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MEC�NICA DOS S�LIDOS I (RESIST�NCIA DOS MATERIAIS I)
Bibliografia: • • • •
Ferdinand Beer, E. R���el John��on � Re�i���ncia do� Ma�eriai� Timo�henko � Mec�nica do� S�lido� William Na�h � Re�i���ncia do� Ma�eriai� Vladimir Arri�abene � Re�i���ncia do� Ma�eriai�
Profe��or: Ed�ardo Mo�ra Lima
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��� �� ��������� ������������ ������������ E�erc�cio� relacionado�: Cap���lo 1 da Li��a de de E�erc�cio� 1. Defini��o de Re�i���ncia do� Ma�eriai�: A Re�i���ncia do� Ma�eriai� (Mec�nica do� S�lido�) � a ci�ncia q�e e���da o� ma�eriai� q�an�o � ��a rigide� e re�i���ncia, q�ando de �e� ��o na� e��r���ra�. Para dimen�ionarmo� q�alq�er �ipo de e��r���ra, n�o le�amo� em con�idera��o �omen�e a Mec�nica, e �im, principalmen�e, a Re�i���ncia do Ma�erial a �er empregado.
Mec�nica ma�eriai� r�gido� (ideai�) Re�i���ncia do� Ma�eriai� ma�eriai� deform��ei� (reai�) Hip��e�e� �implificadora�
Real
Ideal Coeficien�e de �eg�ran�a
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��� �� ��������� ������������ ������������ E�erc�cio� relacionado�: Cap���lo 1 da Li��a de de E�erc�cio� 1. Defini��o de Re�i���ncia do� Ma�eriai�: A Re�i���ncia do� Ma�eriai� (Mec�nica do� S�lido�) � a ci�ncia q�e e���da o� ma�eriai� q�an�o � ��a rigide� e re�i���ncia, q�ando de �e� ��o na� e��r���ra�. Para dimen�ionarmo� q�alq�er �ipo de e��r���ra, n�o le�amo� em con�idera��o �omen�e a Mec�nica, e �im, principalmen�e, a Re�i���ncia do Ma�erial a �er empregado.
Mec�nica ma�eriai� r�gido� (ideai�) Re�i���ncia do� Ma�eriai� ma�eriai� deform��ei� (reai�) Hip��e�e� �implificadora�
Real
Ideal Coeficien�e de �eg�ran�a
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2. Hip��e�e� Simplificadora�: a. Con�in�idade: o� ma�eriai� �er�o con�iderado� maci�o�, n�o �e le�ando em con�idera��o a de�con�in�idade da ma��ria. b. Homogeneidade: o� ma�eriai� �er�o propriedade� id�n�ica� em �odo� o� pon�o�. c. I�o�ropia: o� ma�eriai� �er�o propriedade� id�n�ica� em �oda� a� dire��e�.
3. Princ�pio� F�ndamen�ai�: a. S�perpo�i��o de carga�: o efei�o da a��o conj�n�a em �m �� corpo � ig�al ao �oma��rio do� efei�o� da� a��e� parciai�. b. Sain��Vennan�: � po����el ��b��i��ir �m �i��ema de for�a� por o��ro, e��a�icamen�e eq�i�alen�e, �ignificando maior �implifica��o no� c�lc�lo�.
4. Tipo� de Carregamen�o: a. Carga concen�rada: F
b. Carga �niformemen�e di��rib��da: q
L
c. Carga momen�o: M 3
�
5. Tipo� de Apoio�: a. 1� g�nero (Charrio�):
F
V
b. 2� g�nero (R���la): F H V F
OU H V
c. 3� g�nero (Enga��e): F M H
V
4
6. Cla��ifica��o do� E�for�o�: A�i�o� � Dado� E��eriore� Rea�i�o� � Calc�lado� pela� eq�a��e� de Eq�il�brio do� Corpo� (ΣFX , ΣFY , ΣMP) Solici�an�e� � ��o o� e�for�o� a��an�e� em cada pon�o do corpo. Dependem do� In�eriore�
e�for�o� e��eriore� (��o calc�lado�). Re�i��en�e� � ��o o� maiore� e�for�o� q�e podem ocorrer no� pon�o�. Dependem do ma�erial (��o b��cado� em �abela�).
Condi��o de e��abilidade: E�for�o� �olici�an�e� ≤ E�for�o� re�i��en�e� para �odo� o� pon�o�
5
7. C�lc�lo do� E�for�o� Solici�an�e� (na �e��o re�a S): F1
F4 F5 S
F6
F2 F7 F3
F8
Corpo em eq�il�brio For�a� F1 , F2 , F3 ...... F8 � e�for�o� e��eriore� (a�i�o� o� rea�i�o�)
O corpo � �eparado em d�a� par�e�, na �e��o S:
F4
S
F5
V F6 F1 CG S F7 R
R
R F2
F3
6
F8
R = re��l�an�e da� for�a� F1 , F2 e F3 OU F4 , F5 , F6 , F7 (�an�o fa�, poi� o corpo e��� eq�ilibrado)
e F8
A��o da carga R (no bloco da direi�a): Ob�er�a��o: O de�alhamen�o da� carga�, na fig�ra, �er� apena� repre�en�ado no bloco da direi�a. No bloco da e�q�erda, a a��o �er� e�a�amen�e ig�al na dire��o, com �en�ido con�r�rio. F4 F5 S F6 Vi��a A CG
N
Q 2 F7
Q 1 R F8
Vi��a B
Faremo� a decompo�i��o da for�a R em 3 dire��e� or�ogonai�: Q 1 , Q 2 e N. CG NX
N
Q 2
Q 2 X
Q 1 Q 1
Vi��a de A
Vi��a de B
7
Q 1 e Q 2 � e�for�o� cor�an�e� (for�a� paralela� � �e��o) N � e�for�o normal (for�a� perpendic�lare� � �e��o)
A��o do momen�o V (no bloco da direi�a): Ob�er�a��o: O de�alhamen�o da� carga�, na fig�ra, �er� apena� repre�en�ado no bloco da direi�a. No bloco da e�q�erda, a a��o �er� e�a�amen�e ig�al na dire��o, com �en�ido con�r�rio. F4 F5 V
S M2
M1
F6 Vi��a A
CG
T
F7
F8
Vi��a B
Faremo� a decompo�i��o do momen�o M em 3 dire��e� or�ogonai�: M1 , M2 e T. M2
M2
M1
T
CG
T X
Vi��a de A
M1
Vi��a de B
8
M1 e M2 � momen�o� fle�ore� (giro de �ma �e��o em �orno de �m ei�o colocado no plano da pr�pria �e��o) T � momen�o �or�or (giro de �ma �e��o em �orno de �m ei�o perpendic�lar � �e��o).
Concl���o: O� e�for�o� �olici�an�e� ��o: • • • •
E�for�o Normal E�for�o Cor�an�e Momen�o Fle�or Momen�o Tor�or
Como calc�l��lo�? Para calc�lar o� e�for�o� �olici�an�e� em �ma de�erminada �e��o: •
•
Selecionar a par�ir de q�e lado da �e��o o� e�for�o� �er�o calc�lado� (como o corpo e��� eq�ilibrado, o c�lc�lo fei�o por �m lado �er� ig�al ao fei�o pelo o��ro lado) Para cada carga e�i��en�e no lado e�colhido, calc�lar o �alor do e�for�o �olici�an�e na �e��o (N, Q, M o� T), a�rib�indo�lhe �m �inal conforme a con�en��o de �inai� a �eg�ir. O �oma��rio do� �alore� calc�lado� �er� o �alor do e�for�o �olici�an�e na �e��o.
9
��������� �� ������ +
�
N:
Q:
M:
T:
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��� ��� ���������� E�erc�cio� relacionado�: Cap���lo 1 da Li��a de E�erc�cio� Obje�i�o: Tra�ado do� diagrama� do� e�for�o� �olici�an�e� (N, Q, M e T) Faremo� o e���do em cima de 3 carregamen�o� �imple�. O� re��l�ado� encon�rado� �er�o generali�ado� para carregamen�o� mai� comple�o�. Ob�er�a��o: Para �implifica��o do e���do, inicialmen�e colocaremo� �oda� a� carga� em �m plano �er�ical (plano �olici�an�e), q�e e��ar� pa��ando �obre o ei�o da barra. A��im, e��aremo� eliminando o� momen�o� �or�ore�, q�e �er�o e���dado� n�m cap���lo � par�e (Tor��o Simple�): 1. Carga concen�rada: P �
S �
HB
Σ FX = 0 HB = 0 Σ FY = 0 VA + VB = P
VA
VB a
Σ MB = 0
b
VA . (a + b) = P.b VA DEC
+
VA = P.b / (a + b)
P �
VB = P.a / (a + b)
� VB
M S = VA . �
eq�a��o da re�a
DMF + VA . a = VB .b
Concl���e�:
Todo� o� diagrama� come�am e �erminam em ZERO
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a. Em �recho� �em carga: DEC � con��an�e DMF � re�a q�alq�er b. Carga concen�rada = P pro�oca: No DEC: de�con�in�idade (�degra��) = P No DMF: di�cord�ncia (�bico�) • •
• •
2. Carga �niformemen�e di��rib��da: Σ FX = 0 H B = 0
q �
Σ FY = 0 VA + VB = qL
HB
� S VA
Σ MB = 0
VB
L
VA . L =
qL2 / 2
VA = VB = qL/2
qL/2 + DEC
�
Q S = qL/2 � q� re�a � qL/2
MS = qL/2. X � q�2 / 2 par�bola 2� gra� m��imo: dM/d� = qL/2 � q� = 0 Q = dM/d� 2 � = L/2 Mm�� = qL / 8
DMF +
Concl���e�: c. Em �recho� de carga �niformemen�e di��rib��da: DEC � re�a q�alq�er DMF � par�bola do 2� gra�, com f m�dio = qL2 / 8 d. Q = dM/d� • •
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3. Carga momen�o: Σ FX = 0 HB = 0 Σ FY = 0 VA + VB = 0 Σ MB = 0 VA . (a + b) � M = 0 VA = M /(a + b) = � VB
M
� a
VA
b VB
VA
+
DEC �VB. b �
DMF
M + VA . a
Concl���e�: e. Em �recho� de carga momen�o M: DEC n�o �e al�era DMF apre�en�a de�con�in�idade (�degra��) = M • •
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��� ���� ����������� ����� (������ � ����������) E�erc�cio� relacionado�: Cap���lo 2 da Li��a de E�erc�cio�
N � for�a e����ica
N
N
Si
b
a
L
N
N
Sf
L + ΔL
b � Δb
a � Δa
1. Deforma��e� lineare�: Longi��dinal: ε = ΔL/L deforma��o �ni��ria longi��dinal Tran��er�al : ε�= Δa/a = Δb/b = ..... �ran��er�al
deforma��o �ni��ria
ε � ε� : ε� = �μ ε (eq�a��o emp�rica), onde μ � � o coeficien�e de Poi��on do ma�erial (�abelado) 2. Deforma��e� el���ica� � Deforma��e� pl���ica� (o� re�id�ai�) A
B
C
D
Def.�o�al � BD Def.pl���ica � BC Def.el���ica � CD
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3. Ten��e�:
FN � for�a normal
FN � for�a normal
FT � for�a �angencial
S
σ = FN / S
(�en��o normal) (le�ra grega �igma)
τ = FT / S
(�en��o �angencial) (le�ra grega �a�)
4. Rela��o en�re σ e ε: Do en�aio de �ra��o:
σ
No� in��an�e� 1, 2 e�c: N1
σ1
e ΔL1
ε1
N2
σ2
e ΔL2
ε2
re�a
θ ε
Eq�a��o da re�a: σ = E ε
(lei de Hooke), onde E = �g θ
E m�d�lo de ela��icidade longi��dinal do ma�erial (o� Yo�ng) Veremo� o e���do do gr�fico comple�o no i�em 9. 5. C�lc�lo de ΔL: σ=Eε ε = ΔL/L σ = N/S
N/S = E ΔL/L
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ΔL = NL / ES
6. Deforma��e� ��perficiai�: a Si
b
a + Δa
Sf
b + Δb
εS = ΔS / Si = (Sf � Si ) / Si =
0
= ((a + Δa)(b + Δb) � ab) / ab = (ab + a Δb + b Δa + Δa. Δb � ab) / ab = = (a Δb + b Δa) / ab = Δb/b + Δa/a = ε� + ε� = 2 ε� = �2 � ε εS = ΔS / S = �2 � ε
7. Deforma��e� �ol�m��rica�: εV = ΔV / V = �(1 � 2 �) ε
8. Po�encial el���ico ac�m�lado (Energia de deforma��o) F
F
W=F.d
W =(F . d) / 2 d
d
For�a din�mica
For�a e����ica
Como e��amo� �rabalhando com for�a e����ica, o �rabalho e�ec��ado pela for�a q�e deforma �ma barra, na �olici�a��o a�ial (Po�encial el���ico ac�m�lado o� Energia de deforma��o) �: W = N.ΔL / 2 16
9. Diagrama de �en��e� (σ) � deforma��e� (ε) σ
5 X 3 X 2 X 1X
0
X 4
ε
X
Trecho 0�1: re�il�neo σ = E ε (lei de Hooke) σ em 1 : limi�e de proporcionalidade (σP) Trecho 0�2: a�� 2, e�i��em �omen�e deforma��e� el���ica�. A par�ir de 2, come�am a ��rgir a� deforma��e� pl���ica� σ em 2 : limi�e de ela��icidade (σE) σE ≈ σP Trecho 3�4: pa�amar de e�coamen�o σ em 3 : limi�e de e�coamen�o ��perior (σS) σ em 4 : limi�e de e�coamen�o inferior (σi) Em 5: in�cio da da r�p��ra σ em 5 : limi�e de re�i���ncia (σR)
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10.Barra� ro��lada�:
Barra
Fio
F
F
Em ambo� o� ca�o�, h� �m alinhamen�o da barra o� do fio com a for�a. Tan�o o fio como a barra �� recebem e�for�o� normai�.
A��im �endo, podemo� afirmar q�e, no ca�o abai�o, �oda� a� barra� �� recebem e�for�o� normai� (a� for�a� a��am apena� no� n�� da� barra�). N�o pode
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11.Efei�o da �empera��ra:
N
L
A barra de comprimen�o L, enga��ada en�re d�a� parede�, recebe �m aq�ecimen�o de ΔT. Q�ai� a� rea��e� q�e ��rgem na� parede�? Dado�: E, L, ΔT, S e α (coeficien�e de dila�a��o linear do ma�erial) Ca�o n�o ho��e��e a parede � direi�a, a barra �ofreria �ma dila�a��o de ΔL T = L. α . ΔT. Como e�i��e a parede, ela e�erce �ma for�a �obre a barra q�e �eria re�pon���el pela deforma��o da barra dila�ada, fa�endo�a �ol�ar ao �e� �amanho original: 0
ΔL (pela a��o da for�a) = N (L + ΔL T ) / ES = ΔL T = L. α . ΔT N = E.S. α . ΔT
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��� ��� ����� E�erc�cio� relacionado�: Cap���lo 3 da Li��a de E�erc�cio� Q�ando a��a �omen�e o e�for�o cor�an�e, o� q�ando a��a �amb�m o momen�o fle�or, ma� e��e pode �er de�pre�ado.
M e Q
1. J�n�a� rebi�ada�: Di�me�ro do� rebi�e�: φ
C B A 1 d2
P/2
d1
2
e2
2 1
P/2
e2
e1
P
2
a. Cor�e no� rebi�e�:
Se��e� de cor�e
For�a a��an�e em cada �e��o de cor�e: For�a �o�al na barra/n��e��e� de cor�e For�a de cor�e
�rea de cor�e: πφ2 / 4
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Barra 1: τ = (P/12) / (πφ 2 / 4 ) ≤ τ Barra 2: τ = (P/2/6) / (πφ 2 / 4 ) ≤ τ
b. E�magamen�o da� chapa�:
Vi��a de cima F�ro na chapa
Rebi�e
�rea� de e�magamen�o
Para facilidade no� c�lc�lo�, e a fa�or da �eg�ran�a (�rabalharemo� com �rea menor), a �rea de e�magamen�o �er� a �rea reba�ida no plano (pon�ilhada na fig�ra � �m re��ng�lo). For�a a��an�e em cada �e��o de e�magamen�o: For�a �o�al na barra / n� �e��e� de e�magamen�o �rea de e�magamen�o: �rea reba�ida do rebi�e (o� do f�ro) na barra
Barra 1: σE = (P/6) / (φ.e1 ) ≤ σE1 Barra 2: σE = (P/2/6) / (φ.e2 ) ≤ σE2
c. Tra��o na� chapa�: For�a a��an�e em cada �e��o �racionada: for�a a��an�e na fileira A, B o� C (fileira de rebi�e�) �rea ��jei�a � �ra��o: �rea ��il em cada barra (�em o� f�ro�) na� fileira� A, B e C. 21
Barra 1: Se��o A: σA = P / ((d1 � φ).e1 ) ≤ σT1 Se��o B: σB = (P � P/6) / ((d1 � 2φ).e1 ) ≤ σT1 Se��o C: σC = (P � 3P/6) / ((d1 � 3φ).e1 ) ≤ σT1 H� nece��idade de �e calc�lar na� 3 �e��e�, poi� � medida q�e a for�a dimin�i, a �rea dimin�i a �rea cr��ica preci�a �er calc�lada Barra 2: Se��o C: σC = (P/2) / ((d2 � 3φ).e2 ) ≤ σT2 Na� �e��e� A e B, a for�a a��an�e � menor e a �e��o re�a � maior �e��o C � a cr��ica
d. Arrancamen�o na� chapa�: garan�ido pelo� e�pa�amen�o� m�nimo� en�re o� rebi�e�.
2. Liga��e� �oldada�: a. Solda de �opo: S N
N
N / S ≤ σT(�olda)
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b. Cord�o de �olda:
N
N
�rea a �er ci�alhada
� m
m=�
√
�
Carga cen�rada: L
F1 = F2 = F/2
F1
(F/2)/(mL) = √
F
(F/2)/(� .L) ≤ τ
Lnec ≥ F / (�√�. τ)
F2
L
L�o�al
Carga n�o cen�rada: L1
F1 e1 e2
F
F2 L2
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= 2 Lnec
F1 + F2 = F
F1 = ( F. e2 ) / (e1 + e2 )
F1 . (e1 + e2 ) = F. e2
F2 = ( F. e1 ) / (e1 + e2 )
√
τ = F / (� .L)
√
L = F / (� . τ )
L1 + L2 = L √
τ = F1 / (� .L1)
√
√
L1 = F1 / (� . τ ) = (F . e2 ) /((e1 + e2 ) (� . τ )
L1 = (L. e2 ) / (e1 + e2 )
√
τ = F2 / (� .L2)
√
√
L2 = F2 / (� . τ ) = (F . e1 ) /((e1 + e2 ) (� . τ )
L2 = (L. e1 ) / (e1 + e2 )
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��� �� ��������� ��� ����� (Re�i��o) 1. Momen�o e����ico: a. de �ma ��perf�cie em rela��o a �m ei�o: �
S �
X
CG
dS
� ρ
�
� �
Fig�ra 1
Defini��o: M � =
� dS = �. S
=
� dS = �. S
M �
b. de �ma ��perf�cie compo��a em rela��o a �m ei�o: S1
�
�1
CG1
�
S2
CG �2
�1
M � (�o�al)
�
CG2
�2
�
= M � (�e��o 1) + M � (�e��o 2)
(S1 + S2 ) . � = S1 . �1 + S2 . �2
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� = Σ M � / Σ S
2. Momen�o de in�rcia: a. de �ma ��perf�cie em rela��o a �m ei�o (fig�ra 1): Defini��o: J� = �2 dS J� =
�2 dS
b. de �ma ��perf�cie compo��a em rela��o a �m ei�o: J� (�o�al) = J� (�e��o 1) + J� (�e��o 2)
3. Momen�o de in�rcia polar: a. de �ma ��perf�cie em rela��o a �m ei�o (fig�ra 1): Defini��o: JP = ρ2 . dS = (�2 + �2 ) dS = =
�2 dS +
�2 dS =
J� + J�
b. de �ma ��perf�cie compo��a em rela��o a �m ei�o: JP (�o�al) = JP (�e��o 1) + JP (�e��o 2) 4. Tran�la��o de ei�o�: S dS �
XCG
CG
a X//
JCG =
�2 dS
J// =
(� + a)2 dS =
(�2 + 2 a � + a 2 ) dS = 0
=
�2 dS + 2a
J// = JCG + a2 S
� dS + a2
dS
Teorema de S�einer 26
5. Momen�o de in�rcia do re��ng�lo: �
dS = b.d�
dS
d�
h
�2 dS =
J�1 =
h
h
0
�
h
h
= b.�3 /3 0
0
X1
b
J�1 = b.h3 /3 � dS
+h/2 2
J� =
� h
X
J� = b.h3 /12 b
27
+h/2 3
� dS = b.� /3 �h/2
=
0
�2 d�
= b. =
�2 b.d�
�h/2
��� ��� ������ ���� ������� E�erc�cio� relacionado�: Cap���lo 4 da Li��a de E�erc�cio�
Plano da� Carga� (Solici�an�e)
Vi��a B
CG
a
a'
b
b'
c
c'
Fig�ra 1
Ei�o da barra
Plano Ne��ro
Vi��a A
Toda� a� carga� e���o n�m plano �er�ical (Plano Solici�an�e), q�e pa��a pelo ei�o da barra. Nenh�ma da� carga� �em proje��o hori�on�al. Ei�o Solici�an�e
CG
Linha Ne��ra
Se��o Re�a Vi��a de B
A in�er�e��o do Plano Solici�an�e com o plano da �e��o re�a em e���do recebe o nome de Ei�o Solici�an�e (ES). Concei��a��o: Ob�er�e q�e o �ipo de carregamen�o definido �� implica na e�i���ncia de Q e M (n�o e�i��em N nem T) Fle��o Simple� 28
Fle��o Simple�: �omen�e Q e M A fle��o �er� re�a q�ando o Ei�o Solici�an�e coincidir com �m do� 2 ei�o� cen�rai� principai� de in�rcia da �e��o: Fle��o Re�a: ES coincide com �m do� 2 ei�o� cen�rai� principai� de in�rcia
Vi��a de A
:
a
a'
b
b'
c
c'
ρ
dθ
a �
a' b'
b c
�
c'
dθ/2
�
aa' � �ofre� enc�r�amen�o (compre���o) bb' � pra�icamen�e n�o �ofre �aria��o de �amanho � �en��o n�la � fa� par�e de �ma regi�o ne��ra � Plano Ne��ro cc' � �ofre� alongamen�o (�ra��o) 29
Fibra cc�: Y � di���ncia da fibra � LN ρ � raio de gira��o da regi�o ne��ra Є = ΔL / L: ΔL = 2.� = 2.�. dθ/2 = �. dθ
Є = (�. dθ)/( ρ. dθ) Є = �/ ρ
L = ρ. dθ Como σ = E Є (Lei de Hooke)
E���do de �ma �e��o S:
σ = E. �/ ρ
ES (�)
M � P (pon�o)
σ.dS
�
CG
�
dS
LN (�) Q Se��o S
Fig�ra 2
Condi��e� de eq�il�brio da �e��o S: •
Σ F� = 0
σ. dS = 0
(E. �/ ρ). dS = (E / ρ)
�.dS = 0
�.dS = 0
momen�o e����ico da �e��o S em rela��o ao ei�o � (LN)
30
Q�ando o momen�o e����ico de �ma �e��o em rela��o a �m ei�o � ZERO, en��o o ei�o pa��a pelo CG da �e��o. Como o ei�o � � a LN LN pa��a pelo CG
•
Σ M� = 0
σ. dS. � = 0
�.�.dS = 0 ei�o� �
(E. �/ ρ). dS . � = (E /ρ) �� dS = 0
o prod��o de in�rcia da �e��o em rela��o ao�
e � � n�lo
� (LN) e � (ES) ��o ei�o� cen�rai� principai� de in�rcia da �e��o (ei�o� conj�gado� da elip�e cen�ral de in�rcia da �e��o)
•
Σ M� = 0
M�
σ. dS. � = 0
(E /ρ)
�2 dS = M
(E. �/ ρ). dS . � =
JLN M = (E /ρ) . J LN σ = E. �/ ρ
σ = (M. �) / JLN
Com a eq�a��o acima, podemo� de�erminar a �en��o normal n�m pon�o q�alq�er P, per�encen�e a �ma �e��o S (�ide fig�ra 2), onde: σ � �en��o normal a��an�e no pon�o P, da �e��o S M � momen�o fle�or a��an�e na �e��o S Y � di���ncia do pon�o P � LN JLN � momen�o de in�rcia da �e��o S em rela��o � LN
31
Sinal da �en��o σ : No e�emplo apre�en�ado na fig�ra 1, ob�er�amo� q�e o� pon�o� acima da regi�o ne��ra ��o comprimido�, e o� q�e e���o abai�o, �racionado�. I��o ocorre porq�e a barra fa� �ma �barriga� para bai�o. A forma q�e a barra �oma pela aplica��o da carga � chamada de linha el���ica (�er� e���dada no pr��imo cap���lo). Se p�dermo� ob�er�ar claramen�e a el���ica, como no e�emplo, con�eg�imo� iden�ificar onde ocorrem a �ra��o e a compre���o. No en�an�o, nem �empre � �imple� iden�ificar a el���ica. Saberemo� a re�po��a a�ra��� do momen�o fle�or. Linha el���ica
T C
C T
�
DMF
DMF
+
Ob�er�e q�e, embora �ejam coi�a� comple�amen�e diferen�e�, a� conca�idade� da el���ica e do DMF ��o �emelhan�e�. A��im, �e �o�bermo� o �inal do Momen�o Fle�or, poderemo� �aber o �inal da �en��o normal. M+
M
�
C T T C
32
Diagrama da� Ten��e� Normai� (DTN): Anali�emo� a eq�a��o de �en��e� normai� ded��ida an�eriormen�e: σ = (M. �) / JLN E���dando a� �en��e� normai� no� pon�o� �� ��� ����� ����� ����, �erificamo� q�e o� �alore� de M e JLN ��o ig�ai� para �odo� o� pon�o�, e �omen�e � �aria de acordo com o pon�o. En��o, a eq�a��o acima � repre�en�ada por �ma re�a, por �e �ra�ar de �ma f�n��o linear. Por i��o, o diagrama q�e repre�en�a a di��rib�i��o da� �en��e� normai� ao longo de �ma �e��o � repre�en�ado por �ma re�a.
O� �inai� + o� � depender�o do �inal
+ o� �
do Momen�o Fle�or, conforme
LN
anali�ado no par�grafo an�erior. � o� + Se��o re�a
DTN
Ten��e� Normai� M��ima� n�ma �e��o: Sendo o� �alore� de M e JLN ig�ai� para o c�lc�lo da� �en��e� normai� em �odo� o� pon�o� de �ma �e��o, e � �endo �ari��el, ob�er�amo� q�e a� maiore� �en��e� normai� ocorrer�o no� pon�o� mai� di��an�e� da LN, como confirma o �ra�ado do DTN, acima.
� ���� ��������� �� ������� ������� �������� �� ������ � ����������� ���� ��������� ��������� ���� ���������
33
Ten��e� Tangenciai� Acabamo� de �erificar q�e o momen�o fle�or M � o re�pon���el pelo ��rgimen�o de �en��e� normai� em �m pon�o. Como e��amo� e���dando a fle��o re�a �imple� (M e Q), �eremo� agora o q�e ocorre pela a��o do Q. 2
P
1 N1
N2 N3
�0
h
d�
b
N2
N1
b d�
M2 = M1 + dM h/2
σ1 = (M1 . �) / JLN
σ2 = (M2 . �) / JLN
N1
N2
=
�0
σ1 . dS =
h/2
=
σ2. .dS=
�0 h/2
=
�0
h/2 �0
(M1 . �.dS) / JLN
h/2
(M2 . �.dS) / JLN =
�0 h/2
((M1 + dM).�.dS) / JLN = (M1 . �.dS) / JLN + �0
N1 34
h/2
�0
(dM.�.dS)/ JLN
N 2 = N1 +
h/2 �0
(dM.�.dS)/ JLN
N3 � ��rgir� pela a��o da� fibra� abai�o do bloco (for�a �angencial)
h/2
N3 =
(dM.�.dS)/ JLN
�0
h/2
τ. bd� =
(dM.�.dS)/ JLN
�0
h/2
τ =
N3 / (bd�)
τ =
(Q M LN ) / (b. JLN )
τ = ((1 / b. JLN)) . (dM/d�).
�.dS
�0
, onde:
τ � �en��o �angencial no pon�o P de �ma �e��o S Q � e�for�o cor�an�e na �e��o S M LN �
momen�o e����ico, em rela��o � LN, da �rea delimi�ada en�re a hori�on�al q�e pa��a no pon�o P e a e��remidade adjacen�e b � e�pe���ra ��il da �e��o re�a na al��ra do pon�o P JLN � momen�o de in�rcia da �e��o S em rela��o � LN
35
Diagrama da� Ten��e� Tangenciai� na �e��o (DTT): Se��o re�ang�lar: �P h
� LN
b
τ =
DTT
(Q M LN ) / (b. JLN )
JLN = (b.h3 ) / 12 M LN
= b . (h/2 � �). (� + ((h/2 � �) / 2))
par�bola do 2� gra�
Onde ocorrem a� maiore� �en��e� �angenciai� na� �e��e� abai�o?
LN LN
� ���� ��������� �� ������� ������� ����������� ���� ��������� ��������� ���� ���������
36
��� ���� ������ ���� ������� � ����� �������� E�erc�cio� relacionado�: Cap���lo 4 da Li��a de E�erc�cio�
�
�
Re�a hori�on�al θ Re�a �angen�e � el���ica
θ
Re�a �er�ical
Re�a normal � el���ica
� � flecha � de�locamen�o �er�ical � o de�locamen�o hori�on�al � de�pre���el Θ � ro�a��o
Obje�i�o�: Ob�en��o da� eq�a��e�: � = f(�) � eq�a��o da linha el���ica �� = f� (�) = �g Θ ≈ Θ � eq�a��o da� ro�a��e�
37
Є = �/ ρ (do e���do da Fle��o Re�a Simple�) σ = (M. �) / JLN
(Idem)
σ = E . Є (Lei de Hooke)
(M. �) / JLN
= E �/ ρ
ρ = (E . JLN ) / M
Da Ma�em��ica: ρ = ((1 + (��)2 )3/2 ) / ��� Como �� = Θ
2
(��)
<< 1
ρ = 1 / ���
1 / ��� = (E . JLN ) / M E . JLN . ��� = M
38
(eq�a��o diferencial da el���ica)
��� ����� ������ ������� E�erc�cio� relacionado�: Cap���lo 5 da Li��a de E�erc�cio�
O e���do q�e faremo� �er� para pe�a� cil�ndrica� (oca� o� maci�a�).
Di�emo� q�e a barra e��� �orcida q�ando a� a��e� e�ercida� de �m lado de �ma �e��o em e���do d�o l�gar a �m conj�gado con�ido no plano da �e��o. Podemo� repre�en���lo como: .
Con�ideramo� como po�i�i�o q�ando o �e�or ��air� da �e��o (m�o direi�a).
X
Q�ando �emo� apena� ocorrendo o momen�o �or�or na �e��o, di�emo� e�i��ir TOR��O SIMPLES. Na �or��o o compor�amen�o da� pe�a� depende da forma de ��a �e��o �ran��er�al, �endo fei�o para cada �ipo de �e��o �ran��er�al �m e���do con�enien�e. No��o obje�i�o �er� o e���do da� pe�a� c�ja� �e��e� �ran��er�ai� �ejam circ�lare� o� coroa� circ�lare�. A Re�i���ncia do� ma�eriai� chega a re��l�ado� e�a�o� �omen�e para �ai� �e��e�. 39
Diagrama do� Momen�o� Tor�ore� (DMT): Tra�ado a par�ir do� me�mo� concei�o� do DEN, DEC e DMF, ��ando a con�en��o definida no Cap���lo I.
C�lc�lo da� �en��e� na� barra� de �e��o circ�lar: � E
E
φ
F
F�
E�
F
. �
.
Ap�� o en�aio, ob�er�amo� q�e a rede re�ang�lar �e �ran�forma em rede de paralelogramo�. I��o indica q�e na� �e��e� �ran��er�ai� da barra e�i��em �en��e� de ci�alhamen�o (�angenciai�). Ob�er�amo�, ainda, q�e a� di���ncia� en�re a� circ�nfer�ncia� q�e repre�en�am a� �e��e� �ran��er�ai� n�o �ariam e nem �e modifica o comprimen�o da pe�a, logo n�o e�i��e �en��o normal. O di�me�ro EF gira de φ rela�i�amen�e � po�i��o E�F�, permanecendo re�o.
40
ρ
dφ
γ d�
γ. d� = ρ . dφ
γ = (ρ . dφ) / d�
Lei de Hooke: σ = E . Є τ = G . γ (por analogia) m�d�lo de ela��icidade �ran��er�al
τ = G . (ρ . dφ) / d�
deforma��o �ni��ria ang�lar
(1)
Anali�ando �omen�e �m do� lado� da pe�a: MT dS
τ
ρ
Σ M� = 0
�
τ . ρ. dS = MT
= G. (dφ / d�)
G . (ρ2 . dφ.dS) / d� =
MT =
ρ2 .dS = G. (dφ / d�). J P
dφ / d� = MT / (G. JP ) (1) E (2): τ = G. ρ . MT / (G. JP ) De (2): dφ = (MT . d�) / (G. JP )
(2)
τ = (MT . ρ) / JP
φ = (MT .�) / (G. JP )
41
φ = (MT / (G. JP ))
(radiano�)
d�