces, como resultado de la ligadura, la magnitud
de la velocidad del centro del disco es proporcional a
«
c. Por lo tanto, las ecuaciones
de ligadura vienen dadas por (ver ejemplo 2.7),
«
r ÷1Sen o
«
c = 0 (5.229)
«
n + 1Cos o
«
c = 0 (5.230)
que no son integrables, es decir, son no-holónomas. Aquí se tienen dos ligaduras y
cuatro coordenadas generalizadas. A partir de (5.34) para | = 1. 2 y , = 1. 2. 3. 4 resulta,
¹
11
«
¡
1
+ ¹
12
«
¡
2
+ ¹
13
«
¡
3
+ ¹
14
«
¡
4
+ 1
1
(¡
1
. ¡
2
. ¡
3
. ¡
4
. t) = 0
¹
21
«
¡
1
+ ¹
22
«
¡
2
+ ¹
23
«
¡
3
+ ¹
24
«
¡
4
+ 1
2
(¡
1
. ¡
2
. ¡
3
. ¡
4
. t) = 0
y si ¡
1
= r, ¡
2
= n, ¡
3
= c y ¡
4
= o, entonces las anteriores ecuaciones se pueden escribir
como,
¹
1a
«
r + ¹
1&
«
n + ¹
1c
«
c + ¹
10
«
o + 1
1
(r. n. c. o. t) = 0 (5.231)
¹
2a
«
r + ¹
2&
«
n + ¹
2c
«
c + ¹
20
«
o + 1
2
(r. n. c. o. t) = 0 (5.232)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 196
5.5. EJEMPLOS CON LIGADURAS SEMI-HOLÓNOMAS
Al comparar (5.231) con (5.229) y (5.232) con (5.230) resulta,

¹
1a
= 1 ¹
1&
= 0 ¹
1c
= ÷1Sen o ¹
10
= 0
¹
2a
= 0 ¹
2&
= 1 ¹
2c
= 1Cos o ¹
20
= 0
(5.233)
y a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.39) se puede escribir,
o
ot

01
0

÷
01
0a
=
2
¸
|=1
\
|
¹
|a
= \
1
¹
1a
+ \
2
¹
2a
= \
1
o
ot

01
0

÷
01
0&
=
2
¸
|=1
\
|
¹
|&
= \
1
¹
1&
+ \
2
¹
2&
= \
2
o
ot

01
0

÷
01
0c
=
2
¸
|=1
\
|
¹
|c
= \
1
¹
1c
+ \
2
¹
2c
= ÷\
1
1Sen o + \
2
1Cos o
o
ot

01
0

÷
01
00
=
2
¸
|=1
\
|
¹
|0
= \
1
¹
10
+ \
2
¹
20
= 0

(5.234)
El Lagrangiano para este sistema viene dado por,
1 =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2

+
1
2
1
c
«
c
2
+
1
2
1
0
«
o
2
(5.235)
entonces, al sustituir (5.235) en las ecuaciones (5.234) resulta,
:
««
r = \
1
:
««
n = \
2
1
c
««
c = ÷\
1
1Sen o + \
2
1Cos o
1
0
««
o = 0

(5.236)
que son las ecuaciones de Lagrange del sistema dado.
Ahora bien, de la primera y segunda de (5.236) y con el uso de (5.229) y (5.230) se
obtiene,
\
1
= :
««
r = :1

««
c Sen o +
«
c
«
o Cos o

(5.237)
\
2
= :
««
n = :1

÷
««
c Cos o +
«
c
«
o Sen o

(5.238)
que al sustituirlas en la tercera de las ecuaciones (5.236) resulta,
1
c
««
c = ÷:1
2

««
c Sen o +
«
c
«
o Cos o

Sen o + :1
2

÷
««
c Cos o +
«
c
«
o Sen o

Cos o
= ÷:1
2
««
c
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 197
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
o,

1
c
+ :1
2

. .. .
,=0
««
c = 0
de aquí que,
««
c = 0 ÷
«
c = . = constante (5.239)
y de la última de las ecuaciones (5.236) se obtiene,
««
o = 0 ÷
«
o = = constante (5.240)
Al sustituir (5.239) y (5.240) en (5.237) y (5.238) resulta,
\
1
= :1.Cos o
\
2
= :1.Sen o
por lo tanto, de (5.38), las fuerzas generalizadas de ligadura vienen dadas por,
(
|jj
a
=
2
¸
|=1
\
|
¹
|a
= \
1
= :1.Cos o
(
|jj
&
=
2
¸
|=1
\
|
¹
|&
= \
2
= :1.Sen o
(
|jj
c
=
2
¸
|=1
\
|
¹
|c
= 0
(
|jj
0
=
2
¸
|=1
\
|
¹
|0
= 0

(5.241)
La resultante de (
|jj
a
y (
|jj
&
es,
(
|jj
= (
|jj
a
´ c
a
+ (
|jj
&
´ c
&
= :1.(Cos o´ c
a
+ Sen o´ c
&
)
que es perpendicular a la velocidad
÷÷
· del disco, es decir, está dirigida a lo largo de
su eje.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.21
7
La ﬁgura 5.16 muestra un carrito que consiste en un bloque rec-
tangular de densidad uniforme y masa `, sobre una superﬁcie horizontal (plano rn). El
carrito posee dos ruedas de masa despreciable a la mitad de cada lado, de manera
7
Ver referencia [20].
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 198
5.5. EJEMPLOS CON LIGADURAS SEMI-HOLÓNOMAS
que el centro de masa está a la mitad de la distancia entre ambas. Además, el carrito
tiene una carga O en su centro y cargas q y ÷q a la mitad de su parte frontal y trasera
(cada una a una distancia / del centro del rectángulo) y está inmerso en un campo
eléctrico uniforme
÷÷
1 en la dirección +r. Encuentre las ecuaciones de Lagrange (no
hay deslizamiento en las ruedas).
Figura (5.16): Carrito rectangular homogéneo de masa ' inmerso en un campo eléctrico uniforme
÷÷
1
(Ejemplo 5.21).
Solución: La ecuación de ligadura viene dada por
8
,
1

«
r.
«
n. .

=
«
r Sen . ÷
«
n Cos . = 0 (5.242)
Esta ligadura no es integrable, es decir, es no-holónoma. Aquí se tiene una ligadura y
tres coordenadas generalizadas r, n y .. A partir de (5.34) para | = 1 y , = 1. 2. 3 resulta,
¹
11
«
¡
1
+ ¹
12
«
¡
2
+ ¹
13
«
¡
3
+ 1
1
(¡
1
. ¡
2
. ¡
3
. t) = 0
y si ¡
1
= r, ¡
2
= n y ¡
3
= . entonces,
¹
1a
«
r + ¹
1&
«
n + ¹
1,
«
. + 1
1
(r. n. .. t) = 0 (5.243)
Al comparar (5.242) con (5.243) resulta,
¹
1a
= Sen . ¹
1&
= ÷Cos . ¹
1,
= 0 (5.244)
8
Resulta de combinar

r = · Cos . y

n = · Sen..
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 199
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
y a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.39) se puede escribir,
o
ot

01
0

÷
01
0a
=
1
¸
|=1
\
|
¹
|a
= \
1
¹
1a
= \
1
Sen .
o
ot

01
0

÷
01
0&
=
1
¸
|=1
\
|
¹
|&
= \
1
¹
1&
= ÷\
1
Cos .
o
ot

01
0

÷
01
0,
=
1
¸
|=1
\
|
¹
|,
= \
1
¹
1,
= 0

(5.245)
El Lagrangiano para este sistema viene dado por,
1 = 1 ÷l =
1
2
`

«
r
2
+
«
n
2

+
1
2
1
,
«
.
2
÷(÷O1r ÷2q1/ Cos .)
=
1
2
`

«
r
2
+
«
n
2

+
1
2
1
,
«
.
2
+O1r + 2q1/ Cos . (5.246)
entonces, al sustituir (5.246) en las ecuaciones (5.245) resulta,
`
««
r ÷O1 = \
1
Sen .
`
««
n = ÷\
1
Cos .
1
,
««
. + 2q1/ Sen . = 0

(5.247)
que son las ecuaciones de Lagrange del sistema dado. Nótese que la última de las
ecuaciones (5.247) es, formalmente, la misma que la del péndulo simple.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.22
9
Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura en el ejemplo 5.21
pero tomando como coordenadas generalizadas :. . y r.
Solución: El Lagrangiano en las nuevas coordenadas viene dado por,
1 =
1
2
`
«
:
2
+
1
2
1
,
«
.
2
+O1r + 2q1/ Cos . (5.248)
Para este caso es posible escribir dos ecuaciones de ligadura
10
,
«
r =
«
: Cos . =1

«
r.
«
:. .

=
«
: Cos . ÷
«
r = 0 (5.249)
«
n =
«
: Sen . =1

«
n.
«
:. .

=
«
: Sen . ÷
«
n = 0 (5.250)
Estas ligaduras son no-holónomas. Tomando la ecuación de ligadura (5.249), se tiene
una ligadura y tres coordenadas generalizadas :, r y .. A partir de (5.34) para | = 1 y
, = 1. 2. 3 resulta,
¹
11
«
¡
1
+ ¹
12
«
¡
2
+ ¹
13
«
¡
3
+ 1
1
(¡
1
. ¡
2
. ¡
3
. t) = 0
9
Ver referencia [20].
10

: = ·.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 200
5.6. CONDICIÓN DE INTEGRABILIDAD DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE
y si ¡
1
= :, ¡
2
= r y ¡
3
= . entonces,
¹
1c
«
: + ¹
1a
«
r + ¹
1,
«
. + 1
1
(:. r. .. t) = 0 (5.251)
Al comparar (5.249) con (5.251) resulta,
¹
1c
= Cos . ¹
1a
= ÷1 ¹
1,
= 0 (5.252)
y a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.39) se puede escribir,
o
ot

01
0

÷
01
0c
=
1
¸
|=1
\
|
¹
|c
= \
1
¹
1c
= \
1
Cos .
o
ot

01
0

÷
01
0a
=
1
¸
|=1
\
|
¹
|a
= \
1
¹
1a
= ÷\
1
o
ot

01
0

÷
01
0,
=
1
¸
|=1
\
|
¹
|,
= \
1
¹
1,
= 0

(5.253)
entonces, al sustituir (5.248) en las ecuaciones (5.253) resulta,
`
««
: = \
1
Cos .
O1 = \
1
1
,
««
. + 2q1/ Sen . = 0

(5.254)
por lo tanto, de la segunda de las ecuacines (5.254) y (5.38), las fuerzas generalizadas
de ligadura vienen dadas por,
(
|jj
c
=
1
¸
|=1
\
|
¹
|c
= \
1
Cos . = O1 Cos .
(
|jj
a
=
1
¸
|=1
\
|
¹
|a
= ÷\
1
= ÷O1
(
|jj
,
=
1
¸
|=1
\
|
¹
|,
= 0

(5.255)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Condición de integrabilidad de las ecuaciones de La-
grange
El sistema de las : ecuaciones diferenciales de segundo orden que conforman
las ecuaciones de Lagrange, requieren como condición para su integrabilidad que,
det

·
2
1
·
«
¡
j
·
«
¡
;

= 0 (5.256)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 201
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
En el fondo, esta condición signiﬁca poder despejar las aceleraciones del conjunto de
ecuaciones diferenciales de Lagrange. Quedan así excluidos en esta formulación los
Lagrangianos singulares o de primer orden en las velocidades generalizadas
«
¡
j
.
5.7. Invariancia de las ecuaciones de Lagrange
Una propiedad importante de las ecuaciones de Lagrange es que son inva-
riantes
11
, es decir, su forma es la misma en cualquier sistema de referencia. En efecto,
si se hace una transformación de las coordenadas generalizadas (incluso habiendo
dependencia explícita del tiempo) y se escriben las coordenadas ¡
j
en términos de
unas nuevas coordenadas ¯ ¡
j
,
¡
j
= f
j
(¯ ¡
|
. t) (5.257)
y se reemplazan por las coordenadas viejas en el Lagrangiano, se obtiene éste en
función de las nuevas coordenadas
¯
1 =
¯
1

¯ ¡
j
.
«
¯ ¡
j
. t

. Es claro que se deben reemplazar
también las velocidades generalizadas por,
«
¡
j
=
¸
|
·f
j
·¯ ¡
|
«
¯ ¡
|
+
·f
j
·t
(5.258)
Se denominan transformaciones puntuales o de contacto a las transfor-
maciones del tipo (5.257).
Sin embargo, el valor de 1 y
¯
1 es el mismo en cada instante dado (sólo que ex-
presado en las nuevas coordenadas), por lo que la acción (5.41) queda ahora en las
nuevas coordenadas como,
o =

t
2
t
1
¯
1

¯ ¡
j
.
«
¯ ¡
j
. t

dt (5.259)
y las ecuaciones de Lagrange correspondientes, al extremar la acción, tienen igual
forma a las (5.43),
d
dt

¸
·
¯
1
·
«
¯ ¡
j
¸

÷
·
¯
1
·¯ ¡
j
= 0 (5.260)
Nótese que las nuevas coordenadas podrían ser, por ejemplo, coordenadas del sis-
tema mecánico en un sistema de referencia no inercial y, sin embargo, no hay necesi-
dad de incluir ninguna fuerza de inercia o algo equivalente. Aquí se ve la ventaja de
11
La invariacia se reﬁere a la propiedad de una cantidad o ley física de no variar bajo ciertas transforma-
ciones u operaciones.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 202
5.7. INVARIANCIA DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE
la formulación variacional sobre el principio de D’Alembert ya que, si se hubiese usa-
do este principio, se habría tenido que calcular la aceleración de cada partícula y el
trabajo virtual de las fuerzas de inercia para poder llegar a (5.260) en un sistema no
inercial. Por otro lado, la invariancia de las ecuaciones de Lagrange permite usar las
coordenadas mejor adaptadas al problema, siempre y cuando se pueda expresar el
Lagrangiano en términos de ellas.
Otra propiedad importante es que si al Lagrangiano se le suma una derivada total
con respecto al tiempo de una determinada función ` = ` (¡
j
. t),
1 ÷÷1 +
d`
dt
(5.261)
las ecuaciones de Lagrange no sufren cambio alguno. En efecto, al sustituir (5.260) en
las ecuaciones de Lagrange (5.43) se obtiene,
d
dt
¸
·
·
«
¡
j

1 +
d`
dt

¸
÷
·
·¡
j

1 +
d`
dt

= 0
o,
d
dt

·1
·
«
¡
j

÷
·1
·¡
j
. .. .
=0 en virtud de (5.43)
+
d
dt

¸
·
«
`
·
«
¡
j
¸

÷
·
«
`
·¡
j
= 0
de la cual,
d
dt

¸
·
«
`
·
«
¡
j
¸

÷
·
«
`
·¡
j
= 0 (5.262)
Ahora bien, se mostrará que, en verdad, (5.262) es una identidad 0 = 0. Concén-
trese en el primer término del lado izquierdao de la anterior expresión. Se sabe, por
la llamada regla de supresión de puntos mostrada en la sección 5.1 con la expresión
(5.7), que,
·
«
`
·
«
¡
j
=
·`
·¡
j
entonces,
d
dt

¸
·
«
`
·
«
¡
j
¸

=
d
dt

·`
·¡
j

=
¸
|
·
·¡
|

·`
·¡
j

«
¡
|
+
·
·t

·`
·¡
j

=
·
·¡
j

¸
|
·`
·¡
|
«
¡
|
+
·`
·t

=
·
«
`
·¡
j
(5.263)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 203
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
que es idéntico al segundo término del miembro izquierdo de (5.262) con signo con-
trario, veriﬁcándose así la identidad y haciendo que las ecuaciones de Lagrange no
se modiﬁquen. Así, por ejemplo, términos como,
(
1
«
¡
1
=
d
dt
((
1
¡
1
) ó (
1
¡
1
«
¡
1
=
d
dt

1
2
(
1
¡
2
1

con (
1
constante
sumados a 1 no aportan a las ecuaciones de movimiento.
Se denominan transformaciones de gauge a las transformaciones del tipo
(5.261).
5.8. Equivalencia entre las ecuaciones de Lagrange y de
Newton
Se demostrará ahora explícitamente la equivalencia existente entre las ecua-
ciones de Lagrange y de Newton, mostrando que los dos conjuntos de ecuaciones de
movimiento son de hecho las mismas.
En la expresión (5.43) elíjanse como coordenadas generalizadas, las coordenadas
rectangulares. Las ecuaciones de Lagrange (para una partícula) se escriben como,
d
dt

·1
·
«
r
j

÷
·1
·r
j
= 0, i = 1. 2. 3 (5.264)
o,
d
dt
¸
· (1 ÷l)
·
«
r
j

÷
· (1 ÷l)
·r
j
= 0 (5.265)
Pero en coordenadas rectangulares y para sistemas conservativos, se tiene que
1 = 1

«
r
j

y l = l (r
j
) así, de las ecuaciones (5.265), resulta,
d
dt

·1
·
«
r
j

= ÷
·l
·r
j
(5.266)
y como (para sistemas conservativos),
÷
·l
·r
j
= 1
j
y además,
d
dt
¸
·
·
«
r
j

1
2
3
¸
;=1
:
«
r
2
;
¸
=
d
dt

:
«
r
j

=
«
j
j
(5.267)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 204
5.9. MOMENTOS GENERALIZADOS
de manera que de (5.266) resulta,
1
j
=
«
j
j
(5.268)
Así, las ecuaciones Lagrangianas y Newtonianas son indénticas si las coordenadas
generalizadas son las coordenadas rectangulares.
5.9. Momentos generalizados
Considérese como ejemplo un sistema de partículas bajo la inﬂuencia de fuerzas
derivables de potenciales dependientes sólo de la posición. Entonces,
·1
·
«
r
j
=
·1
·
«
r
j
÷
·l
·
«
r
j
=
·1
·
«
r
j
¸
1
2
.
¸
;=1
:
;

«
r
2
;
+
«
n
2
;
+
«
.
2
;

¸
= :
«
r
j
= j
ja
que es la componente r del momento lineal asociado con la i-ésima partícula.
El anterior resultado sugiere una generalización obvia del concepto de momento
como sigue,
Se deﬁne el momento generalizado, momento canónico o momento con-
jugado a la coordenada ¡
j
mediante,
j
j
=
·1
·
«
¡
j
(5.269)
Téngase presente que si ¡
j
no es una coordenada Cartesiana, j
j
no tiene por qué
tener las dimensiones de un momento lineal. Aún más, si el potencial depende de las
velocidades generalizadas
«
¡
j
, incluso si las ¡
j
son Cartesianas, los momentos generali-
zados no serán idénticos a los momentos mecánicos ordinarios.
Entonces las ecuaciones de Lagrange (5.19), (5.21), (5.27) y (5.37) pueden ser es-
critas, respectivamente, como,
«
j
j
=
d
dt

·1
·
«
¡
j

=
·1
·¡
j
+ (
.l
;
, con , = 1. 2. .... : (5.270)
d
dt

·1
·
«
¡
;

÷
·1
·¡
;
÷(
;
= 0, con , = 1. 2. .... : (5.271)
cuando se consideran ligaduras holónomas en forma implícita,
«
j
j
=
d
dt

·1
·
«
¡
j

=
·1
·¡
j
+
1
¸
|=1
\
|
(t)
·1
|
·¡
;
+ (
.l
;
, con , = 1. 2. . . . . 3` (5.272)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 205
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
cuando se consideran ligaduras holónomas en forma explícita y,
«
j
j
=
d
dt

·1
·
«
¡
j

=
·1
·¡
j
+
1
¸
|=1
\
|
(¡
j
. t) ¹
|;
+ (
.l
;
, con , = 1. 2. . . . . 3` (5.273)
cuando se consideran ligaduras no-holónomas del tipo (5.34).
5.10. Coordenadas cíclicas o ignorables
Una deﬁnición importante que se usará en adelante es el de coordenada cícil-
ica o ignorable.
Se dice que una coordenada ¡
j
de un sistema es cíclica o ignorable si el
Lagrangiano 1 no contiene dicha coordenada de forma explícita, es decir,
·1
·¡
j
= 0
aunque puede contener la correspondiente velocidad
«
¡
j
.
Como cosecuencia de la anterior deﬁnición, las ecuaciones de Lagrange (5.19),
d
dt

·1
·
«
¡
j

÷
·1
·¡
j
= 0
se reducen para una coordenada cíclica a,
d
dt

·1
·
«
¡
j

= 0
de modo que,
·1
·
«
¡
j
= j
j
= constante (5.274)
de manera que los momentos generalizados para dichas coordenadas son constan-
tes, es decir, se conservan.
5.11. Integrales primeras de movimiento
A veces, las ecuaciones de movimiento podrán ser integrables por medio de
funciones conocidas, pero no siempre será este el caso. En realidad, en la mayor parte
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 206
5.11. INTEGRALES PRIMERAS DE MOVIMIENTO
de los casos no son integrables. Sin embargo, aun cuando no puedan obtenerse solu-
ciones completas es posible, con frecuencia, inferir abundante información sobre la
naturaleza física del movimiento del sistema. Además, tal información entraña a veces
más interés para el físico que la solución completa que proporcionan las coordenadas
generalizadas en función del tiempo. Por tanto, es de gran importancia averiguar todo
lo que es posible decir acerca del movimiento de un sistema dado sin necesidad de
integrar por completo las ecuaciones de movimiento.
Durante el movimiento de un sistema mecánico, las 2: cantidades ¡
j
y
«
¡
j
(i = 1. 2. .... :
: = grados de libertad del sistema), que especiﬁcan el estado del sistema, varían con
el tiempo. Sin embargo, hay muchos problemas para los que pueden obtenerse in-
mediatamente cierto número de funciones de estas cantidades G
|
= G
|
(¡
j
.
«
¡
j
. t), de
manera que,
G
|
(¡
j
.
«
¡
j
. t) = constante (5.275)
que son ecuaciones diferenciales de primer orden.
Se denominan integrales primeras de movimiento o simplemente inte-
grales de movimiento a las funciones G
|
(¡
j
.
«
¡
j
. t) cuyos valores permanecen
constantes durante el movimiento de un sistema dado, correspondiendo a
cantidades físicas conservadas y que dependen de las condiciones iniciales
del mismo.
El interés de estas integrales primeras radica en que suelen decir algo de orden
físico sobre el sistema objeto de estudio y pueden usarse en la solución de un pro-
blema de varias formas; por ejemplo, con estas | funciones se pueden eliminar el mis-
mo número de variables dinámicas, velocidades o coordenadas y con esto disminuir
el número de variables por determinar. También, mediante estas integrales primeras
de movimiento se pueden conocer algunas propiedades dinámicas del sistema sin
necesidad de resolver el conjunto de ecuaciones diferenciales de movimiento.
Sin embargo, no todas las integrales de movimiento son de igual importancia en
Mecánica. Hay algunas cuya constancia tienen un profundo origen y signiﬁcado, liga-
do a las propiedades fundamentales del espacio y tiempo, es decir, a su homogenei-
dad e isotropía.
Todas estas magnitudes que, como suele decirse, son conservativas, tienen una
propiedad general muy importante: la de ser aditivas, es decir, que su valor para un
sistema formado por varias partes, cuya interacción entre sí es insigniﬁcante, será igual
a la suma de los valores de cada una de dichas partes.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 207
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
Es debido a esta aditividad el que estas cantidades tengan una importancia es-
pecial en Mecánica. Supóngase, por ejemplo, que dos cuerpos interactúan durante
un cierto intervalo de tiempo. Puesto que cada una de las integrales aditivas de la
totalidad del sistema son ambas, antes y después de la interación, igual a la suma de
sus valores para los dos cuerpos separadamente, las leyes de conservación para estas
cantidades hacen inmediatamente posible obtener varias conclusiones referentes al
estado de los cuerpos después de la interacción, si sus estados antes de la misma son
conocidos.
La siguiente tabla muestra tres de las más importantes de estas cantidades con-
servadas para el caso de un sistema cerrado: la energía total, el momento lineal y el
momento angular; relacionándolas con las propiedades del el espacio, el tiempo (ver
sección 2.1) y el Lagrangiano.
Característica del sistema inercial Propiedad del Lagrangiano Cantidad conservada
Tiempo homogéneo Función no explícita de t Energía total
Espacio homogéneo Invariante en traslaciones Momento lineal
Espacio isótropo Invariante en rotaciones Momento angular
5.12. Integrales primeras de movimiento para un sistema
cerrado
Una propiedad importante de los sistemas cerrados (ver sección 1.3) es que las
ecuaciones de evolución temporal, o ecuaciones de movimiento, de dicho sistema
sólo dependen de variables y factores contenidos en el sistema. Para un sistema de
ese tipo, por ejemplo, la elección del origen de tiempos es arbitraria (homogeneidad
del tiempo) y por tanto las ecuaciones de evolución temporal son invariantes respecto
a las traslaciones temporales, implicando que la energía total de dicho sistema se
conserva (como se verá en la siguiente sección). De hecho, un sistema cerrado al
estar aislado no puede intercambiar energía con nada externo a él.
El universo entero considerado como un todo es probablemente el único sistema
realmente cerrado, sin embargo, en la práctica muchos sistemas no completamente
aislados pueden estudiarse como sistemas cerrados con un grado de aproximación
muy bueno o casi perfecto.
El número de integrales de movimiento independientes para un sistema mecánico
cerrado con : grados de libertad es 2: ÷1, lo cual es evidente a partir de los siguientes
argumentos simples.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 208
5.13. TEOREMAS DE CONSERVACIÓN
La solución general de las ecuaciones de movimiento contienen 2: constantes ar-
bitrarias, puesto que:
Las ecuaciones de movimiento para un sistema cerrado no involucran al
tiempo de forma explícita.
La elección del origen del tiempo es completamente arbitraria, y una de las cons-
tantes arbitrarias en la solución de las ecuaciones puede tomarse siempre como una
constante aditiva t
c
en el tiempo. Eliminado t + t
c
de las 2: funciones,
¡
j
= ¡
j
(t + t
c
. (
1
. (
2
. .... (
2c÷1
)
se pueden expresar las 2: ÷ 1 constantes arbitrarias (
1
. (
2
. .... (
2c÷1
como funciones de
¡
j
y
«
¡
j
, y estas funciones serán integrales de movimiento.
5.13. Teoremas de conservación
5.13.1. Conservación de la energía
La homogeneidad del tiempo tiene como consecuencia la conservación de
la energía en un sistema aislado.
Comiéncese con un sistema donde el Lagrangiano presente una dependencia
explícita del tiempo. En la formulación de Lagrange es posible demostrar un teore-
ma de conservación para el cual la conservación de la energía total representa sólo
un caso especial. Considérese un Lagrangiano general que depende de las coorde-
nadas ¡
j
, las velocidades
«
¡
j
y que podría depender explícitamente también del tiempo
1 = 1

¡
j
.
«
¡
j
. t

. Entonces la derivada total de 1 con respecto del tiempo es,
d1
dt
=
c
¸
;=1
·1
·¡
;
d¡
;
dt
+
c
¸
;=1
·1
·
«
¡
;
d
«
¡
;
dt
+
·1
·t
(5.276)
pero por las ecuaciones de Lagrange (5.43),
·1
·¡
;
=
d
dt

·1
·
«
¡
;

de manera que (5.276) queda escrita como,
d1
dt
=
c
¸
;=1
d
dt

·1
·
«
¡
;

«
¡
;
+
c
¸
;=1
·1
·
«
¡
;
««
¡
;
+
·1
·t
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 209
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
o,
d1
dt
=
c
¸
;=1
d
dt

«
¡
;
·1
·
«
¡
;

+
·1
·t
y de aquí que,
d
dt

c
¸
;=1
«
¡
;
·1
·
«
¡
;
÷1

+
·1
·t
= 0 (5.277)
A la cantidad entre paréntesis es en muchos casos llamada función de energía, la
cual será denotada con /,
/

¡
;
.
«
¡
;
. t

=
c
¸
;=1
«
¡
;
·1
·
«
¡
;
÷1 (5.278)
de manera que de (5.277) se obtiene,
d/
dt
= ÷
·1
·t
(5.279)
Ahora, si el Lagrangiano no depende explícitamente del tiempo (consecuencia de
la homogeneidad del tiempo en un sistema aislado o cerrado) sino sólo de manera
implícita mediante la variación con respecto al tiempo de las ¡
j
y las
«
¡
j
, entonces
la expresión (5.279) dice que / se conserva. Se dice entonces que / es una integral
primera del movimiento.
A un sistema cuyo Lagrangiano no depende explícitamente del tiempo se
le da el nombre de sistema autónomo.
Bajo ciertas circunstancias, la función / es la energía total del sistema. Para determi-
nar cuáles son estas circunstancias, recuérdese (sección 2.8.5) que la energía cinética
total de un sistema puede escribirse siempre como,
1 = 1
c
+ 1
1
+ 1
2
(5.280)
donde 1
c
= 1
c
(¡
j
) es una función sólo de las coordenadas generalizadas, 1
1
= 1
1

¡
j
.
«
¡
j

es lineal con respecto a las velocidades generalizadas
«
¡
j
y 1
2
= 1
2

¡
j
.
«
¡
j

es una función
cuadrática de las
«
¡
j
.
Para un amplio rango de sistemas y conjuntos de coordenadas generalizadas, el
Lagrangiano puede ser separado de forma semejante con respecto a su compor-
tamiento funcional en relación a las
«
¡
j
,
1

¡
j
.
«
¡
j
. t

= 1
c
(¡
j
. t) + 1
1

¡
j
.
«
¡
j
. t

+ 1
2

¡
j
.
«
¡
j
. t

(5.281)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 210
5.13. TEOREMAS DE CONSERVACIÓN
donde 1
2
es una función homogénea de segundo grado (no meramente cuadráti-
ca) respecto a las
«
¡
j
, mientras que 1
1
es una función homogénea de primer grado
respecto a las
«
¡
j
. No existe una razón intrínseca en la Mecánica que requiera que el
Lagrangiano se ajuste a (5.281) pero, de hecho, lo hace para la mayoría de los pro-
blemas de interés. Claramente el Lagrangiano tiene esta forma cuando las fuerzas
pueden ser derivables a partir de potenciales que no involucren las velocidades. In-
cluso, con potenciales dependientes de las velocidades, se nota que el Lagrangiano
para una partícula cargada en un campo electromagnético satisface (5.281).
Si se sustituye (la anterior) en (ecuación para /) resulta,
/ =
c
¸
;=1
«
¡
;
·
·
«
¡
;
(1
c
+ 1
1
+ 1
2
) ÷(1
c
+ 1
1
+ 1
2
)
=
c
¸
;=1
«
¡
;
·1
1
·
«
¡
;
+
c
¸
;=1
«
¡
;
·1
2
·
«
¡
;
÷1
c
÷1
1
÷1
2
ahora, al aplicar el teorema de Euler [expresión (2.52) sección 2.8.5], resulta,
/ = 1
1
+ 21
2
÷1
c
÷1
1
÷1
2
= 1
2
÷1
c
(5.282)
Por otro lado, si el sistema es natural, es decir, si las ecuaciones de transforma-
ción (2.27) que deﬁnen las coordenadas generalizadas no involucran explícitamente
el tiempo entonces, a partir de (2.46), resulta,
1 = 1
2
(5.283)
y si, además, el potencial no depende de las velocidades generalizadas
«
¡
j
se tiene
que
12
,
1
2
= 1, 1
c
= ÷l (5.284)
Por último, al sustituir el resultado anterior en (5.282) resulta,
/ = 1 + l = 1 (5.285)
y así la función de energía / es en verdad la energía del sistema. Bajo estas circuns-
tancias, si l no involucra explícitamente al tiempo, tampoco lo hará 1. De aquí que,
debido a (5.279), / (que aquí es la energía total) será conservada.
12
1 en (5.281) tiene que ser igual a T ÷l, es decir, 1
o
+1
1
+1
2
= T ÷l. Observemos que el único término
dependiente sólo de las coordenadas generalizadas es 1
o
, por lo que puede ser identiﬁcado con ÷l
ya que tiene la misma dependencia. El resto 1
1
+1
2
tiene que ser igual a T = T
2
, pero como T
2
debe ser
una función homogénea de segundo orden respecto a las velocidades generalizadas entonces, 1
1
= 0
por lo que T = 1
2
.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 211
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
Nótese que las condiciones para la conservación de / son, en principio, bastante
distintas de aquellas que identiﬁcan / como la energía total. Se puede tener un con-
junto de coordenadas generalizadas tal que, en un problema en particular, / se con-
serve pero no sea la energía total. Por otro lado, / puede ser la energía total, en la
forma 1 + l, y no conservarse. Nótese también que mientras que el Lagrangiano está
deﬁnido para cada sistema en la forma única,
1 = 1 ÷l
independientemente de las coordenadas generalizadas, la función de energía / de-
pende en magnitud y forma funcional de un conjunto especíﬁco de coordenadas
generalizadas. Para un mismo sistema, se pueden generar varias funciones de energía
de diferente contenido físico dependiendo de como sean elegidas las coordenadas
generalizadas.
El caso más común es aquél en que todos los términos de energía cinética son de
la forma
1
2
:
«
¡
2
j
o

j
2
.
2n
y la energía potencial depende sólo de las coordenadas ¡
j
En estas
condiciones, la función de energía es conservada y es también la energía total.
5.13.2. Conservación del momento generalizado - Conservación del
momento lineal y angular
De las expresiones (5.274) y (5.269) se puede deducir que, para una coordena-
da cíclica o ignorable, se cumple que,
j
j
=
·1
·
«
¡
j
= 0 (5.286)
por lo tanto, de inmediato se puede establecer el siguiente teorema de conservación
general,
El momento generalizado conjugado a una coordenada cíclica o ignora-
ble, se conserva.
Es de hacer notar que la obtención de (5.286) supone que ¡
j
es una coordenada
generalizada, es decir, una coordenada que es linealmente independiente de todas
las otra coordenadas. Como caso particular, en el ejemplo 4.10, la coordenada an-
gular o no está presente en el Lagrangiano pero, aparece en la ecuación de ligadura
1 (r. o) = r ÷ 1o, dando como resultado que el momento angular j
0
= `1
2
«
o no sea
una constante de movimiento.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 212
5.13. TEOREMAS DE CONSERVACIÓN
La expresión (5.286) constituye una primiera integral de movimiento de la forma
(5.275) y puede ser usada formalmente para eliminar la coordenada cíclica del pro-
blema, el cual puede ser resuelto completamente en términos de las coordenadas
generalizadas restantes. En breves palabras, el procedimiento (debido a Routh) con-
siste en modiﬁcar el Lagrangiano, de modo que en vez de ser función de la velocidad
generalizada correspondiente a la coordenada cíclica, lo sea sólo de su momento
conjugado. La ventaja que se obtiene es la posibilidad de considerar j
j
como una de
las constantes de integración, con lo que las integraciones restantes dependen sólo
de coordenadas no cíclicas.
Téngase presente que las condiciones para que se conserven los momentos gene-
ralizados son más generales que los teoremas de conservación del momento lineal y
momento angular estudiados en Mecánica Newtoniana. Con suposiciones como: la
homogeneidad e isotropía del espacio, la expresión (5.286) se reduce a dichos teore-
mas.
Conservación del momento lineal
La homogeneidad del espacio da lugar a otro teorema de conservación, el
del momento lineal. Debido a dicha homogeneidad, las propiedades mecánicas de
un sistema aislado no deben variar si dicho sistema, en su conjunto, experimenta un
desplazamiento paralelo (traslación) en el espacio.
Considérese una coordenada ¡
;
, en la que un cambio d¡
;
represente una traslación
del sistema en conjunto en una dirección dada. Un ejemplo de este caso podría ser
una de las coordenadas Cartesianas del centro de masa del sistema.
Es claro que ¡
;
no aparecerá en 1, pues las velocidades no se alteran al trasladar
el origen y
0T
0o
,
= 0 (homogeneidad del espacio). Se supondrá, además, que se trata
de sistemas conservativos en los que l no depende de las velocidades, con lo que se
eliminarán anomalías tales como las fuerzas electromagnéticas. Por tanto, la ecuación
de Lagrange para una coordenada deﬁnida de esta forma será,
d
dt

·1
·
«
¡
;

=
«
j
;
....
por (5.270)
= ÷
·l
·¡
;
= (
;
....
por (2.44)
(5.287)
Ya establecidas las consideraciones adecuadas, se demostrará ahora ahora que:
1. La expresión (5.287) es la ecuación de movimiento para el momento lineal total, es
decir, que (
;
representa la componente de la fuerza total a lo largo de la dirección
de traslación ¡
;
,
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 213
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
2. j
;
es la componente del momento lineal total en la misma dirección.
Figura (5.17): Cambio del vector de posición debido una traslación del sistema.
En general, la fuerza generalizada (
;
, como se vio en la sección 2.8.4 expresión
(2.41), viene dada por,
(
;
=
.
¸
j=1

÷÷
1
j
«
·
÷÷
:
j
·¡
;

pero como d¡
;
corresponde a una traslación del sistema a lo largo de cierto eje, los
vectores
÷÷
:
j
(¡
;
) y
÷÷
:
j
(¡
;
+ d¡
;
) están relacionados como se puede ver en la ﬁgura 5.17.
Por deﬁnición de derivada,
·
÷÷
:
j
·¡
;
= 1::
oo
,
÷÷0
÷ ÷
:
j
(¡
;
+ d¡
;
) ÷
÷÷
:
j
(¡
;
)
d¡
;
=
d¡
;
d¡
;
´ : = ´ : (5.288)
donde ´ : es un versor en la dirección de traslación. Así,
(
;
=

.
¸
j=1
÷÷
1
j

« ´ : = ´ : «
÷÷
1
que es la componente de la fuerza total en la dirección ´ :.
Para probar la segunda parte, téngase en cuenta que con una energía cinética
de la forma,
1 =
1
2
:
;
«
:
2
;
=
1
2
:
;
«
÷÷
:
;
«
«
÷÷
:
;
el momento conjugado es,
j
;
=
·1
·
«
¡
;
=
·1
·
«
¡
;
=
.
¸
j=1
:
j
«
÷÷
:
j
«
·
«
÷÷
:
j
·
«
¡
;
=
.
¸
j=1
:
j
÷÷
·
j
«
·
÷÷
:
j
·¡
;
. .. .
por (5.7)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 214
5.13. TEOREMAS DE CONSERVACIÓN
que, debido a (5.288), se convierte en,
j
;
= ´ : «
.
¸
j=1
:
j
÷÷
·
j
que no es más que la componente del momento lineal total del sistema en la dirección
del versor ´ :
Si se supone ahora que la coordenada de traslación ¡
;
es cíclica, ¡
;
no aparecerá
en 1 (y por ende tampoco en l) y, por tanto,
÷
·l
·¡
;
= (
;
= 0
que es precisamente el conocido teorema de conservación del momento lineal en la
Mecánica Newtoniana, que dice,
Si es nula una componente de la fuerza total aplicada, se conserva la
correspondiente componente del momento lineal.
Conservación del momento angular
La isotropía del espacio da lugar a otro teorema de conservación, el del mo-
mento angular. Debido a la isotropía del espacio, un sistema aislado sometido a un
cambio de orientación no debería variar su comportamiento dinámico.
Procediendo de modo análogo a lo realizado para la conservación del momento
lineal, se puede demostrar que si una coordenada cíclica ¡
;
es tal que d¡
;
corresponde
a un giro del sistema alrededor de cierto eje, la conservación de su momento conju-
gado corresponde a la conservación de un momento angular.
Por el mismo razonamiento utilizado anteriormente, ¡
;
no puede estar contenida en
1, pues las magnitudes de las velocidades no se alteran al girar el sistema de refer-
encia (isotorpía del espacio). Por tanto
0T
0o
,
= 0, y como l es independiente de
«
¡
;
, se
encuentra nuevamente la expresión (5.287). Se probará ahora que:
1. si ¡
;
es una coordenada de rotación, la fuerza generalizada (5.287) es la compo-
nente del par resultante aplicado alrededor del eje de rotación,
2. j
;
es la componente del momento angular total respecto al mismo eje.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 215
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
Figura (5.18): Variación del vector de posición al rotar.
La fuerza generalizada está dada de nuevo por,
(
;
=
.
¸
j=1

÷÷
1
j
«
·
÷÷
:
j
·¡
;

teniendo la derivada ahora un signiﬁcado diferente. En este caso el cambio de ¡
;
ha
de corresponder a un giro inﬁnitesimal del vector
÷÷
:
j
, que deje inalterado su módulo.
El módulo de la derivada se obtiene fácilmente a partir de la ﬁgura (5.18),
[d
÷÷
:
j
[ = :
j
Sen od¡
;
y

·
÷÷
:
j
·¡
;

= :
j
Sen o
y su dirección es perpendicular a
÷÷
:
j
y a ´ :. Esta derivada se expresa también como
producto vectorial como sigue,
·
÷÷
:
j
·¡
;
= ´ :
÷÷
:
j
de manera que la fuerza generalizada se convierte en,
(
;
=
.
¸
j=1
÷÷
1
j
« (´ :
÷÷
:
j
) =
.
¸
j=1
´ : «

÷÷
:
j

÷÷
1
j

o
(
;
= ´ : «
.
¸
j=1
÷÷
`
j
= ´ : «
÷÷
`
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 216
5.14. TEOREMA DE NOETHER
lo que prueba la primera parte.
Ahora, para demostrar la segunda parte,
j
;
=
·1
·
«
¡
;
=
.
¸
j=1
:
j
÷÷
·
j
«
·
÷÷
:
j
·¡
;
=
.
¸
j=1
´ : «
÷÷
:
j
:
j
÷÷
·
j
= ´ : «
.
¸
j=1
÷÷
L
j
= ´ : «
÷÷
L (5.289)
Si se supone ahora que la coordenada de rotación ¡
;
es cíclica, ¡
;
no aparecerá
en 1 (y por ende tampoco en l) y, por tanto,
÷
·l
·¡
;
= (
;
= 0
que es precisamente el conocido teorema de conservación del momento angular en
la Mecánica Newtoniana, que dice,
Si es nula una componente del torque aplicado en una dirección deter-
minada, la componente del momento angular en la misma dirección será
constante.
5.14. Teorema de Noether
Considérense transformaciones simétricas continuas de las coordenadas gene-
ralizadas dependientes de un parámetro real o tales que para o = 0 se reduzca a la
transformación identidad, es decir,
¯ ¡
;
= ¯ ¡
;
(¡
j
. o) , siendo ¡
j
= ¯ ¡
j
(¡
j
. 0) (5.290)
el teorema de Noether
13
dice que,
13
Emmy Noether (1882-1935), matemática alemana, notable por su trabajo en álgebra abstracta. Nació
en una familia de matemáticos y fue oyente de cursos universitarios, ya que en aquella época las
universidades alemanas no admitían a las mujeres. Sin embargo, consiguió el doctorado en 1907 por la
Universidad de Erlangen. Cuando los nazis llegaron al poder en 1933, Noether emigró a Estados Unidos,
donde dio clases en el Bryn Mawr College y en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, en
Nueva Jersey. Su trabajo en la teoría de las invariantes fue utilizado por Albert Einstein en la formulación
de algunos de sus conceptos relativistas.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 217
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
Si el Lagrangiano de un sistema autónomo 1 = 1

¡
j
.
«
¡
j

es invariante bajo
dicha transformación, es decir si,
1 = 1
¸
¯ ¡
j
(¡
j
. o) .
«
¯ ¡
j
(¡
j
. o)

no depende de o, entonces se tiene una cantidad 1 conservada, o integral
primera de movimiento asociada con dicha simetría por cada parámetro de
la transformación. Estas cantidades pueden ser encontradas derivando cada
coordenada con respecto al parámetro de la transformación en la vecindad
inmediata de la transformación identidad, multiplicándolas por el momento
conjugado, y sumando sobre los grados de libertad, es decir,
1
j

¡
;
.
«
¡
;

=
c
¸
|=1
j
|
d¯ ¡
|
do
j

todos o=0
= constante (5.291)
donde la evaluación en o = 0 se hace por conveniencia y donde los j
|
son los mo-
mentos generalizados o momentos conjugados deﬁnidos en la sección 5.9 por (5.269).
Para rotaciones espaciales, 1
1
, 1
2
e 1
3
, son las componentes del momento angular
÷÷
1.
Demostración:
Pártase de que el Lagrangiano no depende de o, por lo tanto,
d
d:
1
¸
¯ ¡
j
(¡
j
. o) .
«
¯ ¡
j
(¡
j
. o)

= 0 (5.292)
es decir,
c
¸
|=1
·1
·¯ ¡
|
d¯ ¡
|
do
+
c
¸
|=1
·1
·
«
¯ ¡
|
d
«
¯ ¡
|
do
= 0 (5.293)
y al hacer o = 0 se tiene que,
·1
·¯ ¡
|
÷÷
·1
·¡
|
=
d
dt

·1
·
«
¡
|

. .. .
Por (5.270)
,
·1
·
«
¯ ¡
|
÷÷
·1
·
«
¡
|
(5.294)
de modo que se obtiene,
c
¸
|=1
d
dt

·1
·
«
¡
|

d¯ ¡
|
do
+
c
¸
|=1
·1
·
«
¡
|
d
«
¯ ¡
|
do

o=0
= 0 (5.295)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 218
5.14. TEOREMA DE NOETHER
o bien,
d
dt

¸
c
¸
|=1
·1
·
«
¡
|
d
«
¯ ¡
|
do
¸

o=0
= 0 (5.296)
o también, para el i-ésimo parámetro o,
c
¸
|=1
j
|
d
«
¯ ¡
|
do
j

o=0
= constante
que prueba el teorema.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.23
Encontrar las cantidades conservadas para un sistema cuyo La-
grangiano es 1 = 1

«
¡
j

, bajo las transformaciones ¯ ¡
j
= ¡
j
+ oc
j
(el Lagrangiano es
obviamente invariante bajo estas transformaciones), donde las c
j
son constantes arbi-
trarias.
Solución: De (5.291) y teniendo presente que para este caso i = 1 (por lo que se
omite),
1 =
c
¸
|=1
j
|
d¯ ¡
|
do

todos o=0
=
c
¸
|=1
j
|
d
do
(¡
|
+ oc
|
)

todos o=0
=
c
¸
|=1
j
|
c
|
= constante
y como los c
|
son arbitrarios, deben conservarse independientemente todos los mo-
mentos generalizados,
j
|
=
·1
·
«
¡
;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.24
Encontrar la cantidad conservada si el Lagrangiano del sistema
1 = 1

¡
j
.
«
¡
j

de una de las coordenadas generalizadas, ¡
I
por ejemplo, o sea que es
invariante bajo la transformación ¯ ¡
j
= ¡
j
+ oo
jI
(o
j|
es el símbolo delta de Kronecker).
Solución: De (5.291),
1 =
c
¸
|=1
j
|
d¯ ¡
|
do

todos o=0
=
c
¸
|=1
j
|
d
do
(¡
|
+ oo
|I
)

todos o=0
=
c
¸
|=1
j
|
o
|I
= j
I
= constante
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 219
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
conservándoce así el momento generalizado a la coordenada que no aparece en el
Lagrangiano, resultado que ya se conocía de la sección 5.10.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 5.25
Encontrar la cantidad conservada si el Lagrangiano del sistema
1 = 1

÷÷
: .
«
÷÷
:

es invariante bajo una rotación inﬁnitesimal
÷÷
: / =
÷÷
: + do´ :
÷÷
: .
Solución: De (5.291),
1 =
c
¸
|=1
j
|
d¯ ¡
|
do

todos o=0
=
÷÷
j
v
«
d
do
(
÷÷
: + do´ :
÷÷
: )

todos 0=0
=
÷÷
j
v
« ´ :
÷÷
: =
÷÷
:
÷÷
j
v
« ´ : =
÷÷
1 « ´ : = constante
conservándoce así la componente ´ : del momento angular, como se había visto en la
sección 5.13.2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.15. Mecánica Lagrangiana vs la Newtoniana
Históricamente, las ecuaciones de movimiento de Lagrange expresadas en co-
ordenadas generalizadas fueron derivadas antes de que el principio de Hamilton fuese
enunciado.
14
La Mecánica Lagrangiana no constituye una nueva teoría. Los resultados de un
análisis Lagrangiano o uno Newtoniano deberían ser los mismos para cualquier sistema
mecánico dado. La única diferencia es el método usado para obtener los dichos re-
sultados.
Mientras que el punto de vista Newtoniano enfatiza un agente externo que actúa
sobre un cuerpo (la fuerza), el método Lagrangiano utiliza sólo cantidades asociadas
con el cuerpo (las energía cinética y potencial). De hecho, en ningún lugar de la
formulación Lagrangiana entra el concepto de fuerza. Debido a que la energía es
un escalar, la función Lagrangiana para un determinado sistema es invariante bajo
trasformaciones de coordenadas. En verdad, tales transformaciones no están restrin-
gidas a que se den entre sistemas de coordenadas ortogonales, también pueden ser
14
En 1788 las ecuaciones de Lagrange y en 1834 el principio de Hamilton.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 220
5.16. PROBLEMAS
transformaciones entre coordenadas ordinarias y coordenadas generalizadas. De esta
manera, es posible pasar del espacio ordinario (donde las ecuaciones de movimien-
to pueden ser bastante complicadas) a un espacio de conﬁguración que puede ser
escogido de tal forma que rinda la máxima simpliﬁcación para un problema en par-
ticular. Se está acostumbrado a estudiar los sistemas mecánicos en términos de canti-
dades vectoriales tales como la fuerza, la velocidad, el momento angular, el momento
lineal y el torque. Pero en la formulación Lagrangiana, las ecuaciones de movimiento
son obtenidas completamente en términos de operaciones escalares en el espacio
de conﬁguración.
Otro aspecto importante del punto de vista fuerza-versus-energía es que en ciertas
situaciones incluso puede no ser posible establecer explícitamente todas las fuerzas
actuantes sobre un cuerpo (como es algunas veces el caso de las fuerzas de ligadura),
mientras que es aún posible dar expresiones para las energía cinética y potencial.
Justamente este hecho es el que hace que el principio de Hamilton sea útil para los
sistemas mecánico-cuánticos donde normalmente se conocen las energías pero no
las fuerzas.
Se ha mostrado que la naturaleza diferencial contenida en las ecuaciones de New-
ton y la naturaleza integral del principio de Hamilton (y las ecuaciones Lagrangianas
resultantes) son completamente equivalentes. Por lo tanto, no existe distinción entre
estos puntos de vista, los cuales están basados en la descripción de los efectos físicos.
Pero desde el punto de vista ﬁlosóﬁco, se puede hacer una diferencia. En la formu-
lación Newtoniana, cierta fuerza sobre un cuerpo produce un movimiento deﬁnido, es
decir, siempre se asocia un efecto con una causa. Sin embargo, de acuerdo con el
principio de Hamilton el movimiento de un cuerpo resulta del intento de la naturaleza
de lograr cierto propósito, el cual es minimizar la integral temporal de la diferencia
entre las energías cinética y potencial. La solución operacional de los problemas en
la Mecánica no depende de la adopción de uno u otro de estos puntos de vista,
pero históricamente tales consideraciones han tenido una profunda inﬂuencia en el
desarrollo de la misma.
5.16. Problemas
1. Una partícula de masa : está obligada a moverse sobre la superﬁcie interna de un
cono liso. Ver ﬁgura 5.19, donde c es constante. La partícula está sometida a una
fuerza gravitacional. Encuentre las fuerzas generalizadas de ligadura .
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 221
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
Figura (5.19): Una partícula de masa : está obligada a moverse sobre la superﬁcie interna de un cono
liso (Problema 1).
2. Mostrar que las ecuaciones de Lagrange,
d
dt

·1
·
«
¡
;

÷
·1
·¡
;
= (
;
vistas en clases, pueden ser escritas en la forma,
·
«
1
·
«
¡
;
÷2
·1
·¡
;
= (
;
que es la llamada forma de Nilsen de las ecuaciones de Lagrange.
3. Si 1

¡.
«
¡. t

es un Lagrangiano para un sistema de : grados de libertad que satisface
las ecuaciones de Lagrange, mostrar mediante sustitución directa que,
1
t

¡.
«
¡. t

= 1

¡.
«
¡. t

+
d1 (¡
1
. ¡
2....
¡
a
. t)
dt
también satisface las ecuaciones de Lagrange, donde 1 es una función arbitraria y
diferenciable.
4. Un bloque de masa : se desplaza sobre un plano inclinado sin rozamiento (ver ﬁgu-
ra 5.20). Encontrar las ecuaciones de movimiento de Lagrange para el referencial
mostrado y la aceleración del bloque a lo largo del plano inclinado.
5. Encuentre las fuerzas generalizadas de ligadura en el problema 4.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 222
5.16. PROBLEMAS
Figura (5.20): Una partícula de masa : se desplaza sobre un plano inclinado (Problema 4).
6. Sean ¡
1
. ¡
2
. .... ¡
a
un conjunto de coordenadas generalizadas independientes para
un sistema de : grados de libertad, con Lagrangiano 1 = 1

¡.
«
¡. t

. Supóngase que
se transforma a otro conjunto de coordenadas independientes :
1
. :
2
. .... :
a
mediante
las ecuaciones de transformación,
¡
j
= ¡
j
(:
1
. :
2
. .... :
a
. t) con i = 1. 2. .... :.
(a este tipo de transformación se le denomina trasformación de punto). Mostrar
que si el Lagrangiano es expresado como una función de :
;
.
«
:
;
y t mediante las
ecuaciones de transformación, entonces 1 satisface las ecuaciones de Lagrange
con respecto a las coordenadas :,
d
dt

·1
·
«
:
;

÷
·1
·:
;
= 0
En otras palabras, la forma de las ecuaciones de Lagrange es invariante bajo una
transformación puntual.
7. Una pequeña esfera se desliza sin rozamiento en un alambre liso doblado en forma
de cicloide (ver ﬁgura 5.21) cuya ecuación es,
r = c (o ÷Sen o) , n = c (1 + Cos o)
donde 0 _ o _ 2:.
a) Mostrar que la ecuación de movimiento viene dada por,
(1 ÷Cos o)
««
o +
1
2
Sen o
«
o
2
÷
o
2c
Sen o = 0
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 223
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
Figura (5.21): Esfera que se desliza, sin rozamiento, en un alambre liso doblado en forma de cicloide
(Problema 7).
b) Encuentre las fuerzas generalizadas de ligadura .
c) Mostrar que la ecuación de movimiento puede escribirse como,
««
n + .
2
n = 0
donde .
2
=
j
4o
y n = Cos (o2), que es la ecuación del oscilador armónico simple.
8. Mostrar que de las ecuaciones de Lagrange para un péndulo plano (ver ﬁgura 5.22)
se obtiene, usando coordenadas polares,
««
o +
o
/
Sen o = 0
y,
««
r +
r
«
r
2
/
2
÷r
2
+
or
/
2

/
2
÷r
2
= 0
si se usan coordenadas Cartesianas.
9. Mostrar que:
a) El Lagrangiano para el péndulo doble mostrado en la ﬁgura 5.23 viene dado por,
1 =
1
2
(:
1
+ :
2
) /
2
1
«
o
2
1
+
1
2
:
2
/
2
2
«
o
2
2
÷:
2
/
1
/
2
«
o
1
«
o
2
Cos (o
1
÷o
2
)
+(:
1
+ :
2
) o/
2
Cos o
1
+ :
2
o/
2
Cos o
2
b) Las ecuaciones de movimiento son,
d
dt
¸
(:
1
+ :
2
) /
2
1
«
o
1
÷:
2
/
1
/
2
«
o
2
Cos (o
1
÷o
2
)

= ÷(:
1
+ :
2
) o/
2
Sen o
1
o
ot
¸
/
2
«
o
2
÷/
1
«
o
1
Cos (o
1
÷o
2
)

= ÷o Sen o
2
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 224
5.16. PROBLEMAS
Figura (5.22): Péndulo simple (Problema 8).
c) Si
«
o
1
= 0, de tal manera que el soporte para el segundo péndulo se hace ﬁ-
jo, entonces la segunda de estas ecuaciones se reduce a la primera ecuación
obtenida en el problema 8.
10. Encuentre las fuerzas generalizadas de ligadura en el problema 9.
11. Encuentre las aceleraciones de los bloques mostrados en la ﬁgura 5.24 a partir de
las ecuaciones de Lagrange. No existe rozamiento alguno.
12. Dado el sistema mostrado en la ﬁgura 5.25 (no existe rozamiento),
a) Tome como coordenadas generalizadas las variables r y :. Muestre que el la-
grangiano viene dado por,
1 =
1
2
`
«
r
2
+
1
2
:

«
r
2
+
«
:
2
+ 2
«
r
«
: Cos o

+ :o: Sen o
y que,
««
r = ÷
1
2
:o Sen (2o)
` + :Sen
2
o
««
: =
(` + :) o Sen o
` + :Sen
2
o
b) El bloque de masa : parte del reposo respecto al plano inclinado y desde el
punto ¹. Demuestre que el tiempo que tarda la partícula en llegar al punto 1
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 225
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
Figura (5.23): Péndulo doble (Problema 9).
viene dado por,
t =

` + :Sen
2
o

(` + :) o Sen o
c) ¿Hay alguna coordenada cíclica?, ¿qué valor tiene su momento conjugado?,
¿se conserva la función de energía /?, ¿es igual a la energía mecánica total?.
13. El Lagrangiano para un sistema físico particular puede ser escrito como,
1
t
=
:
2

c
«
r
2
+ 2/
«
r
«
n + c
«
n
2

÷
1
2

cr
2
+ 2/rn + cn
2

donde c, / y c son constantes arbitrarias pero sujetas a la condición /
2
÷cc = 0.
a) Mostrar que las ecuaciones de movimiento vienen dadas por,
:

c
««
r + /
««
n

= ÷1 (cr + /n)
:

/
««
r + c
««
n

= ÷1 (/r + cn)
b) Examine particularmente los dos casos c = c = 0 y / = 0, c = ÷c. ¿Cuál es el
sistema físico decrito por el anterior Lagrangiano?.
c) Mostrar que el lagrangiano usual para este sistema está relacionado con 1
t
(ver
problema 3) por una trasformación puntual (ver problema 6) y (d) ¿cuál es el
signiﬁcado de la condición /
2
÷cc = 0?.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 226
5.16. PROBLEMAS
Figura (5.24): Dos bloques acoplados mediante una cuerda que pasa a través de una polea (Problema
11).
Figura (5.25): Bloque de masa : que se desplaza sobre un plano inclinado de masa ' móvil (Problema
12).
14. Dos masas :
1
y :
2
están unidas por una cuerda de longitud / inextensible y de
masa despreciable como se muestra en la ﬁgura 5.26. Encuentre las aceleraciones
de los bloques a partir de las ecuaciones de Lagrange, (a) usando / como coor-
denada generalizada y (b) usando /
1
como coordenada generalizada. No existe
rozamiento alguno.
15. Considérese el caso del movimieno de un proyectil de masa : bajo la acción de
la gravedad en dos dimensiones (estudiado en Física I como lanzamiento de un
proyectil con ángulo de elevación). Encontrar las ecuaciones de movimiento de
Lagrange en: (a) Coordeadas Cartesianas y (b) polares. Muestre un diagrama de
la situación.
16. Mostrar que la ecuación de movimiento de una partícula que cae verticalmente
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 227
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
Figura (5.26): Dos bloques acoplados mediante una cuerda que pasa a través de una polea (Problema
14).
bajo la inﬂuencia de la gravedad cuando están presentes fuerzas de fricción que
se pueden obtener de la función de disipasión
1
2
/·
2
viene dada por,
««
. = ÷o ÷
/
:
«
.
Integrar la ecuación para obtener la velocidad como una función del tiempo y
mostrar que la máxima velocidad posible para una caida desde el reposo es · =
nj
I
.
17. Obtener las ecuaciones de Lagrange para un péndulo esférico (ver ﬁgura 5.27).
Resp.:
««
o ÷Sen o Cos o
«
.
2
+
j
¹
Sen o = 0,
o
ot

Sen
2
o
«
.

= 0.
18. Encuentre las fuerzas generalizadas de ligadura en el problema 17.
19. Se tiene un péndulo simple plano cuyo punto de soporte se mueve verticalmente
de acuerdo a n
c
= n(t) , donde n(t) es una función dada del tiempo (ver ﬁgura
5.28).
a) Mostrar que,
r = / Sen o, n = n(t) ÷/ Cos o
b) Mostrar que el Lagrangiano se puede escribir como,
1 =
1
2
:

/
2
«
o
2
+ 2
«
n/
«
o Sen o +
«
n
2

÷:o (n ÷/ Cos o)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 228
5.16. PROBLEMAS
Figura (5.27): Péndulo esférico (Problema 17).
c) Mostrar, a partir de las ecuaciones de Lagrange, que,
««
o +

o +
««
n
/

Sen o = 0
20. El sistema mostrado en la ﬁgura 5.29 consta de una masa : sujeta a uno de los
extremos de una vara liviana de longitud /. El otro extremo está sujeto a un aro,
también liviano, de radio 1 que gira (en torno a su centro) en un plano con veloci-
dad angular costante ., haciendo que la vara pivotee en el mismo plano. Ignore el
campo gravitacional.
a) Mostrar que la posición de la masa : viene dada por,
r = / Cos (.t + ) + 1Cos (.t)
n = / Sen (.t + ) + Sen (.t)
b) Mostrar, a partir de las ecuaciones de Lagrange, que,
««
+

1.
2
/

Sen = 0
que es la ecuación de movimiento de un péndulo simple con o = 1.
2
.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 229
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
Figura (5.28): Péndulo simple cuyo soporte se mueve verticalmente (Problema 19).
21. El sistema mostrado en la ﬁgura 5.30 consta de una masa : sujeta a un soporte ﬁjo
mediante un resorte de constante de elasticidad / y de longitud /
c
cuando no está
perturbado. La masa : se mueve en un plano ﬁjo.
a) Mostrar que el Lagrangiano, en coordenadas Cartesianas, viene dado por,
1 =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2

+ :on
÷
1
2
/

r
2
+ n
2
÷/
c

2
y las correspondientes ecuaciones de Lagrange por,
:
««
r = ÷/r

1 ÷
/
c

r
2
+ n
2

:
««
n = :o ÷/n

1 ÷
/
c

r
2
+ n
2

b) Mostrar que el Lagrangiano, en coordenadas polares, viene dado por,
1 =
1
2
:

«
:
2
+ :
2
«
o
2

+ :o: Cos o
÷
1
2
/ (: ÷/
c
)
2
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 230
5.16. PROBLEMAS
Figura (5.29): Masa : unida a una vara liviana que pivotea por la acción de un aro que gira (Problema
20).
y las correspondientes ecuaciones de Lagrange por,
:
««
: = ::
«
o
2
+ :o Cos o
÷/ (: ÷/
c
)
::
2
««
o + 2::
«
:
«
o = ÷:o: Sen o
22. Una partícula de masa : describe, en el plano A) , una curva dada por la ecua-
ción n = 1 (r) cuando está sometida a un potencial l = l (n). Si ·
0
es la proyección
de la velocidad sobre el eje A, se pide:
a) Usando las ecuaciones de Lagrange, mostrar que la expresión general del po-
tencial en función de 1 viene dada por,
l = c ÷:·
2
c

d
2
1 (r)
dr
2
dn
donde c es una constante arbitraria.
b) Hallar l para el caso particular n =

a
o

3/2
.
23. Una cuenta de masa : desliza sin rozamiento a lo largo de un alambre circular de
radio 1. El alambre, situado verticalmente en un campo gravitatorio, gira alrededor
de su diámetro vertical con velocidad angular .. Para una velocidad angular .
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 231
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
Figura (5.30): Masa : sujeta a un soporte ﬁjo mediante un resorte (Problema 21).
mayor que un cierto valor crítico .
c
, la cuenta tiene un punto de equilibrio mecánico
estable en una posición dada por un ángulo o
c
respecto de la vertical. Se pide:
a) Mostrar que el Lagrangiano viene dado por,
1 =
1
2
:1
2
«
o
2
+
1
2
:1
2
.
2
Sen
2
o ÷:o1Cos o
donde o es el ángulo que forma la posición de la cuenta con el eje vertical
de giro, correspondiendo o = 0 con la partícula en la posición más baja en el
alambre.
b) Usando las ecuaciones de Lagrange mostrar que,
.
c
=

o
1
o
c
= Cos
÷1

o
1.
2

c) Mostrar que la ecuación de movimiento para o = o
c
+:, donde : es un parámetro
pequeño, viene dada por,
««
: + .
2

1 ÷
o
2
1
2
.
4

: = 0
que es la ecuación de movimiento para pequeñas oscilaciones alrededor de o
c
.
24. Considere el caso (ver ﬁgura ??) de un péndulo de masa : y longitud / sujeto a un
bloque de masa despreciable el cual esta sujeto, a la vez, a una pared mediante
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 232
5.16. PROBLEMAS
un resorte de masa despreciable y constante /. El bloque se mueve sin fricción sobre
un conjunto de rieles.
a. Mostrar que el Lagrangiano se puede escribir como,
1 =
1
2
:

«
r
2
+ /
2
«
o
2
+ 2/
«
r
«
o Cos o

÷
1
2
/r
2
+ :o/ Cos o
b. Mostrar que las ecuaciones de movimiento vienen dadas por,
««
r + .
2
1
r = /

«
o
2
Sen o ÷
««
o Cos o

, con .
2
1
=
/
:
««
o + .
2
2
o = ÷
1
/
««
r Cos o, con .
2
2
=
o
|
c. ¿Qué ocurre en las ecuaciones anteriores cuando
«
o = 0 y
«
r = 0?
Figura (5.31): Péndulo de masa : y longitud / sujeto a un bloque de masa despreciable el cual esta
sujeto, a la vez, a una pared mediante un resorte de masa despreciable (Problema 24).
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 233
CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 234
CAPÍTULO 6
Mecánica Hamiltoniana
En el capítulo anterior se desarrolló y aplicó, con cierta profundidad, la dinámi-
ca Lagrangiana. En el presente capítulo será desarrollada nuevamente la Mecánica
pero mediante una formulación diferente a la Lagrangiana, conocida con el nombre
de formulación Hamiltoniana. Desde el punto de vista físico nada novedoso se va a
agregar, eso sí, se va a adquirir un instrumento más potente para lidiar con los princi-
pios físicos conocidos. La teoría Hamiltoniana conduce a una comprensión esencial
de la estructura formal de la Mecánica.
En el siglo XIX, el irlandés William Rowan Hamilton, que había apreciado la potencia
y elegancia con que Lagrange había dotado a la Mecánica, emprende el trabajo de
sistematización de la óptica, con objeto de someterla a un esquema parecido al de
la Mecánica. No sólo consiguió su objetivo, sino que además apreció que los sistemas
ópticos y los sistemas mecánicos obedecen a un mismo principio variacional. La con-
cepción sintética de Hamilton produjo una nueva visión de la Mecánica, más intrínse-
ca que la Lagrangiana. La formulación Hamiltoniana, desarrollada posteriormente por
Jacobi, Poisson, etc., introdujo de nuevo una geometría en el espacio de fase (del
cual se hablará en la sección 6.7) de los sistemas mecánicos, en la que las normas
euclídeas tradicionales de los espacios ordinarios se sustituyen por las formas simpléc-
ticas, los productos escalares, por los corchetes de Poisson, etc. Gracias al estudio de
esta nueva geometría, cientíﬁcos del siglo XX, como Poincaré y Burns lograron resolver
problemas de Mecánica Celeste que habían permanecido sin resolver durante mucho
tiempo.
La formulación Hamiltoniana tiene como base el estudio de una función denomina-
235
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
da Hamiltoniano, en la cual está la información dinámica del sistema mecánico estu-
diado. Esta formulación fue de básica importancia para la transición desde la Mecáni-
ca Clásica a la Mecánica Cuántica a comienzos del siglo XX, principalmente en los
modelos de De Broglie, Schrodinger, Heisenberg, etc. Aunque no pueden deducirse
las leyes de la Mecánica Cuántica a partir de la formulación clásica Hamiltoniana,
el principio de correspondencia
1
proporciona información muy valiosa para inferir el
Hamiltoniano cuántico a partir del clásico (en ambos casos el Hamiltoniano determina
la evolución del sistema).
Las variables del Lagrangiano son las coordenadas generalizadas ¡
j
y las corres-
pondientes velocidades generalizadas
«
¡
j
mientras que en la teoría de Hamilton, las
coordenadas generalizadas ¡
j
y los correspondientes momentos generalizados j
j
(“co-
ordenadas de momento”) son usados como variables independientes.
Contents
6.1. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.1.1. Sistemas holónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.1.2. Sistemas no-holónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.2. Pasos a seguir para construir un Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . 243
6.3. Ejemplos con ligaduras holónomas (forma implícita) . . . . . . . . . . 246
6.4. Ejemplos con ligaduras holónomas (forma explícita) . . . . . . . . . . 259
6.5. Ejemplos con ligaduras semi-holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.6. Ecuaciones de Hamilton a partir del principio de Hamilton . . . . . . 272
6.7. Espacio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.8. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6.9. Forma simpléctica de las Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . 285
6.10. El método de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.11. Dinámica Lagrangiana vs Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
1
Principio que aﬁrma que una nueva teoría física debe explicar todos los fenómenos explicados por
la teoría a la que complementa. Originalmente formulado por el físico danés Niels Bohr, se empleó
inicialmente para describir la relación entre la teoría cuántica y la física clásica. En su formulación de
la teoría cuántica, Bohr y otros teóricos lo emplearon para guiarse en sus trabajos. Los físicos formularon
sus teorías de forma que, en situaciones en las que la física clásica es válida, las ecuaciones utilizadas
para la descripción de fenómenos cuánticos correspondieran a las ecuaciones obtenidas por la física
clásica. Este principio se cumple en gran parte de la teoría cuántica, y también en otras teorías como
la de la relatividad.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 236
6.1. ECUACIONES DE HAMILTON
6.1. Ecuaciones de Hamilton
Visto estrictamente como un problema matemático, la transición desde la for-
mulación Lagrangiana a la Hamiltoniana corresponde a cambiar las variables en las
funciones matemáticas desde las

¡
j
.
«
¡
j
. t

a las (¡
j
. j
j
. t), donde las j
j
están relacionadas
con las ¡
j
mediante,
j
j
=
·1

¡
j
.
«
¡
j
. t

·
«
¡
j
i = 1. 2. . . . . 3` (6.1)
que no son más que los momentos generalizados ya deﬁnidos en la sección 5.9 me-
diante la expresión (5.269).
En la formulación Hamiltoniana, a las cantidades (¡
j
. j
j
) se les da el nombre
de variables canónicas.
El procedimiento para el cambio de variables requerido es proporcionado por una
transformación de Legendre (ya estudiada en el capítulo 4) la cual está adaptada
justamente para este tipo de cambio de variable.
6.1.1. Sistemas holónomos
Las ligaduras se usan en forma implícita
Al igual que en la sección 5.1.1, cuando las 1 ligaduras holónomas (2.12), es-
critas en función de las coordenadas generalizadas, es decir,
1
|
(¡
j
. t) = 0, con i = 1. 2. .... : = 3` ÷/; | = 1. 2. .... 1
son usadas para reducir el número de coordenadas generalizadas, entonces el sis-
tema considerado pasa de tener 3` coordenadas generalizadas (dependientes + in-
dependientes) a : = 3` ÷ 1 (independientes). Como ya se sabe, la desventanja en
este caso radica en que no se obtiene información alguna sobre las fuerzas de ligadu-
ra actuantes en el sistema.
Con la ﬁnalidad de obtener las ecuaciones de Hamilton, comiéncese escribiendo
el diferencial total del Lagrangiano 1

¡
j
.
«
¡
j
. t

,
d1 =
c
¸
j=1

·1
·¡
j
d¡
j
+
·1
·
«
¡
j
d
«
¡
j

+
·1
·t
dt (6.2)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 237
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
que en virtud de (5.269) y (5.270) se puede escribir como,
d1 =
c
¸
j=1

«
j
j
d¡
j
+ j
j
d
«
¡
j

+
·1
·t
dt (6.3)
Por otro lado, el Hamiltoniano H (¡
j
. j
j
. t) es generado mediante la trasformación de
Legendre,
H (¡
j
. j
j
. t) =
c
¸
j=1
«
¡
j
j
j
÷1

¡
j
.
«
¡
j
. t

(6.4)
que no es más que la función de energía / deﬁnida en la sección 5.13.1 por la expre-
sión (5.278). La diferencial total de H = H (¡
j
. j
j
. t) viene dada por,
dH =
c
¸
j=1

·H
·¡
j
d¡
j
+
·H
·j
j
dj
j

+
·H
·t
dt (6.5)
y lo mismo, pero a partir de (6.4) es,
dH =
c
¸
j=1

«
¡
j
dj
j
+ j
j
d
«
¡
j

÷d1 (6.6)
que, al usar (6.3), se convierte en,
dH =
c
¸
j=1

«
¡
j
dj
j
÷
«
j
j
d¡
j

÷
·1
·t
dt (6.7)
Ahora bien, al comparar las expresiones (6.5) y (6.7) resulta,
«
¡
j
=
01
0j
.
«
j
j
= ÷
01
0o
.
¸
(6.8)
÷
·1
·t
=
·H
·t
(6.9)
Adicionalmente, al sustituir las expresiones (6.8) en (6.5), se obtiene,
dH
dt
=
«
H =
·H
·t
(6.10)
y, por lo tanto, de (6.9) y (6.10),
«
H =
·H
·t
= ÷
·1
·t
(6.11)
diciendo que,
Si el tiempo no aparece explícitamente en el Lagrangiano o en el Hamil-
toniano (sistema autónomo), H =constante (queda implícito que se cumplen
las ecuaciones de Euler-Lagrange y que las fuerzas son conservativas). Para
estos sistemas H = H (¡
j
. j
j
) = 1 y las ecuaciones de Hamilton (6.7) determinan
la evolución del sistema, conﬁnado a un sub-espacio de energía constante
del espacio deﬁnido por las ¡
j
y los j
j
, denominado espacio de fase, del cual
se hablará más adelante.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 238
6.1. ECUACIONES DE HAMILTON
Las expresiones (6.8) reciben el nombre de ecuaciones canónicas de Hamilton o
simplemente ecuaciones de movimiento de Hamilton
2
que constituyen un conjunto
de 2: ecuaciones de primer orden que reemplazan las : ecuaciones de Lagrange
de segundo orden (recordar que : = 3` ÷ / es el número de grados de libertad del
sistema, con ` el número de partículas y / el número de ligaduras).
Cuando un sistema admite un Hamiltoniano, se le denomina sistema
canónico.
La primera mitad de las ecuaciones de Hamilton proporcionan las
«
¡
j
como fun-
ciones de (¡
;
. j
;
. t), es decir,
«
¡
j
=
«
¡
j
(¡
;
. j
;
. t); que, por lo tanto, forman la inversa de las
ecuaciones (6.1), las cuales deﬁnen los momentos j
j
como funciones de

¡
;
.
«
¡
;
. t

, es
decir, j
j
= j
j

¡
;
.
«
¡
;
. t

. Se puede decir, por lo tanto, que estas ecuaciones no propor-
cionan nueva información en términos de la resolución de problemas mecánicos por
medio de las ecuaciones canónicas. La segunda mitad dice lo mismo para los
«
j
j
.
Por supuesto, el Hamiltoniano H fue construido de la misma forma (y tiene idéntico
valor) que la función de energía / deﬁnida en la sección 5.13.1 por la expresión (5.278),
pero son funciones de variables diferentes:
Al igual que el Lagrangiano, / es una función de las ¡
j
,
«
¡
j
(y posiblemente
t), mientras que H debe ser siempre expresado como una función de las ¡
j
,
j
j
(y posiblemente t). Debe hacerse hincapié respecto a esta diferencia en
el comportamiento funcional, a pesar de que ambas / y H tienen los mismos
valores numéricos.
Las ligaduras se usan en forma explícita
Como en la sección 5.1.1, cuando las 1 ligaduras holónomas (2.12) [o (5.18)
ya escritas en función de las coordenadas generalizadas] no son usadas para reducir
las coordenadas generalizadas a sólo aquellas que son independientes, sino que son
anexadas en forma explícita, entonces el sistema considerado sigue teniendo 3` co-
ordenadas generalizadas (dependientes + independientes).
2
Estas ecuaciones fueron primeramente obtenidas por Lagrange en el año 1809 y, en este mismo año,
Poisson obtuvo unas ecuaciones similares. Sin embargo ninguno de ellos reconoció a éstas como un
cojunto básico de ecuaciones de movimiento, habiéndolo hecho por primera vez en 1831, Cauchy.
Fue Hamilton en el año 1834 quien obtuvo por primera vez estas ecuaciones a partir de un principio
variacional fundamental y convirtiéndolas en la base de una amplia teoría de la dinámica. Así, la de-
signación ecuaciones de Hamilton es totalmente merecida.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 239
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
Al derivar parcialmente (6.4) con respecto a las ¡
j
resulta,
÷
·H
·¡
j
=
·1
·¡
j
(6.12)
que al ser sustituido en (5.272) y al derivar parcialmente (6.4) ahora con respecto a los
j
j
resulta respectivamente,
«
j
j
= ÷
01
0o
.
+
1
¸
|=1
\
|
(t)
0;
I
0o
.
+ (
.l
j
«
¡
j
=
01
0j
.

, con i = 1. 2. . . . . 3` (6.13)
El conjunto de ecuaciones (6.13) constituyen las ecuaciones de Hamilton para este
caso. Aquí, al igual que en la sección 5.1.1, las fuerzas de ligadura generalizadas (
|jj
j
vienen dadas por,
(
|jj
j
=
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·¡
j
(6.14)
Nótese que al hacer (
|jj
j
= 0 y (
.l
j
= 0 en estas ecuaciones, se reducen a las (6.8)
como era de esperarse.
Por otro lado, al sustituir las ecuaciones (6.13) en (6.5) resulta,
dH =
3.
¸
j=1
¸
÷
«
j
j
+
1
¸
|=1
\
|
(t)
·1
|
·¡
j
+ (
.l
j

d¡
j
+
«
¡
j
dj
j
¸
+
·H
·t
dt
=
1
¸
|=1

\
|
(t)
3.
¸
j=1
·1
|
·¡
j
d¡
j

+
3.
¸
j=1
(
.l
j
d¡
j
+
·H
·t
dt (6.15)
donde la sumatoria respecto al índice i se hace hasta 3` ya que las ligaduras no
son usadas para eliminar las coordenadas dependientes. Pero el diferencial total de
1
|
(¡
j
. t) = 0 viene dado por,
d1
|
=
3.
¸
j=1
·1
|
·¡
j
d¡
j
+
·1
|
·t
dt = 0
o,
3.
¸
j=1
·1
|
·¡
j
d¡
j
= ÷
·1
|
·t
dt (6.16)
entonces (6.15) puede ser escrita como,
dH = ÷
1
¸
|=1
\
|
(t)
·1
|
·t
dt +
3.
¸
j=1
(
.l
j
d¡
j
+
·H
·t
dt
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 240
6.1. ECUACIONES DE HAMILTON
o,
«
H =
·H
·t
÷
1
¸
|=1
\
|
(t)
·1
|
·t
+
3.
¸
j=1
(
.l
j
«
¡
j
(6.17)
que es la equivalente para el presente caso de la expresión (6.11). Nótese que se
reduce a esta última cuando
1
¸
|=1
\
|
(t)
0;
I
0o
.
= 0 y (
.l
j
= 0.
Si no existen fuerzas que no provengan de potenciales ((
.l
j
= 0), entonces las
ecuaciones (6.13) y (6.17) se pueden escribir como,
«
j
j
= ÷
01
0o
.
+
1
¸
|=1
\
|
0;
I
0o
.
«
¡
j
=
01
0j
.

, con i = 1. 2. . . . . 3` (6.18)
y,
«
H =
·H
·t
÷
1
¸
|=1
\
|
·1
|
·t
(6.19)
6.1.2. Sistemas no-holónomos
Como ya se mencionó en la sección 5.1.2, las ligaduras no-holónomas son fre-
cuentemente encontradas en la forma,
1
|

¡
j
.
«
¡
j
. t

=
3.
¸
;=1
¹
|;
(¡
j
. t)
«
¡
;
+ 1
|
(¡
j
. t) = 0, con | = 1. 2. . . . . 1
Al sustituir (6.12) en (5.273) y al derivar parcialmente (6.4) con respecto a los j
j
resulta
respectivamente,
«
j
j
= ÷
01
0o
.
+
1
¸
|=1
\
|
(¡
j
. t) ¹
|j
+ (
.l
j
«
¡
j
=
01
0j
.

, con i = 1. 2. . . . . 3` (6.20)
Aquí, al igual que en la sección 5.1.1, las fuerzas de ligadura generalizadas (
|jj
j
vienen
dadas por,
(
|jj
j
=
1
¸
|=1
\
|
¹
|j
(6.21)
El conjunto de ecuaciones (6.20) constituyen las ecuaciones de Hamilton para este
caso. Nótese que al hacer (
|jj
j
= 0 y (
.l
j
= 0 en estas ecuaciones, se reducen a las
(6.8) como era de esperarse.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 241
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
Por otro lado, al sustituir las ecuaciones (6.20) en (6.5) resulta,
dH =
3.
¸
j=1
¸
÷
«
j
j
+
1
¸
|=1
\
|
(¡
j
. t) ¹
|j
+ (
.l
j

d¡
j
+
«
¡
j
dj
j
¸
+
·H
·t
dt
=
1
¸
|=1

\
|
(¡
j
. t)
3.
¸
j=1
¹
|j
d¡
j

+
3.
¸
j=1
(
.l
j
d¡
j
+
·H
·t
dt (6.22)
donde la sumatoria respecto al índice i se hace hasta 3` ya que las ligaduras no son
usadas para eliminar las coordenadas dependientes. Esta expresión también puede
ser escrita como,
«
H =
·H
·t
+
1
¸
|=1

\
|
(¡
j
. t)
3.
¸
j=1
¹
|j
«
¡
j

+
3.
¸
j=1
(
.l
j
«
¡
j
o,
«
H =
·H
·t
÷
1
¸
|=1
\
|
(¡
j
. t) 1
|
(¡
j
. t) +
3.
¸
j=1
(
.l
j
«
¡
j
(6.23)
que es la equivalente para el presente caso de la expresión (6.11). Nótese que se
reduce a esta última cuando
1
¸
|=1
\
|
(¡
j
. t) 1
|
(¡
j
. t) = 0 y (
.l
j
= 0.
Si no existen fuerzas que no provengan de potenciales ((
.l
j
= 0), entonces las
ecuaciones (6.20) y (6.23) se pueden escribir como,
«
j
j
= ÷
01
0o
.
+
1
¸
|=1
\
|
¹
|j
«
¡
j
=
01
0j
.

, con i = 1. 2. . . . . 3` (6.24)
y,
«
H =
·H
·t
÷
1
¸
|=1
\
|
1
|
(6.25)
6.2. Pasos a seguir para construir un Hamiltoniano
Los pasos a seguir para construir un Hamiltoniano son los siguientes:
1. Después de escogido un conjunto de coordenadas generalizadas ¡
j
, se construye
el Lagrangiano 1

¡
j
.
«
¡
j
. t

.
2. Los momentos conjugados son deﬁnidos como funciones de las ¡
j
,
«
¡
j
y t mediante
(6.1),
j
j
=
·1

¡
j
.
«
¡
j
. t

·
«
¡
j
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 242
6.2. PASOS A SEGUIR PARA CONSTRUIR UN HAMILTONIANO
3. Se usa (6.4) para formar el Hamiltoniano,
H (¡
j
. j
j
. t) =
c
¸
j=1
«
¡
j
j
j
÷1

¡
j
.
«
¡
j
. t

En este paso se tiene H como una función mixta de las ¡
j
,
«
¡
j
j
j
y t pero, se necesita
que H sea una función sólo de ¡
j
, j
j
y t, de aquí que tengan que eliminarse las
«
¡
j
.
4. Se invierten las ecuaciones (6.1) del paso 2 para obtener las
«
¡
j
como funciones de
¡
j
, j
j
y t.
5. Los resultados del paso anterior se usan para eliminar las
«
¡
j
de H, para poder expre-
sarlo sólo como función de ¡
j
, j
j
y t.
Después de efectuados los pasos anteriores, se estará listo para usar las ecuaciones
canónicas de Hamilton (6.8), (6.13) o (6.20).
Para muchos sistemas físicos es posible acortar los pasos anteriores. Como se mostró
en la sección 5.13.1, en muchos problemas el Lagrangiano es la suma de funciones,
cada una homogénea en las velocidades generalizadas
«
¡
j
de grado 0, 1 y 2, respecti-
vamente. En este caso, H debido a (6.4) es dado por,
H =
c
¸
j=1
«
¡
j
j
j
÷

1
c
(¡
j
. t) + 1
1
(¡
j
. t)
«
¡
|
+ 1
2
(¡
j
. t)
«
¡
|
«
¡
n

(6.26)
donde 1
c
es la parte del Lagrangiano que es independiente de las velocidades ge-
neralizadas, 1
1
representa los coeﬁcientes de la parte del Lagrangiano que es ho-
mogénea en
«
¡
j
en primer grado y 1
2
es la parte que es homogénea en
«
¡
j
en segundo
grado. Además, si las expresiones que deﬁnen las coordenadas generalizadas no de-
penden explícitamente del tiempo (sistema natural u holónomo), entonces 1
2
«
¡
|
«
¡
n
= 1
(energía cinética), y si las fuerzas son derivables de un potencial conservativo l (el
trabajo es independiente del camino), entonces 1
c
= ÷l. Cuando estas condiciones
son satisfechas, el Hamiltoniano es automáticamente la energía total,
H = 1 + l = 1 (6.27)
Hay una forma práctica de obtener el Hamiltoniano. En muchos casos la elimi-
nación de las velocidades generalizadas de la expresión de H (pasos 4 y 5 al ﬁnal de
la sección anterior) es, en realidad, es extremadamente sencilla. Sin embargo, en un
caso general la eliminación de las velocidades generalizadas puede resultar algo más
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 243
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
engorrosa, al incluir expresiones de segundo grado en las velocidades. En efecto,de
(6.4),
H =
c
¸
j=1
«
¡
j
j
j
÷1 =
c
¸
j=1
«
¡
j
j
j
÷1 + l (6.28)
y al usar (2.46),
H =
c
¸
j=1
«
¡
j
j
j
÷

c
c
+
c
¸
;=1
c
;
«
¡
;
+
c
¸
;.I=1
c
;I
«
¡
;
«
¡
I

+ l (6.29)
De aquí habría que eliminar
«
¡
j
mediante sus expresiones en función de j
j
dadas por
(6.1) para poder expresar H sólo como función de ¡
j
, j
j
y t. En (6.29) intervienen en
expresiones cuadráticas de las
«
¡
j
pudiendo ser, la eliminación de las mismas, un desa-
rrollo bastante engorroso.
Aquí será encontrada otra expresión equivalente más sencilla, que será lineal en las
velocidades
«
¡
j
. En efecto,
«
¡
j
j
j
=
«
¡
j
·1
·
«
¡
j
....
Por (6.1)
=
«
¡
j
· (1 ÷l)
·
«
¡
j
=
«
¡
j
·1
·
«
¡
j
y usando (2.46),
c
¸
j=1
«
¡
j
j
j
=
c
¸
j=1
¸
«
¡
j
·
·
«
¡
j

c
c
+
c
¸
;=1
c
;
«
¡
;
+
c
¸
;.I=1
c
;I
«
¡
;
«
¡
I
¸
=
c
¸
j=1
¸
«
¡
j

c
¸
;=1
c
;
·
«
¡
;
·
«
¡
j
+
c
¸
;.I=1
c
;I
·
«
¡
;
·
«
¡
j
«
¡
I
+
c
¸
;.I=1
c
;I
«
¡
;
·
«
¡
I
·
«
¡
j
¸
=
c
¸
j=1
¸
«
¡
j

c
¸
;=1
c
;
o
;j
+
c
¸
;.I=1
c
;I
o
;j
«
¡
I
+
c
¸
;.I=1
c
;I
«
¡
;
o
Ij
¸
=
c
¸
j=1

«
¡
j

¸
¸
¸
¸
¸
c
j
+
c
¸
I=1
c
jI
«
¡
I
+
c
¸
;=1
c
;j
«
¡
;
. .. .
Términos iguales
¸

¸
¸
¸
¸
¸
¸
=
c
¸
j=1
¸
«
¡
j

c
j
+ 2
c
¸
I=1
c
jI
«
¡
I
¸
=
c
¸
j=1
c
j
«
¡
j
+ 2
c
¸
j.I=1
c
jI
«
¡
j
«
¡
I
(6.30)
pero, nuevamente, de (2.46)
c
¸
j.I=1
c
jI
«
¡
j
«
¡
I
= 1 ÷c
c
÷
c
¸
j=1
c
j
«
¡
j
(6.31)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 244
6.3. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA IMPLÍCITA)
entonces, al sustituir (6.31) en (6.30),
¸
j
«
¡
j
j
j
=
¸
j
c
j
«
¡
j
+ 2

1 ÷c
c
÷
c
¸
j=1
c
j
«
¡
j

y de aquí que,
1 =
1
2
¸
j

«
¡
j
j
j
+ c
j
«
¡
j

+ c
c
(6.32)
Por último, al sustituir (6.32) en (6.28),
H =
¸
j
«
¡
j
j
j
÷1 + l =
¸
j
«
¡
j
j
j
÷

1
2
¸
j

«
¡
j
j
j
+ c
j
«
¡
j

+ c
c

+ l
o,
H =
1
2
c
¸
j=1

«
¡
j
j
j
÷c
j
«
¡
j

÷c
c
+ l (6.33)
Obsérvese que la eliminación de las velocidades
«
¡
j
resulta más fácil en la expresión
(6.33) que en (6.29). En el caso en que 1 sea homogénea cuadrática en
«
¡
j
(lo que en
la práctica es bastante común) la expresión anterior se simpliﬁca para dar,
H =
1
2
c
¸
j=1
«
¡
j
j
j
+ l (6.34)
6.3. Ejemplos con ligaduras holónomas (forma implícita)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.1
Usar el método Hamiltoniano para encontrar las ecuaciones de mo-
vimiento de una partícula de masa : obligada a moverse sobre la superﬁcie de un
cilindro deﬁnido por r
2
+ n
2
= 1
2
. La partícula está sujeta a una fuerza dirigida hacia
el origen y proporcional a la distancia de la partícula al origen:
÷÷
1 = ÷1
÷÷
: (no existe
fricción alguna).
Solución: La ﬁgura 6.1 ilustra lo descrito en el enunciado del problema. Por la obvia
simetría del problema serán escogidas coordenadas cilíndricas (:
t
. .. .) para ubicar
la partícula (se ha escrito :
t
en vez de : para diferenciarlo del módulo del vector de
posición
÷÷
: en
÷÷
1 = ÷1
÷÷
: ).
La ligadura viene representada por la ecuación del cilindro,
r
2
+ n
2
= 1
2
(6.35)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 245
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
Figura (6.1): Partícula de masa : obligada a moverse sobre la superﬁcie de un cilindro (Ejemplo 6.1).
que es una ligadura holónoma, por lo tanto, con ella es posible eliminar coordenadas
dependientes.
Se construye el Lagrangiano: La energía potencial correspondiente a la fuerza
÷÷
1
es,
l = ÷

0
v
1d: =
1
2
1:
2
=
1
2
1

r
2
+ n
2
+ .
2

=
1
2
1

¸
1
2
....
Por (6.35)
+ .
2
¸

(6.36)
y la energía cinética, en coordenadas cilíndricas, viene dada por,
1 =
1
2
:·
2
=
1
2
:
¸

«
:
t

2
+ :
t2
«
.
2
+
«
.
2

=
1
2
:

1
2
«
.
2
+
«
.
2

. .. .
Puesto que v
0
=1= constante
(6.37)
entonces,
1 = 1 ÷l =
1
2
:

1
2
«
.
2
+
«
.
2

÷
1
2
1

1
2
+ .
2

(6.38)
Se observa que . es cíclica.
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: Las coordenadas generali-
zadas son . y ., y los momentos generalizados (6.1) son,
j
,
=
·1
·
«
.
= :1
2
«
. (6.39)
j
:
=
·1
·
«
.
= :
«
. (6.40)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 246
6.3. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA IMPLÍCITA)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo (el campo de
fuerza considerado es central y no existen fuerzas de fricción) y que las ecuaciones de
transformación entre las coordenadas Cartesianas y cilíndricas no involucran explíci-
tamente al tiempo, el Hamiltoniano H es justamente la energía total del sistema (6.27)
expresado en términos de las variables ., j
,
, . y j
:
(. no aparece explícitamente),
entonces,
H (.. j
,
. j
:
) = 1 + l =
j
2
,
2:1
2
+
j
2
:
2:
+
1
2
1

1
2
+ .
2

(6.41)
donde se ha usado (6.39) y (6.40) para eliminar
«
. y
«
..
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.8),
«
j
,
= ÷
·H
·.
= 0 (6.42)
«
j
:
= ÷
·H
·.
= ÷1. (6.43)
«
. =
·H
·j
,
=
j
,
:1
2
(6.44)
«
. =
·H
·j
:
=
j
:
:
(6.45)
El momento generalizado conjugado a . se conserva, ya que esta coordenada es
cíclica.
Las ecuaciones (6.44) y (6.45) duplican a las ecuaciones (6.39) y (6.40). De las ecua-
ciones (6.39) y (6.42) se obtiene,
j
,
= :1
2
«
. = constante (6.46)
expresando que el momento angular en torno al eje . es una constante de movimien-
to. Este resultado es debido a que . es el eje de simetría del problema. Combinando
las ecuaciones (6.40) y (6.43), se obtiene,
««
. + .
2
c
. = 0 (6.47)
donde,
.
2
c
=
1
:
(6.48)
expresando que el movimiento en la dirección . es armónico simple.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 247
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
Ejemplo 6.2
Resolver el ejemplo 5.1 por el método Hamiltoniano.
Solución:
Se construye el Lagrangiano: El Lagrangiano viene dado por (5.50),
1 =
1
2
:
«
r
2
sec
2
o + :or tan o ÷:o/
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: La única coordenada ge-
neralizada es r,
j
a
=
·1
·
«
r
= :
«
r sec
2
o =
«
r =
j
a
:
Cos
2
o (6.49)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoni-
ano H es justamente la energía total del sistema (6.27),
H = 1 + l =
1
2
:
«
r
2
sec
2
o ÷:or tan o + :o/
=
j
2
a
2:
Cos
2
o ÷:or tan o + :o/ (6.50)
donde se ha usado (6.49) para eliminar
«
r.
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.8),
«
j
a
= ÷
01
0a
= ÷:o tan o
«
r =
01
0ji
=
ji
n
Cos
2
o
¸
(6.51)
Es fácil probar que estas ecuaciones corresponden con la ecuación (5.51) obtenida
por el método de Lagrange.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.3
Resolver la parte (a) del ejemplo 5.2 por el método Hamiltoniano.
Solución:
Se construye el Lagrangiano: El Lagrangiano viene dado por (5.54),
1 = 1 ÷l =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2
+
«
.
2

÷l (r. n. .)
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: Las coordenadas generali-
zadas son r, n y .,
j
a
=
01
0

a
= :
«
r =
«
r =
ji
n
j
&
=
01
0

&
= :
«
n =
«
n =
ju
n
j
:
=
01
0

:
= :
«
. =
«
. =
j:
n

(6.52)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 248
6.3. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA IMPLÍCITA)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoni-
ano H es justamente la energía total del sistema (6.27),
H = 1 + l =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2
+
«
.
2

+ l (r. n. .)
=
j
2
a
2:
+
j
2
&
2:
+
j
2
:
2:
+ l (r. n. .) (6.53)
donde se ha usado (6.52) para eliminar
«
r,
«
n y
«
..
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.8),
«
j
a
= ÷
01
0a
= ÷
0l
0a
= 1
a
«
j
&
= ÷
01
0&
= ÷
0l
0&
= 1
&
«
j
:
= ÷
01
0:
= ÷
0l
0:
= 1
:
«
r =
01
0ji
=
ji
n
«
n =
01
0ju
=
ju
n
«
. =
01
0j:
=
j:
n

(6.54)
que son las ecuaciones de Hamilton pedidas. Es fácil probar que estas ecuaciones
corresponden con las ecuaciones (5.55) obtenidas por el método de Lagrange.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.4
Resolver el ejemplo 5.3 por el método Hamiltoniano.
Solución:
Se construye el Lagrangiano: El Lagrangiano viene dado por (5.69),
1 = 1 ÷l =
1
2
(`
1
+ `
2
)
«
n
2
+ `
1
on + `
2
o (/ ÷n)
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: La única coordenada ge-
neralizada es n,
j
&
=
·1
·
«
n
= (`
1
+ `
2
)
«
n =
«
n =
j
&
(`
1
+ `
2
)
(6.55)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoni-
ano H es justamente la energía total del sistema (6.27),
H = 1 + l =
1
2
(`
1
+ `
2
)
«
n
2
÷`
1
on ÷`
2
o (/ ÷n)
=
j
2
&
2 (`
1
+ `
2
)
÷`
1
on ÷`
2
o (/ ÷n) (6.56)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 249
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
donde se ha usado (6.55) para eliminar
«
n.
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.8),
«
j
&
= ÷
01
0&
= `
1
o ÷`
2
o
«
n =
01
0ju
=
ju
(A
1
+A
2
)
¸
(6.57)
Es fácil probar que estas ecuaciones corresponden con la ecuación (5.71) obtenida
por el método de Lagrange.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.5
Resolver el ejemplo 5.4 por el método Hamiltoniano.
Solución:
Se construye el Lagrangiano: El Lagrangiano viene dado por (5.74),
1 = 1 ÷l =
1
2
:

«
:
2
+ :
2
.
2

Se buscan los momentos generalizados o conjugados: La única coordenada ge-
neralizada es :,
j
v
=
·1
·
«
:
= :
«
: =
«
: =
j
v
:
(6.58)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoni-
ano H es justamente la energía total del sistema (6.27),
H = 1 + l =
1
2
:

«
:
2
+ :
2
.
2

=
j
2
v
2:
+
1
2
::
2
.
2
(6.59)
donde se ha usado (6.58) para eliminar
«
:.
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.8),
«
j
v
= ÷
01
0v
= ::.
2
«
: =
01
0jr
=
jr
n
¸
(6.60)
Es fácil probar que estas ecuaciones corresponden con la ecuación (5.75) obtenida
por el método de Lagrange.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 250
6.3. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA IMPLÍCITA)
Ejemplo 6.6
Resolver el ejemplo 5.5 por el método Hamiltoniano.
Solución:
(a) Coordenadas Cartesianas:
Se construye el Lagrangiano: El Lagrangiano viene dado por (5.78),
1 = 1 ÷l =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2

÷:on
Obsérvese que r es cíclica.
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: Las coordenadas generali-
zadas son r y n,
j
a
=
01
0

a
= :
«
r =
«
r =
ji
n
j
&
=
01
0

&
= :
«
n =
«
n =
ju
n
¸
(6.61)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoni-
ano H es justamente la energía total del sistema (6.27),
H = 1 + l =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2

+ :on
=
j
2
a
2:
+
j
2
&
2:
+ :on (6.62)
donde se ha usado (6.61) para eliminar
«
r y
«
n.
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.8),
«
j
a
= ÷
01
0a
= 0
«
j
&
= ÷
01
0&
= ÷:o
«
r =
01
0ji
=
ji
n
«
n =
01
0ju
=
ju
n

(6.63)
El momento generalizado conjugado a la coordenada r se conserva, ya que esta
coordenada es cíclica. Es fácil probar que estas ecuaciones corresponden con las
ecuaciones (5.79) obtenidas por el método de Lagrange.
(b) Coordenadas polares:
Se construye el Lagrangiano: El Lagrangiano viene dado por (5.82),
1 = 1 ÷l =
1
2
:

«
:
2
+ :
2
«
.
2

÷:o: Sen .
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 251
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: Las coordenadas generali-
zadas son : y .,
j
v
=
01
0

v
= :
«
: =
«
: =
jr
n
j
,
=
01
0

,
= ::
2
«
. =
«
. =
jç
nv
2
¸
(6.64)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoni-
ano H es justamente la energía total del sistema (6.27),
H = 1 + l =
1
2
:

«
:
2
+ :
2
«
.
2

+ :o: Sen .
=
j
2
r
2:
+
j
2
,
2::
2
+ :o: Sen . (6.65)
donde se ha usado (6.64) para eliminar
«
: y
«
..
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.8),
«
j
v
= ÷
01
0v
= ÷
j
2
ç
nv
3
÷:o Sen .
«
j
,
= ÷
01
0,
= ÷:o: Cos .
«
: =
01
0jr
=
jr
n
«
. =
01
0jç
=
jç
nv
2

(6.66)
Es fácil probar que estas ecuaciones corresponden con las ecuaciones (5.83) obtenidas
por el método de Lagrange.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.7
Resolver el ejemplo 5.6 por el método Hamiltoniano.
Solución:
Se construye el Lagrangiano: El Lagrangiano viene dado por (5.87),
1 = 1 ÷l =
1
2
:

«
:
2
csc
2
c + :
2
«
.
2

÷:o: cot c
Obsérvese que . es cíclica.
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: Las coordenadas generali-
zadas son : y .,
j
v
=
01
0

v
= :
«
: csc
2
c =
«
: =
jr
n
Sen
2
c
j
,
=
01
0

,
= ::
2
«
. =
«
. =
jç
nv
2
¸
(6.67)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 252
6.3. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA IMPLÍCITA)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoni-
ano H es justamente la energía total del sistema (6.27),
H = 1 + l =
1
2
:

«
:
2
csc
2
c + :
2
«
.
2

+ :o: cot c
=
j
2
v
2:
Sen
2
c +
j
2
,
2::
2
+ :o: cot c (6.68)
donde se ha usado (6.67) para eliminar
«
: y
«
..
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.8),
«
j
v
= ÷
01
0v
= ÷
j
2
ç
nv
3
÷:o cot c
«
j
,
= ÷
01
0,
= 0
«
: =
01
0jr
=
jr
n
Sen
2
c
«
. =
01
0jç
=
jç
nv
2

(6.69)
El momento generalizado conjugado a la coordenada . se conserva, ya que esta
coordenada es cíclica. Es fácil probar que estas ecuaciones corresponden con las
ecuaciones (5.88) obtenidas por el método de Lagrange.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.8
Usando el método Hamiltoniano, encuentre las ecuaciones de mo-
vimiento para un péndulo esférico de masa : y longitud /.
Solución: La ﬁgura 6.2 ilustra lo descrito en el enunciado del problema.
Se construye el Lagrangiano: Las coordenadas generalizadas son o y .. La energía
cinética (en coordenadas esféricas) es,
1 =
1
2
:·
2
=
1
2
:

«
:
2
+ :
2
«
o
2
+ :
2
Sen
2
o
«
.
2

=
1
2
:/
2

«
o
2
+ Sen
2
o
«
.
2

. .. .
Puesto que v=b= constante
(6.70)
Por otro lado, la única fuerza que actúa sobre el péndulo es la gravedad y si se deﬁne
el potencial cero en el punto de soporte del péndulo,
l = ÷:o/ Cos o (6.71)
entonces,
1 = 1 ÷l =
1
2
:/
2

«
o
2
+ Sen
2
o
«
.
2

+ :o/ Cos o (6.72)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 253
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
Figura (6.2): Péndulo esférico (Ejemplo 6.8).
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: Las coordenadas generali-
zadas son o y ., y los momentos generalizados (6.1) son,
j
0
=
·1
·
«
o
= :/
2
«
o (6.73)
j
,
=
·1
·
«
.
= :/
2
Sen
2
o
«
. (6.74)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo y que las ecua-
ciones de transformación entre las coordenadas Cartesianas y esféricas no involucran
explícitamente al tiempo, el Hamiltoniano H es justamente la energía total del sistema
(6.27),
H = 1 + l =
j
2
0
2:/
2
+
j
2
,
2:/
2
Sen
2
o
÷:o/ Cos o (6.75)
donde se ha usado (6.73) y (6.74) para eliminar
«
o y
«
..
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.8),
«
j
0
= ÷
01
00
=
j
2
0
Cos 0
nb
2
Sen
3
0
÷:o/ Sen o
«
j
,
= ÷
01
0,
= 0
«
o =
01
0j
0
=
j
0
nb
2
«
. =
01
0jç
=
jç
nb
2
Sen
2
0

(6.76)
Como . es cíclica, el momento j
,
referente al eje de simetría es constante.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 254
6.3. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA IMPLÍCITA)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.9
Obtenga las ecuaciones de Hamilton para una partícula de masa :
que se mueve a lo largo del eje r sometida a una fuerza ÷1r (1 constante positiva).
Solución: La ﬁgura 6.3 ilustra lo descrito en el enunciado del problema.
Figura (6.3): Partícula de masa : que se mueve a lo largo del eje r sometida a una fuerza ÷1r (Ejemplo
6.9).
Se construye el Lagrangiano: La coordena generaliza es r. La energía cinética (en
coordenadas Cartesianas) es,
1 =
1
2
:·
2
=
1
2
:
«
r
2
(6.77)
Por otro lado, la única fuerza que actúa sobre la partícula que oscila es ÷1r y si se
deﬁne el potencial cero en el origen,
l =
1
2
1r
2
(6.78)
entonces,
1 = 1 ÷l =
1
2
:
«
r
2
÷
1
2
1r
2
(6.79)
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: La coordenada generaliza-
da es r y el momento generalizado (6.1) es,
j
a
=
·1
·
«
r
= :
«
r (6.80)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo y el tiempo
no aparece en forma explícita, el Hamiltoniano H es justamente la energía total del
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 255
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
sistema (6.27),
H = 1 + l =
j
2
a
2:
+
1
2
1r
2
(6.81)
donde se ha usado (6.80)
«
r.
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.8),
«
j
a
= ÷
01
0a
= ÷1r
«
r =
01
0ji
=
ji
n
¸
(6.82)
Al sustituir la segunda de las ecuaciones (6.82) para j
a
en la primera, resulta,
1r = ÷
d
dt

:
«
r

o,
««
r + .
2
c
r = 0 (6.83)
con,
.
2
c
=
1
:
que es la familiar ecuación de movimiento para el oscilador armónico simple.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.10
Obtener las ecuaciones de movimiento de Hamilton para una par-
tícula de masa : que se mueve en un plano, inmersa en un campo con energía po-
tencial l = l (:) (campo central).
Solución: La ﬁgura 6.4 ilustra lo descrito en el enunciado del problema.
Se construye el Lagrangiano: La energía potencial es,
l = l (:) (6.84)
y la energía cinética, en coordenadas polares, viene dada por,
1 =
1
2
:·
2
=
1
2
:

«
:
2
+ :
2
«
.
2

(6.85)
entonces,
1 = 1 ÷l =
1
2
:

«
:
2
+ :
2
«
.
2

÷l (:) (6.86)
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: Las coordenadas generali-
zadas son : y ., y los momentos generalizados (6.1) son,
j
v
=
·1
·
«
:
= :
«
: (6.87)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 256
6.3. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA IMPLÍCITA)
Figura (6.4): Partícula de masa : que se mueve en un plano, inmersa en un campo con energía poten-
cial l = l (r) (Ejemplo 6.10).
j
,
=
·1
·
«
.
= ::
2
«
. (6.88)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoni-
ano H es justamente la energía total del sistema (6.27), entonces,
H = 1 + l =
1
2:

j
2
v
+
j
2
,
:
2

+ l (:) (6.89)
donde se ha usado (6.87) y (6.88) para eliminar
«
: y
«
..
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.8),
«
j
v
= ÷
·H
·:
=
j
2
,
::
3
÷
·l (:)
·:
(6.90)
«
j
,
= ÷
·H
·.
= 0 (6.91)
«
: =
·H
·j
v
=
j
v
:
(6.92)
«
. =
·H
·j
,
=
j
0
::
2
(6.93)
de las cuales se puede notar que . es cíclica, indicando que el momento angular en
un campo central es constante.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.11
Usar el método Hamiltoniano para encontrar la ecuación de movi-
miento para un péndulo simple de masa : y longitud /.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 257
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
Figura (6.5): Péndulo simple de masa : y longitud / (Ejemplo 6.11).
Solución: La ﬁgura 6.5 ilustra lo descrito en el enunciado del problema.
Se construye el Lagrangiano: La energía potencial es,
l = :o/ = :o/ (1 ÷Cos o) (6.94)
y la energía cinética viene dada por,
1 =
1
2
:·
2
=
1
2
:/
2
«
o
2
(6.95)
entonces,
1 = 1 ÷l =
1
2
:/
2
«
o
2
÷:o/ (1 ÷Cos o) (6.96)
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: Las coordenada generaliza-
da es o y el momento generalizado (6.1) es,
j
0
=
·1
·
«
o
= :/
2
«
o (6.97)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoni-
ano H es justamente la energía total del sistema (6.27) entonces,
H = 1 + l =
j
2
0
2:/
2
+ :o/ (1 ÷Cos o) (6.98)
donde se ha usado (6.97) para eliminar
«
o.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 258
6.4. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA EXPLÍCITA)
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.8),
«
j
0
= ÷
·H
·o
= ÷:o/ Sen o (6.99)
«
o =
·H
·j
0
=
j
0
:/
2
(6.100)
De la ecuación (6.100) se tiene que,
j
0
= :/
2
«
o (6.101)
que al derivarla con respecto al tiempo,
«
j
0
= :/
2
««
o (6.102)
Por último, al comparar (6.102) con (6.99) resulta,
««
o +
o
/
Sen o = 0 (6.103)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Ejemplos con ligaduras holónomas (forma explícita)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.12
Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.12
usando el método de Hamilton.
Solución: De (5.130), la ligadura viene dada por,
1 (r. n) = n + r tan o ÷/ = 0
Se construye el Lagrangiano: El Lagrangiano viene dado por (5.48),
1 = 1 ÷l =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2

÷:on
en el cual no se ha eliminado la coordenada dependiente mediante el uso de la
ligadura.
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: Las coordenadas generali-
zadas son r y n,
j
a
=
01
0

a
= :
«
r =
«
r =
ji
n
j
&
=
01
0

&
= :
«
n =
«
n =
ju
n
¸
(6.104)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 259
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoni-
ano H es justamente la energía total del sistema (6.27),
H = 1 + l =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2

+ :on
=
j
2
a
2:
+
j
2
&
2:
+ :on (6.105)
donde se ha usado (6.104) para eliminar
«
r y
«
n.
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.18) con
1 = 1 por sólo haber una ligadura,
«
j
a
= ÷
01
0a
+ \
1
0;
1
0a
= \
1
tan o
«
j
&
= ÷
01
0&
+ \
1
0;
1
0&
= ÷:o + \
1
«
r =
01
0ji
=
ji
n
«
n =
01
0ju
=
ju
n

(6.106)
Al sustituir el segundo par de ecuaciones (6.106) en el primer par resulta,
:
««
r = \
1
tan o
:
««
n = ÷:o + \
1
¸
(6.107)
Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (5.135) y (5.136), por lo tanto es de
esperarse que al usar (6.14), el resultado sea el dado por (5.137) y (5.138).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.13
Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.13
usando el método de Hamilton.
Solución: De (5.139), la ligadura viene dada por,
1 (n
1
. n
2
) = n
1
+ n
2
÷/ = 0
Se construye el Lagrangiano: A partir de (5.67) y (5.68) el Lagrangiano viene dado
por,
1 = 1 ÷l =
1
2
`
1
«
n
2
1
+
1
2
`
2
«
n
2
2
+ `
1
on
1
+ `
2
on
2
en el cual no se ha eliminado la coordenada dependiente mediante el uso de la
ligadura.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 260
6.4. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA EXPLÍCITA)
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: Las coordenadas generali-
zadas son n
1
y n
2
,
j
&
1
=
01
0

&
1
= `
1
«
n
1
=
«
n
1
=
ju
1
A
1
j
&
2
=
01
0

&
2
= `
2
«
n
2
=
«
n
2
=
ju
2
A
2

(6.108)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoni-
ano H es justamente la energía total del sistema (6.27),
H = 1 + l =
1
2
`
1
«
n
2
1
+
1
2
`
2
«
n
2
2
÷`
1
on
1
÷`
2
on
2
=
j
2
&
1
2`
1
+
j
2
&
2
2`
2
÷`
1
on
1
÷`
2
on
2
(6.109)
donde se ha usado (6.108) para eliminar
«
n
1
y
«
n
2
.
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.18) con
1 = 1 por sólo haber una ligadura,
«
j
&
1
= ÷
01
0&
1
+ \
1
0;
1
0&
1
= `
1
o + \
1
«
j
&
2
= ÷
01
0&
2
+ \
1
0;
1
0&
2
= `
2
o + \
1
«
n
1
=
01
0ju
1
=
ju
1
A
1
«
n
2
=
01
0ju
2
=
ju
2
A
2

(6.110)
Al sustituir el segundo par de ecuaciones (6.110) en el primer par resulta,
`
1
««
n
1
= `
1
o + \
1
`
2
««
n
2
= `
2
o + \
1
¸
(6.111)
Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (5.144) y (5.145), por lo tanto es de
esperarse que al usar (6.14), el resultado sea el dado por (5.146).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.14
Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.14
usando el método de Hamilton.
Solución: De (5.147), la ligadura viene dada por,
1 (.. :) = . ÷c:
2
= 0
Se construye el Lagrangiano: A partir de (5.104) y (5.105) el Lagrangiano viene dado
por,
1 = 1 ÷l =
1
2
:

«
:
2
+ :
2
«
.
2
+
«
.
2

÷:o.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 261
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
en el cual no se ha eliminado la coordenada dependiente mediante el uso de la
ligadura.
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: Las coordenadas generali-
zadas son :, . y .,
j
v
=
01
0

v
= :
«
: =
«
: =
jr
n
j
,
=
01
0

,
= ::
2
«
. =
«
. =
jç
nv
2
j
:
=
01
0

:
= :
«
. =
«
. =
j:
n

(6.112)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoni-
ano H es justamente la energía total del sistema (6.27),
H = 1 + l =
1
2
:

«
:
2
+ :
2
«
.
2
+
«
.
2

+ :o.
=
j
2
v
2:
+
j
2
,
2::
2
+
j
2
:
2:
+ :o. (6.113)
donde se ha usado (6.112) para eliminar
«
:,
«
. y
«
..
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.18) con
1 = 1 por sólo haber una ligadura,
«
j
v
= ÷
01
0v
+ \
1
0;
1
0v
=
j
2
ç
nv
3
÷2c:\
1
«
j
,
= ÷
01
0,
+ \
1
0;
1
0,
= 0
«
j
:
= ÷
01
0:
+ \
1
0;
1
0:
= ÷:o + \
1
«
: =
01
0jr
=
jr
n
«
. =
01
0jç
=
jç
nv
2
«
. =
01
0j:
=
j:
n

(6.114)
Al sustituir el segundo trío de ecuaciones (6.114) en el primer trío resulta,
:
««
: ÷::
«
.
2
= ÷2c:\
1
2
«
:
«
. + :
««
. = 0
:
««
. + :o = \
1

(6.115)
Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (5.154), (5.155) y (5.156), por lo tanto
es de esperarse que al usar (6.14), el resultado sea el dado por (5.161), (5.162) y (5.163).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 262
6.4. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA EXPLÍCITA)
Ejemplo 6.15
Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.15
usando el método de Hamilton.
Solución: De (5.167), la ligadura viene dada por,
1 (r. o) = r ÷1o
Se construye el Lagrangiano: A partir de (5.167) el Lagrangiano viene dado por,
1 =
1
2
`
«
r
2
+
1
4
`1
2
«
o
2
÷`o(| ÷r) Sen c
en el cual no se ha eliminado la coordenada dependiente mediante el uso de la
ligadura.
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: Las coordenadas generali-
zadas son r y o,
j
a
=
01
0

a
= `
«
r =
«
r =
ji
A
j
0
=
01
0

0
=
1
2
`1
2
«
o =
«
o =
2j
0
A1
2

(6.116)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoni-
ano H es justamente la energía total del sistema (6.27),
H = 1 + l =
1
2
`
«
r
2
+
1
4
`1
2
«
o
2
+ `o(| ÷r) Sen c
=
j
2
a
2`
+
j
2
0
`1
2
+ `o(| ÷r) Sen c (6.117)
donde se ha usado (6.116) para eliminar
«
r y
«
o.
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.18) con
1 = 1 por sólo haber una ligadura,
«
j
a
= ÷
01
0a
+ \
1
0;
1
0a
= `o Sen c + \
1
«
j
0
= ÷
01
00
+ \
1
0;
1
00
= ÷1\
1
«
r =
01
0ji
=
ji
A
«
o =
01
0j
0
=
2j
0
A1
2

(6.118)
Al sustituir el segundo par de ecuaciones (6.118) en el primer par resulta,
`
««
r ÷`o Sen c ÷\
1
= 0
1
2
`1
««
o + \
1
= 0
¸
(6.119)
Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (5.172), por lo tanto es de esperarse
que al usar (6.14), el resultado sea el dado por (5.178).
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 263
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.16
Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.16
usando el método de Hamilton.
Solución: De (5.180), la ligadura viene dada por,
1 (o. c) = (1
2
÷1
1
) o ÷1
1
c = 0
Se construye el Lagrangiano: A partir de (5.125) y (5.126) el Lagrangiano viene dado
por,
1 = 1 ÷l =
1
2
:(1
2
÷1
1
)
2
«
o
2
+
1
4
:1
2
1
«
c
2
+ :o (1
2
÷1
1
) Cos o
en el cual no se ha eliminado la coordenada dependiente mediante el uso de la
ligadura.
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: Las coordenadas generali-
zadas son o y c,
j
0
=
01
0

0
= :(1
2
÷1
1
)
2
«
o =
«
o =
j
0
n(1
2
÷1
1
)
2
j
c
=
01
0

c
=
1
2
:1
2
1
«
c =
«
c =
2j
c
n1
2
1

(6.120)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoni-
ano H es justamente la energía total del sistema (6.27),
H = 1 + l =
1
2
:(1
2
÷1
1
)
2
«
o
2
+
1
4
:1
2
1
«
c
2
÷:o (1
2
÷1
1
) Cos o
=
j
2
0
2:(1
2
÷1
1
)
2
+
j
2
c
:1
2
1
÷:o (1
2
÷1
1
) Cos o (6.121)
donde se ha usado (6.120) para eliminar
«
r y
«
c.
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.18) con
1 = 1 por sólo haber una ligadura,
«
j
0
= ÷
01
00
+ \
1
0;
1
00
= ÷:o (1
2
÷1
1
) Sen o + (1
2
÷1
1
) \
1
«
j
c
= ÷
01
0c
+ \
1
0;
1
0c
= ÷1
1
\
1
«
o =
01
0j
0
=
j
0
n(1
2
÷1
1
)
2
«
c =
01
0j
c
=
2j
c
n1
2
1

(6.122)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 264
6.4. EJEMPLOS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS (FORMA EXPLÍCITA)
Al sustituir el segundo par de ecuaciones (6.122) en el primer par resulta,
:(1
2
÷1
1
)
««
o + :o Sen o = \
1
1
2
:1
1
««
c = ÷\
1

(6.123)
Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (5.185) y (5.186), por lo tanto es de
esperarse que al usar (6.14), el resultado sea el dado por (5.188) y (5.189).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.17
Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.17
usando el método de Hamilton.
Solución: De (5.190), la ligadura viene dada por,
1 (:) = : ÷c = 0
Se construye el Lagrangiano: A partir de (5.191) el Lagrangiano viene dado por,
1 = 1 ÷l =
:
2

«
:
2
+ :
2
«
o
2

÷:o: Cos o
en el cual no se ha eliminado la coordenada dependiente mediante el uso de la
ligadura.
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: Las coordenadas generali-
zadas son : y o,
j
v
=
01
0

v
= :
«
: =
«
: =
jr
n
j
0
=
01
0

0
= ::
2
«
o =
«
o =
j
0
nv
2

(6.124)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoni-
ano H es justamente la energía total del sistema (6.27),
H = 1 + l =
:
2

«
:
2
+ :
2
«
o
2

+ :o: Cos o
=
j
2
v
2:
+
j
2
0
2::
2
+ :o: Cos o (6.125)
donde se ha usado (6.124) para eliminar
«
: y
«
o.
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.18) con
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 265
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
1 = 1 por sólo haber una ligadura,
«
j
v
= ÷
01
0v
+ \
1
0;
1
0v
=
j
2
0
nv
3
÷:o Cos o + \
1
=
j
2
0
no
3
÷:o Cos o + \
1
«
j
0
= ÷
01
00
+ \
1
0;
1
00
= :o: Sen o = :oc Sen o
«
: =
01
0jr
=
jr
n
= 0
«
o =
01
0j
0
=
j
0
nv
2
=
j
0
no
2

(6.126)
Al sustituir el segundo par de ecuaciones (6.126) en el primer par resulta,
÷:c
«
o
2
+ :o Cos o ÷\
1
= 0
c
««
o ÷o Sen o = 0

(6.127)
Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (5.195) y (5.196), por lo tanto es de
esperarse que al usar (6.14), el resultado sea el dado por (5.202) y (5.203).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.18
Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.18
usando el método de Hamilton.
Solución: De (5.207), la ligadura viene dada por,
1 (r. n. t) = n ÷r tan o ÷/(t) = 0
Se construye el Lagrangiano: A partir de (5.210) el Lagrangiano viene dado por,
1 = 1 ÷l =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2

÷:on
en el cual no se ha eliminado la coordenada dependiente mediante el uso de la
ligadura.
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: Las coordenadas generali-
zadas son r y n,
j
a
=
01
0

a
= :
«
r =
«
r =
ji
n
j
&
=
01
0

&
= :
«
n =
«
n =
ju
n
¸
(6.128)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoni-
ano H es justamente la energía total del sistema (6.27),
H = 1 + l =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2

+ :on
=
j
2
a
2:
+
j
2
&
2:
+ :on (6.129)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 266
6.5. EJEMPLOS CON LIGADURAS SEMI-HOLÓNOMAS
donde se ha usado (6.128) para eliminar
«
r y
«
n.
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.18) con
1 = 1 por sólo haber una ligadura,
«
j
a
= ÷
01
0a
+ \
1
0;
1
0a
= ÷\
1
tan o
«
j
&
= ÷
01
0&
+ \
1
0;
1
0&
= ÷:o + \
1
«
r =
01
0ji
=
ji
n
«
n =
01
0ju
=
ju
n

(6.130)
Al sustituir el segundo par de ecuaciones (6.130) en el primer par resulta,
:
««
r = ÷\
1
tan o
:
««
n + :o = \
1
¸
(6.131)
Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (5.213) y (5.214), por lo tanto es de
esperarse que al usar (6.14), el resultado sea el dado por (5.219) y (5.220).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Ejemplos con ligaduras semi-holónomas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.19
Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.19
usando el método de Hamilton.
Solución:
Se construye el Lagrangiano: A partir de (5.166) el Lagrangiano viene dado por,
1 =
1
2
`
«
r
2
+
1
4
`1
2
«
o
2
÷`o(| ÷r) Sen c
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: Las coordenadas generali-
zadas son r y o,
j
a
=
01
0

a
= `
«
r =
«
r =
ji
A
j
0
=
01
0

0
=
1
2
`1
2
«
o =
«
o =
2j
0
A1
2

(6.132)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 267
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoni-
ano H es justamente la energía total del sistema (6.27),
H = 1 + l =
1
2
`
«
r
2
+
1
4
`1
2
«
o
2
+ `o (| ÷r)) Sen c
=
j
2
a
2`
+
j
2
0
`1
2
+ `o (| ÷r) Sen c (6.133)
donde se ha usado (6.132) para eliminar
«
r y
«
o.
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.24) con
1 = 1 por sólo haber una ligadura,
«
j
a
= ÷
01
0a
+ \
1
¹
1a
= `o Sen c + \
1
«
j
0
= ÷
01
00
+ \
1
¹
10
= ÷1\
1
«
r =
01
0ji
=
ji
A
«
o =
01
0j
0
=
2j
0
A1
2

(6.134)
donde se han usado los coeﬁcientes ¹
|j
dados por (5.224). Al sustituir el segundo par
de ecuaciones (6.134) en el primer par resulta,
`
««
r = `o Sen c + \
1
1
2
`1
««
o + \
1
= 0
¸
(6.135)
Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (5.225) y (5.226), por lo tanto es de
esperarse que al usar (6.21), el resultado para las fuerzas de ligadura generalizadas
sea el dado por (5.228).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.20
Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.20
usando el método de Hamilton.
Solución:
Se construye el Lagrangiano: A partir de (5.235) el Lagrangiano viene dado por,
1 =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2

+
1
2
1
c
«
c
2
+
1
2
1
0
«
o
2
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 268
6.5. EJEMPLOS CON LIGADURAS SEMI-HOLÓNOMAS
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: Las coordenadas generali-
zadas son r, n, c y o,
j
a
=
01
0

a
= :
«
r =
«
r =
ji
n
j
&
=
01
0

&
= :
«
n =
«
n =
ju
n
j
c
=
01
0

c
= 1
c
«
c =
«
c =
j
c
1
c
j
0
=
01
0

0
= 1
0
«
o =
«
o =
j
0
1
0

(6.136)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoni-
ano H es justamente la energía total del sistema (6.27),
H = 1 + l =
1
2
:

«
r
2
+
«
n
2

+
1
2
1
c
«
c
2
+
1
2
1
0
«
o
2
=
j
2
a
2:
+
j
2
&
2:
+
j
2
c
21
c
+
j
2
0
21
0
(6.137)
donde se ha usado (6.136) para eliminar
«
r,
«
n,
«
c y
«
o.
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.24) con
1 = 2 por haber dos ligaduras,
«
j
a
= ÷
01
0a
+ \
1
¹
1a
+ \
2
¹
2a
= \
1
«
j
&
= ÷
01
0&
+ \
1
¹
1&
+ \
2
¹
2&
= \
2
«
j
c
= ÷
01
0c
+ \
1
¹
1c
+ \
2
¹
2c
= ÷\
1
1Sen o + \
2
1Cos o
«
j
0
= ÷
01
00
+ \
1
¹
10
+ \
2
¹
20
= 0
«
r =
01
0ji
=
ji
n
«
n =
01
0ju
=
ju
n
«
c =
01
0j
c
=
j
c
1
c
«
o =
01
0j
0
=
j
0
1
0

(6.138)
donde se han usado los coeﬁcientes ¹
|j
dados por (5.233). Al sustituir el segundo grupo
de cuatro ecuaciones (6.138) en el primer grupo de cuatro resulta,
:
««
r = \
1
:
««
n = \
2
1
c
««
c = ÷\
1
1Sen o + \
2
1Cos o
1
0
««
o = 0

(6.139)
Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (5.236), por lo tanto es de esperarse
que al usar (6.21), el resultado para las fuerzas de ligadura generalizadas sea el dado
por (5.241).
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 269
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.21
Encuentre las ecuaciones de Hamilton para el ejemplo 5.21.
Solución:
Se construye el Lagrangiano: A partir de (5.246) el Lagrangiano viene dado por,
1 = 1 ÷l =
1
2
`

«
r
2
+
«
n
2

+
1
2
1
,
«
.
2
+O1r + 2q1/ Cos .
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: Las coordenadas generali-
zadas son r, n y .,
j
a
=
01
0

a
= `
«
r =
«
r =
ji
A
j
&
=
01
0

&
= `
«
n =
«
n =
ju
A
j
,
=
01
0

,
= 1
,
«
. =
«
. =
jç
1ç

(6.140)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoni-
ano H es justamente la energía total del sistema (6.27),
H = 1 + l =
1
2
`

«
r
2
+
«
n
2

+
1
2
1
,
«
.
2
÷O1r ÷2q1/ Cos .
=
j
2
a
2`
+
j
2
&
2`
+
j
2
,
21
,
÷O1r ÷2q1/ Cos . (6.141)
donde se ha usado (6.140) para eliminar
«
r,
«
n y
«
..
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.24) con
1 = 1 por sólo haber una ligadura,
«
j
a
= ÷
01
0a
+ \
1
¹
1a
= O1 + \
1
Sen .
«
j
&
= ÷
01
0&
+ \
1
¹
1&
= ÷\
1
Cos .
«
j
,
= ÷
01
0,
+ \
1
¹
1,
= ÷2q1/ Sen .
«
r =
01
0ji
=
ji
A
«
n =
01
0ju
=
ju
A
«
. =
01
0jç
=
jç
1ç

(6.142)
donde se han usado los coeﬁcientes ¹
|j
dados por (5.244). Estas son las ecuaciones de
Hamilton pedidas.
Es fácil veriﬁcar que al sustituir el segundo grupo de tres ecuaciones (6.142) en el
primer grupo de tres resultan las tres ecuaciones de Lagrange (5.247).
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 270
6.5. EJEMPLOS CON LIGADURAS SEMI-HOLÓNOMAS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.22
Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.22
usando el método de Hamilton.
Solución:
Se construye el Lagrangiano: A partir de (5.248) el Lagrangiano viene dado por,
1 =
1
2
`
«
:
2
+
1
2
1
,
«
.
2
+O1r + 2q1/ Cos .
Se buscan los momentos generalizados o conjugados: Las coordenadas generali-
zadas son :, r y .,
j
c
=
01
0

c
= `
«
: =
«
: =
js
A
j
a
=
01
0

a
= 0
j
,
=
01
0

,
= 1
,
«
. =
«
. =
jç
1ç

(6.143)
Se escribe el Hamiltoniano: Debido a que el sistema es conservativo, el Hamiltoni-
ano H es justamente la energía total del sistema (6.27),
H = 1 + l =
1
2
`
«
:
2
+
1
2
1
,
«
.
2
÷O1r ÷2q1/ Cos .
=
j
2
c
2`
+
j
2
,
21
,
÷O1r ÷2q1/ Cos . (6.144)
donde se ha usado (6.143) para eliminar
«
:,
«
r, y
«
..
Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: Las ecua-
ciones de movimiento son obtenidas a partir de las ecuaciones canónicas (6.24) con
1 = 1 por haber sólo una ligadura,
«
j
c
= ÷
01
0c
+ \
1
¹
1c
= \
1
Cos .
«
j
a
= ÷
01
0a
+ \
1
¹
1a
= O1 ÷\
1
«
j
,
= ÷
01
0,
+ \
1
¹
1,
= ÷2q1/ Sen .
«
: =
01
0js
=
js
A
«
r =
01
0ji
= 0
«
. =
01
0jç
=
jç
1ç

(6.145)
donde se han usado los coeﬁcientes ¹
|j
dados por (5.252). Al sustituir el segundo grupo
de tres ecuaciones (6.145) en el primer grupo de tres resulta,
:
««
: = \
1
Cos .
0 = O1 ÷\
1
1
,
««
. = ÷2q1/ Sen .

(6.146)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 271
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (5.254), por lo tanto es de esperarse
que al usar (6.21), el resultado para las fuerzas de ligadura generalizadas sea el dado
por (5.255).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6. Ecuaciones de Hamilton a partir del principio de Hamil-
ton
El principio de Hamilton establece que,
o

t
2
t
1
1

¡
j
.
«
¡
j
. t

dt = 0 (6.147)
pero el Lagrangiano 1 viene dado ahora, al usar (6.4), por,
1

¡
j
.
«
¡
j
. t

=
¸
j
«
¡
j
j
j
÷H (¡
j
. j
j
. t) (6.148)
de manera que (6.147) queda escrita como,
o

t
2
t
1
¸
¸
j
«
¡
j
j
j
÷H (¡
j
. j
j
. t)
¸
dt = 0
o,

t
2
t
1
¸
j
¸
oj
j
«
¡
j
+ j
j
o
«
¡
j
÷
·H
·j
j
oj
j
÷
·H
·¡
j
o¡
j

dt = 0 (6.149)
El segundo término de (6.149) puede ser integrado por partes como sigue,

t
2
t
1
j
j
o
«
¡
j
dt =

t
2
t
1
j
j
d
dt
o¡
j
dt = j
j
o¡
j
H[
t
2
t
1
÷

t
2
t
1
«
j
j
o¡
j
dt (6.150)
donde el primer término se anula puesto que las variaciones en los extremos se anulan
o¡
j
(t
1
) = o¡
j
(t
2
) = 0, por lo tanto (6.149) se convierte en,
0 = o

t
2
t
1
1dt =

t
2
t
1
¸
j
¸
«
¡
j
÷
·H
·j
j

oj
j
+

÷
«
j
j
÷
·H
·¡
j

o¡
j

dt (6.151)
y puesto que las variaciones oj
j
y o¡
j
son independientes la una de la otra (porque a lo
largo de un camino en el espacio de fase los caminos vecinos pueden tener diferentes
coordenadas o/y direrentes momentos), resulta,
«
¡
j
=
·H
·j
j
«
j
j
= ÷
·H
·¡
j
que son las ecuaciones de Hamilton.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 272
6.7. ESPACIO DE FASE
6.7. Espacio de fase
En el formalismo Hamiltoniano, el estado del movimiento de un sistema mecáni-
co con : grados de libertad en un tiempo deﬁnido t está completamente carac-
terizado mediante la especiﬁcación de : coordenadas generalizadas y : momentos
¡
1
. ¡
2
. .... ¡
c
; j
1
. j
2
. .... j
c
.
Se denomina espacio de fase al espacio Cartesiano de dimensión 2:
cuyas coordenadas son las coordenadas generalizadas ¡
j
y los momentos ge-
neralizados j
j
.
El subespacio de dimensión : de las coordenadas ¡
j
es el espacio de conﬁguración
y el subespacio de dimensión : de los momentos j
j
es llamado espacio de momento.
En el curso del movimiento de un sistema, el punto representativo describe una curva
que es la denominada trayectoria de fase (ver ﬁgura 6.6).
Figura (6.6): Trayectoria de fase en un espacio de fase.
Si el Hamiltoniano es conocido, entonces la trayectoria de fase completa puede
ser calculada únicamente a partir de las coordenadas de un punto. Por lo tanto, a
cada punto le pertenece sólo una trayectoria, y dos trayectorias diferentes no se inter-
sectarán. En el espacio de fase un camino está dado en representación paramétrica
mediante ¡
j
(t), j
j
(t) (i = 1. 2. .... :). Debido a la sigularidad de las soluciones de las
ecuaciones de Hamilton, el sistema se desarrolla a partir de varias condiciones de
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 273
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
frontera a lo largo de varias trayectorias. Para sistemas conservativos, el punto repre-
sentavivo está conﬁnado a una hipersuperfície de dimensión 2:÷1 del espacio de fase
mediante la condición H (¡
j
. j
j
) = 1 =constante.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.23
Construir el diagrama de fase para la partícula del ejemplo 6.1.
Solución: La partícula tiene 2 grados de libertad (o. .), así el espacio de fase para
este ejemplo es de 4 dimensiones o, j
0
, ., j
:
. Pero j
0
es constante, por lo tanto puede
ser suprimido.
Figura (6.7): Diagrama de fase para una partícula de masa : obligada a moverse sobre la superﬁcie de
un cilindro (Ejemplo 6.23).
El Hamiltoniano viene dado por (6.41),
H =
j
2
0
2:1
2
+
j
2
:
2:
+
1
2
1

1
2
+ .
2

= 1
Véase la proyección del camino de fase sobre el plano . ÷ j
:
. Al hacer j
0
= 0 en la
ecuación anterior,
j
2
:
2:

1 ÷
1
2
11
2
+
.
2
21
1
÷1
2
= 1 (6.152)
y así la proyección del camino de fase sobre el plano . ÷ j
:
para cualquier 1 es una
elipse. Esto era de esperarse ya que el movimiento en la dirección . es armónico sim-
ple.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 274
6.7. ESPACIO DE FASE
Por otro lado, debido a que
«
o =constante, el camino de fase debe representar
un movimiento que se incrementa uniformemente con o. Así, el camino de fase sobre
cualquier superﬁcie H = 1 =constante es una espiral elíptica uniforme (ver ﬁgura 6.7).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.24
Construir el diagrama de fase para el péndulo simple del ejemplo
6.11.
Solución: El Hamiltoniano viene dado por (6.98),
Figura (6.8): Diagrama de fase para el péndulo simple (Ejemplo 6.24).
H = 1 + l =
j
2
0
2:/
2
+ :o/ (1 ÷Cos o) = 1
Ahora, a partir de aquí se puede obtener la ecuación para la trayectoria de fase
j
0
= j
0
(o),
j
0
= ±

2:/
2
[1 ÷:o/ (1 ÷Cos o)] (6.153)
y así se obtiene un conjunto de curvas con la energía 1 como un parámetro. Estas
curvas son mostradas en la ﬁgura 6.8.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 275
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
Para o y momento j
0
pequeños el péndulo oscila, apareciendo en el diagrama
de fase como elipses. Para o y momento j
0
grandes el péndulo da vueltas comple-
tas apareciendo como líneas que envuelven a las elipses. Separando los anteriores
movimientos se encuentra el caso especial en el cual el péndulo comienza en la parte
más alta, cae y regresa a la posición más alta.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.25
Construir el diagrama de fase para una partícula de masa : que se
desliza bajo la acción de la gravedad y sin fricción sobre un alambre que tiene forma
de parábola (ver ﬁgura 6.9).
Figura (6.9): Partícula de masa : que se desliza bajo la acción de la gravedad y sin fricción sobre un
alambre que tiene forma de parábola n =
x
2
2
(Ejemplo 6.25).
Solución: Este sistema es conservativo y es fácil mostrar que el Hamiltoniano viene
dado por,
H = 1 + l =
j
2
a
2:(1 + r
2
)
+
1
2
:or
2
= 1 (6.154)
Ahora, a partir de aquí se puede obtener la ecuación para la trayectoria de fase
j
a
= j
a
(r),
j
a
= ±

:(1 + r
2
) (21 ÷:or
2
) (6.155)
y así se obtiene un conjunto de curvas con la energía 1 como un parámetro. Estas
curvas son mostradas en la ﬁgura 6.10.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 276
6.7. ESPACIO DE FASE
Figura (6.10): Diagrama de fase para la partícula de masa : que se mueve sobre un alambre en forma
de parábola, para : = 1 y o = 1 (Ejemplo 6.25).
Figura (6.11): Péndulo cónico (Ejemplo 6.26).
Ejemplo 6.26
Construir el diagrama de fase para un péndulo cónico (ver ﬁgura
6.11).
Solución: Aquí el mecanismo externo de rotación realiza trabajo sobre el sistema
para mantenerlo en rotación por lo tanto el sistema no es conservativo y para hallar el
Hamiltoniano debe usarse la expresión general (6.4). Es fácil mostrar que el Hamiltoni-
ano viene dado por,
H =
j
2
0
2:/
2
÷
1
2
:/
2
.
2
Sen
2
o ÷:o/ Cos o (6.156)
que no es igual a la energía total del sistema
3
, la cual viene dada por,
1 =
j
2
0
2:/
2
+
1
2
:/
2
.
2
Sen
2
o ÷:o/ Cos o (6.157)
3
El Hamiltoniano es constante en el tiempo si el mecanismo de rotación mantiene . constante.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 277
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
Ahora, a partir de (6.156) se puede obtener la ecuación para la trayectoria de fase
j
0
= j
0
(o),
j
0
= ±:/

2H
:
+ /
2
.
2
Sen
2
o + 2o/ Cos o (6.158)
y así se obtiene un conjunto de curvas con el Hamiltoniano H como un parámetro.
Estas curvas son mostradas en la ﬁgura 6.12. La ﬁgura 6.12(a) es para . <

o/ y la
6.12(b) es para .

o/.
Figura (6.12): Diagrama de fase para el péndulo cónico (Ejemplo 6.26).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.27
Construir el diagrama de fase para el ejemplo 6.4.
Solución: Este sistema es conservativo y el Hamiltoniano, según (6.56), viene dado
por,
H = 1 =
j
2
&
2 (`
1
+ `
2
)
÷`
1
on ÷`
2
o (/ ÷n)
Ahora, a partir de aquí se puede obtener la ecuación para la trayectoria de fase
j
&
= j
&
(n),
j
&
= ±

2 (`
1
+ `
2
) (1 + `
1
on + `
2
o (/ ÷n)) (6.159)
y así se obtiene un conjunto de curvas con la energía 1 como un parámetro. Estas
curvas son mostradas en la ﬁgura 6.13.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 278
6.8. TEOREMA DE LIOUVILLE
Figura (6.13): Diagrama de fase para el ejemplo 6.4 (Ejemplo 6.27).
6.8. Teorema de Liouville
El teorema de Liouville
4
realmente pertenece a la Mecánica Estadística y es
básico para su estudio, pero es de interés considerarlo aquí debido a que es una
consecuencia directa de las ecuaciones de Hamilton. El teorema de Liouville es un
teorema básico para la Mecánica de Sistemas tales que:
1. El número de grados de libertad es muy grande.
2. No se pueden determinar las 2: condiciones iniciales, por lo tanto tampoco el esta-
do del sistema en sentido clásico. Solamente se conoce el Hamiltoniano del sistema,
las condiciones de ligadura y, a lo sumo, siete de las 2: constantes de movimiento
(las aditivas: 1,
÷÷
1,
÷÷
j ).
3. Respecto a las condiciones iniciales, o sea a las posibles trayectorias del espacio de
fase, sólo se pueden hacer suposiciones estadísticas. En particular se puede asumir
que todas las trayectorias de fase compatibles con las ligaduras y con los valores
de las siete constantes aditivas son igualmente probables (distribución uniforme).
En general, habrá una región del espacio de fase que es accesible al sistema y se
4
Liouville se graduó en la École Polytechnique de París en 1827. Tras varios años como asistente en
varias instituciones logró ser profesor en la École Polytechnique en el año 1838. Obtuvo la cátedra de
Matemáticas en el Collège de France en 1850 y la de Mecánica en la Faculté des Sciences en 1857. Tra-
bajó en una cantidad muy diversa de campos en matemáticas, incluyendo teoría de números, análisis
complejo, topología diferencial, pero también en física matemática e incluso astronomía. Se le recuer-
da en particular por el teorema que lleva su nombre.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 279
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
puede postular alguna distribución de probabilidades de las distintas trayectorias
de fase dentro de la región accesible (las trayectorias externas a la región accesible
tienen probabilidad cero).
Antes de enunciar y demostrar el teorema de Liouville, es importante deﬁnir conjun-
to estadístico, noción útil en los casos donde hay 2: ÷ 7 constantes de movimiento no
determinadas.
Un conjunto estadístico consiste en un conjuto de sistemas iguales, quer-
iéndose decir con esto, que tengan el mismo número de grados de libertad, la
misma clase de partículas y de interacciones, las mismas ligaduras y los mismos
valores de las constantes de movimiento aditivas.
De lo anterior, dos sistemas de un conjunto estadístico sólo pueden diferir por los
valores de las 2: ÷ 7 constantes no aditivas. Se considera que el número de sistemas
es muy grande, de modo que es una muestra estadísticamente representativa de la
distribución de los valores de las 2:÷7 constantes indeterminadas. En cada instante de
tiempo, el estado de cada sistema del conjunto será representado por un punto en
el espacio de fase, y su estado de movimiento por una trayectoria de fase. El cojunto
estadístico de sistemas de : grados de libertad estará representado en cada instante
por un “enjambre” de puntos en el espacio de fase. Como los sistemas del conjunto
estadístico no interactúan, cada punto se mueve independientemente de los demás
en el espacio de fase de 2:-dimensional.
Figura (6.14): Evolución de una región en el espacio de fase.
Considérense ahora un gran número ` de puntos independientes que son mecáni-
camente idénticos, excepto por las condiciones iniciales, y que son, por lo tanto, des-
critos por el mismo Hamiltoniano, es decir, un conjunto estadístico. Si en el tiempo t
1
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 280
6.8. TEOREMA DE LIOUVILLE
todos los puntos están distribuidos sobre una región G
1
de un espacio de fase de di-
mensión 2: con volumen,
\ = ¡
1
...¡
c
.j
1
...j
c
=
c
¸
|=1
¡
|
j
|
(6.160)
se puede deﬁnir la densidad como,
j =
`
\
(6.161)
Al transcurrir el movimiento, la región G
1
se transforma en la región G
2
de acuerdo con
las ecuaciones de Hamilton (ver ﬁgura 6.14).
El teorema de Liouville establece que,
El volumen de una región arbitraria del espacio de fase es conservado si
los puntos de su frontera se mueven de acuerdo a las ecuaciones canónicas.
o, en otras palabras,
En cada elemento de volumen del espacio de fase, la densidad de puntos
representativos del conjunto estadístico permanece constante en el tiempo.
Demostración:
Para probarlo, se investiga el movimiento de un sistema de puntos a través de un
elemento de volumen del espacio de fase. Considérense primero las componentes
del ﬂujo de puntos representativos a lo largo de las direcciones ¡
I
y j
I
. En la ﬁgura 6.15,
el área ¹1(1 representa la proyección del elemento de volumen d\ de dimensión 2:
sobre el plano ¡
I
. j
I
.
El el ﬂujo , de puntos representativos (número de puntos representativos por unidad
de tiempo) que se mueven entrando a través de la “cara lateral” (con proyección ¹1
sobre el plano ¡
I
. j
I
) es,
,
(entrante)
¹1
= j
d¡
I
dt
dj
I
d\
I
= j
«
¡
I
dj
I
d\
I
(6.162)
con,
d\
I
=
c
¸
|=1
I,=|
d¡
|
dj
|
(6.163)
es el restante elemento de volumen de dimensión 2: ÷ 2; dj
I
d\
I
es la magnitud de la
superﬁcie lateral con proyección ¹1 en el plano ¡
I
. j
I
.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 281
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
Figura (6.15): Proyección del elemento de volumen sobre el plano c
k
. j
k
.
De forma análoga, el ﬂujo entrante en la dirección j
I
(que entra por ¹1) es,
,
(entrante)
¹1
= j
dj
I
dt
d¡
I
d\
I
= j
«
j
I
d¡
I
d\
I
(6.164)
de manera que el ﬂujo entrante total de puntos representativos hacia adentro del área
d¡
I
dj
I
es,
,
(entrante)
= ,
(entrante)
¹1
+ ,
(entrante)
¹1
= j

«
¡
I
dj
I
+
«
j
I
d¡
I

d\
I
(6.165)
Para hallar los puntos que salen, se deben considerar los que se mueven dentro del
elemento hacia las caras 1( y (1. Esto se puede obtener de (6.165) mediante un
desarrollo en series de Taylor alrededor de (¡
I
. j
I
), para hallar (6.165) (¡
I
+ d¡
I
. j
I
+ dj
I
) .
de manera que el ﬂujo total saliente de puntos representativos es (aproximadamente),
,
(saliente)
=
¸

j
«
¡
I

o
I
+oo
I
dj
I
+

j
«
j
I

j
I
+oj
I
d¡
I

d\
I
=
¸
j
«
¡
I
+
·
·¡
I

j
«
¡
I

d¡
I

dj
I
d\
I
. .. .
;
(saliente)
TC
+
¸
j
«
j
I
+
·
·j
I

j
«
j
I

dj
I

d¡
I
d\
I
. .. .
;
(saliente)
CT
(6.166)
así el número de puntos representativos por unidad de tiempo que se atascan en el
elemento de volumen.es la diferencia entre las ecuaciones (6.165) y (6.166),
,
(entrante)
÷,
(saliente)
= ÷
¸
·
·¡
I

j
«
¡
I

+
·
·j
I

j
«
j
I

d\ =
·j
·t
d\ (6.167)
Sumando sobre todas las / = 1. 2. .... : se obtiene el número de puntos representa-
tivos que se atascan en total. Esta cantidad corresponde, justamente, al cambio con
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 282
6.8. TEOREMA DE LIOUVILLE
el tiempo (derivada temporal) de la densidad multiplicada por d\ . Por lo tanto, se
puede concluir que,
·j
·t
= ÷
¸
I
¸
·
·¡
I

j
«
¡
I

+
·
·j
I

j
«
j
I

(6.168)
que es una ecuación de continuidad de la forma
5
,
div

j
«
÷÷
:

+
·j
·t
= 0
donde la divergencia se reﬁere al espacio de fase de dimensión 2:,
\ =
¸
I
·
·¡
I
+
¸
I
·
·j
I
Ahora bien, al desarrollar las derivadas en (6.168) y reordenar,
¸
I

·j
·¡
I
«
¡
I
+ j
·
«
¡
I
·¡
I
+
·j
·j
I
«
j
I
+ j
·
«
j
I
·j
I

+
·j
·t
= 0 (6.169)
pero a partir de las ecuaciones de Hamilton (6.8),
·
«
¡
I
·¡
I
=
·
2
H
·¡
I
·j
I
y
·
«
j
I
·j
I
=
·
2
H
·j
I
·¡
I
=
·
2
H
·¡
I
·j
I
si las segundas derivadas parciales de H son continuas. Entonces de (6.169),
¸
I

·j
·¡
I
«
¡
I
+
·j
·j
I
«
j
I

+
·j
·t
= 0 (6.170)
que es justamente la derivada total de j con respecto al tiempo,
dj
dt
= 0 (6.171)
y, por lo tanto, j =constante. Esto establece que la densidad de puntos representa-
tivos en el espacio de fase correspondiente al movimiento de un sistema de partículas
permanece constante durante el movimiento. Se debe resaltar que se pudo estable-
cer la invariancia de la densidad sólo debido a que el problema fue formulado en el
espacio de fase. No existe un teorema equivalente para el espacio de conﬁguración
estudiado en la sección 2.7. Así se puede usar la dinámica Hamiltoniana (en lugar de
la Lagrangiana) para trabajar en Mecánica Estadística.
5
Las ecuaciones de continuidad de este tipo aparecen a menudo en física de ﬂujos (Hidrodinámica,
Electrodinámica, Mecánica Cuántica). Estas ecuaciones siempre expresan una ley de conservación.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 283
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
El teorema de Liouville es importante no sólo para agregados de partículas mi-
croscópicas, como en la Mecánica Estadística de los sistemas gaseosos y las propie-
dades de la concentración de partículas cargadas en los aceleradores de partículas,
sino también en ciertos sistemas macroscópicos. Por ejemplo, en dinámica estelar, el
problema se invierte y mediante el estudio de la función de distribución j de las estrel-
las en una galaxia, puede inferirse el potencial l del campo gravitacional galáctico.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 6.28
Mostrar que se cumple el teorema de Liouville para un conjunto de
partículas de masa : en un campo gravitacional constante.
Solución: A partir de la energía se tiene que,
Figura (6.16): Diagrama de fase para un conjunto de partículas de masa : en un campo gravitacional
constante (Ejemplo 6.258).
H = 1 =
j
2
2:
÷:o¡ (6.172)
La energía total de una partícula permanece constante. Las trayectorias de fase j (¡)
son las parábolas dadas por,
j = ±

2:(1 + :o¡) (6.173)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 284
6.9. FORMA SIMPLÉCTICA DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON
con la energía 1 como parámetro. Considérense un número de partículas con mo-
mentos en t = 0 entre los límites j
1
_ j/ _ j
2
y energías entre 1
1
_ 1 _ 1
2
. Ellas cubren
el área ¹ en el espacio de fase. Un tiempo t después las partículas cubren el área ¹
t
(ver ﬁgura 6.16). En este momento ellas tienen momento,
j/ = j + :ot (6.174)
de manera que ¹
t
es el área entre las parábolas limitadas por j
1
+ :ot _ j/ _ j
2
+ :ot.
Con,
¡ =
1
:o

j
2
2:
÷1

(6.175)
se pueden calcular las áreas ¹ y ¹
t
como sigue,
¹ =

j
2
j
1
1
rg

µ
2
1
2r
÷1
1

1
rg

µ
2
2
2r
÷1
2
djd¡ =
1
2
÷1
1
:o
(j
2
÷j
1
) (6.176)
y de la misma forma,
¹
t
=
1
2
÷1
1
:o
(j/
2
÷j/
1
) =
1
2
÷1
1
:o
(j
2
÷j
1
) (6.177)
que es justo el enunciado del teorema de Liouville: ¹ = ¹
t
, expresando que la densidad
del sistema de partículas en el espacio de fase permanece constante.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9. Forma simpléctica de las Ecuaciones de Hamilton
Una elegante y poderosa herramienta para manipular las ecuaciones de Hamil-
ton y expresiones asociadas lo constituye la forma simpléctica.
6
Se llama forma simpléctica a aquella que utiliza el lenguaje matricial, que
es muy útil debido a su carácter compacto y su potencia para operar con
una buena cantidad de información de manera automática.
Esta notación permite escribir las ecuaciones de Hamilton en forma compacta. En
efecto, para un sistema de : grados de libertad, se puede deﬁnir una matriz columna
: con 2: elementos tales que,
:
j
= ¡
j
, :
j+c
= j
j
con i _ : (6.178)
6
El término simpléctico viene del griego para “entrelazado”, que es particularmente apropiado para
las ecuaciones de Hamilton donde las

c
i
están relacionadas con las derivadas con respecto a los j
i
y
los

j
i
lo hacen de la misma forma con las derivadas negativas con respecto a las c
i
. Este término fue
introducido por primera vez en 1939 por H. Weyl en su libro The Classical Groups.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 285
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
es decir,
: =

:
1
.
.
.
:
j
.
.
.
:
c
:
1+c
.
.
.
:
j+c
.
.
.
:
2c
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
=

¡
1
.
.
.
¡
j
.
.
.
¡
c
j
1+c
.
.
.
j
j+c
.
.
.
j
2c
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
(6.179)
y, similarmente, la matriz columna ·H·: tiene los elementos,

·H
·:

j
=
·H
·¡
j
,

·H
·:

j+c
=
·H
·j
j
con i _ : (6.180)
Finalmente, sea J una matriz cuadrada 2:2: compuesta por cuatro matrices ::,
la matriz nula 0 (matriz cuyos elementos son todos nulos) y la matriz identidad 1 (matriz
unidad o matriz identidad usual), entonces
7
,
J =
¸
0 1
÷1 0
¸
(6.181)
con las siguientes propiedades:
1. Es ortogonal,
J
T
= J
÷1
(6.182)
2. Es antisimétrica,
J
T
= ÷J (6.183)
3. Su determinante es la unidad,
[J[ = +1 (6.184)
4. Se cumple que,
J
2
= JJ = ÷1 (6.185)
7
A esta matriz se le llama con frecuencia matriz simpléctica.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 286
6.10. EL MÉTODO DE ROUTH
En base a todo lo anterior, las ecuaciones de Hamilton pueden ser escritas en forma
compacta como,
«
: = J
·H
·:
(6.186)
o,
«
:
j
=
¸
;

J
j;
·H
·:
;

(6.187)
de manera que,
J
j;
=

0 si (i : y , :) o (: _ i y : _ ,)
÷1 si (i : y , = i ÷:)
1 si (: _ i y , = i + :)
(6.188)
Para un sistema de dos grados de libertad,

«
¡
1
«
¡
2
«
j
1
«
j
2
¸
¸
¸
¸
¸
¸
=

0 0 1 0
0 0 0 1
÷1 0 0 0
0 ÷1 0 0
¸
¸
¸
¸
¸

01
0o
1
01
0o
2
01
0j
1
01
0j
1
¸
¸
¸
¸
¸
¸
(6.189)
6.10. El método de Routh
La formulación de la dinámica basada en las ecuaciones canónicas resulta
especialmente sencilla para las coordenadas que son cíclicas. En efecto, las coorde-
nadas en sí no aparecen en H ni en las ecuaciones, y los momentos correspondientes
son constantes. Por tanto, las coordenadas cíclicas quedan totalmente “eliminadas”
de la formulación, que en la práctica viene a tener 2 grados de libertad menos por
cada coordenada cíclica. En cambio, en la formulación de Lagrange es preciso con-
siderar las velocidades generalizadas correspondientes en el Lagrangiano 1 y en las
ecuaciones, ya que las velocidades
«
¡
j
no tienen por qué ser constantes aunque las
coordenadas sean cíclicas.
El método de Routh es un tratamiento mixto entre las formulaciones de La-
grange y Hamilton: Emplea las ecuaciones de Hamilton para las coordenadas
cíclicas, y las ecuaciones de Lagrange para el resto de ellas (las no cíclicas).
Supóngase un sistema con / grados de libertad, de los cuales las | primeras coor-
denadas son cíclicas:

01
0o
,
= 0, , = 1. 2. .... | (cíclicas)
01
0o
,
= 0, , = | + 1. | + 2. .... / (no cíclicas)
(6.190)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 287
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
Los momentos correspondientes a las coordenadas cíclicas serán constantes, por
lo tanto,
j
;
= c
;
, , = 1. 2. .... | (6.191)
Se realiza ahora una transformación de Legendre sólo respecto de las coordenadas
cíclicas, deﬁniendo así la denominada función Routhiana o Routhiano,
1 =
|
¸
;=1
c
;
«
¡
;
÷1 (6.192)
haciéndose notar que la sumatoria se realiza sólo para los | primeros índices y siendo
la dependencia funcional de 1 = 1

¡
|+1
. .... ¡
I
;
«
¡
|+1
. ....
«
¡
I
; c
1
. .... c
|
; t

.
Por otro lado, a partir de (6.192), se cumple que (para las coordenadas no ignor-
ables)
8
,
·1
·¡
j
= ÷
·1
·¡
j
;
·1
·
«
¡
j
= ÷
·1
·
«
¡
j
para i = | + 1. .... / (6.193)
expresando que, para las coordenadas no cíclicas, las derivadas parciales de 1 son
iguales a las de 1 con signo contrario.
Ahora bien, al sustituir las derivadas parciales dadas en (6.193) en las ecuaciones
de Lagrange (5.37),
d
dt

·1
·
«
¡
j

÷
·1
·¡
j
= 0
resulta,
d
dt

·1
·
«
¡
j

÷
·1
·¡
j
= 0, con i = | + 1. .... / (6.194)
y, una vez integradas estas / ÷ | ecuaciones para obtener 1 como función de las
constantes c
;
y de t, se puede calcular el valor de las | coordenadas cíclicas a partir
de las ecuaciones de Hamilton (6.8) para las coordenadas ignorables
9
,
«
¡
;
=
01
0c
,
«
c
;
= ÷
01
0o
,
= 0
, con , = 1. .... | (6.195)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Obsérvese que en (6.192) el término con la sumatoria sólo involucra coordenadas ignorables ya que
, sólo toma valores hasta |. Por lo anterior, las derivadas parciales de este término con respecto a las
coordenadas no ignorables son nulas.
9
Como la deﬁnición de 1 dada por (6.192) es análoga a la deﬁnición de H dada por (6.4), es obvio que
se cumplen las ecuaciones de Hamilton (6.8) cambiando H ÷÷1.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 288
6.10. EL MÉTODO DE ROUTH
Ejemplo 6.29
Considérese el caso de una partícula de masa : que se mueve
en un plano bajo la inﬂuencia de una fuerza 1 (:) que se deriva del potencial l (:) =
÷1:
a
.
Solución: El Lagrangiano es,
1 =
1
2
:

«
:
2
+ :
2
«
.
2

+
1
:
a
(6.196)
Como se puede notar aquí la coordenada ignorable es o, por lo tanto el Routhiano
correspondiente (6.192) viene dado por,
1 = c
,
«
. ÷
1
2
:

«
:
2
+ :
2
«
.
2

÷
1
:
a
donde c
,
= j
,
, o también,
1 = c
,
«
. ÷
1
2
::
2
«
.
2
÷
1
2
:
«
:
2
÷
1
:
a
y como por (5.269),
c
,
= j
,
=
·1
·
«
.
= ::
2
«
.
entonces,
1 =
c
2
,
2::
2
÷
1
2
:
«
:
2
÷
1
:
a
(6.197)
Aplicando ahora las ecuaciones de Lagrange (6.194) para la coordenada no cícli-
ca radial :, se obtiene la ecuación de movimiento,
««
: ÷
c
2
,
::
3
+
:1
:
a+1
= 0 (6.198)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El procedimiento de Routh no proporciona física adicional al problema, pero hace
su análisis más automático. En problemas complicados con sistemas de muchos gra-
dos de libertad, este procedimiento puede suministrar una considerable ventaja. Por
lo tanto no es sorprendente que el procedimiento de Routh tenga gran utilidad en
la solución directa de problemas relacionados con las aplicaciones a la ingeniería.
Sin embargo, como se mencionó antes, el Routhiano es un híbrido estéril, que com-
bina algunos rasgos de la dinámica Lagrangiana y Hamiltoniana. Para el desarrollo
de muchos formalismos de la Mecánica Clásica, la formulación Hamiltoniana es más
fructífera.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 289
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
6.11. Dinámica Lagrangiana vs Hamiltoniana
Existen algunas diferencias entre el sistema de ecuaciones de Hamilton y el de
ecuaciones de Lagrange:
1. Las ecuaciones de Lagrange son : ecuaciones y las de Hamilton son 2:
ecuaciones.
2. las ecuaciones de Lagrange tienen : incógnitas ¡
1
(t). ¡
2
(t). .... ¡
c
(t), en tan-
to que las ecuaciones de Hamilton tienen 2: incógnitas ¡
1
(t). ¡
2
(t). .... ¡
c
(t).
j
1
(t). j
2
(t). .... j
c
(t).
3. las ecuaciones de Lagrange son de segundo orden en sus incógnitas, es
decir, se necesita conocer dos condiciones iniciales por incógnita para ﬁ-
jar las constantes arbitrarias (posición y velocidad inicial, por ejemplo); las
ecuaciones de Hamilton son de primer orden en sus incógnitas, es decir,se
necesita conocer una condición inicial por incógnita para ﬁjar las constan-
tes arbitrarias (posición inicial, por ejemplo).
Además, las ecuaciones de Hamilton son tan sencillas en su formato que algunos
autores las distinguen como más elegantes que las de Lagrange. Subyaciendo bajo
los aspectos estéticos, puede decirse que la forma de las ecuaciones de Hamilton su-
giere que los papeles de posición y momento pueden intercambiarse (esto quedará
claro al estudiar las transformaciones canónicas en el capítulo siguiente) dejando la
forma de las ecuaciones sin variación. De hecho, el conjunto de cambios de variables
que pueden realizarse en las ecuaciones de Hamilton sin alterarlas, es decir la var-
iedad de perspectivas desde las que se pueden contemplar y por tanto la cantidad
de simetrías que se pueden utilizar es inﬁnitamente más grande que en las ecuaciones
de Lagrange y en esto radica su mayor potencia. Realmente el marco hamiltoniano
es el más amplio bajo el que se pueden contemplar los sistemas que evolucionan sa-
tisfaciendo un principio variacional que en Mecánica se identiﬁca con el principio de
Hamilton.
La formulación de Hamilton es más potente que la de Lagrange según el criterio
citado en el párrafo anterior y se emplea con preferencia cuando se trata de resolver
cuestiones sobre la existencia de integrales primeras de un sistema, comportamien-
tos estables, caóticos, etc. No obstante, para la resolución de problemas elementales
de Mecánica, donde el objetivo sea la obtención del sistema de ecuaciones diferen-
ciales, aporta frecuentemente un camino más largo que el Lagrangiano.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 290
6.12. PROBLEMAS
6.12. Problemas
1. Una partícula de masa : está obligada a moverse sobre la superﬁcie interna de un
cono liso. Ver ﬁgura 6.17, donde c es constante. La partícula está sometida a una
fuerza gravitacional. Encuentre las ecuaciones de movimiento por el método de
Hamilton.
Figura (6.17): Partícula de masa : está obligada a moverse sobre la superﬁcie interna de un cono liso
(Problema 1).
2. (a) Encuentre la aceleración del sistema mostrado en la ﬁgura 6.18 por el método
de Hamilton, (b) dibuje el diagrama de fase. Se desprecia el rozamiento y tamaño
de la polea.
3. Una partícula de masa : se desplaza sobre un plano inclinado (ver ﬁgura 6.19). En-
contrar las ecuaciones de movimiento por el método de Hamilton y la aceleración
a lo largo del plano inclinado.
4. Una pequeña esfera se desliza sin rozamiento en un alambre liso doblado en forma
de cicloide (ver ﬁgura 6.20) cuya ecuación es,
r = c (o ÷Sen o) , n = c (1 + Cos o)
donde 0 _ o _ 2:. Mostrar, usando el método de Hamilton, que la ecuación de
movimiento viene dada por,
(1 ÷Cos o)
««
o +
1
2
Sen o
«
o
2
÷
o
2c
Sen o = 0
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 291
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
Figura (6.18): Máquina simple de Atwood (Problema 2).
5. Considérese el caso del movimieno de un proyectil de masa : bajo la acción de
la gravedad en dos dimensiones (estudiado en Física I como lanzamiento de un
proyectil con ángulo de elevación). Encontrar las ecuaciones de movimiento de
Hamilton. Muestre el sistema de referencia usado.
6. Obtener las ecuaciones de movimiento de Hamilton para el oscilador armómino
unidimensional. Muestre el sistema de referencia usado.
7. Una partícula de masa : se mueve en una dimensión bajo la inﬂuencia de una
fuerza,
1 (r. t) =
/
r
2
c
÷t/t
donde / y t son constantes positivas. Encuentre el Hamiltoniano ¿es igual a 1 +
l?. Compare el Hamiltoniano con la energía total, y discuta la conservación de la
energía para el sistema. Muestre el sistema de referencia usado.
8. Considere el péndulo simple mostrado en la ﬁgura 6.21, el cual consiste de una
masa : sujeta a una cuerda de longitud |. Después que el péndulo es puesto en
movimiento, la longitud de la cuerda es acortada en una rata constante dada por,
d|
dt
= ÷c = constante
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 292
6.12. PROBLEMAS
Figura (6.19): Partícula de masa : que se desplaza sobre un plano inclinado (Problema 3).
Figura (6.20): Pequeña esfera que se desliza, sin rozamiento, en un alambre liso doblado en forma de
cicloide (Problema 4).
El punto de soporte permanece ﬁjo. Encuentre el Hamiltoniano. Compare el Hamil-
toniano con la energía total, y discuta la conservación de la energía para este
sistema. Muestre el sistema de referencia usado.
9. Una partícula de masa : se mueve bajo la inﬂuencia de la gravedad a lo largo
de la espiral . = /., : =constante (ver ﬁgura 6.22), donde / es una constante y .
es vertical. Obtener las ecuaciones de Hamilton. Muestre el sistema de referencia
usado.
10. Una partícula de masa : es atraida a un centro de fuerza con una fuerza
÷÷
1 de
magnitud,
1 = /:
2
Use coordenadas polares planas y encuentre las ecuaciones de movimiento de
Hamilton. Muestre el sistema de referencia usado.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 293
CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA
Figura (6.21): Péndulo simple cuya cuerda es de longitud variable (Problema 8).
Figura (6.22): Partícula de masa : que se mueve, bajo la inﬂuencia de la gravedad, a lo largo de la
espiral (Problema 9).
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CAPÍTULO 7
Transformaciones canónicas
Contents
7.1. De…nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7.2. Ecuaciones de transformación canónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
7.2.1. Caso 1: Función generatriz T
1
= T
1
(c
j
. ¯ c
j
. t) . . . . . . . . . . . . . . . . 298
7.2.2. Caso 2: Función generatriz T
2
= T
2
(c
j
. ¯ j
j
. t) . . . . . . . . . . . . . . . . 299
7.2.3. Caso 3: Función generatriz T
3
= T
3
(j
j
. ¯ c
j
. t) . . . . . . . . . . . . . . . . 300
7.2.4. Caso 4: Función generatriz T
4
= T
4
(j
j
. ¯ j
j
. t) . . . . . . . . . . . . . . . 301
7.3. Invariante integral universal de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
7.4. Corchetes de Lagrange y Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
7.4.1. Corchetes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
7.4.2. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
7.4.3. Ecuaciones de Hamilton en corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . 320
7.5. Transformaciones canónicas in…nitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7.6. Forma simpléctica de las transformaciones canónicas . . . . . . . . . . 325
7.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
7.1. Deﬁnición
La elección de las coordenadas generalizadas y de los correspondientes mo-
mentos canónicos, no es única. Es entonces de importancia contestar la siguiente
295
CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS
pregunta,
¿Es posible transformar las coordenadas y momentos de tal modo que se
preserve la estructura de las ecuaciones de Hamilton?
La respuesta es SI, conduciendo a las llamadas transformaciones canónicas.
Una transformación canónica es una transformación de las coordenadas
¡
j
y j
j
del espacio de fase a unas nuevas coordenadas ¯ ¡
j
y ¯ j
j
, que preservan
la estructura de las ecuaciones de Hamilton (6.8), con un nuevo Hamiltoniano
¯
H (¯ ¡
j
. ¯ j
j
. t).
Por otro lado, se dirá que:
Una expresión cualquiera es un invariante canónico cuando no se modiﬁ-
ca su estructura bajo una transformación canónica.
Se vio, en la sección 5.7, que las trasformaciones puntuales no cambian la forma
de las ecuaciones de Lagrange. Se quiere ver ahora qué tipo de transformaciones
hace lo propio con las ecuaciones de Hamilton. Si de las variables (¡
j
. j
j
), en las que el
Hamiltoniano es H, se cambia a las variables (¯ ¡
j
. ¯ j
j
), en las que el Hamiltoniano pasa a
ser
¯
H, la cuestión es cuáles transformaciones llevan a que en las nuevas variables las
ecuaciones sean,
«
¯ ¡
j
=
·
¯
H
·¯ j
j
,
«
¯ j
j
= ÷
·
¯
H
·¯ ¡
j
Este tipo de transformaciones permiten, en principio, disponer de un alto grado de
ﬂexibilidad en la selección de las variables que se utilizan para describir un sistema
mecánico. Una selección adecuada de estas variables permite, en numerosos casos,
simpliﬁcar el sistema de ecuaciones diferenciales de movimiento y, en consecuencia,
simpliﬁcar el problema de su integración (total o parcial).
La razón fundamental para deﬁnir una transformación canónica es para ver si es
posible encontrar una transformaciónn de variables en la que el Hamiltoniano sea cícli-
co en alguna de la variables, lo que implica que,
«
¯ j
j
= ÷
·
¯
H
·¯ ¡
j
= 0 ÷÷ ¯ j
j
= c
j
= constante
«
¯ ¡
j
=
·
¯
H
·¯ j
j
= ·
j
(t) ÷÷ ¯ ¡
j
=

t
2
t
1
·
j
(t) dt +
j
, con
j
= constante
o a ver si es posible encontrar cómo reducir el Hamiltoniano a una forma en que todas
las coordenadas ¡
j
sean cíclicas.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 296
7.2. ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN CANÓNICAS
7.2. Ecuaciones de transformación canónicas
Para lograr lo dicho anteriormente, se habrá pues de ampliar el concepto de
transformación de coordenadas para incluir la transformación simultánea de las co-
ordenadas y momentos independientes
1
¡
j
, j
j
a otro nuevo conjunto ¯ ¡
j
, ¯ j
j
, con las
ecuaciones de transformación,
¯ ¡
j
= ¯ ¡
j
(¡
|
. j
|
. t)
¯ j
j
= ¯ j
j
(¡
|
. j
|
. t)
¸
(7.1)
así, las nuevas coordenadas quedarán deﬁnidas no sólo en función de las antiguas
coordenadas, sino también de los antiguos momentos.
Si las ¯ ¡
j
y ¯ j
j
deben ser coordenadas canónicas, habrán de satisfacer un principio
de Hamilton modiﬁcado, de la forma,
o

t
2
t
1
¯
1

¯ ¡
j
.
«
¯ ¡
j
. t

dt = o

t
2
t
1
¸
¸
j
¯ j
j
«
¯ ¡
j
÷
¯
H (¯ ¡
j
. ¯ j
j
. t)
¸
dt = 0 (7.2)
y, al mismo tiempo, las antiguas coordenadas satisfacen un principio análogo,
o

t
2
t
1
1

¡
j
.
«
¯ ¡
j
. t

dt = o

t
2
t
1
¸
¸
j
j
j
«
¡
j
÷H (¡
j
. j
j
. t)
¸
dt = 0 (7.3)
Al restar (7.2) de (7.3), resulta,
o

t
2
t
1

1 ÷
¯
1

dt = 0 (7.4)
pudiéndose cumplir si existe una función T tal que,
o

t
2
t
1
dT
dt
dt = o [T (t
2
) ÷T (t
1
)] = 0
es decir,
1 ÷
¯
1 =
dT
dt
(7.5)
donde la función arbitraria T recibe el nombre de función generatriz de la transforma-
ción pues, como se verá, una vez conocida T, las ecuaciones de transformación (7.1)
quedan determinadas por completo. De lo anterior, se nota que los integrandos de
(7.2) y (7.3) están ligados por la relación,
¸
j
j
j
«
¡
j
÷H =
¸
j
¯ j
j
«
¯ ¡
j
÷
¯
H +
d
dt
T
1
Recordemos que en la formulación hamiltoniana los momentos son también variables independientes,
con idéntica categoría que las coordenadas generalizadas.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 297
CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS
o,
dT =
¸
j
j
j
d¡
j
÷
¸
j
¯ j
j
d¯ ¡
j
+

¯
H ÷H

dt (7.6)
de la cual se inﬁere la siguiente condición:
Para que una transformación, ¯ ¡
j
= ¯ ¡
j
(¡
|
. j
|
. t), ¯ j
j
= ¯ j
j
(¡
|
. j
|
. t) sea canónica,
la expresión
¸
j
j
j
d¡
j
÷
¸
j
¯ j
j
d¯ ¡
j
debe ser una diferencial exacta.
Para efectuar la transformación entre los dos conjuntos de variables canónicas, T
ha de ser función tanto de las nuevas coordenadas como de las antiguas. Aparte del
tiempo t, la función generatriz será función de 4: variables en total. Pero de estas, sólo
2: son independientes, ya que ambos conjuntos están relacionados por las 2: ecua-
ciones de transformación (7.1). La función generatriz puede, por tanto, expresarse de
una de las siguientes cuatro formas, como función de las variables independientes,
T
1
(¡
j
. ¯ ¡
j
. t) T
2
(¡
j
. ¯ j
j
. t) T
3
(j
j
. ¯ ¡
j
. t) T
4
(j
j
. ¯ j
j
. t)
donde T
2
, T
3
y T
4
se, obtienen mediante una transformación de Legendre, de T
1
como
se verá más adelante.
Las características del problema indicarán cuál ha de elegirse. Así, por ejemplo, si
se trata de una transformación puntual tal como la deﬁnida por ¯ ¡
j
= ¯ ¡
j
(¡
|
. t), las ¡
j
y las
¯ ¡
j
no son independientes, por lo que habrán de excluirse las funciones generatrices de
la forma T
1
, pudiéndose utilizar cualquiera de las restantes.
7.2.1. Caso 1: Función generatriz T
1
= T
1
(¡
i
. ¯ ¡
i
. t)
Si la forma adecuada es la T
1
, entonces de (7.6),
dT
1
(¡
j
. ¯ ¡
j
. t) =
¸
j
j
j
d¡
j
÷
¸
j
¯ j
j
d¯ ¡
j
+

¯
H ÷H

dt (7.7)
y, por otro lado, el diferencial total de T
1
puede desarrollarse en la forma,
dT
1
=
¸
j
·T
1
·¡
j
d¡
j
+
¸
j
·T
1
·¯ ¡
j
d¯ ¡
j
+
·T
1
·t
dt (7.8)
Ahora, al comparar (7.8) con (7.7) resulta,
j
j
=
·
·¡
j
T
1
(¡
j
. ¯ ¡
j
. t) (7.9)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 298
7.2. ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN CANÓNICAS
¯ j
j
= ÷
·
·¯ ¡
j
T
1
(¡
j
. ¯ ¡
j
. t) (7.10)
y,
¯
H = H +
·
·t
T
1
(¡
j
. ¯ ¡
j
. t) (7.11)
Las : ecuaciones (7.9) son : relaciones entre j
j
, ¡
j
, ¯ ¡
j
y t, que podrán re-
solverse para las : ¯ ¡
j
en función de j
j
, ¡
j
, y t; obteniéndose con ello la primera
mitad de las ecuaciones de transformación (7.1). Una vez establecidas las rela-
ciones entre ¯ ¡
j
y (¡
j
. j
j
. t), las ecuaciones (7.10) proporcionan la mitad restante
de las ecuaciones de transformación, dando los ¯ j
j
en función de (¡
j
. j
j
. t). Para
completar el proceso, la ecuación (7.11) da la relación entre el nuevo hamil-
toniano
¯
H y el antiguo H.
7.2.2. Caso 2: Función generatriz T
2
= T
2
(¡
i
. ¯ j
i
. t)
Si las variables independientes de T han de ser las ¡
j
y ¯ j
j
, la función generatriz
será del tipo T
2
.
A partir de (7.7) se tiene que,
dT
1
(¡
j
. ¯ ¡
j
. t) =
¸
j
j
j
d¡
j
÷d

¸
j
¯ j
j
¯ ¡
j

+
¸
j
¯ ¡
j
d¯ j
j
+

¯
H ÷H

dt
o,
d
¸
T
1
(¡
j
. ¯ ¡
j
. t) +
¸
j
¯ j
j
¯ ¡
j
¸
=
¸
j
j
j
d¡
j
+
¸
j
¯ ¡
j
d¯ j
j
+

¯
H ÷H

dt
donde el argumento del diferencial en el miembro izquierdo es T
2
(¡
j
. ¯ j
j
. t) obtenido
mediante una transformación de Legendre, es decir,
T
2
(¡
j
. ¯ j
j
. t) = T
1
(¡
j
. ¯ ¡
j
. t) +
¸
j
¯ j
j
¯ ¡
j
por lo tanto,
dT
2
=
¸
j
j
j
d¡
j
+
¸
j
¯ ¡
j
d¯ j
j
+

¯
H ÷H

dt (7.12)
y, por otro lado, el diferencial total de T
2
puede desarrollarse en la forma,
dT
2
=
¸
j
·T
2
·¡
j
d¡
j
+
¸
j
·T
2
·¯ j
j
d¯ j
j
+
·T
2
·t
dt (7.13)
Ahora, al comparar (7.13) con (7.12) resulta,
j
j
=
·
·¡
j
T
2
(¡
j
. ¯ j
j
. t) (7.14)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 299
CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS
¯ ¡
j
=
·
·¯ j
j
T
2
(¡
j
. ¯ j
j
. t) (7.15)
y,
¯
H = H +
·
·t
T
2
(¡
j
. ¯ j
j
. t) (7.16)
De las ecuaciones (7.14) se obtienen los ¯ j
j
en función de las ¡
j
, j
j
y t, cor-
respondiendo, por lo tanto, a la segunda mitad de las ecuaciones de trans-
formación (7.1). La mitad restante de las ecuaciones de transformación se de-
duce a partir de (7.15).
7.2.3. Caso 3: Función generatriz T
3
= T
3
(j
i
. ¯ ¡
i
. t)
Si las variables independientes de T han de ser las j
j
y ¯ ¡
j
la función generatriz
será del tipo T
3
. A partir de (7.7) se tiene que,
dT
1
(¡
j
. ¯ ¡
j
. t) = d

¸
j
j
j
¡
j

÷
¸
j
¡
j
dj
j
÷
¸
j
¯ j
j
d¯ ¡
j
+

¯
H ÷H

dt
o,
d
¸
T
1
(¡
j
. ¯ ¡
j
. t) ÷
¸
j
j
j
¡
j
¸
= ÷
¸
j
¡
j
dj
j
÷
¸
j
¯ j
j
d¯ ¡
j
+

¯
H ÷H

dt
donde el argumento del diferencial en el miembro izquierdo es T
3
(j
j
. ¯ ¡
j
. t) obtenido
mediante una transformación de Legendre, es decir,
T
3
(j
j
. ¯ ¡
j
. t) = T
1
(¡
j
. ¯ ¡
j
. t) ÷
¸
j
j
j
¡
j
por lo tanto,
dT
3
= ÷
¸
j
¡
j
dj
j
÷
¸
j
¯ j
j
d¯ ¡
j
+

¯
H ÷H

dt (7.17)
y, por otro lado, el diferencial total de T
3
puede desarrollarse en la forma,
dT
3
=
¸
j
·T
3
·j
j
dj
j
+
¸
j
·T
3
·¯ ¡
j
d¯ ¡
j
+
·T
3
·t
dt (7.18)
Ahora, al comparar (7.18) con (7.17) resulta,
¡
j
= ÷
·
·j
j
T
3
(j
j
. ¯ ¡
j
. t) (7.19)
¯ j
j
= ÷
·
·¯ ¡
j
T
3
(j
j
. ¯ ¡
j
. t) (7.20)
y,
¯
H = H +
·
·t
T
3
(j
j
. ¯ ¡
j
. t) (7.21)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 300
7.2. ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN CANÓNICAS
Aquí, las ecuaciones (7.19) dan las ¯ ¡
j
como funciones de las ¡
j
, j
j
y t, que
corresponden a la primera mitad de las ecuaciones de transformación (7.1), y
las (7.20) los ¯ j
j
en función de las ¡
j
, j
j
y t propocionando la mitad restante.
7.2.4. Caso 4: Función generatriz T
4
= T
4
(j
i
. ¯ j
i
. t)
Finalmente, si las variables independientes de T han de ser las j
j
y ¯ j
j
la función
generatriz será del tipo T
4
.
A partir de (7.7) se tiene que,
dT
1
(¡
j
. ¯ ¡
j
. t) = d

¸
j
j
j
¡
j

÷
¸
j
¡
j
dj
j
÷
¸
d

¸
j
¯ j
j
¯ ¡
j

÷
¸
j
¯ ¡
j
d¯ j
j
¸
+

¯
H ÷H

dt
o,
d
¸
T
1
(¡
j
. ¯ ¡
j
. t) +
¸
j
¯ j
j
¯ ¡
j
÷
¸
j
j
j
¡
j
¸
= ÷
¸
j
¡
j
dj
j
+
¸
j
¯ ¡
j
d¯ j
j
+

¯
H ÷H

dt
donde el argumento del diferencial en el miembro izquierdo es T
4
(j
j
. ¯ j
j
. t) obtenido
mediante una transformación de Legendre, es decir,
T
4
(j
j
. ¯ j
j
. t) = T
1
(¡
j
. ¯ ¡
j
. t) +
¸
j
¯ j
j
¯ ¡
j
÷
¸
j
j
j
¡
j
por lo tanto,
dT
4
= ÷
¸
j
¡
j
dj
j
+
¸
j
¯ ¡
j
d¯ j
j
+

¯
H ÷H

dt (7.22)
y, por otro lado, el diferencial total de T
4
puede desarrollarse en la forma,
dT
4
=
¸
j
·T
4
·j
j
dj
j
+
¸
j
·T
4
·¯ j
j
d¯ j
j
+
·T
4
·t
dt (7.23)
Ahora, al comparar (7.23) con (7.22) resulta,
¡
j
= ÷
·
·j
j
T
4
(j
j
. ¯ j
j
. t) (7.24)
¯ ¡
j
=
·
·¯ j
j
T
4
(j
j
. ¯ j
j
. t) (7.25)
y,
¯
H = H +
·
·t
T
4
(j
j
. ¯ j
j
. t) (7.26)
Por último, las ecuaciones (7.24) dan los ¯ j
j
como funciones de las ¡
j
, j
j
y t,
proporcionando la segunda mitad de las ecuaciones de transformación (7.1)
y las (7.25) determinan las ¯ ¡
j
en función de las antiguas variables proporcio-
nando así la mitad restante.
La siguiente tabla resume todo lo obtenido anteriormente,
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 301
CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS
Función generatriz Ecuaciones de transformación
T
1
= T
1
(¡
j
. ¯ ¡
j
. t) j
j
=
0T
1
0o
.
, ¯ j
j
= ÷
0T
1
0e o
.
T
2
= T
2
(¡
j
. ¯ j
j
. t) j
j
=
0T
2
0o
.
, ¯ ¡
j
=
0T
2
0e j
.
T
3
= T
3
(j
j
. ¯ ¡
j
. t) ¡
j
= ÷
0T
3
0j
.
, ¯ j
j
= ÷
0T
3
0e o
.
T
4
= T
4
(j
j
. ¯ j
j
. t) ¡
j
= ÷
0T
4
0j
.
, ¯ ¡
j
=
0T
4
0e j
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 7.1
Considérese una función generatriz del segundo caso con la forma
particular
T
2
=
¸
j
¡
j
¯ j
j
Encuéntrense las tranformaciones canónicas.
Solución: A partir de las ecuaciones (7.14), (7.14) y (7.14) resulta respectivamente,
j
j
=
·T
2
·¡
j
=
·
·¡
j

¸
;
¡
;
¯ j
;

= ¯ j
j
¯ ¡
j
=
·T
2
·¯ j
j
=
·
·¯ j
j

¸
;
¡
;
¯ j
;

= ¡
j
y,
¯
H = H +
·
·t

¸
;
¡
;
¯ j
;

= H
de aquí que,
¯ ¡
j
= ¡
j
¯ j
j
= j
j
¸
¯
H = H
de donde se observa que las coordenadas antiguas y nuevas son las mismas.
De lo anterior, se nota que T
2
genera la transformación identidad, expre-
sando que este tipo de transformación es canónica.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 302
7.2. ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN CANÓNICAS
Ejemplo 7.2
Considérese una función generatriz del segundo caso con la forma
más general
T
2
=
¸
j
1
j
(¡
|
. t) ¯ j
j
donde las 1
j
son funciones arbitrarias. Encuéntrense las tranformaciones canónicas.
Solución: A partir de las ecuaciones (7.14), (7.14) y (7.14) resulta respectivamente,
j
j
=
·T
2
·¡
j
=
·
·¡
j

¸
;
1
;
(¡
|
. t) ¯ j
;

=
¸
;
·1
;
·¡
j
¯ j
;
¯ ¡
j
=
·T
2
·¯ j
j
=
·
·¯ j
j

¸
;
1
;
(¡
|
. t) ¯ j
;

= 1
j
(¡
|
. t)
y,
¯
H = H +
·
·t

¸
;
1
;
(¡
|
. t) ¯ j
;

= H +
¸
;
·1
;
·t
¯ j
;
de aquí que,
¯ ¡
j
= 1
j
(¡
|
. t)
¸
;
0;
,
0o
.
¯ j
;
= j
j

¯
H = H +
¸
;
·1
;
·t
¯ j
;
por lo tanto, con esta función generatriz las nuevas coordenadas ¯ ¡
j
sólo dependen de
las antiguas y del tiempo, pero no de los momentos antiguos.
La anterior transformación es un ejemplo de las transformaciones pun-
tuales deﬁnidas por ¯ ¡
j
= ¯ ¡
j
(¡
|
. t) y, como las 1
j
son totalmente arbitrarias, se
puede concluir que todas las transformaciones puntuales son canónicas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 7.3
Las transformaciones ortogonales son casos especiales de transfor-
maciones puntuales con,
1
j
= ¯ ¡
j
=
¸
|
\
j|
¡
|
donde los \
j|
son los elementos de la matriz de transformación que cumplen con la
condición de ortogonalidad,
¸
|
\
j|
\
n|
= o
jn
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 303
CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS
Encuéntrense las tranformaciones canónicas.
Solución: En base al ejemplo anterior, se puede escribir la función generatriz como,
T
2
=
¸
j.|
\
j|
¡
|
¯ j
j
de manera que, a partir de las ecuaciones (7.14),
j
j
=
·T
2
·¡
j
=
·
·¡
j

¸
n.|
\
n|
¡
|
¯ j
n

=
¸
n.|
\
n|
·¡
|
·¡
j
¯ j
n
=
¸
n.|
\
n|
o
|j
¯ j
n
=
¸
n
\
nj
¯ j
n
de las cuales se puede despejar las ¯ j
n
multiplicando por \
|j
y sumando sobre i en
ambos miembros,
¸
j
j
j
\
|j
=
¸
j.n
\
nj
\
|j
¯ j
n
=
¸
n
o
n|
¯ j
n
= ¯ j
|
y además, de las (7.14),
¯ ¡
j
=
·T
2
·¯ j
j
=
·
·¯ j
j

¸
n.|
\
n|
¡
|
¯ j
n

=
¸
n.|
\
n|
¡
|
·¯ j
n
·¯ j
j
=
¸
|
\
j|
¡
|
Por último, de (7.14) resulta,
¯
H = H +
·
·t

¸
n.|
\
n|
¡
|
¯ j
n

= H
de aquí que,
¯ ¡
j
=
¸
|
\
j|
¡
|
¯ j
|
=
¸
j
j
j
\
|j

¯
H = H
de manera que los momentos también se transforman ortogonalmente, según cabía
esperar a priori.
De todo lo anterior se puede decir que las transformaciones ortogonales
son transformaciones canónicas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 7.4
Considérese una función generatriz del primer caso, de la forma,
T
1
=
¸
j
¡
j
¯ ¡
j
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 304
7.2. ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN CANÓNICAS
Encuéntrense las tranformaciones canónicas.
Solución: A partir de las ecuaciones (7.9), (7.10) y (7.11) resulta respectivamente,
j
j
=
·T
1
·¡
j
=
·
·¡
j

¸
|
¡
|
¯ ¡
|

= ¯ ¡
j
¯ j
j
= ÷
·T
1
·¯ ¡
j
= ÷
·
·¯ ¡
j

¸
|
¡
|
¯ ¡
|

= ÷¡
j
y,
¯
H = H +
·T
1
·t
= H +
·
·t

¸
|
¡
|
¯ ¡
|

= H
de aquí que,
¯ ¡
j
= j
j
¯ j
j
= ÷¡
j
¸
¯
H = H
Esta transformación permuta coordenadas y momentos, es una transfor-
mación de intercambio; las nuevas coordenadas son los antiguos momentos,
mientras que los nuevos momentos son esencialmente las antiguas coorde-
nadas, poniendo de maniﬁesto la independencia entre las coordenadas y
momentos generalizados.
En efecto, se puede ver que esta transformación de intercambio es canónica a
partir de las ecuaciones de Hamilton (6.8),
«
¡
j
=
01
0j
.
«
j
j
= ÷
01
0o
.
¸
puesto que, al sustituir los j
j
por ¡
j
, las ecuaciones conservan su forma canónica sin
más que cambiar las ¡
j
por los ÷j
j
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 7.5
Demostrar que la transformación,
¯ j =
1
2

j
2
+ ¡
2

, ¯ ¡ = tan
÷1

¡
j

es canónica.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 305
CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS
Solución: Una transformación es canónica si es capaz de mantener la forma de las
ecuaciones de Hamilton. Pártase supondiendo que ¯ j y ¯ ¡ son canónicas, por lo tanto,
«
¯ ¡ =
·
¯
H
·¯ j
(7.27)
«
¯ j = ÷
·
¯
H
·¯ ¡
(7.28)
y al hallar todas las derivadas planteadas (teniendo presente que
¯
H = H [¡ (¯ ¡. ¯ j) . j (¯ ¡. ¯ j)]
por no haber dependencia explícita respecto al tiempo puesto que en las transforma-
ciones dadas no lo hay) resulta,
«
¯ ¡ =
·¯ ¡
·¡
«
¡ +
·¯ ¡
·j
«
j (7.29)
·
¯
H
·¯ j
=
·H
·¯ j
=
·H
·¡
·¡
·¯ j
+
·H
·j
·j
·¯ j
(7.30)
«
¯ j =
·¯ j
·¡
«
¡ +
·¯ j
·j
«
j (7.31)
·
¯
H
·¯ ¡
=
·H
·¯ ¡
=
·H
·¡
·¡
·¯ ¡
+
·H
·j
·j
·¯ ¡
(7.32)
Por otro lado, de las ecuaciones de transformación dadas,
·¯ ¡
·¡
=
j
j
2
+ ¡
2
,
·¯ ¡
·j
= ÷
¡
j
2
+ ¡
2
,
·¯ j
·¡
= ¡,
·¯ j
·j
= j (7.33)
y, al hallar la derivada parcial de las ecuaciones de transformación respecto a ¯ j y ¯ ¡
respectivamente,
·¯ j
·¯ j
= 1 =
·¯ j
·¡
·¡
·¯ j
+
·¯ j
·j
·j
·¯ j
= ¡
·¡
·¯ j
+ j
·j
·¯ j
. .. .
Por (7.33)
(7.34)
·¯ ¡
·¯ j
= 0 =
·¯ ¡
·¡
·¡
·¯ j
+
·¯ ¡
·j
·j
·¯ j
=
j
j
2
+ ¡
2
·¡
·¯ j
÷
¡
j
2
+ ¡
2
·j
·¯ j
. .. .
Por (7.33)
(7.35)
·¯ j
·¯ ¡
= 0 =
·¯ j
·¡
·¡
·¯ ¡
+
·¯ j
·j
·j
·¯ ¡
= ¡
·¡
·¯ ¡
+ j
·j
·¯ ¡
. .. .
Por (7.33)
(7.36)
·¯ ¡
·¯ ¡
= 1 =
·¯ ¡
·¡
·¡
·¯ ¡
+
·¯ ¡
·j
·j
·¯ ¡
=
j
j
2
+ ¡
2
·¡
·¯ ¡
÷
¡
j
2
+ ¡
2
·j
·¯ ¡
. .. .
Por (7.33)
(7.37)
de las cuales se obtiene,
·¡
·¯ ¡
= j,
·j
·¯ ¡
= ÷¡,
·¡
·¯ j
=
¡
j
2
+ ¡
2
,
·j
·¯ j
=
j
j
2
+ ¡
2
(7.38)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 306
7.2. ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN CANÓNICAS
Ahora, al sustituir (7.33) y (7.38) en las ecuaciones (7.29) a (7.32), resulta,
«
¯ ¡ =
j
j
2
+ ¡
2
«
¡ +÷
¡
j
2
+ ¡
2
«
j (7.39)
·
¯
H
·¯ j
=
¡
j
2
+ ¡
2
·H
·¡
+
j
j
2
+ ¡
2
·H
·j
(7.40)
«
¯ j = ¡
«
¡ + j
«
j (7.41)
·
¯
H
·¯ ¡
= j
·H
·¡
÷¡
·H
·j
(7.42)
y ﬁnalmente, al sustituir las ecuaciones (7.39) a (7.40) en (7.27) y (7.28) donde corres-
ponda, resulta,
j
«
¡ +÷¡
«
j = ¡
·H
·¡
+ j
·H
·j
(7.43)
¡
«
¡ + j
«
j = ÷j
·H
·¡
+ ¡
·H
·j
(7.44)
de las cuales se obtiene,
«
¡ =
01
0j
«
j = ÷
01
0o
¸
(7.45)
Estas ecuaciones son correctas ya que de antemano se sabe que ¡ y j son canóni-
cas. Con esto queda mostrado que las transformaciones dadas son canónicas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Otra forma de mostrar que la transformación dada es canónica es veriﬁcando que
¸
j
j
j
d¡
j
÷
¸
j
¯ j
j
d¯ ¡
j
es una diferencial exacta. En efecto, para el anterior ejemplo se tiene que i = 1,
jd¡ ÷ ¯ jd¯ ¡ = jd¡ ÷
1
2

j
2
+ ¡
2

jd¡ ÷¡dj
j
2
+ ¡
2

=
1
2
(jd¡ + ¡dj) = d

1
2
j¡

que es una diferencial exacta, por lo tanto la transformación es canónica.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 307
CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS
Ejemplo 7.6
Considerar la trasformación canónica generada por la función ge-
neratriz del tipo del caso 1,
T
1
=
:
2
.¡
2
cot ¯ ¡
en la resolución del oscilador armónico unidimensional. Aquí : es la masa de la partí-
cula que oscila y . =

1: con 1 la constante recuperadora de la fuerza.
Solución: A partir de las ecuaciones (7.9), (7.10) y (7.11) resulta respectivamente,
j =
·T
1
·¡
=
·
·¡

:
2
.¡
2
cot ¯ ¡

= :.¡ cot ¯ ¡ (7.46)
¯ j = ÷
·T
1
·¯ ¡
= ÷
·
·¯ ¡

:
2
.¡
2
cot ¯ ¡

=
:.¡
2
2 Sen
2
¯ ¡
(7.47)
y,
¯
H = H +
·T
1
·t
= H +
·
·t

:
2
.¡
2
cot ¯ ¡

= H (7.48)
Las ecuaciones (7.46) y (7.47) permiten obtener ¯ ¡ y ¯ j en función de ¡ y j, pero para
el presente propósito conviene más expresar las antiguas variables en función de las
nuevas. Según (7.47), ¡ está dada por,
¡ =

2¯ j
:.
Sen ¯ ¡ (7.49)
que sustituida en (7.46), proporciona,
j =

2:.¯ j Cos ¯ ¡ (7.50)
Como la función generatriz T
1
no depende explícitamente del tiempo, el valor del
Hamiltoniano [ver (7.48)] no es afectado por la transformación y bastará con expresar
H en función de las nuevas variables ¯ ¡ y ¯ j mediante las ecuaciones (7.49) y (7.50). La
energía potencial del oscilador viene dada por,
l =
1
2
1¡
2
de manera que el Hamiltoniano tiene la forma,
H = 1 + l =
1
2
:
«
¡
2
+
1
2
1¡
2
=
j
2
2:
+
1
2
:.
2
¡
2
(7.51)
Ahora, al sustituir (7.49) y (7.50) en (7.51), se obtiene el Hamiltoniano en función de
las nuevas variables,
H = .¯ j (7.52)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 308
7.3. INVARIANTE INTEGRAL UNIVERSAL DE POINCARÉ
observándose que es cíclico en ¯ ¡ implicando que el momento conjugado ¯ j es cons-
tante. En efecto, según (7.52),
¯ j =
1
.
La ecuación de movimiento para ¯ ¡ [(6.8) para las nuevas variables] se reduce a la
forma sencilla,
«
¯ ¡ =
·H
·¯ j
= .
con la solución inmediata,
¯ ¡ = .t + c
donde c es una constante de integración que puede ser determinada por las condi-
ciones iniciales. Ahora bien, de (7.49) la solución para ¡ es,
¡ =

21
:.
2
Sen (.t + c) (7.53)
que es la conocida solución para el oscilador armónico.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lo más probable es que el procedimiento usado respecto al problema escogido
parezca como “clavar una tachuela usando una mandarria”. Sin embargo, suminis-
tra un ejemplo sencillo de cómo reducir el Hamiltoniano, mediante transformaciones
canónicas, a una forma en que todas las coordenadas son cíclicas.
7.3. Invariante integral universal de Poincaré
Como ya se vio, las transformaciones canónicas se deﬁnen como aquellas que
conservan la forma de las ecuaciones de Hamilton. Ahora se plantea la siguiente in-
terrogante,
¿Existirán otras expresiones que sean invariantes respecto de las transfor-
maciones canónicas además de las ecuaciones de Hamilton?
La respuesta es SI. Poincaré
2
halló un conjunto de ellas, llamadas invariantes inte-
grales.
2
Jules Henri Poincaré (Nancy, Francia, 29 de abril de 1854 – París, 17 de julio de 1912), generalmente
conocido como Henri Poincaré, fue un prestigioso matemático, cientíﬁco teórico y ﬁlósofo de la ciencia.
Poincaré es descrito a menudo como el último «universalista» (después de Gauss) capaz de entender
y contribuir en todos los ámbitos de la disciplina matemática. En 1894 descubrió el grupo fundamental
de un espacio topológico.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 309
CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS
Poincaré llamó “invariante integral” a cualquier integral asociada al espa-
cio de fase que se mantuviera constante a lo largo del movimiento del sistema.
El teorema de Poincaré dice que:
La integral,
J
1
=

S

¸
j
d¡
j
dj
j
(7.54)
es invariante un invariante canónico, indicando por o que las integrales se han
de calcular sobre una superﬁcie arbitraria bidimensional del espacio de fase.
Demostración:
Iníciese la demostración con la observación de que la posición de un punto en
una superﬁcie bidimensional queda completamente determinada por sólo dos pará-
metros. Sean n y · tales parámetros, apropiados a la superﬁcie o, de modo que sobre
ésta ¡
j
= ¡
j
(n. ·) y j
j
= j
j
(n. ·). Cómo se sabe del cáculo elemental, el elemento de
área d¡
j
dj
j
se transforma en el elemento de área dnd· mediante el Jacobiano,
· (¡
j
. j
j
)
· (n. ·)
=

0o
.
0&
0j
.
0&
0o
.
0·
0j
.
0·

(7.55)
de acuerdo con la relación,
d¡
j
dj
j
=
· (¡
j
. j
j
)
· (n. ·)
dnd· (7.56)
Se quiere mostrar que J
1
es invariante bajo una transformación canónica, por lo
tanto, una forma de hacerlo es partiendo de que el teorema es cierto. Así pues, la
aﬁrmación de que J
1
tiene el mismo valor para todas las coordenadas canónicas se
puede escribir como,

¸
j
d¡
j
dj
j
=

S

¸
;
d¯ ¡
;
d¯ j
;
(7.57)
que, en virtud de (7.56), puede expresarse como,

¸
j
· (¡
j
. j
j
)
· (n. ·)
dnd· =

S

¸
;
· (¯ ¡
;
. ¯ j
;
)
· (n. ·)
dnd· (7.58)
y como la región de integración es arbitraria, las integrales sólo serán iguales si los
integrandos son idénticos, por lo tanto,
¸
j
· (¡
j
. j
j
)
· (n. ·)
=
¸
;
· (¯ ¡
;
. ¯ j
;
)
· (n. ·)
(7.59)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 310
7.3. INVARIANTE INTEGRAL UNIVERSAL DE POINCARÉ
Como se puede ver, la demostración de la invariancia de J
1
se ha reducido a
demostrar que la suma de los Jacobianos es invariante. Para demostrar esto, se partirá
del primer miembro de (7.59) para llegar al segundo miembro de la misma.
Por conveniencia, se supondrá que la transformación canónica de las ¡
j
, j
j
a las ¯ ¡
j
,
¯ j
j
tiene como función generatríz T una del tipo del caso 2 (ver sección 7.2.2), es decir,
T
2
= T
2
(¡
j
. ¯ j
j
. t) (esta suposición no es limitante pues puede efectuarse la demostración
usando otras funciones generatrices).
Los elementos de la segunda columna del determinante en el primer miembro de
(7.59) [ver también (7.55)] se expresan entonces en función de las nuevas variables
mediante la función generatriz. Según (7.14) se tiene que,
j
j
=
·T
2
(¡
j
. ¯ j
j
. t)
·¡
j
÷
0j
.
0&
=
0
0&

0T
2
(o
.
.e j
.
.t)
0o
.

0j
.
0·
=
0
0·

0T
2
(o
.
.e j
.
.t)
0o
.

(7.60)
donde las magnitudes entre corchetes son funciones sólo de n y · a través de las
variables ¡
j
y ¯ j
j
, por lo que,
·j
j
·n
=
¸
|
·
2
T
2
·¡
j
·¯ j
|
·¯ j
|
·n
+
¸
|
·
2
T
2
·¡
j
·¡
|
·¡
|
·n
(7.61)
·j
j
··
=
¸
|
·
2
T
2
·¡
j
·¯ j
|
·¯ j
|
··
+
¸
|
·
2
T
2
·¡
j
·¡
|
·¡
|
··
(7.62)
por lo que se puede escribir el primer miembro de (7.59) como,
¸
j
· (¡
j
. j
j
)
· (n. ·)
=
¸
j

0o
.
0&
¸
|
0
2
T
2
0o
.
0e j
I
0e j
I
0&
+
¸
|
0
2
T
2
0o
.
0o
I
0o
I
0&
0o
.
0·
¸
|
0
2
T
2
0o
.
0e j
I
0e j
I
0·
+
¸
|
0
2
T
2
0o
.
0o
I
0o
I
0·

(7.63)
Ahora, en virtud de la regla del cálculo de determinantes (ver apéndice D) que
dice,
Si los elementos de una ﬁla (columna) de una matriz se pueden descom-
poner en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de dos de-
terminantes que tienen iguales todas las ﬁlas (columnas) excepto dicha ﬁla
(columna) cuyos sumandos pasan, respectivamente, a cada uno de los de-
terminantes.
entonces,
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 311
CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS
¸
j
· (¡
j
. j
j
)
· (n. ·)
=
¸
j

0o
.
0&
¸
|
0
2
T
2
0o
.
0e j
I
0e j
I
0&
0o
.
0·
¸
|
0
2
T
2
0o
.
0e j
I
0e j
I
0·

+
¸
j

0o
.
0&
¸
|
0
2
T
2
0o
.
0o
I
0o
I
0&
0o
.
0·
¸
|
0
2
T
2
0o
.
0o
I
0o
I
0·

(7.64)
y en virtud de otra regla del cálculo de determinantes que dice,
Si los elementos de una ﬁla (columna) de una matriz se multiplican por un
número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho número.
resulta,
¸
j
· (¡
j
. j
j
)
· (n. ·)
=
¸
j.|
·
2
T
2
·¡
j
·¯ j
|

0o
.
0&
0o
I
0&
0o
.
0·
0o
I
0·

. .. .
Antisimétrica al permutar los índices j y |
+
¸
j.|
·
2
T
2
·¡
j
·¡
|

0o
.
0&
0e j
I
0&
0o
.
0·
0e j
I
0·

(7.65)
Los términos de la primera suma, como se puede notar por simple inspección, son
antisimétricos al permutar i y |, pues al hacerlo se intercambian las columnas del deter-
minante [si en una matriz cuadrada se permutan dos ﬁlas(columnas), su determinante
cambia de signo]. De esta manera, es fácil notar que toda la suma se anula! porque
siempre cada término de la suma tendrá su contraparte de signo contrario, así el valor
de la suma no queda afectado si se cambia ¡
j
÷ ¯ j
j
y ¡
|
÷ ¯ j
|
pues la suma seguirá
siendo nula,
¸
j
· (¡
j
. j
j
)
· (n. ·)
=
¸
j.|
·
2
T
2
·¯ j
j
·¯ j
|

0e j
.
0&
0e j
I
0&
0e j
.
0·
0e j
I
0·

+
¸
j.|
·
2
T
2
·¡
j
·¡
|

0o
.
0&
0e j
I
0&
0o
.
0·
0e j
I
0·

(7.66)
Se revertirá ahora el proceso que permitió pasar de (7.63) a (7.66). Para hacer esto,
se aplicarán las propiedades que se han usado de los determinantes, pero en sentido
inverso en su orden de aplicación, pero ahora la suma se hará respecto i y no a |.
Entonces, a partir de (7.66),
¸
j
· (¡
j
. j
j
)
· (n. ·)
=
¸
|

¸
j
0
2
T
2
0e j
.
0e j
I
0e j
.
0&
0e j
I
0&
¸
j
0
2
T
2
0e j
.
0e j
I
0e j
.
0·
0e j
I
0·

+
¸
|

¸
j
0
2
T
2
0o
.
0o
I
0o
.
0&
0e j
I
0&
¸
j
0
2
T
2
0o
.
0o
I
0o
.
0·
0e j
I
0·

o,
¸
j
· (¡
j
. j
j
)
· (n. ·)
=
¸
|

¸
j
0
2
T
2
0e j
.
0e j
I
0e j
.
0&
+
¸
j
0
2
T
2
0o
.
0o
I
0o
.
0&
0e j
I
0&
¸
j
0
2
T
2
0e j
.
0e j
I
0e j
.
0·
+
¸
j
0
2
T
2
0o
.
0o
I
0o
.
0·
0e j
I
0·

(7.67)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 312
7.4. CORCHETES DE LAGRANGE Y POISSON
pero,
¸
j
·
2
T
2
·¯ j
j
·¯ j
|
·¯ j
j
·n
+
¸
j
·
2
T
2
·¡
j
·¡
|
·¡
j
·n
=
·
·n

·T
2
·¯ j
|

=
·¯ ¡
|
·n
....
por (7.15)
(7.68)
por lo tanto, al sustituir (7.68) en (7.67) resulta,
¸
j
· (¡
j
. j
j
)
· (n. ·)
=
¸
|

0e o
I
0&
0e j
I
0&
0e o
I
0&
0e j
I
0·

=
¸
|
· (¯ ¡
|
. ¯ j
|
)
· (n. ·)
(7.69)
que es el segundo miembro de (7.59), demostrándose así el teorema de Poincaré.
De una forma análoga, pero aún más complicada, se demuestra que,
J
2
=

S

¸
j.|
d¡
j
dj
j
d¡
|
dj
|
(7.70)
es invariante respecto de una transformación canónica, donde o es una superﬁcie
arbitraria tetradimensional en el espacio de fase de 2: dimensiones.
Puede prolongarse esta cadena de invariantes integrales llegándose ﬁnalmente a,
J
a
=

d¡
1
. . . d¡
c
dj
1
. . . dj
c
(7.71)
donde la integral se halla extendida a una región arbitraria del espacio de fase.
La invariancia de J
a
equivale a decir que el volumen en el espacio de fase
es invariante respecto de las transformaciones canónicas.
7.4. Corchetes de Lagrange y Poisson
7.4.1. Corchetes de Lagrange
La condición de invariancia de la suma de los jacobianos (7.59) puede es-
cribirse como,
¸
j

·¡
j
·n
·j
j
··
÷
·j
j
·n
·¡
j
··

=
¸
j

·¯ ¡
j
·n
·¯ j
j
··
÷
·¯ j
j
·n
·¯ ¡
j
·n

(7.72)
Cada uno de los miembro de de la anterior expresión deﬁne lo que se denomina
corchete de Lagrange de n y ·, representado por,
¦n. ·¦
o.j
=
¸
j

·¡
j
·n
·j
j
··
÷
·j
j
·n
·¡
j
··

(7.73)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 313
CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS
de manera que, en virtud de (7.72), se puede decir que los corchetes de Lagrange son
invariantes canónicos. Por lo tanto, es indiferente el conjunto de variables canónicas
que se utilice para expresar los corchetes de Lagrange, por esta razón en adelante
serán omitidos los subíndices ¡ y j. Es fácil probar que se cumple la siguiente relación
general,
¦n. ·¦ = ÷¦·. n¦ (7.74)
indicando que los corchetes de Lagrange son antisimétricos.
Recuérdese de la sección 7.3 que n y · son las coordenadas de una región bidimen-
sional del espacio de fase, de manera que no hay ningún inconveniente en considerar
como tal región el plano ¡
j
, ¡
;
; j
j
, j
;
o ¡
j
, j
;
. Por lo tanto, se pueden veriﬁcar (por cáculo
directo) los llamados corchetes de Lagrange fundamentales,
¦¡
j
. ¡
;
¦ = 0 (7.75)
¦j
j
. j
;
¦ = 0 (7.76)
¦¡
j
. j
;
¦ = o
j;
(7.77)
recordándose que las ¡
j
, j
j
son tratadas como variables independientes en el formalis-
mo Hamiltoniano. Estas expresiones son evidentemente válidas para todos los conjun-
tos de variables canónicas.
7.4.2. Corchetes de Poisson
Aún más que los corchetes de Lagrange, son los llamados corchetes de Pois-
son
3
, que son deﬁnidos por,
[n. ·]
o.j
=
¸
j

·n
·¡
j
··
·j
j
÷
·n
·j
j
··
·¡
j

(7.78)
veriﬁcándose, en analogía con (7.74), la identidad,
[n. ·] = ÷[·. n] (7.79)
indicando, al igual que los corchetes de Lagrange, que los corchetes de Lagrange son
antisimétricos.
Al igual que con los corchetes de Lagrange, n y · son las coordenadas de una
región bidimensional del espacio de fase, de manera al considerar como tal región
3
Siméon Denis Poisson (Pithiviers, Francia, 21 de junio de 1781-Sceaux, Francia, 25 de abril de 1840), fue
un físico y matemático francés al que se le conoce por sus diferentes trabajos en el campo de la elec-
tricidad, también hizo publicaciones sobre la geometría diferencial y la teoría de probabilidades.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 314
7.4. CORCHETES DE LAGRANGE Y POISSON
el plano ¡
j
, ¡
;
; j
j
, j
;
o ¡
j
, j
;
, se pueden veriﬁcar (por cálculo directo) los llamados
corchetes de Poisson fundamentales,
[¡
j
. ¡
;
] = 0 (7.80)
[j
j
. j
;
] = 0 (7.81)
[¡
j
. j
;
] = o
j;
(7.82)
En base a las expresiones (7.73) y (7.78) es de esperarse que exista una estrecha
relación entre los corchetes de Lagrange y de Poisson. En efecto, si se consideran úni-
camente como expresiones matemáticas, prescindiendo de cualquier signiﬁcado físi-
co, puede demostrarse el siguiente teorema,
Si n
|
, | = 1. .... 2: es un conjunto de es un conjunto de 2: funciones inde-
pendientes, tales que cada n es función de las 2: variables ¡
1
. .... ¡
c
. j
1
. .... j
c
, se
cumple que,
2c
¸
|
¦n
|
. n
j
¦ [n
|
. n
;
] = o
j;
(7.83)
La demostración de este teorema no es en realidad difícil, pero si es algo laboriosa:
Demostración:
2c
¸
|
¦n
|
. n
j
¦ [n
|
. n
;
] =
2c
¸
|

c
¸
I

·¡
I
·n
|
·j
I
·n
j
÷
·j
I
·n
|
·¡
I
·n
j

c
¸
n

·n
|
·¡
n
·n
;
·j
n
÷
·n
|
·j
n
·n
;
·¡
n

. .. .
Por (7.73) y (7.78)
¸
¸
¸
¸
¸
¸
=
2c
¸
|
c
¸
I.n
¸
·¡
I
·n
|
·j
I
·n
j
÷
·j
I
·n
|
·¡
I
·n
j

·n
|
·¡
n
·n
;
·j
n
÷
·n
|
·j
n
·n
;
·¡
n

·n
;
·j
I
·j
I
·n
j
+
·n
;
·¡
I
·¡
I
·n
j

=
·n
;
·n
j
= o
j;
con lo cual queda demostrado el teorema.
La demostración anterior es independiente del particular sistema coordenado ¡
j
,
j
j
elegido; cualquier otro sistema de 2: coordenadas independientes ¯ ¡
j
y ¯ j
j
hubiese
servido de la misma forma. Por tal razón, (7.83) es invariante respecto a todas las trans-
formaciones de coordenadas, sean o no canónicas.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 316
7.4. CORCHETES DE LAGRANGE Y POISSON
Por lo anteriormente expuesto, este teorema permite calcular ciertos corchetes de
Poisson sin necesidad de utilizar un sistema coordenado particular. Si se eligen como
funciones n
|
el conjunto de 2: funciones ¡
1
. .... ¡
c
. j
1
. .... j
c
. entonces:
1. Al hacer que las n
j
sean las j
j
y las n
;
las ¡
;
, (7.83) puede ser escrita como,
c
¸
|
¦¡
|
. j
j
¦ [¡
|
. ¡
;
]
. .. .
cuando las &
I
son las o
I
+
c
¸
|
¦j
|
. j
j
¦ [j
|
. ¡
;
]
. .. .
cuando las &
I
son los j
I
= o
j;
que en virtud de (7.76) y (7.77) [teniendo presente (7.74)] se obtiene (7.80).
2. Al hacer que las n
j
sean las ¡
j
y las n
;
los j
;
, (7.83) puede ser escrita como,
c
¸
|
¦¡
|
. ¡
j
¦ [¡
|
. j
;
]
. .. .
cuando las &
I
son las o
I
+
c
¸
|
¦j
|
. ¡
j
¦ [j
|
. j
;
]
. .. .
cuando las &
I
son los j
I
= o
j;
que en virtud de (7.75) y (7.77) [teniendo presente (7.74)] se obtiene (7.81).
3. Por último, al hacer que las n
j
sean las ¡
j
y las n
;
las ¡
;
, (7.83) puede ser escrita como,
c
¸
|
¦¡
|
. ¡
j
¦ [¡
|
. ¡
;
]
. .. .
cuando las &
I
son las o
I
+
c
¸
|
¦j
|
. ¡
j
¦ [j
|
. ¡
;
]
. .. .
cuando las &
I
son los j
I
= o
j;
que en virtud de (7.75) y (7.77) [teniendo presente (7.74)] se obtiene (7.82).
De lo anterior, debido a la naturaleza del teorema expresado por (7.83),
queda claro que los corchetes fundamentales de Poisson no dependen
del conjunto particular de variables canónicas escogidas en su deducción,
demostrándose así gue son invariantes canónicos.
Sólo queda por mostrar que el valor de cualquier corchete de Poisson es inde-
pendiente del sistema coordenado en que esté expresado. Para mostrarlo, se em-
pleará la ya mostrada independencia de los corchetes de Poisson fundamentales. Si
1 = 1 (¡
j
. j
j
. t) y G = G(¡
j
. j
j
. t) son dos funciones arbitrarias, su corchete de Poisson
respecto del sistema ¡, j es,
[1. G]
o.j
=
¸
j

·1
·¡
j
·G
·j
j
÷
·1
·j
j
·G
·¡
j

(7.89)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 317
CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS
y, respecto del sistema ¯ ¡, ¯ j (que es una transformación canónica del sistema ¡, j),
[1. G]
e o.e j
=
¸
j

·1
·¯ ¡
j
·G
·¯ j
j
÷
·1
·¯ j
j
·G
·¯ ¡
j

(7.90)
ahora, considerando ¡
j
y j
j
como funciones del conjunto de variables transformadas
¯ ¡
;
, ¯ j
;
, se quiere mostrar que,
[1. G]
o.j
= [1. G]
e o.e j
(7.91)
En efecto, se tiene que,
·G
·j
j
=
¸
;
·G
·¯ ¡
;
·¯ ¡
;
·j
j
+
¸
;
·G
·¯ j
;
·¯ j
;
·j
j
·G
·¡
j
=
¸
;
·G
·¯ ¡
;
·¯ ¡
;
·¡
j
+
¸
;
·G
·¯ j
;
·¯ j
;
·¡
j
por lo tanto la expresión (7.89) se puede escribir como,
[1. G]
o.j
=
¸
j.;
¸
·1
·¡
j

·G
·¯ ¡
;
·¯ ¡
;
·j
j
+
·G
·¯ j
;
·¯ j
;
·j
j

÷
·1
·j
j

·G
·¯ ¡
;
·¯ ¡
;
·¡
j
+
·G
·¯ j
;
·¯ j
;
·¡
j

que, reagrupando adecuadamente los términos, se convierte en,
[1. G]
o.j
=
¸
;

·G
·¯ ¡
;
[1. ¯ ¡
;
]
o.j
+
·G
·¯ j
;
[1. ¯ j
;
]
o.j

(7.92)
Esta misma expresión sirve para calcular los corchetes de Poisson que aparecen
entre paréntesis. En efecto, si se sustituye 1 por ¯ ¡
;
, y se reemplaza G por 1, (7.92) se
convierte en,
[¯ ¡
;
. 1]
o.j
=
¸
j
·1
·¯ ¡
j
[¯ ¡
;
. ¯ ¡
j
] +
¸
j
·1
·¯ j
j
[¯ ¡
;
. ¯ j
j
]
donde se han omitido los subíndices en los corchetes del segundo miembro, por que
son precisamente los fundamentales y ya se ha mostrado que estos son invariantes.
Como consecuencia de (7.80) y (7.82), la expresión (7.92) se reduce a,
[¯ ¡
;
. 1]
o.j
=
¸
j
·1
·¯ j
j
o
;j
o, en virtud de (7.79),
[1. ¯ ¡
;
] = ÷
·1
·¯ j
;
(7.93)
que es un resultado canónicamente invariante.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 318
7.4. CORCHETES DE LAGRANGE Y POISSON
De forma análoga, si se sustituye 1 por ¯ j
;
, y se reemplaza G por 1, (7.92) se convierte
en,
[¯ j
;
. 1]
o.j
=
¸
j

·1
·¯ ¡
j
[¯ j
;
. ¯ ¡
j
] +
·1
·¯ j
j
[¯ j
;
. ¯ j
j
]

Como consecuencia de (7.81) y (7.82), la expresión (7.92) se reduce a,
[¯ j
;
. 1]
o.j
= ÷
¸
j
·1
·¯ ¡
j
o
j;
o, en virtud de (7.79),
[1. ¯ j
;
] =
·1
·¯ ¡
;
(7.94)
Por último, al sustituir (7.93) y (7.94) en (7.92),
[1. G]
o.j
=
¸
;

·1
·¯ ¡
;
·G
·¯ j
;
÷
·1
·¯ j
;
·G
·¯ ¡
;

= [1. G]
e o.e j
que demuestra el planteamiento inicial expresado por (7.91).
De todo lo anterior se puede decir que los corchetes de Poisson son inva-
riantes ante transformaciones canónicas o invariantes canónicos, por lo que
los subíndices pueden ser omitidos.
De lo anterior y de (7.80) a (7.82) también se puede concluir que:
Si se cumple que,
[¯ ¡
j
. ¯ ¡
;
]
o.j
= 0 [¯ j
j
. ¯ j
;
]
o.j
= 0 [¯ ¡
j
. ¯ j
;
]
o.j
= o
j;
(7.95)
entonces la transformación que pasa del sistema ¡, j al sistema ¯ ¡, ¯ j es canóni-
ca.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 7.7
Resolver el ejemplo 7.5 pero ahora desde el punto de vista de las
expresiones (7.95).
Solución: Para este caso i = , = 1, entonces las expresiones (7.95) quedan escritas
como,
[¯ ¡. ¯ ¡]
o.j
= 0 [¯ j. ¯ j]
o.j
= 0 [¯ ¡. ¯ j]
o.j
= 1 (7.96)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 319
CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS
entonces, a partir de la deﬁnición de un corchete de Poisson dada por (7.78), las dos
primeras se cumplen de forma obvia,
[¯ ¡. ¯ ¡]
o.j
=
·¯ ¡
·¡
·¯ ¡
·j
÷
·¯ ¡
·j
·¯ ¡
·¡
= 0 (7.97)
[¯ j. ¯ j]
o.j
=
·¯ j
·¡
·¯ j
·j
÷
·¯ j
·j
·¯ j
·¡
= 0 (7.98)
y la tercera,
[¯ ¡. ¯ j]
o.j
=
·¯ ¡
·¡
·¯ j
·j
÷
·¯ ¡
·j
·¯ j
·¡
(7.99)
pero,
0e o
0o
=
j
j
2
+o
2
0e j
0j
= j
0e o
0j
= ÷
o
j
2
+o
2
0e j
0o
= ¡
entonces, al sustituir estos resultados en (7.99) resulta,
[¯ ¡. ¯ j]
o.j
=
j
2
j
2
+ ¡
2
+
¡
2
j
2
+ ¡
2
= 1
lo cual demuestra que la transformación dada es canónica. En ﬁn, sólo hay que probar
la tercera de las expresiones (7.95), ya que las dos primeras son independientes de la
forma explícita de la transformación.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Las siguientes son algunas propiedades de los corchetes de Poisson,
1. [n. n] = 0.
2. [n. c] = 0, donde c es una magnitud que no depende explícitamente de ¡ y/o j.
3. Regla de Leibniz:

[n. ·n] = [n. ·] n + · [n. n]
[n·. n] = [·. n] n + · [n. n]
.
4. Linealidad:

[cn. ·] = c[n. ·]
[n + ·. n] = [n. n] + [·. n] .
, donde c es una magnitud que no depende
explícitamente de ¡ y/o j.
5.
0
0t
[n. ·] =

0&
0t
. ·

n.
0·
0t

6. BIdentidad de Jacobi (ver apéndice E), [n. [·. n]] + [·. [n. n]] + [n. [n. ·]] = 0.
Las propiedades 1 hasta la 5 se pueden demostrar fácilmente a partir de la deﬁni-
ción de corchete de Poisson (7.78). La 6 puede veriﬁcarse directamente por fuerza
bruta, pero el cálculo es brutalmente extenso.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 320
7.4. CORCHETES DE LAGRANGE Y POISSON
7.4.3. Ecuaciones de Hamilton en corchetes de Poisson
Si la función 1 de (7.93) y (7.94) es el Hamiltoniano, entonces se puede escribrir
que,
[¡
j
. H] =
·H
·j
j
=
«
¡
j
(7.100)
[j
j
. H] = ÷
·H
·¡
j
=
«
j
j
(7.101)
que son las ecuaciones canónicas del movimiento o ecuaciones de Hamilton escritas
en función de los corchetes de Poisson. Esto pone en evidencia la gran simetría de esta
formulación.
Las anteriores expresiones son un caso especial de una expresión general que da
la derivada total respecto al tiempo de una función n(¡
j
. j
j
. t). En efecto,
dn
dt
=
¸
j

·n
·¡
j
«
¡
j
÷
·n
·j
j
«
j
j

+
·n
·t
y si se expresan
«
¡
j
y
«
j
j
en función del Halmiltoniano usando las ecuaciones de Hamilton
(6.8)
dn
dt
=
¸
j

·n
·¡
j
·H
·j
j
÷
·n
·j
j
·H
·¡
j

+
·n
·t
o,
dn
dt
= [n. H] +
·n
·t
(7.102)
y se observa que, evidentemente, las expresiones (7.100) y (7.101) se deducen de esta
relación si si se hace n igual a ¡
j
y j
j
, respectivamente.
Por otro lado, Igualando n al Hamiltoniano se obtiene otro resultado conocido, pués
según la propiedad 1 de los corchetes de Poisson mencionada en la sección 7.4.2 se
tiene que,
dH
dt
=
·H
·t
que es idéntica a la expresión (6.10).
Para sistemas en los cuales t no aparece explícitamente en las magnitudes de in-
terés, la derivada total respecto al tiempo se reduce al corchete de Poisson con H. En
efecto, si n es una de esas magnitudes de interés, entonces a partir de (7.102),
dn
dt
= [n. H] , si t no aparece explícitamente. (7.103)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 321
CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS
Por lo tanto, de (7.103) se puede concluir que todas las funciones n cuyo
corchete de Poisson con H se anule serán constantes de movimiento y, recíp-
rocamente, los corchetes de las constantes de movimiento con H se anulan.
Esto constituye, por lo tanto, un procedimiento general para buscar e identi-
ﬁcar las constantes de movimiento del sistema.
La identidad de Jacobi permite, conocidas dos constantes de movimiento, hallar
una tercera. Este resultado es conocido como teorema de Jacobi-Poisson y establece
que,
Si n y · son dos constantes conocidas cualesquiera de movimiento que no
dependen explícitamente del tiempo, entonces [n. ·] es también una constan-
te de movimiento.
Demostración:
La demostración es sencilla y se basa en la identidad de Jacobi. En efecto, al hacer
n = H en la identidad de Jacobi,
[n. [·. H]] + [·. [H. n]] + [H. [n. ·]] = 0
pero,
[·. H] = 0 y [H. n] = 0
puesto que los corchetes de una constante de movimiento con H se anulan, quedan-
do,
[n. 0] + [·. 0] + [H. [n. ·]] = 0
y por la segunda propiedad de los corchetes de Poisson,
[n. 0] = 0 y [·. 0] = 0
resultando por último,
[H. [n. ·]] = 0 (7.104)
entonces [n. ·] es una constante de movimiento, es decir, el corchete de Poisson de
dos constantes de movimiento es también una constante de movimiento; ya que to-
das las funciones (en este caso [n. ·]) cuyo corchete de Poisson con H se anule serán
constantes de movimiento.
Debe entenderse, sin embargo, que la nueva constante de movimiento que se
pueda hallar por este procedimiento, bien puede ser idénticamente nula, o conducir
a una constante o función de constantes ya conocidas.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 322
7.5. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS INFINITESIMALES
7.5. Transformaciones canónicas inﬁnitesimales
Comiécese deﬁniendo lo que es una transformación canónica inﬁnitesimal.
Se denomina transformación canónica inﬁnitesimal a aquella transforma-
ción canónica que diﬁere inﬁnitesimalmente de la transformación identidad,
es decir, una transformación en la que las nuevas variables sólo se diferencian
de las antiguas en un inﬁnitésimo.
En base a lo anteriormente expuesto, se pueden escribir las ecuaciones de transfor-
mación como,
¯ ¡
j
= ¡
j
+ o¡
j
¯ j
j
= j
j
+ oj
j
¸
(7.105)
cuidándose de tener presente que o¡
j
y oj
j
no representan desplazamientos virtuales,
sino sencillamente cambios inﬁnitesimales de las coordenadas y los momentos.
Es evidente pensar que la función generatriz de la transformación sólo diferirá en
un inﬁnitésimo de la correspondiente a la identidad, dada por T
2
=
¸
j
¡
j
¯ j
j
estudiada
en el ejemplo 6.1. Por lo tanto, la función generatriz podrá escribirse, para el presente
caso, como,
T
2
=
¸
j
¡
j
¯ j
j
+ c(¡
|
. j
|
) (7.106)
donde c es cierto parámetro inﬁnitesimal de la transformación que permite controlar
el valor absoluto de o¡
j
= [¯ ¡
j
÷¡
j
[ y oj
j
= [¯ j
j
÷j
j
[ y hacerlo tan pequeño como se
desee si las funciones (¡
|
. j
|
) están acotadas en el rango de interés. En adelante,
serán considerados sólo términos hasta el primer orden en c.
Las ecuaciones de transformación se hallan a partir de (7.14) y (7.15),
j
j
=
·T
2
·¡
j
=
·
·¡
j

¸
n
¡
n
¯ j
n
+ c(¡
|
. j
|
)

= ¯ j
j
+ c
·
·¡
j
o,
¯ j
j
= j
j
÷c
·
·¡
j
¯ ¡
j
=
·T
2
·¯ j
j
=
·
·¯ j
j

¸
n
¡
n
¯ j
n
+ c(¡
|
. j
|
)

= ¡
j
+ c
·
·¯ j
j
cuyo segundo miembro es una mezcla entre las antiguas y nuevas variables. Se quiere
dejarlo de tal forma que sólo aparezcan las antiguas, lo cual se logra observando que
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 323
CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS
el segundo miembro es ya de primer orden en c y los ¯ j
j
sólo diﬁeren en un inﬁnitésimo
de los j
j
, entonces es correcto reemplazar ¯ j
j
÷j
j
en la derivada, quedando,
¯ ¡
j
= ¡
j
+ c
·
·¡
j
considerándose ahora únicamente como función de las ¡
j
y j
j
. Y además de (7.16),
¯
H = H +
·T
2
·t
= H +
·
·t

¸
n
¡
n
¯ j
n
+ c(¡
|
. j
|
)

= H (7.107)
de manera que el Hamiltoniano no sufre cambios bajo esta transformación. Por lo tan-
to, las trasformaciones inﬁnitesimales buscadas vendrán dadas por,
¯ ¡
j
= ¡
j
+ c
0
0o
.
¯ j
j
= j
j
÷c
0
0o
.
¸
(7.108)
y aunque, rigurosamente hablando, el caliﬁcativo de función generatriz es sólo reser-
vado para T, también suele designarse de esta forma.
En virtud de (7.105), las expresiones (7.108) pueden ser escritas como,
o¡
j
= c
0
0j
.
oj
j
= ÷c
0
0o
.
¸
(7.109)
Una interesante aplicación de las expresiones (7.109) se tiene cuando se considera
una transformación canónica inﬁnitesimal en la que (¡
j
. j
j
) = H (¡
j
. j
j
), siendo c un
pequeño intervalo de tiempo dt. En este caso, a partir de (7.109) se tiene,
oj
j
= ÷c
·
·¡
j
= ÷
·H
·¡
j
dt =
«
j
j
dt = dj
j
(7.110)
o¡
j
= c
·
·j
j
=
·H
·j
j
dt =
«
¡
j
dt = d¡
j
(7.111)
donde se han usado las expresiones (7.19). Con esto se ha mostrado que el Hamiltoni-
ano es el generador inﬁnitesimal para la evolución dinámica en el tiempo.
Las expresiones (7.110) y (7.111) proporcionan los valores de las ¡
j
y los j
j
en el in-
stante t + dt, conocidos los que tienen en el instante t, permitiendo describir el mo-
vimiento del sistema en un intervalo dt mediante una trasformación canónica inﬁn-
itesimal generada por el Hamiltoniano. Por consiguiente, el movimiento del sistema
en un intervalo ﬁnito, comprendido entre t
c
y t, vendrá representado por una suce-
sión de transformaciones canónicas inﬁnitesimales. Como el resultado de dos trans-
formaciones canónicas aplicadas sucesivamente equivale a una sola transformación
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 324
7.5. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS INFINITESIMALES
canónica, podrán obtenerse los valores de las ¡
j
y los j
j
en cualquier instante t, a partir
de sus valores iniciales, mediante una trasnformación canónica que sea función con-
tinua del tiempo. De acuerdo con este punto de vista, el movimiento de un sistema
mecánico corresponde a una evolución continua de una transformación canónica.
Por otro lado, considerando el cambio que experimenta cierta función n(¡
j
. j
j
) co-
mo resultado de una transformación canónica inﬁnitesimal, aparece un resultado en-
tre dicha transformación y los corchetes de Poisson. En efecto, el cambio de dicha
función como resultado de una transformación canónica inﬁnitesimal es,
on(¡
j
. j
j
) = n(¡
j
+ o¡
j
. j
j
+ oj
j
) ÷n(¡
j
. j
j
)
pero si se consideran sólo inﬁnitésimos de primer orden, entonces un desarrollo en serie
de Taylor demuestra que la diferencia es,
on =
¸
j

·n
·¡
j
o¡
j
+
·n
·j
j
oj
j

y al usar (7.110) y (7.111) resulta,
on = c
¸
j

·n
·¡
j
·
·j
j
÷
·n
·j
j
·
·¡
j

o, en virtud de la deﬁnición de los corchetes de Poisson (7.78),
on = c [n. ] (7.112)
por lo tanto, en consecuencia, si se hace n = H, el cambio del Hamiltoniano como
resultado de una transformación canónica inﬁnitesimal es,
oH = c [H. ] (7.113)
Anteriormente se encontró que si una función (¡
j
. j
j
) es una constante de mo-
vimiento, su corchete de Poisson con H se anula. La expresión (7.113) dice que tal
constante engendra una transformación canónica inﬁnitesimal que no altera el valor
del Hamiltoniano, es decir:
Las constantes de movimiento son las funciones generatrices de aquellas
transformaciones canónicas inﬁnitesimales que dejan invariante el Hamiltoni-
ano.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 325
CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS
7.6. Forma simpléctica de las transformaciones canónicas
Además de que por la existencia de una función generatriz y por la invarianza
de los corchetes de Lagrange y Poisson se han caracterizado las transformaciones
canónicas, se desarrolló en esta sección otra condición necesaria y suﬁciente que
garantiza el que una transformación sea canónica.
También se pueden ver transformaciones que dejan invariantes a las ecuaciones
de Hamilton (transformaciones canónicas) desde el punto de vista estudiado en la
sección 6.9. La transformación del sistema ¡, j al sistema ¯ ¡, ¯ j puede escribirse ahora
como,
¯:
j
= ¯:
j
(:
j
) , con i = 1. .... 2: (7.114)
donde :
j
= ¡
j
, :
j+c
= j
j
y ¯:
j
= ¯ ¡
j
, ¯:
j+c
= ¯ j
j
con i _ :. Entonces,
d¯:
j
dt
=
«
¯:
j
=
·¯:
j
·:
|
d:
|
dt
=
·¯:
j
·:
|
«
:
|
(7.115)
y al usar (6.186) resulta,
«
¯:
j
=
·¯:
j
·:
|
J
|I
·H
·:
I
=
·¯:
j
·:
|
J
|I
·H
·¯:
;
·¯:
;
·:
I
(7.116)
o matricialmente,
«
¯: =

.J.
T

·H
·¯:
(7.117)
donde .
j;
=
0ea
.
0a
,
es el Jacobiano de la transformación. Ahora bien, si la transformación
realizada es canónica, signiﬁca que la expresión (7.117) debe ser igual en forma a la
(6.186), por lo tanto debe cumplirse que,
.J.
T
= J =
·¯:
j
·:
|
J
|I
·¯:
;
·:
I
= J
j;
(7.118)
donde se dice que J es simpléctico.
Un cambio de variables con un Jacobiano . simpléctico, es decir, que
cumple con (7.118), se dice que es una transformación canónica.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 7.8
Resolver el ejemplo 7.5 pero ahora desde el punto de vista de las
expresiones (7.118).
Solución: Se debe mostrar que .J.
T
= J. La transformación dada representa un
sistema de un grado de libertad, por lo tanto, el Jacobiano viene dado por,
. =
¸
.
11
.
12
.
21
.
22
¸
=
¸
0e o
0o
0e o
0j
0e j
0o
0e j
0j
¸
(7.119)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 326
7.6. FORMA SIMPLÉCTICA DE LAS TRANSFORMACIONES CANÓNICAS
pero como,
0e o
0o
=
j
j
2
+o
2
0e j
0j
= j
0e o
0j
= ÷
o
j
2
+o
2
0e j
0o
= ¡
entonces,
. =
¸
j
j
2
+o
2
÷
o
j
2
+o
2
¡ j
¸
=.
T
=
¸
j
j
2
+o
2
¡
÷
o
j
2
+o
2
j
¸
(7.120)
Por otro lado, de la deﬁnición de J (6.181), para esta caso particular se puede
escribir,
J =
¸
0 1
÷1 0
¸
(7.121)
por lo tanto,
.J.
T
=
¸
j
j
2
+o
2
÷
o
j
2
+o
2
¡ j
¸¸
0 1
÷1 0
¸¸
j
j
2
+o
2
¡
÷
o
j
2
+o
2
j
¸
=
¸
0 1
÷1 0
¸
= J
de aquí que la transformación sea canónica.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 7.9
Supóngase que se tiene la transformación ¡
j
÷÷ ¯ ¡
j
(¡
;
). Encontrar la
forma de la transformación j
j
÷÷ ¯ j
j
(¡
;
. j
;
) que mantiene invariantes las ecuaciones de
Hamilton.
Solución: El Jacobiano viene dado por,
. =
¸
.
11
.
12
.
21
.
22
¸
=
¸
0e o
.
0o
,
0e o
.
0j
,
0e j
.
0o
,
0e j
.
0j
,
¸
=
¸
0e o
.
0o
,
0
0e j
.
0o
,
0e j
.
0j
,
¸
Ahora, la condición para que la transformación dada sea canónica es que .J.
T
= J,
por lo tanto,
.J.
T
=
¸
0e o
.
0o
,
0
0e j
.
0o
,
0e j
.
0j
,
¸¸
0 1
÷1 0
¸¸
0e o
.
0o
,
0e j
.
0o
,
0
0e j
.
0j
,
¸
=
¸
0 1
÷1 0
¸
de aquí que,
¸
0
0e o
.
0o
,
0e j
.
0j
,
÷
0e j
.
0j
,
0e o
.
0o
,
0
¸
=
¸
0 1
÷1 0
¸
por lo tanto,
·¯ ¡
j
·¡
;
·¯ j
j
·j
;
= 1
entonces,
¯ j
j
=
·¡
;
·¯ ¡
j
j
;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 327
CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS
7.7. Problemas
1. Demostrar, por cálculo directo y por corchetes de Poisson, que la transformación,
¯ ¡ = log

1
¡
Sen j

, ¯ j = ¡ cot j
es canónica.
2. Las ecuaciones de transformación entre dos sistemas coordenados son,
¯ ¡ = log

1 + ¡
1/2
Cos j

¯ j = 2

1 + ¡
1/2
Cos j

¡
1/2
Sen j
(a) Demuéstrese directamente a partir de estas ecuaciones de transformación que
¯ ¡ y ¯ j son variables canónicas si lo son ¡ y j. (b) Pruébese que la función que engen-
dra esta transformación es,
T
3
= ÷

c
e o
÷1

2
tan j
3. Para qué valores de c y representan las ecuaciones,
¯ ¡ = ¡
c
Cos (j)
¯ j = ¡
c
Sen (j)
una transformación canónica? ¿Cuál es la forma de la función generatriz T
3
en este
caso?.
4. Mostrar directamente que para un sistema de un grado de libertad, la transforma-
ción,
¯ ¡ = tan
÷1

c¡
j

¯ j =
c¡
2
2

1 +
j
2
c
2
¡
2

es canónica, donde c es una constante arbitraria de dimensiones adecuadas. Use
el método simpléctico.
5. Muestre las siguientes propiedades de los corchetes de Poisson:Las siguientes son
algunas propiedades de los corchetes de Poisson,
a) [n. n] = 0.
b) [n. c] = 0, donde c es una magnitud que no depende explícitamente de ¡ y/o j.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 328
7.7. PROBLEMAS
c) Regla de Leibniz:

[n. ·n] = [n. ·] n + · [n. n]
[n·. n] = [·. n] n + · [n. n]
d) Linealidad:

[cn. ·] = c[n. ·]
[n + ·. n] = [n. n] + [·. n] .
donde c es una magnitud que no depende explícitamente de ¡ y/o j.
e)
0
0t
[n. ·] =

0&
0t
. ·

n.
0·
0t

6. Mostrar que el corchete de Poisson de las componentes r y n del momento angular
es igual al valor de su componente . con signo negativo,
[L
a
. L
&
] = ÷L
:
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CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 330
CAPÍTULO 8
Teoría de Hamilton-Jacobi
La ecuación de Hamilton-Jacobi
1
es una ecuación diferencial en derivadas
parciales usada en Mecánica Clásica y Mecánica Relativista que permite encontrar
las ecuaciones de evolución temporal o de "movimiento".
La ecuación de Hamilton-Jacobi permite una formulación alternativa a la Mecáni-
ca Lagrangiana y la Mecánica Hamiltoniana (y por tanto a la Mecánica Newtoniana,
basada en el intento de integración directa de las ecuaciones de movimiento). El em-
pleo de la ecuación de Hamilton-Jacobi resulta ventajoso cuando se conoce alguna
integral primera de movimiento.
Además la formulación basada en la ecuación de Hamilton-Jacobi es la única
formulación de la Mecánica en la que el movimiento de una partícula y el de una
onda se describen en los mismos términos. Es por esto que ecuación de Hamilton-
Jacobi constituye una meta largamente perseguida de la física teórica, desde Johann
Bernoulli en el siglo XVIII buscó una analogía entre la propagación de ondas y partícu-
las. Esta razón fue la que llevo a Schrödinger a buscar una ecuación para la "Mecánica
Ondulatoria.
o
Mecánica Cuántica generalizando la ecuación de Hamilton-Jacobi (en
lugar de usar los otros enfoques alternativos de la Mecánica Clásica). Incluso la primera
ecuación para Mecánica Cuántica Relativista, la ecuación de Klein-Gordon, se basó
en la ecuación de Hamilton-Jacobi relativista en lugar de otros enfoques alternativos.
1
Carl Gustav Jacobi (1804-1851), matemático alemán, uno de los fundadores de la teoría de las fun-
ciones elípticas. Nació en Potsdam y estudió en la Universidad de Berlín. Fue profesor de matemáticas
en la Universidad de Königsberg (hoy Kaliningrado, Rusia) desde 1827 hasta 1842. Hizo grandes aporta-
ciones a la teoría de números y al estudio de los determinantes, estableciendo la teoría de los determi-
nantes funcionales, que se llamaron jacobianos. También investigó las ecuaciones diferenciales.
331
CAPÍTULO 8. TEORÍA DE HAMILTON-JACOBI
Como se dijo antes, las ecuaciones de Lagrange para un sistema descrito por :
(grados de libertad) coordenadas generalizadas son : ecuaciones de segundo orden
de derivadas respecto del tiempo. El mismo sistema puede ser estudiado de acuerdo
a Hamilton con 2: ecuaciones de primer orden de derivadas respecto del tiempo.
Existe una notable alternativa, la descripción de Hamilton-Jacobi, que se reduce a
una única ecuación en derivadas parciales.
La teoría de las transformaciones canónicas estudiada en el capítulo anterior con-
duce directamente al resultado más importante de la teoría de sistemas dinámicos, la
ecuación de Hamilton-Jacobi.
Contents
8.1. Ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
8.2. Solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . 335
8.2.1. Para sistemas con H independiente del tiempo . . . . . . . . . . . . . . 335
8.2.2. Para sistemas con H independiente del tiempo y alguna coordenada cíclica 336
8.2.3. Para sistemas con H independiente del tiempo y coordenadas no cíclicas 336
8.3. Ejemplos de aplicación de la ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . 338
8.4. Variables acción-ángulo en sistemas con un grado de libertad . . . . . 338
8.1. Ecuación de Hamilton-Jacobi
Considérese un sistema holónomo que obedece las ecuaciones canónicas de
Hamilton,
«
¡
j
=
·H
·j
j
,
«
j
j
= ÷
·H
·¡
j
con i = 1. 2. .... : (8.1)
donde : = 3` ÷ / es, como ya se sabe, el número de grados de libertad del sistema
mecánico holónomo a estudiar. Se tratará ahora de determinar una transformación
canónica de manera que en el sistema Hamiltoniano transformado,
«
¯ ¡
j
=
·
¯
H
·¯ j
j
,
«
¯ j
j
= ÷
·
¯
H
·¯ ¡
j
con i = 1. 2. .... : (8.2)
la función
¯
H sea cero,
¯
H = 0 (8.3)
de modo que, a partir de (8.2),
«
¯ ¡
j
= 0,
«
¯ j
j
= 0 (8.4)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 332
8.1. ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI
de forma que el sistema (8.4) se pueda integrar directamente resultando,
¯ ¡
j
= c
j
, ¯ j
j
=
j
con i = 1. 2. .... : (8.5)
donde c
j
y
j
son 2: constantes arbitrarias.
Con la ﬁnalidad de llevar a cabo la transformación de coordenadas, se necesita
una función generatriz. Por razones históricas (Jacobi hizo esta elección) se adopta,
entre las cuatro posibles tipos, la función T
2
= T
2
(¡
j
. ¯ j
j
. t) = o (¡
j
. ¯ j
j
. t) que ya se es-
tudió en el capítulo anterior (sección 7.2.2), la cual es conocida como la función de
acción de Hamilton. Conocidas ya las transformaciones, se pueden expresar todas
las ¡
j
y j
j
como funciones del tiempo t de las 2: constantes arbitrarias c
j
,
j
, es de-
cir, se pueden encontrar completamente las ecuaciones de movimiento ﬁnales de un
sistema holónomo dado [todas las soluciones del sistema (8.1)].
Para la función generatriz que se ha elegido, como ya se sabe, se cumplen las
ecuaciones (7.14) a (7.16). Ahora bien, al aplicar el requerimiento (8.3) a la expresión
(7.16) se obtiene,
·
·t
o (¡
j
. ¯ j
j
. t) + H (¡
j
. j
j
. t) = 0
o también, en virtud de (7.14) y (8.5),
·
·t
o

¡
;
.
;
. t

+ H
¸
¡
j
.
·
·¡
j
o

¡
;
.
;
. t

. t

= 0 (8.6)
que es la denominada ecuación diferencial de Hamilton-Jacobi. Mediante esta ecua-
ción diferencial se puede determinar la función generatriz o. Es de hacer notar que
esta ecuación es una ecuación diferencial parcial no lineal de primer orden con : + 1
variables ¡
j
, t. La no linealidad es debida a que H depende cuadráticamente de los
momentos que entran como derivadas de la función de acción de Hamilton o con
respecto a las coordenadas de posición ¡
j
. Aqui aparecen sólo primeras derivadas
con respecto a las ¡
j
y el tiempo t.
¿Qué se ha ganado con la ecuación de Hamilton-Jacobi?. Pues ahora el doble
problema de encontrar las ecuaciones de movimiento y luego integrar ese sistema de
ecuaciones diferenciales ordinarias, que es ﬁnalmente lo que está en el fondo de cual-
quier otra construcción formal de la dinámica (como la de Lagrange y la de Hamilton
por ejemplo), aquí se reduce a un único problema de encontrar la solución de una
única ecuación en derivadas parciales.
Para determinar la función de acción de Hamilton o, se tiene que integrar la ecua-
ción diferencial (8.6) : + 1 veces (cada derivada ·o¡
j
, ·o·t requiere de una inte-
gración), obteniéndose así : +1 constantes de integración. Pero como o aparece sólo
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 333
CAPÍTULO 8. TEORÍA DE HAMILTON-JACOBI
como una derivada en dicha ecuación diferencial, signiﬁca que puede ser encontra-
da pero con una constante de integración c sumada a élla, es decir, o = o/ + c; por
lo cual una de las : + 1 constantes de integración debe ser una constante aditiva a o.
Esto no es, sin embargo, esencial para la transformación. Así se obtiene como solución,
o = o

¡
;
.
;
. t

(8.7)
En virtud de (7.14), (7.15) y en analogía a (8.5), las nuevas coordenadas ¯ ¡
j
y ¯ j
j
ven-
drán dadas por,
¯ j
j
=
j
, ¯ ¡
j
=
·o
·¯ j
j
=
·
·
j
o

¡
;
.
;
. t

= c
j
(8.8)
Para resolver un problema por este método se siguen los pasos siguientes:
1. Se encuentra una solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi
(8.6); esto es, una solución que contenga : constantes de integración
j
:
o (¡
j
.
j
. t).
2. Se encuentran las variables ¡
j
y j
j
, las cuales resultan de las transforma-
ciones (7.14) y (7.15) como sigue:
a) A partir de,
c
j
=
·
·
j
o

¡
;
.
;
. t

(8.9)
se obtienen las
¡
j
. ¡
j
= ¡
j

c
;
.
;
. t

(8.10)
b) y al introducirlas en,
j
j
=
·
·¡
j
o (¡
;
. ¯ j
;
. t) = j
j

¡
;
.
;
. t

(8.11)
producen ﬁnalmente los j
j
,
j
j
= j
j

c
;
.
;
. t

(8.12)
Como las ¡
j

c
;
.
;
. t

y los j
j

c
;
.
;
. t

son ya funciones conocidas del tiempo t y
de las constantes de integración c
;
,
;
, entonces se tiene la solución dinámica
completa del problema del sistema de partículas caracterizado por el Hamil-
toniano H (¡
j
. j
j
. t), ya que se encuentran las : coordenadas generalizadas co-
mo funciones explícitas del tiempo y de las 2: constantes de integración que
permiten ajustar condiciones iniciales genéricas.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 334
8.2. SOLUCIÓN COMPLETA DE LA ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI
8.2. Solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi
Para cumplir con el paso 1 de la sección anterior, se debe resolver por comple-
to la ecuación de Hamilton-Jacobi (8.6). No existen métodos generales para obtener
soluciones completas de dicha ecuación; sin embargo, existen casos importantes en
los que es posible obtener una solución completa de ésta mediante el método de
separación de variables. El método de separación de variables de la ecuación de
Hamilton-Jacobi representa una forma general (y a menudo la única factible) de re-
solverlas.
8.2.1. Para sistemas con H independiente del tiempo
En el caso de un sistema autónomo, H no depende explícitamente del tiempo
(·H·t = 0), entonces (8.6) puede ecribirse como,
·
·t
o

¡
;
.
;
. t

+ H
¸
¡
j
.
·
·¡
j
o

¡
;
.
;
. t

= 0 (8.13)
En este caso el tiempo puede ser separado de forma inmediata si se escoge para
o una solución de la forma,
o (¡
j
.
j
. t) = o
c
(¡
j
.
j
) + 1 (t) (8.14)
es decir, la suma de una función o
c
(¡
j
.
j
) que depende sólo de ¡
j
y
j
y es la llamada
acción reducida y otra función 1 que depende sólo del tiempo t. Al sustituir (8.14) en
la ecuación (8.13) se encuentra que,
H
¸
¡
j
.
·
·¡
j
o
c
(¡
j
.
j
)

= ÷
d1 (t)
dt
(8.15)
donde se puede observar que el miembro izquierdo no depende explícitamente de
t, mientras que el miembro derecho sólo depende de t, por lo tanto ambos miembros
deben ser igual a una constante que será denotada por . Entonces de (8.15),
d1 (t)
dt
= ÷ (8.16)
H
¸
¡
j
.
·
·¡
j
o
c
(¡
j
.
j
)

= (8.17)
La segunda des estas expresiones se denonomina ecuación de Hamilton-Jacobi inde-
pendiente del tiempo. La constante es el valor constante del Hamiltoniano, que en
casos comunes es la energía total 1 del sistema. Es conveniente algunas veces tomar
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 335
CAPÍTULO 8. TEORÍA DE HAMILTON-JACOBI
como una de las : constantes
j
y en otros casos un conjunto (
1
.
2
. ....
c
) sin incluir
es más conveniente; entonces es alguna función de éstas, = (
1
.
2
. ....
c
) = (
j
).
La expresión para la dependencia del tiempo (8.16) puede ser integrada trivialmente,
de manera que una solución completa a la ecuación de Hamilton-Jacobi (8.13) tiene
la forma,
o (¡
j
.
j
. t) = o
c
(¡
j
.
j
) ÷ (
j
) t (8.18)
Cuando se tenga una solución completa de (8.17), el sistema Hamiltoniano deriva-
do de H puede ser considerado como resuelto. En efecto, en el “nuevo” espacio de
fase (c
j
.
j
) el sistema es trivial y se tiene que,
«

j
= ÷
·H
·c
j
= ÷
·

;

·c
j
÷÷
j
=
j
(0) (8.19)
«
c
j
=
·H
·
j
=
·

;

·
j
= :
j
() ÷÷c
j
= :
j
t + c
j
(0) (8.20)
Por supuesto, excepto en casos excepcionales, el problema de encontrar una solu-
ción completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi es, al menos, tan difícil como el
problema de resolver el sistema original de ecuaciones diferenciales ordinarias.
8.2.2. Para sistemas con H independiente del tiempo y alguna coorde-
nada cíclica
Si H no depende de alguna coordenada (coordenada cíclica), por ejemplo
¡
¹
, entonces se puede plantear,
o (¡
j
.
j
. t) = o/ (¡
j,=¹
.
j
. t) +
¹
¡
¹
(8.21)
entonces, al sustituir (8.21) en (8.13) queda todavía la ecuación,
H
¸
¡
j,=¹
.
·
·¡
j,=¹
o/ (¡
j,=¹
.
j
. t)

+
·
·t
o/ (¡
j,=¹
.
j
. t) = 0 (8.22)
con una variable menos, la ¡
¹
.
8.2.3. Para sistemas con H independiente del tiempo y coordenadas
no cíclicas
Para lograr la separación de las variables de posición (para coordenadas no
cíclicas) la idea es proponer que la acción reducida sea de la forma,
o
c
(¡
j
.
j
) =
¸
j
o
j
(¡
j
.
j
) = o
1
(¡
1
.
1
) + ... + o
c
(¡
c
.
c
) (8.23)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 336
8.2. SOLUCIÓN COMPLETA DE LA ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI
lo que signiﬁca que la función de acción de Hamilton se divide en una suma de fun-
ciones parciales o
j
, cada una dependiente sólo de un par de variables. Ahora, al susti-
tuir (8.23) en (8.18) y el resultado de esto en (8.13) [o equivalentemente sustituir (8.23)
en (8.17)], la ecuación de Hamilton-Jacobi se transforma en,
H
¸
¡
1
. .... ¡
c
;
·
·¡
1
o
1
(¡
1
.
1
) . ....
·
·¡
c
o
c
(¡
c
.
c
)

= (
1
. ....
c
)
o también,
H
¸
¡
j
.
·
·¡
j
o
j
(¡
j
.
j
)

= (
j
) (8.24)
Bien, ahora para asegurar que esta ecuación diferencial también se separa en :
ecuaciones diferenciales para los o
j
(¡
j
.
j
), el Hamiltoniano H debe obedecer ciertas
condiciones. Por ejemplo, si H tiene la forma,
H (¡
j
.
j
) =
¸
j
H
j
(¡
j
.
j
) = H
1
(¡
1
.
1
) + ... + H
c
(¡
c
.
c
) (8.25)
la separación es verdaderamente posible. Un Hamiltoniano de esta forma describe
un sistema de grados de libertad independientes; es decir, en (8.25) no hay términos
de interacción, por ejemplo de la forma H

¡
j
.
j
. ¡
;
.
;

, que describe una interacción
entre el i-ésimo y el ,-ésimo grado de libertad.
En virtud de (8.25) la ecuación diferencial (8.24) se puede escribir como,
H
1
¸
¡
1
.
·
·¡
1
o
1
(¡
1
.
1
)

+ ... + H
c
¸
¡
c
.
·
·¡
c
o
c
(¡
c
.
c
)

= (
j
)
o también,
¸
j
H
j
¸
¡
j
.
·
·¡
j
o
j
(¡
j
.
j
)

= (
j
) (8.26)
Esta ecuación diferencial puede ser satisfecha haciendo separadamente cada tér-
mino H
j
igual a una constante j
j
como sigue,
H
j
¸
¡
j
.
·
·¡
j
o
j
(¡
j
.
j
)

= j
j
. .... H
c
¸
¡
c
.
·
·¡
c
o
c
(¡
c
.
c
)

= j
c
(8.27)
donde,
j
1
+ j
2
+ ... + j
c
=
¸
j
j
j
= (8.28)
existiendo así : constantes de integración j
j
en total.
Debido a que el término del Hamiltoniano relacionado con la energía cinética in-
volucra el momento j
j
= ·o
j
·¡
j
en forma cuadrática, las ecuaciones diferenciales
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 337
CAPÍTULO 8. TEORÍA DE HAMILTON-JACOBI
(8.28) son de primer orden y segundo grado. Como solución se obtienen las : fun-
ciones de acción,
o
j
= o
j
(¡
j
. j
j
) (8.29)
que, aparte de depender de las constantes de separación j
j
, depende sólo de la
coordenada ¡
j
. En virtud de (7.14), (8.29) conduce inmediatamente al momento con-
jugado j
j
= ·o
j
·¡
j
a la coordenada ¡
j
. El punto esencial [ver (8.26)] es que el par
coordenado (¡
j
. j
j
) no está acoplado a otras coordenadas

¡
;,=j
. j
,6=.

, de forma que el
movimiento en estas coordenadas puede ser considerado completamente indepen-
diente de cada uno de los otros.
8.3. Ejemplos de aplicación de la ecuación de Hamilton-
Jacobi
8.4. Variables acción-ángulo en sistemas con un grado de
libertad
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 8.
Resolver el oscilador armónico simple por el método de Hamilton-
Jacobi.
Solución: Una transformación es canónica si es capaz de mantener la forma de las
ecuaciones de Hamilton.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 338
APÉNDICE A
Teorema de Euler
Se deﬁne una función homogénea de grado j en : variables cuando ella cumple,
1 (\n
1
. \n
2
. .... \n
a
) = \
j
1 (n
1
. n
2
. .... n
a
) (A.1)
siendo \ = 0. Si se deriva con respecto a \,
·1 (\n
j
)
·\
= j\
j÷1
1 (n
j
)
¸
;
¸
·1 (\n
j
)
·\n
;
·\n
;
·\

= j\
j÷1
1 (n
j
)
¸
;
¸
n
;
·1 (\n
j
)
·\n
;

= j\
j÷1
1 (n
j
)
ahora, si \ = 1 entonces,
¸
;
¸
n
;
·1 (n
j
)
·n
;

= j1 (n
j
) (A.2)
339
APÉNDICE A. TEOREMA DE EULER
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 340
APÉNDICE B
Funciones monótonas y continuidad
Deﬁnición 1 (Funciones monótonas) Una función n = 1 (r) para la cual un incremento
en el valor de r resulta siempre en un incremento en el valor de n, esto es, para la
cual 1 (r) < 1 (r/) siempre que r < r/, se denomina función monótona creciente; si,
por otra parte, un incremento en el valor de r implica siempre un decremento en el
valor de n, la función se denomina función monótona decreciente. Tales funciones
son representadas gráﬁcamente por curvas que siempre ascienden o bien siempre
descienden conforme r recorre el intervalo de deﬁnición hacia valores crecientes.
Una función monótona transforma siempre valores distintos de r en diferentes n; esto
es, la transformación es biunívoca o 1 ÷1.
Deﬁnición 2 (Deﬁnición ÷o de límite de una función) Se dice que el límite de la fun-
ción 1 en el punto r
c
es / si,
|i:
a÷÷ao
1 (r) = / =\ 0, ¬ o 0 : \ r ÷ R, 0 < [r ÷r
c
[ < o =[1 (r) ÷/[ < (B.1)
Deﬁnición 3 (Deﬁnición de continuidad de una función en un punto) Una función
1 : R ÷÷R
es continua en el punto r
c
÷ R si se veriﬁcan las tres condiciones siguientes:
1. 1 está deﬁnida en r
c
, es decir, r
c
÷ do:1.
2. Existe |i:
a÷÷ao
1 (r). En particular, obsérvese que r
c
ha de ser punto de acumulación de
do:1.
341
APÉNDICE B. FUNCIONES MONÓTONAS Y CONTINUIDAD
3. El |i:
a÷÷ao
1 (r) = 1 (r
c
).
que se puede resumir escribiendo,
1 es continua en r
c
= |i:
a÷÷ao
1 (r) = 1 (r
c
) (B.2)
Deﬁnición 4 (Deﬁnición de continuidad en un intervalo abierto) Se dice que una fun-
ción 1 es continua en un intervalo abierto si y sólo si es continua en cada número del
intervalo abierto.
Deﬁnición 5 (Deﬁnición de continuidad por la derecha) Se dice que una funció 1 es
continua por la derecha en el número c si y sólo si se cumplen las tres condiciones
siguientes:
1. 1 (c) existe;
2. |::
a÷÷o
+
1 (r) existe;
3. |::
a÷÷o
+
1 (r) = 1 (c) .
Deﬁnición 6 (Deﬁnición de continuidad por la izquierda) Se dice que una funció 1 es
continua por la izquierda en el número c si y sólo si se cumplen las tres condiciones
siguientes:
1. 1 (c) existe;
2. |::
a÷÷o

1 (r) existe;
3. |::
a÷÷o

1 (r) = 1 (c) .
Deﬁnición 7 (Deﬁnición de continuidad en un intervalo cerrado) Se dice que una fun-
ción 1, cuyo dominio contiene al intervalo cerrado [c. /], es continua en el intervalo
cerrado [c. /] si y sólo si es continua en el intervalo abierto (c. /), así como continua por
la derecha en c y continua por la izquierda en /.
Teorema 1 (Teorema de Bolzano-Weierstrass ) Si 1 es una función continua en el inter-
valo cerrado [c. /] entonces,
1. Existe al menos un punto r
1
del intervalo [c. /] donde 1 alcanza su valor mínimo, es
decir: 1 (d) _ 1 (r) \ r ÷ [c. /].
2. Existe al menos un punto r
2
del intervalo [c. /] donde 1 alcanza su valor máximo, es
decir: 1 (c) _ 1 (r) \ r ÷ [c. /].
En resumen,
1 (r
1
) _ 1 (r) _ 1 (r
2
) \ r ÷ [c. /] (B.3)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2010. Pág.: 342
APÉNDICE C
Lema fundamental del cálculo de variaciones
Ahora bien, teniendo presente lo anterior, se pasará a enunciar y demostrar el lema
fundamental del cálculo de variaciones
1
:
Lema 2 (Lema fundamental del cálculo de variaciones) Si para cada función contin-
ua : (r) se tiene,

b
o
1 (r) : (r) dr = 0
siendo 1 (r) una función continua en el intervalo [c. /], entonces,
1 (r) = 0
en dicho segmento.
Demostración. La aﬁrmación del lema y su demostración no varían si a la función : (r)
se le imponen las siguientes limitaciones: : (c) = : (/) = 0; : (r) tiene derivadas continuas
hasta orden j,

:
(c)
(r)

< (: = 0. 1. .... ¡; ¡ _ j). Ahora bien, suponiendo que en el punto
r = r contenido en el intervalo [c. /], sea 1 (r) = 0, se llega a una contradicción. En
efecto, de la continuidad de la función 1 (r) se deduce que si 1 (r) = 0, entonces 1 (r)
conserva su signo en cierto entorno

c. /

del punto r. Pero entonces, tomando una
función : (r) que también conserve su signo en este entorno y sea igual a cero fuera
del mismo (ver ﬁgura C.1), se obtiene,

b
o
1 (r) : (r) dr =

b
o
1 (r) : (r) dr = 0 (C.1)
1
Ver [15] págs. 302-303.
343
APÉNDICE C. LEMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO DE VARIACIONES
Figura (C.1): Función arbitraria : (r).
ya que el producto 1 (r) : (r) conserva su signo en el intervalo

c. /

y se anula fuera del
mismo. De este modo, se ha llegado a una contradicción, por lo tanto, 1 (r) = 0, con
lo cual queda demostrado el lema.
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APÉNDICE D
Propiedades de los determinantes
El proceso para calcular un determinante de orden superior a 3 es muy largo y en-
gorroso. En general el determinante de orden ":"seria el resultado de sumar todos los
posibles productos de ":.
el
ementos, uno de cada ﬁla y de cada columna, afectado
del signo + o ÷ según si el número de inversiones es par o impar. Así pues, para simpli-
ﬁcar dicho cálculo se aplican las siguientes propiedades:
1. El determinante de una matriz es igual al determinante de la matriz traspuesta. Por
ejemplo,