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Recuperação

de Geometria
9º ano

Teorema de Tales
 Retas paralelas (r, s e t)
 Retas transversais (m e n)
 Segmentos proporcionais
EF
DE
BC
AB
=
EF
DF
BC
AC
=
ou
ou
EF
BC
DE
AB
=
EF
BC
DF
AC
=
ou
É possível estabelecer outras proporções?
90 m
1. Se um bastão de 1 metro produz uma sombra de
1,50 m e a sombra de uma árvore mede 18 metros,
qual a altura da árvore?


2. Na figura ao lado, as retas r // s // t são cortadas
pelas transversais a e b. Descubra o valor de x.





3.
Exercícios
12
18 5 , 1
1
= ¬ = x
x
21 14 4 20
) 3 2 ( 7 ) 1 5 ( 4
7
1 5
4
3 2
+ = ÷
+ = ÷
÷
=
+
x x
x x
x x
6
25
25 6
4 21 14 20
=
=
+ = ÷
x
x
x x
40
60
80
40 90
180
40 20 30 40
180
=
=
=
=
=
+ +
z
y
x
x
x
Teorema de Tales nos triângulos
Teorema de Tales nos triângulos
Teorema de Tales nos triângulos
Teorema de Tales nos triângulos
Valem as mesmas relações de proporção
do Teorema de Tales, e além disso...

O que mais é proporcional?
CF
AC
BE
AB
=
Exercício
4. Qual a medida de no
lago da figura?
AB
24
5
120 120
1
5 120
15
75
= = ÷ = ÷ = 
 
Teorema da bissetriz interna
Teorema da bissetriz interna
NC
AM
BN
BA
=
AC AM =
Traçamos CM // NA.
Pelo Teorema de Tales,




Como o ΔACM é isósceles,

Logo,
NC
AC
BN
BA
=
Exercício
5. Os lados de um triângulo medem, respectivamente, 18 m, 27 m e 30 m.
Calcule a medida dos segmentos que a bissetriz interna determina sobre o
maior lado.
Teorema da bissetriz interna
27 m
18 m
30 m
x 30 - x
x x ÷
=
30
27 18
) 30 .( 18 27 x x ÷ =
x x 18 30 . 18 27 ÷ =
30 . 18 18 27 = + x x
30 . 18 45 = x
12 2 . 6
3
2 . 18
45
30 . 18
= =
=
=
x
x
x
Resposta: 12 m e 18 m.
) (
2
3
2
3
18
27
12
18
V = ÷ =
Conferindo:
Teorema da bissetriz externa
Teorema da bissetriz externa
Exercício
6. Num Δ ABC, as medidas dos lados são AB = 6 cm, BC = 4 cm e AC = 5 cm.
Calcule quanto é preciso prolongar o lado , para que ele encontre a
bissetriz externa do ângulo Â.
BC
CA
CD
BA
BD
=
ou
b
n
c
m
=
Teorema da bissetriz externa
5 cm
4 cm
6 cm
A
B
C
x
4 6
5 x x
=
+
) 5 ( 4 6 + = x x
20 4 6 + = x x
20 2 = x
10 = x
Resposta: 10 m.
) (
4
10
6
15
4
10
6
5 10
V = ÷ =
+
Conferindo:
Figuras e polígonos semelhantes
Figuras semelhantes
têm formas iguais e
tamanhos diferentes.
Essas figuras são semelhantes? Por que?
Figuras e polígonos semelhantes
Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são
congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. E a razão entre seus
perímetros é igual à razão entre dois lados correspondentes (ou homólogos).
Figuras e polígonos semelhantes
Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são
congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. E a razão entre seus
perímetros é igual à razão entre dois lados correspondentes (ou homólogos).
Exercício
7. As pétalas da flor pentágono são congruentes e medem 3 cm
aproximadamente. Ao ampliar a foto, as pétalas passaram a medir 5 cm.
Calcule a razão de semelhança. O que você pode concluir em relação aos
perímetros das duas flores?
3
5
= k
k
p
P
P
p
= = = ÷
)
`
¹
=
=
3
5
15
25
2
2
25 2
15 2
Triângulos semelhantes
Teorema fundamental de semelhança
Toda paralela a um lado de um triângulo e que intercepta os outros dois lados em
pontos distintos determina, com esses lados, um triângulo semelhante ao primeiro.
Exercício
8. Determine x e y, sendo .
MN BC//
6
12 2
12 3
30
12
10
=
=
+ =
+
=
x
x
x x
x x
24
12
2
1
12
12
6
=
=
=
y
y
y
Casos de semelhança
Caso AA: (Ângulo – Ângulo)
Caso LAL: (Lado – Ângulo – Lado)
Caso LLL: (Lado – Lado – Lado)
Exercício
9. Ver livro página .......
Relações métricas (Δ Retângulo)
Relações métricas (Δ Retângulo)
Relações métricas (Δ Retângulo)
Relações métricas (Δ Retângulo)
Relações métricas (Δ Retângulo)
Relações métricas (Δ Retângulo)
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo Maior ? Triângulo Médio ? Triângulo Menor ?
Maior lado ?
Lado médio ?
Menor lado?
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC
Hipotenusa
a
Catetão
b
Catetinho
c
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC
Hipotenusa
a
Catetão
b
Catetinho
c
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC
Hipotenusa
a b
Catetão
b m
Catetinho
c h
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC
Hipotenusa
a b
Catetão
b m
Catetinho
c h
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD
Hipotenusa
a b c
Catetão
b m h
Catetinho
c h n
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD
Hipotenusa
a b c
Catetão
b m h
Catetinho
c h n
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD
Hipotenusa
a b c
Catetão
b m h
Catetinho
c h n
am b m a b b
m
b
b
a
= ÷ = ÷ =
2
. .
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD
Hipotenusa
a b c
Catetão
b m h
Catetinho
c h n
an c n a c c
n
c
c
a
= ÷ = ÷ =
2
. .
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD
Hipotenusa
a b c
Catetão
b m h
Catetinho
c h n
mn h n m h h
n
h
h
m
= ÷ = ÷ =
2
. .
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD
Hipotenusa
a b c
Catetão
b m h
Catetinho
c h n
c b h a
h
b
c
a
. . = ÷ =
Relações métricas - RESUMO
Teorema de Pitágoras
Cateto ao quadrado é igual ao produto da sua
projeção pela hipotenusa.
Altura ao quadrado é igual ao produto das
projeções dos catetos.
O produto dos catetos é igual ao produto da
hipotenusa pela altura.
Lembre-se que cateto, hipotenusa,
altura e projeções são medidas!
Exercícios
10. Determine as incógnitas indicadas na figura:








11. Num mapa, as cidades A, B e C são os vértices de um triângulo retângulo, e o
ângulo reto está em A. A estrada tem 80 km e a estrada tem 100 km.
Montanhas impedem a construção de uma estrada que ligue diretamente a
cidade A com a cidade B. Por esse motivo, projetou-se uma estrada saindo da
cidade A e perpendicular à estrada , para que ela seja a mais curta possível.
Calcule o comprimento da estrada que será construída.
AC BC
80
100
(3, 4, 5) => (60, 80, 100); temos que AB = 60 km.
a . h = b . c => 100.h = 80.60
Logo h = 48
A estrada medirá 48 km.

Trigonometria
Ela está em todo lugar!
Trigonometria – seno, cosseno e tangente
Ângulo θ -> ângulo theta
(letra do alfabeto grego)
Exercícios
14. O triângulo ABC é retângulo. Determine suas razões trigonométricas.
... 923 , 0
13
12
ˆ
= = =
h
co
b sen
... 384 , 0
13
5
ˆ
cos = = =
h
ca
b
... 384 , 0
13
5
ˆ = = =
h
co
c sen
... 923 , 0
13
12
ˆ cos = = =
h
ca
c
4 , 2
5
12
ˆ
= = =
ca
co
b tg ... 416 , 0
12
5
ˆ = = =
ca
co
c tg
Exercícios
15. Sabendo o valor do seno, consulte a tabela trigonométrica e
determine a medida dos ângulos em graus.







16. Determine o ângulo de elevação do Sol, sabendo que o
comprimento da sombra projetada por uma torre com 36 m
é de 200 m.
º 67
ˆ
... 923 , 0
ˆ
= ÷ = b b sen
º 67
ˆ
... 384 , 0
ˆ
cos = ÷ = b b
º 67
ˆ
4 , 2
ˆ
= ÷ = b b tg º 23 ˆ = c
º 10
ˆ
18 , 0
200
36
ˆ
= ÷ = = = o o
ca
co
tg
17. Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo, sob um ângulo de 30º. A
que altura encontra-se esse foguete após percorrer 8 km em linha reta?









18. Uma escada de 4,8 m está apoiada na parede de um muro, fazendo um ângulo de
76° com o chão. Qual a distância entre o muro e o primeiro degrau da escada?
4
5 , 0 . 8
8
5 , 0
8
º 30
=
=
=
=
x
x
x
x
sen
Resposta: O foguete está a 4 km de altura.
1616 , 1
242 , 0 . 8 , 4
8 , 4
242 , 0
8 , 4
º 76 cos
=
=
=
=
x
x
x
x
Resposta: Aproximadamente 1 m.
6 , 5
07 , 0 . 80
80
07 , 0
80
º 4
=
=
=
=
x
x
x
x
tg
2 , 52
48 , 3 . 15
15
48 , 3
15
º 74
=
=
=
=
x
x
x
x
tg
Resposta: A altura das nuvens é de 5,6 km.
Resposta: O ponta A
está a 52,2 m do solo.
19.
20.
x
Razões trigonométricas de 30°, 45° e 60°
x sen x cos x tg x

30°


45°


60°

2
1
2
2
2
3
2
3
3
3
1
3
2
1
2
2
21. De um ponto A um observador vê o topo da Torre Eiffel sob um ângulo de 45°. Se
avançar 20 m em direção à torre, o ângulo passa a ser de 60°. Qual a altura da torre?











22. Qual a altura do prédio da figura ao lado?




Exercícios
x h
x
h
x
h
tg
T
T
T
3
3
º 60
=
=
=
x
20 + x
3 , 27 10 3 10
) 1 3 (
) 1 3 (
.
) 1 3 (
20
20 ) 1 3 (
20 3
3 20
~ + =
+
+
÷
=
= ÷
= ÷
= +
x
x
x x
x x
3 , 47 3 , 27 20 20 = + = + = x h
T
30
60 2
1
60
º 30
=
=
=
P
P
P
h
h
h
tg
Resposta: A altura da torre é 47,3 m
aproximadamente.
Resposta: A altura do prédio é 30 m.
Circunferência e arcos
r C d C
d
C
. . 2 . t t t = ÷ = ÷ =
d C
d
C
. 14 , 3 ... 14 , 3 = ÷ = r d . 2 = ... 14 , 3 = t
a
r
a
C º 360 2 º 360
= ÷ =
 
t
Relações métricas na circunferência
Exercícios
23. O sino do relógio mais preciso do mundo, o Big
Ben, fica na Torre de Santo Estéfano, em Londres,
na Inglaterra. Os ponteiros desse relógio são
enormes e medem dois metros e setenta
centímetros, o das horas, e quatro metros e trinta
centímetros, o dos minutos. Qual é a distância
que a ponta de cada ponteiro percorre num
intervalo de tempo de 6 horas?
t
t
t
4 , 5
7 , 2 . . 2
. 2
=
=
=
H
H
H H
C
C
r C
t
t
t
6 , 8
3 , 4 . . 2
. 2
=
=
=
M
M
M M
C
C
r C
5 , 8 7 , 2
2
4 , 5
~ = = t
t
H
P
162 6 , 51 6 . 6 , 8 ~ = = t t
M
P
Resposta: Aproximadamente 8,5 m o ponteiro das horas e 162m o ponteiro dos minutos.
Exercícios
24. Calcule o valor de x nas figuras.
4
4
3 3 4
3 ). 1 ( ). 1 4 (
2
2 2
=
=
+ = ÷
+ = ÷
x
x x
x x x x
x x x x
¹
´
¦
+ =
÷ =
÷ = ÷ +
= ÷ +
= ÷ +
= +
+ = + +
2
8
0 ) 2 ).( 8 (
0 16 6
0 32 12 2
8 . 4 ) 12 2 (
) 4 4 .( 4 ) 12 .(
2
2
x
x
x x
x x
x x
x x
x x x
¹
´
¦
+ =
÷ =
÷ = ÷ +
= ÷ +
= ÷ +
= +
= + +
4
8
0 ) 4 ).( 8 (
0 32 4
0 64 8 2
64 ) 8 2 (
8 ) 8 .(
2
2
2
x
x
x x
x x
x x
x x
x x x
Relações métricas polígonos regulares

Apótema Lado

Triângulo

Quadrado

Hexágono
2
3
r
a =
2
2
4
r
a =
3
2
6
r
a =
3
3
r = 
2
4
r = 
r =
6

Exercícios
25. Na figura temos um quadrado inscrito e outro circunscrito a uma
circunferência de raio 5 cm. Determine:

 a medida do lado do quadrado inscrito;


 a medida do lado do quadrado circunscrito;


 o apótema do quadrado inscrito;



 o apótema do quadrado circunscrito.

2 5
4
= 
10
4
= L
2
2
5
4
= a
5
4
= A
10 cm
Área das figuras planas
Polígono regular: S = p.a
Exercícios
o lado do pentágono
regular mede 8 cm e seu
apótema mede 2,8 cm; as
diagonais do losango
medem 12 e 18 cm; o
lado do triângulo
isósceles mede 5 cm e
sua base mede 6; os
lados do retângulo e do
paralelogramo medem 3
e 10 cm; o ângulo agudo
do paralelogramo mede
45°; e o raio da
circunferência mede 3
cm.
26. Calcule, em centímetros, a área das figuras, sabendo que:
Reptiles – M.C. Escher
2
56 8 , 2 . 20
20
40 5 . 8 2
cm S
p
p
= =
=
= =
1- Pentágono regular
2- Losango
2
108
2
12 . 18
cm S = =
3- Triângulo isósceles
2
2 2 2
12
2
4 . 6
4 5 3
cm S
h h
= =
= ÷ = +
4- Retângulo
2
30 3 . 10 cm S = =
5- Paralelogramo
2
2
2 2 2 2
2
2
30
2
2 3
. 10
2
2 3
2
3
3
cm S
x x x x
= =
= ÷ = ÷ = +
6- Círculo
2 2
9 3 . cm S t t = =
27. Qual a área da região colorida de cinza na figura, em metros quadrados?










27. Qual a área da região colorida de cinza na figura, se ABCD é um quadrado cuja
diagonal mede 12 cm?









04 , 113
4
4 . 36 . 14 , 3
) 2 6 .( 14 , 3 .
4
1
.
º 360
º 90
2 2
= = = = r S
SC
t
56 , 12 4 . 14 , 3 2
2 2
= = = = t tr S
C
2 6
2 12
2
=
=
=


 d
36
2
2 6 . 2 6
2
.
= = =
A
h b
S
ABD
04 , 77 36 04 , 113 = ÷ = ÷ =
AABD SC T
S S S
Resposta: 12,56 m
2

Resposta: 77,04 m
2
FIM

Feliz 2010!