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VALORES Y VECTORES PROPIOS En los diversos campos de la ingeniería y las matemáticas srge el pro!lema de calclar los valores escalares λ y los vectores x ≠ 0 tales "e para la matri# cadrada
A
se cmple AX = λX … (1 )
Algnos campos de aplicaci$n aplicaci$n son% Las Ecaciones di&erenciales' Esta!ilidad de sistemas lineales' Sistemas el(ctricos' Polos y ceros de trans&erencia' diagonali#acion de matrices' etc) Podemos averigar si el pro!lema planteado en *+, tiene solci$n si tenemos ( A − λI ) X =0 … (2 ) ' el pro! pro!le lema ma se tran trans& s&or orma ma en n sist sistem emaa line lineal al -omo -omog( g(ne neo o det ( B ) ≠ 0
BX =0
' el cal tiene ene sol solci$ ci$n para
X =0
' can cando do
' es .stamente lo "e no nos interesa )El nmero λ se dice
"e es el valor propio de la matri# cadrada A si y solo si det ( A − λI )=0 /*0, esta es la ecaci$n característica de la matri# A )El polinomio "e srge de la ecaci$n *0, reslta n polinomio en ponencias de
λ
' la
e1presi$n a ( λ ) =det ( A − λI ) se le llama polinomio característico de la matri# A
)El polinomio polinomio característi característico co de na matri# de dimensi$n dimensi$n
nxn
es de
grado n ' por lo "e se tiene n valores propios λ "e satis&acen la ecaci$n *0, )
VALOR PROPIO Sea
T : V →V
un opera operado dorr linea lineall sobre sobre un espac espacio io vect vector oria iall
K se llama valor propio de sobre un cuerpo K . Un escalar λ ϵ K
si existe un vector diferente de cero,
V T
v ϵ V V tal tal que que T ( v ) = λv .
Todo vector que satisface esta relación se llama “vector propio” de T perteneciente al valor propio λ .
Observación: Las transformaciones lineales del espacio como la rotación, la reflexión, el ensanchamiento o cualquier combinación de las anteriores pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores !e forma "eom#trica los vectores se visuali$an como flechas de cierta lon"itud apuntado en una dirección % sentido determinado Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que no se ven afectados por la transformación
E.emplo% Sea V λ
λ
un valor propio de un operador
el con&unto de todos los vectores propios de
T : V →V Sea
T pertenecientes
al valor propio λ 'llamado el espacio propio de λ ( !emostrar que V λ
es un subespacio de V
!emostración v , w ∈V λ
Sean escalar
) es decir
T ( v )= λv ,T ( w )= λw *ntonces para todo
a , b ∈ K , T ( av + bw )=aT ( v ) + bT ( w )= a ( λv ) + b ( λw )= λ ( av + bw )
av + bw es un vector propio perteneciente a
λ es decir
, lue"o V λ
es un
subespacio de V
TEORE2A un operador lineal sobre un espacio vectorial V , entonces λ ϵ K es un valor propio de T si % solo si λ Ι −T es sin"ular, el espacio propio de λ es entonces el n+cleo de λ Ι −T . Sea
T : V →V
TEORE2A ectores propios diferentes de cero pertenecientes a valores propios diferentes son linealmente independientes
POLI3O2IO CARACTERISTICO Sea na matri# cadrada A so!re n cerpo 4
A =
(
a11 a21
a12 a22
… …
a1 n a2 n
⋮
⋮
⋱
⋮
a n1
an 2
…
a nn
La matri#
)
t Ι n− A
det ( t Ι n − A ) =0
se llama matri# característica' el determinante
se llama ecaci$n característica' el polinomio característico
es de la &orma% Δ ( t )=( t − a11) ( t −a 22) … ( t −a nn ) ,n términ!"n m#xim n − 2 $a"tre! dela $rmat −an
E.emplo Sea la matri$ A =
( ) 1 2
4 3
i( -allar los valores propios de . % los correspondientes vectores propios −1 /i( -allar una matri$ inversible % tal que % A% sea dia"onal
Solución:
*&emplo: A =
(
1 −2 4
*l polinomio caracter0stico de la matri$ . es: 3 2 0
0 1 −2
)
|
t −1
Δ ( t )=( t Ι − A )= 2
−4
|
−3 0 3 2 t −2 −1 =t −t + 2 t + 4 t + 2 0
*s un polinomio caracter0stico, polinomio 1ónico de tercer "rado *l polinomio caracter0stico de una matri$ de dimensión
nxn es de
"rado n , por lo cual tendr2 n posibles valores propios Si λ es un valor propio de A % si 3 es el vector no nulo tal que AX = λX & X se dice vector propio de A correspondiente al valor propio de λ
O4S*5.67O8: λ
tambi#n llamado autovalor, valor caracter0stico o
“ei"en valor”
E.emplo !ada la matri$
A =
(
3 2 2
−1 −1
1 2 2
0
)
determine el polinomio caracter0stico %
los valores propios de A Solución
|( ) ( )| |
3 % ( λ )= det 2 2
1 2 2
−1 −1 − λ 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3 − λ = 2 2
|
−1 2− λ −1 =( 2− λ ) ( 2− λ ) ( 1− λ ) =0 *nton 2 − λ 1
ces los valores propios son λ =2 , λ =2 , λ=1
POLI3O2IO 5E 2ATRICES Y OPERA5ORES LI3EALES n −1
$ ( t )= a n t + an− 1 t n
Sea un polinomio
+ … + a1 t + a 0 , si . es una matri$
cuadrada, entonces definimos: $ ( A ) =an A + a n−1 A n
n− 1
+ … + a1 A + a0 Ι
Se dice que . es una ra0$ o un cero del polinomio si
$ ( A ) =0.
TEORE2A Sean $ ' ( dos polinomios sobre un cuerpo ) ,
% sea . una matri$
cuadrada de orden n , sobre ) , entonces: i)
($ + ( )( A) =$ ( A )+ ( ( A )
ii)
( $ . ( )( A )= $ ( A ) . ( ( A )
iii)
( )$ )( A )= )$ ( A )
O6SERVACIO3 9 Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que no se ven afectados por la transformación / *l valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, adem2s del vector nulo que no es un vector propio ; La multiplicidad "eom#trica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado
E.emplo% -allar los vectores propios de la matri$ SOLU67O8: AX = λX
( A − λ Ι ) X = 0
(−
1 λ 3
2 2 − λ
)
X =0
-allando los valores propios:
|−
1 λ 3
2
|=
2 − λ
0
2
λ − 3 λ − 4 =0 λ1=−1 , λ2= 4
u# es dia"onali$ar? *s determinar un sistema de referencia conveniente donde se ten"a una simplicidad para los c2lculos